مقالات

2.6: معكوس المصفوفة


2.6: معكوس المصفوفة

مصفوفة معكوسة

احسب معكوس مصفوفة 3 × 3.

تحقق من النتائج. من الناحية المثالية ، تنتج Y * X مصفوفة الهوية. نظرًا لأن Inv ينفذ انعكاس المصفوفة باستخدام حسابات الفاصلة العائمة ، فإن Y * X عمليًا قريبة من عين مصفوفة الهوية (الحجم (X)) ، ولكنها لا تساويها تمامًا.

حل النظام الخطي

افحص سبب حل نظام خطي عن طريق عكس المصفوفة باستخدام inv (A) * b وهو أدنى من حله مباشرةً باستخدام عامل الخط المائل العكسي ، x = A b.

قم بإنشاء مصفوفة عشوائية A بالترتيب 500 تم إنشاؤها بحيث يكون رقم الشرط الخاص بها ، cond (A) ، هو 1e10 ، ومعيارها ، القاعدة (A) ، هو 1. الحل الدقيق x هو متجه عشوائي طوله 500 ، والجانب الأيمن هو b = A * x. وبالتالي فإن نظام المعادلات الخطية مشروط بشكل سيئ ولكنه متسق.

حل النظام الخطي A * x = b عن طريق عكس مصفوفة المعامل A. استخدم tic و toc للحصول على معلومات التوقيت.

أوجد الخطأ المطلق والمتبقي في الحساب.

الآن ، قم بحل نفس النظام الخطي باستخدام عامل الخط المائل العكسي .

يكون حساب الخط المائل العكسي أسرع ويحتوي على أخطاء متبقية أقل بعدة أوامر من حيث الحجم. حقيقة أن err_inv و err_bs كلاهما بترتيب 1e-6 يعكس ببساطة رقم شرط المصفوفة.

سلوك هذا المثال نموذجي. استخدام A b بدلاً من Inv (A) * b أسرع مرتين إلى ثلاث مرات ، وينتج بقايا بترتيب دقة الماكينة بالنسبة لحجم البيانات.


جاريد أنتروبوس @ جامعة كنتاكي ->

دع $ A $ يكون أ مصفوفة مربعة بحجم $ n مرات n $. إذا تم تقليل $ A $ row إلى $ n times n $ مصفوفة الهوية $ I_n $ ، فإن $ A $ يكون غير قابل للعكس. أي أن هناك بعض $ n مرات n $ matrix $ A ^ <-1> $ (اقرأ ، "$ A $ معكوس") مثل أن $ AA ^ <-1> = A ^ <-1> A = I_n $. يمكن أن توجد المقلوبات فقط للمصفوفات المربعة ، ولكن ليس لكل مصفوفة مربعة معكوس. (في بعض الأحيان تحتوي المصفوفات غير المربعة على مقلوب يسار أو يمين ، ولكن هذا خارج نطاق هذه الفئة.)

نعود مرة أخرى إلى مشكلة حل نظام المعادلات الخطية. لنفترض أن لدينا نظامًا من المعادلات الخطية $ n $ في متغيرات $ n $. $ تبدأ a_ <11> x_1 + a_ <12> x_2 + ldots + a_ <1n> x_n & = b_1 a_ <21> x_1 + a_ <22> x_2 + ldots + a_ <2n> x_n & = b_2 vdots & أ_x_1 + a_x_2 + النقاط + a_x_n & = b_n end$ دع $ A $ يكون $ n مرات n $ مصفوفة بإدخالات $ a_$. (تذكر أن $ A $ هي مصفوفة المعامل للنظام أعلاه.) ثم يمكن كتابة هذا النظام على أنه معادلة المصفوفة $ Ax = b $ ، حيث $ x $ و $ b $ هما متجهات العمود مع إدخالات $ x_1 ، ldots و x_n $ و $ b_1 و ldots و b_n $ على التوالي. الفأس $ = تبدأ a_ <11> x_1 + a_ <12> x_2 + ldots + a_ <1n> x_n a_ <21> x_1 + a_ <22> x_2 + ldots + a_ <2n> x_n vdots a_x_1 + a_x_2 + النقاط + a_x_n النهاية = ابدأb_1 b_2 vdots b_n end = b $ إذا كان $ A $ مصفوفة قابلة للعكس ، فهذا أمر مذهل حقًا. لأي متجه $ b $ ، يمكننا استخدام $ A ^ <-1> $ لحل مشكلة $ x $! $ تبدأ Ax & = b A ^ <-1> Ax & = A ^ <-1> b x & = A ^ <-1> b end$

حسنًا ، كيف يمكننا إيجاد معكوس المصفوفة المربعة؟ كيف نعرف حتى إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس؟ العودة إلى القضاء على Gauss-Jordan. نفس تسلسل عمليات الصف الذي يأخذ $ A $ إلى $ I_n $ ، يأخذ أيضًا $ I_n $ إلى $ A ^ <-1> $. وهكذا يمكننا إنشاء مصفوفة زيادة $ startA & I_n end$ وتقليل الصف. إذا تم تقليل $ A $ إلى المتطابقة ، فسيكون الجانب الأيمن من المصفوفة المعززة هو $ A ^ <-1> $. إذا كان $ A $ لا يختزل الهوية ، فإن $ A $ لا يكون قابلاً للعكس (أو صيغة المفرد). $ تبدأA & I_n end longrightarrow ابدأI_n & A ^ <-1> end$

مثال. دع $ A = ابدأ1 & 2 - 1 & 3 نهاية$. للعثور على $ A ^ <-1> $ (إن وجد) ، نقوم بتقليل المصفوفة المعززة $ begin& I_2 ​​ النهاية$. $ تبدأ & غادر [ ابدأ 1 & 2 & 1 & 0 -1 & 3 & 0 & 1 نهاية right] R_1 + R_2 rightarrow R_2 & left [ start 1 & 2 & 1 & 0 0 & 5 & 1 & 1 نهاية right] frac <1> <5> R_2 rightarrow R_2 & left [ start 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 1/5 & 1/5 نهاية right] -2R_2 + R_1 rightarrow R_1 & left [ start 1 & 0 & 3/5 & -2 / 5 0 & 1 & 1/5 & 1/5 نهاية حق] نهاية$ لذا $ A ^ <-1> = start3/5 & -2 / 5 1/5 & 1/5 نهاية$. يمكننا التحقق من ذلك بضرب: $ AA ^ <-1> = begin1 & 2 - 1 & 3 نهاية يبدأ3/5 & -2 / 5 1/5 & 1/5 نهاية = ابدأ1 & 0 0 & 1 نهاية $

نظرية. بالنسبة لمصفوفات $ 2 مرات 2 $ فقط ، هناك اختصار سهل لتحديد المعكوس. افترض أن $ A = begina & b c & d end$. ثم محدد من $ A $ هو $ det (A) = ad-bc $. عندما يكون $ det (A) $ غير صفري ، يكون $ A $ قابلًا للعكس و $ A ^ <-1> = frac <1> < det (A)> startd & -b - c & a end.$

لقد ذكرت سابقًا أن معرفة معكوس المصفوفة يمكن أن يساعدنا في حل أنظمة المعادلات. دعونا نرى مثالاً على هذه التقنية.

مثال. ضع في اعتبارك نظام المعادلات الخطية هذا. $ تبدأ x + 2y & = 5 -x + 3y & = 10 endلاحظ أن هذا يعادل معادلة المصفوفة $ start1 & 2 - 1 & 3 نهايةيبدأx y end= ابدأ5 10 نهايةمن المثال السابق نعرف معكوس هذه المصفوفة. غادرنا الضرب في هذا المعكوس. $ تبدأ يبدأ3/5 & -2 / 5 1/5 & 1/5 نهاية يبدأ1 & 2 - 1 & 3 نهاية يبدأx y end & = ابدأ3/5 & -2 / 5 1/5 & 1/5 نهاية يبدأ5 10 نهاية يبدأ1 & 0 0 & 1 نهاية يبدأx y end & = ابدأ-1 3 نهاية يبدأx y end & = ابدأ-1 3 نهاية نهاية$ إذن حل النظام هو $ (- 1،3) $.

أغتنم هذه الفرصة لتذكيرك بأنه على الرغم من أن المصفوفات لا تنتقل بشكل عام ، فلدينا دائمًا $ AA ^ <-1> = A ^ <-1> A = I_n $. وهذا يعني أن المصفوفات القابلة للعكس تتنقل مع مقلوباتها.


2.6.2. منكمش التغاير

2.6.2.1. الانكماش الأساسي¶

على الرغم من كونه مقدرًا غير متحيز بشكل مقارب لمصفوفة التغاير ، فإن مقدر الاحتمالية القصوى ليس مقدرًا جيدًا للقيم الذاتية لمصفوفة التغاير ، لذا فإن مصفوفة الدقة التي تم الحصول عليها من انعكاسها ليست دقيقة. في بعض الأحيان ، يحدث أن مصفوفة التغاير التجريبية لا يمكن قلبها لأسباب عددية. لتجنب مشكلة الانقلاب هذه ، تم إدخال تحويل لمصفوفة التغاير التجريبية: الانكماش.

في scikit-Learn ، يمكن تطبيق هذا التحول (باستخدام معامل انكماش محدد من قبل المستخدم) مباشرة على التباين المشترك المحسوب مسبقًا باستخدام طريقة shrunk_covariance. أيضًا ، يمكن تركيب المقدر المنكمش للتغاير على البيانات باستخدام كائن ShrunkCovariance وطريقة ShrunkCovariance.fit الخاصة به. مرة أخرى ، تعتمد النتائج على ما إذا كانت البيانات مركزة ، لذلك قد يرغب المرء في استخدام المعلمة allow_centered بدقة.

رياضيًا ، يتمثل هذا الانكماش في تقليل النسبة بين القيم الذاتية الأصغر والأكبر لمصفوفة التغاير التجريبية. يمكن القيام بذلك ببساطة عن طريق تحويل كل قيمة ذاتية وفقًا لإزاحة معينة ، وهو ما يعادل إيجاد مقدر أقصى احتمالية لعقوبة l2 لمصفوفة التغاير. من الناحية العملية ، يتلخص الانكماش في تحول بسيط محدب: ( Sigma_ < rm shrunk> = (1- alpha) hat < Sigma> + alpha frac << rm Tr> hat < سيجما >>

rm المعرف ).

اختيار مقدار الانكماش ، ( alpha ) يرقى إلى تعيين تحيز / تباين مقايضة ، وستتم مناقشته أدناه.

2.6.2.2. انكماش ليدويت وولف¶

في ورقة عام 2004 1 ، اقترح O. Ledoit و M. Wolf صيغة لحساب معامل الانكماش الأمثل ( alpha ) الذي يقلل متوسط ​​الخطأ التربيعي بين مصفوفة التغاير المقدر والحقيقي.

يمكن حساب مقدر Ledoit-Wolf لمصفوفة التغاير على عينة باستخدام دالة ledoit_wolf لحزمة sklearn.covariance ، أو يمكن الحصول عليها بطريقة أخرى عن طريق تركيب كائن LedoitWolf في نفس العينة.

الحالة عندما تكون مصفوفة التغاير السكاني متناحرة

من المهم ملاحظة أنه عندما يكون عدد العينات أكبر بكثير من عدد الميزات ، يتوقع المرء ألا يكون الانكماش ضروريًا. الحدس الكامن وراء ذلك هو أنه إذا كان التباين السكاني كامل الرتبة ، فعندما ينمو عدد العينة ، سيصبح التباين المشترك للعينة محددًا إيجابيًا أيضًا. نتيجة لذلك ، لن يكون من الضروري حدوث انكماش ويجب أن تقوم الطريقة بذلك تلقائيًا.

ومع ذلك ، ليس هذا هو الحال في إجراء Ledoit-Wolf عندما يحدث التباين السكاني ليكون مضاعفًا لمصفوفة الهوية. في هذه الحالة ، يقترب تقدير انكماش Ledoit-Wolf من 1 مع زيادة عدد العينات. يشير هذا إلى أن التقدير الأمثل لمصفوفة التغاير بمعنى Ledoit-Wolf هو مضاعف للهوية. نظرًا لأن التغاير السكاني هو بالفعل مضاعف لمصفوفة الهوية ، فإن حل Ledoit-Wolf هو بالفعل تقدير معقول.

انظر تقدير التباين المشترك للانكماش: LedoitWolf vs OAS و max-likability للحصول على مثال حول كيفية ملاءمة كائن LedoitWolf للبيانات ولتصور أداء مقدر Ledoit-Wolf من حيث الاحتمالية.

O. Ledoit and M. Wolf ، "مقدر جيد التكييف لمصفوفات التغاير كبيرة الأبعاد" ، مجلة التحليل متعدد المتغيرات ، المجلد 88 ، الإصدار 2 ، فبراير 2004 ، الصفحات 365-411.

2.6.2.3. تقارب انكماش أوراكل¶

على افتراض أن البيانات موزعة على Gaussian ، Chen et al. 2 اشتق صيغة تهدف إلى اختيار معامل الانكماش الذي ينتج عنه خطأ مربع متوسط ​​أصغر من الذي قدمته صيغة ليدويت وولف. يُعرف المقدر الناتج باسم مقدر تقارب أوراكل للتباين المشترك.

يمكن حساب مقدر OAS لمصفوفة التغاير على عينة باستخدام دالة oas لحزمة sklearn.covariance ، أو يمكن الحصول عليها بطريقة أخرى عن طريق تركيب كائن OAS في نفس العينة.

مقايضة التباين التحيز عند ضبط الانكماش: مقارنة اختيارات ليدويت وولف ومقدرات OAS ¶

Chen et al. ، "خوارزميات الانكماش لتقدير التباين المشترك لـ MMSE" ، IEEE Trans. على تسجيل. بروك. ، المجلد 58 ، العدد 10 ، أكتوبر 2010.

راجع تقدير Ledoit-Wolf vs OAS لتصور فرق متوسط ​​الخطأ التربيعي بين LedoitWolf ومقدر OAS للتغاير.


مثال (3 مرات و 3)

أوجد معكوس المصفوفة أ باستخدام إزالة Gauss-Jordan.

أ = 12 9 11
3 13 10
14 4 15

إجراءاتنا

نكتب المصفوفة أ على اليسار ومصفوفة الهوية أنا على اليمين مفصولة بخط منقط ، على النحو التالي. النتيجة تسمى المعزز مصفوفة.

نقوم بتضمين أرقام الصفوف لجعلها أكثر وضوحًا.

بعد ذلك نقوم بالعديد عمليات الصف على المصفوفتين وهدفنا هو الحصول على مصفوفة الهوية في نهاية المطاف متبقى، مثله:

(من الناحية الفنية ، نحن بصدد تقليل المصفوفة أ ل شكل صف صف مخفض، وتسمى أيضا صف الشكل الكنسي).

ستكون المصفوفة الناتجة على اليمين هي مصفوفة معكوسة من أ.

إجراء عمليات الصف لدينا هو كما يلي:

  1. نحصل على "1" في الزاوية اليسرى العليا بقسمة الصف الأول
  2. ثم نحصل على "0" في باقي العمود الأول
  3. ثم نحتاج إلى الحصول على "1" في الصف الثاني ، العمود الثاني
  4. ثم نقوم بعمل جميع الإدخالات الأخرى في العمود الثاني "0".

نستمر على هذا المنوال حتى يتبقى لنا مصفوفة الوحدة على اليسار.

لنبدأ الآن ونوجد المعكوس.

المحلول

صف جديد [1]

قسّم الصف [1] على 12 (لإعطائنا "1" في الموضع المطلوب):

صف جديد [2]

صف [2] & ناقص 3 & صف مرات [1] (ليعطينا 0 في الموضع المطلوب):

هذا يعطينا صفنا الجديد [2]:

صف جديد [3]

صف [3] & ناقص 14 & صف مرات [1] (ليعطينا 0 في الموضع المطلوب):

هذا يعطينا صفنا الجديد [3]:

صف جديد [2]

قسّم الصف [2] على 10.75 (لإعطائنا "1" في الموضع المطلوب):

صف جديد [1]

الصف [1] & ناقص 0.75 & مرات الصف [2] (ليعطينا 0 في الموضع المطلوب):

1 & ناقص 0.75 & مرات 0 = 1
0.75 & ناقص 0.75 & مرات 1 = 0
0.9167 ناقص 0.75 مرات 0.6744 = 0.4109
0.0833 & ناقص 0.75 & مرات -0.0233 = 0.1008
0 & ناقص 0.75 & مرات 0.093 = -0.0698
0 & ناقص 0.75 & مرات 0 = 0

هذا يعطينا صفنا الجديد [1]:

صف جديد [3]

الصف [3] & ناقص -6.5 & الصف مرات [2] (ليعطينا 0 في الموضع المطلوب):

هذا يعطينا صفنا الجديد [3]:

صف جديد [3]

قسّم الصف [3] على 6.5504 (لإعطائنا "1" في الموضع المطلوب):

صف جديد [1]

الصف [1] & ناقص 0.4109 & صف مرات [3] (ليعطينا 0 في الموضع المطلوب):

1 & ناقص 0.4109 & مرات 0 = 1
0 & ناقص 0.4109 & مرات 0 = 0
0.4109 & ناقص 0.4109 & مرات 1 = 0
0.1008 & ناقص 0.4109 & مرات -0.2012 = 0.1834
-0.0698 & ناقص 0.4109 & 0.0923 = -0.1077
0 & ناقص 0.4109 & مرات 0.1527 = -0.0627

هذا يعطينا صفنا الجديد [1]:

صف جديد [2]

صف [2] & ناقص 0.6744 & صف مرات [3] (ليعطينا 0 في الموضع المطلوب):

0 & ناقص 0.6744 & مرات 0 = 0
1 & ناقص 0.6744 & مرات 0 = 1
0.6744 & ناقص 0.6744 & مرات 1 = 0
-0.0233 & ناقص 0.6744 & مرات -0.2012 = 0.1124
0.093 & ناقص 0.6744 & 0.0923 = 0.0308
0 & ناقص 0.6744 & مرات 0.1527 = -0.103

هذا يعطينا صفنا الجديد [2]:

لقد حققنا هدفنا في إنتاج مصفوفة الهوية على اليسار. إذن يمكننا استنتاج معكوس المصفوفة أ هو الجزء الأيمن من المصفوفة المعززة:


احسب $$ left [ begin2 & 1 1 & 3 نهاية right] ^ <-1> $$ باستخدام حذف Gauss-Jordan.

لإيجاد معكوس المصفوفة ، زدها بمصفوفة الوحدة وقم بإجراء عمليات الصفوف في محاولة لجعل مصفوفة الوحدة إلى اليسار. ثم إلى اليمين سيكون معكوس المصفوفة.

لذلك ، قم بزيادة المصفوفة بمصفوفة الهوية:

$$ اليسار [ البدء2 & 1 & 1 & 0 1 & 3 & 0 & 1 نهاية حق] $$

قسّم الصف $$ 1 $$ على $$ 2 $$: $$ R_ <1> = frac> <2>$$ .

اطرح الصف $$ 1 $$ من الصف $$ 2 $$: $$ R_ <2> = R_ <2> - R_ <1> $$.

اضرب الصف $$ 2 $$ في $$ frac <2> <5> $$: $$ R_ <2> = frac <2 R_ <2>> <5> $$.

اطرح الصف $$ 2 $$ مضروبًا في $$ frac <1> <2> $$ من الصف $$ 1 $$: $$ R_ <1> = R_ <1> - frac> <2>$$ .

لقد إنتهينا. يوجد على اليسار مصفوفة الوحدة. على اليمين معكوس المصفوفة.


إيجاد معكوس المصفوفة باستخدام TI83 / TI84

من خلال أخذ أي دورة رياضيات متقدمة أو حتى إجراء مسح ضوئي من خلال هذا الموقع ، تتعلم بسرعة مدى قوة الآلة الحاسبة للرسوم البيانية. دورة أكثر & # 8220theoretical & # 8221 مثل الجبر الخطي ليست استثناء. في الواقع ، بمجرد أن تعرف كيفية القيام بشيء مثل العثور على مصفوفة معكوسة يدويًا ، يمكن للآلة الحاسبة أن تحررك من هذا الحساب وتتيح لك التركيز على الصورة الكبيرة.

تذكر ، ليست كل مصفوفة لها معكوس. المصفوفة المختارة أدناه هي غير قابل للعكس، مما يعني أنه في الواقع له معكوس. سنتحدث عما يحدث عندما لا يكون & # 8217t قابل للعكس بعد ذلك بقليل. ها هي المصفوفة التي سنستخدمها في مثالنا:

( اليسار [ ابدأ 8 & amp 2 & amp 1 & amp 6 8 & amp 4 & amp 1 & amp 1 0 & amp 2 & amp 6 & amp 4 15 & amp 8 & amp 9 & amp 20 end حق])

ملاحظة: للحصول على مقطع فيديو لهذه الخطوات ، قم بالتمرير لأسفل.

الخطوة 1: اذهب إلى قائمة تحرير المصفوفة

هذه خطوة أكثر تعقيدًا مما تبدو عليه! إذا كان لديك TI 83 ، فهناك زر يقول & # 8220MATRIX & # 8221. هذا هو الزر الذي ستضغط عليه للدخول إلى قائمة التعديل. إذا كان لديك TI84 ، فسيتعين عليك الضغط على [2ND] و [ (x ^ <-1> )]. سينقلك هذا إلى القائمة التي تراها أدناه. حرك المؤشر إلى & # 8220EDIT & # 8221 في الأعلى.


الآن ستختار المصفوفة A (من الناحية الفنية يمكنك تحديد أي منها ، ولكن في الوقت الحالي ، يسهل التعامل مع A). للقيام بذلك ، ما عليك سوى الضغط على [ENTER].


الخطوة 2: أدخل المصفوفة

أولاً ، يجب أن تخبر الآلة الحاسبة عن حجم المصفوفة. فقط تذكر أن تحتفظ به بالترتيب & # 8220rows & # 8221 و & # 8220columns & # 8221. على سبيل المثال ، يحتوي المثال الخاص بنا على 4 صفوف و 4 أعمدة ، لذلك أكتب 4 [ENTER] 4 [ENTER].


الآن يمكنك إدخال الأرقام من اليسار إلى اليمين. بعد كل رقم ، اضغط على [ENTER] للوصول إلى النقطة التالية.


الآن ، قبل أن ننتقل إلى الخطوة التالية. في بعض الآلات الحاسبة ، ستدخل في حلقة غريبة إذا لم تقم بالخروج من هذه القائمة الآن. لذا ، اضغط على [2ND] و [MODE] للإنهاء. عند القيام بذلك ، سيعود إلى الشاشة الرئيسية.

الخطوة 3: حدد المصفوفة ضمن قائمة الأسماء

بعد الخروج عن طريق النقر فوق [2ND] و [MODE] ، ارجع إلى قائمة المصفوفة بالنقر فوق [2ND] و [ (x ^ <-1> )] (أو زر المصفوفة فقط إذا كان لديك TI83) . هذه المرة ، حدد A من قائمة NAMES بالنقر فوق [ENTER].



الخطوة 4: اضغط على المفتاح المعكوس [ (x ^ )] واضغط على Enter

أسهل خطوة حتى الآن! كل ما عليك فعله الآن هو إخبار الآلة الحاسبة بما يجب فعله بالمصفوفة أ. بما أننا نريد إيجاد معكوس ، فهذا هو الزر الذي سنستخدمه.



في هذه المرحلة ، يمكنك الضغط على مفتاح السهم الأيمن لرؤية المصفوفة بأكملها. كما ترى ، معكوسنا هنا فوضوي حقًا. يمكن أن تساعدنا الخطوة التالية على طول إذا احتجنا إليها.

الخطوة 5: (اختياري) تحويل كل شيء إلى كسور

عندما يكون معكوس الشاشة ، إذا ضغطت على [MATH] ، 1: Frac ، ثم ENTER ، سوف تقوم بتحويل كل شيء في المصفوفة إلى كسور. بعد ذلك ، كما كان من قبل ، يمكنك النقر فوق مفتاح السهم الأيمن لرؤية كل شيء.



هذا هو & # 8217s! يبدو كثيرًا ولكن من السهل التعود عليه. إنه مفيد أيضًا & # 8211 أن تكون قادرًا على إدخال المصفوفات في الآلة الحاسبة يتيح لك إضافتها ومضاعفتها وما إلى ذلك! لطيف! إذا كنت تريد أن ترى كل ذلك أثناء العمل ، فقم بإلقاء نظرة على الفيديو على اليمين حيث أتصفح الخطوات بمثال مختلف. حتى مع الخطوة الاختيارية ، يستغرق الأمر أقل من 3 دقائق.

أوه نعم & # 8211 فماذا يحدث إذا كانت المصفوفة الخاصة بك مفردة (أو غير قابلة للعكس)؟ بمعنى آخر ، ماذا يحدث إذا لم يكن لمصفوفتك & # 8217t معكوس؟


كما ترى أعلاه ، سوف تخبرك الآلة الحاسبة. كم هو جميل ذلك؟


2.6: معكوس المصفوفة

بالنظر إلى المصفوفة ، تتمثل المهمة في إيجاد معكوس هذه المصفوفة باستخدام طريقة Gauss-Jordan.
ما هي المصفوفة؟

المصفوفة هي مجموعة مستطيلة مرتبة من الأرقام.

معكوس المصفوفة:

بالنظر إلى مصفوفة مربعة A ، وهي ليست مفردة (يعني أن محدد A غير صفري) ثم توجد مصفوفة

  1. يجب أن تكون المصفوفة مصفوفة مربعة.
  2. يجب أن تكون المصفوفة مصفوفة غير مفردة و ،
  3. توجد مصفوفة هوية أنا من أجلها

بشكل عام ، يمكن إيجاد معكوس n X n مصفوفة A باستخدام هذه الصيغة البسيطة:

طرق إيجاد معكوس المصفوفة:

  1. عملية التجديف الابتدائية (طريقة غاوس-جوردان) (فعالة)
  2. القاصرون والعوامل المساعدة وطريقة الإباحة (غير فعالة)

عملية الصف الأولية (طريقة جاوس # 8211 الأردن):

طريقة جاوس-جوردان هي نوع من الحذف الغاوسي حيث يتم إجراء عملية اختزال الصفوف لإيجاد معكوس المصفوفة.
خطوات إيجاد معكوس مصفوفة باستخدام طريقة Gauss-Jordan:
لإيجاد معكوس المصفوفة ، يجب اتباع الخطوات التالية:

  1. كوّن المصفوفة المعززة بمصفوفة الوحدة.
  2. قم بإجراء عملية تقليل الصفوف على هذه المصفوفة المعززة لتوليد شكل الصف المختزل للمصفوفة.
  3. يتم تنفيذ عمليات الصف التالية على مصفوفة معززة عند الحاجة:
    • استبدل أي صفين.
    • اضرب كل عنصر من عناصر الصف في عدد صحيح غير صفري.
    • استبدل صفًا بمجموع نفسه ومضاعف ثابت لصف آخر من المصفوفة.

يوجد أدناه برنامج C ++ للعثور على معكوس المصفوفة باستخدام طريقة Gauss-Jordan:


* 2.6: انعكاس المصفوفة

أين أنا هل ن نمصفوفة الهوية. الحل X ، أيضا من الحجم ن ن، سيكون معكوس أ. والدليل بسيط: بعد الضرب مسبقًا لكلا الجانبين من المعادلة. (2.33) بواسطة أ ؟ 1 لدينا أ ? 1 فأس= أ ? 1 أنا، مما يقلل إلى X= أ ? 1 .

يجب تجنب عكس المصفوفات الكبيرة كلما أمكن ذلك بسبب تكلفتها العالية. كما رأينا من Eq. (2.33) ، انعكاس أ يعادل الحل فأس أنا= ب أنا مع أنا=1, 2, , ن، أين ب أنا هل أناالعمود ال أنا. إذا تم استخدام تحلل LU في المحلول ، فيجب تكرار مرحلة الحل (الاستبدال الأمامي والخلفي) ن مرة واحدة لكل مرة ب أنا. لأن تكلفة الحساب تتناسب مع ن 3 لمرحلة التحلل و ن 2 لكل متجه لمرحلة الحل ، تكون تكلفة الانعكاس أكثر تكلفة بكثير من حل الفأس = ب (متجه واحد ثابت ب).

انعكاس المصفوفة له عيب خطير آخر تفقد المصفوفة النطاقات هيكلها أثناء الانعكاس. بمعنى آخر ، إذا أ هو النطاقات أو متفرقة.


لإيجاد معكوس المصفوفة $ A $ ، باستخدام حذف Gauss-Jordan ، يجب إيجاد تسلسل عمليات الصف الأولية التي تقلل من $ A $ إلى الهوية ، وبعد ذلك ، يجب إجراء نفس العمليات على $ I_n $ للحصول على $ A ^ <-1> $.

معكوس 2 $ مرات 2 $ مصفوفات

مثال 1: أوجد معكوس

الخطوة 1: قم بربط مصفوفة الهوية بالجانب الأيمن من $ A $:

الخطوة 2: طبق عمليات الصف على هذه المصفوفة حتى يتم تقليل الجانب الأيسر إلى $ I $. الحسابات هي:

الخطوه 3: الخلاصة: معكوس المصفوفة:

ليست مصفوفة قابلة للعكس

إذا كان $ A $ غير قابل للعكسثم سيظهر صف صفري على الجانب الأيسر.

مثال 2: أوجد معكوس

الخطوة 1: قم بربط مصفوفة الهوية بالجانب الأيمن من A:

الخطوة 2: تطبيق عمليات الصف

الخطوه 3: الخلاصة: هذه المصفوفة ليست قابلة للعكس.

معكوس 3 $ مرات 3 $ مصفوفات

مثال 1: أوجد معكوس

الخطوة 1: قم بربط مصفوفة الهوية بالجانب الأيمن من A:

الخطوة 2: قم بتطبيق عمليات الصف على هذه المصفوفة حتى يتم تقليل الجانب الأيسر إلى I. الحسابات هي:


شاهد الفيديو: Inverse of a Square Matrix: Example 2 (شهر نوفمبر 2021).