مقالات

5.2: تحويل لابلاس - الرياضيات


عادةً ما يُنسب الفضل في تحويل لابلاس إلى تحويل المشكلات الديناميكية إلى مشاكل ثابتة. تذكر أن تحويل لابلاس للوظيفة (ح ) هو

[ mathscr {L} (h (s)) equiv int_ {0} ^ { infty} e ^ {- (st)} h (t) dt nonumber ]

MATLAB بارع جدًا في مثل هذه الأشياء. فمثلا:

تحويل لابلاس في MATLAB

>> syms t >> لابلاس (exp (t)) ans = 1 / (s-1) >> لابلاس (t * (exp (-t)) ans = 1 / (s + 1) ^ 2

إن تحويل لابلاس لمصفوفة من الوظائف هو ببساطة مصفوفة تحويلات لابلاس للعناصر الفردية.

التعريف: لابلاس تحويل مصفوفة من fucntions

[ mathscr {L} ( begin {pmatrix} {e ^ {t}} {te ^ {- t}} end {pmatrix}) = begin {pmatrix} { frac {1} {s -1}} { frac {1} {(s + 1) ^ 2}} end {pmatrix} nonumber ]

الآن ، في إطار التحضير لتطبيق تحويل لابلاس على معادلتنا من الوحدة الرباعية الديناميكية strang strang quartet:

[ textbf {x} '= B textbf {x} + textbf {g} ]

نكتبه كـ

[ mathscr {L} ( frac {dx} {dt}) = mathscr {L} (B textbf {x} + textbf {g}) ]

ولذا يجب تحديد كيفية عمل ( mathscr {L} ) على المشتقات والمجاميع. فيما يتعلق بالأخير فإنه يتبع مباشرة من التعريف أن

[ start {align *} mathscr {L} (B textbf {x} + textbf {g}) & = mathscr {L} (B textbf {x}) + mathscr {L} ( textbf {g}) [4pt] & = B mathscr {L} ( textbf {x}) + mathscr {L} ( textbf {g}) end {align *} ]

فيما يتعلق بتأثيرها على المشتق ، نجد ذلك عند التكامل بالأجزاء

[ start {align} mathscr {L} left ( frac {d textbf {x}} {dt} right) & = int_ {0} ^ { infty} e ^ {- (st) } frac {d textbf {x} (t)} {dt} dt [4pt] & = textbf {x} (t) left. e ^ {- (st)} right | _ {0} ^ { infty} + s int_ {0} ^ { infty} e ^ {- (st)} textbf {x} (t) dt نهاية {محاذاة} ]

لنفترض أن (x ) و (s ) على هذا النحو (x (t) e ^ {- (st)} rightarrow 0 ) كـ (t rightarrow infty ) وصلنا إلى

[ mathscr {L} ( frac {d textbf {x}} {dt}) = s mathscr {L} ( textbf {x}) - x (0) nonumber ]

الآن ، عند استبدال المعادلة 2 والمعادلة 3 في المعادلة 1 نجد

[s mathscr {L} ( textbf {x}) - textbf {x} (0) = B mathscr {L} ( textbf {x}) + mathscr {L} ( textbf {g} ) لا يوجد رقم]

يمكن التعرف عليه بسهولة على أنه نظام خطي لـ ( mathscr {L} ( textbf {x}) )

[( textbf {s} I-B) mathscr {L} ( textbf {x}) = mathscr {L} ( textbf {g}) + x (0) nonumber ]

الشيء الوحيد الذي يميز هذا النظام عن تلك التي تمت مواجهتها منذ أول استخدام لهذه الأنظمة هو وجود المتغير المركب (s ). هذا يعقد الخطوات الميكانيكية لإزالة Gaussian أو طريقة Gauss-Jordan لكن الأساليب تنطبق بالفعل دون تغيير. نتناول الطريقة الأخيرة ، نكتب

[ mathscr {L} ( textbf {x}) = (sI-B) ^ {- 1} ( mathscr {L} ( textbf {g}) + x (0)) nonumber ]

تسمى المصفوفة ((sI-B) ^ {- 1} ) عادةً بامتداد وظيفة النقل أو مذيب، مرتبط بـ (B ) ، في (ق ). ننتقل إلى MATLAB من أجل رمزي عملية حسابية. (لمزيد من المعلومات ، راجع البرنامج التعليمي الخاص بصندوق أدوات MATLAB الرمزي). فمثلا،

>> ب = [2 -1 ؛ -1 2] >> R = inv (s * eye (2) -B) R = [(s-2) / (s * s-4 * s + 3)، -1 / (s * s-4 * ق + 3)] [-1 / (ث * ث * 4 * ث + 3) ، (ق -2) / (ق * ث -4 * ث + 3)]

نلاحظ أن ((sI-B) ^ {- 1} ) محدد جيدًا باستثناء جذور التربيعية ، (s ^ {2} -4s + 3 ) محدد of ((sI-B) ) وغالبًا ما يشار إليها باسم كثير الحدود المميزة من (ب ). تسمى جذوره ب القيم الذاتية من (ب ).

مثال ( PageIndex {1} )

لنأخذ مصفوفة (B ) لوحدة Strang الرباعية الديناميكية مع خيارات المعلمات المحددة في fib3.m ، وهي

[B = begin {pmatrix} {-0.135} & {0.125} & {0} {0.5} & {- 1.01} & {0.5} {0} & {0.5} & {- 0.51} نهاية {pmatrix} nonumber ]

((sI-B) ^ {- 1} ) المرتبط به ضخم بعض الشيء (يرجى تشغيل fig3.m) لذلك نحن نعرض هنا فقط مقام كل مصطلح ، على سبيل المثال ،

[s ^ 3 + 1.655s ^ 2 + 0.4078s + 0.0039 nonumber ]

بافتراض وجود حافز حالي بالصيغة (i_ {0} (t) = frac {t ^ {3} e ^ {- frac {t} {6}}} {10000} ) و (E_ {m } = 0 ) يجلب

[ mathscr {L} ( textbf {g}) (s) = begin {pmatrix} { frac {0.191} {(s + frac {1} {6}) ^ {4}}} { 0} {0} {0} end {pmatrix} nonumber ]

وهكذا استمرت المعادلة في

[ begin {align *} mathscr {L} ( textbf {x}) & = (sI-B) ^ {- 1} mathscr {L} ( textbf {g}) [4pt] & = frac {0.191} {(s + frac {1} {6}) ^ {4} (s ^ 3 + 1.655s ^ 2 + 0.4078s + 0.0039)} start {pmatrix} {s ^ 2 + 1.5s +0.27} {0.5s + 0.26} {0.2497} end {pmatrix} end {align *} ]

الآن تأتي فرك. حل خطي بسيط (أو انعكاس) ترك لنا تحويل لابلاس لـ ( textbf {x} ). الملعون لا توجد نظرية غداء مجاني

سيتعين علينا القيام ببعض الأعمال لاستعادة ( textbf {x} ) من ( mathscr {L} ( textbf {x}) ) التي تواجهنا. سنواجهها لأسفل في وحدة لابلاس المعكوسة.


تحويل لابلاس

سيبدو تحويل لابلاس المطبق على دالة $ f (t) $ كما يلي:
$ الرياضيات[f (t)] = int_0 ^ < infty> e ^ <- lambda t> f (t) ، dt = F ( lambda) $
عادةً ما يُرمز إلى تدوين الاختزال بثلاث طرق شائعة:
$ الرياضيات[f (t)] = F ^ = لابلاس (f (t)) $
بشكل عام ، سيتم تحويل دالة الوقت $ f (t) $ إلى دالة lambda $ F ( lambda) $:
$ f (t) $ => $ F ^( لامدا) $

يرجى ملاحظة الخصائص التالية لتحويل لابلاس:
تذكر دائمًا أن تحويل لابلاس صالح فقط لـ t> 0.
يمكن سحب الثوابت من تحويل لابلاس:
$ الرياضيات[af (t)] = a mathcal[f (t)] $ حيث a ثابت
أيضًا ، يمكن تقسيم لابلاس لمجموع وظائف متعددة إلى مجموع تحويلات لابلاس المتعددة:
$ الرياضيات[g (t) + f (t)] = mathcal[g (t)] + mathcal[f (t)] $

هناك 5 قواعد يجب عليك حفظها حول تحويل لابلاس:

1. قاعدة الالتواء
سنشير إلى التفاف وظيفتين f و g على النحو التالي:
$ (f * g) = (g * f) = int_ <0> ^ و ( tau) ز (t- tau) mathrm tau $
عندما نطبق تحويل لابلاس على التفاف وظيفتين نحصل على النتيجة التالية:
$ الرياضيات[f * g] = F ^(لامدا) ج ^( لامدا) $

2. القاعدة المشتقة
بالنظر إلى المشتق (n) للدالة f ، يُرمز لها بـ $ f ^$ ، سيكون تحويل لابلاس كما يلي:
$ الرياضيات[و ^] = لامدا ^F ^( لامدا) - سوم_^ لامدا ^و ^(+0)$

3. قاعدة التشابه
بالنظر إلى دالة لها ثابت $ a $ مضروبًا في t في دالة:
$ الرياضيات[f (at)] = frac <1> F ^( frac < lambda>)، $ مثل أن $ a> 0 $

4. قاعدة التحول
إعطاء دالة تم تحويلها بمقدار معين مضروبًا في دالة Heaviside المحولة:
$ الرياضيات[H (t-a) g (t-a))] = e ^ <- a lambda> G ^( لامدا) $

5. حكم التوهين
بالنظر إلى دالة أسية مضروبة في دالة أسية ، حيث يكون a ثابتًا:
$ الرياضيات[e ^ <-at> f (t)] = F ^( لامدا + أ) $

لاحظ أن أهم القواعد التي سنستخدمها هي القواعد رقم 1 ورقم 2 ورقم 4 ، ولكن من الجيد معرفة كل القواعد.


الوحدة النمطية- I (T-3 h + Pj-2 h)

تحويلات لابلاس ، خصائص تحويلات لابلاس ، وظيفة خطوة الوحدة.

قم بعمل مسودة قصيرة لخصائص تحويل لابلاس من الذاكرة. ثم قارن ملاحظاتك بالنص واكتب تقريرًا من 2-3 صفحات حول هذه العمليات وأهميتها في التطبيقات.

الوحدة الثانية (T-2 h + Pj-2 h)

نظرية التحول الثاني ، تحويل لابلاس للمشتقات والتكاملات.

ابحث عن تحويل لابلاس للوظائف التالية.

الوحدة الثالثة (T-3 h + Pj-2 h)

مشتقات وتكاملات التحويلات ، معكوس لابلاس تحويل.

تطبيق وظيفة خطوة الوحدة (RC- الدائرة لموجة مربعة واحدة).

الوحدة النمطية الرابعة (T-2 h + Pj-2 h)

حل المعادلات التفاضلية باستخدام تحويل لابلاس.

أوجد حل المعادلة التفاضلية باستخدام تحويل لابلاس.

الوحدة النمطية- V (T-4 h + Pj-2 h)

دالة دورية ، سلسلة فورييه ، توسع سلسلة فورييه لفترة عشوائية ، توسعات نصف المدى.

أوجد تمدد سلسلة فورييه لدالة دورية 2 بي.

الوحدة السادسة (T-3 h + Pj-2 h)

شكل معقد من سلسلة فورييه ، تكاملات فورييه ، أشكال مختلفة من تكامل فورييه.


تحويلات لابلاس

§8.6 خاتمة تاريخية

إن إرث أوليفر هيفيسايد في الرياضيات والكهرومغناطيسية مثير للإعجاب. بالإضافة إلى إتقان حساب التفاضل والتكامل التشغيلي الذي ألهم لاحقًا طريقة تحويل لابلاس ، فقد طور حساب التفاضل والتكامل في عام 1885 ، بدءًا من تعريفات المنتجات العددية والمتجهة كما هي مستخدمة اليوم ( EPالثاني ، الصفحات 4 و 5). 1 في نفس العام صاغ ما أصبح حجر الزاوية للنظرية الكهرومغناطيسية. يشير Heaviside إلى اكتشافه على النحو التالي:

أقدم هنا طريقة جديدة لمعالجة الموضوع [نظرية ماكسويل في الكهرومغناطيسية] ، والتي ربما يُطلق عليها بشكل مناسب طريقة Duplex ، نظرًا لأن السمة الرئيسية لها هي عرض المعادلات الكهربائية والمغناطيسية والكهرومغناطيسية في شكل مزدوج.

كان هذا أول ظهور في طباعة المشهور معادلات ماكسويل النظرية الكهرومغناطيسية (EPI ، الصفحات 447 و 448 و 452 و 475) ، والتي لم يتم تضمينها في أطروحة ماكسويل. لم يكن ماكسويل كاتبًا واضحًا للغاية - فدراسته تكاد تكون غير قابلة للقراءة من نقطة معينة فصاعدًا - لذلك فضل العديد من المفسرين المستقبليين للموضوع اتباع تفسير هيفيسايد لماكسويل ولم يدركوا أن معادلات هيفيسايد كانت خاصة بهيفيسايد.

من أوراق كهربائية، المجلد. 1 ، The Copley Publishers ، بوسطن ، 1925.

كانت مساهمة هيفيسايد في التلغراف والاتصالات الهاتفية لا تقدر بثمن ، ولكن لأطول وقت وقعوا في آذان صماء في بلده. وجد عقبة هائلة في ويليام هنري بريس ، كهربائي إلى مكتب البريد. استندت معارضة بريس على أساس من ركيزتين. الأول هو جهله بما حدث بالفعل في نقل الإشارات الكهربائية ، كما هو موضح في بحث نُشر عام 1887. والثاني هو جواب هيفيسايد الذي يحتوي على التقييم التالي:

إما ، أولاً ، يجب تعديل النظرية المقبولة للكهرومغناطيسية بشكل كبير أو ، ثانيًا ، الآراء التي عبر عنها السيد بريس في ورقته خاطئة تمامًا ... السيد بريس مخطئ ، ليس فقط في بعض النقاط التفصيلية ، ولكنه خاطئ تمامًا ، بشكل عام ، في الأساليب والاستدلال والنتائج والاستنتاجات.

الحقيقة هي أن السيد بريس ، الذي أصبح لاحقًا السير ويليام ، لم يقبل أبدًا صحة نصيحة Heav-iside بزيادة كل من المحاثة ، وبدرجة أقل لتجنب التوهين المفرط ، توصيل التسرب ، وذلك لتقريب حالة عدم التشوه ز / ج = ص / لتر. & quot المزيد من السعة ، & quot يبدو أنها كانت من قبل بريس شعار. كانت نتيجة كل هذا أن هيفيسايد بدأ يواجه مشكلة في نشر أوراقه ، والتي كانت تتعارض مع وجهة النظر الرسمية ، بأن الحكومة البريطانية غرقت ثروة ببناء النوع الخاطئ من الخطوط ، وأن إنجلترا فقدت ريادتها في هذا المجال لصالح أمريكا. كان ميهاجلو إدفورسكي بوبين ، وهو مهاجر صربي من قرية إيدفور النمساوية الذي أصبح أستاذًا للرياضيات في جامعة كولومبيا ، أول من بنى خطًا باستخدام الحث المتزايد ، ولكن في ورقته البحثية في مايو 1900 أقر بمصدر خلفيته النظرية ، مشيرًا إلى أن

كان السيد أوليفر هيفيسايد من إنجلترا ، الذي ترجع معظم أبحاثه العميقة إلى النظرية الرياضية الحالية لانتشار الموجات الكهربائية ، هو المنشئ والمدافع الأكثر حماسة عن موصلات الموجات ذات الحث العالي.

سرعان ما نجحت شركة الهاتف والتلغراف الأمريكية في إنشاء اتصالات هاتفية من الساحل إلى الساحل باستخدام المحاثة المتزايدة.

كان Heaviside جيدًا مع الكلمات من نواح كثيرة. نحن مدينون له ، على سبيل المثال ، بمصطلحات الحث والتوهين والمقاومة المغناطيسية (EPII ، الصفحة 28) واستخدام الجهد الكهربي للقوة الدافعة الكهربائية (EMTأنا ، الصفحة 26). كان كاتبًا ملونًا وممتعًا وله رأي ، كما يتضح من الاقتباسات الإضافية التالية:

الاستقراء الذاتي هو الخلاص. [EMTII ، صفحة 354] نظرًا لأن النقاد لا يجدون دائمًا وقتًا لقراءة أكثر من المقدمة ، فقد تعمل الملاحظات التالية على توجيه انتباههم إلى بعض النقاط الرئيسية في هذا المجلد. [EMTأنا ، مقدمة] وأن هناك ميلًا طبيعيًا لكل من الجسم البشري والفهم للتحرك في دوائر ، وهو ما أثبتته روايات أفعال الرحالة المتأخرين في البرية ، ومحتويات مجموعة كبيرة من الكتب. [EPI ، صفحة 353] القوة الكهربائية والمغناطيسية. أتمنى أن يعيشوا إلى الأبد ولا ينسوا أبدًا. [EMTIII، page 1] عندما يتحدث البروفيسور هيوز عن مقاومة سلك ، فإنه لا يفعل ذلك دائما يعني ما يعنيه عامة الرجال ، رجال الأوم والفولت والفاراد ، بمقاومة الأسلاك - في بعض الأحيان فقط. [EPII ، الصفحة 28] تختلف آراء الرجال - بعضها مثل التفاح ، والبعض الآخر مثل البصل [EMTأنا ، الصفحة 352].

عالم رياضيات بشكل عام ، كهربائي ، فيلسوف ، فكاهي حامض ، محارب الأيقونات فوق العادةحصل على وسام هيوز من الجمعية الملكية عام 1904 ، لكنه رفض ذلك ، وحصل على درجة الدكتوراه الفخرية حصل على الدكتوراه من جامعة جوتنجن عام 1906 ، وعضوًا فخريًا في معهد المهندسين الكهربائيين في بريطانيا العظمى عام 1908 وفي المعهد الأمريكي للمهندسين الكهربائيين في عام 1918 ، وحصل على أول ميدالية فاراداي من معهد المهندسين الكهربائيين في عام 1923 .

في منزله في توركواي ، حيث قضى آخر سبعة عشر عامًا من حياته بمفرده في الغالب وفي مشاكل مالية كبيرة - على الرغم من معاش حكومي صغير لم يقبله إلا بشرط أن يكون تقديراً لعمله العلمي - كانت الأمور أقل وردية. بسبب عدم الدفع ، كان البنك يلاحق منزله ، وقطعت شركة الغاز غازه. كان ضحية لألم الظهر والنقرس الروماتيزمي ، وكان عليه أن يأكل طعامًا باردًا ويعيش في منزل بارد. عند وصوله إلى بابه في شتاء عام 1921 ، وجد زائر مميز ملاحظة تفيد بأن هيفيسايد قد ذهب إلى الفراش للتدفئة. محشوة في شقوق الباب ، لمنع أي مسودات باردة ، كانت هناك مجموعة متنوعة من الأوراق: بعض الإعلانات ، دعوة من رئيس الجمعية الملكية ، تهديدات من شركة الغاز بقطع الغاز…. كتب ربيع هيفيسايد التالي:

لا يمكن ارتداء الأحذية على الإطلاق. لم أستطع الحصول على الجوارب المناسبة للسرير. مدفونة تحت كل البطانيات التي أملكها. بين الحين والآخر ، كتبت نوعًا من اليوميات حول اضطهادي من قبل الفقراء والغاز وغيرهم. 1

لا يمكن كبح جماحه في كتاباته ، فقد واصل العمل على أوراقه العلمية ، والتي تم العثور على العديد منها بعد وفاته. توفي في دار لرعاية المسنين في 3 فبراير 1925.


أكمل مجموعات المشاكل:

هذه واحدة من أكثر من 2400 دورة تدريبية في OCW. استكشف المواد الخاصة بهذه الدورة التدريبية في الصفحات المرتبطة على اليسار.

معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا OpenCourseWare هو منشور مجاني ومفتوح لمواد من آلاف دورات معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، يغطي منهج معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا بأكمله.

لا تسجيل أو تسجيل. تصفح واستخدام مواد OCW بحرية وفقًا لسرعتك الخاصة. لا يوجد اشتراك ولا تواريخ بدء أو انتهاء.

المعرفة هي مكافأتك. استخدم OCW لتوجيه التعلم مدى الحياة ، أو لتعليم الآخرين. لا نقدم ائتمانًا أو شهادة لاستخدام OCW.

صنع للمشاركة. تنزيل الملفات لوقت لاحق. أرسل إلى الأصدقاء والزملاء. قم بالتعديل وإعادة المزج وإعادة الاستخدام (تذكر فقط ذكر OCW كمصدر.)


أنظمة منفصلة

8.2.4.2 خصائص تحويلات فورييه

العديد من خصائص تحويلات لابلاس و فورييه متشابهة تمامًا. على وجه الخصوص ، يمكن تكييف معظم الصيغ التي تم جمعها في الملحق 7 مع تحويلات فورييه باستخدام قاعدة التطابق [8.18]. على وجه الخصوص ، يمكن أن تمتد نظرية الالتواء [A7.8] إلى تحويلات فورييه ، بشرط أن يتم إزاحة الحد الأدنى للتكامل بشكل صحيح من 0 إلى - ∞. في الواقع ، يتمثل الاختلاف الرئيسي بين التحولين في أنه في تكامل فورييه ، لا يلعب الأصل الزمني أي دور معين ، على عكس حالة تكامل لابلاس. وكنتيجة أخرى للاهتمام الخاص بالديناميكيات ، يجب إسقاط المصطلحات المرتبطة بالقيم الأولية في نظرية التمايز [A7.3] عند تكييف الصيغة مع حالة تحويلات فورييه. نتيجة لذلك ، فإن الحركة المحسوبة باستخدام تحويل فورييه للمعادلات الديناميكية تتجاهل تلقائيًا التذبذبات الحرة الناتجة عن الظروف الأولية غير الصفرية للإثارة الخارجية. هذه خاصية مناسبة عندما تقتصر الفائدة على دراسة النظام الثابت للردود القسرية.


250+ أعلى MCQs في تحويل لابلاس وإجاباته

إشارات & # 038 أنظمة أسئلة الاختيار من متعدد حول "تحويل لابلاس".

1. الشرط الضروري لتقارب تحويل لابلاس هو التكامل المطلق لـ f (t) e -σt.
أ. صحيح
ب خطأ
الجواب:
توضيح: الشرط الضروري لتقارب تحويل لابلاس هو التكامل المطلق لـ f (t) e -σt.
(int _ <- ∞> ^ ∞ | f (t) e ^ <- σt> |) dt -at u (t) و ROC الخاص بها.
أ. (فارك <1>)، إعادة> -أ
ب. (فارك <1>)، إعادة> أ
ج. (فارك <1>)، إعادة> أ
د. (فارك <1>)، إعادة> -أ
الجواب: د
توضيح: تحويل لابلاس ، لام = X (s) = (int _ <- ∞> ^ ∞ x (t) e ^ <-st>، dt)
إل = (int _ <- ∞> ^ ∞ e ^ <-at> u (t) e ^ <-st>، dt = int_0 ^ ∞ e ^ <-at> e ^ <-st>، dt = frac <1>) عندما (s + A.> 0
(σ + أ> 0
σ> -a
ROC هو Re> -أ.

3. أوجد تحويل لابلاس لـ δ (t).
أ 1
ب 0
C. ∞
د 2
الجواب:
توضيح: تحويل لابلاس ، لام = X (s) = (int _ <- ∞> ^ ∞ x (t) e ^ <-st>، dt)
إل <δ(t)>= (int _ <- ∞> ^ ∞ δ (t) e ^ <-st>، dt)
[x (t) δ (t) = x (0) δ (t)]
= (int _ <- ∞> ^ ∞ δ (t) dt)
= 1.

4. ابحث عن تحويل لابلاس لـ u (t) و ROC الخاص به.
أ. (فارك <1>) ، σ 0
ج. (فارك <1>) ، σ = 0
D. (فارك <1> <1-s>) ، σ≤0
الجواب: ب
توضيح: تحويل لابلاس ، لام = X (s) = (int _ <- ∞> ^ ∞ x (t) e ^ <-st>، dt)
إل = (int _ <- ∞> ^ ∞ u (t) e ^ <-st>، dt = int_0 ^ ∞ e ^ <-st>، dt = frac <1>) عندما s> 0 أي ، σ> 0.

5. أوجد ROC لـ x (t) = e -2t u (t) + e -3t u (t).
A. σ> 2
ب. σ> 3
C. σ> -3
د σ> -2
الجواب: د
توضيح: معطى x (t) = e -2t u (t) + e -3t u (t)
تحويل لابلاس ، لام = X (s) = (int _ <- ∞> ^ ∞ x (t) e ^ <-st>، dt)
X (ق) = (فارك <1> + فارك <1>)
ROC هو <σ>-2>∩ <σ>-3>
ومن ثم ، فإن ROC هي σ> -2.


كيف تعمل حاسبة تحويل لابلاس؟

تساعدك حاسبة تحويل لابلاس عبر الإنترنت على تحويل الوظائف الحقيقية إلى وظائف معقدة باتباع الخطوات التالية:

إدخال:

  • أولاً ، أدخل معادلة بسيطة ، ويمكنك رؤية معاينة المعادلة.
  • اضغط على زر الحساب لمزيد من العملية.

انتاج:

تعرض حاسبة تحويل لابلاس النتائج التالية:

  • بادئ ذي بدء ، تعرض الآلة الحاسبة المدخلات الخاصة بك في شكل معادلة تفاضلية عادية.
  • ثم قدم الإجابة مقابل المعادلة في الصورة الجبرية.

5.2: تحويل لابلاس - الرياضيات

تحويل لابلاس هو تحويل متكامل ربما يأتي في المرتبة الثانية بعد تحويل فورييه في فائدته في حل المشكلات المادية. نظرًا لخصائصه المفيدة ، فإن تحويل لابلاس مفيد بشكل خاص في حل المعادلات التفاضلية الخطية العادية مثل تلك التي تنشأ في تحليل الدوائر الإلكترونية.

يتم تعريف تحويل لابلاس (من جانب واحد) (يجب عدم الخلط بينه وبين مشتق الكذبة) بواسطة

أين تم تعريفه ل. أحيانًا يتم تعريف تحويل لابلاس على الوجهين بواسطة

تنص نظرية وجود تحويل لابلاس على أنه إذا كان متواصلًا متعدد التعريف في كل فترة زمنية محدودة في الإرضاء

للجميع ، ثم موجود للجميع. يعتبر تحويل لابلاس فريدًا أيضًا ، بمعنى أنه يتم إعطاء وظيفتين وبنفس التحويل لذلك

ثم تضمن نظرية ليرش أن التكامل

يختفي للجميع لوظيفة Null المحددة بواسطة

في الجدول أعلاه ، هي دالة Bessel ذات الترتيب الصفري من النوع الأول ، وهي دالة Delta ، وهي دالة Heaviside Step. تحويل لابلاس له العديد من الخصائص المهمة.

يتم إعطاء تحويل لابلاس للالتفاف بواسطة

الآن ضع في اعتبارك التفاضل. اسمحوا أن تكون أوقات مختلفة باستمرار في. اذا ثم

ثم يعطي الاستمرار في المشتقات ذات الترتيب الأعلى

يمكن استخدام هذه الخاصية لتحويل المعادلات التفاضلية إلى معادلات جبرية ، وهو إجراء يُعرف باسم حساب التفاضل والتكامل Heaviside ، والذي يمكن بعد ذلك تحويله معكوسًا للحصول على الحل. على سبيل المثال ، تطبيق تحويل لابلاس على المعادلة

التي يمكن إعادة ترتيبه إلى

إذا كانت هذه المعادلة يمكن أن تكون معكوسة تحول لابلاس ، فسيتم حل المعادلة التفاضلية الأصلية.

ضع في اعتبارك الأُس. إذا ل ، ثم ل.

ضع في اعتبارك التكامل. إذا كان متواصلًا متعدد العناصر ، ثم

يُعرف التحويل العكسي باسم تكامل برومويتش ، أو أحيانًا تكامل فورييه ميلين.

Arfken ، G. الطرق الرياضية للفيزيائيين ، الطبعة الثالثة. أورلاندو ، فلوريدا: مطبعة أكاديمية ، ص 824-863 ، 1985.

تشرشل ، ر. ف.الرياضيات التشغيلية. نيويورك: ماكجرو هيل ، 1958.

فرانكلين ، ب.مقدمة لطرق فورييه وتحويل لابلاس. نيويورك: دوفر ، 1958.

Morse، P. M. and Feshbach، H. Methods of Theoretical Physics، Part I New York: McGraw-Hill، pp.467-469، 1953.

شبيجل ، إم آر نظرية ومشاكل تحولات لابلاس. نيويورك: ماكجرو هيل ، 1965.

Widder ، D. V. تحويل لابلاس. برينستون ، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون ، 1941.


الخوارزميات

يتم تعريف تحويل لابلاس على أنه تحويل أحادي الجانب أو من جانب واحد. يفترض هذا التعريف أن الإشارة F(ر) فقط لجميع الأعداد الحقيقية ر ≥ 0 ، أو F(ر) = 0 من أجل ر & lt 0. لذلك ، للحصول على إشارة معممة مع F(ر) ≠ 0 من أجل ر & lt 0 ، تحويل لابلاس لـ F(ر) يعطي نفس النتيجة كما لو F(ر) بواسطة دالة خطوة Heaviside.


شاهد الفيديو: Engineering Mathematics - شرح تحويلات لابلاس - Laplace Transforms (ديسمبر 2021).