مقالات

12.3 هـ: تمارين القطع المكافئ - الرياضيات


للتمارين التالية ، اكتب معادلة القطع المكافئ في الشكل القياسي. ثم أعطِ الرأس والتركيز والدليل.

22. (ص ^ {2} = 12 س )

23. ((x + 2) ^ {2} = frac {1} {2} (y-1) )

24. (ص ^ {2} -6 ص -6 س -3 = 0 )

25. (س ^ {2} +10 س ص + 23 = 0 )

للتمارين التالية ، قم برسم القطع المكافئ ، ورأس العلامة ، والتركيز ، والدليل.

26. (س ^ {2} +4 ص = 0 )

27. ((y-1) ^ {2} = frac {1} {2} (x + 3) )

28. (س ^ {2} -8 س -10 ص + 46 = 0 )

29. (2 ص ^ {2} +12 ص + 6 س + 15 = 0 )

للتمارين التالية ، اكتب معادلة القطع المكافئ باستخدام المعلومات المقدمة.

30. التركيز عند (-4،0) ؛ الدليل هو (س = 4 )

31. التركيز على ( left (2، frac {9} {8} right)؛ ) directrix هو (y = frac {7} {8} )

32. طبق استقبال تلفزيون الكابل هو شكل مكافئ للثورة. ابحث عن موقع جهاز الاستقبال ، الذي يتم وضعه في البؤرة ، إذا كان الطبق بعرض 5 أقدام عند الفتح وعمقه 1.5 قدم.


مجال ومدى القطع المكافئ

هناك أربع علاقات مشتركة مختلفة بين المتغيرات التي من المؤكد أنك ستواجهها: إنها علاقات خطية ومباشرة وتربيعية وعكسية. هنا ، سنتناول كل من العلاقات التربيعية واثنين من الأمثلة لإيجاد مجال ونطاق دالة تربيعية.

في عالم الجبر المذهل ، هناك موضوع رائع يسمى الدوال التربيعية.

تنفجر المتعة في حل المعادلات ، وإنشاء الرسوم البيانية جنبًا إلى جنب مع فهم الحياة الواقعية والاستخدام العملي لهذه الوظيفة. وإحدى خصائصه المهمة هي كيفية إيجاد مجال ومدى دالة تربيعية أو مجال ونطاق القطع المكافئ بعبارة أخرى.

في العديد من الأماكن ، ستواجه علاقة تربيعية في الفيزياء بحركة القذيفة.

أعتقد أنك تقذف كرة بيسبول مباشرة في الهواء. دعونا نحاول تصور ذلك باستخدام رسم بياني للارتفاع مقابل الوقت. بمرور الوقت ، ترتفع الكرة إلى أقصى ارتفاع ، ثم تعود إلى ارتفاع البداية مرة أخرى عند الإمساك بها.

يمكننا أن نرى الرسم البياني الخاص بنا ينشئ قطعًا مكافئًا مقلوبًا ، وهو نوع الشيء الذي قد تتوقعه من علاقة تربيعية. دعونا نتحقق مما إذا كانت العلاقة بين الارتفاع والوقت تربيعية من خلال النظر إلى المعادلة الرأسية لحركة المقذوفات التي تتعامل مع الموقع والوقت:

هل تبدو مألوفة؟ دعونا نحاول إعادة ترتيب المعادلة قليلاً:

عند إعادة ترتيب المصطلحات ، تصبح دالة تربيعية.

لذلك من المهم بالنسبة لنا أن نرى مجال ومدى الدالة التربيعية لفهم مجال ونطاق القطع المكافئ حقًا.


معادلة القطع المكافئ

يمكن التعبير عن معادلة القطع المكافئ إما في شكل قياسي أو رأس كما هو موضح في الصورة أدناه.

معادلة النموذج القياسي

يتم التعبير عن الشكل القياسي لمعادلة القطع المكافئ بشكل عام:

يتم التعبير عن شكل رأس معادلة القطع المكافئ بشكل عام على النحو التالي: y = a (x-h) 2 + k

    (ح ، ك) هو الرأس كما ترى في الصورة أدناه

  • إذا كان | a | & lt 1 ، يتسع الرسم البياني للقطع المكافئ. هذا يعني فقط أن & quotU & quot شكل القطع المكافئ يمتد جانبياً. اكتشف الطريقة التي يعمل بها الحرف "a" باستخدام أداة القطع المكافئ التفاعلية الخاصة بنا.
  • إذا كان | a | & gt 1 ، يصبح الرسم البياني للقطع المكافئ أضيق (التأثير عكس | a | & lt 1).

ممارسة مشاكل

معادلة صيغة الرأس والاتجاه - الرأس

الجزء الأول
المشكلة 1

ما هو الرسم البياني للقطع المكافئ y = (x & ndash1) & sup2 + 1؟

رأس القطع المكافئ هو النقطة (1،1).

المشكلة 2

ما هو الرسم البياني للقطع المكافئ y = & ndash (x & ndash1) & sup2 + 1؟

مشكلة 3

ما هو الرسم البياني للقطع المكافئ y = (x + 2) & sup2 & ndash3؟

تحديد الرأس في شكل قمة الرأس

المشكلة 4.1

ما رأس القطع المكافئ التالي: y = (x + 3) & sup2 + 4

مشكلة 4.2

أوجد رأس القطع المكافئ التالي: y = (x - 3) & sup2 + 4

مشكلة 4.3

ما رأس القطع المكافئ الذي معادلة شكل رأسه هي y = (x - 2) & sup2 - 3

الجزء الثاني

مشكلة 5.1

ما هو رأس القطع المكافئ بالمعادلة التالية:
ص = 2 (س -3) 2 +4؟ هل يفتح القطع المكافئ للأعلى أو للأسفل؟

الرأس هو (3،4) ويفتح لأعلى حيث أن a موجب (يساوي 2) ، يفتح للأعلى.

مشكلة 5.2

إذا كانت معادلة القطع المكافئ هي y = 3 (x + 3) 2 +4 ، فما رأسه؟ بأي طريقة تفتح؟

الرأس = (-3 ، 4) ، ويفتح لأعلى حيث أن a موجب.

المشكلة 5.3

معادلة القطع المكافئ ص = -22 (س - 9) 2 + 5. ما رأسه؟ بأي طريقة يفتح القطع المكافئ؟


صيغة القطع المكافئ - المحور الرأسي

إضافة إلى الرسم البياني أعلاه ، نرى أن المسافة `d = y + p`.

الآن ، باستخدام صيغة المسافة في النقطتين العامتين `(0 ، p)` و `(x ، y)` ، ومعادلتها بقيمتنا `d = y + p` ، لدينا

يعطي تربيع كلا الجانبين:

التبسيط يعطينا صيغة القطع المكافئ:

في شكل مألوف أكثر باستخدام & quotذ = & quot على اليسار ، يمكننا كتابة هذا على النحو التالي:

أين ص هل المسافة البؤرية من القطع المكافئ.

الآن دعنا نرى ماذا يعني & quott موضع النقاط على مسافة متساوية من نقطة إلى خط & quot.

كل مقطع خط مرمز بالألوان له نفس الطول في هذا الرسم البياني الذي يشبه العنكبوت:

لا تفوت رسوم Parabola Graphs التفاعلية ، حيث يمكنك استكشاف مفاهيم مثل التركيز والدليل والرأس.

مثال 1 - القطع المكافئ مع المحور الرأسي

هل تحتاج إلى ورق رسم بياني؟

أعثر على البعد البؤري وتشير إلى التركيز و ال الدليل على الرسم البياني الخاص بك.

تم العثور على البعد البؤري من خلال مساواة التعبير العام ل ذ

ومثالنا الخاص:

لذلك سيكون التركيز على `(0، 0.5)` والدليل هو السطر `y = -0.5`.

ملحوظة: على الرغم من أن الجوانب تبدو كما لو كانت مستقيمة x الزيادات ، في الواقع لم يفعلوا ذلك. تصبح جوانب القطع المكافئ أكثر انحدارًا وانحدارًا (ولكنها ليست عمودية أبدًا).


قطع مخروطي

إحداثيات الرؤوس = (& plusmna، 0) = (& plusmn4،0).

إحداثيات البؤر = (& plusmnae، 0) = $ left (< pm 4 < rm <* >> frac << sqrt 5 >> <2>، 0> right) $ = (& plusmn2 $ الجذر التربيعي 5 دولار ، 0).

المحور المستعرض على طول المحور y & ndash.

إحداثيات الرؤوس = (0، & plusmna) = (0، & plusmn4)

إحداثيات البؤر = (0، & plusmnae) = $ left (<0، pm 4 < rm <* >> frac <5> <4>> right) $ = (0، & plusmn5).

إحداثيات الرؤوس = (& plusmna، 0) = $ left (< pm 2 sqrt 3، 0> right) $.

معطى القطع الزائد x 2 & ndash 4y 2 & ndash 4x = 0

إذا كان القطع الزائد هو 9x 2 + 36x & ndash 16y 2 + 32y = 124.

أو 9 (x + 2) 2 & ndash 16 (y & ndash 1) 2 = 36 & ndash 16 + 124 = 144.

إذن ، المركز (ح ، ك) = (- 2،1) ، أ 2 = 16 ، ب 2 = 9.

الرؤوس = (h & plusmn a، k) = (- 2 & plusmn 4، 1) = (2،1)، (- 6،1).

Vertex عند (2،0) والتركيز عند (-5،0) ،

أو ، b 2 = a 2 (e 2 & ndash 1) = 4 $ left (< frac <<25>> <4> - 1> right) $ = 21.

صولن:
المحور المستعرض على طول المحور y & ndash. ركز على (0،5) والرأس (0. -3).

أو ، b 2 = a 2 (e 2 & ndash 1) = 9 $ left (< frac <<25>> <9> - 1> right) $ = 16.

معادلة القطع الزائد هي:

إذن ، أ = 4.
أو b 2 = a 2 (e 2 & ndash 1) = 16 $ left (< frac <<49>> <<16>> - 1> right) $ = 33


11.3 & nbsp & nbsp Parabolas

على الرغم من أننا افترضنا أن p كان موجبًا في اشتقاق الصيغة ، فإن الأشياء تعمل بالطريقة نفسها تمامًا إذا كانت p سالبة. بمعنى ، إذا كان التركيز على المحور y السالب وكان الدليل يقع فوق المحور x ، فإن معادلة القطع المكافئ تكون x 2 = 4 صذ.

سيكون الرسم البياني للقطع المكافئ هو الانعكاس ، عبر المحور x للقطع المكافئ في الصورة أعلاه. إحدى الطرق لوصف ذلك هي أنه إذا كان p> 0 ، فإن القطع المكافئ "يفتح" وإذا كان المحور x هو الرأس في الأصل ، مما يجعل الدليل خطًا رأسيًا ، نحصل على صيغة مماثلة. في هذه الحالة ، يتبين أن معادلة القطع المكافئ هي ذ 2 = 4 صx

إذا قمنا بترجمة القطع المكافئ في الوضع القياسي أفقيًا أو رأسيًا ، فيمكننا بسهولة الحصول على معادلة القطع المكافئ الناتج. نحن نعلم أن الترجمات الأفقية تتوافق مع استبدال x بـ x & ناقص c والترجمات الرأسية تتوافق مع استبدال y بـ y & ناقص d نحصل على ما يلي:

معادلة قياسية تحويل الرأس إلى المعادلة الناتجة
س 2 = 4 ص ص (ح,ك) (س & ناقص ح) 2 = 4 ع (ص & سالب ك)
ص 2 = 4 ص س (ح,ك) (ذ & ناقص ك) 2 = 4 ع (س & ناقص ح)

إذا أخذنا المعادلة (س & ناقص ح) 2 = 4 ع (ص & سالب ك) وقم بتوسيعه نحصل على x 2 & ناقص 2 hx + ح 2 = 4 ص & ناقص 4 صك أو x 2 & ناقص 2 hx & ناقص 4p y + 4pك + ح 2 = 0 وهي معادلة بالصيغة x 2 + A x + B y + C = 0 حيث A و B و C ثوابت. نسأل ما إذا كان لدينا مثل هذه المعادلة ، هل يمكننا التعرف عليها على أنها معادلة القطع المكافئ؟ يمكن تحديد الإجابة عن طريق عكس هذه الخطوات ويتم تحقيق ذلك بإكمال المربع.

مثال: حدد ما إذا كانت x 2 + 4 x + 8 y + 12 = 0 هي معادلة القطع المكافئ. إذا كان الأمر كذلك ، فأوجد إحداثيات الرأس والبؤرة ومعادلة الدليل.
المحلول: نظرًا لأن حدي x فقط هي تربيعية ، فإننا نحتاج فقط إلى إكمال المربع وفقًا لهذه الحدود. نحن نحصل
س 2 + 4 س + 8 ص + 12 = 0
(س + 2) 2 وناقص 4 + 8 ص + 12 = 0
(س + 2) 2 + 8 ص + 8 = 0
(س + 2) 2 + 8 (ص + 1) = 0
(س + 2) 2 = & ناقص 8 (ص + 1)
(س + 2) 2 = 4 (& ناقص 2) (ص + 1)
يجب أن نتعرف على هذا على أنه قطع مكافئ يفتح لأسفل وقد تم إزاحته بوحدتين إلى اليسار ووحدة واحدة لأسفل. وهكذا يكون الرأس عند (& سالب 2 ، & سالب 1). قيمة p هي & ناقص 2. نعلم أنه في الوضع القياسي سيكون التركيز عند (0 ، & ناقص 2) ولكن الآن بعد أن قمنا بترجمة المنحنى ، يقع التركيز عند (0 & ناقص 2 ، & & ناقص 2 & ناقص 1) أو (& ناقص 2 ، & ناقص 3).
معادلة الدليل في الموضع القياسي هي y = & minus (& minus2) = 2. الآن نحن بحاجة إلى ترجمة هذه الوحدة الواحدة إلى الأسفل. وبالتالي فإن معادلة الدليل المبدل هي y = 1.

توضح الصورة تحول القطع المكافئ من الوضع القياسي إلى الموضع الجديد.

وبالمثل ، إذا حصلنا على معادلة بالصيغة y 2 + A y + B x + C = 0 ، فإننا نكمل المربع على حدي y ونعيد كتابته بالصيغة (y & ناقص ك) 2 = 4 ع (س & ناقص ح). من هذا المنطلق ، يجب أن نكون قادرين على التعرف على إحداثيات الرأس والبؤرة وكذلك معادلة الدليل.

في مجموعة التمرين التالية هذه ، تحصل على معادلة القطع المكافئ في شكل موسع. انقر فوق "جديد" لمشاكل جديدة. على الورق ، حدد إحداثيات الرأس والتركيز. عندما تحصل على إجاباتك ، اضغط على "حل" لرؤية الرسم البياني للقطع المكافئ وإحداثيات الرأس والتركيز. سيكشف الزر "تعليمات" عن الرسم البياني ونتيجة إكمال المربع.

البحث عن قمة وبؤرة القطع المكافئ

هوائيات مكافئ

يمتلك القطع المكافئ خاصية انعكاسية مفيدة تفسح المجال للعديد من التطبيقات. مرآة مثل تلك الموجودة في مصباح يدوي به مقطع عرضي مكافئ ستعكس الأشعة من مصدر موجود في البؤرة بحيث تنتقل الأشعة بالتوازي مع بعضها البعض ، مباشرة من المصباح اليدوي. وبالمثل ، إذا ضربت موجات الراديو هوائيًا مكافئًا ، فإن الموجات ستنعكس جميعها إلى نقطة واحدة ، هي التركيز. يعطي التمرين أدناه أبعادًا لهوائي مكافئ ويطلب موقع البؤرة. يعود زر "ابدأ" إلى صفحة الإعداد التي تظهر الآن. انقر على "فيلم" لمشاهدة الرسوم المتحركة القصيرة التي تعرض الخاصية العاكسة للهوائي. ثم يمكنك النقر فوق "البيانات" لحل المشكلة. يوفر زر "تلميح" تلميحًا إذا لزم الأمر وسيكشف الزر "حل" الإجابة.


إيجاد الحد الأقصى والأدنى

غالبًا ما يكون من المفيد العثور على القيم القصوى و / أو الدنيا للوظائف التي تمثل تطبيقات الحياة الواقعية. لإيجاد هذه القيم المهمة في حالة دالة تربيعية ، نستخدم الرأس. إذا كان المعامل الرئيسي أ موجب ، ثم ينفتح القطع المكافئ لأعلى وسيكون هناك حد أدنى ذ-القيمة. إذا كان المعامل الرئيسي أ سلبي ، ثم يفتح القطع المكافئ لأسفل وسيكون هناك حد أقصى ذ-القيمة.

المثال 6: أوجد الحد الأقصى أو الأدنى: y = - 4 x 2 + 24 x - 35.

المحلول: منذ أ = −4 ، نعلم أن القطع المكافئ يفتح لأسفل وسيكون هناك حد أقصى ذ-القيمة. للعثور عليه ، نجد أولاً x- قيمة الرأس.

ال x-قيمة الرأس هي 3. عوض بهذه القيمة في المعادلة الأصلية لإيجاد المقابل ذ-القيمة.

الرأس هو (3، 1). لذلك ، الحد الأقصى ذ-القيمة هي 1 ، والتي تحدث عندما x = 3 ، كما هو موضح أدناه:

الرسم البياني غير مطلوب للإجابة على هذا السؤال.

المثال 7: حدد الحد الأقصى أو الأدنى: ص = 4 × 2 - 32 × + 62.

المحلول: منذ أ = +4 ، يفتح القطع المكافئ لأعلى ويوجد حد أدنى ذ-القيمة. ابدأ بإيجاد ملف x- قيمة الرأس.

استبدل x = 4 في المعادلة الأصلية للعثور على المقابل ذ-القيمة.

الرأس هو (4، −2). لذلك ، الحد الأدنى ذ-قيمة −2 تحدث عندما x = 4 ، كما هو موضح أدناه:

جرب هذا! حدد الحد الأقصى أو الأدنى: y = (x - 3) 2 - 9.

حل الفيديو

يحدد القطع المكافئ ، الذي يفتح للأعلى أو للأسفل (على عكس الجوانب) ، وظيفة ويمتد إلى أجل غير مسمى إلى اليمين واليسار كما هو موضح بواسطة الأسهم. لذلك ، فإن المجال (مجموعة x-values) يتكون من جميع الأرقام الحقيقية. ومع ذلك ، فإن النطاق (مجموعة ذ-values) يحدها ذ- قيمة الرأس.

المثال 8: حدد المجال والمدى: y = x 2-4 x + 3.

المحلول: أولاً ، لاحظ أنه نظرًا لأن a = 1 موجب ، فإن القطع المكافئ يفتح لأعلى. ومن ثم سيكون هناك حد أدنى ذ-القيمة. للعثور على هذه القيمة ، ابحث عن x- قيمة الرأس:

ثم استبدل في المعادلة لإيجاد المقابل ذ-القيمة.

الرأس هو (2، −1). النطاق يتكون من مجموعة من ذ- قيم أكبر من أو تساوي الحد الأدنى ذ-قيمة −1.

الجواب: المجال: ص = (−∞، ∞) النطاق: [−1، ∞)

المثال 9: يُعطى ارتفاع المقذوف بالأقدام من خلال الدالة h (t) = - 16 t 2 + 72 t ، حيث ر يمثل الوقت بالثواني بعد الإطلاق. ما أقصى ارتفاع وصل إليه المقذوف؟

المحلول: هنا = - 16 ، ويفتح القطع المكافئ للأسفل. لذلك ، فإن ذ- تحدد قيمة الرأس أقصى ارتفاع. ابدأ بإيجاد ملف x- قيمة الرأس:

سيحدث أقصى ارتفاع في 9/4 = 2¼ ثانية. عوّض هذه المرة في الدالة لتحديد الارتفاع الذي تم تحقيقه.

الإجابة: أقصى ارتفاع للقذيفة 81 قدمًا.


تتضمن حلول RD Sharma للفصل 11 من كتاب الرياضيات المدرسي الفصل 25 (Parabola) جميع الأسئلة مع الحل والشرح التفصيلي. سيؤدي ذلك إلى إزالة شكوك الطلاب حول أي سؤال وتحسين مهارات التطبيق أثناء التحضير لامتحانات المجلس. ستساعدك الحلول التفصيلية خطوة بخطوة على فهم المفاهيم بشكل أفضل وتوضيح ارتباكاتك ، إن وجدت. موقع Shaalaa.com لديه حلول CBSE Class 11 للرياضيات بطريقة تساعد الطلاب على فهم المفاهيم الأساسية بشكل أفضل وأسرع.

علاوة على ذلك ، نحن في موقع Shaalaa.com نقدم مثل هذه الحلول حتى يتمكن الطلاب من الاستعداد للامتحانات الكتابية. يمكن أن تكون حلول الكتب المدرسية RD Sharma مساعدة أساسية للدراسة الذاتية وتعمل كدليل مثالي للمساعدة الذاتية للطلاب.

المفاهيم التي تم تناولها في الفصل 11 من كتاب الرياضيات المدرسي ، الفصل 25 ، القطع المكافئ هي أقسام من المخروط ، مفهوم الدائرة ، مقدمة من القطع المكافئ ، المعادلات القياسية للقطع المكافئ ، Latus Rectum ، مقدمة من القطع الناقص ، العلاقة بين المحور شبه الرئيسي ، المحور شبه الصغير والمسافة التركيز من مركز القطع الناقص ، الحالات الخاصة للقطع الناقص ، المعادلات المعيارية للقطع الناقص ، المستقيم العمودي ، مقدمة القطع الزائد ، اللامركزية ، المعادلة القياسية للقطع الزائد ، لاتوس المستقيم ، المعادلة القياسية للدائرة ، اللامركزية.

يعد استخدام تمرين Parabola بواسطة الطلاب من RD Sharma Class 11 طريقة سهلة للتحضير للامتحانات ، حيث إنها تتضمن حلولًا مرتبة حسب الفصل أيضًا. الأسئلة المتضمنة في RD Sharma Solutions هي أسئلة مهمة يمكن طرحها في الاختبار النهائي. يفضل طلاب CBSE Class 11 كحد أقصى RD Sharma Textbook Solutions للحصول على درجات أعلى في الامتحان.


المقاطع المخروطية في اليونان القديمة

يمكن إرجاع معرفة المقاطع المخروطية إلى اليونان القديمة. يعود الفضل إلى Menaechmus في اكتشاف المقاطع المخروطية حول السنوات 360-350 قبل الميلاد. يذكر أنه استخدمها في حلينه لمشكلة "مضاعفة المكعب". بعد عمل Menaechmus ، تم فحص هذه المنحنيات بواسطة Aristaeus و Euclid. المساهمة الرئيسية التالية في نمو نظرية المقطع المخروطي كانت من قبل أرخميدس العظيم. على الرغم من أنه حصل على العديد من النظريات المتعلقة بالمخروطيات ، إلا أنه لا يبدو أنه نشر أي عمل مخصص لها فقط. من ناحية أخرى ، يُعرف Apollonius باسم "Great Geometer" على أساس نصه Conic Sections ، وهو عبارة عن ثمانية "كتاب" (أو في المصطلحات الحديثة ، "فصل") سلسلة حول هذا الموضوع. لقد نزلت الكتب الأربعة الأولى إلينا باللغة اليونانية القديمة الأصلية ، لكن الكتب V-VII معروفة فقط من خلال الترجمة العربية ، بينما فقد الكتاب الثامن تمامًا.

في السنوات التي أعقبت أبولونيوس ، بدأ التقليد الهندسي اليوناني في التدهور ، على الرغم من وجود تطورات في علم الفلك وعلم المثلثات والجبر (Eves ، 1990 ، ص .182). عزز بابوس ، الذي عاش حوالي 300 م ، دراسة المقاطع المخروطية إلى حد ما بطرق ثانوية. بعد بابوس ، تم تقريبًا نسيان المقاطع المخروطية لمدة 12 قرنًا. لم يكن حتى القرن السادس عشر ، جزئياً كنتيجة لاختراع الطباعة والنشر الناتج لعمل أبولونيوس ، حدث أي تقدم كبير في نظرية أو تطبيقات المقاطع المخروطية ولكن عندما حدث ذلك ، في عمل كبلر ، كان ذلك جزءًا من أحد التطورات الرئيسية في تاريخ العلوم.

ستبحث هذه الورقة في تاريخ المقاطع المخروطية في اليونان القديمة. سوف ندرس عمل علماء الرياضيات المذكورين أعلاه ذات الصلة بالأقسام المخروطية ، مع إيلاء اهتمام خاص لنص أبولونيوس حول الأقسام المخروطية.

بابوس وبروكلوس

قد يبدو من الغريب أن نبدأ بهذه الأرقام المتأخرة ، لكن أهمية Pappus و Proclus يجب أن يتم تحديدها مبكرًا. بينما كان بابوس الإسكندري عالِمًا مختصًا بالرياضيات والجغرافيا ، فإننا مهتمون هنا بعمله كمعلق رياضي ومؤرخ للرياضيات. مقيمًا بشكل أساسي في الإسكندرية ، بعد حوالي 500 عام من ظهور أمثال إقليدس وأرخميدس وأبولونيوس على المشهد الفكري ، كتب بابوس العديد من التعليقات على أعمال العديد من علماء الرياضيات العظماء في الماضي (أي من ماضيه!). كانت إحدى أهم مساهماته هي مجموعته الرياضية ، وهي سلسلة من ثمانية كتب تضمنت تعليقات وملاحظات تاريخية ، بالإضافة إلى العديد من المقترحات الأصلية وملحقات الأعمال الموجودة. في الكتاب السابع ، يناقش اثني عشر أطروحة من الماضي والتي تضمنت أقسام أبولونيوس المخروطية ، و Loci سطح إقليدس ، و Aristaeus 'Solid Loci Loci (Eves، 1990، p.183-4). يعطينا بابوس نظرة ثاقبة على حياة وأعمال المقاييس اليونانية. كان لديه إمكانية الوصول إلى الأعمال التي فقدت الآن ، بالإضافة إلى كونه عالم رياضيات ماهرًا في حد ذاته ، فهو يوفر رابطًا قيمًا للهندسة اليونانية القديمة.

كان بروكلس ، الذي عاش في القرن الخامس الميلادي ، مؤرخًا رياضيًا بارزًا أيضًا. مثل بابوس ، كان لديه إمكانية الوصول إلى الوثائق الأصلية لرياضيات العصور الكلاسيكية والهيلينستية التي لم تعد متوفرة. ملخصه الأوديماني هو مصدر لا يقدر بثمن للمعلومات حول العمل الرياضي اليوناني المبكر حتى إقليدس (Eves، 1990، pp. 74-75). سيتم استدعاء سلطته في هذه الورقة ، لا سيما عند فحص تأثير أريستوس وإقليدس.

ميناشموس

وفقًا للتقاليد ، نشأت فكرة المقاطع المخروطية من استكشاف مشكلة "مضاعفة المكعب". تم تقديم هذه المشكلة والقصة المصاحبة لها في رسالة من إراتوستينس القيرواني إلى الملك بطليموس يورجتس ، والتي نزلت إلينا كما نقلها يوتوسيوس في تعليقه على كتاب أرخميدس على الكرة والأسطوانة ، والذي يظهر في هيث. أخبر إراتوستينس الملك أن الملك الأسطوري مينوس كان يرغب في بناء قبر لجلوكوس وشعر أن أبعاده الحالية - مائة قدم على كل جانب - غير كافية.

    خطتك صغيرة جدًا لتقييد قبر ملكي. فليكن ضعف شكله العادل. لا تفشل ، ولكن تسرع لمضاعفة كل جانب.

من الواضح أن مضاعفة كل جانب ستزيد الحجم بمقدار ثمانية أضعاف ، وليس بالعامل المرغوب فيه وهو اثنان. عمل علماء الرياضيات بجد على هذه المشكلة ، لكنهم واجهوا صعوبة هائلة في حلها. حدث اختراق من نوع ما عندما قام أبقراط خيوس بتخفيض المشكلة إلى مشكلة مكافئة لـ "متناسبان متوسطان" ، على الرغم من أن هذه الصيغة لم تكن أسهل في التعامل معها من سابقتها (Heath، 1961، p. xviii). تابع إراتوستينس حديثه عن ديليان ، الذين كانوا مهتمين بنفس مشكلة "مضاعفة مكعب". عندما دعوا المقاييس الجغرافية في أكاديمية أفلاطون في أثينا للتوصل إلى حل ، وجد مقياسان جيولوجيان إجابات لمشكلة النسب المتوسطة المكافئة. استخدم أرشيتاس تارانتوم "نصف أسطوانات" ، واستخدم إيودوكسوس "خطوط منحنية". ومع ذلك ، فإن هذه الحلول لم تقدم سوى عروض توضيحية لوجود العدد المطلوب باعتباره كمية هندسية ، لكنها لم تستطع في الواقع بناء النسبة المتوسطة ميكانيكيًا ، لذلك لم تصل إلى نقطة التطبيق العملي حتى ميناشموس ، الذي حققه بشكل كبير. صعوبة (هيث ، 1961 ، الصفحات من السابع عشر إلى الثامن عشر).

ذكر أعلاه النسب المتوسطة لأبقراط هو موضع اهتمام. ما يعنيه هذا هو أنه ، بالنظر إلى طولين a و b ، نجد x و y بحيث أن a: x :: x: y و x: y :: y :: b ، أو في التدوين الحديث a / x = x / y = y / b إذا أشرنا إلى هذه النسبة بواسطة r ، فإن r ^ 3 = (a / x) (x / y) (y / b) = a / b ، وكما لاحظ أبقراط ، إذا كان المقطع a ضعف طالما أن القطعة b ، فإن مضاعفة المكعب ستحل باستخدام الطول r. وغني عن القول ، إنه لم يكن لديه تدوين جبري قادر على دعم الحجة بالشكل الذي قدمناه ، وكان عليه أن يجادل بشكل مباشر.

كان مناحموس تلميذًا لـ Eudoxus ، معاصر لأفلاطون (هيث ، 1921 ، ص 251). يأتي الكثير مما نعرفه عن عمل مناحموس إلينا من تعليقات يوتوسيوس ، وهو عالم يوناني ناقش أعمال العديد من علماء الرياضيات في زمانه وما قبله ، بما في ذلك ميناشموس وأرخميدس وأبولونيوس. في حلوله ، يجد ميناشموس أساسًا تقاطع (2) و (3) (انظر الحل 1 أدناه) ، ثم بدلاً من ذلك ، تقاطع (1) و (2) (انظر الحل 2 أدناه). يتعامل دليل مناحموس مع الحالة العامة للنسب المتوسطة. بمجرد أن نحصل على هذا ، يمكننا أن نأخذ الحالة الخاصة a = 2b لمضاعفة المكعب. قبل تقديم هذين الحلين ، تجدر الإشارة إلى أن Menaechmus لم يستخدم المصطلحات "القطع المكافئ" و "القطع الزائد" - هذه المصطلحات تعود إلى Apollonius. بدلاً من ذلك ، أطلق على القطع المكافئ "قسم من مخروط قائم الزاوية" ، والقطع الزائد "قسم من مخروط منفرج الزاوية" (Heath، 1921، p. 111).

    الحل 1:
  • لنفترض أن AO و AB هما خطان مستقيمان مثل AO> AB ودعهما يشكلان زاوية قائمة عند O.
  • لنفترض أن المشكلة تم حلها ودع متوسطي التناسب يتم قياسهما على طول BO المنتج وقياس ON على طول AO المنتج. (هيث ، 1921 ، ص 253).
  • أكمل المستطيل OMPN.
  • لأن AO: OM = OM: ON = ON: OB ، لدينا من خلال الضرب التبادلي العلاقات التالية:
  • (1) OB.OM = ON & sup2 = PM & sup2 ["." يشير إلى الضرب] ، بحيث يقع P على القطع المكافئ الذي يحتوي على O لرأسه ، و OM لمحوره ، و OB لمستقيمها الطولي.
  • (2) AO.OB = OM.ON = PN.PM ، بحيث تقع P على القطع الزائد مع O كمركز لها ، و OM و ON كخطوط مقاربة لها.
  • للعثور على النقطة P ، يجب أن نبني القطع المكافئ في (1) والقطع الزائد في (2) ، وبمجرد أن نفعل ذلك ، فإن تقاطع الاثنين يحل المشكلة ، بالنسبة إلى AO: PN = PN: PM = PM: OB .
    الحل 2:
  • لنفترض أن AO و AB معطيان وأن المشكلة يجب حلها كما في الخطوتين الأوليين للحل 1.
  • مرة أخرى ، لدينا AO: OM = OM: ON = ON: OB ، مما يعطينا
  • (1) كما في الحل 1 ، العلاقة OB.OM = ON & sup2 = PM & sup2 ، بحيث تقع P على القطع المكافئ الذي يحتوي على O لرأسه ، و OM لمحوره ، و OB لمستقيمها الطولي.
  • (2) العلاقة AO.ON = OM & sup2 = PN & sup2 ، بحيث تقع P على قطع مكافئ يحتوي على O لقمة رأسه ، و ON لمحوره ، و OA لمستقيمها الطولي.
  • لإيجاد النقطة P ، يجب أن نبني القطعين المكافئين الموصوفين في (1) وفي (2). يعطينا التقاطع النقطة P بحيث تكون AO PN = PN: PM = PM: OB

في حين أنه من الواضح أن Menaechmus استخدم ما أصبح يعرف فيما بعد بالمقاطع المخروطية ، فهل كان لديه بالفعل بناء يتضمن مخروطًا عندما حل مشكلة مضاعفة المكعب؟ يقول هيث أنه فعل ذلك ، للسبب التالي. في الرسالة نفسها من إراتوستينس إلى بطليموس المذكورة أعلاه ، ذكر إراتوستينس ، فيما يتعلق بمناقشة حله الخاص للمشكلة ، أنه لا داعي للجوء إلى "قطع المخروط في ثلاثية ميناشموس" (هيث ، 1961 ، الثامن عشر). بالإضافة إلى هذا الاقتباس الذي يظهر في تعليق Eutocius على أرخميدس ، يؤكد Proclus أن مخروطيات اكتشفها Menaechemus (هيث ، 1961 ، التاسع عشر).

الآن وقد رأينا كيف طبق ميناشموس المقاطع المخروطية لأول مرة ، قد يتساءل المرء ، "كيف فكر في الحصول على هذه المنحنيات من مخروط؟". على الرغم من عدم وجود معلومات تقريبًا عن هذا السؤال نفسه ، يخبرنا الحدس أن مهارات الملاحظة لدى علماء الرياضيات اليونانيين ستنجذب إلى مثل هذه الأشكال. من المحتمل أن يكون الجزء المخروطي الأول الذي لوحظ في الطبيعة عبارة عن قطع ناقص. إذا قام أحدهم بقص أسطوانة بزاوية غير الزاوية اليمنى لمحورها ، تكون النتيجة قطع ناقص. في الواقع ، يشير إقليدس في كتابه Phaenomena إلى أن مخروطًا أو أسطوانة مقطوعة بمستوى غير موازي للقاعدة ينتج عنها مقطع من مخروط حاد الزاوية "يشبه [الدرع]" (هيث ، 1921 ، 125). الامتداد الطبيعي لهذه الظاهرة هو قطع مخروط بطريقة مماثلة. ثم ربما قاموا بتحريك مستوى القطع بحيث لا يقطع المخروط بالكامل. ما أنواع المنحنيات الناتجة؟ كيف تتشابه كل من خصائصها مع الأقسام الأخرى؟ كيف هم مختلفون؟ هذه مناقشة ممكنة وربما مبسطة لتدفق الأفكار التي أدت إلى دراسة المقاطع المخروطية.

يقترح Neugebauer أن أصل المفهوم يكمن في نظرية الساعات الشمسية ، نظرًا لأن حزمة أشعة الضوء المشاركة في تصميم الساعات الشمسية عبارة عن مخروط يتم قطعه بواسطة مستوى الأفق في القطع الزائد ، وجزء من هذا القطع الزائد هو ثم وضع علامة على الساعة الشمسية.

وفقًا لـ Geminus ، كان القدماء يدورون حول مثلث قائم الزاوية حول إحدى ساقيه لتحديد مخروط. بالإضافة إلى ذلك ، كانت فقط المخاريط اليمنى معروفة. من بين هذه المخاريط ذات الزاوية القائمة ، هناك ثلاثة أنواع. من الواضح أن الزاوية الرأسية أعلى المخروط يمكن أن تكون أقل من تسعين درجة ، أو أكثر من تسعين درجة ، أو تسعين درجة بالضبط (هيث ، 1921 ، ص 111). سنرى لاحقًا عندما ندرس Apollonius ، أن هناك اختلافًا جوهريًا في أنواع الأقماع التي يعتبرها. دائمًا ما يكون الجزء الذي يربط "النقطة العليا" للمخروط بمركز القاعدة الدائرية زاوية قائمة. يعتبر أبولونيوس أن الشكل العام للمخروط لا يفترض الزاوية اليمنى (هيث ، 1961 ، ص 1). بإرجاع المخاريط المتخصصة من حساب Geminus ، كانت تسمى هذه المخاريط ذات الزاوية الحادة ، والمنفرجة الزاوية ، والزاوية القائمة (يجب عدم الخلط بينها وبين المخاريط اليمنى ، التي تشير إلى ثورة المثلث القائم). بالإضافة إلى الاسمين للقطع الزائد والقطع المكافئ اللذان تم ذكرهما سابقًا ، كان القطع الناقص يُعرف باسم "قسم من مخروط حاد الزاوية" (Heath، 1921، p. 111).

لا يوجد شيء معروف عن الطرق التي استخدمها ميناشموس للتعامل مع هذه المنحنيات (كاجوري ، 1924 ، ص 27). يناقش هيث ما يسميه طريقته "المحتملة" ، بناءً على افتراض أن إنشاءات ميناشموس لمنحنياته من المحتمل أن تكون بسيطة ومباشرة إلى حد ما ، ولكنها مفيدة بما يكفي لإثبات الخصائص البارزة. لن يتم مناقشة هذا أكثر من ذلك. لحسن الحظ ، لدينا توثيق مكثف لأطروحات المقاييس الهندسية اللاحقة ، ولا سيما أبولونيوس ، حول موضوع المقاطع المخروطية.

Aristaeus وإقليدس

نأتي بعد ذلك إلى الأعمال (المفقودة مرة أخرى) لأريستوس "الأكبر" وإقليدس المشهور في المقاطع المخروطية. نظرًا لعدم وجود الأعمال الأصلية لهذين الرجلين في أقسام مخروطية ، فإن معرفتنا بها مستمدة من تعليقات بابوس ، الذي تمت مناقشة كتاباته في هيث ، باستخدام ترجمة بواسطة Hultsch:

أكمل أبولونيوس الكتب الأربعة المخروطية لإقليدس ، الذي أضاف أربعة كتب أخرى وأنتج ثمانية كتب من المخروطيات. Aristaeus ، الذي كتب الكتب الخمسة التي لا تزال موجودة من المواقع الصلبة المتصلة بالمخروطات ، أطلق على أحد المقاطع المخروطية مقطعًا من مخروط حاد الزاوية ، وآخر قسم من مخروط قائم الزاوية والثالث قسم منفرج- مخروط بزاوية. يقول أبولونيوس في كتابه الثالث أن "المكان فيما يتعلق بثلاثة أو أربعة أسطر" لم يتم التحقيق فيه بالكامل من قبل إقليدس ، وفي الواقع لم يكن بإمكان أبولونيوس نفسه أو أي شخص آخر أن يضيف على الأقل إلى ما كتبه إقليدس مع مساعدة تلك الخصائص المخروطية فقط التي تم إثباتها حتى زمن إقليدس أبولونيوس نفسه هو دليل على هذه الحقيقة عندما يقول أن نظرية هذا المكان لا يمكن أن تكتمل بدون الافتراضات التي كان مضطرًا إلى العمل بها بنفسه. اعتبر إقليدس الآن أن أريستوس يستحق الفضل في الاكتشافات التي قام بها بالفعل في المخروطيات ، ودون توقعه أو الرغبة في بناء نفس النظام من جديد ، علاوة على ذلك ، فهو ليس حكيمًا في الجدل ، وعلى الرغم من كونه دقيقًا ، إلا أنه لا يتفاخر مثل الآخر - كتب الكثير عن الموضع بقدر ما كان ممكنًا عن طريق مخروطات أريستوس ، دون ادعاء اكتمال مظاهراته. (هيث ، 1961 ، ص 21 - 22)

قبل مناقشة الآثار المترتبة على كلمات بابوس ، ننتقل إلى Proclus لإعطائنا نظرة ثاقبة على مفهوم "الموقع الصلب". يعرّف الموضع بأنه "موضع لخط أو سطح يتضمن نفس الخاصية" (Heath، 1961، p. xxxii). تنقسم Loci إلى فئتين ، "line-loci" ، و "Surface-loci". ضمن مواضع الخط هي "موقع الطائرة" و "الموقع الثابت". يتم إنشاء موقع المستوى في مستوى ، مثل الخط المستقيم. يتم إنشاء المواضع الصلبة من مقطع من الشكل الصلب ، أي الحلزون الأسطواني والمقاطع المخروطية. يقوم Pappus بعمل تقسيم لما يسميه Proclus الموقع الصلب. قام بتقسيم هذه الفئة إلى "موقع خطي" و "مواضع صلبة" ، حتى لا يتم الخلط بينه وبين ما يسميه Proclus الموقع الثابت. المواضع الصلبة ، بالنسبة لبابوس ، هي أقسام من المخاريط (القطع المكافئ ، والقطع الناقص ، والقطوع الزائدة) ، والمواضع الخطية هي خطوط أكثر تعقيدًا من الخطوط المستقيمة والدوائر والمقاطع المخروطية (هيث ، 1961 ، ص. xxxiii).

بهذه المعلومات ، جنبًا إلى جنب مع فقرة بابوس ، توصل هيث إلى عدة استنتاجات تتعلق بأعمال إقليدس وأريستوس فيما يتعلق بالمقاطع المخروطية. أولاً ، ركزت معالجة Aristaeus للمواضع الصلبة على القطع المكافئ ، والقطع الناقص ، والقطوع الزائدة ، أي اعتبر المخروطيات موضعية. ثانيًا ، جاءت أطروحة أريستوس حول المواقع الصلبة أولاً ، واحتوت على أفكار ونظريات أصلية أكثر من نظريات إقليدس. يقول بابوس أن إقليدس كتب عن النظرية الأساسية للمقاطع المخروطية ، مستهدفًا مقترحاته لإعداد القراء لتحليل المواضع الصلبة لأريستوس (هيث ، 1961 ، ص 32). على نفس المنوال ، يلاحظ هيث أن "مخروطات إقليدس كانت عبارة عن تجميع وإعادة ترتيب لهندسة المخروطيات حتى الآن كما هو معروف في عصره ، في حين أن عمل أريستوس كان أكثر تخصصًا وأكثر أصالة" (هيث ، 1921 ، ص 116. -7). ثالثًا ، استخدم Aristaeus مصطلحات "قسم من المخروط قائم الزاوية وحاد الزاوية ومنفرجة الزاوية" ، وهي الأسماء المقبولة لهذه المنحنيات حتى Apollonius. أخيرًا ، حلت المقاطع المخروطية محل مخروطات إقليدس بواسطة أبولونيوس.

بالإضافة إلى الأفكار المذكورة أعلاه ، فإن المفتاح الذي يمكن استخلاصه من أعمال أريستوس وإقليدس هو أنها كانت مصدرًا استند إليه علماء الرياضيات في عملهم ، أو على الأقل استشيروا. سنرى هذا عمليًا بينما نواصل مناقشتنا مع أرخميدس وأبولونيوس.

أرخميدس

"No survey of the history of conic sections could be complete without a tolerably exhaustive account of everything bearing on the subject which can be found in the extant works of Archimedes" (Heath, 1961, p. xli). There is no substantiated evidence that he ever wrote an entire work devoted to conic sections, but his knowledge of the subject is obvious in the works we do have. Among the treatise Archimedes published was Quadrature of the Parabola, Conoids and Spheroids, Floating Bodies, and Plane Equilibrium. These works share a common thread-they require the extensive use of the properties of parabolas, Archimedes' specialty amongst the conic sections (Heath, 1921, p. 124).

Heath says that Euclid's Conics is the probable source from which Archimedes adopts basic principles of conics that he assumes without proof (Heath, 1921, p. 122). He uses the "old", pre-Apollonius names for the conic sections (i.e. section of an acute-angled cone = ellipse) (Heath, 1961, p. xlii). Before going on it is important to clarify his vocabulary. Diameters are what we consider to be the axes of the ellipse (both the major and minor). These two diameters are conjugate. The axis of a parabola is also called a diameter, and the other diameters are called "lines parallel to the diameter". The diameter of a hyperbola is the portion of what we consider the axis within the single-branched hyperbola (Archimedes consider the second branch to be part of the same curve). The center of the hyperbola was called the point in which the "nearest lines to the section of an obtuse-angled cone" (asymptotes) meet (Heath, 1921, p. 122).

Heath cites several assumptions Archimedes made on the basis of previous works by the likes of Euclid and Aristaeus. With reference to the central conics:

    The straight line drawn from the center of an ellipse, or the point of intersection of the asymptotes of a hyperbola, through the point of contact of any tangent, bisects all chords parallel to the tangent In the ellipse, the tangents at the extremities of either of two conjugate diameters are both parallel to the other diameter. If a cone, right or oblique, be cut by a plane meeting all the generators, the section is either a circle or an ellipse. If a line between the asymptotes meets a hyperbola and is bisected at the point of concourse, it will touch the hyperbola If x, y are straight lines drawn, in fixed directions respectively, from a point on a hyperbola to meet the asymptotes, rectangle xy is constant. With reference to parabolas in particular, Parallel chords are bisected by one straight line parallel to the axis, which passes through the point of contact of the tangent parallel to the chords. If the tangent at Q meet the diameter PV in T, and QV be the ordinate to the diameter, PV = PT [see Apollonius for definition of ordinate]. All parabolas are similar (Heath, 1921, pp. 123-24)

The nature of Archimedes' writings seems to be such that he only proves what is not reasonably obvious to a trained mathematician. What was obvious to Archimedes, however, does not always coincide with what is obvious to most people! By the same argument, the propositions that Archimedes does prove tend to be very difficult. Archimedes seemed to be less concerned with developing a complete, systematic treatment of the conics (which in any case was accessible in the now lost works of others), but rather with using what was already established and/or easily proved develop deep and challenging theorems. For this reason, this paper, while it has given a basic background of the assumptions and basic trends of Archimedes' study, will not examine the original proofs he gave.

Apollonius

Along with Euclid and Archimedes, Apollonius is the third member of the trio of great geometric minds of Ancient Greece. "It is no exaggeration to say that almost every significant subsequent geometrical geometric, right up to and including the present time, finds its origin in some work of these three great scholars" (Eves, 1963, 25). Only a small amount of information is known about the life of Apollonius. He was born in the city of Perga, in Pamphylia, which was is located in southern Asia Minor, now Turkey. The date of his birth again is agreed upon by both Eves and Heath to be approximately 262 B.C., that is, approximately 25 years after the birth of Archimedes. As a young man he traveled to Alexandria to study with the successors of Euclid. He flourished during the reign of Ptolemy Euergetes ("The Benefactor", 247-222 B.C.). He continued to be a recognized scholar during the reign of Ptolemy Philopator (222-205 B.C.). (Heath, 1921, 126). It is also known that he visited Pergamum, where he met Eudemus, to whom he dedicated the first two books of his Conic Sections (Heath, 1921, 126). The third through seventh books (and possible the eighth, which is lost) were dedicated to King Attalus I (241-197 B.C.), a fact which has helped historians estimate the years of his lifetime.

Four of Apollonius' eight books have come down to us in Greek. The eighth book is completely lost - we do not even have any knowledge of its contents. Books V-VII have reached us in an Arabic translation, whose date is debatable. Eves and Heath consider it to be a ninth century translation (Eves, 1990, p. 171). Cajori on the other hand writes of a 1250 translation, without any mention of the ninth century one (Cajori, 1924, 38). Two brothers from the family Muh, Ahmad and al-Hasan, first contemplated translating Conic Sections into Arabic during the ninth century. They almost lost interest due to the poor condition of their manuscripts. Ahmad received a copy of Eutocius' edition of Books I-IV and had them translated by Abi Hilal al-Himsi (died 883/4). He then gave a different manuscript of books V-VII to Thabit ibn Qurra (lived 826-901) to translate. Confirming Cajori's mention of the 1250 translation, Heath reports that in 1248, another translation was made by Nasir ad-Din (Heath, 1921, p. 127).

Apollonius opens each of his surviving books with a preface. The preface to Book I, which serves as a general preface for the whole series, and to Book V have been included in Appendix A. From the general preface we learn that the first four books of Conic Sections completed and formalized the previous work known to Apollonius at the time. According to Heath, Apollonius never claims the material covered in the first four books to be original, except for certain theorems in Book III, and the investigations in Book IV. What he does contend, however, is that his treatise is more complete and rigorous than previous works on the subject, which agrees with the comments of Pappus (Heath, 1961, p. lxxvii). Unlike most of the first four books, books five through seven covered new concepts which went beyond the "essentials". Heath states, The real distinction between the first four books and the fifth consists rather in the fact that the former contain a connected and scientific exposition of the general theory of conic sections as the indispensable basis for further extensions of the subject in certain special directions, while the fifth Book is an instance of such specialization the same is true of the sixth and seventh books (Heath, 1961, p. lxxvi).

Before we examine individual propositions from Conic Sections , it might be appropriate to mention the origin of the names of the conic sections as we know them to be today. According to Eves, the terms "ellipse", "parabola", and "hyperbola" were adopted from early Pythagorean vernacular referring to the "application of areas" (the form of "geometric algebra" recorded in Euclid's Elements , Book II. When applying a rectangle to a line segment [by aligning one edge of the rectangle to the segment with one corner of the rectangle matching up with one endpoint], the "other" corner of the rectangle either fell short of, met exactly, or exceeded the end of the segment. These three cases were respectively called "ellipsis", "parabole", or "hyperbole". Eves shows how these terms were applied in a similar spirit to the conic sections by Apollonius in the following manner:

    Let AB be the principal axis of a conic. Let P be any point on the conic. Let Q be the foot of the perpendicular to AB. Mark off a distance AR, perpendicular to AB by a distance now known as the latus rectum or parameter of the curve. Apply to the segment AR, a rectangle having for one side AQ and an area equal to (PQ)². If the rectangle exceeds the segment AR, then the conic is a hyperbola. If the rectangle coincides with the segment AR, then the conic is a parabola. If the rectangle falls short of the segment AR, then the conic is an ellipse. (Eves, 1963, pp. 30-1)

This argument alone does not seem to be a proof, or even a definition. As it is written, it certainly does not appear in Apollonius' Conic Sections, though, later, when his propositions are discussed, a similarity to these will be evident. Eves statements, however, do seem to check out when one follows the steps. The first three statements are clear, and common to all three cases. Not explicitly stated, let F be a focus of the given conic section, and K an endpoint of the latus rectum. Here are examples (non-Greek) of each of the three cases:

Before we go into Apollonius' method for proving these relationships, it would only be appropriate to start, as he did, by defining the relevant terms.

If a straight line indefinite in length, and passing always through a fixed point, be made to move round the circumference of a circle which is not in the same plane with the point, so as to pass successively through every point of that circumference, the moving straight line will trace out the surface of a double cone, or two similar cones lying in opposite directions and meeting in the fixed point, which is the apex of each cone.

The circle about which the straight line moves is called the base of the cone lying between the said circle and the fixed point, and the axis is defined as the straight line drawn from the fixed point or the apex to the center of the circle forming the base.

The cone so described is a scalene or oblique cone except in the particular case where the axis is perpendicular to the base. In this latter case the cone is a right cone.

If a cone be cut by a plane passing through the apex, the resulting section is a triangle, two sides being straight lines lying on the surface of the cone and the third side being the straight line which is the intersection of the cutting plane and the plane of the base.

Let there be a cone whose apex is A and whose base is the circle BC, and let O be the center of the circle, so that AO is the axis of the cone. Suppose now that the cone is cut by any plane parallel to the plane of the base BC, and DE, and let the axis AO meet the plane DE in o. Let p be any point on the intersection of the plane DE and the surface of the cone. Join Ap and produce it to meet the circumference of the circle BC in P. Join OP, op.

Then, since the plane passing though the straight lines AO, AP cuts the two parallel planes BC, DE in the straight lines OP, op respectively, OP, op are parallel.

And, BPC being a circle, OP remains constant for all positions of p on the curve DpE, and the ratio Ao : Ao is also constant.

Therefore, op is constant for all points on the section of the surface by the plane DE. In other words, that section is a circle.

Hence all sections of the cone which are parallel to the circular base are circles (Heath, 1961, pp. 1-2).

Conic Sections continues to define a diameter to be a straight line bisecting each of a series of parallel chords of a section of a cone. In each of the examples below, PP' is a diameter:

In the figures above, if QQ' is bisected by diameter PP' at V, then PV is called an ordinate, or a straight line drawn ordinate-wise. The length PV cut off from the diameter by any ordinate QV is called the abscissa of QV (Heath, 1961, pp. 7-8).

We now turn to Apollonius' definitions of the conic sections as we attempt to connect them to the definition Eves gave above. The case of the parabola will be given as an example of Apollonius' developments:

First let the diameter PM of the section be parallel to one of the sides of the axial triangle as AC, and let QV be any ordinate to the diameter PM. Then if a straight line PL (supposed to be drawn perpendicular to PM in the plane of the section) be taken of such a length that PL:PA = BC² : BA.AC , it is to be proven that QV² = PL.PV

Let HK be drawn through V parallel to BC . Then, since QV is also parallel to DE , it follows that the plane through H, Q, K is parallel to the base of the cone and therefore produces a circular section whose diameter is HK . Also QV is at right angles to HK.

Now, by similar triangles and parallels,

HV : PV = BC : AC and VK : PA = BC : BA.

Hence, QV² : PV.PA = PL : PA = PL.PV : PV.PA

It follows that the square on ay ordinate to the fixed diameter PM is equal to a rectangle applied to the fixed straight line PL drawn at right angles to PM with altitude equal to the corresponding abscissa PV. Hence the section is called a Parabola .

The fixed straight line PL is called the latus rectum , or the parameter of the ordinates.

This parameter, corresponding to the diameter PM , will be denoted by the symbol p below. هكذا،

This proof differs from that given above, for the earlier exercise assumed the focus to be known. Apollonius chooses PL in such a way that it represents the latus rectum, or focal width of the curve. Due to the earlier development, that any plane parallel to the base and cutting the cone completely is a circle. Through the use of the sets of parallel lines QV and DE, HK and BC, and through the similar triangles HKA and BCA, it follows rather directly as Apollonius states. Just like in the previous demonstration (Eves), the square of the ordinate (QV²) is equal to the length of the latus rectum (PL) times the abscissa of QV (PV).

Apollonius' definitions of the hyperbola and ellipse follow along a similar line. For the hyperbola, the area of the rectangle (set equal to the square of the ordinate) overlaps the fixed latus rectum. For the ellipse, the area of the rectangle falls short of the fixed latus rectum. Reiterating from before, Heath suggests that these definitions indicate that the names come from the Pythagorean terms relating to the application of areas to segments.

The final topic of Apollonius' Conic Sections to be considered is his treatment of tangents. He develops this topic in both Book I and Book V. Book V introduces the idea of "maximum" and "minimum" lines to refer to tangents and normals, respectively. This book, considered by Eves to be "the most remarkable and original" of the seven we have today, quickly becomes very difficult to read and follow. The propositions and relationships it proves, which today are more easily shown using differential calculus, are rigorously explored in the classic Greek geometric fashion (Heath, 1961, pp. lxxv-lxxvi). Preliminary theorems, however, are not terribly difficult to follow. First we will look at two propositions from the first book concerning tangents (one will be stated and discussed, the other formally proved), and then we will look at one Book V theorem.

Proposition 11 states, If a straight line be drawn through the extremity of the diameter of any conic parallel to the ordinates to that diameter, the straight line will touch the conic, and no other straight line can fall between it and the conic (Heath, 1961, p. 22). That is, no straight line can fit between a tangent line and the curve to which it is tangent. This seems like a reasonable statement, related to the definition of tangent line used later in the development of the calculus (though, among other things, too "global" in scope).

Apollonius proves this in two cases, one for a parabola, and one for the ellipse, hyperbola, and circle [interesting that he would include the circle].

Proposition 12: If a point T be taken on the diameter of a parabola outside the curve and suh that TP = PV, where V is the foot of the ordinate from Q to the diameter PV, he line TQ will touch the parabola.

We have to prove that the straight line TQ or TQ produced does not fall within the curve on either side of Q.

For, if possible, let K, a point on TQ or TQ produced, fall within the curve, and through K draw Q'KV' parallel to an ordinate and meeting the diameter in V' and the curve in Q'.

Then Q'V'² : QV² > KV'² : QV², by hypothesis, > TV'² : TV²

Hence, 4TP.PV' : 4TP.PV > TV'² : TV²

But, since by hypothesis TV' is not bisected in P,

which is absurd. Therefore, TQ does not at any point fall within the curve, and is therefore a tangent.

The figure for this proof by contradiction can be redrawn to show what is being assumed, that there exists a point K on TQ such that K lies inside the parabola. We then construct KQ'V' parallel to the ordinate QV.

Then, using our assumption that Q'V' > KV', the given TP = PV, and the similar triangles TVP and TV'Q', we arrive at the contradiction.

We now move ahead to Book V to get a feel for Apollonius' idea of minimum with a simple case of the concept:

Proposition 82 In a parabola, if E be a point on the axis such that AE is equal to half the latus rectum, then the minimum straight line from E to the curve is AE and, if P be any other point on the curve, PE increases as P moves further from A on either side. Also, for any point:

Let AL be the parameter or latus rectum. Then, PN² = AL.AN = 2AE.AN

Adding EN², we have, EN² = 2AE.AN + EN² = 2AE.AN + (AE - AN)² = AE² + AN

Thus, PE² > AE² and increase with AN, i.e. as P moves further and further from A. Also the minimum value of PE is AE, or AE is the shortest straight line from E to the curve.

[In this proposition, as well as many others in Book V, Apollonius considers three cases, where N is between A and E, where N coincides with E and PE (perpendicular to axis), and where AN is greater than AE-we will only consider this one case for brevity's sake]

The proof starts by stating the general relationship between the ordinate, abscissa, and latus rectum of a parabola. This is a special case of the parabola in which E is chosen on the diameter such that AE is half the latus rectum, which is reflected in the rewriting of the original relationship. Because PN is perpendicular to PE, EN² is added to both sides of the equation, and due to the Pythagorean Theorem, the left-hand-side of the equation reduces to PE². The rest of the proof follows easily.

استنتاج

This paper has attempted to provide a systematic introduction to the work of the Greek geometers involved in the development of conic section theory. It started with the work of Menaechmus, who first used conics to solve the doubling of the cube. It is unknown how many properties of the conics he knew, though it is generally accepted he did know they came from the cutting of a cone. After Menaechmus, Aristaeus and Euclid formalized and expanded upon the conics (Aristaeus was more original). Then came the great Archimedes, who used the elementary theory of conic sections to develop important concepts about parabolas, and extended that far beyond the scope of this paper. The culmination of the subject came at the hands of Apollonius, who, in eight volumes, rigorously developed all that was known about conic sections before him, and added a multitude of propositions that were original (we believe) to him, so much in fact that Eves notes, "The treatise is considerably more complete than the usual present-day college course in the subject".

After the era of these great mathematicians, there was a lull in the growth of conic sections until Pappus. He expanded upon much of what was known, and also proved to be a valuable source to modern math historians trying to learn about the Greek methods. With the passing of Pappus and perhaps Proclus, conics disappeared for over 1000 years until being re-born in the 15th and 16th centuries. Though the work of scientists and mathematicians, like Kepler who was both, conics evolved from a novel intellectual exercise in Ancient Greece, to a powerful modeling tool for explaining the physical laws of the universe.

Selected Prefaces to Conic Sectons (Translated by Halley, Printed in Heath)

Apollonius to Eudemus, greeting.

If you are in good health and circumstances are in other respects as you wish, it is well I too am tolerably well. When I was with you in Pergamum, I observed that you were eager to become acquainted with my work in conics therefore I send you the first book which I have corrected, and the remaining books I will forward when I have finished them to my satisfaction. I daresay you have not forgotten my telling you that I undertook the investigation of this subject at the request of Naucrates the geometer at the time when he came to Alexandria and stayed with me, and that, after working it out in eight books, I communicated them to him at once, somewhat too huuriedly, without a thorough revision (as he was on the point of sailing), but putting down all that occurred to me, with the intention of returning to them later. Wherefore I now take the opportunity of publishing each portion from time to time, as it is gradually corrected. But, since it has chanced that some other persons also who have been with me have got the first and second books before they were corrected, do not be surprised if you find them in a different shape.

Now of the eight books the first four form an elementary introduction the first contains the modes of producing the three sections and the opposite branches [of the hyperbola-Heath] and their fundamental properties worked out more fully and generally than in the writings of other authors the second treats the properties of the diameters and axes of the sections as well as the asymptotes and other things of general importance and necessary for determining limits of possibility, and what I mean by diameters and axes you will learn from this book. The third book contains many remarkable theorems useful for the synthesis of solid loci and determinations of limits the most and prettiest of these theorems are new, and, when I discovered them, I observed that Euclid had not worked out the synthesis of the locus with respect to three and four lines, but only a chance portion of it and that not successfully: for it was not possible that the synthesis could have been completed without my additional discoveries. The fourth book shows in how many ways the sections of cones meet one another and the circumference of a circle it contains other matters in addition, none of which has been discussed by earlier writers, concerning the number of points in which a section of cone or the circumference of a circle meets [the opposite branches of a hyperbola-Heath].

The rest [of the books-Heath] are more by way of suplusage [`more advanced' but literally implies extensions of the subject beyond the mere essentials-Heath in the form of a footnote]: one of them deals somewhat fully with minima and maxima, one with equal and similar sections of cones, one with theorems involving determination of limits, and the last with determinate conic problems.

When all the books are published it will of course be open to those who read them to judge them as they individually please. Farewell.

Apollonius to Attalus, greeting.

In this fifth book I have laid down propositions relating to maximum and minimum straight lines. You must know that our predecessors and contemporaries have only superficially touched upon the investigation of the shortest lines, and have only proved what straight lines touch the sections and, conversely, what properties they have in virtue of which they are tangents. For my part, I have proved these properties in the first book (without however making any use, in the proofs, of the doctrine of the shortest lines) inasmuch as I wished to place them in close connection with that part of the subject in which I treated of the production of the three conic sections, in order to show at the same time that in each of the three sections numberless properties and necessary results appear, as they do with reference to the original (transverse) diameter. The propositions in which I discuss the shortest lines I have separated into classes, and dealt with each individual case by careful demonstration I have also connected the investigation of them with the investigation of the greatest lines above mentioned, because I considered that those who cultivate this science needed them for obtaining a knowledge of the analyis and determination of problems as well as for their synthesis, irrespective of the fact that the subject of one of those which seem worthy of study for their own sake. Farewell.


Podcasts

Click to open a window to play the podcast.

The audio player should open in a separate tab or window.

PDF files to read with the lecture. These include links to the applets. There are exercises and problems for the serious reader to do.

Right-click or control-click to download instead of of opening.

Interactive demonstrations, mostly on GeoGebraTube.
Some are spreadsheets, mostly on Google Docs.
There are also links to applets made by others.

[We're moving the applets to the GeoGebra website in 2018.
In the meantime, some don't work. Please check back later.
Ones that do are marked with a *. ]


شاهد الفيديو: تمارين 4 - 2 القطع المكافىء الوضع غير القياسي (شهر نوفمبر 2021).