مقالات

5.E: الدوال المثلثية (تمارين)


5.1: الزوايا

في هذا القسم ، سوف ندرس خصائص الزوايا.

شفهي

1) ارسم زاوية في الوضع القياسي. قم بتسمية الرأس والجانب الأولي والجانب النهائي.

إجابه

2) اشرح سبب وجود عدد لا حصر له من الزوايا المتوافقة مع زاوية معينة.

3) حدد معنى الزاوية الموجبة أو السلبية ، واشرح كيفية رسم كل زاوية.

إجابه

يحدد الاتجاه سواء كانت الزاوية موجبة أو سالبة. يتم رسم زاوية موجبة في اتجاه عكس عقارب الساعة ، والزاوية السالبة في اتجاه عقارب الساعة.

4) كيف يقارن قياس الراديان لزاوية بقياس الدرجة؟ قم بتضمين شرح (1 ) راديان في فقرتك.

5) اشرح الاختلافات بين السرعة الخطية والسرعة الزاوية عند وصف الحركة على طول مسار دائري.

إجابه

السرعة الخطية هي قياس يتم إيجاده من خلال حساب مسافة القوس مقارنة بالوقت. السرعة الزاوية هي قياس يتم إيجاده من خلال حساب زاوية القوس مقارنة بالوقت.

رسومية

للتمارين من 6 إلى 21 ، ارسم زاوية في الوضع القياسي باستخدام القياس المعطى.

6) (30 ^ { circ} )

7) (300 ^ { circ} )

إجابه

8) (- 80 ^ { circ} )

9) (135 ^ { circ} )

إجابه

10) (- 150 ^ { circ} )

11) ( dfrac {2π} {3} )

إجابه

12) ( dfrac {7π} {4} )

13) ( dfrac {5π} {6} )

إجابه

14) ( dfrac {π} {2} )

15) (- dfrac {π} {10} )

إجابه

16) (415 ^ { circ} )

17) (- 120 ^ { circ} )

إجابه

(240 ^ { circ} )

18) (- 315 ^ { circ} )

19) ( dfrac {22π} {3} )

إجابه

( dfrac {4π} {3} )

20) (- dfrac {π} {6} )

21) (- dfrac {4π} {3} )

إجابه

( dfrac {2π} {3} )

للتمارين 22-23 ، يرجى الرجوع إلى الشكل أدناه. قرّب لأقرب منزلتين عشريتين.

22) أوجد طول القوس.

23) أوجد مساحة القطاع.

إجابه

( dfrac {27π} {2} ≈11.00 نص {in} ^ 2 )

للتمارين 24-25 ، يرجى الرجوع إلى الشكل أدناه. قرّب لأقرب منزلتين عشريتين.

24) أوجد طول القوس.

25) أوجد مساحة القطاع.

إجابه

( dfrac {81π} {20} ≈12.72 نص {سم} ^ 2 )

جبري

بالنسبة للتمارين من 26 إلى 32 ، قم بتحويل الزوايا بالتقدير الدائري إلى درجات.

26) ( dfrac {3π} {4} ) راديان

27) ( dfrac {π} {9} ) راديان

إجابه

(20 ^ { circ} )

28) (- dfrac {5π} {4} ) راديان

29) ( dfrac {π} {3} ) راديان

إجابه

(60 ^ { circ} )

30) (- dfrac {7π} {3} ) راديان

31) (- dfrac {5π} {12} ) راديان

إجابه

(- 75 ^ { circ} )

32) ( dfrac {11π} {6} ) راديان

بالنسبة للتمارين 33-39 ، حول الزوايا بالدرجات إلى الراديان.

33) (90 ^ { circ} )

إجابه

( dfrac {π} {2} ) راديان

34) (100 ^ { circ} )

35) (- 540 ^ { circ} )

إجابه

(- 3π ) راديان

36) (- 120 ^ { circ} )

37) (180 ^ { circ} )

إجابه

(π ) راديان

38) (- 315 ^ { circ} )

39) (150 ^ { circ} )

إجابه

( dfrac {5π} {6} ) راديان

بالنسبة للتمارين 40-45 ، استخدم المعلومات المعطاة لإيجاد طول القوس الدائري. قرّب لأقرب منزلتين عشريتين.

40) أوجد طول قوس دائرة نصف قطرها (12 ) بوصة يقابلها زاوية مركزية مقدارها ( dfrac {π} {4} ) راديان.

41) أوجد طول قوس دائرة نصف قطرها (5.02 ) ميل مقابل الزاوية المركزية ( dfrac {π} {3} ).

إجابه

( dfrac {5.02π} {3} ≈5.26 ) ميل

42) أوجد طول قوس دائرة قطرها (14 ) مترًا مقابل الزاوية المركزية ( dfrac {5 pi} {6} ).

43) أوجد طول قوس دائرة نصف قطرها (10 ​​) سم مقابل الزاوية المركزية (50 ^ { circ} ).

إجابه

( dfrac {25π} {9} ≈8.73 ) سنتيمتر

44) أوجد طول قوس دائرة نصف قطرها (5 ) بوصات مقابل الزاوية المركزية (220 ^ {دائرة} ).

45) أوجد طول قوس دائرة قطرها (12 ) مترًا تقابلها الزاوية المركزية (63 ^ {circ} ).

إجابه

( dfrac {21π} {10} 6.60 ) أمتار

بالنسبة للتدريبات 46-49 ، استخدم المعلومات المقدمة للعثور على منطقة القطاع. قرّب لأربعة منازل عشرية.

46) قطاع دائرة له زاوية مركزية مقدارها (45 ^ { circ} ) ونصف قطر (6 ) سم.

47) قطاع دائرة له زاوية مركزية لها (30 ^ { circ} ) ونصف قطرها (20 ) سم.

إجابه

(104.7198 ؛ سم ^ 2 )

48) قطاع من دائرة قطرها (10 ​​) أقدام وزاوية ( dfrac {π} {2} ) راديان.

49) قطاع من دائرة نصف قطرها (0.7 ) بوصة وزاوية (π ) راديان.

إجابه

(0.7697 ؛ في ^ 2 )

بالنسبة للتدريبات 50-53 ، أوجد الزاوية بين (0 ^ { circ} ) و (360 ^ { circ} ) المقابلة للزاوية المحددة.

50) (- 40 ^ { circ} )

51) (- 110 ^ { circ} )

إجابه

(250 ^ { circ} )

52) (700 ^ { circ} )

53) (1400 ^ { circ} )

إجابه

(320 ^ { circ} )

بالنسبة للتمرينات 54-57 ، أوجد الزاوية بين (0 ) و (2 pi ) بالراديان المقابلة للزاوية المحددة.

54) (- dfrac {π} {9} )

55) ( dfrac {10π} {3} )

إجابه

( dfrac {4π} {3} )

56) ( dfrac {13π} {6} )

57) ( dfrac {44π} {9} )

إجابه

( dfrac {8π} {9} )

تطبيقات العالم الحقيقي

58) شاحنة ذات عجلات قطرها 32 بوصة تتحرك بسرعة 60 ميل في الساعة. أوجد السرعة الزاوية للعجلات بوحدة راديان / دقيقة. كم عدد الثورات في الدقيقة التي تصنعها العجلات؟

59) دراجة بقطر 24 بوصة تتحرك بسرعة 15 ميل / ساعة. كم عدد الثورات في الدقيقة التي تصنعها العجلات؟

إجابه

(1320 ) راد (210.085 ) دورة في الدقيقة

60) عجلة نصف قطرها (8 ) بوصات تدور (15 ^ { circ} / s ). ما السرعة الخطية (v ) والسرعة الزاوية في RPM والسرعة الزاوية بوحدة راديان / ثانية؟

61) عجلة نصف قطرها (14 ) بوصة تدور (0.5 نص {rad / s} ). ما السرعة الخطية (v ) والسرعة الزاوية في RPM والسرعة الزاوية بالدرجة / الثانية؟

إجابه

(7 ) بوصة / ثانية ، (4.77 ) دورة في الدقيقة ، (28.65 ) درجة / ثانية

62) قرص مضغوط بقطر (120 ) ملليمتر. عند تشغيل الصوت ، تختلف السرعة الزاوية للحفاظ على ثبات السرعة الخطية في مكان قراءة القرص. عند القراءة على طول الحافة الخارجية للقرص ، تكون السرعة الزاوية حوالي (200 ) دورة في الدقيقة (دورة في الدقيقة). أوجد السرعة الخطية.

63) عند النسخ في محرك أقراص CD-R قابل للكتابة ، غالبًا ما تكون السرعة الزاوية للقرص المضغوط أسرع بكثير مما كانت عليه عند تشغيل الصوت ، ولكن السرعة الزاوية تظل متغيرة للحفاظ على السرعة الخطية ثابتة حيث تتم كتابة القرص. عند الكتابة على طول الحافة الخارجية للقرص ، تكون السرعة الزاوية لمحرك أقراص واحد حوالي (4800 ) دورة في الدقيقة (دورات في الدقيقة). أوجد السرعة الخطية إذا كان قطر القرص المضغوط (120 ) ملليمتر.

إجابه

(1،809،557.37 text {mm / min} = 30.16 text {m / s} )

64) يقف الإنسان على خط الاستواء (نصف قطر (3960 ) ميل). ما هي سرعته الخطية والزاوية؟

65) أوجد المسافة على طول قوس على سطح الأرض يقابله زاوية مركزية مقدارها (5 ) دقائق ((1 text {minutes} = dfrac {1} {60} text {Degree}) ). نصف قطر الأرض (3960 ) ميل.

إجابه

(5.76 ) ميل

66) أوجد المسافة على طول قوس على سطح الأرض يقابله زاوية مركزية مقدارها (7 ) دقائق ((1 text {minutes} = dfrac {1} {60} text {Degree}) ). نصف قطر الأرض (3960 ) ميل.

67) ضع في اعتبارك ساعة مع عقرب للساعات وعقرب دقائق. ما هو قياس الزاوية التي يتتبعها عقرب الدقائق في (20 ) دقيقة؟

إجابه

(120°)

ملحقات

68) مدينتان لهما نفس خط الطول. خط عرض المدينة أ هو (9.00 ) درجة شمالاً وخط عرض المدينة ب (30.00 ) درجة شمالاً. افترض أن نصف قطر الأرض يساوي (3960 ) ميلاً. أوجد المسافة بين المدينتين.

69) مدينة تقع عند (40 ) درجة شمالا. افترض أن نصف قطر الأرض هو (3960 ) ميلاً وأن الأرض تدور مرة واحدة كل (24 ) ساعة. أوجد السرعة الخطية للشخص الذي يقيم في هذه المدينة.

إجابه

(794 ) ميلاً في الساعة

70) مدينة تقع عند (75 ) درجة شمالا. أوجد السرعة الخطية للشخص الذي يقيم في هذه المدينة.

71) أوجد السرعة الخطية للقمر إذا كان متوسط ​​المسافة بين الأرض والقمر (239000 ) ميل ، بافتراض أن مدار القمر دائري ويتطلب حوالي (28 ) يومًا. التعبير عن الإجابة بالأميال في الساعة.

إجابه

(2،234 ) ميلا في الساعة

72) دراجة لها عجلات بقطر (28 بوصة). يحدد مقياس سرعة الدوران أن العجلات تدور عند (180 ) دورة في الدقيقة (دورة في الدقيقة). أوجد السرعة التي تسير بها الدراجة على الطريق.

73) السيارة تسافر (3 ) أميال. إطاراتها تصنع (2640 ) ثورات. ما هو نصف قطر الاطار بالبوصة؟

إجابه

(11.5 ) بوصة

74) عجلة جرار بقطر 24 بوصة. كم عدد الثورات التي تحدثها العجلة إذا قطع الجرار (4 ) أميال؟

5.2: دائرة الوحدة - وظائف الجيب وجيب التمام

شفهي

1) صف دائرة الوحدة.

إجابه

دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها (1 ) متمركزة في الأصل.

2) ما الذي تمثله إحداثيات (x ) - و (y ) - للنقاط الموجودة على دائرة الوحدة؟

3) ناقش الفرق بين الزاوية المتزامنة والزاوية المرجعية.

إجابه

الزوايا المشتركة هي الزوايا التي تشترك في نفس الجانب النهائي. الزاوية المرجعية هي حجم أصغر زاوية حادة ، (t ) ، تتكون من الجانب النهائي للزاوية (t ) والمحور الأفقي.

4) اشرح كيف يختلف جيب التمام لزاوية في الربع الثاني عن جيب تمام الزاوية المرجعية في دائرة الوحدة.

5) اشرح كيف يختلف جيب الزاوية في الربع الثاني عن جيب الزاوية المرجعية في دائرة الوحدة.

إجابه

قيم الجيب متساوية.

جبري

بالنسبة للتدريبات 6-9 ، استخدم الإشارة المعطاة لوظائف الجيب وجيب التمام لإيجاد الربع الذي تقع فيه النقطة النهائية التي يحددها (t ).

6) ( sin (t) <0 ) و ( cos (t) <0 )

7) ( sin (t)> 0 ) و ( cos (t)> 0 )

إجابه

( textrm {I} )

8) ( sin (t)> 0 ) و ( cos (t) <0 )

9) ( sin (t) <0 ) و ( cos (t)> 0 )

إجابه

( textrm {IV} )

بالنسبة للتمارين من 10 إلى 22 ، أوجد القيمة الدقيقة لكل دالة مثلثية.

10) ( sin dfrac {π} {2} )

11) ( sin dfrac {π} {3} )

إجابه

( dfrac { sqrt {3}} {2} )

12) ( cos dfrac {π} {2} )

13) ( cos dfrac {π} {3} )

إجابه

( dfrac {1} {2} )

14) ( sin dfrac {π} {4} )

15) ( cos dfrac {π} {4} )

إجابه

( dfrac { sqrt {2}} {2} )

16) ( sin dfrac {π} {6} )

17) ( الخطيئة π )

إجابه

(0)

18) ( sin dfrac {3π} {2} )

19) ( cos π )

إجابه

(−1)

20) ( cos 0 )

21) (cos dfrac {π} {6} )

إجابه

( dfrac { sqrt {3}} {2} )

22) ( الخطيئة 0 )

رقمي

للتمارين من 23 إلى 33 ، حدد الزاوية المرجعية للزاوية المعطاة.

23) (240°)

إجابه

(60°)

24) (−170°)

25) (100°)

إجابه

(80°)

26) (−315°)

27) (135°)

إجابه

(45°)

28) ( dfrac {5π} {4} )

29) ( dfrac {2π} {3} )

إجابه

( dfrac {π} {3} )

30) ( dfrac {5π} {6} )

31) (- dfrac {11π} {3} )

إجابه

( dfrac {π} {3} )

32) ( dfrac {−7π} {4} )

33) ( dfrac {−π} {8} )

إجابه

( dfrac {π} {8} )

في التمارين 34-49 ، أوجد الزاوية المرجعية ، وربع الضلع النهائي ، وجيب وجيب كل زاوية. إذا لم تكن الزاوية إحدى زوايا دائرة الوحدة ، فاستخدم آلة حاسبة وقرب لأقرب ثلاث منازل عشرية.

34) (225°)

35) (300°)

إجابه

(60 ° ) ، الربع الرابع ، ( sin (300 °) = - dfrac { sqrt {3}} {2} ، cos (300 °) = dfrac {1} {2} )

36) (320°)

37) (135°)

إجابه

(45 ° ) ، الربع الثاني ، ( sin (135 °) = dfrac { sqrt {2}} {2} ، cos (135 °) = - dfrac { sqrt {2}} { 2} )

38) (210°)

39) (120°)

إجابه

(60 ° ) ، الربع الثاني ، ( sin (120 °) = dfrac { sqrt {3}} {2} ) ، ( cos (120 °) = - dfrac {1} { 2} )

40) (250°)

41) (150°)

إجابه

(30 ° ) ، الربع الثاني ، ( sin (150 °) = frac {1} {2} ) ، ( cos (150 °) = - dfrac { sqrt {3}} { 2} )

42) ( dfrac {5π} {4} )

43) ( dfrac {7π} {6} )

إجابه

( dfrac {π} {6} ) ، الربع الثالث ، ( sin left ( dfrac {7π} {6} right) = - dfrac {1} {2} ) ، ( cos left ( dfrac {7π} {6} right) = - dfrac { sqrt {3}} {2} )

44) ( dfrac {5π} {3} )

45) ( dfrac {3π} {4} )

إجابه

( dfrac {π} {4} ) ، الربع الثاني ، ( sin left ( dfrac {3π} {4} right) = dfrac { sqrt {2}} {2} ) ، ( cos left ( dfrac {4π} {3} right) = - dfrac { sqrt {2}} {2} )

46) ( dfrac {4π} {3} )

47) ( dfrac {2π} {3} )

إجابه

( dfrac {π} {3} ) ، الربع الثاني ، ( sin left ( dfrac {2π} {3} right) = dfrac { sqrt {3}} {2} ) ، ( cos left ( dfrac {2π} {3} right) = - dfrac {1} {2} )

48) ( dfrac {5π} {6} )

49) ( dfrac {7π} {4} )

إجابه

( dfrac {π} {4} ) ، الربع الرابع ، ( sin left ( dfrac {7π} {4} right) = - dfrac { sqrt {2}} {2} ) ، ( cos left ( dfrac {7π} {4} right) = dfrac { sqrt {2}} {2} )

بالنسبة للتدريبات 50-59 ، أوجد القيمة المطلوبة.

50) إذا كان ( cos (t) = dfrac {1} {7} ) و (t ) في الربع (4 ^ {th} ) ، ابحث عن ( sin (t) ).

51) إذا كان ( cos (t) = dfrac {2} {9} ) و (t ) في الربع (1 ^ {st} ) ، ابحث عن ( sin (t) ).

إجابه

( dfrac { sqrt {77}} {9} )

52) إذا كان ( sin (t) = dfrac {3} {8} ) و (t ) في الربع (2 ^ {nd} ) ، ابحث عن ( cos (t) ).

53) إذا كان ( sin (t) = - dfrac {1} {4} ) و (t ) في الربع (3 ^ {rd} ) ، ابحث عن ( cos (t) ).

إجابه

(- dfrac { sqrt {15}} {4} )

54) أوجد إحداثيات النقطة على دائرة نصف قطرها (15 ) يقابل زاوية (220 درجة ).

55) أوجد إحداثيات النقطة على دائرة نصف قطرها (20 ) يقابل زاوية (120 درجة ).

إجابه

((- 10،10 sqrt {3}) )

56) أوجد إحداثيات النقطة على دائرة نصف قطرها (8 ) المقابل لزاوية ( dfrac {7π} {4} ).

57) أوجد إحداثيات النقطة على دائرة نصف قطرها (16 ) المقابل لزاوية ( dfrac {5π} {9} ).

إجابه

((–2.778,15.757))

58) حدد مجال وظائف الجيب وجيب التمام.

59) حدد نطاق وظائف الجيب وجيب التمام.

إجابه

([–1,1])

رسومية

للتمرينات 60-79 ، استخدم النقطة المعطاة على دائرة الوحدة لإيجاد قيمة الجيب وجيب التمام لـ (t ).

60)

61)

إجابه

( sin t = dfrac {1} {2}، cos t = - dfrac { sqrt {3}} {2} )

62)

63)

إجابه

( sin t = - dfrac { sqrt {2}} {2} ، cos t = - dfrac { sqrt {2}} {2} )

64)

65)

إجابه

( sin t = dfrac { sqrt {3}} {2} ، cos t = - dfrac {1} {2} )

66)

67)

إجابه

( sin t = - dfrac { sqrt {2}} {2} ، cos t = dfrac { sqrt {2}} {2} )

68)

69)

إجابه

( sin t = 0 cos t = −1 )

70)

71)

إجابه

( sin t = −0.596 cos t = 0.803 )

72)

73)

إجابه

( sin t = dfrac {1} {2}، cos t = dfrac { sqrt {3}} {2} )

74)

75)

إجابه

( sin t = - dfrac {1} {2}، cos t = dfrac { sqrt {3}} {2} )

76)

77)

إجابه

( sin t = 0.761، cos t = −0.649 )

78)

79)

إجابه

( sin t = 1 cos t = 0 )

تكنولوجيا

بالنسبة للتدريبات 80-89 ، استخدم حاسبة الرسوم البيانية للتقييم.

80) ( sin dfrac {5π} {9} )

81) (cos dfrac {5π} {9} )

إجابه

(−0.1736)

82) ( sin dfrac {π} {10} )

83) ( cos dfrac {π} {10} )

إجابه

(0.9511)

84) ( sin dfrac {3π} {4} )

85) ( cos dfrac {3π} {4} )

إجابه

(−0.7071)

86) ( الخطيئة 98 درجة )

87) ( كوس 98 درجة )

إجابه

(−0.1392)

88) ( كوس 310 درجة )

89) ( الخطيئة 310 درجة )

إجابه

(−0.7660)

ملحقات

بالنسبة للتدريبات 90-99 ، قم بتقييمها.

90) ( sin left ( dfrac {11π} {3} right) cos left ( dfrac {−5π} {6} right) )

91) ( sin left ( dfrac {3π} {4} right) cos left ( dfrac {5π} {3} right) )

إجابه

( dfrac { sqrt {2}} {4} )

92) ( sin left (- dfrac {4π} {3} right) cos left ( dfrac {π} {2} right) )

93) ( sin left ( dfrac {−9π} {4} right) cos left ( dfrac {−π} {6} right) )

إجابه

(- dfrac { sqrt {6}} {4} )

94) ( sin left ( dfrac {π} {6} right) cos left ( dfrac {−π} {3} right) )

95) ( sin left ( dfrac {7π} {4} right) cos left ( dfrac {−2π} {3} right) )

إجابه

( dfrac { sqrt {2}} {4} )

96) ( cos left ( dfrac {5π} {6} right) cos left ( dfrac {2π} {3} right) )

97) ( cos left ( dfrac {−π} {3} right) cos left ( dfrac {π} {4} right) )

إجابه

( dfrac { sqrt {2}} {4} )

98) ( sin left ( dfrac {−5π} {4} right) sin left ( dfrac {11π} {6} right) )

99) ( sin (π) sin left ( dfrac {π} {6} right) )

إجابه

(0)

تطبيقات العالم الحقيقي

بالنسبة للتدريبات 100-104 ، استخدم هذا السيناريو: يدخل الطفل في حلقة دائرية تستغرق دقيقة واحدة لتدور مرة واحدة. يدخل الطفل عند النقطة ((0،1) ) ، أي في الموضع الشمالي المناسب. افترض أن الدائرة تدور في عكس اتجاه عقارب الساعة.

100) ما هي إحداثيات الطفل بعد (45 ) ثانية؟

101) ما هي إحداثيات الطفل بعد (90 ) ثانية؟

إجابه

((0,–1))

102) ما هي إحداثيات الطفل بعد (125 ) ثانية؟

103) متى سيكون لدى الطفل إحداثيات ((0.707 ، –0.707) ) إذا استمرت الرحلة (6 ) دقائق؟ (هناك إجابات متعددة.)

إجابه

(37.5 ) ثانية ، (97.5 ) ثانية ، (157.5 ) ثانية ، (217.5 ) ثانية ، (277.5 ) ثانية ، (337.5 ) ثانية

104) متى سيكون لدى الطفل إحداثيات ((- 0.866 ، −0.5) ) إذا كانت الرحلة تدوم (6 ) دقائق؟

5.3: الدوال المثلثية الأخرى

شفهي

1) في فترة ([0،2π) ) ، هل يمكن أن تكون قيم الجيب وجيب التمام لمقياس راديان متساوية؟ إذا كان الأمر كذلك حيث؟

إجابه

نعم ، عندما تكون الزاوية المرجعية ( dfrac {π} {4} ) ويكون الضلع النهائي للزاوية في الربعين الأول والثالث. وبالتالي ، عند (x = dfrac {π} {4}، dfrac {5π} {4} ) ، قيمتا الجيب وجيب التمام متساوية.

2) ما هو تقدير جيب التمام لـ ( pi ) درجة؟ اشرح أسبابك.

3) لأي زاوية في الربع الثاني ، إذا كنت تعرف جيب الزاوية ، كيف يمكنك تحديد جيب تمام الزاوية؟

إجابه

عوّض جيب الزاوية في من أجل (y ) في نظرية فيثاغورس (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ). حل من أجل (x ) وخذ الحل السالب.

4) وصف وظيفة القاطع.

5) الظل وظل التمام لهما فترة (π ). ماذا يخبرنا هذا عن ناتج هذه الوظائف؟

إجابه

سوف تتكرر مخرجات الظل والظل كل وحدة (π ).

جبري

بالنسبة للتدريبات من 6 إلى 17 ، أوجد القيمة الدقيقة لكل تعبير.

6) ( tan dfrac {π} {6} )

7) ( ثانية dfrac {π} {6} )

إجابه

( dfrac {2 sqrt {3}} {3} )

8) ( csc dfrac {π} {6} )

9) ( سرير dfrac {π} {6} )

إجابه

( sqrt {3} )

10) ( tan dfrac {π} {4} )

11) ( ثانية dfrac {π} {4} )

إجابه

( sqrt {2} )

12) ( csc dfrac {π} {4} )

13) ( سرير dfrac {π} {4} )

إجابه

(1)

14) ( tan dfrac {π} {3} )

15) ( ثانية dfrac {π} {3} )

إجابه

(2)

16) ( csc dfrac {π} {3} )

17) ( سرير dfrac {π} {3} )

إجابه

( dfrac { sqrt {3}} {3} )

بالنسبة للتمارين من 18 إلى 48 ، استخدم الزوايا المرجعية لتقييم التعبير.

18) ( tan dfrac {5π} {6} )

19) ( ثانية dfrac {7π} {6} )

إجابه

(- dfrac {2 sqrt {3}} {3} )

20) ( csc dfrac {11π} {6} )

21) ( سرير dfrac {13π} {6} )

إجابه

( sqrt {3} )

22) ( tan dfrac {7π} {4} )

23) ( ثانية dfrac {3π} {4} )

إجابه

(- sqrt {2} )

24) ( csc dfrac {5π} {4} )

25) ( سرير dfrac {11π} {4} )

إجابه

(−1)

26) ( tan dfrac {8π} {3} )

27) ( ثانية dfrac {4π} {3} )

إجابه

(−2)

28) ( csc dfrac {2π} {3} )

29) ( سرير dfrac {5π} {3} )

إجابه

(- dfrac { sqrt {3}} {3} )

30) ( تان 225 درجة )

31) ( ثانية 300 درجة )

إجابه

(2)

32) ( csc 150 درجة )

33) (سرير 240 درجة )

إجابه

( dfrac { sqrt {3}} {3} )

34) ( تان 330 درجة )

35) ( ثانية 120 درجة )

إجابه

(−2)

36) ( CSC 210 ° )

37) (سرير 315 درجة )

إجابه

(−1)

38) إذا كان ( sin t = dfrac {3} {4} ) ، و (t ) في الربع الثاني ، ابحث عن ( cos t، sec t، csc t، tan t، سرير t ).

39) إذا كان ( cos t = - dfrac {1} {3}، ) و (t ) في الربع الثالث ، ابحث عن ( sin t، sec t، csc t، tan t ، سرير t ).

إجابه

إذا ( sin t = - dfrac {2 sqrt {2}} {3}، sec t = −3، csc t = - csc t = - dfrac {3 sqrt {2}} { 4} ، tan t = 2 sqrt {2} ، cot t = dfrac { sqrt {2}} {4} )

40) إذا ( tan t = dfrac {12} {5}، ) و (0≤t < dfrac {π} {2} ) ، ابحث عن ( sin t، cos t، sec t و csc t و ) و ( cot t ).

41) إذا ( sin t = dfrac { sqrt {3}} {2} ) و ( cos t = dfrac {1} {2}، ) ابحث عن ( sec t، csc t ، tan t ، ) و ( cot t ).

إجابه

( sec t = 2، csc t = csc t = dfrac {2 sqrt {3}} {3}، tan t = sqrt {3}، cot t = dfrac { sqrt { 3}} {3} )

42) إذا ( sin 40 ° ≈0.643 ؛ cos 40 ° ≈0.766 ؛ sec 40 °، csc 40 °، tan 40 °، text {and} cot 40 ° ).

43) إذا ( sin t = dfrac { sqrt {2}} {2} ، ) ما هو ( sin (−t) )؟

إجابه

(- dfrac { sqrt {2}} {2} )

44) إذا ( cos t = dfrac {1} {2}، ) ما هو ( cos (−t) )؟

45) إذا ( sec t = 3.1، ) ما هو ( sec (−t) )؟

إجابه

(3.1)

46) إذا ( csc t = 0.34 ، ) ما هو ( csc (−t) )؟

47) إذا ( tan t = −1.4، ) ما هو ( tan (−t) )؟

إجابه

(1.4)

48) إذا ( cot t = 9.23 ، ) ما هو ( cot (−t) )؟

رسومية

للتمارين 49-51 ، استخدم الزاوية في دائرة الوحدة لإيجاد قيمة كل من التوابع المثلثية الست.

49)

إجابه

( sin t = dfrac { sqrt {2}} {2} ، cos t = dfrac { sqrt {2}} {2} ، tan t = 1 ، cot t = 1 ، ثانية t = sqrt {2}، csc t = csc t = sqrt {2} )

50)

51)

إجابه

( sin t = - dfrac { sqrt {3}} {2} ، cos t = - dfrac {1} {2} ، tan t = sqrt {3} ، cot t = dfrac { sqrt {3}} {3}، sec t = −2، csc t = - csc t = - dfrac {2 sqrt {3}} {3} )

تكنولوجيا

بالنسبة للتدريبات 52-61 ، استخدم حاسبة الرسوم البيانية للتقييم.

52) ( csc dfrac {5π} {9} )

53) ( سرير dfrac {4π} {7} )

إجابه

(–0.228)

54) ( ثانية dfrac {π} {10} )

55) ( tan dfrac {5π} {8} )

إجابه

(–2.414)

56) ( ثانية dfrac {3π} {4} )

57) ( csc dfrac {π} {4} )

إجابه

(1.414)

58) ( تان 98 درجة )

59) (سرير 33 درجة )

إجابه

(1.540)

60) (سرير 140 درجة )

61) ( ثانية 310 درجة )

إجابه

(1.556)

ملحقات

بالنسبة للتدريبات 62-69 ، استخدم المطابقات لتقييم التعبير.

62) إذا ( tan (t) ≈2.7، ) و ( sin (t) ≈0.94، ) ابحث عن ( cos (t) ).

63) إذا ( tan (t) ≈1.3، ) و ( cos (t) ≈0.61 ) ، ابحث عن ( sin (t) ).

إجابه

( الخطيئة (ر) ≈0.79 )

64) إذا ( csc (t) ≈3.2، ) و ( csc (t) ≈3.2، ) و ( cos (t) ≈0.95، ) ابحث عن ( tan (t) ) ).

65) إذا ( cot (t) ≈0.58، ) و ( cos (t) ≈0.5، ) ابحث عن ( csc (t) ).

إجابه

( (csc (t) ≈1.16 )

66) حدد ما إذا كانت الدالة (f (x) = 2 sin x cos x ) زوجية أم فردية أم لا.

67) حدد ما إذا كانت الدالة (f (x) = 3 sin ^ 2 x cos x + sec x ) زوجية أم فردية أم لا.

إجابه

حتى في

68) حدد ما إذا كانت الدالة (f (x) = sin x −2 cos ^ 2 x ) زوجية أم فردية أم لا.

69) حدد ما إذا كانت الدالة (f (x) = csc ^ 2 x + sec x ) زوجية أم فردية أم لا.

إجابه

حتى في

بالنسبة للتدريبات 70-71 ، استخدم المتطابقات لتبسيط التعبير.

70) ( csc t tan t )

71) ( dfrac { ثانية t} { csc t} )

إجابه

( dfrac { sin t} { cos t} = tan t )

تطبيقات العالم الحقيقي

72) يمكن تصميم كمية ضوء الشمس في مدينة معينة بالدالة (h = 15 cos left ( dfrac {1} {600} d right) ، ) حيث تمثل (h ) الساعات من ضوء الشمس ، و (د ) هو يوم السنة. استخدم المعادلة لمعرفة عدد ساعات ضوء الشمس في 10 فبراير ، يوم (42 ^ {nd} ) من السنة. حدد فترة الوظيفة.

73) كمية ضوء الشمس في مدينة معينة يمكن تصميمها بالدالة (h = 16 cos left ( dfrac {1} {500} d right) ) ، حيث تمثل (h ) الساعات من ضوء الشمس ، و (د ) هو يوم السنة. استخدم المعادلة لإيجاد عدد ساعات ضوء الشمس الموجودة في 24 سبتمبر ، يوم (267 ^ {th} ) من السنة. حدد فترة الوظيفة.

إجابه

(13.77 ) ساعة ، الفترة: (1000π )

74) المعادلة (P = 20 sin (2πt) +100 ) تمثل ضغط الدم ، (P ) ، حيث (t ) يمثل الوقت بالثواني.

  1. أوجد ضغط الدم بعد (15 ) ثانية.
  2. ما هو ضغط الدم الأقصى والأدنى؟

75) ارتفاع المكبس (ح ) بالبوصة يمكن تمثيله بالمعادلة (y = 2 cos x + 6 ) حيث يمثل (x ) زاوية الساعد. أوجد ارتفاع المكبس عندما تكون زاوية الكرنك (55 درجة ).

إجابه

(7.73 ) بوصة

76) ارتفاع المكبس ، (ح ) ، بالبوصة ، يمكن تمثيله بالمعادلة (y = 2 cos x + 5 ، ) حيث (x ) يمثل زاوية الساعد. أوجد ارتفاع المكبس عندما تكون زاوية الكرنك (55 درجة ).

5.4: المثلث القائم الزاوية

شفهي

1) بالنسبة للمثلث الأيمن المعطى ، قم بتسمية الضلع المجاور والضلع المقابل والوتر للزاوية المشار إليها.

إجابه

2) عندما يوضع مثلث قائم الزاوية بوتر (1 ) في دائرة الوحدة ، فأي جانبي المثلث يتوافق مع إحداثيات (س ) - و (ص )؟

3) يقارن ظل الزاوية أي ضلع في المثلث القائم؟

إجابه

ظل الزاوية هو نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور.

4) ما العلاقة بين الزاويتين الحادتين في المثلث القائم؟

5) اشرح هوية الوظيفة المشتركة.

إجابه

على سبيل المثال ، جيب الزاوية يساوي جيب تمام الزاوية ؛ جيب تمام الزاوية يساوي جيب تمامها.

جبري

بالنسبة للتمارين من 6 إلى 9 ، استخدم التوابع المشتركة للزوايا التكميلية.

6) ( cos (34 °) = الخطيئة ( _ _ °) )

7) ( cos ( dfrac {π} {3}) = الخطيئة ( _ _ _) )

إجابه

( dfrac {π} {6} )

8) ( csc (21 درجة) = ثانية ( _ _ _ °) )

9) ( tan ( dfrac {π} {4}) = cot ( _ _) )

إجابه

( dfrac {π} {4} )

في التمارين من 10 إلى 16 ، أوجد أطوال الأضلاع المفقودة إذا كان الضلع (أ ) مقابل الزاوية (أ ) ، والجانب (ب ) مقابل الزاوية (ب ) ، والجانب (ج) ) هو الوتر.

10) ( cos B = dfrac {4} {5} ، أ = 10 )

11) ( sin B = dfrac {1} {2} ، أ = 20 )

إجابه

(b = dfrac {20 sqrt {3}} {3} ، c = dfrac {40 sqrt {3}} {3} )

12) ( tan A = dfrac {5} {12} ، ب = 6 )

13) ( تان أ = 100 ، ب = 100 )

إجابه

(أ = 10000 ، ج = 10000.5 )

14) ( sin B = dfrac {1} { sqrt {3}} ، أ = 2 )

15) (أ = 5 ، ∡ أ = 60 ^ ∘ )

إجابه

(b = dfrac {5 sqrt {3}} {3} ، c = dfrac {10 sqrt {3}} {3} )

16) (ج = 12 ، ∡ أ = 45 ^ ∘ )

رسومية

بالنسبة للتمارين 17-22 ، استخدم الشكل أدناه لتقييم كل دالة مثلثية للزاوية (A ).

17) ( الخطيئة أ )

إجابه

( dfrac {5 sqrt {29}} {29} )

18) ( كوس أ )

19) ( تان أ )

إجابه

( dfrac {5} {2} )

20) ( CSC A )

21) ( ثانية أ )

إجابه

( dfrac { sqrt {29}} {2} )

22) (سرير أ )

للتدريبات 23- ، 28 استخدم الشكل أدناه لتقييم كل دالة مثلثية للزاوية (أ ).

23) ( الخطيئة أ )

إجابه

( dfrac {5 sqrt {41}} {41} )

24) ( كوس أ )

25) ( تان أ )

إجابه

( dfrac {5} {4} )

26) ( CSC A )

27) ( ثانية أ )

إجابه

( dfrac { sqrt {41}} {4} )

28) (سرير أ )

بالنسبة للتمرينات 29-31 ، أوجد قيمة الأضلاع المجهولة للمثلث المعطى.

29)

إجابه

(ج = 14 ، ب = 7 الجذر التربيعي {3} )

30)

31)

إجابه

(أ = 15 ، ب = 15 )

تكنولوجيا

بالنسبة للتمرينات من 32 إلى 41 ، استخدم الآلة الحاسبة لإيجاد طول كل ضلع لأقرب أربع منازل عشرية.

32)

33)

إجابه

(ب = 9.9970 ، ج = 12.2041 )

34)

35)

إجابه

(أ = 2.0838 ، ب = 11.8177 )

36)

37) (ب = 15 ، ∡B = 15 ^ ∘ )

إجابه

(أ = 55.9808 ، ج = 57.9555 )

38) (ج = 200 ، ∡B = 5 ^ ∘ )

39) (ج = 50 ، ∡ ب = 21 ^ ∘ )

إجابه

(أ = 46.6790 ، ب = 17.9184 )

40) (أ = 30 ، ∡A = 27 ^ ∘ )

41) (ب = 3.5 ، ∡A = 78 ^ ∘ )

إجابه

(أ = 16.4662 ، ج = 16.8341 )

ملحقات

42) ابحث عن (س ).

43) ابحث عن (س ).

إجابه

(188.3159)

44) ابحث عن (س ).

45) ابحث عن (س ).

إجابه

(200.6737)

46) يقع برج راديو على بعد (400) قدم من مبنى. من نافذة في المبنى ، يحدد الشخص أن زاوية الارتفاع إلى أعلى البرج هي (36 درجة ) ، وأن زاوية الانخفاض إلى أسفل البرج هي (23 درجة ). كم يبلغ ارتفاع البرج؟

47) برج راديو يقع على بعد / (325 /) قدم من مبنى. من نافذة في المبنى ، يحدد الشخص أن زاوية الارتفاع إلى أعلى البرج هي (43 درجة ) ، وأن زاوية الانخفاض إلى أسفل البرج هي (31 درجة ). كم يبلغ ارتفاع البرج؟

إجابه

(498.3471 ) قدم

48) أ (200 ) - نصب طويل القامة يقع في المسافة. من نافذة في مبنى ، يحدد الشخص أن زاوية الارتفاع إلى أعلى النصب هي (15 درجة ) ، وأن زاوية الانخفاض إلى أسفل البرج هي (2 درجة ). كم يبعد الشخص عن النصب؟

49) أ (400 ) - نصب طويل القامة يقع في المسافة. من نافذة في مبنى ، يحدد الشخص أن زاوية الارتفاع إلى أعلى النصب هي (18 درجة ) ، وأن زاوية الانخفاض إلى أسفل النصب هي (3 درجات ). كم يبعد الشخص عن النصب؟

إجابه

(1060.09 ) قدم

50) يوجد هوائي فوق المبنى. من موقع (300 ) قدم من قاعدة المبنى ، يتم قياس زاوية الارتفاع إلى قمة المبنى لتكون (40 درجة ). من نفس الموقع ، تُقاس زاوية الارتفاع إلى أعلى الهوائي لتكون (43 درجة ). أوجد ارتفاع الهوائي.

51) يوجد مانع صواعق على قمة المبنى. من موقع (500 ) قدم من قاعدة المبنى ، يتم قياس زاوية الارتفاع إلى قمة المبنى لتكون (36 درجة ). من نفس الموقع ، يتم قياس زاوية الارتفاع إلى قمة مانع الصواعق لتكون (38 درجة ). أوجد ارتفاع مانعة الصواعق.

إجابه

(27.372 ) قدم

تطبيقات العالم الحقيقي

52) أ (33 ) - سلم قدم يتكئ على مبنى بحيث تكون الزاوية بين الأرض والسلم (80 درجة ). إلى أي ارتفاع يصل السلم إلى جانب المبنى؟

53) أ (23 ) - سلم قدم يتكئ على مبنى بحيث تكون الزاوية بين الأرض والسلم (80 درجة ). إلى أي ارتفاع يصل السلم إلى جانب المبنى؟

إجابه

(22.6506 ) قدم

54) تم العثور على زاوية الارتفاع إلى أعلى مبنى في نيويورك على (9 ) درجات من الأرض على مسافة (1 ) ميل من قاعدة المبنى. باستخدام هذه المعلومات ، أوجد ارتفاع المبنى.

55) تم العثور على زاوية الارتفاع إلى أعلى مبنى في سياتل على (2 ) درجة من الأرض على مسافة (2 ) ميل من قاعدة المبنى. باستخدام هذه المعلومات ، أوجد ارتفاع المبنى.

إجابه

(368.7633 ) قدم

56) بافتراض أن الخشب الأحمر العملاق بطول (370 ) ينمو عموديًا ، إذا مشيت مسافة معينة من الشجرة وقست زاوية الارتفاع إلى أعلى الشجرة لتكون (60 درجة ) ، فإلى أي مدى من قاعدة الشجرة أنا؟


اختبار الممارسة

أوجد المعادلة الأسية التي تمر عبر النقاط (0 ، 4) (0 ، 4) و (2 ، 9). (2 ، 9).

يريد درو توفير 2500 دولار للذهاب إلى كأس العالم المقبلة. إلى أقرب دولار ، ما المبلغ الذي سيحتاجه للاستثمار في حساب الآن بنسبة 6.25٪ 6.25٪ APR ، مركبًا يوميًا ، من أجل الوصول إلى هدفه في 4 4 سنوات؟

تم فتح حساب استثماري بإيداع مبدئي قدره 9،600 دولار وربح 7.4٪ فائدة بنسبة 7.4٪ تتضاعف باستمرار. كم ستكون قيمة الحساب بعد 15 15 سنة؟

يوضح الرسم البياني تحويلات الرسم البياني لـ f (x) = (1 2) x. و (س) = (1 2) س. ما هي معادلة التحول؟

ارسم الدالة g (x) = log (12-6 x) + 3. g (x) = log (12-6 x) + 3.

حدد المجال وخط التقارب العمودي وسلوك النهاية للدالة f (x) = log 5 (39-13 x) + 7. f (x) = log 5 (39-13 x) + 7.

استخدم خصائص اللوغاريتم لتوسيع ln (y 3 z 2 ⋅ x - 4 3). ln (y 3 z 2 ⋅ x - 4 3).

تكثف التعبير 4 ln (c) + ln (d) + ln (a) 3 + ln (b + 3) 3 4 ln (c) + ln (d) + ln (a) 3 + ln (b + 3) 3 إلى لوغاريتم واحد.

استخدم اللوغاريتمات لإيجاد الحل الدقيق لـ - 9 e 10 a - 8 - 5 = - 41-9 e 10 a - 8-5 = - 41. إذا لم يكن هناك حل ، فاكتب لا حل.

استخدم تعريف اللوغاريتم لإيجاد الحل الدقيق لـ 4 لوغاريتم (2 ن) - 7 = - 11 4 لوغاريتم (2 ن) - 7 = - 11

استخدم خاصية واحد لواحد في اللوغاريتمات لإيجاد حل دقيق للسجل (4 × 2-10) + السجل (3) = السجل (51) السجل (4 × 2-10) + السجل (3) = السجل ( 51) إذا لم يكن هناك حل ، فاكتب لا حل.

اكتب الصيغة الموجودة في التمرين السابق كمعادلة مكافئة للقاعدة e. ه. اكتب الأس لأقرب خمسة أرقام ذات دلالة.

أدخل البيانات من الجدول 1 في آلة حاسبة بيانية وقم برسم مخطط التبعثر الناتج. حدد ما إذا كانت البيانات من الجدول ستمثل على الأرجح دالة خطية أو أسية أو لوغاريتمية.

بالنسبة للتمارين التالية ، استخدم أداة الرسوم البيانية لإنشاء رسم تخطيطي مبعثر للبيانات الواردة في الجدول. راقب شكل الرسم التخطيطي المبعثر لتحديد ما إذا كان أفضل وصف للبيانات هو النموذج الأسي أو اللوغاريتمي أو اللوجيستي. ثم استخدم خاصية الانحدار المناسبة لإيجاد معادلة تشكل البيانات. عند الضرورة ، قم بتقريب القيم إلى خمسة منازل عشرية.

xو (خ)
313.98
417.84
520.01
622.7
724.1
826.15
927.37
1028.38
1129.97
1231.07
1331.43

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة اقتباس مثل هذه.
    • المؤلفون: جاي أبرامسون
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: الجبر وعلم المثلثات
    • تاريخ النشر: 13 فبراير 2015
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry/pages/1-introduction-to-prerequisites
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry/pages/6-practice-test

    © 19 أبريل 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    المحلول

    تتمثل إحدى طرق رسم الدوال الجيبية في إيجاد خمس نقاط رئيسية. سوف تتوافق هذه النقاط مع فترات متساوية الطول تمثل [لاتكس] نص <> فارك <1> <4> نص <> [/ لاتكس] من الفترة. ستشير النقاط الرئيسية إلى موقع القيم القصوى والدنيا. إذا لم يكن هناك تحول عمودي ، فسوف يشيرون أيضًا x- اعتراضات. على سبيل المثال ، لنفترض أننا نريد رسم وظيفة بيانية [لاتكس] نص <> y = cos theta [/ latex]. نعلم أن الفترة هي [اللاتكس] 2 pi [/ اللاتكس] ، لذلك نجد الفاصل الزمني بين النقاط الرئيسية على النحو التالي.

    بدءًا من [latex] text <> theta = 0 [/ latex] ، نحسب الأول ص-القيمة ، أضف طول الفاصل الزمني [اللاتكس] النص <> frac < pi> <2> text <> [/ latex] إلى 0 ، واحسب الثانية ذ-القيمة. نضيف بعد ذلك [latex] text <> frac < pi> <2> text <> [/ latex] بشكل متكرر حتى يتم تحديد النقاط الرئيسية الخمس. يجب أن تساوي القيمة الأخيرة القيمة الأولى ، حيث تغطي الحسابات فترة كاملة واحدة. بعمل جدول مشابه للجدول أدناه ، يمكننا رؤية هذه النقاط الرئيسية بوضوح على الرسم البياني الموضح في الشكل 6.

    [اللاتكس] ثيتا [/ اللاتكس] [لاتكس] 0 [/ لاتكس] [اللاتكس] frac < pi> <2> [/ لاتكس] [اللاتكس] pi [/ اللاتكس] [اللاتكس] frac <3 pi> <2> [/ لاتكس] [لاتكس] 2 pi [/ لاتكس]
    [اللاتكس] y = cos theta [/ latex] [لاتكس] 1 [/ لاتكس] [لاتكس] 0 [/ لاتكس] [لاتكس] -1 [/ لاتكس] [لاتكس] 0 [/ لاتكس] [لاتكس] 1 [/ لاتكس]

    مثال 3: رسم وظائف جيبية بيانية باستخدام النقاط الرئيسية

    ارسم الدالة [اللاتكس] text <> y = -4 cos left ( pi x right) text <> [/ latex] باستخدام السعة ، والنقطة ، والنقاط الرئيسية.

    المحلول

    السعة هي [اللاتكس] | -4 | = 4. [/ latex] الفترة هي [لاتكس] نص <> frac <2 pi> < omega> = frac <2 pi> < pi> = 2. text <> [/ latex] (أذكر التي نشير إليها أحيانًا [لاتكس] نص <> ب نص <> [/ لاتكس] مثل [لاتكس] أوميغا [/ لاتكس].) يمكن رسم دورة واحدة من الرسم البياني على الفاصل الزمني [لاتكس] نص < > left [0،2 right]. text <> [/ latex] للعثور على النقاط الرئيسية ، نقسم النقطة على 4. اصنع جدولًا مشابهًا للجدول أدناه ، بدءًا من [اللاتكس] text <> x = 0 text <> [/ latex] ثم إضافة [latex] text <> frac <1> <2> text <> [/ latex] على التوالي إلى [latex] text <> x text < > [/ latex] وحساب [latex] text <> y. text <> [/ latex] انظر الرسم البياني في الشكل 7.

    [لاتكس] x [/ لاتكس] [لاتكس] 0 [/ لاتكس] [لاتكس] فارك <1> <2> [/ لاتكس] [لاتكس] 1 [/ لاتكس] [لاتكس] فارك <3> <2> [/ لاتكس] [لاتكس] 2 [/ لاتكس]
    [اللاتكس] y = -4 cos left ( pi x right) [/ latex] [لاتكس] -4 [/ لاتكس] [لاتكس] 0 [/ لاتكس] [لاتكس] 4 [/ لاتكس] [لاتكس] 0 [/ لاتكس] [لاتكس] -4 [/ لاتكس]

    جربه 2

    ارسم الدالة [اللاتكس] text <> y = 3 sin left (3x right) text <> [/ latex] باستخدام السعة ، والنقطة ، والخمس نقاط الرئيسية.


    الفصل الثاني عشر

    يمكن نمذجة جوانب البرج بواسطة المعادلة القطعية. س 2400 - ص 2 3600 = 1 أو س 2 20 2 - ص 2 60 2 = 1. س 2400 - ص 2 3600 = 1 أو س 2 20 2 - ص 2 60 2 = 1.

    12.3 القطع المكافئ

    12.4 دوران المحاور

    12.5 المقاطع المخروطية في الإحداثيات القطبية

    12.1 تمارين القسم

    القطع الناقص هو مجموعة جميع النقاط في المستوى التي يكون مجموع مسافاتها من نقطتين ثابتتين ، تسمى البؤر ، ثابتًا.

    هذه الحالة الخاصة ستكون دائرة.

    إنه متماثل حول x-محور، ذ-المحور والأصل.

    نعم × 2 (1 2) 2 + ص 2 (1 3) 2 = 1 × 2 (1 2) 2 + ص 2 (1 3) 2 = 1

    البؤر (- 3 ، - 1 + 11) ، (- 3 ، - 1-11) (- 3 ، - 1 + 11) ، (- 3 ، - 1 - 11)

    البؤر (- 10 ، 30) ، (- 10 ، - 30) (- 10 ، 30) ، (- 10 ، - 30)

    لاحظ أن هذا القطع الناقص عبارة عن دائرة. الدائرة لها تركيز واحد فقط ، والذي يتزامن مع المركز.

    (س - 4) 2 25 + (ص - 2) 2 1 = 1 (س - 4) 2 25 + (ص - 2) 2 1 = 1

    (س + 3) 2 16 + (ص - 4) 2 4 = 1 (س + 3) 2 16 + (ص - 4) 2 4 = 1

    x 2 4 h 2 + y 2 1 4 h 2 = 1 x 2 4 h 2 + y 2 1 4 h 2 = 1

    12.2 تمارين القسم

    القطع الزائد هو مجموعة النقاط في مستوٍ يكون الفرق بين مسافاتهما من نقطتين ثابتتين (بؤرتان) ثابتًا موجبًا.

    يجب أن تقع البؤر على المحور العرضي وأن تكون داخل القطع الزائد.

    يجب أن يكون المركز هو نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة التي تربط البؤر.

    ص = 2 5 (س - 3) - 4 ، ص = - 2 5 (س - 3) - 4 ص = 2 5 (س - 3) - 4 ، ص = - 2 5 (س - 3) - 4

    ص = 3 4 (س - 1) + 1 ، ص = - 3 4 (س - 1) + 1 ص = 3 4 (س - 1) + 1 ، ص = - 3 4 (س - 1) + 1

    (س - 6) 2 25 - (ص - 1) 2 11 = 1 (س - 6) 2 25 - (ص - 1) 2 11 = 1

    (س - 4) 2 25 - (ص - 2) 2 1 = 1 (س - 4) 2 25 - (ص - 2) 2 1 = 1

    (س + 3) 2 25 - (ص + 3) 2 25 = 1 (س + 3) 2 25 - (ص + 3) 2 25 = 1

    ص (س) = 3 × 2 + 1 ، ص (س) = - 3 × 2 + 1 ص (س) = 3 × 2 + 1 ، ص (س) = - 3 × 2 + 1

    ص (س) = 1 + 2 س 2 + 4 س + 5 ، ص (س) = 1 - 2 س 2 + 4 س + 5 ص (س) = 1 + 2 س 2 + 4 س + 5 ، ص (س ) = 1 - 2 × 2 + 4 × + 5

    (س - ح) 2 أ 2 = 4 - (ص - ك) 2 ب 2 = (س - 3) 2-9 ص 2 = 4 (س - ح) 2 أ 2 = 4 - (ص - ك) 2 ب 2 = (س - 3) 2-9 ص 2 = 4

    12.3 تمارين القسم

    القطع المكافئ هو مجموعة النقاط في المستوى التي تقع على مسافة متساوية من نقطة ثابتة ، والبؤرة ، والخط الثابت ، الدليل.

    ستزيد المسافة بين التركيز والدليل.

    نعم (ص - 3) 2 = 4 (2) (س - 2) (ص - 3) 2 = 4 (2) (س - 2)

    y 2 = 1 8 x ، V: (0 ، 0) F: (1 32، 0) d: x = - 1 32 y 2 = 1 8 x، V: (0، 0) F: (1 32، 0) ) د: س = - 1 32

    x 2 = - 1 4 y، V: (0، 0) F: (0، - 1 16) d: y = 1 16 x 2 = - 1 4 y، V: (0، 0) F: (0، - 1 16) د: ص = 16 1

    ص 2 = 1 36 س ، ف: (0 ، 0) ف: (1144 ، 0) د: س = - 1 144 ص 2 = 1 36 س ، ف: (0 ، 0) ف: (1144 ، 0) ) د: س = - 1144

    (x - 1) 2 = 4 (y - 1)، V: (1، 1) F: (1، 2) d: y = 0 (x - 1) 2 = 4 (y - 1)، V: ( 1 ، 1) و: (1 ، 2) د: ص = 0

    (ص - 4) 2 = 2 (س + 3) ، ف: (- 3 ، 4) و: (- 5 2 ، 4) د: س = - 7 2 (ص - 4) 2 = 2 (س + 3 ) ، الخامس: (- 3 ، 4) و: (- 5 2 ، 4) د: س = - 7 2

    (س + 4) 2 = 24 (ص + 1) ، الخامس: (- 4 ، - 1) و: (- 4 ، 5) د: ص = −7 (س + 4) 2 = 24 (ص + 1) ، الخامس: (- 4 ، - 1) و: (- 4 ، 5) د: ص = −7

    (ص - 3) 2 = 12 (س + 1) ، ف: (- 1 ، 3) و: (- 4 ، 3) د: س = 2 (ص - 3) 2 = 12 (س + 1) ، الخامس: (- 1 ، 3) و: (- 4 ، 3) د: س = 2

    (x - 5) 2 = 4 5 (y + 3)، V: (5، - 3) F: (5، - 14 5) d: y = - 16 5 (x - 5) 2 = 4 5 (y + 3) ، الخامس: (5 ، - 3) إ: (5 ، - 14 5) د: ص = - 16 5

    (x - 2) 2 = 2 (y - 5)، V: (2، 5) F: (2، 9 ​​2) d: y = 11 2 (x - 2) 2 = 2 (y - 5) ، الخامس: (2 ، 5) ف: (2 ، 9 2) د: ص = 11 2

    (y - 1) 2 = 4 3 (x - 5)، V: (5، 1) F: (16 3، 1) d: x = 14 3 (y - 1) 2 = 4 3 (x - 5) ، الخامس: (5 ، 1) ف: (16 3 ، 1) د: س = 14 3

    عند النقطة 2.25 قدم فوق الرأس.

    12.4 تمارين القسم

    المقطع المخروطي القطع الزائد.

    يعطي زاوية دوران المحاور لإزالة الحد x y x y.

    3 س ′ 2 + 2 س ′ ص ′ - 5 ص ′ 2 + 1 = 0 3 س ′ 2 + 2 س ′ ص ′ - 5 ص ′ 2 + 1 = 0

    θ = 60 ∘ ، 11 س ′ 2 - ص 2 + 3 س ′ + ص ′ - 4 = 0 = 60 ∘ ، 11 س ′ 2 - ص 2 + 3 س ′ + ص - 4 = 0

    θ = 150 ∘ ، 21 س ′ 2 + 9 ص 2 + 4 س ′ - 4 3 ص - 6 = 0 θ = 150 ، 21 س ′ 2 + 9 ص ′ 2 + 4 س ′ - 4 3 ص - 6 = 0

    θ ≈ 36.9 ∘ ، 125 × ′ 2 + 6 × ′ - 42 ص ′ + 10 = 0 36.9 ∘ ، 125 × ′ 2 + 6 × ′ - 42 ص ′ + 10 = 0

    θ = 45 ∘، 3 x ′ 2 - y ′ 2 - 2 x ′ + 2 y ′ + 1 = 0 θ = 45 ∘، 3 x ′ 2 - y ′ 2 - 2 x ′ + 2 y ′ + 1 = 0

    2 2 (س ′ + ص) = 1 2 (س ′ - ص) 2 2 2 (س ′ + ص) = 1 2 (س ′ - ص) 2

    (س ′ - ص) 2 8 + (س ′ + ص) 2 2 = 1 (س ′ - ص) 2 8 + (س ′ + ص) 2 2 = 1

    (س ′ + ص) 2 2 - (س ′ - ص) 2 2 = 1 (س ′ + ص) 2 2 - (س ′ - ص) 2 2 = 1

    3 2 س ′ - 1 2 ص ′ = (1 2 س ′ + 3 2 ص ′ - 1) 2 3 2 س ′ - 1 2 ص ′ = (1 2 س ′ + 3 2 ص - 1) 2

    12.5 تمارين القسم

    إذا كان الانحراف أقل من 1 ، فهو قطع ناقص. إذا كان الانحراف المركزي يساوي 1 ، فهو قطع مكافئ. إذا كان الانحراف المركزي أكبر من 1 ، فهو قطع زائد.

    سيكون الدليل موازيًا للمحور القطبي.

    ستكون إحدى البؤر موجودة في الأصل.

    25 × 2 + 16 ص 2-12 ص - 4 = 0 25 × 2 + 16 ص 2-12 ص - 4 = 0

    21 × 2-4 ص 2-30 × + 9 = 0 21 × 2-4 ص 2-30 × + 9 = 0

    96 y 2-25 x 2 + 110 y + 25 = 0 96 y 2-25 x 2 + 110 y + 25 = 0

    5 × 2 + 9 ص 2 - 24 × - 36 = 0 5 × 2 + 9 ص 2 - 24 × - 36 = 0

    تمارين المراجعة

    (س + 3) 2 1 2 + (ص - 2) 2 3 2 = 1 (- 3 ، 2) (- 2 ، 2) ، (- 4 ، 2) ، (- 3 ، 5) ، (- 3 ، - 1) (- 3 ، 2 + 2 2) ، (- 3 ، 2-2 2) (س + 3) 2 1 2 + (ص - 2) 2 3 2 = 1 (- 3 ، 2) (- 2 ، 2) ، (- 4 ، 2) ، (- 3 ، 5) ، (- 3 ، - 1) (- 3 ، 2 + 2 2) ، (- 3 ، 2 - 2 2)

    θ = 45 ∘ ، س ′ 2 + 3 ص ′ 2-12 = 0 θ = 45 ∘ ، س ′ 2 + 3 ص ′ 2-12 = 0

    اختبار الممارسة

    (س - 1) 2 36 + (ص - 2) 2 27 = 1 (س - 1) 2 36 + (ص - 2) 2 27 = 1

    بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

    هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

      إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

    • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة اقتباس مثل هذه.
      • المؤلفون: جاي أبرامسون
      • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
      • عنوان الكتاب: الجبر وعلم المثلثات
      • تاريخ النشر: 13 فبراير 2015
      • المكان: هيوستن ، تكساس
      • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry/pages/1-introduction-to-prerequisites
      • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry/pages/chapter-12

      © 19 أبريل 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


      5.E: الدوال المثلثية (تمارين)

      المثلث القائم الزاوية

      · استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد الأطوال الناقصة لأضلاع المثلث القائم.

      · أوجد الأطوال والزوايا المفقودة لمثلث قائم الزاوية.

      · أوجد القيم الدقيقة للدوال المثلثية للزوايا التي قياسها 30 درجة و 45 درجة و 60 درجة.

      · حل المسائل التطبيقية باستخدام حساب المثلثات القائم الزاوية.

      لنفترض أن عليك بناء منحدر ولا تعرف كم من الوقت يجب أن يكون. أنت تعرف قياسات زوايا وأطوال أضلاع معينة ، لكن عليك إيجاد المعلومات المفقودة.

      هناك ست دوال مثلثية ، أو نسب ، يمكنك استخدامها لحساب ما لا تعرفه. ستتعلم الآن كيفية استخدام هذه الوظائف الست لحل مشاكل تطبيق المثلث القائم الزاوية.

      استخدام نظرية فيثاغورس في مسائل حساب المثلثات

      هناك عدة طرق لتحديد المعلومات المفقودة في مثلث قائم الزاوية. واحدة من هذه الطرق هي نظرية فيثاغورسالتي تنص على ذلك.

      افترض أن لديك مثلث قائم الزاوية فيه أ و ب هي أطوال الساقين ، و ج هو طول الوتر ، كما هو موضح أدناه.

      إذا كنت تعرف طول أي ضلعين ، فيمكنك استخدام نظرية فيثاغورس () لإيجاد طول الضلع الثالث. بمجرد أن تعرف كل أطوال الأضلاع ، يمكنك حساب جميع الدوال المثلثية.

      أوجد قيم و.

      يمكنك العثور على المماس على الفور من التعريف والمعلومات الموجودة في الرسم التخطيطي.

      لإيجاد قيمة القاطع ، ستحتاج إلى طول الوتر. استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الوتر.

      الآن احسب ثانية X باستخدام تعريف القاطع.

      غير صحيح. لقد وجدت كوس ص بدلا من ذلك csc ص. استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الضلع المقابل. ثم اقسم الوتر على الطول المقابل. والجواب الصحيح هو .

      غير صحيح. يبدو أنك استخدمت الزاوية الخطأ ووجدت. تذكر أن الزاويتين الحادتين ستعطيك قيمًا مختلفة للدالة المثلثية. استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الضلع المقابل. اقسم الوتر على الطول المقابل. والجواب الصحيح هو .

      صيح. تحتاج إلى معرفة طول الضلع المقابل ، لذا استخدم نظرية فيثاغورس:. هذا يبسط إلى. يمنحك حل هذه المعادلة. باستخدام تعريف قاطع التمام ،.

      غير صحيح. ربما استخدمت التعريف الصحيح ، واستخدمت نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الضلع المقابل ، ص، ولكن قم بإعداد المعادلة بشكل غير صحيح. يجب أن يكون. والجواب الصحيح هو .

      قد تزودك بعض المسائل بقيم نسبتين مثلثية لزاوية واحدة وتطلب منك إيجاد قيمة النسب الأخرى. ومع ذلك ، ما عليك سوى معرفة قيمة نسبة مثلثية واحدة للعثور على قيمة أي نسبة مثلثية أخرى لنفس الزاوية.

      للزاوية الحادة أو. أوجد قيم و.

      تحتاج أولاً إلى رسم مثلث قائم الزاوية فيه.

      الظل هو نسبة الضلع المقابل للضلع المجاور. يظهر أبسط مثلث يمكنك استخدامه بهذه النسبة. ضلعها المقابل 2 وطولها 5 المجاور.كان من الممكن أن تستخدم مثلثًا له ضلع معاكس طوله 4 وضلع مجاور طوله 10. (تحتاج فقط إلى تقليل النسبة إلى).

      يمكنك استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد الوتر.

      ثم استخدم تعريف جيب التمام لإيجاد جيب التمام أ.

      الآن استخدم حقيقة أن ثانية أ = 1 / كوس أ للعثور على ثانية أ.

      إذا كانت الزاوية X هي زاوية حادة ، ما قيمة؟

      في هذا المثلث القائم ، لأن نسبة الضلع المقابل على الوتر هي. أبسط مثلث يمكننا استخدامه بهذه النسبة هو المثلث الذي له ضلع معاكس طوله 3 ووتر طوله 4.

      يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الساق المجهول.

      يمكنك العثور على ظل التمام باستخدام التعريف.

      أو يمكنك إيجاد ظل التمام بإيجاد الظل أولاً ثم أخذ المقلوب.

      حل المثلثات القائمة

      يُعرف تحديد جميع أطوال أضلاع المثلث القائم وقياسات زاويته حل مثلث قائم الزاوية. دعونا نلقي نظرة على كيفية القيام بذلك عندما يتم إعطاؤك طول جانب واحد وقياس زاوية حاد. بمجرد أن تتعلم كيفية حل مثلث قائم الزاوية ، ستتمكن من حل العديد من تطبيقات العالم الحقيقي - مثل مشكلة المنحدر في بداية هذا الدرس - والأدوات الوحيدة التي ستحتاج إليها هي تعريفات الدوال المثلثية ، نظرية فيثاغورس وآلة حاسبة.

      تحتاج إلى بناء منحدر بالأبعاد التالية. حل المثلث الأيمن الموضح أدناه. استخدم التقريبات و ، واكتب الأطوال لأقرب جزء من عشرة.

      تذكر أن الزوايا الحادة في المثلث القائم مكملة لبعضها البعض ، ما يعني أن مجموعها 90 درجة. منذ ذلك الحين ، يتبع ذلك.

      يمكنك استخدام تعريف قاطع التمام لإيجاد ج. عوّض بقياس الزاوية في الجانب الأيسر من المعادلة واستخدم المثلث لإيجاد النسبة على اليمين. نحصل على حل المعادلة والتقريب لأقرب جزء من عشرة.

      بطريقة مماثلة ، يمكنك استخدام تعريف الظل وقياس الزاوية لإيجادها ب. نحصل على حل المعادلة والتقريب لأقرب جزء من عشرة.

      يجب أن يبلغ طول المنحدر 11.7 قدمًا.

      في المسألة أعلاه ، تم إعطاؤك قيم التوابع المثلثية. في المشكلة التالية ، ستحتاج إلى استخدام مفاتيح الوظائف المثلثية في الآلة الحاسبة للعثور على هذه القيم.

      حل المثلث الأيمن الموضح أدناه. أوجد الأطوال لأقرب جزء من عشرة.

      الزوايا الحادة مكملة ، مما يعني أن مجموعها 90 درجة. منذ ذلك الحين ، يتبع ذلك.

      يمكنك استخدام تعريف الجيب للبحث x. استخدم الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة والمثلث لإعداد النسبة على اليمين. نحصل على حل المعادلة والتقريب لأقرب جزء من عشرة.

      لايجاد ذ، يمكنك إما استخدام دالة مثلثية أخرى (مثل جيب التمام) أو يمكنك استخدام نظرية فيثاغورس. نحصل على حل المعادلة والتقريب لأقرب جزء من عشرة.

      نحن نعرف الآن الأضلاع الثلاثة وجميع الزوايا الثلاث. تظهر قيمهم في الرسم.

      في بعض الأحيان قد تحصل على معلومات كافية حول مثلث قائم الزاوية لحل المثلث ، لكن هذه المعلومات قد لا تتضمن قياسات الزوايا الحادة. في هذه الحالة ، ستحتاج إلى استخدام مفاتيح الدالة المثلثية المعكوسة على الآلة الحاسبة لحل المثلث.

      قم بحل المثلث القائم الزاوية الموضح أدناه ، بالنظر إلى ذلك. أوجد أطوال الأضلاع بالضبط وقرب الزوايا لأقرب درجة.

      لم يتم منحك قياس زاوية ، ولكن يمكنك استخدام تعريف ظل التمام لإيجاد قيمة ن.

      استخدم النسبة المعطاة لك على الجانب الأيسر والمعلومات من المثلث الموجود على الجانب الأيمن. اضرب التبادلية وحل من أجل ن.

      استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد قيمة ص.

      يمكننا استخدام المثلث لإيجاد قيمة المماس ومفتاح الظل المعكوس على الآلة الحاسبة لإيجاد الزاوية التي تنتج هذه القيمة. التقريب لأقرب درجة تقريبًا 39 درجة. اطرح 39 درجة من 90 درجة لتحصل على.

      نحن نعرف الآن الأضلاع الثلاثة وجميع الزوايا الثلاث. تظهر قيمهم في الرسم.

      ما هي قيمة x لأقرب جزء من مائة؟

      غير صحيح. ربما قمت بإعداد النسبة بشكل غير صحيح ، معادلة و. الطريقة الصحيحة لإعداد المعادلة هي. الإجابة الصحيحة هي 1.97.

      صيح. إحدى الطرق لإعداد معادلة صحيحة هي استخدام تعريف جيب التمام. هذا سوف يعطيك. حل هذه المعادلة هو:

      غير صحيح. من المحتمل أنك أعددت المعادلة الصحيحة ، وقمت بحلها بشكل صحيح. ومع ذلك ، لم يتم ضبط الآلة الحاسبة على درجات. الإجابة الصحيحة هي 1.97.

      غير صحيح. ربما تكون قد أعددت معادلتك بشكل صحيح ، ولكن بعد ذلك قمت بحلها بشكل غير صحيح. الإجابة الصحيحة هي 1.97.

      كقاعدة عامة ، تحتاج إلى استخدام آلة حاسبة لإيجاد قيم الدوال المثلثية لأي قياس زاوية معين. ومع ذلك ، فإن الزوايا التي يبلغ قياسها 30 درجة و 45 درجة و 60 درجة - والتي ستراها في العديد من المشكلات والتطبيقات - تعتبر خاصة. يمكنك إيجاد القيم الدقيقة لهذه الوظائف بدون آلة حاسبة. دعونا نرى كيف.

      افترض أن لديك مثلث قائم الزاوية بزاوية حادة قياسها 45 درجة. نظرًا لأن الزوايا الحادة مكملة ، يجب أن تقيس الأخرى أيضًا 45 درجة. نظرًا لأن الزاويتين الحادتين متساويتان ، يجب أن يكون للأرجل نفس الطول ، على سبيل المثال ، وحدة واحدة.

      يمكنك تحديد الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس.

      الآن لديك كل الأضلاع والزوايا في هذا المثلث القائم.

      يمكنك استخدام هذا المثلث (الذي يسمى أحيانًا مثلث 45 درجة - 45 درجة - 90 درجة) للعثور على جميع الدوال المثلثية لـ 45 درجة. إحدى الطرق لتذكر هذا المثلث هي ملاحظة أن الوتر هو ضرب طول أي من الساقين.

      أوجد قيم التوابع المثلثية الست لـ 45 ° وعقلنة المقامات ، إذا لزم الأمر.

      استخدم تعريفات الجيب وجيب التمام والظل. لاحظ أنه نظرًا لأن الضلعين المتجاورين والمقابل متساويان ، فإن الجيب وجيب التمام متساويان.

      استخدم الهويات المتبادلة. لاحظ أنه نظرًا لأن الضلعين المتقابلين والمجاورين متساويان ، فإن قاطع التمام والقطع متساويان.

      يمكنك إنشاء مثلث آخر يمكنك استخدامه لإيجاد كل الدوال المثلثية لـ 30 درجة و 60 درجة. ابدأ بمثلث متساوي الأضلاع أطوال أضلاعه تساوي وحدتين. إذا قسمت المثلث متساوي الأضلاع لأسفل في المنتصف ، فإنك تحصل على مثلثين بزاوية 30 درجة و 60 درجة و 90 درجة. هذان المثلثان القائمان متطابقان. كلاهما له وتر طوله 2 وقاعدة طولها 1.

      يمكنك تحديد الارتفاع باستخدام نظرية فيثاغورس.

      هذا هو النصف الأيسر من المثلث متساوي الأضلاع المقلوب على جانبه.

      يمكنك استخدام هذا المثلث (الذي يسمى أحيانًا مثلث 30 درجة - 60 درجة - 90 درجة) للعثور على جميع الدوال المثلثية لـ 30 درجة و 60 درجة. لاحظ أن طول الوتر هو ضعف طول أقصر ضلع وهو المقابل للزاوية 30 درجة ، إذن. طول أطول ساق مقابل زاوية 60 درجة هو ضعف طول الساق الأقصر.

      أوجد قيم. ترشيد القواسم إذا لزم الأمر.

      استخدم تعريفات الجيب وجيب التمام والظل. لكل زاوية ، تأكد من استخدام الأرجل المقابلة والمجاورة لها الذي - التي زاوية. على سبيل المثال ، هو عكس 60 درجة ، ولكن بالقرب من 30 درجة.

      تذكر أن القاطع هو مقلوب جيب التمام وأن ظل التمام هو مقلوب الظل. ترشيد القواسم.

      يمكنك استخدام المعلومات من المثلثات 30 درجة - 60 درجة - 90 درجة و 45 درجة - 45 درجة - 90 درجة لحل المثلثات المتشابهة دون استخدام الآلة الحاسبة.

      ما هي قيمة x في المثلث أدناه؟

      نظرًا لأن الساقين لها نفس الطول ، فيجب أن تكون الزاويتان الحادتان متساويتين ، بحيث يكون كل منهما 45 درجة.

      في مثلث 45 درجة - 45 درجة - 90 درجة ، يكون طول الوتر مضروبًا في طول الساق. يمكنك استخدام هذه العلاقة لتجد x. تذكر أن تبرر المقام.

      إليك طريقة أخرى لحل هذه المشكلة. يمكنك استخدام تعريف الجيب للبحث x.

      يمكنك أيضًا حل المشكلة الأخيرة باستخدام نظرية فيثاغورس ، والتي كانت ستنتج المعادلة.

      حل المثلث الأيمن الموضح أدناه.

      الزوايا الحادة مكملة لذلك. هذا مثلث 30 درجة - 60 درجة - 90 درجة. يمكننا الآن استخدام الدوال المثلثية لإيجاد أطوال الأضلاع المجهولة.

      بما أننا نعرف جميع قياسات الزوايا ، علينا الآن إيجاد أطوال الأضلاع الناقصة. لايجاد ج (طول الوتر) ، يمكننا استخدام دالة الجيب لأننا نعرف ذلك ونعرف طول الضلع المقابل.

      لايجاد أ (طول الضلع المقابل للزاوية أ) ، يمكننا استخدام دالة الظل لأننا نعرف ذلك ونعرف طول الضلع المجاور.

      نحن نعرف الآن الأضلاع الثلاثة وجميع الزوايا الثلاث. تظهر قيمهم في الرسم.

      غير صحيح. راجع المثلث 30 درجة - 60 درجة - 90 درجة. من هناك تستطيع أن ترى ذلك. إنه يتبع هذا . ربما تكون قد استخدمت الزاوية الخطأ ووجدت الزاوية الصحيحة أو استخدمت الزاوية الصحيحة ولكنك وجدت. تحتاج لتجد . والجواب الصحيح هو .

      غير صحيح. راجع المثلث 30 درجة - 60 درجة - 90 درجة. من هناك تستطيع أن ترى ذلك. إنه يتبع هذا . ربما وجدت عن طريق الخطأ. تحتاج لتجد . والجواب الصحيح هو .

      غير صحيح. ربما تكون قد وجدت بشكل صحيح ، لكنك ارتكبت خطأً عند ترشيد المقام. والجواب الصحيح هو .

      صيح. راجع المثلث 30 درجة - 60 درجة - 90 درجة. من هناك تستطيع أن ترى ذلك. إنه يتبع هذا . وبالتالي .

      استخدام علم المثلثات في مشاكل العالم الحقيقي

      هناك مواقف في العالم الحقيقي ، مثل بناء منحدر لرصيف التحميل ، يكون لديك فيها مثلث قائم الزاوية به معلومات معينة حول الجوانب والزوايا ، وترغب في العثور على قياسات غير معروفة للجوانب أو الزوايا. هذا هو المكان الذي يمكن أن يساعدك فيه فهم علم المثلثات.

      بن وإيما يطيران طائرة ورقية. تستطيع إيما أن ترى أن خيط الطائرة الورقية الذي تحمله يصنع زاوية 70 درجة مع الأرض. الطائرة الورقية مباشرة فوق بن ، الذي يقف على بعد 50 قدمًا. إلى أقرب قدم ، كم قدمًا من الخيط تركته إيما؟

      نريد إيجاد طول السلسلة التي نخرجها. إنه وتر المثلث القائم الموضح.

      بما أن مسافة 50 قدمًا تقيس الضلع المجاور للزاوية 70 درجة ، يمكنك استخدام دالة جيب التمام لإيجادها x.

      حل المعادلة من أجل x. استخدم الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة عددية. تقرِّب الإجابة إلى 146.

      لقد أخرجت إيما حوالي 146 قدمًا من الخيط

      في المثال أعلاه ، تم إعطاؤك جانبًا واحدًا وزاوية حادة. في الجانب التالي ، تم إعطاؤك جانبين وطُلب منك إيجاد زاوية. عادة ما يتطلب إيجاد زاوية استخدام دالة مثلثية عكسية. الحرف اليوناني ثيتا ، θ، يشيع استخدامه لتمثيل زاوية غير معروفة. في هذا المثال، θ يمثل زاوية الارتفاع.

      يتم وضع منحدر للكرسي المتحرك فوق مجموعة من السلالم بحيث يكون أحد طرفيه قدمين عن الأرض. يقع الطرف الآخر عند نقطة تبعد مسافة أفقية 28 قدمًا ، كما هو موضح في الشكل. ما زاوية الارتفاع لأقرب جزء من عشر درجة؟

      يُشار إلى زاوية الارتفاع في الرسم التخطيطي. الأطوال المعطاة هي الأضلاع المقابلة لهذه الزاوية والمجاورة لها ، لذا يمكنك استخدام دالة الظل لإيجادها.

      تريد إيجاد قياس الزاوية التي تمنحك قيمة معينة للماس. هذا يعني أنك بحاجة لإيجاد معكوس المماس. تذكر أنه يجب عليك استخدام المفتاحين 2ND و TAN على الآلة الحاسبة الخاصة بك. انظر إلى خانة الجزء من مائة للتقريب لأقرب جزء من عشرة.

      زاوية الارتفاع حوالي 4.1 درجة.

      تذكر أن المسائل التي تتضمن مثلثات بزوايا معينة يمكن حلها دون استخدام الآلة الحاسبة.

      يتم استخدام السياج لعمل سياج مثلث بأطول ضلع يساوي 30 قدمًا ، كما هو موضح أدناه. ما الطول الدقيق للضلع المقابل للزاوية 60 درجة؟

      استدعاء الطول المجهول x. بما أنك تعرف طول الوتر ، يمكنك استخدام دالة الجيب.

      هذا مثلث 30 درجة - 60 درجة - 90 درجة. لذلك ، يمكنك إيجاد القيمة الدقيقة للدالة المثلثية دون استخدام الآلة الحاسبة.

      حل المعادلة من أجل x.

      الطول الدقيق للضلع المقابل للزاوية 60 هو قدم.

      في بعض الأحيان ، يمكن أن يكون المثلث الأيمن جزءًا من صورة أكبر.

      يتم توصيل سلك الشد بعمود الهاتف على بعد 3 أقدام أسفل الجزء العلوي من العمود ، كما هو موضح أدناه. سلك الشدّاد مُثبت على بعد 14 قدمًا من عمود الهاتف ويصنع بزاوية 64 درجة مع الأرض. ما مدى ارتفاع العمود الذي تم توصيل سلك الشد به؟ قرب إجابتك لأقرب جزء من عشر قدم.

      غير صحيح. ربما تم الخلط بينك وبين النسبة التي تتوافق مع الوظيفة المثلثية. تحتاج إلى حل المعادلة ، أين x يمثل المسافة العمودية من قاعدة عمود الهاتف حتى مكان توصيل سلك الشد. والجواب الصحيح هو .

      صيح. يترك x تمثل المسافة الرأسية من قاعدة عمود الهاتف حتى مكان توصيل سلك الشد. ثم . حل هذه المعادلة ل x يعطيك .

      غير صحيح. يبدو أنك أعددت وحلت المعادلة الصحيحة لإيجاد الطول المجهول. ومع ذلك ، لقد أخطأت في قراءة المشكلة. عندما أضفت الرقم 3 ، وجدت ارتفاع العمود بأكمله. والجواب الصحيح هو .

      غير صحيح. يبدو أنك أعددت وحلت معادلة لإيجاد طول السلك (وتر المثلث). تحتاج إلى حل المعادلة ، أين x يمثل المسافة العمودية من قاعدة عمود الهاتف حتى مكان توصيل سلك الشد. والجواب الصحيح هو .

      توجد طرق عديدة لإيجاد أطوال الأضلاع المفقودة أو قياسات الزوايا في مثلث قائم الزاوية. يمكن حل مثلث قائم الزاوية باستخدام تعريفات الدوال المثلثية ونظرية فيثاغورس. تسمى هذه العملية بحل مثلث قائم الزاوية. تعد القدرة على حل مثلث قائم الزاوية أمرًا مفيدًا في حل مجموعة متنوعة من مشكلات العالم الحقيقي مثل بناء منحدر للكراسي المتحركة.

      يمكنك إيجاد القيم الدقيقة للدوال المثلثية للزوايا التي قياسها 30 درجة و 45 درجة و 60 درجة. يمكنك العثور على قيم دقيقة للأضلاع في مثلثات 30 درجة و 45 درجة و 60 درجة إذا كنت تتذكر ذلك و. بالنسبة لمقاييس الزوايا الأخرى ، من الضروري استخدام آلة حاسبة للعثور على القيم التقريبية للدوال المثلثية.


      س: قم بتقييم كل تعبير أدناه دون استخدام الآلة الحاسبة. (افترض أن أي متغيرات تم إرسالها إيجابية.

      ج: انقر لرؤية الجواب

      س: 4. إذا كان المنتج (-2 + 7i) (c + di) ، حيث c و d أرقام حقيقية ، تم وضعه في الشكل القياسي ، ثم w.

      ج: انقر لرؤية الجواب

      س: حالة المثلثات المزدوجة متشابهة. إذا كان الأمر كذلك ، فذكر كيف تعرف أنها متشابهة وكاملة.

      س: اكتب Ï-12 بدلالة i.

      ج: معطى- i-12 To find- التعبير أعلاه في مصطلح i. المفهوم المستخدم - i4 = 1

      س: استخدم حاسبة الرسوم البيانية لتحديد ما إذا كانت كل معادلة تبدو متطابقة أم لا بواسطة الرسم البياني.

      أ: cos4θ-sin4θ = 2cos2θ-1 الرسم البياني هو ،

      س: استخدم الآلة الحاسبة للمساعدة في كتابة كل عدد مركب في الشكل القياسي. قرب الأرقام في إجابتك.

      ج: الرقم المركب بالصيغة a + ib ، حيث يكون الجزء الحقيقي و b جزء هامشي.

      ج: انقر لرؤية الجواب

      س: الاختيار من متعدد لـ 9 و 10.

      ج: وفقًا لإرشاداتنا ، من المفترض أن نحل السؤال الأول فقط. يرجى إعادة السؤال الآخر.

      س: 28. حل التمارين التالية باستخدام التوابع المثلثية.

      ج: دع x = مسافة السلم من الجسر ، y = الارتفاع الرأسي. المعطى: dxdt = -1 قدم / ثانية للعثور على: dy.


      ورقة عمل SHSAT MATH

      (1) & # xa0 Phone Company A تتقاضى 50 + 3x دولارًا لخطة هاتف دولية ، حيث x هو عدد الدقائق التي تقضيها في التحدث. & # xa0 Phone Company B تتقاضى 60 + 2x دولارًا لخطة هاتف دولية ، حيث x هي عدد دقائق الحديث & # xa0 ما هو السعر الذي تتقاضاه الشركتان بنفس المبلغ؟

      (2) & # xa0 William و Xing Mei و Yuki و Zack يجرون سباقًا. & # xa0 كم عدد الطرق المختلفة التي يمكنهم الانتهاء منها؟

      (3) & # xa0 ما مجموعة حل -1 ≤ -2f + 1 ≤ 9؟

      (4) & # xa0 في مخطط مدرسة 1/4 بوصة تمثل 24 قدمًا. & # xa0 إذا كان طول الكافتيريا 60 قدمًا ، فما هو طولها بالبوصة على الطباعة الزرقاء & # xa0؟

      (5) & # xa0 في الشكل الموضح أدناه ، تكون الدائرتان مماسًا عند النقطة R. & # xa0 طول PR = 8. & # xa0 مساحة الدائرة ذات المركز Q أكبر بأربع مرات من مساحة الدائرة ذات المركز S. ما هو طول QS؟

      (6) متوسط ​​درجات ليني بعد 3 اختبارات هو 88. ما الدرجة في الاختبار الرابع التي ستجعل متوسط ​​ليني يصل إلى 90 بالضبط؟

      (7) & # xa0 داريوس ركض 1/6 عدة مرات حول المسار مثل حزقيال. & # xa0 داريوس ركض حول المسار 2⅔ مرات. & # xa0 كم مرة ركض حزقيال حول المسار؟

      (8) & # xa0 للعشر أضلاع 10 و 10 زوايا. & # xa0 ما هو متوسط ​​عدد الدرجات في كل زاوية داخلية في عشري الأضلاع؟

      (9) & # xa0 يوضح الجدول أدناه العلاقة بين قيم x و y.

      في المعادلات أعلاه ، y & lt 0. ما قيمة x؟

      (11) احتمال انتقاء قطعة شوكولاتة داكنة من وعاء حلوى هو 5/6. أي مما يلي & # xa0 لا يمكن أن يكون عدد قطع الحلوى في الوعاء؟

      (12) & # xa0 يتم لصق هرمين معًا من القاعدة إلى القاعدة. & # xa0 مساحة كل قاعدة 25 بوصة وارتفاع أحد الأهرامات 3 بوصات والآخر & # xa0 الهرم ضعف ارتفاعه. ما هو الحجم الكلي للرقم المجمع؟

      (13) & # xa0 إذا كانت a = 2b 3 / c ، فماذا يحدث لقيمة a عندما يتضاعف كل من b و c؟

      (A) & # xa0 a لم يتغير & # xa0 (B) & # xa0 a منقسم إلى النصف & # xa0

      (C) & # xa0 a تضاعف & # xa0 (D) & # xa0 a تضاعف ثلاث مرات

      (14) & # xa0 في استطلاع صفي ، اختار 24 طالبًا البيتزا كطعامهم المفضل ، واختار 15 طالبًا الهامبرغر ، ولم يختار طالب واحد أيًا منهما. & # xa0 ما هو جزء الطلاب الذين شملهم الاستطلاع اختار البيتزا؟

      (15) & # xa0 ما هي قيمة 16 + 9 - (√16 + √9)؟

      & # xa0 في الشكل أعلاه ، المثلث PQR متساوي الأضلاع ، S يقع في منتصف نقطة العلاقات العامة ، و T يقع في منتصف QR. & # xa0 ما هي درجة قياس الزاوية PST؟

      & # xa0 يوضح الرسم البياني أعلاه توزيع نفقات معيشة Pete البالغة 1،200 دولار. & # xa0 Pete لديه زميلان في الغرفة ويقسم تكلفة الإيجار معهم بالتساوي ، وبالتالي فإن المبلغ الذي يدفعه للإيجار هو جزء فقط من إجمالي الإيجار للشقة في الذي يسكنه & # xa0 ما هو اجمالي ايجار شقة بيت؟

      (18) & # xa0 ظهرًا ، بدأ برادلي في زيادة سرعة سيارته بثبات بمقدار ميلين في الساعة كل دقيقة. & # xa0 في الساعة 12:15 مساءً ، أدرك أنه كان يسير 15 ميلاً في الساعة فوق الحد الأقصى للسرعة. & # xa0 إذا كانت سرعته عند الظهر 40 ميلاً في الساعة ، فما هو الحد الأقصى للسرعة. & # xa0 إذا كانت سرعته عند الظهر 40 ميلاً في الساعة ، فما هي السرعة القصوى عند الساعة 12:15 مساءً؟

      إذا تمت إزالة الأقواس & # xa0 من التعبير أعلاه ، فما هو التغيير في قيمة التعبير؟

      (A) & # xa0 لن يكون هناك تغيير في القيمة

      (B) & # xa0 بانخفاض قدره 4 & # xa0 (C) بانخفاض قدره 10

      (D) & # xa0 انخفاض قدره 18 & # xa0 (E) & # xa0 بانخفاض قدره 186

      & # xa0 النقطة C (غير موضحة) تقع في منتصف النقطة AB. & # xa0 ما هو إحداثي y للنقطة c؟

      أوراق اختبار الممارسة

      بصرف النظر عن الأشياء المذكورة أعلاه ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا.

      إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

      نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

      يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


      9th GRADE SHSAT PRACTICE TEST

      (1) & # xa0 كم عدد مضاعفات 3 بين 1 و 22 زوجي؟

      في المثلث & # xa0ABC، AB = AC & # xa0 وقياس الزاوية & # xa0C & # xa0is 70 °. & # xa0 ما هو & # xa0 قياس الزاوية & # xa0A بالدرجات؟

      (5) & # xa0 الساعة 9 صباحًا. كانت 12 درجة تحت الصفر. & # xa0 بحلول الظهيرة انخفضت درجة الحرارة 7 درجات. & # xa0 خلال الساعتين التاليتين ، ارتفعت درجة الحرارة & # xa0 5 درجات. & # xa0 ما كانت درجة الحرارة عند 2 مساءً؟

      (D) & # xa0 24 ° تحت الصفر & # xa0 (E) & # xa0 لا شيء من هؤلاء

      (6) يبلغ عمر بوب الآن 3 أضعاف عمر توم. & # xa0 بعد اثني عشر عامًا من الآن ، سيبلغ توم 15 عامًا. & # xa0 كم يبلغ عمر بوب الآن؟

      في المستطيل ABCD ، النقطة E على الجانب AB & # xa0 ما هو قياس الزاوية DEC؟

      (8) إذا كان 1 & lt 4n & lt 50 ، و n عددًا صحيحًا موجبًا ، فما أكبر قيمة ممكنة لـ n؟

      (9) أي مما يلي يساوي (8x-8) / 2؟

      (10) & # xa0 إذا كان 7x - 14 = 14-7x ، فإن x =

      (11) & # xa0 إذا كانت قضبان الجرانولا N تكلف 3 دولارات ، فإن تكلفة 3 ألواح جرانولا تكون

      (12) & # xa0 & # xa0 في فصل السيد رومانو ، نسبة عدد الفتيات إلى عدد الأولاد هي 3: 2. & # xa0 يتم اختيار الطالب عشوائيًا من الفصل. & # xa0 الاحتمال أن الطالب المختار هو فتى

      (13) & # xa0 يتم وضع كل من الأعداد الصحيحة من -3 إلى 5 ضمناً في الرسم التخطيطي ، مع إدخال رقم واحد في كل مربع. & # xa0 إذا كان مجموع الأرقام في كل صف هو نفسه ، فما هذا المجموع ؟

      (15) & # xa0 إذا كانت x تعني (x + 3) / x فإن قيمة (3) (6) هي

      (16) ما هو المضاعف المشترك الأصغر لكل من P و Q إذا

      ف = 3·3·11·11·13 و Q = & # xa0 3·5·11·11·11?

      (أ) & # xa0 & # xa03·11 & # xa0 (ب) 3·5·11·13 & # xa0 (C) & # xa0 3·11·11 & # xa0

      (د) & # xa0 3·3·11·11·11 & # xa0 (E) & # xa0 3·3·5·11·11·11·13

      (17) & # xa0 ما هو محيط الشكل ABCDEF؟ & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0

      (18) & # xa0 قيمة 808080/80 هي

      (19) & # xa0 من 7:00 مساءً. حتى 8:00 مساءً ، أكمل جوزيه ثلث هذا الواجب المنزلي & # xa0 من 8:00 مساءً. حتى 9:00 مساءً ، أكمل 1/4 & # xa0 من الجزء المتبقي من واجبه المنزلي. & # xa0 ما هو الجزء المتبقي من واجباته المنزلية بعد الساعة 9:00 مساءً؟

      (20) & # xa0 أي مما يلي يمثل عبارة "5 أقل من 8 مرات n"؟


      أسئلة على غرار الامتحان في علم المثلثات

      يُظهر الرسم التخطيطي (غير مرسوم بمقياس) مثلث قائم الزاوية.

      احسب طول الضلع BC لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.

      ABC مثلث قائم الزاوية كما هو موضح في الرسم البياني أدناه. احسب طول AB لتقريب إجابتك لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.

      يرى المشتغل في الأشجار الجزء العلوي من الشجرة باستخدام مقياس الميل ويقرأ زاوية الارتفاع لتكون 29 درجة. يقع مقياس الميل الخاص بها على بعد 28 مترًا من قاعدة الشجرة وهو مثبت على حامل ثلاثي القوائم مما يجعله 1.5 متر فوق مستوى سطح الأرض.

      لم يتم رسم هذا الرسم البياني على نطاق واسع.

      احسب الارتفاع الكامل للشجرة.

      يُظهر الشكل شبه منحرف حيث يكون الضلعان AC و BD متوازيين.

      احسب طول الضلع CD

      المثلث ABC له زاوية قائمة عند C.

      احسب طول BC لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.

      نيونغ في مطار سوفارنابومي في بانكوك يشاهد إقلاع الطائرات. لقد لاحظ مستويًا بزاوية ارتفاع 25 o من حيث يقف عند النقطة N. المستوى على ارتفاع 390 مترًا كما يتضح من الرسم البياني التالي (وليس مقياسًا).

      (أ) احسب المسافة الأفقية NH للمستوى من Neung. قرِّب إجابتك لأقرب متر.

      أقلعت الطائرة من النقطة T ، والتي تبعد 230 مترًا عن مكان وقوف نيونغ ، كما هو موضح في الرسم البياني التالي (ليس مقياسًا).

      (ب) احسب الزاوية ATH ، زاوية إقلاع الطائرة إلى أقرب درجة.

      أوجد القيمة الدقيقة لـ tan45 ° × sin30 ° × cos30 °

      اكتب إجابتك في أبسط صورة.

      انظر إلى المثلث ABC حيث AB = 17 سم ، AC = 14 سم والزاوية BAC = 118 o. أوجد طول BC.

      الزاوية المحددة (x ) في الرسم البياني أدناه منفرجة. العثور على قيمة x)

      يتكون سباق Tamarack Triathlon من السباحة وركوب الدراجات والجري. يسبح المتسابقون من A إلى B ، ثم يتنقلون من B إلى C ثم يركضون أخيرًا من C إلى A.

      يستغرق والتر 10 دقائق و 20 ثانية للدورة من B إلى C بسرعة 29 كم / ساعة -1.

      (أ) أوجد المسافة من B إلى C بالكيلومترات.

      المسافة من C إلى A تساوي 4 كيلومترات. يستغرق تشغيل هذا الجزء من الدورة والتر 25 دقيقة.

      (ب) احسب السرعة ، بالكيلومترات في الساعة ، التي يمر بها والتر من C إلى A.

      (ج) احسب المسافة بالكيلومترات من أ إلى ب.

      (د) احسب المسافة الكلية ، بالكيلومترات ، لدورة الترياتلون.

      (هـ) أوجد حجم الزاوية ABC.

      (و) احسب مساحة الدورة الثلاثية المحددة بالخطوط AB و BC و CA.

      (أ) اكتب القيمة الدقيقة لـ ( tan 60 ^ o ).

      (ب) أوجد المساحة الدقيقة لهذا المثلث.

      المستطيل ABCD هو القاعدة الأفقية لمنشور شبه منحرف ABCDEFGH.

      EF موازية لـ AB. BC = 20 سم ، DC = 150 مم ، GC = 74 مم ، HG = 86 مم ، AE = BF.

      (أ) أوجد حجم الزاوية ABF.

      (ب) أظهر أن FD = 242 مم صحيحة لثلاثة أرقام معنوية.

      يتكون المنشور الثلاثي من مثلثين قائم الزاوية وثلاث قطع مستطيلة من الورق المقوى. تم تسمية خمسة من القمم (A ، B ، C ، D text E ) كما هو موضح في الصورة أدناه.

      $ AB = 17 سم ، quad BC = 24 سم ، quad DC = 28cm $

      تخيل نقطة (F ) على السطر (DC ) ​​بحيث:

      احسب حجم الزاوية بين (AF ) وقاعدة المنشور.

      مساحة المثلث ABC (غير مرسومة بالمقياس) هي

      إذا كان AB = (x + 2 ) مترًا و AC = (2x + 1 ) مترًا ، فأوجد قيمة (x ) لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.

      يوضح الرسم التخطيطي متوازي الأضلاع ABCD حيث AD = (x ) سم ، DE = 12 سم والزاوية ABC = 30 درجة

      أثبت أن & alpha ، حجم الزاوية CDE ، هو الخطيئة -1 ( left ( frac <24> حق) )

      في المثلث ABC ، ​​AB = 7 سم ، AC = 9 سم. مساحة المثلث 20 سم 2.

      (أ) أوجد القيمتين المحتملتين للزاوية A.

      (ب) إذا كان A منفرجة ، فأوجد طول الضلع BC.

      ABC عبارة عن موقف سيارات مثلث الشكل على أرض أفقية. طول AB يساوي 90 م وطول AC 65 ​​م. حجم الزاوية BCA 68 o.

      (أ) أوجد حجم الزاوية ABC.

      (ب) أوجد مساحة موقف السيارات المثلث.

      عمود علم عمودي ، FB ، منتصب في زاوية واحدة من موقف السيارات وقاعدته في B.

      زاوية ارتفاع F عن M تساوي 55.3 درجة. H هي نقطة المنتصف لعمود العلم.

      (د) احسب زاوية ارتفاع H من M.

      يُظهر الرسم البياني (وليس القياس) شكل رباعي مكون من عدد من المثلثات.

      مساحة المثلث ABD هي 333 سم 2 و AD = 21 سم و AB = 33 سم.

      (أ) احسب حجم الزاوية الحادة DAB.

      (ب) نقطة المنتصف AD هي F. استخدم قاعدة جيب التمام لحساب طول BF.

      (ج) احسب طول القرص المضغوط.

      (د) ( sin x = cos 38 ^ o، 0 ^ o le x le 180 ^ o ) ، أوجد قيمتي (x ).

      احسب طول الضلع المحدد (س ).

      في الرسم التخطيطي للمثلث ABC (ليس مقياسًا) D هي نقطة على BC.

      AB = 15.4 سم ، BD = 8.1 سم ، الزاوية CAD = 23 o والزاوية ABD = 32 o.

      احسب مساحة المثلث ADC.

      يُظهر الرسم التخطيطي ، غير المرسوم بمقياس ، شكل رباعي ABCD.

      AB = 7.5 سم ، BC = 3.6 سم ، الزاوية DAB = 98 o ، الزاوية DBA = 49 o ، الزاوية DBC = 80 o

      (ج) مساحة المثلث ABD

      في المثلث ABC ، ​​طول AB = 5 سم ، AC = 13 سم و ( cos B hat AC = frac18 ).

      (أ) أوجد قيمة ( sin B hat AC )

      (ب) أوجد مساحة المثلث ABC.

      في الرسم البياني أعلاه (غير مرسوم بمقياس) ، AB = 12 مم ، BC = 8 مم والزاوية ABC = 123 o

      (أ) أوجد طول الضلع AC.

      الرسم البياني يوضح الشكل الرباعي ABCD. الأطوال معطاة بالسنتيمتر.

      (أ) استخدم قاعدة جيب التمام لإظهار أن (AC = sqrt <130-126cosd> ).

      (ب) استخدم قاعدة الجيب في المثلث ABC لإيجاد طريقة أخرى لكتابة AC.

      (ج) (i) أوجد قيمة (d ) ، بافتراض أنها زاوية منفرجة ، مما يجعل إجابتك أقرب درجة لاثنين.

      (د) (ط) أوجد (ب ) إلى ثلاثة أرقام معنوية.

      (2) من هنا ، أو خلاف ذلك ، أوجد مساحة المثلث ACD.

      تمتلك كريستين قطعة أرض ذات أربعة جوانب موضحة في الرسم البياني أدناه باسم ABCD. طول BC 180 م وطول القرص المضغوط 70 م وطول AD 90 م وحجم الزاوية BCD 82 درجة وحجم الزاوية BAD 102 درجة. الرسم البياني ليس مقياس

      قررت كريستين بيع الجزء الثلاثي من الأرض ABD. قامت أولاً ببناء سياج مستقيم من B إلى D.

      (أ) احسب طول السياج.

      تكلفة بناء السور 19 دولارًا أمريكيًا لكل متر

      (ب) احسب تكلفة بناء السياج. اكتب إجابتك الصحيحة لأقرب دولار أمريكي.

      (ج) وضح أن حجم الزاوية ABD هو 28.6 درجة ، مقربًا إلى ثلاثة أرقام معنوية.

      (د) احسب مساحة المثلث ABD.

      تبيع الأرض مقابل 110 دولارات أمريكية للمتر المربع.

      (هـ) احسب قيمة الأرض التي تبيعها كريستين. اكتب إجابتك الصحيحة لأقرب دولار أمريكي.

      تستثمر كريستين 200000 دولار أمريكي من بيع الأرض في بنك يدفع فائدة مركبة سنويًا.

      (و) أوجد سعر الفائدة الذي يدفعه البنك حتى تتضاعف قيمة الاستثمار خلال 12 عامًا.

      يحدد المنشئ ثلاث نقاط A و B و C على الأرض بحيث يكون AB = 11m و AC = 15m والزاوية BAC = 124 o.

      (أ) احسب طول BC.

      ثم يحدد النقطة الرابعة ، D ، على الأرض على مسافة 12 مترًا من B ، بحيث تكون الزاوية BDC 53 o.

      (ب) أوجد حجم الزاوية DBC.

      (ج) أوجد مساحة الشكل الرباعي ABDC.

      يقوم المنشئ بحفر وإزالة التربة تحت الرباعي ABDC حتى عمق 90 سم لتأسيس المنزل.

      (د) ابحث عن حجم التربة التي تمت إزالتها. اكتب إجابتك بوحدة م 3

      لنقل التربة المزالة ، يستخدم المنشئ براميل أسطوانية بقطر 46 سم وارتفاع 70 سم.

      (هـ) أوجد حجم الأسطوانة. اكتب إجابتك بوحدة م 3.

      (و) أوجد الحد الأدنى من عدد البراميل المطلوبة لنقل التربة التي تمت إزالتها.

      ميليسا لديها كاميرا ويب في الجزء العلوي من شاشة جهاز الكمبيوتر الخاص بها. لقد تم ضبط مستوى التكبير / التصغير بحيث يتم تأطير رأسها بشكل جيد في الصورة التي تم إنتاجها. يوضح الرسم التخطيطي الإعداد.

      توجد كاميرا الويب في النقطة C مباشرة فوق النقطة D على الأرض. تظهر المنطقة التي تغطيها الكاميرا بالمنطقة المظللة المحاطة بالمثلث ABC. المسافة من A إلى C تساوي 4 أمتار والمسافة من A إلى B تساوي 1.3 متر. الزاوية ACB هي 16 درجة.

      يبلغ طول شقيق ميليسا الأصغر 95 سم. يدخل إلى الغرفة من الباب في الطرف المقابل للغرفة من كمبيوتر ميليسا. عندما يصل إلى النقطة A تظهر قدميه لأول مرة في الفيديو الذي يتم تسجيله بواسطة كاميرا الويب. يستمر في المشي حتى يتم إطلاق النار من أعلى رأسه وعند هذه النقطة يتوقف.

      (ب) كم يبعد شقيق ميليسا عن النقطة أ؟

      تأخذ دورة اختبار الطيران بدون طيار شكل مثلث ، ABC ، ​​AB = 400m ، BC = 600m ، والزاوية ABC = 44 o. تبدأ الدورة وتنتهي عند النقطة أ.

      (أ) احسب الطول الإجمالي للدورة لأقرب متر.

      تشير التقديرات إلى أن الطائرة بدون طيار يمكنها السفر بمتوسط ​​سرعة 4.5 مللي ثانية -1.

      (ب) احسب تقديرًا للوقت المستغرق للطيران حول الدورة التدريبية. أعط إجابتك لأقرب دقيقة.

      (ج) أوجد حجم الزاوية ACB.

      للامتثال لقواعد السلامة ، يجب إبقاء المنطقة داخل الملعب الثلاثي خالية من الأشخاص ، ويجب أن تكون أقصر مسافة من B إلى AC أكبر من 275 مترًا.

      (د) احسب المنطقة التي يجب أن تبقى خالية من الناس.

      (هـ) تحديد ما إذا كانت الدورة التدريبية تتوافق مع أنظمة السلامة ، مع إبداء الأسباب.

      يُنظر إلى المسار من برج يرتفع عموديًا من النقطة A. أعلى البرج هو النقطة T. زاوية ارتفاع T من B تساوي 8 o.

      (و) احسب الارتفاع الرأسي ، AT ، للبرج.

      يوضح الرسم دائرة نصف قطرها 8.6 سم مع النقاط ABCD على محيط الدائرة.

      (أ) أوجد طول الخط AC.

      (ج) استخدم إجابتك للجزء ب لإيجاد الزاوية ACB.

      (د) أوجد مساحة المثلث ADC.

      (هـ) أوجد المساحة الإجمالية للمناطق المظللة.

      جيب تمام الزاوية الحادة ( alpha ) هو ( frac <1> < sqrt 5> )

      الزاوية ( beta ) منفرجة و ( sin beta = sqrt frac <2> <3> ).

      (أ) ابحث عن القيم الدقيقة لـ ( tan alpha ) و ( tan beta ).

      (ب) وضح بالتالي أن ( tan ( alpha - beta) ) يمكن كتابته كـ (a + b sqrt 2 ) حيث (a ) و (b ) أرقام منطقية

      تبحر إيما في زورق صغير من النقطة أ في خط مستقيم إلى عوامة عند النقطة ب. إنها تتحرك بمتوسط ​​سرعة 19 كم / ساعة ، لمدة 6 دقائق ، على اتجاه 125 درجة.

      (أ) أوجد المسافة من النقطة أ إلى النقطة ب

      (ب) عندما تصل Emma إلى النقطة B ، فإنها تغير اتجاهها وتبحر إلى النقطة C على اتجاه 230 درجة و 1 كم. أوجد الزاوية ABC

      (ج) أوجد المسافة من النقطة أ إلى النقطة ج.

      (هـ) يريد صديق إيما إيمون أن يسبح مباشرةً من النقطة أ إلى النقطة ج. ابحث عن الاتجاه الذي يجب أن يتخذه إيمون للنقطة ج.

      (و) يسبح إيمون بمتوسط ​​سرعة 3.2 كم / ساعة. ابحث ، إلى أقرب دقيقة ، عن الوقت الذي يستغرقه إيمون للوصول إلى النقطة C.

      أظهر الرسم البياني الأصل O (0،0) ونقطة ثابتة A (10،2). تتحرك النقطة P على طول الخط الأفقي (ص = 8 ).

      (ب) اكتب تعبيرًا مشابهًا لـ (OP ) بدلالة (س )

      دع هذا التعبير لجيب تمام (O hat

      أ ) يمكن تعريفها على أنها دالة (و ).

      (د) أوجد حجم الزاوية (O hat

      أ ) بالدرجات عندما (س = 5 ).

      (هـ) أوجد قيمتين موجبتين لـ (س ) بحيث يكون (س قبعة

      أ = 60 ^ س ).

      (و) ضع في اعتبارك المعادلة (f (x) = 1 ). اشرح ، من حيث مواضع النقاط O و A و P ، سبب وجود حل لهذه المعادلة.

      (ز) أوجد الحل الدقيق لـ (f (x) = 1 ).

      إذا كنت تريد مساحة على يمين السؤال لكتابة الحل ، فجرّب ميزة التخفيف هذه. سيؤدي ذلك إلى طي النص إلى النصف الأيسر من شاشتك ، لكن الرسوم التخطيطية الكبيرة ستبقى بدون تغيير.

      تستند أسئلة نمط الاختبار التي تظهر على هذا الموقع إلى تلك المحددة في الاختبارات السابقة (أو أوراق التقييم النموذجية للامتحانات المستقبلية) من قبل مجالس الامتحانات الرئيسية. تم تغيير الصياغة والمخططات والأرقام المستخدمة في هذه الأسئلة من الأصول الأصلية بحيث يمكن للطلاب الحصول على ممارسة جديدة وذات صلة لحل المشكلات حتى لو سبق لهم العمل من خلال ورقة الامتحان ذات الصلة.

      حلول الأسئلة على هذا الموقع متاحة فقط لأولئك الذين لديهم اشتراك Transum.

      للبحث في موقع Transum بأكمله استخدم مربع البحث في المنطقة الرمادية أدناه.


      قهر علم المثلثات ACT

      علم المثلثات هو بعض من أصعب الرياضيات في ACT (لم يتم اختباره على الإطلاق في SAT) ولكن لحسن الحظ يتطلب حساب المثلثات ACT استخدام عدد قليل من الصيغ الخاصة جدًا! قد تكون بعض هذه الأشياء قد شاهدتها من قبل بينما قد يكون بعضها جديدًا تمامًا ، ولكن ستحتاج إلى حفظها جميعًا للاستعداد بشكل مناسب للاختبار.
      الجيب = المقابل / الوتر
      جيب التمام = المجاور / الوتر
      الظل = المقابل / المجاور
      هذه هي الهويات الثلاثية الأساسية. في اللغة الإنجليزية البسيطة ، تعني أنه إذا كنت تبحث عن "جيب الزاوية" لزاوية معينة على سبيل المثال ، فستقسم طول الضلع المقابل لتلك الزاوية على طول وتر المثلث. من المهم أن تتذكر أن الجانبين "المقابل" و "المجاور" يتغيران بناءً على الزاوية التي تستخدمها ، لذلك فكر دائمًا في الأمر من وجهة نظر الزاوية. أسهل طريقة لتذكر هذه الهويات الأساسية هي الاختصار SOHCAHTOA.
      ستواجه بالتأكيد أسئلة تتطلب منك استخدام SOHCAHTOA ، وقد تواجه أسئلة تسأل عن هويات المثلثات المتبادلة. كل من الهويات المثلثية الأساسية الثلاثة لها هوية مثلثية متبادلة مقابلة:
      قاطع التمام = وتر المثلث / المقابل
      القاطع = الوتر / المجاور
      ظل التمام = المجاور / المقابل
      لاحظ كيف أن جيب التمام وقاطع التمام متماثلان باستثناء البسط والمقام مقلوبًا. هذا ما نعنيه بالمعاملة بالمثل. من السهل أن نتذكر أن "الظل" و "التمام" هما أمران متبادلان لأنهما متشابهان كثيرًا ، ولكن ماذا عن الاثنين الآخرين؟ ذات مرة كان لدي مدرس رياضيات استخدم ، "شارك لا تذهب " كجهاز ذاكري لمساعدة صفي بالمدرسة الثانوية على التذكر. ما كان يقصده هو أن عقلك قد يعتقد أن "جيب التمام" و "قاطع التمام" هما أمران متبادلان لأن كلاهما يبدأ بالبادئة "co-" ولكن هذا ليس صحيحًا. يذهب "جيب" مع "قاطع التمام" و "جيب التمام" مع "قاطع التمام".
      أخيرًا ، هناك نوعان من المعادلات المثلثية التي تظهر من وقت لآخر في أسئلة ACT:
      الخطيئة 2 θ + كوس 2 θ = 1



      يشار إلى المعادلة الثانية باسم قانون الجيب (أين أ ، ب، و ج هي أضلاع المثلث و أ ، ب ، ج هي الزوايا المتقابلة).
      دعونا نجرب بعض مشاكل التدريب!
      للمثلث القائم س ص ع، ما هو جيب التمام X?

      أ. x/ذ
      ب. ض/ذ
      ج. x/ض
      د. ذ/x
      E. ذ/ض
      نتذكر من SOHCAHTOA أن جيب التمام = المجاور / وتر المثلث. من وجهة نظر الزاوية X ، فإن y هو الضلع المجاور و z هو الوتر. لذلك يجب أن تكون الإجابة E.
      إذا كان cos theta = 4 /5 و 3 π /2 & lt ثيتا & lt 2π ، إذن الخطيئة ثيتا =؟
      أ & # 8211 3 /4
      ب & # 8211 3 /5
      ج 3 /5
      د 4 /5
      ه 5 /4

      لدينا طريقتان لحل هذا السؤال: رسم المثلث وتسميته ، أو استخدام الصيغة الخطيئة 2 θ + كوس 2 θ = 1. لكليهما ، علينا أولاً مراجعة فهمنا للراديان.


      شاهد الفيديو: معسكر منهج الديناميكا كاملا+ ملزمه في الوصف تحت (ديسمبر 2021).