مقالات

12.3: الاستقراء الرياضي - الرياضيات


لنفترض أنه تم تقديم تسلسل المعادلات التالي: ابدأ {محاذاة *} 1 & = 1 1 + 3 & = 4 1 + 3 + 5 & = 9 1 + 3 + 5 + 7 & = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 & = 25 end {align *} من الواضح أن هناك نمطًا. الأرقام على الجانب الأيمن من المعادلات هي المربعات $ 1 ^ {2} $ و $ 2 ^ {2} $ و $ 3 ^ {2} $ و $ 4 ^ {2} $ و $ 5 ^ {2} $ و ، في المعادلة التي تحتوي على $ n ^ {2} $ على الجانب الأيمن ، والطرف الأيسر هو مجموع الأرقام الفردية الأولى $ n $. الأرقام الفردية هي start {align *} 1 & = 2 cdot 1 -1 3 & = 2 cdot 2 -1 5 & = 2 cdot 3 -1 7 & = 2 cdot 4 -1 9 & = 2 cdot 5-1 end {align *} ومن هذا يتضح أن الرقم الفردي $ n $ th هو $ 2n - 1 $. وبالتالي ، على الأقل بالنسبة إلى $ n = 1 $ ، $ 2 $ ، $ 3 $ ، $ 4 $ ، أو $ 5 $ ، فإن ما يلي صحيح: start {equation} label {eq: induction} 1 + 3 + cdots + (2n -1) = n ^ 2 tag {$ S_n $} end {equation} السؤال الذي يطرح نفسه ما إذا كانت العبارة ref {eq: induction} صحيحة لـ textit {every} $ n $. ليس هناك أمل في الفصل التحقق من كل هذه العبارات لأن هناك عددًا لا نهائيًا منها. مطلوب نهج أكثر دقة. الفكرة هي كما يلي: لنفترض أنه تم التحقق من صحة العبارة $ S_ {n + 1} $ عندما يكون $ S_ {n} $ صحيحًا. وهذا يعني أننا أثبتنا أن textit {if} $ S_ {n} $ صحيحًا ، فهذا يعني بالضرورة أن $ S_ {n + 1} $ صحيح أيضًا. بعد ذلك ، إذا تمكنا من إظهار أن $ S_ {1} $ صحيح ، فهذا يعني أن $ S_ {2} $ صحيح ، ومن هذا أن $ S_ {3} $ صحيح ، ومن هنا فإن $ S_ {4} $ هو صحيح ، وما إلى ذلك وهلم جرا. هذا هو مبدأ الاستقراء. للتعبير عنها بشكل أكثر إحكاما ، من المفيد أن يكون لديك طريقة قصيرة لتوضيح التأكيد `` إذا كان $ S_ {n} $ صحيحًا ، فإن $ S_ {n + 1} $ صحيح. '' كما في الملحق المرجع {الفصل: appbproofs} ، نكتب هذا التأكيد كـ start {equation *} S_n Rightarrow S_ {n + 1} end {equation *} ونقرأه كـ "$ S_ {n} $ يشير إلى $ S_ {n + 1} $ . '' يمكننا الآن تحديد مبدأ الاستقراء الرياضي. newpage begin {theorem *} {The Principle of Mathematical Induction} {034881} لنفترض أن $ S_ {n} $ عبارة عن عدد طبيعي $ n $ لكل $ n = 1، 2، 3، dots $. index {induction! mathematical induction} index {mathematical induction} افترض أيضًا أن: begin {enumerate} item $ S_ {1} $ صحيح. item $ S_ {n} Rightarrow S_ {n + 1} $ لكل $ n geq 1 $. end {enumerate} فإن $ S_ {n} $ يكون صحيحًا لكل $ n geq 1 $. end {theorem * } noindent هذه واحدة من أكثر التقنيات فائدة في كل الرياضيات. يتم تطبيقه في مجموعة متنوعة من المواقف ، كما توضح الأمثلة التالية. start {example} {} {034897} أظهر أن $ 1 + 2 + dots + n = frac {1} {2} n (n + 1) $ لـ $ n geq 1 $. begin {solution} Let $ S_ {n} $ هي العبارة: $ 1 + 2 + dots + n = frac {1} {2} n (n + 1) $ مقابل $ n geq 1 دولار. نطبق الاستقراء. start {enumerate} item $ S_ {1} $ صحيح. كشف الحساب $ S_ {1} $ هو $ 1 = frac {1} {2} 1 (1 + 1) $ ، وهذا صحيح. item $ S_ {n} Rightarrow S_ {n + 1} $. textit {لنفترض} أن $ S_ {n} $ صحيح لبعض $ n geq 1 $ --- أي أن تبدأ {المعادلة *} 1+ 2 + cdots + n = frac {1} {2} n (n + 1) end {equation *} end {enumerate} يجب أن نثبت أن العبارة start {equation *} S_ {n + 1}: 1 + 2 + cdots + (n + 1 ) = frac {1} {2} (n + 1) (n + 2) end {المعادلة *} صحيحة أيضًا ، ويحق لنا استخدام $ S_ {n} $ للقيام بذلك. الآن الجانب الأيسر من $ S_ {n + 1} $ هو مجموع أول $ n + 1 $ أعداد صحيحة موجبة. ومن ثم فإن المصطلح الثاني إلى الأخير هو $ n $ ، لذا يمكننا كتابة start {align *} 1 + 2 + cdots + (n + 1) & = (1 + 2+ cdots + n) + (n +1) & = frac {1} {2} n (n + 1) + (n + 1) quad mbox {using} S_n & = frac {1} {2} (n + 1) (n + 2) end {align *} هذا يوضح أن $ S_ {n + 1} $ صحيح ولذا يكمل الاستقراء. end {solution} end {example} في التحقق من أن $ S_ {n } Rightarrow S_ {n + 1} $ ، نحن textit {لنفترض} أن $ S_ {n} $ صحيح ونستخدمه لاستنتاج أن $ S_ {n + 1} $ صحيح. يُطلق أحيانًا على افتراض أن $ S_ {n} $ صحيح textbf {induction hypothesis} index {induction hypothesis}. begin {example} {} {034928} إذا كان $ x $ هو أي رقم مثل $ x neq 1 $ ، أظهر أن $ 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ n = frac {x ^ {n + 1} -1} {x-1} $ مقابل $ n geq 1 $. start {solution} فليكن $ S_ {n} $ العبارة: $ 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ n = frac {x ^ {n + 1} -1} {x-1} $. ابدأ {enumerate} item $ S_ {1} $ صحيح. $ S_ {1} $ يقرأ $ 1 + x = frac {x ^ 2 -1} {x-1} $ ، وهذا صحيح لأن $ x ^ {2} - 1 = (x - 1) (x + 1 ) $. item $ S_ {n} Rightarrow S_ {n + 1} $. افترض حقيقة $ S_ {n} $: $ 1 + x + x ^ {2} + dots + x ^ n = frac {x ^ {n + 1} -1} {x-1} $. end {تعداد} يجب أن textit {deduce} من هذه الحقيقة $ S_ {n + 1} $: $ 1 + x + x ^ {2} + cdot + x ^ {n + 1} = frac {x ^ {n + 2} -1} {x-1} $. بدءًا من الجانب الأيسر لـ $ S_ {n + 1} $ وباستخدام فرضية الاستقراء ، نجد start {align *} 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ {n + 1} & = (1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ n) + x ^ {n + 1} & = frac {x ^ {n + 1} -1} {x-1} + x ^ {n + 1} & = frac {x ^ {n + 1} -1 + x ^ {n + 1} (x-1)} {x-1} & = frac {x ^ {n + 2 } -1} {x-1} end {align *} هذا يوضح أن $ S_ {n + 1} $ صحيح ولذا يكمل الاستقراء. end {solution} end {example} يتضمن كلا المثالين الصيغ مقابل مبلغ معين ، وغالبًا ما يكون من المناسب استخدام تدوين الجمع. على سبيل المثال ، $ sum_ {k = 1} ^ {n} (2k-1) $ يعني أنه في التعبير $ (2k - 1) $ ، يجب إعطاء $ k $ القيم $ k = 1، k = 2 ، k = 3 ، dots ، k = n $ ، ثم يتم إضافة الأرقام الناتجة $ n $. الأمر نفسه ينطبق على التعبيرات الأخرى التي تتضمن $ k $. على سبيل المثال ، begin {align *} sum_ {k = 1} ^ {n} k ^ 3 & = 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + cdots + n ^ 3 sum_ {k = 1} ^ { 5} (3k-1) & = (3 cdot 1 -1) + (3 cdot 2-1) + (3 cdot 3-1) + (3 cdot 4-1) + (3 cdot 5 - 1) end {align *} المثال التالي يتضمن هذا الترميز. begin {example} {} {034966} أظهر أن $ sum_ {k = 1} ^ {n} (3k ^ 2-k) = n ^ 2 (n + 1) $ لكل $ n geq 1 $. begin {solution} دع $ S_ {n} $ يكون العبارة: $ sum_ {k = 1} ^ {n} (3k ^ 2-k ) = n ^ 2 (n + 1) $. start {enumerate} item $ S_ {1} $ صحيح. $ S_ {1} $ يقرأ $ (3 cdot 1 ^ 2 - 1) = 1 ^ {2} (1 + 1) $ ، وهذا صحيح. item $ S_ {n} Rightarrow S_ {n + 1} $. افترض أن $ S_ {n} $ صحيح. يجب أن نثبت $ S_ {n + 1} $: start {align *} sum_ {k = 1} ^ {n + 1} (3k ^ 2-k) & = sum_ {k = 1} ^ {n } (3k ^ 2-k) + [3 (n + 1) ^ 2 - (n + 1)] & = n ^ 2 (n + 1) + (n + 1) [3 (n + 1) -1] علامة {باستخدام $ S_n $} & = (n + 1) [n ^ 2 + 3n + 2] & = (n + 1) [(n + 1) (n + 2)] & = (n + 1) ^ 2 (n + 2) end {align *} end {enumerate} هذا يثبت أن $ S_ {n + 1} $ صحيح. end {solution} end {example } noindent ننتقل الآن إلى الأمثلة التي يتم فيها استخدام الاستقراء لإثبات المقترحات التي لا تتضمن مبالغ. start {example} {} {034992} أظهر أن $ 7 ^ n + 2 $ هو مضاعف 3 $ لكل $ n geq 1 $. start {solution} begin {enumerate} item $ S_ {1} $ is true: $ 7 ^ 1 + 2 = 9 $ هو مضاعف $ 3 $. item $ S_ {n} Rightarrow S_ {n + 1} $. افترض أن $ 7 ^ n + 2 $ مضاعف 3 $ لبعض $ n geq 1 $؛ لنفترض أن $ 7 ^ n + 2 = 3m $ لبعض الأعداد الصحيحة $ m $. ثم ابدأ {المعادلة *} 7 ^ {n + 1} +2 = 7 (7 ^ n) +2 = 7 (3m-2) +2 = 21m-12 = 3 (7m-4) النهاية {المعادلة * } لذا فإن $ 7 ^ {n + 1} + 2 $ هو أيضًا من مضاعفات 3 دولارات. هذا يثبت أن $ S_ {n + 1} $ صحيح. end {enumerate} end {solution} end {example} في جميع الأمثلة السابقة ، استخدمنا مبدأ الاستقراء بدءًا من $ 1 $؛ أي أننا تحققنا من أن $ S_ {1} $ صحيح وأن $ S_ {n} Rightarrow S_ {n + 1} $ لكل $ n geq 1 $ ، ثم توصلنا إلى أن $ S_ {n } $ صحيح لكل $ n geq 1 $. لكن لا يوجد شيء مميز حول 1 دولار هنا. إذا كان $ m $ عبارة عن عدد صحيح ثابت وتحققنا من أن start {enumerate} item $ S_ {m} $ صحيح. item $ S_ {n} Rightarrow S_ {n + 1} $ لكل $ n geq m $. end {enumerate} noindent ثم يتبع ذلك أن $ S_ {n} $ صحيح لكل $ n geq m $. مبدأ الحث `` الممتد '' هذا مقبول تمامًا مثل مبدأ الحث ويمكن ، في حقيقة ، يتم إثباتها عن طريق الاستقراء. المثال التالي سوف يوضح ذلك. تذكر أنه إذا كان $ n $ عددًا صحيحًا موجبًا ، فإن الرقم $ n! $ (الذي يُقرأ `` $ n $ -factorial '') هو المنتج start {equation *} n! = n (n-1) (n-2) cdots 3 cdot 2 cdot 1 end {المعادلة *} لجميع الأرقام من $ n $ إلى $ 1 $. وهكذا 2 دولار! = 2 دولار ، 3 دولارات! = 6 $ ، وهكذا. begin {example} {} {035027} أظهر أن $ 2 ^ n <2 ^ {n} $ end {ex} begin {ex} لأي عدد صحيح $ m> 0 $، $ m! n! <(m + n)! $ end {ex} begin {ex} $ frac {1} { sqrt {1}} + frac {1} { sqrt {2}} + cdots + frac {1} { sqrt {n}} leq 2 sqrt {n} -1 $ start {sol} $ 2 sqrt {n} - 1 + frac {1} { sqrt {n + 1}} = frac {2 sqrt {n ^ 2 + n} +1} { sqrt {n + 1}} - 1 < frac {2 (n + 1)} { sqrt {n + 1}} - 1 = 2 sqrt {n + 1} -1 $ end {sol} end {ex} begin {ex} $ frac {1} { sqrt {1}} + frac {1} { sqrt {2 }} + cdots + frac {1} { sqrt {n}} geq sqrt {n} $ end {ex} begin {ex} $ n ^ {3} + (n + 1) ^ { 3} + (n + 2) ^ {3} $ مضاعف 9 $. end {ex} begin {ex} $ 5n + 3 $ مضاعف 4 $. end {ex} begin { على سبيل المثال} $ n ^ {3} - n $ مضاعف $ 3 $. start {sol} إذا $ n ^ {3} -n = 3k $ ، ثم $ (n + 1) ^ {3} - (n + 1) = 3k + 3n ^ {2} + 3n = 3 (k + n ^ {2} + n) $ end {sol} end {ex} begin {ex} $ 3 ^ {2n + 1} + 2 ^ {n + 2} $ مضاعف $ 7 $. end {ex} begin {ex} Let $ B_ {n} = 1 cdot 1! + 2 cdot 2! + 3 cdot 3! + النقاط + n cdot n $! ابحث عن صيغة لـ $ B_ {n} $ وأثبت ذلك. ابدأ {sol} $ B_ {n} = (n + 1)! - 1 $ end {sol} end {ex} begin {ex} Let نبدأ {المعادلة *} A_n = (1- frac {1} {2}) (1- frac {1} {3} ) (1- frac {1} {4}) cdots (1- frac {1} {n}) end {equation *} ابحث عن صيغة لـ $ A_n $ وأثبتها. end {ex} start {ex} لنفترض أن $ S_ {n} $ عبارة عن بيان حول $ n $ لكل $ n geq 1 $. اشرح ما يجب فعله لإثبات أن $ S_ {n} $ صحيح لكل $ n geq 1 $ إذا كان معروفًا أن: begin {enumerate} [label = { alph *.}] item $ S_ { n} Rightarrow S_ {n + 2} $ لكل $ n geq 1 $. item $ S_ {n} Rightarrow S_ {n + 8} $ لكل $ n geq 1 $. item $ S_ { n} Rightarrow S_ {n + 1} $ لكل $ n geq 10 $. item $ S_ {n} $ و $ S_ {n + 1} Rightarrow S_ {n + 2} $ لكل $ n geq 1 $. end {enumerate} begin {sol} begin {enumerate} [label = { alph *.}] setcounter {enumi} {1} item تحقق من $ S_ {1}، S_ {2}، dots، S_ {8} $. end {enumerate} end {sol} end {ex} begin {ex} If $ S_ {n} $ عبارة عن كل $ n geq 1 $ ، يجادل بأن $ S_ {n} $ صحيح لكل $ n geq 1 $ إذا كان معروفًا أن الشرطين التاليين ينطبقان: start {enumerate} item $ S_ {n} Rightarrow S_ {n-1 } $ لكل $ n geq 2 $. item $ S_ {n} $ صحيح لعدد لا نهائي من قيم $ n $. end {enumerate} end {ex} begin {ex} افترض وجود تسلسل $ a_ {1} ، a_ {2} ، dots $ من الأرقام التي ترضي: start {enumerate} item $ a_ {1} = 2 $. item $ a_ {n + 1} = 2a_ {n} $ لكل دولار n geq 1 دولار قم بصياغة نظرية تعطي $ a_ {n} $ بدلالة $ n $ ، وأثبت نتيجتك عن طريق الاستقراء. end {enumerate} end {ex} begin {ex} افترض تسلسلاً $ a_ {1}، a_ {2} ، dots $ من الأرقام يرضي: start {enumerate} item $ a_ {1} = b $. item $ a_ {n + 1} = ca_ {n} + b $ لـ $ n = 1، 2، 3، dots $. قم بصياغة نظرية تعطي $ a_ {n} $ بدلالة $ n $ ، وأثبت نتيجتك بالاستقراء. end {enumerate} end {ex} begin {ex} start {enumerate} [label = { alph *.}] item أظهر أن $ n ^ {2} leq 2 ^ {n} $ للجميع $ n geq 4 $. item أظهر ذلك $ n ^ { 3} leq 2 ^ {n} $ للجميع $ n geq 10 $. end {enumerate} end {ex} end {multicols}

البراهين الاستقرائية

يمكن أن يكون إثبات النظرية عملية شاقة. بغض النظر عن عدد المرات التي جربت فيها شيئًا ما بنفس النتيجة ، كيف يمكنك ذلك تأكيد أنها سوف دائما لها نفس النتيجة مهما كان الأمر؟

على سبيل المثال ، إذا كنت سترى شخصًا يملأ بالونًا مائيًا بماء مثلج ويمسكه خارج النافذة ، فمن المحتمل أن تتأرجح تحسباً للصراخ أدناه ، أو تراقب بفارغ الصبر ، حسب الموقف. في كلتا الحالتين ، سيستند ردك إلى حقيقة أنك ستكون كذلك تأكيد أن بالونًا مائيًا سينبثق على رأس شخص ما إذا سقط من النافذة عليه. سيعتمد يقينك على تجربتك السابقة مع بالونات الماء والأرصفة ، ومن المحتمل جدًا أن تكون على صواب ، ولكن حتى يصل البالون إلى الهدف فعليًا ، لا توجد طريقة للتأكد تمامًا من كسره.

في الرياضيات ، تحدث مثل هذه المواقف كثيرًا. بناءً على التجربة المتكررة ، يمكنك تطوير قاعدة أو اختصار لتوفير الوقت والجهد عند الحساب. ومع ذلك ، قد تشعر بالقلق حيال استخدام مثل هذه الاختصارات في اختبار مهم. بعد كل شيء ، كيف يمكنك أن تكون تأكيد أن الاختصار يعمل في كل حالة؟


هذه الدورة مخصصة للطلاب الذين يدرسون في السنة 12 في الرياضيات المتخصصة & # 8211 أو وحدة الرياضيات عالية المستوى ، الذين يرغبون في التفوق في اختبارات الرياضيات وتحسين ATAR. سوف تجد المؤسسات التعليمية والمدرسون الأفراد أيضًا هذه الدورة التدريبية أداة تعليمية وتعليمية ممتازة.

تتضمن دورة الرياضيات التخصصية للعام 12 محاضرات ودروسًا تعليمية تقدم محتوى نظريًا ومفاهيم ، بالإضافة إلى توضيح الأعمال التفصيلية التي تحتاجها لحل مجموعة متنوعة من المشكلات & # 8211 تتراوح من بسيطة مألوفة إلى معقدة غير مألوفة ، في الوحدة 3 وموضوع الوحدة 4 المناطق. حيثما كان ذلك مفيدًا أو مطلوبًا ، توضح الدورة كيفية استخدام الآلة الحاسبة الرسومية لحل المشكلات.


إثبات خطوات الاستقراء الرياضي

11x1 T10 08 الحث الرياضي 1

دليل تحريض الرياضيات المنفصل لحزمة الرياضيات للتجميع

إثبات بخطوات الاستقراء أمثلة Study Com

دليل عن طريق الاستقراء الرياضي كيفية القيام بالرياضيات

تم حلها عن طريق الاستقراء الرياضي باستخدام 4 S.

دروس الاستقراء الرياضي

الاستقراء الرياضي الخطوة 2 N N Mathematics Stack Exchange

دليل الاستقراء مثال 1 يوتيوب

5 1 التعريفي

فيديو إثبات قابلية القسمة لأمثلة الاستقراء الرياضي

مبدأ الاستقراء الرياضي 5 أمثلة مذهلة

موضوعات الاستقراء الرياضي في حساب التفاضل والتكامل

الإثبات عن طريق الاستقراء

دليل سهل على كتابة الأسئلة كيفية كتابة الاستقراء الواضح

5 1 التعريفي

عرض تقديمي عبر الإنترنت للاستقراء الرياضي

البحث عن الشفرات

حل الجزء الأول الاستقراء 10 قروش يثبت كل من التالي

إثبات الاستقراء الرياضي من خلال خطوات أمثلة الاستقراء

الاستقراء والتكرار عرض باوربوينت مجاني

نموذج من الإثبات باستخدام الحث الرياضي اللعب باللاتكس

شرائح مبدأ الاستقراء الرياضي

العوملة البسيطة في الإثبات عن طريق الاستقراء الرياضيات تبادل مكدس

تحميل الفيديو عبر الإنترنت

أمثلة الاستقراء الرياضي Pdf

الاستنتاج الرياضي

حل استخدام الحث الرياضي لإثبات ما يلي

الاستقراء الرياضي Ppt تنزيل الفيديو عبر الإنترنت

مثال على إثبات بالاستقراء الرياضي

الاستنتاج الرياضي

إثبات نظرية ذات الحدين باستخدام الاستقراء الرياضي ثلاثة

خطوة استقرائية لإثبات الهوية باستخدام التعريفي Youtube

الإثبات عن طريق المثال المضاد الاستقراء الرياضي

إثبات صيغة المتسلسلة الحسابية المحدودة بواسطة الفيديو التعريفي

ويكيبيديا الحث الرياضي

دورات Http Condor Depaul Edu Ntomuro 400 Bookslides Eppdm4 05 02 Pdf

شرح الإثبات يساعد على فهم الاستقراء القوي

دليل PDF من خلال الممارسة المهنية الحث الرياضي ل

تم حلها ، أحتاج إلى مساعدة في المشكلة ج باستخدام لغة الرياضيات

ويكيبيديا الحث الرياضي

الاستقراء الرياضي هو طريقة نموذجية للإثبات الرياضي

3 الاستقراء الرياضي Pdf تنزيل مجاني

الاستقراء الرياضي مع أنشطة ألعاب الفيديو أوراق العمل

الفرضية الاستقرائية شرائح محاضرة الرياضيات المنفصلة Docsity

الحث الرياضي مبدأ الاستقراء الرياضي

6 إثبات بواسطة الرياضيات التعريفي

أمثلة لأدلة الاستقراء الرياضي للمناقشات

عرض باوربوينت الاستقراء الرياضي مجاني

مبدأ إثبات الاستقراء الرياضي

تم حلها عن طريق الاستقراء الرياضي باستخدام 4 S.

شرائح محاضرة الرياضيات المنفصلة خاصية القسمة

11x1 T14 09 الاستقراء الرياضي 2 2010

إثبات السؤال عن طريق الاستقراء خطوة واحدة الرياضيات مكدس التبادل

Https Www Studocu Com En Us وثيقة ملاحظات محاضرة جامعة روتجرز التقديرية 24 الاستقراء الرياضي 3183802 عرض

5 خطوات ملخص نموذج الاستقراء الرياضي A المستوى H2 الرياضيات

ويكيبيديا الحث الرياضي

Csc175 الرياضيات لعلوم الكمبيوتر الأسبوع 3 الاستقرائي الاستقرائي

الحث الرياضي الحث الرياضي - هذا هو وسيلة قوية

محاضرة الرياضيات المتقطعة 5 1 الاستقراء الرياضي Studocu

إثبات من خلال مثال عامل الاستقراء غرفة الطالب

الأسبوع 29 الحث الرياضي 77 مشروع الخلايا العصبية بيرلمان أ

الرياضيات 120 ملاحظات على الاستقراء الرياضي

3 9 إثبات بالاستقراء الرياضي 1 الرياضيات 280 استراتيجيات

المحاضرة 2 الاستقراء الرياضي والتعريفات التكرارية

مثال على إثبات بالمبدأ الثاني للرياضيات

إثبات بخطوات الاستقراء أمثلة Study Com

دليل على أن كل شخص في العالم لديه نفس العمر يمكنك تحديد

القسم 3 3 الاستقراء الرياضي الحث الرياضي هو أ

حقا سنغافورة سنغافورة الرياضيات 2018

الفصل الرابع المتواليات والحث الرياضي باوربوينت

ورقة عمل الاستقراء الرياضي أوراق عمل قابلة للطباعة و

وثيقة الاستقراء الرياضي Anuj Giri Academia Edu

حاسبة الاستقراء الرياضي

يوتيوب التعريفي الرياضي

حل الأسئلة التالية الاستقراء الرياضي Q3a إعطاء الدليل

أثبت باستخدام الحث N 2 7n 12 Geq 0 حيث N Geq 3

2

متفرقات 12 إذا أب با ثم أثبت عن طريق الاستقراء أن ابن بنا

القسم 1 6 إثبات بواسطة الاستقراء الرياضي Pdf تنزيل مجاني

كيفية القيام بأدلة الاستقراء 13 خطوة بالصور WikiHow

الاستقراء الرياضي يثبت صيغة Gauss Sum Right Steemit

3 9 إثبات بالاستقراء الرياضي 1 2 الرياضيات 280 استراتيجيات

Https Nptel Ac في تخزين المحتوى 2 Nptel Data3 Html Mhrd Ict Text 111106086 Lec15 Pdf

أساتذة الرياضيات تقويم الطلاب البراهين مجمع

إثبات بواسطة الاستقراء الرياضي Pdf Google Drive

ما هو مبدأ الاستقراء الرياضي Quora

تم حلها باستخدام الاستقراء الرياضي لإثبات ذلك Forn21 1

الاستقراء والعودة PDF

الرياضيات المتقطعة وتطبيقاتها 7th Ed By Robert

9789814368940 مقتطف 002 Pdf نظرية إثبات رياضي

شاهد دليل التدريس علّموا سويًا المجتمع لأجل Shs

حل تعريف الاستقراء الرياضي أمثلة لحل المشكلات

الرياضيات جزء لكل تريليون تحميل الفيديو على الانترنت

استخدم الاستقراء الرياضي لإثبات أن مربع 1 مربع

Https Www Studocu Com En Ca Document جامعة وينيبيغ ملاحظات محاضرة الرياضيات المنفصلة ملاحظات الاستقراء الرياضي ملاحظات المحاضرة الكاملة 4055541 عرض

الحث الرياضي الرياضيات هل يمكن لأي شخص أن يشرح ذلك بلطف

إثبات بالخصم

Https Www Cs Duke Edu Courses Summer13 Compsci230 المحاضرات المقيدة L09 10 Pdf

11 4 الاستقراء الرياضي

كيفية القيام بأدلة الاستقراء 13 خطوة بالصور WikiHow

الصفحة الرئيسية أديلفي إدو سيغفريد Cs344 344l1 Pdf

الاستقراء الرياضي يستخدم البراهين فيديو الدرس

Https Nptel Ac في تخزين المحتوى 2 Nptel Data3 Html Mhrd Ict Text 111106086 Lec18 Pdf


أفضل كتب إعداد الاستقراء الرياضي: -

أولاً ، أنهي جميع المفاهيم والأمثلة والأسئلة الواردة في NCERT Maths Book. يجب أن تتعمق مع نظرية NCERT. ثم يمكنك الرجوع إلى كتاب Cengage Mathematics Algebra. تم شرح الاستقراء الرياضي جيدًا في هذا الكتاب وهناك عدد كبير من الأسئلة بمفاهيم واضحة تمامًا. يمكنك أيضًا الرجوع إلى كتاب Arihant Algebra من تأليف SK Goyal أو RD Sharma. لكن مرة أخرى ، يعتمد اختيار الكتاب المرجعي على شخص لآخر ، ابحث عن الكتاب الذي يناسبك بشكل أفضل اعتمادًا على مدى وضوحك في المفاهيم وصعوبة الأسئلة التي تطلبها.


مشاكل انقسام الحث الرياضي

لنفترض أن & # xa0 P (n) = n 3 & # xa0– 7n + 3 قابلة للقسمة على 3 ، لجميع الأعداد الطبيعية n.

الآن & # xa0 P (l): (l) 3 & # xa0– 7 (1) + 3 = -3 ، والتي تقبل القسمة على 3.

لنفترض أن P (n) صحيحة لبعض الأعداد الطبيعية n = k. & # xa0

P (k) = K 3 & # xa0– 7k + 3 يقبل القسمة على 3

الآن ، علينا إثبات أن P (k + 1) صحيح.

& # xa0 = & # xa0 3 [m + (k (k + 1) - 2)] ، وهي قابلة للقسمة على 3

وبالتالي ، فإن P (k + 1) تكون صحيحة عندما تكون P (k) صحيحة.

لذلك ، وفقًا لمبدأ الاستقراء الرياضي ، يكون P (n) صحيحًا لجميع الأعداد الطبيعية n.

استخدم الاستقراء لإثبات أن 10 n + 3 × 4 n + 2 + 5 قابلة للقسمة على 9 ، لجميع الأعداد الطبيعية n.

الفوسفور (1) 10 + 3 & # xa0 ⋅ & # xa064 + 5 = 207 = 9 & # xa0 ⋅ & # xa023

بالنسبة إلى n = k ، افترض أن P (k) صحيحة.

ثم P (k): 10 k + 3.4 k + 2 + 5 قابلة للقسمة على 9.

علينا أن نثبت أن P (k + 1) قابلة للقسمة على 9 من أجل

= & # xa0 10 (9 م - 3.4 ك + 2-5) + 3.4 ك + 2 .4+ 5 & # xa0

ومن ثم فإن مبدأ الاستقراء الرياضي P (n) صحيح لجميع n∈N.

بصرف النظر عن الأشياء المذكورة أعلاه ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


هذه الدورة مخصصة للطلاب الذين يدرسون في السنة 12 في الرياضيات المتخصصة & # 8211 أو وحدة الرياضيات عالية المستوى ، الذين يرغبون في التفوق في اختبارات الرياضيات وتحسين ATAR. سوف تجد المؤسسات التعليمية والمدرسون الأفراد أيضًا هذه الدورة التدريبية أداة تعليمية وتعليمية ممتازة.

تتضمن دورة الرياضيات التخصصية الوحدة 3 محاضرات ودروسًا تعليمية تقدم محتوى نظريًا ومفاهيم ، بالإضافة إلى توضيح الأعمال التفصيلية التي تحتاجها لحل مجموعة متنوعة من المشكلات & # 8211 تتراوح من بسيطة مألوفة إلى معقدة غير مألوفة ، في مجالات موضوع الوحدة. حيثما كان ذلك مفيدًا أو مطلوبًا ، توضح الدورة كيفية استخدام الآلة الحاسبة الرسومية لحل المشكلات.


عدم المساواة في الاستقراء الرياضي باستخدام الفروق

إثبات (n ^ 2 lt 2 ^ n ) من أجل (n ge 5 ) عن طريق الاستقراء الرياضي.

غالبًا ما يستخدم لإثبات (A> B ) بواسطة (A-B> 0 ).

الخطوة 1: أظهر أنها صحيحة لـ (n = 5 ).
LHS (= 5 ^ 2 = 25 )
RHS (= 2 ^ 5 = 32 )
LHS ( lt ) RHS
هذا صحيح بالنسبة لـ (n = 5 ).
الخطوة 2: افترض أنها صحيحة لـ (n = k ).
أي (ك ^ 2 lt 2 ^ ك ).
الخطوة 3: أظهر أنها صحيحة لـ (n = k + 1 ).
أي ((ك + 1) ^ 2 lt 2 ^. )
( يبدأ displaystyle تتطلب
نص & # 8211 text & amp = 2 ^ & # 8211 (ك + 1) ^ 2
& amp = 2 times 2 ^ k & # 8211 (ك ^ 2 + 2 ك + 1)
& amp gt 2 times k ^ 2 & # 8211 (k ^ 2 + 2k + 1) & amp color text <بالافتراض من الخطوة 2>
& amp = ك ^ 2 -2 ك -1
& amp = (ك -1) ^ 2 -2
& amp gt 0 & amp color نص ك جي 5 نص <وهكذا> (ك -1) ^ 2 ج 16
2^ & # 8211 (ك + 1) ^ 2 & أمبير gt 0
(ك + 1) ^ 2 & amp lt 2 ^ \
نهاية )
لذلك فهو صحيح بالنسبة (n = k + 1 ) بافتراض أنه صحيح لـ (n = k ).
لذلك يكون صحيحًا لـ (n = k + 1 ) صحيحًا لـ (n ge 5 ).


الفصل الخامس: أنواع العلاقات

يهتم جزء كبير من فلسفة الرياضيات بالعلاقات ، والعديد من أنواع العلاقات المختلفة لها أنواع مختلفة من الاستخدامات. غالبًا ما يحدث أن الخاصية التي تنتمي إلى جميع العلاقات مهمة فقط فيما يتعلق بالعلاقات من أنواع معينة في هذه الحالات ، لن يرى القارئ تأثير الاقتراح الذي يؤكد مثل هذه الخاصية ما لم يكن في ذهنه أنواع العلاقات التي هي من أجلها. مفيد. لأسباب تتعلق بهذا الوصف ، وكذلك من المصلحة الجوهرية للموضوع ، من الجيد أن يكون لدينا في أذهاننا قائمة تقريبية لأنواع العلاقات الأكثر قابلية للخدمة من الناحية الرياضية.

لقد تناولنا في الفصل السابق فئة بالغة الأهمية ، وهي العلاقات المتسلسلة. كل من الخصائص الثلاث التي جمعناها في تعريف المتسلسلة و mdashnamely ، وعدم التناسق ، والعبور ، والارتباط و mdash لها أهميتها الخاصة. سنبدأ بقول شيء عن كل من هؤلاء الثلاثة.

عدم التناسق ، أي خاصية عدم التوافق مع العكس ، هو سمة من سمات الاهتمام والأهمية الأكبر. من أجل تطوير وظائفها ، سننظر في أمثلة مختلفة. العلاقة بين الزوج غير متكافئة ، وكذلك العلاقة بين الزوجة ، أي إذا كان "أ" زوج "ب" ، و "ب" لا يمكن أن يكون زوج "أ" ، وبالمثل في حالة الزوجة. من ناحية أخرى ، فإن العلاقة & ldquospouse & rdquo متناظرة: إذا كان a زوجًا لـ b ، فإن b هو زوج a. افترض الآن أننا حصلنا على القرابة ، ونرغب في استنباط العلاقة الزوجية. الزوج هو نفس الزوج الذكر أو زوج الأنثى وبالتالي يمكن أن يشتق الزوج من الزوج إما عن طريق قصر المجال على الذكور أو عن طريق قصر المجال المعاكس على الإناث. نرى من هذا المثال أنه عندما يتم إعطاء علاقة متماثلة ، فمن الممكن أحيانًا ، دون مساعدة من أي علاقة أخرى ، فصلها إلى علاقتين غير متماثلتين. لكن الحالات التي يكون فيها ذلك ممكنًا نادرة واستثنائية: فهي حالات يوجد فيها فئتان متنافيتان ، على سبيل المثال & alpha و & & beta ، بحيث يكون أحد المصطلحين عضوًا في & alpha والآخر هو عضو في & beta & mdashas ، في حالة الزوج ، ينتمي مصطلح واحد من العلاقة إلى فئة الذكور وواحد إلى فئة الإناث. في مثل هذه الحالة ، ستكون العلاقة بمجالها المحصور في & alpha غير متكافئة ، وكذلك العلاقة مع المجال الخاص بها تقتصر على & beta. لكن مثل هذه الحالات ليست من النوع الذي يحدث عندما نتعامل مع سلسلة من أكثر من مصطلحين في سلسلة ، فجميع المصطلحات ، باستثناء المصطلحين الأول والأخير (إن وجدت) ، تنتمي إلى المجال والمجال المعاكس. من العلاقة المولدة ، بحيث يتم استبعاد علاقة مثل الزوج ، حيث لا يتداخل المجال والمجال المقابل.

إن السؤال عن كيفية بناء العلاقات التي لها بعض الممتلكات المفيدة عن طريق العمليات على العلاقات التي لا تحتوي إلا على أساسيات الملكية هو سؤال ذو أهمية كبيرة. يتم إنشاء العبور والارتباط بسهولة في العديد من الحالات التي لا تمتلك فيها العلاقة المعينة في الأصل: على سبيل المثال ، إذا كانت R هي أي علاقة مهما كانت ، فإن علاقة الأسلاف المشتقة من R عن طريق الاستقراء المعمم تكون انتقالية وإذا كانت R هي علاقة متعدد واحد ، سيتم ربط علاقة الأسلاف إذا اقتصرت على نسل مصطلح معين. لكن عدم التناسق هو خاصية أصعب بكثير من أجل تأمينها بالبناء. الطريقة التي اشتقنا بها الزوج من الزوج ، كما رأينا ، غير متوفرة في أهم الحالات ، مثل الأكبر ، من قبل ، على يمين ، حيث يتداخل المجال والمجال المعاكس. في كل هذه الحالات ، يمكننا بالطبع الحصول على علاقة متناظرة من خلال جمع العلاقة المعطاة وعكسها معًا ، لكن لا يمكننا التراجع عن هذه العلاقة المتماثلة إلى العلاقة الأصلية غير المتكافئة إلا بمساعدة بعض العلاقات غير المتكافئة [صفحة 44]. خذ على سبيل المثال العلاقة الأكبر: العلاقة أكبر أو أقل & mdashi. غير متكافئ و [مدشيس] متماثل ، لكن لا يوجد شيء في هذه العلاقة يوضح أنه مجموع علاقتين غير متماثلتين. خذ مثل هذه العلاقة على أنها & ldquodiffering in form. & rdquo. هذا ليس مجموع علاقة غير متكافئة وعكسها ، لأن الأشكال لا تشكل سلسلة واحدة ولكن لا يوجد ما يدل على أنها تختلف عن & ldquodiffering in size & rdquo إذا لم نكن نعرف بالفعل أن المقادير لها علاقات أكبر وأقل. يوضح هذا الطابع الأساسي لعدم التناسق كخاصية للعلاقات.

من وجهة نظر تصنيف العلاقات ، يعتبر عدم التناسق خاصية أكثر أهمية بكثير من التضمين في التنوع. تشير العلاقات غير المتكافئة إلى التنوع ، لكن العكس ليس هو الحال. & ldquoUnequal، & rdquo على سبيل المثال ، يعني التنوع ، ولكنه متماثل. بشكل عام ، قد نقول أنه إذا كنا نرغب قدر الإمكان في الاستغناء عن الافتراضات العلائقية واستبدالها مثل المسندات المنسوبة إلى الموضوعات ، فيمكننا أن ننجح في هذا طالما أننا حصرنا أنفسنا في العلاقات المتماثلة: تلك التي لا تفعل ذلك. قد يُنظر إلى التنوع ، إذا كانت متعدية ، على أنها تؤكد على مسند مشترك ، في حين يمكن اعتبار تلك التي تشير إلى التنوع على أنها تؤكد المسندات غير المتوافقة. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك علاقة التشابه بين الفئات ، والتي من خلالها حددنا الأرقام. هذه العلاقة متناظرة ومتعدية ولا تعني التنوع. سيكون من الممكن ، على الرغم من أنه أقل بساطة من الإجراء الذي اعتمدناه ، اعتبار رقم المجموعة كمسند للمجموعة: عندها سيكون هناك فئتان متماثلتان لهما نفس المسند الرقمي ، بينما سيكون هناك فئتان غير متشابهتين. اثنان لهما مسندات عددية مختلفة. مثل هذه الطريقة لاستبدال العلاقات بالمسندات ممكنة رسميًا (رغم أنها غالبًا ما تكون غير مريحة للغاية) طالما أن العلاقات المعنية متناظرة ولكنها مستحيلة رسميًا عندما تكون العلاقات غير متكافئة ، لأن كلا من التشابه والاختلاف في المسند متماثلان. يمكن أن نقول [صفحة 45] إن العلاقات غير المتكافئة هي أكثر العلاقات تميزًا ، والأكثر أهمية بالنسبة للفيلسوف الذي يرغب في دراسة الطبيعة المنطقية النهائية للعلاقات.

فئة أخرى من العلاقات الأكثر استخدامًا هي فئة علاقات واحد-أطراف ، أي العلاقات التي يمكن أن يكون لمصطلح واحد على الأكثر لمصطلح معين. هؤلاء هم الأب ، الأم ، الزوج (باستثناء التبت) ، مربع ، شرط ، وما إلى ذلك. لكن الأصل والجذر التربيعي وما إلى ذلك ليسوا واحدًا. من الممكن ، رسميًا ، استبدال جميع العلاقات بعلاقات واحد متعدد عن طريق جهاز. خذ (قل) العلاقة أقل بين الأعداد الاستقرائية. إذا أخذنا أي عدد أكبر من 1 ، فلن يكون هناك رقم واحد فقط له علاقة أقل بـ n ، ولكن يمكننا تكوين فئة كاملة من الأعداد أصغر من n. هذه فئة واحدة ، وعلاقتها بـ n لا تشترك فيها أي فئة أخرى. قد نطلق على فئة الأعداد الأقل من n أصل & ldquoproper & rdquo لـ n ، بالمعنى الذي تحدثنا فيه عن النسب والأجيال القادمة فيما يتعلق بالاستقراء الرياضي. إذن & ldquoproper ancestry & rdquo هي علاقة واحد بأطراف (واحد - كثير ستستخدم دائمًا لتضمين واحد إلى واحد) ، نظرًا لأن كل رقم يحدد فئة واحدة من الأرقام على أنها تشكل أصلها الصحيح. وبالتالي يمكن استبدال العلاقة الأقل من كونها عضوًا في سلالة مناسبة لـ. وبهذه الطريقة ، يمكن دائمًا لعلاقة واحد بأطراف حيث يكون الفرد فئة ، إلى جانب عضوية هذه الفئة ، أن تحل دائمًا بشكل رسمي محل علاقة ليست علاقة واحد متعدد. Peano ، الذي يتصور دائمًا غريزيًا لسبب ما علاقة كعدد واحد ، يتعامل بهذه الطريقة مع أولئك الذين ليسوا كذلك بشكل طبيعي. ومع ذلك ، فإن الاختزال إلى علاقات واحد بأطراف بهذه الطريقة ، على الرغم من أنه ممكن كمسألة شكل ، لا يمثل تبسيطًا تقنيًا ، وهناك كل الأسباب للاعتقاد بأنها لا تمثل تحليلًا فلسفيًا ، فقط لأنه يجب النظر إلى الطبقات كخيالات & ldquological. & rdquo وعليه سنستمر في اعتبار العلاقات واحد-أطراف كنوع خاص من العلاقات.

تشارك العلاقات من طرف واحد في جميع عبارات الشكل & ldquothe so-and-so of-so-and-so. & rdquo & ldquo ملك إنجلترا ، & rdquo [الصفحة 46] & ldquothe زوجة سقراط ، & rdquo & ldquothe والد جون ستيوارت ميل ، & rdquo وهكذا ، تصف جميعها شخصًا من خلال علاقة واحد بأطراف بمصطلح معين. لا يمكن أن يكون للإنسان أكثر من أب ، لذلك وصف والد جون ستيوارت ميل شخصًا واحدًا ، حتى لو لم نكن نعرف من. هناك الكثير مما يمكن قوله حول موضوع الأوصاف ، ولكن في الوقت الحاضر نحن مهتمون بالعلاقات ، والأوصاف ذات صلة فقط باعتبارها تمثل أمثلة على استخدامات علاقات واحد بأطراف. يجب ملاحظة أن جميع الدوال الرياضية ناتجة عن علاقات واحد بأطراف: لوغاريتم x ، وجيب تمام x ، وما إلى ذلك ، هي ، مثل والد x ، مصطلحات موصوفة عن طريق علاقة واحد بأطراف (لوغاريتم ، جيب التمام ، وما إلى ذلك) لمصطلح معين (س). لا يجب أن تقتصر فكرة الوظيفة على الأرقام ، أو على الاستخدامات التي اعتادنا عليها علماء الرياضيات ، فيمكن أن تمتد لتشمل جميع حالات العلاقات من طرف واحد ، و & ldquothe والد x & rdquo هو مجرد وظيفة شرعية لها x هي الحجة كما هي & ldquothe لوغاريتم x. & rdquo تعتبر الوظائف بهذا المعنى وظائف وصفية. As we shall see later, there are functions of a still more general and more fundamental sort, namely, propositional functions but for the present we shall confine our attention to descriptive functions, i.e. &ldquothe term having the relation R to x ,&rdquo or, for short, &ldquothe R of x ,&rdquo where R is any one-many relation.

It will be observed that if &ldquothe R of x &rdquo is to describe a definite term, x must be a term to which something has the relation R, and there must not be more than one term having the relation R to x , since &ldquothe,&rdquo correctly used, must imply uniqueness. Thus we may speak of &ldquothe father of x &rdquo if x is any human being except Adam and Eve but we cannot speak of &ldquothe father of x &rdquo if x is a table or a chair or anything else that does not have a father. We shall say that the R of x &ldquoexists&rdquo when there is just one term, and no more, having the relation R to x . Thus if R is a one-many relation, the R of x exists whenever x belongs to the converse domain of R, and not otherwise. Regarding &ldquothe R of x &rdquo as a function in the mathematical [page 47] sense, we say that x is the &ldquoargument&rdquo of the function, and if y is the term which has the relation R to x , i.e. if y is the R of x , then y is the &ldquovalue&rdquo of the function for the argument x . If R is a one-many relation, the range of possible arguments to the function is the converse domain of R, and the range of values is the domain. Thus the range of possible arguments to the function &ldquothe father of x &rdquo is all who have fathers, i.e. the converse domain of the relation father , while the range of possible values for the function is all fathers, i.e. the domain of the relation.

Many of the most important notions in the logic of relations are descriptive functions, for example: converse , domain , converse domain , field . Other examples will occur as we proceed.

Among one-many relations, one-one relations are a specially important class. We have already had occasion to speak of one-one relations in connection with the definition of number, but it is necessary to be familiar with them, and not merely to know their formal definition. Their formal definition may be derived from that of one-many relations: they may be defined as one-many relations which are also the converses of one-many relations, i.e. as relations which are both one-many and many-one. One-many relations may be defined as relations such that, if x has the relation in question to y , there is no other term x' which also has the relation to y . Or, again, they may be defined as follows: Given two terms x and x' , the terms to which x has the given relation and those to which x' has it have no member in common. Or, again, they may be defined as relations such that the relative product of one of them and its converse implies identity, where the &ldquorelative product&rdquo of two relations R and S is that relation which holds between x and z when there is an intermediate term y , such that x has the relation R to y and y has the relation S to z . Thus, for example, if R is the relation of father to son, the relative product of R and its converse will be the relation which holds between x and a man z when there is a person y , such that x is the father of y and y is the son of z . It is obvious that x and z must be [page 48] the same person. If, on the other hand, we take the relation of parent and child, which is not one-many, we can no longer argue that, if x is a parent of y and y is a child of z , x and z must be the same person, because one may be the father of y and the other the mother. This illustrates that it is characteristic of one-many relations when the relative product of a relation and its converse implies identity. In the case of one-one relations this happens, and also the relative product of the converse and the relation implies identity. Given a relation R, it is convenient, if x has the relation R to y , to think of y as being reached from x by an &ldquoR-step&rdquo or an &ldquoR-vector.&rdquo In the same case x will be reached from y by a &ldquobackward R-step.&rdquo Thus we may state the characteristic of one-many relations with which we have been dealing by saying that an R-step followed by a backward R-step must bring us back to our starting-point. With other relations, this is by no means the case for example, if R is the relation of child to parent, the relative product of R and its converse is the relation &ldquoself or brother or sister,&rdquo and if R is the relation of grandchild to grandparent, the relative product of R and its converse is &ldquoself or brother or sister or first cousin.&rdquo It will be observed that the relative product of two relations is not in general commutative, i.e. the relative product of R and S is not in general the same relation as the relative product of S and R. E.g. the relative product of parent and brother is uncle, but the relative product of brother and parent is parent.

One-one relations give a correlation of two classes, term for term, so that each term in either class has its correlate in the other. Such correlations are simplest to grasp when the two classes have no members in common, like the class of husbands and the class of wives for in that case we know at once whether a term is to be considered as one from which the correlating relation R goes, or as one ل which it goes. It is convenient to use the word referent for the term from which the relation goes, and the term relatum for the term to which it goes. Thus if x و ذ are husband and wife, then, with respect to the relation [page 49] &ldquohusband,&rdquo x is referent and y relatum, but with respect to the relation &ldquowife,&rdquo y is referent and x relatum. We say that a relation and its converse have opposite &ldquosenses&rdquo thus the &ldquosense&rdquo of a relation that goes from x to y is the opposite of that of the corresponding relation from y to x . The fact that a relation has a &ldquosense&rdquo is fundamental, and is part of the reason why order can be generated by suitable relations. It will be observed that the class of all possible referents to a given relation is its domain, and the class of all possible relata is its converse domain.

But it very often happens that the domain and converse domain of a one-one relation overlap. Take, for example, the first ten integers (excluding 0), and add 1 to each thus instead of the first ten integers we now have the integers

These are the same as those we had before, except that 1 has been cut off at the beginning and 11 has been joined on at the end. There are still ten integers: they are correlated with the previous ten by the relation of n to n +1, which is a one-one relation. Or, again, instead of adding 1 to each of our original ten integers, we could have doubled each of them, thus obtaining the integers

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.

Here we still have five of our previous set of integers, namely, 2, 4, 6, 8, 10. The correlating relation in this case is the relation of a number to its double, which is again a one-one relation. Or we might have replaced each number by its square, thus obtaining the set

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

On this occasion only three of our original set are left, namely, 1, 4, 9. Such processes of correlation may be varied endlessly.

The most interesting case of the above kind is the case where our one-one relation has a converse domain which is part, but [page 50] not the whole, of the domain. If, instead of confining the domain to the first ten integers, we had considered the whole of the inductive numbers, the above instances would have illustrated this case. We may place the numbers concerned in two rows, putting the correlate directly under the number whose correlate it is. Thus when the correlator is the relation of n to n +1, we have the two rows:

When the correlator is the relation of a number to its double, we have the two rows:


Credential Requirements

Course List
رمز Title Units
Foundation Courses
TESP 501Art of Teaching I: Foundations of Teaching 1 3
TESP 511Art of Teaching II: Pedagogy and Instructional Design 1 3
TESP 502Science of Teaching I: How Students Learn 1 3
TESP 512Science of Teaching II: Effective Assessment Strategies for All Learners 1 3
TESP 503The Soul of Teaching: Tapestry of American Education3
TESP 504Schools and Educational Systems3
Specialization Courses
TEP 531Methods of Teaching Reading and Writing (7-12)3
TEP 532Secondary Pedagogy I: Teaching in Secondary Schools (7-12)2
TEP 533The Differentiated Classroom: Maximizing Capacity of Each Learner (7-12)3
TEP 534Secondary Pedagogy II: Content-Specific Strategies, Teaching, and Assessment (7-12)2
TEP 561Clinical Practice I: Single Subject Credential2
TEP 562Clinical Practice II: Single Subject Credential2
Total Units32
1

Must be completed prior to beginning clinical practice.

The following courses meet the undergraduate General Education requirements within the Integrated Bachelor’s/Credential Program:


شاهد الفيديو: رياضيات بجروت--الاستقراء الرياضي-احمد عمري (شهر نوفمبر 2021).