مقالات

5.2: مجالات أخرى


أعلاه ، قمنا بتعريف الفراغات المتجهة على الأعداد الحقيقية. الحقل عبارة عن مجموعة من الخصائص المُرضية "للأرقام" والتي يتم سردها في الملحق "ب". مثال على الحقل هو الأرقام المركبة ،

[ mathbb {C} = left {x + iy mid i ^ {2} = - 1 ، x ، y in Re right }. ]

مثال 61

في فيزياء الكم ، تصف المسافات المتجهة فوق ( mathbb {C} ) جميع الحالات الممكنة التي يمكن أن يمتلكها نظام مادي من الجسيمات.
فمثلا،

[V = left { begin {pmatrix} lambda mu end {pmatrix} mid lambda، mu in mathbb {C} right } ]

هي مجموعة الحالات الممكنة لسرطان الإلكترون. المتجهات ( begin {pmatrix} 1 0 end {pmatrix} ) و ( begin {pmatrix} 0 1 end {pmatrix} ) تصف ، على التوالي ، إلكترونًا مع لف "و" لأسفل "على طول اتجاه معين. المتجهات الأخرى ، مثل ( begin {pmatrix} i -i end {pmatrix} ) مسموح بها ، لأن الحقل الأساسي هو الأعداد المركبة. تمثل هذه الحالات مزيجًا من الدوران للأعلى والدوران لأسفل للاتجاه المحدد (مفهوم غير بديهي إلى حد ما ولكنه يمكن التحقق منه تجريبياً) ، ولكن دوران معين في اتجاه آخر.

تعتبر الأعداد المركبة مفيدة جدًا نظرًا لخاصية خاصة يتمتعون بها: فكل متعدد الحدود على الأعداد المركبة يؤدي إلى منتج من كثيرات الحدود الخطية. على سبيل المثال ، كثير الحدود $$ x ^ {2} + 1 $$ لا يأخذ في الحسبان الأعداد الحقيقية ، ولكن مع الأعداد المركبة فإنه يتحول إلى $$ (x + i) (xi) ،. $$ بمعنى آخر ، هناك حلول ​​( textit {two} ) لـ $$ x ^ {2} = - 1، $$
(س = أنا ) و (س = -أنا ). تنتهي هذه الخاصية بعواقب بعيدة المدى: غالبًا في المسائل الرياضية التي تكون صعبة للغاية باستخدام الأعداد الحقيقية فقط ، تصبح بسيطة نسبيًا عند العمل على الأعداد المركبة. تحدث هذه الظاهرة عند قطري المصفوفات ، انظر الفصل 13.

الأرقام المنطقية ( mathbb {Q} ) هي أيضًا حقل. هذا الحقل مهم في جبر الكمبيوتر: الرقم الحقيقي الذي يتم تقديمه بواسطة سلسلة لا نهائية من الأرقام بعد الفاصلة العشرية لا يمكن تخزينها بواسطة الكمبيوتر. لذلك يتم استخدام التقريبات المنطقية بدلاً من ذلك. نظرًا لأن المبررات مجال ، فإن رياضيات فضاءات المتجهات لا تزال تنطبق على هذه الحالة الخاصة.

مجال آخر مفيد للغاية هو البتات
$$
B_2 = mathbb {Z} _2 = {0،1 } ،،
$$
مع قواعد الجمع والضرب
$$
ابدأ {مجموعة} {c | cc}
+ & 0 & 1 hline
0&0&1\
1&1&0
نهاية {مجموعة} qquad
ابدأ {مجموعة} {c | cc}
مرات & 0 & 1 خط
0&0&0\
1&0&1
نهاية {مجموعة}
]

يمكن تلخيص هذه القواعد بالعلاقة (2 = 0 ). بالنسبة للبتات ، يتبع ذلك (- 1 = 1 )!

عادة ما يتم تغطية نظرية المجالات في فصل دراسي الجبر المجرد أو نظرية جالوا.


شاهد الفيديو: The Magnetic Field of a Steady Current (شهر نوفمبر 2021).