مقالات

14.5 هـ: تمارين للقسم 14.5 - الرياضيات


في التدريبات من 1 إلى 8 ، احسب التكاملات الثلاثية ( displaystyle iiint_E f (x، y، z) ، dV ) على المجسم (E )

1. (f (x، y، z) = z، quad B = big {(x، y، z) ، | ، x ^ 2 + y ^ 2 leq 9، quad x leq 0، quad y leq 0، quad 0 leq z leq 1 big } )

إجابه:
( فارك {9 بي} {8} )

2. (f (x، y، z) = xz ^ 2، space B = big {(x، y، z) ، | ، x ^ 2 + y ^ 2 leq 16، space x geq 0، space y leq 0، space -1 leq z leq 1 big } )

3. (f (x، y، z) = xy، space B = big {(x، y، z) ، | ، x ^ 2 + y ^ 2 leq 1، space x geq 0، space x geq y، space -1 leq z leq 1 big } )

إجابه:
( فارك {1} {8} )

4. (f (x، y، z) = x ^ 2 + y ^ 2، space B = big {(x، y، z) ، | ، x ^ 2 + y ^ 2 leq 4، space x geq 0، space x leq y، space 0 leq z leq 3 big } )

5. (f (x، y، z) = e ^ { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}، space B = big {(x، y، z) ، | ، 1 leq x ^ 2 + y ^ 2 leq 4، space y leq 0، space x leq y sqrt {3}، space 2 leq z leq 3 big } )

إجابه:
( frac { pi e ^ 2} {6} )

6. (f (x، y، z) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}، space B = big {(x، y، z) ، | ، 1 leq x ^ 2 + y ^ 2 leq 9، space y leq 0، space 0 leq z leq 1 big } )

7. أ. لنفترض أن (B ) عبارة عن غلاف أسطواني نصف قطر داخلي (أ ) نصف قطر خارجي (ب ) وارتفاع (ج ) حيث (0 <أ <ب ) و (ج> 0 ). افترض أنه يمكن التعبير عن دالة (F ) محددة في (B ) بإحداثيات أسطوانية كـ (F (x ، y ، z) = f (r) + h (z) ) ، حيث (f ) و (ح ) وظائف قابلة للتفاضل. إذا كان ( displaystyle int_a ^ b bar {f} (r) ، dr = 0 ) و ( bar {h} (0) = 0 ) ، حيث ( bar {f} ) و ( bar {h} ) هما مشتقات عكسية لـ (f ) و (h ) ، على التوالي ، أظهر أن ( displaystyle iiint_B F (x، y، z) ، dV = 2 pi ج (b bar {f} (b) - a bar {f} (a)) + pi (b ^ 2 - a ^ 2) bar {h} (c). )

ب. استخدم النتيجة السابقة لتوضيح أن ( displaystyle iiint_B left (z + sin sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} right) ، dx space dy space dz = 6 pi ^ 2 ( pi - 2) ، ) حيث (B ) عبارة عن غلاف أسطواني نصف قطر داخلي ( pi ) نصف قطر خارجي (2 pi ) ، وارتفاع (2 ).

8. لنفترض أن (B ) عبارة عن غلاف أسطواني نصف قطر داخلي (أ ) نصف قطر خارجي (ب ) وارتفاع (ج ) حيث (0 <أ <ب ) و (ج> 0 ). افترض أنه يمكن التعبير عن دالة (F ) محددة في (B ) بإحداثيات أسطوانية كـ (F (x ، y ، z) = f (r) g ( theta) f (z) ) ، حيث (f ، space g ، ) و (h ) هي وظائف قابلة للتفاضل. إذا كان ( displaystyle int_a ^ b tilde {f} (r) ، dr = 0، ) حيث ( tilde {f} ) هو مشتق عكسي لـ (f ) ، أظهر ذلك ( displaystyle iiint_B F (x، y، z) ، dV = [b tilde {f} (b) - a tilde {f} (a)] [ tilde {g} (2 pi) - tilde {g} (0)] [ tilde {h} (c) - tilde {h} (0)]، ) حيث ( tilde {g} ) و ( tilde {h} ) هي المشتقات العكسية لـ (ز ) و (ح ) على التوالي.

ب. استخدم النتيجة السابقة لتوضيح أن ( displaystyle iiint_B z sin sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ، dx space dy space dz = - 12 pi ^ 2،) حيث (B ) عبارة عن غلاف أسطواني نصف قطر داخلي ( pi ) نصف قطر خارجي (2 pi ) وارتفاع (2 ).

في التدريبات 9-12 ، حدود المجسم (E ) موضحة بإحداثيات أسطوانية.

أ. عبر عن المنطقة (هـ ) بإحداثيات أسطوانية.

ب. حول التكامل ( displaystyle iiint_E f (x، y، z) ، dV ) إلى إحداثيات أسطوانية.

9. (E ) يحدها الأسطوانة الدائرية اليمنى (r = 4 sin theta ) ، (r theta ) - الطائرة ، والكرة (r ^ 2 + z ^ 2 = 16 ).

إجابه:

أ. (E = big {(r، theta، z) ، | ، 0 leq theta leq pi، space 0 leq r leq 4 sin theta، space 0 leq z leq sqrt {16 - r ^ 2} big } )

ب. ( displaystyle int_0 ^ { pi} int_0 ^ {4 sin theta} int_0 ^ { sqrt {16-r ^ 2}} f (r، theta، z) r ، dz space الدكتور الفضاء د ثيتا )

10. (E ) يحدها الأسطوانة الدائرية اليمنى (r = cos theta ) ، (r theta ) - الطائرة ، والكرة (r ^ 2 + z ^ 2 = 9 ).

11. (E ) يقع في الثماني الأول ويحده مكافئ دائري (z = 9 - 3r ^ 2 ) ، والأسطوانة (r = sqrt {3} ) ، والمستوى (ص ( كوس ثيتا + خطيئة ثيتا) = 20 - ض ).

إجابه:

أ. (E = big {(r، theta، z) ، | ، 0 leq theta leq frac { pi} {2}، space 0 leq r leq sqrt {3 } ، space 9 - r ^ 2 leq z leq 10 - r ( cos theta + sin theta) big } )

ب. ( displaystyle int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ { sqrt {3}} int_ {9-r ^ 2} ^ {10-r ( cos theta + sin theta)} و (r، theta، z) r space dz space dr space d theta )

12. (E ) يقع في الثماني الأول خارج مكافئ دائري (z = 10 - 2r ^ 2 ) وداخل الاسطوانة (r = sqrt {5} ) ويحدها أيضًا المستويات (z = 20 ) و ( theta = frac { pi} {4} ).

في التدريبات من 13 إلى 16 ، يتم إعطاء الوظيفة (و ) والمنطقة (هـ ).

أ. عبر عن المنطقة (E ) والوظيفة (f ) بإحداثيات أسطوانية.

ب. حول التكامل ( displaystyle iiint_B f (x، y، z) ، dV ) إلى إحداثيات أسطوانية وقيمها.

13. (f (x، y، z) = x ^ 2 + y ^ 2 )، (E = كبير {(x، y، z) ، | ، 0 leq x ^ 2 + y ^ 2 leq 9، space x geq 0، space y geq 0، space 0 leq z leq x + 3 big } )

إجابه:

أ. (E = big {(r، theta، z) ، | ، 0 leq r leq 3، space 0 leq theta leq frac { pi} {2}، space 0 leq z leq r space cos theta + 3 big } ، )
(f (r، theta، z) = frac {1} {r space cos theta + 3} )

ب. ( displaystyle int_0 ^ 3 int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ {r space cos theta + 3} frac {r} {r space cos theta + 3} ، dz space d theta space dr = frac {9 pi} {4} )

14. (f (x، y، z) = x ^ 2 + y ^ 2، space E = big {(x، y، z) | 0 leq x ^ 2 + y ^ 2 leq 4 ، space y geq 0، space 0 leq z leq 3 - x big } )

15. (f (x، y، z) = x، space E = big {(x، y، z) ، | ، 1 leq y ^ 2 + z ^ 2 leq 9، مسافة 0 leq x leq 1 - y ^ 2 - z ^ 2 big } )

إجابه:

أ. (y = r space cos theta ، space z = r space sin theta ، space x = z ، space E = كبير {(r ، theta ، z) ، | ، 1 leq r leq 3، space 0 leq theta leq 2 pi ، space 0 leq z leq 1 - r ^ 2 big } ، space f (r ، theta ، z ) = ض ) ؛

ب. ( displaystyle int_1 ^ 3 int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ {1-r ^ 2} zr space dz space d theta space dr = frac {356 pi} {3} )

16. (f (x، y، z) = y، space E = big {(x، y، z) ، | ، 1 leq x ^ 2 + z ^ 2 leq 9، مسافة 0 leq y leq 1 - x ^ 2 - z ^ 2 big } )

في التدريبات من 17 إلى 24 ، أوجد حجم المجسم (E ) الذي ترد حدوده بإحداثيات مستطيلة.

17. (E ) أعلى مستوى (س ص ) - داخل الأسطوانة (س ^ 2 + ص ^ 2 = 1 ) ، وأسفل المستوى (ض = 1 ).

إجابه:
( بي )

18. (E ) أسفل المستوى (z = 1 ) وداخل مكافئ (z = x ^ 2 + y ^ 2 ).

19. يحد (E ) مخروط دائري (z = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) و (z = 1 ).

إجابه:
( frac { pi} {3} )

20. (E ) يقع فوق (xy ) - المستوى ، أسفل (z = 1 ) ، خارج القطعة الزائدة أحادية الورقة (x ^ 2 + y ^ 2 - z ^ 2 = 1 ) وداخل الاسطوانة (س ^ 2 + ص ^ 2 = 2 ).

21. (E ) يقع داخل الاسطوانة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) وبين الأشكال المكافئة الدائرية (z = 1 - x ^ 2 - y ^ 2 ) و (z = س ^ 2 + ص ^ 2 ).

إجابه:
( بي )

22. (E ) يقع داخل الكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 ) ، فوق المستوى (xy ) ، وداخل المخروط الدائري (z = ) الجذر التربيعي {x ^ 2 + y ^ 2} ).

23. (E ) يقع خارج المخروط الدائري (x ^ 2 + y ^ 2 = (z - 1) ^ 2 ) وبين المستويات (z = 0 ) و (z = 2 ) ).

إجابه:
( فارك {4 بي} {3} )

24. (E ) يقع خارج المخروط الدائري (z = 1 - sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) ، أعلى مستوى (xy ) - ، أسفل مكافئ دائري ، وبين الطائرات (ض = 0 ) و (ض = 2 ).

25. [T] استخدم نظام الجبر الحاسوبي (CAS) لرسم بياني على المادة الصلبة التي يتم تحديد حجمها من خلال التكامل المتكرر في الإحداثيات الأسطوانية ( displaystyle int _ {- pi / 2} ^ { pi / 2} int_0 ^ 1 int_ {r ^ 2} ^ rr ، dz ، dr ، d theta. ) ابحث عن وحدة التخزين (V ) للمادة الصلبة. قرب إجابتك لأقرب أربع منازل عشرية.

إجابه:

(V = frac {pi} {12} حوالي 0.2618 )

26. [T] استخدم CAS لرسم بياني على المادة الصلبة التي يتم تحديد حجمها من خلال التكامل المتكرر في الإحداثيات الأسطوانية ( displaystyle int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ 1 int_ {r ^ 4} ^ rr ، dz ، dr ، d theta. ) أوجد حجم (E ) من المادة الصلبة. قرب إجابتك لأقرب أربع منازل عشرية.

27. تحويل ( displaystyle int_0 ^ 1 int _ {- sqrt {1-y ^ 2}} ^ { sqrt {1-y ^ 2}} int_ {x ^ 2 + y ^ 2} ^ { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} xz space dz space dx space dy ) في جزء لا يتجزأ من الإحداثيات الأسطوانية.

إجابه:
( displaystyle int_0 ^ 1 int_0 ^ { pi} int_ {r ^ 2} ^ r zr ^ 2 space cos theta ، dz space d theta space dr )

28. حوّل التكامل ( displaystyle int_0 ^ 2 int_0 ^ y int_0 ^ 1 (xy + z) ، dz space dx space dy ) إلى تكامل في إحداثيات أسطوانية.

في التدريبات 29-32 ، احسب التكامل الثلاثي ( displaystyle iiint_B f (x، y، z) ، dV ) على (B ).

29. (f (x، y، z) = 1، space B = big {(x، y، z) ، | ، x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 leq 90، مساحة z geq 0 كبير } )

[إخفاء الحل]

إجابه:
(180 pi sqrt {10} )

30. (f (x، y، z) = 1 - sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}، space B = big {(x، y، z) ، | ، x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 leq 9، space y geq 0، space z geq 0 big } )

31. (f (x، y، z) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}، space B ) يحدها من الأعلى بنصف الكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 9 ) مع (z geq 0 ) وأدناه بالمخروط (2z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ).

إجابه:
( frac {81 pi ( pi - 2)} {16} )

32. (f (x، y، z) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}، space B ) يحدها من الأعلى بنصف الكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 16 ) مع (z geq 0 ) وأدناه بالمخروط (2z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ).

33. أظهر أنه إذا كانت (F ( rho، theta، varphi) = f ( rho) g ( theta) h ( varphi) ) هي دالة مستمرة في المربع الكروي (B = big {( rho، theta، varphi) ، | ، a leq rho leq b، space alpha leq theta leq beta، space gamma leq varphi leq psi big } ) ثم ( displaystyle iiint_B F space dV = left ( int_a ^ b rho ^ 2 f ( rho) space dr right) left ( int _ { alpha } ^ { beta} g ( theta) space d theta right) left ( int _ { gamma} ^ { psi} h ( varphi) space sin varphi space d varphi حق).)

34. يقال أن الوظيفة (F ) لها تناظر كروي إذا كانت تعتمد على المسافة إلى الأصل فقط ، أي يمكن التعبير عنها في إحداثيات كروية كـ (F (x، y، z) = f ( rho) ) ، حيث ( rho = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} ). بيّن أن ( displaystyle iiint_B F (x، y، z) ، dV = 2 pi int_a ^ b rho ^ 2 f ( rho) ، d rho،) حيث (B ) هي المنطقة الواقعة بين نصفي الكرة الأرضية الأعلى متحدة المركز من نصف القطر (أ ) و (ب ) متمركزة في الأصل ، مع (0 <أ <ب ) و (F ) دالة كروية محددة في (ب) ).

استخدم النتيجة السابقة لتوضيح أن ( displaystyle iiint_B (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} dV = 21 pi،) حيث (B = big {(x، y، z) ، | ، 1 leq x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 leq 2، space z geq 0 big } ) .

35. اسمحوا (B ) أن تكون المنطقة الواقعة بين نصفي الكرة الأرضية العلويين من أنصاف الأقطار أ و ب تتمحور في الأصل وتقع في الثماني الأول ، حيث (0 F وظيفة محددة على ب شكلها في الإحداثيات الكروية (( rho، theta، varphi) ) هو (F (x، y، z) = f ( rho) cos varphi ). أظهر ذلك إذا (g (a) = g (b) = 0 ) و ( displaystyle int_a ^ bh ( rho) ، d rho = 0، ) ثم (displaystyle iiint_B F ( x، y، z) ، dV = frac { pi ^ 2} {4} [ah (a) - bh (b)]، ) حيث (g ) هو مشتق عكسي لـ (f ) و (ح ) مشتق عكسي لـ (ز ).

استخدم النتيجة السابقة لتوضيح أن ( displaystyle iiint_B = frac {z cos sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} ، dV = frac {3 pi ^ 2} {2}، ) حيث (B ) هي المنطقة الواقعة بين نصفي الكرة الأرضية العلويين من أنصاف أقطار ( pi ) و (2 بي) ) متمركزة في الأصل وتقع في الثماني الأول.

في التدريبات 36-39 ، يتم إعطاء الوظيفة (و ) والمنطقة (هـ ).

أ. عبر عن المنطقة (E ) والوظيفة (f ) بإحداثيات أسطوانية.

ب. حول التكامل ( displaystyle iiint_B f (x، y، z) ، dV ) إلى إحداثيات أسطوانية وقيمها.

36. (f (x، y، z) = z؛ space E = big {(x، y، z) ، | ، 0 leq x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 leq 1 ، space z geq 0 كبير } )

37. (f (x، y، z) = x + y؛ space E = big {(x، y، z) ، | ، 1 leq x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 leq 2، space z geq 0، space y geq 0 big } )

إجابه:

أ. (f ( rho، theta، varphi) = rho space sin varphi space ( cos theta + sin theta) ، space E = big {( rho، theta ، varphi) ، | ، 1 leq rho leq 2 ، space 0 leq theta leq pi ، space 0 leq varphi leq frac { pi} {2} big } ) ؛

ب. ( displaystyle int_0 ^ { pi} int_0 ^ { pi / 2} int_1 ^ 2 rho ^ 3 cos varphi space sin varphi space d rho space d varphi space د ثيتا = فارك {15 بي} {8} )

38. (f (x، y، z) = 2xy؛ space E = big {(x، y، z) ، | ، sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} leq z leq sqrt {1 - x ^ 2 - y ^ 2} ، space x geq 0 ، space y geq 0 big } )

39. (f (x، y، z) = z؛ space E = big {(x، y، z) ، | ، x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 - 2x leq 0، space sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} leq z big } )

إجابه:

أ. (f ( rho، theta، varphi) = rho space cos varphi؛ space E = big {( rho، theta، varphi) ، | ، 0 leq rho leq 2 space cos varphi ، space 0 leq theta leq frac { pi} {2} ، space 0 leq varphi leq frac { pi} {4} big } ) ؛

ب. ( displaystyle int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ { pi / 4} int_0 ^ {2 space cos varphi} rho ^ 3 sin varphi space cos varphi space د rho space d varphi space d theta = frac {7 pi} {24} )

في التدريبات 40-41 ، أوجد حجم المجسم (E ) الذي ترد حدوده بإحداثيات مستطيلة.

40. (E = big {(x، y، z) ، | ، sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} leq z leq sqrt {16 - x ^ 2 - y ^ 2 }، space x geq 0، space y geq 0 big } )

41. (E = big {(x، y، z) ، | ، x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 - 2z leq 0، space sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} leq z كبير } )

إجابه:
( frac { pi} {4} )

42. استخدم الإحداثيات الكروية للعثور على حجم الجسم الصلب الموجود خارج الكرة ( rho = 1 ) وداخل الكرة ( rho = cos varphi ) ، مع ( varphi in [0 ، frac { pi} {2}] ).

43. استخدم الإحداثيات الكروية لإيجاد حجم الكرة ( rho leq 3 ) الواقعة بين الأقماع ( varphi = frac { pi} {4} ) و ( varphi = frac { pi} {3} ).

إجابه:
(9 بي ( الجذر التربيعي {2} - 1) )

44. تحويل التكامل ( displaystyle int _ {- 4} ^ 4 int _ {- sqrt {16-y ^ 2}} ^ { sqrt {16-y ^ 2}} int _ {- sqrt { 16-x ^ 2-y ^ 2}} ^ { sqrt {16-x ^ 2-y ^ 2}} (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ، dz ، dx ، dy ) في الإحداثيات الكروية.

45. تحويل التكامل ( displaystyle int_0 ^ 4 int_0 ^ { sqrt {16-x ^ 2}} int _ {- sqrt {16-x ^ 2-y ^ 2}} ^ { sqrt { 16-x ^ 2-y ^ 2}} (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ 2 ، dz space dy space dx ) في جزء لا يتجزأ من الإحداثيات الكروية.

إجابه:
( displaystyle int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ 4 rho ^ 6 sin varphi ، d rho ، d phi ، d theta )

47. [T] استخدم CAS لرسم بياني على الجسم الذي يتم تحديد حجمه من خلال التكامل المتكرر في الإحداثيات الكروية ( displaystyle int _ { pi / 2} ^ { pi} int_ {5 pi} ^ { pi / 6} int_0 ^ 2 rho ^ 2 sin varphi space d rho space d varphi space d theta. ) ابحث عن وحدة التخزين (V ) للمادة الصلبة. قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

إجابه:

(V = frac {4 pi sqrt {3}} {3} حوالي 7.255 )

48. [T] استخدم CAS لرسم بياني على الجسم الذي يتم تحديد حجمه من خلال التكامل المتكرر في الإحداثيات الكروية مثل ( displaystyle int_0 ^ {2 pi} int_ {3 pi / 4} ^ { pi / 4} int_0 ^ 1 rho ^ 2 sin varphi space d rho space d varphi space d theta. ) أوجد الحجم (V ) للمادة الصلبة. قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

49. [T] استخدم CAS لتقييم التكامل ( displaystyle iiint_E (x ^ 2 + y ^ 2) ، dV ) حيث يقع (E ) فوق المكافئ (z = x ^ 2 + y ^ 2 ) وتحت المستوى (z = 3y ).

إجابه:
( فارك {343 بي} {32} )

50. [T]

أ. احسب التكامل ( displaystyle iiint_E e ^ { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} ، dV، ) حيث (E ) يحده كرات (4x ^ 2 + 4y ^ 2 + 4z ^ 2 = 1 ) و (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 ).

ب. استخدم CAS لإيجاد تقريب التكامل السابق. حول إجابتك بفاصلتين.

51. عبر عن حجم المادة الصلبة داخل الكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 16 ) وخارج الاسطوانة (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) على شكل تكاملات ثلاثية في شكل أسطواني. الإحداثيات والإحداثيات الكروية ، على التوالي.

إجابه:
( displaystyle int_0 ^ {2 pi} int_2 ^ 4 int _ {- sqrt {16 − r ^ 2}} ^ { sqrt {16 − r ^ 2}} r ، dz ، dr و dθ ) و ( displaystyle int _ { pi / 6} ^ {5 pi / 6} int_0 ^ {2 pi} int_ {2 csc phi} ^ {4} rho ^ 2 sin rho ، d rho ، d theta ، d phi )

52. عبر عن حجم المادة الصلبة داخل الكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 16 ) وخارج الاسطوانة (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) الموجودة في الثماني الأول كتكامل ثلاثي في ​​الإحداثيات الأسطوانية والإحداثيات الكروية ، على التوالي.

53. للقدرة المنبعثة من الهوائي كثافة قدرة لكل وحدة حجم معطاة في إحداثيات كروية بواسطة (p ( rho، theta، varphi) = frac {P_0} { rho ^ 2} cos ^ 2 theta space sin ^ 4 varphi ) ، حيث (P_0 ) ثابت بوحدات الواط. تُعرَّف القدرة الكلية داخل الكرة (B ) من نصف القطر (r ) متر على أنها ( displaystyle P = iiint_B p ( rho، theta، varphi) ، dV. ) أوجد الإجمالي قوة (ف ).

إجابه:
(P = frac {32P_0 pi} {3} ) واط

54. استخدم التمرين السابق لإيجاد القدرة الكلية داخل كرة (B ) نصف قطرها 5 أمتار عندما تُعطى كثافة القدرة لكل وحدة حجم بواسطة (p ( rho، theta، varphi) = frac { 30} { rho ^ 2} cos ^ 2 theta sin ^ 4 varphi ).

55. سحابة شحن موجودة في كرة (B ) نصف قطر (r ) سم متمركزة في الأصل لها كثافة شحنتها المعطاة بـ (q (x، y، z) = k sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} frac { mu C} {cm ^ 3} ) ، حيث (k> 0 ). الشحنة الإجمالية الواردة في (B ) معطاة من خلال ( displaystyle Q = iiint_B q (x، y، z) ، dV. ) أوجد الشحنة الإجمالية (Q ).

إجابه:
(س = كرون ^ 4 بي مو C )

56. استخدم التمرين السابق للعثور على سحابة الشحن الإجمالية الموجودة في كرة الوحدة إذا كانت كثافة الشحن (q (x، y، z) = 20 sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} فارك { mu C} {سم ^ 3} ).

المساهمون

جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


17 CFR § 240.14a-5 - عرض المعلومات في بيان الوكيل.

(أ) يجب تقديم المعلومات الواردة في بيان التوكيل بوضوح وتقسم البيانات التي تم الإدلاء بها إلى مجموعات حسب الموضوع ، ويجب أن تسبق مجموعات البيانات المختلفة عناوين مناسبة. لا يلزم اتباع ترتيب العناصر والعناصر الفرعية في الجدول. حيثما كان ذلك ممكنًا ومناسبًا ، يجب تقديم المعلومات في شكل جدول. يجب ذكر جميع المبالغ بالأرقام. لا يلزم تكرار المعلومات المطلوبة من قبل أكثر من عنصر واحد قابل للتطبيق. لا يلزم الإدلاء ببيان ردًا على أي عنصر أو عنصر فرعي غير قابل للتطبيق.

(ب) يمكن ذكر أي معلومات مطلوب تضمينها في بيان التوكيل فيما يتعلق بشروط الأوراق المالية أو أي موضوع آخر يجب تحديده في المستقبل من وجهة نظر الضرورة العملية من حيث المعرفة والنية الحالية. إلى الحد الممكن عمليًا ، يجب أن تكون السلطة التي تُمنح فيما يتعلق بكل مسألة من هذا القبيل محصورة في حدود مرتبطة بشكل معقول بالحاجة إلى سلطة تقديرية. مع مراعاة ما سبق ، يمكن حذف المعلومات غير المعروفة للأشخاص الذين سيتم تقديم الالتماس نيابةً عنهم والتي ليس من المعقول أن يتم التحقق منها أو الحصول عليها من هؤلاء الأشخاص ، إذا تم تقديم بيان موجز بالظروف هذه المعلومات غير متوفرة.

(ج) يجوز حذف أي معلومات واردة في أي مادة أخرى تطلب الوكيل والتي تم تقديمها لكل شخص تم التماسه فيما يتعلق بالاجتماع نفسه أو الموضوع من بيان الوكيل ، إذا تم الإشارة بوضوح إلى المستند المعين الذي يحتوي على هذه المعلومات .

(1) يجب أن تكون جميع بيانات التوكيل المطبوعة مكتوبة باللاتينية على الأقل بحجم كبير ومقروء مثل النوع الحديث المكون من 10 نقاط ، فيما عدا ذلك بالقدر اللازم لعرض البيانات المالية المريحة والبيانات المجدولة الأخرى ، ولكن ليس الملاحظات عليها ، قد تكون في الكتابة الرومانية على الأقل بحجم كبير ومقروء مثل الكتابة الحديثة المكونة من 8 نقاط. يجب أن يقود كل هذا النوع على الأقل نقطتين.

(2) عندما يتم تسليم بيان التوكيل من خلال وسيط إلكتروني ، قد يفي المُصدرون بمتطلبات الوضوح المطبقة على المستندات المطبوعة ، مثل حجم النوع والخط ، من خلال تقديم جميع المعلومات المطلوبة بتنسيق يتم إبلاغ المستثمرين به بسهولة.

(هـ) يجب أن تفصح جميع بيانات الوكيل ، تحت عنوان مناسب ، عن التواريخ التالية:

(1) الموعد النهائي لتقديم مقترحات المساهمين لإدراجها في بيان التوكيل الخاص بالمسجل وشكل التوكيل للاجتماع السنوي التالي للمسجل ، محسوبًا بالطريقة المنصوص عليها في § 240.14a-8 (e) (السؤال 5)

(2) التاريخ الذي يتم بعده اعتبار إشعار اقتراح المساهم المقدم خارج العمليات الواردة في §240.14a-8 غير مناسب ، إما محسوبًا بالطريقة المنصوص عليها في §240.14a-4 (c) (1) أو وفقًا لما حدده صاحب التسجيل توفير إشعار مسبق ، إن وجد ، مصرح به بموجب قانون الولاية المعمول به و

(3) الموعد النهائي لتقديم المرشحين لإدراجهم في بيان الوكيل الخاص بالمسجل وشكل الوكيل وفقًا للمادة 240.14a-11 ، أو شرط دولة أو قانون أجنبي معمول به ، أو المستندات الحاكمة للمسجل من حيث صلتها بإدراج مرشحي مدير المساهمين في مواد الوكيل الخاصة بمسجل النطاق للاجتماع السنوي التالي للمساهمين للمسجل.

(و) إذا تم تقديم موعد الاجتماع السنوي التالي أو تأجيله لاحقًا لأكثر من 30 يومًا تقويميًا من تاريخ الاجتماع السنوي الذي يتعلق به بيان الوكيل ، يجب على المسجل ، في الوقت المناسب ، إبلاغ المساهمين بهذا التغيير ، والتواريخ الجديدة المشار إليها في الفقرتين (هـ) (1) و (هـ) (2) من هذا القسم ، من خلال تضمين إشعار ، تحت البند 5 ، في أقرب تقرير ربع سنوي ممكن بشأن النموذج 10-Q (§ 249.308a من هذا الفصل) ، أو ، في حالة شركات الاستثمار ، في تقرير المساهمين بموجب § 270.30d-1 من هذا الفصل بموجب قانون شركة الاستثمار لعام 1940 ، أو ، إذا كان ذلك غير عملي ، أي وسيلة محسوبة بشكل معقول لإبلاغ المساهمين.


5E-14.1421. بطاقة التعريف - التحقق من التدريب

1 (1) يجب على المرخص له الاحتفاظ بسجلات تدريب مكتوبة 9 لكل من خمسة (5) أيام (40 ساعة) التدريب الأولي المطلوب في القسم 22 482.091 (3) ، FS ، 24 والتدريب المستمر المطلوب في القسم 31 482.091 (10) ، FS، 33 على جميع حاملي بطاقات الهوية داخل موظفيهم وإتاحة هذه السجلات أثناء التفتيش الروتيني أو بناءً على طلب الإدارة. يجب على المرخص لهم الاحتفاظ بسجل التدريب لمدة عامين على الأقل. 67 يجب أن يتم التدريب المطلوب للقسم 72 482.091 (3)، F.S.، 74 بواسطة مشغل معتمد أو شخص تحت إشراف المشغل المعتمد المسؤول الذي تم تعيينه كتابيًا كمسؤول عن التدريب. يتم التحقق من التدريب الأولي لمدة 40 ساعة من خلال:

112 (أ) استكمال سجل التحقق من تدريب الموظفين الأولي ، (FDACS-13665 ، Rev. 10/15) ، وهو 127 تم اعتماده وإدماجه بموجب المرجع و 134 متاحًا عبر الإنترنت على 137 https://www.flrules.org /Gateway/reference.asp؟No=Ref-07322، 139 أو

140 (ب) سجل مكتوب لـ 40 ساعة من الحضور في دورة تدريبية مع منهج دراسي مكتوب ونسخ من جميع المواد التدريبية المستخدمة في الدورة المتاحة لتفتيش الإدارة.

172 (2) ستقبل الإدارة أيًا مما يلي كتوثيق للتدريب الذي يمكن التحقق منه كما هو مطلوب بموجب القسم 190 482.091 (10) ، ف. 192:

193 (أ) سجل مكتوب للحضور في التحقق من تدريب حامل بطاقة التعريف ، (FDACS-13662 ، Rev. 10/15) ، والذي تم دمجه كمرجع ومتاح عبر الإنترنت على 215 https://www.flrules.org/Gateway/reference. asp؟ No = Ref-07323217 والمقدمة من المرخص له أو المدرب ، مع نسخة كاملة من جميع المواد التدريبية المستخدمة خلال الدورة التدريبية التي تغطي موضوعات التدريب المطلوبة بموجب القسم 245 482.091 (10) ، FS ، 247 أو

248 (ب) سجل مكتوب للحضور في دورة التعليم المستمر للمشغل المعتمد من الإدارة في سجل الحضور لوحدات التعليم المستمر (CEUs) ، (FDACS-13325 ، Rev. 05/04) ، على النحو المعتمد في القاعدة 279 5E-9.029 ، 280 FAC ، ويقدمها المدرب ، فقط إذا كان محتوى الدورة يغطي موضوعات التدريب كما هو مطلوب في القسم 299 482.091 (10) ، FS

301 (3) لأغراض الامتثال للقسم 309 482.091 (10) ، ف.س 311 ، يجب أن تكون مدة كل جلسة تدريب في الفصل 50 دقيقة على الأقل أو ساعة اتصال واحدة. لن يتم قبول ساعات الاتصال الجزئية. تتناول "سلامة مبيدات الآفات" أي جانب من جوانب صياغة المبيدات ومناولتها واستخدامها. قد تشمل الموضوعات النموذجية: أنواع مبيدات الآفات وتركيباتها ، وأعراض التسمم البشري ، وطرق التعرض ومعدات الحماية ، وتخزين المبيدات ، والنقل والاستخدام ، وانجراف الرذاذ ، وجريان المياه الجوفية. تتعامل "الإدارة المتكاملة للآفات" مع أي جانب من جوانب إدارة الآفات. قد تشمل الموضوعات النموذجية: التفتيش (تحديد مواقع الآفات ومراقبتها) ، وتحديد عتبات المعالجة ، وتعديل الصرف الصحي / الموائل ، والحبس ، واستخدام مبيدات الآفات البيولوجية ، ومعدات تطبيق مبيدات الآفات. تتعامل "القوانين والقواعد الفيدرالية المعمول بها والخاصة بالولاية" مع أي جانب من جوانب التنظيم الحكومي لصناعة مكافحة الآفات. قد تتضمن موضوعات الأمثلة: مراجعة متطلبات FIFRA الفيدرالية ، ومراجعة أو مناقشة التعديلات على الفصل 482 ، F. و / أو الفصل 5E-14، F.A.C. ، ومراجعة لوائح الوكالات التنظيمية أو الهيئات التشريعية الأخرى التي تتناول استخدام مبيدات الآفات ، وتخزين / التخلص من النفايات الخطرة و / أو نقلها.

464 (4) المرخص لهم أو المشغلين المعتمدين الذين يتقدمون بطلب للحصول على بطاقات تعريف مفتش تدمير الكائنات الحية للخشب للموظفين وفقًا للمادة 482 482.091 (9) ، FS ، 484 قد يكملون عملية التقديم عبر الإنترنت على http://www.FreshFromFlorida.com ، أو يجب تقديم التدريب الخاص لأداء عمليات التفتيش على الكائنات الحية المدمرة للأخشاب والتحكم في سجل التحقق من التدريب ، (FDACS-13642 ، Rev. 10/15) ، والذي تم اعتماده وإدماجه كمرجع ومتاح عبر الإنترنت على 523 https: //www.flrules .org / Gateway / reference.asp؟ No = Ref-07324، 525 إلى 526 العنوان كما هو موضح في النموذج 533.

534 (5) يجب على موظفي التبخير الذين يشاركون في عمليات التبخير باستخدام مواد التبخير السكنية إكمال تدريب الإشراف الأولي والسنوي كما هو مطلوب من قبل الملصق وسياسة الإشراف على مواد التبخير المنزلية المستخدمة على النحو المحدد في المادة 5E-2، F.A.C. يجب تقديم معلومات التحقق من وحدات التعليم المستمر للتدريب على الإشراف (الأولي أو السنوي) لجميع مواد التبخير السكنية التي يستخدمها موظف التبخير إلى الإدارة سنويًا من خلال 600 http://ceu.freshfromflorida.com، 601 أو عن طريق تقديم السجل من الحضور لوحدات التعليم المستمر (CEUs) ، نموذج FDACS-13325 ، Rev. 10/13 ، والذي تم تضمينه بالإشارة في القاعدة 624 5E-9.029 ، 625 FAC ، عن طريق البريد الإلكتروني 627 إلى [email protected] ، 631 أو الفاكس إلى 7968617-617 (850) بحلول تاريخ تجديد بطاقة هوية موظف التبخير.

645 (6) يجب على المرخص له أو المشغل المعتمد المسؤول عن التبخير التقدم بطلب للحصول على بطاقة هوية تحدد أن الموظف تلقى التدريب المحدد في الفقرة 673 5E-14.108 (3) (ب) ، 674 FAC ، للمساعدة باعتباره ثاني شخص مدرب أثناء استخدام تبخير سكني كما هو موضح في القسم الفرعي 693 5E-14.108 (2) ، 694 FAC يجب أن يكون طلب بطاقة الهوية هذه مع اعتماد التبخير مصحوبًا بإفادة خطية موقعة من حامل بطاقة الهوية المرتقب والمرخص له أو المشغل المعتمد المسؤول عن التبخير ، والذي ينص على أن حامل بطاقة الهوية المرتقب قد تلقى التدريب المطلوب بموجب الفقرة 742 5E-14.108 (3) (ب) ، 743 FAC يجب تقديم الطلب عبر الإنترنت على http://www.FreshFromFlorida.com ، أو عن طريق تقديم تدريب خاص لأداء إفادة خطية بشأن التبخير (FDACS-13002 ، 01/17) ، والتي تم اعتمادها وإدماجها بموجب هذا بالإشارة والمتاحة عبر الإنترنت على 775 https : //www.flrules.org/Gateway/reference.asp؟ No = Ref-07905، 777 على العنوان كما هو موضح في النموذج من أجل الحصول على اعتماد بطاقة تعريف التبخير على بطاقة تعريف الموظف كما هو مطلوب بموجب القسم 803 482.091 ، FS 805 يجب أن يكمل حامل بطاقة الهوية تدريب الإشراف كما هو مطلوب بموجب الملصق وسياسة الإشراف الخاصة بالتبخير (التبخير) السكني المستخدم في غضون 60 يومًا من استلام بطاقة تعريف مصحوبة بتأييد التبخير.

837 سلطة وضع القواعد 839482.051 ، 840482.091 ، 841570.07 (23) FS. 843 قانون مطبق 845482.091 ، 846 482.151 ، 847 570.07 (22) FS. 849 تاريخ - جديد 6-12-02 ، معدل 2-24-09 ، 1-9-17 ، 5-7-17.


14.5 هـ: تمارين للقسم 14.5 - الرياضيات

حلول NCERT للرياضيات للصف 10

حلول لجميع الأسئلة من Maths NCERT ، Class 10

خوارزمية تقسيم يوكليد

خوارزمية تقسيم يوكليد

يقدم Doubtnut.com حلول NCERT كاملة للرياضيات للصف 10 بتنسيق فيديو تعليمي. لتسهيل تعلم الرياضيات وفهمها ، يتم إعداد دروس الفيديو من قبل علماء الرياضيات المحترمين لدينا من IITs المشهورة في الهند. هذه بعض من أفضل المحاضرات عبر الإنترنت حول الرياضيات ، حيث ناقش خبراؤنا مجموعة واسعة من موضوعات الرياضيات للصف العاشر. الرياضيات للصف العاشر كموضوع واسع ، لذلك قمنا بإدراج كل موضوع مهم من خلال فصل فصوله إلى تمارين لاحقة. في دروس الفيديو الخاصة بنا ، ناقشنا & # x27ve الأعداد الحقيقية ، متعددة الحدود ، زوج من المعادلات الخطية في متغيرين ، المعادلات التربيعية ، التعاقب الحسابي ، المثلثات ، الهندسة الإحداثية ، علم المثلثات ، بعض تطبيقات علم المثلثات ، الدوائر ، التركيبات ، المنطقة المتعلقة بالدوائر ، السطح المناطق والأحجام والإحصاءات والاحتمالات والمزيد ...

Cengage Chapterwise Maths Solutions

زوج معادلات خطية في متغيرين

مقدمة في حساب المثلثات

بعض تطبيقات قياس المثلثات

المساحات والأحجام السطحية

الملامح الرئيسية لحلول NCERT للرياضيات للصف 10:

1. بدقة وفقا لإرشادات فحص CBSE.

2. تمارين كاملة الحل لكتاب الرياضيات NCERT للصف 10.

3. تمت الإجابة على الأسئلة من قبل IITians وأفضل علماء الرياضيات في البلاد.

4. الحلول وفقًا لنظام العلامات CBSE.

5. مقاطع الفيديو مليئة بالنصائح والحيل لمساعدتك على اكتساب الميزة التنافسية لاجتياز امتحان المجلس.

يتم إعطاء المخططات لمساعدة الطلاب في تصور الحلول.

تمت تغطية جميع الأسئلة من كل فصل.

يتم إثراء مقاطع الفيديو بنصائح الخبراء ونصائح الرياضيات وحلول الرياضيات خطوة بخطوة لإعطاء تبرير مناسب لكل مشكلة في الرياضيات. سيوفر للطلاب رؤى مفصلة حول كل موضوع مهم. تم إعداد حلول NCERT للصف 10 في الرياضيات باللغة الهندية لتضع الطالب في الاعتبار. يمكنك بسهولة التعلم إما باستخدام هاتفك المحمول أو الكمبيوتر الشخصي. توفر دروس الفيديو المقدمة للطلاب رؤى تفصيلية حول كل موضوع مهم.

هل تعلم أن الأعداد الطبيعية ، والأعداد الصحيحة ، والأعداد الصحيحة ، والكسور ، والأعداد المنطقية ، والأرقام غير النسبية كلها أعداد حقيقية؟ يُعرف أي رقم حقيقي يمكن العثور عليه على خط الأرقام بالرقم الحقيقي. ما نستخدمه ونطبقه في حسابات العالم الحقيقي هو الأرقام الحقيقية. في هذا الفصل ، ستتعلم بعض المفاهيم الشيقة المتعلقة برقم حقيقي وتطبيقاتها المفيدة. يغطي الفيديو التعليمي كل موضوع مهم يتعلق بالأرقام الحقيقية ويعطي بعض الأمثلة الرائعة. تم سرد كتاب الرياضيات لفئة حل NCERT الحكيمة أدناه: التمرين 1.1 تمرين المقدمة 1.2 تمرين Lemma الخاص بـ Euclid’s Division 1.3 النظرية الأساسية للتمرين الحسابي 1.4 مراجعة تمرين الأرقام غير المنطقية 1.5 مراجعة الأعداد المنطقية والتوسعات العشرية التمرين 1.6 ملخص

في هذا الفصل ، ستتعرف على كثيرات الحدود بشكل متعمق. بدءًا من التمرين 2.1 مقدمة في كثيرات الحدود ، ستتعلم كيفية تبسيط وتقييم كثيرات الحدود. ثم ستتعرف على أصفار أو جذور كثيرات الحدود وجذور المعادلات التربيعية والمعادلة التكعيبية ومعاملها. في التمرين النهائي 2.5 ، ستتعرف على كيفية إجراء القسمة المطولة للعديد من الحدود. تشمل الحلول العملية التي قمنا بتغطيتها ما يلي: التمرين 2.1 تمرين المقدمة 2.2 المعنى الهندسي لأصفار تمرين متعدد الحدود 2.3 العلاقة بين الأصفار ومعاملات التمرين متعدد الحدود 2.4 خوارزمية القسمة للتمرين متعدد الحدود 2.5 التمرين متعدد الحدود 2.6 ملخص

الفصل 3: زوج من المعادلات الخطية في متغيرين

في الفصل 10 من NCERT ، الفصل 3 ، ستتعرف على تفسير المعادلات الخطية في متغيرين. من خلال حلول NCERT المقدمة للفصل 10 ، يمكن لطلاب الرياضيات بسهولة صياغة المعادلات الخطية في مشاكل العالم الحقيقي. ستستمتع بتعلم حل مسائل المعادلات الخطية جبريًا وبيانيًا. في الطريقة الجبرية ، ستتعلم بعض المفاهيم المهمة مثل طريقة الحذف وطريقة الاستبدال وطريقة الضرب التبادلي. ثم ننتقل أخيرًا إلى المعادلات القابلة للاختزال إلى زوج من المعادلات الخطية في متغيرين. تشمل حلول NCERT الحكيمة التي قمنا بتغطيتها: التمرين 3.1 مقدمة التمرين 3.2 زوج من المعادلات الخطية في متغيرين التمرين 3.3 الطريقة الرسومية لحل زوج من المعادلات الخطية التمرين 3.4 الطرق الجبرية لحل زوج من المعادلات الخطية تمرين 3.4. 1 تمرين أسلوب الاستبدال 3.4.2 تمرين أسلوب الاستبعاد 3.4.3 أسلوب الضرب المتقاطع التمرين 3.5 المعادلات القابلة للاختزال إلى زوج من المعادلات الخطية في متغيرين التمرين 3.6 ملخص

الفصل 4: المعادلات التربيعية

لقد تعلمت حتى الآن عن المعادلات الخطية والمعادلات الخطية في متغيرين. في الفصل 4 ، ستتعلم بعض المفاهيم الجديدة ، والتي تتضمن متغيرات ترفع إلى القوة الثانية وكيفية أخذ الجذور التربيعية على كلا الجانبين. أنت & # x27ll تتعلم أيضًا حل المعادلة المحللة إلى عوامل مثل (x-1) (x + 3) = 0 وباستخدام طريقة التحليل ، حل المعادلة التربيعية بإكمال المربع وأخيراً طبيعة الجذور. المدرجة أدناه هي حلول NCERT الحكيمة للفصل 4 المعادلات التربيعية: التمرين 4.1 مقدمة التمرين 4.2 المعادلات التربيعية التمرين 4.3 حل معادلة من الدرجة الثانية عن طريق تمرين العوملة 4.4 حل معادلة من الدرجة الثانية بإكمال التمرين المربع 4.5 طبيعة تمرين الجذور 4.6 ملخص

الفصل 5: التعاقب الحسابي

اعثر هنا على إجابات مفصلة ومتعمقة للصف 10 ، الرياضيات ، الفصل الخامس ، التقدم الحسابي (AP). إذا كان الفرق بين فترتين متتاليتين ثابتًا في التقدم ، يُعرف بالتقدم الحسابي. في هذا الدرس الخامس ، ستتعرف على مفاهيم مهمة للتقدم الحسابي وستدرس كيفية إنشاء التقدم الحسابي (A.P). بعد تعلم أساسيات AP ، يمكنك تعلم كيفية حساب المصطلح Nth لـ AP. ثم سترى كيفية إيجاد مجموع n من حدود AP. من الممتع والممتع تعلم مفهوم الرياضيات. إن حلول NCERT الحكيمة للفصل 5 من التقدم الحسابي الذي قمنا بتغطيته هي: التمرين 5.1 مقدمة التمرين 5.2 تمرين التقدم الحسابي 5.3 المصطلح النهائي لتمرين AP 5.4 مجموع مصطلحات N الأولى من تمرين AP 5.5 ملخص

تجد هنا مواد دراسية كاملة عن مثلثات الفصل العاشر من الفصل السادس. المثلث هو شكل مثير للاهتمام من 3 زوايا وله بعض الخصائص الفريدة لاستكشافها. في هذا الفصل السادس من المثلثات ، ستدرس كل شيء عن المثلثات ومعيار التشابه للمثلثات وخصائصها. تم تفصيل التدريبات التي قمنا بتغطيتها هنا: التمرين 6.1 مقدمة التمرين 6.2 تمرين الأرقام المتشابهة 6.3 التمرين التشابه للمثلثات 6.4 معايير تشابه المثلثات التمرين 6.5 مجالات تمرين المثلثات المتشابهة 6.6 تمرين نظرية فيثاغورس 6.7 ملخص

الفصل السابع: تنسيق الهندسة

احصل على حلول مجانية لـ NCERT للفصل 10 الرياضيات الفصل 7 الهندسة الإحداثية. في الدرس 7 سوف تتعلم كيفية إيجاد مسافات بين النقطتين اللتين ترد إحداثياتهما. ستتعلم أيضًا كيفية العثور على إحداثيات النقطة باستخدام معادلة المسافة ، وصيغة القسم ، ومنطقة المثلث وما إلى ذلك. نظرًا لأن NCERT Solutions أعدها علماء رياضيات ذوو خبرة لمساعدة الطلاب على بناء أساس أقوى في الرياضيات. ترد أدناه إجابات حكيمة عن التمرين التفصيلي للفصل 7 الرياضيات الفئة 10 الهندسة الإحداثية: التمرين 7.1 مقدمة التمرين 7.2 تمرين معادلة المسافة 7.3 تمرين معادلة القسم 7.4 منطقة المثلث التمرين 7.5 الملخص

الفصل الثامن: مقدمة في علم المثلثات

في مقدمة الفصل الثامن لعلم المثلثات ، ستتعرف على بعض المفاهيم المهمة مثل النسب المثلثية ، والنسب المثلثية لبعض الزوايا المحددة ، والنسب المثلثية للزوايا التكميلية ، وأخيرًا المتطابقات المثلثية. يقتصر هذا الدرس على الزوايا الحادة فقط ، ولكن يمكن أيضًا تمديد النسب إلى الزوايا الأخرى. سنقوم أيضًا بتعريف وحساب النسب المثلثية وبعض الهويات البسيطة التي تتضمن هذه النسب ، والتي تسمى الهويات المثلثية. يتضمن حل NCERT الحكيم للفصل 10 الرياضيات الفصل 8 مقدمة في علم المثلثات الذي قمنا بتغطيته: التمرين 8.1 تمرين المقدمة 8.2 تمرين النسب المثلثية 8.3 النسب المثلثية لبعض الزوايا المحددة التمرين 8.4 النسب المثلثية للزوايا التكميلية تمرين 8.5 تمرين الهويات المثلثية 8.6 ملخص

الفصل التاسع: بعض تطبيقات علم المثلثات

في هذا الدرس ، ستتعرف على التطبيق العملي لعلم المثلثات. سوف تعلم حلول NECRT كيفية حساب ارتفاعات ومسافات كائنات مختلفة ، دون قياسها فعليًا. يشمل التمرين المغطى: التمرين 9.1 مقدمة التمرين 9.2 الارتفاعات والمسافات التمرين 9.3 ملخص

مع دوائر NCERT Class 10 ، الفصل 10 ، ستتعلم أنواعًا مختلفة من المواقف التي يمكن أن تنشأ عندما يتم إعطاء دائرة وخط في المستوى. أنت & # x27ll تتعلم أيضًا مفهوم الظل وعدد الظلال من نقطة على الدائرة. يتضمن حل NCERT الحكيم للصف 10 الرياضيات الفصل 10 الدوائر التي قمنا بتغطيتها: التمرين 10.1 تمرين المقدمة 10.2 الظل إلى الدائرة التمرين 10.3 عدد الظلال من نقطة في دائرة التمرين 10.4 الملخص

تعتبر إنشاءات الفصل 11 من الفئة 10 جزءًا مهمًا من الهندسة التي تحتوي على بعض التطبيقات المفيدة في العالم الحقيقي. في هذا الفصل ، ستتعرف على أنواع مختلفة من الإنشاءات في الهندسة. تم سرد حلول NCERT الحكيمة التي قمنا بتغطيتها أدناه: التمرين 11.1 مقدمة التمرين 11.2 تقسيم تمرين الجزء الخطي 11.3 إنشاء المماسات إلى تمرين الدائرة 11.4 الملخص

الفصل 12: المنطقة المتعلقة بالدوائر

سيبدأ الفصل 12 بمفاهيم محيط ومساحة الدائرة. بعد ذلك & # x27 سيتم نقلك إلى منطقة قطاع وشريحة من دائرة وتطبيق هذا ، سوف تقوم بتوسيع معرفتك إلى قطاع وشريحة من الدوائر. في التمرين الأخير ، يجب أن تتعرف على مجالات مجموعات الأشكال المستوية. فيما يلي الحلول الحكيمة التي قمنا بتضمينها: التمرين 12.1 مقدمة التمرين 12.2 محيط الدائرة ومساحتها - مراجعة التمرين 12.3 مجالات القطاع والجزء من الدائرة التمرين 12.4 مجالات مجموعات الأشكال المستوية التمرين 12.5 الملخص

الفصل الثالث عشر: مساحات وأحجام السطح

تعد مساحات وأحجام الفصل 13 من NCERT جزءًا مهمًا من الهندسة حيث ستتعلم حساب مساحة السطح أو الحجم أو محيط مجموعة متنوعة من الأشكال الصلبة الهندسية مثل الدوائر والمستطيل والهرم والمكعب والمثلث وما إلى ذلك. لكل منها صيغه وطريقته الخاصة لتلبية الحل. المدرجة أدناه هي حلول NCERT الحكيمة لمساحات وأحجام سطح الفصل 13: التمرين 13.1 مقدمة التمرين 13.2 مساحة سطح مجموعة من تمرين المواد الصلبة 13.3 حجم مجموعة من تمرين المواد الصلبة 13.4 تحويل المادة الصلبة من شكل واحد إلى تمرين آخر 13.5 Frustum of تمرين مخروط 13.6 ملخص

في هذا الدرس ، ستتعرف على البيانات المجمعة مثل المتوسط ​​والوسيط والوضع ومفهوم التكرار التراكمي. ستوفر حلول NCERT دراسة شاملة ومتعمقة للإحصاءات. اعثر هنا على إجابات مفصلة عن الفصل 14 في الرياضيات للفصل 10 الإحصائيات: التمرين 14.1 تمرين المقدمة 14.2 متوسط ​​تمرين البيانات المجمعة 14.3 وضع تمرين البيانات المجمعة 14.4 متوسط ​​تمرين البيانات المجمعة 14.5 التمثيل الرسومي لتمرين التوزيع التكراري التراكمي 14.6 الملخص

الاحتمالية هي الفصل الأخير من كتب الرياضيات للصف العاشر من NCERT. في هذا الفصل ، سيتم تقديمك & # x27ll إلى النظرية ، والمعروفة أيضًا باسم الاحتمال الكلاسيكي لحدث ما. تتحدث دروس الفيديو عن بعض المشكلات البسيطة جدًا بناءً على مفهوم الاحتمال. المدرجة أدناه هي الحلول الحكيمة للتمرين التي قمنا بتغطيتها: التمرين 15.1 تمرين المقدمة 15.2 تمرين النهج النظري 15.3 ملخص

استمر في زيارة DoubtNut للحصول على أحدث حلول NCERT للرياضيات للصف 10 بالإضافة إلى مواد الدراسة التفاعلية الأخرى!


حساب التفاضل والتكامل المتقدم I. الرياضيات 451 ، خريف 2011

يلتقي الفصل: MWF 2:10 - 3:00 مساءً في 4088 EH.

ساعات العمل: M: 12:45 - 2:00 ظهرًا ، W: 10:45 صباحًا - 12:00 ظهرًا ، في 4844 EH. من فضلك تعال إلى ساعات العمل الخاصة بي ، سأكون هناك لمساعدتك. إنها طريقة فعالة لتحسين تحكمك بالمواد. يمكنك أيضًا اصطحابي بعد الفصل الدراسي إذا كان لديك سؤال سريع. لن أكون قادرًا على الاحتفاظ بساعات العمل في أي أوقات أخرى غير تلك المنشورة. بدلاً من ذلك ، يمكنك الحضور إلى ساعات العمل الخاصة بالبروفيسور مارك رودلسون الذي يقوم بتدريس قسم مختلف من مادة الرياضيات 451 هذا الخريف. ساعات مكتب الأستاذ رودلسون هي T 2:00 - 3:00 مساءً ، W: 5:30 - 7:30 مساءً ، في 3834 EH. لدينا اتفاق مع البروفيسور رودلسون لذا لا داعي لأن تسأله مقدمًا ، فقط تعال.

المتطلبات الأساسية: فهم شامل لحساب التفاضل والتكامل وواحد من 217 ، 312 ، 412.

وصف الدورة التدريبية: يحتوي هذا المساق على هدفين متكاملين: (1) تطوير دقيق للأفكار الأساسية لحساب التفاضل والتكامل ، و (2) تطوير إضافي لقدرة الطالب على التعامل مع الرياضيات المجردة والبراهين الرياضية. الكلمات الرئيسية هنا دقة و دليل - إثبات تتكون جميع مواد الدورة تقريبًا من فهم وبناء التعريفات والنظريات (الافتراضات واللمسات وما إلى ذلك) والبراهين. تعتبر هذه واحدة من أصعب دورات الرياضيات الجامعية ، ويجب أن يكون الطلاب مستعدين لإجراء التزام قوي للدورة. على وجه الخصوص ، يوصى بشدة بأخذ بعض المقررات الدراسية التي تتطلب أدلة (مثل الرياضيات 412) قبل الرياضيات 451.

كتاب مدرسي: كينيث أ. روس ، التحليل الأولي: نظرية التفاضل والتكامل. سبرينغر ، كور. 10 ، 1998. ISBN: 9780387904597. تغطي الدورة معظم المواد الموجودة في الكتاب باستثناء الأقسام المميزة بنجمة (اختياري) ، بالترتيب التالي (مؤقت): 1 - 20 ، 28 ، 29 ، 32 - 34 ، 23 - 26 ، 31 ، تختتم بأسبوع كامل من المراجعة.

  • الواجب المنزلي (25٪). سيتم تخصيص كل فئة. تستحق كل يوم جمعة قبل الفصل. سيتم إسقاط واجب منزلي واحد بأقل درجة. قم بالتمرير لأسفل لرؤية الواجب المنزلي. (20٪). 26 أكتوبر ، في الصف. يغطي المواد الموجودة في الأقسام من 1 إلى 12 والتي قمنا بتغطيتها في الفصل. مسموح بالكتب والآلات الحاسبة. حلول. (20٪) يأخذونه للمنزل. 21 نوفمبر في بداية الفصل. حلول. (35٪). الجمعة 16 ديسمبر ، 1:30 - 3:30 مساءً ، في الفصل. يغطي الدورة كاملة. مسموح بالكتب والآلات الحاسبة. حلول.تحذير: بيان المشكلة 3 خاطئ.

العمل المفقود / المتأخر: الامتحانات الفائتة - لن يكون هناك تعويض عن الامتحانات لأي سبب كان. يُحتسب فائض امتحان نصف الفصل على أنه صفر نقطة ، مع الاستثناء التالي. إذا فاتك الامتحان النصفي بسبب حالة طبية أو حالة طوارئ عائلية موثقة ، فسيتم إضافة وزن الاختبار إلى وزن الاختبار النهائي. الواجب المنزلي المتأخر (وامتحان البيت المتأخر) لا يمكن قبوله. في الظروف المخففة ، يمكنك إرسال واجبك المنزلي الممسوح ضوئيًا أو المكتوب عبر البريد الإلكتروني (كملف pdf واحد) في اليوم الذي يتم فيه جمع الواجب المنزلي بحلول الساعة 8:00 مساءً.

جدول المحاضرات والواجبات المنزلية: من المفيد قراءة الأقسام المراد تغطيتها. تم نشر الحلول لبعض مشاكل الواجبات المنزلية (وليس كلها). يرجى الحضور إلى ساعات الدوام لمناقشة المشاكل الأخرى.


14.5 هـ: تمارين للقسم 14.5 - الرياضيات

أحدث نسخة من القاعدة المعتمدة النهائية المقدمة في قانون فلوريدا الإداري (FAC):

تاريخ النفاذ: 5/7/2017
ملاحظات التاريخ: سلطة وضع القواعد 482.051 ، 570.07 (23) FS. القانون المنفذ 482.051 (4) FS. History & # 8211New 1-1-77 ، المعدل 6-27-79 ، 6-22-83 ، 10-25-90 ، سابقًا 10D-55.110 ، المعدل 7-5-95 ، 9-17-08 ، 9-6- 10 ، 5-7-17.
المراجع في هذا الإصدار: المرجع-08120 إشعار بالتبخير (FDACS-13667 ، Rev. 03/17
تاريخ هذه القاعدة منذ 6 يناير 2006
يلاحظ /
متبنى
قسم وصف بطاقة تعريف ينشر
تاريخ
مقترح
5E-14.1025
.
تتكون التغييرات المقترحة بشكل أساسي من تحديثات لنماذج البرنامج ومراجع عناوين URL لمواقع الويب التي تفرضها تعديلات النموذج الموضوعية وانتقال القسم إلى المجال FDACS.gov. مزيد من التغييرات المقترحة تشمل. 24434511 4/20/2021
المجلد. 47/76
تطوير
5E-14.1025
.
تتكون التغييرات المقترحة بشكل أساسي من تحديثات لنماذج البرنامج ومراجع عناوين URL لمواقع الويب التي تفرضها تعديلات النموذج الأساسية وانتقال القسم إلى المجال FDACS.gov. مزيد من التغييرات المقترحة تشمل. 24408030 4/13/2021
المجلد. 47/71
أخير
5E-14.110
متطلبات التبخير - الإخطارات 18884462 فعال:
05/07/2017
تصحيح
5E-14.110
متطلبات التبخير - الإخطارات 18797841 3/30/2017
المجلد. 43/62
يتغيرون
5E-14.108
.
متطلبات التبخير - التبخير العام ، متطلبات التبخير - الإشعارات والمسؤوليات والواجبات - السجلات والتقارير والإعلان والتطبيقات وبطاقة الهوية - التحقق من التدريب 18714712 3/16/2017
المجلد. 43/52
تصحيح
5E-14.102
.
التعريفات ، الأفعال المحظورة ، متطلبات التبخير - التبخير العام ، متطلبات التبخير - الإشعارات ، المسؤوليات والواجبات - السجلات ، التقارير ، الإعلان ، التطبيقات ، التعريف. 18714130 3/16/2017
المجلد. 43/52
مقترح
5E-14.102
.
الغرض من وضع القواعد هذا هو تنفيذ سلطة قانونية جديدة لاعتماد إجراءات السلامة لتخليص المباني السكنية بعد التبخير. سيكون التأثير هو تحسين سلامة التبخير الهيكلي و. 18487829 1/13/2017
المجلد. 43/09
ورشة عمل
5E-14.102
.
متطلبات تدريب إشراف المسجل ، ومتطلبات التدريب على التعليم المستمر ، ومراجعات ضمان الجودة ، ووقف بيع المنتج. .
23 سبتمبر 2016 ، 10:00 صباحًا
مركز البحوث والتعليم في وسط فلوريدا ، 2725 S. Binion Road ،.
17957530 9/1/2016
المجلد. 42/171
تطوير
5E-14.102
.
التغييرات المقترحة على الفصل 5E-14 ، F.A.C. ، هي استجابة للتغييرات القانونية التي من شأنها تحسين سلامة التبخير الهيكلي والرقابة التنظيمية. تأثير وضع القواعد سوف: يحظر إجراء التبخير. 17754606 7/14/2016
المجلد. 42/136
أخير
5E-14.110
متطلبات التبخير - الإخطارات 9065055 فعال:
09/06/2010
مقترح
5E-14.110
.
لتقديم إشعار إلكتروني مسبق قبل 24 ساعة من عمليات التبخير الهيكلية إلى الإدارة وتوضيح وتحديد اللغة الاحترازية التي توجه المدخن لفحص المساحة بصريًا وتأمينها. 8829830 7/2/2010
المجلد. 36/26
تطوير
5E-14.110
.
لتوفير وسيلة إلكترونية على شبكة الإنترنت للامتثال لمتطلبات إخطار الإدارة بالتبخير الإنشائي قبل 24 ساعة وتوضيح الاحتياطات التي تتطلب عمليات التفتيش والختم بين التبخير. 8183228 1/22/2010
المجلد. 36/03
أخير
5E-14.110
متطلبات التبخير - الإخطارات 6116352 فعال:
09/17/2008
يتغيرون
5E-14.102
.
التعاريف والاتفاقيات التعاقدية في المصلحة العامة - التحكم والمعالجة الوقائية للكائنات المدمرة للأخشاب ، متطلبات التبخير - الإخطارات ، متطلبات التبخير - قيود التطبيق. 5852609 7/18/2008
المجلد. 34/29
مقترح
5E-14.102
.
لتوضيح تعريف "الهيكل المتصل" وتحديد المتطلبات للوصلات الهيكلية التي لم يتم توفيرها مسبقًا في قاعدة مكافحة آفات التبخير ، قم بتنبيه المستهلكين إلى احتمالية ذلك. 5448507 4/4/2008
المجلد. 34/14
تطوير
5E-14.102
.
الغرض من تعديل القاعدة هو توضيح تعريف "الهيكل المتصل" وتحديد متطلبات التوصيلات الهيكلية التي لم يتم توفيرها من قبل في قاعدة التبخير لمكافحة الآفات. 4621873 9/21/2007
المجلد. 33/38
أخير
5E-14.110
متطلبات التبخير - الإخطارات 1013667 فعال:
07/05/1995

بموجب قانون فلوريدا ، تعتبر عناوين البريد الإلكتروني سجلات عامة. إذا كنت لا تريد تحرير عنوان البريد الإلكتروني الخاص بك استجابة لطلب السجلات العامة ، فلا ترسل بريدًا إلكترونيًا إلى هذا الكيان. بدلا من ذلك، اتصل هذا المكتب عن طريق الهاتف أو كتابة.


الرياضيات - الصف الخامس / الصف الخامس

حتى الآن تعلمنا أنواعًا مختلفة من القياس مثل الطول والوزن والسعة والوقت. ولكن لا يمكن استخدام أي من هذه القياسات لمعرفة مدى سخونة أو برودة أي جسم.

عندما نلمس أي جسم ساخن أو بارد ، يمكننا معرفة ما هو ساخن وما هو بارد. لكن السؤال هنا هو ما مدى البرودة أو درجة الحرارة. في الوقت نفسه ، من الصعب معرفة المستوى الدقيق للسخونة أو البرودة عن طريق اللمس لأن حاسة اللمس تختلف من شخص لآخر. للعثور على إجابة دقيقة ، نحتاج إلى قدر من السخونة أو البرودة.

درجة حرارة هو مقياس السخونة أو البرودة لجسم ما بالإشارة إلى قيمة معيارية. تُعرف الأداة التي تقيس درجة حرارة الجسم باسم ميزان الحرارة.

كل مقياس حرارة له مقياس. Two different temperature scales that are commonly used are:

The Fahrenheit scale is marked from 32° F to 212° F. 32° F indicates the freezing point of water and 212° F indicates the boiling point of water.

Celsius scale is also called centigrade scale and is marked from 0° C to 100° C. 0° C indicates the freezing point of water and 100° C indicates the boiling point of water.


Comparison of two scales

Conversion of Temperature

When the temperature is given in degree Celsius:

الخطوة 1: Multiply the given temperature in degree by 9

الخطوة 2: Divide the product obtained by 5.

الخطوه 3: Add 32 to the quotient obtained in step 2 to get the temperature in degree Fahrenheit.

Here given temperature is 55° C.

To convert into degree Fahrenheit first multiply 55 by 9 and we get product as 495.

Then, divide 495 by 5 and answer we get is 99.

Now, add 32 to 99 and final answer we get is 131.

When the temperature is given in degree Fahrenheit:

الخطوة 1: Subtract 32 from the given temperature in degree

الخطوة 2: Multiply the difference obtained from step 1 by 5.

الخطوه 3: Divide the product obtained from step 2 by 9 to get the temperature in degree Celsius.

Here given temperature is 90° F.

To convert into degree Celsius first we need to subtract 32 from 90 and we get 58.

Then, multiply 58 by 5 we get answer as 290.

Now divide 290 by 9 and we get answer as 32.2.


A medical thermometer, also known as a clinical thermometer is a thermometer used to measure body temperature. Most of these thermometers have both the two scales, Celsius scale and Fahrenheit scale. The scale runs from 35 degree Celsius to 42 degree Celsius.

The temperature of a healthy human body is approximately 37 °C or 98.6 °F. The tip of the thermometer is inserted into the mouth under the tongue or under the armpit for a minute. Then, the number against the point at which the mercury column stops rising further indicates the body temperature of the person.


Mathematics– Class 2 / Grade 2

Many times we use picture or symbol to represent quantities of objects. Such representation is called pictograph. Pictograph makes information easy and clear to understand. Information that we collect is called data.

Example 1: Aditya decided to conduct a study on most popular car color. So he stood outside his house and recorded the observation about 50 cars passed from there.

This was what he observed.


Now, read the above table and answer the following questions:

س 1. How many cars did Aditya count?

Q2. How many blue cars did Aditya count?

س 3. How many green cars did Aditya count?

Q4. What is the most popular color car according to his observation?

س 5. What is the least popular color car according to his observation?

Reading of Pictograph Table

Example 2: Ria interviews 20 people and asks them which ice-cream flavor is their favorite. She made a pictogram with the details she gathered:


Now, read the above table and answer the following questions:

س 1. Which ice cream flavor do you think is most popular choice?

Q2. Which ice cream flavor do you think is least popular choice?

س 3. How many people chose vanilla as their favorite ice cream flavor?

Q4. How many people chose peach as their favorite ice cream flavor?

س 5. Which ice cream flavor does you like the most?

Now, read the above table and answer the following questions:


ACT Math Problems

تعليمات: This practice test contains 20 questions. You will see your score and the answers to all of the questions when you have completed the test.

This page provides ACT math problems for the examination.

You will find problems and formulas for all of the parts of the math test.

The problems include algebra, coordinate geometry, plane geometry, and trigonometric functions.

ACT Math Problems for Algebra

The algebra questions on the exam cover basic algebraic concepts such as:

  • mean (arithmetic average)
  • الوسيط
  • وضع
  • range
  • algebraic fractions
  • absolute values
  • square roots
  • factoring and simplifying polynomials
  • algebraic inequalities, expressions, and equations
  • rational and radical expressions

You will encounter combinations of these concepts in certain math problems on the intermediate algebra part on the test.

So you will often need more than one type of math formula to solve these questions.

For instance, you may see a question that has a fraction that contains another fraction in its numerator or denominator.

Another common type of problem is where an erroneous result is given.

Then you have to use the data provided in order to correct the result.

For example, an average grade may have been calculated for a class, but the score for one student was omitted.

In these problems, you will be given the erroneous average and the omitted score.

Then you will have to calculate the correct average.

ACT – Geometry

ال geometry questions page gives you the math formulas that you need for the test.

On our geometry page, you will learn how to solve coordinate geometry problems, like midpoints, slope, and distance.

Our geometry page also gives you common formulas for plane geometry.

You will see all of the formulas for figures like circles, triangles, squares, rectangles, and cones.

On the geometry page, you will also see formulas for the circumference of circles.

Formulas are also given for the area, angles, perimeter, and volume of various geometric figures.

ACT – Trigonometry

You will also see the equations that you need in order to calculate trigonometric functions on the math test.

The trigonometry section illustrates the concepts of sine, cosine, and tangent.

It also gives you the math formulas that you need for these trigonometric relationships.

More ACT Math Problems

Need more math problems? If so, click on these links:

Copyright © 2018-2020. Exam SAM Study Aids & Media.
كل الحقوق محفوظة.

ACT is a trademark of ACT, Inc, which is not affiliated with nor endorses this website.


14.5E: Exercises for Section 14.5 - Mathematics

Notes for Class 11 Mathematics Concepts, have been designed in the most basic and detailed format possible, covering nearly all domains such as differential calculus, arithmetic, trigonometry, and coordinate geometry. Preparing from these notes will help students achieve high marks in their 11th grade as well as competitive exams such as JEE Mains and JEE Advanced. These notes provided by GeeksforGeeks would assist students in easily grasping every idea and properly revising before the exams. These notes were written by subject experts which have a significant benefit in that students would be well qualified to answer any kind of question that could be posed in the exams.

Chapter 1: Sets

The chapter explains the concept of sets along with their representation. The topics discussed are empty set, equal sets, subsets, finite and infinite sets, power set, and universal set. There are six exercises in the chapter, in which Exercise 1.1 is based on the introduction of sets and their representations Exercise 1.2 is based on the concept of the empty set, finite and infinite sets and equal sets Exercise 1.3 is based on the concept of subsets, power set, and universal set Exercise 1.4 is based on the concept of Venn diagrams and operations on sets Exercise 1.5 is based on the complement of a set and their properties and Exercise 1.6 is based on the concept of union and intersection of two sets.

Chapter 2: Relations & Functions

Chapter 3: Trigonometric Functions

This chapter explains the concept of the Principle of Mathematical Induction. The topics discussed are the process to prove the induction and motivating the application taking natural numbers as the least inductive subset of real numbers. There is only one exercise in the chapter which is based on the Principle of Mathematical Induction with its simple applications.

Chapter 4: Principle of Mathematical Induction

As the name suggests, the chapter explains the concept of the Principle of Mathematical Induction. The topics discussed are the process to prove the induction and motivating the application taking natural numbers as the least inductive subset of real numbers. There is only one exercise in the chapter which is based on the Principle of Mathematical Induction with its simple applications.

Chapter 5: Complex Numbers and Quadratic Equations

As the name of the chapter suggests, therefore, this chapter explains the concept of complex numbers and quadratic equations and their properties. The topics discussed are the square root, algebraic properties, argand plane and polar representation of complex numbers, solutions of quadratic equations in the complex number system. There are four exercises in the chapter, in which Exercise 5.1 is based on the introduction, algebraic functions, the modulus and the conjugate of a complex number Exercise 5.2 is based on the argand plane and polar representation of a complex number Exercise 5.3 is based on the quadratic equations with real coefficients and miscellaneous exercise based on all the topics discussed in the chapter.

Chapter 6: Linear Inequalities

The chapter explains the concept of Linear Inequalities. The topics discussed are algebraic solutions and graphical representation of Linear Inequalities in one variable and two variables respectively. There are four exercises in the chapter, in which Exercise 6.1 is based on the introduction to linear inequalities, algebraic solution, and graphical representation of linear inequalities in one variable, Exercise 6.2 is based on the graphical representation of Linear Inequalities in two variables Exercise 6.3 is based on the graphical method to find a solution of the system of Linear Inequalities in two variables and a miscellaneous exercise based on the problems of inequalities in one variable only.

Chapter 7: Permutations and Combinations

The present chapter explains the concepts of permutation (an arrangement of a number of objects in a definite order) and combination (a collection of the objects irrespective of the order). The topics discussed are the fundamental principle of counting, factorial, permutations, combinations and their applications. There are five exercises in the chapter, in which Exercise 7.1 is based on the introduction to permutations and combinations along with the fundamental principle of counting Exercise 7.2 is based on the application of the permutation for all distinct objects and factorial notation Exercise 7.3 is based on the application of the permutation when all the objects are not distinct and derivation of the formula of permutation Exercise 7.4 is based on the introduction to combinations where the order doesn’t matter and its applications and a miscellaneous exercise based on the introduction to permutations and combinations and fundamental principle of counting.

Chapter 8: Binomial Theorem

This chapter discusses the binomial theorem for positive integers used to solve complex calculations. The topics discussed are the history, statement, and proof of the binomial theorem and its expansion along with Pascal’s triangle. There are three exercises in the chapter, in which Exercise 8.1 is based on the introduction to the binomial theorem, the theorem for positive integral indices, and Pascal’s triangle Exercise 8.2 is based on the general and middle term in the binomial expansion and their simple applications and a miscellaneous exercise based on all the topics discussed in the chapter.

Chapter 9: Sequences and Series

The chapter Sequences and Series discuss the concepts of a sequence (an ordered list of numbers) and series (the sum of all the terms of a sequence). The topics discussed are the sequence and series, arithmetic and geometric progression, arithmetic and geometric mean. There are five exercises in the chapter, in which Exercise 9.1 is based on the introduction to sequence and series Exercise 9.2 is based on the arithmetic progression, arithmetic mean and general term of the progression Exercise 9.3 is based on the finite and infinite geometric progression, geometric mean, general term of the progression, the sum of n terms of geometric progression and relation between arithmetic and geometric mean Exercise 9.4 is based on the sum of the special series sums to n terms and a miscellaneous exercise based on all the topics discussed in the chapter.

Chapter 10: Straight Lines

Straight lines defined the concept of the line, its angle, slope, and general equation. The topics discussed are the slope of a line, the angle between two lines, various forms of line equations, general equation of a line, and family of lines respectively. There are four exercises in the chapter, in which Exercise 10.1 is based on the introduction to straight lines, the slope of a line for given coordinates of two points, parallel and perpendicular lines with the axis, the angle between two lines, and collinearity of three points Exercise 10.2 is based on the various form of equations of a line in terms of point-slope form, slope-intercept form, two-point form, intercept form and normal form Exercise 10.3 is based on the general line equation, equation of the family of lines that passes through the two lines intersection point and the distance of a point from a line and a miscellaneous exercise based on all the topics discussed in the chapter.

Chapter 11: Conic Sections

The topics discussed in the present chapter are the sections of a cone, the degenerate case of a conic section along the equations and properties of conic sections. There are five exercises in the chapter, in which Exercise 11.1 is based on the introduction of a cone, sections of a cone (generated and degenerated) and circle Exercise 11.2 is based on the introduction to a parabola, its standard equations and latus rectum Exercise 11.3 is based on the introduction to ellipse, its standard equations, eccentricity, latus rectum, focus, semi-major and semi-minor axis Exercise 11.4 is based on the introduction to hyperbola, its standard equations, eccentricity and latus rectum and a miscellaneous exercise based on all the topics discussed in the chapter.

Chapter 12: Introduction to Three-dimensional Geometry

As the name suggests, the chapter explains the concepts of geometry in three-dimensional space. The topics discussed are the coordinate axes and planes respectively, points coordinate, distance, and section for points. There are four exercises in the chapter, in which Exercise 12.1 is based on the introduction to three-dimensional geometry, coordinate axes and coordinate planes in three dimensions and coordinates of a point in space Exercise 12.2 is based on the distance between two points Exercise 12.3 is based on the section formula to find a coordinate of a point that divides the line in a ratio and a miscellaneous exercise based on all the topics discussed in the chapter.

Chapter 13: Limits and Derivatives

The chapter explains the concept of calculus that deals with the study of change in the value of a function when the change occurs in the domain points. The topics discussed are the definition and algebraic operations of limits and derivatives respectively. There are three exercises in the chapter, in which Exercise 13.1 is based on the introduction to limits and derivatives, algebra of limits, limits of trigonometric functions, polynomial and rational functions Exercise 13.2 is based on the algebra of derivative of functions, derivative of polynomial and trigonometric functions and a miscellaneous exercise based on the intuitive idea of derivatives, limits and derivatives and limits of trigonometric functions.

Chapter 14: Mathematical Reasoning

As the name suggests, the chapter explains the concepts of mathematical reasoning (a critical skill to analyze any given hypothesis in the context of mathematics). The topics discussed are the statements, inductive reasoning and deductive reasoning. There are six exercises in the chapter, in which Exercise 14.1 is based on the simple statements, application of “implies” condition Exercise 14.2 is based on the negation and true-false statement and application of “and/or” condition Exercise 14.3 is based on the compound statement, application of “and” and “or” condition Exercise 14.4 is based on the If-then statement, application of “if and only if” condition Exercise 14.5 is based on the If-then statement, application of “implied by” condition and a miscellaneous exercise based on all the topics discussed in the chapter.

Chapter 15: Statistics

This chapter explains the concepts of statistics (data collected for specific purposes), dispersion, and methods of calculation for ungrouped and grouped data. The topics discussed are range, mean deviation, variance and standard deviation, and analysis of frequency distributions. There are four exercises in the chapter, in which Exercise 15.1 is based on the range and mean deviation about mean and median for the data Exercise 15.2 is based on the mean, variance, and standard deviation for the data and analysis of frequency distribution Exercise 15.3 is based on the mean, variance and coefficient of variance for the data and a miscellaneous exercise based on all the topics discussed in the chapter.

Chapter 16: Probability

The chapter discusses the concept of probability (a measure of uncertainty of various phenomena or a chance of occurrence of an event). The topics discussed are the random experiments., outcomes, sample spaces, event, and their type. There are four exercises in the chapter, in which Exercise 16.1 is based on the introduction of probability, possible outcomes and sample spaces Exercise 16.2 is based on the introduction of events, the occurrence of events, ‘not’, ‘and’ and ‘or’ events, exhaustive events, mutually exclusive events Exercise 16.3 is based on the probability of an event and random experiments and a miscellaneous exercise based on the advanced probability problems and axiomatic probability.


شاهد الفيديو: شرح وحل تمارين صفحة 161514تأكد من فهمكخصائص الأسسالقوىالثاني متوسط (ديسمبر 2021).