مقالات

1.4: خصائص الأعداد الصحيحة - الرياضيات


1.4: خصائص الأعداد الصحيحة - الرياضيات

خصائص الأعداد الصحيحة من الصنف 6 ملاحظات | EduRev

تتضمن الأعداد الصحيحة الأعداد الطبيعية (التي تبدأ من 1 فصاعدًا) ، جنبًا إلى جنب مع 0. الأعداد الصحيحة هي جزء من الأعداد الحقيقية بما في ذلك جميع الأعداد الصحيحة الموجبة والصفر ، ولكن ليس الكسور أو الكسور العشرية أو الأرقام السالبة. تعتبر أرقام العد أيضًا أعدادًا صحيحة. في هذا الدرس ، سوف نتعلم الأعداد الصحيحة والمفاهيم ذات الصلة. في الرياضيات ، يتكون نظام الأرقام من جميع أنواع الأرقام ، بما في ذلك الأعداد الطبيعية والأرقام الصحيحة والأعداد الأولية والأرقام المركبة والأعداد الصحيحة والأرقام الحقيقية والأرقام التخيلية وما إلى ذلك ، والتي تُستخدم جميعها لإجراء عمليات حسابية مختلفة.

السلف والخلف

  • خليفة أي رقم هو الرقم التالي له ، والذي يتم الحصول عليه عن طريق إضافة 1.
  • سلف أي رقم هو الرقم السابق له ، والذي يتم الحصول عليه بطرح 1.
  • على سبيل المثال ، سلف وخلف الرقم 12 هو 12-1 و 12 + 1 وهو 11 و 13

نرى أرقامًا في كل مكان حول العالم ، لعد الأشياء ، لتمثيل الأموال أو تبادلها ، لقياس درجة الحرارة ، وإخبار الوقت ، وما إلى ذلك. لا يوجد شيء تقريبًا لا يتضمن الأرقام ، سواء كانت نتائج مطابقة ، للاعبين الذين لا يسجلون أي شوط ، نقول 0 أشواط ، سواء كانت وصفات طبخ ، أو عد على أشياء ، إلخ. الأعداد الصحيحة هي مجموعة من الأرقام المكونة ، بما في ذلك جميع الأعداد الصحيحة الموجبة و 0.

ما هي الأعداد الصحيحة؟

تشير الأعداد الطبيعية إلى مجموعة من الأعداد الصحيحة الموجبة ، ومن ناحية أخرى ، فإن الأعداد الطبيعية مع الصفر (0) تشكل مجموعة ، يشار إليها باسم الأعداد الصحيحة. ومع ذلك ، فإن الصفر هو هوية غير محددة تمثل مجموعة فارغة أو لا تمثل نتيجة على الإطلاق.
الأعداد الصحيحة هي مجموعة من الأعداد بدون كسور أو كسور عشرية أو حتى أعداد صحيحة سالبة. وهي عبارة عن مجموعة من الأعداد الصحيحة الموجبة والصفر. الفرق الأساسي بين الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة هو صفر.

تعريف العدد الصحيح

الأعداد الصحيحة هي مجموعة الأعداد الطبيعية جنبًا إلى جنب مع الرقم 0. مجموعة الأعداد الصحيحة في الرياضيات هي المجموعة <0 ، 1 ، 2 ، 3. > هذه المجموعة من الأعداد الصحيحة يُرمز لها بالرمز W.
W = <0،1،2،3،4…>
فيما يلي بعض الحقائق عن الأعداد الصحيحة ، والتي ستساعدك على فهمها بشكل أفضل:

  • كل الأعداد الطبيعية هي أعداد صحيحة.
  • جميع أرقام العد هي أعداد صحيحة.
  • جميع الأعداد الصحيحة الموجبة بما في ذلك الصفر هي أعداد صحيحة.
  • جميع الأعداد الصحيحة هي أعداد حقيقية.

رمز العدد الصحيح

رمز تمثيل الأعداد الصحيحة هو الأبجدية "W" بالأحرف الكبيرة ، مثل W = 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، ...

أصغر عدد صحيح

تبدأ الأعداد الصحيحة من 0 (من تعريف الأعداد الصحيحة). وبالتالي ، 0 هو أصغر عدد صحيح. تم تعريف مفهوم الصفر لأول مرة من قبل عالم الفلك الهندوسي وعالم الرياضيات Brahmagupta في 628. بلغة بسيطة ، الصفر هو رقم يقع بين الأرقام الموجبة والسالبة على خط الأعداد. على هذا النحو ، لا يحمل الصفر أي قيمة ، على الرغم من استخدامه كعنصر نائب. إذن ، الصفر ليس عددًا موجبًا ولا عددًا سالبًا ، لكنه رقم زوجي.

الأعداد الصحيحة مقابل الأعداد الطبيعية

من التعريفات المذكورة أعلاه ، يمكننا أن نفهم أن كل عدد صحيح بخلاف 0 هو عدد طبيعي. أيضا ، كل رقم طبيعي هو عدد صحيح. لذا ، فإن مجموعة الأعداد الطبيعية هي جزء من مجموعة الأعداد الصحيحة أو مجموعة فرعية من الأعداد الصحيحة.

مجموعة من الأعداد الصحيحة

الفرق بين الأعداد الصحيحة والأرقام الطبيعية

دعونا نفهم الفرق بين الأعداد الصحيحة والأعداد الطبيعية من خلال الجدول الموضح أدناه:


خط الأعداد

يمكن عرض مجموعة الأعداد الطبيعية ومجموعة الأعداد الصحيحة على خط الأعداد كما هو موضح أدناه. تمثل جميع الأعداد الصحيحة الموجبة أو الأعداد الصحيحة الموجودة على الجانب الأيمن من 0 الأعداد الطبيعية ، بينما تمثل جميع الأعداد الصحيحة الموجبة والصفر معًا الأعداد الصحيحة. يمكن تمثيل مجموعتي الأرقام على خط الأعداد على النحو التالي:

خواص الأعداد الصحيحة

العمليات على الأعداد الصحيحة: الجمع والطرح والضرب والقسمة تؤدي إلى أربع خصائص رئيسية للأعداد الصحيحة المدرجة أدناه:

  1. خاصية الإغلاق
  2. ملكية مشتركة
  3. خاصية التبديل
  4. خاصية التوزيع

خاصية الإغلاق

دائمًا ما يكون مجموع وحاصل ضرب عددين صحيحين عددًا صحيحًا. تم تحديد خاصية إغلاق W على النحو التالي: لكل a ، b∈W: a + b∈W و a × b∈W

القسمة على صفر
لم يتم تعريف قسمة عدد صحيح على o ، أي إذا كانت x عددًا صحيحًا ، فلن يتم تعريف x / 0.

الضرب في الصفر
عندما يتم ضرب عدد صحيح في 0 ، تكون النتيجة دائمًا 0 ، أي x.0 = 0.x = 0.

ملكية مشتركة

مجموع أو ناتج أي ثلاثة أعداد صحيحة يظل كما هو على الرغم من تغيير تجميع الأرقام. يتم ذكر الخاصية الترابطية لـ W على النحو التالي: لجميع a ، b ، c∈W: a +=+ ج وأ ×=× ج. على سبيل المثال ، 10 + (7 + 12) = (10 + 7) + 12 = (10 + 12) + 7 = 29.

خاصية التبديل

يظل مجموع وحاصل ضرب عددين طبيعيين كما هو حتى بعد تبديل ترتيب الأرقام. يتم تحديد الخاصية التبادلية لـ W على النحو التالي: لكل a ، b∈W: a + b = b + a و a × b = b × a. تنص هذه الخاصية على أن التغيير في ترتيب الإضافة لا يغير قيمة المجموع. لنفترض أن a و b رقمان صحيحان ، وتنص الخاصية التبادلية على أن أ + ب = ب + أ. على سبيل المثال ، أ = 10 و ب = 19 10 + 19 = 29 = 19 + 10. هذا يعني أن الأعداد الصحيحة مغلقة عند الجمع. تنطبق هذه الخاصية أيضًا على الضرب ، ولكن ليس للطرح أو القسمة. على سبيل المثال: 7 × 9 = 63 أو 9 × 7 = 63

خاصية التوزيع

تنص هذه الخاصية على أن ضرب عدد صحيح يتم توزيعه على مجموع الأعداد الصحيحة. هذا يعني أنه عندما يتم ضرب رقمين ، على سبيل المثال ، a و b في نفس الرقم c ثم يتم إضافتهما ، عندئذٍ يمكن ضرب مجموع a و b في c للحصول على نفس الإجابة. يمكن تمثيل هذا الموقف على النحو التالي: أ × (ب + ج) = (أ × ب) + (أ × ج). لنفترض أن أ = 10 ، ب = 20 ، ج = 7 10 × (20 + 7) = 270 و (10 × 20) + (10 × 7) = 200 + 70 = 270. وينطبق الشيء نفسه على الطرح أيضًا. على سبيل المثال لدينا × (ب - ج) = (أ × ب) - (أ × ج). لنفترض أن أ = 10 ، ب = 20 ، ج = 7 10 × (20-7) = 130 و (10 × 20) - (10 × 7) = 200 - 70 = 130. × (ب + ج) = أ × ب + أ × ج. الخاصية التوزيعية للضرب على الطرح هي أ × (ب ج) = أ × ب أ × ج.

الهوية (للجمع والضرب)

حيادي الجمع

عند إضافة رقم صحيح إلى 0 ، تظل قيمته دون تغيير ، أي إذا كانت x عددًا صحيحًا ، فإن x + 0 = 0 + x = x

الهوية المضاعفة

عندما يتم ضرب عدد صحيح في 1 ، تظل قيمته دون تغيير ، أي إذا كانت x عددًا صحيحًا ، فإن x.1 = x = 1.x

تُستخدم الأنماط لسهولة الحسابات اللفظية وفهم الأرقام بشكل أفضل.

يمكننا ترتيب الأرقام باستخدام النقاط في الأشكال الأولية مثل المثلث والمربع والمستطيل والخط.


1.4: خصائص الأعداد الصحيحة - الرياضيات

خصائص وقوانين الأعداد الصحيحة

التبسيط باستخدام خاصية الجمع 0.

التبسيط باستخدام خاصية الضرب 1.

· تحديد واستخدام قانون الاستبدال الإضافي.

· تحديد واستخدام قانون الاستبدال في الضرب.

· تحديد واستخدام قانون جمعيات الجمع.

· تحديد واستخدام قانون الجمع في الضرب.

غالبًا ما تتضمن الرياضيات تبسيط التعبيرات العددية. عند القيام بذلك ، يمكنك استخدام القوانين والخصائص التي تنطبق على عمليات معينة. تنص خاصية الضرب لـ 1 على أن أي رقم مضروب في 1 يساوي نفس الرقم ، وخاصية الإضافة صفر تنص على أن أي رقم مضاف إلى الصفر هو نفس الرقم.

هناك قانونان مهمان هما القوانين التبادلية ، والتي تنص على أن الترتيب الذي تضيف به عددين أو تضرب رقمين لا يؤثر على الإجابة. يمكنك تذكر هذا لأنه إذا كنت يسافر يوميا الى العمل للذهاب إلى العمل ، تقطع نفس المسافة بالسيارة إلى العمل والقيادة إلى المنزل كما تفعل أثناء القيادة إلى المنزل والقيادة إلى العمل. يمكنك تحريك الأرقام بالإضافة إلى تعبيرات الضرب لأن الترتيب في هذه التعبيرات لا يهم.

ستتعلم أيضًا كيفية تبسيط تعابير الجمع والضرب باستخدام قوانين الترابط. كما هو الحال مع القوانين التبادلية ، هناك قوانين تجميعية للجمع والضرب. تمامًا مثل الأشخاص الذين قد يتعاملون مع أشخاص في مجموعات مختلفة ، قد يكون هناك عدد مساعد بأرقام أخرى في مجموعة أو بأخرى. تسمح لك قوانين الترابط بوضع الأرقام في مجموعات مختلفة باستخدام الأقواس.

الجمع والضرب خصائص 0 و 1

ال إضافة خاصية 0 ينص على أنه بالنسبة لأي رقم يتم إضافته إلى 0 ، فإن المجموع يساوي هذا الرقم. تذكر أنك لا تحصل على صفر كإجابة - فهذا يحدث فقط عند الضرب. إجابتك هي ببساطة نفس رقمك الأصلي.


الخصائص البارزة لأرقام محددة & # 8195 & # 8195

هذه بعض الأرقام ذات الخصائص البارزة. (تم سرد معظم الخصائص الأقل شهرة هنا.) قام أشخاص آخرون بتجميع قوائم مماثلة ، ولكن هذه القائمة الخاصة بي & # 8212 تتضمن الأرقام التي أعتقد أنها مهمة (-:

بعض القواعد التي استخدمتها في هذه القائمة:

يمكن فهم كل شيء من قبل طالب جامعي نموذجي.

إذا كانت هناك عدة أرقام لها خاصية مشتركة ، فسيتم وصف هذه الخاصية تحت رقم "تمثيلي" واحد مع تلك الخاصية. أحاول اختيار أصغر ممثل لم يتم الاستشهاد به أيضًا لخاصية أخرى.

عندما يحتوي رقم معين على أكثر من نوع واحد من الخصائص ، يتم سرد الخصائص بهذا الترتيب:

1. خصائص رياضية بحتة لا علاقة لها باستخدام الأساس 10 (مثال: 137 عدد أولي.)

2. الخصائص الرياضية الخاصة بـ Base-10 (على سبيل المثال: 137 عبارة عن رقم أولي ، قم بإزالة "1": 37 هو أيضًا أساسي ، وإزالة "3": 7 هو أيضًا أولي)

3. الأشياء المتعلقة بالعالم المادي ولكن خارج الثقافة البشرية (على سبيل المثال: 137 قريب من مقلوب ثابت البنية الدقيقة ، الذي كان يُعتقد أنه دقيق ولكن وجد لاحقًا أنه أقرب إلى 137.036.)

4. جميع الخصائص الأخرى (مثال: 137 غالبًا ما أعطيت أهمية صوفية إلى حد ما نظرًا لقربها من ثابت البنية الدقيقة ، وأشهرها إدينجتون)

بسبب التحيز الشخصي الصارخ ، أعطي إدخالًا واحدًا فقط لكل من الأرقام المعقدة والخيالية والسالبة والصفر ، مع تخصيص الباقي (27 صفحة) لأرقام حقيقية موجبة. لدي أيضًا القليل من التحيز في عدد صحيح ولكن هذا لم يكن له مثل هذا التأثير الشديد. يوجد هنا المزيد حول الأعداد المركبة والمربعات وما إلى ذلك.

تهدف هذه الصفحة إلى مواجهة قوى قوانين مونافو للرياضيات. إذا كنت ترى مجالًا للتحسين ، فأخبرني بذلك!

أحد الجذور التربيعية لـ i.

عندما كان عمري حوالي 12 عامًا ، قدم لي أخي سؤالاً لتمضية الوقت: إذا كنت الجذر التربيعي لـ -1 ، فما هو الجذر التربيعي لـ i؟ . لقد رأيت بالفعل رسمًا للمستوى المعقد ، لذلك استخدمته للبحث عن أنماط مفيدة ولاحظت بسرعة أن قوى i تدور في دائرة. لقد قدرت الجذر التربيعي لـ i بحوالي 0.7 + 0.7 i.

لا أتذكر لماذا لم أحصل على الإجابة الدقيقة: إما أنني لم أكن أعرف علم المثلثات أو نظرية فيثاغورس ، أو كيف أحل المعادلات متعددة المتغيرات ، أو ربما كنت قد سئمت من حل الرياضيات (كنت قد أصبت بوضوح بصيغة أويلر وهناك فرصة جيدة أن التفكير في قوى 1+ كنت سأقودني طوال الطريق من خلال اللوغاريتمات الأساسية وصيغة De Moivre إلى الدالة الأسية المعقدة).

لكنك لست بحاجة إلى ذلك لإيجاد الجذر التربيعي لـ i. كل ما عليك فعله هو معاملتي كنوع من القيمة غير المعروفة مع الخاصية الخاصة التي يمكن تغيير أي i 2 إلى -1. تحتاج أيضًا إلى فكرة حل المعادلات بالمعاملات والمتغيرات ، والجذر التربيعي لـ i هو شيء على شكل "a + b i". ثم يمكنك إيجاد الجذر التربيعي لـ i عن طريق حل المعادلة:

قم بتوسيع (a + b i) 2 بالطريقة العادية للحصول على 2 + 2ab i + b 2 i 2 ، ثم قم بتغيير i 2 إلى -1:

ثم فقط ضع الأجزاء الحقيقية معًا:

نظرًا لأن الإحداثي الحقيقي للجانب الأيسر يجب أن يكون مساويًا للإحداثيات الحقيقية للجانب الأيمن ، وبالمثل بالنسبة للإحداثيات التخيلية ، فلدينا معادلتان متزامنتان في متغيرين:

من المعادلة الأولى a 2 -b 2 = 0 ، نحصل على a = b بالتعويض عن ذلك في المعادلة الأخرى نحصل على 2a 2 = 1 ، و a = & # 1771 / & # 8730 2 وهذه أيضًا قيمة b. وبالتالي ، فإن الجذر التربيعي الأصلي المطلوب لـ i هو a + b i = (1+ i) / & # 8730 2 (أو سالب هذا).

(هذا هو الرقم المركب الوحيد الذي يحتوي على الإدخال الخاص به في هذه المجموعة ، ويرجع ذلك أساسًا إلى أنه الرقم الوحيد الذي كنت مهتمًا به كثيرًا في الاطلاع على ملاحظة "التحيز الشخصي الصارخ" أعلاه :-).

وحدة الأعداد التخيلية وأحد الجذور التربيعية للعدد -1.

(هذا هو الرقم التخيلي الوحيد الذي يحتوي على مُدخلة خاصة به في هذه المجموعة ، ويرجع ذلك أساسًا إلى أنه يتفوق على البقية في القدرة على التمييز. بالإضافة إلى ذلك ، لا يبدو أن الأرقام غير الحقيقية تثير اهتمامي كثيرًا.)

-1 هو الرقم السالب "الأول" ، ما لم تحدد "الأول" ليكون "الأدنى".

في تمثيل "مكمل الثنائي" المستخدم في أجهزة الكمبيوتر لتخزين الأعداد الصحيحة (ضمن نطاق ثابت) ، يتم تخزين الأرقام في الأساس 2 (ثنائي) بأرقام أساس 2 منفصلة في "بتات" مختلفة من السجل. الأرقام السالبة لها 1 في أعلى موضع في السجل. يتم تمثيل قيمة -1 بـ 1 في جميع المواضع ، وهو نفس ما ستحصل عليه إذا كتبت برنامجًا للحساب

واتركها طويلة بما يكفي لتفيض.

كما اتضح ، يمكن التعامل مع مجموع السلسلة هذا كمثال على مجموع السلسلة العام

كما تمت مناقشته في إدخال 1/2 ، فإن المجموع يساوي 1 / (1- x) ، ولكن هذا صالح فقط عندما | x | س = 2 واستخدم الصيغة على أي حال ، نحصل على 1 / (1- س) = 1 / (1-2) = -1 ، وهو نفس التفسير التكميلي للاثنين.

(ليس لدي العديد من الإدخالات للأرقام السالبة ، لأنها لا تهمني كثيرًا. ربما ما زلت أتعلق بالأرقام من حيث عد أشياء مثل "الخروف الـ27 على هذا التل" أو "التباديل 40320 لأجراس برج لوبورو" .)

المجموع (في) الشهير للأعداد الصحيحة الموجبة:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + . = 1 /12

في القرن التاسع عشر ، تم تطوير تقنيات جديدة (سيزارو ، أبيل) لترويض بعض المبالغ المتسلسلة اللانهائية التي لا تتقارب بشكل طبيعي. يتم عرض الأمثلة في إدخالات 1/4 و 1/2. لكن هذه التقنيات وحدها لا تكفي للتعامل مع مجموع السلسلة اللانهائي:

ج = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +.

يتباعد هذا المجموع بشكل رتيب (يزداد نحو اللانهاية ، دون اتخاذ خطوة في الاتجاه السلبي) ولن ينجح سيزارو / أبيل.

كان على أويلر أن يتعامل معها عند إجراء متابعة تحليلية لما يسمى الآن وظيفة ريمان زيتا:

زيتا = 1 - ث + 2 - ث + 3 - ث + 4 - ث +.

كان لدى أويلر s = -1 ، مما يعطي Zeta (s) = 1 + 2 + 3 + 4 +. كان نهج أويلر هو التعبير عنها كمزيج خطي من نفسه مع سلسلة سيزارو أو أبيل سومابل الحالية ، أي 1-2 + 3-4 +. = 1/4 سلسلة ، ولكن بطريقة أويلر الأسهل بكثير:

ج = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +.
= 1 + (4-2) + 3 + (8-4) + 5 + (12-6) + 7 + .
= 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 + . + 4 (1 + 2 + 3 + . )

يعطي كل من طريقة سيزارو / أبيل وأويلر مجموع 1 / (1 + 1) 2 = 1 /4 بالنسبة للجزء الأول لدينا

قيمة دالة Riemann Zeta ذات الوسيطة -1 هي -1/12. كما وصفه جون بايز 100:

يلعب الرقمان 12 و 24 دورًا رئيسيًا في الرياضيات بفضل سلسلة من "الصدف" التي بدأت للتو في الفهم. كانت إحدى الإشارات الأولى لهذه الحقيقة هي "إثبات" أويلر الغريب على ذلك

التي حصل عليها قبل إعلان هابيل أن "السلسلة المتباينة هي اختراع الشيطان". يمكن الآن فهم صيغة أويلر بدقة من منظور دالة زيتا ريمان ، وهي تفسر في الفيزياء سبب عمل الأوتار البوزونية بشكل أفضل في أبعاد 26 = 24 + 2.

يشير بايز ، في نهاية محاضرته "24" ، إلى أن أهمية 24 مرتبطة بحقيقة أن هناك طريقتين لبناء شبكة على المستوى مع تناظر دوراني: الأولى مع التناظر الدوراني 4 أضعاف والأخرى مع 6 - تماثل دوراني أضعاف & # 8212 و 4 & مرات 6 = 24. العلاقة بين زيتا (-1) = - 1/12 وتماثل المستوى أكثر منطقية في ضوء كيفية حساب دالة زيتا للحجج المعقدة العامة. أيضًا ، المضاعف المشترك الأصغر للعددين 4 و 6 هو 12.

راجع أيضًا قيم زيتا 1.202056. و 1.644934. .

أوضح سرينيفاسا رامانوجان أيضًا 1 + 2 + 3 + 4 +. = -1 /12، ولكن بطريقة أكثر عمومية من أويلر. استخدم استمرارًا تحليليًا جديدًا لوظيفة ريمان زيتا.

في رسالة رامانوجان عام 1913 إلى ج. سجل هاردي ، العبقري الهندي في الرياضيات الذي لم يكتشف بعد ، العديد من اكتشافاته ومشتقاته. وذكر في القسم الحادي عشر:

لقد حصلت على نظريات حول سلسلة متباعدة ، نظريات لحساب القيم المتقاربة المقابلة للسلسلة المتباعدة ، بمعنى.

1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + . = 1 /120,

نظريات لحساب هذه القيم لأي سلسلة معينة (على سبيل المثال: 1 - 1 2 + 2 2 - 3 2 + 4 2-5 2 +.) ، ومعنى هذه القيم.

في التدوين الحديث ، نلحق () بنهاية مثل هذا المبلغ المتسلسل ، للدلالة على مجموع رامانوجان:

يحدد مجموع Ramanujan دالة f (x) التي تمثل قيم العدد الصحيح x المصطلحات الموجودة في السلسلة التي يتم جمعها. ثم

1 + 2 + 3 + 4 +. ن (ℜ)
= سيجما ك = 1 ن و (ك)
= متكامل س = 0 ن و (س) + سيجما ك = 1 & # 8734 بك / ك ! (و (ك -1) (ن) - و (ك -1) (0)) + R.

حيث "f (k -1)" هو المشتق (k -1) th من f (). اعتبر هاردي ورامانجوان مجرد أجزاء من هذا لا تعتمد على n:

بالنسبة للسلسلة المتقاربة ، تقترب f (x) من الحد عندما يقترب x من اللانهاية ، وهذا سيعطي قيمة تساوي مجموع المتسلسلة اللانهائية. في حالتنا تتباعد f (x) ، ويكون مجموع السلسلة لانهائيًا ، لكن مبلغ هاردي رامانوجان هذا ليس كذلك. f (0) تساوي 0 ، والمشتق الأول ثابت f '(x) = 1 ، وجميع المشتقات الأعلى تساوي صفرًا ، لذا فهي تختزل إلى

ب 2 هو رقم برنولي الثاني وهو 1/6 ، لذلك نحصل على -1/12.

كلمة "صفر" هي الاسم الوحيد باللغة الإنجليزية الذي يمكن إرجاعه إلى اللغة العربية (صِفر ʂifr "لا شيء" ، "cipher" التي أصبحت zefiro باللغة الإيطالية ، تم التعاقد عليها لاحقًا عن طريق إزالة fi). جاءت الكلمة مع الرمز ، في نفس الوقت تقريبًا جاءت الأرقام العربية الغربية إلى أوروبا. 44 ، 105

تعود ممارسة استخدام رمز للاحتفاظ بمكان رقم آخر عندما لا توجد قيمة في ذلك المكان (مثل 0 في 107 يشير إلى عدم وجود 10) إلى الهند في القرن الخامس ، حيث كان يطلق عليه shunya أو nyatā 107.

(هذا هو الرقم صفر الوحيد الذي يحتوي على الإدخال الخاص به في هذه المجموعة ، ويرجع ذلك أساسًا إلى أن الحقل يمكن أن يحتوي على هوية مضافة واحدة فقط.)

هذا هو وقت بلانك بالثواني فهو مرتبط بميكانيكا الكم.وفقًا لمقال ويكيبيديا بلانك تايم ، "في إطار قوانين الفيزياء كما نفهمها اليوم ، لأوقات أقل من وقت بلانك ، لا يمكننا قياس أو اكتشاف أي تغيير". يمكن للمرء أن يفكر في الأمر على أنه "أقصر فترة زمنية قابلة للقياس" ، ولأي غرض في العالم الحقيقي (إذا كان المرء يؤمن بميكانيكا الكم) ، فإن أي حدثين يفصل بينهما أقل من هذا المقدار من الوقت يمكن اعتبارهما متزامنين.

يستغرق الضوء (يسافر بسرعة الضوء) هذه المدة الطويلة للسفر بوحدة طول بلانك ، والتي هي نفسها أصغر بكثير من البروتون أو الإلكترون أو أي جسيم معروف حجمه.

هذا هو طول بلانك بالأمتار ويرتبط بميكانيكا الكم. أفضل تفسير لمعظم الناس هو أن طول بلانك هو أصغر طول يمكن قياسه ، أو أصغر طول له أي صلة بالأحداث التي يمكننا مراقبتها. يستخدم هذا قيمة CODATA 2014 50. راجع أيضًا 5.390 & times10-44 و 299792458.

ثابت بلانك "المختزل" في جول-ثانية ، من كوداتا 2014 قيمته 50.

هذا هو ثابت بلانك في جول-ثانية ، من كوداتا 2014 قيم 50. هذا يعطي النسبة بين طاقة الفوتون وطوله الموجي.

اعتبارًا من 1 مايو 2019 ، تم تعريف ثابت بلانك (بالثواني الجول) على أنه هذه القيمة بالضبط ، من أجل تحديد الكيلوجرام من حيث خصائص الطبيعة التي يمكن ملاحظتها. التعريف يقرأ:

الكيلوجرام ، الرمز كجم ، هو وحدة الكتلة في النظام الدولي للوحدات. يتم تعريفه من خلال أخذ القيمة العددية الثابتة لثابت بلانك h لتكون 6.62607015 × 10 -34 عند التعبير عنها بالوحدة J s ، والتي تساوي kg · m 2 · s -1 ، حيث يتم تعريف المتر والثاني من حيث ج و # 948 & # 957سي اس.

حيث c هي سرعة الضوء حسب التعريف الحالي (منذ 1967) (انظر 299792458) و & # 948 & # 957سي اس هو تردد الانتقال عالي الدقة غير المضطرب للحالة الأرضية للسيزيوم -133 (انظر 9192631770).

كتلة الإلكترون بالكيلوغرام ، من CODATA 2014 قيم 50. انظر أيضا 206.786.

كتلة البروتون بالكيلوغرام ، من CODATA 2014 قيم 50.

كتلة النيوترون بالكيلوغرام ، من CODATA 2014 قيم 50.

الوقت التقريبي (بالثواني) الذي يستغرقه الضوء لاجتياز عرض البروتون.

قيمة ثابت بولتزمان حسب التعريف القديم (قبل 2019) ، كما هو وارد في CODATA 2014 50. استندت هذه القيمة إلى الملاحظات التجريبية وأيضًا على تعريف كلفن ، والذي تم تحديده عن طريق قياس درجة حرارة النقطة الثلاثية للماء وتحديد كلفن بحيث تصل درجة حرارة النقطة الثلاثية إلى 273.16 كلفن للتيار (2019) وما بعده) انظر التعريف 1.380649 & times10 -23.

ثابت بولتزمان (بالجول لكل درجة كلفن) من خلال إعادة تعريف 2019 ، والتي تنص على:

كلفن ، الرمز K ، هو وحدة SI لدرجة الحرارة الديناميكية الحرارية. يتم تعريفها بأخذ القيمة العددية الثابتة لثابت بولتزمان k لتكون 1.380649 & مرات 10 -23 عند التعبير عنها بالوحدة JK -1 ، والتي تساوي كجم م 2 ث -2 ك -1 ، حيث الكيلوجرام والمتر والثانية يتم تعريفها من حيث h و c و & # 948 & # 957سي اس.

حيث h هو ثابت بلانك بالتعريف الجديد (انظر 6.62607015 & times10 -34) ، c هي سرعة الضوء بالتعريف الحالي (منذ 1967) (انظر 299792458) و & # 948 & # 957سي اس هو تردد الانتقال عالي الدقة غير المضطرب للحالة الأرضية للسيزيوم -133 (انظر 9192631770).

كمية الشحنة الكهربائية في كولوم (ثلث شحنة الإلكترون) ، بناءً على قيم CODATA 2014 50. تحتوي البروتونات والإلكترونات والكواركات على شحنات عدد صحيح (موجب أو سالب) مضاعف لهذه القيمة.

الشحنة الأولية أو "شحنة الوحدة" ، شحنة الإلكترون في كولوم ، من CODATA 2014 بقيمة 50. لم يعد هذا يعتبر أصغر كمية شحنة ، والآن بعد أن أصبح من المعروف أن المادة تتكون إلى حد كبير من الكواركات التي لها شحنات مضاعفات للكم والتي تساوي بالضبط ثلث هذه القيمة.

اعتبارًا من 1 مايو 2019 ، لم يتم قياس الشحنة الأولية من حيث الكولوم بدلاً من ذلك تم تعريفها على أنها 1.602176634 بالضبط و 10 -19 كولوم ، بمعنى آخر ، الكولوم محدد الآن من حيث الشحنة الأولية.

القيمة المتبادلة للكولوم بوحدات الشحنة الأولية ، حسب التعريف الجديد (2019).

في عام 2019 ، تم تحديث النظام الدولي للوحدات (SI) لتحديد وحداته الأساسية السبعة بطريقة تحدد جميع الوحدات السبع من حيث خصائص الطبيعة التي يمكن ملاحظتها ، والتي تُعطى قيمًا رقمية عشوائية من حيث الوحدات الأساسية:

الأمبير ، الرمز A ، هو وحدة SI للتيار الكهربائي. يتم تعريفه بأخذ القيمة العددية الثابتة للشحنة الأولية e لتكون 1.602176634 & مرات 10 -19 عند التعبير عنها بالوحدة C ، والتي تساوي A s ، حيث يتم تعريف الثانية من حيث & # 948 & # 957سي اس.

أين & # 948 & # 957سي اس هو تردد الانتقال عالي الدقة غير المضطرب للحالة الأرضية للسيزيوم -133 (انظر 9192631770).

"الحجم" التقريبي للبروتون 71 ، بالمتر (بناءً على "نصف قطر الشحنة" البالغ 0.875 فيمتومتر). "الحجم" مفهوم غامض جدًا للجسيمات ، وهناك حاجة إلى تعريفات مختلفة لمشاكل مختلفة. انظر 10 40.

ثابت سماحية الفراغ بالفاراد لكل متر ، باستخدام التعريفات القديمة (ما قبل 2019) لنفاذية الفراغ (انظر 4 & # 960/107) والتعريف (الحالي) لسرعة الضوء (انظر 299792458). في الأزمنة القديمة كان هذا يسمى "سماحية المساحة الحرة". بسبب مجموعة من التعريفات القياسية ، ولا سيما التعريف الدقيق لسرعة الضوء ، فإن هذا الثابت يساوي بالضبط 10 7 / (4 & # 960 299792458 2) = 625000/22468879468420441 & # 960 فاراد لكل متر.

في عام 2019 وما بعده ، تعتبر سماحية الفراغ شيئًا يجب حسابه بناءً على القياس. أكبر عدم يقين يساهم في قيمته هو قياس ثابت البنية الدقيقة.

ثابت الجاذبية بالمتر المكعب لكل كيلوغرام في الثانية تربيع ، من كوداتا 2014 قيم 50. هذا هو أحد أهم الثوابت الفيزيائية في الفيزياء ، ولا سيما علم الكونيات والجهود المبذولة لتوحيد النسبية مع ميكانيكا الكم. كما أنه من أصعب الثوابت في القياس. انظر أيضًا 1.32712442099 (10) & times1020.

كتلة بلانك بالكيلوغرام ، باستخدام قيم CODATA 2014. ترتبط كتلة بلانك بسرعة الضوء وثابت بلانك وثابت الجاذبية بالصيغة Mp = & # 8730 hc / 2 & # 960 G.

الثابت 4 & # 960/10 7 الذي يظهر في التعريف القديم (قبل 2019) لـ "الثابت المغناطيسي" أو نفاذية الفراغ. يتعلق الأمر بالتعريف القديم للأمبير ، والذي نص على أنه إذا كان أمبير واحد بالضبط يتدفق في موصلين متوازيين مستقيمين بطول لانهائي بطول متر واحد ، فإن القوة الناتجة ستكون 2 × 10 - 7 نيوتن لكل متر من الطول. هذا مستمد من تعريف قديم ينص على أن إعدادًا مشابهًا مع الأسلاك التي تفصل بينها مسافة سنتيمتر واحد سينتج قوة مقدارها 2 داين لكل سنتيمتر من الطول (واحد داين هو 10-5 نيوتن).

ثابت الهيكل الدقيق ، كما هو موضح في CODATA 2014 (انظر 50). "(17)" هو نطاق الخطأ. انظر 137.035. صفحة للتاريخ والتفاصيل.

هناك عدد قليل من "الصدف" فيما يتعلق بمضاعفات 1/127:

ه / & # 960 = 0.865255. & asymp 110/127 = 0.866141.
& # 8730 3 = 1.732050. & asymp 220/127 = 1.732283.
& # 960 = 3.141592. & asymp 399/127 = 3.141732.
& # 8730 62 = 7.874007. & asymp 1000/127 = 7.874015.
ه & # 960 = 23.140692. & asymp 2939/127 = 23.141732.

هناك عدد قليل آخر لـ 1/7. تمت مناقشة المصادفة & # 8730 62 في الإدخال & # 8730 62 ، و & # 960 و e & # 960 معًا (انظر e & # 960).

هذا هو الانحراف اللامركزي لمدار الأرض والقمر barycentre في العصر J2000 القيمة تتناقص حاليًا بمعدل حوالي 0.00000044 سنويًا ، ويرجع ذلك في الغالب إلى تأثير الكواكب الأخرى. القمر ضخم بما يكفي وبعيد بما يكفي لإزاحة الأرض نفسها على بعد بضعة آلاف من الكيلومترات من مركز الباري. راجع أيضًا 0.054900.

نسخة من ثابت الجاذبية الجاوسي حسب سايمون نيوكومب في عام 1895.

"ثابت الجاذبية الغاوسي" k ، كما تم حسابه في الأصل بواسطة Gauss ، المرتبط بالسنة الغاوسية & # 916 t بالصيغة & # 916 t = 2 & # 960 / k. تم استبدال القيمة لاحقًا بقيمة Newcomb 0.01720209814 ، ولكن في عام 1938 (ومرة أخرى في عام 1976) تبنت IAU قيمة Gauss الأصلية.

متوسط ​​الانحراف لمدار القمر & # 8212 متوسط ​​التباين في مسافة القمر عند الحضيض (أقرب نقطة إلى الأرض) والأوج. نظرًا لتأثير جاذبية الشمس ، يختلف الانحراف الفعلي بمقدار كبير ، حيث يصل إلى حوالي 0.047 ويصل ارتفاعه إلى حوالي 0.070 ، كما أن القطع الناقص يسبق دائرة كاملة كل 9 سنوات (انظر 27.554549878). يكون الانحراف أكبر عندما يتزامن الحضيض والأوج مع القمر الجديد والمكتمل. في مثل هذه الأوقات ، تختلف مسافة القمر بإجمالي 14٪ ، ويختلف حجمه الظاهري (المساحة في السماء) بنسبة 30٪ عندما يُقارن الحجم عند الأوج بالحجم عند نقطة الحضيض. هذا يعني أن سطوع البدر يختلف بنسبة 30٪ على مدار العام. في عام 2004 ، كان ألمع قمر مكتمل هو القمر يوم 2 يوليو / تموز ، نظرًا لدور المدار ، كان ألمع قمر كامل في عام 2006 بعد شهرين ، السادس من أكتوبر.

هذا التغيير في الحجم صغير جدًا بحيث لا يمكن للناس ملاحظته من الملاحظة العرضية (باستثناء خسوف الشمس ، عندما يغطي القمر أحيانًا الشمس بأكملها ولكن في أوقات أخرى ينتج عنه كسوف حلقي). لكن الانحراف كبير بما يكفي لإحداث اختلافات كبيرة في سرعة انتقال القمر عبر السماء من يوم إلى آخر. عندما يكون القمر بالقرب من الحضيض ، يمكن أن يتحرك بقدر 16.5 درجة في اليوم عندما يكون بالقرب من الأوج يتحرك 12 درجة فقط ، ويكون المتوسط ​​13.2. التأثير التراكمي لهذا هو أن القمر يمكن أن يظهر بقدر 22 درجة إلى الشرق أو الغرب من المكان الذي سيكون فيه إذا كان المدار دائريًا ، وهو ما يكفي للتسبب في حدوث المراحل بقدر 1.6 يومًا قبل أو خلف التنبؤ مصنوعة من مدار دائري مثالي. كما أنه يؤثر على الاهتزاز ("التذبذب" الظاهر للقمر والذي يمكننا من رؤية القليل من الجانب البعيد من القمر اعتمادًا على الوقت الذي تنظر فيه).

هذه هي أدنى قيمة لـ z التي يستخدمها برج الطاقة اللانهائي

يتقارب إلى قيمة محدودة. (أعلى قيمة من هذا القبيل هي e (1 / e) = 1.444667. راجع هذا الإدخال لمزيد من المعلومات).

هذا هو ثابت كبلر-بوكامب المرتبط ببناء هندسي لدوائر ومضلعات منقوشة متحدة المركز. ابدأ بدائرة وحدة (دائرة نصف قطرها 1). اكتب مثلثًا متساوي الأضلاع داخل الدائرة ، ثم اكتب دائرة داخل المثلث. سيكون نصف قطر الدائرة الأصغر هو cos (& # 960/3) = 1/2. قم الآن بتسجيل مربع داخل تلك الدائرة ، ودائرة داخل المربع هذه الدائرة الأصغر لها نصف قطر cos (& # 960/3) & # 960/4) = & # 8730 1/8. استمر في الكتابة باستخدام البنتاغون والسداسي وكل مضلع منتظم متتالي. تصبح الدوائر أصغر لكنها لا تنخفض إلى الصفر ، الحد هو هذا الرقم ، حوالي 10/87.

الكسر 1/7 هو أبسط مثال على كسر بكسر عشري متكرر له نمط مثير للاهتمام. راجع المقال السابع للتعرف على بعض خصائصه المثيرة للاهتمام.

يشير القارئ سي لوسيان إلى أنه يمكن تقريب العديد من الثوابت المعروفة بمضاعفات 1/7:

جاما = 0.5772156. & asymp 4/7 = 0.571428.
ه / & # 960 = 0.865255. & asymp 6/7 = 0.857142.
& # 8730 2 = 1.414213. & asymp 10/7 = 1.428571.
& # 8730 3 = 1.732050. & asymp 12/7 = 1.714285.
ه = 2.7182818. & asymp 19/7 = 2.714285.
& # 960 = 3.1415926. & asymp 22/7 = 3.142857.
ه & # 960 = 23.140692. & asymp 162/7 = 23.142857.

هذه في الغالب جميع المصادفات دون أي تفسير آخر ، باستثناء ما هو مذكور في إدخالات & # 8730 2 و e & # 960. انظر أيضًا 1/127.

هذا هو جزء لا يتجزأ من الخطيئة (1 / * x) ، من 0 إلى 1. سيعطي Mathematica أو Wolfram Alpha المزيد من الأرقام: 0.5040670619 & shy0692837198 & shy9856117741 & shy1482296249 & shy8502821263 & shy9170871433 & shy1675557800 & shy7436 & shy12760184.

اقترح لي أحد القراء [206] فكرة أن بعض الناس قد يعرّفون "زليون" على أنه "1 متبوعًا بمليار زيرو". هذا يشبه إلى حد ما تعريف googolplex ولكنه يناقض نفسه ، من حيث أنه بغض النظر عن القيمة التي تختارها لـ X ، فإن 10 X أكبر من X.

ومع ذلك ، هذا صحيح فقط إذا حددنا X ليكون عددًا صحيحًا (أو رقمًا حقيقيًا). إذا سمح لـ X أن يكون عددًا مركبًا ، فإن المعادلة 10 X = X بها عدد لا نهائي من الحلول.

باستخدام Wolfram Alpha [219] ، أدخل "10 ^ x = x" وستحصل على:

x & asymp -0.434294481903251827651 واطن (-2.30258509299404568402)

مع ملاحظة تصف Wك باعتبارها "وظيفة سجل المنتج" ، والتي ترتبط بوظيفة Lambert W (انظر 2.50618.). هذه الوظيفة متاحة أيضًا في Wolfram Alpha (أو في Mathematica) باستخدام الاسم "ProductLog [k، x]" حيث k هي أي عدد صحيح و x هي الوسيطة. لذلك إذا أدخلنا "-0.434294481903251827651 * ProductLog [1، -2.30258509299404568402]" ، نحصل على:

0.529480508259063653364. - 3.34271620208278281864. أنا

أخيرًا ، أدخل "10 ^ (0.529480508259063653364 - 3.34271620208278281864 * i)" واحصل على:

0.52948050825906365335. - 3.3427162020827828186. أنا

إذا استخدمنا -2 كوسيطة أولية لـ ProductLog [] ، نحصل على 0.5294805 + 3.342716 i ، وبشكل عام تحدث جميع الحلول كأزواج مترافقة معقدة. تتضمن الحلول الأخرى x = -0.119194. & # 1770.750583. أنا و س = 0.787783. & # 1776.083768. أنا .

في ضوء حقيقة أن المليون رقم هي كلها قوى لـ 1000 ، اقترح قارئ آخر [211] أن على المرء أن يفعل ما سبق بدءًا من 10 (3 X +3) = X. يؤدي هذا إلى نتائج مماثلة ، حيث أن أحد الجذور الأولى هو:

-0.88063650680345718868. - 2.10395020077170002545. أنا

الكسر الأول في برنامج FRACTRAN لكونواي ([151] الصفحة 147) الذي يبحث عن جميع الأعداد الأولية. البرنامج الكامل 17 /91, 78 /85, 19 /51, 23 /38, 29 /33, 77 /29, 95 /23, 77 /19, 1 /17, 11 /13, 13 /11, 15 /2, 1 /7, 55 /1. "لتشغيل" البرنامج: بدءًا من X = 2 ، ابحث عن الكسر الأول N / D في التسلسل الذي يكون فيه XN / D عددًا صحيحًا. استخدم هذه القيمة NX / D كقيمة جديدة لـ X ، ثم كرر. في كل مرة يتم فيها ضبط X على قوة 2 ، تكون قد وجدت عددًا أوليًا ، وستحدث بالتسلسل: 2 2 ، 2 3 ، 2 5 ، 2 7 ، 2 11 وهكذا. إنها ليست فعالة للغاية على الرغم من أن & # 8212 يستغرق 19 خطوة للعثور على أول شرط ، 69 للثاني ، ثم 281 ، 710 ، 2375. (سلون A7547).

هذا هو e - & # 960/2 ، والذي يساوي أيضًا i. (لأن e ix = cos (x) + i sin (x) ، ei & # 960/2 = i ، وبالتالي ii = (ei & # 960/2) i = ei 2 & # 960/2 = e - & # 960/2.)

مجموع سيزارو لمجموع السلسلة اللانهائية المتباعدة بالتناوب:

والتي يمكن استخدامها لاشتقاق مجموع أويلر / رامانوجان "سيئ السمعة" 1 + 2 + 3 + 4 +. = -1/12.

تم توضيح طريقة سيزارو من الدرجة الأولى في الإدخال لمدة 1/2. هنا سنطبق الطريقة مرتين. نبدأ بشروط السلسلة اللانهائية:

هذا له المبالغ الجزئية:

هذه تتباعد وغير محدودة فوق وتحت. مجموع أول n من هذه السلسلة هو:

متوسط ​​أول حرف n لـ A o (n) هو A '(n) / n:

(C ، 1) -sum = A '(n) / n: 1 ، 0 ، 2/3 ، 0 ، 3/5 ، 0 ، 4/7 ،.

هذا ليس متقاربًا ولكنه يوفر الأمل في أنه (مثل 1-1 + 1-.) يمكنه على الأقل أن يظل مقيدًا من أعلى وأسفل. الحدود الزوجية كلها 0 بينما تقترب الحدود الفردية من 1/2.

لنأخذ المتوسطات المتتالية لهذا التسلسل: مجموع سيزارو لمجموع سيزارو. مجموع المصطلحات n الأولى لما ورد أعلاه "(C ، 1) -sum" هو

1, 1, 5/3, 5/3, 34/15, 34/15, 298/105, .

والمتوسطات المتتالية هي فقط تلك التي تزيد عن n:

1, 1/2, 5/9, 5/12, 34/75, 34/90, 298/735, .

التي تتقارب في 1/4 ، على الرغم من أنه قد يكون من الصعب بعض الشيء رؤيتها هنا. هذه ليست الطريقة التي حدد بها سيزارو طريقة الترتيب الثاني. بدلاً من ذلك ، وضع مجموع أول n حد من A '(n) في البسط:

والمعاملات ذات الحدين ن ج 2 (الأعداد المثلثة) ، المسماة "E '' (n)" ، في المقام:

هـ '' (اسم): 1 ، 3 ، 6 ، 10 ، 15 ، 21 ، 28 ، 35 ،.

متوسطات الدرجة الثانية بطريقة سيزارو هي:

(C، 2) -sum = A '' (n) / C (n، 2): 1، 1/3، 3/6، 3/10، 6/15، 6/21، 10/28،.

وهذه تتلاقى أيضًا على 1 /4. تجعل الإضافة بهذه الطريقة من السهل رؤيتها لأن على سبيل المثال حتى n ، يمكننا ترك h يكون n / 2 ونحصل على:

أ '' (ن) / ج (ن ، 2) = ح ج 2 / 2 ح ج 2
= (ح (ح -1) / 2) / (2 س (2 س -1) / 2)
= (ح 2 - ح) / (4 س 2 -2 س)
= (1/2) (2 س 2 - ح - ح 2) / (2 س 2 - ح)
= (1/2) ((2 س 2 - ح) / (2 س 2 - ح) - ح 2 / (2 س 2 - ح))
= 1/2 - 1/2 (ح 2 / (2 س 2 - ح))

من الواضح أن الجزء "h 2 / (2 h 2 - h)" يتقارب عند 1/2 ، لذا فإن كل شيء يتقارب إلى 1/2 - 1/4.

هذا المبلغ 1 /4 يظهر كـ "1 / (1 + 1) 2" في دفتر ملاحظات Ramanujan. يمكن اشتقاق ذلك من خلال ملاحظة أن 1-1 + 1-1 + 1-1 +. يحتوي على 1 st-order Cesaro sum 1/2 ، ثم قم بذلك:

(1 - 1 + 1 - 1 + 1 - . ) 2
= (1 - 1 + 1 - 1 + 1 -.) & مرات (1 - 1 + 1 - 1 + 1 -.)
= 1 + (-1 & times1 + 1 & times-1) + (1 & times1 + -1 & times-1 + 1 & times1) + (-1 & times1 + 1 & times-1 + -1 & times1 + 1 & times-1) +.
= 1 - 2 + 3 - 4 + .

إذن مجموع 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 -. يجب أن يكون مربع مجموع 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -. وهو مربع 1/2 ، أي 1/4.

هناك طريقة أخرى ، ربما تكون أسهل ، للحصول على نفس الإجابة. ابدأ بمجموع السلسلة اللانهائية وافترض أن لها قيمة ، تسمى هنا C:

اطرح الثاني من الأول:

ج - Cx = 1
ج (1- س) = 1
ج = 1 / (1- س)

إذا كانت x تشبه 1/2 ، فمن السهل أن ترى أن المجموع 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +. هي 2 ، و 1 / (1- x) = 1 / (1-1 / 2) هي أيضًا 2 ، لذا فإن الاشتقاق صالح. ولكن إذا كانت س ، على سبيل المثال ، -1 ، فسنحصل على 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -. = 1/2 ، والذي تمت مناقشته في الإدخال لـ 1/2. لم يقلق أويلر بشأن التقارب الصارم ومضى قدمًا في:

1 + س + س 2 + س 3 + س 4 +. = 1 / (1- س)

دعونا نفرق بين الجانبين!

1 + 2 × + 3 × 2 + 4 × 3 +. = 1 / (1- س) 2

إذا كانت x = -1 لدينا المبلغ المطلوب:

ومرة أخرى الجواب هو 1/4.

هذا منتج لانهائي من (1-2 - N) لجميع N. هذا أيضًا هو حاصل ضرب (1- x N) مع x = 1/2. أوضح أويلر أنه في الحالة العامة ، يمكن اختزال هذا المنتج اللانهائي إلى المجموع اللانهائي الذي يسهل حسابه كثيرًا 1 - x - x 2 + x 5 + x 7 - x 12 - x 15 + x 22 + x 26 - x 35 - × 40 +. حيث الأسس هي الأرقام الخماسية N (3 N -1) / 2 (لكل من N الموجبة والسالبة) ، سلون A1318. 30

هذا هو ثابت لوكاس لومير لجوتفريد هيلمز "LucLeh" انظر 1.38991066352414. للمزيد من.

1/3 هو أبسط عقلاني غير ثنائي ، والأبسط مع عدد عشري غير منتهي في الأساس 10.

1/3 هو "مجموع رامانوجان" لمجموع السلسلة اللانهائية غير المتقاربة -2 ن:

على الرغم من أنه لا يُسمح لنا بذلك ، يمكننا محاولة تطبيق صيغة مجموع السلسلة:

الذي يتقارب بالطريقة العادية فقط عندما يكون -1 س س = -2 ويكون المجموع 1 / (1 - (- 2)) = 1/3.

هذا هو "Artin's Constant" المنتج (1-1 / 2) (1-1 / 6) (1-1 / 20). (1-1 / (ص (ص -1))) لجميع الصفحات الأولية. يتعلق الأمر بالتخمين المتعلق بـ "كثافة" الأعداد الأولية p حيث 1 / p لها جذر بدائي ، حيث يفي a بشروط تسلسل OEIS A85397.يتضمن ذلك 10 ، مما يعني أن حوالي 30٪ من الأعداد الأولية لها مقلوب مع توسع عشري يكرر كل p -1 رقم أول رقمين هما 7 و 17.

لها قيمة قريبة جدًا من & # 960/8 ، ولكن ليس بالضبط. من برنارد ماريس الابن عبر بيلي وآخرون. [188] المزيد عن MathWorld في Infinite Cosine Product Integral.

إذا أخذت سلسلة من 1 و 0 واتبعتها بمكملتها (تم تبديل نفس السلسلة مع 1 إلى 0 والعكس صحيح) تحصل على سلسلة ضعف طولها. إذا كررت العملية إلى الأبد (بدءًا من 0 كسلسلة أولية) ، فستحصل على التسلسل

وإذا جعلت هذا كسرًا ثنائيًا 0.0110100110010110. 2 المكافئ في الأساس 10 يساوي 0.41245403364. ويسمى ثابت Thue-Morse أو ثابت التكافؤ. يتم إعطاء قيمته من خلال نسبة المنتجات اللانهائية:

4 ك = 2 - منتج [2 2 ن -1] / منتج [2 2 ن]
= 2 - (1 مرات 3 مرات 15 مرات 255 مرات 65535 مرة) / (2 مرات 4 مرات 16 مرات 256 مرات 65536 مرة.)

مجموع سيزارو لأبسط مجموع سلسلة لانهائية من سلسلة سيزارو:

تقنية Cesaro sum هي تعميم لتعريف مجموع سلسلة لانهائية كحد لمجموعها الجزئية. لتوضيح المبدأ ، دعنا نفكر في مبلغ لا نهائي يتقارب بالفعل بالطريقة العادية:

هذا له مبالغ جزئية:

والتي يمكن رؤيتها بسهولة (وإثباتها ، عن طريق الاستقراء الرياضي) لتتقارب مع 2. نظر سيزارو في سلسلة المتوسطات (الوسائل الحسابية) للمجاميع الجزئية الأولى N:

1, (1 + 3/2)/2, (1 + 3/2 + 7/4)/3, (1 + 3/2 + 7/4 + 15/8)/4, ..

1, 5/4, 17/12, 49/32, 129/80, 321/128, 769/448, .

والتي تتقارب أيضًا في 2 ، وإن كانت أبطأ. يمكن أن تعطي تقنية حساب متوسط ​​أول n من المجاميع الجزئية إجابة للسلسلة اللانهائية التي يتم أخذ مجموعها الجزئي بشكل فردي حتى لا تتقارب. أبدا ب:

هذا لا يتقارب ، لكن لنأخذ متوسط ​​أول n من هؤلاء. مجاميع أول n من هؤلاء (لـ n = 1 ، 2 ، 3 ،.) هي:

إذن ، متوسط ​​أول n من المجاميع الجزئية هو:

الذي يتقارب في 1/2. انظر 1/4 للحصول على مثال للطلب الثاني من تلخيص سيزارو ، و -1/12 لرؤية امتداد رامانوجان.

يستخدم دفتر ملاحظات Ramanujan ، عند مناقشة سلسلة -1/12 ، "1 / (1 + 1) 2" ، مما يشير إلى أنه شاهد المجموع 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -. ليكون "1 / (1 + 1)". يمكن اشتقاق هذا من تعميم مجموع السلسلة:

الذي يتقارب بالطريقة العادية فقط عندما يكون | x | س = -1 سنحصل على "1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -. = 1 / (1- س) = 1 / (1 + 1)". لذلك يمكن "تبرير" القيمة 1/2 بطريقتين.

احتمالات خسارة لعبة الحظ. اقلب عملة: إذا حصلت على وجهاً لوجه ، فستزيد درجاتك بمقدار & # 960 ، إذا حصلت على ذيول ، تقل نتيجتك بمقدار 1. كرر عدة مرات كما تريد & # 8212 ولكن إذا أصبحت درجاتك سلبية ، فإنك تخسر. بافتراض استمرار اللاعب في اللعب إلى أجل غير مسمى (بدافع إغراء الحصول على درجة أعلى من أي وقت مضى) ، ما هي احتمالات الخسارة؟

يتم الحصول على الإجابة من خلال مجموع متسلسل: 1/2 + 1/2 5 + 4/2 9 + 22/2 13 + 140/2 17 + 969/2 21 + 7084/2 25 + 53820/2 29 + 420732 / 2 34 +. (البسط في Sloane's A181784) وهو ما يصل إلى 0.5436433121.

يتقارب التحليل الأكثر تعقيدًا باستخدام الأرقام المنطقية مثل 355/113 في الإجابة بسرعة أكبر ، مما يعطي 0.54364331210052407755147385529445. (انظر [196]).

هذا هو ثابت أوميغا ، الذي يفي بكل من هذه المعادلات البسيطة (جميعها مكافئة):

وبالتالي فهي نوع من مثل النسبة الذهبية. في المعادلات أعلاه ، إذا تم استبدال e بأي رقم أكبر من 1 (و "ln" باللوغاريتم المقابل) وتحصل على ثابت "أوميغا" آخر. فمثلا:

إذا كانت 2 x = 1 / x ، فإن x = 0.6411857445.
إذا & # 960 x = 1 / x ، إذن x = 0.5393434988.
إذا كانت 4 س = 1 / س ، إذن س = 1/2
إذا كانت 10 x = 1 / x ، فإن x = 0.3990129782.
إذا كان 27 × = 1 / س ، إذن س = 1/3
إذا كان 10000000000 x = 1 / x ، إذن x = 1/10

(ثابت أويلر ماشيروني)

هذا هو ثابت أويلر-ماسكيروني ، المُشار إليه عادةً بالحرف اليوناني جاما. يتم تعريفه بالطريقة التالية. ضع في اعتبارك المبلغ:

س ن = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 +. + 1 / ن

يبدأ التسلسل 1 ، 1.5 ، 1.833333. 2.083333. الخ. عندما تقترب n من اللانهاية ، يقترب المجموع من ln (n) + gamma. يحتوي Numberphile على فيديو حول هذا الثابت: لغز 0.577.

فيما يلي بعض التقديرات التقريبية غير المهمة بشكل خاص لجاما:

1/(√ π - 1/25) = 0.5772159526.
جاما = 0.5772156649.
1/(1+ 1/√ 10 ) 2 = 0.5772153925.

واحدة من المبالغ اللانهائية في خطاب رامانوجان عام 1913 إلى G.H. هاردي ، القسم الحادي عشر:

انظر -1/12 للحصول على مثال أبسط.

يتباعد هذا المجموع ، ولكن يمكن التفكير في مبلغ جزئي:

0 + 1 + 2 +. + ن
= المجموع أنا في [0 .. n] و (ط)
(حيث f (x) = x)

= - و (0) / 2 + أنا متكامل0..∞ (f (it) - f (- it)) / (e 2 & # 960 t - 1) dt

في هذا المثال المحدد نحصل عليه

قيمة مجموع السلسلة اللانهائية

إنها (1 - & # 8730 2) ضعف دالة زيتا ريمان البالغة 1/2. المزيد من الأرقام: 0.604898643421630370247265914. (تسلسل سلون A113024). الغريب ، على الرغم من أن مجموع المتسلسلة يتقارب مع قيمة محدودة صغيرة بشكل معقول ، إذا قمت بتربيع مجموع السلسلة:

ولخص الشروط بالترتيب المطلوب:

تستمر مقادير الأجزاء الموجودة بين قوسين في النمو ، وبالتالي يتباعد المجموع التسلسلي. ومع ذلك ، من الواضح أن هناك مجموعًا ، ويمكن استخدام تقنيات مثل مجموع سيزارو (انظر المدخل لـ 1/4) لتقييمه والحصول على الإجابة المناسبة ، ومن أجل مبالغ مثل هذه ، فإن مجموع سيزارو ضروري حقًا. (من الصعب جدال قضية 1/4.)

النسبة الذهبية (شكل مقلوب): انظر 1.618033. .

تتضمن مشكلة إبرة بوفون تقدير احتمالية أن قطعة خطية موضوعة بشكل عشوائي من بعض الطول المعطى سوف تعبر واحدة من مجموعة من الخطوط المتوازية المتباعدة بمسافة ثابتة. إذا كان طول مقطع الخط هو نفسه التباعد بين السطور ، فإن الاحتمال هو 2 / & # 960.

هذه هي أدنى نقطة في الدالة y = x x. راجع أيضًا 1.444667. .

اللوغاريتم الطبيعي للعدد 2 مكتوب "ln (2)". انظر 69.3147.2009 و 72.

ln (2) هي قيمة مجموع هذه السلسلة اللانهائية:

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + .
= 1/2 + 1/12 + 1/30 + 1/56 + .

وهذا ما يسمى "سلسلة متقاربة مشروط" لأن السلسلة تتقارب إذا تمت إضافتها بالطريقة الموضحة أعلاه ، ولكن إذا قمت بإعادة ترتيب المصطلحات:

1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + . - (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + . )

ثم لديك سلسلتان لا تتقاربان وسلسلة غير محددة "ما لا نهاية ناقص ما لا نهاية".

يمكنك إنشاء سلسلة طويلة من 1 و 0 باستخدام "قواعد الاستبدال" والتكرار من سلسلة بداية صغيرة مثل 0 أو 1. إذا كنت تستخدم القاعدة:

وابدأ بـ 0 ، تحصل على 1 ، 10 ، 101 ، 10110 ، 10110101 ، 1011010110110 ،. حيث تكون كل سلسلة هي السلسلة السابقة متبوعة بالسلسلة التي تسبقها (Sloane's A36299 أو A61107). حد هذا هو سلسلة لا نهائية من 1 و 0 والتي يمكنك تحويلها إلى كسر ثنائي: 0.1011010110110. 2، تحصل على هذا الثابت (0.709803. في الأساس 10) والذي يسمى ثابت الأرنب. لها بعض العلاقات الخاصة مع متتالية فيبوناتشي:

  • في التكرار الموصوف أعلاه ، فإن عدد الأرقام في كل سلسلة هو تسلسل فيبوناتشي: 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ،.
  • معبرًا عنه ككسر مستمر ، يكون الثابت هو 0 + 1 / (2 0 + 1 / (2 1 + 1 / (2 1 + 1 / (2 2 + 1 / (2 3 + 1 / (2 5 + 1 / ( 2 8 +.))))))) حيث الأس 2 هم أرقام فيبوناتشي.
  • إذا أخذت جميع مضاعفات النسبة الذهبية 0.618033 وقربتها لأسفل إلى أعداد صحيحة ، فستحصل على 1 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 ، 9 ، 11 ، 12 ،. تخبرك هذه الأرقام بمكان الآحاد في الكسر الثنائي.

إذا تركت أول رقمين ثنائيين (10) ، فستحصل على 110101101101011010110110101. نمط البت الذي تم إنشاؤه بواسطة آلة Turing في نهاية آلة Turing Google Doodle. ككسر (0.1101011.) تساوي 0.8392137714451.

قيمة x مثل أن x = cos (x) ، باستخدام الراديان كوحدة للزاوية. يمكنك العثور على القيمة باستخدام آلة حاسبة علمية فقط عن طريق إدخال أي رقم قريب بشكل معقول والضغط على مفتاح جيب التمام مرارًا وتكرارًا. فيما يلي بعض الأرقام الإضافية: 0.73908513321516064165531208767387340134117589007574649656. 26

هذا هو 3 & # 8730 5 ، ويرتبط بتسلسل أرقام التطعيم التي وجدها مات باركر. بمزيد من الدقة ، فهي: 0.76393 وخجول 20225 وخجول 00210 وخجول 30359 وخجول 08263 وخجول 31268 وخجول 72376 وخجول 45593 وخجول 81640 وخجول 38847.

خذ عددًا فرديًا من الأرقام بعد الفاصلة العشرية ، وأضف 1 ، وستحصل على رقم تطعيم. على سبيل المثال ، 76393 + 1 = 76394. تسلسل الأرقام المشتقة بهذه الطريقة يبدأ: 8 ، 764 ، 76394 ، 7639321 ، 763932023 ، 76393202251 ، 7639320225003 ،.

تقريب شيطاني للإجابة على مشكلة "شبكة المقاوم اللانهائية" في xkcd 356 ، والتي أدخلت العالم إلى رياضة "القنص الذي يذاكر كثيرا". انظر ريس و 0.773239. .

الإجابة على مشكلة "شبكة المقاومة اللانهائية" الجذابة في xkcd 356 ، والتي أدخلت العالم إلى رياضة "القنص الذي يذاكر كثيرا" 90. راجع أيضًا 0.636619. و 0.772453. .

هذا الرقم ، في آلة حاسبة مبكرة بشاشة عرض من 7 أجزاء ، يقول "مرحبًا" عند رؤيته مقلوبًا:

& rarr

هذا تكامل0..1 x x d x ، وهو ما يثير الفضول في تساوي - SIGMAi..inf (- ن) - ن ، والذي تم إثباته بواسطة برنولي. مع المزيد من الأرقام ، يكون 0.78343051071213440705926438652697546940768199014. تشترك مع (1.291285. لقب "حلم طالبة".

هذا هو 0.1101011011010110101101101011011010110101101101011010110110. في شكل ثنائي ، وهو إصدار مختلف قليلاً من ثابت الأرنب الذي تم إنشاؤه بواسطة آلة تورينج Google Doodle من يونيو 2012. المزيد من الأرقام: 0.8392137714451652585671495977783023880500088230714420678280105786051.

القيمة العشرية لـ "تسلسل طي الورق العادي" 1 1 0 1100 1 1100100 1 110110001100100 1 1101100111001000110110001100100. تحويلها إلى كسر ثنائي. يعطي هذا التسلسل المكون من 1 و 0 المنعطفات اليمنى واليسرى بينما يمشي المرء على طول منحنى التنين. إنه مجموع 8 2 k / (2 2 k +2 -1) لجميع k & ge0 ، وهو مجموع متسلسل يعطي ضعف عدد الأرقام مع كل حد إضافي.

الحد الأدنى لقيمة دالة جاما مع الحجج الحقيقية الإيجابية. دالة جاما هي التناظرية المستمرة لوظيفة العوامل. هذا هو جاما (1.461632144968.). (لمزيد من الأرقام لكليهما ، راجع تسلسل OEIS A30171 و A30169.)

هذا هو 1/2 من الجذر التربيعي لـ & # 960. إنها جاما (3/2) ، وتسمى أحيانًا (1/2)! ، مضروب 1/2.

هذا هو جاما (5/4) ، أو "مضروب 1/4". بينما بعض قيم دالة جاما مثل 0.886226. و 1.329340. ، لديك صيغ بسيطة تتضمن فقط & # 960 لقوة عقلانية ، هذه الصيغة أكثر تعقيدًا. إنه & # 960 مرفوعًا للقوة 3/4 ، مقسومًا على (& # 8730 2 + 4 & # 8730 2) ، مضروبًا في مجموع سلسلة لانهائية لوظيفة إهليلجية.

هذه هي (4 + 4 & # 8730 2) / (5 + 4 & # 8730 2) ، وهي أفضل كثافة يمكن تحقيقها من خلال تعبئة مثمنات منتظمة متساوية الحجم في المستوى. والجدير بالذكر أنه أصغر قليلاً من 0.906899. ، الكثافة التي يمكن تحقيقها بالدوائر.

هذه هي & # 960/12 ، الكثافة التي يمكن تحقيقها عن طريق تعبئة دوائر متساوية الحجم في المستوى. راجع أيضًا 0.906163. .

ثابت كتالان ، ويمكن تعريفه من خلال:

G = 1 - 1/3 2 + 1/5 2 - 1/7 2 + 1/9 2 -.

إذا كان لديك رقعة شطرنج 2 n & 2 n ومورد 2 n 2 دومينو كبير بما يكفي لتغطية مربعين من رقعة الشطرنج ، فكم عدد الطرق المتاحة لتغطية اللوحة بأكملها بالدومينو؟ بالنسبة إلى n الكبيرة ، يتم تقريب الإجابة عن كثب بـ

هذا هو الجذر التكعيبي لـ (5 & # 8730 27-5 & # 8730 2). اكتشف بيل جوسبر الهوية التالية ، وهو أمر رائع لأن الجانب الأيسر لديه فقط قوى 2 و 3 ، لكن الجانب الأيمن لديه قوة 5 في المقام 108:

( 5 √ 27 - 5 √ 2 ) (1/3) = ( 5 √ 8 5 √ 9 + 5 √ 4 - 5 √ 2 5 √ 27 + 5 √ 3 ) / 3 √ 25

(3 (3/5) -2 (1/5) ) (1/3) = (- 2 (1/5) 3 (3/5) + 2 (3/5) 3 (2/5) + 3 (1/5) + 2 (2/5) ) / 5 (2/3)

صفحات روبرت مونافو الرئيسية على HostMDS & # 8195 & copy 1996-2020 Robert P. Munafo.
& # 8195 حول & # 8195 الاتصال
هذا العمل مُرخص بموجب رخصة المشاع الإبداعي نَسب المُصنَّف - غير تجاري 4.0 دولي. التفاصيل هنا.
تمت كتابة هذه الصفحة بلغة الترميز RHTF "المقروءة بشكل محرج" ، وتم آخر تحديث لبعض الأقسام في 26 مارس 2020. القسم 11


حلول NCERT للصف 6 الرياضيات الفصل 2 - الأعداد الصحيحة

اكتب الأعداد الصحيحة الثلاثة قبل 10001 مباشرة.

إجابه:

3 أعداد صحيحة قبل 10001 هي

الصفحة رقم 31:

السؤال 3:

ما هو أصغر عدد صحيح؟

إجابه:

أصغر عدد صحيح هو 0.

الصفحة رقم 31:

السؤال 4:

كم عدد الأعداد الصحيحة بين 32 و 53؟

إجابه:

الأعداد الصحيحة بين 32 و 53 = 20 (53 ناقص 32 ناقص 1 = 20)

(33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52)

الصفحة رقم 31:

السؤال الخامس:

إجابه:

الصفحة رقم 31:

السؤال 6:

إجابه:

الصفحة رقم 31:

السؤال 7:

في كل زوج من أزواج الأرقام التالية ، حدد الرقم الصحيح الموجود على يسار الرقم الآخر على خط الأعداد. اكتبها أيضًا بالعلامة المناسبة (& gt، & lt) بينهما.

(ج) 98765 ، 56789 (د) 9830415 ، 10023001

إجابه:

503 على الجانب الأيسر من الرقم 530 على خط الأعداد.

307 على الجانب الأيسر من 370 على خط الأعداد.

يقع الرقم 56789 في الطرف الأيسر للعدد 98765 على خط الأعداد.

منذ 98، 30، 415 & lt 1، 00، 23، 001،

98،30،415 على الجانب الأيسر من 1،00،23،001 على خط الأعداد.

الصفحة رقم 31:

السؤال الثامن:

أي العبارات التالية صحيحة (T) وأيها خاطئة (F)؟

(أ) الصفر هو أصغر عدد طبيعي.

(ب) 400 هو سلف 399.

(ج) الصفر هو أصغر عدد صحيح.

(د) 600 هو خليفة 599.

(هـ) جميع الأعداد الطبيعية عبارة عن أعداد صحيحة.

(و) جميع الأعداد الصحيحة هي أعداد طبيعية.

(ز) لا يكون سلف الرقم المكون من رقمين رقمًا مكونًا من رقم واحد على الإطلاق.

(ح) 1 هو أصغر عدد صحيح.

(ط) الرقم الطبيعي 1 ليس له سابق.

(ي) العدد الكامل 1 ليس له سلف.

(ك) العدد الصحيح 13 يقع بين 11 و 12.

(ل) العدد الكامل 0 ليس له سلف.

(م) دائمًا ما يكون الوريث لرقم مكون من رقمين رقمًا مكونًا من رقمين.

إجابه:

(أ) خطأ ، 0 ليس رقمًا طبيعيًا.

(ب) خطأ ، لأن سلف 399 هو 398 (399 & ناقص 1 = 398).

(و) خطأ ، حيث أن 0 هو عدد صحيح ولكنه ليس عددًا طبيعيًا.

(ز) خطأ ، لأن سلف العدد 10 هو 9.

(ح) خطأ ، 0 هو أصغر عدد صحيح.

(ط) صحيح ، حيث أن 0 هو سلف 1 ولكنه ليس رقمًا طبيعيًا.

(ي) خطأ ، لأن 0 هو سلف 1 وهو رقم صحيح.

(ك) خطأ ، 13 لا تقع بين 11 و 12.

(ل) صحيح ، سلف 0 هو & ناقص 1 ، وهو ليس عددًا صحيحًا.

(م) خطأ ، لأن خليفة 99 هو 100.

الصفحة رقم 40:

السؤال رقم 1:

ابحث عن المجموع بترتيب مناسب:

(أ) 837 + 208 + 363 (ب) 1962 + 453 + 1538 + 647

إجابه:

(أ) 837 + 208 + 363 = (837 + 363) + 208

(ب) 1962 + 453 + 1538 + 647 = (1962 + 1538) + (453 + 647)

الصفحة رقم 40:

السؤال 2:

ابحث عن المنتج من خلال إعادة الترتيب المناسبة:

(ج) 8 مرات 291 و 125 (د) 625 × 279 × 16

إجابه:

(د) 625 × 279 × 16 = 625 × 16 × 279

(هـ) 285 × 5 × 60 = 285 × 300 = 85500

الصفحة رقم 40:

السؤال 3:

أوجد قيمة ما يلي:

(أ) 297 × 17 + 297 × 3 (ب) 54279 × 92 + 8 × 54279

(ج) 81265 × 169 ناقص 81265 × 69 (د) 3845 × 5 مرات 782 + 769 مرات 25 × 218

إجابه:

(أ) 297 × 17 + 297 × 3 = 297 مرة (17 + 3)

(ب) 54279 مرات 92 + 8 مرات 54279 = 54279 مرات 92 + 54279 مرات 8

(ج) 81265 × 169 ناقص 81265 × 69 = 81265 مرة (169 ناقص 69)

(د) 3845 × 5 × 782 + 769 × 25 × 218

حل الفيديو للأعداد الصحيحة (صفحة: 40 ، س رقم: 3)

حل NCERT للرياضيات من الفئة 6 - الأعداد الصحيحة 40 ، السؤال 3

الصفحة رقم 40:

السؤال 4:

ابحث عن المنتج باستخدام الخصائص المناسبة.

إجابه:

= 738 × 100 + 738 × 3 (خاصية التوزيع)

= 854 × 100 + 854 × 2 (خاصية التوزيع)

(ج) 258 مرات 1008 = 258 مرة (1000 + 8)

= 258 × 1000 + 258 × 8 (خاصية التوزيع)

(د) 1005 × 168 = (1000 + 5) × 168

= 1000 × 168 + 5 × 168 (خاصية التوزيع)

الصفحة رقم 40:

السؤال الخامس:

ملأ سائق سيارة أجرة خزان الوقود في سيارته بـ 40 لتراً من البنزين يوم الاثنين. في اليوم التالي ، ملأ الخزان بـ 50 لتراً من البنزين. إذا كان سعر البنزين 44 روبية لكل لتر ، فما هو المبلغ الذي أنفقه على البنزين؟

إجابه:

كمية البنزين المعبأة يوم الاثنين = 40 ل

كمية البنزين المعبأة يوم الثلاثاء = 50 ل

إجمالي الكمية المعبأة = (40 + 50) ل

تكلفة البنزين (لكل ل) = 44 روبية

إجمالي الأموال التي تم إنفاقها = 44 مرة (40 + 50)

حل الفيديو للأعداد الصحيحة (صفحة: 40 ، س رقم: 5)

حل NCERT للرياضيات من الفئة 6 - الأعداد الصحيحة 40 ، السؤال 5

الصفحة رقم 41:

السؤال 6:

يقدم بائع 32 لترًا من الحليب إلى فندق في الصباح و 68 لترًا من الحليب في المساء. إذا كان الحليب يكلف 15 روبية لكل لتر ، فكم من المال المستحق للبائع في اليوم؟

إجابه:

كمية اللبن الموردة في الصباح = 32 ل

كمية اللبن الموردة في المساء = 68 ل

مجموع اللبن لكل لتر = (32 + 68) ل

تكلفة الحليب لكل لتر = 15 روبية

إجمالي التكلفة اليومية = 15 & مرات (32 + 68)

حل الفيديو للأعداد الصحيحة (صفحة: 41 ، س رقم: 6)

حل NCERT للرياضيات من الفئة 6 - الأعداد الصحيحة 41 ، السؤال 6

الصفحة رقم 41:

السؤال 7:

(ط) 425 × 136 = 425 مرة (6 + 30 + 100)

(أ) التبادلية تحت الضرب

(ب) التبادلية تحت الإضافة

(3) 80 + 2005 + 20 = 80 + 20 + 2005

(ج) توزيع الضرب على الجمع

إجابه:

(1) 425 × 136 = 425 × (6 + 30 + 100) [توزيع الضرب على الجمع]

(2) 2 × 49 × 50 = 2 × 50 × 49 [التبادل تحت الضرب]

(3) 80 + 2005 + 20 = 80 + 20 + 2005 [التبادل تحت الإضافة]

الصفحة رقم 43:

السؤال رقم 1:

أي مما يلي لن يمثل صفرًا؟

إجابه:

لا يمثل الصفر.

الصفحة رقم 43:

السؤال 2:

إذا كان حاصل ضرب عددين صحيحين هو صفر ، فهل يمكننا القول إن أحدهما أو كلاهما سيكون صفراً؟ تبرير من خلال الأمثلة.

إجابه:

إذا كان حاصل ضرب عددين صحيحين يساوي صفرًا ، فإن أحدهما يساوي صفرًا بالتأكيد.

على سبيل المثال ، 0 & مرات 2 = 0 و 17 & مرات 0 = 0

إذا كان حاصل ضرب عددين صحيحين يساوي صفرًا ، فقد يكون كلاهما صفرًا.

(نظرًا لأن الأرقام المراد ضربها لا تساوي الصفر ، فإن نتيجة حاصل الضرب ستكون أيضًا غير صفرية.)

الصفحة رقم 44:

السؤال 3:

إذا كان حاصل ضرب عددين صحيحين هو 1 ، فهل يمكننا القول إن أحدهما سيكون 1؟ تبرير من خلال الأمثلة.

إجابه:

إذا كان حاصل ضرب عددين هو 1 ، فيجب أن يساوي كلا الرقمين 1.

من الواضح أن حاصل ضرب عددين صحيحين سيكون 1 في الحالة التي يكون فيها كلا الرقمين المراد ضربهما 1.

الصفحة رقم 44:

السؤال 4:

ابحث عن استخدام خاصية التوزيع:

إجابه:

(ب) 5437 × 1001 = 5437 مرة (1000 + 1)

(د) 4275 × 125 = (4000 + 200 + 100 & ناقص 25) × 125

= 4000 × 125 + 200 × 125 + 100 × 125 × ناقص 25 × 125

= 500000 + 25000 + 12500 ناقص 3125

الصفحة رقم 44:

السؤال الخامس:

1 × 8 + 1 = 9 1234 × 8 + 4 = 9876

12 × 8 + 2 = 98 12345 × 8 + 5 = 98765

اكتب الخطوتين التاليتين. هل يمكنك أن تقول كيف يعمل النمط؟

(تلميح: 12345 = 11111 + 1111 + 111 + 11 + 1).

إجابه:

123456 & 8 + 6 = 987648 + 6 = 987654

1234567 مرات 8 + 7 = 9876536 + 7 = 9876543

كما 123456 = 111111 + 11111 + 1111 + 111 + 11 + 1 ،

123456 مرات 8 = (111111 + 11111 + 1111 + 111 + 11 + 1) × 8

= 111111 & 8 + 11111 & 8 + 1111 & 8 + 111 & 8 + 11 & 8 + 1 & 8 مرات


1.4: خصائص الأعداد الصحيحة - الرياضيات

خصائص وقوانين الأعداد الصحيحة

التبسيط باستخدام خاصية الجمع 0.

التبسيط باستخدام خاصية الضرب 1.

· تحديد واستخدام قانون الاستبدال الإضافي.

· تحديد واستخدام قانون الاستبدال في الضرب.

· تحديد واستخدام قانون جمعيات الجمع.

· تحديد واستخدام قانون الجمع في الضرب.

غالبًا ما تتضمن الرياضيات تبسيط التعبيرات العددية. عند القيام بذلك ، يمكنك استخدام القوانين والخصائص التي تنطبق على عمليات معينة. تنص خاصية الضرب 1 على أن أي رقم مضروب في 1 يساوي نفس الرقم ، وخاصية الإضافة صفر تنص على أن أي رقم مضاف إلى الصفر هو نفس الرقم.

هناك قانونان مهمان هما القوانين التبادلية ، والتي تنص على أن الترتيب الذي تضيف به عددين أو تضرب رقمين لا يؤثر على الإجابة. يمكنك تذكر هذا لأنه إذا كنت يسافر يوميا الى العمل للذهاب إلى العمل ، تقطع نفس المسافة بالسيارة إلى العمل والقيادة إلى المنزل كما تفعل أثناء القيادة إلى المنزل والقيادة إلى العمل. يمكنك تحريك الأرقام بالإضافة إلى تعبيرات الضرب لأن الترتيب في هذه التعبيرات لا يهم.

ستتعلم أيضًا كيفية تبسيط تعابير الجمع والضرب باستخدام قوانين الترابط. كما هو الحال مع القوانين التبادلية ، هناك قوانين تجميعية للجمع والضرب. تمامًا مثل الأشخاص الذين قد يتعاملون مع أشخاص في مجموعات مختلفة ، قد يكون هناك عدد مساعد بأرقام أخرى في مجموعة أو بأخرى. تسمح لك قوانين الترابط بوضع الأرقام في مجموعات مختلفة باستخدام الأقواس.

الجمع والضرب خصائص 0 و 1

ال إضافة خاصية 0 ينص على أنه بالنسبة لأي رقم يتم إضافته إلى 0 ، فإن المجموع يساوي هذا الرقم. تذكر أنك لا تحصل على صفر كإجابة - فهذا يحدث فقط عند الضرب. إجابتك هي ببساطة نفس رقمك الأصلي.


الأعداد الصحيحة للصف السادس ملاحظات الرياضيات الفصل الثاني

الأعداد الطبيعية: تسمى أرقام العد 1،2 ، 3،4 ، الأعداد الطبيعية.

السلف: إذا طرحنا 1 من عدد طبيعي ، فإن ما نحصل عليه هو سابقه. على سبيل المثال ، سلف العدد 10 هو 10 & # 8211 1 = 9.

خليفة: إذا أضفنا 1 إلى عدد طبيعي ، فإن ما نحصل عليه هو خليقته. على سبيل المثال ، خليفة 9 هو 9 + 1 = 10.

العدد الطبيعي 1 ليس له سابق في الأعداد الطبيعية.

لا يوجد أكبر عدد طبيعي

إذا أضفنا الرقم 0 إلى مجموعة الأعداد الصحيحة. وهكذا ، فإن الأرقام 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، & # 8230 تشكل مجموعة من الأعداد الصحيحة ، الأعداد الطبيعية ، ما نحصل عليه هو المجموعة

نعتبر الصفر سلفًا للعدد 1 في مجموعة الأعداد الصحيحة.

كل رقم صحيح له خلف.

كل عدد صحيح ما عدا الصفر له سلف.

جميع الأعداد الطبيعية هي أعداد صحيحة ولكن كل الأعداد الصحيحة ليست عددًا طبيعيًا. [0 هو رقم صحيح ولكنه ليس عددًا طبيعيًا]

خط الأعداد
ارسم خطا. قم بتمييز نقطة عليها وقم بتسميتها 0. حدد نقطة ثانية على يمين 0 عند مسافة مناسبة معينة وقم بتسميتها 1. ثم المسافة بين النقطتين المسماة بـ 0 و 1 تسمى مسافة الوحدة. الآن ، ضع علامة على نقطة أخرى على هذا الخط على يمين 1 على مسافة وحدة من 1 وقم بتسميتها 2. بالمضي قدمًا بهذه الطريقة ، قد نجد نقاطًا متتالية ونسميها على أنها 3 ، 4 ، 5 ، & # 8230 بالترتيب. وبالتالي ، يمكننا الانتقال إلى أي عدد صحيح. يسمى هذا الخط بخط الأعداد للأعداد الصحيحة.

إضافة على خط الأعداد: دعونا نضيف 2 و 3. نبدأ من 2 على خط الأعداد ونقوم بالقفز إلى اليمين بمقدار وحدة المسافة لكل منهما. نصل إلى 5. لذا ، 2 + 3 = 5.

الطرح على خط الأعداد: دعونا نجد 5-3. نبدأ من 5 على خط الأعداد ونقوم بثلاث قفزات إلى اليسار بمقدار وحدة المسافة لكل منهما. نصل إلى 2. لذا ، 5 & # 8211 3 = 2.

الضرب على خط الأعداد: دعونا نجد 2 & # 2153. نبدأ من 0 على خط الأعداد وننقل وحدتين إلى اليمين في كل مرة. نقوم بثلاث حركات من هذا القبيل. نصل إلى 6. لذا. 2 × 3 = 6.

خواص الأعداد الصحيحة
دائمًا ما تكون نتيجة جمع عددين صحيحين عددًا صحيحًا. نقول أن جمع الأعداد الصحيحة مغلق تحت الجمع.

دائمًا ما تكون نتيجة ضرب عددين صحيحين عددًا صحيحًا. نقول أن جمع الأعداد الصحيحة مغلق ص تحت الضرب.

لا تكون نتيجة طرح عددين صحيحين دائمًا عددًا صحيحًا. على سبيل المثال: 5 & # 8211 2 = 3 عدد صحيح ولكن 2 & # 8211 4 = -2 ليس عددًا صحيحًا. نقول أن مجموعة الأعداد الصحيحة ليست مغلقة تحت الطرح.

لا تكون نتيجة قسمة عددين صحيحين عددًا صحيحًا دائمًا. على سبيل المثال: 6 ÷ 2 = 3 عدد صحيح ولكن 2 ÷ 5 = ( frac <2> <5> ) ليس عددًا صحيحًا. نقول أن جمع الأعداد الصحيحة ليس مغلقًا تحت التقسيم.

لم يتم تعريف قسمة عدد صحيح على 0.

يمكننا جمع عددين طبيعيين بأي ترتيب. على سبيل المثال: 1 + 2 = 2 + 1 = 3. نقول أن الجمع هو تبادلي لمجموعة الأعداد الصحيحة.

يمكننا ضرب عددين طبيعيين بأي ترتيب.
على سبيل المثال: 2 × 3 = 3 × 2 = 6. نقول أن الضرب هو تبادلي لتجميع الأعداد الصحيحة.

الجمع هو ترابطي للأعداد الصحيحة. على سبيل المثال: 1 + (2 + 3) = 1 + 5 = 6
(1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 إذًا ، 1 + (2 + 3) = (1 + 2) + 3.

الضرب هو ترابطي للأعداد الصحيحة.
على سبيل المثال: 2 × (3 × 5) = 2 × 15 = 30 (2 × 3) × 5 = 6 × 5 = 30 لذا ، 2 × (3 × 5) = (2 × 3) × 5.

الضرب هو التوزيع على الجمع للأعداد الصحيحة. فمثلا:
3 × (4 + 5) = 3 × 9 = 27
3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15 = 27
إذن ، 3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5.
يُعرف هذا باسم توزيعية الضرب على الجمع.
ملحوظة: خصائص التبادلية والترابطية والتوزيعية للأعداد الصحيحة مفيدة في تبسيط العمليات الحسابية ونستخدمها دون أن نكون على دراية بها.

نتيجة إضافة صفر إلى أي عدد صحيح هي نفس العدد الصحيح. نقول أن الصفر هو هوية جمع الأعداد الصحيحة أو الهوية المضافة للأعداد الصحيحة.

للعدد الصحيح صفر دور خاص في الضرب أيضًا. أي رقم ، عند ضربه في صفر ، يصبح صفرًا.

نتيجة ضرب 1 لأي ​​عدد صحيح هي نفس العدد الصحيح. نقول أن 1 هو هوية لضرب الأعداد الصحيحة أو المضاعفة للأعداد الصحيحة.

الأنماط في الأعداد الصحيحة
يمكن ترتيب بعض الأرقام في أشكال أولية على شكل خط ومستطيل ومربع ومثلث مكونة فقط من النقاط.
يمكن ترتيب كل رقم كخط.

يمكن ترتيب بعض الأرقام مثل 6 على شكل مستطيل. لاحظ أن عدد الصفوف يجب أن يكون أصغر من عدد الأعمدة. أيضًا ، يجب أن يحتوي المستطيل على أكثر من صف واحد.

يمكن ترتيب بعض الأرقام مثل 4 ، 9 كمربع. لاحظ أن كل رقم مربع هو أيضًا رقم مستطيل.

يمكن ترتيب بعض الأرقام مثل 3 ، 6 على شكل مثلث. لاحظ أن المثلث يجب أن يكون قائم الزاوية وأن ضلعيه متساويين. يجب أن يكون عدد النقاط في الصفوف التي تبدأ من الصف السفلي مثل 4 ، 3 ، 2 ، 1. يجب أن يحتوي الصف العلوي دائمًا على نقطة واحدة.

الأنماط التي تحتوي على أرقام ليست مثيرة للاهتمام فحسب ، ولكنها مفيدة أيضًا بشكل خاص للحسابات الذهنية وتساعدنا على فهم خصائص الأرقام بشكل أفضل.


إضافتها: مساعدة الأطفال على تعلم الرياضيات (2001)

الأعداد الصحيحة هي أسهل الأرقام للفهم والاستخدام. كما وصفنا في الفصل السابق ، يتعلم معظم الأطفال العد في سن مبكرة ويفهمون العديد من مبادئ العدد التي يعتمد عليها العد. حتى إذا بدأ الأطفال المدرسة بمنشأة محدودة العدد بشكل غير عادي ، يمكن تصميم أنشطة تعليمية مكثفة لمساعدتهم على الوصول إلى مستويات مماثلة لأقرانهم. 1 يوفر مرفق الأطفال و rsquos مع العد أساسًا لهم لحل مسائل الجمع والطرح والضرب والقسمة البسيطة بأعداد صحيحة. على الرغم من أنه لا يزال هناك الكثير مما يمكنهم فعله خلال السنوات القليلة الأولى من المدرسة ، إلا أن الأطفال يبدأون بمعرفة كبيرة يمكنهم البناء عليها.

في هذا الفصل ، ندرس تطور الكفاءة باستخدام الأعداد الصحيحة. نظهر أن الطلاب ينتقلون من طرق حل المشكلات العددية البديهية والملموسة والقائمة على نمذجة حالة المشكلة مباشرةً إلى طرق أكثر استقلالية عن المشكلة ومعقدة رياضياً وتعتمد على التدوين الرمزي القياسي. يظهر شكل من أشكال هذا التقدم في كل عملية لكل من الأرقام المكونة من رقم واحد والأرقام متعددة الأرقام.

نحن نركز على الحساب باستخدام الأعداد الصحيحة لأن تعلم الحساب يمكن أن يوفر للأطفال الصغار الفرصة للعمل من خلال العديد من مفاهيم الأرقام ودمج السلاسل الخمسة للكفاءة الرياضية. يمكن أن يوفر هذا التعلم الأساس لتطورهم الرياضي في وقت لاحق. يحتل الحساب بالأرقام الصحيحة جزءًا كبيرًا من المناهج الدراسية في الصفوف المبكرة ، وتؤدي الخبرات التعليمية المناسبة في هذه الصفوف إلى تحسين فرص الأطفال و rsquos للنجاح لاحقًا.

يوفر حساب العدد الكامل أيضًا مثالًا مفيدًا لكيفية تشابك المهارات الإجرائية التي تظهر بشكل روتيني مع خيوط الكفاءة الأخرى لزيادة الطلاقة في استخدام المهارات. لسنوات ، كان يُنظر إلى تعلم الحساب على أنه مسألة اتباع توجيهات المعلم و rsquos والممارسة حتى يتحقق التنفيذ السريع. إن التغييرات في المتطلبات المهنية ومهام الحياة اليومية ، فضلاً عن توافر أدوات الحوسبة الجديدة ، تعني أن دراسة الحساب أصبحت مطلوبة الآن. أكثر من مجرد وسيلة لإنتاج الإجابات ، يُنظر إلى الحساب بشكل متزايد على أنه نافذة على البنية العميقة لنظام الأرقام. لحسن الحظ ، يُظهر البحث أن كلاً من الأداء الماهر والفهم المفاهيمي يتم توليدهما من نفس أنواع الأنشطة. لا حاجة للمفاضلات. كما نوضح بالتفصيل أدناه ، فإن الأنشطة التي توفر هذه النتيجة القوية هي تلك التي تدمج خيوط الكفاءة.

العمليات مع الأعداد الصحيحة المكونة من رقم واحد

عندما يبدأ الطلاب المدرسة ، تم تصميم الكثير من نشاطهم الرقمي لمساعدتهم على إتقان العمليات الحسابية المكونة من رقم واحد. بواسطة حسابي من رقم واحد نعني مجاميع ومنتجات الأرقام المكونة من رقم واحد والاختلافات المصاحبة لها وحاصل القسمة (على سبيل المثال ، 5 + 7 = 12 ، 12 & ndash5 = 7 ، 12 & ndash7 = 5 و 5 & times7 = 35 ، 35 & divide5 = 7 ، 35 & divide7 = 5). لأكثر من قرن من الزمان ، تميز تعلم الحساب المكون من رقم واحد في الولايات المتحدة بأنه & ldquolearning الحقائق الأساسية ، & rdquo وكان التركيز على حفظ هذه الحقائق. نحن نستخدم المصطلح مجموعات الأرقام الأساسية للتأكيد على أن المعرفة علائقية ولا يلزم حفظها آليًا. يستخدم البالغون والأطفال مجموعة متنوعة من الاستراتيجيات ، بما في ذلك القواعد التلقائية أو شبه الآلية وعمليات التفكير لإنتاج مجموعات الأرقام الأساسية بكفاءة. 2 المعرفة العلائقية ، مثل معرفة التبادلية ، لا تعزز فقط تعلم مجموعات الأرقام الأساسية ولكنها قد تكمن أيضًا في التمثيل العقلي لهذه المعرفة الأساسية أو تؤثر عليها. 3

مجال العدد المبكر ، بما في ذلك التعلم الأولي للأطفال و rsquos للحساب المكون من رقم واحد ، هو بلا شك أكثر المجالات التي تم التحقيق فيها بدقة في الرياضيات المدرسية. يوجد الآن قدر كبير من الأبحاث حول كيفية تعلم الأطفال في العديد من البلدان للعمليات المكونة من رقم واحد بأعداد صحيحة. على الرغم من أن بعض المعلمين اعتقدوا ذات مرة أن الأطفال يحفظون حقائقهم & ldquobasic & rdquo كاستجابات مشروطة ، تظهر الأبحاث أن الأطفال يفعلون ذلك ليس الانتقال من عدم معرفة أي شيء عن المجاميع والاختلافات في الأرقام إلى حفظ تركيبات الأرقام الأساسية. بدلاً من ذلك ، ينتقلون عبر سلسلة من الأساليب الأكثر تقدمًا وتجريدًا بشكل تدريجي للتوصل إلى الإجابات

لمشاكل حسابية بسيطة. علاوة على ذلك ، مع تقدم الأطفال في السن ، فإنهم يستخدمون الإجراءات بشكل أكثر فاعلية. 4 تشير الأدلة الحديثة إلى أن الأطفال يمكنهم استخدام هذه الإجراءات بسرعة كبيرة. 5 ليس كل الأطفال يتبعون نفس المسار ، ولكن كل الأطفال يطورون بعض الإجراءات الوسيطة والمؤقتة.

يستمر معظم الأطفال في استخدام هذه الإجراءات من حين لآخر ولإجراء بعض الحسابات. يصبح الاستدعاء في النهاية الطريقة السائدة لبعض الأطفال ، لكن طرق البحث الحالية لا تستطيع التمييز بشكل كافٍ بين الإجابات الناتجة عن الاستدعاء وتلك الناتجة عن الإجراءات السريعة (غير القابلة للاستدعاء). يصف هذا الفصل العمليات المعقدة التي يتعلم الأطفال من خلالها حساب الأعداد الصحيحة. نظرًا لأن البحث على الأعداد الصحيحة يكشف عن مقدار ما يمكن فهمه عن الأطفال و rsquos للتطور الرياضي من خلال الاستفسار المستمر والمتعدد التخصصات ، فإننا نقدم المزيد من التفاصيل في هذا الفصل أكثر من الفصول اللاحقة.

مشاكل الكلمات: سياق ذو معنى

أحد أكثر السياقات ذات المغزى الذي يبدأ فيه الأطفال الصغار في تطوير الكفاءة باستخدام أعداد صحيحة يتم توفيره من خلال ما يسمى بالمشاكل الكلامية. ربما يكون هذا التأكيد مفاجأة للكثيرين ، وخاصة معلمي الرياضيات في المدارس الإعدادية والثانوية الذين يواجه طلابهم صعوبات خاصة في مثل هذه المشكلات. لكن الأبحاث المكثفة تظهر أنه إذا تمكن الأطفال من العد ، فيمكنهم البدء في استخدام مهاراتهم في العد لحل المشكلات الكلامية البسيطة. علاوة على ذلك ، يمكنهم تطوير مهارات العد هذه لأنهم يحلون المزيد من المشكلات. 6 في الواقع ، في حل المشكلات الكلامية ، تتاح للأطفال الصغار فرصًا لعرض مستوياتهم الأكثر تقدمًا في أداء العد وبناء ذخيرة من الإجراءات الحسابية.

يمكن لمعظم الأطفال الذين يدخلون المدرسة العد لحل المسائل الكلامية التي تتضمن الجمع والطرح والضرب والقسمة. 7 يزداد أداؤهم إذا تمت صياغة المشاكل ببساطة ، واستخدموا أعدادًا صغيرة ، وكانت مصحوبة بعدادات مادية ليستخدمها الأطفال. تم توثيق الإجراءات الدقيقة التي من المحتمل أن يستخدمها الأطفال جيدًا. ضع في اعتبارك المشكلات التالية:

سالي لديها 6 سيارات لعبة. أعطت 4 لبيل. كم غادرت؟

سالي لديها 4 سيارات لعبة. كم تحتاج أكثر حتى تحصل على 6؟

يحل معظم الأطفال المشكلة الأولى عن طريق عد مجموعة من 6 ، وإزالة 4 ، وإحصاء السيارات المتبقية للعثور على الإجابة. فى المقابل،

يقومون بحل المسألة الثانية عن طريق حساب مجموعة من 4 ، وإضافة المزيد كلما احتسبوا & ldquofive ، ستة ، & rdquo ثم عد هؤلاء المضافين للعثور على الإجابة.

يحل الأطفال هذه المشكلات عن طريق & ldquo و التصرف في الموقف و mdasht أي ، عن طريق نمذجة ذلك. إنهم يخترعون إجراءً يعكس الأفعال أو العلاقات الموصوفة في المشكلة. هذا النهج البسيط ولكن القوي يحافظ على الطلاقة الإجرائية مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالفهم المفاهيمي والكفاءة الاستراتيجية. يحل الأطفال في البداية فقط تلك المشكلات التي يفهمونها ، والتي يمكنهم تمثيلها أو نمذجتها باستخدام أشياء مادية ، والتي تتضمن أرقامًا ضمن نطاق العد الخاص بهم. على الرغم من أن هذا النهج يحد من أنواع المشاكل التي ينجح الأطفال في حلها ، إلا أنه يمكّنهم أيضًا من حل مجموعة ملحوظة من المشكلات ، بما في ذلك تلك التي تنطوي على الضرب والقسمة.

نظرًا لأن الأطفال يحلون مشكلات الكلمات بشكل حدسي من خلال نمذجة الإجراءات والعلاقات الموصوفة فيها ، فمن المهم التمييز بين الأنواع المختلفة من المشكلات التي يمكن تمثيلها عن طريق الجمع أو الطرح ، وبين تلك التي يتم تمثيلها بالضرب أو القسمة. إحدى الطرق المفيدة لتصنيف المشكلات هي الالتفات إلى نهج children & rsquos وفحص الإجراءات والعلاقات الموصوفة. ينتج هذا الفحص تصنيفًا لأنواع المشكلات التي تتميز بطريقة الحل التي يستخدمها الأطفال ويوفر إطارًا لشرح الصعوبة النسبية للمشكلات.

يمكن تحديد أربع فئات أساسية من مشاكل الجمع والطرح: المشكلات التي تتضمن (أ) الانضمام ، (ب) الفصل ، (ج) العلاقات الجزئية-الكلية ، (د) علاقات المقارنة. تتضمن المشكلات داخل فئة ما نفس نوع الإجراء أو العلاقة ، ولكن في كل فئة يمكن تحديد عدة أنواع متميزة من المشكلات اعتمادًا على الكمية غير المعروفة (انظر الجدول 6 & ndash1). تم توثيق إجراءات الطلاب لحل مجموعة مسائل الجمع والطرح بأكملها والصعوبة النسبية للمشكلات بشكل جيد. 8

بالنسبة إلى الضرب والقسمة ، فإن أبسط أنواع المسائل هي حالات التجميع التي تتضمن ثلاثة مكونات: عدد المجموعات ، والرقم في كل مجموعة ، والعدد الإجمالي. فمثلا:

صنع جوزيه 4 أكوام من الرخام مع 3 كرات في كل كومة. كم عدد الكرات التي يمتلكها جوز؟

في هذه المشكلة ، عدد المجموعات وحجمها معروف والإجمالي غير معروف. هناك نوعان من حالات القسمة المقابلة اعتمادًا على ما إذا كان يجب على المرء العثور على عدد المجموعات أو الرقم في كل مجموعة. فمثلا:

أنواع مسائل الجمع والطرح

كان لدى كوني 5 كرات. أعطاها خوان 8 كرات أخرى. كم عدد الكرات التي تمتلكها كوني؟

كوني لديها 5 كرات. كم عدد الكرات الأخرى التي تحتاجها للحصول على 13 كرية إجمالاً؟

كان لدى كوني بعض الكرات. أعطاها خوان 5 آخرين. الآن لديها 13 كرة. كم عدد الكرات التي كان على كوني أن تبدأ بها؟

كان لدى كوني 13 كرة. أعطت 5 لخوان. كم عدد الكرات التي تركتها كوني؟

كان لدى كوني 13 كرة. أعطت بعضًا لخوان. الآن لديها 5 قطع من الرخام. كم عدد الكرات التي أعطتها كوني لخوان؟

كان لدى كوني بعض الكرات. أعطت 5 لخوان. الآن لديها 8 كرات زجاجية متبقية. كم عدد الكرات التي كان على كوني أن تبدأ بها؟

كوني لديها 5 كرات حمراء و 8 كرات زرقاء. كم عدد الكرات التي تمتلكها إجمالاً؟

لدى كوني 13 كرة: 5 منها حمراء والباقي زرقاء. كم عدد الكرات الزرقاء التي تمتلكها كوني؟

كوني لديها 13 كرة رخامية. يمتلك خوان 5 كرات. كم عدد الكرات التي تمتلكها كوني أكثر من خوان؟

يمتلك خوان 5 كرات. كوني لديها 8 أكثر من خوان. كم عدد الكرات التي تمتلكها كوني؟

كوني لديها 13 كرة رخامية. لديها 5 كرات أكثر من خوان. كم عدد الكرات التي يمتلكها خوان؟

المصدر: Carpenter، Fennema، Franke، Levi، and Empson، 1999، p. 12. تستخدم بإذن من Heinemann. كل الحقوق محفوظة.

يمتلك جوزيه 12 كرة ويضعها في أكوام من 3. كم عدد الأكوام التي لديه؟

يمتلك جوزيه 12 كرة ويقسمها بالتساوي إلى 3 أكوام. كم عدد الكرات في كل كومة؟

يتم تقديم أنواع إضافية من مسائل الضرب والقسمة لاحقًا في المنهج. وتشمل هذه المشاكل المعدل ، ومشاكل المقارنة المضاعفة ، ومشاكل الصفيف والمنطقة ، والمنتجات الديكارتية. 9

كما هو الحال مع مسائل الجمع والطرح ، يحل الأطفال في البداية مسائل الضرب والقسمة عن طريق نمذجة الفعل والعلاقات في المسائل بشكل مباشر. 10 بالنسبة لمسألة الضرب المذكورة أعلاه مع الكرات ، فإنهم يشكلون أربعة أكوام كل منها ثلاثة ويحسبون المجموع لإيجاد الإجابة. بالنسبة لمسألة القسمة الأولى ، فإنهم يصنعون مجموعات بالحجم المحدد من ثلاثة ويحسبون عدد المجموعات للعثور على الإجابة. بالنسبة للمشكلة الأخرى ، يقومون بتكوين المجموعات الثلاث عن طريق التوزيع (كما في البطاقات) وإحصاء الرقم في إحدى المجموعات. على الرغم من أن البالغين قد يتعرفون على كلتا المشكلتين على أنهما 12 مقسومة على 3 ، فإن الأطفال يفكرون بهما في البداية من منظور الأفعال أو العلاقات التي يتم تصويرها.بمرور الوقت ، يتم استبدال إجراءات النمذجة المباشرة هذه بطرق أكثر كفاءة تعتمد على العد أو الجمع أو الطرح المتكرر أو اشتقاق إجابة من مجموعة أرقام معروفة. 11

ملاحظة أن الأطفال يستخدمون طرقًا مختلفة لحل المشكلات التي تصف مواقف مختلفة لها آثار مهمة. من ناحية أخرى ، فإن نمذجة الإجراء في المشكلة بشكل مباشر هو نهج معقول للغاية. من ناحية أخرى ، مع زيادة الأرقام في المشكلات ، يصبح تنفيذ إجراءات النمذجة المباشرة التي تتضمن عد جميع الكائنات غير فعالة.

يتطور إتقان الأطفال و rsquos تدريجيًا في اتجاهين مهمين. الأول هو من وجود طريقة حل مختلفة لكل نوع من المشاكل إلى تطوير طريقة عامة واحدة يمكن استخدامها لفئات المشاكل ذات البنية الرياضية المتشابهة. اتجاه آخر هو نحو إجراءات حسابية أكثر كفاءة. تتطور إجراءات النمذجة المباشرة إلى إجراءات العد الأكثر تقدمًا الموضحة في القسم التالي. بالنسبة لمشاكل الكلمات ، فإن هذه الإجراءات هي في الأساس تجريدات للنمذجة المباشرة التي تستمر في عكس الإجراءات والعلاقات في المشاكل.

الطريقة التي قد يستخدمها الأطفال لحل فئة من المشاكل ليست بالضرورة الطريقة التي يتم تدريسها تقليديًا. على سبيل المثال ، يأتي العديد من الأطفال لحل مشكلات & ldquosubtraction & rdquo الموصوفة أعلاه عن طريق العد أو الجمع أو التفكير في مجموعة إضافة ذات صلة لأن أيًا من هذه الطرق أسهل وأكثر دقة من العد التنازلي. الطريقة التي يتم تقديمها تقليديًا في الكتب المدرسية هي حل هاتين المشكلتين من خلال

الطرح ، والذي يحرك الطلاب نحو إجراء العد التنازلي الأكثر صعوبة وعرضة للخطأ. في النهاية ، يبدأ معظم الأطفال في استخدام الاستدعاء أو إجراء عقلي سريع لحل هذه المشكلات ، ويتوصلون إلى إدراك أنه يمكن استخدام نفس الطريقة العامة لحل مجموعة متنوعة من المشكلات.

الجمع أحادي الرقم

يفهم الأطفال معنى الإضافة في سياق مشاكل الكلمات. كما أشرنا في القسم السابق ، ينتقل الأطفال من العد إلى طرق أكثر عمومية لحل فئات مختلفة من المشكلات. كما يفعلون ، يطورون أيضًا طلاقة أكبر مع كل طريقة محددة. نسمي هذه الطرق المحددة للعد إجراءات. على الرغم من أن المعلمين قد أدركوا منذ فترة طويلة أن الأطفال يستخدمون مجموعة متنوعة من الإجراءات لحل مشاكل الجمع المكونة من رقم واحد ، فإن 12 بحثًا جوهريًا من جميع أنحاء العالم يشير الآن إلى أن الأطفال ينتقلون من خلال سلسلة من الإجراءات المختلفة للعثور على مجموع الأرقام المكونة من رقم واحد. 13

تم توضيح هذا التقدم في المربع 6 & ndash1. أولاً ، يقوم الأطفال بحساب الكائنات للإضافة الأولى ، وعد الكائنات للإضافة الثانية ، وإحصاء جميع الكائنات (عد الكل). يصبح هذا الإجراء العام لعدّ الكل مختصراً ومضمناً وملخصاً عندما يصبح الأطفال أكثر خبرة به. بعد ذلك ، لاحظوا أنهم ليسوا مضطرين إلى حساب الكائنات للإضافة الأولى ولكن يمكنهم البدء بالرقم في الإضافة الأولى أو الأكبر والعدد على الكائنات في الإضافة الأخرى (الاعتماد على). مثل الأطفال

المربع 6 & ndash1 تقدم التعلم لجمع رقم واحد

مع الأشياء ، يبدأون في استخدام كلمات العد نفسها كأشياء قابلة للعد وتتبع عدد الكلمات التي تم حسابها باستخدام الأصابع أو الأنماط السمعية. أصبحت قائمة العد أداة تمثيلية. مع مرور الوقت ، يعيد الأطفال تكوين الأرقام في أرقام أخرى (يتم إعادة تكوين 4 في 3 + 1) ويستخدمون استراتيجيات التفكير التي يحولون فيها مجموعة إضافة لا يعرفونها إلى واحدة يعرفونها (3 + 4 تصبح 3 + 3 + 1). في الولايات المتحدة ، هذه الاستراتيجيات ل مجموعات الأرقام المشتقة غالبًا ما تستخدم ما يسمى مزدوج (2 + 2 ، 3 + 3 ، إلخ). يتم تعلم هذه الزوجي بسرعة كبيرة.

كما يوضح الإطار 6 و ndash1 ، خلال هذا التقدم في التعلم ، تنتقل مبالغ محددة إلى فئة الاستدعاء السريع بدلاً من حلها بإحدى الطرق الأخرى الموضحة أعلاه. يتفاوت الأطفال في المبالغ التي يتذكرونها أولاً بسهولة ، على الرغم من المضاعفات ، وإضافة واحدة (المجموع هو كلمة العد التالية) ، والمجاميع الصغيرة هي الأكثر استرجاعًا بسهولة. عادة ما تتعايش العديد من إجراءات الجمع المكون من رقم واحد لعدة سنوات يتم استخدامها لأرقام مختلفة وفي مواقف مشكلة مختلفة. توفر الخبرة في اكتشاف إجابة مشاكل الإضافة الأساس لفهم ما يعنيه أن تقول & ldquo5 + 3 = 8 & rdquo وللتذكر في النهاية هذا المبلغ دون استخدام أي استراتيجية واعية.

غالبًا ما يتبع الأطفال في العديد من البلدان هذا التقدم في الإجراءات ، وهو تطور طبيعي للتضمين والاختصار. يمكن تدريس بعض هذه الإجراءات ، مما يؤدي إلى تسريع استخدامها ، 14 على الرغم من أن التدريس المباشر لهذه الاستراتيجيات يجب أن يتم بشكل مفاهيمي بدلاً من مجرد استخدام التقليد والتكرار. 15 في بعض البلدان ، يتعلم الأطفال إجراءً عامًا يُعرف باسم & ldquomake a 10 & rdquo (انظر الإطار 6 و ndash2). 16 في هذا الإجراء ، يصنع المحول 10 من مضاف واحد عن طريق أخذ رقم من المضاف الآخر. يعتقد اختصاصيو التوعية في بعض البلدان التي تستخدم هذا النهج أن هذه الحالة الأولى من إعادة التجميع عن طريق تكوين 10 توفر أساسًا حاسمًا لعملية حسابية متعددة الأرقام لاحقًا. في بعض البلدان الآسيوية ، من المفترض أن يتم تسهيل هذا الإجراء من خلال عدد الكلمات. 17 كما تم تدريسها في بعض البلدان الأوروبية حيث تكون أسماء الأرقام أكثر تشابهًا مع أسماء اللغة الإنجليزية ، مما يشير إلى أنه يمكن استخدام الإجراء مع مجموعة متنوعة من أنظمة تسمية الأرقام. بدأ الإجراء الآن في الظهور في الكتب المدرسية بالولايات المتحدة ، 18 على الرغم من أنه قد يتم تخصيص مساحة صغيرة جدًا له لدرجة أن بعض الأطفال قد لا يكون لديهم الوقت والفرصة الكافية لفهمه وتعلمه جيدًا

هناك تباين ملحوظ في الإجراءات التي يستخدمها الأطفال لحل مشاكل الجمع البسيطة. 19 في مواجهة هذا الاختلاف ، يمكن للمدرسين اتخاذ خطوات مختلفة لدعم حركة الأطفال و rsquos نحو إجراءات أكثر تقدمًا. تتمثل إحدى التقنيات في التحدث عن إجراءات أكثر تقدمًا قليلاً و لماذا ا

المربع 6 & ndash2 اصنع عشرة: ب + 6 =؟

هم يعملون. 20 يمكن للمدرس أن يحفز المناقشة في الفصل حول الإجراءات التي يستخدمها العديد من الطلاب. يمكن منح الطلاب فرصًا لعرض إجراءاتهم ومناقشتها. يمكن بعد ذلك تشجيع الآخرين على تجربة الإجراء. يمكن استخدام الرسومات أو المواد الخرسانية للكشف عن كيفية عمل الإجراءات. يمكن أيضًا فحص مزايا وعيوب الإجراءات المختلفة. بالنسبة لإجراء معين ، يمكن إنشاء المشكلات التي قد تعمل بشكل جيد أو لا تكون فعالة من أجلها.

تستخدم التقنيات الأخرى التي تشجع الطلاب على استخدام إجراءات أكثر كفاءة أعدادًا كبيرة في المشكلات بحيث لا يمكن بسهولة استخدام إجراءات العد غير الفعالة وإخفاء إحدى المجموعات لتحفيز طريقة جديدة للتفكير في المشكلة. تشير دراسات التدخل إلى أن تدريس إجراءات العد بطريقة مفاهيمية يجعل جميع المبالغ المكونة من رقم واحد في متناول طلاب الصف الأول في الولايات المتحدة ، بما في ذلك الأطفال الذين يعانون من صعوبات التعلم وأولئك الذين لا يتحدثون اللغة الإنجليزية كلغة أولى. 21 تقديم الدعم للأطفال لتحسين إجراءاتهم هو أمر مفيد ليس يعني ، مع ذلك ، أن كل طفل يتعلم استخدام جميع الإجراءات التي يطورها الأطفال الآخرون. ولا يعني ذلك أن المعلم يحتاج إلى تزويد كل طفل في الفصل به

دعم وتبرير الإجراءات المختلفة. بدلاً من ذلك ، يوفر البحث دليلاً على أنه في أي وقت يستخدم معظم الأطفال عددًا صغيرًا من الإجراءات وأن المعلمين يمكنهم تعلم التعرف عليهم ومساعدة الأطفال على تعلم الإجراءات الأكثر فعالية من الناحية المفاهيمية (مثل الاعتماد على الإضافة الأكبر بدلاً من عد الكل). 22

لا تشمل الكفاءة الرياضية فيما يتعلق بالإضافة المكونة من رقم واحد الأداء الطليق للعملية فحسب ، بل تشمل أيضًا الفهم المفاهيمي والقدرة على تحديد وتمثيل المواقف التي تتطلب الإضافة بدقة. يعد تقديم مشكلات الكلمات كسياقات لإضافة ومناقشة مزايا وعيوب إجراءات الإضافة المختلفة طرقًا لتسهيل التفكير التكيفي للطلاب وتحسين فهمهم لعمليات الإضافة.

الطرح من رقم واحد

يتبع الطرح تقدمًا يوازي عمومًا مع الجمع (انظر الإطار 6 و ndash3). يخترع بعض الأطفال الأمريكيين أيضًا طرقًا للعد التنازلي التي تشكل نموذجًا لسحب الأرقام من خلال العد التنازلي من الإجمالي. لكن العد التنازلي والعد التنازلي أمر صعب بالنسبة للعديد من الأطفال. 23

صندوق 6 & ndash3 تقدم التعلم للطرح من رقم واحد

يخترع عدد كبير من الأطفال إجراءات العدّ للحالات التي تتم فيها إضافة كمية غير معروفة إلى كمية معروفة. 24 العديد من هؤلاء الأطفال يحسبون لاحقًا في حالات الطرح (13 & ndash8 =؟ يصبح 8 +؟ = 13). عندما لا يتم تقديم العد العددي ، قد لا يخترعه العديد من الأطفال حتى الصف الثاني أو الصف الثالث ، على كل حال. دراسات التدخل مع طلاب الصف الأول في الولايات المتحدة والتي ساعدتهم على رؤية حالات الطرح على أنها استبعاد الأول x كائنات تمكنهم من تعلم وفهم العد حتى إجراءات الطرح. أصبحت دقة الطرح عالية مثل دقة الجمع. 25

تم أيضًا عرض التجارب التي تركز على العلاقات الجزئية-الجزئية-الكلية لمساعدة الطلاب على تطوير استراتيجيات تفكير أكثر كفاءة ، خاصة للطرح. 26 يفحص الطلاب حالة ربط أو منفصلة ويحددون الرقم الذي يمثل الكمية الكاملة والأرقام التي تمثل الأجزاء. تساعد هذه التجارب الطلاب على معرفة كيفية ارتباط الجمع والطرح ومساعدتهم على التعرف على وقت الجمع ومتى يتم الطرح. بالنسبة للطلاب في الصفوف من K إلى 2 ، فإن تعلم رؤية العلاقات الجزئية-الكاملة بالإضافة إلى حالات الجمع والطرح هو أحد أهم إنجازاتهم في الحساب. 27

بالنسبة للطلاب في الصفوف من K إلى 2 ، فإن تعلم رؤية العلاقات الجزئية-الكاملة بالإضافة إلى حالات الجمع والطرح هو أحد أهم إنجازاتهم في الحساب.

يعد فحص العلاقات بين الجمع والطرح ورؤية الطرح على أنه يتضمن إضافة معروفة وغير معروفة أمثلة على التفكير التكيفي. من خلال توفير الخبرات للطلاب الصغار لتطوير التفكير التكيفي بالإضافة إلى مواقف الطرح ، يتوقع المعلمون أيضًا الجبر حيث يبدأ الطلاب في تقدير العلاقات العكسية بين العمليتين. 28

الضرب من رقم واحد

يتوفر عدد أقل بكثير من الأبحاث حول الضرب والقسمة من رقم واحد مقارنةً بالجمع والطرح من رقم واحد. يتقدم أطفال الولايات المتحدة من خلال سلسلة من إجراءات الضرب التي تشبه إلى حد ما تلك الخاصة بالإضافة. 29 يتساوىون في المجموعات ويحسبونها جميعا. يتعلمون قوائم التخطي لمضاعفات مختلفة (على سبيل المثال ، يعدون 4 ، 8 ، 12 ، 16 ، 20 ، ويتضاعفون في أربعة). ثم يعتمدون على هذه القوائم ويعدونها التنازلي باستخدام أصابعهم لتتبع المنتجات المختلفة. إنهم يخترعون استراتيجيات التفكير التي يستمدون من خلالها المنتجات ذات الصلة من المنتجات التي يعرفونها.

كما هو الحال مع الجمع والطرح ، يخترع الأطفال العديد من الإجراءات التي يستخدمونها في الضرب. يجدون الأنماط ويستخدمون العد بالتخطي (على سبيل المثال ، ضرب 4 مرات و 3 بالعد & ldquo3 و 6 و 9 و 12 و rdquo). إن العثور على الأنماط واستراتيجيات التفكير الأخرى واستخدامها يبسط إلى حد كبير مهمة تعلم جداول الضرب (انظر الإطار 6 و ndash4 للحصول على بعض الأمثلة). 30 علاوة على ذلك ، البحث والوصف

المربع 6 & ndash4 استراتيجيات التفكير لمضاعفة رقم واحد

في الحساب المكون من رقم واحد ، هناك 100 مجموعة ضرب يجب على الطلاب تعلمها. يقلل التبادل هذا الرقم بمقدار النصف تقريبًا. يمكن استنتاج الضرب في 0 و 1 بسرعة من معنى الضرب. يتكون الضرب في 2 من & ldquodoubles & rdquo من الإضافة. يتم تبسيط الضرب المكون من رقم واحد في 9 بواسطة نمط: في المنتج ، يكون مجموع الأرقام هو 9. (على سبيل المثال ، 9 & مرات 7 = 63 و 6 + 3 = 9.) يمكن أيضًا استنتاج الضرب في 5 من خلال الأنماط أو بواسطة الضرب أولًا في 10 ثم القسمة على 2 ، لأن 5 هي نصف 10.

يمكن حساب مجموعات الضرب الـ 15 المتبقية (ونظيراتها التبادلية) عن طريق تخطي العد أو من خلال البناء على مجموعات معروفة. على سبيل المثال ، يجب أن تكون 3 مرات و 6 6 أكثر من 2 مرات و 6 ، أي 12. إذن ، 3 مرات 6 تساوي 18. وبالمثل ، يجب أن تكون 4 مرات و 7 مرات مرتين و مرات 7 ، أي 14. إذن 4 و مرات 7 هي 28. (لاحظ أن هذه الاستراتيجيات تتطلب إتقان مع الجمع.) مضاعفات العدد 6 ، يمكن للمرء أن يبني على مضاعفات العدد 5. لذلك ، على سبيل المثال ، 6 مرات 8 يجب أن تكون 8 أكثر من 5 مرات 8 ، أي 40. إذن 6 مرات 8 هي 48. إذا كان الطلاب مرتاحين لمثل هذه الاستراتيجيات للضرب في 3 ، 4 ، و 6 ، تبقى ثلاث مجموعات للضرب فقط: 7 مرات و 7 مرات و 7 مرات و 8 مرات و 8 مرات 8. يمكن اشتقاقها من مجموعات معروفة بعدة طرق إبداعية.

الأنماط هي السمة المميزة للرياضيات. وبالتالي ، فإن معاملة تعلم الضرب على أنه إيجاد نمط يبسط المهمة ويستخدم فكرة رياضية أساسية.

بعد تحديد الأطفال للأنماط ، لا يزالون بحاجة إلى الكثير من الخبرة لإنتاج قوائم التخطي والمنتجات الفردية بسرعة. لا يُعرف سوى القليل عن كيفية اكتساب الأطفال لهذه الطلاقة أو التجارب التي قد تكون مفيدة للغاية. لا يزال هناك قدر كبير من البحث الذي يتعين القيام به ، في الولايات المتحدة ودول أخرى ، لفهم المزيد حول هذه العملية.

تقسيم من رقم واحد

ينشأ الانقسام من حالتين منفصلتين موصوفتين أعلاه. يتم تقسيم المجموعة إلى مجموعات ذات حجم محدد أو إلى عدد محدد من المجموعات. مثلما يمكن التفكير في الطرح باستخدام علاقة جزء-جزء-كامل ، يمكن اعتبار القسمة على أنها تقسيم رقم إلى عاملين. ومن ثم ، يمكن أيضًا التعامل مع الأقسام على أنها إيجاد عامل مفقود في الضرب. على سبيل المثال ، 72 & divide9 =؟ يمكن اعتباره 9 & قسمة؟ = 72. لكن هناك القليل

البحث بشأن أفضل السبل لتقديم واستخدام هذه العلاقة ، أو ما إذا كان من المفيد تعلم مجموعة قسمة في نفس الوقت مع توليفة الضرب المقابلة. علاوة على ذلك ، هناك القليل من الأبحاث حول كيفية مساعدة الأطفال على تعلم واستخدام جميع الرموز المختلفة للتقسيم بسهولة ، مثل 15 & قسمة 3 و

ممارسة العمليات الحسابية من رقم واحد

إن ممارسة العمليات الحسابية المكونة من رقم واحد أمر ضروري لتطوير الطلاقة معهم. يمكن أن تحدث هذه الممارسة في العديد من السياقات المختلفة ، بما في ذلك حل مشاكل الكلمات. 31 لا يطور التدريب وحده إتقان مجموعات مكونة من رقم واحد. تم إثبات أن الممارسة التي تتبع الخبرات الأولية الجوهرية التي تدعم الفهم والتأكيد على استراتيجيات التفكير والتفكير rdquo تعمل على تحسين تحصيل الطلاب من خلال الحسابات المكونة من رقم واحد. 33 يسمح هذا النهج للحساب والفهم بالتطور معًا وتسهيل بعضهما البعض. شرح كيفية عمل الإجراءات وفحص فوائدها ، كجزء من التعليمات ، ودعم الاحتفاظ بها وتحقيق مستويات أعلى من الأداء. وبهذه الطريقة ، تظل ممارسة الحساب متكاملة مع خيوط الكفاءة الأخرى مثل الكفاءة الإستراتيجية والتفكير التكيفي.

إن ممارسة العمليات الحسابية المكونة من رقم واحد أمر ضروري لتطوير الطلاقة معهم.

من المفيد أن تستهدف بعض الممارسات التعلم الحديث. بعد أن يناقش الطلاب إجراءً جديدًا ، يمكنهم الاستفادة من ممارسته. على سبيل المثال ، إذا كانوا قد ناقشوا للتو إجراء make-a-10 (انظر الإطار 6 و ndash2) ، فإن حل المشكلات التي تتضمن 8 أو 9 التي يمكن فيها استخدام الإجراء بسهولة يوفر ممارسة مفيدة. من المفيد أيضًا أن تكون بعض الممارسات تراكمية ، وتحدث جيدًا بعد التعلم الأولي ومراجعة الإجراءات الأكثر تقدمًا التي تم تعلمها.

يتمتع العديد من الطلاب الأمريكيين بتجربة إجراء اختبار محدد بوقت قد يكون صفحة من مسائل الجمع والطرح والضرب والقسمة المختلطة. في رأينا ، نادرًا ما يكون هذا الشكل المبعثر للممارسة هو أفضل استخدام لوقت الممارسة. في وقت مبكر من التعلم يمكن أن يكون محبطًا للطلاب الذين تعلموا فقط الإجراءات البدائية غير الفعالة. يمكن أن تؤثر التجربة سلبًا على الطلاب وميلهم نحو الرياضيات ، خاصة إذا تم استخدام الاختبارات لمقارنة أدائهم. 35 إذا تأخرت الاختبارات المحددة بوقت مناسب ، يمكن أن تفيد بعض الطلاب ، ولكن الأشكال المستهدفة من الممارسة ، مع مجموعات معينة لم يتم إتقانها بعد أو يمكن استخدام إجراءات فعالة فيها ، عادة ما تكون أكثر فعالية. 36

ملخص النتائج تعلم رقم واحد علم الحساب

للجمع والطرح ، هناك تسلسل موثق جيدًا للإجراءات المستخدمة في جميع أنحاء العالم 37 من قبل العديد من الأطفال والتي تنبع من الطبيعة المتسلسلة لقائمة الكلمات الرقمية. يتم استخدام هذه القائمة لأول مرة كأداة عد ، ثم تصبح أداة تمثيلية تكون فيها كلمات الأرقام نفسها هي الكائنات التي يتم عدها. 38 يصبح العد مختصرًا وسريعًا ، ويبدأ الطلاب في تطوير الإجراءات التي تستفيد من خصائص الحساب لتبسيط الحساب. خلال هذا التقدم ، يستخدم الأطفال مجموعة من الإجراءات المختلفة حول مشاكل مختلفة وحتى في نفس المشكلة التي يواجهونها في أوقات مختلفة. 39 حتى وجد أن البالغين يستخدمون مجموعة من الإجراءات المختلفة لمشاكل الإضافة البسيطة. 40 علاوة على ذلك ، يستغرق الأمر فترة طويلة من الوقت قبل أن تحل الاستراتيجيات الجديدة والأفضل محل الاستراتيجيات المستخدمة سابقًا. 41 لا يستخدم الأطفال الذين يعانون من صعوبات التعلم وغيرهم ممن يجدون صعوبة في الرياضيات إجراءات تختلف عن هذا التقدم. هم فقط أبطأ من الآخرين في التحرك من خلاله. 42

يمكن أن يساعد التدريس الطلاب على التقدم. 43 يمكن الوصول إلى العد على طلاب الصف الأول ، فهو يجعل من الممكن الإضافة السريعة والدقيقة لجميع الأرقام المكونة من رقم واحد. عادة ما يكون الطرح أحادي الرقم أكثر صعوبة من الجمع لأطفال الولايات المتحدة. إذا فهم الأطفال العلاقة بين الجمع والطرح ، ربما من خلال التفكير في المشكلة من منظور جزء-جزء-كل ، فإنهم يدركون أنه يمكن استخدام العد التصاعدي لحل مشاكل الطرح. هذا التعرف يجعل الطرح أكثر سهولة. 44

يمكن تعلم إجراءات الاعتماد على الجمع والعد للطرح بسهولة نسبية. الضرب والقسمة أكثر صعوبة إلى حد ما. حتى البالغين قد لا يكون لديهم طرق سريعة لإعادة بناء الإجابات على مشاكل مثل 6 & times8 =؟ أو إذا نسوا الإجابات. يبدو أن تعلم هذه المجموعات يتطلب الكثير من المعرفة المحددة القائمة على الأنماط والتي تحتاج إلى تنسيقها في منتجات وحواجز يمكن الوصول إليها وسريعة بما فيه الكفاية. كما هو الحال مع الجمع والطرح ، يشتق الأطفال بعض مجموعات الضرب والقسمة من الآخرين على سبيل المثال ، يتذكرون أن 6 مرات 6 = 36 ويستخدمون هذه المجموعة لاستنتاج أن 6 مرات 7 = 42. هناك حاجة إلى البحث في طرق دعم اكتشاف الأنماط هذا ، جنبًا إلى جنب مع التفكير والممارسة المتابعين الضروريين ، إذا كان على جميع أطفال الولايات المتحدة اكتساب مستويات أعلى من الكفاءة في الحساب المكون من رقم واحد.

يتطلب اكتساب الكفاءة باستخدام عمليات حسابية أحادية الرقم أكثر بكثير من الحفظ عن ظهر قلب.يوضح مجال العدد هذا كيف تساهم خيوط الكفاءة المختلفة في بعضها البعض. في هذه المرحلة المبكرة في

التنمية ، فإن العديد من الروابط بين الخيوط ناتجة عن ميل الأطفال و rsquos الطبيعي لفهم الأشياء والانخراط في الإجراءات التي يفهمونها. يبدأ الأطفال بالفهم النظري للعدد ومعاني العمليات. إنهم يطورون تمثيلات معقدة بشكل متزايد للعمليات مثل إجراءات العد أو العد عندما يكتسبون مزيدًا من الطلاقة. كما أنهم يعتمدون بشدة على الاستدلال لاستخدام الإجابات المعروفة مثل الزوجي لتوليد إجابات غير معروفة. حتى في الصفوف المبكرة ، يختار الطلاب بشكل تكيفي بين الإجراءات والطرق المختلفة اعتمادًا على الأرقام المعنية أو السياق. 45 طالما أن التركيز في الفصل ينصب على التفكير المنطقي ، فنادراً ما يرتكبون أخطاء غير منطقية ، مثل الإضافة للعثور على الإجابة عندما يتعين عليهم طرحها. تأتي الكفاءة من إحراز تقدم داخل كل خصلة وبناء روابط بين الخيوط. يتم إنشاء تصرف منتج من خلال هذا النوع من التعلم ويدعمه لأن الطلاب يدركون كفاءتهم في فهم المواقف الكمية وحل المشكلات الحسابية.

حسابات عدد صحيح متعدد الأرقام

تسمى الإجراءات التدريجية لإضافة أو طرح أو ضرب أو قسمة الأرقام بالخوارزميات. على سبيل المثال ، تتمثل الخطوة الأولى في خوارزمية واحدة لضرب رقم مكون من ثلاثة أرقام في رقم مكون من رقمين في كتابة الرقم المكون من ثلاثة أرقام فوق الرقم المكون من رقمين والبدء بضرب الرقم 1 & rsquos في الرقم العلوي بواسطة رقم واحد و rsquos في الرقم السفلي (انظر المربع 6 و ndash5).

في الماضي ، تم تدريس خوارزميات مختلفة عن تلك التي يتم تدريسها اليوم للجمع والطرح والضرب والقسمة في المدارس الأمريكية. أيضًا ، يتم حاليًا تدريس خوارزميات مختلفة عن تلك التي يتم تدريسها في الولايات المتحدة اليوم في بلدان أخرى. 46 لكل خوارزمية مزايا

صندوق 6 & ndash5 بدء خوارزمية الضرب

وعيوب. لذلك ، من المهم التفكير في الخوارزميات التي يتم تدريسها وأسباب تدريسها.

يعد تعلم استخدام الخوارزميات للحساب باستخدام أرقام متعددة الأرقام جزءًا مهمًا من تطوير الكفاءة باستخدام الأرقام. الخوارزميات هي إجراءات يمكن تنفيذها بنفس الطريقة لحل مجموعة متنوعة من المشكلات الناشئة عن مواقف مختلفة وتتضمن أرقامًا مختلفة. هذه الميزة لها ثلاثة آثار مهمة. أولاً ، هذا يعني أن الخوارزميات هي أدوات مفيدة وأن الإجراءات المختلفة لا تحتاج إلى اختراع لكل مشكلة. ثانيًا ، توضح الخوارزميات ميزة مهمة للرياضيات: يمكن استخلاص بنية المشكلات من سياقها المباشر ومقارنتها لمعرفة ما إذا كان يمكن حل المشكلات ذات المظهر المختلف بطرق مماثلة. أخيرًا ، يمكن لعملية تطوير الطلاقة مع الخوارزميات الحسابية في المدرسة الابتدائية أن تساهم في التقدم في تطوير خيوط الكفاءة الأخرى إذا تم قضاء الوقت في دراسة سبب عمل الخوارزميات ومقارنة مزاياها وعيوبها. يمكن لمثل هذه التحليلات أن تعزز الفهم المفاهيمي من خلال الكشف عن الكثير عن بنية نظام الأرقام نفسه ويمكن أن تسهل فهم تمثيلات القيمة المكانية.

يمكن تلخيص نتائج البحث حول خوارزميات التعلم للأعداد الصحيحة بسبع ملاحظات مهمة. أولاً ، يمكن أن تستمر الروابط بين خيوط إتقان الرياضيات الممكنة عندما يطور الأطفال كفاءتهم في الحساب المكون من رقم واحد باستخدام الحساب متعدد الأرقام. على سبيل المثال ، يمكن أن يكون هناك ارتباط وثيق بين الفهم والطلاقة. المعرفة المفاهيمية التي تأتي مع الفهم مهمة لتطوير الطلاقة الإجرائية ، بينما تدعم المعرفة الإجرائية بطلاقة تطوير المزيد من الفهم والتعلم. عندما يفشل الطلاب في فهم المفاهيم التي تكمن وراء الإجراءات أو لا يمكنهم ربط المفاهيم بالإجراءات ، فإنهم كثيرًا ما يولدون إجراءات معيبة تؤدي إلى أنماط منهجية من الأخطاء. 47 هذه ما يسمى بخوارزميات عربات التي تجرها الدواب هي علامات على أن الخيوط ليست متصلة بشكل جيد. 48 عندما تعكس الإجراءات الحسابية الأولية التي يستخدمها الطلاب لحل المشكلات متعددة الأرقام فهمهم للأرقام ، يتطور الفهم والطلاقة معًا.

الملاحظة الثانية هي أن الفهم والطلاقة مرتبطان. بالنسبة إلى الجمع والطرح متعدد الأرقام ، بالنظر إلى التعليمات التقليدية التي تؤكد على ممارسة الإجراءات ، فإن نسبة كبيرة من الأطفال يكتسبون فهمًا للمفاهيم متعددة الأرقام قبل استخدام الإجراء الصحيح ، لكن أقلية كبيرة أخرى تفعل العكس. 49 في المقابل ، تبين أن البرامج التعليمية التي تركز على فهم الخوارزميات قبل استخدامها تؤدي إلى زيادة المعرفة المفاهيمية والإجرائية. 50

لذلك هناك بعض الأدلة على أن الفهم هو الأساس لتطوير الطلاقة الإجرائية. 51

الملاحظة الثالثة هي أن الكفاءة في الحساب متعدد الأرقام يتأثر بشدة بالتعليمات أكثر من الحساب المكون من رقم واحد. العديد من ميزات الإجراءات متعددة الأرقام (على سبيل المثال ، العناصر الأساسية 10 وكيفية تمثيلها بواسطة تدوين القيمة المكانية) ليست جزءًا من تجربة الأطفال اليومية و rsquos وتحتاج إلى تعلمها في الفصل الدراسي. في الواقع ، من المحتمل أن يحتاج العديد من الطلاب إلى المساعدة في تعلم أشكال فعالة من الإجراءات متعددة الأرقام. هذا يعني أن الطلاب في الفصول الدراسية المختلفة والذين يتلقون تعليمات مختلفة قد يتبعون تقدمًا تعليميًا مختلفًا يستخدمون إجراءات مختلفة. 52 بالنسبة لعمليات الجمع والطرح المكونة من رقم واحد ، يحدث نفس تقدم التعلم للعديد من الأطفال في العديد من البلدان بغض النظر عن طبيعة ومدى التدريس. 53 لكن الإجراءات متعددة الأرقام ، حتى تلك الخاصة بالجمع والطرح ، تعتمد بشكل أكبر على ما يتم تدريسه.

الملاحظة الرابعة هي أن الأطفال يمكن أن يبتكروا أو يخترعوا خوارزميات لتنفيذ حسابات متعددة الأرقام. 54 توفر الفرص لبناء إجراءاتهم الخاصة للطلاب فرصًا لإجراء اتصالات بين خيوط الكفاءة. الطلاقة الإجرائية مبنية مباشرة على فهمهم. الاختراع نفسه هو نوع من حل المشكلات ، ويجب عليهم استخدام المنطق لتبرير إجراءاتهم المخترعة. الطلاب الذين ابتكروا إجراءاتهم الصحيحة يتعاملون أيضًا مع الرياضيات بثقة بدلاً من الخوف والتردد. 55 يخترع الطلاب العديد من الإجراءات الحسابية المختلفة لحل المشكلات ذات الأعداد الكبيرة. بالإضافة إلى ذلك ، يقومون في النهاية بتطوير إجراء يتوافق مع التفكير المستخدم مع الخوارزميات القياسية. يمكّنهم هذا التفكير من فهم الخوارزمية كسجل على الورق لما كانوا يفكرون فيه بالفعل. بالنسبة للطرح ، يمكن للعديد من الطلاب تطوير إجراءات الجمع ، وفي حالة استخدام مواد ملموسة مثل كتل الأساس 10 ، يمكنهم أيضًا تطوير طرق التفكير التي تدرسها الخوارزميات المتوازية عادةً اليوم. 56 يحتاج بعض الطلاب إلى المساعدة لتطوير خوارزميات فعالة ، خاصةً لعمليات الضرب والقسمة. وبالتالي ، فإن عملية تعلم الخوارزميات بالنسبة لهؤلاء الطلاب تتضمن الاستماع إلى شخص آخر يشرح الخوارزمية وتجربتها ، وكل ذلك أثناء محاولة فهمها. تشير الأبحاث إلى أن الطلاب قادرون على الاستماع إلى أقرانهم والمعلم وفهم الخوارزمية إذا تم شرحها وإذا كان لدى الطلاب مخططات أو مواد ملموسة تدعم فهمهم للكميات المعنية. 57

خامسًا ، أظهر البحث أنه يمكن للطلاب التعلم جيدًا من مجموعة متنوعة من الأساليب التعليمية المختلفة ، بما في ذلك تلك التي تستخدم المواد المادية لتمثيل المئات والعشرات والآحاد ، تلك التي تركز على العد الخاص

الأنشطة (على سبيل المثال ، العد بالعشرات بدءًا من أي رقم) ، وتلك التي تركز على تطوير طرق الحساب الذهني. 58 على الرغم من أن البيانات لا تشير إلى نهج تعليمي واحد مفضل ، إلا أنها تشير إلى أن الأساليب الفعالة تشترك في بعض الميزات الرئيسية: الإجراءات متعددة الأرقام التي يستخدمها الطلاب يسهل فهمها ، ويتم تشجيع الطلاب على استخدام الخوارزميات التي يفهمونها الداعم التعليمي (مناقشات الفصل ، المادية المواد ، وما إلى ذلك) لتركيز انتباه الطلاب على البنية الأساسية 10 لنظام الأرقام وكيفية استخدام هذا الهيكل في الخوارزمية ويتم مساعدة الطلاب على التقدم نحو استخدام خوارزميات فعالة بشكل معقول ولكنها لا تزال مفهومة. 59

سادسًا ، يجادل البحث في التعلم الرمزي أنه ، لكي تكون مفيدة ، يجب أن يتم تمثيل المتلاعبات أو النماذج المادية الأخرى المستخدمة في التدريس من قبل المتعلم على أنها الأشياء التي هي عليها وكرموز تدل على شيء آخر. 60 يمكن للخصائص الفيزيائية لهذه المواد أن تشتت انتباه الأطفال في البداية ، ويستغرق الأمر وقتًا لتطوير المعنى الرياضي لأي نوع من النماذج المادية واستخدامها بفعالية. تشير هذه النتائج إلى أن التجربة المستمرة مع أي نماذج مادية يتوقع من الطلاب استخدامها قد تكون أكثر فاعلية من الخبرة المحدودة مع مجموعة متنوعة من النماذج المختلفة. 61

في ضوء الاهتمام الممنوح لاستخدام النماذج الملموسة في فصول الرياضيات بالمدارس الأمريكية ، نقدم ملاحظة خاصة بشأن استخدامها الفعال في الحساب متعدد الأرقام. تشير الأبحاث إلى أن تجارب الطلاب في استخدام النماذج المادية لتمثيل المئات والعشرات والآحاد يمكن أن تكون فعالة لو تساعدهم المواد على التفكير في كيفية الجمع بين الكميات ، وفي النهاية ، كيفية ارتباط هذه العمليات بالإجراءات المكتوبة. ومع ذلك ، فإن النماذج ليست ذات مغزى تلقائيًا للطلاب ، حيث يجب بناء المعنى أثناء عملهم مع المواد. مع إعطاء الوقت لتطوير معنى النموذج وربطه بالإجراء المكتوب ، أظهر الطلاب مستويات عالية من الأداء باستخدام الإجراء المكتوب والقدرة على تقديم تفسيرات جيدة لكيفية حصولهم على إجاباتهم. 62 من أجل دعم الفهم ، ومع ذلك ، تحتاج النماذج الفيزيائية إلى إظهار العشرات لتكون مجموعات من عشرة آحاد ، وإظهار المئات لتكون في نفس الوقت 10 عشرات و 100 آحاد. على سبيل المثال ، تتمتع الكتل الأساسية 10 بتلك الجودة ، لكن الرقائق كلها من نفس الحجم ولكن بألوان مختلفة للمئات والعشرات والواحدة لا تفعل ذلك.

الملاحظة السابعة والأخيرة هي أن كلمات الأرقام الإنجليزية ونظام القيمة المكانية الهندوسية العربية للقاعدة 10 لكتابة الأرقام تعقد تدريس وتعلم الخوارزميات متعددة الأرقام بالطريقة نفسها ، كما نوقش في الفصل الخامس ، لأنها تعقد تعلم مفاهيم الأعداد المبكرة. 63- ترتبط ارتباطا وثيقا بالصعوبات التي يطرحها النظام-

العظماء مع الكلمات العددية هي الصعوبات التي يفرضها تعقيد نظام كتابة الأرقام. كما قلنا في الفصل 3 ، نظام القيمة المكانية الأساس 10 فعال للغاية. يسمح للشخص بكتابة أعداد كبيرة جدًا باستخدام 10 رموز فقط ، والأرقام من 0 إلى 9. نفس الرقم له معنى مختلف اعتمادًا على مكانه في الرقم. على الرغم من أن هذا النظام مألوف ويبدو واضحًا للبالغين ، إلا أن تعقيداته ليست واضحة جدًا للأطفال. هذه التعقيدات مهمة لأن الأبحاث أظهرت أنه من الصعب تطوير طلاقة إجرائية مع العمليات الحسابية متعددة الأرقام دون فهم نظام الأساس 10. 64 إذا كان هذا الفهم مفقودًا ، يرتكب الطلاب العديد من الأخطاء المختلفة في الحسابات متعددة الأرقام. 65

لا يعني هذا الاستنتاج أنه يجب على الطلاب إتقان القيمة المكانية قبل أن يتمكنوا من البدء في الحوسبة باستخدام أرقام متعددة الأرقام. في الواقع ، تُظهر الأدلة أنه يمكن للطلاب تطوير فهم لكل من نظام القاعدة 10 وإجراءات الحساب عندما تتاح لهم الفرص لاستكشاف كيف ولماذا تعمل الإجراءات. 66 لا ينبغي أن يكون هذا مفاجئًا ، فهو يؤكد ببساطة أطروحة هذا التقرير والادعاء الذي قدمناه بالقرب من بداية هذا الفصل. تتطور الكفاءة مع اتصال الخيوط وتفاعلها.

يمكن توضيح الملاحظات الست ودعمها من خلال فحص موجز لكل من العمليات الحسابية. كما هو الحال بالنسبة للعمليات أحادية الرقم ، يوفر البحث صورة أكثر اكتمالاً للجمع والطرح مقارنةً بالضرب والقسمة.

خوارزميات الجمع

يتشابه التقدم الذي يتبعه الطلاب الذين يبنون إجراءاتهم الخاصة في بعض النواحي مع التقدم الذي يمكن استخدامه لمساعدة الطلاب على تعلم خوارزمية قياسية مع الفهم. لتوضيح طبيعة هذه التعاقب ، من المفيد فحص بعض الإجراءات المحددة بالتفصيل.

توضح الحلقة في Box 6 & ndash6 من فصل الصف الثالث كيف يمكن للمواد المادية أن تدعم تطوير استراتيجيات التفكير حول الخوارزميات متعددة الأرقام ونوع واحد من الإجراءات التي عادة ما يخترعها الأطفال. 67 تأتي الحلقة من مناقشة الطلاب & [رسقوو] الحلول لمسألة كلامية تنطوي على مجموع 54 + 48.

تقترح الحلقة أنه يمكن بناء الإجراءات المبتكرة للطلاب من خلال التجريد التدريجي لاستراتيجيات النمذجة الخاصة بهم باستخدام الكتل. أولاً ، تم تمثيل الكائنات في المشكلة مباشرةً بالكتل. بعد ذلك ، تم تلخيص الكمية التي تمثل المجموعة الأولى ، وتم حساب الكتل التي تمثل المجموعة الثانية فقط. أخيرًا ، تم حساب كلمات العد نفسها عن طريق تتبع التهم على الأصابع.


الخصائص الحسابية للأعداد الصحيحة

يوجد أدناه جدول لبعض خصائص الأعداد الصحيحة التي تخضع لعمليات حسابية. الخصائص الواردة في الجدول تعتمد على أن a و b أعداد صحيحة.

إضافة عمليه الضرب
إنهاء أ + ب عدد صحيح & # 215 ب عدد صحيح
التبادلية أ + ب = ب + أ أ & # 215 ب = ب & # 215 أ
الترابطية أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج أ & # 215 (ب & # 215 ج) = (أ & # 215 ب) & # 215 ج
وجود هوية أ + 0 = أ أ & # 215 1 = أ
وجود معكوس أ + (-a) = 0 فقط -1 و 1 قابلين للانعكاس
التوزيعية أ & # 215 (ب + ج) = أ & # 215 ب + أ & # 215 ج

خصائص الأعداد الصحيحة

في هذه الدروس والأمثلة ، سنتعلم عن الأرقام والأعداد الصحيحة والزوجية والفردية والعمليات على الأعداد الزوجية والفردية والأعداد الأولية والأرقام المركبة. سوف نتعلم أيضًا الخصائص التالية للأرقام الصحيحة: الخاصية التبادلية للإضافة ، الخاصية الترابطية للإضافة ، الخاصية التوزيعية ، خاصية الهوية للإضافة ، خاصية الهوية من أجل الضرب ، الخاصية العكسية للإضافة والخاصية الصفرية للضرب.

مقدمة في عدد صحيح

أرقام

الأرقام هي المفهوم الأول للأعداد الصحيحة. هناك عشرة أرقام وهي: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9.

في نظام الأرقام لدينا ، موضع الأرقام مهم. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الرقم 3،027. يمكن تمثيل ذلك في جدول القيمة المكانية على النحو التالي:


(بالنسبة لـ SAT ، يشير رقم الوحدات ورقم الآحاد إلى نفس الرقم في رقم).

عدد صحيح

الأعداد الصحيحة هي مثل الأعداد الصحيحة ولكنها تتضمن أيضًا أرقامًا سالبة ، على سبيل المثال ، –4 ، –3 ، –2 ، –1 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، & hellip

الأعداد الصحيحة الموجبة هي جميع الأعداد الصحيحة الأكبر من الصفر ، أي: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، & hellip نقول أن علامتها موجبة.

الأعداد الصحيحة السالبة هي الأعداد الأقل من الصفر ، أي: –1، –2، –3، –4، –5، & hellip نقول أن علامتها سالبة.

تمتد الأعداد الصحيحة بلا حدود في كلا الاتجاهين الإيجابي والسلبي. يمكن تمثيل ذلك على خط الأعداد.

صفر هو عدد صحيح ليس موجبًا ولا سالبًا.

أعداد صحيحة متتالية

الأعداد الصحيحة المتتالية هي الأعداد الصحيحة التي تتبع بالتسلسل ، كل رقم يزيد بمقدار 1 عن الرقم السابق ، على سبيل المثال 22 ، 23 ، 24 ، 25 ، & hellip

يمكن تمثيل الأعداد الصحيحة المتتالية بشكل عام بواسطة ن, ن +1, ن + 2, ن + 3 ، & hellip ، أين ن هو أي عدد صحيح.

الأعداد الصحيحة الفردية والزوجية

حتى الأعداد الصحيحة هي أعداد صحيحة يمكن تقسيمها بالتساوي على 2 ، على سبيل المثال ، –4 ، –2 ، 0 ، 2 ، 4 ، & hellip. دائمًا ما ينتهي العدد الصحيح الزوجي بـ 0, 2, 4, 6، أو 8.

صفر يعتبر عددًا صحيحًا زوجيًا.

الأعداد الصحيحة الفردية هي الأعداد الصحيحة التي لا يمكن تقسيمها بالتساوي على 2 ، على سبيل المثال ، –5 ، –3 ، –1 ، 1 ، 3 ، 5 ، & hellip دائمًا ما ينتهي العدد الصحيح الفردي بـ 1, 3, 5, 7، أو 9.

لمعرفة ما إذا كان العدد الصحيح زوجيًا أم فرديًا ، انظر إلى الرقم في خانة الآحاد. سيخبرك هذا الرقم الفردي ما إذا كان العدد الصحيح بأكمله فرديًا أم زوجيًا. على سبيل المثال ، العدد الصحيح 3،255 هو عدد صحيح فردي لأنه ينتهي بـ 5 ، وهو عدد صحيح فردي. بالمثل ، 702 عدد صحيح زوجي لأنه ينتهي بـ 2.

يوضح الجدول التالي العمليات ذات الأعداد الصحيحة الزوجية والفردية.

الأعداد الأولية

الرقم الأولي هو عدد صحيح موجب له عاملين بالضبط ، 1 ونفسه ، على سبيل المثال 29 له عاملين بالضبط وهما 1 و 29. إذن 29 هو عدد أولي.

من ناحية أخرى ، العدد 28 له ستة عوامل هي 1 و 2 و 4 و 7 و 14 و 28. إذن 28 ليس عددًا أوليًا. يطلق عليه رقم مركب. بعض الأمثلة على الأعداد الأولية هي: 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، منذ العدد 1 عامل واحد فقط (أي 1 نفسه) ، هو ليس عدد أولي.

الرقم 2 هو الوحيد رئيس حتى. الأعداد الزوجية الأخرى سيكون لها 2 كعامل وبالتالي لن تكون عددًا أوليًا.

يسمى الرقم غير الأولي عددًا مركبًا.

خصائص الأعداد الصحيحة

فيما يلي بعض خصائص الأعداد الصحيحة. قم بالتمرير لأسفل الصفحة لمزيد من الأمثلة والتوضيحات للخصائص المختلفة للأعداد الصحيحة.

العمليات بأرقام زوجية وفردية

أضف رقمين زوجي والنتيجة زوجية.
أضف رقمين فرديين والنتيجة زوجية.
أضف واحدًا زوجيًا وواحدًا فرديًا والنتيجة فردية.
اضرب عددين زوجيين وستكون النتيجة زوجية.
اضرب عددين فرديين وستكون النتيجة فردية.
اضرب واحدًا فرديًا وواحدًا وستكون النتيجة زوجية.

كيف نميز الأعداد الأولية؟

الرقم الأولي هو رقم أكبر من 1 ، والذي لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه.

المزيد من خصائص الأعداد الصحيحة

كيفية التعرف على خصائص عدد صحيح؟
الخاصية هي قاعدة رياضية صحيحة دائمًا.
خاصية تبادلية للإضافة ، خاصية ارتباطية للإضافة ، خاصية توزيعية ، خاصية هوية للإضافة ، خاصية هوية من أجل الضرب ، خاصية معكوسة للإضافة وصفر خاصية الضرب.

خصائص الأعداد الصحيحة

يتم شرح ثلاث خواص للأعداد الصحيحة. الهوية المضافة ، المعكوس الجمعي ، مقابل السالب موجب. يتم توفير أمثلة.

  1. الهوية المضافة: إضافة 0 إلى أي عدد صحيح لا يغير قيمة العدد الصحيح.
  2. معكوس مضاف: كل عدد صحيح له رقم مقابل (علامة معاكسة). عندما تضيف رقمًا ومعكوسه الجمعي ، تحصل على 0.
  3. عكس السالب موجب.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


شاهد الفيديو: خواص عملية الجمع على مجموعة الاعداد الصحيحة (ديسمبر 2021).