مقالات

8.7: المعادلات العقلانية - الرياضيات


المعادلات العقلانية

المعادلات العقلانية

عندما يتم تعيين تعبير منطقي مساويًا لتعبير منطقي آخر ، a معادلة عقلانية النتائج.

فيما يلي بعض الأمثلة على المعادلات المنطقية (باستثناء الرقم 5):

مثال ( PageIndex {1} )

( dfrac {3x} {4} = dfrac {15} {2} )

مثال ( PageIndex {2} )

( dfrac {x + 1} {x-2} = dfrac {x-7} {x-3} )

مثال ( PageIndex {3} )

( dfrac {5a} {2} = 10 )

مثال ( PageIndex {4} )

( dfrac {3} {x} + dfrac {x-3} {x + 1} = dfrac {6} {5x} )

مثال ( PageIndex {5} )

( dfrac {x-6} {x + 1} ) عقلاني التعبيروليست معادلة منطقية.

المنطق وراء العملية

يبدو أنه من المعقول أن يكون حل المعادلة بدون أي كسور أسهل من حل معادلة بها كسور. هدفنا إذن هو تحويل أي معادلة منطقية إلى معادلة لا تحتوي على كسور. يتم القيام بذلك بسهولة.

لتطوير هذه الطريقة ، دعونا ننظر في المعادلة المنطقية

( dfrac {1} {6} + dfrac {x} {4} = dfrac {17} {12} )

شاشة LCD هي 12. نحن نعلم أنه يمكننا ضرب كلا طرفي المعادلة بنفس الكمية غير الصفرية ، لذلك سنضرب كلا الجانبين في شاشة LCD ، 12.

(12 ( dfrac {1} {6} + dfrac {x} {4}) = 12 cdot dfrac {17} {12} )

الآن وزع 12 على كل حد في الطرف الأيسر باستخدام خاصية التوزيع.

(12 cdot dfrac {1} {6} + 12 cdot dfrac {x} {4} = 12 cdot dfrac {17} {12} )

قسّم الآن لإزالة كل القواسم.

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
2 cdot 1 + 3 cdot x & = 17
2 + 3 س & = 17
نهاية {مجموعة} )

الآن ليس هناك المزيد من الكسور ، ويمكننا حل هذه المعادلة باستخدام تقنياتنا السابقة للحصول على 5 كحل.

العملية

لقد قمنا بمسح معادلة الكسور بضرب كلا الجانبين في شاشة LCD. هذا التطور يولد القاعدة التالية.

مسح معادلة الكسور

لمسح معادلة الكسور ، اضرب طرفي المعادلة في شاشة LCD.

عند ضرب طرفي المعادلة في شاشة LCD ، نستخدم خاصية التوزيع لتوزيع شاشة LCD لكل حد. هذا يعني أنه يمكننا تبسيط القاعدة أعلاه.

مسح معادلة الكسور

لمسح معادلة الكسور ، اضرب كل المصطلح على جانبي المعادلة بواسطة شاشة LCD.

الطريقة الكاملة لحل المعادلة المنطقية هي

1. حدد جميع القيم التي يجب استبعادها من الاعتبار بإيجاد القيم التي ستنتج صفرًا في المقام (وبالتالي القسمة على صفر). هذه القيم المستبعدة ليست في مجال المعادلة وتسمى قيم nondomain.

2. امسح معادلة الكسور بضرب كل حد في شاشة LCD.

3. حل هذه المعادلة غير الكسرية للمتغير. تحقق لمعرفة ما إذا كان أي من هذه الحلول المحتملة قيمًا مستبعدة.

4. تحقق من الحل عن طريق الاستبدال.

حلول غريبة

حلول غريبة

تسمى الحلول المحتملة التي تم استبعادها لأنها تجعل تعبيرًا غير محدد (أو تنتج بيانًا خاطئًا لمعادلة) حلول دخيلة. يتم التخلص من المحاليل الدخيلة. إذا لم تكن هناك حلول محتملة أخرى ، فلن يكون للمعادلة حل.

مجموعة العينة أ

حل المعادلات المنطقية التالية.

مثال ( PageIndex {6} )

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
dfrac {3x} {4} & = dfrac {15} {2} & text {بما أن المقامات ثوابت ، فلا توجد قيم مستبعدة.}
&& text {لا يجب استبعاد أي قيم. شاشة LCD هي 4. اضرب كل حد في 4}
4 cdot dfrac {3x} {4} & = 4 cdot dfrac {15} {2}
إلغاء {4} cdot dfrac {3x} { إلغاء {4}} & = _ { إلغاء {4}} ^ {2} cdot dfrac {15} { إلغاء {2}}
3x & = 2 cdot 15
3 س & = 30
x & = 10 & 10 text {ليست قيمة مستبعدة. تحقق منه كحل}.
نهاية {مجموعة} )

التحقق من:

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
dfrac {3x} {4} & = dfrac {15} {2}
dfrac {3 (10)} {4} & = dfrac {15} {2} & text {هل هذا صحيح؟ }
dfrac {30} {4} & = dfrac {15} {2} & text {هل هذا صحيح؟ }
dfrac {15} {2} & = dfrac {15} {2} & text {نعم ، هذا صحيح}
نهاية {مجموعة} )

مثال ( PageIndex {7} )

( تبدأ {محاذاة}
dfrac {4} {x-1} & = dfrac {2} {x + 6} & 1 text {and} -6 text {هي قيم غير نطاق. استبعدهم من الحل}
&& text {The LCD is} (x-1) (x + 6) text {اضرب كل مصطلح في شاشة LCD}
(x-1) (x + 6) cdot dfrac {4} {x-1} & = (x-1) (x + 6) cdot dfrac {2} {x + 6}
إلغاء {(x-1)} (x + 6) cdot dfrac {4} { إلغاء {x-1}} & = (x-1) إلغاء {(x + 6)} cdot dfrac {2} { إلغاء {x + 6}}
4 (x + 6) & = 2 (x-1) & text {حل هذه المعادلة غير الكسرية}
4x + 24 & = 2x - 2
2x & = -26
x & = -13 & -13 text {ليست قيمة مستبعدة. تحقق منه كحل}
نهاية {محاذاة} )

التحقق من:

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
dfrac {4} {x-1} & = dfrac {2} {x + 6}
dfrac {4} {- 13-1} & = dfrac {2} {- 13 + 6} & text {هل هذا صحيح؟}
dfrac {4} {- 14} & = dfrac {2} {- 7} & text {هل هذا صحيح؟}
dfrac {2} {- 7} & = dfrac {2} {- 13 + 6} & text {نعم ، هذا صحيح}
نهاية {مجموعة} )

(- 13 ) هو الحل.

مثال ( PageIndex {8} )

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
dfrac {4a} {a-4} & = 2 + dfrac {16} {a-4}. & 4 text {قيمة غير نطاق. استثناءه من الاعتبار}
&& text {The LCD is} a-4 text {. اضرب كل حد في} a-4
(a-4) cdot dfrac {4a} {a-4} & = 2 (a-4) + (a-4) cdot dfrac {16} {a-4}
إلغاء {(a-4)} cdot dfrac {4a} { إلغاء {a-4}} & = 2 (a-4) + إلغاء {(a-4)} cdot dfrac {16} { إلغاء {a-4}}
4a & = 2 (a-4) + 16 & text {حل هذه المعادلة غير الكسرية}
4 أ & = 2 أ - 8 + 16
4 أ & = 2 أ + 8
2 أ & = 8
أ & = 4
نهاية {مجموعة} )

تم استبعاد هذه القيمة (a = 4 ) من الاعتبار. لا ينبغي اعتباره حلاً. إنه غريب. نظرًا لعدم وجود حلول محتملة أخرى للنظر فيها ، نستنتج أن هذه المعادلة لها لا حل.

مجموعة الممارسة أ

حل المعادلات المنطقية التالية.

مشكلة الممارسة ( PageIndex {1} )

( dfrac {2x} {5} = dfrac {x-14} {6} )

إجابه

(س = -10 )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {2} )

( dfrac {3a} {a-1} = dfrac {3a + 8} )

إجابه

(أ = -2 )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {3} )

( dfrac {3} {y-3} + 2 = dfrac {y} {y-3} )

إجابه

(y = 3 ) غريب ، لذا لا يوجد حل.

مجموعة العينة ب

حل المعادلات المنطقية التالية.

مثال ( PageIndex {9} )

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
dfrac {3} {x} + dfrac {4x} {x-1} & = dfrac {4x ^ 2 + x + 5} {x ^ 2 - x} & text {حلل جميع القواسم إلى عوامل لإيجاد أي استبعاد القيم وشاشات الكريستال السائل}
&& text {قيم Nondomain هي} 0 text {and} 1. text {استبعادها من الاعتبار. }
dfrac {3} {x} + dfrac {4x} {x-1} & = dfrac {4x ^ 2 + x + 5} {x (x-1)} & text {شاشة LCD هي} x ( x-1) نص {. اضرب كل حد في} x (x-1) text {وتبسيط}
نهاية {مجموعة} )
( إلغاء {x} (x-1) cdot dfrac {3} { إلغاء {x}} + x ( إلغاء {x-1}) cdot dfrac {4x} { إلغاء {x- 1}} = إلغاء {x (x-1)} cdot dfrac {4x ^ 2 + x + 5} { إلغاء {x (x-1)}} ).
( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
3 (x-1) + 4x cdot x & = 4x ^ 2 + x + 5 & text {حل هذه المعادلة غير الكسرية للحصول على الحلول المحتملة}
3x - 3 + 4x ^ 2 & = 4x ^ 2 + x + 5
3 س - 3 & = س + 5
2x & = 8
x & = 4 & 4 text {ليست قيمة مستبعدة. تحقق منه كحل}
نهاية {مجموعة} )

التحقق من:

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
dfrac {3} {x} + dfrac {4x} {x-1} & = dfrac {4x ^ 2 + x + 5} {x ^ 2 - x}
dfrac {3} {4} + dfrac {4 cdot 4} {4-1} & = dfrac {4 cdot 4 ^ 2 + 4 + 5} {16 - 4} & text {هل هذا صحيح ؟ }
dfrac {3} {4} + dfrac {16} {3} & = dfrac {64 + 4 + 5} {12} & text {هل هذا صحيح؟ }
dfrac {9} {12} + dfrac {64} {12} & = dfrac {73} {12} & text {هل هذا صحيح؟ }
dfrac {73} {12} & = dfrac {73} {12} & text {نعم ، هذا صحيح}
نهاية {مجموعة} )

(4 ) هو الحل.

يمكن استخدام خاصية العامل الصفري لحل أنواع معينة من المعادلات المنطقية. لقد درسنا خاصية العامل الصفري في القسم 5.1 ، وقد تتذكر أنها تنص على أنه إذا كان (أ ) و (ب ) أرقام حقيقية وأن (أ cdot ب = 0 ) ، إذن إما أو كلاهما (أ = 0 ) أو (ب = 0 ). خاصية العامل الصفري مفيدة في حل المعادلة المنطقية التالية.

مثال ( PageIndex {10} )

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
dfrac {3} {a ^ 2} - dfrac {2} {a} & = 1 & text {الصفر هو قيمة مستبعدة. }
&& text {The LCD is} a ^ 2 text {اضرب كل مصطلح بـ} a ^ 2 text {وتبسيط}
إلغاء {a ^ 2} cdot dfrac {3} { إلغاء {a ^ 2}} - إلغاء {a ^ 2} cdot dfrac {2} { إلغاء {a}} & = 1 cdot أ ^ 2
3-2a & = a ^ 2 & text {حل هذه المعادلة التربيعية غير الكسرية. ضعها مساوية للصفر}
0 & = أ ^ 2 + 2 أ - 3
0 & = (أ + 3) (أ -1)
a & = - 3، a = 1 & text {تحقق من هذه كحلول}
نهاية {مجموعة} )

التحقق من:

( ابدأ {مجموعة} {flushleft}
text {If} a = -3: & dfrac {3} {(- 3) ^ 2} - dfrac {2} {- 3} & = 1 & text {هل هذا صحيح؟ }
& dfrac {3} {9} + dfrac {2} {3} & = 1 & text {هل هذا صحيح؟ }
& dfrac {1} {3} + dfrac {2} {3} & = 1 & text {هل هذا صحيح؟ }
& 1 & = 1 & text {نعم ، هذا صحيح}
& a & = -3 & text {فحوصات وحل}
text {If} a = 1: & dfrac {3} {(1) ^ 2} - dfrac {2} {1} & = 1 & text {هل هذا صحيح؟ }
& dfrac {3} {1} - dfrac {2} {1} & = 1 & text {هل هذا صحيح؟ }
& 1 & = 1 & text {نعم ، هذا صحيح. }
& a & = 1 & text {الشيكات والحل}
نهاية {مجموعة} )

(- 3 ) و (1 ) هي الحلول.

مجموعة الممارسة ب

مشكلة الممارسة ( PageIndex {4} )

حل المعادلة ( dfrac {a + 3} {a-2} = dfrac {a + 1} {a-1} )

إجابه

(a = dfrac {1} {3} )

مشكلة الممارسة ( PageIndex {5} )

حل المعادلة ( dfrac {1} {x-1} - dfrac {1} {x + 1} = dfrac {2x} {x ^ 2 - 1} )

إجابه

هذه المعادلة ليس لها حل. (س = 1 ) غريب.

تمارين البند 7.6

حل المعادلات المنطقية للمسائل التالية.

تمرين ( PageIndex {1} )

( dfrac {32} {x} = dfrac {16} {3} )

إجابه

(س = 6 )

تمرين ( PageIndex {2} )

( dfrac {54} {y} = dfrac {27} {4} )

تمرين ( PageIndex {3} )

( dfrac {8} {y} = dfrac {2} {3} )

إجابه

(ص = 12 )

تمرين ( PageIndex {4} )

( dfrac {x} {28} = dfrac {3} {7} )

تمرين ( PageIndex {5} )

( dfrac {x + 1} {4} = dfrac {x-3} {2} )

إجابه

(س = 7 )

تمرين ( PageIndex {6} )

( dfrac {a + 3} {6} = dfrac {a - 1} {4} )

تمرين ( PageIndex {7} )

( dfrac {y-3} {6} = dfrac {y + 1} {4} )

إجابه

(ص = -9 )

تمرين ( PageIndex {8} )

( dfrac {x-7} {8} = dfrac {x + 5} {6} )

تمرين ( PageIndex {9} )

( dfrac {a + 6} {9} - dfrac {a-1} {6} = 0 )

إجابه

(أ = 15 )

تمرين ( PageIndex {10} )

( dfrac {y + 11} {4} = dfrac {y + 8} {10} )

تمرين ( PageIndex {11} )

( dfrac {b + 1} {2} + 6 = dfrac {b- 4} {3} )

إجابه

(ب = −47 )

تمرين ( PageIndex {12} )

( dfrac {m + 3} {2} + 1 = dfrac {m-4} {5} )

تمرين ( PageIndex {13} )

( dfrac {أ - 6} {2} + 4 = -1 )

إجابه

(أ = -4 )

تمرين ( PageIndex {14} )

( dfrac {b + 11} {3} + 8 = 6 )

تمرين ( PageIndex {15} )

( dfrac {y - 1} {y + 2} = dfrac {y + 3} {y - 2} )

إجابه

(y = - dfrac {1} {2} )

تمرين ( PageIndex {16} )

( dfrac {x + 2} {x - 6} = dfrac {x - 1} {x + 2} )

تمرين ( PageIndex {17} )

( dfrac {3m + 1} {2m} = dfrac {4} {3} )

إجابه

(م = -3 )

تمرين ( PageIndex {18} )

( dfrac {2k + 7} {3k} = dfrac {5} {4} )

تمرين ( PageIndex {19} )

( dfrac {4} {س + 2} = 1 )

إجابه

(س = 2 )

تمرين ( PageIndex {20} )

( dfrac {-6} {س - 3} = 1 )

تمرين ( PageIndex {21} )

( dfrac {a} {3} + dfrac {10 + a} {4} = 6 )

إجابه

(أ = 6 )

تمرين ( PageIndex {22} )

( dfrac {k + 17} {5} - dfrac {k} {2} = 2k )

تمرين ( PageIndex {23} )

( dfrac {2b + 1} {3b - 5} = dfrac {1} {4} )

إجابه

(ب = - dfrac {9} {5} )

تمرين ( PageIndex {24} )

( dfrac {-3a + 4} {2a - 7} = dfrac {-7} {9} )

تمرين ( PageIndex {25} )

( dfrac {x} {x + 3} - dfrac {x} {x-2} = dfrac {10} {x ^ 2 + x - 6} )

إجابه

(س = -2 )

تمرين ( PageIndex {26} )

( dfrac {3y} {y-1} + dfrac {2y} {y-6} = dfrac {5y ^ 2 - 15y + 20} {y ^ 2 - 7y + 6} )

تمرين ( PageIndex {27} )

( dfrac {4a} {a + 2} - dfrac {3a} {a-1} = dfrac {a ^ 2 - 8a - 4} {a ^ 2 + a - 2} )

إجابه

(أ = 2 )

تمرين ( PageIndex {28} )

( dfrac {3a - 7} {a-3} = dfrac {4a - 10} {a - 3} )

تمرين ( PageIndex {29} )

( dfrac {2x - 5} {x - 6} = dfrac {x + 1} {x-6} )

إجابه

لا حل؛ 6 قيمة مستبعدة.

تمرين ( PageIndex {30} )

( dfrac {3} {x + 4} + dfrac {5} {x + 4} = dfrac {3} {x - 1} )

تمرين ( PageIndex {31} )

( dfrac {2} {y + 2} + dfrac {8} {y + 2} = dfrac {9} {y + 3} )

إجابه

(ص = -12 )

تمرين ( PageIndex {32} )

( dfrac {4} {a ^ 2 + 2a} = dfrac {3} {a ^ 2 + a - 2} )

تمرين ( PageIndex {33} )

( dfrac {2} {b (b + 2)} = dfrac {3} {b ^ 2 + 6b + 8} )

إجابه

(ب = 8 )

تمرين ( PageIndex {34} )

( dfrac {x} {x-1} + dfrac {3x} {x-4} = dfrac {4x ^ 2 - 8x + 1} {x ^ 2 - 5x + 4} )

تمرين ( PageIndex {35} )

( dfrac {4x} {x + 2} - dfrac {x} {x + 1} = dfrac {3x ^ 2 + 4x + 4} {x ^ 2 + 3x + 2} )

إجابه

لا حل

تمرين ( PageIndex {36} )

( dfrac {2} {a-5} - dfrac {4a - 2} {a ^ 2 - 6a + 5} = dfrac {-3} {a-1} )

تمرين ( PageIndex {37} )

( dfrac {-1} {x + 4} - dfrac {2} {x + 1} = dfrac {4x + 19} {x ^ 2 + 5x + 4} )

إجابه

لا حل؛ (- 4 ) قيمة مستبعدة.

تمرين ( PageIndex {38} )

( dfrac {2} {x ^ 2} + dfrac {1} {x} = 1 )

تمرين ( PageIndex {39} )

( dfrac {6} {y ^ 2} - dfrac {5} {y} = 1 )

إجابه

(ص = -6 ، 1 )

تمرين ( PageIndex {40} )

( dfrac {12} {a ^ 2} - dfrac {4} {a} = 1 )

تمرين ( PageIndex {41} )

( dfrac {20} {x ^ 2} - dfrac {1} {x} = 1 )

إجابه

(س = 4 ، −5 )

تمرين ( PageIndex {42} )

( dfrac {12} {y} + dfrac {12} {y ^ 2} = -3 )

تمرين ( PageIndex {43} )

( dfrac {16} {b ^ 2} + dfrac {12} {b} = 4 )

إجابه

(ص = 4 ، −1 )

تمرين ( PageIndex {44} )

( dfrac {1} {س ^ 2} = 1 )

تمرين ( PageIndex {45} )

( dfrac {16} {y ^ 2} = 1 )

إجابه

(ص = 4 ، −4 )

تمرين ( PageIndex {46} )

( dfrac {25} {a ^ 2} = 1 )

تمرين ( PageIndex {47} )

( dfrac {36} {y ^ 2} = 1 )

إجابه

(ص = 6 ، −6 )

تمرين ( PageIndex {48} )

( dfrac {2} {x ^ 2} + dfrac {3} {x} = 2 )

تمرين ( PageIndex {49} )

( dfrac {2} {a ^ 2} - dfrac {5} {a} = 3 )

إجابه

(a = dfrac {1} {3}، -2 )

تمرين ( PageIndex {50} )

( dfrac {2} {x ^ 2} + dfrac {7} {x} = -6 )

تمرين ( PageIndex {51} )

( dfrac {4} {a ^ 2} + dfrac {9} {a} = 9 )

إجابه

(a = - dfrac {1} {3} ، dfrac {4} {3} )

تمرين ( PageIndex {52} )

( dfrac {2} {x} = dfrac {3} {x + 2} + 1 )

تمرين ( PageIndex {53} )

( dfrac {1} {x} = dfrac {2} {x + 4} - dfrac {3} {2} )

إجابه

(س = - dfrac {4} {3}، -2 )

تمرين ( PageIndex {54} )

( dfrac {4} {m} - dfrac {5} {m-3} = 7 )

تمرين ( PageIndex {55} )

( dfrac {6} {a + 1} - dfrac {2} {a-2} = 5 )

إجابه

(أ = dfrac {4} {5} ، 1 )

بالنسبة للمسائل التالية ، قم بحل كل معادلة حرفية للحرف المعين.

تمرين ( PageIndex {56} )

(V = dfrac {GMm} {D} ) لـ (D )

تمرين ( PageIndex {57} )

(PV = nrt ) لـ (n ).

إجابه

(n = dfrac {PV} {rt} )

تمرين ( PageIndex {58} )

(E = mc ^ 2 ) لـ (m )

تمرين ( PageIndex {59} )

(P = 2 (1 + w) ) لـ (w ).

إجابه

(W = dfrac {P - 2} {2} )

تمرين ( PageIndex {60} )

(A = dfrac {1} {2} h (b + B) ) لـ (B ).

تمرين ( PageIndex {61} )

(A = P (1 + rt) ) لـ (r ).

إجابه

(r = dfrac {A - P} {Pt} )

تمرين ( PageIndex {62} )

(z = dfrac {x- hat {x}} {s} ) لـ ( hat {x} )

تمرين ( PageIndex {63} )

(F = dfrac {S_ {x} ^ {2}} {S_ {y} ^ {2}} text {for} S_ {y} ^ {2} )

إجابه

(S_ {y} ^ {2} = dfrac {S_ {x} ^ {2}} {F} )

تمرين ( PageIndex {64} )

( dfrac {1} {R} = dfrac {1} {E} + dfrac {1} {F} ) لـ (F ).

تمرين ( PageIndex {65} )

(K = dfrac {1} {2} h (s_1 + s_2) ) لـ (s_2 ).

إجابه

(S_ {2} = dfrac {2 K} {h} -S_ {1} text {or} dfrac {2 K-h S_ {1}} {h} )

تمرين ( PageIndex {66} )

(Q = dfrac {2mn} {s + t} ) لـ (s ).

تمرين ( PageIndex {67} )

(V = dfrac {1} {6} pi (3a ^ 2 + h ^ 2) ) لـ (h ^ 2 ).

إجابه

(h_ {2} = dfrac {6 V-3 pi a ^ {2}} { pi} )

تمرين ( PageIndex {68} )

(I = dfrac {E} {R + r} ) لـ (R ).

تمارين للمراجعة

تمرين ( PageIndex {69} )

اكتب ((4x ^ 3y ^ {- 4}) ^ {- 2} ) بحيث تظهر الأس الموجبة فقط.

إجابه

( dfrac {y ^ 8} {16x ^ 6} )

تمرين ( PageIndex {70} )

حلل العامل (x ^ 4 - 16 )

تمرين ( PageIndex {71} )

قم بتوفير الكلمة المفقودة. ميل الخط هو قياس _____ من الخط.

إجابه

الانحدار

تمرين ( PageIndex {72} )

ابحث عن المنتج ( dfrac {x ^ {2} -3 x + 2} {x ^ {2} -x-12} cdot dfrac {x ^ {2} +6 x + 9} {x ^ { 2} + x-2} cdot dfrac {x ^ {2} -6 x + 8} {x ^ {2} + x-6} )

تمرين ( PageIndex {73} )

أوجد المجموع. ( dfrac {2x} {x + 1} + dfrac {1} {x-3} )

إجابه

( dfrac {2x ^ 2 - 5x + 1} {(x + 1) (x-3)} )


حلول الرياضيات للصف 8 الرياضيات الفصل 1 - الأعداد الصحيحة وغير النسبية

حلول الرياضيات للفصل 8 الرياضيات الفصل 1 الأعداد المنطقية وغير المنطقية مقدمة هنا مع تفسيرات بسيطة خطوة بخطوة. تحظى هذه الحلول للأرقام المنطقية وغير المنطقية بشعبية كبيرة بين طلاب الصف الثامن لأن حلول الأرقام المنطقية وغير المنطقية للرياضيات تأتي في متناول اليد لإكمال واجبك المنزلي سريعًا والتحضير للامتحانات. جميع الأسئلة والأجوبة من كتاب حلول الرياضيات للصف 8 الرياضيات الفصل 1 متوفرة هنا مجانًا. ستحب أيضًا التجربة الخالية من الإعلانات على Meritnation's Mathematics Solutions Solutions. تم إعداد جميع حلول الرياضيات للصف الثامن من الرياضيات بواسطة خبراء وهي دقيقة بنسبة 100٪.

الصفحة رقم 2:

السؤال رقم 1:

اعرض الأرقام التالية على خط الأعداد. ارسم خط أرقام منفصل لكل مثال.

إجابه:


1 & # 160 3 2 ، 5 2 ، - 3 2 يمكن تمثيلها على خط الأعداد كما يلي.


2 & # 160 7 5 ، - 2 5 ، - 4 5 يمكن تمثيلها على خط الأعداد كما يلي.


3 & # 160-5 8 ، 11 8 يمكن تمثيلها على خط الأعداد كما يلي.


4 & # 160 13 10، - 17 10 يمكن تمثيلها على خط الأعداد كما يلي.

الصفحة رقم 2:

السؤال 2:

راقب خط الأعداد وأجب عن الأسئلة.

(1) ما هو الرقم المشار إليه بالنقطة B؟
(2) أي نقطة تشير إلى الرقم 1 3 4؟
(3) حدد ما إذا كانت العبارة ، & # 39 ، النقطة D تشير إلى الرقم 5 2 ، صحيحة أم خطأ.

إجابه:

(1) نلاحظ أن كل وحدة على خط الأعداد مقسمة إلى 4 أجزاء متساوية.
الآن ، B هي النقطة العاشرة على يسار 0.
لذلك ، تشير B إلى - 10 4 على خط الأعداد.
2   1 3 4 = 7 4 = 7 × 1 4
إذن ، النقطة السابعة على يمين 0 هي C والتي تشير إلى 1 3 4 على خط الأعداد.
(3) النقطة D هي النقطة العاشرة على يمين 0. لذا ، D تشير إلى 10 4 على خط الأعداد.
الآن ، 10 4 & # 160 = & # 160 5 2
لذلك ، D تشير إلى 5 2 على خط الأعداد. ومن ثم ، فإن البيان المعطى صحيح.

الصفحة رقم 3:

السؤال رقم 1:

قارن الأرقام التالية.
(1) وناقص 7 ، وناقص 2

إجابه:

(2) نعلم أن الرقم السالب يكون دائمًا أقل من 0.

(3) نعلم أن الرقم الموجب يكون دائمًا أكبر من 0.

7   15 12 = 15 × 4 12 × 4 = 60 48   7 16 = 7 × 3 16 × 3 = 21 48
الآن ، 60 48 & # 62 21 48
وهناك 4 15 12 و # 62 7 16.

(8) لنقارن أولاً 25 8 و 9 4.
25 8 = 25 × 1 8 × 1 = 25 8   9 4 = 9 × 2 4 × 2 = 18 8
الآن ، 25 8 & # 62 18 8
& هناك 4 25 8 & # 62 9 4
وهناك 4 - 25 8 & # 60 - 9 4.

9   12 15 = 12 × 1 15 × 1 = 12 15   3 5 = 3 × 3 5 × 3 = 9 15
الآن ، 12 15 & # 62 9 15
وهناك 4 12 15 & # 62 3 5.

(10) لنقارن أولاً 11 7 و 3 4.
7 11 = 7 × 4 11 × 4 = 28 44   3 4 = 3 × 11 4 × 11 = 33 44
الآن ، 28 44 & # 60 33 44
& هناك 4 7 11 & # 60 3 4
وهناك 4 - 7 11 & # 62 - 3 4.

الصفحة رقم 4:

السؤال رقم 1:

اكتب الأعداد المنطقية التالية بالصورة العشرية.
(1) 9 37

إجابه:

(1) الرقم المحدد هو 9 37.

وهناك 4 9 37 = 0.243243. = 0. 243
الصيغة العشرية للرقم 9 37 هي 0. 243.

(2) الرقم المحدد هو 18 42.

وهناك 4 18 42 = 0.428571428571. = 0. 428571
الصيغة العشرية للرقم 18 42 هي 0. 428571.

(3) الرقم المحدد هو 9 14.

وهناك 4 9 14 = 0.6428571428571. = 0. 6 428571
الصيغة العشرية 9 14 هي 0. 6 428571.

(4) العدد المعطى - 103 5.

& هناك 4 103 5 = 20.6
الصيغة العشرية - 103 5 تساوي & ناقص 20.6.

(5) الرقم المحدد هو - 11 13.

وهناك 4 11 13 = 0.846153846153. = 0. 846153
الصيغة العشرية - 11 13 هي - 0. 846153.

الصفحة رقم 5:

السؤال رقم 1:

الرقم 2 يظهر على خط الأعداد. يتم إعطاء الخطوات لإظهار 3 على خط الأعداد باستخدام 2. املأ المربعات بشكل صحيح وأكمل النشاط.

توضح النقطة Q الموجودة على خط الأعداد الرقم.
∙ يتم رسم خط عمودي على خط الأعداد من خلال النقطة Q. النقطة R على مسافة الوحدة من Q على الخط.
∙ الزاوية اليمنى ∆ يتم الحصول على ORQ برسم مقطع OR.
ل(OQ) = 2 ، ل(ريال قطري) = 1

إجابه:


∙ توضح النقطة Q على خط الأعداد الرقم 2.
∙ يتم رسم خط عمودي على خط الأعداد من خلال النقطة Q. النقطة R على مسافة الوحدة من Q على الخط.
∙ الزاوية اليمنى ∆ يتم الحصول على ORQ برسم مقطع OR.
ل(OQ) = 2 ، ل(ريال قطري) = 1
و there4 بواسطة نظرية فيثاغورس ،
[ل(أو)] 2 = [ل(OQ)] 2 + [ل(ر. ق)] 2
= 2 2 + 1 2 = 2 + 1
= 3
& هناك 4 ل(أو) = 3
ارسم قوسًا بالمركز O ونصف القطر أو. حدد نقطة تقاطع الخط والقوس على أنها C. توضح النقطة C خط الرقم 3.

الصفحة رقم 6:

السؤال 2:

أظهر الرقم 5 على خط الأعداد.

إجابه:


ارسم خط أرقام كما هو موضح في الشكل. دع النقطة O تمثل 0 والنقطة Q تمثل 2. ارسم QR عموديًا عند Q على خط الأرقام بحيث يكون QR = 1 وحدة. انضم إلى OR. الآن ، ∆OQR هو مثلث قائم الزاوية.
حسب نظرية فيثاغورس ، لدينا
أو 2 = OQ 2 + 2 ريال قطري
= (2) 2 + (1) 2
= 4 + 1
= 5
& هناك 4 أو = 5
أخذ O كمركز ونصف القطر OR = 5 ، ارسم قوسًا يقطع خط الأعداد عند C.
بوضوح ، OC = OR = 5.
ومن ثم ، فإن C تمثل 5 على خط الأعداد.

الصفحة رقم 6:

السؤال 3:

أظهر الرقم 7 على خط الأعداد.

إجابه:


ارسم خط أرقام كما هو موضح في الشكل وحدد النقاط O و A و B عليه بحيث تكون OA = AB = 1 وحدة. تمثل النقطة O 0 وتمثل B 2. عند B ، ارسم CB عموديًا على خط الأعداد بحيث يكون BC = 1 وحدة. انضم إلى OC. الآن ، ∆OBC هو مثلث قائم الزاوية.
في ∆OBC ، بواسطة نظرية فيثاغورس
(OC) 2 = (OB) 2 + (قبل الميلاد) 2
= (2) 2 + (1) 2
= 4 + 1
= 5
& هناك 4 OC = 5
أخذ O كمركز ونصف القطر OC = 5 ، ارسم قوسًا يقطع خط الأعداد عند D.
بوضوح ، OC = OD = 5
عند D ، ارسم ED عموديًا على خط الأعداد بحيث يكون ED = وحدة واحدة. انضم إلى OE. الآن ، ∆ODE هو مثلث قائم الزاوية.
في ∆ODE ، بواسطة نظرية فيثاغورس
(OE) 2 = (OD) 2 + (DE) 2
= ( 5 ) 2 + (1) 2
= 5 + 1
= 6
& هناك 4 OE = 6
أخذ O كمركز ونصف قطر OE = 6 ، ارسم قوسًا يقطع خط الأرقام عند F.
من الواضح أن OE = OF = 6
عند F ، ارسم GF عموديًا على خط الأعداد بحيث يكون GF = 1 وحدة. انضم إلى OG. الآن ، ∆OFG هو مثلث قائم الزاوية.
في ∆OFG ، بواسطة نظرية فيثاغورس
(OG) 2 = (OF) 2 + (FG) 2
= ( 6 ) 2 + (1) 2
= 6 + 1
= 7
& هناك 4 OG = 7
أخذ O كمركز ونصف القطر OG = 7 ، ارسم قوسًا يقطع خط الأعداد عند H.
من الواضح أن OG = OH = 7
ومن ثم ، تمثل H 7 على خط الأعداد.


8.7: المعادلات العقلانية - الرياضيات

Algebrator هو أفضل برنامج استخدمته! لم أعتقد أبدًا أنني سأتعلم الصيغ والقواعد المختلفة المستخدمة في الرياضيات ، لكن برنامجك جعل الأمر سهلاً حقًا. شكرا جزيلا على إنشائك لك. الآن لا أخشى الذهاب إلى فصل الجبر. شكرا!
نوبيرت ، تكساس

لقد تلقيت للتو التحديث الخاص بك ، وأنا سعيد جدًا لأنني تواصلت معك ، لقد كان أفضل شيء بالنسبة لي وللتعلم. انا احب برنامجك شكرا
كارين كوتس ، GA

أردت فقط أن أخبرك أنني اشتريت برنامجك للتو وهو أمر لا يصدق! شكرا جزيلا لتطوير مثل هذا البرنامج لك. بالمناسبة ، لقد أرسلت لك مؤخرًا رسالة بريد إلكتروني تخبرك أنني اشتريت PAT (مدرس الجبر الشخصي) وأنا غير راضٍ جدًا عنها.
تومي هوبروكن ، ويسكونسن

لم أفهم الجبر أبدًا ، مما جعلني أكافح ، وانتهى بي الأمر بجعلي أكره الرياضيات. الآن بعد أن أصبح لدي الجبر ، لم تعد الرياضيات تبدو لي كلغة أجنبية. أنا أستمتع بحضور فصل الرياضيات الآن!
توم كانتي ، أريزونا


سلوك هذه الطريقة يتبع المعيار IEEE 754 ، القسم 4. يسمى هذا النوع من التقريب أحيانًا التقريب نحو اللانهاية السالبة.

تُرجع أكبر قيمة متكاملة أصغر من أو تساوي رقم الفاصلة العائمة ذي الدقة المزدوجة المحدد.

حدود

رقم فاصلة عائمة مزدوج الدقة.

عائدات

أكبر قيمة تكاملية أصغر من أو تساوي د. إذا كانت d تساوي NaN أو NegativeInfinity أو PositiveInfinity ، يتم إرجاع هذه القيمة.

أمثلة

يوضح المثال التالي طريقة Math.Floor (Double) ويقارنها بطريقة السقف (مزدوج).

ملاحظات

سلوك هذه الطريقة يتبع المعيار IEEE 754 ، القسم 4. يسمى هذا النوع من التقريب أحيانًا التقريب نحو اللانهاية السالبة. بمعنى آخر ، إذا كانت d موجبة ، يتم اقتطاع أي مكون كسري. إذا كانت d سالبة ، فإن وجود أي مكون كسري يؤدي إلى تقريبه إلى عدد صحيح أصغر. يختلف تشغيل هذه الطريقة عن طريقة السقف التي تدعم التقريب نحو اللانهاية الموجبة.

بدءًا من Visual Basic 15.8 ، يتم تحسين أداء التحويل المزدوج إلى عدد صحيح إذا قمت بتمرير القيمة التي يتم إرجاعها بواسطة طريقة Floor إلى أي من وظائف التحويل المتكاملة ، أو إذا تم تحويل القيمة Double التي تم إرجاعها بواسطة Floor تلقائيًا إلى عدد صحيح مع ضبط Option Strict على Off. يسمح هذا التحسين بتشغيل الكود بشكل أسرع - ما يصل إلى ضعف سرعة الكود الذي يقوم بعدد كبير من التحويلات إلى أنواع صحيحة. يوضح المثال التالي مثل هذه التحويلات المحسّنة:


مدونة الرياضيات المنزلية

أفكار تعليم الرياضيات ، الروابط ، أوراق العمل ، المراجعات ، المقالات ، الأخبار ، أشياء الرياضيات الماموث ، والمزيد - أي شيء يساعدك على تدريس الرياضيات.

ساكسون ماث ليس للجميع

  • خذ رابط
  • فيسبوك
  • تويتر
  • بينتيريست
  • بريد إلكتروني
  • تطبيقات أخرى

يسألني الناس أحيانًا عن رأيي أو مراجعتي لرياضيات سكسونية. ما كتبته هنا ينطبق بشكل خاص على دورات مدرسة Saxon Math الثانوية ومستويات الصف المتوسط. (الدرجات من K-3 هي من قبل مؤلف مختلف وهي مختلفة تمامًا عن ذلك أدناه.)

تستخدم Saxon Math "نهجًا تدريجيًا" حيث يتم دراسة مفاهيم الرياضيات في أجزاء صغيرة على عدة دروس ، ويتم تقطيع هذه الدروس على مدى فترة طويلة من الزمن ، مختلطة مع دروس حول مواضيع أخرى.

بعبارة أخرى ، إذا كان أحد الدروس يتعلق بموضوع معين (على سبيل المثال ، النسب المئوية أو عدم المساواة) ، فمن شبه المؤكد ذلك الدرس التالي ليس حول هذا الموضوع. إنها تقفز من موضوع إلى آخر باستمرار ، وهذا حسب التصميم.

تتضمن طريقة ساكسون أيضًا ميزة حيث يوجد بعد تدريس الدرس عدد قليل جدا من مشاكل الممارسة حول موضوع الدرس. معظم المشاكل هي مشاكل مراجعة مختلطة ، وهي تمارس مفاهيم من دروس سابقة ، وليس مفهوم أو مهارة الدرس.

يحتوي ملف PDF هذا على ثلاثة دروس كاملة من Saxon Algebra 1 بحيث يمكنك أن ترى بنفسك كيف أن كل درس يحتوي في الغالب على تمارين حول مواضيع أخرى.

يساعد هذا النوع من الترتيب الطلاب على حفظ المحتوى ، حيث يمكنهم ممارسة أي موضوع معين لبضعة أيام (على الرغم من وجود القليل من المشاكل في اليوم). الجانب السلبي هو أنه يشجع العديد من الطلاب على استخدامها ببساطة التلقين والاستظهار، ولا يضمن ذلك ولا تعزز الفهم المفاهيمي. أيضًا ، قد يكون هذا النهج محيرًا جدًا لبعض الطلاب ، والأسوأ من ذلك ، أن يحول بعضهم إلى كارهي الرياضيات.

يبدو أن التعليمات في الدروس مناسبة مثل التمارين والمشكلات التي لا أرى مشاكل كبيرة هناك. وأنا أعرف الكثير من الناس مثل ساكسون ماث والعديد من الطلاب قاموا بعمل جيد معها. من الممكن تعلم الرياضيات جيدًا باستخدام Saxon Math ، ولا شك في ذلك. لكن الرياضيات السكسونية يمكن أن تكون كارثية أيضًا. أنا شخصياً أفضل أن أرى نوعًا من الحل الوسط بين المراجعة المستمرة والحاجة إلى التركيز على المفاهيم الجديدة.

إذا كنت تستخدم Saxon ، ولاحظت أنه بدأ في تحويل طفلك ضد الرياضيات كموضوع ، فيرجى التفكير في الخيارات الأخرى. تأكد أيضًا من أن الطفل لا يستخدم الحفظ عن ظهر قلب للتغلب عليه فحسب ، بل إنه يكتسب فهمًا للمفاهيم أيضًا.

المستويات المبكرة لم يكتبها جون ساكسون بل نانسي لارسون. إنها تؤمن بالمحادثة بين الوالد والطفل ، وهذا يظهر في المواد. الدورات المبكرة مكتوبة بالكامل ، والتي أعرف أن بعض الآباء يحبونها والبعض الآخر لا يحبها. تبدو المحادثات المقترحة جيدة بشكل عام. يتم التأكيد على الأدوات المتلاعبة ، والتي غالبًا ما تكون جيدة جدًا ، ولكن ليس كل الأطفال بحاجة إلى الكثير منها. وفي المراحل المبكرة من الصفوف ، يعمل الحلزوني الضيق للغاية بشكل أفضل مما هو عليه لاحقًا ، لذا فمن غير المرجح كثيرًا أن تتسبب مستويات الصف الأول للرياضيات الساكسونية (K-3) في أن يبدأ الطفل في كره الرياضيات بسبب المنهج الدراسي. يمكن أن تعمل تلك المستويات من سكسونية بشكل جيد (حسب الطفل).

كتب المستويات المتوسطة من جون ساكسون وستيفن هيك. هنا حيث ريمكن أن يصبح اللولب اللولبي حجر عثرة.

أشعر أن الآباء الذين يدرسون في المنزل يجب أن يدركوا أن سكسون ليس بالضرورة "المعيار الذهبي". إنه يعمل مع بعض الأطفال ، وليس للآخرين ، مثل جميع المناهج الأخرى الموجودة هناك. لكن على مر السنين ، كان لدي انطباع بأنه لسبب ما (ربما بسبب شعبيته) ، يميل العديد من الآباء ، وخاصة أولئك الذين بدأوا في المدرسة المنزلية ، إلى التفكير في سكسونية بدرجة أعلى قليلاً من اللازم. إنهم يختارون ساكسون تلقائيًا لأن "الجميع يستخدمه."إذن هناك فرصة أكبر لحدوث ضرر حقيقي أكثر من معظم مناهج الرياضيات الأخرى. يبدو أن الناس يميلون إلى امتلاك عقلية أنه يجب أن يعمل (حتى عندما لا يعمل) نظرًا لأن العديد من الأشخاص يستخدمون هو - هي.

لذا ، أود أن أجلب بعض الوعي للمخاطر المحتملة لساكسون الرياضيات من الصف الرابع وما بعده ، والمشكلة الرئيسية المحتملة هي التصاعد الضيق. التعليمات جيدة والتمارين / الأنشطة جيدة ولكن تنظيم المواد يمكن أن يسبب مشاكل.

ولكن بغض النظر عن المنهج الذي تستخدمه ، تذكر أن المعلم (أنت) هو أهم جزء في التجربة بأكملها! يمكنك محاولة تكييف المنهج ، مثل القيام بمشكلات أقل أو استخدامه بترتيب مختلف عما يشير إليه جدول المحتويات (على الرغم من أن ذلك سيكون صعبًا مع ساكسون). المعلم هو ما يمكن أن يحدث أكبر فرق في كيف وماذا يتعلم الطالب. لا تكن عبدًا لأي منهج دراسي ، وليس لماث ماموث أيضًا!


أنا لست الوحيد الذي يشعر بانتقاد نهج ساكسون للرياضيات. لقد قرأت الكثير من الآراء الأخرى على نفس المنوال. هنا نوعان وجدتهما على أمازون:

"أنا مدرس رياضيات ، ويجب أن أقول إن كتاب الجبر هذا لم يكن مفيدًا على الإطلاق! تنظيم المفاهيم غير منطقي ، والمنهجية "التقدمية" محيرة ومشاكل الممارسة يتم تصورها بشكل سيء. لقد نسيت الفتاة التي قمت بتدريسها بالفعل الدرس الذي تعلمته للتو في غضون أيام قليلة لأنه بدلاً من تقديم مشاكل كافية لتطبيق الدرس الذي تم تدريسه ، قرر مؤلفو هذا الكتاب مراجعة الدروس المستفادة سابقًا لغالبية التدريبات. وجدت نفسي مضطرًا إلى إعادة تدريس الدروس كل يوم." (هل تمزح)

"بتدريس الرياضيات العليا ، من الجبر 1 من خلال حساب التفاضل والتكامل والمعادلات التفاضلية ، منذ ما يقرب من 30 عامًا ، أشعر أنني مؤهل لتفجير هذا الكتاب! حاولت استخدامه مع الطلاب الذين يدرسون في المنزل. لقد أصبحوا مرتبكين بشكل متزايد ، لذلك قمت بتغيير كتبهم بسرعة. احتاج طلاب `` ساكسون '' الذين قمت بتدريسهم في مستوى أعلى من الرياضيات إلى دروس خصوصية علاجية في مفاهيم الجبر 1 قبل أن أتمكن من الانتقال إلى موضوع مستوى الصف الحالي. على الرغم من أن ساكسون يحظى باحترام كبير بين المدرسين المنزليين ، إلا أنني لا أستطيع أن أعرف السبب. المواضيع ليست محددة بوضوح. تتكرر نفس المفاهيم مرارًا وتكرارًا ، درسًا بعد درس. إذا احتاج المرء إلى البحث عن معلومات ، فلا يمكنه التأكد من أي قسم من الكتاب يقرأ. تدفق المفاهيم غير منتظم ، في أحسن الأحوال. إنه ، في رأيي ، ضار بالمدارس المنزلية ، الذين غالبًا ما يكونون أذكياء جدًا ، ويستحقون نصًا أكثر وضوحًا وإيجازًا ، ويغطي المزيد من الموضوعات المرتبطة بالجبر الكلاسيكي 1. "(دينيس سيب)

اقرأ كيف صاغها الأستاذ هونغ-هسي وو (التأكيدات والملاحظة الإضافية تخصني):

"لكنني أعتقد أن أكثر ما يزعجني في اللغة السكسونية هو قراءتها ، وأنا لا أشعر أنني أقرأ شيئًا ما عندما يستخدمه الأطفال ، فسيكون لديهم حتى انطباع صحيح عن بعد عن ماهية الرياضيات حول. إنه للغاية جيد في تعزيز الدقة الإجرائية. وما يقوله ديفيد عن بناء كل شيء بزيادات صغيرة ، هذا صحيح ، لكن أصول التدريس العظيمة مكرسة ، يتم استخدامها لخدمة غرض واحد فقط ، وهو التأكد من حفظ الإجراءات واستخدامها بشكل صحيح. وستحصل على شعور - أعتقد أنه تشبيه منطقي - يمكنك رؤية الهيكل العظمي مقدمًا بقدر كبير من الوضوح ، لكنك لا ترى أي طرق ، لن ترى أبدًا أي جسد ، لا شيء - لا نسيج ضام ، أنت رؤية الأشياء العارية فقط.

القليل من هذا على ما يرام ، ولكن عندما تقرأ جزءًا كاملًا منه ، فأنا حقًا غير مرتاح للغاية. هناك الكثير من الأشياء التي أعجبت بها ، ولكن هناك شيء أحادي الجانب - تفكر مرة أخرى في نفسك وتفكر فيما يحدث إذا تم تبني هذا الشيء. قد يكون هناك الكثير والكثير من الأطفال يستخدمونه. وافترض أن مئات الآلاف من الطلاب يستخدمون هذا الكتاب ويمرون أربع سنوات منه. هل ستكون على استعداد لمواجهة النتيجة النهائية؟ يوجد هنا مئات الآلاف من يعتقد الطلاب أن الرياضيات هي في الأساس مجموعة من التقنيات."


8.7: المعادلات العقلانية - الرياضيات

rvershyn / support-files / portrait-small.png "/>

رومان فيرشينين ، قسم الرياضيات ، جامعة كاليفورنيا في ايرفين

بريد إلكتروني: rvershyn "في" uci "dot" edu

ساعات العمل: ميغاواط 2:10 - 3:00 مساءً في 540D رولاند هول

مساعد تدريس

بويا ليو ، قسم الرياضيات ، جامعة كاليفورنيا ، إيرفين

بريد إلكتروني: boyaliu1129 "في" gmail "dot" com

ساعات العمل: الثلاثاء 11:00 صباحًا - 1:00 مساءً ، W 10:00 - 11:00 صباحًا في 250A رولاند هول

متى أين

محاضرات: MWF 12: 00-12: 50 مساءً (القسم 44779) و 1: 00-1: 50 مساءً (القسم 44775) في SH 174

مناقشة: TuTh 1: 00-1: 50pm في SSTR 103 (القسم 44780) و 10: 00-10: 50 صباحًا في SST 120 (القسم 44776)

الوصف والمتطلبات والكتاب المدرسي

وصف الدورة التدريبية: مقدمة للتحليل الحقيقي ، بما في ذلك تقارب التسلسل ، المتسلسلات اللانهائية ، التفاضل والتكامل ، وتسلسل الوظائف. يتوقع من الطلاب عمل البراهين. سيتم تغطية الفصول 1-3 (باستثناء 3.19 ، 3.20).

المتطلبات الأساسية: المتطلبات الأساسية: (MATH 2B أو AP Calculus BC) و (MATH 2D أو MATH H2D) و (MATH 3A أو MATH H3A) و MATH 13. AP Calculus BC بدرجة لا تقل عن 4. MATH 13 بدرجة C أو أفضل.

كتاب مدرسي: ك. روس ، التحليل الابتدائي ، الطبعة الثانية.

وضع العلامات

سيتم تحديد درجة الدورة على النحو التالي:

  • الواجب المنزلي: 10٪. سيتم إسقاط واجب منزلي واحد بأقل درجة. سيتم جمع الحلول كل يوم خميس. لن يتم قبول الواجبات المنزلية المتأخرة. نرحب بك ونشجعك على تشكيل مجموعات دراسية ومناقشة الواجبات المنزلية مع الطلاب الآخرين ، ولكن يجب عليك كتابة الحلول بشكل فردي.
  • الامتحان النصفي 1: 25٪ ، الأربعاء 24 أكتوبر ، في الفصل. يغطي كل شيء يتم تغطيته في الفصل حتى 17 أكتوبر ، بما في ذلك.
  • الامتحان النصفي 2: 25٪ ، الاثنين 19 نوفمبر ، في الفصل. يغطي كل شيء يتم تغطيته في الفصل حتى 9 نوفمبر بما في ذلك.
  • إمتحان نهائي: 40٪ ، الأربعاء ، 12 ديسمبر ، 1:30 - 3:30 مساءً ، في ICS 174.

لن يكون هناك تعويض عن الامتحانات لأي سبب من الأسباب. يُحتسب فائض امتحان نصف الفصل على أنه صفر نقطة ، مع الاستثناء التالي. إذا فاتك الامتحان النصفي بسبب حالة طبية أو حالة طوارئ عائلية موثقة ، فسيتم إضافة وزن الاختبار إلى وزن الاختبار النهائي.


مسائل المعادلات الخطية

تسمى قيمة الكمية غير المعروفة التي نحصل من خلالها على مساواة عددية حقيقية بجذر تلك المعادلة. يُطلق على معادلتين متكافئتين عندما تتطابق العديد من جذورهما ، وجذور المعادلة الأولى هي أيضًا جذور المعادلة الثانية والعكس صحيح. القواعد التالية صالحة:
1. إذا تم استبدال تعبير واحد في معادلة معينة بمطابقة أخرى ، نحصل على معادلة مكافئة للمعطى المعطى.
2. إذا تم نقل بعض التعبير في معادلة معينة من جانب إلى آخر بعلامة معاكسة ، نحصل على معادلة مكافئة للمعادلة المعطاة.
3. إذا ضربنا أو قسمنا طرفي معادلة معطاة بنفس العدد ، مختلف عن الصفر ، نحصل على معادلة مكافئة للمعادلة المعطاة.
المعادلة من النوع $ ax + b = 0 $ ، حيث يتم تسمية $ a ، b $ بالأرقام معادلة بسيطة في إشارة إلى الكمية غير المعروفة $ x $.

المشكلة 1 حل المعادلة:
أ) 16 × + 10 - 32 = 35 - 10 × - 5
ب) $ y + frac <3> <2y> + 25 = frac <1> <2> y + frac <3> <4> y - frac <5> <2> y + y + 37 $
ج) 7 ش - 9 - 3 ش + 5 = 11 ش - 6 - 4 ش

أ) نقوم ببعض الإجراءات التي يتم إجراؤها ونحصل عليها
16 س - 22 = 30 - 10 س
بعد استخدام القاعدة 2 نجد 16x + 10x = 30 + 22
بعد عمل الجمع 26x = 52
نجد مضاعفًا غير معروف بقسمة المنتج على المضاعف الآخر.
That is why $x = frac<52><26>$
Therefore x = 2

B) By analogy with A) we find:
$yleft(1 + frac<3><2> ight) + 25 = yleft(frac<1> <2>+ frac<3> <4>– frac<5> <2>+ 1 ight) + 37 Leftrightarrow$
$frac<5><2>y + 25 = -frac<1><4>y + 37 Leftrightarrow frac<5><2>y + frac<1><4>y = 37 - 25 Leftrightarrow$
$frac<11><4>y = 12 Leftrightarrow y = frac<12.4> <11>Leftrightarrow y = frac<48><11>$

C) 4u – 4 = 7u – 6 6 – 4 = 7u – 4u 2 = 3u $u = frac<2><3>$

Problem 2 Solve the equation :
A) 7(3x – 6) + 5(x - 3) - 2(x - 7) = 5
B) (x -3)(x + 4) - 2(3x - 2) = (x - 4) 2
C) (x + 1) 3 – (x - 1) 3 = 6(x 2 + x + 1)

A) 21x - 42 + 5x - 15 - 2x + 14 = 5
21x + 5x - 2x = 5 + 42 + 15 - 14
24x = 48 x = 2

B) x 2 + 4x - 3x - 12 - 6x + 4 = x 2 - 8x + 16
x 2 - 5x – x 2 + 8x = 16 + 12 – 4
3x = 24 x = 8

C) x 3 + 3x 2 + 3x + 1 – (x 3 - 3x 2 + 3x - 1) = 6x 2 + 6x + 6
x 3 + 3x 2 + 3x + 1 – x 3 + 3x 2 + 1 = 6x 2 + 6x + 6
2 = 6x + 6 6x = -4 $x = -frac<2><3>$

A) $frac<5x - 4> <2>– frac<0.5x + 1> <3>Leftrightarrow$
3(5x - 4) = 2(0.5x + 1)
15x - 12 = x + 2
15x – x = 12 + 2
14x = 14 x = 1

B) $1 – frac <5>= frac<3(1 - x)><3>Leftrightarrow$
$1 –frac <5>= 1 – xLeftrightarrow$
-x + 3 = - 5x
5x – x = - 3
$x = -frac<3><4>$

C) $frac<3(x - 1)> <2>+ frac<2(x + 2)> <4>= frac<3x + 4.5> <5>Leftrightarrow$
$frac<2(x + 1) - 3(2x + 5)> <6>= - 3 Leftrightarrow$
$frac<2x + 2 - 6x -15> <6>= - 3 Leftrightarrow$
-4x - 13 = -18
-4x = -18 + 13
-4x = -5 $x = frac<5><4>$

D) We reduce to common denominator, which for 2, 4 and 5 is 20
$frac<3(x - 1)> <2>+ frac<2(x + 2)> <4>= frac<3x + 4.5> <5>Leftrightarrow$
30(x - 1) + 10(x + 2) = 4(3x + 4.5)
30x - 30 + 10x + 20 = 12x + 18
40x - 12x = 18 + 10
28x = 28 x = 1

Problem 4 Proof that every value of the unknown quantity is root of the equation:
A) 7x - 13 = - 13 + 7x
B) $(frac<1> <2>– x)^2 – (frac<1> <2>+ x)^2 = -2x$
C) 3x - 3x = 26 - 2(7 + 6)
D) $frac<-3x + 4x^2> <5>= (0.8x - 0.6)x$

المحلول: For one simple equation with unknown quantity x every x is a solution, if it is reduced to the following equivalent equation 0.x = 0 or it transforms into identity a = a . Actually, in the left any value of x , when we multiply it with zero, will obtain zero, i.e. the right side or the value of x won’t influence the right or left side of the identity.

A) 7x - 7x = -13 + 13 0.x = 0 every x is a solution.

B) $frac<1> <4>- x + x^2 –(frac<1> <4>+ x + x^2) = - 2x$
$frac<1> <4>- x + x^2 -frac<1> <4>– x – x^2 = - 2x$
-2x = -2x
-2x + 2x = 0
0.x = 0 Therefore every x is a solution.

C) 0.x = 26 - 2.13
0.x = 26 – 26
0.x = 0 every x is a solution.

D) -3x + 4x 2 = 5(0.8x - 0.6)x
-3x + 4x 2 = (4x - 3)x
-3x + 4x 2 = 4x 2 - 3x
Therefore every x is a solution.

المشكلة 5 Proof that the equation has no roots:
A) 0.x = 34
B) 5 - 3x = 7 - 3x
C) $frac <4>= frac<4>$
D) 2(3x - 1) – 3(2x + 1) = 6

A) For the left side we will get value 0 for every x and for the right side is 34, i.e. number different from 0. Therefore there is no such x to get a true numerical equality

B) 5 - 3x = 7 - 3x 3x - 3x = 7 - 5 0.x = 2 0 = 2, which is impossible for any x

C) $frac <4>= frac<4>$ x - 3 = x + 5 x – x = 5 + 3 0 = 8 => no solution

D) 2(3x - 1) - 3(2x + 1) = 6 6x - 2 - 6x - 3 = 6 0.x = 6 + 5 0 = 11 no solution.

المشكلة 6 Solve the equation:
A) 2x 2 - 3(1 – x)(x + 2) + (x - 4)(1 - 5x) + 58 = 0
B) 3.(x + 1) 2 – (3x + 5).x = x + 3
C) x 2 – (x - 1).(x + 1) = 4
D) (x - 1).(x 2 + x + 1) = (x - 1) 3 + 3x(x - 1)
E) (3x - 1) 2 – x(15x + 7) = x(x + 1).(x - 1) – (x + 2) 3

A) 2x 2 - 3(x + 2 – x 2 - 2x) + x - 5x 2 - 4 + 20x + 58 = 0
2x 2 - 3x - 6 + 3x 2 + 6x + x - 5x 2 - 4 + 20x + 58 = 0
0.x 2 + 24x + 48 = 0
24x = - 48 x = -2

B) 3(x 2 + 2x + 1) - 3x 2 - 5x = 3x 2 + 6x + 3 - 3x 2 -5x = x + 3
(3 - 3)x 2 + (6 - 5).x – x = 3 - 3
0 = 0 => every x is a solution

C) x 2 – (x 2 -1) = 4
x 2 – x 2 + 1 = 4
0 = 3 => no solution

D) x 3 + x 2 + x – x 2 – x - 1 = x 3 - 3x 2 + 3x - 1 + 3x 2 - 3x
0 = 0 => every x is a solution

E) 9x 2 - 6x + 1 - 15x 2 - 7x = x 3 –x 2 + x 2 – x – x 3 - 6x 2 - 12x - 8
0 = 9 => no solution

المشكلة 7 Solve the equation:
A) $frac<6x - 1> <5>- frac<1 - 2x> <2>= frac<12x + 49><10>$
B) $frac <2>+ frac<2x - 2> <4>= frac<7x - 6><3>$

A)We reduce to common denominator and we get:
12x - 2 - 5 +10x = 12x + 49
22x - 12x = 49 + 7
10x = 56 x = 5.6

المشكلة 8 The function f(x) = x + 4 is given. Solve the equation:
$frac<3f(x - 2)> + 4 = f(2x + 1)$

We calculate f(0), f(x -2), f(2x +1), namely f(0) = 0 + 4 = 4
f(x - 2) = x - 2 + 4 = x + 2
f(2x + 1) = 2x + 1 + 4 = 2x + 5 The equation gets this look
$frac<3(x + 2)> <4>+ 4 = 2x + 5$
3(x + 2) +16 = 4(2x + 5)
3x + 6 +16 = 8x + 20
22 - 20 = 8x - 3x
2 = 5x x = 0.4

المشكلة 9 Solve the equation:
(2x - 1) 2 – x(10x + 1) = x(1 – x)(1 + x) – (2 – x) 3

(2x - 1) 2 – x(10x + 1) = x(1 – x)(1 + x) – (2 – x) 3
4x 2 - 4x + 1 -10x 2 – x = x – x 3 - 8 + 12x - 6x 2 + x 3
18x = 9 $x = frac<1><2>$

المشكلة 10 Solve the equation:
(2x + 3) 2 –x(1 + 2x)(1 - 2x) = (2x - 1) 2 + 4x 3 - 1

(2x + 3) 2 – x(1 + 2x)(1 - 2x) = (2x - 1) 2 + 4x 3 -1
4x 2 + 12x + 9 – x(1 - 4x 2 ) = 4x 2 - 4x + 1 + 4x 3 - 1
12x + 9 – x + 4x 3 = - 4x + 4x 3
15x = -9 $x = -frac<3><5>$

المشكلة 11 Solve the equation :
(2x - 1) 3 + 2x(2x - 3).(3 - 2x) – (3x - 1) 2 = 3x 2 - 2

We open the brackets by using the formulas for multiplication:
8x 3 - 3(2x) 2 .1 + 3.2x(1) 2 – 1 3 - 2x(2x - 3) 2 – (9x 2 - 6x + 1) = 3x 2 - 2
8x 3 - 12x 2 + 6x - 1 - 2x(4x 2 - 12x + 9) - 9x 2 + 6x - 1 = 3x 2 - 2
8x 3 - 21x 2 + 12x - 8x 3 + 24x 2 - 9x = 3x 2
3x 2 + 3x = 3x 2
3x = 0 x = 0

المشكلة 12 Solve the equation :
$left(2x - frac<1><2> ight)^2 – (2x - 3)(2x + 3) = x + frac<1><4>$

We use the formulas for multiplication, open the brackets and get:
$4x^2 - 2x + frac<1> <4>– (4x - 9) = x + frac<1><4>$
$4x^2 - 2x + frac<1> <4>- 4x^2 + 9 = x + frac<1><4>$
9 = x + 2x
9 = 3x x = 3

المشكلة 13 Proof that the two equations are equivalent:
A) $frac <2> + frac <8>= frac<1.5x - 10><4>$ and $frac <2>– frac<5.5 - 0.5x> <3>= 1.5$
B) $x – frac<8x + 7> <6>+ frac <3>= -1left(frac<1><6> ight)$ and $2x – frac<6 – x> <3>- 2left(frac<1><3> ight)x = -2$

A) For the first equation we get consecutively:
4(x - 5) + x - 1 = 2(1.5x - 10)
4x - 20 + x - 1 = 3x - 20
5x – 3x = - 20 + 21
2x = 1 $x = frac<1><2>$,
for the second equation we have
3(x + 6) - 2(5.5 - 0.5y) = 6 . 1.5
3x + 18 - 11 + x = 9
4y = 9 - 7
$x = frac<2><4>$ $x = frac<1><2>$ Therefore the equations are equivalent.

B) Analogical to A) Try by yourself

المشكلة 14Solve the equation :
A) (2x + 1) 2 – x(1 - 2x)(1 + 2x) = (2x - 1) 2 + 4x 3 - 3
B) (2x - 1) 2 + (x - 2) 3 = x 2 (x - 2) + 8x - 7
C) (x + 2)(x 2 - 2x + 4) + x(1 – x)(1 + x) = x - 4
D) $frac<8x + 5> <4>– frac<1><2left[2 – frac<3 – x><3> ight]> = 2x + frac<5><6>$
E) $frac <3>– frac <4>= x – frac<1><3left[1 – frac<3 - 24x><8> ight]>$
F) $frac <5>– frac<(2x - 3)^2> <3>= frac<1><5>left[5 – frac<20x - 43x><3> ight]$

A) 4x 2 + 4x + 1 – x(1 - 4x 2 ) = 4x 2 - 4x + 1 + 4x 3 - 3
4x – x + 4x 3 = -4x + 4x 3 -3
3x + 4x = -3
7x = - 3 $x = -frac<3><7>$

B) 4x 2 - 4x + 1 + x 3 - 3x 2 .2 + 3x.2 2 - 8 = x 3 -2x 2 + 8x - 7
4x 2 - 6x 2 - 4x + 1 + 12x - 8 = - 2x 2 + 8x -7
-2x 2 + 8x - 7 = - 2x 2 + 8x - 7
0 = 0 => every x is a solution

C) x 3 + 2x 2 - 2x 2 - 4x + 4x + 8 + x(1 – x 2 ) = x - 4
x 3 + 8 + x – x 3 = x - 4
8 = - 4, which is impossible. Therefore the equation has no solution

D) $frac<8x + 5> <4>- 1 + frac<3 – x> <6>= 2x + frac<5> <6>Leftrightarrow$
3(8x + 5) - 12 + 2(3 – x) = 24x + 2.5
24x + 15 - 12 + 6 - 2x = 24x + 10
-2x = 10 - 9 $x = -frac<1><2>$

E) $frac <3>– frac <4>= x - frac<1> <3>+ frac<3 - 24x> <24>Leftrightarrow$
8x - 6(x + 3) = 24x - 8 + 3 - 24x
8x - 6x - 18 = -5
2x = 18 - 5
2x = 13 x = 6.5

F) $frac <5>– left[frac<2x - 3><3> ight]^2 = 1 – frac<20x^2 - 43x> <15>Leftrightarrow$
3x - 5(4x 2 -12x + 9) = 15 - 20x 2 + 43x
3x - 20x 2 + 60x - 45 = 15 - 20x 2 + 43x
63x - 43x = 15 + 45
20x = 60 x = 3


Access our Big Ideas Math 8th Grade Answers listed below to resolve all your queries on the Chapters involved. Don’t worry about the accuracy of the Big Ideas Math Grade 8 Solutions as they are given after extensive research. Start Practicing the Chapterwise BIM 8th Grade Answers and no longer feel the concepts of Big Ideas Math Grade 8th difficult.

Teaching Grade 8 Math Topics effectively will help your kids to advance their math reasoning and logical ability. Confidence and ability to learn will be improved by referring to the 8th Standard Math Topics available. Thus, they will be prepared for high school studies. If you want to learn more about the 8th Grade Math Concepts have an insight into the below topics and get an idea of what is included in the 8th Grade Curriculum.

All you have to do is simply tap on the quick links available to avail the respective topics and get a grip on them. We included both the theoretical part as well as worksheets for your practice. Our 8th Grade Math Worksheets make it easy for you to test your preparation standard on the corresponding topics. Identify the knowledge gap and improvise on the topics you are facing difficulty with.


Interventions

Student has difficulty getting started.

  • ماذا تحاول أن تفعل؟
  • What are the coordinates of the vertices of the original figure?
  • What axis are you reflecting the figure across?
  • What will you do first? Second?

Student has an incorrect solution.

  • Explain how you reflected the figure across the axis.
  • What does it mean to reflect a point across an axis?
  • How do you know that the point is reflected across the axis correctly?

Student has a correct solution.

  • What method did you use to reflect the figure across the axis?
  • Did you reach any conclusions about the coordinates of the reflected figure&rsquos vertices?

ELLs: In posing these questions, make sure that if the student involved is an ELL, your pace is adequate and you are providing ample wait time to allow for a thoughtful response.


Meets Expectations

The instructional materials reviewed for EdGems Math Grade 7 meet expectations for focus and coherence in Gateway 1. The instructional materials meet the expectations for focus by assessing grade-level content and devoting the large majority of class time to major work of the grade. The instructional materials meet expectations for coherence due to being consistent with the progressions in the standards and making connections within the grade.

Criterion 1a

The instructional materials reviewed for EdGems Math Grade 7 meet expectations for not assessing topics before the grade level in which the topic should be introduced. There are above grade-level assessment items that could be modified or omitted without impact on the underlying structure of the instructional materials.

Indicator 1a

The instructional materials reviewed for EdGems Math Grade 7 meet expectations for assessing grade-level content.

Each unit includes Form A and Form B Assessments as well as Tiered Assessments Form AT and Form BT, all of which include selected response and constructed response sections. Performance Tasks are also included with each unit. In addition, Gem Challenges are online, standards-based items for use after a standard has been addressed and are located after certain lessons.

Examples of grade-level assessments include:

  • Unit 2, Proportional Relationships, Form A, Part II, Problem 1: “Write two different ratios that would form a proportion with the ratio of 8/6.” (7.RP.1)
  • Unit 5, Products & Quotients of Rational Numbers, Form A, Part I, Problem 5: “What is the value of the expression below? 6(−1+5)−30 a. -66, b. -54, c. -6, d. 6” (7.NS.2a)
  • Unit 6, Algebraic Expressions, Form A, Part II, Problem 16: “Explain two different ways to simplify 3(1.2x − 6+2.1 x ). Show that both ways lead to the same simplified expression.” (7.EE.1)
  • Lesson 10.1, Probability, Online Gem Challenge 1, Problem 3: “Students in a math class will be randomly assigned a polygon for a class project. The only types of polygons being assigned are quadrilaterals, pentagons, hexagons, octagons and decagons. If there is an equal number of each type of polygon, what is the probability that the first polygon assigned will be a hexagon?” (7.SP.7)

There are above grade-level assessment items that could be modified or omitted without impact on the underlying structure of the instructional materials. These items include:

  • Unit 9, Part I, Problem 9: “The area of the base of a trapezoidal pyramid is $34ft^2$. The pyramid is 12 feet tall. What is the volume of the pyramid?” (8.G.9)
  • Unit 9, Part 1, Problem 10: “The perimeter of the base of a square pyramid is 12 yards. The height of the pyramid is 13.5 yards. What is the volume of the pyramid?” (8.G.9)
  • Unit 8, Part I, Problem 2: “What is the approximate area of the shaded sector? Use 3.14 for pi.” (G-C.5) Students are using a circle with a sector shaded. The angle within the sector is labeled as 100* and the radius is labeled as 3 cm.
  • Unit 8, Part II, Form A, Problem 4: “Determine if the following pair of triangles must be the same shape or not. Explain your reasoning.” (8.G.4)

Criterion 1b

The instructional materials reviewed for EdGems Math Grade 7 meet expectations for devoting the large majority of class time to the major work of the grade. The instructional materials spend approximately 73% of class time on the major work of the grade.

Indicator 1b

The instructional materials reviewed for EdGems Math Grade 7 meet expectations for spending a majority of instructional time on major work of the grade.

  • The number of units devoted to major work of the grade (including assessments and supporting work connected to the major work) is 6.5 out of 10, which is 65%.
  • The number of lessons devoted to major work of the grade (including supporting work connected to the major work) is 27.5 out of 43, which is approximately 64%.
  • The approximate number of days devoted to major work (including assessments and supporting work connected to the major work) is 102 out of 140, which is 73%.

A day-level analysis is most representative of the instructional materials because this perspective includes all connections to major work and follows the recommended pacing suggestions for addressing major work. As a result, approximately 73% of the instructional materials focus on major work of the grade.

Criterion 1c - 1f

The instructional materials reviewed for EdGems Math Grade 7 meet expectations for being coherent and consistent with the Standards. The instructional materials have supporting work that enhances focus and coherence simultaneously, are consistent with the progressions in the standards, and foster coherence through connections within the grade.

Indicator 1c

The instructional materials reviewed for EdGems Math Grade 7 meet expectations that supporting work enhances focus and coherence simultaneously by engaging students in the major work of the grade. Supporting standards and clusters are connected to major standards and clusters of the grade, and lessons address supporting standards while maintaining focus on the major work of the grade. Examples of supporting work being used to support the focus and coherence of the major work of the grade include:

  • Lesson 2.2 connects 7.G.6 and 7.RP.3 as students use facts about polygons to solve proportions. An example is, “Two squares have a scale of 1 : 8 1/2 . The perimeter of the larger square is 170 units. What is the side length of the smaller square?”
  • Lesson 8.4 connects 7.EE.3 and 7.G.6 as students write and solve equations to determine area and missing side lengths of polygons. An example is, “The length of a rectangle is 2.5 cm. The area is $20 cm^2$. What is the width of the rectangle?”
  • Lesson 10.2 connects 7.RP.2c and 7.SP.7 as students use proportions to predict outcomes using probability. For example, Example 2 states, “Last week in practice, Lou had 12 hits in 40 at-bats. Use experimental probability to predict how many hits he will have next week if he gets 30 at-bats.” The worked-out example describes how to set up a proportion to solve.
  • Lesson 10.3 connects 7.SP.8 and 7.NS.2 as students find the probability of events by multiplying rational numbers. An example is, “A shirt comes in three colors (blue, red and black) and can be either long-sleeved or short-sleeved. If you choose one shirt from a pile, what is the probability that it is a short-sleeved blue shirt?”

Indicator 1d

The instructional materials for EdGems Math Grade 7 partially meet expectations that the amount of content designated for one grade level is viable for one year.

As designed, the instructional materials can be completed in 110-144 days. If teachers followed the pacing guide, and used the minimal amount of days allocated, the materials would not be viable for a full school year. If teachers followed the pacing guide, and used the maximum amount of days allocated, the materials would be viable for a full school year. Considering the variability of instructional days, these materials partially meet expectations that the amount of content designated for one grade level is viable for one year.

The materials include ten units, containing 43 lessons. Lessons range in length from one to four days. Each unit includes lessons, assessments, and targeted interventions.

  • The Pacing Guide designates one lesson as 1-2 days, 22 lessons as 2-3 days, one lesson as 3-4 days, and 19 lessons as 2 days, leading to a total of 86-110 lesson days.
    • 1 lesson = 1 to 2 days
    • 22 lessons = 44 to 66 days
    • 1 lesson = 3 to 4 days
    • 19 lessons = 38 days

    Additionally, there is a discrepancy within the Grade 7 materials. Based on each unit overview page there is a range of 114-151 instructional days, with 86-110 days for lessons and 28-41 days for assessment. Based on the Scope and Sequence document, there is a range of 113-146 instructional days, with 86-110 days for lessons and 27-36 days for assessment. In addition, on the top of some of the Scope and Sequence documents within the units of Grade 7, it gives a range of 110-144 days, such as in Units 1 and 2, but Unit 10 gives a range of 121-160 days.

    Indicator 1e

    The instructional materials for EdGems Math Grade 7 meet expectations for being consistent with the progressions in the Standards. In general, the instructional materials clearly identify content from prior and future grade-levels and use it to support the progressions of the grade-level standards. In addition, the instructional materials give all students extensive work with grade-level problems.

    Each Unit Overview describes how the work of the unit is connected to previous grade level work, for example:

    • The introductory paragraph of the Unit 7 Overview, Solving Equations and Inequalities, states, “In Grade 6 CCSS, students solved one-step equations. In this unit, students will apply their understanding of balancing an equation to solving two-step equations. They will also use their skills of simplifying expressions to solve equations that include like terms or the Distributive Property. Students have previously used the inequality symbols to compare numbers and graph solutions to an inequality. Students will also combine that knowledge with the equation-solving process to solve inequalities and graph their solutions on a number line.”

    Each Unit Overview includes Learning Progression, and each Learning Progression includes statements identifying what students have learned in earlier grades and what students will learn in future grades, for example:

    Unit 6: Algebraic Expressions, In earlier grades, students have…

    • Evaluated expressions in which letters stand for numbers. (6.EE.2)
    • Applied properties of operations to generate equivalent expressions. (6.EE.3-4)
    • Used variables to represent numbers and write expressions for real-world problems. (6.EE.6)

    In future grades, students will…

    • Solve multi-step equations that require simplifying before solving. (8.EE.7)
    • Add, subtract and multiply polynomials. (A-APR)
    • Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context. (A-SSE.1)

    In some units, the Unit Overview references connections to current grade level work that was addressed in prior units. Examples include:

    • Lesson 2.2, Problem Solving With Proportions, the Teaching Tips Section includes, “In this lesson, students utilize their knowledge of scale factors and scales from Lesson 1.4 and apply these scales using proportions.”
    • Lesson 5.3, Dividing Rational Numbers, “Students divided fractions when working with complex fractions in Unit 1. Make connections to that work to remind students about the process of dividing fractions by multiplying by the reciprocal.”

    The instructional materials present opportunities for students to engage with work with grade-level problems within each Student Lesson, Explore activity, Student Gem (online activities to provide practice with the content), Online Practice & Gem Challenge (only in some lessons), Exit Card, and Performance Task. فمثلا:

    • In Lesson 5.4, students solve problems by identifying where to put parentheses in numerical expressions (7.NS.3). For example, “Insert one set of parentheses to make the equation true: Problem 31. 5 + 3 + 9 ÷ 3 = 9.”

    The materials include one example of off grade-level content that is not identified that distracts students from engaging with the grade-level standards:

    • In Lesson 8.6, students find the area of sectors of circles (G-C.5). Example 5 presents a diagram of a circle with a 115 degree shaded sector and states, “Find the area of the shaded sector in circle M. Round to the nearest hundredth.”

    Each unit includes a Parent Guide with Connecting Math Concepts, which includes, “Past math topics your child has learned that will be activated in this unit and Future math this unit prepares your child for.” For example, in Unit 6, Algebraic Expressions, “Past math topics your child has learned that will be activated in this unit evaluating expressions in which letters stand for numbers, applying properties of operations to generate equivalent expressions, and using variables to represent numbers and write expressions for real-world problems.” “Future math this unit prepares your child for solving multi-step equations that require simplifying before solving, adding, subtracting and multiplying polynomials, and interpreting expressions that represent a quantity in terms of its context.”

    Each Lesson Guide includes Teaching Tips, which often include connections from prior or future grades, for example:

    • Lesson 2.4, Proportional Relationships Equations, “In later grades (starting in Grade 8), students begin calling the constant of proportionality the slope of the line. You may want to connect to the concept of slope in this lesson as students are solidifying the idea that the constant of proportionality is the rate at which the function is increasing or decreasing. The larger the absolute value of the constant of proportionality, the steeper the line.”

    In each Lesson Guide, Warm Up includes problems noted with prior grade-level standards. فمثلا:


    شاهد الفيديو: الصف العاشر الرياضيات المعادلات الأسية 3 (شهر نوفمبر 2021).