مقالات

3.S: المنطق والأدلة الرمزية (ملخص)


لقد اعتبرنا المنطق فرعًا فرعيًا خاصًا به في الرياضيات ، وكوسيلة لمساعدتنا على فهم البراهين وكتابتها بشكل أفضل. في كلا الرأيين ، لاحظنا أن العبارات الرياضية لها شكل منطقي معين ، ويمكن أن يساعد تحليل هذا النموذج في فهم البيان.

في المستوى الأساسي ، قد تجمع العبارة بين عبارات أبسط باستخدام الوصلات المنطقية. غالبًا ما نستخدم المتغيرات و تحديد الكمية على تلك المتغيرات. كيفية حل الحقيقة أو زيف بيان قائم على هذه الروابط والمحددات الكمية هو ما يدور حوله المنطق. من هذا ، يمكننا أن نقرر ما إذا كانت عبارتان متكافئتان منطقيًا أو إذا كانت عبارة واحدة أو أكثر (منطقيًا) تدل على أخرى.

عند كتابة البراهين (في أي مجال من مجالات الرياضيات) هدفنا هو شرح سبب صحة العبارة الرياضية. وبالتالي فمن الأهمية بمكان أن تدل حجتنا على حقيقة البيان. للتأكد من ذلك ، يجب أولاً أن نعرف ما يعنيه أن تكون العبارة صحيحة ، وكذلك التأكد من أن العبارات التي تشكل الدليل تشير إلى الاستنتاج بشكل صحيح. الفهم الراسخ للمنطق مطلوب للتحقق مما إذا كان الدليل صحيحًا.

ومع ذلك ، هناك سبب آخر يجعل فهم المنطق مفيدًا. غالبًا ما يعطي فهم البنية المنطقية للبيان أدلة حول كيفية كتابة دليل على العبارة.

هذا لا يعني أن كتابة البراهين دائمًا ما تكون مباشرة. النظر مرة أخرى تخمين جولدباخ:

يمكن كتابة كل عدد زوجي أكبر من 2 كمجموع اثنين من الأعداد الأولية.

لن نحاول إثبات العبارة هنا ، لكن يمكننا على الأقل أن نقول كيف يمكن أن يبدو الدليل ، بناءً على الشكل المنطقي للبيان. ربما يجب أن نكتب العبارة بطريقة مكافئة تسلط الضوء بشكل أفضل على المحددات الكمية والروابط:

لجميع الأعداد الصحيحة (n text {،} ) إذا كان (n ) أكبر من 2 ، فهناك أعداد صحيحة (p ) و (q ) مثل (p ) و (q ) أولية و (n = p + q text {.} )

كيف سيبدو الدليل المباشر؟ نظرًا لأن العبارة تبدأ بمحدِّد كمي عالمي ، سنبدأ بـ "لنكن (n ) عددًا صحيحًا عشوائيًا." ما تبقى من البيان هو ضمني. في الإثبات المباشر نفترض أن الجزء "if" ، لذا فإن السطر التالي سيكون ، "افترض (n ) أكبر من 2 بل هو زوجي." ليس لدي أي فكرة عما سيأتي بعد ذلك ، ولكن في النهاية ، سنحتاج إلى إيجاد عددين أوليين (p ) و (q ) (اعتمادًا على (n )) وشرح كيف نعرف ذلك (n = p + q نص {.} )

أو ربما نجرب البرهان بالتناقض. للقيام بذلك ، نفترض أولاً نفي العبارة التي نريد إثباتها. ما هو النفي؟ من خلال ما درسناه يجب أن نكون قادرين على رؤية أنه ،

يوجد عدد صحيح (n ) بحيث (n ) أكبر وأكبر من (2 text {،} ) ولكن لجميع الأعداد الصحيحة (p ) و (q text {،} ) إما (p ) أو (q ) ليس أوليًا أو (n ne p + q text {.} )

هل يمكن أن تكون هذه العبارة صحيحة؟ سيبدأ الإثبات بالتناقض بافتراض أنه كان ، وفي النهاية ينتهي بالتناقض ، مما يثبت أن افتراضنا للحقيقة كان غير صحيح. وإذا وجدت مثل هذا التناقض ، فستكون قد أثبتت أشهر مشكلة مفتوحة في الرياضيات. حظا سعيدا.

مراجعة الفصل

1

أكمل جدول الحقيقة للبيان ( neg P imp (Q wedge R) text {.} )

المحلول
(ف ) (س ) (ص ) ( نيج ف ف إمب (س إسفين ص) )
تيتيتيتي
تيتيFتي
تيFتيتي
تيFFتي
Fتيتيتي
FتيFF
FFتيF
FFFF

4. البراهين

بالنظر إلى أنه يمكننا اختبار صحة حجة ما ، فقد يبدو أن لدينا نظامًا مطورًا بالكامل لدراسة الحجج. ومع ذلك ، هناك صعوبة عملية كبيرة في طريقتنا الدلالية في التحقق من الحجج باستخدام جداول الحقيقة (ربما تكون قد لاحظت بالفعل ما هي هذه الصعوبة العملية ، عندما حللت المسألتين 1e و 2e في الفصل 3). تأمل الحجة التالية:

أليسون ستذهب إلى الحفلة.

إذا ذهبت أليسون إلى الحفلة ، فإن بياتريس ستفعل ذلك.

إذا ذهبت بياتريس إلى الحفلة ، فإن كاثي ستفعل.

إذا كانت كاثي ستذهب إلى الحفلة ، فإن ديان ستفعل.

إذا كانت ديان ستذهب إلى الحفلة ، فإن إليزابيث ستذهب.

إذا كانت إليزابيث ستذهب إلى الحفلة ، فإن فران ستذهب.

إذا ذهب فران إلى الحفلة ، فسيقوم جيادا بذلك.

إذا كان جيادا سيذهب إلى الحفلة ، فإن هيلاري ستفعل.

إذا كانت هيلاري ستذهب إلى الحفلة ، فإن آيو سوف تفعل.

إذا ذهب آيو إلى الحفلة ، فستفعل جولي.

ستذهب جولي إلى الحفلة.

يتفق معظمنا على صحة هذه الحجة. لها شكل بسيط إلى حد ما ، حيث ترتبط جملة واحدة بالجملة السابقة ، حتى نتمكن من رؤية الاستنتاج يتبع من المبنى. دون عناء إنشاء مفتاح ترجمة ، يمكننا أن نرى الوسيطة بالشكل التالي.

ومع ذلك ، إذا أردنا التحقق من هذه الحجة ، فإن جدول الحقيقة سيتطلب 1024 صفاً! يأتي هذا مباشرة من ملاحظتنا أنه بالنسبة للحجج أو الجمل المكونة من n جمل ذرية ، سيتطلب جدول الحقيقة 2 n من الصفوف. تحتوي هذه الحجة على 10 جمل ذرية. يجب أن يحتوي جدول الحقيقة الذي يتحقق من صلاحيته على 2 10 صفوف ، و 2 10 = 1024. علاوة على ذلك ، سيكون من التافه تمديد الحجة إلى عشر خطوات أخرى ، لنقل ، لكن جدول الحقيقة الذي نصنعه سيتطلب أكثر من مليون صف!

لهذا السبب ، وللعديد من الآخرين (الذي يتضح لاحقًا ، عندما نفكر في المنطق الأكثر تقدمًا) ، من المفيد جدًا تطوير طريقة إثبات نحوي. أي طريقة للتحقق من البراهين ليس باستخدام جدول الحقيقة ، بل باستخدام قواعد بناء الجملة.

هذه هي الفكرة التي سنتابعها. الحجة الصحيحة هي حجة أنه ، بالضرورة ، إذا كانت المقدمات صحيحة ، فإن الاستنتاج صحيح. سنبدأ فقط بمبانينا. سنضع الاستنتاج جانبًا ، فقط لنتذكره كهدف. بعد ذلك ، سنهدف إلى إيجاد طريقة موثوقة لإدخال جملة أخرى في الحجة ، مع الخاصية الخاصة التي ، إذا كانت المقدمات المنطقية صحيحة ، فيجب أن تكون هذه الجملة الإضافية للحجة صحيحة أيضًا. إذا تمكنا من إيجاد طريقة للقيام بذلك ، وإذا تمكنا بعد التطبيقات المتكررة لهذه الطريقة من كتابة استنتاجنا ، فسنعرف أنه ، بالضرورة ، إذا كانت مقدماتنا صحيحة ، فإن الاستنتاج صحيح.

تكون الفكرة أكثر وضوحًا عندما نعرضها. سيطلق على طريقة إدخال جمل جديدة اسم "قواعد الاستدلال". نقدم قواعد الاستدلال الأولى للشرطية. تذكر جدول الحقيقة للشرط:

Φ Ψ (Φ → Ψ)
تي تي تي
تي F F
F تي تي
F F تي

انظر إلى هذا للحظة. إذا كان لدينا شرط مثل (P → Q) (بالنظر إلى جدول الحقيقة أعلاه ، تذكر أن هذا يعني أننا تركنا Φ يكون P و Ψ يكون Q) ، فهل نعرف ما إذا كانت أي جملة أخرى صحيحة؟ من (P → Q) وحده لا نفعل ذلك. حتى إذا كانت (P → Q) صحيحة ، فقد تكون P خطأ أو Q يمكن أن تكون خطأ. لكن ماذا لو كان لدينا بعض المعلومات الإضافية؟ لنفترض أن لدينا أماكن عمل (P → Q) و P. بعد ذلك ، سنعرف أنه إذا كانت هذه المقدمات صحيحة ، فلا بد أن يكون Q صحيحًا. لقد تحققنا بالفعل من هذا مع جدول الحقيقة.

فرضية فرضية
ص س (P → Q) ص س
تي تي تي تي تي
تي F F تي F
F تي تي F تي
F F تي F F

الصف الأول من جدول الحقيقة هو الصف الوحيد الذي تكون فيه جميع المباني صحيحة ، وبالنسبة لذلك ، نجد أن Q صحيحة. هذا ، بالطبع ، يعمم على أي شرط. هذا هو ، لدينا ما يلي:

فرضية فرضية
Φ Ψ (Φ → Ψ) Φ Ψ
تي تي تي تي تي
تي F F تي F
F تي تي F تي
F F تي F F

نحن الآن نلتقط هذه الرؤية ليس باستخدام جدول الحقيقة ، ولكن من خلال تقديم قاعدة. القاعدة التي نكتبها هكذا:

هذه قاعدة نحوية. إنه يقول أننا كلما كتبنا صيغة في لغتنا على شكل الصف الأول (أي كلما كان لدينا شرط شرطي) ، وكلما كتبنا أيضًا صيغة لها الشكل في الصف الثاني (أي كلما كتبنا أيضًا سابقة الشرط) ، فانتقل متى شئت ، واكتب معادلة مثل تلك في الصف الثالث (نتيجة الشرط). تتحدث القاعدة عن شكل الصيغ وليس معناها. لكننا بالطبع بررنا القاعدة بالنظر إلى المعاني.

نصف هذا بالقول أن السطر الثالث "مشتق" من السطرين السابقين باستخدام قاعدة الاستنتاج.

قاعدة الاستدلال هذه قديمة. لذلك ، نحن عالقون مع اسمها الراسخ ، ولكن غير المنير للغاية: "modus ponens". وبالتالي ، نقول ، للمثال أعلاه ، أن السطر الثالث مشتق من السطرين السابقين باستخدام طريقة ponens.


3.1. الاقتراحات¶

المنطق الرمزي يتلاعب المقترحات، وهي تأكيدات - عبارات تصريحية يمكن فهمها على أنها "صحيحة" (إنها حقيقة) أو "خاطئة" (إنها ليست حقيقة).

أمثلة على الافتراضات من الجبر

يُفهم دائمًا الافتراض الثالث على أنه خطأ ، في حين أن الافتراضين الأولين قد يكونان صحيحين أو خاطئين ، اعتمادًا على قيم x و y.

أمثلة على المقترحات المكتوبة باللغة الإنجليزية

في اللغة الإنجليزية ، يمكننا أيضًا كتابة جمل ليست افتراضات: "هل ستمطر غدًا؟" هو سؤال وليس اقتراحًا من الصواب والخطأ. سنبقى دائمًا داخل الجبر ونشكل مقترحات صحيحة وخاطئة من عوامل حسابية مثل + و / وعوامل المقارنة مثل == و & gt. عوامل التشغيل ، ∧ (AND) ، V (OR) ، → (ضمني) ، ¬ (NOT) ، تسمى الوصلات المقترحة لأنهم يربطون المقترحات معًا لتقديم مقترحات جديدة. (مثال: (x & gt 0 ∨ x & lt 0) → ¬ (2x = 0) هو اقتراح يربط x & gt 0 و x & lt 0 و 2x = 0 مع ¬ و ∨ و →.)

لاحقًا سوف ندرس FORALL (∀) و EXIST () ، وهما أكثر حساسية من الوصلات المقترحة ويطلق عليهما محددو الكمية.


المنطق الرمزي 5E: 3.2، I.

& # 8220 لكل من الحجج التالية ، حدد قاعدة الاستدلال التي يتبع استنتاجها من فرضيتها & # 8221

  1. تخفيف.
  2. التضمين المادي.
  3. التحويل.
  4. De Morgan & # 8217s Theorem.
  5. علم التحمل.
  6. منظمة.
  7. التصدير.
  8. معادلة المواد.
  9. توزيع.
  10. تخفيف
  11. De Morgan & # 8217s Theorem.
  12. التصدير.
  13. منظمة.
  14. معادلة المواد.
  15. توزيع.
  16. نفي مزدوج.
  17. التضمين المادي.
  18. التحويل.
  19. تصدير.
  20. التصدير.

البراهين باستخدام Modus Pollens ، Modus Tollens

سؤال:
باستخدام قواعد الاستدلال الأربعة المقدمة (mp و mt و ds و hs) ، قم ببناء إثبات للحجة الصالحة التالية في مربع الإجابة أدناه.

ص. فرضية
3. ث. / ج. الفرضية / الاستنتاج

ب).
1. H & gt (D & lt & gtA). فرضية
2. Mv (R & gtM). فرضية
3. RvH. فرضية
4.

د). فرضية
2. Q & gtM. فرضية
3. M & GT

N) & GTT. فرضية
2. G & GT (نفي). فرضية
3. (

E) & GTT. فرضية
5. (NvE) & GT. المقدمة / الاستنتاج

F.
1. (D & gtC) & gt (NvW). فرضية
2. D & GTS. فرضية
3. S & gtC. فرضية
4.

أنا.
1. السيرة الذاتية (H & gtR). فرضية
2. Sv (R & gtE). فرضية
3.

© BrainMass Inc. brainmass.com 5 مارس 2021 1:49 صباحًا ad1c9bdddf
https://brainmass.com/math/logic/proofs-using-modus-pollens-modus-tollens-626379

معاينة الحل

شكل الدليل هو تسلسل & quotStep [السبب] & quot العبارات.

ص. فرضية
3. ث. / ج. الفرضية / الاستنتاج

دليل - إثبات:
1. w & gt (pvc) [مقدمة]
2. w [المقدمة]
3. (p v c) [Modus ponens on 1 and 2]
4.

ع [المبنى]
5. ج [القياس المنطقي للنتيجة 3 و 4]

ب).
1. H & gt (D & lt & gtA). فرضية
2. Mv (R & gtM). فرضية
3. RvH. فرضية
4.

دليل - إثبات:
1. M v (R & gt M) [Premise]
2.

م [المبنى]
3. (R & gt M) [القياس المنطقي للعددين 1 و 2]
4.

R [وضع الرسم البياني للعددين 2 و 3]
5. R v H [Premise]
6. H [القياس المنطقي في 4 و 5]
7. H & gt (D & lt & gt A) [Premise]
8. (D & lt & gt A) [Modus ponens on 6 and 7 Conclusion]


جداول الحقيقة

تعرض جداول الحقيقة جميع قيم الحقيقة التي يمكن أن تحتوي عليها عبارة معينة أو مجموعة من العبارات. ما يعنيه ذلك هو أن ما إذا كنا نعلم ، بالنسبة لأي عبارة معينة ، أنها صحيحة أو خاطئة ، لا يمنعنا من معرفة بعض الأشياء الأخرى عنها فيما يتعلق ببعض العبارات الأخرى. ألم & # 8217t هذا توضيح مفيد؟

ولكن دعونا & # 8217s نسخ احتياطي قليلاً فقط.

في القسم السابق قدمنا ​​تعريفات الحقيقة الوظيفية للمشغلين. مع هذه المعلومات (المعروضة على جداول الحقيقة ، والتي أظهرت جميع القيم الممكنة & # 8220p & # 8221 و & # 8220q & # 8221) ، لدينا معلومات كافية يمكننا & # 8220 حساب & # 8221 أو اكتشاف قيمة الحقيقة من العبارات المركبة طالما أننا نعرف قيم الحقيقة للعبارات البسيطة التي تتكون منها.

على سبيل المثال ، لأننا نعرف ذلك

الموز فاكهة حقيقية

والتفاح فاكهة حقيقية

والكمثرى فاكهة حقيقية ،

يمكننا معرفة أن هذا البيان:

كيف؟ ضع قيم الحقيقة تحت الحروف ، ثم اجمع القيم وفقًا لتعريفات المشغلين الخمسة ، بدءًا من أصغر وحدة وانتهاءً بأكبرها.

يوضح لنا هذا الجدول قيم هذه العبارات الثلاثة. كل واحد صحيح ، لذلك لدينا & # 8220T & # 8221 تحت كل عبارة وبما أن نفي & # 8220Pears هي فاكهة & # 8221 يحدث (& # 8220 Pears ليست فاكهة & # 8221) ، لدينا & # 8220F & # 8221 تحت تيلدا.

إن أبسط أو أصغر مستوى يمكن عنده إجراء أي & # 8220calculation & # 8221 هو نفي عبارة بسيطة. المستوى التالي هو ضم العبارة المنفية بـ & # 8220Apples هي فاكهة. & # 8221 الادعاء بأن & # 8220 التفاح فاكهة لكن الكمثرى ليست & # 8221 خطأ ، لذا فإن & # 8220F & # 8221 يذهب تحت النقطة.

عبارة النقطة هذه هي نتيجة الشرط ، وسابقة الشرط صحيحة ، لذا فالشرط نفسه خطأ و & # 8220F & # 8221 يقع تحت حدوة الحصان. لقد قمت بتلوينه باللون الأحمر لجعله أكثر وضوحًا.

الآن ، هنا في دروبال ، الطريقة الوحيدة لجعل هذه الرموز تصطف بشكل مستقيم هي تقديمها في طاولة. لكن الجدول يوضح لنا أن ب (أ ∙

P) خطأ ليس ما نطلق عليه & # 8220 جدول الحقيقة. & # 8221 A يوضح جدول الحقيقة جميع قيم الحقيقة الممكنة التي يمكن أن تحتوي عليها العبارات البسيطة في مركب أو مجموعة من المركبات، ويظهر لنا نتيجة تلك القيم. المثال الذي ننظر إليه هو حساب قيمة بيان مركب واحد ، وليس عرض كل الاحتمالات التي يسمح بها شكل هذا البيان.

الجداول التي استخدمناها لتحديد العوامل ، المكررة أدناه ، هي جداول الحقيقة. لا توجد مجموعات من قيم الحقيقة لهذه العبارات التي لم يتم عرضها.

ص ف
تي تي تي
تي F F
F F تي
F F F

ص الخامس ف
تي تي تي
تي تي F
F تي تي
F F F

ص ف
تي تي تي
تي F F
F تي تي
F تي F

ص ف
تي تي تي
تي F F
F F تي
F تي F

توفر جداول الحقيقة تعريف الحقيقة الوظيفي لخمسة عوامل. باستخدام هذه التعريفات ، يمكننا حساب القيمة الحقيقية للعبارات المركبة بمجرد أن نعرف القيم الحقيقية للقيم البسيطة التي تتكون منها. إليك بعض الأمثلة وبعض التمارين التي يمكنك التدرب عليها. استخدم معرفتك الواسعة للبدء من خلال تعيين قيم الحقيقة المناسبة للعبارات البسيطة.

سيتحدث نيوت في ماري واشنطن وجامعة ليبرتي.

كل من هذه العبارات البسيطة صحيحة ، لذا فإن الاقتران المكون منها (M ∙ L) صحيح أيضًا.

إذا وجهت ليبرتي وماري واشنطن دعوة إلى نيوت ، وكانت ليبرتي جامعة إنجيلية ، فيجب أن تكون ماري واشنطن كذلك.

هذا الشرط له ارتباط لسابقه ، وهذا الاقتران هو بحد ذاته ارتباط:

م = ماري واشنطن تدعو نيوت

W = ماري واشنطن إنجيلية.

((ل م) ه) دبليو
تي تي تي تي تي F F

& # 8217 قمت بترميز قيم الحقيقة بالألوان: أول ما يمكننا إدخاله هو الأخضر ، لأن L ∙ M هي أصغر وحدة والثانية هي blueone ، والتي تجمع بين القيمة من L ∙ M وقيمة E. الأخير هو الأحمر ، الذي يأخذ السوابق الحقيقية والنتيجة الخاطئة ، مما يؤدي إلى بيان شرطي خاطئ. (آمل ألا تعتقد أن هذه كانت حجة وليست عبارة.) بالمناسبة ، لا تستنتج من هذا المثال أن القيمة الأولى التي يمكنك حسابها ستكون دائمًا في أقصى اليسار. آخر قيمة يمكنك القيام بها هي القيمة التي يطلق عليها & # 8217s المشغل الرئيسي: هذه العبارة شرطية ، عاملها الرئيسي هو حدوة الحصان.

إليك بعض الأشياء التي يمكنك التدرب عليها:

1. أوباما وهيلاري ديمقراطيان إذا كان نيوت جمهوريًا.

2. إما أن يترشح أوباما أو نيوت ديمقراطي.

3. إذا ترشحت كلينتون فسيكون عمرها 35 عامًا على الأقل.

4. أوباما هو القائد العام إذا وفقط إذا كان الرئيس.

5. أن تكون مولوداً في أمريكا شرط ضروري لكي تكون رئيساً.

6. إذا كانت الولادة هنا شرطًا ضروريًا للترشح ، فلا يمكن للحاكم الترشح.

7. إما أن هيوم لم يخترع جداول الحقيقة أو إذا كتب فتغنشتاين Tractatus ، فإن مفارقة راسل & # 8217s كانت أخبارًا سيئة لفريجه ، لكن كانط نفى أن & # 8220 الوجود & # 8221 كان مسندًا إذا وفقط إذا كان المنطق الأرسطي سيطر على ألفين سنوات.

هذا واحد & # 8217s متعة. دع & # 8217s نلعب معها (بمجرد أن تحصل على قيم الحقيقة من العبارات البسيطة مباشرة)

(لم يخترع هيوم جداول الحقيقة ، كما فعل فيتجنشتاين ، وكتب كتاب Tractatus أيضًا. كانت مفارقة راسل & # 8217s أخبارًا سيئة جدًا لفريجه (وليس له فقط!). & # 8220 الوجود & # 8221 كمسند ، وبالطبع سيطر المنطق الأرسطي على الفلسفة الغربية لألفي عام # 8211 حتى تم تطوير المنطق الرمزي الحديث من قبل أشخاص مثل فريج ورسل وفيتجنشتاين.)

8. إذا لم يخترع هيوم جداول الحقيقة أو كتب فيتجنشتاين Tractatus ، فإن مفارقة راسل & # 8217s كانت أخبارًا سيئة لفريجه ، لكن كانط نفى أن & # 8220 الوجود & # 8221 كان مسندًا فقط إذا كان المنطق الأرسطي سيطر لمدة ألفي عام.

9. إما أن هيوم لم يخترع جداول الحقيقة أو أن فيتجنشتاين كتب Tractatus ، وكانت مفارقة راسل & # 8217s أخبارًا سيئة لفريجه فقط إذا نفى كانط أن & # 8220 الوجود & # 8221 كان مسندًا ، بالنظر إلى أن المنطق الأرسطي ساد لألفي عام.

10. إذا كان من الخطأ أن يكون هيوم قد اخترع جداول الحقيقة وأن كانط أنكر أن & # 8220 الوجود & # 8221 كان مسندًا ، فبالنظر إلى أن المنطق الأرسطي سيطر لمدة ألفي عام ، فإن كتابة فيتجنشتاين & # 8217s للجرعة تشير إلى أن مفارقة راسل & # 8217 كانت سيئة أخبار لـ Frege.

لذا فإن & # 8217 هو شيء نقوم به من خلال تطبيق جداول الحقيقة: حساب قيم الحقيقة للبيانات المركبة، بالنظر إلى أننا نعرف قيم الحقيقة من العبارات البسيطة التي تتكون منها.

تطبيق آخر لجداول الحقيقة يسمح لنا بذلك صنف كل بيان وظيفي للحقيقة على أنها تندرج في إحدى الفئات الثلاث. كما لاحظت ، لم تتغير قيم الحقيقة للعبارات البسيطة في 8-10 ، لكن قيم الحقيقة للمشغلين الرئيسيين تغيرت. هذا لأنهم من أنواع العبارات التي يقال فيها أن قيم الحقيقة في العبارات مهمة ، ولتحديد قيمة الحقيقة للمركب ، مع الأخذ في الاعتبار معاني العوامل. يسمى هذا النوع من العبارات & # 8220contingent & # 8221 مما يعني في هذا السياق أن قيمة الكل تعتمد (مشروطة) على قيمة الأجزاء. (هناك معنى فلسفي آخر لـ & # 8220contingency & # 8221 لطبيعة وجودية ، لا علاقة له بهذا المفهوم المنطقي لها).

ولكن هناك أيضًا عبارات لها قيمتها الحقيقية كنتيجة لبنيتها وليس كنتيجة لمحتواها. بعض العبارات صحيحة لأنهم هيكل يجعلها صحيحة ، ولا يهم ما إذا كانت تتعلق بفيتجنشتاين أو ليوناردو أو هامبتي دمبتي. يطلق عليهم & # 8220tautologies. & # 8221 ثم هناك & # 8217s مجموعة ثالثة ، تلك الخاطئة نتيجة لبنيتها ، والتي ، مرة أخرى ، لا يمكن أن تكون أي شيء آخر غير خطأ بغض النظر عن المحتوى الذي تقدمه معهم. هذه تسمى & # 8220- التناقضات الذاتية. & # 8221

مثال بسيط على التناقض الذاتي هو: & # 8220 أعتقد أنك & # 8217 على صواب لكني أعتقد أنك & # 8217 مخطئ. & # 8221 شكل هذا هو R ∙

ر. من الواضح تمامًا بشكل بديهي أن هناك & # 8217s شيئًا خاطئًا في هذا الادعاء ، أي أنه خاطئ.

كما يوضح هذا الجدول ، سيكون هناك & # 8217 دائمًا حرف F أسفل النقطة في أداة الاقتران التي تربط بيانًا برفضه الخاص.

كل فئة إما عضو في نفسها أم لا.

سيكون كل بيان ينفصل عن نفيه صحيحًا. & # 8220 إما أن العبارة صحيحة أو خاطئة & # 8221 هي حشو أيضًا (منذ & # 8220false & # 8221 و & # 8220 ليس صحيحًا & # 8221 مترادفات).

لقد قدمته في أمثلة بسيطة للغاية ، ولكن إليك بعض الحالات الأكثر تحديًا التي يمكنك العمل عليها ، لممارسة الحساب ، والتعود على تصنيف العبارات إلى حالات طارئة ، وحشو ، وتناقضات ذاتية:

قبل أن تتمكن من القيام بذلك ، عليك & # 8217 تحديث نفسك بعدد الصفوف التي يتطلبها جدول الحقيقة. الصيغة هي & # 8220Number of rows = 2 to the nth power & # 8221 حيث & # 8220n & # 8221 هو عدد العبارات البسيطة. هذا يعني أنه إذا كان هناك عبارة واحدة بسيطة ، فستكون هناك حاجة إلى صفين فقط (يُظهر الصف الأول ما يحدث عندما يكون صحيحًا ، بينما يُظهر الآخر ما يحدث عندما يكون & # 8217s خطأ) لذا يتطلب رقم 1 أدناه صفين فقط. العبارة التي تحتوي على عبارتين بسيطتين تتطلب 4 ، واحدة بها ثلاثة تتطلب 8 ، واحدة بأربعة تتطلب 16 ، واحدة بخمسة تتطلب 32 ، واحدة بستة تتطلب 64.

إلى جانب عمل جداول الحقيقة لهذه ، تأكد من أنه يمكنك وضعها في كلمات: 1 و 2 لا تقولان نفس الشيء ، على سبيل المثال ، ولكن ماذا يقولون؟ 1 يقول & # 8220M يعني ضمنيًا أن M يعني M. & # 8221 (يمكن أيضًا قراءتها كـ & # 8220 إذا كانت M صحيحة ، فإن M تعني M. & # 8221 أو كـ & # 8220If M ، ثم إذا M ثم M. & # 8221 ماذا يقول 2؟

ترجم هذا وقم بعمل جدول.

سينخفض ​​ميزان المدفوعات فقط إذا بقيت أسعار الفائدة ثابتة ولكن ليس الأمر كذلك أن أسعار الفائدة لن تظل ثابتة أو أن ميزان المدفوعات سينخفض.

الآن بعد أن عرفت كيفية حساب القيم وكيفية إنشاء جداول الحقيقة ، يمكنك تطبيقها على مهمة أخرى ، وهي قارن العبارات ببيانات أخرى. عندما يكون لديك مجموعة من العبارات المركبة و / أو العبارات البسيطة ، يمكنك إنشاء جدول يوضح جميع احتمالات قيم الحقيقة الخاصة بهم ، والحكم من ذلك على ما إذا كان أي منهما أو أكثر متكافئًا مع بعضهما البعض (مثل الثلاثي بيان شريط وشروط ثنائية) ، أو ما إذا كانا يتعارضان مع بعضهما البعض (وهو ليس نفس الشيء مثل بيان يتعارض بحد ذاتها) ، أو ما إذا كانت متسقة أو تتعارض معا. يمكن قراءة هذه الميزات من جدول الحقيقة ميكانيكيًا. إذا كانت عبارتان أو أكثر لهما نفس قيمة الحقيقة دائمًا في ظل عوامل التشغيل الرئيسية ، فإنهما متكافئان. إذا كانت لديهم قيم معاكسة تحت عوامل التشغيل الرئيسية الخاصة بهم ، فهي متناقضة (مثل A و O في منطق فئوي). إذا لم يظهروا أبدًا True على نفس السطر ، فإنهم غير متسقين (بمعنى أنه لا يمكن أن يكون كلاهما صحيحًا)، وإذا أظهروا True على سطر واحد على الأقل تحت عامل التشغيل الرئيسي ، فإنهم متسقون مع بعضهم البعض (بمعنى أنه في ظل ظروف طارئة معينة ، يمكن أن يكون كلاهما صحيحًا).

فيما يلي بعض الأمثلة التي يمكنك تجربتها. لكل زوج من العبارات ، قم بعمل جدول حقيقة لكل تعبير ، ثم قارنها سطراً بسطر تحت عوامل التشغيل الرئيسية الخاصة بها. انظر ماذا تجد.


كيف يمكن للمنطق الرياضي المجرد أن يساعدنا في الحياة الواقعية

الإنترنت هو مصدر غني ولا نهاية له للحجج الرهيبة. كانت هناك زيادة تدريجية مقلقة في رفض غير الخبراء إجماع الخبراء باعتباره مؤامرة النخبة ، كما هو الحال مع علم المناخ واللقاحات. فقط لأن الكثير من الناس يتفقون على شيء ما لا يعني أن هناك مؤامرة. يتفق الكثير من الناس على فوز روجر فيدرر ببطولة ويمبلدون في عام 2017. في الواقع ، ربما يوافق كل من يدرك ذلك. هذا لا يعني أنها مؤامرة: فهذا يعني أن هناك قواعد واضحة جدًا لكيفية الفوز ببطولة ويمبلدون ، ويمكن للعديد من الأشخاص جميعًا مشاهدته وهو يفعل ذلك والتحقق من أنه فاز بالفعل ، وفقًا للقواعد.

تكمن مشكلة العلوم والرياضيات في هذا الصدد في صعوبة فهم القواعد ، لذلك يصعب على غير الخبراء التحقق من اتباع القواعد. لكن هذا النقص في الفهم يعود إلى مستوى أساسي أكثر: استخدامات مختلفة لكلمة "نظرية". في بعض الاستخدامات ، تكون "النظرية" مجرد تفسير مقترح لشيء ما. في العلم ، تعتبر "النظرية" تفسيرًا يتم اختباره بدقة وفقًا لإطار عمل واضح ، ويُعتبر أنه من المرجح أن يكون صحيحًا من الناحية الإحصائية. (وبصورة أكثر دقة ، فإنه من غير المحتمل إحصائيًا أن تحدث النتيجة دون أن يكون التفسير صحيحًا.)

لكن في الرياضيات ، "النظرية" هي مجموعة من النتائج التي ثبت صحتها وفقًا للمنطق. لا يوجد أي احتمال متضمن ، ولا يوجد دليل مطلوب ، ولا شك. يأتي الشك والأسئلة عندما نسأل كيف تشكل هذه النظرية العالم من حولنا ، لكن النتائج الصحيحة داخل هذه النظرية يجب أن تكون منطقية صحيحة ، ويمكن لعلماء الرياضيات الاتفاق عليها جميعًا. إذا كانوا يشكون في ذلك ، فعليهم أن يجدوا خطأ في الدليل ، فلا يجوز أن يصرخوا به فقط.

من السمات الملحوظة للرياضيات أن علماء الرياضيات يجيدون بشكل مدهش الاتفاق على ما هو صحيح وما هو غير صحيح. لدينا أسئلة مفتوحة ، حيث لا نعرف الإجابة حتى الآن ، لكن الرياضيات منذ 2000 عام ما زالت تعتبر صحيحة ولا تزال تُدرس بالفعل. هذا يختلف عن العلم ، الذي يتم تجديده وتحديثه باستمرار. لست متأكدًا من أن الكثير من العلوم منذ 2000 عام ما زالت تُدرس ، باستثناء فصل مادة تاريخ العلوم. السبب الأساسي هو أن إطار إظهار أن شيئًا ما صحيحًا في الرياضيات هو دليل منطقي ، والإطار واضح بما يكفي لاتفاق علماء الرياضيات عليه. هذا لا يعني أن هناك مؤامرة على قدم وساق.

الرياضيات ، بالطبع ، ليست حياة ، ولا تعمل البراهين المنطقية تمامًا في الحياة الواقعية. هذا لأن الحياة الواقعية بها الكثير من الفروق الدقيقة وعدم اليقين من العالم الرياضي. لقد تم إنشاء العالم الرياضي على وجه التحديد للقضاء على عدم اليقين هذا ، ولكن لا يمكننا تجاهل هذا الجانب من الحياة الواقعية فقط. أو بالأحرى ، هناك سواء تجاهلناه أم لا.

وبالتالي ، فإن الحجج الداعمة لشيء ما في الحياة الواقعية ليست نظيفة مثل البراهين الرياضية ، وهذا مصدر واضح للخلافات. ومع ذلك ، يجب أن يكون للحجج المنطقية الكثير من القواسم المشتركة مع البراهين ، حتى لو لم تكن واضحة تمامًا. بعض الخلاف حول الحجج في الحياة الواقعية أمر لا مفر منه ، لأنه ينبع من عدم اليقين الحقيقي حول العالم. لكن بعض الخلاف يمكن تجنبه ، ويمكننا تجنبه بالمنطق. هذا هو الجزء الذي سنركز عليه.

عادة ما تكون البراهين الرياضية أطول بكثير وأكثر تعقيدًا من الحجج المعتادة في الحياة العادية. تتمثل إحدى مشكلات الحجج في الحياة الطبيعية في أنها تحدث غالبًا بسرعة كبيرة وليس هناك وقت لبناء حجة معقدة. حتى لو كان هناك وقت ، فقد أصبحت فترات الانتباه قصيرة بشكل ملحوظ. إذا لم تصل إلى النقطة المهمة في وحي واحد بالغ الأهمية ، فمن المحتمل ألا يتبعه الكثير من الناس.

على النقيض من ذلك ، قد يستغرق إثبات واحد في الرياضيات 10 صفحات لكتابته وسنة لبناءه. في الواقع ، الموضوع الذي أعمل عليه الآن استغرق التخطيط 11 عامًا ، وتجاوز 200 صفحة في ملاحظاتي. بصفتي عالم رياضيات ، فإنني ممارس جيدًا في التخطيط لإثباتات طويلة ومعقدة.

يكاد يكون من المؤكد أن الحجة المكونة من 200 صفحة طويلة جدًا بالنسبة للحجج في الحياة اليومية (على الرغم من أنها قد لا تكون غير معتادة على الأحكام القانونية) ومع ذلك ، فإن 280 حرفًا قصيرة جدًا إلى حد ما. إن حل المشكلات في الحياة اليومية ليس بالأمر السهل ، ولا ينبغي أن نتوقع أن نكون قادرين على القيام بذلك في الحجج المكونة من جملة أو جملتين ، أو عن طريق الاستخدام المباشر للحدس. سأجادل في أن القدرة على بناء الحجج المنطقية المعقدة والتواصل معها ومتابعتها هي مهارة مهمة للإنسان العقلاني بذكاء. إن القيام بالبراهين الرياضية يشبه عندما يتدرب الرياضيون على ارتفاعات عالية جدًا ، لذلك عندما يعودون إلى ضغط الهواء الطبيعي ، تشعر الأمور بسهولة أكبر. لكن بدلاً من تدريب أجسادنا جسديًا ، فإننا ندرب عقولنا بشكل منطقي ، وهذا يحدث في العالم المجرد.

معظم الأشياء الحقيقية لا تتصرف وفقًا للمنطق. انا لا. أنت لا تفعل ذلك. جهاز الكمبيوتر الخاص بي لا يفعل ذلك بالتأكيد. إذا أعطيت طفل ملف تعريف ارتباط وملف تعريف ارتباط آخر ، فكم عدد ملفات تعريف الارتباط التي سيكون لديهم؟ ربما لا شيء ، لأنهم سيكونون قد أكلوها.

هذا هو السبب في أننا في الرياضيات ننسى بعض التفاصيل حول الموقف من أجل الوصول إلى مكان يعمل فيه المنطق بشكل مثالي. لذا فبدلاً من التفكير في ملف تعريف ارتباط واحد وملف تعريف ارتباط آخر ، نفكر في واحد زائد واحد ، وننسى جانب "ملف تعريف الارتباط". عندئذٍ تنطبق نتيجة واحد زائد واحد على ملفات تعريف الارتباط ، طالما أننا حريصون على الطرق التي تعمل بها ملفات تعريف الارتباط ولا تتصرف وفقًا للمنطق.

المنطق هو عملية بناء الحجج عن طريق الاستنتاج الدقيق. يمكننا محاولة القيام بذلك في الحياة الطبيعية بنتائج متفاوتة ، لأن الأشياء في الحياة الطبيعية منطقية بدرجات مختلفة. أود أن أزعم أنه لا يوجد شيء منطقي تمامًا في الحياة الطبيعية. سنستكشف لاحقًا كيف تفشل الأشياء في أن تكون منطقية: بسبب العواطف ، أو بسبب وجود الكثير من البيانات التي لا يمكننا معالجتها ، أو بسبب فقدان الكثير من البيانات ، أو بسبب وجود عنصر العشوائية.

لذا من أجل دراسة أي شيء بشكل منطقي ، علينا أن ننسى التفاصيل المزعجة التي تمنع الأشياء من التصرف بشكل منطقي. في حالة الطفل وملفات تعريف الارتباط ، إذا سُمح لهم بتناول ملفات تعريف الارتباط ، فلن يتصرف الموقف بشكل منطقي تمامًا. لذلك نفرض شرطًا ألا يُسمح لهم بأكل ملفات تعريف الارتباط ، وفي هذه الحالة قد لا تكون هذه الأشياء ملفات تعريف الارتباط ، ولكن أي شيء غير صالح للأكل طالما يتم فصلها إلى قطع منفصلة. هذه مجرد "أشياء" ليس لها خصائص مميزة. هذا هو الرقم 1: إنه فكرة "الشيء" الذي يمكن تمييزه بوضوح.

لقد نقلتنا هذه الخطوة من العالم الحقيقي للأشياء إلى عالم الأفكار المجرد. ماذا يكسبنا هذا؟

ميزة الانتقال إلى العالم المجرد هي أننا الآن في مكان يتصرف فيه كل شيء بشكل منطقي. إذا أضفت واحدًا وواحدًا تحت نفس الظروف بالضبط في العالم المجرد مرارًا وتكرارًا ، فسأحصل دائمًا على 2. (يمكنني تغيير الشروط والحصول على الإجابة كشيء آخر بدلاً من ذلك ، ولكن بعد ذلك سأحصل دائمًا على نفس الإجابة مع هؤلاء شروط جديدة أيضًا.)

يقولون أن الجنون يفعل الشيء نفسه مرارًا وتكرارًا ويتوقع حدوث شيء مختلف. أقول إن المنطق (أو على الأقل جزء منه) يفعل الشيء نفسه مرارًا وتكرارًا ويتوقع حدوث نفس الشيء. فيما يتعلق بجهاز الكمبيوتر الخاص بي ، هذا هو ما يسبب لي بعض الجنون. أفعل الشيء نفسه كل يوم، وبعد ذلك بشكل دوري يرفض جهاز الكمبيوتر الخاص بي للاتصال واي فاي. جهاز الكمبيوتر الخاص بي غير منطقي.

أحد الجوانب القوية للتجريد هو أن العديد من المواقف المختلفة تصبح متشابهة عندما تنسى بعض التفاصيل. يمكنني التفكير في تفاحة واحدة وتفاحة أخرى ، أو دب ودب آخر ، أو مغني أوبرا ومغني أوبرا آخر ، وكل هذه المواقف ستصبح "1 1 1" في العالم المجرد. بمجرد أن نكتشف أن الأشياء المختلفة متشابهة إلى حد ما ، يمكننا دراستها في نفس الوقت ، وهو أمر أكثر كفاءة. وهذا يعني أنه يمكننا دراسة الأجزاء المشتركة بينهما ، ثم إلقاء نظرة على الطرق التي تختلف بها بشكل منفصل.

نكتشف العديد من العلاقات بين المواقف المختلفة ، وربما بشكل غير متوقع. على سبيل المثال ، وجدت علاقة بين مقدمة باخ للبيانو والطريقة التي قد نضفر بها شعرنا. يساعدنا العثور على العلاقات بين المواقف المختلفة على فهمها من وجهات نظر مختلفة ، ولكنه أيضًا عمل موحد بشكل أساسي. يمكننا التأكيد على الاختلافات ، أو يمكننا التأكيد على أوجه التشابه. إنني منجذبة لإيجاد أوجه التشابه بين الأشياء ، في كل من الرياضيات والحياة. الرياضيات هي إطار لإيجاد أوجه التشابه بين أجزاء مختلفة من العلوم ، ومجال بحثي ، نظرية الفئات ، هو إطار لإيجاد أوجه التشابه بين أجزاء مختلفة من الرياضيات.

When we look for similarities between things we often have to discard more and more layers of outer details, until we get to the deep structures that are holding things together. This is just like the fact that we humans don’t look extremely alike on the surface, but if we strip ourselves all the way down to our skeletons we are all pretty much the same. Shedding outer layers, or boiling an argument down to its essence, can help us understand what we think and in particular can help us understand why we disagree with other people.

A particularly helpful feature of the abstract world is that everything exists as soon as you think of it. If you have an idea and you want to play with it, you can play with it immediately. You don’t have to go and buy it (or beg your parents to buy it for you, or beg your grant-awarding agency to give you the money to buy it). I wish my dinner would exist as soon as I think of it. But my dinner isn’t abstract, so it doesn’t. More seriously, this means that we can do thought experiments with our ideas about the world, following the logical implications through to see what will happen, without having to do real and possibly impractical experiments to get those ideas.

Getting to the abstract, logical world is the first step towards thinking logically. Granted, in normal life we might not need to go there quite so explicitly in order to think logically about the world around us, but the process is still there when we are trying to find the logic in a situation.

A new system was recently introduced on the London Underground, where green markings were painted onto the platforms indicating where the doors would open. Passengers waiting for the train were instructed to stand outside the green areas, so that those disembarking the arriving train would have space to do so, instead of being faced with a wall of people trying to get on. The aim was to try and improve the flow of people and reduce the terrible congestion, especially during the rush hour.

This sounds like a good idea to me, but it was met with outcry from some regular commuters. Apparently some people were upset that these markings spoilt the “competitive edge” they had gained through years of commuting and studying train doors to learn where they would open. They were upset that random tourists who had never been to London before would now have just as much chance of boarding the train first.

This complaint was met with ridicule in return, but I thought it gave an interesting insight into one of the thorny aspects of affirmative action: if we give particular help to some previously disadvantaged people, then some of the people who don’t get this help are likely to feel hard done by. They think it’s unfair that only those other people get help. Like the absurdly outraged commuters, they might well feel miffed that they are losing their “competitive edge” that they feel they have earned, and they think that everyone else should have to earn it as well.

This is not an explicitly mathematical example but this way of making analogies is the essence of mathematical thinking, where we focus on important features of a situation to clarify it, and to make connections with other situations. In fact, mathematics as a whole can be thought of as the theory of analogies. Finding analogies involves stripping away some details that we deem irrelevant for present considerations, and finding the ideas that are at the very heart making it tick. This is a process of abstraction, and is how we get to the abstract world where we can more easily and effectively apply logic and examine the logic in a situation.

To perform this abstraction well, we need to separate out the things that are inherent from the things that are coincidental. Logical explanations come from the deep and unchanging meanings of things, rather than from sequences of events or personal decisions and tastes. The inherentness means that we should not have to rely on context to understand something.

We will see that our normal use of language depends on context all the time, as the same words can mean different things in different contexts, just as “quite” can mean “very” or “not much.” In normal language people judge things not only by context but also relative to their own experiences logical explanations need to be independent of personal experiences.

Understanding what is inherent in a situation involves understanding why things are happening, in a very fundamental sense. It is very related to asking “why?”, repeatedly, like a small child, and not being satisfied with immediate and superficial answers. We have to be very clear what we are talking about in the first place. Logical arguments mostly come down to unpacking what things really mean, and in order to do that you have to understand what things mean very deeply. This can often seem like making an argument all about definitions. If you try having an argument about whether or not you exist, you’ll probably find that the argument will quickly degenerate into an argument about what it means to “exist.” I usually find that I might as well pick a definition that means I do exist, as that’s a more useful answer than saying “Nope, I don’t exist.”

I have already asserted the fact that nothing in the world actually behaves according to logic. So how can we use logic in the world around us? Mathematical arguments and justifications are unambiguous and robust, but we can’t use them to draw completely unambiguous conclusions about the world of humans. We can try to use logic to construct arguments about the real world, but no matter how unambiguously we build the argument, if we start with concepts that are ambiguous, there will be ambiguity in the result. We can use extremely secure building techniques, but if we use bricks made of polystyrene we’ll never get a very strong building.

However, understanding mathematical logic helps us understand ambiguity and disagreement. It helps us understand where the disagreement is coming from. It helps us understand whether it comes from different use of logic, or different building blocks. If two people are disagreeing about healthcare they might be disagreeing about whether or not everyone should have healthcare, or they might be disagreeing about the best way to provide everyone with healthcare. Those are two quite different types of disagreement.

If they are disagreeing about the latter, they could be using different criteria to evaluate the healthcare systems, for example cost to the government, cost to the individuals, coverage, or outcomes. Perhaps in one system average premiums have gone up but more people have access to insurance. Or it could be that they are using the same criteria but judging the systems differently against those same criteria: one way to evaluate cost to individuals is to look at premiums, but another way is to look at the amount they actually have to pay out of their own pockets for any treatment. And even focusing on premiums there are different ways to evaluate those: means, medians, or looking at the cost to the poorest portion of society.

If two people disagree about how to solve a problem, they might be disagreeing about what counts as a solution, or they might agree on what counts as a solution but disagree about how to reach it. I believe that understanding logic helps us understand how to clear up disagreements, by first helping us understand where the root of the disagreement is.

من The Art of Logic in an Illogical World. Used with permission of Basic Books. Copyright © 2018 by Eugenia Cheng.


Is logic a science or an art? Of course, a logician would answer نعم، and here is why.

أ علوم is a systematic study of some aspect of the natural world that seeks to discover laws (regularities, principles) by which God governs His creation. Whereas botany studies plants, astronomy studies the sky, and anatomy studies the body, logic studies the mind as it reasons, as it draws conclusions from other information. Logic as a science seeks to discover rules that distinguish good reasoning from poor reasoning, rules that are then simplified and systematized. These would include the rules for validity, of inference and replacement, and so on.

For example, logic as a science could study the apostle Paul’s reasoning in 1 Cor. 15, “If there is no resurrection of the dead, then Christ has not been raised… But Christ has been raised, and is therefore the first fruits from among the dead.” It then simplifies this into a standard pattern: If not R then not C, C, therefore R. This rule can be further simplified, named, and organized in relation to other rules of logic.

ان فن is a creative application of the principles of nature for the production of works of beauty, skill, and practical use. The visual arts apply their principles to the production of paintings, sculptures, and pottery. The literary arts produce poems and stories. The performing arts produce operas, plays, and ballets.

Logic is one of the seven liberal arts, which include the Trivium of grammar, logic, and rhetoric. These arts are the skills which are essential for a free person (liberalis, “worthy of a free person”) to take an active part in daily life, for the benefit of others. Specifically, logic as an art seeks to apply the principles of reasoning to analyze and create arguments, proofs, and other chains of reasoning.

Logic is the science and art of reasoning well. Logic as a science seeks to discover rules of reasoning logic as an art seeks to apply those rules to rational discourse.


Symbolic Logic 5E: 3.1, IV

“Construct a formal proof of validity for each of the following arguments, using the abbreviations suggested”

  1. A ∨ ¬I
  2. D→I
  3. ¬A
  4. (¬D ∧ ¬I)→W …وبالتالي، دبليو
  5. ¬I (3,1,DS)
  6. ¬D (5,2,MT)
  7. ¬D ∧ ¬I (6,5,CONJ)
  8. W (7,4,MP)
  1. S→P
  2. C→¬F
  3. I→F
  4. O→¬P
  5. O ∨ C …وبالتالي، ¬S ∨ ¬I
  6. (O→¬P) ∧ (C→¬F) (4,2,CONJ)
  7. ¬P ∨ ¬F (6,5,CD)
  8. (I→F) ∧ (S→P) (3,1,CONJ)
  9. ¬S ∨ ¬I (8,7,DD)
  1. C→N
  2. N→I
  3. I→S
  4. (C→S)→(N→C)
  5. ¬C …وبالتالي، ¬N
  6. C→I (1,2,HS)
  7. C→S (6,3,HS)
  8. N→C (7,4,MP)
  9. ¬N (5,8,MT)
  1. (¬K ∧ P)→(B ∨ R)
  2. ¬K→(B→D)
  3. K ∨ (R→E)
  4. ¬K ∧ P …وبالتالي، D ∨ E
  5. ¬K (4,SIMP)
  6. B→D (2,5,MP)
  7. R→E (3,5,DS)
  8. (B→D) ∧ (R→E) (6,7,CONJ)
  9. B ∨ R (1,4,MP)
  10. D ∨ E (8,9,CD)
  1. (A→B) ∧ (B→¬C)
  2. C→¬D
  3. B→E
  4. ¬D→F
  5. ¬E ∨ ¬F …وبالتالي، ¬A ∨ ¬C
  6. (B→E) ∧ (¬D→F) (4,3,CONJ)
  7. (¬B ∨ ¬¬D) (5,6,DD)
  8. A→B (1,SIMP)
  9. (A→B) ∧ (C→¬D) (8,2,CONJ)
  10. ¬A ∨ ¬C (9,7,DD)
  1. (G ∨ H)→¬I
  2. I ∨ H
  3. (H ∨ ¬G)→J
  4. G …وبالتالي، J ∨ ¬H
  5. G ∨ H (4,ADD)
  6. ¬I (5,1,MP)
  7. H (6,2,DS)
  8. H ∨ ¬G (7,ADD)
  9. J (8,3,MP)
  10. J ∨ ¬H (9,ADD)
  1. (R→P) ∧ (¬P→M)
  2. (M→D) ∧ (D→R)
  3. (¬M ∨ ¬R)→(¬P ∨ ¬D)
  4. ¬M …وبالتالي، ¬R ∨ ¬M
  5. ¬M ∨ ¬R (3,ADD)
  6. ¬R ∨ ¬M (5,COMM)
  1. V→F
  2. V ∨ (P→Q)
  3. M ∨ (R→C)
  4. M→F
  5. (¬V ∧ ¬M)→(R ∨ P)
  6. ¬F …وبالتالي، C ∨ Q
  7. ¬V (6,1,MT)
  8. ¬M (6,4,MT)
  9. ¬V ∧ ¬M (7,8,CONJ)
  10. R ∨ P (9,5,MP)
  11. P→Q (7,2,DS)
  12. R→C (8,3,DS)
  13. (R→C) ∧ (P→Q) (11,12,CONJ)
  14. C ∨ Q (10,13, CD)
  1. T ∨ (E→D)
  2. T→C
  3. (E→G)→(D→I)
  4. (¬T ∨ ¬C)→(D→G)
  5. ¬C
  6. ¬I ∨ ¬G …وبالتالي، ¬D ∨ ¬E
  7. ¬T (2,5,MT)
  8. E→D (7,1,DS)
  9. ¬T ∨ ¬C (7,ADD)
  10. D→G (9,4,MP)
  11. E→G (8,10,HS)
  12. D→I (3,11,MP)
  13. (D→I) ∧ (E→G ) (12,11,CONJ)
  14. ¬D ∨ ¬E (13,6,DD)


شاهد الفيديو: منطق 3ث - الموضوع الثاني كامل في 30 دقيقة بس! (ديسمبر 2021).