مقالات

18.7: تحويلات خطية جزئية


تمرين ( PageIndex {1} )

شاهد فيديو "كشف تحولات موبيوس" لدوغلاس أرنولد وجوناثان روجنس. (وهي متوفرة على موقع يوتيوب.)

المستوى المركب ( mathbb {C} ) الممتد برقم مثالي واحد ( infty ) يسمى طائرة معقدة ممتدة. يُرمز إليه بـ ( hat { mathbb {C}} ) ، لذلك ( hat { mathbb {C}} = mathbb {C} cup { infty } )

أ التحول الخطي الجزئي أو تحول موبيوس of ( hat { mathbb {C}} ) هي دالة لمتغير معقد واحد (z ) يمكن كتابته كـ

(f (z) = dfrac {a cdot z + b} {c cdot z + d} ، )

حيث المعاملات (a ) ، (b ) ، (c ) ، (d ) هي أرقام مركبة مرضية (a cdot d - b cdot c not = 0 ). (إذا (a cdot d - b cdot c = 0 ) فإن الوظيفة المحددة أعلاه ثابتة ولا تعتبر تحويلًا خطيًا كسريًا.)

في حالة (c not = 0 ) ، نفترض ذلك

(f (-d / c) = infty quad text {and} quad f ( infty) = a / c ؛ )

وإذا افترضنا (ج = 0 )

(f (infty) = infty. )


التحولات غير الخطية للعمر عند التشخيص وحجم الورم وعدد الغدد الليمفاوية الإيجابية في التنبؤ بالنتائج السريرية لسرطان الثدي

خلفية: غالبًا ما يتم قياس العوامل التنبؤية لسرطان الثدي على نطاق واسع ، ولكن يتم تصنيفها لاتخاذ القرارات السريرية. كان الهدف الأساسي من هذه الدراسة هو تقييم ما إذا كان حساب التأثيرات غير الخطية المستمرة للعوامل الثلاثة في التشخيص ، وحجم الورم ، وعدد العقد الليمفاوية الإيجابية يحسن التنبؤ. من المرجح أن يتم تضمين هذه العوامل في إدارة مرضى سرطان الثدي أيضًا في المستقبل ، بعد التنفيذ المتوقع لتحديد ملامح التعبير الجيني لاتخاذ قرارات العلاج المساعد.

أساليب: شكلت أربعة آلاف وأربعمائة وسبعة وأربعون و 1132 امرأة مصابة بسرطان الثدي الأولي مجموعة الاشتقاق والتحقق ، على التوالي. تم تقييم التأثيرات غير الخطية المحتملة على مخاطر اللوغاريتمات للتكرار البعيد للعوامل الثلاثة خلال 10 سنوات من المتابعة. تم استخدام نماذج Cox ذات التعقيد المتزايد بشكل متتابع: تنبئ ثنائي التقسيم ، تنبئ مقسم إلى ثلاث أو أربع مجموعات ، والمتنبئين المحولين باستخدام كثيرات الحدود الكسرية (FPs) أو شرائح مكعبة مقيدة (RCS). تم تقييم الأداء التنبئي بواسطة Harrell's C-index.

نتائج: باستخدام تحويلات FP ، تم الكشف عن تأثيرات غير خطية لحجم الورم وعدد العقد الليمفاوية الإيجابية في التحليلات أحادية المتغير. بالنسبة للعمر ، لم تعمل التحولات غير الخطية على تحسين النموذج الملائم بشكل كبير مقارنةً بتحويل الهوية الخطية. كما هو متوقع ، زاد مؤشر C مع زيادة تعقيد النموذج للنماذج متعددة المتغيرات بما في ذلك العوامل الثلاثة. من خلال السماح بأكثر من نقطة فاصلة لكل عامل ، زاد المؤشر C من 0.628 إلى 0.674. كان الكسب الإضافي ، كما تم قياسه بواسطة المؤشر C ، عند استخدام تحويلات FP أو RCS متواضعًا (0.695 و 0.696 ، على التوالي). كانت مؤشرات C المقابلة لهذه النماذج الأربعة في مجموعة التحقق ، بناءً على نفس التحويلات وتقديرات المعلمات من مجموعة الاشتقاق ، 0.675 و 0.700 و 0.706 و 0.701.

الاستنتاجات: تم العثور على تصنيف كل عامل إلى ثلاث إلى أربع مجموعات لتحسين التكهن مقارنة بالتقسيم الثنائي. كان الكسب الإضافي من خلال السماح بالتأثيرات غير الخطية المستمرة على غرار FPs أو RCS متواضعًا. ومع ذلك ، فإن الطبيعة المستمرة لهذه التحولات لها ميزة أنها تجعل من الممكن تكوين مجموعات معرضة للخطر من أي حجم.

الكلمات الدالة: سرطان الثدي المتقطع المتقطع كثيرات الحدود النذير.

بيان تضارب المصالح

موافقة الأخلاق والموافقة على المشاركة

تمت الموافقة على الدراسة من قبل مجلس المراجعة الأخلاقية الإقليمي في جامعة لوند ، لوند السويد (LU 240–01) ، وتم إجراؤها وفقًا لمدونة أخلاقيات الجمعية الطبية العالمية.

نظرًا لأن الدراسة تتعامل مع مادة البارافين الأرشيفية ، والتي غالبًا ما يكون عمرها عدة عقود ، لم يكن من الممكن استرداد الموافقة المسبقة من جميع المرضى. ومع ذلك ، تم تحليل جميع البيانات وتقديمها بشكل مجهول. بالإضافة إلى ذلك ، تم نشر مذكرة في الصحيفة المحلية ، لإعلام جميع مرضى سرطان الثدي السابقين بإمكانية الاتصال بالمجموعة البحثية إذا لم يرغبوا في استخدام أنسجة الورم في الدراسات العلمية. تم قبول هذا الإجراء من قبل مجلس المراجعة الأخلاقية الإقليمي.

الموافقة على النشر

راجع قسم الموافقة الأخلاقية والموافقة على المشاركة أعلاه.

تضارب المصالح

الكتاب تعلن أنه ليس لديهم المصالح المتنافسة.

ملاحظة الناشر

تظل Springer Nature محايدة فيما يتعلق بالمطالبات القضائية في الخرائط المنشورة والانتماءات المؤسسية.


دليل على وجود تحويل كسري خطي فريد يحدد ثلاث نقاط مميزة إلى ثلاث نقاط مميزة في المستوى المركب الممتد.

فيما يلي نظرية ودليل من المتغيرات المعقدة بواسطة Herb Silverman. الغامق هي الأجزاء التي لا أفهمها في الإثبات.

النظرية: بالنظر إلى ثلاث نقاط مميزة ، $ z_1 ، z_2 ، z_3 $ في المستوى الممتد $ z $ وثلاث نقاط مميزة $ w_1 ، w_2 ، w_3 $ في المستوى الممتد $ w $ ، يوجد تحويل ثنائي خطي فريد $ w = t (z) $ مثل أن $ T (z_k) = w_k $ لـ $ k = 1،2،3 $.

دليل - إثبات. نفترض أولاً أن أياً من النقاط الست لا يساوي $ infty $. دع $ w = T (z) = frac$. نرغب في حل قيم $ a و b و c و $ و $ d $ بدلالة $ z_1 و z_2 و z_3 و w_1 و w_2 و $ و $ w_3 $. هذا يبدو أكثر تعقيدا مما هو عليه. بالنسبة إلى $ k = 1،2،3 ، لدينا $ w-w_k = frac- فارك= frac <(ad-bc) (z-z_k)> <(cz + d) (cz_k + d)> (3.9) $

بضرب (3.10) في (3.11) لدينا $ frac <(w-w_1) (w_2-w_3)> <(w-w_3) (w_2-w_1)> = frac <(z-z_1) (z_2-z_3 )> <(z-z_3) (z_2-z_1)> (3.12) $ الحل لـ $ w $ بدلالة $ z $ والنقاط الست يعطي التحويل المطلوب. إذا كانت إحدى النقاط هي النقطة عند $ infty $ ، لنفترض أن $ z_3 = infty $ ، سيتم تعديل (3.12) بأخذ الحد على أنه $ z_3 $ يقترب من $ infty $. في هذه الحالة ، سيكون لدينا $ frac <(w-w_1) (w_2-w_3)> <(w-w_3) (w_2-w_1)> = frac (3.13)$

اللازمة - النتيجة. بالنظر إلى ثلاث نقاط مميزة ، $ z_1 ، z_2 ، z_3 $ في المستوى الممتد $ z $ ، يوجد تحويل فريد ثنائي الخطي $ w = T (z) $ مثل $ T (z_1) = 0 ، T (z_2) = 1 ، T (z_3) = infty $ وتعطى بواسطة $ w = frac <(z-z_1) (z_2-z_3)> <(z-z_3) (z_2-z_1)> $.

أولاً ، لا أرى كيفية الحصول على التحول المطلوب. لقد وجدت تعبيرًا لـ $ w $ من حيث جميع المتغيرات الأخرى (التي تبدو معقدة) ووجدت $ T (z_1) = w_1 $ و $ T (z_2) = w_2 $. ومع ذلك ، لم أحصل على $ T (z_3) = w_3 $. في الواقع ، إذا نظرنا إلى (3.12) وقمنا بالتعويض عن $ z_3 $ بدلاً من $ z $ ، فإن الكسر الموجود في الجانب الأيمن لم يتم تعريفه حتى لأن المقام هو $. لذلك لا أرى كيف يمكننا الحصول على النتيجة المرجوة من هذا التعبير. في الواقع ، لا أفهم سبب قيام المؤلف بإيجاد تعبير لـ $ w $ بضرب الكسور. ما هو السبب وراء ذلك؟

علاوة على ذلك ، لا أفهم الجزء عندما تكون إحدى النقاط $ infty $. من المنطقي أن تأخذ الحد مثل $ z_3 to infty $ ، ولكن كيف يؤدي ذلك إلى جعل التعبير (3.13)؟

أخيرًا ، للنتيجة الطبيعية ، مرة أخرى ، هذا مشابه للسؤال الأول ، أعتقد أنه من المفترض أن نستخدم (3.12) ونقوم ببساطة بتوصيل قيم $ w_k $ المناسبة ولكن في حالة $ T (z_3) = infty $ ، التعبير فقط ليس له معنى بالنسبة لي. كيف يكون $ frac <(w-w_1) (w_2- infty)> <(w- infty) (w_2-w_1)> $ منطقيًا؟

سأكون ممتنًا للغاية لو أوضح لي أي شخص الأسئلة أعلاه ، فأنا أواجه مشكلة في قراءة هذه الصفحة بسبب هذه الأسئلة.


3 إجابات 3

إن شرح دوافع شخص ما هو مسألة نفسية أكثر من كونها سؤالًا رياضيًا ولكن إليك بعض الملاحظات. إذا كتبنا تحويلًا خطيًا في السطر الإسقاطي فوق حقل ، فإن أي حقل ليس بالضرورة الأرقام المركبة ، مثل معادلة المصفوفة ثم سحب النقاط الإسقاطية (x: y) و (x ': y') إلى الخط الأفيني مثل x / y و x '/ y' ، لدينا x '/ y' = (a (x / y) + b) / (c (x / y) + d) ، الخط الإسقاطي المعقد هو نفسه طائرة أرجاند ، وهي المستوى الإقليدي الحقيقي مع نقطة إضافية واحدة تقابل النقطة (1: 0) على خط الإسقاط. إنه أيضًا ، من خلال الإسقاط المجسامي ، مثل سطح الكرة في الفضاء الإقليدي 3 الحقيقي. بالعودة إلى الخط الإسقاطي ، فإن هذا التحول يحافظ على النسبة المتقاطعة ، والتي تتدفق منها العديد من النتائج الأخرى. أتمنى أن يساعد هذا في التحفيز!

بالنسبة للمجال المتصل ببساطة $ Omega $ ، نظرًا لنظرية رسم خرائط Riemann ، فإنه يعتبر biholomorphic (أو ما يعادله تمامًا)

التحولات الخطية الجزئية هي العناصر الموجودة في مجموعات التشكل التلقائي $ mathrm( hat < mathbb>) = بيج < فارك : ad-bc neq 0 Bigg > $ $ mathrm( mathbb) = بيج < : a neq 0 Bigg > $ $ mathrm( mathbb) = بيج < فارك< بارz + bar> : | a | ^ 2 - | b | ^ 2 = 1 Bigg > $

اكتشف أسلافنا الحسابيون أن الخريطة $ z to 1 / z $ لها خاصية مثيرة للاهتمام: إنها تحافظ على عائلة الخطوط والدوائر. نظرًا لأن أي خريطة بالشكل $ z to az + b $ لها نفس الخاصية أيضًا ، فإن تركيبات هذه الخرائط تحافظ على هذه المجموعة. هذه التركيبات هي على وجه التحديد ما يسمى بالتحولات الخطية الجزئية.


1 إجابة 1

تحت الإسقاط المجسم ، يمكننا تحديد النقاط على كرة ريمان $ hat < mathbb> = mathbb cup < infty > $ بالنقاط على كرة الوحدة ، $ S ^ 2 $. إذا كانت نقطتان $ x ، y in hat < mathbb> يتم تعيين $ p ، q في S ^ 2 $ respivley ، المقياس الوترى $ d (x، y) = | p-q | $ بالمقياس الإقليدي المعتاد على $ mathbb^ 3 دولار للحصول على دليل يمكنك إلقاء نظرة على هذه الملاحظات الرائعة (التي تشرح أيضًا وتثبت الصيغ الخاصة بالإسقاط المجسم ، والتي سأستخدمها ضمنيًا لاحقًا).

قم بالإشارة إلى الإسقاط المجسم بواسطة $ pi: hat < mathbb> إلى S ^ 2 $. نظرًا لأن المسافة يتم أخذها فيما يتعلق بالنقاط على $ S ^ 2 $ ، فإن العبارة تعادل قول ذلك ، لتحول mobius معين $ M: hat < mathbb> to hat < mathbb> $ ، الدالة $ pi circ M circ pi ^ <-1> $ مستمرة بالنسبة للمسافة الإقليدية. يمكننا كتابة كل تحويل mobius كتكوين للخرائط الخطية $ z to az $ (يُشار إليه $ H_a $) ، وانعكاس $ z إلى 1 / z $ (يُشار إليه $ I $) وترجمة $ z إلى z + ب $ (يُشار إليه بـ $ M_b $). لذلك ، إذا علمنا أن $ pi circ H_a circ pi ^ <-1> $ و $ pi circ M_b circ pi ^ <-1> $ و $ pi circ I circ pi ^ <-1> $ مستمر فيما يتعلق بالمسافة الإقليدية - قد ننتهي ، لأن لدينا:

$ pi circ (M circ N) circ pi ^ <-1> = pi circ M circ pi ^ <-1> circ pi circ N circ pi ^ <- 1 > دولار

وتكوين الخرائط المستمرة مستمر. لذلك نحن بحاجة فقط للتحقق من أي من هذه الحالات. في الوقت الحالي ، أنا أقصر وقتًا ، لذا سأقدم فقط مثالًا عن $ I $ ، وآمل أن أتوسع غدًا في كيفية القيام بالحالات الأخرى ، لكن يمكن القيام بها بالمثل. ربما ، أيضًا ، سيكون لديّ طريقة مع حسابات أقل - أنا متأكد من أن هناك طريقة أكثر أناقة للقيام بذلك.

لذا ، اكتب نقطة على $ S ^ 2 $ كـ $ (t، u، v) $. ثم $ pi ^ <-1> (t، u، v) = frac<1-v>$ . (Ignore now from the point $(0,0,1)$ - the north pole - which is mapped to $infty$ ). Now, $I(pi^<-1>(t,u,v))=frac<1-v>(t-iu) $. الآن تطبيق $ pi $ يعطي النقطة $ (2 cdot frac <(1-v) t>، -2 cdot frac <(1-v) u>، frac <(1-v) ^ 2 t ^ 2 + (1-v) ^ 2 u ^ 2- (t ^ 2 + u ^ 2) ^ 2> <(1-v) ^ 2 t ^ 2 + (1-v) ^ 2 u ^ 2 + (t ^ 2 + u ^ 2) ^ 2>) = (t، - u، -v) $. بتتبع النقطة التي يذهب إليها $ infty $ ، نرى أن $ (0،0،1) $ يذهب إلى $ (0،0، -1) $. لذلك ، يعد هذا تعيينًا مستمرًا (فهو مستمر في أي من إحداثياته ​​- تعمل أيضًا الحالة التي نقترب فيها من القطب الشمالي). هندسيًا ، هذا دوران حول المحور x ، لذا فهذه طريقة أخرى لمعرفة أنه مستمر.

تحرير: كنت أحاول التفكير في طرق لإكمال الحالات الأخرى بدون حسابات فوضوية (والتي يمكن إجراؤها). لقد توصلت إلى تفسير لطيف فقط لنوع خاص من الخرائط الخطية - يمكنك تحليلها أكثر ، إلى الضرب بواسطة عنصر من النموذج $ z to e ^z $ مقابل $ حقيقي theta $ ، و $ z إلى az $ مقابل $ a & gt0 $. إذا فكرت في الأمر ، فإن النوع الأول من الترجمات يتوافق مع الدوران حول المحور z: إذا قمت بتدوير المستوى ، فسيتم تدوير الإسقاط فقط.


هولم ، دي دي ، مارسدن ، جي إي ، راتيو ، تي ، وينشتاين ، إيه: الاستقرار غير الخطي لتوازن السوائل والبلازما. فيز. اعادة عد. 123, 1–116 (1985)

Olver ، PJ: تطبيقات مجموعات الكذب على المعادلات التفاضلية. سبرينغر ، نيويورك (1993)

سيري ، د.: أنظمة قوانين الحفظ: الزائدة ، الانتروبيا ، موجات الصدمة. مطبعة جامعة كامبريدج ، كامبريدج (1999)

Krasilshchik ، I.S. ، Vinogradov ، A.M: التناظرات وقوانين الحفظ للمعادلات التفاضلية للفيزياء الرياضية. الجمعية الرياضية الأمريكية ، بروفيدنس (1999)

دافرموس ، سي إم: قوانين الحفظ الزائدية في الفيزياء المستمرة. سبرينغر ، برلين (2000)

Godunov ، S.K. ، Romenskii ، E.I: عناصر ميكانيكا الاستمرارية وقوانين الحفظ. كلوير ، نيويورك (2003)

Kosmann-Schwarzbach ، Y: The Noether Theorems. قوانين الثبات والحفظ في القرن العشرين. سبرينغر ، نيويورك (2011)

Ibragimov، NKh، Avdonina، E.D: الترابط الذاتي غير الخطي ، قوانين الحفظ ، وبناء حلول المعادلات التفاضلية الجزئية باستخدام قوانين الحفظ. روس. رياضيات. البقاء على قيد الحياة. 68(5), 889–921 (2013)

Avdonina، E.D.، Ibragimov، N.H.، Khamitova، R.: الحلول الدقيقة للمعادلات الديناميكية الغازية التي تم الحصول عليها من خلال طريقة قوانين الحفظ. كومون. علوم غير خطية. رقم. محاكاة. 18(9), 2359–2366 (2013)

نويثر ، إي: Invariante Variationsprobleme. نشر. كونيغ. جيزيل. Wissen.، Göttingen، Math.-Phys. Kl.، Heft 2 ، 235-257 (1918). الترجمة الإنجليزية. في Transp. الحالة النظرية. فيز. 1(3), 186–207 (1971)

إبراغيموف ، إن إتش: مشاكل التنويع الثابتة وقوانين الحفظ. النظرية. رياضيات. فيز. 1(3), 267–276 (1969)

Ibragimov ، NH: مجموعات التحويل في الفيزياء الرياضية. موسكو ، نوكا (1983). الترجمة الإنجليزية. مجموعات التحول المطبقة على الفيزياء الرياضية ، Reidel ، Dordrecht (1985)

Ibragimov ، NH: تحليل مجموعة الكذب الابتدائية والمعادلات التفاضلية العادية. وايلي ، تشيتشستر (1999)

Ibragimov NH (محرر): دليل اتفاقية حقوق الطفل لتحليل مجموعة لي للمعادلات التفاضلية. المجلد. 1. التماثلات والحلول الدقيقة وقوانين الحفظ (1994). المجلد. 2. تطبيق في العلوم الهندسية والفيزيائية (1995). المجلد 3. الاتجاهات الجديدة في التطورات النظرية والأساليب الحسابية (1996). CRC Press Inc. ، بوكا راتون ، فلوريدا (1994-1996)

Riewe ، F: ميكانيكا لاغرانج وهاملتونيان غير المحافظين. فيز. القس إي. 53(2), 1890–1899 (1996)

Agrawal، O.P: صياغة معادلات أويلر-لاغرانج لمشاكل التغيّر الكسري. J. الرياضيات. شرجي. تطبيق 272(1), 368–379 (2002)

Baleanu، D.، Muslih، S.I.، Tas، K: التحليل الجزئي لهاملتونيان لأنظمة المشتقات ذات الرتبة الأعلى. J. الرياضيات. فيز. 47(10), 103503 (2006)

Baleanu، D.، Muslih، S.I.، Rabei، E.M: On الكسري معادلات أويلر- لاجرانج وهاملتون والتعميم الجزئي لمشتق الوقت الكلي. دين غير خطي. 53(1–2), 67–74 (2008)

Baleanu ، D: حول مبادئ التكميم الجزئي والتغير الجزئي. كومون. علوم غير خطية. رقم. محاكاة. 14(6), 2520–2523 (2009)

حرزالله ، ماجستير ، بالينو ، د: معادلات أويلر- لاغرانج ذات الترتيب الكسري وصياغة معادلات هاميلتونية. دين غير خطي. 58(1–2), 385–391 (2009)

Agrawal، O.P: مسائل التغيُّر المعممة ومعادلات أويلر-لاغرانج. حاسوب. رياضيات. تطبيق 59(5), 1852–1864 (2010)

Agrawal، O.P.، Muslih، S.I.، Baleanu، D: حساب التفاضل المعمم من حيث المشتقات الكسرية متعددة المعلمات. كومون. علوم غير خطية. رقم. محاكاة. 16(12), 4756–4767 (2011)

حرزالله ، ماجستير ، بالينو ، د: إعادة النظر في معادلات أويلر-لاغرانج الجزئية. دين غير خطي. 69(3), 977–982 (2012)

Lazo، M.J.، Torres، DFM: The DuBois-Reymond الأساسي lemma للحساب الكسري للاختلافات ومعادلة أويلر-لاغرانج التي تتضمن فقط مشتقات كابوتو. J. Optimiz. النظرية. تطبيق 156(1), 56–67 (2013)

فريدريكو ، جي إس إف ، توريس ، دي إف إم: صياغة نظرية نويثر للمسائل الكسرية لحساب التباينات. J. الرياضيات. شرجي. تطبيق 334(2), 834–846 (2007)

Atanackovic، T.M.، Konjik، S.، Pilipovic، S.، Simic، S: المشكلات المتغيرة مع المشتقات الكسرية: شروط الثبات ونظرية Nöthers. الشرج غير الخطي. 71(5–6), 1504–1517 (2009)

Malinowska ، AB: صياغة نظرية الكسور من نوع Noether لـ Lagrangians متعددة الأبعاد. تطبيق رياضيات. بادئة رسالة. 25(11), 1941–1946 (2012)

Odzijewicz، T.، Malinowska، A.B.، Torres، D.F.M: ​​نظرية نويثر للمشكلات المتغيرة الكسرية ذات الترتيب المتغير. سنت. يورو. J. فيز. 11(6), 691–701 (2013)

Bourdin، L.، Cresson، J.، Greff، I: نظرية نويثر الكسرية المستمرة / المنفصلة. كومون. علوم غير خطية. رقم. محاكاة. 18(4), 878–887 (2013)

Long ، Z.X. ، Zhang ، Y: نظرية نويثر الكسرية المبنية على التكامل الأسي الكسري الممتد. كثافة العمليات J. Theor. فيز. 53(3), 841–855 (2014)

فريدريكو ، جي إس إف ، توريس ، دي إف إم: قوانين الحفظ الجزئي في نظرية التحكم الأمثل. دين غير خطي. 53(3), 215–222 (2008)

Zhang، S.-H.، Chen، B.-Y، Fu، J.-L: شكلية هاملتون وتماثل نويثر للأنظمة الميكانيكية والكهربائية ذات المشتقات الكسرية. ذقن. فيز. ب. 21(10), 100202 (2012)

Metzler، R.، Klafter، J: دليل السير العشوائي للانتشار الشاذ: نهج ديناميكيات كسور. فيز. اعادة عد. 339(1), 1–77 (2000)

هيلفر ، ر: تطبيقات حساب التفاضل والتكامل الكسري في الفيزياء. وورلد ساينتفيك ، سنغافورة (2000)

Klages ، R. ، Radons ، G. ، Sokolov ، IM (محرران): النقل الشاذ: أسس وتطبيقات. Willey-VCH ، برلين (2008)

مايناردي ، ف: حساب التفاضل والتكامل الكسري والأمواج في اللزوجة الخطية. مطبعة إمبريال كوليدج ، لندن (2010)

Klafter، J.، Lim، S.C.، Metzler، R. (eds.): Fractional Dynamics: Recent Advances. وورلد ساينتفيك ، سنغافورة (2011)

Baleanu ، D. ، Diethelm ، K. ، Scalas ، E. ، Trujillo ، JJ: حساب التفاضل والتكامل الجزئي: النماذج والطرق العددية. وورلد ساينتفيك ، سنغافورة (2012)

Uchaikin ، V. ، Sibatov ، R: الحركية الجزئية في المواد الصلبة: نقل الشحنة الشاذة في أشباه الموصلات والعوازل الكهربائية وأنظمة النانو. وورلد ساينتفيك ، سنغافورة (2013)

Gazizov، R.K.، Kasatkin، AA، Lukashchuk، SYu: مجموعات التحويل المستمر للمعادلات التفاضلية الكسرية. فيستنيك اوغاتو 9، 125-135 (2007). (بالروسية)

Gazizov، R.K.، Kasatkin، AA، Lukashchuk، SYu: خصائص التناظر لمعادلات الانتشار الجزئي. فيز. سكر. T136, 014016 (2009)

Gazizov، R.K.، Kasatkin، AA، Lukashchuk، SYu: المعادلات التفاضلية الجزئية: تغيير المتغيرات والتماثلات غير المحلية. أوفا الرياضيات. ج. 4(4), 54–67 (2012)

إبراغيموف ، إن إتش: نظرية الحفظ الجديدة. J. الرياضيات. شرجي. تطبيق 333, 311–328 (2007)

Ibragimov ، NH: قوانين الترابط الذاتي والحفظ غير الخطية. J. فيز. ج: الرياضيات. النظرية. 44, 432002 (2011)

Ibragimov، N.H: الترابط الذاتي غير الخطي في بناء قوانين الحفظ. قوس. طحلب 7/8, 1–39 (2010–2011)

Araslanov، A.M.، Galiakberova، L.R.، Ibragimov، N.H.، Ibragimov، R.N: ناقلات محفوظة لنموذج التدفقات الجوية اللاخطية حول السطح الكروي الدوار. رياضيات. نموذج. نات. الظاهرة. 8(1), 1–17 (2013)

Gandarias، M.L.، Bruzon، MS، Rosa، M: قوانين الترابط الذاتي غير الخطية والحفظ لمعادلة فيشر المعممة. كومون. علوم غير خطية. رقم. محاكاة. 18(7), 1600–1606 (2013)

Bozhkov، Y.، Dimas، S.، Ibragimov، NH: قوانين الحفظ لنظام Korteweg-de Vries المقترن ذي المعامل المتغير المعدل في نموذج سائل من طبقتين. كومون. علوم غير خطية. رقم. محاكاة. 18(5), 1127–1135 (2013)

Alexandrova، A.A.، Ibragimov، N.H.، Lukashchuk، V.O .: تصنيف المجموعة وقوانين الحفظ لمعادلة الترشيح غير الخطية بمعامل صغير. كومون. علوم غير خطية. رقم. محاكاة. 19(2), 364–370 (2014)

Baikov، V.A.، Ibragimov، N.H.، Zheltova، I.S.، Yakovlev، A.A: قوانين الحفظ لنماذج الترشيح ذات المرحلتين. كومون. علوم غير خطية. رقم. محاكاة. 19(2), 383–389 (2014)

Gandarias ، ML: قوانين الحفظ لمعادلة وسط مسامي من خلال مولدات غير كلاسيكية. كومون. علوم غير خطية. رقم. محاكاة. 19(2), 371–376 (2014)

Samko، S.، Kilbas، A.، Marichev، O: Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications. جوردون وبراش ، نيويورك (1993)

Kilbas ، AA ، Srivastava ، HM ، Trujillo ، JJ: نظرية وتطبيقات المعادلات التفاضلية الجزئية. إلسفير ، أمستردام (2006)

Uchaikin ، V: المشتقات الجزئية للفيزيائيين والمهندسين. VI: الخلفية والنظرية. مطبعة Springer للتعليم العالي ، بكين (2013)

Lukashchuk، SYu: امتدادات كسور زمنية لمعادلات Liouville و Zwanzig. سنت. يورو. J. فيز. 11(6), 740–749 (2013)


رسم الخرائط بواسطة تحويل كسري خطي

تفاعل على سطح المكتب والجوال والسحابة باستخدام برنامج Wolfram Player المجاني أو منتجات Wolfram Language الأخرى.

التحويل الجزئي الخطي (أو تحويل M & # xF6bius) في المستوى المعقد هو تعيين امتثالي له الشكل ، أين , , ، و معقدة مع . التحول يحول الدوائر في الطائرة في دوائر في المستوى ، حيث يمكن اعتبار الخطوط المستقيمة دوائر نصف قطرها لانهائي.

في هذا العرض ، الدائرة الحمراء يتحول إلى الدائرة الزرقاء للنموذج .

بمساهمة: Izidor Hafner & # xA0 (فبراير 2016)
افتح المحتوى المرخص بموجب CC BY-NC-SA


مدونة ∑idiot & # 039s

LFTs الوحيد الذي تحتاجه & # 8217ll من أي وقت مضى

دعونا نفكر في التحويلات الكسرية الخطية حيث تكون جميع المعاملات عبارة عن أعداد صحيحة و. نظرًا لأن ضرب جميع المعاملات في ثابت لا يغير & # 8217t التحويل ، فقد نضرب كل شيء في -1 متى أردنا (على سبيل المثال ، لجعل المعامل المختار موجبًا). تذكر أيضًا أن كتابة التحويل كمصفوفة ليس بالأمر غير المعقول تمامًا ، حيث يتم تحديد مكونات التحولات بشكل صحيح عن طريق ضرب المصفوفة. أنا & # 8217 سأتحدث عن تسلسل هذه المصفوفات ، لذا دع المصفوفة الأصلية تكون

إذا ، فإن الشرط يعني ذلك ، وقد نختار. ثم تحولنا ببساطة. بما أنه عدد صحيح ، فيمكننا كتابة هذا بالصيغة.

إذا كان هناك إذن. سأترككم للتحقق مما يلي:

عند كتابة هذه المصفوفة في أقصى اليمين ، فإننا نبحث عن مصفوفة أخرى ذات معاملات عدد صحيح محددها 1. لذلك يمكننا تكرار العملية ، وإيجاد الأعداد الصحيحة و LFTs معها. يجب أن تتوقف العملية في النهاية ، لأن جميعها أعداد صحيحة غير سالبة. في النهاية ، سيكون أحدهم صفرًا ، وقد تعاملنا بالفعل مع مثل هذه التحولات في الفقرة السابقة.

دعونا ، ونلاحظ ذلك ، الذي استخدمناه من قبل. أيضًا ، دعنا (قد تلاحظ أن هذه هي مصفوفة الهوية). ثم علاقتنا أعلاه هي. هذا هو،

مجموعة المصفوفات التي كنا نعمل معها ، المصفوفات 2 & # 2152 ذات المعاملات الأعداد الصحيحة التي يكون محددها 1 ، تميل إلى تسميتها مجموعة معيارية وقد أظهرنا ذلك للتو ويمكن مضاعفته معًا لمنحك أي عنصر من عناصر المجموعة. بشكل رسمي أكثر ، قاموا & # 8220 بإنشاء & # 8221 المجموعة. قد تزعج وتقول إن هذه المصفوفات من الناحية الفنية هي حقًا مجموعة خطية خاصة ، ولاحظ أن المجموعة المعيارية هي في الواقع حاصل قسمة هذه المجموعة حيث تقول إن مصفوفتين متماثلتين إذا كانت إحداهما -1 أضعاف الأخرى.

أحد الأشياء المثيرة للاهتمام في هذه العملية هو أنها مجرد العملية التي تمر بها للعثور على القاسم المشترك الأكبر و. الخوارزمية القياسية (إقليدس & # 8217s) هي ملاحظة أنه إذا كان هناك عدد صحيح مثل حيث. الخطوة التالية هي تكرار العملية ، الكتابة ، مع. التكرار ، تجد ذلك ، وفي النهاية يكون 0 ، وتتوقف العملية.

قد تكون قلقًا بعض الشيء (بشكل مبرر) من أن هذه العملية تبدو فقط وكأنها تنظر إلى الصورة وتتركها وخارجها. إذا نظرت إلى ما فعلناه بالمصفوفات ، فإن عمليتنا أخذتها وكتبتها على أنها ، وتعتمد على و. في الخطوة الأخيرة من العملية ، حيث يكون-coefficient هو 0 ، انتهى بنا الأمر بـ -Coefficient من 1 ، لكن المعامل -Coefficient سيكون دالة للقيم ، لذلك تظهر هذه القيم ويتم استخدامها في النهاية. بالطبع ، لأن معرفة أحدهما أو يكفي لتحديد الآخر (على افتراض أنك تعرف و). يجب أن تفكر في أن المتغيرات الإضافية التي تدور في خوارزمية Euclid & # 8217s هي المتغيرات الإضافية عند تنفيذ الإصدار & # 8220extended & # 8221.

كنا نتحدث عن كل هذا من حيث المصفوفات ، لكن تذكر أن المصفوفات تمثل تحويلات كسرية خطية. المصفوفة هي التحويل ، والقوة إذن. هذه مجرد ترجمات أفقية. المصفوفة هي التحويل. مع علاقاتنا فيما سبق ، نرى أنه يمكننا الكتابة

يا هلا لاستمرار الكسور! بالطبع ، أشعر وكأنني أعدت شيئًا ما إلى الوراء. سيعطيني التوصيل جزءًا مستمرًا من الكسر لـ ، لكنني كنت أقول أن يأتي من التفكير في القاسم المشترك الأكبر لـ و. آه حسنا.

[تحديث 20091203: الخطأ I & # 8217m المعني أعلاه ينبع من بعض التعاملات الفضفاضة مع نهاية الإجراء التكراري. دعنا نصل إلى شيء مثل أين ، أي. لذلك انتهى بنا الأمر بالقول. وهذا يعتمد على البداية ، بطريقة مفترضة بحيث يجعل التوصيل الكسر منطقيًا.]

ما قلته هو أن كل مصفوفة 2 & # 2152 مع معاملات في والمحدد 1 يمكن كتابتها من حيث و. ومع ذلك ، قد ترغب في استخدام بدلاً من. من خلال إجراء نفس العملية بشكل أساسي كما كان من قبل ، مع رش بعض علامات الطرح بشكل مناسب ، يمكن للمرء تحديد ذلك ويمكن استخدامه ، بدلاً من إنشاء أي من المصفوفات التي ندرسها. ما هي ميزة أكثر؟ إحدى الطرق لتوضيح الميزة ، بالنسبة لقصتنا ، هي أن تطبيق النقاط في النصف العلوي من المستوى يتركها في النصف العلوي من المستوى (ومشابه للنصف السفلي) ، بينما يشير التقليب في النصف العلوي من المستوى إلى النصف السفلي من المستوى. يجب أن نفكر في هذه ميزة ، لأن جميع دوائر فورد لدينا تقع في النصف العلوي من المستوى. إذا عدت إلى مناقشة الأمس & # 8217s ، فستلاحظ أنني استخدمته في التحليل إلى عوامل.

لذلك ، على أي حال ، هم LFTs الوحيدون الذين تحتاجهم. يمكنك التحقق من ذلك بسرعة وأيضًا (ليس بالسرعة نفسها). إذا كتبت ، فأعتقد أنك ستقول إن المجموعة المعيارية تم إنشاؤها بواسطة و ، ويمكنها إنشاء تماثل بين المجموعة المعيارية والمنتج الحر للمجموعة الدورية من الرتبة 2 مع المجموعة الدورية من الترتيب 3. هذا & # 8217s شيء.

دوائر LFTs وفورد

بالنظر إلى 4 أرقام معقدة ، يمكننا النظر في التحويل الجزئي الخطي (LFT)

حسنًا ، 4 أرقام تكفي لعمل مصفوفة. هل هناك أي سبب أفضل لربط التحويل الجزئي الخطي بهذه المصفوفة؟

افترض أن لديك مصفوفتان ، و. ثم يكون المنتج كما يلي:

إذا كنت تأخذ مركب من اثنين من التحولات الكسرية الخطية ، أي ،

ثم تلاعب بتبسيط هذا التعبير لبضع دقائق ، تحصل على LFT

وهو بالضبط LFT المقابل لمصفوفة المنتج أعلاه. لذلك ، إذا لم يكن هناك شيء آخر ، فإن كتابة LFTs كمصفوفات بهذه الطريقة لن يضلنا عند التفكير في المواد المركبة.

هذه الفكرة لا تخلو من اللبس ، بالنسبة لي على أي حال. بشكل عام عندما تفكر في مصفوفة 2 & # 2152 من القيم المعقدة ، فإنك تفكر في تلك المصفوفة كخريطة خطية ، وهو ما لم نفعله أعلاه. بدلاً من ذلك ، أعتقد أننا نقول أن & # 8220 monoid & # 8221 (مجموعة بدون مقلوب) من مصفوفتين 2 & # 2152 ، تعمل (بالمعنى التقني) كتحويلات جزئية خطية. أعتقد أن هناك طرقًا أفضل لقول ما يجري.

أعتقد أنه من المهم أيضًا أن تضع في اعتبارك أن مصفوفتين مختلفتين قد تتوافقان مع نفس LFT. على سبيل المثال ، يمثل نفس LFT مثل. بشكل عام ، إذا كانت أي قيمة معقدة (غير صفرية) ، فإنها تمثل نفس LFT مثل. أعتقد أنه يمكن للمرء أن يفكر في الفضاء المتجه (isomorphic to) ، ثم التفكير في مساحته الإسقاطية (حاصل القسمة حيث يتشابه اثنان & # 8220 متجهًا & # 8221 (المصفوفات هنا) عندما يختلفان بواسطة مضاعف عددي ) ، والذي أشير إليه & # 8217ll. ثم أعتقد أنني & # 8217m أقول إن إجراء on هو في الواقع فعل من حاصل القسمة ،. أنا & # 8217m لست متأكدًا مما إذا كانت هذه وجهة نظر مفيدة (أو ، في الواقع ، صحيحة).

بالأمس ، عندما كنت أتحدث عن كيفية تخيل ما يفعله LFT ، كتبت تحليل عامل LFT كمركب. يعطينا تدويننا الجديد طريقة أخرى لكتابة هذا التحليل (تذكر ، وهذا ما افترضناه):

كما هو مفيد في كثير من الأحيان ، سنفترض أنه (في الواقع ، يبدو أن هذا التحليل يتطلب الأمر & # 8211 أعتقد أنني أفتقد شيئًا ما في مكان ما ، أي شخص يراه؟). لاحظ أن هذا هو محدد المصفوفة التي تمثل LFT الخاص بنا. قد نقوم بعد ذلك بضرب جميع الإدخالات في المصفوفة الخاصة بنا (بدون تغيير LFT ، كما تمت مناقشته أعلاه) من خلال ، والحصول على مصفوفة ذات المحدد 1. لنفعل ذلك.

بالأمس ، عندما كنت أعمل على التحليل أعلاه ، لم يكن لدي سوى فكرة عن المكان الذي أذهب إليه. أعتقد أني & # 8217 قد حصلت اليوم على ضعف ذلك ، لذلك أريد إعادة كتابة التحليل إلى عوامل. اسمحوا لي أن أكتبها

إذن ما العلاقة & # 8217s مع دوائر فورد؟ تذكر أنه بالنسبة للكسر المختزل ، فإن دائرة Ford المرتبطة بها هي الدائرة المتمركزة مع نصف القطر. بعد Rademacher (وربما الآخرين) ، دعنا نقول أن & # 8220fraction & # 8221 يحصل أيضًا على Ford & # 8220circle & # 8221 ، الخط الموجود في الطائرة. هذا ليس شيئًا سيئًا ، لأنه يحتوي على خصائص التماس التي تحدثت عنها عند الحديث عن دوائر فورد. على أي حال ، دعونا نفكر في تطبيق التحول الخاص بنا ، باعتباره المركب المذكور أعلاه ، ونرى ما سيحدث لهذا الخط. نحن & # 8217 لنفترض ذلك ، وكلها أعداد صحيحة.

الخطوة الأولى هي الترجمة الخطية. نظرًا لأن هذه الترجمة حقيقية (بما أنها أعداد صحيحة) ، فإن هذه الترجمة هي تحول أفقي ، لا يتغير.

التالي ، وهو. بالتفكير في نقطة على الخط ، يمكنك بسرعة تحديد إحداثياتها القطبية. التحول هو مركب من: (1) الانعكاس بالنسبة لدائرة الوحدة (تصبح النقطة) ، (2) الانعكاس عبر المحور الأفقي (معطيًا) ، وأخيرًا (3) الضرب في -1 (إعطاء ، لأن هذه هي الإحداثيات القطبية). هذه النقطة الأخيرة هي. كما يختلف خلال هذه الفترة أيضًا ، نحصل على التمثيل البياني للمنحنى القطبي. إذا كنت تعرف منحنياتك القطبية ، فأنت تعلم كيف يبدو هذا & # 8230

لذلك ، يأخذ التحويلان الأوليان الخط إلى الدائرة ذات المركز (0،1 / 2) ونصف القطر 1/2. التالي في مركبنا هو الضرب بـ ، وهو مجرد مقياس (منذ ذلك الحين). يأخذ هذا القياس دائرتنا إلى الدائرة ذات المركز ونصف القطر. أخيرًا ، التحويل الأخير هو ترجمة أفقية أخرى ، تاركًا دائرتنا تتمحور حول. نتعرف على هذا على أنه دائرة فورد للكسر (طالما تم تقليل هذا الكسر).

ألم & # 8217t هذا المرح؟ إذا كنت تريد التفكير في الأمر أكثر ، فقد تقنع نفسك بأن أي نقطة فوق الخط ستنتقل إلى نقطة داخل دائرة فاري ناتجة عن هذه العملية.

على أي حال ، يكفي مني. نأمل غدًا & # 8217 أن يكون لدي فكرة أكثر قليلاً عما أتحدث عنه. لا تعتمد عليه رغم ذلك.


خوارزمية لـ S-box

يتعامل هذا القسم بشكل أساسي مع هيكل S-box الخاص بنا. قبل أن نناقش الخوارزمية المكونة ، نحتاج إلى استعراض بعض الحقائق الأساسية.

دالة (f: < mathbb >_<2>^ rightarrow < mathbb > _ <2> ) يسمى أ دالة منطقية. نحدد أ دالة منطقية متجهة (ف: < mathbb >_<2>^ rightarrow < mathbb >_<2>^) كما

حيث (x = (x_ <1>، ، x_ <2>، ldots، x_) في < mathbb >_<2>^) وكل من (f_) 's for (1 le i le m ) هي وظيفة منطقية يشار إليها باسم دالة التنسيق المنطقية. تم تعريف S-box بدقة على أنه دالة منطقية متجهة (S: < mathbb >_<2>^ rightarrow < mathbb >_<2>^) .

في هذه المرحلة ، يبدو من العملي فهم الخصائص الهيكلية لحقل جالوا المستخدم في إنشاء صندوق S. بشكل عام لأي رئيس ص، حقل جالوا (GF (ص ^) ) بواسطة حلقة العامل (< mathbb >_

[X] / & lt eta (x) & gt ) حيث ( eta (x) in < mathbb >_

[X] ) هو كثير حدود درجة غير قابلة للاختزال ن.

بالنسبة إلى (8 times 8 ) S-box ، نستخدم (GF (2 ^ <8>) ). في معايير التشفير المتقدمة (AES) ، يعتمد بناء (GF (2 ^ <8>) ) على الدرجة 8 متعدد الحدود غير القابل للاختزال ( eta (x) = x ^ <8> + x ^ <4> + س ^ <3> + س + 1 ). في حسين وآخرون. (2013b) ، ( eta (x) = x ^ <8> + x ^ <4> + x ^ <3> + x ^ <2> + x + 1 ) يستخدم ككثير الحدود لتوليد. هنا نختار ( eta (x) = x ^ <8> + x ^ <6> + x ^ <5> + x ^ <4> +1 ) باعتباره كثير الحدود غير القابل للاختزال الذي يولد الحد الأقصى المثالي (& lt eta (x) & gt ) للمجال المثالي الرئيسي (< mathbb > _ <2> [X] ). من المهم أن نلاحظ أننا قد نختار أي درجة 8 غير قابلة للاختزال متعددة الحدود لبناء (GF (2 ^ <8>) ) ولكن اختيار إنشاء كثير الحدود قد يؤثر على حساباتنا حيث يتم تنفيذ العمليات الثنائية على نمط متعدد الحدود المستخدم (انظر Benvenuto 2012 للحصول على التفاصيل).

Generally the construction of an S-box requires a nonlinear bijective map. In literature many algorithms based on such maps or their compositions are presented to synthesize cryptographically strong S-boxes. We present the construction of S-box based on an invertible nonlinear map known as the fractional linear transformation. It is a function of the form (frac) generally defined on the complex plain (>) such that أ, ب, ج and (d in >) satisfy the non-degeneracy condition (ad-bc e 0) . The set of these transformations forms a group under the composition. The identity element in this group is the identity map and the the inverse (frac<-cz+a>) of (frac) is assured by the condition (ad-bc e 0) . One can easily observe that the algebraic expression of this map has a combined effect of inversion, dilation, rotation and translation. The nonlinearity and algebraic complexity of the fractional linear transformation motivates the idea to employ this map for byte substitution.

For the proposed S-box we apply fractional linear transformation ز on the Galois field discussed above, i.e. (g:GF(2^<8>) ightarrow GF(2^<8>)) given by (g(t)=frac) , where (a,, b,, c) and (din GF(2^<8>)) such that (ad-bc e 0) and ر varies from 0 to (255 in GF(2^<8>)) . We may choose any values for parameters أ, ب, ج و د that satisfy the condition (ad-bc e 0) . Here, for calculations, we take (a=29=00011101,, b=15=00001111,,c=8=00001000) and (d=9=00001001) . One may observe that as we are working on a finite field, ز(ر) needs to be explicitly defined at (t=47) (at which denominator vanishes), so in order to keep ز bijective we may define the transformation as given below

Following the binary operations defined on the Galois field (Benvenuto 2012), we calculate the images of ز as shown in Table 1.

Thus the images of the above defined transformation yield the elements of the proposed S-box (see Table 2).

It is important to mention that an (8 imes 8) S-box has 8 constituent Boolean functions. A Boolean function F يكون balanced if () و () have same cardinality or the Hamming weight HW ((f)=2^) . The significance of the balance property is that the higher the magnitude of a function’s imbalance, the more likelihood of a high probability linear approximation being obtained. Thus, the imbalance makes a Boolean function weak in terms of linear cryptanalysis. Furthermore, a function with a large imbalance can easily be approximated by a constant function. All the Boolean functions (f_,,i le i le 8) , involved in the S-box as shown in Table 2 satisfy the balance property. Hence, the proposed S-box is balanced. It might be of interest that in order to choose feasible parameters leading to balanced S-boxes satisfying all other desirable properties (as discussed in the next section), one can use constraint programming, a problem solving strategy which characterises the problem as a set of constraints over a set of variables (Kellen 2014 Ramamoorthy et al. 2011).

An S-box is used to convert the plain data into the encrypted data, it is therefore essential to investigate the comparative performance of the S-box. We, in the next section, analyse the newly designed S-box through various indices to establish the forte of our proposed S-box.


Output feedback control of linear fractional transformation systems subject to actuator saturation

In this paper, the control problem for a class of linear parameter varying (LPV) plant subject to actuator saturation is investigated. For the saturated LPV plant depending on the scheduling parameters in linear fractional transformation (LFT) fashion, a gain-scheduled output feedback controller in the LFT form is designed to guarantee the stability of the closed-loop LPV system and provide optimised disturbance/error attenuation performance. By using the congruent transformation, the synthesis condition is formulated as a convex optimisation problem in terms of a finite number of LMIs for which efficient optimisation techniques are available. The nonlinear inverted pendulum problem is employed to demonstrate the effectiveness of the proposed approach. Moreover, the comparison between our LPV saturated approach with an existing linear saturated method reveals the advantage of the LPV controller when handling nonlinear plants.


شاهد الفيديو: التحويلات الخطية. الرياضيات. تحويلات المصفوفات (ديسمبر 2021).