مقالات

2: نظم المعادلات والمصفوفات - الرياضيات


2: نظم المعادلات والمصفوفات - الرياضيات

شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورز ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


نظم المعادلات الخطية

قم بتنزيل الفيديو من iTunes U أو Internet Archive.

جويل لويس: مرحبًا. أهلا بكم من جديد في التلاوة. لقد كنت تتعلم في محاضرة عن المصفوفات وتطبيقاتها المختلفة ، وأحدها هو حل أنظمة المعادلات الخطية. لدي هنا نظام من ثلاث معادلات خطية لك. 2x زائد c * z يساوي 4 ، x ناقص y زائد 2z يساوي pi ، و x ناقص 2y زائد 2z يساوي ناقص 12. ما أود فعله هو ما يلي.

أوجد قيمة c - أو جميع قيم c - والتي ، أولاً وقبل كل شيء ، هناك حل فريد لهذا النظام. ثانيًا ، والذي من أجله يمتلك النظام المتجانس المقابل حلًا فريدًا. لذا تذكر أن النظام المتجانس المقابل هو النظام الذي تستبدل فيه هذه الثوابت على اليمين بمقدار 0. لذا فهو نظام مشابه جدًا. الجوانب اليسرى كلها متشابهة ، لكن الجوانب اليمنى يتم استبدالها بـ 0. لذا فأنت تريد العثور على قيمة c التي يكون لهذا النظام حل فريد لها ، وهي قيمة c التي يمتلكها النظام المتجانس المقابل حل فريد ، وكذلك قيم c التي يتمتع النظام المتجانس المقابل لها بالعديد من الحلول اللانهائية.

لاحظ أنني لا أطلب منك حل نظام المعادلات هذا ، على الرغم من أنه مرحب بك للقيام بذلك إذا كنت ترغب في ذلك. على الرغم من ذلك ، بالطبع ، ما إذا كنت تستطيع أم لا قد تعتمد على قيمة c. فلماذا لا توقف الفيديو مؤقتًا ، خذ بعض الوقت للتوصل إلى حلول لهذه الأسئلة الثلاثة ، عد مرة أخرى ، ويمكننا حلها معًا.

لذلك آمل أن يكون لديك بعض الحظ في حل هذه المشكلات. لنبدأ العمل من خلالهم معًا. سأقوم في الواقع بأخذ الجزأين أ و ب معًا في نفس الوقت.

والسبب في أنني سأفعل ذلك هو أن شيئًا واحدًا تعلمته هو أن النظام لديه حل فريد ، على الجانب الأيمن - آسف - النظام لديه حل فريد ، مثل هذا ، النظام المربع من المعادلات الخطية له حل فريد إذا وفقط إذا كان لديه حل فريد بغض النظر عن الجانب الأيمن. إذن ، الإجابة على أ وجواب ب متطابقة على وجه الخصوص.

لذا فإن قيم c التي يمتلك هذا النظام حلًا فريدًا لها هي بالضبط نفس قيم c التي يمتلك النظام المتجانس حلًا فريدًا لها. الآن ستكون الحلول مختلفة بالطبع. لكن قيمة c - أو قيم c - التي تجعلها قابلة للحل بشكل فريد ، تجعلها قابلة للحل بشكل فريد لجميع الأطراف اليمنى.

إذن ما هي قيم c هذه؟ حسنًا ، هذه هي قيم c التي تكون فيها مصفوفة المعامل على الجانب الأيسر قابلة للعكس. لذا إذا كانت مصفوفة المعامل في الجانب الأيسر قابلة للعكس ، فيمكننا حل هذا النظام والحصول على حل فريد. إذا لم يكن قابلاً للعكس ، فإما أننا لا نستطيع حل هذا النظام - مثل ، لا توجد حلول - أو يمكننا حل هذا النظام ، ولكن هناك العديد من الحلول بلا حدود.

إذن في السؤالين أ و ب ، نطلب قيمة c التي تكون مصفوفة المعامل في الطرف الأيسر قابلة للعكس ، وسيكون ذلك عندما يكون لدينا حل فريد. إذن كيف نعرف متى تكون المصفوفة قابلة للعكس؟ حسنًا ، دعنا نكتب ما هي المصفوفة أولًا.

إذن هذه المصفوفة M التي نتبعها تساوي المصفوفة 2 ، 0 ، ج 1 ، ناقص 1 ، 2 1 ، ناقص 2 ، 2. إذن هذه هي مصفوفة المعامل M لهذا النظام ، ونريد أن نعرف أيًا منها قيم c هل هي قابلة للعكس.

حسنًا ، متى تكون المصفوفة قابلة للعكس؟ المصفوفة قابلة للعكس - المصفوفة المربعة قابلة للعكس - على وجه التحديد عندما تحتوي على محدد غير صفري. إذن ، علينا فقط النظر إلى محدد هذه المصفوفة. لقد تعلمت كيفية حساب محددات المصفوفات ، على ما أعتقد.

إذن ، في هذه الحالة ، لدينا det M. إذن فهو مجموع أو فرق ستة حدود مختلفة ، ويمكنك الحصول عليه ، على سبيل المثال ، من خلال توسيع لابلاس إذا أردت ذلك. سأكتب ما هي الحدود الستة. إذن ، 2 مرات ناقص 1 في 2 ، زائد 0 في 2 في 1 ، زائد c في 1 في ناقص 2 ، ناقص c في ناقص 1 في 1 ، ناقص 2 في ناقص 2 في 2 ، ناقص 0 في 1 في 2. هذا هو محدد هذه المصفوفة.

يمكنك الحصول عليها إما عن طريق تذكر المصطلحات التي وأيها تحصل على علامة الجمع وأيها تحصل على علامة الطرح ، أو عن طريق القيام بتوسيع لابلاس ، أو بأي حيل أخرى قد تعرفها. والآن نحن بحاجة إلى معرفة ما إذا كان هذا المحدد يساوي 0 أم لا. لذلك دعونا نحسب ما هو هذا المحدد.

إذن هذا - دعني أبدأ في تبسيطه. إذن هذا ناقص 4 زائد 0 ناقص 2c - هذا ناقص ناقص c ، إذن زائد c - هذا ناقص 8 ، لذلك زائد 8 ، يساوي 4 ناقص c. إذن ، المحدد - صحيح ، اثنان من هذه الحدود هما 0 ، ولذا علي أن أتركهما خارجًا. إذن ، محدد هذه المصفوفة هو 4 ناقص c. وما يهمنا هو أن المحدد لا يساوي صفرًا.

لذلك على وجه الخصوص ، بالنسبة لـ c لا تساوي 0 - آسف ، لأن c لا تساوي 4 - عندما لا تكون c 4 ، فإن محدد M ليس 0. لذلك عندما لا تكون c 4 ، فإن محدد M ليس 0 ، لذا فإن كلا النظامين - النظام الأصلي والنظام المتجانس المقابل - لهما حل فريد. لذلك عندما لا تكون c 4 - لذلك بالنسبة لمعظم قيم c - فإن المحدد ليس 0 ، والنظام لديه حل فريد.

إذن عندما تكون c تساوي 4 ، ماذا يحدث؟ حسنًا ، عندما يكون c يساوي 4 ، فنحن في الحالة السفلية. نحن في الحالة التي يكون فيها للنظام المتجانس عدد لا نهائي من الحلول. نعم؟ لذا اسمحوا لي أن أكتب ذلك هنا.

عندما تساوي c 4 - سأختصر مرة أخرى - النظام المتجانس لديه - سأستخدم هذا الرمز - هذا النوع من الرموز الثمانية الجانبية تعني اللانهاية ، لذلك سأستخدمها إلى ما لا نهاية العديد من الحلول. لذلك عندما تكون c تساوي 4 ، فإن النظام المتجانس لديه عدد لا نهائي من الحلول. وقد تكون فضوليًا - حسنًا ، دعني أقول شيئًا آخر حول ذلك. نعلم أنه عندما تكون مصفوفة المعامل غير قابلة للانعكاس ، فإن النظام إما يحتوي على صفر أو عدد لا نهائي من الحلول. لكن النظام المتجانس لديه دائمًا حل. دائما لديه الحل حيث كل شيء هو 0. أليس كذلك؟ لهذا السبب نعلم أنه يوجد عدد غير محدود هنا.

والشيء الوحيد الذي قد تسأله هو هل يمكنك العثور على أي شيء آخر؟ هل يمكنك إيجاد أي حلول ليست فقط [0 ، 0 ، 0]؟ والجواب هو نعم. لذا فإن هذا يتجاوز الآن عندما طلبت منك القيام به ، لكنني أعتقد أنه ، كما تعلمون ، شيء مثير للاهتمام أن تراه. لذا إذا أردت إيجاد حل آخر ، فماذا تعرف؟ حسنًا ، دعنا نعود إلى المعادلات التي كانت لدينا.

لذلك عندما نتعامل مع نظام متجانس ، تكون الجوانب اليمنى تساوي 0. لذا سأقوم فقط بشطب هذه الجوانب اليمنى واستبدالها بـ 0 حتى لا نشوش. هذا هو 0 و 0 و 0. لذا فنحن نتعامل مع هذا النظام: 2x زائد c * z يساوي 0 ، x ناقص y زائد 2z يساوي 0 ، x ناقص 2y زائد 2z يساوي 0.

حسنًا ، إذا كنت تريد حلًا [س ، ص ، ض] لهذا النظام ، فماذا تعرف؟ حسنًا ، من المعادلة الثانية ، أنت تعلم أن المتجه [x ، y ، z] متعامد مع المتجه 1 ، ناقص 1 ، 2. كيف تعرف ذلك؟ لأن هذا الطرف الأيسر ، x ناقص y زائد 2z ، يساوي [x ، y ، z] النقطة 1 ، ناقص 1 ، 2.

وبالمثل من المعادلة الثالثة ، تعلم أن المتجه [x ، y ، z] متعامد مع المتجه 1 ، ناقص 2 ، 2 ، لأن هذا الجانب الأيسر يساوي [x ، y ، z] النقطة 1 ، ناقص 2 ، 2. صحيح؟ وهذا يساوي 0. لذا من المعادلتين الثانية والثالثة ، تعلم أنك تبحث عن متجه متعامد مع كل من x - أو آسف - كلاهما 1 ، ناقص 1 ، 2 ، و 1 ، ناقص 2 ، 2 .

كيف تحصل على متجه عمودي على متجهين معروفين؟ حسنًا ، أنت فقط تأخذ حاصل الضرب التبادلي. لذا دعنا نعود إلى هنا. إذن لإيجاد واحد ، نأخذ حاصل الضرب الاتجاهي لصفين من مصفوفة المعامل. لذلك في هذه الحالة ، على سبيل المثال ، يمكننا أخذ هذه الصفوف ، 1 ، ناقص 1 ، 2 و 1 ، ناقص 2 ، 2. لذلك ، على سبيل المثال ، المتجه 1 ، ناقص 1 ، 2 - حسنًا - عبور المتجه 1 ، ناقص 2 ، 2.

لقد نفدت مساحة اللوحة الآن نوعًا ما ، لذا لن أحدد بالضبط ما هو هذا المتجه بالنسبة لك. ولكن إذا أردت ، يمكنك بالتأكيد التحقق. يمكنك حساب حاصل الضرب التبادلي هذا باستخدام صيغتنا الرائعة لحاصل الضرب الاتجاهي. سوف يعطيك بعض المتجهات ، وبعد ذلك يمكنك التحقق من أن هذا المتجه هو بالفعل حل للنظام المتجانس. لذلك سيعطينا ذلك حلاً ثانيًا للنظام المتجانس. نقول غير بديهي ، لأنه ليس مجرد حل 0.

للتلخيص السريع ، كان لدينا نظام من المعادلات الخطية. لقد شطبت الآن الجانب الأيمن الأصلي. كان لدينا نظام من المعادلات الخطية ، وكنا نبحث عن اختيار لـ c يكون لهذا النظام حل فريد من نوعه والذي له حل فريد للنظام المتجانس المقابل. وقيم c التي تجعل هذا العمل هي بالضبط قيم c بحيث يكون لمصفوفة المعامل محدد غير صفري. هذا صحيح لكلا الجزأين أ وب.

بالنسبة للجزء c ، عندما كنا نبحث عن قيم c التي تعطي النظام المتجانس عددًا غير محدود من الحلول ، فإن الإجابة هي أي قيمة أخرى لـ c. أي قيمة لـ c تحتوي مصفوفة المعامل على 0 محدد ستمنحك عددًا لا نهائيًا من الحلول في الحالة المتجانسة ، وفي الحالات غير المتجانسة ستعطيك إما 0 حلًا أو عددًا لا نهائيًا من الحلول.

ثم في النهاية ، ناقشنا بإيجاز طريقة واحدة لإيجاد حلول غير بديهية في الحالة المتجانسة عندما يكون هناك عدد لا نهائي من الحلول. لذلك سأنتهي عند هذا الحد.


نظم المعادلات والمصفوفات الخطية

تنصل: المفاهيم التي يجب معرفتها على الورقة ليست بالضرورة شاملة ، ولكن يجب أن تكون دليلاً لـ
المفاهيم الأساسية التي يجب معرفتها وأنواع المشكلات التي يجب حلها أثناء الدراسة للاختبار.

القسم 2.1: أنظمة المعادلات الخطية
& # 8226 القدرة على حل أنظمة المعادلات الخطية (معادلتان ومتغيرين)
جبريا باستخدام طريقة الحذف وطريقة الاستبدال.
& # 8226 كن قادرًا على حل نظام المعادلات الخطية بيانياً (تذكر أنك بحاجة إلى
اكتب المعادلات التي أدخلتها في الآلة الحاسبة ، وارسم الرسم البياني و
تسمية الحل)
& # 8226 فهم أنواع الحلول المختلفة لنظام من معادلتين و 2
المتغيرات التي يمكن الحصول عليها جبريًا (حل واحد ، لا يوجد حل ، بلا حدود
العديد من الحلول) وكيف يرتبط بالحل الرسومي (تقاطع الخطوط عند
نقطة واحدة ، خطوط متوازية ، أو نفس الخط مرتين)
& # 8226 تعرف ماذا يعني عندما يقال إن نظام المعادلات الخطية متسق ،
غير متسق أو مستقل أو تابع.

القسم 2.2: استخدام المصفوفات لحل أنظمة المعادلات الخطية.
& # 8226 افهم ما هي المصفوفة وكن قادرًا على تحديد البعد (أي الحجم) من a
مصفوفة
& # 8226 تكون قادرة على كتابة نظام المعادلات الخطية كمصفوفة معززة
& # 8226 فهم معنى وجود مصفوفة في RREF (Reduced Row Echelon)
Form) والقدرة على تحديد ما إذا كانت المصفوفة في RREF أم لا.
& # 8226 كن قادرًا على حل نظام المعادلات الخطية باستخدام Gaussian Elimination. أنت
يجب أن تكون قادرًا على حل نظام يظهر جبريًا جميع عمليات الصف و
احصل على المصفوفة في RREF للحصول على الحل.
& # 8226 فهم كيفية تفسير مصفوفة في RREF لتحديد حل
النظام (تذكر أن النظام يمكن أن يكون له حل واحد ، أو لا توجد حلول ، أو غير محدود
العديد من الحلول). إذا كان لديك عدد لا حصر له من الحلول للنظام ، فكن
قادرة على إعطاء الحلول من حيث أحد المتغيرات وسرد بعض الحلول
للنظام.

القسم 2.3: تطبيقات تتضمن أنظمة معادلات خطية
& # 8226 استخدم الآلة الحاسبة للحصول على مصفوفة معززة في RREF.
& # 8226 نظرًا لوجود مشكلة في التطبيق ، كن قادرًا على إعداد نظام من المعادلات الخطية و
حل النظام للحصول على الحل. تذكر تحديد المتغيرات الخاصة بك
تمامًا (على سبيل المثال ، اسمحوا x = عدد التذاكر في منطقة المستوى الأعلى وما إلى ذلك) واستخدم الوحدات
للإجابات.

القسم 3.1: إضافة المصفوفة والضرب القياسي
& # 8226 القدرة على إضافة وطرح المصفوفات (ومعرفة وقت إضافة المصفوفة أو
الطرح غير محدد)
& # 8226 تكون قادرة على إجراء الضرب القياسي على مصفوفة

القسم 3.2: المصفوفة الضرب والعكس
& # 8226 كن قادرًا على إجراء عملية ضرب المصفوفة (ومعرفة وقت ضرب المصفوفة
غير معرف).
& # 8226 فهم ما هي مصفوفة الهوية.
& # 8226 افهم ما هي المصفوفة المعكوسة وأعطيت مصفوفتين ، كن قادرًا على إظهار واحدة
المصفوفة هي معكوس المصفوفة للآخر.
& # 8226 لمصفوفة 2x2 ، كن قادرًا على إيجاد معكوس المصفوفة باستخدام صيغة. ملاحظة: في أ
اختبار أو امتحان لن يُطلب منك العثور على معكوس المصفوفة لمصفوفة 2 × 2
باستخدام الصيغة من هذا القسم. ومع ذلك قد ترغب في معرفة الصيغة
كطريقة أخرى لإيجاد معكوس المصفوفة لمصفوفة 2 × 2 إذا اخترت ذلك.
& # 8226 فهم أنواع المصفوفات التي لها مصفوفة معكوسة.
& # 8226 افهم معنى أن تكون المصفوفة مفردة وغير قابلة للعكس.

القسم 3.3: حل معادلات المصفوفة (استخدام المصفوفة العكسية لحل أنظمة
المعادلات الخطية)

& # 8226 تكون قادرًا على إيجاد معكوس المصفوفة جبريًا (أو تحديد جبريًا إذا كان
لا توجد مصفوفة معكوسة) لأي مصفوفة ذات حجم مربع باستخدام عمليات السطر
(على سبيل المثال ، قم بإعداد المصفوفة المعززة واستخدام عمليات الصف للحصول على المصفوفة في RREF)
& # 8226 تكون قادرًا على استخدام الآلة الحاسبة للرسم البياني لإيجاد معكوس المصفوفة (أو تحديد ما إذا كان
المصفوفة العكسية غير موجودة). أعط معكوس المصفوفة باستخدام القيم الدقيقة وليس
التقريبية (تحويل الكسور العشرية المتكررة إلى شكل كسور)
& # 8226 تكون قادرة على كتابة نظام المعادلات الخطية (تلك التي لها نفس عدد
المعادلات كمتغيرات) كمنتج مصفوفات وكتابتها في صورة معادلة مصفوفة
AX = ب. باستخدام المصفوفة & # 8220A & # 8221 ، تكون قادرًا على حل نظام المعادلات باستخدام المعكوس
مصفوفة A ، (أي A & # 87221) وحل نظام المعادلات باستخدام معكوس المصفوفة
وضرب المصفوفة.
& # 8226 فهم قيود استخدام المصفوفة العكسية لحل الأنظمة الخطية
المعادلات (تعمل فقط على الأنظمة المستقلة (أي التي لها فريد
المحلول). ستحتاج إلى استخدام طرق جبرية أخرى لتحديد ما إذا كان
يعتمد النظام (عدد لا نهائي من الحلول) أو غير متسق (لا توجد حلول)

قسم على الإنترنت: قاعدة Cramer & # 8217s:
& # 8226 كن قادرًا على حساب محدد مصفوفة 2x2
& # 8226 كن قادرًا على استخدام قاعدة Cramer & # 8217s لحل نظام من معادلتين ومتغيرين.
& # 8226 افهم قيود استخدام قاعدة Cramer & # 8217s (احصل على محدد الصفر في
مقام) لحل نظام المعادلات الخطية (فقط يمكن حل الأنظمة التي
مستقلة - أي لديها حل فريد. تحتاج إلى استخدام طرق جبرية أخرى
لتحديد ما إذا كان النظام معتمداً (عدد لا نهائي من الحلول) أو غير متسق
(لا توجد حلول).

القسم 4.1: رسم المتباينات الخطية بالرسوم البيانية
& # 8226 بالنظر إلى عدم المساواة الخطية أو نظام المتباينات الخطية ، كن قادرًا على رسم بياني
منطقة الحل (تأكد من أنه يمكنك العثور على تقاطع x و y (أي أفقي و
اعتراضات عمودية جبريًا)
& # 8226 تكون قادرًا على تحديد جميع نقاط الزاوية لمنطقة الحل (تكون قادرًا على
ابحث جبريًا عن نقاط الزاوية التي لا يتم اعتراضها)

القسم 4.2: حل مشاكل البرمجة الخطية بيانياً.
& # 8226 نظرًا لمشكلة البرمجة الخطية ، يمكنك العثور على الحل الأمثل و
القيمة المثلى. ستحتاج إلى أن تكون قادرًا على رسم بياني للقيود وتحديدها
المنطقة المجدية ، أوجد كل نقطة الزاوية للمنطقة المجدية واستخدم
وظيفة موضوعية للعثور على الحل الأمثل (أي الحد الأقصى أو الحد الأدنى
القيمة). فهم الحالات التي قد لا يكون فيها الحل الأمثل موجودًا (إذا كان ذلك ممكنًا
المنطقة غير محدودة). يجب أن تكون قادرًا على إيجاد تقاطع x و y
(التقاطعات الأفقية والعمودية) جبريًا وابحث عن نقاط الزاوية الموجودة
لا يعترض جبريًا.
& # 8226 نظرًا لوجود مشكلة في التطبيق ، كن قادرًا على تحديد المتغيرات والتوصل إليها
الدالة الموضوعية وجميع المعوقات وحل البرمجة الخطية
مشكلة.

ملخص طرق حل نظام المعادلات الخطية:
بالنظر إلى أي نظام من معادلتين ومتغيرين ، يجب أن تكون قادرًا على حلها باستخدام
الطرق التالية:
& # 8226 بيانيا
& # 8226 طريقة القضاء
& # 8226 طريقة الاستبدال
& # 8226 القضاء الغاوسي (جبريًا وباستخدام الآلة الحاسبة & # 8211 ميزة rref)
& # 8226 طريقة المصفوفة العكسية (تكون قادرًا على إيجاد معكوس المصفوفة جبريًا وبواسطة
آلة حاسبة)
& # 8226 قاعدة كريمر & # 8217s

بالنظر إلى أي نظام مكون من 3 معادلات و 3 متغيرات ، يجب أن تكون قادرًا على حلها باستخدام
الطرق التالية:
& # 8226 القضاء الغاوسي (جبريًا وباستخدام الآلة الحاسبة & # 8211 ميزة rref)
& # 8226 طريقة المصفوفة العكسية (تكون قادرًا على إيجاد معكوس المصفوفة جبريًا وبواسطة
آلة حاسبة


حل الأنظمة الخطية

لقد رأينا الآن كيف يمكن تحويل نظام المعادلات الخطية إلى معادلة مصفوفة ، مما يجعل حل النظام أسهل.

يمكن كتابتها بالطريقة التالية:

الآن ، من خلال زيادة المصفوفة مع المتجه على اليمين واستخدام عمليات الصف ، يمكن بسهولة حل هذه المعادلة يدويًا. ومع ذلك ، إذا لم يكن لدى نظامنا إدخالات أعداد صحيحة جيدة ، فقد يصبح حلها يدويًا باستخدام تقليل الصف صعبًا للغاية. يوفر لنا MATLAB طريقة أسهل للحصول على إجابة.

نظام من هذا النوع له الشكل فأس = ب، حتى نتمكن من إدخال هذه الأرقام في MATLAB باستخدام الأوامر التالية:

لاحظ ذلك لمتجه العمود ب ، نقوم بتضمين الفواصل المنقوطة بعد كل إدخال للتأكد من أن الإدخالات موجودة في صفوف مختلفة. إذا كتبنا بدلاً من ذلك

كنا سنحصل على متجه صف ، وهو ليس نفس الشيء. الآن بعد أن حددنا A و b ، الأمر

سيجد حل معادلتنا فأس = ب إذا كانت موجودة. في هذه الحالة ، تخبرنا MATLAB

الرجاء توخي الحذر عند إدخال الأمر أ ب. تحتوي على شرطة مائلة للخلف () ، ليس شرطة مائلة للأمام (/).

ضع في اعتبارك نظام المعادلات

حوّل نظام المعادلات هذا إلى معادلة مصفوفة بالصيغة Cx = د . قم بحلها يدويًا ، وقم بتسجيل الحل الخاص بك في المستند الخاص بك.

أدخل المصفوفة ج وناقل العمود د في MATLAB ، واستخدم الأمر

نتوقع الحصول على متجه العمود د في MATLAB إذا قمنا بتشغيل الأمر C * x ، أليس كذلك؟ بمعنى آخر ، يجب أن يكون C * x-d صفرًا. أدخل هذا التعبير في MATLAB:

التناقض في الجزء الأخير من التمرين أعلاه يرجع ببساطة إلى خطأ التقريب. ستلاحظ أن الخطأ عبارة عن متجه مضروب في عدد صغير جدًا ، واحد بترتيب 10-15. لكن لماذا يوجد خطأ على الإطلاق؟ بعد كل شيء ، الحل عن طريق الاختزال الصفري أعطى أرقامًا جيدة جدًا ، أليس كذلك؟ الإجابة تكمن في طريقة تخزين MATLAB للأرقام. في هذا الحساب ، تمثل MATLAB الأرقام في "شكل الفاصلة العائمة" ، مما يعني أنها تمثلها في تدوين علمي بدقة تبلغ حوالي 10-14. وهكذا عندما ترى 10-14 في العمليات الحسابية خلال هذه الدورة ، فعادة ما تكون مساوية للصفر.

هناك عيوب في استخدام الأمر x = C d ، للأسف. دعنا نستكشفهم الآن.

ضع في اعتبارك نظام المعادلات

كما فعلت في التمرين السابق ، أدخل المصفوفة المقابلة ج وناقل العمود د في MATLAB. ثم اكتب

لاحظ الإخراج الغريب. قم بتضمينه في كتابتك. تفضل الآن وحل هذا النظام يدويًا. كم عدد المتغيرات المجانية الموجودة في الحل الخاص بك؟ بناءً على إجابتك ، هل يمكنك توضيح سبب ظهور رسالة الخطأ عند محاولة استخدام الأمر x = C d؟

للتعامل مع حالة الأنظمة أو الأنظمة غير المتسقة مع العديد من الحلول اللانهائية ، قد يكون من الأفضل أحيانًا استخدام MATLAB ببساطة لتقليل المصفوفة الخاصة بك ثم قراءة الحلول بنفسك. لحسن الحظ ، لدى MATLAB أمر يقوم بإزالة Gaussian من أجلك.

ضع في اعتبارك نظام المعادلات المتجانس التالي:

أدخل المصفوفة المقابلة ج وناقل العمود د في MATLAB. نريد الآن إجراء تخفيض الصف على المصفوفة المعززة [ج | د]. الأمر الذي ينفذ تصغير الصفوف في MATLAB هو rref (يرمز الاسم إلى "شكل مستوى الصف المختزل"). اكتب في

تذكر من الفصل أنه يمكننا استخدام هذه الصيغة المختصرة بالصف لنرى أن x1 = 3.5x3 وذلك x2 = -12x3 . هنا ، x3 هو المتغير الحر ، ويمكننا اختيار القيمة التي نريدها له بمجرد القيام بذلك ، يتم إصلاح المتغيرين الآخرين. على سبيل المثال ، إذا اخترنا س3 = 2 ثم س1 = 7 و x2 = -24. يوجد عدد لا نهائي من الحلول نظرًا لوجود عدد لا نهائي من الاختيارات لقيمة x3 ، لكنهم جميعًا يتبعون هذا النمط.

ضع في اعتبارك نظام المعادلات المتجانس

باستخدام الأمر rref ، اكتب الحل العام لنظام المعادلات هذا. كم عدد المتغيرات الحرة المطلوبة؟

الآن بعد أن رأينا أدوات MATLAB الأساسية لحل الأنظمة الخطية ، دعنا ننتقل إلى بعض التطبيقات.


القسم الفرعي 2.3.1 معادلة المصفوفة

نقدم في هذا القسم طريقة موجزة للغاية لكتابة نظام المعادلات الخطية:

هي نواقل (بشكل عام بأحجام مختلفة) ، لذلك يجب أولاً أن نشرح كيفية ضرب مصفوفة في متجه.

ملاحظة

في هذا الكتاب ، نقوم به ليس حجز الحروف

لأعداد الصفوف والأعمدة في مصفوفة. إذا كتبنا "

تعريف

هو الجمع الخطي

مثال

لفهم عدد إدخالات

يجب أن يكون هو نفسه عدد أعمدة

نحن نستخدم إدخالات

كمعامِلات أعمدة

في تركيبة خطية. المتجه الناتج له نفس عدد الإدخالات مثل عدد صفوف من

لديه هذا العدد من الإدخالات.

خصائص منتج Matrix-Vector
تعريف

أ معادلة المصفوفة هي معادلة النموذج

هو متجه معاملاته

في هذا الكتاب سوف ندرس سؤالين مكملين حول معادلة مصفوفة

    نظرا لاختيار محدد من

ما هي كل الحلول ل

السؤال الأول يشبه إلى حد كبير الأسئلة التي قد تكون معتادًا عليها من دوراتك السابقة في الجبر ، لديك الكثير من التدرب على حل المعادلات مثل

السؤال الثاني ربما يكون مفهومًا جديدًا بالنسبة لك. تخبرنا نظرية الترتيب في القسم 2.9 ، وهي ذروة هذا الفصل ، أن السؤالين مرتبطان ارتباطًا وثيقًا.

معادلات المصفوفة ومعادلات المتجهات

ضع في اعتبارك معادلة المتجه

هذا يعادل معادلة المصفوفة

يعادل معادلة المتجه

مثال
أربع طرق لكتابة نظام خطي

لدينا الآن أربعة طرق معادلة في الكتابة (والتفكير في) نظام المعادلات الخطية:

بخاصة، كل الأربعة لديهم نفس مجموعة الحلول.

سوف نتحرك ذهابًا وإيابًا بحرية بين الطرق الأربعة لكتابة نظام خطي ، مرارًا وتكرارًا ، لبقية الكتاب.

طريقة أخرى للحساب

التعريف أعلاه هو طريقة مفيدة لتعريف منتج مصفوفة ذات متجه عندما يتعلق الأمر بفهم العلاقة بين معادلات المصفوفة ومعادلات المتجه. نقدم هنا تعريفًا يتكيف بشكل أفضل مع الحسابات اليدوية.

تعريف

أ ناقلات التوالي هي مصفوفة من صف واحد. ال منتج لمتجه طول الصف


نظام معادلتين خطيتين في شكل مصفوفة

في هذا الدرس سنقوم بتحويل معادلات الخطوط المستقيمة إلى شكل مصفوفة. سنناقش أولاً معادلة خطية واحدة في شكل مصفوفة.

معادلة خطية واحدة:
ضع في اعتبارك أن معادلة الخط المستقيم تُعطى على النحو التالي:
[ax + by + c = 0 ، ، ، ، < text <& # 8211 & # 8211 & # 8211 >> left (< text> حق) ]

المعادلة (i) هي معادلة خطية ويمكن كتابة المتغيرين ، $ x $ و $ y $ ، في شكل مصفوفة على النحو التالي:

تصبح المعادلة (i)
[يبدأ Rightarrow ax + by = & # 8211 c Rightarrow left [ right] = left [<& # 8211 c> right] end ]

يمكن كتابتها كذلك كـ
[يبدأ Rightarrow left [< start<*<20>> أ & ampb النهاية> right] left [< begin<*<20>> x y end> right] = left [<& # 8211 c> right] AX = C end ] حيث $ A = left [< begin<*<20>> أ & ampb النهاية> right] $ هي مصفوفة المعامل ، $ X = left [< begin<*<20>> x y end> right] $ مصفوفة متغيرة و $ C = left [<& # 8211 c> right] $ هي المصفوفة الثابتة.

الآن سنناقش نظام معادلتين في شكل مصفوفة.

نظام من معادلتين خطيتين
ضع في اعتبارك أن نظام معادلتين للخطوط المستقيمة يُعطى على النحو التالي:
[يبدأ x + ذ + = 0 ، ، ، ، < text <& # 8211 & # 8211 & # 8211 >> left (< text> يمين) x + ذ + = 0 ، ، ، ، < text <& # 8211 & # 8211 & # 8211 >> left (<< text>> يمين) نهاية ]

المعادلة (1) و (2) معادلات خطية ، ويمكن كتابة متغيرين ، $ x $ و $ y $ ، في شكل مصفوفة على النحو التالي:


نظام المعادلات والمصفوفات

حسنًا ، أحتاج إلى بعض المساعدة. لدي هذه المشاكل اللفظية التي يجب علي القيام بها من أجل الواجب المنزلي ، مثل هذا:

تستخدم ساحة Arcadium ardcade في Lynchburg بولاية تينيسي 3 رموز ملونة مختلفة لآلات الألعاب الخاصة بهم. مقابل 20 دولارًا ، يمكنك شراء أي من مزيج الرموز التالية: 14 ذهبًا و 20 فضية و 24 برونزًا أو 20 ذهبية و 15 فضية و 19 برونزية أو 30 ذهبية و 5 فضية و 13 برونزية.

تخبرني هذه المسائل أن أكتب نظام معادلات (وقد فعلت!) ، وهو:

14 س + 20 ص + 24 ع = 20
20 س + 15 ص + 19 ع = 20
30x + 5y + 13z + 20

يمثل x قيمة الذهب
يمثل y قيمة الفضة
يمثل z قيمة البرونز

ثم اضطررت إلى تمثيل النظام كمصفوفة ، وهي:

14 20 24 × 20
20 15 19 ذ 20
30 5 13 ض 20

كل ما أريد معرفته هو كيف يمكنني معرفة القيمة النقدية لكل توكن؟ هل يستطيع أحد أن يشرح لي كيف أفعل ذلك؟

سوبوتوش خان

سوبر وسيط

حسنًا ، أحتاج إلى بعض المساعدة. لدي هذه المشاكل اللفظية التي يجب علي القيام بها من أجل الواجب المنزلي ، مثل هذا:

تستخدم ساحة Arcadium ardcade في Lynchburg بولاية تينيسي 3 رموز ملونة مختلفة لآلات الألعاب الخاصة بهم. مقابل 20 دولارًا ، يمكنك شراء أي من مزيج الرموز التالية: 14 ذهبًا و 20 فضية و 24 برونزًا أو 20 ذهبية و 15 فضية و 19 برونزية أو 30 ذهبية و 5 فضية و 13 برونزية.

تخبرني هذه المسائل أن أكتب نظام معادلات (وقد فعلت!) ، وهو:

14 س + 20 ص + 24 ع = 20
20 س + 15 ص + 19 ع = 20
30x + 5y + 13z + 20

يمثل x قيمة الذهب
يمثل y قيمة الفضة
يمثل z قيمة البرونز

ثم اضطررت إلى تمثيل النظام كمصفوفة ، وهي:

14 20 24 × 20
20 15 19 ذ 20
30 5 13 ض 20

كل ما أريد معرفته هو كيف يمكنني معرفة القيمة النقدية لكل توكن؟ هل يستطيع أحد أن يشرح لي كيف أفعل ذلك؟

لمراجعة سريعة - يرجى الذهاب إلى:

هالسوفيفي

عضو النخبة

لماذا ا هل كتبتها كمصفوفة؟ هذه طريقة جيدة تمامًا ولكن حقيقة أنك ذكرت & quotmatrices & quot تجعلني أعتقد أنك يجب أن تعرف شيئًا عنها!

لديك ( displaystyle begin14 & amp 20 & amp 24 20 & amp 15 & amp 19 30 & amp 5 & amp 13 endيبدأx y z end= ابدأ20 20 20 نهاية)
عند كتابته على هذا النحو ، فإن الشيء الواضح الذي يجب فعله هو العثور على ملف معكوس مصفوفة معامل المصفوفة ، ثم اضرب كلا الجانبين في ذلك. أي يمكنك حل Ax = b بضرب كلا الجانبين في ( displaystyle A ^ <-1> ): ( displaystyle A ^ <-1> Ax = x = A ^ <-1> x ) ،

هناك طريقة أخرى لحل نظام من المعادلات مثل كتابة المصفوفة & quotaugmented & quot:
( displaystyle begin14 أمبير 20 أمبير 24 أمبير 20 20 أمبير 15 أمبير 19 أمبير 20 30 أمبير 5 أمبير 13 أمبير 20 نهاية)
و & quotrow تقليل & quot بحيث تكون الأعمدة الثلاثة الأولى ( displaystyle begin 1 & amp 0 & amp 0 0 & amp 1 & amp 0 0 & amp 0 & amp 1 end) وسيعطي العمود الأخير x و y و z.

لكنني سأعترف بأنني شخصياً لن أستخدم & quotmatrices & quot على الإطلاق. من المعادلة ( displaystyle 14x + 20y + 24z = 20 ) يمكننا القسمة على 2 للحصول على ( displaystyle 7x + 10y + 12z = 10 ). المعادلة الثانية هي ( displaystyle 20x + 15y + 19z = 20 ). إذا ضربنا هذه المعادلة في 2 ، فإن المعادلة الأولى في 3 ، وطرحنا الثانية من الأولى ، نحصل على ( displaystyle (40x + 30y + 38z) - (21x + 30y + 36z) = 60-20 ) أو ( () displaystyle 19x + 2z = 40 ) ، مما يستبعد y. الطرح ( displaystyle 7x + 10y + 12x = 10 ) من ، على سبيل المثال ، ضعف المعادلة الثالثة ، ( displaystyle 60x + 10y + 26z = 40 ) ، للحصول على ( displaystyle 53x + 14z = 30 ). الآن لدينا معادلتان في مجهولين. عالج هذه المعادلات للتخلص من واحدة منها.


مقدمة في المصفوفات وأنظمة المعادلات


المصفوفة هي مجموعة مستطيلة من الأرقام مرتبة في صفوف وأعمدة. نسمي كل رقم في هذه المصفوفة عنصر المصفوفة. عندما نكتب مصفوفة ، نضع المصفوفة بين قوسين. تأتي المصفوفات (الجمع) بأحجام عديدة ، يحددها عدد الصفوف وعدد الأعمدة. إذا كانت المصفوفة تحتوي على n من الصفوف والأعمدة m ، فإننا نقول إن حجم المصفوفة هو م × ن، اقرأ & quotm بواسطة n & quot. فيما يلي أمثلة لمصفوفات بأحجام مختلفة.

عندما نقوم بتعداد صفوف وأعمدة مصفوفة معينة ، فإننا نحسب الصفوف من أعلى إلى أسفل ونعد الأعمدة من اليسار إلى اليمين ، وبما أن المصفوفة عبارة عن مصفوفة من الأرقام ، فغالبًا ما نرى المصفوفات المستخدمة لتسجيل المعلومات ، خاصةً إذا كانت الصفوف والأعمدة من يمكن فهم المصفوفة لتمثيل الفئات. على هذا النحو ، يمكننا بالتأكيد استخدام المصفوفات لتسجيل المعلومات ذات الصلة حول نظام المعادلات الخطية - معاملات المتغيرات وكذلك الثوابت على الجانب الأيمن من المعادلات في النظام.

نعتمد هنا اصطلاحًا لاستخدام المتغيرات المقيدة بدلاً من متغيرات الحروف الفردية لتجنب الصعوبات المحتملة في عدد الحروف المتاحة. نقوم ببناء مصفوفة 2 × 3 ، تسمى المصفوفة المعززة للنظام ، حيث يمثل كل صف معلومات لمعادلة معينة ويمثل كل عمود إما معاملات متغير أو ثوابت على الجانب الأيمن من المعادلات.

نكتب هذه المصفوفة على النحو التالي.

لاحظ التطابق بين صفوف هذه المصفوفة والمعادلات في النظام وكذلك التطابق بين أعمدة المصفوفة والمعاملات والمصطلحات الثابتة في المعادلات. ليس للخط العمودي أي غرض حقيقي سوى أن يكون بمثابة تذكير مرئي لموقع علامات المساواة في النظام وبالتالي فصل بين معاملات المتغيرات والثوابت على الجانب الأيمن من المعادلات. قبل الخوض في استخدام هذه المصفوفات المعززة التي تمثل الأنظمة ، سنتوقف قليلاً لتقديم بعض المصطلحات والترميز. تذكر أنه في طريقة الحذف كانت لدينا ثلاث عمليات يمكننا استخدامها لإنتاج أنظمة مكافئة من المعادلات الخطية. لدينا مجموعة مماثلة من عمليات الصفوف التي نقوم بها على المصفوفات. نقول إن مصفوفتين مكافئتان للصف إذا تم الحصول على إحداهما من الأخرى عن طريق تسلسل عمليات الصفوف. هذه العمليات هي كما يلي:

  • استبدل أي صفين.
  • اضرب (جميع العناصر في) صف بأي ثابت غير صفري واستبدل هذا الصف بالنتيجة.
  • اضرب (جميع العناصر في) صف بأي ثابت وأضف (العناصر المقابلة) إلى أي صف آخر ، واستبدل الصف الثاني في هذا المجموع بالنتيجة.

يؤدي إجراء أي تسلسل من هذه العمليات إلى مصفوفة مكافئة للصف.

لاحظ التشابه بين هذه العمليات والعمليات المستخدمة في طريقة الحذف. نستخدم ترميزًا مختزلاً مشابهًا للإشارة إلى إجراء عملية صف معينة أيضًا.

تدوين لعمليات الصف


في الحالة التي تكون فيها المصفوفة هي المصفوفة المعززة التي تمثل نظام المعادلات الخطية ، فإن إجراء عملية صف على المصفوفة يكافئ إجراء العملية المقابلة على نظام المعادلات. لذلك ، تمثل المصفوفات المكافئة للصف أنظمة مكافئة للمعادلات الخطية. لتوضيح كيفية استخدام المصفوفات المعززة لإيجاد حلول لأنظمة المعادلات الخطية ، سنعرض عمليات متوازية في طريقة الحذف وعمليات الصف المقابلة.


شاهد الفيديو: حل الأنظمة الخطية باستخدام المصفوفات. الرياضيات. المصفوفات (شهر نوفمبر 2021).