مقالات

6.8E: ملاءمة النماذج الأسية للبيانات (تمارين) - الرياضيات


64. ما هي القدرة الاستيعابية للسكان على غرار المعادلة اللوجستية (P (t) = frac {250،000} {1 + 499 e ^ {- 0.45 t}}؟ ) ما هو عدد السكان الأولي للنموذج ؟

65. يتم نمذجة مجتمع ثقافة البكتيريا بواسطة المعادلة اللوجستية (P (t) = frac {14،250} {1 + 29 e ^ {- 0.62 t}}، ) حيث (t ) في أيام. إلى أقرب عشر ، كم يومًا ستستغرق الثقافة للوصول (75 ٪ ) من قدرتها الاستيعابية؟

بالنسبة للتمارين التالية ، استخدم أداة الرسوم البيانية لإنشاء رسم تخطيطي مبعثر للبيانات الواردة في الجدول. راقب شكل الرسم التخطيطي المبعثر لتحديد ما إذا كان أفضل وصف للبيانات هو النموذج الأسي أو اللوغاريتمي أو اللوجيستي. ثم استخدم خاصية الانحدار المناسبة لإيجاد معادلة تشكل البيانات. عند الضرورة ، قم بتقريب القيم إلى خمسة منازل عشرية.

66.

xو (خ)
1409.4
2260.7
3170.4
4110.6
574
644.7
732.4
819.5
912.7
108.1

67.

xو (خ)
0.1536.21
0.2528.88
0.524.39
0.7518.28
116.5
1.512.99
29.91
2.258.57
2.757.23
35.99
3.54.81

68.

xو (خ)
09
222.6
444.2
562.1
796.9
8113.4
10133.4
11137.6
15148.4
17149.3

نمو التجمعات الميكروبية. النمذجة الرياضية والتمارين المختبرية وتحليل البيانات القائم على النموذج

نشأت هذه الورقة كنتيجة لتدريس نماذج في علم الأحياء للطلاب الجامعيين في الهندسة الحيوية في جامعة جيديميناس التقنية في فيلنيوس. الهدف هو تعليم الطلاب استخدام نهج جديد للمشكلات التي هم على دراية بها ، والتوصل إلى نموذج لفظي واضح بعد جهد عقلي ، والتعبير عنه بمصطلحات رياضية صارمة ، وحلها (بمساعدة أجهزة الكمبيوتر) المعادلات المقابلة ، وأخيرًا ، لتحليل وتفسير البيانات التجريبية من حيث نماذجها (الرياضية). يوفر التحقيق في نمو الميكروبات إمكانيات ممتازة للجمع بين التمارين المختبرية والنمذجة الرياضية وتحليل البيانات القائم على النموذج. أثبت تطبيق الرياضيات في هذا المجال أنه مثمر للغاية في الحصول على نظرة أعمق في عمليات نمو الميكروبات. أدت النمذجة خطوة بخطوة إلى نموذج موسع للنمو يغطي مراحل "التأخر" التقليدية و "الأسية" و "الثابتة". على عكس النماذج المعروفة (المعادلات التفاضلية التي يمكن حلها عدديًا فقط) ، يتم التعبير عن النموذج الحالي بشكل رمزي كمجموعة محدودة من الوظائف الأولية. يمكن تطبيق هذا النهج في مجالات أخرى من علم الأحياء الحديث ، مثل ديناميات العمليات الخلوية المختلفة ، وحركية الإنزيم والمستقبلات ، وغيرها.

عند أداء التمارين المعملية ، يتعلم الطلاب تقنيات مختلفة ويكتسبون المهارات العملية ، بينما أثناء النمذجة ، يطبقون كل خبراتهم ، وقبل كل شيء ، معرفتهم بالرياضيات. طلاب الكيمياء الحيوية والبيولوجيا الجزيئية ، من بين أمور أخرى ، (أو على الأقل من المفترض أن يكونوا) ملمين بالحاسوب في الوقت الحاضر. من المفترض أن يكون لديهم أيضًا معرفة رياضية أساسية. ومع ذلك ، يبدو أن بعض الطلاب لديهم "نفور من الرياضيات ،" رهاب الرياضيات "، لديهم" تقدير ضئيل لأهمية النماذج في التقدم العلمي "[1]. لا يبدو أن الرياضيات تحظى بتقدير جيد من قبل المعلمين (أو كتاب الكتب المدرسية) أيضًا. في الكتب المدرسية ، غالبًا ما تبدو المعادلات الرياضية ، أو "الصيغ" ، إذا تم تقديمها على الإطلاق ، مجرد تكريم إلزامي للحداثة. هو أكثر من ذلك في كتب علم الأحياء الدقيقة (على سبيل المثال انظر الحكام. [2 - 4]) ، حيث يكون عرض النمو الميكروبي أكثر بدائية ، دون أي إشارة إلى معادلة النمو (المعروفة منذ منتصف القرن التاسع عشر باسم Verhulst أو النموذج اللوجستي) لا يمكن العثور على "Verhulst" ولا "اللوجستية" في مؤشر. (يعتبر "نقص التواصل متعدد التخصصات" [5] أمرًا محزنًا بما يكفي لأنه أكثر من ذلك في علم الأحياء الدقيقة ، حيث إن الافتقار إلى داخلتأديبي. يبدو أن معادلات النمو يتم تجاهلها في الكتب المدرسية ، بينما يتم أخذها في الاعتبار في المجلات العلمية (على سبيل المثال انظر الحكام. [6 و 7])). من ناحية أخرى ، يوفر البحث في النمو السكاني إمكانيات ممتازة لكل من التمارين المختبرية وتحليل البيانات النوعية والكمية مثل هذه الدراسات (التي لا تتطلب الكثير من الموارد المادية أو المهارات أو المعرفة الخاصة بالرياضيات) يمكن إجراؤها بسهولة ، في حين أن الخبرة المكتسبة في ستكون هذه التمارين والنمذجة مفيدة جدًا في مجالات أخرى. يتطور تقدير دور وأهمية النماذج في العلوم والهندسة نتيجة لهذا النشاط.

في Gediminas Technical University of Vilnius ، يحصل الطلاب الجامعيين في الهندسة الحيوية على دورة من أربع ساعات معتمدة لنماذج في علم الأحياء بالتزامن مع الكيمياء الحيوية وعلم الأحياء الدقيقة ودورات أخرى مع المختبرات. نتيجة للتدريس (والتعلم) ، من المتوقع أن يستخدموا نهجًا جديدًا للمشكلات المألوفة لديهم ، للتوصل إلى نموذج لفظي واضح بعد جهد عقلي ، للتعبير عنه بمصطلحات رياضية صارمة ، لحل ( بمساعدة أجهزة الكمبيوتر) المعادلات المقابلة ، وأخيراً تحليل البيانات التجريبية وتفسيرها من حيث نماذجها (الرياضية). يُطلب من الطلاب تقديم أعمالهم في شكل إلكتروني بدلاً من نسخة ورقية. يتم تشجيع الطلاب على المشاركة في المؤتمرات العلمية السنوية (على سبيل المثال انظر الحكام. [8 و 9]). أحد الكتاب الحاليين (R.I.) طالب.

نعتبر أنه من المناسب من الناحية التربوية تقديم النمذجة خطوة بخطوة للنمو الميكروبي والتحليل المستند إلى النموذج للبيانات التجريبية في النص الرئيسي بدلاً من وضع النمذجة في ملحق. تكافأ سعينا في النمذجة بما يرقى إلى الاكتشاف الصغير. يبدو أن النموذج الموسع جديد (لم يتم نشره من قبل) وبسيط إلى حد ما. يمكن تمديده إلى أبعد من ذلك. إن طريقة الحصول على مثل هذا النموذج ذات أهمية أبعد من مجال تعليم علم الأحياء الدقيقة.


50 ملاءمة النماذج الأسية للبيانات

في الأقسام السابقة من هذا الفصل ، تم إعطاؤنا وظيفة رسم بياني أو تقييم بشكل صريح ، أو تم إعطاؤنا مجموعة من النقاط التي كانت مضمونة على المنحنى. ثم استخدمنا الجبر لإيجاد المعادلة التي تناسب النقاط تمامًا. في هذا القسم ، نستخدم تقنية النمذجة تسمى تحليل الانحدار للعثور على منحنى يصمم البيانات التي تم جمعها من ملاحظات العالم الحقيقي. مع تحليل الانحدار ، لا نتوقع أن تكون جميع النقاط على المنحنى تمامًا. الفكرة هي العثور على نموذج يناسب البيانات بشكل أفضل. ثم نستخدم النموذج لعمل تنبؤات حول الأحداث المستقبلية.

لا تخلط بين الكلمة نموذج. في الرياضيات ، غالبًا ما نستخدم المصطلحات وظيفة, معادلة، و نموذج بالتبادل ، على الرغم من أن لكل منهما تعريفه الرسمي الخاص. على المدى نموذج تُستخدم عادةً للإشارة إلى أن المعادلة أو الوظيفة تقترب من حالة العالم الحقيقي.

سنركز في هذا القسم على ثلاثة أنواع من نماذج الانحدار: الأسي واللوغاريتمي واللوجستي. يمنحنا العمل مع كل من هذه الوظائف ميزة. تتيح لنا معرفة تعريفاتهم الرسمية وسلوك رسومهم البيانية وبعض تطبيقاتهم الواقعية الفرصة لتعميق فهمنا. مع تقديم كل نموذج انحدار ، يتم تضمين الميزات والتعريفات الرئيسية للوظيفة المرتبطة به للمراجعة. توقف لحظة لإعادة التفكير في كل من هذه الوظائف ، والتفكير في العمل الذي أنجزناه حتى الآن ، ثم استكشاف طرق استخدام الانحدار لنمذجة ظواهر العالم الحقيقي.

بناء نموذج أسي من البيانات

كما تعلمنا ، هناك العديد من المواقف التي يمكن نمذجتها بوظائف أسية ، مثل نمو الاستثمار ، والانحلال الإشعاعي ، وتغيرات الضغط الجوي ، ودرجات حرارة جسم التبريد. ما المشترك بين هذه الظواهر؟ لسبب واحد ، كل النماذج تزداد أو تنقص مع تقدم الوقت. لكن هذه ليست القصة كاملة. انها ال طريق زيادة أو نقص البيانات التي تساعدنا على تحديد ما إذا كان من الأفضل نمذجة المعادلة الأسية. تتيح لنا معرفة سلوك الدوال الأسية بشكل عام التعرف على وقت استخدام الانحدار الأسي ، لذلك دعونا نراجع النمو الأسي والانحطاط.

تذكر أن الدوال الأسية لها الشكلأوعند إجراء تحليل الانحدار ، نستخدم النموذج الأكثر استخدامًا في أدوات الرسم البياني ،توقف لحظة للتفكير في الخصائص التي تعلمناها بالفعل حول الوظيفة الأسية(يفترض

  • يجب أن تكون أكبر من صفر ولا تساوي واحدًا.
  • القيمة الأولية للنموذج
    • لو نمو النماذج الوظيفية الأسي. كمايزداد ، تزداد نواتج النموذج ببطء في البداية ، ولكن بعد ذلك تزداد بسرعة أكبر ، دون قيود.
    • لو النماذج الوظيفية الاضمحلال الأسي. كمايزيد ، تنخفض نواتج النموذج بسرعة في البداية ثم تستقر لتصبح مقاربة لـ x-محور. بمعنى آخر ، لا تصبح النواتج مساوية للصفر أو أقل منه.

    كجزء من النتائج ، ستعرض الآلة الحاسبة رقمًا يعرف باسم معامل الارتباط، المسمى بالمتغير أو(قد تضطر إلى تغيير إعدادات الآلة الحاسبة لعرضها.) القيم هي مؤشر على "ملاءمة" معادلة الانحدار للبيانات. نحن أكثر شيوعًا في استخدام قيمةبدلا من ولكن كلما كانت أي من القيمتين أقرب إلى 1 ، كلما كانت معادلة الانحدار أقرب إلى البيانات.

    الانحدار الأسي تُستخدم لنمذجة المواقف التي يبدأ فيها النمو ببطء ثم يتسارع بسرعة دون قيود ، أو حيث يبدأ الاضمحلال بسرعة ثم يتباطأ ليقترب أكثر فأكثر من الصفر. نستخدم الأمر "إكسبريج"في أداة الرسم البياني لتلائم دالة أسية لمجموعة من نقاط البيانات. هذا يعيد معادلة النموذج ،

    • يجب أن تكون غير سلبية.
    • متي لدينا نموذج نمو أسي.
    • متي لدينا نموذج الاضمحلال الأسي.

    بالنظر إلى مجموعة من البيانات ، قم بإجراء الانحدار الأسي باستخدام أداة الرسوم البيانية.

    1. استخدم ال STAT من ثم تعديل القائمة لإدخال البيانات المعطاة.
      1. امسح أي بيانات موجودة من القوائم.
      2. قائمة بقيم الإدخال في العمود L1.
      3. سرد قيم الإخراج في العمود L2.
      1. يستخدم تكبير [9] لضبط المحاور لتناسب البيانات.
      2. تحقق من البيانات تتبع النمط الأسي.
      1. يختار "إكسبريج" من STAT من ثم CALC قائمة.
      2. استخدم القيم التي تم إرجاعها لـ أ و ب لتسجيل النموذج ،

      في عام 2007 ، نُشرت دراسة جامعية تبحث في مخاطر الاصطدام الناتج عن القيادة تحت تأثير الكحول. تم استخدام بيانات من 2871 حادثًا لقياس ارتباط مستوى الكحول في دم الشخص (BAC) بخطر التعرض لحادث. (الشكل) يظهر نتائج الدراسة 1. ال خطر نسبي هو مقياس لعدد المرات التي يحتمل أن يتعرض فيها الشخص للتحطم. لذلك ، على سبيل المثال ، الشخص الذي لديه BAC 0.09 هو 3.54 مرة أكثر عرضة للتحطم من الشخص الذي لم يشرب الكحول.

      1. يتركتمثل مستوى BAC ، واسمحواتمثل المخاطر النسبية المقابلة. استخدم الانحدار الأسي لملاءمة نموذج مع هذه البيانات.
      2. بعد 6 مشروبات ، سيحصل الشخص الذي يزن 160 رطلاً على BAC حواليكم عدد المرات التي يُرجح فيها إصابة شخص بهذا الوزن إذا كان يقود سيارته بعد تناول 6 عبوات من البيرة؟ قرّب لأقرب جزء من مائة.
      1. باستخدام STAT من ثم تعديل القائمة في أداة الرسوم البيانية ، قم بإدراج ملف باك القيم في L1 وقيم المخاطر النسبية في L2. ثم استخدم ملف STATPLOT ميزة للتحقق من أن مخطط التشتت يتبع النمط الأسي الموضح في (الشكل):

      استخدم ال "إكسبريج"أمر من STAT من ثم CALC القائمة للحصول على النموذج الأسي ،

      التحويل من التدوين العلمي ، لدينا:

      لاحظ أنمما يشير إلى أن النموذج مناسب للبيانات بشكل جيد. لرؤية هذا ، قم برسم النموذج في نفس النافذة مثل مخطط التشتت للتحقق من أنه مناسب تمامًا كما هو موضح في (الشكل):

      استخدم النموذج لتقدير المخاطر المرتبطة بـ BAC لـاستبدلإلى عن علىفي النموذج وحلها

      إذا كان الشخص الذي يبلغ وزنه 160 رطلاً يقود سيارته بعد تناول 6 مشروبات ، فمن المحتمل أن يصطدم بحوالي 26.35 مرة أكثر من القيادة أثناء اليقظة.

      (الشكل) يوضح رصيد بطاقة ائتمان الخريجين الجدد كل شهر بعد التخرج.

      1. استخدم الانحدار الأسي لملاءمة نموذج مع هذه البيانات.
      2. إذا استمر الإنفاق على هذا المعدل ، فما ديون بطاقة ائتمان الخريج بعد عام واحد من تخرجه؟
      1. نموذج الانحدار الأسي الذي يناسب هذه البيانات هو
      2. إذا استمر الإنفاق بهذا المعدل ، فسيكون دين بطاقة ائتمان الخريجين 4،499.38 بعد عام واحد.

      هل من المعقول أن نفترض أن نموذج الانحدار الأسي سيمثل حالة إلى أجل غير مسمى؟

      لا ، تذكر أن النماذج يتم تكوينها بواسطة بيانات واقعية تم جمعها من أجل الانحدار. عادة ما يكون من المعقول عمل تقديرات خلال الفترة الزمنية للملاحظة الأصلية (الاستيفاء). ومع ذلك ، عند استخدام نموذج لعمل تنبؤات ، من المهم استخدام مهارات التفكير لتحديد ما إذا كان النموذج منطقيًا للمدخلات التي تتجاوز فترة الملاحظة الأصلية (الاستقراء).

      بناء نموذج لوغاريتمي من البيانات

      تمامًا كما هو الحال مع الدوال الأسية ، هناك العديد من التطبيقات الواقعية للوظائف اللوغاريتمية: شدة الصوت ، ومستويات الأس الهيدروجيني للحلول ، ونتائج التفاعلات الكيميائية ، وإنتاج السلع ، ونمو الرضع. كما هو الحال مع النماذج الأسية ، فإن البيانات التي تم تصميمها بواسطة الدوال اللوغاريتمية تتزايد دائمًا أو تتناقص دائمًا مع تقدم الوقت. مرة أخرى ، هو طريق إنها تزيد أو تنقص مما يساعدنا على تحديد ما إذا كان النموذج اللوغاريتمي هو الأفضل.

      تذكر أن الدوال اللوغاريتمية تزيد أو تنقص بسرعة في البداية ، ولكن بعد ذلك تتباطأ بثبات مع مرور الوقت. من خلال التفكير في الخصائص التي تعلمناها بالفعل حول هذه الوظيفة ، يمكننا تحليل مواقف العالم الحقيقي التي تعكس هذا النوع من النمو أو الاضمحلال بشكل أفضل. عند إجراء تحليل الانحدار اللوغاريتمي ، نستخدم شكل الدالة اللوغاريتمية الأكثر استخدامًا في أدوات الرسم البياني ،لهذه الوظيفة

      • جميع قيم الإدخال ،يجب أن تكون أكبر من الصفر.
      • النقطةعلى الرسم البياني للنموذج.
      • لوالنموذج آخذ في الازدياد. يزيد النمو بسرعة في البداية ثم يتباطأ بثبات بمرور الوقت.
      • لوالنموذج يتناقص. يحدث التسوس بسرعة في البداية ثم يتباطأ بثبات بمرور الوقت.

      الانحدار اللوغاريتمي يستخدم لنمذجة المواقف التي يتسارع فيها النمو أو الاضمحلال بسرعة في البداية ثم يتباطأ بمرور الوقت. نستخدم الأمر "LnReg" في أداة الرسم البياني لتلائم وظيفة لوغاريتمية لمجموعة من نقاط البيانات. هذا يعيد معادلة النموذج ،

      • كل قيم الإدخال ،يجب أن تكون غير سلبية.
      • متيالنموذج آخذ في الازدياد.
      • متيالنموذج يتناقص.

      بالنظر إلى مجموعة من البيانات ، قم بإجراء الانحدار اللوغاريتمي باستخدام أداة الرسوم البيانية.

      1. استخدم ال STAT من ثم تعديل القائمة لإدخال البيانات المعطاة.
        1. امسح أي بيانات موجودة من القوائم.
        2. قائمة بقيم الإدخال في العمود L1.
        3. سرد قيم الإخراج في العمود L2.
        1. يستخدم تكبير [9] لضبط المحاور لتناسب البيانات.
        2. تحقق من البيانات التي تتبع النمط اللوغاريتمي.
        1. يختار "LnReg" من STAT من ثم CALC قائمة.
        2. استخدم القيم التي تم إرجاعها لـ أ و ب لتسجيل النموذج ،

        بسبب التقدم في الطب وارتفاع مستويات المعيشة ، ارتفع متوسط ​​العمر المتوقع في معظم البلدان المتقدمة منذ بداية القرن العشرين.

        (الشكل) يوضح متوسط ​​العمر المتوقع ، بالسنوات ، للأمريكيين من 1900 إلى 2010 2.

        1. يتركتمثل الوقت بالعقود بدءًا منلعام 1900لعام 1910 ، وما إلى ذلك. يتركتمثل متوسط ​​العمر المتوقع المقابل. استخدم الانحدار اللوغاريتمي لملاءمة نموذج لهذه البيانات.
        2. استخدم النموذج للتنبؤ بمتوسط ​​العمر المتوقع في أمريكا لعام 2030.
        1. باستخدام STAT من ثم تعديل القائمة في أداة الرسم البياني ، قم بإدراج السنوات باستخدام القيم من 1 إلى 12 في L1 ومتوسط ​​العمر المتوقع المقابل في L2. ثم استخدم ملف STATPLOT ميزة للتحقق من أن مخطط التشتت يتبع نمطًا لوغاريتميًا كما هو موضح في (الشكل):

        استخدم ال "LnReg"أمر من STAT من ثم CALC قائمة للحصول على النموذج اللوغاريتمي ،

        بعد ذلك ، قم برسم النموذج في نفس النافذة مثل مخطط التشتت للتحقق من أنه مناسب تمامًا كما هو موضح في (الشكل):

        إذا استمر متوسط ​​العمر المتوقع في الزيادة بهذه الوتيرة ، فإن متوسط ​​العمر المتوقع للأمريكي سيكون 79.1 بحلول عام 2030.

        انطلقت مبيعات إحدى ألعاب الفيديو التي تم إصدارها في عام 2000 في البداية ، ولكنها تباطأت بعد ذلك بشكل مطرد مع مرور الوقت. يوضح (الشكل) عدد الألعاب المباعة ، بالآلاف ، من الأعوام 2000-2010.

        1. يتركتمثل الوقت بالسنوات التي تبدأ بـلعام 2000. دعوناتمثل عدد الألعاب المباعة بالآلاف. استخدم الانحدار اللوغاريتمي لملاءمة نموذج لهذه البيانات.
        2. إذا استمرت الألعاب في البيع بهذا السعر ، فكم عدد الألعاب التي سيتم بيعها في عام 2015؟ قرّب لأقرب ألف.

        1. نموذج الانحدار اللوغاريتمي الذي يناسب هذه البيانات هو
        2. إذا استمرت المبيعات بهذا المعدل ، فسيتم بيع حوالي 171000 لعبة في عام 2015.

        بناء نموذج لوجستي من البيانات

        مثل النمو الأسي واللوغاريتمي ، يزيد النمو اللوجستي بمرور الوقت. أحد الاختلافات الملحوظة مع نماذج النمو اللوجستي هو أنه عند نقطة معينة ، يتباطأ النمو بشكل مطرد وتقترب الوظيفة من الحد الأعلى ، أو الحد من القيمة. لهذا السبب ، فإن الانحدار اللوجستي هو الأفضل لنمذجة الظواهر حيث توجد حدود للتوسع ، مثل توافر مساحة المعيشة أو العناصر الغذائية.

        وتجدر الإشارة إلى أن الوظائف اللوجيستية تصوغ في الواقع نموًا أسيًا محدود الموارد. هناك العديد من الأمثلة على هذا النوع من النمو في مواقف العالم الحقيقي ، بما في ذلك النمو السكاني وانتشار الأمراض والشائعات وحتى البقع في النسيج. عند إجراء تحليل الانحدار اللوجستي ، نستخدم النموذج الأكثر استخدامًا في أدوات الرسم البياني:

        • هي القيمة الأولية للنموذج.
        • متي يزيد النموذج بسرعة في البداية حتى يصل إلى نقطة معدل النمو الأقصى ،عند هذه النقطة ، يتباطأ النمو بشكل مطرد وتصبح الوظيفة مقاربة للحد الأعلى
        • هي القيمة المحددة ، والتي تسمى أحيانًا القدرة على التحملمن النموذج.

        الانحدار اللوجستي يستخدم لنمذجة المواقف التي يتسارع فيها النمو بسرعة في البداية ثم يتباطأ بثبات إلى الحد الأعلى. نستخدم الأمر "Logistic" في أداة الرسم البياني لتلائم وظيفة لوجستية لمجموعة من نقاط البيانات. هذا يعيد معادلة النموذج

        • القيمة الأولية للنموذج
        • تنمو قيم الإخراج للنموذج بشكل أقرب وأقرب إلىمع مرور الوقت.

        بالنظر إلى مجموعة من البيانات ، قم بإجراء الانحدار اللوجستي باستخدام أداة الرسوم البيانية.

        1. استخدم ال STAT من ثم تعديل القائمة لإدخال البيانات المعطاة.
          1. امسح أي بيانات موجودة من القوائم.
          2. قائمة بقيم الإدخال في العمود L1.
          3. سرد قيم الإخراج في العمود L2.
          1. يستخدم تكبير [9] لضبط المحاور لتناسب البيانات.
          2. تحقق من البيانات تتبع نمطًا لوجستيًا.
          1. يختار "جمارك" من STAT من ثم CALC قائمة.
          2. استخدم القيم التي تم إرجاعها لـولتسجيل النموذج ،

          زادت خدمة الهاتف المحمول بسرعة في أمريكا منذ منتصف التسعينيات. اليوم ، جميع المقيمين تقريبًا لديهم خدمة خلوية. (الشكل) يوضح نسبة الأمريكيين الذين لديهم خدمة خلوية بين عامي 1995 و 2012 3.

          1. يتركتمثل الوقت بالسنوات التي تبدأ بـلعام 1995. دعوناتمثل النسبة المئوية المقابلة للمقيمين مع الخدمة الخلوية. استخدم الانحدار اللوجستي لملاءمة نموذج مع هذه البيانات.
          2. استخدم النموذج لحساب النسبة المئوية للأمريكيين الذين لديهم خدمة خلوية في عام 2013. قم بالتقريب لأقرب جزء من عشرة بالمائة.
          3. ناقش القيمة التي تم إرجاعها للحد الأعلى ،ماذا يخبرك هذا عن النموذج؟ ماذا ستكون القيمة المحددة إذا كان النموذج دقيقًا؟
          1. باستخدام STAT من ثم تعديل القائمة في أداة الرسم البياني ، قم بإدراج السنوات باستخدام القيم من 0 إلى 15 في L1 والنسبة المئوية المقابلة في L2. ثم استخدم ملف STATPLOT ميزة للتحقق من أن مخطط التشتت يتبع نمطًا لوجستيًا كما هو موضح في (الشكل):

          استخدم ال "جمارك"أمر من STAT من ثم CALC قائمة للحصول على النموذج اللوجستي ،

          بعد ذلك ، قم برسم النموذج في نفس النافذة كما هو موضح في (الشكل) مخطط التشتت للتحقق من أنه مناسب بشكل جيد:

          لتقريب النسبة المئوية للأمريكيين الذين لديهم خدمة خلوية في عام 2013 ، بديلفي النموذج وحلها

          وفقًا للنموذج ، كان لدى حوالي 99.3 ٪ من الأمريكيين خدمة خلوية في عام 2013.

          يعطي النموذج قيمة محددة تبلغ حوالي 105. وهذا يعني أن أقصى نسبة ممكنة من الأمريكيين الذين لديهم خدمة خلوية ستكون 105٪ ، وهو أمر مستحيل. (كيف يمكن أن يكون لدى أكثر من 100٪ من السكان خدمة خلوية؟) إذا كان النموذج دقيقًا ، فستكون القيمة المحددةوستكون مخرجات النموذج قريبة جدًا من نسبة 100٪ ، ولكنها لا تصل في الواقع إلى 100٪. بعد كل شيء ، سيكون هناك دائمًا شخص ما بدون خدمة خلوية!

          يوضح (الشكل) عدد فقمات الموانئ في بحر وادن ، بالآلاف ، خلال الأعوام 1997 إلى 2012.

          1. يتركتمثل الوقت بالسنوات التي تبدأ بـلعام 1997. دعوناتمثل عدد الأختام بالآلاف. استخدم الانحدار اللوجستي لملاءمة نموذج مع هذه البيانات.
          2. استخدم النموذج للتنبؤ بعدد الفقمات لعام 2020.
          3. إلى أقرب عدد صحيح ، ما هي القيمة المحددة لهذا النموذج؟
          1. نموذج الانحدار اللوجستي الذي يناسب هذه البيانات هو
          2. إذا استمر عدد السكان في النمو بهذا المعدل ، فسيكون هناك حواليالأختام في عام 2020.
          3. لأقرب عدد صحيح ، تكون السعة الاستيعابية 25657.

          قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية باستخدام نماذج الوظائف الأسية.

          قم بزيارة هذا الموقع للحصول على أسئلة تدريب إضافية من Learningpod.

          المفاهيم الرئيسية

          • يستخدم الانحدار الأسي لنمذجة المواقف التي يبدأ فيها النمو ببطء ثم يتسارع بسرعة دون قيود ، أو حيث يبدأ الانحطاط بسرعة ثم يتباطأ للاقتراب من الصفر.
          • نستخدم الأمر "ExpReg" في أداة الرسم البياني لتلائم وظيفة النموذجإلى مجموعة من نقاط البيانات. أنظر للشكل).
          • يُستخدم الانحدار اللوغاريتمي لنمذجة المواقف التي يتسارع فيها النمو أو الاضمحلال بسرعة في البداية ثم يتباطأ بمرور الوقت.
          • نستخدم الأمر "LnReg" في أداة الرسم البياني لتلائم وظيفة في النموذجإلى مجموعة من نقاط البيانات. أنظر للشكل).
          • يستخدم الانحدار اللوجستي لنمذجة المواقف التي يتسارع فيها النمو بسرعة في البداية ثم يتباطأ بثبات مع اقتراب الوظيفة من الحد الأعلى.
          • نستخدم الأمر "Logistic" في أداة الرسم البياني لتلائم وظيفة النموذجإلى مجموعة من نقاط البيانات. أنظر للشكل).

          تمارين القسم

          شفهي

          ما هي أفضل الحالات التي يتم نمذجتها بواسطة معادلة لوجستية؟ أعط مثالا ، واذكر حالة لماذا هذا المثال مناسب بشكل جيد.

          تُستخدم النماذج اللوجيستية بشكل أفضل في المواقف ذات القيم المحدودة. على سبيل المثال ، لا يمكن أن ينمو السكان إلى ما لا نهاية لأن الموارد مثل الطعام والماء والمساحة محدودة ، لذا فإن النموذج اللوجستي يصف السكان بشكل أفضل.

          ما هي القدرة الاستيعابية؟ ما نوع النموذج الذي يحتوي على قدرة تحمل مضمنة في صيغته؟ لماذا يكون لهذا معنى؟

          ما هو تحليل الانحدار؟ وصف عملية إجراء تحليل الانحدار على أداة الرسم البياني.

          تحليل الانحدار هو عملية إيجاد معادلة تناسب مجموعة معينة من نقاط البيانات. لإجراء تحليل الانحدار على أداة الرسم البياني ، قم أولاً بإدراج النقاط المحددة باستخدام قائمة STAT ثم EDIT. بعد ذلك ، قم بالرسم البياني للمخطط المبعثر باستخدام ميزة STAT PLOT. يمكن أن يساعد شكل نقاط البيانات على الرسم البياني المبعثر في تحديد ميزة الانحدار التي يجب استخدامها. بمجرد تحديد ذلك ، حدد أمر تحليل الانحدار المناسب من قائمة STAT ثم CALC.

          كيف يمكن أن تبدو مخطط مبعثر لنقاط البيانات إذا تم وصفها بشكل أفضل بواسطة نموذج لوغاريتمي؟

          ماذا يكون ال ذ-مفهوم على الرسم البياني لمعادلة لوجستية يتوافق مع مجموعة سكانية على غرار تلك المعادلة؟

          ال ذ- المعترض على الرسم البياني لمعادلة لوجستية يتوافق مع السكان الأولي لنموذج السكان.

          رسومية

          بالنسبة للتمارين التالية ، قم بمطابقة الوظيفة المحددة التي تتناسب بشكل أفضل مع مخطط التشتت المناسب في (الشكل) حتى (الشكل). أجب باستخدام الحرف الموجود أسفل الرسم البياني المطابق.

          رقمي

          إلى أقرب عدد صحيح ، ما هي القيمة الأولية لمجتمع على غرار المعادلة اللوجيستيةما هي القدرة الاستيعابية؟

          175

          أعد كتابة النموذج الأسيكنموذج مكافئ مع القاعدةاكتب الأس لأربعة أرقام معنوية.

          يتم إعطاء نموذج لوغاريتمي بواسطة المعادلةلأقرب جزء من مائة ، لأي قيمةهل

          يتم إعطاء نموذج لوجستي بواسطة المعادلةلأقرب جزء من مائة ، لأي قيمة ر هل

          ما هو ملف ذ- اعتراض على الرسم البياني للنموذج اللوجستي الوارد في التمرين السابق؟

          ذ-تقاطع:

          تكنولوجيا

          بالنسبة للتمارين التالية ، استخدم هذا السيناريو: السكانمن بركة كويالأشهر على غرار الوظيفة

          رسم نموذج السكان لإظهار السكان على مدى فترةسنوات.

          ما هو عدد السكان الأولي لـ koi؟

          كوي

          كم عدد أسماك الكوي التي ستمتلكها البركة بعد عام ونصف؟

          كم من الأشهر سيستغرق قبل أن يكون هناككوي في البركة؟

          حولالشهور.

          استخدم خاصية التقاطع لتقريب عدد الأشهر التي ستستغرقها قبل أن يصل عدد سكان البركة إلى نصف قدرتها الاستيعابية.

          بالنسبة للتمارين التالية ، استخدم هذا السيناريو: السكانمن موطن الأنواع المهددة بالانقراض للذئاب على غرار الوظيفة أينيعطى في سنوات.

          رسم نموذج السكان لإظهار السكان على مدى فترةسنوات.

          ما هو العدد الأولي للذئاب التي تم نقلها إلى الموطن؟

          كم عدد الذئاب التي سيكون لها الموطن بعدسنوات؟

          كم سنة سوف يستغرق الأمر قبل أن يكون هناكالذئاب في الموطن؟

          استخدم ميزة التقاطع لتقريب عدد السنوات التي ستستغرقها قبل أن يصل عدد سكان الموطن إلى نصف قدرته الاستيعابية.

          للتمارين التالية ، ارجع إلى (الشكل).

          x و (خ)
          1 1125
          2 1495
          3 2310
          4 3294
          5 4650
          6 6361

          استخدم حاسبة بيانية لإنشاء رسم تخطيطي مبعثر للبيانات.

          استخدم ميزة الانحدار للعثور على دالة أسية تناسب البيانات الموجودة في الجدول على أفضل وجه.

          اكتب الدالة الأسية في صورة معادلة أسية ذات أساس

          ارسم المعادلة الأسية على الرسم البياني المبعثر.

          استخدم ميزة التقاطع للعثور على قيمةلأي منهم

          للتمارين التالية ، ارجع إلى (الشكل).

          x و (خ)
          1 555
          2 383
          3 307
          4 210
          5 158
          6 122

          استخدم حاسبة بيانية لإنشاء رسم تخطيطي مبعثر للبيانات.

          استخدم ميزة الانحدار للعثور على دالة أسية تناسب البيانات الموجودة في الجدول على أفضل وجه.

          اكتب الدالة الأسية في صورة معادلة أسية ذات أساس

          ارسم المعادلة الأسية على الرسم البياني المبعثر.

          استخدم ميزة التقاطع للعثور على قيمةلأي منهم

          متي

          للتمارين التالية ، ارجع إلى (الشكل).

          x و (خ)
          1 5.1
          2 6.3
          3 7.3
          4 7.7
          5 8.1
          6 8.6

          استخدم حاسبة بيانية لإنشاء رسم تخطيطي مبعثر للبيانات.

          استخدم خيار LOGarithm لميزة REGression للعثور على دالة لوغاريتمية للنموذجالأنسب للبيانات الموجودة في الجدول.

          استخدم الدالة اللوغاريتمية لإيجاد قيمة الدالة عندما

          ارسم المعادلة اللوغاريتمية على مخطط التبعثر.

          استخدم ميزة التقاطع للعثور على قيمةلأي منهم

          للتمارين التالية ، ارجع إلى (الشكل).

          x و (خ)
          1 7.5
          2 6
          3 5.2
          4 4.3
          5 3.9
          6 3.4
          7 3.1
          8 2.9

          استخدم حاسبة بيانية لإنشاء رسم تخطيطي مبعثر للبيانات.

          استخدم ال سجلخيار arithm ريجميزة ression لإيجاد دالة لوغاريتمية للنموذجالأنسب للبيانات الموجودة في الجدول.

          استخدم الدالة اللوغاريتمية لإيجاد قيمة الدالة عندما

          متي

          ارسم المعادلة اللوغاريتمية على مخطط التبعثر.

          استخدم ميزة التقاطع للعثور على قيمةلأي منهم

          متي

          للتمارين التالية ، ارجع إلى (الشكل).

          x و (خ)
          1 8.7
          2 12.3
          3 15.4
          4 18.5
          5 20.7
          6 22.5
          7 23.3
          8 24
          9 24.6
          10 24.8

          استخدم حاسبة بيانية لإنشاء رسم تخطيطي مبعثر للبيانات.

          استخدم خيار الانحدار LOGISTIC للبحث عن نموذج نمو لوجستي للنموذجالأنسب للبيانات الموجودة في الجدول.

          ارسم المعادلة اللوجستية على الرسم البياني المبعثر.

          إلى أقرب عدد صحيح ، ما هي السعة الاستيعابية المتوقعة للنموذج؟

          استخدم ميزة التقاطع للعثور على قيمةالتي يصل فيها النموذج إلى نصف قدرته الاستيعابية.

          للتمارين التالية ، ارجع إلى (الشكل).

          0 12
          2 28.6
          4 52.8
          5 70.3
          7 99.9
          8 112.5
          10 125.8
          11 127.9
          15 135.1
          17 135.9

          استخدم حاسبة بيانية لإنشاء رسم تخطيطي مبعثر للبيانات.

          استخدم خيار الانحدار LOGISTIC للبحث عن نموذج نمو لوجستي للنموذجالأنسب للبيانات الموجودة في الجدول.

          ارسم المعادلة اللوجستية على الرسم البياني المبعثر.

          إلى أقرب عدد صحيح ، ما هي السعة الاستيعابية المتوقعة للنموذج؟

          استخدم ميزة التقاطع للعثور على قيمةالتي يصل فيها النموذج إلى نصف قدرته الاستيعابية.

          متي

          ملحقات

          تذكر أن الشكل العام لمعادلة لوجستية للسكان يتم تقديمها بواسطة مثل أن السكان الأوليين في الوقت المناسبيكونأظهر ذلك جبريًا

          & lt! & # 8211 & ltsolution باستخدام الجانب الأيسر من المعادلة ، نرى أنه يمكن إعادة كتابتها كـ & # 8201a e & # 8722bt: c & # 8722P (t) P (t) = c & # 8722 c 1 + ae & # 8722bt c 1 + ae & # 8722bt = c (1 + ae & # 8722bt) & # 8722c 1 + ae & # 8722bt c 1 + ae & # 8722bt = c (1 + ae & # 8722bt & # 87221) 1 + ae & # 8722bt c 1 + ae & # 8722bt = 1 + ae & # 8722bt & # 87221 = ae & # 8722bt بالعمل مع الجانب الأيمن من المعادلة ، نظهر أنه يمكن أيضًا إعادة كتابتها كـ & # 8201a e & # 8722bt. & # 8201 لكن لاحظ أولاً أنه عندما & # 8201t = 0 ، & # 8201 P 0 = c 1 + ae & # 8722b (0) = c 1 + a. & # 8201 لذلك ، c & # 8722 P 0 P 0 e & # 8722bt = c & # 8722 c 1 + ac 1 + ae & # 8722bt = c (1 + a) & # 8722c 1 + ac 1 + ae & # 8722bt = c (1 + a & # 87221) 1 + ac 1 + ae & # 8722bt = (1 + a & # 87221) e & # 8722bt = ae & # 8722bt هكذا ، & # 8201 c & # 8722P (t) P (t) = c & # 8722 P 0 P 0 e & # 8722bt. & # 8211 & GT

          استخدم أداة الرسوم البيانية للعثور على صيغة الانحدار الأسيوصيغة الانحدار اللوغاريتميللنقاطوقرب كل الأعداد لأقرب 6 منازل عشرية. ارسم النقاط وكلا الصيغتين مع الخطعلى نفس المحور. قم بعمل تخمين حول العلاقة بين صيغ الانحدار.

          منحنيات الانحدار متناظرة حول ، لذلك يبدو أنها وظائف معكوسة.

          تحقق من التخمين الذي تم إجراؤه في التمرين السابق. قرب جميع الأعداد إلى ستة منازل عشرية عند الضرورة.

          & lt! & # 8211 & ltsolution أولاً أعد كتابة الأس بالقاعدة e: & # 8201f (x) = 1.034341 e 0.247800x. & # 8201 ثم اختبر للتحقق من ذلك & # 8201f (g (x)) = x ، مع مراعاة خطأ التقريب : g (f (x)) = 4.035510ln (1.034341 e 0.247800x & # 8201) & # 87220.136259 = 4.03551 (ln (1.034341) + ln (e 0.2478x & # 8201)) & # 87220.136259 = 4.03551 (ln (1.034341) ) + 0.2478x) & # 87220.136259 = 0.136257 + 0.999999x & # 87220.136259 = & # 87220.000002 + 0.999999x & # 87760 + x = x & # 8211 & gt

          أوجد الدالة العكسيةللوظيفة اللوجستيةاعرض كل الخطوات.

          استخدم النتيجة من التمرين السابق لرسم النموذج اللوجستيمع مقلوبه على نفس المحور. ما هي نقاط الاعتراض والخطوط المقاربة لكل وظيفة؟

          & lt! & # 8211 & ltsolution يحتوي الرسم البياني لـ & # 8201P (t) & # 8201 على تقاطع y عند (0 ، 4) وخطوط مقاربة أفقية عند y = 0 و y = 20. الرسم البياني لـ & # 8201 P & # 87221 (t) & # 8201 له تقاطع x عند (4 ، 0) وخطوط مقاربة عمودية عند x = 0 و x = 20. & # 8211 & gt

          تمارين مراجعة الفصل

          وظائف أسية

          حدد ما إذا كانت الدالةيمثل النمو الأسي أو الاضمحلال الأسي أو لا يمثل أي منهما. يشرح

          الاضمحلال الأسي عامل النمو ، يتراوح ما بينو

          يتم تمثيل سكان قطيع من الغزلان من خلال الوظيفةأينيعطى في سنوات. إلى أقرب عدد صحيح ، ماذا سيكون بعد القطيعسنوات؟

          ابحث عن معادلة أسية تمر عبر النقاطو

          حدد ما إذا كان (الشكل) يمكن أن يمثل دالة خطية أم أسية أم لا. إذا كان يبدو أنه أسي ، فابحث عن دالة تمر عبر النقاط.

          x 1 2 3 4
          و (خ) 3 0.9 0.27 0.081

          يتم فتح حساب تقاعد بإيداع أولي قدره 8500 جنيه إسترليني ويكسبالفائدة المركبة شهريا. ما قيمة الحسابسنوات؟

          يريد Hsu-Mei توفير 5000 جنيه إسترليني لدفع دفعة أولى على السيارة. إلى أقرب دولار ، كم ستحتاج للاستثمار في حساب الآن بهAPR ، يتضاعف يوميًا ، للوصول إلى هدفها فيسنوات؟

          هل المعادلةتمثل النمو المستمر ، الاضمحلال المستمر ، أم لا؟ يشرح.

          الاضمحلال المستمر معدل النمو سلبي.

          لنفترض أنه تم فتح حساب استثمار بإيداع أولي بقيمةكسبالفائدة ، تتفاقم بشكل مستمر. كم ستكون قيمة الحساب بعدسنوات؟

          الرسوم البيانية للدوال الأسية

          ارسم الوظيفةاذكر المجال والنطاق وأعطِ ذ-تقاطع.

          المجال: نطاق جميع الأعداد الحقيقية: جميع الأعداد الحقيقية أكبر من الصفر ذ- التقاطع: (0، 3.5)

          ارسم الوظيفةوانعكاسه حول ذ-المحور على نفس المحاور ، واعطاء ذ-تقاطع.

          الرسم البياني لـينعكس حول ذ-المحور وتمتد عموديا بمعاملما هي معادلة الوظيفة الجديدة ،الدولة الخاصة به ذ-التقاطع والمجال والمدى.

          ذ-تقاطع:المجال: كل الأعداد الحقيقية المدى: كل الأعداد الحقيقية أكبر من

          يوضح الرسم البياني أدناه تحولات الرسم البياني لـما هي معادلة التحول؟

          الدالات اللوغاريتمية

          اعادة كتابةكمعادلة أسية مكافئة.

          اعادة كتابةكمعادلة أسية مكافئة.

          اعادة كتابةكمعادلة لوغاريتمية مكافئة.

          اعادة كتابة كمعادلة لوغاريتمية مكافئة.

          حل من أجل x ifعن طريق التحويل إلى الشكل الأسي.

          تقييمبدون استخدام الآلة الحاسبة.

          تقييمبدون استخدام الآلة الحاسبة.

          تقييمباستخدام الآلة الحاسبة. قرب لاقرب جزء من الف.

          تقييمبدون استخدام الآلة الحاسبة.

          تقييمباستخدام الآلة الحاسبة. قرب لاقرب جزء من الف.

          الرسوم البيانية للدوال اللوغاريتمية

          ارسم الوظيفة

          ارسم الوظيفة

          حدد المجال وخط التقارب العمودي والسلوك النهائي للوظيفة

          اختصاص:الخط المقارب الرأسي:إنهاء السلوك: asو كما

          الخصائص اللوغاريتمية

          اعادة كتابةفي شكل موسع.

          أعد كتابته في شكل مضغوط.

          اعادة كتابةفي شكل موسع.

          اعادة كتابةفي شكل مضغوط.

          اعادة كتابةكمنتج.

          اعادة كتابةكلوغاريتم واحد.

          استخدم خصائص اللوغاريتمات للتوسيع

          استخدم خصائص اللوغاريتمات للتوسيع

          اختصر التعبيرلوغاريتم واحد.

          اختصر التعبيرلوغاريتم واحد.

          اعادة كتابةللقاعدة

          اعادة كتابةكلوغاريتم. ثم قم بتطبيق تغيير الصيغة الأساسية لحلهاباستخدام السجل المشترك. قرب لاقرب جزء من الف.

          المعادلات الأسية واللوغاريتمية

          يحلبإعادة كتابة كل جانب بقاعدة مشتركة.

          يحلبإعادة كتابة كل جانب بقاعدة مشتركة.

          استخدم اللوغاريتمات لإيجاد الحل الدقيق لإذا لم يكن هناك حل ، فاكتب لا حل.

          استخدم اللوغاريتمات لإيجاد الحل الدقيق لإذا لم يكن هناك حل ، فاكتب لا حل.

          ابحث عن الحل الدقيق لـ. إذا لم يكن هناك حل ، فاكتب لا حل.

          ابحث عن الحل الدقيق لـإذا لم يكن هناك حل ، فاكتب لا حل.

          ابحث عن الحل الدقيق لـإذا لم يكن هناك حل ، فاكتب لا حل.

          ابحث عن الحل الدقيق لـإذا لم يكن هناك حل ، فاكتب لا حل.

          استخدم تعريف اللوغاريتم لحلها.

          47. استخدم تعريف اللوغاريتم لإيجاد الحل الدقيق لها

          استخدم خاصية واحد لواحد في اللوغاريتمات لإيجاد حل دقيق لهاإذا لم يكن هناك حل ، فاكتب لا حل.

          استخدم خاصية واحد لواحد في اللوغاريتمات لإيجاد حل دقيق لهاإذا لم يكن هناك حل ، فاكتب لا حل.

          معادلة قياس شدة الصوت بالديسيبليتم تعريفه بواسطة المعادلة أينهي شدة الصوت بالواط لكل متر مربع وهو أدنى مستوى صوت يمكن أن يسمعه الشخص العادي. كم ديسيبل تنبعث من أوركسترا كبيرة ذات شدة صوتواط لكل متر مربع؟

          يتم تمثيل سكان المدينة من خلال المعادلةأينيقاس بالسنوات. إذا استمرت المدينة في النمو بهذا المعدل ، فكم عدد السنوات التي سيستغرقها السكان ليصلوا إلى المليون؟

          حولسنوات

          أوجد الدالة العكسيةللدالة الأسية

          أوجد الدالة العكسيةللدالة اللوغاريتمية

          النماذج الأسية واللوغاريتمية

          بالنسبة للتمارين التالية ، استخدم هذا السيناريو: يصفه الطبيبملليغرام من عقار علاجي يتحلل بحواليكل ساعة.

          إلى أقرب دقيقة ، ما هو نصف عمر الدواء؟

          اكتب نموذجًا أسيًا يمثل كمية الدواء المتبقية في نظام المريض بعد ذلكساعات. ثم استخدم الصيغة لمعرفة كمية الدواء التي ستبقى في نظام المريض بعد ذلكساعات. قرّب لأقرب جزء من مائة جرام.

          بالنسبة للتمارين التالية ، استخدم هذا السيناريو: حساء بدرجة حرارة داخليةتم إخراج فهرنهايت من الموقد ليبرد في أمجال.بعد خمسة عشر دقيقة ، كانت درجة الحرارة الداخلية للحساء

          استخدم قانون التبريد لنيوتن لكتابة معادلة تمثل هذا الموقف.

          كم دقيقة سيستغرق الحساء ليبرد

          حولدقائق

          بالنسبة للتمارين التالية ، استخدم هذا السيناريو: المعادلةنماذج لعدد الأشخاص في المدرسة الذين سمعوا شائعة بعد ذلكأيام.

          كم من الناس بدأوا الإشاعة؟

          إلى أقرب جزء من عشرة ، كم عدد الأيام قبل أن تنتشر الإشاعة إلى نصف القدرة الاستيعابية؟

          حولأيام

          ما هي القدرة الاستيعابية؟

          بالنسبة للتمارين التالية ، أدخل البيانات من كل جدول في حاسبة الرسوم البيانية وقم برسم مخططات التبعثر الناتجة. حدد ما إذا كانت البيانات من الجدول ستمثل على الأرجح دالة خطية أو أسية أو لوغاريتمية.

          x و (خ)
          1 3.05
          2 4.42
          3 6.4
          4 9.28
          5 13.46
          6 19.52
          7 28.3
          8 41.04
          9 59.5
          10 86.28

          x و (خ)
          0.5 18.05
          1 17
          3 15.33
          5 14.55
          7 14.04
          10 13.5
          12 13.22
          13 13.1
          15 12.88
          17 12.69
          20 12.45

          أوجد صيغة لمعادلة أسية تمر بالنقاطوثم قم بالتعبير عن الصيغة كمعادلة مكافئة للقاعدة ه.

          ملاءمة النماذج الأسية للبيانات

          ما هي القدرة الاستيعابية للسكان على غرار المعادلة اللوجستيةما هو عدد السكان الأولي للنموذج؟

          يتم نمذجة مجتمع ثقافة البكتيريا بواسطة المعادلة اللوجيستية أينفي أيام. إلى أقرب عُشر ، كم يومًا ستستغرق الثقافة للوصولمن قدرتها الاستيعابية؟

          حولأيام

          بالنسبة للتمارين التالية ، استخدم أداة الرسوم البيانية لإنشاء رسم تخطيطي مبعثر للبيانات الواردة في الجدول. راقب شكل الرسم التخطيطي المبعثر لتحديد ما إذا كان أفضل وصف للبيانات هو النموذج الأسي أو اللوغاريتمي أو اللوجيستي. ثم استخدم خاصية الانحدار المناسبة لإيجاد معادلة تشكل البيانات. عند الضرورة ، قم بتقريب القيم إلى خمسة منازل عشرية.

          x و (خ)
          1 409.4
          2 260.7
          3 170.4
          4 110.6
          5 74
          6 44.7
          7 32.4
          8 19.5
          9 12.7
          10 8.1
          x و (خ)
          0.15 36.21
          0.25 28.88
          0.5 24.39
          0.75 18.28
          1 16.5
          1.5 12.99
          2 9.91
          2.25 8.57
          2.75 7.23
          3 5.99
          3.5 4.81

          لوغاريتمي

          x و (خ)
          0 9
          2 22.6
          4 44.2
          5 62.1
          7 96.9
          8 113.4
          10 133.4
          11 137.6
          15 148.4
          17 149.3

          اختبار الممارسة

          يتم تمثيل عدد سكان مجموعة من الدلافين قارورية الأنف من خلال الوظيفة أينيعطى في سنوات. إلى أقرب عدد صحيح ، ماذا سيكون بعد تعداد الكبسولةسنوات؟

          حولالدلافين.

          ابحث عن معادلة أسية تمر عبر النقاطو

          درو يريد أن ينقذ 2500 ليذهب إلى كأس العالم المقبلة. إلى أقرب دولار ، كم سيحتاج للاستثمار في حساب الآن بهAPR ، يتضاعف يوميًا ، من أجل الوصول إلى هدفه فيسنوات؟

          تم فتح حساب استثماري بإيداع أولي بقيمة 9600 جنيه إسترليني وكسبالفائدة ، تتفاقم بشكل مستمر. كم ستكون قيمة الحساب بعدسنوات؟

          ارسم الوظيفةوانعكاسه عبر ذ-المحور على نفس المحاور ، واعطاء ذ-تقاطع.

          ذ-تقاطع:

          يوضح الرسم البياني تحويلات الرسم البياني لـما هي معادلة التحول؟

          اعادة كتابةكمعادلة أسية مكافئة.

          اعادة كتابةكمعادلة لوغاريتمية مكافئة.

          حل من أجلبتحويل المعادلة اللوغاريتميةإلى شكل أسي.

          تقييمبدون استخدام الآلة الحاسبة.

          تقييمباستخدام الآلة الحاسبة. قرب لاقرب جزء من الف.

          ارسم الوظيفة

          حدد المجال وخط التقارب العمودي والسلوك النهائي للوظيفة

          اختصاص:الخط المقارب الرأسي:سلوك النهاية:و

          اعادة كتابةكمجموع.

          اعادة كتابةفي شكل مضغوط.

          اعادة كتابةكمنتج.

          استخدم خصائص اللوغاريتم للتوسيع

          اختصر التعبيرلوغاريتم واحد.

          اعادة كتابةكلوغاريتم. ثم قم بتطبيق تغيير الصيغة الأساسية لحلهاباستخدام اللوغاريثم الطبيعي. قرب لاقرب جزء من الف.

          يحلبإعادة كتابة كل جانب بقاعدة مشتركة.

          استخدم اللوغاريتمات لإيجاد الحل الدقيق ل. إذا لم يكن هناك حل ، فاكتب لا حل.

          ابحث عن الحل الدقيق لـإذا لم يكن هناك حل ، فاكتب لا حل.

          ابحث عن الحل الدقيق لـإذا لم يكن هناك حل ، فاكتب لا حل.

          ابحث عن الحل الدقيق لـإذا لم يكن هناك حل ، فاكتب لا حل.

          ابحث عن الحل الدقيق لـإذا لم يكن هناك حل ، فاكتب لا حل.

          استخدم تعريف اللوغاريتم لإيجاد الحل الدقيق لها

          استخدم خاصية واحد لواحد في اللوغاريتمات لإيجاد حل دقيق لذلك إذا لم يكن هناك حل ، اكتب لا حل.

          معادلة قياس شدة الصوت بالديسيبليتم تعريفه بواسطة المعادلةأينهي شدة الصوت بالواط لكل متر مربع وهو أدنى مستوى صوت يمكن أن يسمعه الشخص العادي. كم ديسيبل ينبعث من حفلة لموسيقى الروك بقوة صوتواط لكل متر مربع؟

          يعمل مع مسؤول السلامة من الإشعاعجرامات من مادة مشعة. بعد، بعدماأيام ، فقد اضمحلت العينةجرامات. بالتقريب إلى خمسة أرقام معنوية ، اكتب معادلة أسية تمثل هذا الموقف. إلى أقرب يوم ، ما هو نصف عمر هذه المادة؟

          نصف العمر: حوالي أيام

          اكتب الصيغة الموجودة في التمرين السابق كمعادلة مكافئة مع الأساساكتب الأس لأقرب خمسة أرقام ذات دلالة.

          زجاجة صودا بدرجة حرارةتم إخراج فهرنهايت من الرف ووضعه في ثلاجة بدرجة حرارة داخلية تبلغبعد عشر دقائق ، كانت درجة الحرارة الداخلية للصودااستخدم قانون التبريد لنيوتن لكتابة معادلة تمثل هذا الموقف. إلى أقرب درجة ، كم ستكون درجة حرارة الصودا بعد ساعة واحدة؟

          يتم نمذجة سكان موطن الحياة البرية بواسطة المعادلة أينيعطى في سنوات. كم عدد الحيوانات التي تم نقلها في الأصل إلى الموطن؟ كم سنة سوف يستغرق الأمر قبل أن يصل الموطن إلى نصف سعته؟

          أدخل البيانات من (الشكل) في حاسبة الرسوم البيانية ورسم مخطط التبعثر الناتج. حدد ما إذا كانت البيانات من الجدول ستمثل على الأرجح دالة خطية أو أسية أو لوغاريتمية.

          x و (خ)
          1 3
          2 8.55
          3 11.79
          4 14.09
          5 15.88
          6 17.33
          7 18.57
          8 19.64
          9 20.58
          10 21.42

          يتم تمثيل عدد سكان بحيرة الأسماك من خلال المعادلة اللوجيستية أينحان الوقت بالسنوات. إلى أقرب جزء من مائة ، كم سنة ستستغرقها البحيرة للوصول إليهامن قدرتها الاستيعابية؟

          بالنسبة للتمارين التالية ، استخدم أداة الرسوم البيانية لإنشاء رسم تخطيطي مبعثر للبيانات الواردة في الجدول. راقب شكل الرسم التخطيطي المبعثر لتحديد ما إذا كان أفضل وصف للبيانات هو النموذج الأسي أو اللوغاريتمي أو اللوجيستي. ثم استخدم خاصية الانحدار المناسبة لإيجاد معادلة تشكل البيانات. عند الضرورة ، قم بتقريب القيم إلى خمسة منازل عشرية.

          x و (خ)
          1 20
          2 21.6
          3 29.2
          4 36.4
          5 46.6
          6 55.7
          7 72.6
          8 87.1
          9 107.2
          10 138.1

          متسارع

          x و (خ)
          3 13.98
          4 17.84
          5 20.01
          6 22.7
          7 24.1
          8 26.15
          9 27.37
          10 28.38
          11 29.97
          12 31.07
          13 31.43
          x و (خ)
          0 2.2
          0.5 2.9
          1 3.9
          1.5 4.8
          2 6.4
          3 9.3
          4 12.3
          5 15
          6 16.2
          7 17.3
          8 17.9

          جمارك


          6.8E: ملاءمة النماذج الأسية للبيانات (تمارين) - الرياضيات

          تمرين 07: استخدام EXCEL لحل مسائل معكوسة.

          المشكلة العكسية هي المشكلة التي لدينا فيها مجموعة من البيانات التي نعتقد أنه يمكن تفسيرها أو نمذجتها بواسطة معادلة تتضمن معلمة واحدة أو أكثر. تم ذكرها رياضيًا إذا كانت لدينا بيانات d (x) ونموذج m (x) حيث m (x) = f (p1، p2 .pn) ثم ابحث عن p1 pn الأنسب للبيانات.

          على سبيل المثال ، إذا كانت لدينا بيانات تبدو وكأنها تناسب خطًا مستقيمًا في المتوسط ​​، فإن المشكلة تكمن في إيجاد قيم المعاملين أ وب ، حيث ص = أ + ب * س ، بحيث يكون الفرق بين ص (س) و يتم تصغير البيانات d (x) وفقًا لبعض المعايير (عادةً ما يتم تصغيرها فيما يتعلق ببعض الفروق التربيعية).

          ربما يكون مثال الخط المستقيم هو أبسط مثال على مسألة عكسية. قد تكون الأمثلة الأخرى هي البيانات التي تختلف أسيًا أو جيبيًا.

          7.1 باستخدام إجراء الانحدار EXCEL لملاءمة الخطوط المستقيمة للبيانات

          لنفترض أن لدينا بيانات (أموال في حساب التوفير الخاص بك) عن كل شهر x. لنفترض أنك تقوم بإيداع مليار دولار كل شهر وتبدأ بدولار. ثم سيكون لديك لكل شهر مبلغ f (x) = y = a + b * x. الآن دعنا نفترض أنك تحصل على القليل من الفائدة كل شهر وتنفق القليل كل شهر حتى تبدأ القيمة الشهرية الآن في الحصول على مكون عشوائي.

          لنفترض الآن (بعد عدة سنوات) أننا نريد معرفة حجم المكون العشوائي والتحقق من أن الحساب يتزايد خطيًا بشكل عام.

          للقيام بذلك ، نحتاج إلى تقييم ميل البيانات ، والتقاطع عند الصفر ، والتباين أو الانحراف المعياري. يتم تعريف هذه على أنها.

          المنحدر = ب = (sum (x * y) -sum (x) * sum (y) / n) / sum (x * x) - (sum (x)) ^ 2 / n = CSCP / CSSX

          variance = sigma ^ 2 = (1 / (n-2)) * (CSSY-CSCP ^ 2 / CSSX) حيث CSSY = sum (x * x) -sum (x) ^ 2 / n

          توليد البيانات والحصول على الإحصائيات

          قم بإنشاء دالة خطية y = a + bx باستخدام الأرقام التي تريدها

          أضف إلى هذه الوظيفة رقمًا عشوائيًا تم إنشاؤه في المثال 2 وقياسه بالطريقة التي تريدها. مثال b1 = 100 + 50 * a1 + عشوائي * 10

          استخدم الأدوات / تحليل البيانات / الانحدار لإنشاء الإحصائيات ثم انظر بعناية في الإحصائيات حتى تفهم ما تعنيه الأرقام.

          7.2 استخدام المربعات الصغرى لملاءمة البيانات بخط مستقيم.

          بدلاً من استخدام برنامج الانحدار EXCEL لملاءمة سطر مع البيانات ، سنستخدم الآن طريقة المربعات الصغرى البديلة للقيام بنفس المهمة. هناك أربع خطوات لهذه الطريقة

          الخطوة 1. حدد أو احصل على مجموعة بيانات خطية كما في الأمثلة السابقة. سوف نسمي البيانات (t)

          الخطوة 2. حدد نموذجًا نريد ملاءمته للبيانات. في هذه الحالة ، نريد نموذجًا يمثل دالة خطية ، على وجه التحديد النموذج (t) = a + b * t

          الخطوه 3. حدد القيمة S = sum على جميع قيم t لـ (data (t) -model (t)) ^ 2

          الخطوة 4. استخدم برنامج EXCEL SOLVER لتقليل S عن طريق تغيير المعلمات "a" و "b"

          سينتج عن ذلك تقديرات لـ a و b تعطي أفضل خط مستقيم ملائم للبيانات.

          7.3 استخدام طريقة المربعات الصغرى لملاءمة نموذج للبيانات المتغيرة بشكل كبير

          لنفترض أن لدينا بيانات تعرض بوضوح تباينًا أسيًا. استدعاء هذه البيانات ، البيانات (ر). يمكننا إنشاء مثال لهذه البيانات باستخدام بيانات العلاقة (t) = 3 * exp (.02 * t) + القيمة العشوائية ، حيث يمكن أن يكون t الوقت بوحدات من شهر واحد.

          بالنظر إلى هذه البيانات ، نفترض الآن أنه يمكن تزويد البيانات بنموذج يحتوي على تباين أسي مع مرور الوقت. نريد تحديد معلمات أفضل وظيفة أسية ملائمة.

          لذلك نتبع نفس الخطوات الأربع كما في المثال 7.1.

          الخطوة 1. حدد البيانات كما هو موضح للتو.

          الخطوة 2. حدد النموذج ليكون النموذج (t) = a * exp (b * t)

          الخطوه 3. حدد S ليكون مجموع تربيع الفروق بين البيانات والنموذج

          الخطوة 4. استخدم SOLVER لتقليل S عن طريق تغيير "أ" و "ب"

          7.4 استخدام طريقة المربعات الصغرى لملاءمة بيانات التباين السنوية مع دالة جيب التمام

          لنفترض أن لدينا بيانات تظهر بوضوح تباينًا سنويًا. استدعاء هذه البيانات ، البيانات (ر). يمكننا إنشاء مثال لهذه البيانات باستخدام بيانات العلاقة (t) = 3 * cos (2 * pi * t / 12 + 1.2) + قيمة عشوائية ، حيث سيكون t الوقت بوحدات شهر واحد.

          بالنظر إلى هذه البيانات ، نفترض الآن أنه يمكن تزويد البيانات بنموذج يحتوي على تباين جيبي مع مرور الوقت. نريد تحديد معلمات أفضل دالة لجيب التمام.

          لذلك نتبع نفس الخطوات الأربع كما في المثال 7.1.

          الخطوة 1. حدد البيانات كما هو موضح للتو.

          الخطوة 2. حدد النموذج ليكون النموذج (t) = a * cos (2 * pi * f * t + c)

          الخطوه 3. حدد S ليكون مجموع تربيع الفروق بين البيانات والنموذج


          المشكلة في جوهرها غير خطية لأنك تريد تصغير $ SSQ (a، b، c) = sum_^ N big (ae ^+ c-y_i big) ^ 2 $ والانحدار غير الخطي سيتطلب تقديرات جيدة (أو على الأقل معقولة ومتسقة) للمعلمات الثلاثة.

          لكن ، افترض أنك قمت بتعيين قيمة لـ $ b $ ثم قمت بتعريف $ z_i = e ^$ تتحول المشكلة إلى خطي $ (y = az + c) $ وسيعطي الانحدار الخطي قيمة $ a و c $ لـ $ b $ بالإضافة إلى مجموع المربعات. جرب قيمًا قليلة من $ b $ حتى ترى حدًا أدنى من $ SSQ (b) $. بالنسبة لهذه القيمة التقريبية البالغة $ b $ ، كان لديك من الانحدار الخطي المقابل $ a $ و $ c $ وأنت على استعداد للذهاب مع الانحدار غير الخطي.

          يمكن أن يكون الأسلوب الآخر: افترض قيمة $ c $ وأعد كتابة النموذج على النحو التالي $ y-c = a e ^$ $ log (yc) = alpha + bt $ مما يعني أن تعريف $ w_i = log (y_i-c) $ ، النموذج هو $ z = alpha + bt $ وسيعطي الانحدار الخطي $ alpha $ و $ b $. من هذه ، أعد حساب $ y_i ^ * = c + e ^ < alpha + bt_i> $ وبعض المربعات المقابلة $ SSQ (c) $. مرة أخرى ، ستظهر تجربة قيم مختلفة لـ $ c $ حدًا أدنى ولأفضل قيمة $ c $ ، فأنت تعرف $ b $ و $ a = e ^ < alpha> $ وستكون جاهزًا لاستخدام غير الخطي تراجع.

          من المؤكد أن هناك مرحلة واحدة مع التجربة والخطأ لكنها سريعة جدًا.

          يمكنك حتى الحصول على تقدير فوري للمعامل $ b $ إذا أخذت ثلاث نقاط متباعدة بشكل متساوٍ $ t_1 $، $ t_2 $، $ t_3 $ بحيث أن $ t_2 = frac2 $ و $ y_i المقابل

          6.8E: ملاءمة النماذج الأسية للبيانات (تمارين) - الرياضيات

          أرسل لي Jim Pardun مقطع فيديو لكلب اسمه Twinkie يفرقع البالونات في السعي لتحقيق رقم قياسي عالمي. كيف تدرب كلبًا على القيام بذلك ، لا أعرف. كيف يوجد رقم قياسي عالمي لهذا ، لا أعرف أيضًا.

          ما أعرفه هو أن هذا الفيديو يوضح بوضوح الفرق بين الرياضيات والنمذجة بالرياضيات.

          يمكنك & # 8217t كسر الرياضيات. يعتقد بعض الناس أنهم كسروا الرياضيات ولكن كل ما فعلوه هو البدء في جديد التخصصات في الرياضيات حيث ، على سبيل المثال ، يمكن أن تحتوي المثلثات على أكثر من 180 درجة ويمكن أن تلتقي الخطوط المتوازية.

          على النقيض من ذلك ، وصلت نماذجنا الرياضية معطلة. & # 8220 جميع النماذج خاطئة & # 8221 قال جورج بوكس ​​، & # 8220 لكن بعضها مفيد. & # 8221 ونرى ذلك في هذا الفيديو.

          ينفث Twinkie 25 بالونًا في 5 ثوانٍ. كم من الوقت ستستغرقها لتفجير جميع البالونات المائة؟ الإجابة الرياضية البحتة هي 20 ثانية. هذا & # 8217s المنطق النسبي المباشر.

          لكن النمذجة الرياضية أقل من مباشرة. يتطلب إعادة تفسير تلك الإجابة من خلال عيوب العالم. قد يكون الطالب الذي يمكنه حساب 20 ثانية بسرعة وثقة أسوأ حالًا هنا من الطالب الذي يفكر بصبر في كيفية تضاؤل ​​إمدادات البالونات ، ويضيف الوقت ، ويصل إلى الإجابة الفعلية البالغة 37 ثانية.

          لا تتردد في عرض فصولك الدراسية التي تشكك في الفيديو ، ثم ناقش ، ثم اعرض عليهم فيديو الإجابة. أو إذا كان لدى فصلك إمكانية الوصول إلى الأجهزة ، فيمكنك تعيين نشاط Desmos هذا ، حيث ندعوهم & # 8217ll لرسم ما يعتقدون أنه يحدث بمرور الوقت أيضًا.

          الفرق بين الطلاب الذين أجابوا & # 822020 ثانية & # 8221 و & # 822037 ثانية & # 8221 هو نفس الفرق بين الطلاب الذين رسموا Sketch 1 و Sketch 2.

          قد تعتقد أنك تعرف كيف سيتم تصنيف طلابك في هاتين المجموعتين ، لكنني أتمنى أن تفاجأ # 8217.

          هذا الاختلاف هو الصبر الذي تتطلبه النمذجة بالرياضيات.

          بالمناسبة. أنا مهتم جدًا بمواقف مثل هذه حيث يفسد العالم ما يبدو أنه تطبيق مباشر لنموذج رياضي.

          مثال آخر هو قصة جزيرة سانت ماثيو ، التي تخلت عن توقعات الرياضيات البحتة رأسًا على عقب مرتين على الأقل.

          2017 مايو 19. سأل ستيف رين عن مجموعة البيانات. هنا.


          النمذجة وتحليل البيانات: مقدمة في التطبيقات البيئية

          هل يمكننا التعايش مع أشكال الحياة الأخرى التي تطورت على هذا الكوكب؟ هل توجد بدائل واقعية للوقود الأحفوري من شأنها أن توفر بشكل مستدام احتياجات الطاقة للمجتمع البشري ويكون لها آثار ضارة أقل؟ كيف نتعامل مع التهديدات مثل الأمراض المستجدة؟

          النماذج الرياضية و mdashequations من أنواع مختلفة تلتقط العلاقات بين المتغيرات المتضمنة في موقف معقد و mdashare أساسي لفهم العواقب المحتملة للخيارات التي نتخذها. يتطلب استخراج الأفكار من الكميات الهائلة من البيانات التي يمكننا جمعها طرقًا للتحليل والتفكير الإحصائي.

          هذا الكتاب الذي يتناول موضوعات أولية في النمذجة الرياضية وتحليل البيانات مخصص للدورة الجامعية والفنون الليبرالية والرياضيات من نوع rdquo ولكن مع التركيز بشكل خاص على التطبيقات البيئية. إنه مناسب للدورات التمهيدية بدون أي متطلبات مسبقة بخلاف رياضيات المدرسة الثانوية. تمد مجموعة كبيرة ومتنوعة من التمارين مناقشات النص الرئيسي إلى مواقف جديدة و / أو تقدم أمثلة جديدة من العالم الحقيقي. ينتهي كل فصل بقسم من المشكلات ، وكذلك بمشروع فصل موسع يتضمن غالبًا أعمال حوسبة جوهرية إما في برنامج جداول البيانات أو في الحزمة الإحصائية (< t R> ).

          تمارين وحلول لهذا العنوان متاحة إلكترونيًا لهؤلاء المعلمين الذين اعتمدوا الكتاب المدرسي لاستخدامه في الفصل الدراسي. يرجى إرسال بريد إلكتروني إلى [email protected] لمزيد من المعلومات.

          القراء

          طلاب البكالوريوس والدراسات العليا والباحثون المهتمون بنمذجة الرياضيات وتحليل البيانات مع التطبيقات البيئية.

          المراجعات والمصادقات

          هذا الكتاب الذي يتناول موضوعات أولية في النمذجة الرياضية وتحليل البيانات مخصص لدورة رياضيات الفنون الحرة للطلاب الجامعيين مع التركيز بشكل خاص على التطبيقات البيئية. تمد مجموعة كبيرة ومتنوعة من التمارين مناقشات النص الرئيسي إلى مواقف جديدة و / أو تقدم أمثلة جديدة من العالم الحقيقي.

          إنه لأمر رائع أن يتم تدريس الرياضيات أخيرًا كأداة لفهم التحديات التي سيواجهها الكوكب وللمشاركة في النقاش. يهدف الكتاب إلى تنمية المهارات في النمذجة الرياضية وتحليل البيانات ، مع التركيز على البيئة. تشجع المشاريع التعلم النشط. كتاب رائع!

          - كريستيان روسو ، مبتدئة رياضيات كوكب الأرض (MPE2013) وأستاذة الرياضيات ، والجامعة و Ecute de Montr & Ecuteal

          باستخدام أمثلة متنوعة مع بيانات العلوم البيئية ، يقدم هذا النص مراجعة حية لرياضيات المدرسة الثانوية. مثالية لدورة محو الأمية الكمية ، فهي تقدم بديلاً ممتازًا لإعادة صياغة الرياضيات النموذجية.

          - لويس ج.جروس ، أستاذ علم البيئة وعلم الأحياء التطوري والرياضيات ، جامعة تينيسي ، نوكسفيل


          المواضيع التي تمت تغطيتها

          بالنسبة للتدريبات التالية ، استخدم هذا السيناريو: تم تصميم السكان $ P $ لموائل الأنواع المهددة بالانقراض للذئاب من خلال الوظيفة $ P (x) = frac <558> <1 + 54.8 e ^ <- 0.42 x >> ، $ حيث يتم إعطاء $ x $ بالسنوات.

          استخدم ميزة التقاطع لتقريب عدد السنوات التي ستستغرقها قبل تعداد سكان
          يصل الموائل إلى نصف قدرته الاستيعابية.

          استخدم ميزة الانحدار للعثور على دالة أسية تناسب البيانات الموجودة في الجدول على أفضل وجه.

          ارسم المعادلة الأسية على الرسم البياني المبعثر.

          استخدم حاسبة بيانية لإنشاء رسم تخطيطي مبعثر للبيانات.

          اكتب الدالة الأسية في صورة معادلة أسية للأساس e.

          استخدم خاصية التقاطع لإيجاد قيمة $ x $ حيث $ f (x) = 250 $.


          انسايت الرياضيات

          أوضحت صفحة نموذج البكتيريا كيفية تطوير نموذج نظام ديناميكي منفصل بناءً على القياسات التجريبية للكثافة السكانية. في التدريبات التالية ، يمكنك استكشاف نماذج ومجموعات بيانات مماثلة.

          التمرين 1

          باتباع الإجراء الموضح في صفحة نموذج البكتيريا ، احسب $ B_1 $ و $ B_2 $ و $ B_3 $ للأنظمة الديناميكية المنفصلة التالية. يبدأ < rm> hspace <2mm> B_0 & = 4 & hspace <5mm> B_ - B_t & = 0.5 times B_t < rm> hspace <2mm> B_0 & = 4 & hspace <5mm> B_ - B_t & = 0.1 times B_t < rm> hspace <2mm> B_0 & = 0.2 & hspace <5mm> B_ - B_t & = 0.05 مرات B_t < rm> hspace <2mm> B_0 & = 0.2 & hspace <5mm> B_ - B_t & = 1 times B_t < rm> hspace <2mm> B_0 & = 100 & hspace <5mm> B_ - B_t & = 0.4 times B_t < rm> hspace <2mm> B_0 & = 100 & hspace <5mm> B_ - B_t & = 0.01 times B_t end

          تمرين 2

          اكتب معادلة حل للأنظمة الديناميكية للتمرين 1 على غرار المعادلة (5) لصفحة البكتيريا.

          التمرين 3

          عند تطوير النموذج الخطي ، لاحظ أننا رسمنا $ B_ - B_t $ عكس $ B_t $. النقاط هي $ (B_0، B_1-B_0) $، $ (B_1، B_2-B_1) $ إلخ. الإحداثي الثاني $ B_ - B_t $ هو الزيادة السكانية خلال الفترة الزمنية $ t $ ، علمًا بأن عدد السكان في بداية الفترة الزمنية هو $ B_t $. اشرح لماذا ستكون النقطة (0،0) نقطة في هذا الرسم البياني.

          التمرين 4

          فيما يلي جداول بأربع مجموعات من البيانات. لكل مجموعة بيانات ، اتبع الخطوات من صفحة نمو البكتيريا لتلائم النظام الديناميكي للبيانات. يجب أن يكون النظام الديناميكي بالصيغة [B_0 = text، hspace <1cm> goodbreak B_ - B_t = r times B_t. ] ابحث عن الرقم $ r $ بحيث تكون القيم $ B_1 $ و $ B_2 $ و $ B_3 $ و $ B_4 $ و $ B_5 $ و $ B_6 $ المحسوبة من النظام الديناميكي قريبة إلى الأرقام المقابلة في الجدول. بمجرد حساب $ r $ ، احسب الأرقام $ B_1 $ إلى $ B_6 $ من النظام الديناميكي وقارن القيم المحسوبة بالبيانات الأصلية.

          لمساعدتك في حساب الرقم $ r $ ، يمكنك استخدام التطبيق الصغير أدناه ، والذي يشبه التطبيق الصغير الأصلي للبكتيريا ولكنه يستخدم $ P_t $ للإشارة إلى حجم السكان في الوقت $ t $. أدخل البيانات وابحث عن خط قريب منها. تأكد من أن الخط يمر عبر الأصل. للتحكم بشكل أفضل في التطبيق الصغير وللتمكن من طباعة نتائجك أو حفظها ، نقترح تنزيل التطبيق الصغير على جهاز الكمبيوتر الخاص بك. في صفحة معلومات التطبيق الصغير ، يمكنك العثور على رابط لملف التطبيق الصغير وإرشادات لتثبيت Geogebra.

          ملاءمة نموذج خطي للتغير السكاني كدالة لحجم السكان. في جدول اللوحة اليمنى ، أدخل ما يصل إلى ست قيم لحجم السكان $ P_t $ في الوقت $ t $. (في اللوحة اليمنى ، يتم عرض $ P_t $ كـ P_t.) سيقوم التطبيق الصغير تلقائيًا بحساب التغييرات $ P_-P_t $ ورسم النقاط $ (P_t، P_-P_t) $ ، والتي تُظهر التغير السكاني مقابل حجم المجتمع في بداية الفترة الزمنية. عن طريق تحريك النقطتين $ A $ و $ B $ (ممثلة بالماس الأحمر) بالماوس ، يمكنك محاولة احتواء خط خلال النقاط وقراءة ميله.

          التمرين 5

          البكتيريا V. natriegens نمت أيضًا في وسط نمو برقم هيدروجيني 7.85. يتم عرض بيانات تلك التجربة في الجدول التالي. كرر التحليل الموضح في صفحة نمو البكتيريا لهذه البيانات. قارن معدل النمو النسبي المحسوب لـ V. natriegens عند الرقم الهيدروجيني 7.85 مع معدل النمو النسبي المحسوب عند الرقم الهيدروجيني 6.25 ، والذي حسبناه هو 2/3.

          قياسات V. natriegens الكثافة عند الرقم الهيدروجيني 7.85.
          الوقت (دقيقة)الكثافة السكانية
          0 0.028
          160.047
          320.082
          480.141
          640.240
          800.381

          تمرين 6

          ما هو النظام الديناميكي المنفصل الذي سيصف نمو ملف الإشريكية القولونية السكان في وسط غذائي يحتوي على 250000 بكتريا قولونية خلية لكل مليلتر في بداية التجربة وربع الخلايا مقسمة كل 30 دقيقة؟

          إجابات مختارة

          بمجرد الانتهاء من بعض هذه التمارين ، يمكنك التحقق من عملك بالإجابات على المشكلات المحددة.


          في التمثيلات ثنائية الخطوط وقوانين الحفظ اللانهائية لمعادلة معامل متغير غير خطية

          1 المقدمة

          الطريقة ثنائية الخطوط التي اقترحها هيروتا هي أداة قوية للتحقيق في معادلات التطور غير الخطي. هو ، ليو ، وآخرون. [1-7] قام بالعديد من الأعمال الممتازة في البحث عن التمثيلات ثنائية الخطوط ، أزواج Lax ، تحويلات Bäcklund ، الحلول متعددة السوليتون وحلول الموجات شبه الدورية ، إلخ. ناقش Hirota و Satsuma [8] ذات مرة بعض الخصائص بما في ذلك حلول موجات soliton لـ معادلة KdV للوسائط غير المنتظمة ذات تأثيرات الاسترخاء على النحو التالي

          أين ص ثابت. من ناحية أخرى ، كما عرفنا أن المعادلات التكاملية غير الخطية ذات المعامل المتغير لها تطبيقات مهمة في الرياضيات والفيزياء. على سبيل المثال ، يمكن أن تصف معادلة شرودنجر غير الخطية ذات المعامل المتغير اتصالات بصرية بعيدة المدى بشكل أكثر واقعية من نظيراتها ذات المعامل الثابت. تخضع العديد من المواقف الفيزيائية والميكانيكية لمعادلات KdV ذات المعامل المتغير ، على سبيل المثال ، الموجات غير الخطية في أنواع القضبان [9،10]. ومن ثم ، فمن المهم والمثير للاهتمام أن نأخذ أدوات جديدة للبحث عن خصائص جديدة لمعادلات ذات معامل متغير. ومن ثم ، فإننا نقوم بتعميم المعادلة. (1) معادلات تطور ذات معامل متغير على النحو التالي

          حيث r = r (t)، c 0 = c 0 (t)، h i = h i (t) (i = 1، 2، 3) كلها وظائف حول ر.

          في الورقة ، نريد الاستفادة من كثيرات حدود Bell للبحث عن التمثيل الثنائي ، زوج Lax ، زوج Darboux Lax المتغير وقوانين الحفظ اللانهائية لـ Eq. (2). من اللافت للنظر أنه قد يتم فرض بعض العلاقات المقيدة بين المعاملات المتغيرة c 0 (t) ، r (t) ، h i (t) (i = 1 ، 2 ، 3) والتي نستنتج عليها الخصائص المذكورة أعلاه لـ Eq. (2) إذا لزم الأمر. نتذكر أولاً بإيجاز كثيرات حدود بيل. في أوائل الثلاثينيات من القرن الماضي ، قدم بيل [11] ثلاثة أنواع من كثيرات الحدود الأسية. واحد بسيط يقرأ ذلك

          حيث y = e α t - α 0. لاحقًا ، جيلسون وآخرون. [12-14] اقترح تعميمًا عامًا لكثيرات حدود بيل. أي ، قم بتعيين f = f (x 1 ، ... ، x l) لتكون دالة c ∞ متعددة المتغيرات ، كثيرات الحدود التالية

          يسمى متعدد الأبعاد بيل متعدد الحدود. لاحظ أن f r 1 x 1،…، r l x l = ∂ x 1 r 1… ∂ x l r l f. بالنسبة للحالة الخاصة f = f (x، t) ، يتم تمثيل كثيرات حدود Bell ثنائية الأبعاد ذات الصلة

          بناءً على ما سبق ، يتم تعريف كثيرات حدود الجرس الثنائية متعددة الأبعاد على أنها.

          على سبيل المثال ، لدينا من (3) ذلك

          الرابط بين كثيرات حدود Bell الثنائية ϒ n 1 x 1،…، n l x l (v، w) وعامل Hirota bilinear D x 1 n 1… D x l n l F · G يمكن إعطاؤه بواسطة [12]

          على وجه الخصوص ، عندما F = G ، (5) يقلل إلى

          يمكن التعبير عن كثيرات حدود الجرس الثنائية ϒ n 1 x 1،…، n l x l (v، w) كـ [12]

          بالإضافة إلى ذلك ، يمكن التعبير عن كثيرات حدود Bell من خلال تحويل Hopf-Cole v = ln ψ:

          قام Fan [15،16] بتمديد كثيرات حدود Bell إلى حالة المعادلات التكاملية ذات المعامل المتغير وحصل على التمثيلات ثنائية الخطوط وأزواج Lax وتحويلات Bäcklund وقوانين الحفظ اللانهائية لنوع من معادلات KdV. علاوة على ذلك ، عمم فان [17] كثيرات حدود بيل في المناقشات حول المعادلات فائقة التناظر. بناءً على النتائج المذكورة أعلاه ، ناقش Zhang وآخرون [18،19] إمكانية تكامل بعض معادلات التطور غير الخطية ذات المعامل المتغير. بالإضافة إلى ذلك ، يمكننا اتباع الطرق في [20] و [21] لمناقشة بعض الحلول الدقيقة للمعادلة. (2).