مقالات

2.3: تحولات الوظائف


وظائف مجموعة الأدوات الأساسية

المصدر: Bookshelves / Prealculus / Book: _Precalculus_ (OpenStax) /01:_Functions/1.02:_Functions_and_Function_Notation

في هذا النص ، سنستكشف الدوال - أشكال الرسوم البيانية ، وخصائصها الفريدة ، والصيغ الجبرية ، وكيفية حل المشكلات باستخدامها. عندما نتعلم القراءة ، نبدأ بالأبجدية. عند تعلم الحساب ، نبدأ بالأرقام. عند العمل مع الوظائف ، من المفيد أيضًا أن يكون لديك مجموعة أساسية من عناصر البناء. نسمي هذه "وظائف مجموعة الأدوات" ، والتي تشكل مجموعة من الوظائف الأساسية التي نعرف من أجلها الرسم البياني والصيغة والخصائص الخاصة. تمت برمجة بعض هذه الوظائف على أزرار فردية في العديد من الآلات الحاسبة. بالنسبة لهذه التعريفات ، سنستخدم (x ) كمتغير الإدخال و (y = f (x) ) كمتغير الإخراج.

سنرى وظائف مجموعة الأدوات هذه ، ومجموعات وظائف مجموعة الأدوات ، والرسوم البيانية الخاصة بها ، وتحولاتها بشكل متكرر خلال هذا الكتاب. سيكون مفيدًا جدًا إذا تمكنا من التعرف على وظائف مجموعة الأدوات هذه وميزاتها بسرعة من خلال الاسم والصيغة والرسم البياني وخصائص الجدول الأساسية. يتم تضمين الرسوم البيانية وقيم الجدول النموذجية مع كل دالة موضحة في Table ( PageIndex {1} ).

الجدول ( PageIndex {1} ): وظائف مجموعة الأدوات

وظيفة ثابتة
(f (x) = c ) حيث (c ) ثابت

تطابق وظيفي
(f (x) = c ) حيث (c ) ثابت

دالة القيمة المطلقة
(و (س) = | س | )

وظيفة من الدرجة الثانية
(و (س) = س ^ 2 )

مكعب
(و (س) = س ^ 3 )

دالة متبادلة
(f (x) = dfrac {1} {x} )

وظيفة الجذر التربيعي
(f (x) = sqrt {x} )

وظيفة جذر المكعب
(f (x) = sqrt [3] {x} )

دالة تربيعية متبادلة
(f (x) = dfrac {1} {x ^ 2} )

من المهم التعرف على هذه الوظائف الأساسية والتعرف على الرسوم البيانية الخاصة بهم. غالبًا ما يتم مواجهة هذه الوظائف في أشكال معدلة قليلاً نتيجة للتحولات أو الانعكاسات أو الانضغاطات أو امتدادات الرسم البياني الأساسي الأصلي. في هذا النوع من المواقف ، ليس من الضروري الرسم البياني عن طريق رسم النقاط. بدلاً من ذلك ، يمكن استخدام تقنية رسوم بيانية أسهل بكثير تسمى التحويلات. يوضح هذا القسم سبب عمل هذه التقنية وكيفية استخدامها.

التحولات العمودية

نوع واحد بسيط من التحويل يتضمن إزاحة الرسم البياني الكامل لوظيفة لأعلى أو لأسفل أو لليمين أو لليسار. أبسط إزاحة هو إزاحة رأسية ، أي تحريك الرسم البياني لأعلى أو لأسفل ، لأن هذا التحول يتضمن إضافة ثابت موجب أو سالب إلى الدالة. بمعنى آخر ، نضيف نفس الثابت إلى قيمة مخرجات الوظيفة بغض النظر عن المدخلات. بالنسبة للوظيفة (g (x) = f (x) + k ) ، يتم إزاحة الوظيفة (f (x) ) رأسياً (k ) الوحدات. انظر الشكل ( PageIndex {2} ) للحصول على مثال.

لمساعدتك في تصور مفهوم التحول العمودي ، ضع في اعتبارك أن (y = f (x) ). لذلك ، (f (x) + k ) يساوي (y + k ). يتم استبدال كل وحدة من (y ) بـ (y + k ) ، وبالتالي فإن قيمة (y ) - تزيد أو تنقص اعتمادًا على قيمة (ك ). والنتيجة هي التحول لأعلى أو لأسفل.

التحول العمودي

إعطاء دالة (f (x) ) ، دالة جديدة (g (x) = f (x) + k ) ، حيث (k ) ثابت ، هو a التحول العمودي من الوظيفة (f (x) ). تتغير جميع قيم الإخراج بمقدار (ك ) وحدة. إذا كان (k ) موجبًا ، فسوف يتحول الرسم البياني لأعلى. إذا كانت قيمة (k ) سلبية ، فسوف يتحول الرسم البياني إلى أسفل.

مثال ( PageIndex {1} ): إضافة ثابت إلى دالة

لتنظيم درجة الحرارة في مبنى أخضر ، تفتح فتحات تدفق الهواء بالقرب من السقف وتغلق طوال اليوم. يوضح الشكل ( PageIndex {1e} ) مساحة الفتحات المفتوحة (V ) (بالقدم المربع) طوال اليوم في ساعات بعد منتصف الليل ، (t ). خلال فصل الصيف ، قرر مدير المرافق محاولة تنظيم درجة الحرارة بشكل أفضل عن طريق زيادة كمية الفتحات المفتوحة بمقدار 20 قدمًا مربعًا طوال النهار والليل. ارسم رسمًا بيانيًا لهذه الوظيفة الجديدة.

الشكل ( PageIndex {1e} ): V (t)

المحلول

يمكننا رسم رسم بياني لهذه الوظيفة الجديدة عن طريق إضافة 20 إلى كل من قيم مخرجات الوظيفة الأصلية. سيكون لهذا تأثير تحويل الرسم البياني رأسيًا لأعلى ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {1s} ).

لاحظ أنه في الشكل ( PageIndex {1s} ) ، لكل قيمة إدخال ، زادت قيمة المخرجات بمقدار 20 ، لذلك إذا استدعينا الوظيفة الجديدة (S (t) ) ، يمكننا كتابة

[S (t) = V (t) +20 nonumber ]

يخبرنا هذا الترميز أنه بالنسبة لأي قيمة إدخال لـ (t ) ، يمكن العثور على (S (t) ) من خلال تقييم الوظيفة (V ) في نفس الإدخال ثم إضافة 20 إلى النتيجة. هذا يعرّف (S ) كتحول للوظيفة (V ) ، في هذه الحالة تحول رأسي لأعلى 20 وحدة. لاحظ أنه مع التحول الرأسي ، تظل قيم الإدخال كما هي وتتغير قيم المخرجات فقط. انظر الجدول أدناه.

(ر )0810171924
(الخامس (ر) )0022022000
(S (t) = V (t) +20 )20202402402020

Howto: إعطاء دالة جدولة ، أنشئ صفًا جديدًا لتمثيل تحول رأسي.

  1. حدد صف أو عمود الإخراج.
  2. تحديد الحجم من التحول.
  3. أضف الإزاحة إلى القيمة في كل خلية إخراج. أضف قيمة موجبة لأعلى أو قيمة سالبة للأسفل.

مثال ( PageIndex {2} ): تحويل دالة جدولية عموديًا

يتم إعطاء دالة (f (x) ) في الجدول أدناه. قم بإنشاء جدول للدالة (g (x) = f (x) −3 ).

(س )2468
(و (س) )13711

المحلول

تخبرنا الصيغة (g (x) = f (x) −3 ) أنه يمكننا إيجاد قيم إخراج (g ) بطرح 3 من قيم الإخراج (f ). فمثلا:

( start {align *} f (x) & = 1 && text {Original function} g (x) & = f (x) -3 && text {Given Transformation} g (2) & = و (2) −3 & = 1-3 & = - 2 نهاية {محاذاة *} )

بطرح 3 من كل قيمة (f (x) ) ، يمكننا إكمال جدول قيم (g (x) ) كما هو موضح في الجدول أدناه.

(س )2468
(و (س) )13711
(ز (س) = و (س) -3 )-2048

التحليلات

كما هو الحال مع التحول الرأسي السابق ، لاحظ أن قيم الإدخال تبقى كما هي وتتغير قيم المخرجات فقط.

( PageIndex {3} )

تعطي الوظيفة (h (t) = - 4.9t ^ 2 + 30t ) ارتفاع (h ) الكرة (بالأمتار) التي تم رميها لأعلى من الأرض بعد (t ) ثانية. افترض أن الكرة ألقيت بدلاً من ذلك من أعلى مبنى بطول 10 أمتار. اربط دالة الارتفاع الجديدة هذه (b (t) ) بـ (h (t) ) ، ثم ابحث عن صيغة لـ (b (t) ).

إجابه

(ب (ر) = ح (ر) + 10 = −4.9 طن ^ 2 + 30 طن + 10 )

التحولات الأفقية

لقد رأينا للتو أن التحول الرأسي هو تغيير في ناتج الوظيفة أو خارجها. سننظر الآن في كيفية تغيير التغييرات المدخلة ، داخل الوظيفة ، في الرسم البياني والمعنى. ينتج عن التحول إلى الإدخال حركة الرسم البياني للوظيفة يسارًا أو يمينًا فيما يعرف بـ a التحول الأفقي، كما هو موضح في الشكل أدناه.


الانزياح الأفقي للدالة (f (x) = sqrt [3] {x} ). لاحظ أن (h = + 1 ) ينقل الرسم البياني إلى اليسار ، أي باتجاه القيم السالبة لـ (x ).

على سبيل المثال ، إذا كانت (f (x) = x ^ 2 ) ، فإن (g (x) = (x − 2) ^ 2 ) هي وظيفة جديدة. يتم تقليل كل إدخال بمقدار 2 قبل تربيع الدالة. والنتيجة هي أن الرسم البياني قد تم إزاحته لوحدتين إلى اليمين ، لأننا سنحتاج إلى زيادة الإدخال السابق بمقدار وحدتين للحصول على نفس قيمة الإخراج كما هو موضح في (f ).

ملاحظة: التحول الأفقي

إعطاء دالة (f ) ، دالة جديدة (g (x) = f (x − h) ) ، حيث (h ) ثابت ، هو a التحول الأفقي من الوظيفة (و ). إذا كانت (h ) موجبة ، فسوف يتحول الرسم البياني إلى اليمين. إذا كانت (h ) سلبية ، فسوف يتحول الرسم البياني إلى اليسار.

مثال ( PageIndex {4} ): إضافة ثابت إلى إدخال

بالعودة إلى مثال تدفق هواء المبنى من الشكل ( PageIndex {1e} ) ، افترض أنه في الخريف قرر مدير المرافق أن خطة التنفيس الأصلية تبدأ بعد فوات الأوان ، ويريد بدء برنامج التنفيس بالكامل قبل ساعتين. ارسم رسمًا بيانيًا للدالة الجديدة.

المحلول

الشكل ( PageIndex {1e} ): V (t)

الشكل ( PageIndex {4s} ): V (t + 2)

يمكننا تعيين (V (t) ) ليكون البرنامج الأصلي و (F (t) ) ليكون البرنامج المعدل.

[V (t) = text {خطة التنفيس الأصلية} nonumber ]

[F (t) = text {البدء قبل ساعتين} nonumber ]

في الرسم البياني الجديد ، في كل مرة ، يكون تدفق الهواء هو نفسه الوظيفة الأصلية (V ) بعد ساعتين. على سبيل المثال ، في الوظيفة الأصلية (V ) ، يبدأ تدفق الهواء في التغير في الساعة 8 صباحًا ، بينما بالنسبة للوظيفة (F ) ، يبدأ تدفق الهواء في التغير عند الساعة 6 صباحًا. قيم الوظيفة المماثلة هي (V (8) ) = F (6) ). راجع الشكل ( PageIndex {4s} ). لاحظ أيضًا أن الفتحات فتحت لأول مرة على (220 text {ft} ^ 2 ) في الساعة 10 صباحًا وفقًا للخطة الأصلية ، بينما في إطار الخطة الجديدة ، تصل الفتحات إلى (220 text {ft} ^ 2 ) الساعة 8 صباحا ، لذلك (V (10) = F (8) ).

في كلتا الحالتين ، نرى ذلك ، لأن (F (t) ) يبدأ قبل ساعتين ، (ح = −2 ). هذا يعني أنه يتم الوصول إلى نفس قيم الإخراج عندما (F (t) = V (t - (- 2)) = V (t + 2) ).

التحليلات

لاحظ أن (V (t + 2) ) له تأثير تحويل الرسم البياني إلى اليسار.

تؤثر التغييرات الأفقية أو "التغييرات الداخلية" على مجال الوظيفة (المدخلات) بدلاً من النطاق وغالبًا ما تبدو غير منطقية. تستخدم الوظيفة الجديدة (F (t) ) نفس المخرجات مثل (V (t) ) ، ولكنها تطابق تلك المخرجات مع المدخلات قبل ساعتين من تلك الموجودة في (V (t) ). بطريقة أخرى ، يجب أن نضيف ساعتين إلى إدخال (V ) للعثور على الناتج المقابل لـ (F: F (t) = V (t + 2) ).

Howto: إعطاء دالة جدولة ، قم بإنشاء صف جديد لتمثيل إزاحة أفقية.

  1. حدد صف أو عمود الإخراج.
  2. تحديد الحجم من التحول.
  3. أضف الإزاحة إلى القيمة في كل خلية إدخال.

مثال ( PageIndex {5} ): تحويل دالة جدولة أفقيًا

يتم إعطاء دالة (f (x) ) في Table ( PageIndex {5e} ). قم بإنشاء جدول للدالة (g (x) = f (x − 3) ).

جدول ( PageIndex {5e} )

(س )

2468

(و (س) )

13711

المحلول

تخبرنا الصيغة (g (x) = f (x − 3) ) أن قيم إخراج (g ) هي نفسها قيمة الإخراج (f ) عندما تكون قيمة الإدخال أقل من 3 القيمة الأصلية. على سبيل المثال ، نعلم أن (f (2) = 1 ). للحصول على نفس الإخراج من الوظيفة (g ) ، سنحتاج إلى قيمة إدخال أكبر بمقدار 3. نقوم بإدخال قيمة أكبر 3 لـ (g (x) ) لأن الدالة تأخذ 3 بعيدًا قبل تقييم الوظيفة (f ).

( start {align *} g (5) & = f (5-3) & = f (2) & = 1 end {align *} )

نواصل مع القيم الأخرى لإنشاء Table ( PageIndex {5s} ).

جدول ( PageIndex {5s} )

(س )

57911

(س -3 )

2468

(و (س) )

13711

(ز (س) )

13711

والنتيجة هي أن الوظيفة (g (x) ) قد تم إزاحتها إلى اليمين بمقدار 3. لاحظ أن قيم الإخراج لـ (g (x) ) تظل كما هي لقيم الإخراج لـ (f (x) ) ، ولكن قيم الإدخال المقابلة ، (x ) ، قد تحولت إلى اليمين بمقدار 3. على وجه التحديد ، تم إزاحة 2 إلى 5 ، وتحويل 4 إلى 7 ، وتحويل 6 إلى 9 ، وانتقال 8 إلى 11.

التحليلات

يمثل الشكل ( PageIndex {5t} ) كلتا الوظيفتين. يمكننا أن نرى الانزياح الأفقي في كل نقطة.

الشكل ( PageIndex {5t} ): رسم بياني للنقاط من Table ( PageIndex {5s} ) لـ (f (x) ) و (g (x) = f (x-3) )

مثال ( PageIndex {6} ): تحديد التحول الأفقي لوظيفة مجموعة الأدوات

يمثل الشكل ( PageIndex {5e} ) تحولا لوظيفة مجموعة الأدوات (f (x) = x ^ 2 ). اربط هذه الوظيفة الجديدة (g (x) ) بـ (f (x) ) ، ثم ابحث عن صيغة لـ (g (x) ).

المحلول

لاحظ أن الرسم البياني متطابق في الشكل مع الدالة (f (x) = x ^ 2 ) ، لكن قيم (x ) - تم إزاحتها إلى وحدتين يمين. كان الرأس في السابق عند ((0،0) ) ، لكن الرأس الآن يقع عند ((2،0) ). الرسم البياني هو دالة تربيعية أساسية مزاحة بوحدتين إلى اليمين ، لذلك

[g (x) = f (x − 2) nonumber ]

لاحظ كيف يجب علينا إدخال القيمة (x = 2 ) للحصول على قيمة الإخراج (y = 0 ) ؛ يجب أن تكون القيم (x ) أكبر بمقدار وحدتين بسبب التحول إلى اليمين بمقدار وحدتين. يمكننا بعد ذلك استخدام تعريف الدالة (f (x) ) لكتابة صيغة لـ (g (x) ) من خلال تقييم (f (x − 2) ).

( start {align *} f (x) & = x ^ 2 g (x) & = f (x-2) g (x) & = f (x-2) = (x-2 ) ^ 2 end {align *} )

التحليلات

لتحديد ما إذا كان التحول هو (+ 2 ) أو (- 2 ) ، ضع في اعتبارك نقطة مرجعية واحدة على الرسم البياني. بالنسبة إلى المعادلة التربيعية ، يكون النظر إلى نقطة الرأس مناسبًا. في الوظيفة الأصلية ، (f (0) = 0 ). في وظيفتنا المتغيرة ، (ز (2) = 0 ). للحصول على قيمة الإخراج 0 من الوظيفة (f ) ، نحتاج إلى تحديد ما إذا كانت علامة زائد أو ناقص ستعمل على تلبية (g (2) = f (x − 2) = f (0) = 0 ). لكي ينجح هذا ، سنحتاج إلى طرح وحدتين من قيم الإدخال.

مثال ( PageIndex {7} ): تفسير التحولات الأفقية مقابل التحولات الرأسية

تعطي الوظيفة (G (م) ) عدد جالونات الغاز المطلوبة للقيادة (م ) ميل. يفسر (G (م) +10 ) و (G (م + 10) )

المحلول

(G (m) +10 ) يمكن تفسيره على أنه إضافة 10 غالونات إلى الإخراج. هذا هو الغاز المطلوب للقيادة (م ) ميل ، بالإضافة إلى 10 جالونات أخرى من الغاز. قد يشير الرسم البياني إلى تحول رأسي.

(G (m + 10) ) يمكن تفسيره على أنه إضافة 10 إلى المدخلات ، الأميال. إذن هذا هو عدد جالونات الغاز المطلوبة للقيادة 10 أميال أكثر من (م ) ميل. قد يشير الرسم البياني إلى تحول أفقي.

( PageIndex {8} )

بالنظر إلى الوظيفة (f (x) = sqrt {x} ) ، ارسم بيانيًا الوظيفة الأصلية (f (x) ) والتحول (g (x) = f (x + 2) ) على نفس المحاور. هل هذا تحول أفقي أم عمودي؟ بأي طريقة يتم إزاحة الرسم البياني وكم عدد الوحدات؟

إجابه

الرسوم البيانية لـ (f (x) ) و (g (x) ) موضحة أدناه. التحول هو تحول أفقي. يتم إزاحة الوظيفة إلى اليسار بمقدار وحدتين.

الجمع بين التحولات الرأسية والأفقية

الآن بعد أن أصبح لدينا تحولين ، يمكننا جمعهما معًا. التحولات العمودية هي تغييرات خارجية تؤثر على قيم محور الإخراج ((ص -) ) وتحول الوظيفة لأعلى أو لأسفل. التحولات الأفقية هي تغييرات داخلية تؤثر على قيم محور الإدخال ((س -) ) وتحويل الوظيفة إلى اليسار أو اليمين. سيؤدي الجمع بين نوعي التحولات إلى إزاحة الرسم البياني للدالة لأعلى أو لأسفل ولليمين أو لليسار.

Howto: إعطاء دالة وكلاهما تحول رأسي وآخر أفقي ، ارسم الرسم البياني.

  1. حدد الإزاحات الرأسية والأفقية من الصيغة.
  2. ينتج التحول الرأسي من ثابت يضاف إلى المخرجات. حرك الرسم البياني لأعلى للحصول على ثابت موجب ولأسفل للحصول على ثابت سالب.
  3. ينتج التحول الأفقي من ثابت يضاف إلى المدخلات. حرك الرسم البياني لليسار للحصول على ثابت موجب ولليمين للحصول على ثابت سالب.
  4. قم بتطبيق التحولات على الرسم البياني بأي من الترتيبين.

مثال ( PageIndex {9} ): دمج التحولات الرأسية والأفقية في الرسم البياني

بالنظر إلى (f (x) = | x | ) ، ارسم رسمًا بيانيًا لـ (h (x) = f (x + 1) −3 ).

المحلول

الوظيفة (f ) هي دالة القيمة المطلقة لمجموعة أدواتنا. نعلم أن هذا التمثيل البياني له شكل V ، والنقطة عند نقطة الأصل. قام الرسم البياني لـ (ح ) بتحويل (و ) بطريقتين: (و (س + 1) ) هو تغيير داخل الوظيفة ، مما يعطي إزاحة أفقية لليسار بمقدار 1 ، والطرح بمقدار 3 بوصات (f (x + 1) −3 ) هو تغيير للخارج للدالة ، مما يعطي إزاحة رأسية لأسفل بمقدار 3. يوضح الشكل ( PageIndex {9} ).

دعونا نتبع نقطة واحدة من الرسم البياني لـ (f (x) = | x | ).

يتم تحويل النقطة ((0،0) ) أولاً عن طريق إزاحة وحدة واحدة يسارًا: ((0،0) rightarrow (−1،0) )
يتم تحويل النقطة ((- 1،0) ) بعد ذلك عن طريق إزاحة 3 وحدات لأسفل: ((- 1،0) rightarrow (−1، −3) )

الشكل ( PageIndex {9} ): رسم بياني لدالة مطلقة (y = | x | ) وكيف تم تحويلها إلى (y = | x + 1 | -3 )

الوظيفة النهائية (h (x) = | x + 1 | -3 ). x

( PageIndex {10} )

بالنظر إلى (f (x) = | x | ) ، ارسم رسمًا بيانيًا لـ (h (x) = f (x − 2) +4 ).

إجابه


الشكل ( PageIndex {10} )

مثال ( PageIndex {11} ): تحديد التحولات الرأسية والأفقية المجمعة

اكتب صيغة للرسم البياني الموضح في الشكل ( PageIndex {11} ) ، وهو تحويل لدالة الجذر التربيعي لمجموعة الأدوات.

المحلول

يبدأ الرسم البياني لوظيفة مجموعة الأدوات من الأصل ، لذلك تم إزاحة هذا الرسم البياني من 1 إلى اليمين وإلى الأعلى 2. في تدوين الوظيفة ، يمكننا كتابة ذلك على النحو التالي

(ح (س) = و (س − 1) +2 )

باستخدام صيغة دالة الجذر التربيعي ، يمكننا الكتابة

(ح (س) = الجذر التربيعي {س − 1} +2 )

التحليلات

لاحظ أن هذا التحول قد غيّر مجال الوظيفة ونطاقها. يحتوي هذا الرسم البياني الجديد على المجال ( left [1، infty right) ) والنطاق ( left [2، infty right) ).

( PageIndex {12} )

اكتب صيغة لتحويل الدالة المتبادلة لمجموعة الأدوات (f (x) = frac {1} {x} ) التي تنقل الرسم البياني للوظيفة بمقدار وحدة واحدة إلى اليمين ووحدة واحدة لأعلى.

إجابه

(g (x) = dfrac {1} {x-1} +1 )

وظائف الرسوم البيانية باستخدام تأملات حول المحاور

التحويل الآخر الذي يمكن تطبيقه على دالة هو الانعكاس على المحور (x ) - أو (y ) -. أ انعكاس عمودي يعكس رسمًا بيانيًا عموديًا عبر المحور (س ) ، بينما يعكس أ انعكاس أفقي يعكس رسمًا بيانيًا أفقيًا عبر المحور (ص ). تظهر الانعكاسات في الشكل ( PageIndex {13} ).

.

لاحظ أن الانعكاس العمودي ينتج رسمًا بيانيًا جديدًا يمثل صورة معكوسة للرسم البياني الأساسي أو الرسم البياني الأصلي حول المحور (س ). ينتج الانعكاس الأفقي رسمًا بيانيًا جديدًا يمثل صورة معكوسة للرسم البياني الأساسي أو الرسم البياني الأصلي حول المحور (ص ).

خواطر

بالنظر إلى دالة (f (x) ) ، فإن دالة جديدة (g (x) = - f (x) ) هي a انعكاس عمودي من الوظيفة (f (x) ) ، تسمى أحيانًا انعكاس حول (أو فوق ، أو من خلال) المحور (x ).

بالنظر إلى دالة (f (x) ) ، فإن الوظيفة الجديدة (g (x) = f (−x) ) هي a انعكاس أفقي من الوظيفة (f (x) ) ، تسمى أحيانًا انعكاس حول (y ) - المحور.

Howto: إعطاء وظيفة ، عكس الرسم البياني عموديًا وأفقيًا.

  1. اضرب كل النواتج في -1 للانعكاس الرأسي. الرسم البياني الجديد هو انعكاس للرسم البياني الأصلي حول محور (س ).
  2. اضرب كل المدخلات في -1 للانعكاس الأفقي. الرسم البياني الجديد هو انعكاس للرسم البياني الأصلي حول المحور (ص ).

مثال ( PageIndex {13} ): عكس رسم بياني أفقيًا وعموديًا

اعكس الرسم البياني لـ (s (t) = sqrt {t} ) (a) رأسياً و (ب) أفقيًا.

المحلول

أ. يعني عكس الرسم البياني عموديًا أن كل قيمة مخرجات ستنعكس على المحور t الأفقي كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {14} ).

نظرًا لأن كل قيمة ناتجة هي عكس قيمة المخرجات الأصلية ، فيمكننا الكتابة

[V (t) = - s (t) text {or} V (t) = - sqrt {t} nonumber ]

لاحظ أن هذا تغيير خارجي ، أو تحول رأسي ، يؤثر على قيم الإخراج (s (t) ) ، لذا فإن الإشارة السالبة تنتمي إلى خارج الوظيفة.

ب. يعني الانعكاس أفقيًا أن كل قيمة إدخال ستنعكس على المحور الرأسي كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {13b} ).


الشكل ( PageIndex {13b} ): الانعكاس الأفقي لدالة الجذر التربيعي

نظرًا لأن كل قيمة إدخال هي عكس قيمة الإدخال الأصلية ، فيمكننا الكتابة

[H (t) = s (−t) text {أو} H (t) = sqrt {−t} nonumber ]

لاحظ أن هذا تغيير داخلي أو تغيير أفقي يؤثر على قيم الإدخال ، لذلك تكون الإشارة السالبة في داخل الوظيفة.

لاحظ أن هذه التحولات يمكن أن تؤثر على مجال ونطاق الوظائف. بينما تحتوي وظيفة الجذر التربيعي الأصلية على المجال ( left [0، infty right) ) والنطاق ( left [0، infty right) ) ، فإن الانعكاس العمودي يعطي (V (t) ) يعمل على النطاق ( left (- infty ، 0 right] ) ويعطي الانعكاس الأفقي الدالة (H (t) ) المجال ( left (- infty ، 0 right] ).

( PageIndex {14} )

اعكس الرسم البياني (f (x) = | x − 1 | ) (أ) عموديًا و (ب) أفقيًا.

إجابه

أ.

ب.

مثال ( PageIndex {15} ): عكس دالة جدولة أفقيًا ورأسيًا

يتم إعطاء الدالة (f (x) ) في صورة Table ( PageIndex {15} ). قم بإنشاء جدول للوظائف أدناه.

أ. (ز (س) = - و (س) )
ب. (ح (س) = و (−x) )

جدول ( PageIndex {15} )

(س )

2468

(و (س) )

13711

المحلول

أ. بالنسبة إلى (g (x) ) ، تشير العلامة السالبة خارج الوظيفة إلى انعكاس عمودي ، لذلك تظل قيم (x ) - كما هي وستكون كل قيمة مخرجات معاكسة لقيمة الإخراج الأصلية. راجع الجدول ( PageIndex {15a} ) أدناه.

جدول ( PageIndex {15a} )

(س )

2468

(ز (س) = - و (س) )

-1-3-7-11

ب. بالنسبة إلى (h (x) ) ، تشير العلامة السالبة داخل الوظيفة إلى انعكاس أفقي ، لذلك ستكون كل قيمة إدخال معاكسة لقيمة الإدخال الأصلية وتبقى قيم (h (x) ) كما هي (f (x) ) قيم. راجع الجدول ( PageIndex {15b} ) أدناه.

جدول ( PageIndex {15b} )

(س )

-2-4-6-8

(ح (س) = و (−x) )

13711

: ( PageIndex {16} )

يتم إعطاء الدالة (f (x) ) في صورة Table ( PageIndex {16} ). (ح (س) = و (−x) )

جدول ( PageIndex {16} )

(س )

-2024

(و (س) )

5101520
إجابه

أ. راجع الجدول ( PageIndex {15a} ) أدناه.

جدول ( PageIndex {16a} )

(س )

-2024

(ز (س) = - و (س) )

-5-10-15-20

ب. راجع الجدول ( PageIndex {15b} ) أدناه.

جدول ( PageIndex {16b} )

(س )

20-2-4

(ح (س) = و (−x) )

5101520

مثال ( PageIndex {17} ): تطبيق معادلة نموذج تعليمي

النموذج الشائع للتعلم له معادلة مشابهة لـ (k (t) = - 2 ^ {- t} +1 ) ، حيث (k ) هي النسبة المئوية للإتقان التي يمكن تحقيقها بعد (t ) جلسات التدريب. هذا تحويل للدالة (f (t) = 2 ^ t ) الموضحة في الشكل ( PageIndex {178} ). ارسم رسمًا بيانيًا لـ (k (t) ).

المحلول

تجمع هذه المعادلة بين ثلاثة تحولات في معادلة واحدة.

  • انعكاس أفقي: (f (−t) = 2 ^ {- t} )
  • انعكاس عمودي: (- f (−t) = - 2 ^ {- t} )
  • التحول الرأسي: (- f (−t) + 1 = −2 ^ {- t} +1 )

يمكننا رسم رسم بياني بتطبيق هذه التحويلات واحدة تلو الأخرى على الوظيفة الأصلية. دعونا نتبع نقطتين خلال كل من التحولات الثلاثة. سنختار النقاط ((0 ، 1) ) و ((1 ، 2) ).

  • أولاً ، نطبق انعكاس أفقي: ((0 ، 1) ؛ (–1 ، 2) ).
  • ثم نطبق انعكاسًا رأسيًا: ((0 ، −1) ؛ (-1 ، –2) ).
  • أخيرًا ، نطبق تحولًا رأسيًا: ((0 ، 0) ؛ (-1 ، -1) ).

هذا يعني أن النقاط الأصلية ((0،1) ) و ((1،2) ) تصبح ((0،0) ) و ((- 1 ، -1) ) بعدنا. تطبيق التحولات.

في الشكل ( PageIndex {17s} ) ، ينتج الرسم البياني الأول من انعكاس أفقي. النتيجة الثانية من انعكاس عمودي. النتيجة الثالثة من التحول الرأسي للأعلى بمقدار وحدة واحدة.

التحليلات

كنموذج للتعلم ، ستقتصر هذه الوظيفة على مجال (t geq0 ) ، مع النطاق المقابل ( left [0،1 right) ).

: ( PageIndex {18} )

بالنظر إلى وظيفة مجموعة الأدوات (f (x) = x ^ 2 ) ، الرسم البياني (g (x) = - f (x) ) و (h (x) = f (−x) ). لاحظ أي سلوك مفاجئ لهذه الوظائف.

إجابه

ملاحظة: (g (x) = f (−x) ) يشبه (f (x) ).

تمددات وضغطات

أدت إضافة ثابت إلى مدخلات أو مخرجات دالة إلى تغيير موضع الرسم البياني فيما يتعلق بالمحاور ، ولكنها لم تؤثر على شكل الرسم البياني. نستكشف الآن تأثيرات ضرب المدخلات أو المخرجات ببعض الكمية.

يمكننا تحويل الداخل (قيم الإدخال) لوظيفة ما أو يمكننا تحويل الخارج (قيم الإخراج) للدالة. كل تغيير له تأثير محدد يمكن رؤيته بيانياً.

التمدد والضغط الرأسي

عندما نضرب دالة في ثابت موجب ، نحصل على دالة يتم تمديد رسمها البياني أو ضغطها عموديًا بالنسبة إلى الرسم البياني للدالة الأصلية. إذا كان الثابت أكبر من 1 ، نحصل على a امتداد عمودي؛ إذا كان الثابت بين 0 و 1 ، نحصل على أ ضغط عمودي. يوضح الشكل ( PageIndex {19} ) دالة مضروبة في العوامل الثابتة 2 و 0.5 وما ينتج عن ذلك من تمدد وانضغاط رأسي.

التمدد والضغط الرأسي

إعطاء دالة (f (x) ) ، دالة جديدة (g (x) = af (x) ) ، حيث (a ) ثابت ، هو a امتداد عمودي أو ضغط عمودي من الوظيفة (f (x) ).

Howto: إعطاء دالة ، رسم امتدادها الرأسي بيانيًا.

  1. حدد قيمة (أ ).
  2. اضرب كل قيم النطاق في (أ )
  1. إذا كان (أ> 1 ) ، يتم تمديد الرسم البياني بعامل (أ ).
  2. إذا كان (0
  3. إذا كان (a <0 ) ، يكون الرسم البياني إما ممتدًا أو مضغوطًا وينعكس أيضًا على المحور السيني.

مثال 1.5.20: رسم بياني لتمدد رأسي

دالة (P (t) ) تمثل تجمعات ذباب الفاكهة. يظهر الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {20} ).

يقارن أحد العلماء هذه المجموعة السكانية بمجموعة سكانية أخرى ، (س ) ، التي يتبع نموها نفس النمط ، ولكنها أكبر بمرتين. ارسم رسمًا بيانيًا لهذه المجموعة السكانية.

المحلول

نظرًا لأن عدد السكان دائمًا أكبر بمرتين ، فإن قيم مخرجات المجموعة الجديدة تكون دائمًا ضعف قيم مخرجات الوظيفة الأصلية. بيانياً ، يظهر هذا في الشكل ( PageIndex {20s} ).

إذا اخترنا أربع نقاط مرجعية ، ((0 ، 1) ) ، ((3 ، 3) ) ، ((6 ، 2) ) و ((7 ، 0) ) سنضرب الكل من النواتج بمقدار 2.

يوضح ما يلي مكان النقاط الجديدة للرسم البياني الجديد. الرسم البياني المقابل على اليمين.

([(0، 1) rightarrow (0، 2) )

((3، 3) rightarrow (3، 6) )

((6، 2) rightarrow (6، 4) )

((7، 0) rightarrow (7، 0) )


الشكل ( PageIndex {20s} ):تضاعف الرسم البياني لوظيفة السكان.

رمزيا ، العلاقة مكتوبة كما

[Q (t) = 2P (t) nonumber ]

هذا يعني أنه لأي إدخال (t ) ، فإن قيمة الدالة (Q ) هي ضعف قيمة الدالة (P ). لاحظ أن التأثير على الرسم البياني هو امتداد رأسي للرسم البياني ، حيث تضاعف كل نقطة المسافة التي تفصلها عن المحور الأفقي. تظل قيم الإدخال ، (t ) ، كما هي بينما تكون قيم المخرجات أكبر بمرتين مما كانت عليه من قبل.

Howto: إعطاء وظيفة جدولة ، قم بإنشاء جدول للتمدد أو الضغط العمودي.

1. تحديد قيمة (أ ).

2. اضرب جميع قيم المخرجات في (أ ).

مثال ( PageIndex {21} ): البحث عن ضغط عمودي لدالة جدولة

يتم إعطاء دالة (f ) كـ Table ( PageIndex {21} ). أنشئ جدولاً للدالة (g (x) = frac {1} {2} f (x) ).
جدول ( PageIndex {21} )

(س )

2468

(و (س) )

13711

المحلول

تخبرنا الصيغة (g (x) = frac {1} {2} f (x) ) أن قيم إخراج (g ) هي نصف قيم الإخراج لـ (f ) بنفس القيمة المدخلات. على سبيل المثال ، نعلم أن (f (4) = 3 ). ثم

[g (4) = frac {1} {2} f (4) = frac {1} {2} (3) = frac {3} {2} nonumber ]

نفعل الشيء نفسه مع القيم الأخرى لإنتاج Table ( PageIndex {21s} ).

جدول ( PageIndex {21s} )

(س )

2468

(ز (س) )

( dfrac {1} {2} ) ( dfrac {3} {2} ) ( dfrac {7} {2} ) ( dfrac {11} {2} )

التحليلات

والنتيجة هي أن الوظيفة (g (x) ) تم ضغطها عموديًا بواسطة ( frac {1} {2} ). كل قيمة ناتجة مقسمة إلى النصف ، وبالتالي فإن الرسم البياني هو نصف الارتفاع الأصلي.

( PageIndex {22} )

يتم إعطاء دالة (f ) كـ Table ( PageIndex {22} ). أنشئ جدولاً للدالة (g (x) = frac {3} {4} f (x) ).
جدول ( PageIndex {22} )

(س )

2468

(و (س) )

1216200
إجابه
جدول ( PageIndex {22s} )

(س )

2468

(ز (س) )

912150

مثال ( PageIndex {23} ): التعرف على امتداد عمودي

الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {23} ) هو تحويل لوظيفة مجموعة الأدوات (f (x) = x ^ 3 ). اربط هذه الوظيفة الجديدة (g (x) ) بـ (f (x) ) ، ثم ابحث عن صيغة لـ (g (x) ).

عند محاولة تحديد امتداد أو إزاحة رأسية ، من المفيد البحث عن نقطة على الرسم البياني تكون واضحة نسبيًا. في هذا الرسم البياني ، يبدو أن (g (2) = 2 ). مع الدالة التكعيبية الأساسية في نفس الإدخال ، (f (2) = 2 ^ 3 = 8 ). بناءً على ذلك ، يبدو أن مخرجات (g ) هي ( frac {1} {4} ) مخرجات الوظيفة (f ) لأن (g (2) = frac {1 } {4} و (2) ). من هذا يمكننا أن نستنتج بأمان أن (g (x) = frac {1} {4} f (x) ).

يمكننا كتابة صيغة لـ (g ) باستخدام تعريف الوظيفة (f ).

[g (x) = frac {1} {4} f (x) = frac {1} {4} x ^ 3. لا يوجد رقم]

: ( PageIndex {24} )

اكتب صيغة الدالة التي نحصل عليها عندما نمد دالة مجموعة أدوات الهوية بمعامل 3 ، ثم نزاحها بمقدار وحدتين.

إجابه

(ز (س) = 3 س -2 )

التمدد والضغط الأفقي

الآن نأخذ في الاعتبار التغييرات داخل الدالة. عندما نضرب إدخال دالة في ثابت موجب ، نحصل على دالة يتم تمديد رسمها البياني أو ضغطها أفقيًا بالنسبة إلى الرسم البياني للدالة الأصلية. إذا كان الثابت بين 0 و 1 ، نحصل على a امتداد أفقي؛ إذا كان الثابت أكبر من 1 ، نحصل على أ ضغط أفقي من الوظيفة.

بالنظر إلى دالة (y = f (x) ) ، ينتج عن النموذج (y = f (bx) ) تمدد أو ضغط أفقي. ضع في اعتبارك الوظيفة (y = x ^ 2 ). لاحظ الرسم البياني أعلاه. الرسم البياني لـ (y = (0.5x) ^ 2 ) هو امتداد أفقي للرسم البياني للدالة (y = x ^ 2 ) بمعامل من 2. الرسم البياني (y = (2x) ^ 2 ) هو ضغط أفقي للرسم البياني للدالة (y = x ^ 2 ) بمعامل 2.

التمدد والضغط الأفقي

إعطاء دالة (f (x) ) ، دالة جديدة (g (x) = f (bx) ) ، حيث (b ) ثابت ، هو a امتداد أفقي أو ضغط أفقي من الوظيفة (f (x) ).

  • إذا كان (b> 1 ) ، فسيتم ضغط الرسم البياني بواسطة ( frac {1} {b} ).
  • إذا كان (0
  • إذا كان (b <0 ) ، فسيكون هناك مزيج من التمدد الأفقي أو الانضغاط مع انعكاس أفقي.

Howto: إعطاء وصف للدالة ، ارسم ضغطًا أفقيًا أو تمددًا.

  1. اكتب صيغة لتمثيل الوظيفة.
  2. اضبط (g (x) = f (bx) ) حيث (b> 1 ) للضغط أو (0

مثال ( PageIndex {25} ): رسم ضغط أفقي بالرسم البياني

لنفترض أن أحد العلماء يقارن مجموعة من ذباب الفاكهة بمجموعة تتقدم خلال عمرها الافتراضي ضعف سرعة السكان الأصليين. بعبارة أخرى ، سيتقدم هذا المجتمع الجديد ، (R ) ، في غضون ساعة واحدة بنفس المقدار الذي يتقدم به السكان الأصليون في غضون ساعتين ، وفي غضون ساعتين ، سوف يتقدمون بنفس المقدار الذي يتقدم به السكان الأصليون في غضون 4 ساعات. ارسم رسمًا بيانيًا لهذه المجموعة السكانية.

المحلول

رمزيًا ، يمكننا أن نكتب

( start {align *} R (1) & = P (2)، R (2) & = P (4)، & text {وبشكل عام ،} R (t) & = P (2t). end {align *} )

راجع الشكل ( PageIndex {25} ) للحصول على مقارنة رسومية للسكان الأصليين والمجموعة المضغوطة.


الشكل ( PageIndex {25} ): (أ) الرسم البياني الأصلي للسكان (ب) الرسم البياني للسكان المضغوط

التحليلات

لاحظ أن التأثير على الرسم البياني هو ضغط أفقي حيث تكون جميع قيم الإدخال نصف المسافة الأصلية من المحور الرأسي.

مثال ( PageIndex {26} ): البحث عن امتداد أفقي لوظيفة جدولة

يتم إعطاء الدالة (f (x) ) في صورة Table ( PageIndex {26} ). أنشئ جدولاً للدالة (g (x) = f ( frac {1} {2} x) ).

جدول ( PageIndex {26} )

(س )

2468

(و (س) )

13711

تخبرنا الصيغة (g (x) = f ( frac {1} {2} x) ) أن قيم الإخراج لـ (g ) هي نفسها قيم الإخراج للدالة (f ) عند إدخال نصف الحجم. لاحظ أنه ليس لدينا معلومات كافية لتحديد (g (2) ) لأن (g (2) = f ( frac {1} {2} ⋅2) = f (1) ) ، ونحن نفعل ليس لها قيمة لـ (f (1) ) في جدولنا. يجب أن تكون قيم الإدخال إلى (g ) أكبر بمرتين للحصول على مدخلات لـ (f ) يمكننا تقييمها. على سبيل المثال ، يمكننا تحديد (g (4) ).

[g (4) = f ( dfrac {1} {2} ⋅4) = f (2) = 1 nonumber ]

نفعل الشيء نفسه مع القيم الأخرى لإنتاج Table ( PageIndex {26s} )

جدول ( PageIndex {26s} )

(س )

481216

(ز (س) )

13711

يعرض الشكل ( PageIndex {26g} ) الرسوم البيانية لكلتا مجموعتي النقاط هاتين.

التحليلات

نظرًا لأنه تم مضاعفة كل قيمة إدخال ، فإن النتيجة هي أن الوظيفة (g (x) ) قد تم تمديدها أفقيًا بمعامل 2.

الشكل ( PageIndex {26g} ): رسم بياني للجدول السابق.

مثال ( PageIndex {27} ): التعرف على ضغط أفقي على رسم بياني

اربط الوظيفة (g (x) ) بـ (f (x) ) في الشكل ( PageIndex {27} ).

المحلول

يبدو الرسم البياني لـ (g (x) ) مثل الرسم البياني لـ (f (x) ) مضغوط أفقيًا. نظرًا لأن (f (x) ) ينتهي عند (6،4) وينتهي (g (x) ) عند (2،4) ، يمكننا أن نرى أن قيم (x ) - تم ضغطها بواسطة ( frac {1} {3} ) ، لأن (6 ( frac {1} {3}) = 2 ). قد نلاحظ أيضًا أن (g (2) = f (6) ) و (g (1) = f (3) ). في كلتا الحالتين ، يمكننا وصف هذه العلاقة بأنها (g (x) = f (3x) ). هذا ضغط أفقي بواسطة ( frac {1} {3} ).

التحليلات

لاحظ أن المعامل المطلوب للتمدد أو الانضغاط الأفقي هو معامل التمدد أو الانضغاط. لذا لتمديد الرسم البياني أفقيًا بمعامل قياس 4 ، نحتاج إلى معامل ( frac {1} {4} ) في وظيفتنا: (f ( frac {1} {4} x) ) . هذا يعني أن قيم الإدخال يجب أن تكون أكبر بأربع مرات للحصول على نفس النتيجة ، مما يتطلب أن يكون الإدخال أكبر ، مما يتسبب في التمدد الأفقي.

: ( PageIndex {28} )

اكتب صيغة لوظيفة الجذر التربيعي لمجموعة الأدوات التي تمدد أفقيًا بمعامل 3.

إجابه

(g (x) = f ( frac {1} {3} x) ) ، لذا باستخدام دالة الجذر التربيعي نحصل على (g (x) = sqrt { frac {1} {3} x} )

إجراء تسلسل من التحولات

عند الجمع بين التحولات ، من المهم جدًا مراعاة ترتيب التحولات. على سبيل المثال ، لا يؤدي التحويل الرأسي بمقدار 3 ثم التمدد الرأسي بمقدار 2 إلى إنشاء نفس الرسم البياني مثل التمدد الرأسي بمقدار 2 ثم التحول الرأسي بمقدار 3 ، لأنه عندما ننتقل أولاً ، يتم تمديد كل من الوظيفة الأصلية والتحول ، في حين أن تتمدد الوظيفة الأصلية عندما نمتد أولاً.

عندما نرى تعبيرًا مثل (2f (x) +3 ) ، ما هو التحويل الذي يجب أن نبدأ به؟ الجواب هنا يتبع بشكل جيد ترتيب العمليات. نظرًا لقيمة الإخراج (f (x) ) ، فإننا نضرب أولاً في 2 ، مما يتسبب في التمدد الرأسي ، ثم نضيف 3 ، مما يتسبب في حدوث التحول الرأسي. بمعنى آخر ، الضرب قبل الجمع.

التحولات الأفقية أصعب قليلاً في التفكير فيها. عندما نكتب (g (x) = f (2x + 3) ) ، على سبيل المثال ، علينا التفكير في كيفية ارتباط مدخلات الوظيفة (g ) بمدخلات الوظيفة (f ) . لنفترض أننا نعلم (f (7) = 12 ). ما المدخلات إلى (g ) من شأنها أن تنتج هذا الإخراج؟ بمعنى آخر ، ما قيمة (x ) التي ستسمح (g (x) = f (2x + 3) = 12؟ ) سنحتاج (2x + 3 = 7 ). لإيجاد قيمة (x ) ، سنطرح 3 أولاً ، مما ينتج عنه إزاحة أفقية ، ثم نقسم على 2 ، مما يتسبب في ضغط أفقي.

ينتهي العمل بهذا التنسيق بصعوبة بالغة ، لأنه عادةً ما يكون من الأسهل كثيرًا تمديد الرسم البياني أفقيًا قبل التبديل. يمكننا حل هذا عن طريق التحليل داخل الدالة.

(f (bx + p) = f (b (x + frac {p} {b})) )

دعونا نعمل من خلال مثال.

(و (س) = (2 س + 4) ^ 2 )

يمكننا تحليل 2 إلى عوامل.

(و (س) = (2 (س + 2)) ^ 2 )

يمكننا الآن أن نلاحظ بوضوح انزياح أفقي للوحدتين اليسرى والضغط الأفقي. يسمح لنا التحليل بهذه الطريقة بالتمدد أفقيًا أولاً ثم الانتقال أفقيًا.

ملاحظة: الجمع بين التحولات

عند الجمع بين التحويلات الرأسية المكتوبة بالصيغة (af (x) + k ) ، قم أولاً بالتمدد عموديًا بمقدار (a ) ثم التحول عموديًا بمقدار (k ).

عند الجمع بين التحويلات الأفقية المكتوبة بالصيغة (f (bx + h) ) ، انقل أولاً أفقيًا بمقدار (h ) ثم التمدد أفقيًا بمقدار ( frac {1} {b} ).

عند الجمع بين التحويلات الأفقية المكتوبة بالصيغة (f (b (x + h)) ) ، قم أولاً بالتمدد أفقيًا بمقدار ( frac {1} {b} ) ثم انقل أفقيًا بمقدار (h ).

التحولات الأفقية والعمودية مستقلة. لا يهم ما إذا كان يتم إجراء التحويلات الأفقية أو الرأسية أولاً.

مثال ( PageIndex {29} ): البحث عن تحويل ثلاثي لوظيفة جدولة

إعطاء جدول ( PageIndex {18} ) للدالة (f (x) ) ، أنشئ جدول قيم للدالة (g (x) = 2f (3x) +1 ).

جدول ( PageIndex {29} )

(س )

6121824

(و (س) )

10141517

المحلول

هناك ثلاث خطوات لهذا التحول ، وسنعمل من الداخل إلى الخارج. بدءًا من التحويلات الأفقية ، (f (3x) ) هو ضغط أفقي بواسطة ( frac {1} {3} ) ، مما يعني أننا نضرب كل (x ) - القيمة في ( frac { 1} {3} ). راجع الجدول ( PageIndex {29a} ).
جدول ( PageIndex {29a} )

(س )

2468

(و (3 س) )

10141517
بالنظر الآن إلى التحولات الرأسية ، نبدأ بالتمدد الرأسي ، والذي سيضاعف قيم المخرجات بمقدار 2. ونطبق هذا على التحويل السابق. راجع الجدول ( PageIndex {29b} ).
جدول ( PageIndex {29b} )

(س )

2468

(2f (3x) )

20283034
أخيرًا ، يمكننا تطبيق التحول الرأسي ، والذي سيضيف 1 إلى جميع قيم المخرجات. راجع الجدول ( PageIndex {29c} ).
جدول ( PageIndex {29c} )

(س )

2468

(ز (س) = 2 و (3 س) +1 )

21293135

مثال ( PageIndex {30} ): البحث عن تحويل ثلاثي لرسم بياني

استخدم الرسم البياني (f (x) ) في الشكل ( PageIndex {30} ) لرسم رسم بياني لـ (k (x) = f Big ( frac {1} {2} x + 1 كبير) −3 ).

المحلول
الخطوة 1. للتبسيط ، دعنا نبدأ من خلال تحليل ما بداخل الدالة إلى عوامل.

[f Big ( dfrac {1} {2} x + 1 Big) −3 = f Big ( dfrac {1} {2} (x + 2) Big) −3 nonumber ]

من خلال تحليل الداخل إلى عوامل ، يمكننا أولاً التمدد أفقيًا بمقدار 2 ، كما هو موضح بواسطة ( frac {1} {2} ) داخل الدالة. تذكر أن ضعف حجم 0 لا يزال 0 ، لذلك تظل النقطة ((0،2) ) عند ((0،2) ) بينما ستمتد النقطة ((2،0) ) إلى ((4،0) ). انظر الشكل ( PageIndex {30a} ).

الخطوة الثانية. بعد ذلك ، ننتقل أفقيًا إلى اليسار بمقدار وحدتين ، كما هو موضح بـ (x + 2 ). راجع الشكل ( PageIndex {30b} ).

الخطوة 3. أخيرًا ، نزحنا رأسياً لأسفل بمقدار 3 لإكمال مخططنا ، كما يتضح من −3 على السطح الخارجي للدالة. راجع الشكل ( PageIndex {30c} ).

المعادلات الرئيسية

المفاهيم الرئيسية

قائمة المصطلحات

ضغط أفقي
تحويل يضغط الرسم البياني للوظيفة أفقيًا ، بضرب الإدخال في ثابت b> 1

انعكاس أفقي
تحويل يعكس الرسم البياني للدالة عبر المحور الصادي بضرب الإدخال في −1

التحول الأفقي
تحويل يزيح الرسم البياني للدالة إلى اليسار أو اليمين عن طريق إضافة ثابت موجب أو سالب إلى الإدخال

امتداد أفقي
تحويل يمد الرسم البياني للوظيفة أفقيًا بضرب الإدخال في ثابت 0 <ب <1

ضغط عمودي
تحويل دالة يضغط الرسم البياني للوظيفة عموديًا بضرب الناتج في ثابت 0

انعكاس عمودي
تحويل يعكس الرسم البياني للدالة عبر المحور x بضرب الناتج في 1

التحول العمودي
تحويل يزيح الرسم البياني للدالة لأعلى أو لأسفل بإضافة ثابت موجب أو سالب إلى الناتج

امتداد عمودي
تحويل يمد الرسم البياني للوظيفة عموديًا بضرب الناتج في ثابت a>


ملخص

على مستوى عالٍ ، يتكون كل تطبيق Spark من ملف برنامج السائق الذي يدير الوظيفة الرئيسية للمستخدم & # 8217s وينفذ مختلف عمليات موازية على كتلة. التجريد الرئيسي الذي توفره Spark هو ملف مجموعة البيانات الموزعة المرنة (RDD) ، وهي مجموعة من العناصر مقسمة عبر عقد الكتلة التي يمكن تشغيلها بشكل متوازٍ. يتم إنشاء RDDs من خلال البدء بملف في نظام ملفات Hadoop (أو أي نظام ملفات آخر مدعوم من Hadoop) ، أو مجموعة Scala موجودة في برنامج التشغيل ، وتحويلها. قد يطلب المستخدمون أيضًا من Spark إلى ثابر RDD في الذاكرة ، مما يسمح بإعادة استخدامه بكفاءة عبر عمليات متوازية. أخيرًا ، يتعافى RDDs تلقائيًا من فشل العقدة.

التجريد الثاني في Spark هو المتغيرات المشتركة التي يمكن استخدامها في عمليات متوازية. بشكل افتراضي ، عندما تقوم Spark بتشغيل وظيفة بالتوازي كمجموعة من المهام على عقد مختلفة ، فإنها تقوم بشحن نسخة من كل متغير مستخدم في الوظيفة لكل مهمة. في بعض الأحيان ، يحتاج المتغير إلى المشاركة عبر المهام ، أو بين المهام وبرنامج السائق. يدعم Spark نوعين من المتغيرات المشتركة: متغيرات البث، والتي يمكن استخدامها لتخزين قيمة في الذاكرة مؤقتًا على جميع العقد ، و المراكم، وهي المتغيرات التي تكون & # 8220 مضافة & # 8221 فقط ، مثل العدادات والمجاميع.

يوضح هذا الدليل كل من هذه الميزات في كل لغة من اللغات المدعومة من Spark & ​​# 8217s. من الأسهل اتباعها إذا قمت بتشغيل قذيفة تفاعلية Spark & ​​# 8217s & # 8211 إما bin / spark-shell لقذيفة Scala أو bin / pyspark لقذيفة Python.


عند حدوث تحول ، يُعرف الشكل الأصلي بالصورة السابقة ويعرف الشكل الجديد بالصورة.

لقد تم عرضه بوضوح في الصورة أدناه.

عندما يتم نقل الشكل من مكان إلى آخر ، نقول إنه تحول.

في هذه المرحلة ، يكون لدى الطلاب دائمًا الأسئلة التالية.

كيف يتم هذا التحول؟

بشكل أوضح ، ما هي الأسس التي تم إجراء التحول عليها؟

هل هناك أي قاعدة محددة مسبقًا لإجراء التغيير؟

نعم ، هناك قاعدة محددة مسبقًا لإجراء كل تحول.

تعتمد القاعدة التي نطبقها لإجراء التحول على نوع التحول الذي نجريه.

لقد رأينا بالفعل أنواعًا مختلفة من التحولات في الوظائف. & # xa0

على سبيل المثال ، إذا كنا سنقوم بتحويل دالة باستخدام الانعكاس عبر المحور x ، فهناك قاعدة محددة مسبقًا لذلك. وفقًا للقاعدة ، يتعين علينا إجراء تحول.

القاعدة التي نطبقها لإجراء التحويل باستخدام الانعكاس والقاعدة التي نطبقها لإجراء التحويل باستخدام الدوران ليست هي نفسها.

وبالتالي ، لكل نوع من أنواع التحويل ، قد نضطر إلى تطبيق قاعدة مختلفة.

بصرف النظر عن الأشياء المذكورة أعلاه ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات الخاص بنا ، فيرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


Desmos 2 & # 8211 تحولات الرسوم البيانية

بقلم مارك دوز (يناير 2019)

إذا كنت جديدًا على Desmos ، فقد ترغب في قراءة مدونتي السابقة Desmos & # 8211 الأساسيات أولاً.

ستستكشف هذه المدونة طرقًا لاستخدام Desmos (www.desmos.com) لتعليم تحويلات الرسوم البيانية في GCSE وفي الرياضيات على المستوى A. هذه ليست خطة درس ولكن الأفكار هنا يمكن استخدامها بسهولة في الدروس ، وهناك عدد من البدائل المختلفة (مثل استخدام أشرطة التمرير ، وربط الرسوم البيانية بالجداول واستخدام تدوين الوظيفة) التي قد تكون مناسبة لفئات مختلفة أو على مستويات مختلفة . لقد كتبت الأشياء التي أقترح قولها للفصل في شكل تعليمات. هناك بدائل ستنجح أيضًا ، لذا فهذه مجرد اقتراحات.

نقطة البداية: تحريك الرسوم البيانية لأعلى ولأسفل

أعتقد أن هذا أمر يستحق قضاء بعض الوقت فيه ، على الرغم من أنه أمر من المحتمل أن يكون التلاميذ على دراية به بالفعل (من خلال عملهم مع y = mx + c) ، لتمكين إنشاء روابط جديدة واستكشاف _لماذا _ تتحرك الرسوم البيانية بالطريقة التي يفعلونها.

اكتب هذين الرسمين البيانيين. اطلب من التلاميذ أن يصفوا كيفية تحويل الرسم البياني الأحمر إلى الأزرق. تأكد من أنهم يعلمون أن كل نقطة على الرسم البياني الأحمر قد تم تحريكها لأعلى (عموديًا) بمقدار 2. هذا ليس واضحًا دائمًا: بالنسبة لبعض التلاميذ ، يبدو الرسم البياني الأزرق كما لو تم إجراؤه عن طريق الضغط على الرسم البياني الأحمر للداخل.

اسأل ماذا سيحدث للرسم البياني الأزرق إذا أصبحت المعادلة الزرقاء y = x 2 + 3 ، أو y = x 2-1 أو & # 8230. في كل مرة ، قم بتحرير المعادلة الزرقاء ويمكن للتلاميذ أن يروا ما إذا كانوا على حق.

الآن احذف الرسم البياني الأزرق وانقر على الترس:

وحدد "تحويل إلى جدول":

سيبدو الآن كما يلي:

إذا قمت بالنقر فوق الجزء الذي حددته باللون الأصفر ثم اكتب x ^ 2 + 2 ، فسترى هذا:

لرسم المنحنى الأزرق ، انقر مرة أخرى على الترس ثم انقر على النقطة الزرقاء في عنوان الجدول وقم بتشغيل زر "الخطوط" (مميز):

استخدم هذا لإظهار _لماذا_ تحرك المنحنى لأعلى بمقدار 2.

من الجيد إلى حد ما وجود نقاط الآن للنقاط في الجدول ، لذلك يمكننا أن نرى بشكل أوضح أن كل نقطة قد تحركت صعودًا بمقدار 2.

أكد أنه بالنسبة إلى الرسم البياني الأحمر قمنا بحساب x تربيع ورسمنا ذلك مقابل قيمة x. بالنسبة إلى الرسم البياني الأزرق ، قمنا بحساب x تربيع ولكننا أضفنا 2 إليه قبل رسمه مقابل قيمة x ، لذا فإن الإحداثي y لكل نقطة أكبر بمقدار 2 مما كان عليه من قبل ، وبالتالي تحرك الرسم البياني لأعلى بمقدار 2.

باستخدام f (x)

يمكن استخدام هذا كطريقة للإشارة إلى بعض قوة تدوين الوظيفة. يمكن استخدامه بالإضافة إلى ما تم القيام به سابقًا أو بدلاً من ذلك.

لقد أوضحت ذلك باستخدام الرسم البياني لـ f (x) = x 3. كما ذكرت في رسالتي السابقة ، فإن أحد الأشياء القليلة التي لا أحبها في Desmos هو أنه يرسم بسعادة الرسم البياني لـ y = f (x) دون أن يُطلب منه ذلك.

تُظهر لقطة الشاشة التالية مجموعة متشابهة جدًا من التحويلات ، مرة أخرى تربط جدول القيم بالرسم البياني (مع جدول القيم الذي تم إنشاؤه على النحو الوارد أعلاه).

يمكن إجراء جميع الأشياء السابقة (مثل تغيير "+2" في نهاية عنوان الجدول) هنا أيضًا.

أحد الأشياء الرائعة في هذا الإصدار هو أنه إذا تم تغيير f (x) الأصلي (على سبيل المثال ، إلى x 3 + 2x 2 ، فإن كل شيء يتغير أيضًا ، بما في ذلك الجدول وجميع الرسوم البيانية. يمكن استخدام هذا في تأثير جيد لإثبات أن جميع الرسوم البيانية تتحرك لأعلى بمقدار 2 عند وضع "+2" في النهاية.

باستخدام شريط التمرير

إذا قمت بكتابة y = x 2 + a يسألك Desmos عما إذا كنت تريد "إضافة شريط تمرير". فقط اضغط على Enter وسيحدث ذلك تلقائيًا.

انقر فوق الترس إذا كنت تريد تغيير حساسية شريط التمرير.

يمكن استخدام هذا لإظهار الرسم البياني يتحرك لأعلى ولأسفل مع تغير قيمة "أ". كما أنها تعمل بشكل جيد مع صيغة الجبر f (x).

مفهوم خاطئ محتمل

احذر من أن بعض الطلاب يعتادون على فكرة أن "الرقم في النهاية" هو نفسه "تقاطع y". على سبيل المثال ، في y = mx + c ، فإن "+ c" هو بالفعل تقاطع y ، وينطبق الشيء نفسه على y = ax 2 + bx + c وأي كثير حدود آخر. ومع ذلك ، فإن هذا ليس هو الحال دائمًا ، وهذا أحد أسباب اختيار استدعاء شريط التمرير "أ" بدلاً من "ج" في القسم أعلاه. قد يكون من المفيد استخدام بعض الأمثلة حيث لا يكون الرقم المضاف هو تقاطع y ، مثل y = 1 / x + 1 (الذي لا يحتوي على تقاطع y على الإطلاق) و y = 2 x + 1 و y = cos (x) + 1 (كلاهما له تقاطع y مع 2).

لقد قمت بتضمين هذا الرسم البياني المثلثي كتذكير لكيفية تغيير ديسموس إلى درجات وتغيير المقياس. انقر فوق مفتاح البراغي الموجود على الجانب الأيمن وقم بتغيير القيم كما هو موضح:

تحريك الرسوم البيانية إلى اليسار واليمين

يشعر العديد من الطلاب كما لو أن هذا الإصدار يتحرك "في الاتجاه الخطأ". تظهر لقطة الشاشة التالية عدة أفكار في نفس الوقت. (يمكن القيام بذلك أيضًا باستخدام y = x 3 و y = (x + 1) 3.)

أحب أن أبدأ بشيء غير قياسي حيث لا توجد قيم متكررة لـ f (x) ، لتجنب الالتباس لاحقًا. ثم احصل على Desmos لإنشاء الجدول كما كان من قبل ورسم المنحنى.

اجذب انتباه الطلاب إلى الطاولة. تظهر نفس القيم في كلا العمودين. لماذا يتحولون بالطريقة التي هم عليها؟ في الرسم البياني الأصلي ، عندما x = 0 نرسم قيمة f (0). ولكن في الإصدار الذي يحتوي على f (x + 1) ، للحصول على نفس الإحداثي y (وهو f (0) في هذه الحالة) نحتاج إلى x ليكون -1 ولذا نحتاج إلى رسمه في مكان واحد على متبقى. يمكننا أن نرى في الجدول أن قيم f (x + 1) تظهر الآن تتحرك إلى اليسار بمقدار 1.

يمكننا القيام بالعديد من الأشياء نفسها التي فعلناها من قبل ، مثل وضع شريط التمرير (ربما يكون لديك y = f (x + b) هذه المرة).

إخفاء الوظيفة الفعلية

يمكن أن يعمل بشكل جيد جدًا لمنح الطلاب وظيفة لا يتعرفون عليها ويطلب منهم تحويلها باستخدام معرفتهم التحويلية ، دون المخاطرة بمحاولة استبدال الأقواس أو توسيعها.

قبل البدء في عرضه على الفصل الدراسي ، قم بإنشاء وظيفة غير مألوفة في الجزء العلوي من ملف Desmos ، مثل:

اضغط على "إدخال" عددًا كافيًا من المرات حتى تختفي الوظيفة من أعلى الشاشة.

يمكننا أن نرى بوضوح أن التمثيل البياني البرتقالي قد تحرك إلى اليسار بمقدار 2 وأعلى بمقدار 1 لتشكيل التمثيل البياني الأزرق.

تمتد عموديا

لقد بدأت بـ f (x) ورسمت الجدول وكذلك الرسم البياني. بالنسبة إلى y = 3f (x) ، تم ضرب ما كان يُرسم على أنه إحداثي y في 3 قبل رسمه. هذا يعني أن أي شيء كانت له قيمة y تساوي صفرًا من قبل لا يزال له قيمة y تساوي صفرًا ، وأي شيء كان موجبًا في السابق يكون حجمه 3 أضعاف وأي شيء كان سالبًا لا يزال سالبًا ولكن تم ضربه في 3. كل شيء كان تمدد في اتجاه صعود لأسفل بمعامل 3: جميع النقاط تبعد ثلاثة أضعاف عن المحور x.

لقد قمت بتمديد الجدول ليشمل المزيد من القيم. من السهل القيام بذلك: انقر فوق العمود x (القيمة الأولى في الأصل هي -2 - انقر فوق ذلك) واكتب ما تريد. إذا ضغطت على "إدخال" ، فسيؤدي ذلك إلى إنشاء صف فارغ جديد لتكتب فيه.

مفهوم خاطئ محتمل

سأكون حذرًا من البدء بـ f (x) = x 2 هنا. هذا الرسم البياني يلمس المحور x مرة واحدة فقط وفي كل مكان آخر يكون فوق المحور x. يمكن أن يؤدي هذا إلى الاعتقاد الخاطئ بأن الامتداد يسحب الرسم البياني للأعلى فقط.

منزلقات متعددة

يمكننا دمج جميع التحولات الثلاثة التي نظرنا إليها حتى الآن باستخدام منزلقات متعددة (فقط اكتب الأحرف: سيضيف Desmos أشرطة التمرير لك). هل لاحظ أن طلابنا لا يحتاجون إلى الجمع بين أي شيء أكثر تعقيدًا من هذه التحولات.

تُظهر لقطة الشاشة هذه أنه تم إزاحتها لليسار بمقدار 2 ، وتمتد لأعلى ولأسفل بعامل 3.5 ثم ارتفعت بمقدار 2. (ضع في اعتبارك: هل الترتيب مهم؟ أحيانًا & # 8230!)

سحق الداخل

إذا قمنا بتحويل f (x) إلى f (2x) ، يبدو مرة أخرى لبعض الطلاب أن الأشياء تحدث "بطريقة خاطئة" لأن الرسم البياني "مضغوط للداخل" بمعامل 2.

هذا لأنه عندما نرسم y = f (2x) ، فإن ما كان يتم رسمه في x = 2 عندما كان لدينا y = f (x) يتم رسمه الآن عند x = 1. بالنسبة إلى y = f (2x) يصبح كل شيء نصف المسافة من المحور الصادي كما كانت من قبل.

فهم السلبيات

النوع الأخير من التحويل الذي سننظر إليه هو ما يحدث إذا كان لدينا y = -f (x) أو y = f (-x). غالبًا ما يجد الطلاب هذه الأمور محيرة ، خاصةً لأنه مع وظائف معينة (مثل f (x) = sin (x) و f (x) = x 3 ، والمعروفة باسم "الدوال الفردية") تبدو متشابهة.

إذا قارنا y = f (x) و y = -f (x) فنحن نعلم أننا في كلتا الحالتين نعمل على إيجاد f (x) ، لكن في الحالة الثانية ، لا نرسم القيمة التي نحسبها ولكن بدلاً من ذلك ، ارسم النسخة السلبية. مرة أخرى ، يمكن للجدول أن يوضح ذلك ويساعد في تفسير سبب انعكاس ذلك في المحور السيني.

إذا قارنا y = f (x) و y = f (-x) ، يمكننا أن نرى أن ما كان يتم رسمه بقيمة موجبة لـ x يتم الآن رسمه في النسخة السالبة من x (والعكس صحيح). يساعدنا هذا في رؤية أننا نعكس المحور ص.

اختر الرسوم البيانية الخاصة بك بحكمة!

الفكرة الأخيرة هي أن هناك الكثير من الخيارات بشأن الرسم البياني الذي يجب استخدامه لتوضيح أو مناقشة تحول معين. ضع في اعتبارك بعناية أي واحد لاستخدامه في موقف معين. على سبيل المثال: -sin (x) = sin (-x) ، لذلك قد لا يكون ذلك مفيدًا عند إظهار التحولات السلبية. cos (x) = cos (-x) ، لذا فإن مناقشة الانعكاس في المحور y باستخدام هذا كمثال أولي قد لا يكون مفيدًا (نفس الشيء ينطبق على x 2 و (-x) 2).

يمكن أن تكون دوال المثلث مفيدة في تحويلات الضرب ، مع ذلك ، نظرًا لأن 2sin (x) تبدو مختلفة تمامًا عن الخطيئة (2x) ، ولكنها قد لا تكون مفيدة للترجمة من اليسار إلى اليمين لأنها دورية.


MathHelp.com

(هذا هو الرسم البياني للدالة العادية.)

(هذا أكثر بدانة من الرسم البياني للدالة العادية ، والذي تم عرضه في المربع السابق.)

أول قطع مكافئ ، واحد لـ 2x 2 ، ينمو أسرع مرتين x 2 (الرسم البياني الأوسط) ، لذا فإن رسمه البياني طويل ونحيف. من ناحية أخرى ، فإن القطع المكافئ الثالث ، واحد للوظيفة (& frac12) x 2 ، ينمو فقط نصف أسرع x 2 ، لذلك فإن الرسم البياني الخاص به قصير وسمين.

يمكنك القول ، بشكل تقريبي ، أن الرسم البياني الأول ، نظرًا لكونه نحيفًا ، يتم ضربه في شيء أكبر من 1 ، لذا فهو ينمو بشكل أسرع من المعتاد ، وأن الرسم البياني الثالث ، كونه مستقطبًا ، مضروبًا في شيء أصغر من 1 ، لذلك ينمو أبطأ من المعيار. ولكن من الصعب تحديد بالضبط ما تم ضرب الرسم البياني به ، بمجرد النظر إلى الصورة.

على سبيل المثال ، هل يمكنك معرفة أن الرسم البياني أدناه يظهر 1.4 مرة F (x) = 1.4x 2 ?

النوع الآخر الأكثر صعوبة من التحويل هو الضرب على وسيطة الدالة. غالبًا ما يشبه الضرب على الوظيفة بأكملها. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الرسوم البيانية لـ F (2x) = (2x) 2 , F (x) = x 2 و F (& frac12 x) = (& frac12 x) 2 أدناه:

(ينمو هذا الرسم البياني بسرعة مضاعفة كما ينمو الرسم البياني للوظيفة العادية ، كما هو موضح في المربع التالي.)

(هذا هو الرسم البياني للدالة العادية.)

(ينمو هذا الرسم البياني بنصف سرعة الرسم البياني للوظيفة العادية ، كما هو موضح في المربع السابق.)

كما ترى ، فإن الضرب داخل الدالة (داخل وسيطة الدالة) يؤدي إلى أن يصبح الرسم البياني أرق أو أكثر بدانة. هذا يشبه إلى حد كبير تحويلات الضرب الأخرى ، لكن هذا التحويل هو الضرب خارج الدالة بأكملها أو عليها. وعادة ما يكون من المستحيل تقريبًا تحديد هذا التحول من الرسم البياني ، أو تمييزه عن التحويل الضربي الآخر.

في بعض الأحيان ، على الرغم من ذلك ، من المفيد إلقاء نظرة على أصفار الرسم البياني (إذا كان يحتوي على أكثر من واحد) أو نقاط التحول ، حيث ستنتشر أكثر (إذا تم ضرب الوسيطة بشيء أكبر من 1) أو يتم تجميعها باتجاه ذ -المحور (إذا تم ضرب الوسيطة بشيء أصغر من 1).

على سبيل المثال ، النظر في ذ = x في الشكل 2 و ndash 4 ، يمكنك أن ترى أن الضرب خارج الوظيفة لا يغير موقع الأصفار ، لكن الضرب داخل الوظيفة يؤدي إلى:

(هذا هو الرسم البياني لـ F (x) ، مع أصفار في x = & ndash2، 2)

(هذا الرسم البياني أطول ، لكن الأصفار تتطابق مع تلك الخاصة بالوظيفة الأصلية ، الموضحة في المربع السابق.)

(ليس هذا الرسم البياني أطول فحسب ، بل انتقلت الأصفار أيضًا إلى الداخل ، إلى x = & ndash1، 1.)

للتلخيص ، فإن تحويلات & quotleft & quot و & quotle & quot و & quotup & quot و & quotdown & quot و & quotflip & quot و & quotmirror & quot تكون بسيطة إلى حد ما ، ولكن تحويلات & quotmultiply & quot؛ والتي تسمى أيضًا & quot؛ stretching & quot و & quot؛ quotsqueezing & quot؛ يمكن أن تكون فوضوية بعض الشيء. فقط آمل ألا تكون مطلوبة منك كثيرًا.

تطلب منك مشاكل الواجبات المنزلية النموذجية في هذا الموضوع أن تقوم برسم بياني لتحول الوظيفة ، مع الأخذ في الاعتبار الوظيفة الأصلية ، أو تطلب منك معرفة التحويل ، في ضوء الرسوم البيانية المقارنة.

التفكير في الرسم البياني لـ F (x) = x 4 ، الرسم البياني F (x & - 2) + 1

الرسم البياني لـ F (x) = x 4 يشبه هذا:

بالنظر إلى تعبير هذه الترجمة ، يخبرني & quot +1 & quot خارج الوظيفة أنه سيتم نقل الرسم البياني أعلى بوحدة واحدة. وتخبرني & quot & & ndash2 & quot داخل الوسيطة أن الرسم البياني سيتم إزاحته لوحدتين إلى اليمين. (تذكر أن الإزاحة من اليسار إلى اليمين ترجع إلى الوراء عما قد تتوقعه).

بشكل عام ، من الأفضل العمل من الداخل إلى الخارج. لذلك سأقوم بتحريك الرسم البياني إلى اليمين بمقدار وحدتين. ثم سأقوم بتحريك النتيجة بمقدار وحدة واحدة.

ثم يبدو الرسم البياني المترجم كما يلي:

عندما يرسمون لك رسمًا بيانيًا عن طريق تحريك الرسوم البيانية الأخرى ، لا يمكن أن ينتقدوا رسمك بشكل رهيب ، نظرًا لأنه ليس من المفترض أن تقوم بعمل مخطط T وتحسب النقاط الدقيقة. لكن حاول أن تجعل الرسم البياني الخاص بك يبدو معقولاً.

بالمناسبة ، يمكنك دائمًا & quot؛ اقتباس & quot؛ بالمناسبة ، خاصة إذا كان لديك آلة حاسبة بالرسوم البيانية ، عن طريق الرسم البياني بسرعة ذ = (x & ndash 2) 4 + 1 والتحقق من أنه يطابق ما رسمته. لكنك تحتاج إلى معرفة كيفية القيام بتحولات الوظيفة ، لأن هناك طرقًا لطرح الأسئلة التي لا تسمح لك بالغش ، كما سنرى في القسم التالي.


2.3: تحولات الوظائف

ناقش الدرس 3.1 نوعين من التحولات: الامتدادات والانعكاسات. سيقدم هذا الدرس الترجمات ، نوعًا ثالثًا من التحويل ، ويناقش تأثيرات الجمع بين عدة أنواع من التحولات.

أ ترجمة يرسل جميع نقاط الرسم البياني نفس المسافة في نفس الاتجاه.

الترجمات العمودية

تنقل الترجمة الرأسية ، أو التحول الرأسي ، كل نقطة على الرسم البياني لأعلى أو لأسفل على نفس المسافة. استكشف تأثير إضافة ثلاثة إلى دالة القيمة المطلقة.

    أدخل ص1 = القيمة المطلقة (x) و Y2 = القيمة المطلقة (x) + 3 في المحرر Y =.

لاحظ أن القيم في Y.2 نكون ثلاثة أكثر من القيم في Y1.

الرسم البياني المحول هو إزاحة رأسية لأعلى بمقدار 3 وحدات. يوضح الجدول والرسم البياني أدناه التحول الرأسي بمقدار 3 وحدات لأعلى.

3.2.1 عرض الرسوم البيانية ووصف التحولات. انقر هنا للحصول على الجواب.

لقد درسنا التحولات الرأسية التي تم إنشاؤها عن طريق التمدد أو الانكماش عموديًا ، من خلال الانعكاس عبر x-المحور ، أو عن طريق التحول لأعلى أو لأسفل. في كل حالة ، وصفنا كيف تم تحويل الرسم البياني ذ- كانت القيم مرتبطة بالمقابل ذ- قيم الوظيفة الأصلية.

سنقوم الآن بفحص تأثير الإضافة إلى (أو الطرح من) x- القيم قبل تطبيق الوظيفة. تذكر أنه عند إضافة ثابت إلى ذ- القيم ، كان التحول تحولًا رأسيًا. يجب أن يبدو من المعقول استنتاج أنه عند إضافة ثابت إلى x- القيم ، سيكون التحول تحولًا أفقيًا.

وصف التحولات الأفقية

عند وصف التحول الأفقي ، من المفيد معرفة أيهما x- القيم تنتج نفس الشيء ذ-القيمة. اعرض الوظيفة مع دالة القيمة المطلقة الأساسية وقارن بين x- القيم التي ينتج عنها ملف ذ-القيمة.

الناتج الثابت لـ ذ = 0 تم إنتاجه بواسطة x = 0 في ص1 وتم إنتاجه بواسطة x = -3 في ص2.

هو انزياح أفقي بمقدار 3 وحدات لليسار ، والذي قد يكون عكس الاتجاه الذي توقعته.

3.2.2 استخدم الآلة الحاسبة الخاصة بك للتجربة والعثور على الوظيفة التي ستنتقل أفقيًا إلى الوحدات الثلاث اليمنى. انقر هنا للحصول على الجواب.

التمدد والضغط الأفقي

تمامًا مثلما يؤدي ضرب دالة في ثابت إلى تمديد أو تقليص الرسم البياني عموديًا ، وضربًا في x-قيمة ثابتة قبل تطبيق الوظيفة ستؤدي إلى تمديد أو تقليص الرسم البياني أفقيًا. في العديد من الوظائف مثل دالة القيمة المطلقة ، يبدو أن الضغط الأفقي هو امتداد رأسي.

  • تعيين و.
  • افحص جدول قيم و لأجل

من الجدول يبدو أن قيم Y2 ضعف قيمة Y1. هذا صحيح لأن

الرسوم البيانية لـ ذ = الخطيئة x و ذ = الخطيئة 2x توضيح تأثير الضرب بشكل أفضل x بثابت.

الرسم البياني لـ ذ = الخطيئة x

    تأكد من أن الآلة الحاسبة في وضع الراديان واضبط Y1 = sin (X) وعرض الرسم البياني في نافذة.
    أعلاه ، مفتاح التشغيل.

خصائص الموجة الجيبية

الرسم البياني لـ ذ = الخطيئة x له الخصائص المذكورة أدناه.

الرسم البياني دوري ومدته 2. هذا هو ذ-تكرر القيم x- فترات من الطول 2 ، أو الخطيئة x = الخطيئة (x + 2 ).

تبلغ سعة الرسم البياني 1. أي أن ذ- ترتفع القيم إلى وحدة واحدة فوق خط الوسط وتنخفض إلى وحدة واحدة أسفل خط الوسط.

مجال دالة الجيب هو مجموعة كل الأعداد الحقيقية.

نطاق وظيفة الجيب

نقاط خاصة على ذ = الخطيئة x

غالبًا ما يكون من المفيد تحديد النقاط الخمس الخاصة على الموجة الجيبية التي x- القيم هي و ، كما هو موضح في الجدول والرسم البياني أدناه.

الرسم البياني لـ ذ = الخطيئة 2x

اعرض الآن الرسم البياني لـ ذ = الخطيئة 2x ومقارنتها بالرسم البياني لـ ذ = الخطيئة x.

  • اضبط نمط الرسم البياني لـ Y.1 = الخطيئة (X) للسميك.
  • مجموعة ص2 = الخطيئة (2X)
  • اعرض كلا الرسمين البيانيين في نافذة [0 ، 2 ، 1] × [-2 ، 2 ، 1].

لاحظ أن الرسم البياني لـ ذ = الخطيئة 2x يتم ضغطه أفقيًا وتكتمل فترة واحدة في نصف الفترة الأصلية. يوضح الجدول والرسم البياني أدناه كيفية تحويل النقاط الخمس الخاصة للموجة الجيبية الأساسية.

لاحظ ذلك في Y2 ال x- القيم التي تنتج نفس الشيء ذ- القيم نصف هؤلاء الموجودون في Y1. أي أن الرسم البياني مضغوط أفقيًا بمعامل.

التحولات المجمعة

تجمع الوظيفة بين عدة تحولات للرسم البياني لـ. الرسم البياني هو الرسم البياني للوظيفة الأساسية التي كانت:

  • تنعكس في x- المحور لأن السالب يضاعف الوظيفة الأساسية.
  • تتمدد عموديًا بمعامل 2 لأن الوظيفة الأساسية مضروبة في 2.
  • إزاحة لليمين 4 لأن 4 مطروح من x.
  • تم إزاحة 3 وحدات لأعلى لأنه تمت إضافة 3 إلى الوظيفة الأساسية

ترتيب التحولات

ترتيب التحولات ليس بالضرورة تبادليًا. في المثال أعلاه ، ينتقل التحول الأفقي مع جميع التحويلات الثلاثة الأخرى. يتنقل الانعكاس الرأسي والامتداد العمودي مع بعضهما البعض ، ولكن ليس مع التحول الرأسي.

في تعبير مثل أ*F(ب*(x - ج) + د، يمكن تطبيق التحويلات بالترتيب التالي ، على الرغم من أن العديد من الأوامر المحتملة الأخرى ستعطي نفس النتائج:

  1. التمدد / الانضغاط / الانعكاس العمودي بمعامل أ
  2. التمدد الأفقي / الانضغاط / الانعكاس بمعامل ب
  3. التحول الأفقي بمقدار ج
  4. التحول الرأسي بمقدار د

توضح الرسوم البيانية أدناه التسلسل أعلاه للتحولات المجمعة.

ينعكس الرسم البياني عبر x-محور.

ينعكس عبر x-محور

ثم يتم تمديد الرسم البياني بمعامل 2.

امتدت بمعامل 2

ثم يتم ترجمة الرسم البياني إلى اليمين 4 وحدات وما فوق 3 وحدات.

تحولت 4 وحدات وأعلى 3 وحدات

سيساعدك التعرف على الشكل الأساسي للرسم البياني ثم تطبيق التحويلات المشار إليها في رسم الرسم البياني قبل عرضه باستخدام الآلة الحاسبة.

3.2.3 صِف التحولات بالترتيب الصحيح للمعادلة ثم ارسم الرسم البياني بالورق والقلم الرصاص. أدخل المعادلة في الآلة الحاسبة الخاصة بك ، قم برسمها بيانيًا وقارنها بالرسم الخاص بك. انقر هنا للحصول على إجابة واحدة صحيحة.

التحويلات باستخدام تدوين الوظيفة

يمكنك استخدام تدوين الوظيفة مع TI-83 لإنشاء تحويلات. المعادلة الثانية في Y = المحرر أعلاه يمكن كتابتها على أنها Y2 = -2 ص1(X - 4) + 3 حيث Y1(X - 4) يمثل Y1 القيمة المقدرة في x - 4 لكل منهما x.

المتغير ص1 من قائمة وظيفة Y-VARS بالضغط.

يتيح لك استخدام تدوين الوظيفة بهذه الطريقة تغيير الوظيفة الأساسية في Y1 ثم فحص نفس التحويلات المطبقة على الوظيفة الأساسية الجديدة دون إعادة كتابة التحويلات.


مقدمة نشطة لحساب التفاضل والتكامل

ماذا نعني بكلمة "تحويلات" دالة معينة (f text <؟> ) كيف تكون الترجمات والامتدادات الرأسية لدالة أمثلة على التحولات؟

في تحضيرنا لحساب التفاضل والتكامل ، نطمح إلى فهم الوظائف من مجموعة واسعة من وجهات النظر والتعرف على مكتبة الوظائف الأساسية. حتى الآن ، هناك وظيفتان عائليتان أساسيتان نظرنا فيهما وهما الدوال الخطية والوظائف التربيعية ، أبسطها (L (x) = x ) و (Q (x) = x ^ 2 text <.> ) مع تقدمنا ​​أكثر ، سنسعى إلى فهم وظيفة "الوالدين" باعتبارها العضو الأساسي في عائلة الوظائف ، وكذلك كيف تكون الوظائف الأخرى المتشابهة ولكن الأكثر تعقيدًا نتيجة لتحويل الوظيفة الأم.

بشكل غير رسمي ، تحويل وظيفة معينة هو عملية جبرية نقوم من خلالها بتغيير الوظيفة إلى وظيفة ذات صلة لها نفس الشكل الأساسي ، ولكن يمكن تغييرها و / أو انعكاسها و / أو تمديدها بطريقة منهجية. على سبيل المثال ، من بين جميع الوظائف التربيعية ، أبسطها هي الوظيفة الأصلية (Q (x) = x ^ 2 text <،> ) ولكن أي دالة تربيعية أخرى مثل (g (x) = -3 (x- 5) ^ 2 + 4 ) يمكن فهمه أيضًا فيما يتعلق بوظيفة الأصل. نقول إن " (g ) هو تحويل (f text <.> )"

في معاينة النشاط 1.8.1 ، نتحرى تأثيرات الثوابت (a text <،> ) (b text <،> ) و (c ) في إنشاء الوظيفة (g (x) = af (xb) + c ) في سياق معرفة الوظيفة بالفعل (f text <.> )

معاينة النشاط 1.8.1.

افتح ملف ديسموس رسم بياني وحدد الوظيفة (f (x) = x ^ 2 text <.> ) اضبط النافذة بحيث يكون النطاق لـ (- 4 le x le 4 ) و (- 10 le ص لو 10 نص <.> )

في ديسموس، حدد الوظيفة (g (x) = f (x) + a text <.> ) (أي في ديسموس في السطر 2 ، أدخل g (x) = f (x) + a.) ستتم مطالبتك بإضافة شريط تمرير لـ (a text <.> ) افعل ذلك.

استكشف بتحريك شريط التمرير لـ (أ ) واكتب جملة واحدة على الأقل لوصف تأثير تغيير قيمة (أ ) على الرسم البياني (ز نص <.> )

بعد ذلك ، حدد الوظيفة (h (x) = f (x-b) text <.> ) (أي في ديسموس في السطر 4 ، أدخل h (x) = f (x-b) وأضف شريط التمرير لـ (b text <.> ))

حرك شريط التمرير لـ (ب ) واكتب جملة واحدة على الأقل لوصف تأثير تغيير قيمة (ب ) على الرسم البياني (ح نص <.> )

الآن حدد الوظيفة (p (x) = cf (x) text <.> ) (أي في ديسموس في السطر 6 ، أدخل p (x) = cf (x) وأضف شريط التمرير لـ (c text <.> ))

حرك شريط التمرير لـ (c ) واكتب جملة واحدة على الأقل لوصف تأثير تغيير قيمة (c ) على الرسم البياني لـ (p text <.> ) على وجه الخصوص ، عندما ( c = -1 text <،> ) كيف يرتبط الرسم البياني لـ (p ) بالرسم البياني (f text <؟> )

أخيرًا ، انقر فوق الرموز الموجودة بجوار (g text <،> ) (h text <،> ) و (p ) لإخفائها مؤقتًا ، والعودة إلى السطر 1 وتغيير الصيغة الخاصة بك لـ (f text <.> ) يمكنك عمل ما تريد ، ولكن جرب شيئًا مثل (f (x) = x ^ 2 + 2x + 3 ) أو (f (x) = x ^ 3 - 1 text <.> ) ثم تحقق باستخدام أشرطة التمرير (a text <،> ) (b text <،> ) و (c ) لرؤية التأثيرات على (g text <،> ) (h text <،> ) و (p ) (إظهارها بشكل مناسب). اكتب جملتين لوصف ملاحظاتك عن استكشافاتك.

القسم الفرعي 1.8.1 ترجمة الوظائف

نبدأ بتلخيص اثنين من النتائج التي توصلنا إليها في معاينة النشاط 1.8.1.

الترجمة العمودية لوظيفة.

إعطاء دالة (y = f (x) ) ورقم حقيقي (a text <،> ) فإن الوظيفة المحولة (y = g (x) = f (x) + a ) هي a الترجمة العمودية من الرسم البياني لـ (f text <.> ) أي أن كل نقطة ((x، f (x)) ) على الرسم البياني لـ (f ) يتم إزاحتها رأسياً إلى النقطة المقابلة (( x ، f (x) + a) ) على الرسم البياني لـ (g text <.> )

كما وجدنا في موقعنا ديسموس تعتبر الاستكشافات في نشاط المعاينة مفيدة بشكل خاص لمعرفة تأثيرات الترجمة الرأسية ديناميكيًا.

حرك شريط التمرير 1 بالنقر والسحب على النقطة الحمراء لترى كيف يؤثر تغيير (أ ) على الرسم البياني (y = f (x) + a text <،> ) الذي يظهر باللون الأزرق. سيظهر الرسم البياني لـ (y = f (x) ) باللون الرمادي ويظل ثابتًا.

في الترجمة العمودية ، يقع الرسم البياني لـ (g ) فوق الرسم البياني (f ) كلما (a gt 0 text <،> ) بينما يقع الرسم البياني لـ (g ) أسفل الرسم البياني من (f ) كلما (a lt 0 text <.> ) في الشكل 1.8.2 ، نرى الوظيفة الأصلية الأصلية (f (x) = | x | ) جنبًا إلى جنب مع التحويل الناتج (ز (س) = و (س) -3 نص <،> ) وهو تحول رأسي لأسفل لـ (3 ) وحدات. لاحظ بشكل خاص أن كل نقطة على الرسم البياني الأصلي لـ (f ) يتم نقلها (3 ) وحدات لأسفل ، فإننا غالبًا ما نشير إلى ذلك بواسطة سهم ونضع علامة على نقطة رئيسية واحدة على الأقل على كل رسم بياني.

في الشكل 1.8.3 ، نرى ترجمة أفقية للوظيفة الأصلية (f ) التي تنقل وحدات الرسم البياني (2 ) إلى اليمين لتشكيل الوظيفة (h text <.> ) لاحظ أن (f ) ليست وظيفة أساسية مألوفة للتحولات التي يمكن تطبيقها على أي وظيفة أصلية نرغب فيها.

من وجهة نظر جبرية ، تعتبر الترجمات الأفقية أكثر تعقيدًا من الترجمات الرأسية. بالنظر إلى (y = f (x) text <،> ) إذا حددنا الوظيفة المحولة (y = h (x) = f (x-b) text <،> ) لاحظ ذلك

يوضح هذا أنه بالنسبة لإدخال (x + b ) في (h text <،> ) ، يكون إخراج (h ) هو نفسه إخراج (f ) الذي يتوافق مع إدخال ببساطة (x text <.> ) ومن ثم ، في الشكل 1.8.3 ، فإن صيغة (h ) بدلالة (f ) هي (h (x) = f (x-2) text <،> ) حيث أن إدخال (x + 2 ) في (h ) سينتج عنه نفس الإخراج مثل إدخال (x ) في (f text <.> ) على سبيل المثال ، (h (2) = f (0) text <،> ) الذي يتماشى مع الرسم البياني (h ) كونه تحول في الرسم البياني (f ) إلى اليمين بواسطة ( 2 ) وحدات.

مرة أخرى ، من المفيد رؤية تأثيرات الترجمة الأفقية ديناميكيًا.

حرك شريط التمرير بالنقر والسحب على النقطة الحمراء لترى كيف يؤثر التغيير (ب ) على الرسم البياني (y = f (x-b) text <،> ) الذي يظهر باللون الأزرق. سيظهر الرسم البياني لـ (y = f (x) ) باللون الرمادي ويظل ثابتًا.

بشكل عام ، لدينا المبدأ العام التالي.

الترجمة الأفقية لوظيفة.

إعطاء دالة (y = f (x) ) ورقم حقيقي (b text <،> ) فإن الوظيفة المحولة (y = h (x) = f (x-b) ) هي a ترجمة أفقية من الرسم البياني لـ (f text <.> ) أي أن كل نقطة ((x، f (x)) ) على الرسم البياني لـ (f ) يتم نقلها أفقيًا إلى النقطة المقابلة (( x + b، f (x)) ) على الرسم البياني لـ (g text <.> )

نؤكد أنه في الترجمة الأفقية (h (x) = f (xb) text <،> ) إذا كان (b gt 0 ) الرسم البياني (h ) يكمن (b ) من الوحدات إلى يمين (f text <،> ) بينما إذا (b lt 0 text <،> ) (h ) تقع (b ) الوحدات على يسار (f text < .> )

النشاط 1.8.2.

ضع في اعتبارك الوظائف (r ) و (s ) الواردة في الشكل 1.8.5 والشكل 1.8.6.

على نفس المحاور مثل قطعة الأرض (y = r (x) text <،> ) ارسم الرسوم البيانية التالية: (y = g (x) = r (x) + 2 text <،> ) (y = h (x) = r (x + 1) text <،> ) و (y = f (x) = r (x + 1) + 2 text <.> ) تأكد من ذلك قم بتسمية النقطة على كل من (g text <،> ) (h text <،> ) و (f ) التي تتوافق مع ((- 2 ، -1) ) على الرسم البياني الأصلي من (r text <.> ) بالإضافة إلى ذلك ، اكتب جملة واحدة لشرح التحولات الكلية التي أدت إلى (g text <،> ) (h text <،> ) و (f نص <.> )

على نفس المحاور مثل قطعة الأرض (y = s (x) text <،> ) ارسم الرسوم البيانية التالية: (y = k (x) = s (x) - 1 text <،> ) (y = j (x) = s (x-2) text <،> ) و (y = m (x) = s (x-2) - 1 text <.> ) تأكد من ذلك قم بتسمية النقطة على كل من (k text <،> ) (j text <،> ) و (m ) التي تتوافق مع ((- 2 ، -3) ) على الرسم البياني الأصلي من (r text <.> ) بالإضافة إلى ذلك ، اكتب جملة واحدة لشرح التحولات الكلية التي أدت إلى (k text <،> ) (j text <،> ) و (m نص <.> )

الآن ضع في اعتبارك الوظيفة (q (x) = x ^ 2 text <.> ) حدد صيغة للدالة المعطاة بواسطة (p (x) = q (x + 3) - 4 text <. > ) كيف يتم تحويل (ع ) إلى (ف نص <؟> )

القسم الفرعي 1.8.2 الامتدادات والانعكاسات الرأسية

حتى الآن ، رأينا التأثيرات المحتملة لإضافة قيمة ثابتة لوظيفة الإخراج - (f (x) + a ) - وإضافة قيمة ثابتة لإدخال الوظيفة - (f (x + b) text <. > ) ينتج عن كل من هذه الإجراءات ترجمة للرسم البياني للوظيفة (إما رأسيًا أو أفقيًا) ، ولكن بخلاف ذلك يترك الرسم البياني كما هو. بعد ذلك ، نتحرى آثار الضرب الناتج عن الدالة بثابت.

مثال 1.8.7.

بالنظر إلى الوظيفة الأم (y = f (x) ) الموضحة في الشكل 1.8.8 ، ما هي تأثيرات التحويل (y = v (x) = cf (x) ) لقيم مختلفة لـ (c نص <؟> )

نتحرى أولاً في تأثيرات (c = 2 ) و (c = frac <1> <2> text <.> ) لـ (v (x) = 2f (x) text <،> ) التأثير الجبري لهذا التحويل هو أن كل ناتج من (f ) يتم ضربه (2 نص <.> ) وهذا يعني أن الناتج الوحيد الذي لم يتغير هو عندما (f (x) = 0 text <،> ) بينما أي نقطة أخرى على الرسم البياني للوظيفة الأصلية (f ) سيتم تمديدها عموديًا بعيدًا عن المحور (x ) - بمعامل (2 text <.> ) يمكننا أن نرى هذا في الشكل 1.8.8 حيث يتم تحويل كل نقطة على الرسم البياني الأصلي باللون الأزرق الداكن إلى نقطة مقابلة يكون إحداثيها (y ) - ضعف حجمها ، كما هو موضح جزئيًا بواسطة الأسهم الحمراء.

في المقابل ، يتم تمديد التحويل (u (x) = frac <1> <2> f (x) ) عموديًا بواسطة عامل ( frac <1> <2> text <،> ) والذي له تأثير ضغط الرسم البياني لـ (f ) باتجاه المحور (x ) - حيث يتم ضرب جميع مخرجات الدالة لـ (f ) بـ ( frac <1> <2> text < .> ) على سبيل المثال ، النقطة ((0 ، -2) ) على الرسم البياني (f ) تتحول إلى الرسم البياني ((0 ، -1) ) على الرسم البياني لـ ( u text <،> ) ويتم تحويل الآخرين كما هو مشار إليه بواسطة الأسهم الأرجواني.

للنظر في الموقف حيث (c lt 0 text <،> ) نعتبر أولاً أبسط حالة حيث (c = -1 ) في التحويل (z (x) = -f (x) text <.> ) هنا يكون تأثير التحويل هو مضاعفة كل ناتج للوظيفة الأم (f ) في (- 1 نص <> ) وهذا يأخذ أي نقطة في الشكل ((x، y) ) وتحويله إلى ((x، -y) text <،> ) مما يعني أننا نعكس كل نقطة على الرسم البياني للوظيفة الأصلية عبر المحور (x ) - لإنشاء الرسم البياني للوظيفة الناتجة. هذا موضح في الشكل 1.8.9 حيث (y = z (x) ) هو انعكاس (y = f (x) ) عبر (x ) - المحور.

أخيرًا ، نحقق أيضًا في الحالة حيث (c = -2 text <،> ) الذي يولد (y = w (x) = -2f (x) text <.> ) هنا يمكننا التفكير في (-2 ) كـ (- 2 = 2 (-1) نص <:> ) يعكس تأثير الضرب ب (- 1 ) أولاً الرسم البياني (f ) عبر (س ) ) - المحور (ينتج عنه (w )) ، ثم يؤدي الضرب في (2 ) إلى تمديد الرسم البياني لـ (ض ) عموديًا لينتج عنه (w text <،> ) كما هو موضح في الشكل 1.8 .9.

كما هو الحال مع الترجمة الرأسية والأفقية ، من المفيد بشكل خاص رؤية تأثيرات القياس الرأسي بطريقة ديناميكية.

حرك شريط التمرير بالنقر والسحب على النقطة الحمراء لترى كيف يؤثر تغيير (c ) على الرسم البياني لـ (y = cf (x) text <،> ) الذي يظهر باللون الأزرق. سيظهر الرسم البياني لـ (y = f (x) ) باللون الرمادي ويظل ثابتًا.

نلخص ونعمم ملاحظاتنا من المثال 1.8.7 والشكل 1.8.10 على النحو التالي.

التحجيم الرأسي للدالة.

إعطاء دالة (y = f (x) ) ورقم حقيقي (c gt 0 text <،> ) الدالة المحولة (y = v (x) = cf (x) ) هي a امتداد عمودي من الرسم البياني لـ (f text <.> ) كل نقطة ((x، f (x)) ) على الرسم البياني لـ (f ) يتم تمديدها عموديًا إلى النقطة المقابلة ((x، cf (x)) ) على الرسم البياني لـ (v text <.> ) إذا كان (0 lt c lt 1 text <،> ) الرسم البياني لـ (v ) هو ضغط (f ) باتجاه المحور (x ) إذا كان (c gt 1 text <،> ) الرسم البياني لـ (v ) امتدادًا لـ (f ) بعيدًا عن (x) )-محور. النقاط حيث (f (x) = 0 ) لم تتغير بالتحول.

إعطاء دالة (y = f (x) ) ورقم حقيقي (c lt 0 text <،> ) الدالة المحولة (y = v (x) = cf (x) ) هي a انعكاس الرسم البياني (f ) عبر المحور (x ) متبوعًا بامتداد عمودي بمعامل (| c | text <.> )

النشاط 1.8.3.

ضع في اعتبارك الوظائف (r ) و (s ) الواردة في الشكل 1.8.11 والشكل 1.8.12.

على نفس المحاور مثل قطعة الأرض (y = r (x) text <،> ) ارسم الرسوم البيانية التالية: (y = g (x) = 3r (x) ) و (y = h ( x) = frac <1> <3> r (x) text <.> ) تأكد من تسمية عدة نقاط على كل من (r text <،> ) (g text <،> ) و (ح ) بالسهام للإشارة إلى مراسلاتهم. بالإضافة إلى ذلك ، اكتب جملة واحدة لشرح التحولات الإجمالية التي نتجت عن (g ) و (ح ) من (r نص <.> )

على نفس المحاور مثل قطعة الأرض (y = s (x) text <،> ) ارسم الرسوم البيانية التالية: (y = k (x) = -s (x) ) و (y = j (x) = - frac <1> <2> s (x) text <.> ) تأكد من تسمية عدة نقاط على كل من (s text <،> ) (k text <، > ) و (ي ) بالسهام للإشارة إلى مراسلاتهم. بالإضافة إلى ذلك ، اكتب جملة واحدة لشرح التحولات الإجمالية التي نتجت عن (ك ) و (ي ) من (ق نص <.> )

في النسخ الإضافية من الشكلين أدناه ، قم برسم الرسوم البيانية للوظائف المحولة التالية: (y = m (x) = 2r (x + 1) -1 ) (على اليسار) و (y = n (x) ) = frac <1> <2> s (x-2) +2 text <.> ) كما هو مذكور أعلاه ، تأكد من تسمية عدة نقاط على كل رسم بياني والإشارة إلى تطابقها مع النقاط الموجودة على الوظيفة الأصلية.

صف في كلمات كيف أن الدالة (y = m (x) = 2r (x + 1) -1 ) هي نتيجة لثلاثة تحويلات أولية لـ (y = r (x) text <.> ) هل الترتيب الذي تحدث فيه هذه التحولات مهم؟ لما و لما لا؟

القسم الفرعي 1.8.3 الجمع بين التحولات والتمديدات: لماذا يكون الترتيب مهمًا في بعض الأحيان

في السؤال الأخير للنشاط 1.8.3 ، اعتبرنا التحول (y = m (x) = 2r (x + 1) -1 ) للوظيفة الأصلية (r text <.> ) هناك ثلاثة تتضمن التحولات الأساسية المختلفة: تحول رأسي (1 ) وحدة لأسفل ، وانحراف أفقي لـ (1 ) وحدة يسار ، وامتداد رأسي بمعامل (2 نص <.> ) لفهم بالترتيب الذي يتم فيه تطبيق هذه التحويلات ، من الضروري أن نتذكر أن الوظيفة هي a معالجة يحول المدخلات إلى مخرجات.

من خلال القاعدة الجبرية لـ (m text <،> ) (m (x) = 2r (x + 1) -1 text <.> ) في الكلمات ، هذا يعني أنه معطى الإدخال (x ) لـ (m text <،> ) نقوم بالعمليات التالية بهذا الترتيب المعين:

أضف (1 ) إلى (س ) ثم قم بتطبيق الوظيفة (r ) على الكمية (س + 1 نص <> )

اضرب ناتج (r (x + 1) ) في (2 text <> )

اطرح (1 ) من ناتج (2r (x + 1) text <.> )

تتوافق هذه الخطوات الثلاث مع ثلاثة تحولات أساسية: (1) انقل الرسم البياني (r ) إلى اليسار بمقدار (1 ) وحدة (2) قم بتمديد الرسم البياني الناتج عموديًا بواسطة عامل (2 نص <> ) (3) انقل الرسم البياني الناتج رأسيًا بمقدار (- 1 ) وحدة. يمكننا أن نرى التأثير الرسومي لهذه الخطوات الجبرية من خلال أخذها واحدة تلو الأخرى. في الشكل 1.8.14 ، نرى الوظيفة (p ) التي تنتج عن إزاحة (1 ) الوحدة اليسرى من الوظيفة الأصلية في الشكل 1.8.13. (في كل مرة نتخذ فيها خطوة إضافية ، سنقلل من التأكيد على الوظيفة السابقة من خلال جعلها تظهر بلون أفتح ومتقطع.)

بالاستمرار ، نعتبر الآن الوظيفة (q (x) = 2p (x) = 2r (x + 1) text <،> ) التي ينتج عنها امتداد عمودي لـ (p ) بعيدًا عن (x ) - المحور بمعامل (2 نص <،> ) كما هو موضح في الشكل 1.8.15.

أخيرًا ، نصل إلى (y = m (x) = 2r (x + 1) - 1 ) عن طريق طرح (1 ) من (q (x) = 2r (x + 1) text <> ) هذا بالطبع هو تحول رأسي من (- 1 ) وحدة ، وينتج الرسم البياني لـ (م ) الموضح باللون الأحمر في الشكل 1.8.16. يمكننا أيضًا تتبع النقطة ((2 ، -1) ) في الوظيفة الأصلية الأصلية: يتحرك أولاً يسار (1 ) وحدة إلى ((1 ، -1) نص <،> ) ثم يتمدد عموديًا بواسطة عامل (2 ) بعيدًا عن (س ) - المحور إلى ((1 ، -2) نص <،> ) وأخيراً يتم إزاحته (1 ) لأسفل إلى النقطة ((1، -3) text <،> ) التي نراها في الرسم البياني (m text <.> )

في حين أن هناك بعض التحولات التي يمكن تنفيذها بأي من الترتيبين (مثل مزيج من الترجمة الأفقية والترجمة الرأسية ، كما هو موضح في الجزء (ب) من النشاط 1.8.2) ، في حالات أخرى يكون الترتيب مهمًا. على سبيل المثال ، في مناقشتنا السابقة ، علينا تطبيق الامتداد الرأسي قبل تطبيق التحول العمودي. جبريًا ، هذا بسبب

تضاعف الكمية (2r (x + 1) - 1 ) الدالة (r (x + 1) ) في (2 ) أولاً (الامتداد) ثم يتبع التحول الرأسي الكمية (2 [ r (x + 1) - 1] ) ينقل الدالة (r (x + 1) ) لأسفل (1 ) الوحدة أولاً ، ثم ينفذ امتدادًا رأسيًا بمعامل (2 text <. > ) في السيناريو الأخير ، يتم تحويل النقطة ((1 ، -1) ) الموجودة على (r (x + 1) ) أولاً إلى ((1 ، -2) ) ثم إلى ((1، -4) text <،> ) التي تختلف عن النقطة ((1، -3) ) التي تقع على (m (x) = 2r (x + 1) - 1 نص <.> )

النشاط 1.8.4.

ضع في اعتبارك الدالتين (f ) و (g ) الواردين في الشكل 1.8.17 والشكل 1.8.18.

ارسم رسمًا بيانيًا دقيقًا للتحول (y = p (x) = - frac <1> <2> f (x-1) +2 text <.> ) اكتب جملة واحدة على الأقل لشرح كيف تطورت الرسم البياني لـ (p text <،> ) وحدد النقطة الموجودة على (p ) التي تتوافق مع النقطة الأصلية ((- 2،2) ) على الرسم البياني لـ (f text <. > )

ارسم رسمًا بيانيًا دقيقًا للتحويل (y = q (x) = 2g (x + 0.5) -0.75 text <.> ) اكتب جملة واحدة على الأقل لشرح كيفية تطوير الرسم البياني لـ (p text < ،> ) وحدد النقطة الموجودة على (q ) التي تتوافق مع النقطة الأصلية ((1.5،1.5) ) على الرسم البياني لـ (g text <.> )

هل الوظيفة (y = r (x) = frac <1> <2> (-f (x-1) - 4) ) هي نفس وظيفة (p ) أم مختلفة؟ لماذا ا؟ اشرح بطريقتين مختلفتين: ناقش أوجه التشابه والاختلاف الجبرية بين (p ) و (r text <،> ) وناقش أيضًا كيف يمثل كل منهما تحويلًا لـ (f text <.> )

ابحث عن صيغة لدالة (y = s (x) ) (من حيث (g )) التي تمثل هذا التحول لـ (g text <:> ) تحول أفقي لـ (1.25 ) وحدة اليسار ، متبوعة بانعكاس عبر المحور (س ) - وامتداد رأسي بمعامل (2.5 ) وحدة ، متبوعًا بإزاحة رأسية بمقدار (1.75 ) وحدة. ارسم رسمًا بيانيًا دقيقًا معنونًا لـ (ق ) على المحاور التالية جنبًا إلى جنب مع الوظيفة الأصلية المحددة (g text <.> )

ملخص القسم الفرعي 1.8.4

الرسم البياني لـ (y = g (x) = af (x-b) + c ) مرتبط بالرسم البياني (y = f (x) ) بسلسلة من التحولات. أولاً ، يوجد إزاحة أفقية لوحدات (| b | ) إلى اليمين ( (b gt 0 )) أو اليسار ( (b lt 0 )). بعد ذلك ، يوجد امتداد رأسي بمعامل (| a | ) (جنبًا إلى جنب مع انعكاس عبر (y = 0 ) في الحالة حيث (a lt 0 )). أخيرًا ، هناك تحول رأسي لوحدات (ج ).

تحويل وظيفة معينة (f ) هي عملية يمكن من خلالها إزاحة الرسم البياني أو تمديده لتوليد وظيفة جديدة ذات صلة بنفس الشكل بشكل أساسي. في هذا القسم نظرنا في أربع طرق مختلفة يمكن أن يحدث ذلك: من خلال ترجمة أفقية (إزاحة) ، من خلال انعكاس عبر الخط (ص = 0 ) (المحور (س )) ، من خلال مقياس رأسي (امتداد ) الذي يضاعف كل ناتج لدالة ما بنفس الثابت ، ومن خلال ترجمة رأسية (إزاحة). كل من هذه العمليات الفردية هي في حد ذاتها تحول ، ويمكن دمجها بطرق مختلفة لخلق تحولات أكثر تعقيدًا.


ترجمة عمودية للوظائف

لنفترض أن y = f (x) دالة و "k" رقم موجب.

في الوظيفة أعلاه ، إذا تم استبدال "y" بـ "y-k" ، نحصل على الوظيفة الجديدة

يمكن الحصول على الرسم البياني لـ y = f (x) + k & # xa0 من خلال & # xa0 ترجمة الرسم البياني & # xa0 لـ y = f (x) باتجاه الأعلى بمقدار وحدات "k".

في حالة استبدال "y" بـ "y + k" ، نحصل على الوظيفة الجديدة & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0

يمكن الحصول على الرسم البياني لـ y = f (x) - k & # xa0 من خلال & # xa0 ترجمة الرسم البياني لـ & # xa0 y = f (x) باتجاه الأسفل بمقدار وحدات "k".

علاوة على ذلك ، إذا كانت النقطة & # xa0 (x، y) على الرسم البياني لـ

ثم النقطة (س ، ص + ك) على الرسم البياني

قم بإجراء التحويل التالي إلى الوظيفة

واكتب أيضًا الصيغة التي تعطي التحويل المطلوب وارسم الرسم البياني لكل من الوظيفة المحددة والدالة المحولة

نظرًا لأننا نقوم بالترجمة نحو الأعلى بمقدار "3" وحدات ، يتعين علينا استبدال "y" بـ "y-3" في الوظيفة المحددة

إذن ، الصيغة التي تعطي التحويل المطلوب هي & # xa0 & # xa0

الرسم البياني y = & # xa0√x + 3 يمكن الحصول عليه من خلال ترجمة الرسم البياني لـ y = & # xa0√x & # xa0 باتجاه الأعلى بمقدار "3" وحدات. & # xa0

الرسم البياني للوظيفة الأصلية (وظيفة معينة).

الرسم البياني للدالة المحولة.

بصرف النظر عن الأشياء الواردة في هذا القسم ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث google المخصص هنا.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات الخاص بنا ، فيرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


2.3: تحولات الوظائف

تمددات وانكماشات أفقية

ما هي عمليات التمدد والانكماش الأفقي؟

يمتد ويتقلص أفقيًا ، على التوالي ، يسحب الرسم البياني الأساسي أفقيًا ، أو يدفعه معًا ، مع ترك ذ-تقاطع دون تغيير لإرساء الرسم البياني.

للوظيفة الأساسية F (x) وثابت ك، أين ك & GT 0 و ك & ne 1 ، الوظيفة التي قدمها

يمكن رسمها عن طريق الانكماش الأفقي F (x) بمعامل 1 /ك لو ك & GT 1

عن طريق التمدد أفقيًا F (x) بمعامل 1 /ك
إذا كان 0 & lt ك & lt 1.

تمدد أو انكماش أفقي بمعامل 1 /ك يعني أن النقطة (x, ذ) على الرسم البياني لـ F(x) إلى النقطة (x/ك, ذ) على الرسم البياني لـ ز(x).

أمثلة على التمددات والتقلصات الأفقية

ضع في اعتبارك الوظائف الأساسية التالية ،

التمثيل الرسومي للوظيفة (1) ، F (x) ، هو قطع مكافئ. ماذا تفترض الرسم البياني ل

يشبه؟ باستخدام تعريف F (x) ، يمكننا الكتابة ذ1(x) كما،

استنادًا إلى تعريف الانكماش الأفقي ، فإن الرسم البياني لـ ذ1(x) يجب أن يبدو مثل الرسم البياني لـ
F
(x) ، تقلص أفقيًا بمقدار 1/4. ألق نظرة على الرسوم البيانية لـ F (x) و ذ1(x).

وظيفة (2) ، ز (x) ، هي دالة جيب التمام. ماذا سيكون الرسم البياني ل

يشبه؟ باستخدام معرفتنا بالامتدادات الأفقية ، فإن الرسم البياني لـ ذ2(x) يجب أن يبدو مثل الرسم البياني الأساسي ز(x) امتدت أفقيًا بمعامل 3/2. للتحقق من هذا ، يمكننا الكتابة ذ2(x) كما،

أنشئ جدولًا للقيم ، وارسم الرسم البياني للدالة الجديدة. كما ترى ، فإن الرسم البياني لـ ذ2(x) هو في الواقع الرسم البياني الأساسي ز(x) امتدت أفقيًا بمعامل 3/2.

في القسم التالي ، سوف نستكشف الانعكاسات.

مشروع علم الأحياء & GT بيوماث & GT التحولات & GT تمددات وانكماشات أفقية


2.3: تحولات الوظائف

شروط الاستخدام جهة الاتصال: دونا روبرتس

يمكن أيضًا استخدام التحويلات التي رأيتها في الماضي لنقل الرسوم البيانية للوظائف وتغيير حجمها. سنقوم بفحص التغييرات التالية على F (x):
- F (x), F (-x), F (x) + ك, F (س + ك), ك (x), F (ككس)
تأملات ترجمات توسع

انعكاس أكثر من x-محور.
-F (x) يعكس F (x) على مدار x-محور

انعكاس عمودي:
الانعكاسات هي صور معكوسة. فكر في & quotfolding & quot ؛ الرسم البياني فوق x-محور.

انعكاس أكثر من ذ-محور.
F (-x) يعكس F (x) على مدار ذ-محور

على الشبكة ، استخدمت الصيغة (س ، ص) & rarr (-x ، ص) للتفكير في ذ-المحور ، حيث x- تم نفي القيم. مع الأخذ في الاعتبار أن
ذ = F (x) ، يمكننا كتابة هذه الصيغة على النحو
(x, F (x)) & rarr (-x ، ص (-x) ).


الترجمة عموديا (صعودا أو هبوطا)
F (x) + ك يترجم F (x) صعودا أو هبوطا

التحول العمودي:
هذه الترجمة عبارة عن & quotslide & quot مباشرة لأعلى أو لأسفل.
• لو ك & gt 0 ، فإن الرسم البياني يترجم لأعلى ك الوحدات.
• لو ك & lt 0 ، يتحول الرسم البياني إلى أسفل ك الوحدات.

اهتم بذلك ذ = F (x) ، يمكننا كتابة هذه الصيغة على النحو التالي (x, F (x)) & rarr (س ، F (x) + ك ).
تذكر أنك تضيف القيمة
من ك الى ذ- قيم الوظيفة.

الترجمة أفقيًا (يسارًا أو يمينًا)
F (س + ك) يترجم F (x) يسار او يمين
لن يكون هذا واضحًا من الأنماط التي استخدمتها سابقًا عند ترجمة النقاط.
ك إيجابي يتحرك الرسم البياني متبقى
ك نفي يتحرك الرسم البياني حق
يعني التحول الأفقي أن كل نقطة (س ، ص) على الرسم البياني لـ F (x) إلى (س - ك ، ص) أو (س + ك ، ص) على الرسوم البيانية لـ ص = و (س + ك) أو ص = و (س - ك) على التوالى.
انظر بعناية لأن هذا يمكن أن يكون مربكًا للغاية!

حتى هذه النقطة ، قمنا فقط بتغيير موضع & quot & quot في الرسم البياني للوظيفة.
الآن ، سنبدأ في تغيير & اقتباس وتشويه شكل الرسوم البيانية.

تمدد عمودي أو ضغط (انكماش)
ك و (x) يمتد / يتقلص F (x) عموديا

& quot مضاعفة إحداثيات y & quot
(x، y) تصبح (x، ky)
& التمدد الرأسي & quot

تمدد أفقي أو ضغط (انكماش)
F (ككس) يمتد / يتقلص F (x) أفقيا

& quotDivide إحداثيات x & quot
(س ، ص) تصبح (س / ك ، ص)
& التمدد الرباعي & quot