مقالات

12.2: إيجاد الحدود - خصائص النهايات - الرياضيات


ضع في اعتبارك وظيفة عقلانية

[f (x) = dfrac {x ^ 2−6x − 7} {x − 7} nonumber ]

يمكن تحليل الوظيفة على النحو التالي:

[f (x) = dfrac { إلغاء {(x − 7)} (x + 1)} { إلغاء {x − 7}} nonumber ]

الذي يعطينا

[f (x) = x + 1، x ≠ 7. لا يوجد رقم ]

هل هذا يعني أن الوظيفة (f (x) ) هي نفس الوظيفة (g (x) = x + 1؟ )

الجواب لا. لا تحتوي الوظيفة (f (x) ) على (x = 7 ) في مجالها ، لكن (g (x) ) تفعل ذلك. بيانياً ، نلاحظ وجود فجوة في الرسم البياني (f (x) ) عند (x = 7 ) ، كما هو موضح في الشكل ولا يوجد مثل هذا الثقب في الرسم البياني (g (x) ) ، كما هو مبين في الشكل.

(يسار) الرسم البياني للوظيفة (f ) يحتوي على فاصل عند (x = 7 ) وبالتالي فهو غير متصل عند (x = 7 ). (يمين) الرسم البياني للدالة (g ) مستمر.

إذن ، هل لهاتين الوظيفتين المختلفتين أيضًا حدود مختلفة حيث تقترب (x ) من 7؟ ليس بالضرورة. تذكر ، عند تحديد حد دالة مع اقتراب (x ) من (a ) ، ما يهم هو ما إذا كان الناتج يقترب من رقم حقيقي عندما نقترب من (x = a ). لا يعتمد وجود حد على ما يحدث عندما يساوي (س ) (أ ).

ننظر مرة أخرى في الشكل والشكل. لاحظ أنه في كلا الرسمين البيانيين ، حيث تقترب (x ) من 7 ، تقترب قيم الإخراج 8. وهذا يعني

[ lim limits_ {x to 7} f (x) = lim limits_ {x to 7} g (x). لا يوجد رقم ]

تذكر أنه عند تحديد الحد ، فإن القلق هو ما يحدث بالقرب من (س = أ ) ، وليس عند (س = أ ). في هذا القسم ، سنستخدم طرقًا متنوعة ، مثل إعادة كتابة الدوال عن طريق التحليل إلى عوامل ، لإيجاد قيمة النهاية. ستمنحنا هذه الأساليب تحققًا رسميًا لما أنجزناه سابقًا عن طريق الحدس.

إيجاد حد المجموع والفرق والمنتج

يمكن أن يكون رسم دالة أو استكشاف جدول قيم لتحديد حد أمرًا مرهقًا ويستغرق وقتًا طويلاً. عندما يكون ذلك ممكنًا ، يكون استخدام ملف خصائص الحدود، وهي مجموعة من النظريات لإيجاد الحدود.

تتيح لنا معرفة خصائص الحدود حساب الحدود مباشرة. يمكننا أن نجمع ونطرح ونضرب ونقسم حدود الدوال كما لو كنا نجري العمليات على الدوال نفسها لإيجاد نهاية النتيجة. وبالمثل ، يمكننا إيجاد نهاية دالة مرفوعة إلى أس عن طريق رفع النهاية إلى تلك الأس. يمكننا أيضًا إيجاد نهاية جذر الدالة بأخذ جذر النهاية. باستخدام هذه العمليات على النهايات ، يمكننا إيجاد حدود دوال أكثر تعقيدًا بإيجاد حدود دوال مكوناتها الأبسط.

خصائص الحدود

لنفترض أن (a، k، A، ) و (B ) تمثل أرقامًا حقيقية ، و (f ) و (g ) تكونان دالات ، مثل ( lim limits_ {x to a} f (x) = A ) و ( lim limits_ {x to a} g (x) = B. ) بالنسبة للحدود الموجودة والمنتهية ، يتم تلخيص خصائص الحدود في الجدول

مستمر، ك ( lim limits_ {x to a} k = k )
ضرب ثابت دالة ( lim limits_ {x to a} [k⋅f (x)] = k lim limits_ {x to a} f (x) = kA )
مجموع الوظائف ( lim limits_ {x to a} [f (x) + g (x)] = lim limits_ {x to a} f (x) + lim limits_ {x to a} g ( س) = أ + ب)
اختلاف الوظائف ( lim limits_ {x to a} [f (x) −g (x)] = lim limits_ {x to a} f (x) - lim limits_ {x to a} g (خ) = أ − ب)
نتاج الوظائف ( lim limits _ {x to a} [f (x) ⋅g (x)] = lim limits _ {x to a} f (x) ⋅ lim limits_ {x to a } ز (س) = A⋅B )
حاصل وظائف ( lim limits _ {x to a} frac {f (x)} {g (x)} = frac { lim limits _ {x to a} f (x)} { lim limits _ {x to a} g (x)} = frac {A} {B}، B ≠ 0 )
تم رفع الدالة إلى الأس ( lim limits _ {x to a} [f (x)] ^ n = [ lim limits _ {x to ∞} f (x)] ^ n = A ^ n ) ، حيث (n ) عدد صحيح موجب
نجذر الدالة ، حيث n عدد صحيح موجب ( lim limits _ {x to a} f (x) sqrt [n] {f (x)} = sqrt [n] { lim limits _ {x to a} [f (x )]} = sqrt [n] {A} )
الدالة متعددة الحدود ( lim limits _ {x to a} p (x) = p (a) )

مثال ( PageIndex {1} ): تقييم حد الدالة جبريًا

قيم [ lim limits _ {x to 3} (2x + 5). لا يوجد رقم ]

المحلول

[ start {align} lim limits _ {x to 3} (2x + 5) & = lim limits _ {x to 3} (2x) + lim limits _ {x to 3 } (5) && text {Sum of function property} & = 2 lim limits_ {x to 3} (x) + lim limits _ {x to 3} (5) && text { الأوقات الثابتة لخاصية دالة} & = 2 (3) +5 && text {Evaluate} & = 11 end {align} nonumber ]

تمرين ( PageIndex {1} ):

قيم الحد التالي: [ lim limits_ {x to −12} (- 2x + 2). لا يوجد رقم ]

المحلول

26

إيجاد نهاية كثيرة الحدود

ليست كل الدوال أو حدودها تتضمن جمعًا بسيطًا أو طرحًا أو ضربًا. قد يشمل بعضها كثيرات الحدود. تذكر أن متعدد الحدود هو تعبير يتكون من مجموع حدين أو أكثر ، كل منهما يتكون من ثابت ومتغير مرفوع إلى قوة تكاملية غير سالبة. لإيجاد نهاية دالة كثيرة الحدود ، يمكننا إيجاد حدود الحدود الفردية للدالة ، ثم نجمعها معًا. أيضًا ، فإن حد دالة كثيرة الحدود حيث تقترب (x ) من (a ) تكافئ ببساطة تقييم وظيفة (a ).

how to: إعطاء دالة تحتوي على كثير حدود ، أوجد حدودها

  1. استخدم خصائص النهايات لتقسيم كثير الحدود إلى مصطلحات فردية.
  2. أوجد حدود المصطلحات الفردية.
  3. اجمع الحدود معًا.
  4. بدلاً من ذلك ، قم بتقييم وظيفة (أ ).

مثال ( PageIndex {1} ): تقييم حد الدالة جبريًا

قيِّم [ lim limits_ {x to 3} (5x ^ 2). لا يوجد رقم ]

المحلول

[ begin {align} lim limits_ {x to 3} (5x ^ 2) & = 5 lim limits_ {x to 3} (x ^ 2) && text {الأوقات الثابتة لخاصية دالة} & = 5 (3 ^ 2) && text {رفع الوظيفة إلى خاصية الأس} & = 45 end {align} nonumber ]

تمرين ( PageIndex {1} ):

أوجد قيمة [ lim limits_ {x to 4} (x ^ 3−5). لا يوجد رقم ]

المحلول

59

مثال ( PageIndex {2} ): تقييم حد متعدد الحدود جبريًا

أوجد قيمة [ lim limits_ {x to 5} (2x ^ 3−3x + 1). لا يوجد رقم ]

المحلول

[ start {align} lim limits_ {x to 5} (2x ^ 3−3x + 1) & = lim limits_ {x to 5} (2x3) - lim limits_ {x to 5} (3x) + lim limits_ {x to 5} (1) && text {مجموع الوظائف} & = 2 lim limits_ {x to 5} (x ^ 3) −3 lim limits_ {x to 5} (x) + lim limits_ {x to 5} (1) && text {الأوقات الثابتة لدالة} & = 2 (5 ^ 3) −3 (5) +1 && text {تم رفع الوظيفة إلى الأس} & = 236 && text {Evaluate} end {align} nonumber ]

تمرين ( PageIndex {2} ):

قيم الحد التالي: [ lim limits_ {x to −1} (x ^ 4−4x ^ 3 + 5). لا يوجد رقم ]

المحلول

10

إيجاد حد القوة أو الجذر

عندما تشتمل النهاية على قوة أو جذر ، فإننا نحتاج إلى خاصية أخرى لمساعدتنا في تقييمها. مربع نهاية الدالة يساوي نهاية مربع الدالة ؛ الشيء نفسه ينطبق على القوى الأعلى. وبالمثل ، فإن الجذر التربيعي لنهاية الدالة يساوي نهاية الجذر التربيعي للدالة ؛ وينطبق الشيء نفسه على الجذور العليا.

مثال ( PageIndex {3} ): تقييم حد القوة

قيِّم [ lim limits_ {x to 2} (3x + 1) ^ 5. لا يوجد رقم ]

المحلول

سنأخذ حد الوظيفة عندما يقترب (x ) من 2 ونرفع النتيجة إلى 5ذ قوة.

[ begin {align} lim limits_ {x to 2} (3x + 1) ^ 5 & = ( lim limits_ {x to 2} (3x + 1)) ^ 5 & = ( 3 (2) +1) ^ 5 & = 7 ^ 5 & = 16،807 end {align} nonumber ]

تمرين ( PageIndex {3} ):

قيم الحد التالي: ( lim limits_ {x to −4} (10x + 36) ^ 3. )

المحلول

−64

سؤال وجواب: إذا لم نتمكن من تطبيق خصائص حد بشكل مباشر ، على سبيل المثال في ( lim limits_ {x to 2} ( frac {x ^ 2 + 6x + 8} {x − 2}) ) ، هل لا يزال بإمكاننا تحديد حد الوظيفة عندما يقترب (س ) من (أ )؟

نعم فعلا. يمكن إعادة ترتيب بعض الدوال جبريًا بحيث يمكن للمرء أن يقيم حد الشكل المكافئ المبسط للدالة.

إيجاد حد الحاصل

يمكن أن يكون العثور على نهاية دالة معبرًا عنها في صورة حاصل قسمة أكثر تعقيدًا. نحتاج غالبًا إلى إعادة كتابة الدالة جبريًا قبل تطبيق خصائص النهاية. إذا كان المقام يساوي صفرًا عند تطبيق خصائص النهاية مباشرةً ، فيجب علينا إعادة كتابة حاصل القسمة في صورة مختلفة. تتمثل إحدى الطرق في كتابة حاصل القسمة في صورة تحليل إلى عوامل وتبسيطها.

مثال ( PageIndex {4} ): تقييم حد الحاصل من خلال التحليل إلى عوامل

أوجد قيمة [ lim limits_ {x to 2} ( frac {x ^ 2−6x + 8} {x − 2}). لا يوجد رقم ]

المحلول

عامل حيثما أمكن ، وبسّط.

[ start {align} lim limits_ {x to 2} ( dfrac {x ^ 2−6x + 8} {x − 2}) & = lim limits_ {x to 2} ( dfrac {(x − 2) (x − 4)} {x − 2}) && text {عامل البسط.} & = lim limits_ {x to 2} ( dfrac { إلغاء {(x −2)} (x − 4)} { إلغاء {x − 2}}) && text {إلغاء العوامل المشتركة.} & = lim limits_ {x to 2} (x − 4) && text {تقييم.} & = 2−4 = −2 end {align} nonumber ]

التحليلات

عندما لا يمكن تقييم نهاية دالة كسرية مباشرة ، يمكن تبسيط أشكال البسط والمقام مع عوامل التحليل إلى نتيجة يمكن تقييمها.

لاحظ ، الوظيفة

[f (x) = dfrac {x ^ 2−6x + 8} {x − 2} nonumber ]

يعادل الوظيفة

[f (x) = x − 4، x ≠ 2. لا يوجد رقم ]

لاحظ أن الحد موجود على الرغم من عدم تعريف الوظيفة عند (x = 2 ).

تمرين ( PageIndex {4} )

قيِّم الحد التالي: [ lim limits_ {x to 7} left ( dfrac {x ^ 2−11x + 28} {7 − x} right). لا يوجد رقم ]

المحلول

(−3)

مثال ( PageIndex {5} ): تقييم حد الحاصل من خلال البحث عن شاشة LCD

قيِّم [ lim limits_ {x to 5} left ( dfrac { frac {1} {x} - frac {1} {5}} {x − 5} right). لا يوجد رقم ]

المحلول

أوجد شاشة LCD للمقامين في الحدين في البسط ، وقم بتحويل كلا الكسرين إلى LCD كمقام.

التحليلات

عند تحديد نهاية دالة كسرية تحتوي على مصطلحات مضافة أو مطروحة في البسط أو المقام ، فإن الخطوة الأولى هي إيجاد المقام المشترك للمصطلحات المضافة أو المطروحة ؛ ثم قم بتحويل كلا الحدين للحصول على هذا المقام ، أو تبسيط الدالة الكسرية بضرب البسط والمقام في المقام المشترك الأصغر. ثم تحقق لمعرفة ما إذا كان البسط والمقام الناتج لهما أي عوامل مشتركة.

تمرين ( PageIndex {5} ):

قيِّم [ lim limits_ {x to −5} left ( dfrac { frac {1} {5} + frac {1} {x}} {10 + 2x} right). لا يوجد رقم ]

المحلول

(- فارك {1} {50} )

كيف: عند إعطاء حد للدالة التي تحتوي على جذر ، استخدم مرافق للتقييم

  1. إذا لم يكن حاصل القسمة على النحو الوارد بصيغة (( frac {0} {0}) ) غير محدد ، فقم بالتقييم مباشرة.
  2. بخلاف ذلك ، أعد كتابة مجموع (أو فرق) حاصلين قسمة كحاصل قسمة واحد ، باستخدام القاسم المشترك الأصغر (LCD).
  3. إذا كان البسط يحتوي على جذر ، فبرمج البسط ؛ اضرب البسط والمقام في المترافقة من البسط. تذكر أن (a ± sqrt {b} ) متقارنات.
  4. تبسيط.
  5. تقييم الحد الناتج.

مثال ( PageIndex {6} ): تقييم حد يحتوي على جذر باستخدام مقترن

قيِّم [ lim limits_ {x to 0} left ( dfrac { sqrt {25 − x} −5} {x} right). لا يوجد رقم ]

المحلول

[ start {align} lim limits_ {x to 0} left ( dfrac { sqrt {25 − x} −5} {x} right) & = lim limits_ {x to 0 } يسار ( dfrac {( sqrt {25 − x} −5)} {x} ⋅ frac {( sqrt {25 − x} +5)} {( sqrt {25 − x} +5) } right) && text {اضرب البسط والمقام في المرافق.} & = lim limits_ {x to 0} left ( dfrac {(25 − x) −25} {x ( sqrt {25 − x} +5)} right) && text {Multiply:} ( sqrt {25 − x} −5) ⋅ ( sqrt {25 − x} +5) = (25 − x) −25 . & = lim limits_ {x to 0} left ( dfrac {- إلغاء {x}} { إلغاء {x} (25 − x + 5)} right) && text {دمج مثل المصطلحات.} & = lim limits_ {x to 0} left ( dfrac {- إلغاء {x}} { إلغاء {x} ( sqrt {25 − x} +5)} right ) && text {Simplify} dfrac {−x} {x} = - 1. & = dfrac {−1} { sqrt {25−0} +5} && text {تقييم.} & = dfrac {−1} {5 + 5} = - dfrac {1} {10} end {align} nonumber ]

التحليلات

عند تحديد أ حد لدالة ذات جذر كواحد من حدين لا يمكننا إيجاد قيمتهما مباشرة ، فكر في ضرب البسط والمقام في مرافق الحدود.

تمرين ( PageIndex {6} )

قيِّم الحد التالي: ( lim limits_ {h to 0} left ( dfrac { sqrt {16 − h} −4} {h} right) ).

المحلول

(- frac {1} {8} )

مثال ( PageIndex {7} ): تقييم حد حاصل دالة عن طريق التحليل إلى عوامل

قيِّم [ lim limits_ {x to 4} left ( frac {4 − x} { sqrt {x − 2}} right). لا يوجد رقم ]

المحلول

[ start {align} lim limits_ {x to 4} ( dfrac {4 − x} { sqrt {x} −2}) & = lim limits_ {x to 4} ( dfrac {(2+ sqrt {x}) (2 − x)} { sqrt {x} −2}) && text {Factor.} & = lim limits_ {x to 4} ( dfrac {(2+ sqrt {x}) ( إلغاء {2− sqrt {x}})} {- إلغاء {(2− sqrt {x})}}) && text {Factor −1 من المقام. بسّط.} & = lim limits_ {x to 4} - (2 + x) && text {تقييم.} & = - (2+ sqrt {4}) & = - 4 نهاية {محاذاة} غير رقم ]

التحليلات

يؤدي الضرب في مرافق إلى توسيع البسط ؛ ابحث بدلاً من ذلك عن العوامل في البسط. أربعة مربع كامل بحيث يكون البسط في الصورة

[a ^ 2 − b ^ 2 nonumber ]

ويمكن أخذها في الاعتبار على أنها

[(أ + ب) (أ − ب). لا يوجد رقم ]

تمرين ( PageIndex {7} )

قيِّم الحد التالي: [ lim limits_ {x to 3} left ( frac {x − 3} { sqrt {x} - sqrt {3}} right). لا يوجد رقم ]

المحلول

(2 sqrt {3} )

كيف: إعطاء حاصل قسمة بقيم مطلقة ، أوجد حدوده

  1. حاول تحليل أو إيجاد شاشة LCD.
  2. إذا كان حد لا يمكن العثور عليها ، اختر عدة قيم قريبة من وعلى جانبي الإدخال حيث تكون الوظيفة غير محددة.
  3. استخدم الدليل الرقمي لتقدير الحدود على كلا الجانبين.

مثال ( PageIndex {8} ): تقييم حد حاصل القسمة بالقيم المطلقة

قيِّم [ lim limits_ {x to 7} frac {| x − 7 |} {x − 7}. لا يوجد رقم ]

المحلول

الوظيفة غير معرّفة عند (x = 7 ) ، لذلك سنحاول القيم القريبة من 7 من اليسار واليمين.

حد اليد اليسرى: [ frac {| 6.9−7 |} {6.9−7} = frac {| 6.99−7 |} {6.99−7} = frac {| 6.999−7 |} {6.999−7 } = - 1 غير رقم ]

حد اليد اليمنى: [ frac {| 7.1−7 |} {7.1−7} = frac {| 7.01−7 |} {7.01−7} = frac {| 7.001−7 |} {7.001−7 } = 1 غير رقم ]

بما أن الحدين الأيمن والأيسر غير متساويين ، فلا يوجد حد.

تمرين ( PageIndex {8} )

قيِّم [ lim limits_ {x to 6 ^ +} frac {6 − x} {| x − 6 |}. لا يوجد رقم ]

المحلول

المفاهيم الرئيسية

  • يمكن استخدام خصائص الحدود لإجراء عمليات على حدود الوظائف بدلاً من الوظائف نفسها. انظر المثال.
  • يمكن إيجاد نهاية دالة كثيرة الحدود بإيجاد مجموع حدود كل حدود. انظر مثال ومثال.
  • نهاية الدالة التي تم رفعها إلى أس تساوي نفس قوة نهاية الدالة. طريقة أخرى هي الاستبدال المباشر. انظر المثال.
  • حد جذر الدالة يساوي الجذر المقابل لنهاية الدالة.
  • تتمثل إحدى طرق إيجاد نهاية دالة معبرًا عنها في صورة خارج القسمة في كتابة حاصل القسمة في صورة تحليل عوامل وتبسيطها. انظر المثال.
  • طريقة أخرى لإيجاد نهاية الكسر المعقد هي إيجاد LCD. انظر المثال.
  • يمكن تقييم الحد الذي يحتوي على دالة تحتوي على جذر باستخدام مرافق. انظر المثال.
  • يمكن إيجاد حدود بعض الدوال المعبر عنها في صورة حواجز قسمة من خلال التحليل إلى عوامل. انظر المثال.
  • تتمثل إحدى طرق تقييم حد حاصل القسمة الذي يحتوي على قيم مطلقة في استخدام الدليل الرقمي. يمكن أن يكون إعداده متعدد التعريف مفيدًا أيضًا. انظر المثال.

قائمة المصطلحات

خصائص الحدود
مجموعة من النظريات لإيجاد حدود الوظائف عن طريق إجراء عمليات حسابية على الحدود


شاهد الفيديو: إيجاد النهاية جبريأ مع الشرح البسيط تمارين متنوعة (شهر نوفمبر 2021).