مقالات

2.10: LU - الرياضيات


يتضمن تحليل عوامل المصفوفة كتابة المصفوفة المعطاة على أنها ناتج مصفوفة مثلثة سفلية تحتوي على قطري رئيسي يتكون بالكامل من واحد ، ومصفوفة مثلثة عليا (U ) في الأمر المشار إليه. هذه هي النسخة التي تمت مناقشتها هنا ولكن في بعض الأحيان يكون (L ) يحتوي على أرقام غير 1 أسفل القطر الرئيسي. لا يزال مفهومًا مفيدًا. يتطابق (L ) مع "السفلي" و (U ) مع "العلوي".

اتضح أن العديد من المصفوفات يمكن كتابتها بهذه الطريقة ، وعندما يكون ذلك ممكنًا ، يشعر الناس بالحماس بشأن طرق حل نظام المعادلات ، (AX = B ). لهذا السبب تريد دراسة عامل (LU ). يسمح لك بالعمل فقط مع المصفوفات المثلثية. اتضح أن الحصول على عامل (LU ) يستغرق حوالي نصف عدد العمليات كما هو الحال في العثور على شكل الصف المختزل.

أولاً ، تجدر الإشارة إلى أنه لا تحتوي جميع المصفوفات على عامل (LU ) ولذا سنركز على تقنيات تحقيق ذلك بدلاً من البراهين الرسمية.

مثال ( PageIndex {1} ): مصفوفة تتضمن NO (LU ) إلى عوامل

هل يمكنك كتابة ( left [ begin {array} {rr} 0 & 1 1 & 0 end {array} right] ) بالشكل (LU ) كما هو موضح للتو؟

المحلول

للقيام بذلك ، ستحتاج إلى [ left [ begin {array} {rr} 1 & 0 x & 1 end {array} right] left [ begin {array} {rr} a & b 0 & c end {array} right] = left [ begin {array} {cc} a & b xa & xb + c end {array} right] = left [ begin { مجموعة} {rr} 0 & 1 1 & 0 end {array} right]. ]

لذلك ، (b = 1 ) و (a = 0. ) أيضًا ، من الصفوف السفلية ، (xa = 1 ) التي لا يمكن أن تحدث ولديها (a = 0. ) لذلك ، أنت لا يمكن كتابة هذه المصفوفة بالصيغة (٪ LU. ) ليس بها عامل (LU ). هذا ما نعنيه أعلاه بقولنا أن الطريقة تفتقر إلى العمومية.

ومع ذلك ، فإن الطريقة غالبًا ما تكون مفيدة للغاية ، وسنصف أدناه إحدى الطرق العديدة المستخدمة لإنتاج عامل (LU ) عندما يكون ذلك ممكنًا.

إيجاد An (LU ) العوملة بالتفتيش

ما هي المصفوفات التي لها عامل (LU )؟ اتضح أن هؤلاء هم الذين يمكن تحقيقهم دون تبديل الصفوف. بمعنى آخر ، المصفوفات التي تتضمن فقط استخدام عمليات الصف من النوع 2 أو 3 للحصول على.

مثال ( PageIndex {2} ): التحليل إلى عوامل (LU )

ابحث عن تحليل (LU ) إلى (A = left [ start {array} {cccc} 1 & 2 & 0 & 2 1 & 3 & 2 & 1 2 & 3 & 4 & 0٪ نهاية {مجموعة} يمين]. )

المحلول

تتمثل إحدى طرق العثور على عامل (LU ) في البحث عنه مباشرةً. أنت بحاجة إلى [ left [ start {array} {cccc} 1 & 2 & 0 & 2 1 & 3 & 2 & 1 2 & 3 & 4 & 0٪ end {array} right] = left [ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 0 x & 1 & 0 y & z & 1٪ end {array} right] left [ begin {array} {cccc} a & d & h & j 0 & b & e & i 0 & 0 & c & f٪ end {array} right]. ] ثم بضرب هذه تحصل [ left [ begin {array} {cccc} a & d & h & j xa & xd + b & xh + e & xj + i ya & yd + zb & yh + ze + c & yj + iz + f٪ end {array} right] ] وهكذا يمكنك الآن معرفة تساوي الكميات المختلفة. من العمود الأول ، تحتاج إلى (أ = 1 ، س = 1 ، ص = 2. ) انتقل الآن إلى العمود الثاني. تحتاج (د = 2 ، س + ب = 3 ) لذلك (ب = 1 ، يارد + زب = 3 ) لذلك (ض = -1. ) من العمود الثالث ، (ح = 0 ، e = 2، c = 6. ) الآن من العمود الرابع ، (j = 2، i = -1، f = -5. ) لذلك ، فإن عامل (LU ) هو [ left [ ابدأ {array} {rrr} 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 2 & -1 & 1 end {array} right] left [ begin {array} {rrrr} 1 & 2 & 0 & 2 0 & 1 & 2 & -1 0 & 0 & 6 & -5 end {array} right]. ] يمكنك التحقق مما إذا كنت قد فهمت الأمر بشكل صحيح عن طريق ضرب هذين الاثنين.

(LU ) العوملة ، طريقة المضاعف

تذكر أنه لكي تتم كتابة المصفوفة (A ) بالصيغة (A = LU ) ، يجب أن تكون قادرًا على تصغيرها إلى صفاتها دون تبديل الصفوف. تعطي الطريقة التالية عملية لحساب (LU ) عامل هذه المصفوفة (A ).

مثال ( PageIndex {3} ): (LU ) التحليل إلى عوامل

ابحث عن عامل (LU ) لـ [ left [ start {array} {rrr} 1 & 2 & 3 2 & 3 & 1 -2 & 3 & -2 end {array} right ] ]

المحلول

اكتب المصفوفة على أنها حاصل الضرب التالي. [ left [ start {array} {rrr} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {array} right] left [ begin {array} {rrr } 1 & 2 & 3 2 & 3 & 1 -2 & 3 & -2 end {array} right] ]

في المصفوفة الموجودة على اليمين ، ابدأ بالصف الأيسر وصفر الإدخالات الموجودة أسفل الجزء العلوي باستخدام عملية الصف التي تتضمن إضافة مضاعفات صف إلى صف آخر. يمكنك القيام بذلك وتحديث المصفوفة الموجودة على اليسار أيضًا حتى لا يتغير المنتج. ها هي الخطوة الأولى. خذ (- 2 ) مرات الصف العلوي وأضف إلى الصف الثاني. ثم خذ (2 ) مرات الصف العلوي وأضف إلى الصف الثاني في المصفوفة على اليسار. [ left [ start {array} {rrr} 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {array} right] left [ begin {array} {rrr } 1 & 2 & 3 0 & -1 & -5 -2 & 3 & -2 end {array} right] ] الخطوة التالية هي أن تأخذ (2 ) مرات الصف العلوي و أضف إلى أسفل المصفوفة على اليمين. للتأكد من أن المنتج لم يتغير ، ضع (٪ -2 ) في أسفل اليسار في المصفوفة على اليسار. وبالتالي فإن الخطوة التالية تنتج [ left [ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 -2 & 0 & 1 end {array} right] left [ ابدأ {array} {rrr} 1 & 2 & 3 0 & -1 & -5 0 & 7 & 4 end {array} right] ] بعد ذلك ، خذ (7 ) ضرب الصف الأوسط في الحق وإضافة إلى الصف السفلي. تحديث المصفوفة الموجودة على اليسار بطريقة مماثلة لما تم القيام به سابقًا ، [ left [ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 -2 & -7 & 1 end {array} right] left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 3 0 & -1 & -5 0 & 0 & -31 end {array} right] ] عند هذه النقطة ، توقف. انتهيت.

الطريقة الموصوفة للتو تسمى طريقة المضاعف.

حل الأنظمة باستخدام (LU ) العوملة

أحد أسباب اهتمام الناس بعوامل (LU ) هو أنه يتيح الحل السريع لأنظمة المعادلات. هنا مثال.

مثال ( PageIndex {4} ): (LU ) التحليل إلى حل المعادلات

لنفترض أنك تريد العثور على حلول ​​[ left [ start {array} {rrrr} 1 & 2 & 3 & 2 4 & 3 & 1 & 1 1 & 2 & 3 & 0 end {array } right] left [ start {array} {c} x y z w end {array} right] = left [ begin {array} {c} 1 2 3 نهاية {مجموعة} يمين]. ]

المحلول

بالطبع إحدى الطرق هي كتابة المصفوفة المعززة والطحن بعيدًا. ومع ذلك ، فإن هذا يتضمن عمليات صف أكثر من حساب عامل (LU ) واتضح أن عامل (LU ) يمكن أن يعطي الحل بسرعة. هنا هو كيف. التالي هو تحليل للمصفوفة (LU ). [ left [ start {array} {rrrr} 1 & 2 & 3 & 2 4 & 3 & 1 & 1 1 & 2 & 3 & 0 end {array} right] = يسار [ start {array} {rrr} 1 & 0 & 0 4 & 1 & 0 1 & 0 & 1 end {array} right] left [ begin {array} {rrrr} 1 & 2 & 3 & 2 0 & -5 & -11 & -7 0 & 0 & 0 & -2 end {array} right]. ]

دعونا (UX = Y ) وفكر في (LY = B ) حيث في هذه الحالة ، (B = left [1،2،3 right] ^ {T} ). هكذا [ left [ start {array} {rrr} 1 & 0 & 0 4 & 1 & 0 1 & 0 & 1 end {array} right] left [ begin {array} {c} y_ {1} y_ {2} y_ {3} end {array} right] = left [ begin {array} {c} 1 2 3 end {array } right] ] والذي ينتج عنه بسرعة كبيرة (Y = left [ start {array} {r} 1 -2 2 end {array} right] . )

يمكنك الآن العثور على (X ) عن طريق حل (UX = Y ). وبالتالي في هذه الحالة ، [ left [ begin {array} {rrrr} 1 & 2 & 3 & 2 0 & -5 & -11 & -7 0 & 0 & 0 & -2 end { صفيف} يمين] يسار [ تبدأ {مجموعة} {c} x y z w end {array} right] = left [ start {array} {r} 1 - 2 2 end {array} right] ] والتي تنتج [X = left [ begin {array} {c} - vspace {0.05in} frac {3} {5} + vspace { 0.05in} frac {7} {5} t vspace {0.05in} frac {9} {5} - vspace {0.05in} frac {11} {5} t t - 1 end {array} right] ، enspace t in mathbb {R} text {.} ]

تبرير طريقة المضاعف

لماذا تعمل طريقة المضاعف لإيجاد عامل (LU )؟ لنفترض أن (A ) مصفوفة لها خاصية يمكن تحقيقها من أجل (A ) دون تبديل الصفوف. وبالتالي يمكن تعديل كل صف يتم استبداله باستخدام عملية السطر هذه للحصول على الصف باستخدام صف أعلى منه.

Lemma ( PageIndex {1} ): طريقة المضاعف والمصفوفات المثلثية

لنفترض أن (L ) عبارة عن مصفوفة مثلثة سفلية (علوية) (م مرات م ) تحتوي على مصفوفة أسفل القطر الرئيسي. ثم (L ^ {- 1} ) هي أيضًا مصفوفة مثلثة سفلية (علوية) تحتوي على مصفوفة أسفل القطر الرئيسي. في حالة أن (L ) من الشكل [L = left [ begin {array} {cccc} 1 & & & a_ {1} & 1 & & vdots & & ddots & a_ {n} & & & 1 end {array} right] label {4nove1h} ] حيث تكون جميع الإدخالات صفرًا باستثناء العمود الأيسر والقطر الرئيسي ، فإن الحالة أيضًا (L ^ يتم الحصول على {-1} ) من (L ) بضرب كل إدخال أسفل القطر الرئيسي في (L ) بـ (- 1 ). وينطبق الشيء نفسه إذا كان العمود الوحيد غير الصفري في موضع آخر.

دليل - إثبات

ضع في اعتبارك الإعداد المعتاد لإيجاد المعكوس ( left [ start {array} {cc} L & I end {array} right]. ) ثم تتم كل عملية صف إلى (L ) لتقليلها إلى صف ينتج عن شكل المستوى المنخفض تغيير الإدخالات الموجودة في (I ) أسفل القطر الرئيسي فقط. في الحالة الخاصة لـ (L ) الواردة في [4nove1h] أو يكون العمود الفردي غير الصفري في موضع آخر ، ينتج عن الضرب في (- 1 ) كما هو موضح في lemma بوضوح (L ^ {- 1} ).

للحصول على توضيح بسيط للمطالبة الأخيرة ، [ left [ start {array} {cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & a & 1 & 0 & 0 & 1 end {array} right] rightarrow left [ begin {array} {cccccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -a & 1٪ end {array}٪ right] ]

الآن لنكن (A ) يكون (m times n ) مصفوفة ، قل [A = left [ start {array} {cccc} a_ {11} & a_ {12} & cdots & a_ { 1n} a_ {21} & a_ {22} & cdots & a_ {2n} vdots & vdots & & vdots a_ {m1} & a_ {m2} & cdots & a_ {mn } end {array} right] ] وافترض أن (A ) يمكن اختزاله إلى شكل مثلث علوي باستخدام عملية الصف 3. وبالتالي ، على وجه الخصوص ، (a_ {11} neq 0 ). اضرب على اليسار بـ (E_ {1} = ) [ left [ begin {array} {cccc} 1 & 0 & cdots & 0 - frac {a_ {21}} {a_ {11 }} & 1 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots - frac {a_ {m1}} {a_ {11}} & 0 & cdots & 1 end {array } right] ] هذا هو نتاج المصفوفات الأولية التي تقوم بإجراء تعديلات في العمود الأول فقط. وهو يعادل أخذ (- a_ {21} / a_ {11} ) ضربًا في الصف الأول وإضافته إلى الصف الثاني. ثم أخذ (- a_ {31} / a_ {11} ) مرات الصف الأول وإضافته إلى الصف الثالث وهكذا. حواصل القسمة في العمود الأول من المصفوفة أعلاه هي المضاعفات. وبالتالي تكون النتيجة بالشكل [E_ {1} A = left [ begin {array} {cccc} a_ {11} & a_ {12} & cdots & a_ {1n} ^ { prime} 0 & a_ {22} ^ { prime} & cdots & a_ {2n} ^ { prime} vdots & vdots & & vdots 0 & a_ {m2} ^ { prime} & cdots & a_ {mn} ^ { prime}٪ end {array} right] ] بالافتراض ، (a_ {22} ^ { prime} neq 0 ) ولذا فمن الممكن استخدام هذا الإدخال لإخراج جميع الإدخالات الموجودة أسفلها في المصفوفة على اليمين بصفر عن طريق الضرب في مصفوفة من النموذج (E_ {2} = left [ begin {array} {cc} 1 & mathbf {0} mathbf {0} & E end {array} right] ) حيث (E ) عبارة عن مصفوفة ( left [m-1 right] times left [m-1 right] ) من الشكل [E = left [ begin {array} {cccc} 1 & 0 & cdots & 0 - frac {a_ {32} ^ { prime}} {a_ {22} ^ { prime }} & 1 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots - frac {a_ {m2} ^ { prime}} {a_ {22} ^ { prime}} & 0 & cdots & 1 end {array} right] ] مرة أخرى ، المدخلات في العمود الأول أسفل الرقم 1 هي المضاعفات. بالاستمرار على هذا النحو ، يؤدي التخلص من المدخلات الموجودة أسفل المدخلات القطرية ، في النهاية إلى [E_ {m-1} E_ {n-2} cdots E_ {1} A = U ] حيث (U ) هو مثلث علوي . يحتوي كل (E_ {j} ) على كل الواحدات الموجودة أسفل القطر الرئيسي والمثلث السفلي. الآن اضرب كلا الجانبين في مقلوب (E_ {j} ) بالترتيب العكسي (. ) هذا ينتج [A = E_ {1} ^ {- 1} E_ {2} ^ {- 1} cdots E_ {m-1} ^ {- 1} U ] بواسطة Lemma [lem: multipliermethodtriangularmatrices] ، هذا يعني أن حاصل ضرب هؤلاء (E_ {j} ^ {- 1} ) هو مصفوفة مثلثة سفلية بها كل منها أسفل القطر الرئيسي.

المناقشة أعلاه و lemma يعطي تبرير طريقة المضاعف. التعبيرات [ frac {-a_ {21}} {a_ {11}} ، frac {-a_ {31}} {a_ {11}} ، cdots ، frac {-a_ {m1}} {a_ {11}} ] يُشار إليها على التوالي بـ (M_ {21}، cdots، M_ {m1} ) لحفظ الرموز التي تم الحصول عليها في المبنى (E_ {1} ) هي المضاعفات. ثم وفقًا لـ lemma ، للعثور على (E_ {1} ^ {- 1} ) اكتب ببساطة [ left [ begin {array} {cccc} 1 & 0 & cdots & 0 -M_ { 21} & 1 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots -M_ {m1} & 0 & cdots & 1 end {array} right] ] تنطبق اعتبارات مماثلة على الآخر (E_ {j} ^ {- 1}. ) وبالتالي (L ) هو نتاج النموذج [ left [ begin {array} {cccc} 1 & 0 & cdots & 0 -M_ {21} & 1 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots -M_ {m1} & 0 & cdots & 1 end {array} right] cdots left [ start {array} {cccc} 1 & 0 & cdots & 0 0 & 1 & cdots & 0 vdots & 0 & ddots & vdots 0 & cdots & -M_ {m left [m-1 right]} & 1 end {array} right] ] يحتوي كل عامل على عمود واحد غير صفري على الأكثر ، يتحرك موضعه من اليسار إلى اليمين في مسح حاصل ضرب المصفوفات أعلاه من من اليسار إلى اليمين. يترتب على ما نعرفه عن تأثير الضرب على اليسار في مصفوفة أولية أن المنتج أعلاه على الشكل [ left [ begin {array} {ccccc} 1 & 0 & cdots & 0 & 0 -M_ {21} & 1 & cdots & 0 & 0 vdots & -M_ {32} & ddots & vdots & vdots -M _ { left [M-1 right] 1} & vdots & cdots & 1 & 0 -M_ {M1} & -M_ {M2} & cdots & -M_ {MM-1} & 1 end {array}٪ right] ]

في الكلمات ، بدءًا من العمود الأيسر والانتقال نحو اليمين ، يمكنك ببساطة إدراج ، في الموضع المقابل في مصفوفة الهوية ، (- 1 ) مرات المضاعف الذي تم استخدامه لإخراج أي إدخال في هذا الموضع أسفل الرئيسي قطري في (A ، ) مع الاحتفاظ بالقطر الرئيسي الذي يتكون بالكامل من الآحاد. هذا هو (L. )


2.10: LU - الرياضيات

[L ، U] = lu (A) يحلل المصفوفة الكاملة أو المتفرقة A إلى مصفوفة مثلثة عليا U ومصفوفة مثلثة منخفضة متناوبة L بحيث تكون A = L * U.

[L، U، P] = lu (A) تُرجع أيضًا مصفوفة التقليب P مثل A = P '* L * U. مع بناء الجملة هذا ، L هي وحدة مثلثية سفلية و U هي مثلث علوي.

[L، U، P] = lu (A، outputForm) تُرجع P بالشكل المحدد بواسطة outputForm. حدد شكل الإخراج كـ "متجه" لإرجاع P كموجه تبديل مثل A (P، :) = L * U.

[L ، U ، P ، Q] = lu (S) تحلل المصفوفة المتفرقة S إلى وحدة مصفوفة مثلثة سفلية L ، ومصفوفة مثلثة عليا U ، ومصفوفة تبديل الصف P ، ومصفوفة تبديل العمود Q ، مثل P * S * س = ل * يو.

[L، U، P، Q، D] = lu (S) تُرجع أيضًا مصفوفة تحجيم قطري D مثل P * (D S) * Q = L * U. عادةً ما يؤدي مقياس الصف إلى عامل أكثر تناثرًا وثباتًا.

[___] = lu (S، thresh) تحدد عتبات استراتيجية التمحور المستخدمة بواسطة lu باستخدام أي من تركيبات وسيطات الإخراج السابقة. اعتمادًا على عدد وسيطات الإخراج المحددة ، تختلف القيمة الافتراضية ومتطلبات إدخال العتبة. راجع وصف وسيطة العتبة للحصول على التفاصيل.

[___] = lu (___، outputForm) تُرجع P و Q بالشكل المحدد بواسطة outputForm. حدد شكل الإخراج كـ "متجه" لإرجاع P و Q كمتجهات التقليب. يمكنك استخدام أي من تركيبات وسيطات الإدخال في الصيغ السابقة.


دروس علوم بيانات التوصيل والتشغيل

الجزء أ: الخميس ، 1 أغسطس ، 9:00 صباحًا - 10:40 صباحًا ، مركز مؤتمرات Duke Energy ، القاعة 233
الجزء ب: الخميس 1 أغسطس ، 1:30 مساءً - 4:10 مساءً ، مركز مؤتمرات Duke Energy ، القاعة 233

وصف

في هذه الجلسة ، تتضمن الأوراق دروسًا في علوم البيانات يمكن للحاضرين دمجها بسلاسة في دورات مثل الرياضيات المحدودة وحساب التفاضل والتكامل والجبر الخطي والرياضيات المنفصلة والنمذجة الرياضية وغيرها. تتضمن العروض التقديمية عناصر مثل نظرة عامة على الدرس وأهداف تعلم الطلاب والتقييمات وملخص لفعالية الدرس إذا كان متاحًا.

المنظمون:
مايكل بوردمان, جامعة المحيط الهادئ
تيموثي شارتييه, كلية ديفيدسون
جايسون دوما, جامعة سيوكس فولز

كفيل:
لجنة برنامج البكالوريوس في الرياضيات (CUPM)

جدول

الجزء أ

الخميس ، 1 أغسطس ، 9:00 صباحًا - 10:40 صباحًا ، مركز مؤتمرات ديوك إنيرجي ، غرفة 233

تدريس عناصر التعلم الآلي في دورة التفكير الكمي

9:00 صباحًا - 9:15 صباحًا
موتيارا سوندجاجا, جامعة نيويورك

مجموعة بيانات المناخ في حساب التفاضل والتكامل التطبيقي

9:20 صباحًا - 9:35 صباحًا
أندرو س. ليهي, كلية نوكس

نمذجة بيانات عدد الطيور الإقليمية في حساب التفاضل والتكامل 1 والمعادلات التفاضلية

9:40 صباحًا - 9:55 صباحًا
كريستوفر براون, جامعة كاليفورنيا اللوثرية

تدريس مبالغ ريمان والتكامل المتعدد مع البيانات الفوضوية

10:00 صباحًا - 10:15 صباحًا
درو سي يونغرين, جامعة كولومبيا

الاستعلام عن قاعدة بيانات رياضية مفتوحة للبحث والتعليم

10:20 صباحًا - 10:35 صباحًا
ميغان أوليفيا باول, جامعة نورث كارولينا أشفيل

الجزء ب

الخميس 1 أغسطس ، 1:30 مساءً - 4:10 مساءً ، مركز مؤتمرات Duke Energy ، القاعة 233

البيانات في ديزني: استخدام المجموعات لزيادة مبيعات ميكي بار

1:30 م. - 1:45 مساءً
ليز بوزارث, جامعة فورمان
كيفن هوتسون, جامعة فورمان

مشروع علوم البيانات الجغرافية المكانية في فئته. مستوحى من الممثل الكوميدي

1:50 مساءً - 2:05 مساءً
راسل جودمان, الكلية المركزية

توصية الفيلم كمقدمة لمبادئ التعلم الآلي

2:10 مساءً - 2:25 مساءً
جاكوب برايس, جامعة بوجيه ساوند
جيريمي أوبسال, جامعة واشنطن

يكفي الجبر الخطي لتعلم الآلة

2:30 مساءً - 2:45 مساءً
دانيال تي كابلان, كلية ماكاليستر

درس في علم البيانات والتفكير الحسابي باستخدام البيانات الحقيقية

2:50 مساءً - 3:05 مساءً
بويان كوستدينوف, مدينة التكنولوجيا ، مدينة نيويورك

التحليل التمييزي واتصالات الانحدار اللوجستي

3:10 مساءً - 3:25 مساءً
جاكلين ر. هيرمان, جامعة شمال كنتاكي

مشروعان لعلوم البيانات في فئة الرياضيات PIC

3:30 مساءا. - 3:45 مساءً.
هايان سو, جامعة ولاية مونتكلير

يمكن لمشاريع R أن تكمل الفصل الدراسي المقلوب

3:50 مساءً - 4:05 مساءً
جون تي سيبين, جامعة تكساس اللوثرية
رضا عمر عباسي, جامعة تكساس اللوثرية


2.10: LU - الرياضيات

افترض أن قطيعًا مكونًا من 20 حمامًا يطير في مجموعة من 19 حمامًا ليقيم. نظرًا لوجود 20 حمامًا ولكن فقط 19 حمامًا ، يجب أن يحتوي واحد على الأقل من هذه الحفرة التسعة عشر على حمامين على الأقل. لمعرفة سبب صحة ذلك ، لاحظ أنه إذا كان كل حمام يحتوي على حمامة واحدة على الأكثر ، فيمكن استيعاب 19 حمامًا على الأكثر ، واحد لكل حفرة. يوضح هذا مبدأ عام يسمى مبدأ الحمام ، والذي ينص على أنه إذا كان هناك عدد أكبر من الحمام ، فيجب أن يكون هناك حمام واحد على الأقل به حمامان على الأقل.

  • يحتوي على حفرة حمام واحدة على الأقل سقف [A] (أصغر عدد صحيح أكبر من أو يساوي أ) الحمام
  • تحتوي ثقوب الحمام المتبقية على الأكثر الطابق [أ] (أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي أ) الحمام
  • إذا كان X يحتوي على عناصر أكثر من Y ، فإن f ليست عنصرًا واحدًا.
  • إذا كان X و Y لهما نفس عدد العناصر و f على نفس العدد ، فإن f تساوي واحد لواحد.
  • إذا كان X و Y لهما نفس عدد العناصر وكانت f واحد لواحد ، فإن f على نفس العدد.

    المثال & # 8211 1: إذا تم وضع (Kn + 1) الحمام في حفر n pigeon حيث K هو عدد صحيح موجب ، فما هو متوسط ​​no. عدد الحمام لكل حفرة حمامة؟

الشكل القوي لمبدأ بيجون هول & # 8211

النظرية: دع ف1، ف2و. . . ، فن تكون أعداد صحيحة موجبة.
إذا كان q1+ ف2+. . . + فن & # 8211 n + 1 يتم وضع كائنات في n مربعات ، ثم إما المربع الأول يحتوي على q على الأقل1 كائنات ، أو المربع الثاني يحتوي على الأقل q2 شاء، . . . ، يحتوي المربع n على الأقل qن شاء.

    المثال & # 8211 1: في قسم علوم الكمبيوتر ، يمكن تشكيل نادي طلابي إما من 10 أعضاء من السنة الأولى أو 8 أعضاء من السنة الثانية أو 6 من السنة الثالثة أو 4 من السنة النهائية. ما هو الحد الأدنى لا. من الطلاب علينا اختيارهم عشوائياً من القسم لضمان تشكيل نادي طلابي؟

هذه المقالة ساهمت بها سايكيران جود بورا. يرجى كتابة التعليقات إذا وجدت أي شيء غير صحيح ، أو إذا كنت ترغب في مشاركة المزيد من المعلومات حول الموضوع الذي تمت مناقشته أعلاه.

القارئ الانتباه! لا تتوقف عن التعلم الآن. تدرب على امتحان GATE قبل الامتحان الفعلي بفترة طويلة من خلال اختبارات الموضوع والاختبارات الشاملة المتاحة في دورة سلسلة اختبارات بوابة.


كلية تايكيسون والاستشارات المهنية هي الإرشاد الأكاديمي والمهني وجهة لجميع الطلاب الذين:

  • لم تعلن بعد عن تخصص ، يشار إليه باسم استكشاف الطلاب
  • تعلن تخصصات وقصر في كلية الآداب والعلوم
  • تفكر في تخصص آخر أو تستكشف تخصصات أخرى
  • تريد استكشاف الخيارات والفرص الوظيفية.

يجب على الطلاب الحاصلين على تخصصات وقصر معلنة في كلية الآداب والعلوم أن يستمروا أيضًا في طلب المشورة من أعضاء هيئة التدريس عندما يبحثون عن معلومات محددة حول تخصصهم المختار أو معلومات مفصلة حول قسمهم الرئيسي وعروضه الدراسية والمناهج المشتركة.

قسم الرياضيات
فنتون هول
جامعة أوريغون
يوجين ، أو 97403-1222 الولايات المتحدة الأمريكية
هاتف: 1-541-346-4705
فاكس 1-541-346-0987


ال نيتم تعريف الرقم الكتالوني على أنه

معامل ذات الحدين ، ، تنطق ك ن اختر ص ، يمثل عدد التوليفات الممكنة من كائنات من مجموعة من شاء:

.

مثال:


يرى دليل - إثبات في القسم التالي لمعرفة المزيد عن برهانها. لاحظ أن و . وبالتالي، هو الفرق بين عددين موجبين وطبيعيين ، والذي يمكن أن يمتد إلى مثلث باسكال.


يشير الجدول التالي إلى قيمة الإرجاع عند تحديد قيم مختلفة أو نطاقات من القيم لمعلمات x و y. لمزيد من المعلومات ، راجع Double.PositiveInfinity و Double.NegativeInfinity و Double.NaN.

حدود قيمة الإرجاع
س أو ص = NaN. ن
x = أي قيمة باستثناء NaN y = 0. 1
x = NegativeInfinity y & lt 0. 0
x = NegativeInfinity y عدد صحيح فردي موجب. اللانهاية السلبية
x = NegativeInfinity y موجب لكن ليس عددًا صحيحًا فرديًا. اللانهاية الإيجابية
& lt 0 ولكن ليس NegativeInfinity y ليس عددًا صحيحًا أو NegativeInfinity أو PositiveInfinity. ن
س = -1 ص = اللانهاية السالبة أو اللانهاية الموجبة. ن
-1 & lt x & lt 1 y = NegativeInfinity. اللانهاية الإيجابية
-1 & lt x & lt 1 y = PositiveInfinity. 0
x & lt -1 أو x & gt 1 y = NegativeInfinity. 0
x & lt -1 أو x & gt 1 y = PositiveInfinity. اللانهاية الإيجابية
س = 0 ص & لتر 0. اللانهاية الإيجابية
x = 0 y & gt 0. 0
x = 1 y أي قيمة باستثناء NaN. 1
س = اللانهاية الإيجابية y & lt 0. 0
س = اللانهاية الإيجابية y & gt 0. اللانهاية الإيجابية

تستدعي هذه الطريقة وقت تشغيل C الأساسي ، وقد تختلف النتيجة الدقيقة أو نطاق الإدخال الصالح بين أنظمة التشغيل أو البنى التحتية المختلفة.


2.10: LU - الرياضيات

في القسم السابق اعتبرنا معادلة الحرارة ابدأ u_t = ku_ ضع الكلمة المناسبة نهاية مع $ x in mathbb$ و $ t & gt0 $ والصيغة المشتقة start u (x، t) = int _ <- infty> ^ infty G (x، y، t) g (y) ، dy. ضع الكلمة المناسبة نهاية بـ ابدأ G (x، y، t) = G_0 (x-y، t): = frac <1> <2 sqrt> e ^ <- frac <(x-y) ^ 2> <4kt>> label نهاية لحل IVP $ u | _= g (x) $.

تذكر أن $ G (x، y، t) $ يتحلل سريعًا مثل $ | xy | to infty $ ويميل إلى $ مثل $ t إلى 0 ^ + $ لـ $ x ne y $ ، ولكن $ int_ <- infty> ^ infty G (x، y، t) ، dy = 1 $.

ضع في اعتبارك نفس المعادلة ( ref) في نصف خط مع شرط حد Dirichlet أو Neumann المتجانس عند $ x = 0 $: طريقة الاستمرارية start & ampu_D | _= 0 ، علامةضع الكلمة المناسبة [3pt] & ampu_|_= 0 علامة.ضع الكلمة المناسبة نهاية طريقة الاستمرار (انظر القسم الفرعي 2.6.3 يعمل.

في الواقع ، لا تعتمد المعاملات على $ x $ وتحتوي المعادلة على مشتقات ترتيب زوجية فقط فيما يتعلق بـ $ x $. تذكر أن الاستمرارية حتى في ظل حالة نيومان وغريبة في حالة ديريتشليت.

ثم نصل إلى الحلول بشكل مشابه لـ ( ref) يبدأ u (x، t) = int_ <0> ^ infty G (x، y، t) g (y) ، dy tag <2> end ولكن بوظيفة مختلفة $ G (x، y) $ ومجال التكامل $ [0، infty) $: begin & ampG = G_D (x، y، t) = G_0 (x-y، t) -G_0 (x + y، t)، label [3pt] & ampG = G_N (x، y، t) = G_0 (x-y، t) + G_0 (x + y، t) label نهاية لـ ( ref) و ( ref) على التوالى.

كلتا هاتين الدالتين تفي بالمعادلة ( ref) بالنسبة إلى $ (x، t) $ وشرط الحد المقابل start & ampG_D | _= 0 ، التسمية [3pt] & ampG_|_= 0. التسمية نهاية تميل كل من $ G_D (x، y، t) $ و $ G_N (x، y، t) $ إلى $ t to 0 ^ + $، $ x ne y $ begin & amp int_0 ^ infty G_D (x، y، t) ، dy to 1 qquad textt to 0 ^ +، label [3pt] & amp int_0 ^ infty G_N (x، y، t) ، dx = 1. label نهاية علاوة على ذلك ، ابدأ G (x ، y ، t) = G (y ، x ، t) التسمية نهاية

شروط الحدود غير المتجانسة

ضع في اعتبارك الآن شروط حدية غير متجانسة (أحدها) ابدأ & ampu_D | _= p (t) ، التسمية [3pt] & ampu_|_= q (t). التسمية نهاية ضع في اعتبارك ابدأ 0 = iint_ Pi G (x، y، t- tau) bigl (-u _ < tau> (y، tau) + ku_(y، tau) bigr) ، d tau dy end مع $ Pi: = Pi_ epsilon = $. التكامل حسب الأجزاء بالنسبة إلى $ tau $ في الفصل الدراسي الأول ومرتين بالنسبة إلى $ y $ في الفصل الثاني نحصل عليه نبدأ 0 = & amp iint_ Pi Bigl (-G_t (x، y، t- tau) + k G_(x، y، t- tau) Bigr) u (y، tau) ، d tau dy - & amp int_0 ^ infty G (x، y، epsilon) u (y، t- epsilon) ، dy + int _0 ^ infty G (x، y، t) u (y، 0) ، dy + & amp k int_0 ^ bigl (-G (x، y، t- tau) u_y (y، tau) + G_y (x، y، t- tau) u (y، tau) bigr) _ ، د تاو. نهاية لاحظ أنه بما أن $ G (x، y، t) $ يرضي ( ref) ليس فقط فيما يتعلق بـ $ (x، t) $ ولكن أيضًا فيما يتعلق بـ $ (y، t) $ أيضًا بسبب التناظر ( ref) ، السطر الأول هو $.

في السطر الثاني ، يميل المصطلح الأول إلى $ -u (x، t) $ مثل $ epsilon إلى 0 ^ + $ بسبب خصائص $ G (x، y، t) $. في الواقع ، يتجه $ G (x، y، tau) $ في كل مكان ولكن بالنسبة لـ $ x = y $ إلى $ مثل $ tau إلى 0 ^ + $ وكامله من $ إلى $ infty $ يميل إلى $ 1.

لذلك نبدأ u (x، t) = int_0 ^ infty G (x، y، t) underbrace_ <= g (y)> ، dy + k int_0 ^ Bigl [-G (x، y، t- tau) u_y (y، tau) + G_y (x، y، t- tau) u (y، tau) Bigr] _ ، د تاو. qquad التسمية نهاية السطر الأول في r.h.e. يعطينا حل IBVP بشرط حد $. دعونا ننظر في السطر الثاني.

في حالة حالة حدود Dirichlet $ G (x، y، t) = 0 $ مثل $ y = 0 $ وبالتالي نصل هنا نبدأ ك int_0 ^ G_y (x، 0، t- tau) underbrace_ <= p ( tau)> ، d tau. نهاية في حالة حالة حد نيومان $ G_y (x، y، t) = 0 $ مثل $ y = 0 $ وبالتالي نصل هنا نبدأ -ك int_0 ^ G (x، 0، t- tau) underbrace_ <= q ( tau)> ، د تاو. نهاية إذن ( ref) يصبح start u_D (x، t) = int_0 ^ infty G_D (x، y، t) g (y) ، dy + k int_0 ^ ز_(x، 0، t- tau) p ( tau) ، d tau qquad label نهاية و تبدأ u_N (x، t) = int_0 ^ infty G_N (x، y، t) g (y) ، dy- k int_0 ^ ز_(x، 0، t- tau) q ( tau) ، d tau. qquad label نهاية

قطع من $ G_(x، y، t) $ و $ G_(x، y، t) $ كـ $ y = 0 $ (لبعض قيم $ t $)

  1. إذا أخذنا في الاعتبار أن نصف السطر $ (- infty، 0) $ بدلاً من $ (0، infty) $ ، فستظهر نفس المصطلحات على الطرف الأيمن ($ x = 0 $) وإن كان ذلك مع الإشارة المعاكسة.
  2. إذا أخذنا في الاعتبار الفاصل الزمني المحدود $ (a، b) $ فسيكون هناك مساهمات من كلا الطرفين.
  3. إذا أخذنا في الاعتبار حالة حدود Robin $ (u_x- alpha u) | _= q (t) $ ثم الصيغة ( ref) ولكن $ G $ يجب أن يلبي نفس شرط Robin ولا يمكننا إنشاء $ G $ بطريقة الاستمرارية.
  4. يوضح هذا الدليل (الذي يعمل أيضًا مع مشكلة كوشي) أن الصيغ المتكاملة تعطينا الحل الفريد الذي يرضي الشرط ابدأ | u (x، t) | le C_ epsilon e ^ < epsilon | x | ^ 2> qquad forall t & gt0، x، forall epsilon & gt0 end بشرط أن $ g (x) $ يفي بنفس الشرط. هذا افتراض أضعف بكثير من $ max | u | & lt infty $.

تعبير اليد اليمنى غير المتجانس

ضع في اعتبارك المعادلة start u_t- كو_= و (س ، ر). ضع الكلمة المناسبة نهاية إما بمبدأ Duhamel المطبق على المشكلة ( ref) - ( ref) أو بطريقة الاستمرارية المطبقة على 3.1.20 وصلنا إلى

نظرية 1. حل ( ref) ، ( ref) مع شرط Dirichlet المتجانس أو حد نيومان عند $ x = 0 $ يتم الحصول عليه من خلال begin u (x، t) = int_0 ^ t int_0 ^ infty G (x، y، t- tau) f (y، tau) ، dyd tau + int _0 ^ infty G (x، y ، ر) ز (ص) ، دى التسمية نهاية مع $ G (x، y، t) $ معطى بواسطة ( ref) أو ( ref) في المقابل.

ملاحظة 2. يمكن أيضًا دمج شروط الحدود غير المتجانسة كما في ( ref).

معادلة حرارية متعددة الأبعاد

لتبرير مطالبتنا نلاحظ ذلك

  1. يرضي $ G_n $ معادلة الحرارة ذات الأبعاد $ n $. حقًا ، ضع في اعتبارك f.e. $ G_2 $: start G_ <2 ، t> (x، yx & # 39، y & # 39t) = & amp G_ <1 ، t> (x، x & # 39، t) G_1 (y، y & # 39، t) + G_1 (x ، x & # 39، t) G_ <1.t> (y، y & # 39، t) = & amp kG_ <1 ، xx> (x، x & # 39، t) G_1 (y، y & # 39، t) + kG_1 (x، x & # 39، t) G_ <1 ، yy> (y، y & # 39، t) = & ampk Delta bigl (G_ <1 ، t> (x، x & # 39، t) G_1 (y، y & # 39، t) bigr) = k Delta G_2 (x، yx & # 39، y & # 39t). نهاية
  2. $ G_n ( mathbf، mathbf& # 39t) يتحلل $ بسرعة كـ $ | mathbf- mathbf& # 39 | to infty $ ويميل إلى $ مثل $ t إلى 0 ^ + $ لـ $ mathbf ne mathbf& # 39 $ ، لكن
  3. $ iint G ( mathbf، mathbf& # 39، t) ، dy to 1 $ كـ $ t إلى 0 ^ + $.
  4. $ G ( mathbf، mathbf& # 39، t) = G ( mathbf& # 39 ، mathbf، ر) $.
  5. $ G ( mathbf، mathbf& # 39، t) $ لديه تناظر دوراني (كروي) مع مركز عند $ mathbf& # 39 $. لا عجب: لقد درسنا معادلة الحرارة في الوسط الخواص.

الخصائص [2] - [4] re بسبب الخصائص المماثلة لـ $ G_1 $ وتنطوي على تمثيل متكامل ( ref) (أو متغير الأبعاد $ n $).

على غرار Theorem 3.1.5 وبعدها ، لدينا الآن:

نظرية 2. دع $ u $ يرضي ( ref) في المجال $ Omega subset mathbb_t مرات mathbb^ n _ < boldsymbol> $ مع $ f in C ^ infty ( Omega) $. ثم $ u in C ^ infty ( Omega) $.

تعمل هذه الحيلة & quotproduct & # 39 & # 39 معادلة الحرارة أو معادلة شرودنجر لأن كلاهما معادلات (وليست أنظمة) $ u_t = Lu $ مع $ L $ والتي لا تحتوي على تمايز بمقدار $ t $.

حتى الآن لم نناقش تفرد الحل. في الواقع ، كما تمت صياغته ، الحل ليس فريدًا. ولكن لا داعي للقلق: & quot؛ حلول & quot؛ غير منتظمة في اللانهاية بحيث لا تمتلك & quot؛ إحساس جسدي & quot. نناقشها لاحقًا.

IVP في اتجاه الوقت السلبي غير مناسب. في الواقع ، إذا كان $ f in C ^ infty $ يتبع من Theorem 2 أن الحل لا يمكن أن يوجد لـ $ t in (- epsilon، 0] $ ما لم يكن $ g in C ^ infty $ (وهو ضروري فقط ، ولكن ليس كافيا).

المبدأ الأقصى

ضع في اعتبارك معادلة الحرارة في المجال $ Omega $ كما هو موضح أدناه

نظرية 3. (المبدأ الأقصى). دع $ u $ يفي بمعادلة الحرارة في $ Omega $. ثم ابدأ max _ Omega u = max _ Gamma u. ضع الكلمة المناسبة نهاية

تقريبا دليل صحيح. دع ( ref) كن مخطيء. ثم $ max _ Omega u & gt max _ Gamma u $ وهناك نقطة $ P = ( bar،شريط) in Omega setminus Gamma $ s.t. وصل $ u $ إلى الحد الأقصى عند $ P $. بدون أي خسارة في العمومية ، يمكننا أن نفترض أن $ P $ ينتمي إلى الغطاء العلوي $ Omega $. ثم ابدأ u_t (P) ge 0. ضع الكلمة المناسبة نهاية في الواقع ، $ u ( bar،شريط) ge u ( bar، t) $ لكل $ t: bar& gtt & gt bar- epsilon $ ثم $ bigl (u ( bar،شريط) -u ( بار، t) bigr) / ( bar-t) ge 0 $ و as $ t nearrow bar$) نحصل على ( ref).

يبدأ ش(P) le 0. التسمية نهاية في الواقع ، $ u (x، bar) يصل $ إلى الحد الأقصى $ x = bar$. هذه المتباينة مجتمعة مع ( ref) تقريبيا يتعارض مع المعادلة الحرارية $ u_t = ku_$ (& quotalmost & quot لأنه قد يكون هناك مساواة).

الدليل الصحيح. لاحظ أولاً أن الحجج المذكورة أعلاه تثبت ( ref) إذا كان $ u $ يرضي عدم المساواة $ u_t-ku_ & lt0 $ لأنه سيكون هناك تناقض.

لاحظ أيضًا أن $ v = u- varepsilon t $ يرضي $ v_t-kv_ 0 دولار وبالتالي ابدأ max _ Omega (u- varepsilon t) = max _ Gamma (u- varepsilon t). نهاية أخذ حد $ varepsilon إلى 0 ^ + $ نحصل عليه ( ref).

  1. بالتأكيد ، نفس الدليل يعمل مع معادلة الحرارة متعددة الأبعاد.
  2. في الواقع ، هناك ملف مبدأ أقصى صارم. يسمى، إما في $ Omega setminus Gamma $ $ u $ أقل تمامًا من $ max _ Gamma u $ أو $ u = const $. الدليل أكثر تعقيدًا بعض الشيء.

النتيجة الطبيعية 4 (الحد الأدنى من المبدأ) يبدأ min _ Omega u = min _ Gamma u. ضع الكلمة المناسبة نهاية حقًا ، $ -u $ يفي أيضًا بمعادلة الحرارة.


اراتا

فيما يلي الأخطاء غير المصححة التي وجدتها أثناء المرور بـ 18.06SC. لا أذكر أخطاء عابرة ، مثل رقم مكتوب على السبورة والذي يتم إصلاحه قريبًا (غالبًا بعد الإشارة إليه من قبل طالب كان في الفصل في ذلك الوقت).

تلاوة "نظرة عامة على الأفكار الرئيسية"

بعد المحاضرة الأولى ستأتي إلى قسم "نظرة عامة على الأفكار الرئيسية". المحاضرة (المشتقة من بداية الموضوع 18.085) تتناسب جيدًا في هذه المرحلة من الدورة ، لكن التلاوة (فيديو حل المشكلات) لا تناسبها. If you wish to do the recitation anyway, you might wish to review the textbook reading for lecture L08, particularly section 3.4 "The Complete Solution to Ax = b " (or section 5.3 in Differential Equations and Linear Algebra ). Since there is no problem set at this segment, you might just save the recitation until you get to L08.

Problem 3.2

In the answer for problem 3.2, the first mention of "cR2" has the wrong subscript it should instead be cR3 .

Lecture 6 summary

In the "Nullspace of A" section, where it says "A(x1+x2) = Ax1 + x2 = 0+0", there is an A missing it should say "A(x1+x2) = Ax1 + Ax2 = 0+0".

Problem 7.1

In the answer for problem 7.1, there are two sign errors: the final step of row-reduction should give 23 /4 in row 1, column 3, and so the corresponding special solution in the answer to part c) should have - 23 /4 in its first component.

Recitation 12

The third part of recitation 12 asks for the "trace" of a matrix. This term is not mentioned in the lecture, but is in the reading using the recommended textbook Introduction to Linear Algebra (Strang, 2009).

If you are instead using Differential Equations and Linear Algebra (Strang, 2014) you'll find that the index entres for "trace" are wrong. See my index errata, or just read the discussion of determinants at the end of section 6.1 (pages 331, 332).

Matrix Names

A non-specific name for a matrix

A T the transposition (or "transpose") of A

L lower triangular matrix

S symmetric matrix
  second-order difference matrix

U upper triangular matrix

Index for Differential Equations and Linear Algebra

The index in the book Differential Equations and Linear Algebra is riddled with errors. (It seems they indexed a draft version and in the final, all the page numbers changed, in a fairly monotinic but non-linear manner.) See index errata for a few corrections.

I decided to re-index the whole book in parts, as part of my exam review and test prep process. Here then is a partial index

Sections indexed so far: 4.1-4.4

back substitution 249 block multiplication 227 coefficiant matrix 199 column picture 198, 204, 206 column vectors, combination 198, 201 complete solution 203, 205 dependent vectors 205 determinant 228 2x2 case 1/(ad-bc) 228 and invertibility 232 as product of pivots 232 difference matrix 240, 246 dot product (of vectors) 201 of perpendicular vectors 201 eigenvalue of symmetric matrix 239 eigenvector of symmetric matrix 239 elimination 210, 215-218 see also Gauss-Jordan elimination as product of D -1 , E, and P 232 as proof of invertibility 233 back-substitution 213, 214 complete solution 211 infinitely many solutions 211 no solution 211 pivots on diagonal 213 row exchange 212 singular system 211 upper triangular result 213 elimination matrix 221, 222 factorisation as A=LU 249 as A=SQ 244 forward substitution 204, 249 Gauss-Jordan elimination 230-232, 236 and U L -1 232 of triangular matrix 233 Hadamard matrix 243 identity matrix 201 independent vectors 205 inverse matrix 220, 221, 228 by Gauss-Jordan elimination 230-232 existence 228 number of operations n 3 232 of 2x2 matrix 228 of diagonal matrix 229 of elimination matrix 229 of product (AB) -1 = A -1 B -1 229, 230 of a sparse matrix 232 of square matrix 230 transpose of 238 uniqueness 228 invertible matrix 204, 205, 228 and Av=0 228 and determinant 228 and uniqueness of Av=b 228 vs singular 232 LAPACK 242 least squares solution 239 linear combination of columns 199 linear combination of vectors 200, 201 magic squares 209 matrix associative property for addition A+(B+C)=(A+B)+C 220 circulant 205 commutative property for addition A+B=B+A 220 distributive property for scalar multiplcation c(A+B)=cA+cB 220 invertible 204 lower triangular 204 multiplication see matrix multiplication powers of 221, 225, 226 singular 202, 205 matrix multiplication Amxn بnxp 219, 223, 224, 249 AB != BA 219, 220 1. as mxp dot products (aggregate of row-column products) 222, 226 2. as p matrix-vector products 219, 222, 226 3. as m vector-matrix products 222, 226 4. as 1 matrix-sum of n column-row products 222, 226 associative property (AB)C=A(BC)=ABC 220 blocks see block multiplication by identity matrix 219, 221 by inverse of a matrix 220 distributive property A(B+C)=AB+AC 220 distributive property (A+B)C=AC+BC 220 number of operations mxnxp or n 3 223, 227 matrix-vector multiplication 199, 202, 207, 208 as dot products of rows 202 as a combination of columns 202 multiplier (of a row) 210 null solution 203, 205, 211 orthogonal matrix 238, 242, 247 columns of 238 (left) inverse of see orthogonal matrix, transpose of product of 244 symmetric 244 transpose of 242, 243 and unit vectors 238 orthonormal see orthogonal particular solution 203, 205, 211 permutation matrix 241, 246 to select largest pivots 242 perpendicular vectors 201 see also orthogonal pivots 210, 211 and invertibility 233 rotation matrix 238 row picture 197, 204, 206 scalar multiplication 198 second difference matrix 240, 246 compared to L=AA T 241 singular matrix 202, 205 no solution or infinity of solutions 203 sudoku 209 sum matrix 249 symmetric matrix 238, 245 A T A 239 eigenvalue of 239 eigenvectors of 239 and least squares solution 239 orthogonal 244 transpose (of a matrix) 238, 245 inverse of 238 products of 238 tridiagonal matrix 232, 246 triangular matrix invertibility 233 unit vector 238 see also orthonormal upper triangular 210 vector addition 199, 200

Strang, Gilbert. 18.06SC Linear Algebra, Fall 2011 . (MIT OpenCourseWare: Massachusetts Institute of Technology), http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06sc-linear-algebra-fall-2011 (Accessed 17 Dec, 2014). License: Creative Commons BY-NC-SA

Robert Munafo's home pages on HostMDS   © 1996-2020 Robert P. Munafo.
  about   contact
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License. Details here.
This page was written in the "embarrassingly readable" markup language RHTF, and was last updated on 2020 Mar 26. s.11


2.10: LU - Mathematics

Often we have a working group on research problems. Each summer since 2004 this has taken the form of a REGS group (Research Experiences for Graduate Students) supported initially by our department's VIGRE grant, subsequently by departmental funding, and later by our MCTP grant. The grant has now ended, so for the present the REGS program will not continue on a formal basis.

Our weekly seminars include Graph theory and Combinatorics and Algebra-Geometry-Combinatorics. Weekly details are found in the Mathematics Department seminar schedule). Seminars in theoretical computer science in the Computer Science Department also often discuss topics in discrete mathematics.

We organize trips for faculty and students to regional meetings such as MIGHTY (MIdwest GrapH TheorY), MCCCC (Midwest Conference on Combinatorics, Coding, and Cryptography), the Cumberland Conference (on Graph Theory, Combinatorics, and Computing), and special sessions in graph theory or combinatorics at nearby regional AMS meetings.


شاهد الفيديو: Algebra Trick to save you time Algebra Tricks (شهر نوفمبر 2021).