مقالات

9.8: حل الأنظمة بقاعدة كرامر - الرياضيات


أهداف التعلم

  • أوجد قيمة محددات 2 × 2.
  • استخدم قاعدة كرامر لحل نظام المعادلات في متغيرين.
  • احسب المحددات 3 × 3.
  • استخدم قاعدة كرامر لحل نظام من ثلاث معادلات في ثلاثة متغيرات.
  • تعرف على خصائص المحددات.

لقد تعلمنا كيفية حل أنظمة المعادلات في متغيرين وثلاثة متغيرات ، وبطرق متعددة: التعويض ، والجمع ، والحذف الغاوسي ، باستخدام معكوس المصفوفة ، والرسوم البيانية. بعض هذه الأساليب أسهل في التطبيق من غيرها وتكون أكثر ملاءمة في مواقف معينة. في هذا القسم ، سوف ندرس استراتيجيتين أخريين لحل أنظمة المعادلات.

إيجاد قيمة محدد مصفوفة 2 × 2

المحدد هو رقم حقيقي يمكن أن يكون مفيدًا جدًا في الرياضيات لأنه يحتوي على تطبيقات متعددة ، مثل حساب المساحة والحجم والكميات الأخرى. هنا ، سنستخدم المحددات لكشف ما إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس باستخدام إدخالات مصفوفة مربعة لتحديد ما إذا كان هناك حل لنظام المعادلات. ومع ذلك ، ربما يكون أحد التطبيقات الأكثر إثارة للاهتمام هو استخدامها في التشفير. أحيانًا يتم إرسال إشارات أو رسائل آمنة مشفرة في مصفوفة. لا يمكن فك تشفير البيانات إلا باستخدام مصفوفة قابلة للانعكاس والمحدد. لأغراضنا ، نركز على المحدد كمؤشر لعكس المصفوفة. يتضمن حساب محدد المصفوفة اتباع الأنماط المحددة الموضحة في هذا القسم.

اعثر على محدد مصفوفة 2 × 2

ال محدد لمصفوفة 2 × 2 ، معطى

(A = begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix} )

يعرف ب

لاحظ التغيير في التدوين. هناك عدة طرق للإشارة إلى المحدد ، بما في ذلك ( det (A) ) واستبدال الأقواس في المصفوفة بخطوط مستقيمة ، (| A | ).

مثال ( PageIndex {1} ): إيجاد محدد مصفوفة (2 × 2 )

أوجد محدد المصفوفة الآتية.

(A = begin {bmatrix} 5 & 2 - 6 & 3 end {bmatrix} )

المحلول

[ start {align *} det (A) & = begin {vmatrix} 5 & 2 - 6 & 3 end {vmatrix} & = 5 (3) - (- 6) (2) & = 27 نهاية {محاذاة *} ]

استخدام قاعدة كرامر لحل نظام من معادلتين في متغيرين

سنقدم الآن طريقة نهائية لحل أنظمة المعادلات التي تستخدم المحددات. معروف ك قاعدة كريمريعود تاريخ هذه التقنية إلى منتصف القرن الثامن عشر وسميت باسم مبتكرها ، عالم الرياضيات السويسري غابرييل كرامر (1704-1752) ، الذي قدمها في عام 1750 في مقدمة في تحليل خطوط الكوربة الجبرية. قاعدة كرامر هي طريقة فعالة وفعالة لإيجاد حلول لأنظمة ذات عدد تعسفي من المجهول ، بشرط أن يكون لدينا نفس عدد المعادلات مثل المجهول.

ستمنحنا قاعدة كرامر الحل الفريد لنظام المعادلات ، إن وجد. ومع ذلك ، إذا لم يكن لدى النظام حل أو عدد لا حصر له من الحلول ، فسيتم الإشارة إلى ذلك بمحدد صفر. لمعرفة ما إذا كان النظام غير متسق أو تابع ، يجب استخدام طريقة أخرى ، مثل الحذف.

لفهم قاعدة كرامر ، دعنا نلقي نظرة فاحصة على كيفية حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام عمليات الصف الأساسية. ضع في اعتبارك نظامًا من معادلتين في متغيرين.

[ start {align} a_1x + b_1y & = c_1 (1) label {eq1} a_2x + b_2y & = c_2 (2) label {eq2} end {align} ]

نحذف متغيرًا واحدًا باستخدام عمليات السطر ونحل المتغير الآخر. لنفترض أننا نرغب في إيجاد قيمة (س ). إذا تم ضرب المعادلة ref {eq2} في عكس معامل (y ) في المعادلة المرجع {eq1} ، يتم ضرب المعادلة المرجع {eq1} بمعامل (y ) في المعادلة المرجع {eq2} ، ونضيف المعادلتين ، سيتم حذف المتغير (y ).

[ begin {align *} & b_2a_1x + b_2b_1y = b_2c_1 & text {Multiply} R_1 text {by} b_2 - & underline {b_1a_2x − b_1b_2y = −b_1c_2} & text {Multiply} R_2 text { بواسطة} −b_1 & b_2a_1x − b_1a_2x = b_2c_1 − b_1c_2 end {align *} ]

الآن ، قم بحل قيمة (x ).

[ start {align *} b_2a_1x − b_1a_2x & = b_2c_1 − b_1c_2 x (b_2a_1 − b_1a_2) & = b_2c_1 − b_1c_2 x & = dfrac {b_2c_1 − b_1c_2} {b_2a_1 − b_1a_2} = dfrac { start {bmatrix} c_1 & b_1 c_2 & b_2 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} a_1 & b_1 a_2 & b_2 end {bmatrix}} end {align *} ]

وبالمثل ، لحل (y ) ، سنزيل (x ).

[ begin {align *} & a_2a_1x + a_2b_1y = a_2c_1 & text {Multiply} R_1 text {by} a_2 - & underline {a_1a_2x − a_1b_2y = −a_1c_2} & text {Multiply} R_2 text {بواسطة} −a_1 & a_2b_1y − a_1b_2y = a_2c_1 − a_1c_2 end {align *} ]

حل ل (ص ) يعطي

[ start {align *} a_2b_1y − a_1b_2y & = a_2c_1 − a_1c_2 y (a_2b_1 − a_1b_2) & = a_2c_1 − a_1c_2 y & = dfrac {a_2c_1 − a_1c_2} {a_2b_1 − a_1b_2} = dfrac { a_1c_2 − a_2c_1} {a_1b_2 − a_2b_1} = dfrac { begin {bmatrix} a_1 & c_1 a_2 & c_2 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} a_1 & b_1 a_2 & b_2 end {bmatrix}} end {align *} ]

لاحظ أن المقام لكل من (x ) و (y ) هو محدد مصفوفة المعامل.

يمكننا استخدام هذه الصيغ لحل من أجل (x ) و (y ) ، لكن قاعدة كرامر تقدم أيضًا تدوينًا جديدًا:

  • (د ): محدد مصفوفة المعامل
  • (D_x ): محدد البسط في حل (س )

    [x = dfrac {D_x} {D} ]

  • (D_y ): محدد البسط في حل (ص )

    [y = dfrac {D_y} {D} ]

مفتاح قاعدة كرامر هو استبدال العمود المتغير ذي الأهمية بعمود ثابت وحساب المحددات. يمكننا بعد ذلك التعبير عن (x ) و (y ) كحاصل قسمة محددين.

قاعدة CRAMER لأنظمة (2 × 2 )

قاعدة كرامر هي طريقة تستخدم المحددات لحل أنظمة المعادلات التي لها نفس عدد المعادلات مثل المتغيرات.

فكر في نظام من معادلتين خطيتين في متغيرين.

[ start {align *} a_1x + b_1y & = c_1 a_2x + b_2y & = c_2 end {align *} ]

الحل باستخدام قاعدة كرامر معطى على النحو التالي

[ start {align} x & = dfrac {D_x} {D} = dfrac { begin {bmatrix} c_1 & b_1 c_2 & b_2 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} a_1 & b_1 a_2 & b_2 end {bmatrix }} ؛ ، D neq 0 y & = dfrac {D_y} {D} = dfrac { begin {bmatrix} a_1 & c_1 a_2 & c_2 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} a_1 & b_1 a_2 & b_2 end {bmatrix }} ؛ ، D neq 0 end {align} ]

إذا كنا نحل من أجل (س ) ، فسيتم استبدال العمود (س ) بالعمود الثابت. إذا كنا نحل من أجل (y ) ، فسيتم استبدال العمود (y ) بالعمود الثابت.

مثال ( PageIndex {2} ): استخدام قاعدة كريمر لحل نظام (2 × 2 )

حل نظام (2 × 2 ) التالي باستخدام قاعدة كريمر.

[ start {align *} 12x + 3y & = 15 2x-3y & = 13 end {align *} ]

المحلول

حل ل x).

[ begin {align *} x & = dfrac {D_x} {D} & = dfrac { begin {bmatrix} 15 & 3 13 & -3 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 12 & 3 2 & -3 end {bmatrix}} & = dfrac {-45-39} {- 36-6} & = dfrac {-84} {- 42} & = 2 end { محاذاة *} ]

حل من أجل (ص ).

[ begin {align *} y & = dfrac {D_y} {D} & = dfrac { begin {bmatrix} 12 & 15 2 & 13 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 12 & 3 2 & -3 end {bmatrix}} & = dfrac {156-30} {- 36-6} & = - dfrac {126} {42} & = -3 end {align *} ]

الحل هو ((2، −3) ).

تمرين ( PageIndex {1} )

استخدم قاعدة كرامر لحل نظام المعادلات (2 × 2 ).

[ begin {align *} x + 2y & = -11 -2x + y & = -13 end {align *} ]

إجابه

((3,−7))

إيجاد قيمة محدد مصفوفة 3 × 3

يعد إيجاد محدد مصفوفة 2 × 2 أمرًا مباشرًا ، لكن إيجاد محدد مصفوفة 3 × 3 أكثر تعقيدًا. إحدى الطرق هي زيادة المصفوفة 3 × 3 بتكرار أول عمودين ، مما يعطي مصفوفة 3 × 5. ثم نحسب مجموع حاصل ضرب الإدخالات أسفل كل من الأقطار الثلاثة (أعلى اليسار إلى أسفل اليمين) ، واطرح حاصل ضرب الإدخالات أعلى كل من الأقطار الثلاثة (من أسفل اليسار إلى أعلى اليمين). يمكن فهم هذا بسهولة أكبر من خلال صورة ومثال.

أوجد محدد مصفوفة 3 × 3.

(A = begin {bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 a_2 & b_2 & c_2 a_3 & b_3 & c_3 end {bmatrix} )

  1. زيادة (أ ) مع أول عمودين.

    ( det (A) = left | start {array} {ccc | cc} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 & b_1 a_2 & b_2 & c_2 & a_2 & b_2 a_3 & b_3 & c_3 & a_3 & b_3 end {array} right | )

  2. من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين: اضرب المدخلات في القطر الأول. أضف النتيجة إلى حاصل ضرب المدخلات أسفل القطر الثاني. أضف هذه النتيجة إلى حاصل ضرب المدخلات أسفل القطر الثالث.
  3. من أسفل اليسار إلى أعلى اليمين: اطرح حاصل ضرب المدخلات لأعلى القطر الأول. من هذه النتيجة ، اطرح حاصل ضرب المدخلات في القطر الثاني. من هذه النتيجة ، اطرح حاصل ضرب المدخلات في القطر الثالث.

الجبر على النحو التالي:

(| A | = a_1b_2c_3 + b_1c_2a_3 + c_1a_2b_3 − a_3b_2c_1 − b_3c_2a_1 − c_3a_2b_1 )

مثال ( PageIndex {3} ): إيجاد محدد مصفوفة 3 × 3

أوجد محدد المصفوفة (3 × 3 ) المعطى

(A = begin {bmatrix} 0 & 2 & 1 3 & −1 & 1 4 & 0 & 1 end {bmatrix} )

المحلول

زد المصفوفة بأول عمودين ثم اتبع الصيغة. هكذا،

[ ابدأ {محاذاة *} | أ | & = يسار | ابدأ {مجموعة} {ccc | cc} 0 & 2 & 1 & 0 & 2 3 & -1 & 1 & 3 & -1 4 & 0 & 1 & 4 & 0 نهاية {array} right | & = 0 (−1) (1) +2 (1) (4) +1 (3) (0) −4 (−1) (1) −0 (1) (0) −1 (3) (2) & = 0 + 8 + 0 + 4−0−6 & = 6 end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {2} )

أوجد محدد مصفوفة 3 × 3.

( det (A) = start {vmatrix} 1 & −3 & 7 1 & 1 & 1 1 & −2 & 3 end {vmatrix} )

إجابه

(−10)

سؤال وجواب: هل يمكننا استخدام نفس الطريقة لإيجاد محدد مصفوفة أكبر؟

لا ، هذه الطريقة تعمل فقط لمصفوفات 2 × 2 و 3 × 3. بالنسبة للمصفوفات الأكبر ، من الأفضل استخدام أداة رسوم بيانية أو برنامج كمبيوتر.

استخدام قاعدة كرامر لحل نظام من ثلاث معادلات في ثلاثة متغيرات

الآن بعد أن تمكنا من إيجاد محدد المصفوفة (3 × 3 ) ، يمكننا تطبيق قاعدة كرامر لحل نظام من ثلاث معادلات في ثلاثة متغيرات. قاعدة كريمر واضحة ومباشرة ، تتبع نمطًا متوافقًا مع قاعدة كريمر للمصفوفات (2 × 2 ). مع زيادة ترتيب المصفوفة إلى (3 × 3 ) ، هناك العديد من العمليات الحسابية المطلوبة.

عندما نحسب أن المحدد يساوي صفرًا ، لا تعطي قاعدة كرامر أي إشارة إلى ما إذا كان النظام لا يحتوي على حل أو عدد لا نهائي من الحلول. لمعرفة ذلك ، يتعين علينا إجراء الإزالة على النظام.

ضع في اعتبارك نظام المعادلات (3 × 3 ).

[ start {align} a_1x + b_1y + c_1z & = color {blue} d_1 a_2x + b_2y + c_2z & = color {blue} d_2 a_3x + b_3y + c_3z & = color {blue} d_3 النهاية {محاذاة} ]

(x = dfrac {D_x} {D} ) ، (y = dfrac {D_y} {D} ) ، (z = dfrac {D_z} {D} ) ، (D ≠ 0 )

أين

[D = begin {vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 a_2 & b_2 & c_2 a_3 & b_3 & c_3 end {vmatrix} ؛ ، ؛ D_x = begin {vmatrix} color {blue} d_1 & b_1 & c_1 color {blue} d_2 & b_2 & c_2 color {blue} d_3 & b_3 & c_3 end {vmatrix} ؛ ، ؛ D_y = begin {vmatrix} a_1 & color {blue} d_1 & c_1 a_2 & color {blue} d_2 & c_2 a_3 & color {blue} d_3 & c_3 end {vmatrix} ؛ ، ؛ D_z = begin {vmatrix} a_1 & b_1 & color {blue} d_1 a_2 & b_2 & color {blue} d_2 a_3 & b_3 & color {blue} d_3 end {vmatrix} ]

إذا كنا نكتب المحدد (D_x ) ، فإننا نستبدل عمود (س ) بعمود ثابت. إذا كنا نكتب المحدد (D_y ) ، فإننا نستبدل عمودهم y بالعمود الثابت. إذا كنا نكتب المحدد (D_z ) ، فإننا نستبدل العمود (z ) بعمود ثابت. تحقق دائمًا من الإجابة.

مثال ( PageIndex {4} ): حل (3 × 3 ) النظام باستخدام قاعدة كرامر

أوجد الحل لنظام (3 × 3 ) المحدد باستخدام قاعدة كرامر.

[ start {align *} x + y-z & = 6 3x-2y + z & = -5 x + 3y-2z & = 14 end {align *} ]

المحلول

استخدم قاعدة كريمر.

(D = begin {vmatrix} 1 & 1 & −1 3 & −2 & 1 1 & 3 & −2 end {vmatrix} ) ، (D_x = begin {vmatrix} 6 & 1 & −1 - 5 & −2 & 1 14 & 3 & −2 end {vmatrix} ) ، (D_y = begin {vmatrix} 1 & 6 & −1 3 & −5 & 1 1 & 14 & −2 end {vmatrix} ) ، (D_z = begin {vmatrix} 1 & 1 & 6 3 & −2 & −5 ​​1 & 3 & 14 end {vmatrix} )

ثم،

[ begin {align *} x & = dfrac {D_x} {D} & = dfrac {-3} {- 3} & = 1 y & = dfrac {D_y} {D} & = dfrac { -9} {- 3} & = 3 z & = dfrac {D_z} {D} & = dfrac {6} {- 3} & = -2 end {align *} ]

الحل هو ((1،3، −2) ).

تمرين ( PageIndex {3} )

استخدم قاعدة كرامر لحل مصفوفة (3 × 3 ).

[ start {align *} x-3y + 7z & = 13 x + y + z & = 1 x-2y + 3z & = 4 end {align *} ]

إجابه

( left (−2، dfrac {3} {5}، dfrac {12} {5} right) )

مثال ( PageIndex {5A} ): استخدام قاعدة كرامر لحل نظام غير متسق

حل نظام المعادلات باستخدام قاعدة كرامر.

[ start {align} 3x-2y & = 4 label {eq3} 6x-4y & = 0 label {eq4} end {align} ]

المحلول

نبدأ بإيجاد المحددات (D ) و (D_x ) و (D_y ).

(D = start {vmatrix} 3 & −2 6 & −4 end {vmatrix} = 3 (−4) −6 (−2) = 0 )

نحن نعلم أن محدد الصفر يعني أن النظام ليس له حل أو أن لديه عددًا لا نهائيًا من الحلول. لمعرفة أي واحد ، نستخدم عملية الإزالة. هدفنا هو القضاء على أحد المتغيرات.

  1. اضرب المعادلة المرجع {eq3} ب (- 2 ).
  2. أضف النتيجة إلى المعادلة المرجع {eq4}.

[ start {align *} & −6x + 4y = −8 & ؛ ؛ ؛ ؛ تسطير {6x − 4y = 0} & ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ 0 = -8 نهاية {محاذاة *} ]

نحصل على المعادلة (0 = −8 ) وهي خاطئة. لذلك ، النظام ليس لديه حل. الرسم البياني للنظام يكشف عن خطين متوازيين. راجع الشكل ( PageIndex {1} ).

مثال ( PageIndex {5B} ): استخدم قاعدة كريمر لحل نظام تابع

حل النظام بعدد لا نهائي من الحلول.

[ begin {align} x-2y + 3z & = 0 label {eq5} 3x + y-2z & = 0 label {eq6} 2x-4y + 6z & = 0 label {eq7} end { محاذاة} ]

المحلول

دعونا نجد المحدد أولا. قم بإعداد مصفوفة معززة بالعمودين الأولين.

( left | start {array} {ccc | cc} 1 & −2 & 3 & 1 & -2 3 & 1 & −2 & 3 & 1 2 & −4 & 6 & 2 & -4 end {array} right | )

ثم،

(1(1)(6)+(−2)(−2)(2)+3(3)(−4)−2(1)(3)−(−4)(−2)(1)−6(3)(−2)=0)

بما أن المحدد يساوي صفرًا ، فلا يوجد حل أو عدد لا نهائي من الحلول. علينا القيام بالقضاء لمعرفة ذلك.

1. اضرب المعادلة ref {eq5} في (- 2 ) وأضف النتيجة إلى المعادلة المرجع {eq7}:

[ start {align *} & −2x + 4y − 6x = 0 & ؛ ؛ تسطير {2x − 4y + 6z = 0} & ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ 0 = 0 end {align *} ]

2. الحصول على إجابة من (0 = 0 ) ، عبارة صحيحة دائمًا ، تعني أن النظام يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول. من خلال رسم النظام ، يمكننا أن نرى أن طائرتين متماثلتين وأن كلاهما يتقاطع مع المستوى الثالث على خط مستقيم. راجع الشكل ( PageIndex {2} ).

فهم خصائص المحددات

هناك العديد من خصائص المحددات. المدرجة هنا هي بعض الخصائص التي قد تكون مفيدة في حساب محدد المصفوفة.

خصائص المحددات

  1. إذا كانت المصفوفة في شكل مثلث علوي ، فإن المحدد يساوي حاصل ضرب المدخلات أسفل القطر الرئيسي.
  2. عندما يتم تبادل صفين ، علامة تغييرات المحدد.
  3. إذا كان هناك صفان أو عمودان متطابقان ، فإن المحدد يساوي صفرًا.
  4. إذا احتوت المصفوفة على صف من الأصفار أو عمود من الأصفار ، فإن المحدد يساوي صفرًا.
  5. محدد المصفوفة العكسية (A ^ {- 1} ) هو مقلوب محدد المصفوفة (A ).
  6. إذا تم ضرب أي صف أو عمود في ثابت ، فسيتم ضرب المحدد في نفس العامل.

مثال ( PageIndex {6} ): توضيح خصائص المحددات

وضح كل من خصائص المحددات.

المحلول

تنص الخاصية 1 على أنه إذا كانت المصفوفة في شكل مثلث علوي ، فإن المحدد هو حاصل ضرب المدخلات أسفل القطر الرئيسي.

(A = begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & 2 & 1 0 & 0 & −1 end {bmatrix} )

زيادة (أ ) مع أول عمودين.

(A = left [ start {array} {ccc | cc} 1 & 2 & 3 & 1 & 2 0 & 2 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & −1 & 0 & 0 end {array} right] )

ثم

[ start {align *} det (A) & = 1 (2) (- 1) +2 (1) (0) +3 (0) (0) -0 (2) (3) -0 ( 1) (1) +1 (0) (2) & = -2 end {align *} ]

تنص الخاصية 2 على أن الصفوف المتبادلة تغير العلامة. معطى

[ start {align *} B & = begin {bmatrix} 4 & -3 - 1 & 5 end {bmatrix} det (B) & = (4) (5) - (- 1) (- 3 ) & = 20-3 & = 17 نهاية {محاذاة *} ]

تنص الخاصية 3 على أنه في حالة تطابق صفين أو عمودين ، فإن المحدد يساوي صفرًا.

[ start {align *} A & = left [ start {array} {ccc | cc} 1 & 2 & 2 & 1 & 2 2 & 2 & 2 & 2 & 2 - 1 & 2 & 2 & -1 & 2 end {array} right] det (A) & = 1 (2) (2) +2 (2) (- 1) +2 (2) (2) +1 (2) (2) -2 (2) (1) -2 (2) (2) & = 4-4 + 8 + 4-4-8 & = 0 end {align *} ]

تنص الخاصية 4 على أنه إذا كان الصف أو العمود يساوي صفرًا ، فإن المحدد يساوي صفرًا. هكذا،

[ begin {align *} A & = begin {bmatrix} 1 & 2 0 & 0 end {bmatrix} det (A) & = 1 (0) -2 (0) & = 0 end { محاذاة *} ]

تنص الخاصية 5 على أن محدد المصفوفة العكسية (A ^ {- 1} ) هو مقلوب المحدد (A ). هكذا،

[ begin {align *} A ^ {- 1} & = begin {bmatrix} -2 & 1 dfrac {3} {2} & - dfrac {1} {2} end {bmatrix} det (A ^ {- 1}) & = - 2 left (- dfrac {1} {2} right) - dfrac {3} {2} (1) & = - dfrac {1 } {2} end {align *} ]

تنص الخاصية 6 على أنه إذا تم ضرب أي صف أو عمود في مصفوفة في ثابت ، فسيتم ضرب المحدد في نفس العامل. هكذا،

مثال ( PageIndex {7} ): استخدام قاعدة Cramer والخصائص المحددة لحل نظام

أوجد الحل لنظام (3 × 3 ) المحدد.

المحلول

باستخدام قاعدة كريمر ، لدينا

(D = start {bmatrix} 2 & 4 & 4 3 & 7 & 7 1 & 2 & 2 end {bmatrix} )

لاحظ أن العمودين الثاني والثالث متطابقان. وفقًا للخاصية 3 ، سيكون المحدد صفرًا ، لذلك إما لا يوجد حل أو عدد لا نهائي من الحلول. اضرب المعادلة المرجع {eq10} في (- 2 ) وأضف النتيجة إلى المعادلة المرجع {eq8}.

الحصول على بيان بالتناقض يعني أن النظام لا يوجد لديه حل.

المفاهيم الرئيسية

  • محدد ( start {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix} ) هو (ad − bc ). راجع المثال ( PageIndex {1} ).
  • تستبدل قاعدة كرامر عمودًا متغيرًا بعمود ثابت. الحلول هي (x = dfrac {D_x} {D} ) ، (y = dfrac {D_y} {D} ). راجع المثال ( PageIndex {2} ).
  • لإيجاد محدد مصفوفة (3 × 3 ) ، قم بزيادة العمودين الأولين. أضف ثلاثة إدخالات قطرية (أعلى اليسار إلى أسفل اليمين) واطرح الإدخالات الثلاثة القطرية (أسفل اليسار إلى أعلى اليمين). راجع المثال ( PageIndex {3} ).
  • لحل نظام من ثلاث معادلات في ثلاثة متغيرات باستخدام قاعدة كرامر ، استبدل عمود متغير بعمود ثابت لكل حل مطلوب: (x = dfrac {D_x} {D} )، (y = dfrac {D_y } {D} ) ، (z = dfrac {D_z} {D} ). راجع المثال ( PageIndex {4} ).
  • قاعدة كرامر مفيدة أيضًا في إيجاد حل لنظام المعادلات بدون حل أو حلول لا نهائية. راجع المثال ( PageIndex {5} ) والمثال ( PageIndex {6} ).
  • بعض خصائص المحددات مفيدة في حل المشكلات. فمثلا:
    • إذا كانت المصفوفة في شكل مثلث علوي ، فإن المحدد يساوي حاصل ضرب المدخلات أسفل القطر الرئيسي.
    • عندما يتم تبادل صفين ، علامة تغييرات المحدد.
    • إذا كان هناك صفان أو عمودان متطابقان ، فإن المحدد يساوي صفرًا.
    • إذا احتوت المصفوفة على صف من الأصفار أو عمود من الأصفار ، فإن المحدد يساوي صفرًا.
    • محدد المصفوفة العكسية (A ^ {- 1} ) هو مقلوب محدد المصفوفة (A ).
    • إذا تم ضرب أي صف أو عمود في ثابت ، فسيتم ضرب المحدد في نفس العامل. راجع المثال ( PageIndex {7} ) والمثال ( PageIndex {8} ).

7.8 حل الأنظمة بقاعدة كرامر

لقد تعلمنا كيفية حل أنظمة المعادلات في متغيرين وثلاثة متغيرات ، وبطرق متعددة: التعويض ، والجمع ، والحذف الغاوسي ، باستخدام معكوس المصفوفة ، والرسوم البيانية. بعض هذه الأساليب أسهل في التطبيق من غيرها وتكون أكثر ملاءمة في مواقف معينة. في هذا القسم ، سوف ندرس استراتيجيتين أخريين لحل أنظمة المعادلات.

إيجاد قيمة محدد مصفوفة 2 × 2

المحدد هو رقم حقيقي يمكن أن يكون مفيدًا جدًا في الرياضيات لأنه يحتوي على تطبيقات متعددة ، مثل حساب المساحة والحجم والكميات الأخرى. هنا ، سنستخدم المحددات لكشف ما إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس باستخدام إدخالات مصفوفة مربعة لتحديد ما إذا كان هناك حل لنظام المعادلات. ومع ذلك ، ربما يكون أحد التطبيقات الأكثر إثارة للاهتمام هو استخدامها في التشفير. أحيانًا يتم إرسال إشارات أو رسائل آمنة مشفرة في مصفوفة. لا يمكن فك تشفير البيانات إلا باستخدام مصفوفة قابلة للانعكاس والمحدد. لأغراضنا ، نركز على المحدد كمؤشر لعكس المصفوفة. يتضمن حساب محدد المصفوفة اتباع الأنماط المحددة الموضحة في هذا القسم.

أوجد محدد مصفوفة 2 × 2

محدد مصفوفة 2 × 2 2 × 2 ، معطى

لاحظ التغيير في التدوين. توجد عدة طرق للإشارة إلى المحدد ، بما في ذلك det (A) det (A) واستبدال الأقواس في مصفوفة بخطوط مستقيمة ، | أ | . | أ | .


9.8: حل الأنظمة بقاعدة كرامر - الرياضيات

حل مجهولين إذا كان لدينا معادلتان:

يمكننا استخدام قاعدة كرامر بوضع المعاملات الأربعة (أ ، ب ، ج ، د) والثابتان (e & f) في محددات من الدرجة الثانية. (المحدد من الدرجة الثانية له 4 أرقام مرتبة في عمودين في صفين.)

يتم إنشاء محدد المقام (dn) من المعاملات على الجانب الأيسر من المعادلات.

يشبه بسط محدد x محدد dn باستثناء معاملات "x" (a & c) التي يتم استبدالها بالثوابت (e & f).

يشبه بسط المحدد y محدد dn باستثناء معاملات "y" (b & d) التي يتم استبدالها بالثوابت (e & f).

إذا أردنا تقييم هذه المحددات ، فسيتم ذلك بناءً على هذا الإجراء:

الآن بعد أن عرفنا قاعدة كرامر لـ 2 مجهولين وإيجاد قيمة المحددات ، دعنا نحل بعض المعادلات.
2 س + 3 ص = 12
3 س - 4 ص = & # 1601
من التعليمات المذكورة أعلاه يمكننا أن نرى ما يلي:
a = 2 & # 160 b = 3 & # 160 c = 3 & # 160 d = -4 & # 160 e = 12 & # 160 f = 1

يمكننا أن نرى أن:
a = 2 & # 160 b = 3 & # 160 c = 4 & # 160 d = 5 & # 160 e = -6 & # 160 f = 7 & # 160 g = 8 & # 160 h = 9 & # 160 i = 10
ي = 119 & # 160 ك = 80 & # 160 لتر = 353


9.8: حل الأنظمة بقاعدة كرامر - الرياضيات

المعادلات الآنية: القسم 2

مثال 4. حل نظام المعادلات الآنية هذا:

1) 3 × + 4 ذ = 19
2) 2 × &ناقص ذ = 9

المحلول . إذا أضفنا المعادلات كما هي ، فلن يتم إلغاء أي من المجهول. الآن ، إذا كان معامل y في المعادلة 2) هو & ناقص 4 ، فسيتم إلغاء y. لذلك سوف نوسع استراتيجيتنا على النحو التالي:

اصنع زوجًا من المعاملات السلبية لبعضها البعض - عن طريق الضرب
كلا طرفي المعادلة بنفس العدد. عند إضافة المعادلات ، سيتم حذف هذا المجهول.

لجعل معاملات ص 4 و & ناقص 4 ، سنضرب طرفي المعادلة 2) في 4:

1) 3 × + 4 ذ = 19 3 × + 4 ذ = 19
2) 2 × &ناقص ذ = 9 8 × &ناقص 4 ذ = 36
11 × = 55
x = 55
11
x = 5

يشير الرقم 4 فوق السهم في المعادلة 2) إلى أن كلا طرفي المعادلة قد تم ضربهما في 4. المعادلة 1) لم تتغير.

للحل من أجل y ، عوض بـ x = 5 في إحدى المعادلتين الأصليتين. في المعادلة 1):

3 & middot 5 + 4 ص = 19
4 ذ = 19 & ناقص 15
4 ذ = 4
ذ = 1

يجب على الطالب دائمًا التحقق من الحل عن طريق استبدال x و y بـ (5 ، 1) في المعادلات الأصلية.

مثال 5. حل في وقت واحد:

1) 3 × + 2 ذ = & ناقص 2
2) 2 × + 5 ذ = & ناقص 5

المحلول . يجب أن نجعل زوجًا من المعاملات السلبية لبعضنا البعض. في هذا المثال ، يجب أن نقرر أي من المجهول يجب حذفه ، x أو y. في كلتا الحالتين ، سنجعل المعامِلات الجديدة هي المضاعف المشترك الأدنى (LCM) من المعاملات الأصلية - ولكن بعلامات معاكسة.

وبالتالي ، إذا استبعدنا x ، فسنجعل المعاملين الجديدين 6 و & ناقص 6. (المضاعف المشترك الأصغر للعددين 3 و 2 هو 6.) بينما إذا حذفنا y ، فسنجعل معامليهما الجديد 10 و & ناقص 10. (المضاعف المشترك الأصغر للعددين 2 و 5 هو 10.)

دعنا نختار حذف x:

1) 3 × + 2 ذ = & ناقص 2 6 × + 4 ذ = & ناقص 4
2) 2 × + 5 ذ = & ناقص 5 & ناقص 6 x &ناقص 15 ذ = 15
________________________________________________________________________
&ناقص 11 ذ = 11
ذ = & ناقص 1.

تم ضرب المعادلة 1) في 2. تم ضرب المعادلة 2) في & ناقص 3 - لأننا نريد أن نجعل المعاملين 6 و & ناقص 6 ، بحيث يتم إلغاء y عند الجمع.

لإيجاد قيمة x ، سنستبدل y = & minus1 في المعادلة الأصلية 1):

3 × + 2 (& ناقص 1) = & ناقص 2
3 × وناقص 2 = & ناقص 2
3 × = 0
x = 0

المشكلة 3. حل في وقت واحد.

1) 2 × + 3 ذ = 13
2) 5 × &ناقص ذ = 7

لإلغاء y ، اضرب المعادلة 2) في 3:

1) 2 × + 3 ذ = 13 2 × + 3 ذ = 13
2) 5 × &ناقص ذ = 7 15 × &ناقص 3 ذ = 21
________________________________________________________________________
17 × = 34
x = 2

عوّض بـ x = 2 في إحدى المعادلات الأصلية.
في المعادلة 1:

المشكلة 4. حل في وقت واحد.

1) x + 2 ذ = & ناقص 1
2) 2 × &ناقص 3 ذ = 5

لإلغاء علامة x ، اضرب المعادلة 1) في & ناقص 2:

1) x + 2 ذ = & ناقص 1 & ناقص 2 x &ناقص 4 ذ = 2
2) 2 × &ناقص 3 ذ = 5 2 × &ناقص 3 ذ = 5
________________________________________________________________________
&ناقص 7 ذ = 7
ذ = & ناقص 1

عوّض بـ y = & minus1 في إحدى المعادلات الأصلية.
في المعادلة 1:

كان بإمكاننا حذف y بضرب المعادلة 1) في 3 والمعادلة 2) في 2.

المشكلة 5. حل في وقت واحد:

1) 3 × &ناقص 4 ذ = 1
2) 2 × + 3 ذ = 12

اضرب المعادلة 1) في 3 والمعادلة 2) في 4:

1) 3 × &ناقص 4 ذ = 1 9 × &ناقص 12 ذ = 3
2) 2 × + 3 ذ = 12 8 × + 12 ذ = 48
________________________________________________________________________
17 × = 51
x = 51
17
x = 3

عوّض بـ x = 3 في إحدى المعادلات الأصلية.
في المعادلة 2 (لأن علامة y موجبة بالفعل):

المشكلة 6. حل في وقت واحد:

1) 3 × + 2 ذ = & ناقص 4
2) 2 × + 5 ذ = 1

اضرب المعادلة 1) في 2 والمعادلة 2) في & ناقص 3:

1) 3 × + 2 ذ = & ناقص 4 6 × + 4 ذ = & ناقص 8
2) 2 × + 5 ذ = 1 & ناقص 6 x &ناقص 15 ذ = & ناقص 3
________________________________________________________________________
&ناقص 11 ذ = & ناقص 11
ذ = 1

عوّض y = 1 في إحدى المعادلات الأصلية.
في المعادلة 1:

كان بإمكاننا حذف y بضرب المعادلة 1) في 5 والمعادلة 2) في & ناقص 2.

المشكلة السابعة: حل في وقت واحد:

1) 5 × + 3 ذ = & ناقص 11
2) 2 × + 4 ذ = & ناقص 10

اضرب المعادلة 1) في 2 والمعادلة 2) في & ناقص 5:

1) 5 × + 3 ذ = & ناقص 11 10 × + 6 ذ = & ناقص 22
2) 2 × + 4 ذ = & ناقص 10 & ناقص 10 x &ناقص 20 ذ = 50
________________________________________________________________________
&ناقص 14 ذ = 28
ذ = & ناقص 2

عوّض بـ y = & minus2 في إحدى المعادلات الأصلية.
في المعادلة 1:

كان بإمكاننا حذف y بضرب المعادلة 1) في 4 والمعادلة 2) في & ناقص 3.

قاعدة كرامر: طريقة المحددات

نظام معادلتين في مجهولين له هذا الشكل:

إن a هي معاملات حرف x. إن b هي معاملات y. فيما يلي مصفوفة تلك المعاملات.

الرقم أ 1 ب 2 & ناقص ب 1 أ 2 يسمى محدد تلك المصفوفة.

دعونا نشير إلى هذا المحدد بواسطة D.

الآن ضع في اعتبارك هذه المصفوفة التي يحل فيها حرف c محل معاملات حرف x:

ثم محدد تلك المصفوفة - التي سنسميها D x - هو

ضع في اعتبارك هذه المصفوفة التي يحل فيها حرف c محل معاملات y:

محدد تلك المصفوفة - D y - هو

ثم تنص قاعدة كرامر على ما يلي:

في كل نظام معادلتين في مجهولين
حيث لا يكون المحدد D هو 0 ،

مثال. استخدم قاعدة كرامر لحل نظام المعادلات هذا (المشكلة 7):

5 × + 3 ذ = & ناقص 11
2 × + 4 ذ = & ناقص 10

د = Det = 5 & ​​middot 4 & ناقص 3 & middot 2
= 20 & ناقص 6
= 14.
د x = Det = & ناقص 11 & middot 4 & ناقص 3 & middot & ناقص 10
= & ناقص 44 + 30
= & ناقص 14.
د ذ = Det = 5 & ​​middot & ناقص 10 & ناقص (& ناقص 11) & middot 2
= & ناقص 50 + 22
= & ناقص 28.

x = د x
د
= & ناقص 14
14
= & ناقص 1.
ذ = د ذ
د
= & ناقص 28
14
= & ناقص 2.

مشكلة. استخدم قاعدة كرامر لحل هذه المعادلات الآنية.

د = Det = 3 & middot 1 & amp ؛ ناقص (& amp ؛ 5) & middot 2
= 3 + 10
= 13.
د x = Det = & ناقص 31 & middot 1 & ناقص (& ناقص 5) & middot 1
= & ناقص 31 + 5
= & ناقص 26.
د ذ = Det = 3 & middot 1 & amp ؛ ناقص (& ناقص 31) & middot 2
= 3 + 62
= 65.

x = د x
د
= & ناقص 26
13
= & ناقص 2.
ذ = د ذ
د
= 65
13
= 5.

عندما يكون المحدد D ليس 0 ، نقول إن المعادلات مستقلة خطيًا. في أي نظام معادلات مستقلة خطيًا ، يوجد حل واحد فقط.

عندما يكون المحدد D هو 0 ، فعندئذٍ إما 1) لا يوجد حل فريد ، فمن الممكن تسمية العديد أو 2) لا يوجد حل على الإطلاق. في الحالة 1) ، المعادلات تعتمد خطيًا. واحد منهم هو ببساطة مضاعف للآخر. فمثلا،

في الحالة 2) ، المعادلات غير متسقة.

يرجى التبرع لإبقاء TheMathPage على الإنترنت.
حتى دولار واحد سيساعد.


قاعدة CRAMERS - عرض تقديمي لـ PowerPoint PPT

يعد موقع PowerShow.com موقعًا رائدًا لمشاركة العروض التقديمية / عرض الشرائح. سواء كان تطبيقك يتعلق بالعمل ، أو الكيفية ، أو التعليم ، أو الطب ، أو المدرسة ، أو الكنيسة ، أو المبيعات ، أو التسويق ، أو التدريب عبر الإنترنت أو لمجرد التسلية ، فإن موقع PowerShow.com هو مورد رائع. والأفضل من ذلك كله ، أن معظم ميزاته الرائعة مجانية وسهلة الاستخدام.

يمكنك استخدام PowerShow.com للعثور على أمثلة لعروض PowerPoint التقديمية عبر الإنترنت وتنزيلها حول أي موضوع يمكنك تخيله حتى تتمكن من تعلم كيفية تحسين الشرائح والعروض التقديمية مجانًا. أو استخدمه للعثور على عروض تقديمية عالية الجودة لـ PowerPoint وتنزيلها مع شرائح مصورة أو متحركة ستعلمك كيفية القيام بشيء جديد ، مجانًا أيضًا. أو استخدمه لتحميل شرائح PowerPoint الخاصة بك حتى تتمكن من مشاركتها مع المعلمين أو الفصل أو الطلاب أو الرؤساء أو الموظفين أو العملاء أو المستثمرين المحتملين أو العالم. أو استخدمها لإنشاء عروض شرائح صور رائعة حقًا - مع انتقالات ثنائية وثلاثية الأبعاد ورسوم متحركة وخيارات الموسيقى التي يمكنك مشاركتها مع أصدقائك على Facebook أو دوائر Google+. هذا كله مجاني أيضًا!

مقابل رسوم رمزية ، يمكنك الحصول على أفضل خصوصية على الإنترنت في المجال أو الترويج للعروض التقديمية وعروض الشرائح مع أعلى التصنيفات. لكن بصرف النظر عن ذلك فهو مجاني. سنقوم بتحويل العروض التقديمية وعروض الشرائح إلى تنسيق الفلاش العالمي بكل مجدها الأصلي للوسائط المتعددة ، بما في ذلك الرسوم المتحركة ، وتأثيرات الانتقال ثنائية وثلاثية الأبعاد ، والموسيقى المضمنة أو أي صوت آخر ، أو حتى الفيديو المضمّن في الشرائح. كل هذا مجانا. يمكن مشاهدة معظم العروض التقديمية وعروض الشرائح على PowerShow.com مجانًا ، بل إن الكثير منها مجاني للتنزيل. (يمكنك اختيار ما إذا كنت ستسمح للأشخاص بتنزيل عروض PowerPoint التقديمية الأصلية وعروض شرائح الصور مقابل رسوم أو مجانًا أم لا على الإطلاق.) تحقق من PowerShow.com اليوم - مجانًا. حقا هناك شيء للجميع!

العروض التقديمية مجانًا. أو استخدمه للعثور على عروض تقديمية عالية الجودة لـ PowerPoint وتنزيلها مع شرائح مصورة أو متحركة ستعلمك كيفية القيام بشيء جديد ، مجانًا أيضًا. أو استخدمه لتحميل شرائح PowerPoint الخاصة بك حتى تتمكن من مشاركتها مع المعلمين أو الفصل أو الطلاب أو الرؤساء أو الموظفين أو العملاء أو المستثمرين المحتملين أو العالم. أو استخدمها لإنشاء عروض شرائح صور رائعة حقًا - مع انتقالات ثنائية وثلاثية الأبعاد ورسوم متحركة وخيارات الموسيقى التي يمكنك مشاركتها مع أصدقائك على Facebook أو دوائر Google+. هذا كله مجاني أيضًا!


9.8: حل الأنظمة بقاعدة كرامر - الرياضيات

في أي دورة فنية ، تلعب الرياضيات دورًا حيويًا في الحصول على الحلول الصحيحة للمشكلات. الإحصائيات ليست استثناء. يجب أن يكون لدى الطالب قاعدة صلبة في العديد من التخصصات الرياضية لإنشاء وحل معادلات الإحصاء. الجبر وقياس المثلثات والهندسة وحساب التفاضل والتكامل كلها عوامل مهمة جدًا في دراسة الإحصائيات وما بعدها. هذه الدورة مخصصة لطلاب السنة الأولى في مجال التكنولوجيا ، وبالتالي لن تتطلب حساب التفاضل والتكامل. يهدف هذا القسم إلى استعراض المبادئ الرياضية الأساسية المستخدمة بشكل مكثف في هذه الدورة. إنها نظرة عامة ، وليس المقصود منها أن تكون شاملة. سيتم تقديم المبادئ المعنية بشكل أساسي في شكل أمثلة.

الجبر: تعتمد معظم مسائل هذا المقرر بشكل كبير على الجبر لحل المعادلات المستخدمة. سيطلب من الطالب حل المعادلات بمتغير واحد ومجموعات المعادلات ذات المتغيرات المتعددة. بالإضافة إلى ذلك ، يجب أن يكون الطالب على دراية بالصيغة التربيعية واللوغاريتمات الطبيعية.

معادلات ذات متغير واحد: مشكلة شائعة جدًا هي معادلة ذات متغير واحد فقط. قد يظهر المتغير مرة واحدة أو عدة مرات خلال المعادلة. قد تكون المعادلة خطية أو غير خطية ، وقد تحتوي على دوال مثلثية أو دوال لوغاريتمية.

تتمثل الطريقة الأساسية المستخدمة لحل معادلة ذات متغير واحد في معالجة المعادلة حتى يتم عزل المتغير على جانب واحد من المعادلة ، ويكون كل شيء على الجانب الآخر. في حالة المعادلة الخطية ، يمكن القيام بذلك عن طريق جمع أو طرح تساوي لكل جانب ، أو ضرب كلا الطرفين في متساويين ، أو قسمة كلا الطرفين على متساويين. غالبًا ما يتطلب الأمر سلسلة من العمليات للوصول إلى الحل النهائي. في حالة المعادلات غير الخطية ، قد يتعين إجراء عمليات أخرى ، مثل أخذ الجذر التربيعي لكل جانب أو ظل كل جانب. الأمثلة من 2-1 حتى 2-4 كلها أمثلة مأخوذة من مشاكل ثابتة ، تُظهر التلاعب خطوة بخطوة لتحديد الحل النهائي. For several reasons, it is recommended that the student does not skip steps while solving a problem. Skipping steps can lead to errors, and will always making checking the work more difficult.

Example 2-1 - Linear Equation With 1 Variable Solve for X in the equation: Multiply both sides by 3: Multiply thru by 2: Subtract 24 from both sides: Add 18X to both sides: Do the arithmetic on the left side: Divide both sides by 18: Substitute 2 into the original equation to check:

Example 2-2 - Non-Linear Equation With 1 Variable Using the Quadratic Formula Solve for X in the equation: X (5X + 1.5) - 2.6 = 1.6X (2.5X+.5) Multiply thru by X on the left and 1.6X on the right: 5X 2 + 1.5X - 2.6 = 4X 2 +.8X Subtract 4X 2 +.8X from both sides: X 2 + .7X - 2.6 = 0 Apply the quadratic formula: Substitute values into the quadratic formula: Solve for X: X 1 = 1.3
X 2 = -2

Notice that there are 2 solutions for X in this equation. There will always be 2 solutions to a quadratic equation, however, usually only one solution will satisfy the conditions of the problem. After the 2 solutions have been calculated, then they must be evaluated in the context of the problem to determine which solution is the appropriate one for the situation.

The 2 solutions should be substituted back into the original equation to check the work. The checks will not be shown here, but should be done.

Example 2-3 - Non-Linear Equation With 1 Variable Involving a Trig Function
Solve for X in the equation: Sin (X + 15) = .5
Take the inverse sin of each side: (X + 15) = Sin -1 (.5)
(X + 15) = 30
Subtract 15 from both sides: X = 15 o

Example 2-4 - Non-Linear Equation With 1 Variable Involving Natural Logs
Solve for X in the equation:
Take the inverse ln of each side:
Solve for X in the equation: X = 270.4

Equations With Several Variables : In statics, as in most technical courses, problems arise which involve several variables. If a system of equations has N variables, then there must be N independent equations in those variables to be able to find a solution. There are several methods which can be used to solve such a system of equations. The examples below show 3 ways to solve the same system of equations. The equations used are:

-X + 2Y - 3Z = 1 (1)
2X + Z = 0 (2)
3X - 4Y + 4Z = 2 (3)

One method used to solve simultaneous equations is to solve one of the equations for one of the variables, then substituting that into one of the other equations, thereby eliminating that variable from the second equation. That process continues until there is only one variable remaining in an equation. The lone variable is solved for, then back substituted into one of the other equations, until all of the solutions have been found.

Example 2-5 - Systems of Equations Write down all of the equations:

-X + 2Y - 3Z = 1 (1)
2X + Z = 0 (2)
3X - 4Y + 4Z = 2 (3)

Solve one of the equations for one of the variables. In this case, equation 2 is the easiest on to work with: 2X + Z = 0
Z = -2X Substitute the result into one of the other equations. For example, substite Z=-2X into equation 1: -X + 2Y - 3Z = 1
-X + 2Y - 3(-2X) = 1
-X + 2Y + 6X = 1
5X + 2Y = 1 Solve this new equation for one of the remaining variables: 5X + 2Y = 1
5X - 1 = -2Y
1 - 5X = 2Y
Y = (1 - 5X) / 2 Substitute this result, and the result for Z into the unused equation, in this case equation 3: 3X - 4Y + 4Z = 2
3X - 4[(1 - 5X) / 2] + 4(-2X) = 2
3X - 2(1 - 5X) + 4(-2X) = 2
3X - 2 + 10X - 8X = 2 Solve the resulting equation for the remaining variable: 3X - 2 + 10X - 8X = 2
5X = 4
X = .8 Back substitute this result into equation 2: 2X + Z = 0
2(.8) + Z = 0
1.6 + Z = 0
Z = -1.6 Back substitute this result into equation 3 (or 1): 3X - 4Y + 4Z = 2
3(.8) - 4Y + 4(-1.6)= 2
Y = -1.5 So, the final solutions are: X = .8
Y = -1.5
Z = -1.6

The same system of equations can be solved by using another method of eliminating variables in the equations. In order to take full advantage of this second method, it is important to understand the concept of equivalent systems of equations. Two systems of equations are equivalent if they have precisely the same solution set. There are three operations that can be performed on any system of equations which will produce equivalent systems:

1.) Interchange two equations.
2.) Multiply an equation by a nonzero constant.
3.) Add a multiple of an equation to another equation.

The first of these is important in other methods of solving a system of equations, but will not be used here. The method that will be used in the next example involves eliminating variables by repeatedly using the second and third operations above.

Example 2-5 - Systems of Equations Write down all of the equations:

-X + 2Y - 3Z = 1 (1)
2X + Z = 0 (2)
3X - 4Y + 4Z = 2 (3)

Multiply the first equation by 2 (do not forget to multiply both sides of the equation):

-2X + 4Y - 6Z = 2 (1)
2X + Z = 0 (2)
3X - 4Y + 4Z = 2 (3)

Add equation 1 to equation 3: X - 2Z = 4
Multiply equation 2 by 2: 4 X + 2Z = 0
Add this to the previous result: 5 X = 4 Solve the resulting equation: X = .8 Back substitute this result into equation 2: 2X + Z = 0
2(.8) + Z = 0
1.6 + Z = 0
Z = -1.6 Back substitute this result into equation 3 (or 1): 3X - 4Y + 4Z = 2
3(.8) - 4Y + 4(-1.6)= 2
Y = -1.5 So, the final solutions are: X = .8
Y = -1.5
Z = -1.6

The same system of equations can be solved by using a third method known as Cramer's Rule. This method is efficient for systems of equations involving three variables, but is very tedious for larger systems. However, this method can be programmed fairly easily, so it lends itself well to computer solutions of larger systems. Cramer's rule involves finding the determinant of matrices. Therefore, a brief review will be given for finding the determinant of matrices of order 2 and order 3. Refer to any linear algebra text for other orders.

A matrix is an array of numbers arranged in row and column format. For applying Cramer's rule, the matrices will be square, meaning that the number of rows and the number of columns is the same. A matix is represented by the array shown inside a set of brackets:

The determinant of a matrix is represented by the same array shown inside a set of vertical line:

The determinant of a matrix is a number, which is evaluated by manipulating the numbers in the array.

Determinant of a matrix of order 2 :
To evaluate the determinant of a matrix of order 2, use:

|A| = a 11 ( C 11 ) + a 12 (C 12 ) + a 13 (C 13 )

With this background, it is now possible to discuss Cramer's Rule. This will be done by way of an example using a matrix of order 3. Refer to a linear algebra text for applications of Cramer's Rule to other size matrices.

Example 2-8 - Cramer's Rule for a Systems of Equations

A =

Trigonometry : Trigonometry is used extensively in statics. Trigonometry is the study of relationships in triangles. These relationships include functions of angles such as sine and cosine, and relationships involving the lengths of the sides, such as the Pythagorean theorem.

Basic Trigonometric Functions: The three basic trig functions used extensively in statics are sine, cosine, and tangent. Consider the triangle below:

It is important to recognize that these relationships only hold for right triangles. In statics, right triangles appear quite regularly, so these relationships will be used often, however, there is also a need for relationships between angles and sides on triangles which do not have a right angle. Those relationships are called the Law of Sines and the Law of Cosines. Consider the triangle below:

Example 2-9 - Trig. Functions

For the triangle on the left, find a and b.

Now that a is known, the tangent function can be used again to find b:

Example 2-10 - Law of Cosines & Law of Sines

For the triangle on the left, find the length of the unknown side and the angle .

Geometry : There are several geometric relationships which will be needed in this course.


Q: Eleven months after borrowing money, Dorah pays an interest of ₱2,800. How much did she borrow if th.

A: Consider that in 11 months simple interest paid was : 2800 at the rate of 1113%. Calculate the amoun.

Q: Find the increase rate of the scalar V at point P from origin to the point P(2,6 9,8 9,5) where V.

A: According to question given that The origin to the point P(2,6 9,8 9,5) where V=3, 3xy+ 2, 6xyz

Q: The simple interest on an investment is directly proportional to the amount of investment. An invest.

A: We solve the problem by proportion method.

Q: You are designing a dome house in the shape of a hemisphere with a 40.0-ft outside diameter. 1. How.

A: Click to see the answer

Q: Directions: Fill in the blanks with the key words in representing real-life situations into algebrai.

Q: Solve the system. Give your answer as (x, y, z) –3x + 4y : - 6z : = 19 - — Зх — 6у — 62 — 39 6х + 5у.

A: Click to see the answer

Q: Use the properties of logarithms to expand the expression as a sum, difference, and/or constant mult.

A: Click to see the answer

Q: Consider the following system of linear inequalities. 6x − y ≥ 9 4x − 5y &lt −7 (a) Graph the re.

A: Click to see the answer

Q: Use like bases and the one-to-one property to solve each exponential equation. using logarithms 4−3.


Application of Determinant to Systems: Cramer's Rule

We have seen that determinant may be useful in finding the inverse of a nonsingular matrix. We can use these findings in solving linear systems for which the matrix coefficient is nonsingular (or invertible).

Consider the linear system (in matrix form)

where A is the matrix coefficient, B the nonhomogeneous term, and X the unknown column-matrix. لدينا:

Theorem. The linear system AX = B has a unique solution if and only if A is invertible. In this case, the solution is given by the so-called Cramer's formulas :

where x i are the unknowns of the system or the entries of X , and the matrix A i is obtained from A by replacing the i th column by the column B . In other words, we have

where the b i are the entries of B .

In particular, if the linear system AX = B is homogeneous, meaning , then if A is invertible, the only solution is the trivial one, that is . So if we are looking for a nonzero solution to the system, the matrix coefficient A must be singular or noninvertible. We also know that this will happen if and only if . This is an important result.

Example. Solve the linear system

which implies that the matrix coefficient is invertible. So we may use the Cramer's formulas. We have

We leave the details to the reader to find

Note that it is easy to see that z =0. Indeed, the determinant which gives z has two identical rows (the first and the last). We do encourage you to check that the values found for x , y , and z are indeed the solution to the given system.

Remark. Remember that Cramer's formulas are only valid for linear systems with an invertible matrix coefficient.


Solving Systems of Equations using Cramer's Rule

Create an algorithm that uses Cramer's Rule (with determinants of matrices) to solve for the solutions of a system of linear equations. The code should work for an "n" number of variables.

You may use whatever data structure you want to hold the matrix and return the result

ملحوظة: Also, consider that a possible system can have no solutions and may have infinitely many solutions :), so, your solution should take account of this.

If this is the case, just print out or return "none" or "infinitely many".

Since this is code golf, smallest code wins.

تعديل: To make this more challenging, you cannot use a language's built-in matrix operations libraries.

Also, your algorithm DOES NOT have to deal how to get the input, just how to process the input and return the correct output. As said before, you can store this input in whatever structure.


Common Lisp [ edit ]

في Numerical Methods That Work (Usually), in the section What ليس to compute, F. S. Acton remarks ". perhaps we should be glad he didn't resort to Cramer's rule (still taught as the practical method in some high schools) and solve his equations as the ratios of determinants - a process that requires labor proportional to N! if done in the schoolboy manner. The contrast with N 3 can be startling!" And further on, "Having hinted darkly at my computational fundamentalism, it is probably time to commit to a public heresy by denouncing recursive calculations. I have أبدا seen a numerical problem arising from the physical world that was best calculated by a recursive subroutine. "

Since this problem requires use of Cramer's rule, one might as well be hung for a sheep instead of a lamb, so the traditions of Old Fortran and heavy computation will be ignored and the fearsome RECURSIVE specification employed so that the determinants will be calculated recursively, all the way down to N = 1 even though the N = 2 case is easy. This requires F90 and later. Similarly, the MODULE protocol will be employed, even though there is no significant context to share. The alternative method for calculating a determinant involves generating permutations, a tiresome process.

Array passing via the modern arrangements of F90 is a source of novel difficulty to set against the slight convenience of not having to pass an additional parameter, N. Explicitly, at least. There are "secret" additional parameters when an array is being passed in the modern way, which are referred to by the new SIZE function. Anyway, for an order N square matrix, the array يجب be declared A(N,N), and specifically not something like A(100,100) with usage only of elements up to N = 7, say, because the locations in storage of elements in use would be quite different from those used by an array declared A(7,7). This means that the array must be re-declared for each different size usage, a tiresome and error-inviting task. One-dimensional arrays do not have this problem, but they do have to be "long enough" so B and X might as well be included. This also means that the auxiliary matrices needed within the routines have to be made the right size, and fortunately they can be declared in a way that requests this without the blather of ALLOCATE, this being a protocol introduced by Algol in the 1960s. Unfortunately, there is no scheme such as in pl/i to declare AUX "like" A, so some grotesquery results. And in the case of function DET which needs an array of order N - 1, when its recursion bottoms out with N = 1 it will have declared MINOR(0,0), a rather odd situation that fortunately evokes no complaint, and a test run in which its "value" was written out by WRITE (6,*) MINOR produced a blank line: no complaint there either, presumably because zero elements were being sent forth and so there was no improper access of . nothing.

With matrices, there is a problem all the way from the start in 1958. Everyone agrees that a matrix should be indexed as A(صف,عمودي) and that when written out, rows should run down the page and columns across. This is unexceptional and the F90 function MATMUL follows this usage. However, Fortran has always stored its array elements in what is called "column major" order, which is to say that element A(1,1) is followed by element A(2,1) in storage, not A(1,2). Thus, if an array is written (or read) by something like WRITE (6,*) A , consecutive elements, written along a line, will be A(1,1), A(2,1), A(3,1), . So, subroutine SHOWMATRIX is employed to write the matrix out in the desired form, and to read the values into the array, an explicit loop is used to place them where expected rather than just READ(INF,*) A

Similarly, if instead a DATA statement were used to initialise the array for the example problem, and it looked something like (ignoring integer/floating-point issues) thus corresponding to the layout of the example problem, there would need to be a statement A = TRANSPOSE(A) to obtain the required order. I have never seen an explanation of why this choice was made for Fortran.

Oddly, the Compaq Visual Fortran F90/95 compiler is confused by the usage "BAD IDEA" instead of "BADIDEA" - spaces are not normally relevant in Fortran source. Anyway, file Test.dat has been filled with the numbers of the example, as follows:

Fortran's free-form allows a comma, a tab, and spaces between numbers, and regards the / as starting a comment, but, because each row is read separately, once the required five (N + 1) values have been read, no further scanning of the line takes place and the next READ statement will start with a new line of input. So the / isn't needed for the third row, as shown. Omitted values lead to confusion as the input process would read additional lines to fill the required count and everything gets out of step. Echoing input very soon after it is obtained is helpful in making sense of such mistakes.

For more practical use it would probably be better to constrain the freedom somewhat, perhaps requiring that all the N + 1 values for a row appear on one input record. In such a case, the record could first be read into a text variable (from which the data would be read) so that if a problem arises the text could be printed as a part of the error message. But, this requires guessing a suitably large length for the text variable so as to accommodate the longest possible input line.

And at this point I suddenly noticed that the habits of Old Fortran are not so easily suppressed: all calculations are done with double precision. Curiously enough, for the specific example data, the same results are obtained if all variables are integer.


شاهد الفيديو: جبر المصفوفات - حل نظام خطي في ثلاثة متغيرات باستخدام طريقة كرايمر (شهر نوفمبر 2021).

Determinant of a matrix of order 3 :
To evaluate the determinant of a matrix of order 3, it is necessary to define two new terms, minors and cofactors for a square matrix. The minor M ij the element a ij is the determinant of the matrix which is left if row i and column j are deleted. The cofactor C ij is then given by the expression C ij = (-1) i+j M ij .

Cofactors will always be either +1 or -1 times the minor, and can be determined from the following matrix:

This shows that the cofactor for a 11 = C 11 = (+1)M 11 .

Having defined these two terms, it is now possible to define a procedure for evaluating the determinant of a matrix of order 3:

|A| = a 11 ( C 11 ) + a 12 (C 12 ) + a 13 (C 13 )

Example 2-7 - Determinant of a Matrix of Order 3

Example 2-6 - Determinant of a Matrix of Order 2
Find the determinant of the following matrix: A =
Find the determinant of the following matrix: A =
Write down all of the equations:

-X + 2Y - 3Z = 1 (1)
2X + Z = 0 (2)
3X - 4Y + 4Z = 2 (3)

Set up a "coefficient matrix". This is a matrix with the coefficients of X in column 1, coefficients of Y in column 2, and coefficients of Z in column 3:
Calculate the determinant of the coefficent matrix using the method shown in Example 2-7: |A| = 10
Set up 3 more matrices by replacing individual columns with the values of the constants on the right side of the equations:
Calculate the determinants of these matrices using the method shown in Example 2-7: |A 1 | = 8

|A 3 | = -16

Apply Cramer's Rule:
So, the final solutions are: X = .8
Y = -1.5
Z = -1.6
This is a right triangle, and both a & b can be determined using basic trig. functions:
Since two sides and the angle between them are given, this is an example of a problem suited to the Law of Cosines. Call the side opposite the given angle C, and apply the Law of Cosines:
C 2 = A 2 + B 2 + 2AB cos c

C 2 = 6 2 + 4 2 + 2(6)(4) cos 20

The Law of Sines can now me used to find the angle .