مقالات

1.4: وظائف خطية


عندما تقفز في سيارة أجرة في لاس فيغاس ، سيقرأ العداد على الفور 3.30 دولار ؛ هذا هو "انخفاض" الشحنة التي يتم إجراؤها عند تنشيط عداد التاكسي. باستخدام المتغيرات الوصفية ، نختار م لأميال و ج للتكلفة بالدولار كدالة للأميال: (C (م) ).

نحن نعلم على وجه اليقين أن (C (0) = 3.30 ) ، نظرًا لأنه يتم تقييم رسوم الإسقاط البالغة 3.30 دولارًا أمريكيًا بغض النظر عن عدد الأميال المقطوعة. منذ أن تمت إضافة 2.60 دولار لكل ميل مدفوع ، إذن

[C (1) = 3.30 + 2.60 = 5.90 nonumber ]

إذا قطعنا بعد ذلك ميلًا ثانيًا ، فسيتم إضافة 2.60 دولارًا آخر إلى التكلفة:

[C (2) = 3.30 + 2.60 + 2.60 = 3.30 + 2.60 (2) = 8.50 nonumber ]

إذا قطعنا ميلًا ثالثًا ، فسيتم إضافة 2.60 دولار إلى التكلفة:

[C (3) = 3.30 + 2.60 + 2.60 + 2.60 = 3.30 + 2.60 (3) = 11.10 nonumber ]

من هذا قد نلاحظ النمط ، ونستنتج أنه إذا تم قطع (م ) أميال ،

(C (م) = 3.30 + 2.60 م ) لأننا نبدأ برسوم إسقاط 3.30 دولار ثم نضيف 2.60 دولار لكل ميل زيادة.

من الجيد التحقق من أن الوحدات منطقية في هذه المعادلة. تُقاس رسوم الإسقاط البالغة 3.30 دولار أمريكي بالدولار يتم قياس تكلفة 2.60 دولار بالدولار لكل ميل.

[C (m) = 3.30 text {dollar} + left (2.60 dfrac { text {dollar}} { text {mile}} right) left (m ؛ text {miles} right )لا يوجد رقم ]

عندما يتم ضرب الدولارات لكل ميل في عدد الأميال ، تكون النتيجة عدد الدولارات ، ومطابقة الوحدات في 3.30 ، ومطابقة الوحدات المرغوبة لـ ج وظيفة.

لاحظ أن هذه المعادلة (C (m) = 3.30 + 2.60m ) تتكون من كميتين. الأول هو التهمة الثابتة 3.30 دولار والتي لا تتغير بناءً على قيمة المدخلات. والثاني هو 2.60 دولار لكل ميل ، وهو a معدل التغيير. في المعادلة ، يتم ضرب معدل التغيير هذا في قيمة الإدخال.

بالنظر إلى هذه المشكلة نفسها في تنسيق الجدول ، يمكننا أيضًا رؤية تغيرات التكلفة بمقدار 2.60 دولارًا لكل زيادة قدرها ميل واحد.

(م )0123
(سم))3.305.908.5011.10

من المهم هنا ملاحظة أنه في هذه المعادلة ، فإن معدل التغيير ثابت؛ على أي فترة ، يكون معدل التغيير هو نفسه.

برسم هذه المعادلة بالرسم البياني ، (C (m) = 3.30 + 2.60m ) نرى أن الشكل عبارة عن خط ، وهو كيف تحصل هذه الوظائف على أسمائها: وظائف خطية.

عندما يكون عدد الأميال صفرًا ، تكون التكلفة 3.30 دولارًا ، مما يعطي النقطة (0 ، 3.30) على الرسم البياني. هذا هو التقاطع الرأسي أو (C (m) ). الرسم البياني يتزايد في خط مستقيم من اليسار إلى اليمين لأن التكلفة ترتفع بمقدار 2.60 دولار لكل ميل ؛ يظل هذا المعدل ثابتًا.

في هذا المثال ، شاهدت تكلفة سيارة الأجرة على شكل كلمات ومعادلة وجدول وفي شكل رسومي. كلما كان ذلك ممكنًا ، تأكد من أنه يمكنك ربط هذه التمثيلات الأربعة معًا لبناء مهاراتك باستمرار. من المهم ملاحظة أنك لن تكون دائمًا قادرًا على العثور على جميع التمثيلات الأربعة لمشكلة ما ، وبالتالي فإن القدرة على العمل مع الأشكال الأربعة كلها أمر مهم للغاية.

التعريف: دالة خطية

أ دالة خطية هي وظيفة ينتج رسمها البياني خطًا. يمكن دائمًا كتابة الوظائف الخطية في النموذج

(f (x) = b + mx ) أو (f (x) = mx + b ) ؛ إنها متكافئة

أين

  • (b ) هي القيمة الأولية أو القيمة الأولية للدالة (عند الإدخال ، x = 0) ، و
  • (م ) هو المعدل الثابت لتغيير الوظيفة

يحب العديد من الأشخاص كتابة وظائف خطية بالصيغة (f (x) = b + mx ) لأنها تتوافق مع الطريقة التي نميل إلى التحدث بها: "يبدأ الإخراج عند (b ) ويزيد بمعدل (م). "

لهذا السبب وحده سنستخدم النموذج (f (x) = b + mx ) للعديد من الأمثلة ، لكن تذكر أنها متكافئة ويمكن كتابتها بشكل صحيح في كلا الاتجاهين.

التعريف: انحدار وتزايد / تناقص

(م ) هو المعدل الثابت لتغيير الوظيفة (يسمى أيضًا ميل). المنحدر يحدد الميل ما إذا كانت الدالة دالة متزايدة أم دالة تناقصية.

(f (x) = b + mx ) هو في ازدياد تعمل إذا (م> 0 )

(f (x) = b + mx ) هو أ تناقص تعمل إذا (م <0 )

إذا كان (م = 0 ) ، معدل التغيير صفر ، والدالة (f (x) = b + 0 x = b ) هي مجرد خط أفقي يمر عبر النقطة (0، (b )) ، لا زيادة ولا تناقص.

مثال ( PageIndex {1} )

لبدء إنتاج نموذج جديد من العجلات المخصصة ، سيتعين على الشركة شراء معدات جديدة بقيمة 30 ألف دولار. كل عجلة مصنوعة يكلفهم 40 دولارًا من الإمدادات واليد العاملة. اكتب معادلة التكلفة الإجمالية ، (TC ) ، لإنتاج (q ) العجلات. ما هي تكاليفهم الإجمالية في السنة الأولى إذا كانوا يتوقعون بيع 240 عجلة؟

المحلول

القيمة الأولية لهذه الوظيفة هي 30000 ، نظرًا لأن هذه هي تكاليف بدء التشغيل ، لذلك (TC (0) = 30000 ). تزداد التكلفة بمقدار 40 دولارًا لكل عجلة مصنوعة ، وبالتالي فإن معدل التغيير هو 40 دولارًا لكل عجلة. باستخدام هذه المعلومات ، يمكننا كتابة الصيغة:

[TC (q) = 30،000 + 40q. nonumber ]

(TC (q) ) هي دالة خطية متزايدة.

باستخدام هذه الصيغة ، يمكننا توقع التكلفة الإجمالية لـ 240 عجلة:

[TC (240) = 30.000 + 40 (240) = 30.000 + 9600 = 39600. nonumber ]

التكلفة الإجمالية ستكون 39600 دولار.

التعريف: حساب معدل التغيير

إعطاء قيمتين للإدخال ، (x_ {1} { rm ؛ و ؛} x_ {2} ) ، وقيمتان متناظرتان للإخراج ، (y_ {1} { rm ؛ و ؛} y_ {2} ) ، أو مجموعة من النقاط ، ((x_ {1} { rm، ؛ ؛} y_ {1}) ) و ((x_ {2} { rm، ؛ ؛} y_ {2}) ) ، إذا أردنا إيجاد دالة خطية تحتوي على كلتا النقطتين يمكننا حساب معدل التغيير ، م:

[m = dfrac { rm تغيير ؛ في؛ الإخراج} { rm تغيير ؛ في؛ input} = dfrac { Delta y} { Delta x} = dfrac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} ]

يسمى معدل تغيير الدالة الخطية أيضًا بـ ميل من الخط.

لاحظ في تدوين الوظيفة ، (y_ {1} = f (x_ {1}) ) و (y_ {2} = f (x_ {2}) ) ، حتى نتمكن من الكتابة بشكل مكافئ

[m = dfrac {f left (x_ {2} right) -f left (x_ {1} right)} {x_ {2} -x_ {1}} ]

مثال ( PageIndex {2} )

زاد عدد سكان المدينة من 23400 إلى 27800 بين عامي 2002 و 2006. أوجد معدل تغير السكان خلال هذه الفترة الزمنية.

المحلول

معدل التغيير سيربط التغيير في عدد السكان بالتغير في الوقت. زاد عدد السكان بمقدار (27800-23400 = 4400 ) شخصًا خلال فترة 4 سنوات. للعثور على معدل التغيير ، تغير عدد الأشخاص في السنة من خلال:

[ dfrac {4400 text {people}} {4 text {years}} = 1100 dfrac { text {people}} { text {year}} = 1100 text {people per year} nonumber ]

لاحظ أننا علمنا أن عدد السكان يتزايد ، لذلك نتوقع أن تكون قيمة (م ) موجبة. هذه طريقة سريعة للتحقق مما إذا كانت قيمتك معقولة.

مثال ( PageIndex {3} )

يعتمد الضغط ، (P ) ، بالجنيه لكل بوصة مربعة (PSI) على الغطاس على عمقهم تحت سطح الماء ، (د ) ، بالأقدام ، باتباع المعادلة (P (d) = 14.696 + 0.434d ). فسر مكونات هذه الوظيفة.

المحلول

معدل التغيير ، أو الميل ، 0.434 سيكون له وحدات ( dfrac { text {output}} { text {input}} = dfrac { text {pressure}} { text {deep}} = dfrac { text {PSI}} { text {ft}} ). هذا يخبرنا أن الضغط على الغواص يزداد بمقدار 0.434 رطل لكل بوصة مربعة لكل قدم يزداد عمقها.

سيكون للقيمة الأولية ، 14.696 ، نفس وحدات الإخراج ، لذلك يخبرنا هذا أنه على عمق 0 قدم ، سيكون الضغط على الغواص 14.696 رطل لكل بوصة مربعة.

مثال ( PageIndex {4} )

إذا كانت (f (x) ) دالة خطية ، (f (3) = - 2 ) ، و (f (8) = 1 ) ، فأوجد معدل التغيير.

المحلول

(f (3) = - 2 ) يخبرنا أن الإدخال 3 يتوافق مع الناتج -2 ، و (f (8) = 1 ) يخبرنا أن الإدخال 8 يتوافق مع الناتج 1. للعثور على معدل التغيير ، نقسم التغيير في الناتج بالتغيير في المدخلات:

[m = dfrac { text {change in output}} { text {change in input}} = dfrac {1 - (- 2)} {8-3} = dfrac {3} {5} إذا رغبت في ذلك ، يمكننا أيضًا كتابة هذا كـ (م = 0.6 )

لاحظ أنه ليس من المهم أي زوج من القيم يأتي أولاً في عمليات الطرح طالما أن قيمة الإخراج الأولى المستخدمة تتوافق مع قيمة الإدخال الأولى المستخدمة.

تمرين ( PageIndex {2} )

بمعلومية النقطتين (2، 3) و (0، 4) ، أوجد معدل التغيير. هل هذه الوظيفة تتزايد أم تتناقص؟

إجابه

(m = dfrac {4-3} {0-2} = dfrac {1} {- 2} = - dfrac {1} {2} ) ؛ المتناقص بسبب (م <0 )

يمكننا الآن إيجاد معدل التغيير في ضوء زوجي المدخلات والمخرجات ، ويمكننا كتابة معادلة للدالة الخطية بمجرد أن نحصل على معدل التغيير والقيمة الأولية. إذا كان لدينا زوجان من المدخلات والمخرجات ولم يتضمنا القيمة الأولية للدالة ، فسنضطر إلى حلها.

مثال ( PageIndex {5} )

اكتب معادلة للدالة الخطية مرسومة إلى اليمين.

المحلول

بالنظر إلى الرسم البياني ، قد نلاحظ أنه يمر بالنقطتين (0 ، 7) و (4 ، 4). من القيمة الأولى ، نعلم أن القيمة الأولية للدالة هي (ب = 7 ) ، لذلك في هذه الحالة سنحتاج فقط إلى حساب معدل التغيير:

[m = dfrac {4-7} {4-0} = dfrac {-3} {4} nonumber ]

هذا يسمح لنا بكتابة المعادلة:

[f (x) = 7- dfrac {3} {4} x nonumber ]

مثال ( PageIndex {6} )

إذا كانت (f (x) ) دالة خطية ، (f (3) = - 2 ) ، و (f (8) = 1 ) ، ابحث عن معادلة للدالة.

المحلول

في المثال 3 ، حسبنا معدل التغيير ليكون (m = dfrac {3} {5} ). في هذه الحالة ، لا نعرف القيمة الأولية (f (0) ) ، لذا سيتعين علينا حلها. باستخدام معدل التغيير ، نعلم أن المعادلة سيكون لها الشكل (f (x) = b + dfrac {3} {5} x ). نظرًا لأننا نعرف قيمة الدالة عند (x = 3 ) ، يمكننا تقييم الدالة عند 3.

[f (3) = b + dfrac {3} {5} (3) nonumber ] بما أننا نعلم أن (f (3) = - 2 ) ، يمكننا الاستبدال في الجانب الأيسر

[- 2 = b + dfrac {3} {5} (3) nonumber ] هذا يترك لنا معادلة يمكننا حلها من أجل القيمة الأولية

[b = -2- dfrac {9} {5} = dfrac {-19} {5} nonumber ]

بدمج هذا مع قيمة معدل التغيير ، يمكننا الآن كتابة صيغة لهذه الوظيفة:

[f (x) = dfrac {-19} {5} + dfrac {3} {5} x nonumber ]

مثال ( PageIndex {7} )

من خلال العمل كمندوب مبيعات تأمين ، يكسب إيليا راتبًا أساسيًا وعمولة على كل بوليصة تأمين جديدة ، لذلك يعتمد الدخل الأسبوعي لإيليا ، (I ) ، على عدد الوثائق الجديدة ، (n ) التي يبيعها خلال الأسبوع. في الأسبوع الماضي ، باع 3 وثائق جديدة ، وحقق 760 دولارًا عن الأسبوع. في الأسبوع السابق ، باع 5 وثائق جديدة ، وحقق 920 دولارًا. ابحث عن معادلة (I (n) ) ، وفسر معنى مكونات المعادلة.

المحلول

تعطينا المعلومات المعطاة زوجين من المدخلات والمخرجات: (3760) و (5920). نبدأ بإيجاد معدل التغيير.

[m = dfrac {920-760} {5-3} = dfrac {160} {2} = 80 nonumber ]

يمكن أن يساعدنا تتبع الوحدات في تفسير هذه الكمية. زاد الدخل بمقدار 160 دولارًا عندما زاد عدد السياسات بمقدار 2 ، وبالتالي فإن معدل التغيير هو 80 دولارًا لكل بوليصة ؛ يكسب إيليا عمولة قدرها 80 دولارًا عن كل وثيقة يتم بيعها خلال الأسبوع.

يمكننا بعد ذلك إيجاد القيمة الأولية

[I (n) = b + 80n nonumber ] ثم عندما (n = 3 ) ، (I (3) = 760 ) ، إعطاء

[760 = b + 80 (3) nonumber ] هذا يسمح لنا بحل (b )

[ب = 760-80 (3) = 520 بدون رقم ]

هذه القيمة هي قيمة البداية للدالة. هذا هو دخل إيليا عندما (n = 0 ) ، مما يعني عدم بيع بوالص التأمين الجديدة. يمكننا تفسير هذا على أنه الراتب الأساسي لإيليا للأسبوع ، والذي لا يعتمد على عدد الوثائق المباعة.

كتابة المعادلة النهائية:

[أنا (ن) = 520 + 80 ن بلا رقم ]

تفسيرنا النهائي هو: الراتب الأساسي لإيليا هو 520 دولارًا أمريكيًا في الأسبوع ، وهو يكسب عمولة إضافية قدرها 80 دولارًا أمريكيًا عن كل وثيقة يتم بيعها كل أسبوع.

استرجاع

النظر إلى المثال 7:

حدد المتغيرات المستقلة والتابعة.

ما هو المجال والنطاق المعقول؟

هل هذه الوظيفة فردية؟

إجابه

(n ) (عدد السياسات المباعة) هو المتغير المستقل

(I (n) ) (الدخل الأسبوعي كدالة لسياسات البيع) هو المتغير التابع.

النطاق المعقول هو (0 ، 15) ({} ^ {*} )

النطاق المعقول هو (540 دولارًا ، 1740 دولارًا) ({} ^ {*} )

({} ^ {*} ) قد تختلف الإجابات نظرًا لذكر المنطق ؛ 15 هو الحد الأعلى التعسفي على أساس بيع 3 سياسات في اليوم في أسبوع عمل 5 أيام و 1740 دولارًا يتوافق مع المجال.

نعم ، هذه الوظيفة هي واحد لواحد

تمرين ( PageIndex {3} )

الرصيد في حساب دفع كليتك ، (C ) ، هو دالة لعدد الأرباع ، (q ) ، التي تحضرها. فسر الدالة (C (a) = 20000-4000q ) بالكلمات. كم عدد أرباع الكلية التي يمكنك دفع رسومها حتى يصبح هذا الحساب فارغًا؟

إجابه

يبدأ حساب الكلية الخاص بك بمبلغ 20000 دولار أمريكي ، وتقوم بسحب 4000 دولار أمريكي كل ربع سنة (أو يحتوي حسابك على 20000 دولار أمريكي وينخفض ​​بمقدار 4000 دولار أمريكي كل ربع سنة). الحل (C (a) = 0 ) يعطي (أ = 5 ). يمكنك الدفع مقابل 5 أرباع قبل نفاد الأموال الموجودة في هذا الحساب.

مثال ( PageIndex {8} )

بالنظر إلى الجدول أدناه ، اكتب معادلة خطية تمثل قيم الجدول

(w ) ، عدد الأسابيع0246
(P (w) ) ، عدد الفئران1000108011601240

المحلول

يمكننا أن نرى من الجدول أن القيمة الأولية للفئران هي 1000 حتى في التنسيق الخطي

[P (w) = b + mw، : b = 1000 nonumber ]

بدلاً من إيجاد قيمة (م ) ، يمكننا أن نلاحظ من الجدول أن عدد السكان يرتفع بمقدار 80 لكل أسبوعين بعد ذلك. هذا المعدل ثابت من الأسبوع 0 إلى الأسبوع 2 و 4 و 6. معدل التغيير هو 80 جرذًا لكل أسبوعين. يمكن تبسيط هذا إلى 40 جرذًا في الأسبوع ويمكننا الكتابة

[P (w) = b + mw text {as} P (w) = 1000 + 40w nonumber ]

إذا لم تكن قد لاحظت ذلك من الجدول ، فلا يزال بإمكانك إيجاد الميل باستخدام أي نقطتين من الجدول. على سبيل المثال ، باستخدام (2 ، 1080) و (6 ، 1240) ،

[m = dfrac {1240-1080} {6-2} = dfrac {160} {4} = 40 text {الفئران في الأسبوع} nonumber ]

موضوعات مهمة في هذا القسم

  • تعريف النمذجة
  • تعريف دالة خطية
  • هيكل دالة خطية
  • زيادة الوظائف وتقليلها
  • إيجاد التقاطع الرأسي (0 ، ب)
  • إيجاد المنحدر / معدل التغيير ، م
  • تفسير الدوال الخطية

1.4: وظائف خطية

في هذا القسم ، سنلقي نظرة على تطبيق ليس للمشتقات ولكن للخط المماس للدالة. بالطبع ، للحصول على خط المماس ، نحتاج إلى أخذ المشتقات ، لذلك بطريقة ما هذا تطبيق للمشتقات أيضًا.

عند إعطاء دالة ، (f left (x right) ) ، يمكننا إيجاد ظلها عند (x = a ). معادلة خط المماس ، التي سنسميها (L left (x right) ) لهذه المناقشة ، هي ،

[L left (x right) = f left (a right) + f ' left (a right) left ( حق)]

ألق نظرة على الرسم البياني التالي للدالة وخط المماس الخاص بها.

من هذا الرسم البياني يمكننا أن نرى أنه بالقرب من (س = أ ) خط الظل والوظيفة لهما نفس الرسم البياني تقريبًا. في بعض الأحيان سنستخدم خط الظل ، (L left (x right) ) ، كتقريب للوظيفة ، (f left (x right) ) ، بالقرب من (x = a ) . في هذه الحالات نسمي خط الظل تقريب خطي للدالة في (س = أ ).

لذا ، لماذا نفعل هذا؟ دعونا نلقي نظرة على مثال.

نظرًا لأن هذا هو مجرد خط الظل ، فليس هناك الكثير لإيجاد التقريب الخطي.

التقريب الخطي إذن ،

[L left (x right) = 2 + frac <1> <<12>> left ( right) = frac <1> <<12>> x + frac <4> <3> ]

الآن ، التقديرات التقريبية ليست أكثر من توصيل القيم المعطاة لـ (x ) في التقريب الخطي. لأغراض المقارنة ، سنحسب أيضًا القيم الدقيقة.

[يبدأL left (<8.05> right) & = 2.00416667 & hspace <0.75in> sqrt [3] << 8.05 >> & = 2.00415802 L left (<25> right) & = 3.41666667 & hspace <0.75in> sqrt [3] <<25>> & = 2.92401774 end]

لذلك ، عند (x = 8.05 ) ، يقوم هذا التقريب الخطي بعمل جيد جدًا لتقريب القيمة الفعلية. ومع ذلك ، في (x = 25 ) لا تقوم بعمل جيد.

لا ينبغي أن يكون هذا مفاجئًا جدًا إذا فكرت في الأمر. بالقرب من (س = 8 ) كل من الوظيفة والتقريب الخطي لهما نفس المنحدر تقريبًا وبما أنهما يمران عبر النقطة ( يسار (<8،2> يمين) ) يجب أن يكون لهما نفس القيمة تقريبًا طالما بقينا قريبين من (س = 8 ). ومع ذلك ، عندما نبتعد عن (x = 8 ) ، يكون التقريب الخطي عبارة عن خط وبالتالي سيكون له دائمًا نفس المنحدر بينما يتغير ميل الوظيفة مع تغير (x ) وبالتالي ستتغير الوظيفة ، في جميع الاحتمالات ، الابتعاد عن التقريب الخطي.

فيما يلي رسم تخطيطي سريع للدالة وتقريبها الخطي عند (x = 8 ).

كما هو مذكور أعلاه ، كلما ابتعدنا عن (x = 8 ) كلما زادت المسافة التي تفصل بين الوظيفة نفسها وتقريبها الخطي.

تقوم التقريبات الخطية بعمل جيد جدًا لتقريب قيم (f left (x right) ) طالما بقينا "قريبين" (x = a ). ومع ذلك ، فكلما ابتعدنا عن (س = أ ) زاد سوء التقريب. المشكلة الرئيسية هنا هي أن مدى قربنا من البقاء على (x = a ) من أجل الحصول على تقريب جيد سيعتمد على كل من الوظيفة التي نستخدمها وقيمة (x = a ) التي نحن تستخدم. أيضًا ، لن تكون هناك غالبًا طريقة سهلة للتنبؤ بمدى البعد عن (x = a ) الذي يمكننا الحصول عليه ومازال لدينا تقدير تقريبي "جيد".

دعنا نلقي نظرة على مثال آخر تم استخدامه بشكل كبير إلى حد ما في بعض الأماكن.

مرة أخرى ، ليس هناك الكثير من هذا المثال. كل ما علينا فعله هو حساب خط الظل إلى ( sin theta ) في ( theta = 0 ).

[يبدأf left ( theta right) & = sin theta & hspace <0.75in> f ' left ( theta right) & = cos theta f left (0 right) & = 0 & hspace <0.75in> f ' left (0 right) & = 1 end]

التقريب الخطي هو ،

لذلك ، طالما بقي ( theta ) صغيرًا ، يمكننا أن نقول ذلك ( الخطيئة ثيتا تقريبا ثيتا ).

هذا في الواقع تقريب خطي مهم إلى حد ما. غالبًا ما يستخدم هذا التقريب الخطي في البصريات لتبسيط الصيغ. يستخدم هذا التقريب الخطي أيضًا للمساعدة في وصف حركة البندول والاهتزازات في سلسلة.


الفصل 1.1-1.4 إجابات الواجب المنزلي

أ. يتكون التعبير الجبري من مصطلحين جبريين يفصل بينهما رمز تشغيل مثل - أو +.

ب. التعبير الجبري يعادل المعادلة الجبرية.

ج. يتكون التعبير الجبري من مصطلح جبري واحد.

أ. يجب أن تكون الثوابت a و b و c أعدادًا حقيقية ويكون الثابت دائمًا موجبًا.

ب. لا يمكن أن تكون الثوابت a و b و c أرقامًا عشرية.

ج. لا يمكن أن تكون الثوابت a و b و c كسورًا.

أ. الحل الدخيل هو حل غير منطقي لمعادلة جبرية.

ب. الحل الدخيل هو حل تقريبي لمعادلة جبرية.

ج. الحل الدخيل هو حل يتم الحصول عليه من خلال التلاعب الجبري الذي لا يمثل حلاً للمعادلة الأصلية.

أ. المعادلات المنطقية ليس لها حل دائمًا.

ب. لا يمكن أن تؤدي المعادلة المنطقية أبدًا إلى معادلة خطية.

ج. من المهم التحقق من حلول معادلة منطقية لأنه من الممكن مواجهة حلول خارجية.

أ. إذا ضرب عاملين معًا يساوي صفرًا ، فيجب أن يكون أحد العوامل على الأقل صفراً.

ب. إذا كان حاصل ضرب عاملين يساوي صفرًا ، فيجب أن يكون كلا العاملين مساويًا للصفر.

ج. دائمًا ما يكون حاصل ضرب الصفر وعامل آخر صفرًا.

أ. لا تعتبر هذه المعادلة معادلة من الدرجة الثانية لأنها ليست بالصيغة ax ^ 2 + bx + c = 0

ب. يسمى الجانب الأيسر من هذه المعادلة بفارق مربعين.

ج. يمكن دائمًا حل المعادلة التربيعية في هذه الصورة باستخدام خاصية الجذر التربيعي.

أ. لا يمكن اشتقاق الصيغة التربيعية إلا باستخدام حساب التفاضل والتكامل.

ب. يمكن اشتقاق الصيغة التربيعية عن طريق حل المعادلة ax ^ 2 + bx + c = 0 ، a ليست = 0 ، بالنسبة لـ x باستخدام خاصية المنتج الصفري.

ج. يمكن اشتقاق الصيغة التربيعية عن طريق حل المعادلة ax ^ 2 + bx + c = 0 ، a ليست = 0 ، ل x عن طريق التحليل.

أ. دائمًا ما تكون حلول المعادلات التربيعية أرقامًا حقيقية.

ب. لكي تعتبر المعادلة ax ^ 2 + bx + c = 0 معادلة من الدرجة الثانية ، يجب أن يكون المعامل a غير صفري.

ج. يمكن استخدام الصيغة التربيعية لحل كل معادلة تربيعية.

أ. يجب أن يكون هناك حلان حقيقيان.

ب. يجب أن يكون هناك حلان غير حقيقيين.

ج. لن تكون هناك حلول لهذه المعادلة التربيعية.

أ. جميع المعادلات الخطية وجميع المعادلات التربيعية هي معادلات متعددة الحدود.

ب. المعادلة متعددة الحدود هي إما معادلة خطية أو معادلة تربيعية.

ج. كل معادلة خطية هي أيضًا معادلة تربيعية.

أ. اطرح cx من كلا الطرفين.

ب. ساوي المعادلة بصفر وأخرج x.

ج. قسّم المعادلة على x.

أ. اكتب الحل في تدوين الفترة.

ب. ارسم الحل على خط الأعداد.

ج. اكتب الحل في تدوين Set-builder.

أ. يمكن تمثيل المسافة من الرقم من أ إلى 0 على خط الأعداد بالقيمة المطلقة للرقم أ.

ب. يمكن تمثيل القيمة الموجبة للرقم السالب أ بالقيمة المطلقة للرقم أ.

ج. يمكن تمثيل القيمة المعاكسة للرقم أ بالقيمة المطلقة للرقم أ.


30 دالة خطية

تمامًا كما هو الحال مع نمو نبات الخيزران ، هناك العديد من المواقف التي تنطوي على تغيير مستمر بمرور الوقت. لنأخذ على سبيل المثال أول قطار مغناطيسي تجاري في العالم ، قطار شنغهاي ماجليف ((الشكل)). تنقل الركاب بشكل مريح لرحلة طولها 30 كيلومترًا من المطار إلى محطة مترو الأنفاق في ثماني دقائق فقط 1.

لنفترض أن قطار مغناطيسي ماجليف يقطع مسافة طويلة ، ويحافظ على سرعة ثابتة تبلغ 83 مترًا في الثانية لفترة زمنية بمجرد أن يكون على بُعد 250 مترًا من المحطة. كيف يمكننا تحليل مسافة القطار من المحطة كدالة زمنية؟ في هذا القسم ، سنبحث في نوع من الوظائف المفيدة لهذا الغرض ، ونستخدمها للتحقيق في مواقف العالم الحقيقي مثل مسافة القطار من المحطة في وقت معين.

تمثيل الدوال الخطية

الوظيفة التي تصف حركة القطار هي دالة خطية ، تُعرَّف على أنها دالة ذات معدل تغير ثابت. هذه هي كثيرة الحدود من الدرجة 1. هناك عدة طرق لتمثيل دالة خطية ، بما في ذلك صيغة الكلمة ، تدوين الوظيفة ، الشكل الجدولي ، والشكل الرسومي. سنصف حركة القطار كوظيفة باستخدام كل طريقة.

تمثيل دالة خطية في صيغة Word

لنبدأ بوصف الوظيفة الخطية بالكلمات. بالنسبة لمشكلة القطار التي درسناها للتو ، يمكن استخدام جملة الكلمة التالية لوصف علاقة الوظيفة.

  • مسافة القطار من المحطة هي دالة للوقت الذي يتحرك خلاله القطار بسرعة ثابتة بالإضافة إلى المسافة الأصلية من المحطة عندما بدأ التحرك بسرعة ثابتة.

السرعة هي معدل التغيير. تذكر أن معدل التغيير هو مقياس لمدى سرعة تغير المتغير التابع فيما يتعلق بالمتغير المستقل. معدل التغيير في هذا المثال ثابت ، مما يعني أنه هو نفسه لكل قيمة إدخال. مع زيادة الوقت (الإدخال) بمقدار ثانية واحدة ، تزداد المسافة (الإخراج) المقابلة بمقدار 83 مترًا. بدأ القطار يتحرك بهذه السرعة الثابتة على مسافة 250 مترًا من المحطة.

تمثيل دالة خطية في تدوين الوظيفة

هناك طريقة أخرى لتمثيل الوظائف الخطية وهي استخدام تدوين الوظيفة. أحد الأمثلة على تدوين الوظيفة هو معادلة مكتوبة في صيغة الميل والمقطع للخط ، أينهي قيمة الإدخال ،هو معدل التغيير ، وهي القيمة الأولية للمتغير التابع.

في مثال القطار ، قد نستخدم الترميزحيث المسافة الإجماليةهي دالة في ذلك الوقتالمعدل،83 مترا في الثانية. القيمة الأولية للمتغير التابعهي المسافة الأصلية من المحطة ، 250 مترًا. يمكننا كتابة معادلة عامة لتمثيل حركة القطار.

تمثيل دالة خطية في شكل جدولي

الطريقة الثالثة لتمثيل دالة خطية هي من خلال استخدام الجدول. يتم تمثيل العلاقة بين المسافة من المحطة والوقت في (الشكل). يمكننا أن نرى من الجدول أن المسافة تتغير بمقدار 83 مترًا لكل ثانية زيادة في الوقت.

تمثيل جدولي للوظيفةإظهار قيم المدخلات والمخرجات المحددة

هل يمكن أن يكون الإدخال في المثال السابق أي رقم حقيقي؟

لا. يمثل الإدخال الوقت لذلك بينما الأرقام المنطقية وغير المنطقية غير السالبة ممكنة ، فإن الأرقام الحقيقية السلبية غير ممكنة في هذا المثال. يتكون المدخل من أرقام حقيقية غير سالبة.

تمثيل دالة خطية في شكل رسوم بيانية

طريقة أخرى لتمثيل الوظائف الخطية بصريًا ، باستخدام الرسم البياني. يمكننا استخدام علاقة الوظيفة من أعلى ،لرسم رسم بياني كما هو موضح في (الشكل). لاحظ أن الرسم البياني عبارة عن خط. عندما نرسم دالة خطية ، يكون الرسم البياني دائمًا خطًا.

يحدد معدل التغيير ، وهو ثابت ، ميل الخط أو ميله. النقطة التي تكون فيها قيمة الإدخال صفرًا هي التقاطع الرأسي ، أو ذ-تقاطع الخط. يمكننا أن نرى من الرسم البياني أن ذ- الاعتراض في مثال القطار الذي رأيناه للتو هوويمثل مسافة القطار من المحطة عندما بدأ يتحرك بسرعة ثابتة.

الرسم البياني لـ. الرسوم البيانية للوظائف الخطية هي خطوط لأن معدل التغيير ثابت.

لاحظ أن الرسم البياني لمثال القطار مقيد ، لكن هذا ليس هو الحال دائمًا. تأمل الرسم البياني للخط اسأل نفسك ما هي الأرقام التي يمكن إدخالها في الوظيفة. بمعنى آخر ، ما هو مجال الوظيفة؟ يتكون المجال من جميع الأرقام الحقيقية لأنه يمكن مضاعفة أي رقم ، ثم إضافة رقم واحد إلى المنتج.

الدالة الخطية هي دالة يمثل رسمها البياني خطًا. يمكن كتابة الوظائف الخطية في شكل تقاطع الميل لخط

أينهي القيمة الأولية أو القيمة الأولية للوظيفة (عند الإدخال ،)، وهو معدل التغيير الثابت ، أو ميل الوظيفة. ال ذ-تقاطع عند

الضغط،بالجنيه لكل بوصة مربعة (PSI) على الغواص في (الشكل) يعتمد على عمقها تحت سطح الماء ،بالاقدام. يمكن أن تكون هذه العلاقة على غرار المعادلة ،أعد صياغة هذه الوظيفة بالكلمات.

لإعادة صياغة الوظيفة في الكلمات ، نحتاج إلى وصف كل جزء من المعادلة. الضغط كدالة للعمق يساوي أربعمائة وأربعة وثلاثين جزءًا من الألف مرة للعمق زائد أربعة عشر وستمائة وستة وتسعين جزءًا من الألف.

القيمة الأولية ، 14.696 ، هي الضغط في PSI على الغواص على عمق 0 قدم ، وهو سطح الماء. معدل التغيير ، أو الميل ، هو 0.434 PSI لكل قدم. هذا يخبرنا أن الضغط على الغواص يزيد بمقدار 0.434 رطل لكل بوصة مربعة لكل قدم يزداد عمقها.

تحديد ما إذا كانت الدالة الخطية تزداد أم تتناقص أم ثابتة

زادت الوظائف الخطية التي استخدمناها في المثالين السابقين بمرور الوقت ، ولكن ليس كل دالة خطية تزداد. قد تكون الدالة الخطية متزايدة أو متناقصة أو ثابتة. بالنسبة لوظيفة متزايدة ، كما هو الحال مع مثال القطار ، تزداد قيم المخرجات مع زيادة قيم الإدخال. الرسم البياني للدالة المتزايدة ميل موجب. الخط ذو الميل الموجب يميل لأعلى من اليسار إلى اليمين كما في (الشكل)(أ). بالنسبة لدالة التناقص ، يكون الميل سالبًا. تنخفض قيم المخرجات مع زيادة قيم الإدخال. الخط ذو الميل السالب يميل للأسفل من اليسار إلى اليمين كما في (الشكل)(ب). إذا كانت الوظيفة ثابتة ، فإن قيم المخرجات هي نفسها لجميع قيم الإدخال ، وبالتالي يكون الميل صفراً. الخط الذي ميله صفر أفقي كما في (الشكل)(ج).

يحدد الميل ما إذا كانت الوظيفة دالة خطية متزايدة أم دالة خطية متناقصة أم دالة ثابتة.

  • هي دالة متزايدة إذا
  • هي دالة متناقصة إذا
  • هي دالة ثابتة إذا

تشير بعض الدراسات الحديثة إلى أن المراهق يرسل ما معدله 60 رسالة نصية في اليوم 2. لكل من السيناريوهات التالية ، ابحث عن الدالة الخطية التي تصف العلاقة بين قيمة الإدخال وقيمة الإخراج. ثم حدد ما إذا كان الرسم البياني للدالة يتزايد أم يتناقص أم ثابتًا.

  1. يعتبر العدد الإجمالي للنصوص التي يرسلها المراهق دالة على الوقت بالأيام. الإدخال هو عدد الأيام ، والإخراج هو العدد الإجمالي للنصوص المرسلة.
  2. المراهق لديه حد 500 نص شهريًا في خطة بياناته. الإدخال هو عدد الأيام ، والإخراج هو العدد الإجمالي للنصوص المتبقية للشهر.
  3. المراهق لديه عدد غير محدود من النصوص في خطة البيانات الخاصة به بتكلفة 50 جنيه استرليني في الشهر. الإدخال هو عدد الأيام ، والإخراج هو التكلفة الإجمالية للرسائل النصية كل شهر.
  1. يمكن تمثيل الوظيفة كـأينهو عدد الأيام. الميل 60 موجب ، وبالتالي فإن الدالة تتزايد. هذا منطقي لأن العدد الإجمالي للنصوص يزداد مع كل يوم.
  2. يمكن تمثيل الوظيفة كـأينهو عدد الأيام. في هذه الحالة ، يكون الميل سالبًا وبالتالي تتناقص الدالة. هذا منطقي لأن عدد النصوص المتبقية يتناقص كل يوم وتمثل هذه الوظيفة عدد النصوص المتبقية في خطة البيانات بعد ذلكأيام.
  3. يمكن تمثيل دالة التكلفة كـلأن عدد الأيام لا يؤثر على التكلفة الإجمالية. الميل يساوي 0 لذا فالدالة ثابتة.

تفسير المنحدر على أنه معدل التغيير

في الأمثلة التي رأيناها حتى الآن ، تم توفير المنحدر لنا. ومع ذلك ، فإننا غالبًا ما نحتاج إلى حساب المنحدر وفقًا لقيم المدخلات والمخرجات. تذكر أن إعطاء قيمتين للإدخال ،ووقيمتان متطابقتان للإخراج ،و- والتي يمكن تمثيلها بمجموعة من النقاط ،و—يمكننا حساب المنحدر

لاحظ أنه في تدوين الوظيفة يمكننا الحصول على قيمتين متطابقتين للمخرجاتوللوظيفةوحتى نتمكن من الكتابة بشكل مكافئ

(الشكل) يوضح كيفية انحدار الخط الفاصل بين النقاط ،وتم حسابه. تذكر أن المنحدر يقيس الانحدار أو الميل. كلما زادت القيمة المطلقة للمنحدر ، كان الميل أكثر حدة.

يتم حساب ميل الدالة بالتغيير فيمقسومًا على التغيير فيلا يهم الإحداثي المستخدم كملفوالذي هوطالما أن كل حساب بدأ بالعناصر من نفس زوج الإحداثيات.

هي وحدات المنحدر دائمًا

نعم فعلا. فكر في الوحدات على أنها تغيير في قيمة المخرجات لكل وحدة تغيير في قيمة الإدخال. مثال على المنحدر يمكن أن يكون ميلاً في الساعة أو دولارًا في اليوم. لاحظ أن الوحدات تظهر كنسبة من الوحدات للإخراج لكل وحدة للإدخال.

ميل أو معدل تغير دالةيمكن حسابها على النحو التالي:

أينوهي قيم الإدخال ،وهي قيم الإخراج.

بالنظر إلى نقطتين من دالة خطية ، احسب وفسر الميل.

  1. حدد وحدات قيم المخرجات والمدخلات.
  2. احسب تغيير قيم المخرجات وتغيير قيم المدخلات.
  3. فسر الميل على أنه التغيير في قيم المخرجات لكل وحدة من قيمة الإدخال.

لوهي دالة خطية ، ووهي نقاط على الخط ، أوجد المنحدر. هل هذه الوظيفة تتزايد أم تتناقص؟

أزواج الإحداثيات هيوللعثور على معدل التغيير ، نقسم التغيير في الناتج على التغيير في المدخلات.

يمكننا أيضًا كتابة الميل بالشكلالوظيفة تتزايد بسبب

كما ذكرنا سابقًا ، لا يهم الترتيب الذي نكتب به النقاط عندما نحسب ميل الخط طالما كانت قيمة المخرجات الأولى ، أو ذ- منسق ، مستخدم يتوافق مع قيمة الإدخال الأولى ، أو x-تنسيق ، مستعملة. لاحظ أننا لو عكسناها لكنا قد حصلنا على نفس الميل.

لوهي دالة خطية ، ووهي نقاط على الخط ، أوجد المنحدر. هل هذه الوظيفة تتزايد أم تتناقص؟

يتناقص بسبب

زاد عدد سكان المدينة من 23400 إلى 27800 بين عامي 2008 و 2012. ابحث عن التغير السكاني سنويًا إذا افترضنا أن التغيير كان ثابتًا من 2008 إلى 2012.

معدل التغيير يرتبط التغيير في السكان بالتغير في الوقت. زاد عدد السكان بمقدارالناس خلال فترة زمنية مدتها أربع سنوات. للعثور على معدل التغيير ، اقسم التغيير في عدد الأشخاص على عدد السنوات.

لذلك زاد عدد السكان بمقدار 1100 شخص سنويًا.

لأننا قيل لنا أن عدد السكان قد زاد ، نتوقع أن يكون المنحدر موجبًا. لذلك فإن الميل الموجب الذي حسبناه معقول.

زاد عدد سكان بلدة صغيرة من 1،442 إلى 1،868 بين عامي 2009 و 2012. ابحث عن التغير في عدد السكان سنويًا إذا افترضنا أن التغيير كان ثابتًا من عام 2009 إلى عام 2012.

كتابة وتفسير معادلة دالة خطية

تذكر من المعادلات والمتباينات أننا كتبنا المعادلات في كل من صيغة الميل والمقطع وصيغة الميل والنقطة. يمكننا الآن اختيار الطريقة التي يجب استخدامها لكتابة معادلات للدوال الخطية بناءً على المعلومات التي نقدمها. يمكن تقديم هذه المعلومات في شكل رسم بياني ونقطة ومنحدر ونقطتين وما إلى ذلك. انظر إلى الرسم البياني للدالةفي الشكل).

ليس لدينا ميل الخط المستقيم ، لكن يمكننا اختيار أي نقطتين على الخط لإيجاد الميل. دعونا نختارو

يمكننا الآن التعويض بميل وإحداثيات إحدى النقاط في صيغة ميل ونقطة.

إذا أردنا إعادة كتابة المعادلة بصيغة الميل والمقطع ، فسنجدها

إذا أردنا إيجاد صيغة الميل والمقطع دون كتابة صيغة الميل والنقطة ، فيمكننا التعرف على أن الخط يتقاطع مع ذ- المحور عندما تكون قيمة الإخراج 7. لذلك ،لدينا الآن القيمة الأوليةوالمنحدرحتى نتمكن من الاستبدالوفي شكل الخط المنحدر والمقطع.

لذا فإن الوظيفةوستكون المعادلة الخطية

بالنظر إلى الرسم البياني للدالة الخطية ، اكتب معادلة لتمثيل الوظيفة.

  1. حدد نقطتين على الخط.
  2. استخدم النقطتين لحساب الميل.
  3. حدد مكان تقاطع الخط مع ذ-محور لتحديد ذ- التقاطع عن طريق الفحص البصري.
  4. استبدل المنحدر و ذ- التقاطع في صيغة الميل والتقاطع لمعادلة خط.

اكتب معادلة لدالة خطية بمخطط بياني لـكما هو مبين في الشكل).

حدد نقطتين على الخط ، مثلواستخدم النقاط لحساب الميل.

عوّض بميل وإحداثيات إحدى النقاط في صيغة ميل ونقطة.

يمكننا استخدام الجبر لإعادة كتابة المعادلة بصيغة الميل والمقطع.

هذا منطقي لأنه يمكننا أن نرى من (الشكل) أن الخط يتقاطع مع ذ-المحور عند النقطةوهو ذاعتراض ، لذلك

لنفترض أن بن أنشأ شركة يتكبد فيها تكلفة ثابتة قدرها 1250 جنيه إسترليني شهريًا للنفقات العامة ، والتي تشمل إيجار مكتبه. تكاليف إنتاجه هي 37.50 جنيه استرليني لكل عنصر. اكتب دالة خطيةأينهي تكلفةالعناصر المنتجة في شهر معين.

التكلفة الثابتة موجودة كل شهر ، 1250 جنيه استرليني. تشمل التكاليف التي يمكن أن تختلف تكلفة إنتاج كل عنصر ، وهي 37.50 جنيه إسترليني.يتم تمثيل التكلفة المتغيرة ، التي تسمى التكلفة الحدية ، بـالتكلفة التي يتكبدها Ben هي مجموع هاتين الكلفتين ، ويمثلهما

إذا أنتج Ben 100 عنصر في الشهر ، فسيتم العثور على تكلفته الشهرية عن طريق استبدال 100 عنصر

لذا فإن تكلفته الشهرية ستكون 5000 جنيه استرليني.

لوهي دالة خطية ، معوأوجد معادلة للدالة بصيغة الميل والمقطع.

يمكننا كتابة النقاط المعطاة باستخدام الإحداثيات.

يمكننا بعد ذلك استخدام النقاط لحساب الميل.

عوّض بميل وإحداثيات إحدى النقاط في صيغة ميل ونقطة.

يمكننا استخدام الجبر لإعادة كتابة المعادلة بصيغة الميل والمقطع.

لوهي دالة خطية ، معواكتب معادلة للدالة بصيغة الميل والمقطع.

نمذجة مشاكل العالم الحقيقي بوظائف خطية

في العالم الحقيقي ، لا يتم دائمًا ذكر المشكلات صراحةً من حيث الوظيفة أو تمثيلها برسم بياني. لحسن الحظ ، يمكننا تحليل المشكلة من خلال تمثيلها أولاً كدالة خطية ثم تفسير مكونات الوظيفة. طالما أننا نعرف ، أو يمكننا معرفة ، القيمة الأولية ومعدل التغيير في دالة خطية ، يمكننا حل العديد من أنواع مشاكل العالم الحقيقي.

اعطاء دالة خطيةوالقيمة الأولية ومعدل التغيير ، وتقييمها

  1. تحديد القيمة الأولية ومعدل التغيير (الميل).
  2. عوّض القيم في
  3. قيم الوظيفة في

يمتلك ماركوس حاليًا 200 أغنية في مجموعته الموسيقية. كل شهر ، يضيف 15 أغنية جديدة. اكتب صيغة لعدد الأغاني ،في مجموعته كدالة للوقت ،عدد الأشهر. كم عدد الأغاني التي سيمتلكها في نهاية عام واحد؟

القيمة الأولية لهذه الوظيفة هي 200 لأنه يمتلك حاليًا 200 أغنية ، لذلكمما يعنى

يزداد عدد الأغاني بمقدار 15 أغنية في الشهر ، وبذلك يكون معدل التغيير 15 أغنية في الشهر. لذلك نحن نعلم ذلكيمكننا التعويض بالقيمة الأولية ومعدل التغيير في صيغة الميل والمقطع للخط.

يمكننا كتابة الصيغة

باستخدام هذه الصيغة ، يمكننا بعد ذلك التنبؤ بعدد الأغاني التي سيشهدها ماركوس في نهاية عام واحد (12 شهرًا). بعبارة أخرى ، يمكننا إيجاد قيمة الدالة عند

سيحصل ماركوس على 380 أغنية في 12 شهرًا.

لاحظ أن ن هي دالة خطية متزايدة. مع زيادة المدخلات (عدد الأشهر) ، يزداد الناتج (عدد الأغاني) أيضًا.

من خلال العمل كمندوب مبيعات تأمين ، يحصل إيليا على راتب أساسي بالإضافة إلى عمولة على كل بوليصة تأمين جديدة. لذلك ، دخل إيليا الأسبوعييعتمد على عدد السياسات الجديدة ،يبيع خلال الأسبوع. في الأسبوع الماضي ، باع 3 وثائق جديدة ، وحصل على 760 جنيهًا إسترلينيًا عن الأسبوع. في الأسبوع السابق ، باع 5 وثائق جديدة وكسب 920 جنيه استرليني. ابحث عن معادلة لـوتفسير معنى مكونات المعادلة.

تعطينا المعلومات المعطاة زوجين من المدخلات والمخرجات:ونبدأ بإيجاد معدل التغيير.

يمكن أن يساعدنا تتبع الوحدات في تفسير هذه الكمية. زاد الدخل بمقدار 160 جنيه استرليني عندما زاد عدد السياسات بمقدار 2 ، وبالتالي فإن معدل التغيير هو 80 جنيه استرليني لكل بوليصة. لذلك ، تحصل إيليا على عمولة قدرها 80 جنيه إسترليني عن كل وثيقة يتم بيعها خلال الأسبوع.

يمكننا بعد ذلك إيجاد القيمة الأولية.

قيمة الهي قيمة البداية للدالة وتمثل دخل إيليا عندماأو عند عدم بيع سياسات جديدة. يمكننا تفسير هذا على أنه الراتب الأساسي لإيليا للأسبوع ، والذي لا يعتمد على عدد الوثائق المباعة.

يمكننا الآن كتابة المعادلة النهائية.

تفسيرنا الأخير هو أن الراتب الأساسي لإيليا هو 520 جنيهًا إسترلينيًا في الأسبوع وأنه يكسب عمولة إضافية بمقدار 80 جنيهًا مصريًا عن كل وثيقة يتم بيعها.

(الشكل) يربط عدد الفئران في مجتمع ما بالوقت ، بالأسابيع. استخدم الجدول لكتابة معادلة خطية.

عدد الاسابيع، ث 0 2 4 6
عدد الفئران ف (ث) 1000 1080 1160 1240

يمكننا أن نرى من الجدول أن القيمة الأولية لعدد الفئران هي 1000 ، لذلك

بدلا من حل ليمكننا أن نقول من خلال النظر إلى الجدول أن عدد السكان يزداد بمقدار 80 لكل أسبوعين بعد ذلك. هذا يعني أن معدل التغيير هو 80 فأرًا لكل أسبوعين ، ويمكن تبسيط ذلك إلى 40 فأرًا في الأسبوع.

إذا لم نلاحظ معدل التغيير من الجدول ، فلا يزال بإمكاننا إيجاد الميل باستخدام أي نقطتين من الجدول. على سبيل المثال ، باستخدامو

هل يتم توفير القيمة الأولية دائمًا في جدول قيم مثل (الشكل)؟

لا ، في بعض الأحيان يتم تقديم القيمة الأولية في جدول قيم ، ولكنها في بعض الأحيان لا تكون كذلك. إذا رأيت إدخالًا بقيمة 0 ، فستكون القيمة الأولية هي الإخراج المقابل. إذا لم يتم توفير القيمة الأولية لعدم وجود قيمة للإدخال في الجدول تساوي 0 ، فابحث عن المنحدر ، واستبدل زوج إحداثي واحد والميل فيهوحلها

تم إدخال غذاء نباتي جديد لشجرة صغيرة لاختبار تأثيرها على ارتفاع الشجرة. (الشكل) يوضح ارتفاع الشجرة بالأقدام ،أشهر منذ بدء القياسات. اكتب دالة خطية ،أينهو عدد الأشهر منذ بدء التجربة.

x 0 2 4 8 12
ح(x) 12.5 13.5 14.5 16.5 18.5

وظائف خطية بيانية

الآن بعد أن رأينا وفسرنا الرسوم البيانية للوظائف الخطية ، دعنا نلقي نظرة على كيفية إنشاء الرسوم البيانية. هناك ثلاث طرق أساسية لرسم الوظائف الخطية. الأول عن طريق رسم النقاط ثم رسم خط عبر النقاط. والثاني باستخدام ص-اعتراض ومنحدر. والطريقة الثالثة هي استخدام تحويلات دالة الهوية

رسم دالة عن طريق رسم النقاط

للعثور على نقاط دالة ، يمكننا اختيار قيم الإدخال وتقييم الوظيفة عند قيم الإدخال هذه وحساب قيم المخرجات. قيم الإدخال وقيم الإخراج المقابلة تشكل أزواج إحداثيات. ثم نرسم أزواج الإحداثيات على شبكة. بشكل عام ، يجب علينا تقييم الدالة عند مدخلين على الأقل لإيجاد نقطتين على الأقل في الرسم البياني. على سبيل المثال ، بالنظر إلى الوظيفة ،قد نستخدم قيم الإدخال 1 و 2. يؤدي تقييم الوظيفة لقيمة إدخال 1 إلى إنتاج قيمة 2 ، والتي يتم تمثيلها بالنقطةيؤدي تقييم الدالة لقيمة الإدخال 2 إلى الحصول على قيمة إخراج تبلغ 4 ، والتي تمثلها النقطةغالبًا ما يُنصح باختيار النقاط الثلاث لأنه إذا لم تقع النقاط الثلاث في نفس الخط ، فنحن نعلم أننا ارتكبنا خطأ.

بالنظر إلى دالة خطية ، ارسم بيانيًا عن طريق رسم النقاط.

  1. اختر ما لا يقل عن اثنين من قيم الإدخال.
  2. قيم الدالة عند كل قيمة إدخال.
  3. استخدم قيم الإخراج الناتجة لتحديد أزواج الإحداثيات.
  4. ارسم أزواج الإحداثيات على الشبكة.
  5. ارسم خطًا عبر النقاط.

رسم بيانيعن طريق رسم النقاط.

ابدأ باختيار قيم الإدخال. تتضمن هذه الوظيفة كسرًا مقامه 3 ، لذلك دعونا نختار مضاعفات 3 كقيم إدخال. سنختار 0 و 3 و 6.

قم بتقييم الوظيفة عند كل قيمة إدخال ، واستخدم قيمة المخرجات لتحديد أزواج الإحداثيات.

ارسم أزواج الإحداثيات وارسم خطًا عبر النقاط. (الشكل) يمثل الرسم البياني للدالة

الرسم البياني للدالة الخطية

الرسم البياني للدالة هو خط كما هو متوقع لوظيفة خطية. بالإضافة إلى ذلك ، فإن الرسم البياني لديه ميل هبوطي ، مما يشير إلى ميل سلبي. هذا متوقع أيضًا من معدل التغير السلبي الثابت في معادلة الدالة.

رسم بيانيعن طريق رسم النقاط.

رسم دالة باستخدام ص-اعتراض ومنحدر

هناك طريقة أخرى لرسم وظائف خطية وهي استخدام خصائص محددة للوظيفة بدلاً من رسم النقاط. السمة الأولى هي ص-التقاطع ، وهي النقطة التي تكون فيها قيمة الإدخال صفرًا. لتجد ال ص-اعتراض ، يمكننا ضبطفي المعادلة.

السمة الأخرى للدالة الخطية هي ميلها.

دعونا ننظر في الوظيفة التالية.

المنحدرنظرًا لأن الميل موجب ، فنحن نعلم أن الرسم البياني سينحرف لأعلى من اليسار إلى اليمين. ال ص-اعتراض هو النقطة على الرسم البياني عندمايتقاطع الرسم البياني مع ذ-المحور فيالآن نعرف المنحدر و ذ-تقاطع. يمكننا أن نبدأ الرسم البياني بتخطيط النقطةنعلم أن الميل هو التغير في ذ-تنسيق على التغيير في x-تنسيق. يشار إلى هذا عادة باسم الارتفاع فوق الجري ،من مثالنا لديناوهو ما يعني أن الارتفاع يساوي 1 والتشغيل هو 2. لذا نبدأ من ذ-تقاطعيمكننا الصعود 1 ثم الركض 2 ، أو الركض 2 ثم الصعود 1. نكرر ذلك حتى نحصل على بضع نقاط ، ثم نرسم خطًا عبر النقاط كما هو موضح في (الشكل).

في المعادلة

  • هل ذ-تقاطع الرسم البياني ويشير إلى النقطةالذي يتقاطع فيه الرسم البياني مع ذ-محور.
  • هو ميل الخط ويشير إلى الإزاحة الرأسية (الارتفاع) والإزاحة الأفقية (الجري) بين كل زوج متتالي من النقاط. تذكر صيغة المنحدر:

هل كل الدوال الخطية لها ذ- اعتراضات؟

نعم فعلا. تعبر جميع الدوال الخطية المحور y ومن ثم يكون لها تقاطعات y. (ملحوظة: الخط العمودي الموازي للمحور y ليس له تقاطع y ، لكنه ليس دالة.)

بالنظر إلى معادلة دالة خطية ، ارسم الدالة بيانيًا باستخدام ذ- التقاطع والانحدار.

  1. قم بتقييم الدالة عند قيمة إدخال تساوي صفرًا لإيجاد ص-تقاطع.
  2. حدد الميل باعتباره معدل تغير قيمة الإدخال.
  3. ارسم النقطة التي يمثلها ص-تقاطع.
  4. يستخدملتحديد نقطتين أخريين على الأقل على الخط.
  5. ارسم الخط الذي يمر عبر النقاط.

رسم بيانيباستخدام ص-اعتراض ومنحدر.

قيم الوظيفة فيلتجد ال ص-تقاطع. قيمة الإخراج عندماهو 5 ، لذلك فإن الرسم البياني سوف يعبر ذ-المحور في

وفقًا لمعادلة الدالة ، يكون ميل الخط المستقيمهذا يخبرنا أنه لكل انخفاض عمودي في "ارتفاع"وحدة ، يزيد "المدى" بمقدار 3 وحدات في الاتجاه الأفقي. يمكننا الآن رسم الدالة بيانيًا عن طريق رسم المعادلة الأولى ذ- التقاطع على الرسم البياني في (الشكل). من القيمة الأوليةنتحرك لأسفل 2 وحدة وإلى اليمين 3 وحدات. يمكننا تمديد الخط إلى اليسار واليمين عن طريق التكرار ، ثم رسم خط عبر النقاط.

رسم بياني لـ ويوضح كيفية حساب الارتفاع على المدى للمنحدر.

يميل الرسم البياني لأسفل من اليسار إلى اليمين ، مما يعني أن ميله سالب كما هو متوقع.

ابحث عن نقطة على الرسم البياني رسمناها في (الشكل) تحتوي على سالب x-القيمة.

تشمل الإجابات المحتملة أو

رسم دالة باستخدام التحويلات

خيار آخر للرسم البياني هو استخدام تحويل وظيفة الهويةيمكن تحويل الوظيفة عن طريق التحول لأعلى أو لأسفل أو لليسار أو لليمين. يمكن أيضًا تحويل الوظيفة باستخدام انعكاس أو تمدد أو ضغط.

تمدد أو ضغط عمودي

في المعادلةاليعمل كتمدد رأسي أو ضغط لوظيفة الهوية. متيسلبي ، هناك أيضًا انعكاس رأسي للرسم البياني. لاحظ في (الشكل) أن ضرب معادلةبواسطةيمتد الرسم البياني لـبمعاملوحدات إذاويضغط الرسم البياني لـبمعاملوحدات إذاهذا يعني أنه كلما زادت القيمة المطلقة لـانحدار المنحدر.

تمديدات وانضغاطات رأسية وانعكاسات على الوظيفة

التحول العمودي

فياليعمل كإزاحة رأسية ، حيث يحرك الرسم البياني لأعلى ولأسفل دون التأثير على ميل الخط. لاحظ في (الشكل) أن إضافة قيمةلمعادلةيغير الرسم البياني لـما مجموعهوحدات تصل إذاهو إيجابي ووحدات أسفل إذاسلبي.

يوضح هذا الرسم البياني التحولات الرأسية للدالة

يعد استخدام الامتدادات أو الضغط الرأسي جنبًا إلى جنب مع التحولات الرأسية طريقة أخرى للنظر في تحديد أنواع مختلفة من الوظائف الخطية. على الرغم من أن هذه قد لا تكون أسهل طريقة لرسم هذا النوع من الوظائف ، إلا أنه لا يزال من المهم ممارسة كل طريقة.

بالنظر إلى معادلة الدالة الخطية ، استخدم التحويلات لرسم الدالة الخطية في النموذج

  1. رسم بياني
  2. قم بتمديد أو ضغط الرسم البياني رأسيًا بعامل
  3. انقل الرسم البياني لأعلى أو لأسفلالوحدات.

رسم بيانيباستخدام التحولات.

معادلة الوظيفة توضح ذلكلذلك يتم ضغط دالة الهوية رأسياً بواسطةمعادلة الوظيفة تظهر ذلك أيضًالذلك فإن دالة الهوية يتم إزاحتها رأسياً لأسفل بمقدار 3 وحدات أولاً ، قم برسم دالة الهوية ، وأظهر الضغط العمودي كما في (الشكل).

الوظيفة ،مضغوط بمعامل.

ثم اظهر الانزياح العمودي كما في (الشكل).

الوظيفةتحولت إلى أسفل 3 وحدات.

رسم بيانيباستخدام التحولات.

في (الشكل) ، هل يمكننا رسم الرسم البياني بعكس ترتيب التحولات؟

لا. ترتيب التحويلات يتبع ترتيب العمليات. عندما يتم تقييم الوظيفة عند إدخال معين ، يتم حساب المخرجات المقابلة باتباع ترتيب العمليات. هذا هو السبب في أننا قمنا بالضغط أولاً. على سبيل المثال ، باتباع الترتيب: اجعل الإدخال 2.

كتابة معادلة دالة من الرسم البياني لخط

في وقت سابق ، كتبنا معادلة دالة خطية من رسم بياني. يمكننا الآن توسيع ما نعرفه عن رسم الدوال الخطية لتحليل الرسوم البيانية عن كثب. ابدأ بإلقاء نظرة على (الشكل). يمكننا أن نرى على الفور أن التمثيل البياني يتقاطع مع ذ-المحور عند النقطةلذلك هذا هو ذ-تقاطع.

ثم يمكننا حساب الميل بإيجاد الارتفاع والجري. يمكننا اختيار أي نقطتين ، ولكن دعونا نلقي نظرة على هذه النقطةللانتقال من هذه النقطة إلى ص-اعترض ، يجب أن نتحرك 4 وحدات (ارتفاع) ووحدتين إلى اليمين (تشغيل). لذلك يجب أن يكون المنحدر

استبدال المنحدر و ص-التقاطع في شكل تقاطع الميل لخط يعطي

بالنظر إلى رسم بياني للدالة الخطية ، أوجد المعادلة لوصف الدالة.

  1. التعرف على ص-اعتراض معادلة.
  2. اختر نقطتين لتحديد الميل.
  3. استبدل ص-التقاطع والانحدار في شكل تقاطع الميل للخط.

طابق كل معادلة للدوال الخطية بأحد الخطوط الموجودة في (الشكل).

تحليل المعلومات لكل وظيفة.

  1. ميل هذه الدالة هو 2 و a ذ-تقاطع 3. يجب أن يمر بالنقطة (0 ، 3) ويميل لأعلى من اليسار إلى اليمين. يمكننا استخدام نقطتين لإيجاد الميل ، أو يمكننا مقارنته بالدوال الأخرى المدرجة. وظيفةله نفس المنحدر ، ولكن مختلف ص-تقاطع. الخطان الأول والثالث لهما نفس الميل لأنهما لهما نفس الميل. لا يمر الخط الثالثوبالتالييجب أن يمثلها السطر الأول.
  2. ميل هذه الدالة أيضًا هو 2 ، لكن أ ذ- اعتراضيجب أن يمر بالنقطةوانحرف لأعلى من اليسار إلى اليمين. يجب أن يمثله السطر الثالث.
  3. هذه الوظيفة لها منحدر –2 و a ص-تقاطع 3. هذه هي الوظيفة الوحيدة المدرجة بميل سالب ، لذلك يجب تمثيلها بالسطر الرابع لأنها مائلة للأسفل من اليسار إلى اليمين.
  4. ميل هذه الوظيفةو أ ص-تقاطع 3. يجب أن يمر عبر النقطة (0 ، 3) ويميل لأعلى من اليسار إلى اليمين. يمر الخطان الأول والثانيلكن منحدرأقل من منحدرلذا فإن الخط ليجب أن يكون أكثر تملقًا. يمثل السطر الثاني هذه الوظيفة.

الآن يمكننا إعادة تسمية الخطوط كما في (الشكل).

العثور على x- اعتراض خط

حتى الآن تم العثور على ص-اعتراضات دالة: النقطة التي يتقاطع عندها الرسم البياني للدالة مع ذ-محور. تذكر أن الوظيفة قد تحتوي أيضًا على ملف x- التقاطع ، وهو x- تنسيق النقطة التي يتقاطع فيها الرسم البياني للوظيفة مع x-محور. بمعنى آخر ، إنها قيمة الإدخال عندما تكون قيمة الإخراج صفرًا.

لتجد ال x- اعتراض ، اضبط وظيفةيساوي الصفر ويحل لقيمةعلى سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الوظيفة المعروضة.

ساوي التابع ب 0 وحل من أجل

يتقاطع الرسم البياني للدالة مع x-المحور عند النقطة

هل كل الدوال الخطية لها x- اعتراضات؟

رقم ومع ذلك ، وظائف خطية من النموذجأينهو رقم حقيقي غير صفري هي الأمثلة الوحيدة للوظائف الخطية التي لا تحتوي على تقاطع x. فمثلا،هو خط أفقي 5 وحدات فوق المحور x. هذه الوظيفة ليس لها تقاطعات x ، كما هو موضح في (شكل).

ال x- اعتراض الدالة قيمةمتييمكن حلها بالمعادلة

أعثر على x- اعتراض

ضع الدالة مساوية لصفر للحل من أجلها

يتقاطع الرسم البياني مع x-المحور عند النقطة

يظهر رسم بياني للوظيفة في (الشكل). يمكننا أن نرى أن x- التقاطع هوكما توقعنا.

أعثر على x- اعتراض

وصف الخطوط الأفقية والعمودية

توجد حالتان خاصتان للخطوط على الرسم البياني - الخطوط الأفقية والعمودية. يشير الخط الأفقي إلى ناتج ثابت ، أو ذ-القيمة. في (الشكل) ، نرى أن الناتج له قيمة 2 لكل قيمة إدخال. وبالتالي ، فإن التغيير في المخرجات بين أي نقطتين هو 0. في صيغة الميل ، يكون البسط هو 0 ، وبالتالي يكون الميل 0. إذا استخدمنافي المعادلةتبسيط المعادلة إلىبمعنى آخر ، قيمة الدالة ثابتة. يمثل هذا الرسم البياني الوظيفة

خط أفقي يمثل الوظيفة

يشير الخط العمودي إلى إدخال ثابت ، أو x-القيمة. يمكننا أن نرى أن قيمة الإدخال لكل نقطة على السطر هي 2 ، لكن قيمة المخرجات تختلف. نظرًا لأنه يتم تعيين قيمة الإدخال هذه إلى أكثر من قيمة إخراج واحدة ، فإن الخط العمودي لا يمثل دالة. لاحظ أنه بين أي نقطتين ، يكون التغيير في قيم الإدخال صفرًا. في صيغة الميل ، سيكون المقام صفرًا ، وبالتالي فإن ميل الخط العمودي غير محدد.

خط عمودي ، مثل الخط الموجود في (الشكل), لديه x- اعتراض ، لكن لا ص-اعترض ما لم يكن هذا هو الخطهذا الرسم البياني يمثل الخط

الخط العموديالذي لا يمثل وظيفة

يمكن أن تكون الخطوط أفقية أو رأسية.

الخط الأفقي هو خط محدد بمعادلة في النموذج

الخط العمودي هو خط محدد بواسطة معادلة في النموذج

اكتب معادلة الخط المرسوم في (الشكل).

لأي x-قيمة ذ-القيمةلذا فإن المعادلة

اكتب معادلة الخط المرسوم في (الشكل).

ثابت x-القيمةلذا فإن المعادلة

تحديد ما إذا كانت الخطوط متوازية أم متعامدة

الخطان الموجودان في (الشكل) عبارة عن خطين متوازيين: لن يتقاطعوا أبدًا. لديهم نفس الانحدار بالضبط ، مما يعني أن منحدراتهم متطابقة.الاختلاف الوحيد بين الخطين هو ذ-تقاطع. إذا قمنا بتحويل أحد السطور عموديًا نحو الآخر ، فسيصبحان متطابقين.

يمكننا تحديد ما إذا كان خطان متوازيان من معادلاتهما بمقارنة ميلهما. إذا كانت المنحدرات هي نفسها و ذ-التداخلات مختلفة ، الخطوط متوازية. إذا كانت المنحدرات مختلفة ، فإن الخطوط ليست متوازية.

على عكس الخطوط المتوازية ، تتقاطع الخطوط العمودية. يشكل تقاطعهم زاوية قائمة أو 90 درجة. الخطان في (الشكل) عموديان.

ليس للخطوط العمودية نفس المنحدر. تختلف منحدرات الخطوط المتعامدة عن بعضها البعض بطريقة معينة. ميل أحد الخطين هو سالب مقلوب ميل الخط الآخر. حاصل ضرب رقم ومقلوبه هوحتى إذاهي معادلات سالبة لبعضها البعض ، يمكن ضربها معًا للحصول على النتيجة

لإيجاد مقلوب رقم ، اقسم 1 على الرقم. إذن مقلوب 8 هوومعاملة بالمثلهو 8. لإيجاد المقلوب السالب ، أوجد المقلوب أولاً ثم قم بتغيير الإشارة.

كما هو الحال مع الخطوط المتوازية ، يمكننا تحديد ما إذا كان الخطان متعامدان بمقارنة ميلهما ، بافتراض أن المستقيمين ليسا أفقيين ولا رأسيين. ميل كل خط أدناه هو سالب مقلوب الآخر ، وبالتالي فإن الخطين متعامدين.

حاصل ضرب المنحدرات هو –1.

الخطان عبارة عن خطين متوازيين إذا لم يتقاطعوا. منحدرات الخطوط هي نفسها.

إذا وفقط إذاونقول أن السطور تتطابق. الأسطر المتزامنة هي نفس السطر.

الخطان عبارة عن خطين متعامدين إذا تقاطعا لتشكيل زاوية قائمة.

بالنظر إلى الوظائف أدناه ، حدد الوظائف التي تكون رسومها البيانية عبارة عن زوج من الخطوط المتوازية وزوج من الخطوط المتعامدة.

المستقيمات المتوازية لها نفس الميل. لأن الوظائفوكل منها ميله 2 ، فهي تمثل خطوط متوازية. الخطوط العمودية لها ميل سالب مقلوب. لأن −2 وهي معاملات سالبة بالمثل ، وظائفوتمثل الخطوط العمودية.

يظهر رسم بياني للخطوط في (الشكل).

يوضح الرسم البياني أن الخطوطومتوازية ، والخطوطوعمودي.

كتابة معادلة الخط الموازي أو العمودي لخط معطى

إذا عرفنا معادلة الخط المستقيم ، يمكننا استخدام ما نعرفه عن الميل لكتابة معادلة الخط الموازي للخط المعطى أو العمودي عليه.

كتابة معادلات الخطوط المتوازية

لنفترض على سبيل المثال ، أننا حصلنا على المعادلة الموضحة.

نعلم أن ميل الخط الذي تشكله الدالة هو 3. ونعلم أيضًا أن ص-اعتراضأي خط آخر بميله 3 سيكون موازيًا لهلذا فإن الخطوط المكونة من جميع الوظائف التالية ستكون متوازية مع

لنفترض إذن أننا نريد كتابة معادلة خط موازٍ لخط مستقيمويمر بالنقطةغالبًا ما يتم وصف هذا النوع من المشكلات على أنه مشكلة نقطة وميل لأن لدينا نقطة وميل. في مثالنا ، نعلم أن الميل هو 3. علينا تحديد أي قيمة منسيعطي السطر الصحيح. يمكننا أن نبدأ بصيغة معادلة خط ما ونقطة وميل ، ثم نعيد كتابته بصيغة الميل والمقطع.

وبالتالييوازيويمر بالنقطة

بالنظر إلى معادلة دالة ونقطة يمر من خلالها مخططها البياني ، اكتب معادلة خط موازٍ للخط المعطى الذي يمر عبر النقطة المحددة.

  1. أوجد ميل الدالة.
  2. استبدل القيم المعطاة إما في معادلة ميل ونقطة عامة أو معادلة ميل وتقاطع للخط.
  3. تبسيط.

أوجد خطًا يوازي التمثيل البياني لـالذي يمر عبر النقطة

ميل الخط المعطى هو 3. إذا اخترنا صيغة الميل والمقطع ، فيمكننا التعويضوفي صيغة الميل والمقطع للعثور على ص-تقاطع.

الخط الموازي لالذي يمريكون

يمكننا التأكد من أن المستقيمين متوازيان من خلال تمثيلهما بيانيًا. يوضح (الشكل) أن الخطين لن يتقاطعان أبدًا.

كتابة المعادلات للخطوط المتعامدة

يمكننا استخدام عملية مشابهة جدًا لكتابة معادلة لخط عمودي على خط معين. لكن بدلًا من استخدام الميل نفسه ، نستخدم سالب مقلوب الميل المعطى. لنفترض أننا حصلنا على الوظيفة الموضحة.

ميل الخط المستقيم هو 2 ومقلوبه السالب يساويأي دالة بميلسيكون عموديًا علىلذا فإن الخطوط المكونة من جميع الوظائف التالية ستكون عمودية على

كما في السابق ، يمكننا تضييق نطاق خياراتنا لخط عمودي معين إذا علمنا أنه يمر بنقطة معينة. لنفترض إذن أننا نريد كتابة معادلة الخط المستقيم المتعامد عليهويمر بالنقطةنحن نعلم بالفعل أن المنحدرالآن يمكننا استخدام النقطة لإيجاد ذ- التقاطع باستبدال القيم المعطاة في صيغة الميل والمقطع للخط وحل من أجل

معادلة الدالة بميلو أ ص-اعتراض 2 هو

وبالتاليعمودي علىويمر بالنقطةاعلم أن الخطوط العمودية قد لا تبدو متعامدة بشكل واضح على الآلة الحاسبة للرسم البياني إلا إذا استخدمنا ميزة تكبير المربع.

الخط الأفقي ميله صفر والخط العمودي ميل غير محدد. هذان الخطان متعامدان ، لكن حاصل ضرب ميلهما ليس -1. ألا تتعارض هذه الحقيقة مع تعريف الخطوط العمودية؟

لا ، بالنسبة إلى دالتين خطيتين متعامدين ، يكون حاصل ضرب ميلهما هو –1. ومع ذلك ، فإن الخط العمودي ليس دالة وبالتالي لا يتعارض التعريف.

بالنظر إلى معادلة دالة ونقطة يمر من خلالها مخططها البياني ، اكتب معادلة خط عمودي على الخط المعطى.

  1. أوجد ميل الدالة.
  2. أوجد المقلوب السالب للميل.
  3. عوّض عن الميل الجديد والقيم من أجلومن زوج الإحداثيات المقدم إلى
  4. حل من أجل
  5. اكتب معادلة الخط المستقيم.

أوجد معادلة الخط المستقيم العمودي علىالذي يمر عبر النقطة

الخط الأصلي لديه ميللذا فإن ميل الخط العمودي سيكون سالب مقلوب ، أوباستخدام هذا الميل والنقطة المعطاة ، يمكننا إيجاد معادلة الخط المستقيم.

الخط العمودي علىالذي يمريكون

يظهر رسم بياني للخطين في (الشكل).

لاحظ أنه إذا رسمنا خطوطًا عمودية على آلة حاسبة بيانية باستخدام التكبير القياسي ، فقد لا تبدو الخطوط متعامدة. يتيح ضبط النافذة إمكانية التكبير بشكل أكبر لرؤية التقاطع عن كثب.

بالنظر إلى الوظيفةاكتب معادلة للخط المارهذا هو

  1. بالتوازي مع />
  2. عمودي على />

أ.ب.

بالنظر إلى نقطتين على خط ونقطة ثالثة ، اكتب معادلة الخط العمودي الذي يمر بالنقطة.

  1. أوجد ميل الخط المار بالنقاط.
  2. أوجد المقلوب السالب للميل.
  3. استخدم صيغة الميل والمقطع أو صيغة الميل والنقطة لكتابة المعادلة باستبدال القيم المعروفة.
  4. تبسيط.

خط يمر عبر النقاطوأوجد معادلة الخط العمودي الذي يمر بالنقطة

من نقطتي الخط المعطى ، يمكننا حساب ميل ذلك الخط.

أوجد المقلوب السالب للميل.

يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة ص-اعتراض الخط المار بالنقطة

معادلة الخط المستقيم العمودي على الخط المار بالنقطتين المحددتين ويمر أيضًا بالنقطةيكون

خط يمر عبر النقاط ،وأوجد معادلة الخط العمودي الذي يمر بالنقطة ،

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية باستخدام الوظائف الخطية.

المفاهيم الرئيسية

  • يمكن تمثيل الوظائف الخطية في الكلمات ، وترميز الوظيفة ، والصيغة الجدولية ، والشكل الرسومي. أنظر للشكل).
  • ينتج عن الدالة الخطية المتزايدة رسم بياني يميل لأعلى من اليسار إلى اليمين وله ميل موجب. ينتج عن تناقص الدالة الخطية رسم بياني يميل لأسفل من اليسار إلى اليمين وله ميل سلبي. ينتج عن الدالة الخطية الثابتة رسم بياني يمثل خطًا أفقيًا. أنظر للشكل).
  • المنحدر هو معدل التغيير. يمكن حساب ميل الدالة الخطية بقسمة الفرق بينهما ذ-القيم بالفرق في المقابل x- قيم أي نقطتين على الخط. انظر (الشكل) و (الشكل).
  • يمكن كتابة معادلة دالة خطية من الرسم البياني. أنظر للشكل).
  • يمكن كتابة معادلة الدالة الخطية إذا كان الميلوالقيمة الأوليةمن المعروف. انظر (الشكل) و (الشكل).
  • يمكن استخدام دالة خطية لحل مشاكل العالم الحقيقي بمعلومات بأشكال مختلفة. أنظر للشكل),(شكل), و (الشكل).
  • يمكن رسم الدوال الخطية عن طريق رسم النقاط أو باستخدام ذ- التقاطع والانحدار. انظر (الشكل) و (الشكل).
  • يمكن تحويل الرسوم البيانية للوظائف الخطية باستخدام التحولات لأعلى أو لأسفل أو لليسار أو لليمين ، وكذلك من خلال التمديدات والضغط والانعكاسات. أنظر للشكل).
  • يمكن كتابة معادلة الدالة الخطية بتفسير الرسم البياني. أنظر للشكل).
  • ال x- التقاطع هو النقطة التي يتقاطع عندها الرسم البياني للدالة الخطية مع x-محور. أنظر للشكل).
  • يتم كتابة الخطوط الأفقية في النموذج ،أنظر للشكل).
  • يتم كتابة الخطوط العمودية في النموذج ،أنظر للشكل).
  • المستقيمات المتوازية لها نفس الميل. الخطوط المتعامدة لها ميل سالب مقلوب ، بافتراض أن أيا منهما ليس عموديًا. أنظر للشكل).
  • يمكن إيجاد خط موازٍ لخط آخر ، يمر عبر نقطة معينة ، عن طريق استبدال قيمة ميل الخط والخط. x& # 8211 و ذ- قيم النقطة المعينة في المعادلة ،واستخدامهذه النتائج. وبالمثل ، يمكن أيضًا استخدام صيغة المعادلة ونقطة الميل. أنظر للشكل).
  • يمكن إيجاد الخط العمودي على خط آخر ، الذي يمر عبر نقطة معينة ، بنفس الطريقة ، باستثناء استخدام المنحدر السلبي المقلوب. انظر (الشكل) و (الشكل).

تمارين القسم

شفهي

يتزلج تيري أسفل تل شديد الانحدار. ارتفاع Terry & # 8217s ،في القدمين بعدثواني مُعطاة بواسطةاكتب جملة كاملة تصف ارتفاع بداية تيري وكيف يتغير بمرور الوقت.

يبدأ تيري على ارتفاع 3000 قدم وينزل 70 قدمًا في الثانية.

جيسيكا في طريقها إلى المنزل من منزل أحد الأصدقاء. بعد دقيقتين تكون على بعد 1.4 ميل من المنزل. بعد اثني عشر دقيقة من مغادرتها ، كانت على بعد 1.5 ميل من المنزل. ما هو سعرها بالأميال في الساعة؟

يقع القارب على بعد 100 ميل من المرسى ، ويبحر باتجاهه مباشرة بسرعة 10 أميال في الساعة. اكتب معادلة لمسافة القارب من المرسى بعد ذلك ر ساعات.

إذا كانت الرسوم البيانية لدالتين خطيتين متعامدة ، فقم بوصف العلاقة بين المنحدرين و ذ- اعتراضات.

إذا كان الخط الأفقي لديه المعادلةوالخط العمودي له المعادلةما هي نقطة التقاطع؟ اشرح لماذا ما وجدته هو نقطة التقاطع.

نقطة التقاطع هيهذا بسبب الخط الأفقي ، كل منالإحداثياتوللخط العمودي ، كل منالإحداثياتتقع نقطة التقاطع على كلا الخطين ، وبالتالي سيكون لها هاتان الخاصيتان.

جبري

بالنسبة للتمارين التالية ، حدد ما إذا كان يمكن كتابة معادلة المنحنى كدالة خطية.

بالنسبة للتمارين التالية ، حدد ما إذا كانت كل دالة تتزايد أم تتناقص.

بالنسبة للتمارين التالية ، أوجد ميل الخط الذي يمر عبر النقطتين المحددتين.

و

و

و

و

و

بالنسبة للتمارين التالية ، بالنظر إلى كل مجموعة من المعلومات ، ابحث عن معادلة خطية تفي بالشروط ، إن أمكن.

و

و

يمر عبرو

يمر عبرو

يمر عبرو

يمر عبرو

x اعتراض فيو ذ اعتراض في

x اعتراض فيو ذ اعتراض في

بالنسبة للتمارين التالية ، حدد ما إذا كانت الخطوط المعطاة بواسطة المعادلات أدناه متوازية أم متعامدة أم لا.

للتمارين التالية ، ابحث عن x& # 8211 و ص-اعتراضات كل معادلة.

بالنسبة للتمارين التالية ، استخدم أوصاف كل زوج من الخطوط الواردة أدناه للعثور على منحدرات الخط 1 والخط 2. هل كل زوج من الخطوط متوازي أم متعامد أم لا؟

السطر 1: يمر عبرو

السطر 2: يمر عبرو

خط 1: م = –10 السطر الثاني: م = –10 بالتوازي

السطر 1: يمر عبرو

السطر 2: يمر عبرو

السطر 1: يمر عبرو

السطر 2: يمر عبرو

خط 1: م = –2 السطر 2: م = 1 ولا

السطر 1: يمر عبرو

السطر 2: يمر عبرو

السطر 1: يمر عبرو

السطر 2: يمر عبرو

للتمارين التالية ، اكتب معادلة للخط الموصوف.

اكتب معادلة للخط الموازي لوتمر عبر النقطة

اكتب معادلة للخط الموازي لوتمر عبر النقطة

اكتب معادلة لخط عمودي علىوتمر عبر النقطة

اكتب معادلة لخط عمودي علىوتمر عبر النقطة

رسومية

للتمارين التالية ، أوجد ميل الخط المرسوم.

للتمارين التالية ، اكتب معادلة للخط المرسوم.

بالنسبة للتمارين التالية ، قم بمطابقة المعادلة الخطية المحددة مع الرسم البياني الخاص بها في (الشكل).

للتمارين التالية ، ارسم خطًا بالسمات المحددة.

ان x- اعتراضو ذ- اعتراض

ان x-تقاطعو ذ- اعتراض

أ ذ- اعتراضوالمنحدر

أ ذ- اعتراضوالمنحدر

يمر من خلال النقاطو

يمر من خلال النقاطو

للتمارين التالية ، ارسم الرسم البياني لكل معادلة.

للتمارين التالية ، اكتب معادلة الخط الموضح في الرسم البياني.

رقمي

بالنسبة للتمارين التالية ، أي من الجداول يمكن أن يمثل دالة خطية؟ لكل ما يمكن أن يكون خطيًا ، ابحث عن معادلة خطية تشكل البيانات.

0 5 10 15
5 –10 –25 –40

خطي،

0 5 10 15
5 30 105 230
0 5 10 15
–5 20 45 70

خطي،

5 10 20 25
13 28 58 73
0 2 4 6
6 –19 –44 –69

خطي،

2 4 8 10
13 23 43 53
2 4 6 8
–4 16 36 56

خطي،

0 2 6 8
6 31 106 231

تكنولوجيا

للتمارين التالية ، استخدم الآلة الحاسبة أو تقنية الرسوم البيانية لإكمال المهمة.

لوهي دالة خطية ،أوجد معادلة للدالة.

ارسم الوظيفةفي مجالأدخل الوظيفة في أداة الرسوم البيانية. بالنسبة لنافذة العرض ، قم بتعيين الحد الأدنى لقيمةأن تكونوالقيمة القصوىأن تكون

ارسم الوظيفةفي مجال

(الشكل) يوضح المدخلات ،والإخراج ،لوظيفة خطيةأ. املأ القيم المفقودة في الجدول. ب. اكتب الدالة الخطيةتقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية.

ث –10 5.5 67.5 ب
ك 30 –26 أ –44

(الشكل) يوضح المدخلات ،والإخراج ،لوظيفة خطيةأ. املأ القيم المفقودة في الجدول. ب. اكتب الدالة الخطية

ص 0.5 0.8 12 ب
ف 400 700 أ 1,000,000

ارسم الدالة الخطيةفي مجالللدالة التي يكون ميلهاو ذ- التقاطع هوقم بتسمية النقاط الخاصة بقيم الإدخال لـو

ارسم الدالة الخطيةفي مجالللدالة التي ميلها 75 و ذ- التقاطع هوقم بتسمية النقاط الخاصة بقيم الإدخال لـو

ارسم الدالة الخطيةأينعلى نفس مجموعة المحاور في مجالللقيم التالية منو

ملحقات

أوجد قيمةإذا مرت دالة خطية بالنقاط التالية ولها المنحدر التالي:

أوجد قيمة ذ إذا مرت دالة خطية بالنقاط التالية ولها المنحدر التالي:

أوجد معادلة الخط الذي يمر بالنقاط التالية:

و

أوجد معادلة الخط الذي يمر بالنقاط التالية:

و

أوجد معادلة الخط الذي يمر بالنقاط التالية:

و

أوجد معادلة الخط المستقيم الموازي للخط المستقيممن خلال النقطة

أوجد معادلة الخط المستقيم العمودي على الخط المستقيممن خلال النقطة

للتمارين التالية ، استخدم الوظائف

أوجد نقطة تقاطع الخطينو

أين هوأكثر منأين هوأكثر من

تطبيقات العالم الحقيقي

في الظهيرة ، لاحظت النادل أن لديها 20 في جرة البقشيش الخاصة بها. إذا كانت تكسب في المتوسط ​​0.50 من كل زبون ، فكم سيكون لديها في جرة البقشيش الخاصة بها إذا كانت تخدمالمزيد من العملاء خلال مناوبتها؟

تبلغ تكلفة عضوية الصالة الرياضية مع جلستين تدريبيتين شخصيتين 125 جنيهًا إسترلينيًا ، بينما تبلغ تكلفة عضوية النادي بخمس جلسات تدريب شخصية 260. ما هي تكلفة الجلسة؟

69.؟ 45 لكل جلسة تدريبية.

اكتشف نشاط تجاري للملابس أن هناك علاقة خطية بين عدد القمصان ،يمكنه البيع والسعر ،يمكن شحن كل قميص. على وجه الخصوص ، تُظهر البيانات التاريخية أنه يمكن بيع 1000 قميص بسعربينما يمكن بيع 3000 قميص بسعر 22 جنيهًا إسترلينيًا. ابحث عن معادلة خطية في الصورةهذا يعطي السعريمكنهم تحصيل رسوم مقابلقمصان.

تتقاضى شركة الهاتف رسومًا مقابل الخدمة وفقًا للصيغة:أينهو عدد الدقائق التي تحدث ، وهي التكلفة الشهرية بالدولار. إيجاد وتفسير معدل التغيير والقيمة الأولية.

معدل التغيير 0.1. لكل دقيقة إضافية يتم التحدث بها ، تزداد الرسوم الشهرية بمقدار 0.1 أو 10 سنتات. القيمة الأولية هي 24. في حالة عدم وجود دقائق تحدث ، تكون الشحنة في البداية؟ 24.

يجد المزارع أن هناك علاقة خطية بين عدد سيقان الفاصوليا ،تزرع والمحصول ،كل مصنع ينتج. عندما تزرع 30 سيقانًا ، ينتج كل نبات 30 أونصة من الفاصوليا. عندما تزرع 34 سيقانًا ، ينتج كل نبات 28 أوقية من الفاصوليا. ابحث عن علاقات خطية في النموذجالذي يعطي العائد عندماسيقان مزروعة.

بلغ عدد سكان المدينة في عام 1960 287500 نسمة. في عام 1989 كان عدد السكان 275900 نسمة. احسب معدل نمو السكان وقم بإصدار بيان حول معدل التغير السكاني في الأشخاص سنويًا.

المنحدر -400. هذا يعني أنه لكل عام بين عامي 1960 و 1989 ، انخفض عدد السكان بمقدار 400 سنويًا في المدينة.

يتزايد عدد سكان البلدة بشكل خطي. في عام 2003 ، كان عدد السكان 45000 ، وكان عدد السكان يتزايد بمقدار 1700 شخص كل عام. اكتب معادلة ،للسكانبعد عام 2003.

لنفترض أن متوسط ​​الدخل السنوي (بالدولار) للسنوات من 1990 حتى 1999 تعطى من خلال الدالة الخطية:أينهو عدد السنوات بعد عام 1990. أي مما يلي يفسر المنحدر في سياق المشكلة؟

  1. اعتبارًا من عام 1990 ، كان متوسط ​​الدخل السنوي؟ 23،286.
  2. في فترة العشر سنوات 1990-1999 ، زاد متوسط ​​الدخل السنوي بإجمالي 1.054 يورو.
  3. في كل عام في عقد التسعينيات ، زاد متوسط ​​الدخل السنوي بمقدار 1.054 جنيه إسترليني.
  4. ارتفع متوسط ​​الدخل السنوي إلى مستوى 23286 بنهاية عام 1999.

عندما تكون درجة الحرارة 0 درجة مئوية ، تكون درجة حرارة فهرنهايت 32. عندما تكون درجة الحرارة المئوية 100 ، تكون درجة حرارة فهرنهايت المقابلة 212. عبر عن درجة حرارة فهرنهايت كدالة خطية لـدرجة الحرارة المئوية

  1. أوجد معدل التغير في درجة الحرارة بالفهرنهايت لكل وحدة تغير في درجة الحرارة المئوية.
  2. ابحث وفسر
  3. ابحث وفسر

الحواشي

    http://www.chinahighlights.com/shanghai/transportation/maglev-train.htm http://www.cbsnews.com/8301-501465_162-57400228-501465/teens-are-sending-60-texts-a-day -دراسة-تقول /

قائمة المصطلحات

تناقص دالة خطية دالة ذات ميل سالب: If خط أفقي خط محدد بواسطةأينهو رقم حقيقي. ميل الخط الأفقي هو 0. زيادة الدالة الخطية دالة ذات ميل موجب: If دالة خطية هي دالة ذات معدل تغير ثابت وهي كثيرة الحدود من الدرجة 1 ، ويكون رسمها البياني عبارة عن خط مستقيم مستقيمة متوازية لخطين أو أكثر مع نفس الميل ، خطان متعامدان يتقاطعان عند زوايا قائمة ولها منحدرات سالبة تشكل المعادلات لكل من ميل ونقطة أخرى معادلة لخط يمثل دالة خطية للصيغة ميل نسبة التغيير في قيم المخرجات إلى التغيير في قيم الإدخال ، مقياسًا لانحدار خط الانحدار-تقاطع شكل المعادلة لخط يمثل دالة خطية في النموذج خط عمودي خط محدد بواسطةأينهو رقم حقيقي. ميل الخط العمودي غير محدد.

العثور على x- اعتراض خط

حتى الآن ، تم العثور على ص-اعتراضات دالة: النقطة التي يتقاطع عندها الرسم البياني للدالة مع ذ-محور. قد تحتوي الوظيفة أيضًا على ملف x-تقاطع، وهو x- تنسيق النقطة التي يتقاطع فيها الرسم البياني للوظيفة مع x-محور. بمعنى آخر ، إنها قيمة الإدخال عندما تكون قيمة الإخراج صفرًا.

لتجد ال x- اعتراض ، اضبط وظيفة F(x) يساوي صفرًا وحلها من أجل قيمة x. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الوظيفة المعروضة.

ساوي التابع ب 0 وحل من أجل x.

يتقاطع الرسم البياني للدالة مع x- المحور عند النقطة (2 ، 0).

هل كل الدوال الخطية لها x- اعتراضات؟

رقم ومع ذلك ، وظائف خطية من النموذج ذ = ج، أين ج هو رقم حقيقي غير صفري هي الأمثلة الوحيدة للوظائف الخطية التي لا تحتوي على x-تقاطع. فمثلا، ذ = 5 خط أفقي 5 وحدات فوق x-محور. هذه الوظيفة لا تحتوي على x- اعتراضات.

ملاحظة عامة: x-تقاطع

ال x-تقاطع للدالة قيمة x متي F(x) = 0. يمكن حلها بالمعادلة 0 = مكس + ب.

مثال 5: العثور على ملف x-تقاطع

أعثر على x-تقاطع [اللاتكس] f left (x right) = frac <1> <2> x - 3 [/ latex].

المحلول

ضع الدالة مساوية لصفر للحل من أجلها x.

يتقاطع الرسم البياني مع x- المحور عند النقطة (6 ، 0).

تحليل الحل

يظهر الرسم البياني للدالة في الشكل 12. يمكننا أن نرى أن x- التقاطع هو (6 ، 0) كما توقعنا.

الشكل 12. الرسم البياني للدالة الخطية [اللاتكس] f left (x right) = frac <1> <2> x - 3 [/ latex].

جربه 4

أعثر على x-تقاطع [اللاتكس] f left (x right) = frac <1> <4> x - 4 [/ latex].


4.1 المزيد من الوظائف المعقدة

يدور حساب التفاضل حول تقريب الدوال الأكثر تعقيدًا من خلال الدوال الخطية. نتناول الآن السؤال ، ما هي الوظائف الأكثر تعقيدًا التي نريد التعامل معها؟

يمكن تشكيل معظم الوظائف التي سنتحدث عنها بواسطة بدءًا من ثلاث وظائف أساسية ، و تطبيق عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة والعكس (مثل الانتقال من المربع إلى الجذر التربيعي) والاستبدال بنسخ منها.

يمكننا تحديد المزيد من الوظائف باستخدام حساب التفاضل والتكامل ، ولكن لا يلزم التحقيق في هذه الوظائف الآن.

الوظائف الأساسية الثلاث هي الهوية وظيفة دالة الجيب و الأسي وظيفة. في الوقت الحالي ، سنبدأ بالوظيفة الأولى فقط ، وهي دالة الهوية.

إذا ضربنا نسخًا من دالة الهوية معًا ، نحصل على قوى لها ، مثل (x * x ) (وهي (x ) تربيع) ، أو (x * x * x ) ، وهي ( x ) مكعبة ، وهكذا. أي دالة تتكون من قوة موجبة مضروبة في ثابت تسمى a أحادي. إذا جمعنا أو طرحنا عددًا محدودًا من هذه ، فسنحصل على ما يسمى كثيرات الحدود.

أبسط كثيرات الحدود هي الدوال الخطية التي ذكرناها بالفعل. التالي الأكثر تعقيدًا هي وظائف من الدرجة الثانية هذه لها الشكل ، (ax ^ 2 + bx + c ) ، حيث (أ ، ب ) و (ج ) أرقام. الدوال التكعيبية لها مصطلح مكعب في الدوال الرباعية مثل (dx ^ 4 ) وهكذا.

يمكننا تقييم ورسم الدوال التربيعية بجهد قليل جدًا أكثر مما بذلناه في الدوال الخطية. الاختلاف الوحيد هو أننا يجب أن نضيف معاملًا تربيعيًا على سبيل المثال في B6 ، وأن ندخل = B $ 6 * A10 * A10 + B $ 2 * A10 + B $ 3 إلى B10 (ثم ننسخ هذا العمود السفلي B.)

على سبيل المثال ، جرب هذا بوضع (1 ) في B6. بعد إدخال التعليمات أعلاه في A10 ، يجب عليك نسخها إلى B11 إلى B500 ، ويمكنك الآن رسم أي تربيعية عن طريق تغيير المعلمات الخاصة بك.

عندما تفعل هذا ستجد شيئًا لطيفًا نوعًا ما ، تبدو جميع التربيعيات متشابهة إلى حد ما باستثناء أن بعضها مقلوب.

أي ، إذا رسمت مخططًا تربيعيًا ولا تهتم بمقاييس الرسم البياني الخاص بك أو أي نهايات صاعدة ، وحيث تكون قمته أو واديه ، لا يمكنك التمييز بينهما. التربيعيات مع علامة معينة للمعامل التربيعي ، كلها متشابهة باستثناء المقياس والموقع للنقاط المرتفعة والمنخفضة.
هناك حقيقة لطيفة أخرى حول التربيعية وهي أننا نعرف كيفية حل بعض المعادلات بالصيغة (f (x) = 0 ) ، عندما يكون (f ) تربيعيًا.

ما هي المعادلات هؤلاء؟

حسنًا ، نحن نعرف كيفية حل المعادلة

[x ^ 2 = A ] وهو ما يعني نفس الشيء مثل: [x ^ 2 - A = 0 ]

عندما يكون A رقمًا موجبًا. يمكننا حلها لأن الحل ، بالتعريف ، الجذر التربيعي لـ A.

عن طريق التلاعب الحسابي ، يمكنك تقليل أي تربيعي إلى هذا الشكل القابل للحل ، وحلها ، وستحصل على الصيغة التربيعية الشهيرة للحلول.

كيف ذلك وماذا؟

يمكن إعادة كتابة المعادلة (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) (عندما لا يكون (a ) (0 ) ، بعد القسمة على (a )) كـ

وبالتالي ، فإن الجذر التربيعي للطرف الأيسر يساوي موجب أو ناقص الجذر التربيعي للطرف الأيمن هنا.

هذه طريقة غريبة لكتابة الصيغة القياسية من الدرجة الثانية.

تمرين 4.1: ابحث عن حلين لكل من المعادلات التالية:


المعادلات الخطية

يعتمد الانحدار الخطي لمتغيرين على معادلة خطية بمتغير مستقل واحد. المعادلة لها الشكل:


أين أ و ب هي أعداد ثابتة.

المتغير x هو المتغير المستقل ، و ذ هو المتغير التابع. عادةً ما تختار قيمة لتحل محل المتغير المستقل ثم تحل قيمة المتغير التابع.

الأمثلة التالية هي معادلات خطية.

هل المثال التالي مثال على معادلة خطية؟

الرسم البياني لمعادلة خطية للصيغة ذ = أ + bx هو خط مستقيم. يمكن وصف أي خط غير عمودي بهذه المعادلة.

ارسم المعادلة بيانيًا ذ = –1 + 2x.

هل المثال التالي مثال على معادلة خطية؟ لما و لما لا؟

Aaron & # 8217s خدمة معالجة الكلمات (AWPS) تقوم بمعالجة الكلمات. سعر الخدمات هو 32 جنيهًا مصريًا في الساعة بالإضافة إلى 31.50 جنيهًا مصريًا رسوم لمرة واحدة. تعتمد التكلفة الإجمالية للعميل على عدد الساعات التي يستغرقها إكمال المهمة.

أوجد المعادلة التي تعبر عن التكلفة الإجمالية من حيث عدد الساعات مطلوب لإكمال الوظيفة.

يترك x = عدد الساعات التي يستغرقها إنجاز المهمة.
يترك ذ = التكلفة الإجمالية للعميل.

31.50 هو تكلفة ثابتة. إذا استغرق الأمر x ساعة لانجاز العمل ثم (32) (x) هي تكلفة معالجة الكلمات فقط. التكلفة الإجمالية هي: ذ = 31.50 + 32x

تستأجر Emma’s Extreme Sports مدربين القفز المظلي وتدفع لهم رسومًا قدرها 50 جنيهًا إسترلينيًا لكل فصل بالإضافة إلى 20 جنيهًا مصريًا لكل طالب في الفصل. تعتمد التكلفة الإجمالية التي تدفعها إيما على عدد الطلاب في الفصل. ابحث عن المعادلة التي تعبر عن التكلفة الإجمالية من حيث عدد الطلاب في الفصل.

المنحدر و ص-مقاطع معادلة خطية

للمعادلة الخطية ذ = أ + bx, ب = المنحدر و أ = ذ-تقاطع. من الجبر تذكر أن المنحدر هو رقم يصف انحدار الخط ، و ذ-تقاطع هو ذ تنسيق النقطة (0 ، أ) حيث يتقاطع الخط مع ذ-محور.

مدرسون سفيتلانا لكسب أموال إضافية للكلية. لكل جلسة تدريس خصوصية ، تتقاضى رسومًا لمرة واحدة تبلغ 25 جنيهًا إسترلينيًا و 15 جنيهًا إسترلينيًا لكل ساعة من التدريس. معادلة خطية تعبر عن المبلغ الإجمالي للأموال التي تكسبها سفيتلانا عن كل جلسة تقوم بتدريسها ذ = 25 + 15x.

ما هي المتغيرات المستقلة والتابعة؟ ما هو ملف ذ- التقاطع وما هو المنحدر؟ فسرهم باستخدام جمل كاملة.

المتغير المستقل (x) هو عدد ساعات مدرس سفيتلانا في كل جلسة. المتغير التابع (ذ) هو المبلغ الذي تكسبه سفيتلانا بالدولار عن كل جلسة.

ال ذ- التقاطع هو 25 (أ = 25). في بداية جلسة التدريس الخصوصي ، تتقاضى سفيتلانا رسومًا لمرة واحدة قدرها 25 جنيهًا إسترلينيًا (هذا هو موعد x = 0). المنحدر 15 (ب = 15). في كل جلسة ، تكسب سفيتلانا 15 جنيهًا إسترلينيًا عن كل ساعة تقوم بتدريسها.

يقوم إيثان بإصلاح الأجهزة المنزلية مثل غسالات الصحون والثلاجات. مقابل كل زيارة ، يتقاضى 25 جنيهًا إسترلينيًا زائد 20 لكل ساعة عمل. المعادلة الخطية التي تعبر عن المبلغ الإجمالي للأموال التي يكسبها إيثان لكل زيارة هي ذ = 25 + 20x.

ما هي المتغيرات المستقلة والتابعة؟ ما هو ملف ذ- التقاطع وما هو المنحدر؟ فسرهم باستخدام جمل كاملة.

مراجع

بيانات من مراكز السيطرة على الأمراض والوقاية منها.

بيانات من المركز الوطني للوكالة التي تبلغ عن حالات الإنفلونزا والوقاية من السل.

مراجعة الفصل

النوع الأساسي من الارتباط هو الارتباط الخطي. يمكن تعريف هذا النوع من العلاقات جبريًا من خلال المعادلات المستخدمة ، عدديًا بقيم البيانات الفعلية أو المتوقعة ، أو بيانياً من منحنى مرسوم. (تصنف الخطوط على أنها منحنيات مستقيمة.) جبريًا ، تأخذ المعادلة الخطية الشكل عادةً ص = م س + ب، أين م و ب هي ثوابت ، x هو المتغير المستقل ، ذ هو المتغير التابع. في سياق إحصائي ، تتم كتابة معادلة خطية في النموذج ص = أ + ب س، أين أ و ب هي الثوابت. يستخدم هذا النموذج لمساعدة القراء على التمييز بين السياق الإحصائي والسياق الجبري. في المعادلة ص = أ + ب س، ثابت ب يضاعف ال x عامل (ب يسمى المعامل) باسم ميل. يصف المنحدر معدل التغيير بين المتغيرات المستقلة والتابعة بمعنى آخر ، يصف معدل التغيير التغيير الذي يحدث في المتغير التابع مع تغيير المتغير المستقل. في المعادلة ص = أ + ب س، الثابت a يسمى ذ-تقاطع. بيانيا ، فإن ملف ذ-تقاطع هو ذ تنسيق النقطة التي يتقاطع فيها الرسم البياني للخط مع ذ محور. عند هذه النقطة x = 0.

ال منحدر خط هي قيمة تصف معدل التغيير بين المتغيرات المستقلة والتابعة. ال ميل يخبرنا كيف المتغير التابع (ذ) التغييرات لكل وحدة زيادة في المستقل (x) متغير في المتوسط. ال ذ-تقاطع يستخدم لوصف المتغير التابع عندما يساوي المتغير المستقل صفرًا. بيانياً ، يتم تمثيل المنحدر بثلاثة أنواع من الخطوط في الإحصائيات الأولية.

مراجعة الصيغة

ذ = أ + bx أين أ هل ذ- اعتراض و ب هو المنحدر. المتغير x هو المتغير المستقل و ذ هو المتغير التابع.

استخدم المعلومات التالية للإجابة على التدريبات الثلاثة التالية. يقوم منتجع لقضاء العطلات بتأجير معدات الغوص للغواصين المعتمدين. يفرض المنتجع رسمًا مقدمًا بقيمة 25 جنيهًا إسترلينيًا ورسمًا آخر بقيمة 12.50 جنيه إسترليني للساعة.

ما هي المتغيرات التابعة والمستقلة؟

المتغير التابع: مبلغ الرسم متغير مستقل: الوقت

ابحث عن المعادلة التي تعبر عن إجمالي الرسوم من حيث عدد ساعات تأجير المعدات.


استخدم المعلومات التالية للإجابة على التمرينين التاليين. تتقاضى شركة بطاقات الائتمان 10 جنيه استرليني عندما يتأخر الدفع ، و 5 جنيه استرليني يوميًا تظل الدفعة غير مدفوعة.

ابحث عن المعادلة التي تعبر عن إجمالي الرسوم من حيث عدد الأيام التي تأخر فيها الدفع.

هي المعادلة ذ = 10 + 5x – 3x 2 خطي؟ لما و لما لا؟

أي من المعادلات التالية خطية؟

ذ = 6x + 8, 4ذ = 8 و ذ + 7 = 3x كلها معادلات خطية.

هل يظهر الرسم البياني معادلة خطية؟ لما و لما لا؟

(الشكل) يحتوي على بيانات حقيقية للعقدين الأولين من الإبلاغ عن الإنفلونزا.

البالغون والمراهقون فقط ، الولايات المتحدة
عام تم تشخيص # حالة انفلونزا # حالة وفاة بسبب الإنفلونزا
ما قبل 1981 91 29
1981 319 121
1982 1,170 453
1983 3,076 1,482
1984 6,240 3,466
1985 11,776 6,878
1986 19,032 11,987
1987 28,564 16,162
1988 35,447 20,868
1989 42,674 27,591
1990 48,634 31,335
1991 59,660 36,560
1992 78,530 41,055
1993 78,834 44,730
1994 71,874 49,095
1995 68,505 49,456
1996 59,347 38,510
1997 47,149 20,736
1998 38,393 19,005
1999 25,174 18,454
2000 25,522 17,347
2001 25,643 17,402
2002 26,464 16,371
مجموع 802,118 489,093

استخدم العمودين & # 8220year & # 8221 و & # 8220 # حالات الأنفلونزا التي تم تشخيصها. لماذا يعتبر "year" هو المتغير المستقل و "تم تشخيص # حالة إنفلونزا". المتغير التابع (بدلاً من العكس)؟

عدد حالات الانفلونزا يعتمد على السنة. لذلك ، تصبح السنة المتغير المستقل وعدد حالات الأنفلونزا هو المتغير التابع.


استخدم المعلومات التالية للإجابة على التمرينين التاليين. تتقاضى شركة تنظيف متخصصة رسومًا للمعدات ورسوم عمل بالساعة. معادلة خطية تعبر عن المبلغ الإجمالي للرسوم التي تتقاضاها الشركة عن كل جلسة ذ = 50 + 100x.

ما هي المتغيرات المستقلة والتابعة؟

ما هو ملف ذ- التقاطع وما هو المنحدر؟ فسرهم باستخدام جمل كاملة.

ال ذ- التقاطع 50 (أ = 50). في بداية التنظيف ، تفرض الشركة رسومًا لمرة واحدة قدرها 50 جنيهًا إسترلينيًا (وهذا هو الموعد x = 0). المنحدر 100 (ب = 100). لكل جلسة ، تتقاضى الشركة 100 جنيه إسترليني مقابل كل ساعة تنظيف.


استخدم المعلومات التالية للإجابة على الأسئلة الثلاثة التالية. بسبب التعرية ، يفقد الخط الساحلي للنهر عدة آلاف من الأرطال من التربة كل عام. المعادلة الخطية التي تعبر عن إجمالي كمية التربة المفقودة في السنة هي ذ = 12,000x.

ما هي المتغيرات المستقلة والتابعة؟

كم رطلاً من التربة يفقدها الخط الساحلي في السنة؟

ما هو ملف ذ-تقاطع؟ فسر معناها.


استخدم المعلومات التالية للإجابة على التمرينين التاليين. يمكن أن يتقلب سعر إصدار واحد من الأسهم على مدار اليوم. المعادلة الخطية التي تمثل سعر مخزون Shipment Express هي ذ = 15 – 1.5x أين x هو عدد الساعات المنقضية في يوم تداول مدته ثماني ساعات.

ما هي المنحدر و ذ-تقاطع؟ فسر معناها.

المنحدر –1.5 (ب = –1.5). هذا يعني أن السهم يفقد قيمته بمعدل 1.50 في الساعة. ال ذ- التقاطع هو؟ 15 (أ = 15). هذا يعني أن سعر السهم قبل يوم التداول كان؟ 15.

إذا كنت تملك هذا السهم ، هل تريد ميلًا إيجابيًا أم سلبيًا؟ لماذا ا؟

الواجب المنزلي

لكل من الحالات التالية ، حدد المتغير المستقل والمتغير التابع.

  1. تم إجراء دراسة لتحديد ما إذا كان السائقون المسنون متورطون في وفيات السيارات أكثر من السائقين الآخرين. عدد الوفيات لكل 100،000 سائق مقارنة بعمر السائقين.
  2. يتم إجراء دراسة لتحديد ما إذا كانت فاتورة البقالة الأسبوعية تتغير بناءً على عدد أفراد الأسرة.
  3. تعتمد شركات التأمين أقساط التأمين على الحياة جزئيًا على عمر مقدم الطلب.
  4. تختلف فواتير المرافق وفقًا لاستهلاك الطاقة.
  5. يتم إجراء دراسة لتحديد ما إذا كان التعليم العالي يقلل من معدل الجريمة بين السكان.
  1. المتغير المستقل: المتغير المعتمد على العمر: الوفيات
  2. المتغير المستقل: # المتغير التابع لأفراد الأسرة: فاتورة البقالة
  3. المتغير المستقل: عمر مقدم الطلب المتغير التابع: قسط التأمين
  4. المتغير المستقل: استهلاك الطاقة المتغير التابع: المنفعة
  5. المتغير المستقل: التعليم العالي (سنوات) المتغير التابع: معدلات الجريمة

نظم سعر القطعة محل نقاش واسع حول خطط دفع الحوافز. في دراسة حديثة لفعالية موظف الائتمان ، تم فحص نظام سعر القطعة التالي:

تم تحقيق٪ من الهدف & اللفتنانت 80 80 100 120
حافز غير متوفر 4000 مع إضافة 125 لكل نقطة مئوية من 81-99٪ 6500 مع إضافة 125 لكل نقطة مئوية من 101-119٪ 9500 مع 125 مضافة لكل نقطة مئوية تبدأ من 121٪

إذا حقق موظف القرض 95٪ من هدفه ، فاكتب الوظيفة الخطية التي تنطبق على أساس جدول خطة الحوافز. في السياق ، اشرح ذ- التقاطع والانحدار.


1.1.7. زاوية الانحدار الأقل

انحدار الزاوية الصغرى (LARS) عبارة عن خوارزمية انحدار للبيانات عالية الأبعاد ، تم تطويرها بواسطة برادلي إيفرون وتريفور هاستي وإيان جونستون وروبرت تيبشيراني. يشبه LARS الانحدار التدريجي للأمام. في كل خطوة ، تجد الميزة الأكثر ارتباطًا بالهدف. عندما تكون هناك ميزات متعددة لها ارتباط متساوٍ ، بدلاً من الاستمرار في نفس الميزة ، فإنها تسير في اتجاه متساوي الزوايا بين الميزات.

مزايا LARS هي:

  • إنه فعال عدديًا في السياقات حيث يكون عدد الميزات أكبر بكثير من عدد العينات.

  • إنه حسابي بنفس سرعة الاختيار إلى الأمام وله نفس ترتيب التعقيد مثل المربعات الصغرى العادية.

  • ينتج مسار حل خطي متعدد التعابير ، وهو مفيد في التحقق المتبادل أو محاولات مماثلة لضبط النموذج.

  • إذا ارتبطت سمتان بالتساوي تقريبًا مع الهدف ، فيجب أن تزيد معاملاتهما بنفس المعدل تقريبًا. وهكذا تتصرف الخوارزمية كما يتوقع الحدس ، كما أنها أكثر استقرارًا.

  • يمكن تعديله بسهولة لإنتاج حلول لمقدرات أخرى ، مثل اللاسو.

تشمل عيوب طريقة LARS ما يلي:

  • نظرًا لأن LARS يعتمد على إعادة صياغة متكررة للبقايا ، فقد يبدو أنها حساسة بشكل خاص لتأثيرات الضوضاء. تمت مناقشة هذه المشكلة بالتفصيل بواسطة Weisberg في قسم المناقشة في Efron et al. (2004) مقال في حوليات الإحصاء.

يمكن استخدام نموذج LARS باستخدام المقدر Lars ، أو تطبيقه منخفض المستوى lars_path أو lars_path_gram.


مشاكل الكلمات الدالة الخطية 2



هذا الفيديو مخصص لـ SAT المعاد تصميمه وهو مناسب لك إذا كنت ستخضع لاختبار SAT في مارس 2016 وما بعده.

مشاكل الكلمات في الوظيفة الخطية - مثال أصعب
يقع منزل مينلي على بعد 2.2 ميل من مدرستها. عندما تعود إلى المنزل من المدرسة ، يستغرق الأمر 24 دقيقة في المتوسط. بافتراض أن مينلي تمشي بمعدل ثابت ، أي من الوظائف التالية أفضل نموذج لمسافة مينلي عن المنزل ، د ، بالأميال ، إذا كانت قد قطعت ما مجموعه t دقيقة في رحلتها إلى المنزل في ذلك اليوم؟

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


أوجد ميل الخط الموضح أدناه.

الخط أعلاه هو خط صاعد.

لذلك ، سيكون ميله قيمة موجبة.

ارسم النقطتين (-2 ، 0) و (0 ، 4) على الخط وقم بقياس الارتفاع والجري. & # xa0

أوجد ميل الخط الموضح أدناه.

الخط أعلاه خط صاعد.

لذلك ، سيكون ميله قيمة موجبة.

ارسم النقطتين (1 ، -1) و (2 ، 1) على الخط وقم بقياس الارتفاع والجري. & # xa0

أوجد ميل الخط الموضح أدناه.

الخط أعلاه خط صاعد.

لذلك ، سيكون ميله قيمة موجبة.

ارسم النقطتين (-2 ، -2) و (-1 ، 3) على الخط وقم بقياس الارتفاع والجري. & # xa0

أوجد ميل الخط الموضح أدناه.

الخط أعلاه خط صاعد.

لذلك ، سيكون ميله قيمة موجبة.

ارسم النقطتين (0 ، -3) و (1 ، 4) على الخط وقم بقياس الارتفاع والجري. & # xa0

الخط أعلاه خط صاعد.

لذلك ، سيكون ميله قيمة موجبة.

ارسم النقطتين (0 ، 2) و (5 ، 0) على الخط وقم بقياس الارتفاع والجري. & # xa0

نظرًا لأنه خط هابط ، فسيكون له ميل سلبي.

بصرف النظر عن الأشياء المذكورة أعلاه ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا. & # xa0

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


شاهد الفيديو: Lineere Getalpatrone (ديسمبر 2021).