مقالات

7.4: نمذجة تغيير السعة والخط الوسط - الرياضيات


القسم 7.4 النمذجة تغيير السعة والخط الوسط

في حين أن الوظائف الجيبية يمكن أن تمثل مجموعة متنوعة من السلوكيات ، فمن الضروري في كثير من الأحيان الجمع بين الوظائف الجيبية مع المنحنيات الخطية والأسية لنمذجة التطبيقات والسلوكيات الحقيقية. تذكر أن خط الوسط يصف القيمة المتوسطة أو المتوسطة للدالة الجيبية.

تغيير خطوط الوسط

مثال ( PageIndex {1} )

يبلغ متوسط ​​عدد الأيائل حاليًا 2000 إلك ، وهذا المتوسط ​​ينمو بنسبة 4٪ كل عام. بسبب التقلبات الموسمية ، يتأرجح عدد السكان من 50 دون المتوسط ​​في الشتاء إلى 50 فوق المتوسط ​​في الصيف. ابحث عن دالة تحدد عدد الأيائل بعد (t ) سنوات ، بدءًا من الشتاء.

المحلول

هناك مكونان لسلوك الأيائل: المتوسط ​​المتغير والتذبذب. المتوسط ​​هو نمو أسي ، يبدأ من عام 2000 وينمو بنسبة 4٪ كل عام. كتابة صيغة لهذا:

[المتوسط ​​= الأولي (1 + r) ^ {t} = 2000 (1 + 0.04) ^ {t} nonumber ]

بالنسبة للتذبذب ، نظرًا لأن السكان يتأرجحون بمقدار 50 أعلى وأدنى من المتوسط ​​، فإن السعة ستكون 50. نظرًا لأن دورة السكان تستغرق عامًا واحدًا ، فإن الفترة هي 1. نجد قيمة معامل التمدد الأفقي [B = frac { text {original period}} { text {new period}} = frac {2 pi} {1} = 2 pi nonumber ]

تبدأ الوظيفة في الشتاء ، لذلك سيكون شكل الدالة هو جيب التمام السالب ، حيث يبدأ من أدنى قيمة.

بتجميعها معًا ، ستكون المعادلة:

[P (t) = - 50 cos (2 pi { kern 1pt} t) + خط الوسط nonumber ]

نظرًا لأن خط الوسط يمثل متوسط ​​عدد السكان ، فإننا نستبدل بالدالة الأسية في معادلة السكان لإيجاد المعادلة النهائية:

[P (t) = - 50 cos (2 pi { kern 1pt} t) +2000 (1 + 0.04) ^ {t} nonumber ]

هذا مثال على تغيير خط الوسط - في هذه الحالة ، خط الوسط المتغير بشكل كبير.

تغيير خط الوسط

ستتأرجح دالة من النموذج (f (t) = A sin (Bt) + g (t) ) أعلى وأدنى من المتوسط ​​الذي توفره الوظيفة (g (t) ).

تغيير خط الوسط

يمكن أن يكون تغيير خطوط الوسط أسيًا أو خطيًا أو أي نوع آخر من الوظائف. وهنا بعض الأمثلة:

مثال ( PageIndex {2} )

ابحث عن دالة بخط الوسط الخطي بالشكل (f (t) = A sin left ( dfrac { pi} {2} t right) + mt + b ) والتي ستمر من خلال النقاط الواردة أدناه.

(ر )0123
(و (ر) )51098

نظرًا لأننا حصلنا على قيمة معامل الضغط الأفقي ، يمكننا حساب فترة هذه الوظيفة: new period = ( dfrac { text {original period}} {B} ) = ( dfrac {2 pi} { pi / 2} ) = 4.

المحلول

نظرًا لأن دالة الجيب في خط الوسط في بداية الدورة وفي منتصف الطريق خلال الدورة ، فإننا نتوقع أن تكون هذه الوظيفة في خط الوسط عند t = 0 و t = 2 ، نظرًا لأن 2 تمثل نصف الفترة الكاملة لـ 4. استنادًا إلى في هذا الصدد ، نتوقع أن تكون النقاط (0 ، 5) و (2 ، 9) نقاطًا على خط الوسط. يمكننا أن نرى بوضوح أن هذه ليست دالة ثابتة ولذلك نستخدم النقطتين لحساب دالة خطية: (خط الوسط = mt + b ). من هاتين النقطتين يمكننا حساب الميل:

[m = dfrac {9-5} {2-0} = dfrac {4} {2} = 2 nonumber ]

بدمج هذا مع القيمة الأولية 5 ، لدينا خط الوسط: (خط الوسط = 2t + 5 ).

سيكون للوظيفة الكاملة شكل (f (t) = A sin left ( dfrac { pi} {2} t right) + 2t + 5 ). لإيجاد السعة ، يمكننا التعويض بنقطة لم نستخدمها بالفعل ، مثل (1 ، 10).

[10 = A sin left ( dfrac { pi} {2} (1) right) +2 (1) +5 nonumber ] قم بتقييم الجيب واجمع العبارات المتشابهة
[10 = أ + 7 بلا رقم ]
[A = 3 بلا رقم ]

ستكون وظيفة النموذج المعطى المناسب للبيانات

[f (t) = 3 sin left ( dfrac { pi} {2} t right) + 2t + 5 nonumber ]

لاحظ أنه كان بإمكاننا اتباع نهج بديل عن طريق التعويض بالنقطتين (0 ، 5) و (2 ، 9) في المعادلة الأصلية. استبدال (0 ، 5) ،

[5 = A sin left ( dfrac { pi} {2} (0) right) + m (0) + b nonumber ] قيم الجيب وبسّط
[5 = ب بلا رقم ]

استبدال (2 ، 9)

[9 = A sin left ( dfrac { pi} {2} (2) right) + m (2) +5 nonumber ] قيم الجيب وبسّط
[9 = 2 م + 5 عدد غير رقم ]
[4 = 2 م بلا رقم ]
[m = 2 nonumber ] كما وجدنا أعلاه. الآن يمكننا المضي قدمًا في العثور على (A ) بالطريقة نفسها التي فعلناها من قبل.

مثال ( PageIndex {3} )

يبلغ متوسط ​​عدد السياح الذين يزورون منتجع التزلج والمشي لمسافات طويلة 4000 شخص سنويًا ويتأرجح موسمياً ، 1000 أعلى وأقل من المتوسط. بسبب حملة تسويقية ، زاد متوسط ​​عدد السائحين بمقدار 200 كل عام. اكتب معادلة لعدد السياح بعد (ر ) سنوات ، ابتداء من موسم الذروة.

المحلول

مرة أخرى ، هناك مكونان لهذه المشكلة: التذبذب والمتوسط. بالنسبة للتذبذب ، يتأرجح عدد السائحين بمقدار 1000 سائح أعلى وأدنى من المتوسط ​​، مما يعطي سعة قدرها 1000. نظرًا لأن التذبذب موسمي ، فإن مدته سنة واحدة. نظرًا لأننا حصلنا على نقطة بداية "موسم الذروة" ، فإننا سنمثلة هذا السيناريو باستخدام دالة جيب التمام.

حتى الآن ، يعطي هذا معادلة بالصيغة (N (t) = 1000 cos (2 pi { kern 1pt} t) + midline ).

يبلغ المتوسط ​​حاليًا 4000 ، ويزداد بمقدار 200 كل عام. هذا معدل تغير ثابت ، لذلك هذا نمو خطي ، (المتوسط ​​= 4000 + 200 طن ). هذه الوظيفة ستكون بمثابة خط الوسط.

الجمع بين هاتين القطعتين يعطي دالة لعدد السياح:

[N (t) = 1000 cos (2 pi { kern 1pt} t) + 4000 + 200t nonumber ]

تمرين ( PageIndex {1} )

بالنظر إلى الوظيفة (g (x) = (x ^ {2} -1) +8 cos (x) ) ، صف خط الوسط والسعة باستخدام الكلمات.

إجابه

يتبع خط الوسط مسار التربيعي (x ^ {2} -1 ) والسعة هي قيمة ثابتة 8.

تغيير السعة

هناك أيضًا حالات لا يظل فيها اتساع الدالة الجيبية ثابتًا. بالعودة إلى الفصل السادس ، قمنا بنمذجة حركة زنبرك باستخدام وظيفة جيبية ، لكن كان علينا تجاهل الاحتكاك في القيام بذلك. إذا كان هناك احتكاك في النظام ، فإننا نتوقع أن ينخفض ​​اتساع التذبذب بمرور الوقت. في المعادلة (f (t) = A sin (Bt) + k ) ، (A ) يعطي سعة التذبذب ، يمكننا السماح بتغيير السعة عن طريق استبدال هذا الثابت (A ) دالة (A (t) ).

تغيير الطموح

ستتأرجح دالة من النموذج (f (t) = A (t) sin (Bt) + k ) أعلى وأسفل خط الوسط مع السعة المعطاة بواسطة (A (t) ).

وهنا بعض الأمثلة:

عند التفكير في زنبرك يتناقص اتساعه بمرور الوقت ، فمن المغري استخدام أبسط أداة للوظيفة - خطوظيفة الأذن. ولكن إذا حاولنا نمذجة السعة بوظيفة خطية متناقصة ، مثل (A (t) = 10-t ) ، فإننا نرى المشكلة بسرعة عندما نرسم المعادلة (f (t) = (10-t) ) الخطيئة (4t) ).

في حين أن السعة تتناقص في البداية على النحو المنشود ، فإن السعة تصل إلى الصفر عند (t = 10 ) ، ثم تستمر بعد التقاطع ، وتزداد في القيمة المطلقة ، وهذا ليس السلوك المتوقع. قد يمثل هذا السلوك والوظيفة نموذجًا للموقف في مجال مقيد وقد نحاول أن نصلح الباقي إلى انهيار النموذج ، ولكن في الواقع لا تتصرف الينابيع على هذا النحو.

إن النموذج الأفضل ، كما ستتعلم لاحقًا في الفيزياء وحساب التفاضل والتكامل ، سيُظهر تناقص السعة بمقدار ثابت النسبة المئوية كل ثانية ، مما يؤدي إلى نموذج اضمحلال أسي للسعة.

حركة متناسقة مخففة

الحركة التوافقية المخففة، التي تظهر بواسطة نوابض خاضعة للاحتكاك ، تتبع نموذجًا للشكل

[f (t) = ab ^ {t} sin (Bt) + k text {or} f (t) = ae ^ {rt} sin (Bt) + k nonumber ]

مثال ( PageIndex {4} )

يتم سحب زنبرك بطول طبيعي يبلغ بوصات إلى الخلف بمقدار 6 أقدام وإطلاقه. يتأرجح مرة كل ثانيتين. تنخفض اتساعها بنسبة 20٪ كل ثانية. ابحث عن وظيفة تمثل موضع الزنبرك ر بعد ثوان من إطلاق سراحك.

المحلول

نظرًا لأن الربيع سيتأرجح على جانبي الطول الطبيعي ، سيكون خط الوسط عند 20 قدمًا. تبلغ مدة التذبذب ثانيتين ، وبالتالي يكون معامل الضغط الأفقي (B = pi ). بالإضافة إلى ذلك ، يبدأ من أبعد مسافة من الجدار ، مما يشير إلى نموذج جيب التمام.

في هذه الأثناء ، تبدأ السعة عند 6 أقدام ، وتنخفض بنسبة 20٪ كل ثانية ، مما يعطي دالة سعة (A (t) = 6 (1-0.20) ^ {t} ).

إن الجمع بين هذا وبين المعلومات الجيبية يعطي دالة لموضع الزنبرك:

[f (t) = 6 (0.80) ^ {t} cos ( pi { kern 1pt} t) +20 nonumber ]

مثال ( PageIndex {5} )

زنبرك بطول طبيعي 30 سم يسحب للخارج 10 سم ويتحرر. يتأرجح 4 مرات في الثانية. بعد ثانيتين ، انخفض السعة إلى 5 سم. ابحث عن وظيفة تمثل موضع الزنبرك.

المحلول

فترة التذبذب ( dfrac {1} {4} ) ثانية ، لذلك (B = dfrac {2 pi} {1/4} = 8 pi ). نظرًا لأن الزنبرك سيتأرجح على جانبي الطول الطبيعي ، فسيكون خط الوسط عند 30 سم. يبدأ من أبعد مسافة من الجدار ، مما يوحي بنموذج جيب التمام. معًا ، هذا يعطي

[f (t) = A (t) cos (8 pi { kern 1pt} t) +30. nonumber ]

بالنسبة لدالة السعة ، نلاحظ أن السعة تبدأ من 10 سم وتنخفض إلى 5 سم بعد ثانيتين. هذا يعطي نقطتين (0 ، 10) و (2 ، 5) يجب أن تتحقق من خلال دالة أسية: (A (0) = 10 ) و (A (2) = 5 ). نظرًا لأن الوظيفة أسية ، يمكننا استخدام النموذج (A (t) = ab ^ {t} ). استبدال النقطة الأولى ، (10 ​​= ab ^ {0} ) ، لذلك (a = 10 ). الاستبدال في النقطة الثانية ،

[5 = 10b ^ {2} nonumber ] قسّم على 10
[ dfrac {1} {2} = b ^ {2} nonumber ] خذ الجذر التربيعي
[b = sqrt { dfrac {1} {2}} حوالي 0.707 nonumber ]

هذا يعطي دالة سعة (A (t) = 10 (0.707) ^ {t} ). الجمع بين هذا مع التذبذب ،

[f (t) = 10 (0.707) ^ {t} cos (8 pi t) +30 nonumber ]

تمرين ( PageIndex {2} )

بدأ سهم معين بقيمة عالية تبلغ 7 دولارات للسهم الواحد ، ويتأرجح شهريًا أعلى وأدنى من متوسط ​​القيمة ، مع انخفاض التذبذب بنسبة 2٪ سنويًا. ومع ذلك ، بدأ متوسط ​​القيمة عند 4 دولارات للسهم الواحد ونما خطيًا بمقدار 50 سنتًا سنويًا.

أ. أوجد صيغة لخط الوسط والسعة.
ب. ابحث عن دالة (S (t) ) تمثل قيمة المخزون بعد (t ) سنوات.

إجابه

[ start {array} {l} {m (t) = 4 + 0.5t} {A (t) = 7 (0.98) ^ {t}} end {array} nonumber ]
[S (t) = 7 (0.98) ^ {t} cos left (24 pi t right) + 4 + 0.5t nonumber ]

مثال ( PageIndex {6} )

في راديو AM (Amplitude Modulated) ، تُستخدم الموجة الحاملة ذات التردد العالي لنقل الموسيقى أو الإشارات الأخرى عن طريق تطبيق الإشارة المراد إرسالها كسعة لإشارة الموجة الحاملة. تُحمل النوتة الموسيقية بتردد 110 هرتز (هيرتز = دورات في الثانية) على موجة بتردد 2 كيلوهرتز (كيلوهرتز = آلاف الدورات في الثانية). إذا كانت سعة الموجة الموسيقية 3 ، فاكتب دالة تصف موجة البث.

المحلول

الموجة الحاملة ، بتردد 2000 دورة في الثانية ، سيكون لها فترة ( dfrac {1} {2000} ) من الثانية ، مما يعطي معادلة بالصيغة ( sin (4000 pi { kern 1pt) } ر) ). كان اختيارنا لدالة الجيب هنا عشوائيًا - كان من الممكن أن يعمل بشكل جيد إذا استخدمنا جيب التمام.

سيكون للنغمة الموسيقية ، بتردد 110 دورة في الثانية ، فترة ( dfrac {1} {110} ) من الثانية. بسعة 3 ، سيتوافق هذا مع دالة على الشكل (3 sin (220 pi { kern 1pt} t) ). مرة أخرى ، يعد اختيارنا لاستخدام دالة الجيب أمرًا عشوائيًا.

تعمل الموجة الموسيقية على أنها اتساع الموجة الحاملة ، لذلك سنقوم بضرب وظيفة النغمة الموسيقية بواسطة دالة الموجة الحاملة ، مما ينتج عنه الوظيفة

[f (t) = 3 sin (220 pi { kern 1pt} t) sin (4000 pi { kern 1pt} t) nonumber ]

موضوعات مهمة في هذا القسم

  • تغيير خط الوسط
  • تغيير السعة
  • التغييرات الخطية
  • التغييرات الأسية
  • الحركة التوافقية المخففة

Precalculus: تحقيق في الوظائف بواسطة David Lippman و Melonie Rasmussen - معاينة HTML

يضرب الأرض ، متى ح( ر) = 0. لحل هذه المشكلة ، سنحل أولاً للوقت ، ر، عندما تضرب قذيفة المدفع الأرض. ستعتمد إجابتنا على الزاوية.

ر + 100sin (θ) ر = 0

تفكك هذا لإيجاد حلين

هذا يدل على أن الارتفاع يساوي 0 مرتين ، مرة واحدة ر = 0 عندما يتم إطلاق قذيفة المدفع ، و

مرة أخرى عندما تضرب قذيفة المدفع الأرض بعد الطيران في الهواء. هذه الثانية

قيمة ال ر يعطي الوقت عندما تضرب الكرة الأرض من حيث الزاوية θ. نحن

تريد المسافة الأفقية س (ر) أن تكون 900 عندما تضرب الكرة الأرض ، بمعنى آخر

لأن الهدف هو 900 متر نبدأ به

استخدم صيغة س (ر)

استبدل الوقت المطلوب ، ر من اعلى

اعزل منتج الجيب وجيب التمام

يبدو الجانب الأيسر من هذه المعادلة تقريبًا وكأنه نتيجة مطابقة الزاوية المزدوجة لـ

بقسمة كلا جانبي مطابقة الزاوية المزدوجة على 2 ، نحصل على

1 sin (2α) = sin (α) cos (α). بتطبيق هذا على المعادلة أعلاه ،

متطابقات نصف الزاوية وتقليل الطاقة

استخدام آخر لمتطابقات الزاوية المزدوجة لجيب التمام هو استخدامها في الاتجاه المعاكس لإعادة كتابة a

تربيع الجيب أو جيب التمام بدلالة الزاوية المزدوجة. بدءًا من شكل واحد من أشكال جيب التمام

اعزل الحد التربيعي لجيب التمام

وهذا ما يسمى ب هوية تخفيض الطاقة

3. استخدم شكلاً آخر من متطابقة الزاوية المزدوجة لجيب التمام لإثبات الهوية

أعد كتابة cos4 ( x) بدون أي صلاحيات.

كوس ( x) = (كوس ( x))2

، يمكننا استخدام الصيغة التي وجدناها أعلاه

كوس ( x) = (كوس ( x))2

القسم 7.3 المتطابقات ذات الزوايا المزدوجة 437

ربّع البسط والمقام

cos2 (2 x) 2cos (2 x) 1

طبق الصيغة أعلاه على cos2 (2 x)

يمكن أيضًا استخدام متطابقات الزاوية المزدوجة لجيب التمام في الاتجاه المعاكس لحساب الزوايا

نصف زاوية مشتركة. البناء من صيغتنا

2 ، إذن α = تصبح هذه الهوية

، حيث يتم تحديد العلامة من قبل الربع.

وهذا ما يسمى ب هوية نصف زاوية.

4. استخدم نتائجك من آخر مرة جربها الآن لإثبات الهوية

أوجد القيمة الدقيقة لـ cos (°

بما أن 15 درجة تساوي نصف 30 درجة ، فيمكننا استخدام النتيجة أعلاه:

يمكننا إيجاد قيمة جيب التمام. بما أن 15 درجة في الربع الأول ، فنحن بحاجة إلى

هويات تخفيض الطاقة

نظرًا لأنه من السهل اشتقاق هذه المتطابقات من متطابقات الزاوية المزدوجة ، فإن القوة

هويات الاختزال ونصف الزاوية ليست من الأمور التي يجب عليك حفظها بشكل منفصل.

موضوعات مهمة في هذا القسم

القسم 7.3 المتطابقات ذات الزوايا المزدوجة 439

القسم 7.3 تمارين

= و x في الربع الأول ، ثم ابحث عن القيم الدقيقة لـ (بدون حل x):

ب. كوس (2 x) ج. تان (2 x)

= و x في الربع الأول ، ثم ابحث عن القيم الدقيقة لـ (بدون حل x):

ب. كوس (2 x) ج. تان (2 x)

9. 4sin (8 x) كوس (8 x)

10. 6sin (5 x) كوس (5 x)

حل من أجل جميع الحلول في الفترة [0، 2π).

11. 6 بوصة (2 ر) + 9sin ( ر) = 0

12. 2sin (2 ر) + 3cos ( ر) = 0

15. الخطيئة (2 ر) = كوس ( ر)

16. cos (2 ر) = الخطيئة ( ر)

17. كوس (6 x) - كوس (3 x) = 0

18. الخطيئة (4 x) - الخطيئة (2 x) = 0

استخدم صيغة الزاوية المزدوجة أو الزاوية النصفية أو تقليل الطاقة لإعادة الكتابة بدون الأس.

25. إذا كان CSC ( x) = 7 و 90 درجة & lt x & lt180 ° ، ثم أوجد قيمًا دقيقة لـ (بدون حل من أجل x): أ. الخطيئة  x

26. إذا ثانية ( x) = 4 و 90 درجة & lt x & lt180 ° ، ثم أوجد قيمًا دقيقة لـ (بدون حل من أجل x): أ. الخطيئة  x

القسم 7.3 متطابقات الزوايا المزدوجة 441

31. cot ( x) - تان ( x) = 2 سرير (2 x)

الخطيئة (2 ر) - كوس ( ر) 2sin ( ر) −1

cos 3 = كوس ( x) - 3sin ( x) كوس ( x)

القسم 7.4 النمذجة تغيير السعة والخط الوسط

في حين أن الوظائف الجيبية يمكن أن تكون نموذجًا لمجموعة متنوعة من السلوكيات ، فمن الضروري غالبًا أن تكون

الجمع بين الوظائف الجيبية مع المنحنيات الخطية والأسية لنموذج حقيقي

التطبيقات والسلوكيات. نبدأ هذا القسم من خلال النظر في التغييرات التي تم إجراؤها على خط الوسط

وظيفة جيبية. تذكر أن خط الوسط يصف القيمة المتوسطة أو المتوسطة لـ

يبلغ متوسط ​​عدد الأيائل حاليًا 2000 إلك ، وقد زاد هذا المتوسط ​​بمقدار

4٪ كل عام. بسبب التقلبات الموسمية ، يتأرجح عدد السكان من 50 أدناه

المتوسط ​​في الشتاء يصل إلى 50 فوق المتوسط ​​في الصيف. العثور على وظيفة

نماذج عدد الأيائل بعد ر سنوات.

هناك مكونان لسلوك الأيائل: المتوسط ​​المتغير ،

والتذبذب. المتوسط ​​هو نمو أسي ، يبدأ من عام 2000 وينمو

بنسبة 4٪ كل عام. كتابة صيغة لهذا:

(1+ ) ر = 2000(1+ 0.04) ر

للتذبذب ، نظرًا لأن السكان يتأرجحون بمقدار 50 أعلى وأدنى من المتوسط ​​، فإن

سيكون السعة 50. نظرًا لأن الأمر يستغرق عامًا واحدًا لدورة السكان ، فإن الفترة هي 1.

نجد قيمة معامل التمدد الأفقي

بالإضافة إلى ذلك ، حيث لم يتم إخبارنا متى ر تم قياسه لأول مرة سيتعين علينا أن نقرر ما إذا كان

ر = 0 يتوافق مع الشتاء أو الصيف. إذا اخترنا الشتاء ثم شكل

ستكون دالة جيب التمام السالب ، لأنها تبدأ من أدنى قيمة.

بتجميعها معًا ، ستكون المعادلة:

- كوس (2π ر) + خط الوسط

نظرًا لأن خط الوسط يمثل متوسط ​​عدد السكان ، فإننا نعوض بالأسي

تعمل في معادلة السكان لإيجاد المعادلة النهائية:

هذا مثال على تغيير خط الوسط - في هذه الحالة ، خط الوسط المتغير بشكل كبير.

دالة للنموذج F ( ر) = أ الخطيئة ( Bt) + ز( ر) سوف تتأرجح أعلى وأدنى من المتوسط ​​الذي قدمته الوظيفة ز (ر).

القسم 7.4 النمذجة تغيير السعة والخط الوسط 443

يمكن أن يكون تغيير خطوط الوسط أسيًا أو خطيًا أو أي نوع آخر من الوظائف. هنا

F ( ر) = أ الخطيئة ( Bt) + ( طن متري + ب) () = الخطيئة () + ( ر

و ت = أ ( Bt)

ابحث عن دالة بخط الوسط الخطي للشكل و ت() أ

 + طن متري + ب هذا سوف يمر

من خلال النقاط الواردة أدناه.

نظرًا لأننا حصلنا على قيمة معامل الضغط الأفقي ، فيمكننا حسابها

فترة هذه الوظيفة:

نظرًا لأن وظيفة الجيب في خط الوسط في بداية الدورة وفي منتصف الطريق

دورة ، نتوقع أن تكون هذه الوظيفة في منتصف الخط عند ر = 0 و ر = 2 ، بما أن 2 هي

نصف الفترة الكاملة لـ 4. بناءً على ذلك ، نتوقع أن تكون النقاط (0 ، 5) و (2 ، 9)

نقاط على خط الوسط. يمكننا أن نرى بوضوح أن هذه ليست دالة ثابتة وهكذا نحن

استخدم النقطتين لحساب دالة خطية: خط الوسط = طن متري + ب . من هاتين النقطتين يمكننا حساب الميل:

بدمج هذا مع القيمة الأولية لـ 5 ، لدينا خط الوسط: خط الوسط = 2 ر +5، العطاء

وظيفة كاملة للنموذج F ( ر) = أ sin

ر  + 2 ر + 5. يمكننا إيجاد السعة

قم بتوصيل نقطة لم نستخدمها بالفعل ، مثل (1 ، 10)

قيم الجيب واجمع الحدود المتشابهة

ستكون وظيفة النموذج المعطى المناسب للبيانات

لاحظ أنه كان بإمكاننا اتباع نهج بديل عن طريق توصيل النقاط (0 ، 5) و (2 ، 9)

في المعادلة الأصلية. استبدال (0 ، 5) ،

احسب الجيب وبسّط

احسب الجيب وبسّط

م = 2 ، كما وجدنا أعلاه. الآن يمكننا المضي قدما في إيجاد أ بنفس الطريقة التي فعلناها من قبل.

يبلغ عدد السياح الذين يزورون منتجع التزلج والمشي لمسافات طويلة في المتوسط ​​4000 شخص سنويًا

ويتأرجح موسميا ، 1000 أعلى وأدنى من المتوسط. بسبب التسويق

الحملة ، كان متوسط ​​عدد السائحين يتزايد بمقدار 200 كل عام. اكتب

معادلة لعدد السياح بعد ر سنوات ، بدءًا من موسم الذروة.

مرة أخرى ، هناك مكونان لهذه المشكلة: التذبذب والمتوسط. إلى عن على

في حالة التذبذب ، يتأرجح عدد السائحين بمقدار 1000 سائح فوق المتوسط ​​وأدناه

سعة 1000. بما أن التذبذب موسمي ، فإن مدته سنة واحدة. منذ

لقد حصلنا على نقطة انطلاق "موسم الذروة" ، وسوف نصمم هذا السيناريو بـ a

حتى الآن ، هذا يعطي معادلة في الصورة ن( ر) = 1000cos (2π ر) + خط الوسط

يبلغ المتوسط ​​حاليًا 4000 ويتزايد بمقدار

200 كل عام. هذا معدل ثابت للتغيير ، إذن

هذا نمو خطي ، معدل = 4000 +

الجمع بين هاتين القطعتين يعطي دالة لـ

ن( ر) = 1000cos (2π ر) + 4000 + 200 ر

ز( x) = ( x −1) + 8 كوز ( x) ، وصف خط الوسط والسعة

القسم 7.4 النمذجة تغيير السعة والخط الوسط 445

هناك أيضًا حالات لا يبقى فيها اتساع الوظيفة الجيبية

مستمر. بالعودة إلى الفصل السادس ، قمنا بنمذجة حركة زنبرك باستخدام خط جيبي

وظيفة ، ولكن كان لا بد من تجاهل الاحتكاك في القيام بذلك. إذا كان هناك احتكاك في النظام ، فنحن

يتوقع أن ينخفض ​​اتساع التذبذب بمرور الوقت. في المعادلة

و ت() = أ الخطيئة ( Bt) + ك , أ يعطي سعة التذبذب ، يمكننا السماح لتغيير السعة باستبدال هذا الثابت أ مع وظيفة في).

دالة للنموذج و ت() = في() الخطيئة ( Bt) + ك سوف تتأرجح أعلى وأسفل خط الوسط مع السعة المعطاة من قبل في).

عند التفكير في زنبرك يتناقص اتساعه بمرور الوقت ، فمن المغري استخدامه

أبسط أداة للوظيفة - دالة خطية. ولكن إذا حاولنا نمذجة السعة

مع دالة خطية متناقصة ، مثل في() = 10 − ر ، نرى المشكلة بسرعة عندما نرسم المعادلة بالرسم البياني F ( ر) = 10

في حين أن السعة تتناقص في البداية على النحو المنشود ، فإن السعة تصل إلى الصفر عند ر = 10 إذن

يستمر بعد التقاطع ، ويزداد في القيمة المطلقة ، وهذا ليس هو المتوقع

سلوك. قد يمثل هذا السلوك والوظيفة نموذجًا للموقف في مجال مقيد و

قد نحاول أن نحسب الباقي إلى انهيار النموذج ، ولكن في الواقع لا تفعل الينابيع

النموذج الأفضل ، كما ستتعلم لاحقًا في الفيزياء وحساب التفاضل والتكامل ، سيُظهر السعة

يتناقص بمقدار ثابت النسبة المئوية كل ثانية ، مما يؤدي إلى نموذج الاضمحلال الأسي لـ

الحركة التوافقية المخففة، التي تعرضها نوابض قابلة للاحتكاك ، تتبع نموذجًا لـ

و ت() = أبت الخطيئة ( Bt) + ك أو و ت() = أرت الخطيئة ( Bt) + ك .

يتم سحب زنبرك بطول 20 بوصة طبيعيًا بمقدار 6 بوصات وإطلاقه. هو - هي

يتذبذب مرة كل ثانيتين. تنخفض اتساعها بنسبة 20٪ كل ثانية. إعثر على

الوظيفة التي تحدد موضع الزنبرك ر بعد ثوان من إطلاق سراحك.

نظرًا لأن الربيع سيتأرجح على جانبي الطول الطبيعي ، فسيكون خط الوسط عند

20 بوصة. تبلغ مدة التذبذب ثانيتين ، وبالتالي فإن الضغط الأفقي

المعامل ب = π. بالإضافة إلى ذلك ، يبدأ من أبعد مسافة من الجدار ،

يشير إلى نموذج جيب التمام.

في غضون ذلك ، السعة تبدأ من 6 بوصات ،

ويقل بنسبة 20٪ كل ثانية ، مما يعطي

الجمع بين هذا مع الجيب

تعطي المعلومات وظيفة لهذا المنصب

زنبرك بطول طبيعي 30 سم يسحب للخارج 10 سم ويتحرر. يتأرجح 4

مرات في الثانية. بعد ثانيتين ، انخفض السعة إلى 5 سم. إعثر على

الوظيفة التي تحدد موضع الزنبرك.

فترة التذبذب هي ثانية واحدة ، لذلك

= 8π. منذ إرادة الربيع

تتذبذب على جانبي الطول الطبيعي ، سيكون خط الوسط عند 30 سم. يبدأ في

أبعد مسافة من الجدار ، مما يوحي بنموذج جيب التمام. معًا ، هذا يعطي

في) كوس (8π ر) + 30 .

بالنسبة لدالة السعة ، نلاحظ أن السعة تبدأ من 10 سم وتقل

إلى 5 سم بعد ثانيتين. هذا يعطي نقطتين (0 ، 10) و (2 ، 5) يجب إرضاءهما

بواسطة دالة أسية: (

2 = 5. بما أن الوظيفة أسية ،

في() = أب . استبدال النقطة الأولى ،

10 = أب ، وبالتالي أ = 10.

الاستبدال في النقطة الثانية ،

القسم 7.4 النمذجة تغيير السعة والخط الوسط 447

هذا يعطي دالة سعة

2. بدأ سهم معين بقيمة عالية قدرها 7 دولارات للسهم وكان يتأرجح أعلاه

وأقل من متوسط ​​القيمة ، مع انخفاض التذبذب بنسبة 2٪ سنويًا. ومع ذلك،

بدأ متوسط ​​القيمة عند 4 دولارات للسهم الواحد ونما خطيًا بمقدار 50 سنتًا سنويًا.

أ. ابحث عن صيغة لخط الوسط

ب. أوجد صيغة للسعة.

ج. ابحث عن وظيفة شارع) التي تمثل قيمة المخزون بعد ر سنوات.

في راديو AM (معدل الاتساع) ، تُستخدم موجة حاملة ذات تردد عالٍ

نقل الموسيقى أو الإشارات الأخرى عن طريق تطبيق الإشارة المراد إرسالها على أنها السعة

من إشارة الناقل. نوتة موسيقية بتردد 110 هرتز (هرتز = دورات في الثانية)

يتم حملها على موجة بتردد 2 كيلو هرتز (كيلو هرتز = آلاف الدورات

في الثانية). إذا كانت سعة الموجة الموسيقية 3 ، فاكتب دالة تصف

الموجة الحاملة ، بتردد 2000 دورة في الثانية ، سيكون لها فترة 1

من الثانية ، معادلة بصيغة sin (4000π ر). اختيارنا لدالة الجيب

هنا كان تعسفيًا - كان من الممكن أن يعمل بشكل جيد إذا استخدم جيب التمام.

سيكون للنغمة الموسيقية ، بتردد 110 دورة في الثانية ، فترة

1 من الثانية. بسعة 3 ، هذا يتوافق مع دالة في

شكل 3sin (220π ر). مرة أخرى ، يعد اختيارنا لاستخدام دالة الجيب أمرًا عشوائيًا.

تعمل الموجة الموسيقية على أنها اتساع الموجة الحاملة ، لذلك سنقوم بضرب

وظيفة النغمة الموسيقية من خلال وظيفة الموجة الحاملة ، مما يؤدي إلى الوظيفة

F ( ر) = 3sin (220π ر) الخطيئة (4000 درجة.) ر)

موضوعات مهمة في هذا القسم

1. خط الوسط يتبع مسار التربيعية 2

x 1 والسعة ثابتة

م( ر) = 4 + 0.5 ر

القسم 7.4 النمذجة تغيير السعة والخط الوسط 449

تمارين 7.4 القسم

أوجد صيغة ممكنة للدالة المثلثية التي ترد قيمها في

1. x 0 3 6 9 12 15 18

2. x 0 2 4 6 8 10 12

ذ 5 1 -3 1 5 1 -3

ذ-4 -1 2 -1 -4 -1 2

3. النزوح ح( ر) ، بالسنتيمتر ، للكتلة المعلقة بنابض على غرار

من خلال الوظيفة ح( ر) = 8sin (6π ر) ، أين ر يقاس بالثواني. أوجد سعة ودورة وتكرار هذه الإزاحة.

4. النزوح ح( ر) ، بالسنتيمتر ، للكتلة المعلقة بنابض على غرار

من خلال الوظيفة ح( ر) = 11sin (12π ر) ، أين ر يقاس بالثواني. أوجد سعة ودورة وتكرار هذه الإزاحة.

5. عدد الأرانب يتذبذب 19 فوق وأدنى من المتوسط ​​خلال العام ،

الوصول إلى أدنى قيمة في يناير. يبدأ متوسط ​​عدد السكان بـ 650 أرنباً و

يزيد بمقدار 160 كل عام. ابحث عن دالة تمثل السكان ، ص، من ناحية

الأشهر منذ يناير ، ر.

6. تذبذب عدد سكان الغزلان 15 فوق وأدنى من المتوسط ​​خلال العام ، ليصل

أدنى قيمة في يناير. يبدأ متوسط ​​عدد السكان عند 800 غزال ويزداد

بمقدار 110 كل عام. ابحث عن دالة تمثل السكان ، ص، من حيث

أشهر منذ يناير ، ر.

7. عدد سكان المسك يتأرجح 33 فوق وأدنى من المتوسط ​​خلال العام ،

الوصول إلى أدنى قيمة في يناير. يبدأ متوسط ​​عدد السكان بـ 900 مسكرات

ويزيد بنسبة 7٪ كل شهر. ابحث عن دالة تمثل السكان ، ص، في

شروط الأشهر منذ يناير ، ر.

8. يتأرجح عدد الأسماك 40 أعلى وأدنى من المتوسط ​​خلال العام ، ليصل

أدنى قيمة في يناير. يبدأ متوسط ​​عدد الأسماك بـ 800 سمكة ويزداد

بنسبة 4٪ كل شهر. ابحث عن دالة تمثل السكان ، ص، من حيث

أشهر منذ يناير ، ر.

9. زنبرك متصل بالسقف ويسحب لأسفل بمقدار 10 سم من حالة التوازن و

صدر. السعة تقل بنسبة 15٪ كل ثانية. يتأرجح الربيع 18

مرات كل ثانية. ابحث عن دالة تمثل المسافة ، د، نهاية الربيع

أقل من التوازن من حيث الثواني ، ر، منذ إطلاق الربيع.

10. زنبرك متصل بالسقف ويسحب لأسفل بمقدار 7 سم من حالة التوازن و

صدر. السعة تقل بنسبة 11٪ كل ثانية. يتأرجح الربيع 20

مرات كل ثانية. ابحث عن دالة تمثل المسافة ، د، نهاية الربيع

أقل من التوازن من حيث الثواني ، ر، منذ إطلاق الربيع.

11. زنبرك متصل بالسقف ويسحب لأسفل بمقدار 17 سم من حالة التوازن و

صدر. بعد 3 ثوانٍ ، انخفض السعة إلى 13 سم. يتأرجح الربيع

14 مرة كل ثانية. ابحث عن دالة تمثل المسافة ، د نهاية ال

الربيع أقل من التوازن من حيث الثواني ، ر، منذ إطلاق الربيع.

12. زنبرك متصل بالسقف ويسحب لأسفل بمقدار 19 سم من حالة التوازن و

صدر. بعد 4 ثوانٍ ، انخفض السعة إلى 14 سم. يتأرجح الربيع

13 مرة كل ثانية. ابحث عن دالة تمثل المسافة ، د نهاية ال

الربيع أقل من التوازن من حيث الثواني ، ر، منذ إطلاق الربيع.


7.4: نمذجة تغيير السعة والخط الوسط - الرياضيات

قد تساعدك الرسوم البيانية على فهم العلاقات بين المتغيرات في دالة ما أو التعبير عنها بشكل أفضل. ستحتاج في كثير من الأحيان إلى ترجمة المعلومات في مشكلة ما إلى وظيفة أو مجموعة وظائف قبل الرسم البياني.

في الفصل 6, درس
6.2، نظرنا إليه
وظائف السقف
والرسوم البيانية الخاصة بهم
في أمثلة 9 و
10. نحن هنا
ترجمة معينة
معلومات حول
مجالسة الأطفال راشيل
في السقف
الوظيفة التي نحن
ثم الرسم البياني.

تقوم راشيل بمجالسة الأطفال لمدة أقصاها 10 ساعات في الأسبوع. تتقاضى 15 دولارًا لكل ساعة أو أي جزء من الساعة في مجموعها للأسبوع لكل عميل. إذا قام أحد عملائها بتوظيفها لأكثر من 6 ساعات في أسبوع واحد ، فإنها تمنحهم خصمًا بنسبة 30 ٪ من أجرها المعتاد في الساعة ، لجميع الساعات التي تزيد عن 6 ساعات. اكتب ورسم دالة تمثل المبلغ ، أ(x) ، يدفع العميل لراشيل مقابل أسبوع تعمل فيه x ساعات لهم.

يتم تقريب كل جزء من الساعة إلى الساعة الكاملة التالية ، لذا فهذه دالة في السقف.

لمدة تصل إلى 6 ساعات ، تتقاضى Rachel 15 دولارًا في الساعة أو جزء من الساعة ، لذلك مقابل 0 & جنيه x & le 6 ، أ(x) = 15 & sdot & lceil x& رسيل. لأكثر من 6 ساعات ، تتقاضى راشيل 15 دولارًا لكل ساعة من الساعات الست الأولى و 70٪ من 15 دولارًا لكل ساعة إضافية. (يعني خصم 30٪ دفع 70٪ من السعر العادي.) لإظهار الرسوم المخصومة لكل ساعة إضافية ، يجب عليك طرح أول 6 ساعات من x قبل الضرب في سعر الساعة. لذلك ، لـ 6 x . لمعرفة أين تتساوى قيم الجائزة هذه ، اضبط التعبيرات مع بعضها البعض: 10000x = 5 & sdot 2 x . لحل ل x، يمكننا تحديد وظيفتين على النحو التالي F(x) = 10,000x و ز(x) = 5 & sdot 2 x ، رسم بيانيًا كلتا الوظيفتين على نفس شبكة الإحداثيات ، وابحث عن نقطة تقاطع الرسوم البيانية. في تلك المرحلة ، فإن x-القيمة هي نفسها لكلتا الوظيفتين ، وكلاهما لهما نفس قيمة الوظيفة (F(x) = ز(x)). ال x-قيمة نقطة التقاطع هي x- القيمة التي تجعلها 10000x = 5 & sdot 2 x صحيح ، لذا فهو حل المعادلة.

يبدو أن الرسمين البيانيين للوظائف يتقاطعان إلى يسار العدد 15 ، مع قيمة دالة أقل بقليل من 150000. تبلغ قيمة الجائزتين قريبًا من نفس المبلغ بعد 15 عامًا. لفترات زمنية أقل من 15 سنة ، F(x) = 10,000x له قيمة أكبر ، لذا فإن الخيار (أ) هو الخيار الأفضل. لفترات زمنية تزيد عن 15 عامًا ، ز(x) = 5 & sdot 2 x له قيمة أكبر ، لذا فإن الخيار (ب) هو الخيار الأفضل. تستمر هذه الدالة الأسية في الصعود بمعدل سريع جدًا هنا ، لذا فإن نقطة النهاية الخاصة بها عند x = 20 ، لا يظهر في هذا الرسم البياني. نقطة نهاية F(x) = 10,000x يظهر في (50 ، 500000).

ذهبت سيلفي في جولة على عجلة فيريس. في أعلى نقطة من العجلة ، كانت على ارتفاع 70 قدمًا فوق الأرض ، وفي أسفلها ، كانت 10 أقدام فوق الأرض. استغرقت رحلتها ما مجموعه 3 دقائق و 20 ثانية ، وقامت بخمس دورات كاملة. اكتب ورسم بيانيًا دالة لنمذجة مسافة سيلفي من الأرض ، ح(x)، بالاقدام، x ثواني في رحلتها.

تكون عجلة فيريس على شكل دائرة ، لذا فإن علاقة النقاط على طول الدائرة (تقاس بقياس زاوية مركزية) بالارتفاع فوق الأرض يتم نمذجتها بدالة الجيب أو جيب التمام. نظرًا لأن عجلة فيريس تدور بسرعة ثابتة ، فإن الوقت يتناسب طرديًا مع قياس الزاوية المركزية ، وبالتالي فإن نوع الوظيفة التي تربط الوقت بالارتفاع فوق الأرض هي أيضًا دالة جيب أو جيب. تبدأ رحلة سيلفي عند الحد الأدنى للارتفاع ، لذلك دعونا نستخدم دالة جيب التمام ، والتي تبدأ بأقصى ارتفاع لها عندما x = 0 ، لكنها تبدأ عند أدنى ارتفاع لها عندما تنعكس عبر خط الوسط.

هذه المشكلة مشابهة
ل المثال 20 في
الفصل 4, درس
4.6، والتي أيضا
يتضمن ترجمة أ
واقع الحياة إلى أ
دالة مثلثية
المعادلة والرسم البياني.
تتضمن الحركة
لا يزال على طول القوس
من دائرة ، ولكن في هذا
الحالة ، الحركة
ثورات متعددة
لدائرة كاملة.

تكمل عجلة فيريس 5 دورات في 3 دقائق و 20 ثانية ، أو 200 ثانية في المجموع ، فتكمل دورة كاملة واحدة في 200 وتقسم 5 = 40 ثانية. يجب أن تكون فترة منحنى جيب التمام 40 ثانية. فترة دالة جيب التمام في النموذج ذ = أ كوسب(x &ناقص ج) + د هو 2 & pi /ب. يمكننا تعيين 2 و pi /ب يساوي 40 للحل من أجلها ب.

تحمل عجلة Ferris Sylvie من ارتفاع لا يقل عن 10 أقدام إلى أقصى ارتفاع يبلغ 70 قدمًا ، وبالتالي فإن الحد الأدنى لمنحنى جيب التمام هو 10 والحد الأقصى هو 70. المسافة بينهما 60 ، وبالتالي فإن سعة منحنى جيب التمام هي 30- يقع خط الوسط في منتصف الطريق بين 10 و 70: = 40.

دالة جيب التمام ذ = أ كوس ب(x &ناقص ج) + د بسعة 30 (|أ| = 30) فترة 40 (ب = & pi / 20) ، لا يوجد إزاحة أفقية (ج = 0) ، خط الوسط 40 (د = 40) ، والانعكاس عبر خط الوسط (سلبي أ-القيمة ذ = & ناقص 30 cos & pi / 20 x + 40. مجال وظيفتنا هو الفترة الزمنية التي كان سيلفي يركب منها عجلة فيريس من x = 0 إلى x = 240 ثانية. وظيفة نمذجة مسافة سيلفي من الأرض بعد x ثواني على عجلة فيريس ح(x) = & ناقص 30 cos & pi / 20 x + 40 ، مقابل 0 & جنيه x & le 240. هذه الوظيفة موضحة بالرسم البياني أدناه.

يريد زاك البدء في بيع الكعك في مخبزه الذي يبيع حاليًا الكعك والبسكويت فقط. من خلال بحثه ، تعلم أن منحنى الطلب على الكعك في الحي يتم تحديده من خلال الوظيفة ن = & ناقص 20ص 2 + 500 أين نيمثل عدد الكعك المباع يوميًا و ص يمثل سعر الكب كيك. تكلفة المكونات والعمالة هي دولار واحد لكل كب كيك. اكتب وظيفة ورسمها البياني F(ص) نمذجة ربح زاك اليومي من حيث ص، سعر الكب كيك بالدولار. وفقًا لهذه الوظيفة ، بأي سعر يجب أن يبيع زاك الكعك لأقرب 5 سنتات؟ إذا اتضح أن Zach لديه سعة الخبز بحد أقصى 240 كب كيك في اليوم ، فكيف يغير هذا إجابتك للسعر الذي يجب أن يبيع به الكعك؟ ارسم رسمًا بيانيًا جديدًا لدالة الربح ، كدالة متعددة التعريف ، لتوضيح إجابتك.

منحنى الطلب ن = & ناقص 20ص تخبرنا 2 + 500 كم عدد الكب كيك ، ن، بسعر ص. إجمالي الإيرادات هو السعر لكل كب كيك مضروبًا في عدد الكب كيك المباعة ، وبالتالي الإيرادات ص = ص & sdot ن = ص(& ناقص 20ص 2 + 500). هذا يبسط كما ص = & ناقص 20ص 3 + 500ص. تكلفة صنع زاك ن كب كيك بسعر 1 دولار لكل كب كيك ن دولار. استبدل التعبير ل ن من ناحية ص: كلفة ج = & ناقص 20ص 2 + 500. أرباح زاك هي عائده مطروحًا منه تكلفته F(ص) = ص &ناقص ج = (& ناقص 20ص 3 + 500ص) & ناقص (& ناقص 20ص 2 + 500). مبسط، F(ص) = & ناقص 20ص 3 + 20ص 2 + 500ص& ناقص 500. الرسم البياني لهذه الوظيفة معروض أدناه ، مع مجال من 0 & le ص & جنيه 5.

سعر الكب كيك
لا يمكن أن تكون سلبية ، لذلك
ص يجب أن يكون أكبر من
أو يساوي 0. متى
ص = 5 الربح
يساوي 0 ، أي
يعني أن 0 كب كيك
تم بيعها. عند هذا
السعر ، لا يوجد
يعد أي طلب
بالنسبة لهم. لذلك
تتطلب الظروف
تقييد المجال
إلى 0 & جنيه ص & جنيه 5.

يبلغ الحد الأقصى لهذا المنحنى حوالي 650 ويوجد حوله ص = 3.24. لتعظيم ربحه ، يجب أن يحدد Zach سعر كب كيك عند 3.25 دولار.

حتى هذه النقطة ،
كانت هذه المشكلة
مشابه ل المثال 21
في الفصل 1, درس
1.6حيث نحن ايضا
تستخدم منحنى الطلب
ومعلومات التكلفة
للكتابة والرسم البياني أ
منحنى الربح ، حل
لنقطة السعر
لتحقيق أقصى ربح.
ومع ذلك ، في هذا
الوضع هناك
عامل مقيد ،
الذي يتغير
دالة الربح
إلى متعدد الصيغ-
وظيفة محددة.

إذا كان مخبز زاك يستطيع خبز 240 كب كيك فقط كحد أقصى في اليوم ، فإن وظيفة الربح تتغير. يعكس منحنى الطلب فقط عدد الكب كيك المباعة عندما تكون قيمتها أقل من أو تساوي 240. تعيين & ناقص 20ص 2 + 500 أصغر من أو يساوي 240 لتمثيل هذا القيد.

اطرح 500 من كلا الطرفين.

اقسم كلا الجانبين على & ناقص 20 ، بما في ذلك قلب علامة عدم المساواة.

احسب الجذر التربيعي الموجب لـ 13.

لذلك ، يتم إعطاء عدد الكب كيك المباعة بواسطة ن = & ناقص 20ص 2 + 500 فقط عند السعر ص أكبر من أو يساوي 3.61 دولار. عندما يكون السعر 3.60 دولارًا أو أقل ، يكون عدد الكب كيك المباع 240 ، وهو الحد الأقصى الذي يمكن للمخبز إنتاجه ، على الرغم من زيادة الطلب. بيع 240 كب كيك ، العائد هو 240ص والتكلفة 240 (1) ، فالربح 240ص & ناقص 240. إذن ، أرباح كب كيك زاك ، F(ص) ، من خلال دالة معرفة متعددة التعريف الموضحة أدناه.

المتغير ص
يمثل السعر
لكل كب كيك ، لذلك يجب
أن يكون عددًا موجبًا.
ما عليك سوى حلها
للمربع الموجب
جذر 13 في هذه الحالة.

يظهر الرسم البياني لدالة الربح المحددة متعدد التعريف أدناه.

يمكننا استخدام الدالة لمقارنة الأرباح عند سعر الوحدة 3.60 دولار وسعر الوحدة 3.65 دولار.

F(3.6) = 240 (3.6) ناقص 240 = 624
F(3.65) = & ناقص 20 (3.65 3) + 20 (3.65 2) + 500 (3.65) & ناقص 500 619

في هذه الحالة ، مع سعة خبز بحد أقصى 240 كب كيك في اليوم ، يجب أن يحدد Zach سعر الكب كيك عند 3.60 دولار.

يمكنك استخدام الخاص بك
حاسبة الرسوم البيانية ل
تتبع الوظيفة
و / أو احسب
F(3.65).

الفصل السابع أسئلة تطبيقية

انقر هنا لتنزيل ملف PDF لأسئلة ممارسة الفصل السابع.

الاتجاهات: أكمل المشكلات المفتوحة التالية كما هو محدد في كل جذع سؤال. لمزيد من التدريب بعد الإجابة على كل سؤال ، حاول استخدام طريقة بديلة لحل المشكلة أو التحقق من عملك.

1. تمثل الصيغة أدناه معامل المسافة للنجم ، أو الفرق بين الحجم الظاهري للنجم (مدى سطوعه من الأرض) ، م، وحجمه المطلق (مدى سطوعه في الواقع) ، م، من ناحية د، مسافة النجم من الأرض ، في الفرسخ.

اكتب الصيغة التي تعطي د من ناحية م و م. إذا كان فرسخ فرسخ واحد يساوي حوالي 3.26 سنة ضوئية ، إذن ما هي المعادلة التي تنتج المسافة د في السنوات الضوئية؟

2. منذ عام 2000 ، يمكن وصف عدد المشتركين المنتظمين في مجلة معينة بشكل أفضل من خلال الوظيفة س(x) = 1200 sdot 0.83 x ، أين س(x) هو عدد المشتركين x سنوات بعد عام 2000. هل تتزايد هذه الوظيفة دائمًا أم تتناقص دائمًا؟ ما هو ملف ذ- اعتراض الرسم البياني لهذه الوظيفة وماذا تمثل؟ إذا استمر عدد المشتركين في المجلة في متابعة هذه الوظيفة ، فكم عدد المشتركين في عام 2050؟

3. اكتشفت ديانا أن البنطال الذي يحمل نفس المقاس المصنوع من ماركات ملابس مختلفة له خصر مختلف ، لذلك تقيس حزام الخصر لكل بنطلون تفكر في شرائه. يبلغ مقاس حزام خصرها المثالي 72 سم ، لكنها لا تزال تحب ملاءمة أحزمة الخصر في نطاق 2.5 سم من هذا المقياس. اكتب متباينة يمكن حلها ث، حزام الخصر هو القياس الذي تفضله ديانا لسراويلها. إذا كان الجميع يفضلون أحزمة الخصر للسراويل ضمن 2.5 سم من قياس حزام الخصر المثالي الخاص بهم ، م، ثم ما يتعلق بعدم المساواة ث و م?

4. ساحة بريان عبارة عن مستطيل بطول 40 قدمًا وعرض 20 قدمًا. يخطط لوضع ممر عرض ث قدم حول الحدود ، داخل فناء منزله ، حسب المنطقة ، أ، من الجزء الأوسط من الفناء المحاط بهذا الممر. اكتب ورسم دالة ل ث، عرض الممشى ، بالأقدام ، من حيث أ، مساحة ساحة الفناء المغلقة ، بالأقدام المربعة.

5. طار شيرفين بطائرة هليكوبتر في رحلة ارتفعت إلى أعلى وانخفضت إلى ما دون ارتفاع 5000 قدم وفقًا للوظيفة ح(ر) = & ناقصر 4 + 10ر 3 & ناقص 29ر 2 + 20ر، أين ر يمثل الوقت بالدقائق (منذ أن وصل إلى 5000 قدم لأول مرة) و ح(ر) يمثل المسافة بالأقدام فوق ارتفاع 5000 قدم. في أي وقت كانت مروحية شيرفين على ارتفاع 5000 قدم بالضبط؟

6. يوجد جهد كهربائي في منفذ التيار المتردد في منزل الزوادي الخامس(ر) الذي يتبع منحنى الجيب الخامس(ر) = 120 & sdot sin (120 & piر) ، كما هو موضح أدناه ، حيث ر يمثل الوقت بالثواني.

(أ) يتم تحديد تردد التيار المتردد بالهرتز ، وهي دورات في الثانية. ما هو قياس هيرتز لمزود الطاقة في الزوادي؟

(ب) القيمة من الذروة إلى الذروة لجهد التيار المتردد هي ضعف سعة منحنى الجيب للجهد. ما هو الجهد من الذروة إلى الذروة لمزود طاقة الزوادي ، لأقرب عشر فولت؟

7. عندما اشتعل لاعب الوسط لفريق كرة القدم المدرسي كرة القدم ، رأى جهاز استقبال عريضًا على بعد 12 ياردة منه. شاهد جهاز الاستقبال يهرب منه لمدة ثانية واحدة ثم ألقى كرة القدم بسرعة 3.5 أضعاف سرعة جهاز الاستقبال ، الذي استمر في الجري بمعدل ثابت. التقط المتلقي الكرة على بعد 28 ياردة من لاعب الوسط ، الذي ظل ثابتًا. اكتب دالة ذات صلة ر، الوقت بالثواني منذ أن اشتعلت الظهير الوسطي بكرة القدم ، إلى ص، سرعة جهاز الاستقبال الواسع ، ياردة في الثانية ، لكل من تشغيل المستقبل ومسار الكرة في الهواء. رسم كلا الوظيفتين على نفس شبكة الإحداثيات. ما يفعله ص- و ر-تمثل قيم نقطة التقاطع في هذه الحالة؟ بأي سرعة سافرت كرة القدم في الهواء؟

حلول للفصل السابع أسئلة تطبيقية

1. د = 3.26 & sdot 10 + 16.3

لإيجاد معادلة توضح المتغير د يساوي تعبيرًا من حيث م و م، يجب عليك حل المعادلة المعطاة لـ د. استخدم العمليات العكسية "للتراجع" عن كل ما تم القيام به د.

= سجل10(د & ناقص 5)

10 = د & ناقص 5

استخدم تعريف اللوغاريتم لإعادة كتابته كمعادلة أسية.

10 + 5 = د

الصيغة التي تعطي المسافات ، في الفرسخ ، من حيث م و م يكون د = 10 + 5.

إذا كان فرسخ واحد يساوي 3.26 سنة ضوئية ، إذن د فرسخ فلكي يساوي 3.26د سنوات ضوئية. مسافه: بعد، د، بالسنوات الضوئية ، يساوي 3.26د. تعيين د يساوي 3.26 في المقدار الذي أوجدناه د. الصيغة التي تعطي المسافة د، بالسنوات الضوئية ، من حيث م و م يكوند = 3.26(10 + 5) أو د = 3.26 & sdot 10 + 16.3.

2. يتناقص دائما ، ذ- انترسبت يمثل 1200 مشترك عام 2000 ولن يكون هناك مشترك عام 2050.

هذه دالة أسية ذات أساس أقل من 1 (0.83 0 = 1200 & sdot 1 = 1200

ال ذ-المدخل لهذه الوظيفة هو 1200. المتغير x هي سنوات بعد عام 2000 ، وقيمة الدالة ، س(x) ، هو عدد المشتركين ، لذا فإن ذ- يخبرك موقع Intercept أنه كان هناك 1200 مشترك في هذه المجلة في عام 2000.

عام 2050 هو 50 عامًا بعد عام 2000 ، لذا استخدم x = 50. متى x = 50, س(x) = 1200 & sdot 0.83 50 0.1. ال س(x) -value يمثل عدد المشتركين ، لذلك يجب التقريب إلى أقرب رقم صحيح ، وهو 0. إذا استمر نمط الوظيفة ، فلن يكون للمجلة مشتركون بحلول عام 2050.

تفضل ديانا أحزمة خصر البنطال التي تكون ضمن 2.5 سم من 72 سم ، سواء أكان أكبر من أو أقل من 72 سم. استخدم قيمة مطلقة لتمثيل الفرق بين قياس حزام الخصر الفعلي و 72 سم ، كقيمة موجبة: |ث & ناقص 72 |. عيِّن هذا الاختلاف الموجب أقل من 2.5 أو يساوي 2.5 ، لتمثيل تفضيل ديانا بأن يكون الفرق في نطاق 2.5 سم.

لحل ل ث، يمكننا الرسم البياني F(ث) = |ث & ناقص 72 | والعثور على ث- قيم F(ث) - قيم أقل من أو تساوي 2.5. أو يمكننا حلها جبريًا للحالات التي (ث & ناقص 72) موجب وسالب.


يوريكا الرياضيات الجبر 2 الوحدة النمطية 2 الدرس 13 مفتاح الإجابة

يوريكا الرياضيات الجبر 2 الوحدة النمطية 2 الدرس 13 مثال مفتاح الإجابة

مثال 1.
اكتب دالة جيبية لنمذجة مجموعة من البيانات
أ. في الرسم المبعثر الذي أنشأته في التمرين الافتتاحي ، ارسم الرسم البياني للدالة الجيبية التي يمكن استخدامها لنمذجة البيانات.
إجابه:

ب. ما هو خط الوسط والسعة ودورة الرسم البياني؟
إجابه:
ستختلف الإجابات اعتمادًا على الرسوم البيانية للطلاب ولكن يجب أن تكون قريبة من تلك المدرجة أدناه.
خط الوسط: ص = 1.25
السعة: 1.25
الفترة: 12

ج. تقدير المسافة الأفقية بين نقطة على الرسم البياني تعبر خط الوسط والمحور الرأسي.
إجابه:
المسافة حوالي 12.5 ساعة.

د. اكتب دالة بالصيغة f (x) = A sin (ω (x & # 8211 h)) + k لنمذجة هذه البيانات ، حيث x هي الساعات منذ منتصف الليل في 21 مايو ، و f (x) هي الارتفاع في قدم نسبة إلى MLLW.
إجابه:
f (x) = 1.25 sin ( ( frac <2 pi> <12> ) (x & # 8211 12.5)) + 1.25.

مثال 2. أخذ العينات الرقمية للصوت
عندما يتم تسجيل الصوت أو إرساله إلكترونيًا ، يتم أخذ عينات من شكل الموجة المستمر لتحويله إلى تسلسل رقمي منفصل. إذا زاد معدل أخذ العينات (الذي يمثله القياس الأفقي) أو الدقة (يمثله المقياس الرأسي) ، تتحسن جودة الصوت للتسجيل أو الإرسال.

تمثل البيانات الموضحة أدناه عينتين مختلفتين من نغمة نقية. تم أخذ عينة واحدة 8 مرات لكل وحدة زمنية بدقة 2 بت (4 فترات متساوية في الاتجاه العمودي) ، والآخر أخذ عينات 16 مرة لكل وحدة زمنية بدقة 4 بت (8 فترات متساوية في الاتجاه العمودي ).
أ. ما هي نقاط العينة التي ستنتج نموذجًا أفضل لموجة الصوت الفعلية؟ اشرح أسبابك.

إجابه:
ستحصل على نموذج أفضل بنقاط العينة في الشكل 2. إذا كانت الوظيفة التي نستخدمها لنمذجة البيانات تمر عبر المزيد من نقاط البيانات على الموجة الصوتية الأصلية ، فإن المنحنى الذي نستخدمه لتلائم البيانات سيمثل الصوت الأصلي بدقة.

ب. ابحث عن معادلة للدالة g التي تمثل النغمة النقية المأخوذة من الشكل 1.
إجابه:
ز (س) = 8.6436 خطيئة (0.5089x & # 8211 0.8891) + 8.3651

ج. ابحث عن معادلة للدالة h التي تمثل النغمة النقية المأخوذة من الشكل 2.
إجابه:
h (x) = 7.8464 sin (0 .4981x & # 8211 0.7327) + 7.8760

Eureka Math Algebra 2 Module 2 Lesson 13 مفتاح إجابة التمرين الافتتاحي

يحتاج أي شخص يعمل في المحيط أو حوله إلى الحصول على معلومات حول المد والجزر المتغيرة لإجراء أعمالهم بأمان وفعالية. يحتاج الأشخاص الذين يذهبون إلى الشاطئ أو إلى المحيط لأغراض ترفيهية أيضًا إلى معلومات حول المد والجزر عند التخطيط لرحلتهم. يوضح الجدول أدناه بيانات المد والجزر لمونتوك ، نيويورك ، في الفترة من 21 إلى 22 مايو 2014. الارتفاعات المذكورة في الجدول مرتبطة بمتوسط ​​المياه المنخفضة المنخفضة (M 11W). MLLW هو متوسط ​​ارتفاع أدنى المد المسجل في محطة المد والجزر كل يوم خلال فترة التسجيل. تستخدم هذه النقطة المرجعية من قبل الإدارة الوطنية للمحيطات والغلاف الجوي (NOAA) لأغراض الإبلاغ عن بيانات المد والجزر في جميع أنحاء الولايات المتحدة. كل محطة مد مختلفة في جميع أنحاء الولايات المتحدة لها MLLW الخاصة بها. تم الإبلاغ عن مستويات المد والجزر المرتفعة والمنخفضة بالنسبة لهذا الرقم. نظرًا لأنه متوسط ​​، يمكن أن تكون بعض قيم المد والجزر المنخفضة سالبة. NOAA تعيد تعيين قيم MLLW كل 20 عامًا تقريبًا.

أ. قم بإنشاء مخطط مبعثر للبيانات مع المحور الأفقي الذي يمثل الوقت منذ منتصف الليل في 21 مايو والمحور الرأسي الذي يمثل الارتفاع بالأقدام بالنسبة إلى MLLW.
إجابه:

ب. ما نوع الوظيفة التي من شأنها أن تكون نموذجًا لمجموعة البيانات هذه؟ وضح اختيارك.
إجابه:
على الرغم من أن النقاط القصوى لا تحتوي جميعها على نفس القيمة ، إلا أن الدالة الجيبية هي أفضل نموذج لهذه البيانات لأن البيانات تكرر نمط النقطة المرتفعة ، والنقطة المنخفضة ، والنقطة المرتفعة ، والنقطة المنخفضة ، على فترات منتظمة إلى حد ما من الوقت - تقريبًا كل 6 ساعات.

Eureka Math Algebra 2 Module 2 Lesson 13 مفتاح إجابة التمرين

التمرين 1.
يظهر الرسم البياني للمد والجزر في مونتوك لأسبوع 21 مايو & # 8211 28 أدناه. ما مدى دقة توقع نموذجك بوقت ارتفاع المد والجزر في 28 مايو وارتفاعه؟

إجابه:
أقصى قيمة لـ f هي 2.5. كان المد المرتفع في 28 مايو أعلى من MLLW بحوالي 3 أقدام. النموذج معطل بحوالي 6 بوصات.

مثال 2: أخذ العينات الرقمية للصوت عند تسجيل الصوت أو إرساله إلكترونيًا ، يتم أخذ عينات من شكل الموجة المستمرة لتحويله إلى تسلسل رقمي منفصل. إذا زاد معدل أخذ العينات (يمثله القياس الأفقي) أو الدقة (يمثله المقياس الرأسي) ، تتحسن جودة الصوت للتسجيل أو الإرسال.

تمثل البيانات الموضحة أدناه عينتين مختلفتين من نغمة نقية. تم أخذ عينة واحدة 8 مرات لكل وحدة زمنية بدقة 2 بت (4 فترات متساوية في الاتجاه العمودي) ، والآخر أخذ عينات 16 مرة لكل وحدة زمنية بدقة 4 بت (8 فترات متساوية في الاتجاه العمودي) ).
أ. ما هي نقاط العينة التي ستنتج نموذجًا أفضل لموجة الصوت الفعلية؟ اشرح أسبابك.

إجابه:
ستحصل على نموذج أفضل بنقاط العينة في الشكل 2. إذا كانت الوظيفة التي نستخدمها لنمذجة البيانات تمر عبر المزيد من نقاط البيانات على الموجة الصوتية الأصلية ، فإن المنحنى الذي نستخدمه لتلائم البيانات سيمثل الصوت الأصلي بدقة.

ب. ابحث عن معادلة للدالة g التي تمثل النغمة النقية المأخوذة من الشكل 1.
إجابه:
ز (س) = 8.6436 خطيئة (0.5089x & # 8211 0.8891) + 8.3651

ج. ابحث عن معادلة للدالة h التي تمثل النغمة النقية المأخوذة من الشكل 2.
إجابه:
h (x) = 7.8464 sin (0 .4981x & # 8211 0.7327) + 7.8760

التمرين 2 & # 8211 6
لقد ارتفعت أسعار الأسهم تاريخيًا بمرور الوقت ، ولكنها أيضًا تختلف بطريقة دورية. إنشاء مخطط مبعثر لبيانات سعر السهم الشهري لفترة زمنية مدتها 15 شهرًا منذ 1 يناير 2003.

أشهر منذ 1 يناير 2003 السعر عند الإغلاق بالدولار
0 20.24
1 19.42
2 18.25
3 19.13
4 19.20
5 20.91
6 20.86
7 20.04
8 20.30
9 20.54
10 21.94
11 21.87
12 21.51
13 20.65
14 19.84

تمرين 2.
هل ستكون الوظيفة الجيبية نموذجًا مناسبًا لهذه البيانات؟ اشرح أسبابك.
إجابه:
لن تكون الوظيفة الجيبية مناسبة لأن البيانات تتجه صعودًا مع مرور الوقت.

يمكننا نمذجة الاتجاه الصعودي الطفيف في هذه البيانات باستخدام الدالة الخطية f (x) = 19. 5 + 0.13x.
إذا أضفنا دالة جيبية إلى هذه الدالة الخطية ، فيمكننا نمذجة هذه البيانات باستخدام دالة جبرية تعرض اتجاهًا تصاعديًا ولكنها تختلف أيضًا بطريقة دورية.

التمرين 3.
أوجد دالة جيبية ، g ، والتي عند إضافتها إلى الدالة الخطية ، فإن f ، تشكل هذه البيانات.
إجابه:
g (x) = 1. 1 sin ( ( frac <2 pi> <5.5> ) (x & # 8211 4)) (قد تختلف إجابات الطالب.)

التمرين 4.
لنفترض أن S هي دالة سعر السهم التي تمثل مجموع الدالة الخطية المذكورة أعلاه والوظيفة الجيبية في التمرين 3.
إجابه:
S (x) = 19.5 + 0.13x + 1.1 sin ( ( frac <2 pi> <5.5> ) (x & # 8211 4))

التمرين 5.
أضف الرسم البياني لهذه الدالة إلى مخطط التبعثر. ما مدى توافقها مع البيانات؟
إجابه:
يظهر الرسم البياني المبعثر مع الوظيفة S أدناه لأول 15 شهرًا. بشكل عام ، يبدو أنه نموذج لهذه البيانات ، ولكن هناك عدد قليل من القيم المتطرفة مثل قيمة المخزون بعد شهرين من الإبلاغ عن البيانات.

تمرين 6.
فيما يلي رسم بياني لنفس السهم حتى ديسمبر 2009.

أ. هل سيقوم نموذجك بعمل جيد للتنبؤ بقيم المخزون بعد عام 2005؟
إجابه:
لن يقوم بعمل جيد للغاية في التنبؤ بقيمة السهم لأنه يرتفع بشكل حاد ثم ينخفض ​​قبل أن يبدأ السعر في الارتفاع بعد انخفاضه في عام 2009.

ب. ما هو الحدث الذي وقع في عام 2008 لتفسير الانخفاض الحاد في قيمة الأسهم؟
إجابه:
كانت هناك أزمة مالية في أسواق الأسهم التي كانت إيذانا ببدء الركود.

ج. ما هي حدود استخدام أي دالة لعمل تنبؤات بشأن قيمة السهم في وقت ما في المستقبل؟
إجابه:
هناك العديد من المتغيرات التي يمكن أن تؤثر على سعر السهم. ستكون الوظيفة التي تستند فقط إلى الوقت محدودة في قدرتها على التنبؤ بالأحداث المستقبلية أثناء الظروف غير المتوقعة.

Eureka Math Algebra 2 Module 2 Lesson 13 مفتاح حل مجموعة المشكلات

السؤال رقم 1.
أوجد معادلتين لكل من دالة الجيب ودالة جيب التمام التي يمكن أن يمثل كل منها الرسم البياني الموضح أدناه.

إجابه:
ص = 2 خطيئة (2 س)
ص = 2 كوس (2 (س + π))

السؤال 2.
أوجد معادلتين لكل من دالة الجيب ودالة جيب التمام التي يمكن أن يمثل كل منها الرسم البياني الموضح أدناه.

إجابه:
ص = 0.5 كوس (3 س) + 2
y = 0.5 sin (3 (x & # 8211 ( frac < pi> <2> ))) + 2

السؤال 3.
ترسل الأجسام المهتزة بسرعة موجات ضغط عبر الهواء تكتشفها آذاننا ثم تفسرها أدمغتنا على أنها صوت. تحلل أدمغتنا سعة وتواتر موجات الضغط هذه.

يتكون مكبر الصوت عادة من مخروط ورقي متصل بمغناطيس كهربائي. عن طريق إرسال تيار كهربائي متذبذب عبر المغناطيس الكهربائي ، يمكن جعل مخروط الورق يهتز. عن طريق ضبط التيار ، يمكن التحكم في سعة وتواتر الاهتزازات.

يوضح الرسم البياني التالي شدة الضغط (I) كدالة للوقت (x) ، بالثواني ، لموجات الضغط المنبعثة من مكبر صوت معين لإنتاج نغمة واحدة نقية.

أ. هل يبدو من الطبيعي استخدام دالة الجيب أو دالة جيب التمام لملاءمة هذا الرسم البياني؟
إجابه:
يمكن استخدام دالة الجيب أو دالة جيب التمام ، ولكن بما أن الرسم البياني يمر عبر الأصل ، فمن الطبيعي استخدام دالة الجيب.

ب. أوجد معادلة دالة مثلثية تناسب هذا الرسم البياني.
إجابه:
بالقراءة من الرسم البياني ، لدينا A = 1 ، h = 0 ، k = 0 ، و 2 p 0.0045 (لأن الرسم البياني به تقاطع x عند 0. 0045 تقريبًا بعد فترتين كاملتين). ثم p ≈ 0.00225 ، لذا so = ( frac <2 pi>

) يعطي w ≈ 800π. وبالتالي ، فإن المعادلة التي تمثل الرسم البياني المعروض هنا هي 1 (x) = sin (800πx).

السؤال 4.
افترض أن الجدول التالي يمثل متوسط ​​درجة حرارة الهواء المحيط الشهرية ، بالدرجات فهرنهايت ، في بعض الكهوف الجوفية في جنوب شرق أستراليا لكل من الأشهر الاثني عشر في السنة. نرغب في نمذجة هذه البيانات باستخدام دالة مثلثية. (لاحظ أن الفصول تنعكس في نصف الكرة الجنوبي ، لذا يكون يناير في الصيف ، ويوليو في الشتاء).
أ. هل يبدو من المعقول افتراض أن هذه البيانات ، إذا تم تمديدها إلى ما بعد عام واحد ، يجب أن تكون دورية تقريبًا؟
إجابه:
نعم

ب. ما هو اتساع البيانات على ما يبدو؟
إجابه:
هناك عدد من الطرق لتقريب السعة. يمكننا ببساطة أن نأخذ نصف الفرق بين أعلى وأدنى درجة حرارة ، أو يمكننا أن نأخذ نصف الفرق بين أعلى درجة حرارة والأخرى بعد ستة أشهر (أو نصف الفرق بين أدنى درجة حرارة ودرجة حرارة ستة أشهر ابكر). أعلى درجة حرارة 64. 22 درجة فهرنهايت وأدنى درجة حرارة 49.82 درجة فهرنهايت. باستخدام درجات الحرارة هذه ، نقرب السعة لتكون ( frac <64.22 ^ < circ> mathrm-49.10 ^ < circ> mathrm> <2> ) = 7. 56 درجة فهرنهايت.

ج. ما الذي يبدو أنه خط الوسط للبيانات (معادلة الخط عبر منتصف الرسم البياني)؟
إجابه:
متوسط ​​64. 22 درجة فهرنهايت و 49.10 درجة فهرنهايت بعد ستة أشهر هو 56.66. وبالتالي ، فإن خط الوسط سيتخطى = 56.66 لذلك ،
لدينا k = 56.66.

د. هل سيكون من الأسهل استخدام الجيب أو جيب التمام لنمذجة هذه البيانات؟
إجابه:
سيكون جيب التمام أسهل لأنه يمكننا تحديد ذروة الوظيفة بسهولة أكبر من المكان الذي يجب أن تعبر فيه خط الوسط.

ه. ما هو التقريب المعقول للانحراف الأفقي؟
إجابه:
يبدو أن ذروة الوظيفة ستكون بين يناير وفبراير ، لذلك دعونا نستخدم h = 1.5 للتحول الأفقي. (هذا بافتراض أننا صنفنا كانون الثاني (يناير) بالشهر الأول وشباط (فبراير) بالشهر الثاني).

F. اكتب معادلة للدالة التي يمكن أن تناسب هذه البيانات.
إجابه:
F (x) = 7.56 cos ( ( frac <2 pi> <12> ) (x & # 8211 1.5)) + 56.66

السؤال 5.
يوفر الجدول أدناه بيانات عن عدد ساعات النهار كدالة في يوم من العام ، حيث يمثل اليوم الأول 1 يناير. ارسم البيانات بيانيًا وحدد ما إذا كان يمكن تمثيلها بواسطة دالة جيبية. إذا كان بإمكانهم تحديد الفترة والسعة والخط الوسط للدالة ، والعثور على معادلة للدالة التي تشكل البيانات.

إجابه:
تظهر البيانات جيبية ، وأسهل وظيفة لنمذجةهم بوظيفة جيب التمام. ستكون الفترة 365 يومًا ، لذا سيكون التردد ω = ( frac <2 pi> <365> ) ≈ 0.017. السعة هي ( frac <1> <2> ) (20. 5 & # 8211 3. 6) = 8.45 ، والخط الوسط هو y = k ، حيث k = ( frac <1> <2> ) (20.5 + 3.6) = 12.05. نريد أعلى قيمة عند القمة ، إذن الانزياح الأفقي هو 175.
ع = 8.5 كوس (0.017t & # 8211175) + 12.05.

السؤال 6.
الدالة الموضحة أدناه هي y = x sin (x). يقول بليك ، "تتكرر الوظيفة على فترة زمنية محددة ، لذا يجب أن تكون دالة جيبية." رد على حجته.

إجابه:
بينما تتضمن معادلة الوظيفة دالة جيب داخلها ، فإن الوظيفة نفسها ليست دالة جيبية. ليس له سعة ثابتة أو خط وسط ، على الرغم من أنه يبدو أنه يصبح صفراً بزيادات ثابتة ، إلا أنه لا يحتوي على فترة لأن قيم الوظيفة لا تتكرر. وبالتالي ، فهي ليست وظيفة دورية وليست جيبية.

يوريكا الرياضيات الجبر 2 الوحدة النمطية 2 الدرس 13 مفتاح إجابة تذكرة الخروج

بيانات المد والجزر لمحطة القناة الجديدة ، الواقعة على شاطئ بحيرة بونتشارترين ، لوس أنجلوس ، وبحيرة تشارلز ، لوس أنجلوس ، موضحة أدناه.

السؤال رقم 1.
هل ستكون الوظيفة الجيبية بالصيغة f (x) = A sin (ω (x & # 8211 h)) + k مناسبة لنمذجة البيانات المعطاة لكل موقع؟ اشرح أسبابك.
إجابه:
يمكن نمذجة بيانات محطة القناة الجديدة بوظيفة جيبية ، لكن البيانات الأخرى لن تعمل بشكل جيد حيث يبدو أن هناك قيمتين مختلفتين للمد والجزر تختلفان تقريبًا على قدم وساق.


الثعالب والأرانب 2

يوجد أدناه جدول يوضح مجموعات الثعالب والأرانب في حديقة وطنية على مدار 12 شهرًا. لاحظ أن كل قيمة $ t $ تتوافق مع بداية الشهر وأن $ t = 0 $ يتوافق مع بداية شهر يناير.

$ t $ ، شهر 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
$ r $ عدد الأرانب 1000 750 567 500 567 750 1000 1250 1433 1500 1433 1250
$ f $، عدد الثعالب 150 143 125 100 75 57 50 57 75 100 125 143

لاحظ أن عدد الأرانب وعدد الثعالب هما من وظائف الوقت.


الرياضيات PreCalculus Mathematics في نبراسكا

في الفصل الأول ، قدمنا ​​الدوال المثلثية. مثل جميع الوظائف ، يمكن تحويل الدوال المثلثية عن طريق إزاحة الرسوم البيانية الخاصة بها وتمديدها وضغطها وعكسها. على وجه الخصوص ، مع الوظائف الدورية ، يمكننا تغيير خصائص مثل الفترة والخط الوسط واتساع الوظيفة. في هذا القسم ، نستكشف تحولات وظائف الجيب وجيب التمام ونستخدمها لنمذجة مواقف الحياة الحقيقية.

إذا كنت ترغب في مراجعة تحويلات الوظائف ، يمكنك الرجوع إلى تحويلات الوظائف 5.

تحولات الجيب وجيب التمام

اعطاء معادلة في الشكل

(| A | ) هو الامتداد / الضغط العمودي والوظيفة.

(| B | ) هو الامتداد / الضغط الأفقي ويرتبط بالدالة ، (P text <،> ) بالصيغة

(ك ) هو التحول الرأسي ويحدد الوظيفة.

تعتمد الأمثلة الثلاثة التالية على بعضها البعض لتوضيح كيف يمكننا استخدام التحويلات لرسم الدوال المثلثية المعقدة.

مثال 56

رسم على الرسم البياني للدالة

للبدء ، دعنا نحسب الدورة وخط الوسط واتساع الدالة.

باستخدام العلاقات أعلاه ، يكون عامل التمدد / الضغط (| B | = | 1 | = 1 text <.> ) لذلك ، فإن الفترة هي

عامل التمدد / الضغط العمودي هو (| A | = | 1 | = 1 text <،> ) وبالتالي فإن السعة هي 1.

أخيرًا ، يكون التحول الرأسي للوظيفة (ك = 4 نص <،> ) لذا فإن خط الوسط للدالة هو

باستخدام معرفتنا بالرسم البياني لـ (f (t) = sin (t) text <،> ) يمكننا رسم رسم بياني محوّل لـ (g (t) = sin (t) +4 text < .> ) لاحظ أن فترة كلتا الوظيفتين هي (2 pi ) وسعة كل منهما هي (1 نص <.> ) وبالتالي ، فإن الرسم البياني (g (t) = sin ( t) +4 ) يتضمن فقط تحولًا رأسيًا لأعلى بمقدار 4 من الرسم البياني الأصلي لـ (f (t) = sin (t) text <،> ) الذي ناقشناه في قسم سابق. يظهر الرسم البياني لـ (g (t) = sin (t) +4 ) أدناه.

يوضح المثال السابق التحول الرأسي لوظيفة الجيب. نبني الآن على هذا المثال لرسم بياني لدالة الجيب التي لها انزياح رأسي وامتداد رأسي.

مثال 57

رسم على الرسم البياني للدالة

للبدء ، دعنا نحسب الدورة وخط الوسط واتساع الدالة.

باستخدام العلاقات أعلاه ، يكون عامل التمدد / الضغط (| B | = | 1 | text <.> ) لذلك ، فإن الفترة هي

عامل التمدد / الانضغاط الرأسي هو (| A | = | 3 | = 3 text <،> ) وبالتالي فإن السعة هي 3.

أخيرًا ، يكون التحول الرأسي للوظيفة (ك = 4 نص <،> ) لذا فإن خط الوسط للدالة هو

باستخدام معرفتنا بالرسم البياني لـ (f (t) = sin (t) text <،> ) يمكننا رسم رسم بياني محوّل لـ (g (t) = 3 sin (t) +4 text <.> ) لاحظ أن فترة كلتا الوظيفتين هي (2 pi text <.> ) وبالتالي ، فإن الرسم البياني (g (t) = 3 sin (t) +4 ) يتضمن عمودًا رأسيًا تحول لأعلى بمقدار 4 وامتداد رأسي 3 من الرسم البياني الأصلي لـ (f (t) = sin (t) text <،> ) الذي ناقشناه في قسم سابق. يظهر الرسم البياني لـ (g (t) = 3 sin (t) +4 ) أدناه.

في المثال أدناه ، نبني على المثالين السابقين ونرسم وظيفة الجيب مع إزاحة رأسية وتمدد رأسي وضغط أفقي.

مثال 58

رسم على الرسم البياني للدالة

للبدء ، دعنا نحسب الدورة وخط الوسط واتساع الدالة.

باستخدام العلاقات أعلاه ، يكون عامل التمدد / الضغط (| B | = | 2 | text <.> ) لذلك ، فإن الفترة هي

عامل التمدد / الانضغاط الرأسي هو (| A | = | 3 | = 3 text <،> ) وبالتالي فإن السعة هي 3.

أخيرًا ، يكون التحول الرأسي للوظيفة (ك = 4 نص <،> ) لذا فإن خط الوسط للدالة هو

باستخدام معرفتنا بالرسم البياني لـ (f (t) = sin (t) text <،> ) يمكننا رسم رسم بياني محوّل لـ (g (t) = 3 sin (2t) +4 text <.> ) لاحظ أن الفترة والخط الوسط والسعة لكلتا الوظيفتين مختلفتان. وبالتالي ، فإن الرسم البياني (g (t) = 3 sin (t) +4 ) يتضمن إزاحة رأسية لأعلى بمقدار 4 ، وامتداد رأسي 3 ، وضغط أفقي بمعامل (1/2 ) ) من الرسم البياني الأصلي لـ (f (t) = sin (t) text <،> ) الذي ناقشناه في قسم سابق. يظهر الرسم البياني لـ (g (t) = 3 sin (2t) +4 ) أدناه.

مثال 59

حدد خط الوسط والسعة والدورة وارسم رسمًا بيانيًا للدالة

باستخدام العلاقات أعلاه ، فإن عامل التمدد / الضغط هو (| B | = | pi / 4 | = pi / 4 text <.> ) لذلك ، فإن فترة الوظيفة هي

عامل التمدد / الضغط العمودي هو (| A | = | 2 | = 2 text <،> ) وبالتالي فإن سعة الوظيفة هي 2.

أخيرًا ، يكون التحول الرأسي للوظيفة (ك = 1 نص <،> ) لذا فإن خط الوسط للدالة هو

باستخدام معرفتنا بالرسم البياني لـ (g (t) = cos (t) text <،> ) يمكننا رسم رسم بياني محوّل لـ

لاحظ أن الفترة والخط الوسط والسعة لكلتا الوظيفتين مختلفتان. وبالتالي ، فإن الرسم البياني المحول يتضمن إزاحة رأسية لأعلى بمقدار 1 ، وامتداد رأسي 2 ، وامتداد أفقي بمعامل (4 / pi ) من الرسم البياني الأصلي لـ (g (t) = cos ( t) text <،> ) التي ناقشناها في قسم سابق. الموضح أدناه هو الرسم البياني للدالة المحولة

بالإضافة إلى تغيير الفترة والخط الوسط والسعة لوظيفة دورية ، يمكننا أيضًا تحويلها من خلال تطبيق انعكاس رأسي.

تأملات عمودية

في دالات الجيب وجيب التمام ، قدمنا ​​الرسوم البيانية لـ (f ( theta) = sin ( theta) ) و (g ( theta) = cos ( theta) text <.> ) لكل من هاتين الوظيفتين ، (A = 1 text <.> ) يؤدي تغيير هذه القيمة (A ) من رقم موجب إلى رقم سالب إلى انعكاس عمودي عبر المحور (x ).

الرسوم البيانية لـ (f ( theta) = sin ( theta) ) و (f ( theta) = - sin ( theta) ) موضحة أدناه للمقارنة.

( hspace <.33in> ) رسم بياني لـ (f ( ثيتا) = الخطيئة ( ثيتا) )

( hspace <.3in> ) رسم بياني لـ (f ( ثيتا) = - الخطيئة ( ثيتا) )

لاحظ أن الوظيفة (f ( theta) = sin ( theta) ) تعبر المحور (y ) - عند خط الوسط عندما تتزايد ، بينما الدالة (f ( theta) = - الخطيئة ( ثيتا) ) تعبر المحور (ص ) - في خط الوسط عندما يكون في التناقص.

على عكس الرسوم البيانية الموضحة أعلاه ، لا تعبر الرسوم البيانية لـ (g ( theta) = cos ( theta) ) و (g ( theta) = - cos ( theta) ) (y ) - المحور في خط الوسط. بدلاً من ذلك ، فإنها تعبر عند الحد الأقصى أو الحد الأدنى لقيمة الوظيفة ، كما هو موضح أدناه.

( hspace <.33in> ) رسم بياني لـ (g ( theta) = cos ( theta) )

( hspace <.3in> ) رسم بياني لـ (g ( theta) = - cos ( theta) )

لاحظ أن الوظيفة (g ( theta) = cos ( theta) ) تعبر المحور (y ) - عند قيمته القصوى ، بينما الدالة (g ( theta) = - cos () theta) ) يعبر (y ) - المحور عند قيمته الدنيا.

سيساعدنا التعرف على الرسوم البيانية للوظائف أعلاه عند تحديد الوظيفة التي يجب استخدامها عند نمذجة الرسم البياني.

يتيح لنا تحويل السعة والخط الوسط وفترة الوظائف الجيبية ، جنبًا إلى جنب مع الانعكاسات الرأسية ، كتابة معادلات لمجموعة متنوعة من المواقف الدورية.

مثال 60

أوجد صيغة للدالة الجيبية الموضحة أدناه.

للبدء ، دعنا نحدد الدورة وخط الوسط والسعة للدالة الموضحة أعلاه.

تذكر أن فترة الوظيفة هي المدة التي تستغرقها الوظيفة لبدء التكرار. إذا فكرنا في الوظيفة "البدء" عند (x = 0 text <،> ) أو عندما تعبر المحور (y ) - ، يمكننا أن نرى أن الوظيفة أعلاه تبدأ في التكرار عندما (x = 5 text <.> ) لذلك ، فترة الدالة الموضحة أعلاه هي 5.

نظرًا لأن فترة الوظيفة مرتبطة بـ (B text <،> ) عامل التمدد / الضغط ، يمكننا استخدام العلاقة (P = 2 pi / | B | ) لحل (B ) text <.> ) نحصل على استبدال 5 في (P text <،> )

في الوقت الحالي ، يمكننا أن نفترض أن قيمة (B ) موجبة ، وهو ما يعطينا

الخط الوسطي للدالة هو الخط الأفقي في منتصف المسافة بين القيم القصوى والدنيا للوظيفة. هنا ، القيمة القصوى للدالة هي 4 والحد الأدنى للقيمة هو 0. الرقم في المنتصف بين 4 و 0 هو 2 ، لذا فإن خط الوسط هو السطر (y = 2 text <.> ) لذلك ، فإن التحول الرأسي من وظيفة الرسم البياني أعلاه

أخيرًا ، سعة الدالة هي المسافة بين القيمة القصوى للدالة والخط الوسط. المسافة بين القيمة القصوى للدالة 4 والخط الوسط للدالة (y = 2 ) هي 2 ، وبالتالي فإن سعة الدالة أعلاه هي 2. لذلك ، فإن عامل التمدد الرأسي هو

نحتاج الآن إلى تحديد نوع الدالة الجيبية التي يجب استخدامها وما إذا كان (A ) موجبًا أم سالبًا. لاحظ أن الوظيفة الموضحة أعلاه تتجاوز المحور (ص ) - عند أدنى قيمة لها. لذلك ، من عملنا أعلاه ، نحتاج إلى استخدام انعكاس عمودي لرسم بياني لجيب التمام لنمذجة هذه الدالة ، مما يعني أن

باستخدام عملنا أعلاه واستبدال القيم المعروفة لدينا في دالة جيب التمام المعمم (g (t) = A cos (Bt) + k ) يعطينا الصيغة التالية للدالة الموضحة أعلاه.

للتحقق من الحل الخاص بنا ، يمكننا استخدام آلة حاسبة بيانية لرسم بياني للوظيفة التي توصلنا إليها والتأكيد على أنها تطابق الرسم البياني الموضح أعلاه.

تأملات أفقية

في المثال أعلاه ، افترضنا أن قيمة (B ) موجبة. يؤدي تغيير قيمة (ب ) من رقم موجب إلى رقم سالب إلى انعكاس أفقي عبر المحور (ص ).

لاحظ أنه إذا عكسنا الوظيفة (f ( theta) = sin ( theta) ) أفقيًا عبر (y ) - المحور ، نحصل على نفس الرسم البياني للدالة (f ( theta) = - الخطيئة ( ثيتا) النص <.> ) لذلك ،

هناك طريقة أخرى لشرح هذه العلاقة وهي القول بأن الجيب دالة فردية لأن الرسم البياني لـ (f ( theta) = sin ( theta) ) متماثل حول الأصل.

( hspace <.33in> ) رسم بياني لـ (f ( theta) = sin ( theta) )

( hspace <.3in> ) رسم بياني لـ (f ( ثيتا) = الخطيئة (- ثيتا) )

إذا عكسنا الوظيفة (g ( theta) = cos ( theta) ) أفقيًا عبر (y ) - المحور ، نحصل على نفس الرسم البياني. وبالتالي،

هناك طريقة أخرى لشرح هذه العلاقة وهي القول إن جيب التمام هو دالة زوجية لأن الرسم البياني لـ (g ( theta) = cos ( theta) ) متماثل حول (y ) - المحور.

( hspace <.33in> ) رسم بياني لـ (g ( theta) = cos ( theta) )

( hspace <.3in> ) رسم بياني لـ (g ( theta) = cos (- theta) )

الملاحظة 61

بدلاً من استخدام الانعكاسات الأفقية ، سنفترض غالبًا أن قيمة (B ) للدالة موجبة ، وإذا لزم الأمر ، استخدم انعكاسًا رأسيًا بدلاً من ذلك.

مثال 62

ابحث عن صيغة ممكنة لدالة جيبية بسعة 2 ، فترة 4 ، والتي تتقاطع مع (y ) - المحور على خط الوسط عند النقطة ((0،3) text <.> ) افترض أن الوظيفة تتناقص عندما تعبر خط الوسط.

للبدء ، دعنا نرسم رسمًا بيانيًا للدالة بناءً على المعلومات المعروفة. نعلم أن الرسم البياني يعبر المحور (y ) - على خط الوسط عند النقطة ((0،3) ) وأن الوظيفة تتناقص عند تلك النقطة. نعلم أيضًا أن سعة الدالة هي 2 وأن الدورة تساوي 4. يوجد أدناه رسم بياني للدالة التي تناسب هذا الوصف.

نظرًا لأننا نعلم أن الفترة هي 4 ، فيمكننا استخدام العلاقة (P = 2 pi / | B | ) لحل النقطة B. استبدال 4 في لـ (P text <،> ) نحصل عليها

لنفترض أن قيمة (B ) موجبة ، لذلك

بعد ذلك ، نعلم أن الدالة تعبر المحور (y ) - عند النقطة ((0،3) text <،> ) الموجودة في منتصف الوظيفة. لذلك ، فإن خط الوسط للدالة هو (y = 3 ) هكذا

أخيرًا ، سعة الدالة هي 2 ، لذلك

نحتاج الآن إلى تحديد نوع الدالة الجيبية التي يجب استخدامها وما إذا كان (A ) موجبًا أم سالبًا. لاحظ أن الوظيفة أعلاه تعبر المحور (ص ) - في خط الوسط. لذلك ، يمكننا استخدام الرسم البياني للجيب لنمذجة هذه الدالة. نظرًا لأن الوظيفة تتناقص أثناء عبورها لمحور (ص ) ، فإننا نحتاج أيضًا إلى استخدام انعكاس رأسي ، مما يعني أن

باستخدام عملنا أعلاه واستبدال القيم المعروفة لدينا في دالة الجيب المعممة (f (t) = A sin (Bt) + k ) يعطينا الصيغة التالية للوظيفة الموضحة والمخططة أعلاه.

للتحقق من الحل الخاص بنا ، يمكننا استخدام آلة حاسبة بيانية لرسم بياني للوظيفة التي توصلنا إليها والتأكيد على أنها تطابق الرسم البياني الموضح أعلاه.

مثال 63

عين لندن هي عجلة فيريس ضخمة في لندن ، إنجلترا. تكمل دورة كاملة واحدة كل 30 دقيقة ، ويبلغ قطر كبسولات ركابها 130 مترًا. يركب الراكبون كبسولات الركاب من منصة ارتفاعها 5 أمتار فوق سطح الأرض. في الوقت (t = 0 text <،> ) ، لوح فردي بعجلة Ferris.

ابحث عن صيغة (h = f (t) text <،> ) حيث (h ) هو ارتفاع الفرد فوق الأرض (بالأمتار) بعد (t ) دقيقة.

تذكر أنه في مثال London Eye ، قمنا برسم رسم بياني لـ (h = f (t) ) للوضع الموصوف أعلاه. يظهر هذا الرسم البياني أدناه.

نظرًا لأننا قمنا بالفعل برسم رسم بياني لهذه الدالة ، يمكننا استخدام هذا الرسم البياني لإنشاء صيغة لهذه الدالة.

كما هو موضح في الرسم البياني ، فإن مدة الدالة هي 30 دقيقة. لذلك ، فإن قيمة (B ) للدالة هي

مرة أخرى ، نفترض أن (B ) موجب ، لذا

الحد الأقصى لقيمة الدالة 135 مترًا والحد الأدنى 5 أمتار. يقع خط الوسط في منتصف المسافة بين هاتين القيمتين ويمكن العثور عليه عن طريق حساب المتوسط ​​لهما:

وبالتالي ، فإن خط الوسط للدالة هو الخط (y = 70 ) متر ، و

سعة الدالة هي المسافة بين القيمة القصوى وخط الوسط وهي (135-70 = 65 ) مترًا. وبالتالي،

أخيرًا ، نحتاج إلى تحديد نوع الوظيفة التي يجب استخدامها وما إذا كانت القيمة (A ) موجبة أم سالبة. نظرًا لأن الرسم البياني للدالة يتقاطع مع (y ) - المحور عند أدنى قيمة له ، يمكننا استخدام مخطط جيب التمام السالب لتمثيل هذه الدالة. وبالتالي،

باستخدام عملنا أعلاه واستبدال القيم المعروفة لدينا في دالة جيب التمام المعممة (g (t) = A cos (Bt) + k ) يعطينا الصيغة التالية لـ (h = f (t) )

للتحقق من الحل الخاص بنا ، يمكننا استخدام آلة حاسبة بيانية لرسم بياني للوظيفة التي توصلنا إليها والتأكيد على أنها تطابق الرسم البياني الموضح أعلاه.

مثال 64

يبلغ قطر عجلة Ferris في Iowa State Fair حوالي 70 قدمًا وتستغرق 3 دقائق لإكمال دورة كاملة. يركب الركاب من منصة على ارتفاع 10 أقدام فوق سطح الأرض. في الوقت (t = 0 text <،> ) يكون الراكب في موضع الساعة 3 على عجلة Ferris ويصعد. ابحث عن صيغة (h = f (t) text <،> ) حيث (h ) هو ارتفاع الراكب فوق الأرض (بالقدم) بعد (t ) دقيقة.

دعنا ننتقل إلى كل جزء من المعلومات المعطاة لنا ونفكر في خاصية (f ) التي تتوافق معها.

أولاً ، تستغرق العجلة 3 دقائق لإكمال الدوران الكامل. هذا يعني أن دالة الارتفاع تتكرر كل 3 دقائق ، وبالتالي فإن الفترة هي 3. الفترة (P ) مرتبطة بـ (B text <،> ) عامل التمدد / الضغط ، بواسطة (P = 2 ) بي / | ب | نص <:> )

هذا يعني أن (| B | = frac <2 pi> <3> text <.> ) لنفترض أن (B ) موجب بحيث

الخط الوسطي للدالة هو الخط الأفقي في منتصف المسافة بين القيم القصوى والدنيا للوظيفة. نظرًا لأن الركاب يركبون من منصة 10 أقدام فوق الأرض ، فإن الحد الأدنى للارتفاع هو 10. قطر العجلة 70 قدمًا ، وبالتالي فإن قمة العجلة 80 قدمًا عن الأرض (70 قدمًا من العجلة زائد 10 أقدام) بعيدا عن الارض). الرقم الموجود في منتصف 10 و 80 هو 45 ، لذا فإن خط الوسط يكون عند (y = 45 text <.> ) وهذا يعني أن

أخيرًا ، السعة هي المسافة بين القيمة القصوى للدالة والخط الوسط. المسافة بين القيمة القصوى 80 وخط الوسط 45 هي 35 ، وبالتالي فإن عامل التمدد الرأسي هو

نحتاج الآن إلى تحديد نوع الدالة الجيبية التي يجب استخدامها وما إذا كان (A ) موجبًا أم سالبًا. عند (t = 0 ) تكون العجلة في موضع الساعة 3 على الرسم البياني ، وهذا يعني أن النقطة المقابلة لـ (t = 0 ) تقع على خط الوسط. هذا يعني أنه يجب علينا استخدام دالة الجيب. علاوة على ذلك ، نظرًا لأن الراكب عند (t = 0 ) يرتفع ، فإن ارتفاعه يزداد وبالتالي يجب أن يكون (A ) موجبًا. بتجميع كل هذا معًا ، يمكن تحديد ارتفاع العجلة في الوقت (t ) بواسطة

في حين أن التحويلات المذكورة أعلاه كافية لتمثيل العديد من المواقف ، فإننا نواجه أحيانًا وظيفة جيبية لا تعبر المحور (y ) - عند أدنى نقطة أو أعلى نقطة أو خط الوسط. في هذه الحالات ، نحتاج إلى استخدام التحولات الأفقية. نظرًا لأننا نجمع بين التحولات الأفقية والتمديدات الأفقية ، فنحن بحاجة إلى توخي الحذر. تذكر أنه عندما يتم تحليل الجزء الداخلي من الدالة ، فإنه يكشف عن الانزياح الأفقي.

التحولات الأفقية للجيب وجيب التمام

اعطاء معادلة في الشكل

(h ) هو التحول الأفقي للوظيفة.

إذا كانت (h ) موجبة ، فإن الرسم البياني للوظيفة الأصلية ينتقل إلى اليمين. إذا كانت (h ) سالبة ، فإن الرسم البياني للوظيفة الأصلية ينتقل إلى اليسار.

مثال 65

ارسم رسمًا بيانيًا لـ ( displaystyle f (t) = 4 sin left ( frac < pi> <3> t- frac < pi> <3> right) text <.> )

لإظهار الانزياح الأفقي ، علينا أولًا تحليل ما بداخل دالة الجيب. نحصل على تحليل a ( pi / 3 ) من كلا الحدين

الآن بعد أن أصبحت الوظيفة بالشكل (f (t) = A sin (B (th)) + k text <،> ) يمكننا تحديد الفترة والخط الوسط والسعة والانزياح الأفقي للوظيفة في لمساعدتنا في رسمها.

عامل التمدد / الانضغاط هو (| B | = | pi / 3 | ) وبالتالي فإن الفترة هي

عامل التمدد / الضغط العمودي هو (| A | = | 4 | = 4 text <،> ) لذا فإن سعة الوظيفة هي 4.

التحول الرأسي للوظيفة هو (ك = 0 نص <،> ) لذا فإن خط الوسط للوظيفة هو (y = 0 نص <،> ) وهو المحور (س ) -. لذلك ، لا يوجد إزاحة رأسية لهذه الوظيفة.

أخيرًا ، يكون التحول الأفقي للدالة (h = 1 text <.> ) نظرًا لأن (h ) موجب ، فسيتم إزاحة الرسم البياني إلى اليمين بمقدار 1.

باستخدام معرفتنا بالرسم البياني لـ (f (t) = sin (t) text <،> ) يمكننا رسم رسم بياني محوّل لـ

لاحظ أن خط الوسط للوظيفتين هو نفسه ، لكن اتساعهما ودورهما مختلفان. بالإضافة إلى ذلك ، يتم إزاحة الوظيفة المحولة أفقيًا من الوظيفة الأصلية. لذلك ، يتضمن الرسم البياني المحول امتدادًا رأسيًا بمقدار 4 ، وضغطًا أفقيًا بمعامل (3 / pi text <،> ) وانزياح أفقي يمينًا بمقدار 1 من الرسم البياني الأصلي لـ (f (t) = sin (t) text <،> ) الذي ناقشناه في قسم سابق. الموضح أدناه هو الرسم البياني للدالة المحولة

في بعض كتب الفيزياء والرياضيات ، سوف تسمع التحول الأفقي (ح ) المشار إليه باسم. في كتب الفيزياء والرياضيات الأخرى ، قد يقولون إن تحول الطور في المعادلات المعممة أعلاه هو (Bh text <.> ) بسبب هذا الغموض ، سوف نتجنب استخدام مصطلح تحول الطور وبدلاً من ذلك نسميها التحولات الأفقية كلما أمكن ذلك. .


الدرس 15

هذا هو أول درسين يركزان على الطلاب الذين يتدربون على تحديد السمات المهمة للوظائف المثلثية عند البدء من المعادلات أو الرسوم البيانية. يبدأون أيضًا في معرفة كيفية تأثير عامل المقياس الأفقي على فترة هذه الأنواع من الوظائف. بينما يركز هذا الدرس على السياقات الرياضية ، يعود الطلاب إلى العمل مع مواقف نمذجة الوظائف في الدرس التالي مع التركيز على التفكير في عامل المقياس الذي يؤثر على الفترة.

يعرّف الإحماء الطلاب على شكل جيب التمام والجيب بفترات مختلفة. في نشاط لاحق ، ركزوا على (y = sin (2 theta) ) واستخدموا تمثيلات مختلفة لفهم سبب ظهور الرسم البياني لهذه الوظيفة مضغوطًا أفقيًا مقارنة بالرسم البياني لـ (y = sin ( ثيتا) ).

يستخدم الطلاب الهيكل عندما يعملون على مهمة المطابقة حيث يقومون بتحديد الخصائص الهيكلية الهامة للرسوم البيانية والمعادلات (MP7). تتضمن هذه الخصائص ترجمة خط الوسط والسعة والترجمات الأفقية ويحتاج الطلاب إلى تحديد هذه الجوانب للوظيفة من التعبير الذي يحدد الوظيفة والرسم البياني الخاص بها.

التكنولوجيا ليست مطلوبة لهذا الدرس ، ولكن هناك فرصًا للطلاب لاختيار استخدام التكنولوجيا المناسبة لحل المشكلات. نوصي بجعل التكنولوجيا متاحة.


14.2: طواحين الهواء في كل مكان (15 دقيقة)

نشاط

في الدرس السابق ، تعلم الطلاب تعريف السعة والخط الوسط من خلال فحص الرسوم البيانية الجيبية المنتجة لنمذجة الوضع الرأسي لنقطة على طاحونة هوائية دوارة. يحافظ هذا النشاط على سياق الطاحونة ويطلب من الطلاب تفسير كل من معادلات جيب التمام والجيب. سوف يحتاجون إلى التركيز على ثلاثة جوانب مختلفة من المعادلات:

  • سعة الرسم البياني للجيب (طول شفرة الطاحونة الهوائية)
  • خط الوسط لرسم بياني الجيب (ارتفاع مركز شفرات طاحونة الهواء)
  • اتجاه دوران الطاحونة (في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة).

إطلاق

رتب الطلاب في مجموعات من 2. اعرض صورة لشفرات طاحونة هوائية ليراها الجميع ، مثل هذه الصورة من درس سابق:

قم بتوسيع الصورة

أخبر الطلاب أن هذه الشفرات تمتد على بعد 4 أمتار من المركز وأن مركز الطاحونة الهوائية على بعد 20 مترًا من الأرض. تدور الطاحونة عكس اتجاه عقارب الساعة.

اطلب من الطلاب كتابة معادلة لتمثيل ارتفاع النقطة بالأمتار (W ) ، بالنسبة إلى الأرض ، كدالة للزاوية ( theta ) للدوران ( (h = 4 sin () ثيتا) + 20 )). حدد 2-3 طلاب لمشاركة الطريقة التي كتبوا بها المعادلة. أخبرهم أنهم في هذا النشاط سيعملون في الاتجاه المعاكس. أي أنهم سيبدأون بمعادلة تعطي الموضع الرأسي للنقطة (W ) عند طرف شفرة الطاحونة ويستخدمونها لوصف الطاحونة الهوائية.

فيما يلي ثلاث معادلات لثلاث طواحين هواء مختلفة. تصف كل معادلة ارتفاع (h ) ، بالأقدام فوق الأرض ، لنقطة عند طرف شفرة طاحونة هوائية مختلفة. تكون النقطة في أقصى اليمين عندما تأخذ الزاوية ( theta ) القيمة 0. صف كل طاحونة وكيف تدور.

استجابة الطالب

يمكن للمعلمين الذين لديهم عنوان بريد إلكتروني صالح للعمل النقر هنا للتسجيل أو تسجيل الدخول للوصول المجاني إلى رد الطلاب.

المفاهيم الخاطئة المتوقعة

إذا عانى الطلاب من السعة السالبة في السؤال الأخير ، شجعهم على استبدال بعض قيم الزوايا ( theta ) ورسمها.

توليف النشاط

اعرض المعادلات الثلاث ليراها الجميع. ابدأ المناقشة بسؤال "ما هو خط الوسط والسعة لكل دالة وماذا تعني هذه القيم في هذا السياق؟" (خط الوسط هو ارتفاع مركز ريش الطاحونة والسعة هي طول الشفرات.) سجل استجابات الطلاب بجوار المعادلات.

اسأل الطلاب كيف فسروا العلامة الموجودة أمام الجيب في المعادلة الأخيرة (هذا يعني أن الطاحونة تدور في اتجاه عقارب الساعة مع زيادة الزاوية ( ثيتا )). لمساعدة الطلاب على تصور تأثير العلامة السلبية أمام التعبير ، لاحظ أنه بينما يزيد ( sin ( theta) ) من 0 إلى 1 حيث يزيد ( theta ) من 0 إلى ( frac < pi> <2> ) ، ( text- sin ( theta) ) ينخفض ​​من 0 إلى -1 حيث إن ( theta ) يزيد من 0 إلى ( frac < pi> <2> ). فيما يتعلق بالطاحونة الهوائية ، فإن هذا يعني أنه بدلاً من التوجه نحو أعلى نقطة في دائرة دورانها ، تبدأ النقطة (W ) بالانتقال إلى أدنى نقطة في دائرة دورانها. هذا يعني أن الطاحونة تدور في اتجاه عقارب الساعة بدلاً من عكس اتجاه عقارب الساعة.


7.4: نمذجة تغيير السعة والخط الوسط - الرياضيات

· فهم السعة والدورة.

· رسم دالة الجيب مع التغيرات في السعة والفترة.

· ارسم دالة جيب التمام بالتغيرات في السعة والدورة.

· مطابقة دالة الجيب أو دالة جيب التمام مع الرسم البياني الخاص بها والعكس صحيح.

أنت تعرف كيفية رسم الوظائف و. الآن سوف تتعلم كيفية رسم "مجموعة" كاملة من وظائف الجيب وجيب التمام. هذه الوظائف لها شكل أو أين أ و ب ثوابت.

استخدمنا المتغير سابقًا لإظهار زاوية في الوضع القياسي ، وأشرنا أيضًا إلى دوال الجيب وجيب التمام كـ و. غالبًا ما تُستخدم وظائف الجيب وجيب التمام في التطبيقات التي لا علاقة لها بالمثلثات أو الزوايا والحرف x يستخدم بدلاً من الإدخال (وكذلك لتسمية المحور الأفقي). لذا من الآن فصاعدًا ، سنشير إلى هذه الوظائف نفسها مثل و. لا يؤثر هذا التغيير على الرسوم البيانية التي تظل كما هي.

أنت تعلم أن الرسوم البيانية لوظائف الجيب وجيب التمام لها نمط من التلال والوديان التي تتكرر. طول هذا النمط المتكرر. وهذا يعني أن الرسم البياني لـ (أو) على الفاصل الزمني يشبه الرسم البياني على الفاصل الزمني أو أو. يستمر هذا النمط في كلا الاتجاهين إلى الأبد.

يوضح الرسم البياني أدناه أربع تكرارات لنمط الطول. تحتوي كل واحدة بالضبط على نسخة كاملة واحدة من نمط "التل والوادي".

إذا كان للدالة نمط متكرر مثل الجيب أو جيب التمام ، فإنها تسمى أ وظيفة دورية. ال فترة هو طول أصغر فترة زمنية تحتوي على نسخة واحدة بالضبط من نمط التكرار. لذا فإن فترة أو هي. أي جزء من الرسم البياني يوضح هذا النمط خلال فترة واحدة يسمى أ دورة. على سبيل المثال ، الرسم البياني للفاصل الزمني هو دورة واحدة.

أنت تعلم من الرسم البياني للدوال التربيعية للنموذج أنك قمت بتغيير قيمة أ قمت بتغيير "عرض" الرسم البياني. الآن سنلقي نظرة على وظائف النموذج ونرى كيف يتغير ب سوف تؤثر على الرسم البياني. على سبيل المثال ، هل هي دورية ، وإذا كان الأمر كذلك ، فما هي الفترة؟ فيما يلي جدول يحتوي على بعض المدخلات والمخرجات لهذه الوظيفة.

x (بالتقدير الدائري)

2x (بالتقدير الدائري)

كقيم x انتقل من 0 إلى قيم الانتقال من 0 إلى. يمكننا أن نرى من الرسم البياني أن الوظيفة هي دالة دورية ، وهي تمر بدورة كاملة واحدة على الفترة [0 ،] ، لذا فدورتها هي. إذا قمت باستبدال قيم x من إلى ، ستنتقل قيم من إلى ، وستمر بدورة كاملة أخرى لوظيفة الجيب.

لاحظ أن اثنين دورات على الفاصل الزمني [0 ، 2] ، وهو الفاصل الزمني يحتاج لإكمال دورة كاملة واحدة.

ما هي أصغر قيمة إيجابية ل x أين هو في حده الأدنى؟

غير صحيح. تحقق الوظيفة الحد الأدنى من قيمتها في هذه المرحلة ، ولكنها ليست قيمة موجبة. والجواب الصحيح هو .

غير صحيح. ربما خلطت بين الحد الأدنى والحد الأقصى. والجواب الصحيح هو .

صيح. الحد الأدنى لقيمة دالة الجيب هو. انظر إلى الرسم البياني لـ. تبلغ هذا الحد الأدنى في قاع كل واد. حيث قاع الوادي الأول x هو إيجابي في.

غير صحيح. ربما كنت تعتقد أن القيمة 0 هي الحد الأدنى للقيمة ، لكن دالة الجيب تأخذ قيمًا سالبة. والجواب الصحيح هو .

ما هي مدة الوظيفة؟ هنا جدول مع بعض المدخلات والمخرجات لهذه الوظيفة.

x (بالتقدير الدائري)

3x (بالتقدير الدائري)

كقيم x انتقل من 0 إلى قيم الانتقال من 0 إلى. يمكننا أن نرى من الرسم البياني الذي يمر بدورة كاملة واحدة في الفترة الزمنية ، وبالتالي فإن الدورة هي.

لاحظ أن ثلاثة دورات على الفاصل الزمني [0 ، 2] ، وهو الفاصل الزمني يحتاج لإكمال دورة كاملة واحدة.

ما هي مدة الوظيفة؟ هنا جدول مع بعض المدخلات والمخرجات لهذه الوظيفة.

x (بالتقدير الدائري)

x (بالتقدير الدائري)

كقيم x انتقل من 0 إلى قيم الانتقال من 0 إلى.

يمكننا أن نرى من الرسم البياني الذي يمر بدورة كاملة واحدة في الفترة الزمنية ، وبالتالي فإن الدورة هي.

لاحظ ذلك نصف واحد دورة كاملة على الفترة [0 ، 2] ، وهي الفترة الزمنية اللازمة لإكمال دورة كاملة واحدة.

دعونا نضع هذه النتائج في جدول. بالنسبة للدوال الثلاث الأولى ، أعدنا كتابة فتراتها بالبسط حتى يصبح النمط واضحًا. هل تستطيع أن ترى علاقة بين الدالة والمقام في الفترات؟

في كل حالة ، يمكن إيجاد الفترة بالقسمة على معامل x. بشكل عام ، الفترة من ، والفترة هي. نظرًا لأن الفترة هي طول الفترة ، يجب أن تكون دائمًا رقمًا موجبًا. لأنه من الممكن ل ب ليكون رقمًا سالبًا ، يجب أن نستخدمه في الصيغة للتأكد من أن النقطة دائمًا رقم موجب.

يمكنك التفكير في القيم المختلفة لـ ب على أنه تأثير "أكورديون" (أو نابض) على الرسوم البيانية لجيب الجيب وجيب التمام. قيمة كبيرة ب يضغط عليها وقيمة صغيرة لـ ب يمتد لهم.

هناك طريقة أخرى لوصف هذا التأثير. في الفترة الزمنية ، يمر بدورة واحدة بينما يمر بدورتين. إذا عدت وتحققت من جميع الأمثلة أعلاه ، فسترى أن هناك دورات في الفاصل الزمني. وبالمثل ، لديها دورات في الفترة.

ما هي فترات و؟

إلى عن على ، . عوّض بهذه القيمة في الصيغة.

فترة هي ، وفترة هي.

كما رأيت ، الرسوم البيانية لجميع وظائف الجيب وجيب التمام هذه تتناوب بين التلال والوديان. ارتفاع تل واحد (الذي يساوي عمق واد واحد) يسمى السعة. يمكنك أن ترى أنه بالنسبة لجميع الرسوم البيانية التي نظرنا إليها حتى الآن ، فإن السعة تساوي 1.

الطريقة الرسمية لقول هذا لأي وظيفة دورية هي:

أنت تعلم أن الحد الأقصى لقيمة أو هو 1 والحد الأدنى لقيمة أي منهما هو. لذلك إذا قمت بتطبيق التعريف أعلاه ، فستحصل على:

هذه النتيجة تتفق مع ما لوحظ من الرسم البياني.

لقد رأيت أن تغيير قيمة ب في أو يمد أو يضغط الرسم البياني مثل الأكورديون أو الزنبرك ، لكنه لا يغير القيم القصوى أو الدنيا. لكل هذه الوظائف ، الحد الأقصى هو 1 والحد الأدنى هو. لذلك إذا قمت بتطبيق تعريف السعة ، فستقوم بنفس العملية الحسابية تمامًا كما فعلنا أعلاه. سعة أي من هذه الوظائف هي 1.

دعونا نلقي نظرة على نوع مختلف من التغيير على دالة من خلال رسم الدالة بيانيًا. فيما يلي جدول يحتوي على بعض قيم هذه الوظيفة.

x (بالتقدير الدائري)

سنأخذ العمودين الأول والثالث لعمل جزء من الرسم البياني ثم نوسع هذا النمط إلى اليسار واليمين.

الآن يمكنك استخدام هذا الرسم البياني في المثال التالي.

ما هو اتساع؟

يمكنك العثور على القيم القصوى والدنيا للدالة من الرسم البياني. على سبيل المثال ، عند القيمة 2 ، والقيمة هي.

استخدم تعريف السعة.

لاحظ أن ارتفاع كل تل هو 2 ، وعمق كل واد 2. وهذا يساوي السعة كما ذكرنا في البداية.

لاحظ أيضًا أن السعة تساوي معامل الوظيفة:

هذا ليس من قبيل الصدفة.

دعنا نقارن الرسم البياني لهذه الوظيفة بالرسم البياني لوظيفة الجيب.

تأثير الضرب في 2 هو تمديد الرسم البياني عموديًا بمعامل 2. ولأنه قد تمدد عموديًا بواسطة هذا العامل ، فإن السعة تكون ضعف ذلك المقدار ، أو 2. إذا نظرنا إلى الرسم البياني ، لكان قد تمدد عموديًا بمعامل 3 ، واتساع هذه الدالة هو 3. مرة أخرى ، هذا يساوي معامل الدالة. بشكل عام ، لدينا القاعدة التالية.

كما يوضح المثال الأخير ، فإن الضرب في ثابت في الخارج يؤثر على السعة. إذا قمت بضرب ثابت في الخارج والداخل ، كما في ، فسوف تؤثر على كل من السعة والدورة. هذا هو الرسم البياني لـ:

أوجد سعة ودورة.

استخدم صيغة السعة مع.

استخدم صيغة الفترة مع.

السعة 3 والدورة هي.

في هذا المثال ، كان من الممكن أن تجد الفترة من خلال النظر إلى الرسم البياني أعلاه. يتم عرض دورة كاملة واحدة ، على سبيل المثال ، في الفاصل الزمني ، وبالتالي فإن الفترة هي.

في الدوال والضرب في الثابت أ يؤثر فقط على السعة ، وليس الفترة. كما قلنا سابقًا ، تغيير قيمة ب يؤثر فقط على الفترة وليس السعة. النتيجة العامة هي على النحو التالي.

لمساعدتك على فهم التغيرات في السعة والفترة لكل من دالة الجيب ودالة جيب التمام ، جرب التمرين التفاعلي التالي:

هذا هو تطبيق Java الصغير الذي تم إنشاؤه باستخدام GeoGebra من www.geogebra.org - يبدو أنه ليس لديك Java مثبتًا ، يرجى الانتقال إلى www.java.com

ما هي سعة وفترة؟

أ) السعة ، والدورة.

ب) السعة ، والدورة.

ج) السعة 1 ، والدورة هي.

د) السعة 1 ، والدورة هي.

أ) السعة ، والدورة.

صيح. في هذه الدالة ، هذه هي السعة. الفترة تساوي.

ب) السعة ، والدورة.

غير صحيح. السعة صحيحة ، لكن الفترة ليست كذلك. ربما قمت بضرب 4 بدلاً من القسمة. الإجابة الصحيحة هي.

ج) السعة 1 ، والدورة هي.

غير صحيح. الفترة صحيحة ، لكن السعة ليست كذلك. ربما كنت تعتقد أن السعة هي الحد الأقصى ناقصًا الحد الأدنى ، لكنها نصف هذا. الإجابة الصحيحة هي.

د) السعة 1 ، والدورة هي.

غير صحيح. ربما كنت تعتقد أن السعة هي الحد الأقصى ناقصًا الحد الأدنى ، لكنها نصف هذا. ربما تكون قد ضربت في 4 بدلًا من القسمة لإيجاد الدورة. الإجابة الصحيحة هي.

الرسوم البيانية لوظائف الجيب

أنت تعلم أن الوظيفة لها سعة ودورة. يمكنك استخدام هذه الحقائق لرسم الرسم البياني لأي دالة في النموذج بالبدء بالرسم البياني وتعديلها.

على سبيل المثال ، افترض أنك تريد الرسم البياني لـ. منذ ذلك الحين ، هذه الوظيفة لها نفس الفترة مثل. بما أن السعة تساوي 4. لذلك ، يمكنك أن تأخذ التمثيل البياني لـ وتمدده عموديًا ببساطة بمعامل 4. هذه دورة واحدة لهاتين الوظيفتين.

لاحظ أن النقاط التي كانت على x-محور "البقاء" على x-محور. في هذه النقاط (حيث) ، تكون قيمة 0.إذا قمت بضرب 0 في 4 (أو أي شيء آخر) ، فستظل لديك القيمة 0. لذلك ستظل النقاط على x-محور. من ناحية أخرى ، ابتعدت النقاط الأعلى والأدنى عن x-محور. كان لديهم ذ- قيم 1 و for ، ولديهم ذ- قيم 4 و.

رسم بياني في الفترة الزمنية.

قيمة ال ب هي 1 ، لذا فإن الرسم البياني له فترة ، كما هو الحال.

قيمة ال أ هو ، إذن فإن سعة الرسم البياني تساوي 1 ، كما هو الحال.

على الرغم من أن السعة والدورة هما نفس الدالة ، إلا أن الرسم البياني ليسا متطابقين تمامًا. تأثير الضرب في هو الاستبدال ذ- القيم بأضدادها. لذلك ينعكس التمثيل البياني لـ x-محور.

إذا كنت تريد التحقق من هذه الرسوم البيانية باستخدام آلة حاسبة للرسوم البيانية ، فتأكد من أن نافذة الرسوم البيانية بها الإعدادات الصحيحة. في هذا المثال الأخير ، يمكنك استخدام و. بشكل عام ، قد ترغب في ضبط ملف x- القيم لإظهار دورة واحدة كاملة و ذ- القيم باستخدام السعة.

إذا كانت قيم أ و ب كلاهما مختلف عن 1 ، فأنت بحاجة إلى الجمع بين تأثيرات التغييرين.

رسم بياني في الفترة الزمنية.

قيمة ال أ تساوي 3 ، لذا فإن سعة الرسم البياني تساوي 3. وهذا له تأثير أخذ الرسم البياني وتمديده عموديًا بمعامل 3.

قيمة ال ب هو ، وبالتالي فإن فترة الرسم البياني هي. هذا هو ضعف فترة. هذا له تأثير أخذ الرسم البياني وتمديده أفقيًا بمعامل 2. (الطريقة البديلة لقول هذا هو أن له دورة في الفترة.)

لعمل الرسم البياني ، يجب عليك الجمع بين التأثيرين الموصوفين أعلاه.

تحتاج أحيانًا إلى تمديد الرسم البياني لوظيفة الجيب ، وفي بعض الأحيان تحتاج إلى تقليصه.

رسم بياني دورتين لدالة الجيب التي اتساعها ودورتها.

هناك وظائف مختلفة للنموذج تتناسب مع هذا الوصف لأن أ و ب يمكن أن تكون إيجابية أو سلبية. سنرسم الرسم البياني على افتراض أن هذه موجبة.

نظرًا لأن السعة هي ، فإن هذا له تأثير أخذ الرسم البياني وتقليصه عموديًا بمعامل 2.

الفترة التي هي فترة. هذا له تأثير أخذ الرسم البياني وتقليصه أفقيًا بمعامل 3.

لعمل الرسم البياني ، يجب عليك الجمع بين التأثيرين الموصوفين أعلاه.

حتى بدون معرفة القيمة المحددة للثابت ، لا يزال بإمكانك أحيانًا تضييق نطاق احتمالات شكل الرسم البياني.

الرسم البياني للدالة ، أين أ ثابت ، يتم رسمه على الفترة الزمنية.

أي من الخيارات التالية يمكن أن يكون هذا الرسم البياني؟

غير صحيح. هذا له الشكل والنقطة الصحيحان ، لكنه في الموضع الخطأ. بغض النظر عن قيمة أ، يجب أن يمر الرسم البياني عبر x-المحور الذي لا يفعل ذلك. والجواب الصحيح هو د.

غير صحيح. هذا هو التمثيل البياني لدالة جيب التمام. بغض النظر عن قيمة أ، يجب أن يمر الرسم البياني عبر x-المحور في. والجواب الصحيح هو د.

غير صحيح. لأن معامل x هي 1 ، يجب أن يحتوي الرسم البياني على فترة زمنية ، لكن هذا الرسم البياني له فترة. والجواب الصحيح هو د.

صيح. لأن معامل x هو 1 ، الرسم البياني له فترة ، وهذا الخيار له. العامل أ يمكن أن يمتد أو يتقلص الرسم البياني ، ولكن لا يزال يجب أن يمر عبر x-المحور عند النقاط ، وهو ما يفعله.

الرسوم البيانية لوظائف جيب التمام

أنت تعلم أن الوظيفة لها سعة ودورة. تمامًا كما فعلت مع دوال الجيب ، يمكنك استخدام هذه الحقائق لرسم الرسم البياني لأي دالة في النموذج بالبدء بالرسم البياني وتعديلها.

على سبيل المثال ، افترض أنك تريد الرسم البياني لـ. منذ ذلك الحين ، لها نفس السعة مثل. ولأن الفترة تُعطى بواسطة:

نظرًا لأن هذه هي ضعف الفترة الزمنية ، فستأخذ الرسم البياني لـ وتمدده أفقيًا بمعامل 2. هنا مقارنة بين هذين الرسمين البيانيين جنبًا إلى جنب.

لاحظ أنه في الفترة الزمنية ، يحتوي الرسم البياني لـ على دورة كاملة واحدة. منذ ذلك الحين ، يحتوي الرسم البياني لدورة في تلك الفترة الزمنية.

إذا كنت تستخدم آلة حاسبة للرسوم البيانية ، فأنت بحاجة إلى ضبط الإعدادات لكل رسم بياني للحصول على نافذة بيانية تعرض جميع ميزات الرسم البياني. في المثال الأخير ، يمكنك استخدام و. بشكل عام ، قد ترغب في ضبط ملف x- القيم لإظهار دورة واحدة كاملة و ذ- القيم لإظهار أعلى وأدنى نقطة. في المثال التالي ، يمكنك استخدام ونافذة الرسم البياني لأنه يُطلب منك تحديدًا رسمها على المجال وسيكون للرسم البياني سعة 2 ، منخفضة تصل إلى -2 وتصل إلى +2.

رسم بياني في الفترة الزمنية.

السعة تساوي. هذا له تأثير أخذ الرسم البياني وتمديده عموديًا بمعامل 2. العلامة السالبة على "الخارج" لها تأثير إضافي: ذ- يتم استبدال القيم بأضدادها ، لذلك ينقلب الرسم البياني أيضًا فوق x-محور.

قيمة ال ب هي 1 ، لذا فإن الرسم البياني له فترة ، كما هو الحال.

عندما يكون التغيير الوحيد هو امتداد عمودي أو ضغط أو قلب ، فإن ملف x- تبقى الاعتراضات كما هي. لذلك سيمر الرسم البياني من خلال x-المحور في و.

مرة أخرى ، إذا كانت قيم أ و ب كلاهما مختلف عن 1 ، فأنت بحاجة إلى الجمع بين تأثيرات التغييرين. في المثال التالي ، سترى تباينًا لم تره من قبل. حتى هذه النقطة ، جميع قيم ب كانت أرقامًا منطقية ، لكننا هنا نستخدم العدد غير النسبي. هذا الموقف لا يغير الإجراء حقًا ، لكنك سترى أنه يغير المقياس على x-المحور بطريقة جديدة.

رسم بياني في الفترة الزمنية.

قيمة ال أ هي 4 ، لذا فإن سعة الرسم البياني تساوي 4. هذا له تأثير أخذ الرسم البياني وتمديده عموديًا بمعامل 4.

قيمة ال ب هو ، وبالتالي فإن فترة الرسم البياني هي. هذا له تأثير تقليص الرسم البياني أفقيًا بمعامل ، مما يجعله يكمل دورة كاملة واحدة على الفترة [0 ، 2].

لاحظ التأثير على x- قيم التقاطع والنقاط المرتفعة والمنخفضة. نظرًا لأن الفترة هي 2 ، فإن الدورة الأولى من الرسم البياني ستشتمل على نقاط عالية عند و 2. وستظل النقطة المنخفضة في منتصف المسافة بينهما ، لذا فهي عند. ال x- لا تزال التداخلات في منتصف الطريق بين النقاط العالية والمنخفضة ، لذلك ستكون عند و. تم إزاحة كل هذه النقاط في الدورة الثانية من الرسم البياني إلى وحدتين يمينًا.

لعمل رسم بياني ، يجب أن تجمع التأثيرات الموضحة أعلاه.

في مثالين سابقين (و) رأيت أن علامة سالبة على الخارج (قيمة سالبة لـ أ) له تأثير قلب الرسم البياني حول x-محور. في المثال التالي ، سترى تأثير علامة سالبة على "الداخل" (قيمة سالبة لـ ب).

تلميح أخير: إلى جانب محاولة معرفة التأثير الإجمالي لقيمة أ أو ب على الرسم البياني ، قد ترغب في التحقق من نقاط محددة. على سبيل المثال ، استبدل الوظيفة وانظر إلى أين ستنتهي هذه النقطة.

أي من الخيارات التالية يمثل الرسم البياني في الفترة الزمنية؟

غير صحيح. هذا هو الرسم البياني ل. تذكر أن تتحقق من نقاط محددة مثل. في تلك النقطة، . لذا يجب أن تكون النقطة على الرسم البياني. الاجابة الصحيحة هي رقم ج.

غير صحيح. لقد خلطت بين آثار أ و ب. هذا هو الرسم البياني ل. الاجابة الصحيحة هي رقم ج.

صيح. قيمة ال أ هو ، والذي سيمد الرسم البياني عموديًا بمعامل. فترة الرسم البياني ، كما هي فترة. تأثير العلامة السلبية على الداخل هو استبدال x- القيم بأضدادها. سيؤدي هذا إلى قلب الرسم البياني حول ذ-محور. ومع ذلك ، لأن التمثيل البياني لجيب التمام متماثل حول ذ-المحور ، هذا ليس له أي تأثير على الإطلاق. لذا فإن التغيير الوحيد على الرسم البياني هو الامتداد الرأسي.

غير صحيح. هذا الرسم البياني لديه الفترة الصحيحة والسعة. ومع ذلك ، فقد خلطت بين تأثير علامة الطرح في الداخل وعلامة الطرح في الخارج. الاجابة الصحيحة هي رقم ج.

مطابقة الرسوم البيانية والوظائف

بالنظر إلى أي دالة في النموذج أو ، فأنت تعرف كيفية إيجاد السعة والدورة وكيفية استخدام هذه المعلومات لرسم بياني للوظائف.

بالنظر إلى رسم بياني لدالة الجيب أو جيب التمام ، يمكنك أيضًا تحديد سعة الدالة ودورتها. من هذه المعلومات ، يمكنك العثور على قيم أ و ب، ثم دالة تطابق الرسم البياني.

تذكر أنه إلى جانب إيجاد السعة والدورة ، من الجيد النظر إلى ما يحدث. لو أ و ب هي أي ثوابت غير صفرية ، الوظائف وستحتوي على القيم التالية في:

هذا يخبرك أن الرسم البياني يمر بغض النظر عن قيم أ و ب، والرسم البياني لـ لا يمر أبدًا بغض النظر عن قيم أ و ب. لذلك ، على سبيل المثال ، إذا تم إعطاؤك رسمًا بيانيًا يمر عبر الأصل وطُلب منك تحديد الوظيفة التي يمثلها ، فأنت تعلم على الفور أنه ليس في النموذج.

عليك أن تكون حذرا بشأن علامة أ. قد تحدد أن سعة دالة ما 4 ، على سبيل المثال. على الرغم من أنه من الممكن ذلك ، فمن الممكن أيضًا ذلك. فيما يلي مثال على كل من هذين الاحتمالين.

ستحتاج إلى مقارنة الرسم البياني بالرسم البياني أو لمعرفة ما إذا كان هناك ، بالإضافة إلى أي تمدد أو انكماش ، انعكاس على مدار x-محور. يمكن اعتبار الرسم البياني أعلاه على اليمين نتيجة لتمديد الرسم البياني وعكسه عبر x-محور. إذا كان هناك انعكاس ، ثم قيمة أ ستكون سلبية. بمجرد تحديد ما إذا كان أ موجب أو سلبي ، يمكنك دائمًا اختيار قيمة موجبة لـ ب.

فيما يلي بعض الأمثلة على هذه العملية.

حدد دالة في النموذج أو الرسم البياني الذي يظهر أدناه.

أولاً ، لاحظ أن الرسم البياني يمر عبر الأصل ، لذا فأنت تبحث عن دالة في النموذج.

بعد ذلك ، لاحظ أن القيمة القصوى للدالة هي 2 وأن الحد الأدنى هو ، وبالتالي فإن السعة هي 2. للرسم البياني نفس "الاتجاه" مثل. (يبدأ بتل على يمين ذ-محور.) وهذا يعني أن أ أمر إيجابي ، وعلى وجه الخصوص ،.

أخيرًا ، لاحظ أن الرسم البياني يوضح دورتين وأن دورة كاملة واحدة موجودة في الفاصل الزمني. لذلك ، فإن الفترة. منذ ، . وفقًا لعمليتنا ، بمجرد تحديد ما إذا كان أ موجب أو سلبي ، يمكنك دائمًا اختيار قيمة موجبة لـ ب . وبالتالي .

اجمع هذه المعلومات الثلاث.

حدد دالة في النموذج أو الرسم البياني الذي يظهر أدناه.

أولاً ، لاحظ أن الرسم البياني يفعل ذلك ليس تمر من خلال الأصل ، ولكن بالأحرى قمم ، تصل إلى الحد الأقصى عندما x = 0 ، لذا فأنت تبحث عن دالة للنموذج.

بعد ذلك ، لاحظ أن القيمة القصوى للدالة هي وأن الحد الأدنى هو ، وبالتالي فإن السعة هي. الرسم البياني له نفس "الاتجاه" مثل. (لها تل مع ذ-المحور الذي يمر عبر الوسط). وهذا يعني أن أ أمر إيجابي ، وعلى وجه الخصوص ،.

أخيرًا ، لاحظ أن الرسم البياني يوضح دورتين وأن دورة كاملة واحدة موجودة في الفاصل الزمني. لذلك ، فإن الفترة. لان ، . وفقًا لعمليتنا ، بمجرد تحديد ما إذا كان أ موجب أو سلبي ، يمكنك دائمًا اختيار قيمة موجبة لـ ب . وبالتالي .

اجمع هذه المعلومات الثلاث.

تأكد من التعرف على المكان الذي تبدأ منه الدورة وتنتهي. الفترة هي طول الفترة الزمنية التي تعمل فيها الدورة الواحدة.

أي من الوظائف التالية يمثلها الرسم البياني أدناه؟

غير صحيح. لقد تعرفت بشكل صحيح على الرسم البياني كدالة جيب منعكسة ، لكن الفترة غير صحيحة. ربما رأيت على اليمين واستخدمته بطول دورة واحدة. ومع ذلك ، فإن الرسم البياني بأكمله عبارة عن دورة واحدة ، والفترة تساوي. والجواب الصحيح هو د.

غير صحيح. لقد وجدت سعة ودورة دالة الجيب هذه بشكل صحيح. ومع ذلك ، تحتاج أيضًا إلى التحقق من اتجاه الرسم البياني. لاحظ أن على يمين ذ-المحور لديك وادي بدلاً من تل. والجواب الصحيح هو د.

غير صحيح. لقد وجدت سعة واتجاه دالة الجيب هذه بشكل صحيح. ومع ذلك ، فإن الفترة غير صحيحة. ربما أدركت أن فترة الرسم البياني هي ضعف فترة ، وظننت أن قيمة ب سيكون 2. ولكن للعثور على قيمة ب، يجب عليك تعيين الفترة تساوي. والجواب الصحيح هو د.

صيح. يمر الرسم البياني من خلال الأصل ، لذلك يمكن أن يكون للدالة الشكل ، ولكن ليس كذلك. السعة هي 1. الرسم البياني يحتوي على واد على اليمين ، والذي يمكن أن يكون نتيجة لانعكاس فوق x-محور. وبالتالي، . يوضح الرسم البياني دورة واحدة ، وبالتالي فإن الفترة هي. منذ ذلك الحين ، قيمة ب ممكن ان يكون . لذلك يمكن أن يكون هذا التمثيل البياني.

تذكر أنه عند كتابة دالة يمكنك استخدام الترميز بدلاً من المتغير ذ.


قياس اهتزاز الأرض

6 أيام (5-51 دقيقة جرس و1-102 دقيقة جرس)

يحتاج الطلاب إلى فهم كيفية حساب ومعالجة الدوال الخطية وغير الخطية قبل هذه الوحدة. يحتاجون أيضًا إلى فهم أساسي لعلم المثلثات.

الفكرة الكبيرة (بما في ذلك الأهمية العالمية)

يعد قياس الزلازل بدقة أمرًا مهمًا تاريخيًا واقتصاديًا وسياسيًا واجتماعيًا في جميع أنحاء العالم. حيث يعيش الشخص ، فإن حجم الاستثمار والمساعدات والقرارات السياسية الخطيرة التي يتم اتخاذها في ضوء حدث زلزالي ليست سوى عدد قليل من القرارات العالمية والشخصية التي تعتمد على قياس مثل هذه الظواهر. كان زلزال عام 1812 الناجم عن خطأ نيو مدريد أحد أكثر الزلازل تدميراً في الولايات المتحدة القارية. تظهر هذه الحقيقة أنه لا يمكن لأي شخص أن يطمئن إلى أنه محصن ضد إمكانية مواجهة مثل هذه الكارثة في المستقبل. لا تؤثر الطريقة التي نكتشف بها ونقيس مثل هذه الأحداث على حياة الآخرين فحسب ، بل قد تؤثر بشكل مباشر على حياتنا الشخصية.

السؤال الأساسي

الأسئلة الأساسية المحتملة:

  • كيف نقيس الزلزال؟
  • ما هي الطرق المختلفة لقياس الزلزال؟
  • ماذا يعني عندما ورد أن "الزلزال كان بقوة… .."؟
  • كيف نقارن الزلازل؟
  • كيف يكتشف المرء حجم الزلزال؟
تبرير اختيار المحتوى

لطالما كانت الدوال الأسية واللوغاريتمية صعبة على الطلاب. سيتم استخدام امتحان الجبر الفصل الثاني للفصل الدراسي الثاني كتقييم نهائي نهائي للطلاب. النتائج السابقة لهذا التقييم غير متوفرة. ومع ذلك ، فإن اختبار Alg. أظهر طلاب المرحلة الثانية في كلارك الذين يستخدمون أدوات قائمة على المنهج الدراسي معدل فشل يصل إلى 38٪ في هذا المجال. سيتم استخدام الاختبار القبلي والبعدي باستخدام مشكلات مماثلة لتلك التي سيتم العثور عليها في امتحان الفصل الدراسي للمقاطعة لتقييم فعالية هذه الوحدة.

التحدي
  • قم بعمل جهاز قياس الزلازل باستخدام المواد المعينة.
  • قم بإنشاء أداة يمكن استخدامها لتوليد حجم مقياس ريختر من قراءة على جهاز قياس الزلازل
الخطاف

يعرض المعلم مقاطع فيديو لزلزال سان فرانسيسكو عام 1989 وخريطة لشدة الزلزال. ثم يعرض عرضًا تقديميًا باستخدام PowerPoint حول زلزال نيو مدريد عام 1812.

أسئلة إرشادية للمعلم
  1. كيف يتم قياس الزلازل ومراقبتها؟
  2. ما علاقة الرياضيات بالزلازل؟
  3. كيف يعمل جهاز قياس الزلازل؟
  4. كيف يقيس جهاز قياس الزلازل؟
  5. ما هو الفرق بين المقدار والشدة؟
  6. كيف يبدو مقياس ريختر على الرسم البياني؟
  7. لماذا مقياس ريختر أسي وليس خطي؟
  8. كيف يتم حساب حجم الزلزال من جهاز قياس الزلازل؟
ACS (تطبيقات العلاقات المهنية في العالم الحقيقي ، التأثير المجتمعي)

التطبيقات: من خلال إجراء العمليات الحسابية المتعلقة بجهاز قياس الزلازل ، سيطبق الطالب معرفته باللوغاريتمات في وضع العالم الحقيقي. هذا تطبيق رياضي على المجتمع لتحديد مدى قوة الزلزال ومقارنته بالزلازل الأخرى.

الروابط المهنية: ترتبط هذه المواد ارتباطًا مباشرًا بوظائف مثل مهندس جيولوجي وعلماء جيوفيزيائيون وفني تربة ومهندس إنشائي وجيولوجي وعالم زلازل.

المجتمع: سيتأثر المجتمع في الغرب الأوسط بشكل كبير بزلزال في منطقة نيو مدريد. يمكن تضخيم التأثير بسبب نقص المعرفة والإعداد في هذه المنطقة. سيتم إدراج سينسيناتي في المنطقة المعرضة للخطر.

عملية التصميم الهندسي (EDP)

سيقوم الطلاب بتصميم وبناء جهاز قياس الزلازل لتجربة كيفية مراقبة العلماء للزلازل وقياسها.

المعيار الأكاديمي للوحدة

معايير الجبر 2 - المعايير الأساسية المشتركة في أوهايو

9-12.F.TF.5 نموذج الظواهر الدورية ذات الدوال المثلثية. اختر الدوال المثلثية لنمذجة الظواهر الدورية بالسعة والتردد والخط الوسط.

9-12.F.IF.4 تفسير الوظائف التي تنشأ في التطبيقات من حيث السياق. بالنسبة للدالة التي تمثل علاقة بين كميتين ، فسر الميزات الرئيسية للرسوم البيانية والجداول من حيث الكميات ، ورسم رسومًا بيانية توضح الميزات الرئيسية مع إعطاء وصف شفهي للعلاقة. تشمل الميزات الرئيسية: فترات اعتراض حيث تتزايد الوظيفة أو تتناقص أو تكون موجبة أو سلبية نسبية قصوى وأدنى تناظرات نهاية السلوك والدورية.

9-12.F.IF.5 تفسير الوظائف التي تنشأ في التطبيقات من حيث السياق. اربط مجال الوظيفة بالرسم البياني الخاص بها ، وعند الاقتضاء ، بالعلاقة الكمية التي تصفها. على سبيل المثال ، إذا كانت الوظيفة h (n) تعطي عدد ساعات عمل الشخص التي يستغرقها تجميع n محركات في مصنع ، فإن الأعداد الصحيحة الموجبة ستكون مجالًا مناسبًا للوظيفة. *

9-12.F.IF.7e رسم بيانيًا للوظائف الأسية واللوغاريتمية ، مع توضيح الاعتراضات والسلوك النهائي ، والدوال المثلثية ، وإظهار الفترة والخط الوسط والسعة. *

9-12.F.LE.4 بناء ومقارنة النماذج الخطية والتربيعية والأسية وحل المسائل. بالنسبة للنماذج الأسية ، قم بالتعبير باللوغاريتم عن الحل لـ ab ^ (ct) = d حيث a و c و d هي أرقام والقاعدة b هي 2 أو 10 أو e قم بتقييم اللوغاريتم باستخدام التكنولوجيا. *

أنشطة الوحدة
  • النشاط 1: مقدمة للفكرة الكبيرة ، السؤال الأساسي وتوليد أسئلة القيادة
  • النشاط 2: نشاط ما قبل الاختبار
  • النشاط 3: المعادلات الأسية
  • النشاط 4: اللوغاريتمات - الدوال المعكوسة للمعادلات الأسية
  • النشاط 5: اللوغاريتمات - جدول ورسم بياني ورسم بياني
  • النشاط 6: بناء جهاز قياس الزلازل (EDP) بناء جهاز قياس الزلازل ، نشرة النشاط 7: نشاط ما بعد الاختبار
حيث يظهر CBL و EDP في الوحدة

التعلم القائم على التحدي (CBL) هو الدرس 4 ، النشاط 6 الذي يستلزم كلاً من بناء جهاز قياس الزلازل وإنشاء الأداة المستخدمة لتحويل القراءات إلى ريختر.سيتم تضمين عملية التصميم الهندسي (EDP) في النشاط مع إنشاء جهاز قياس الزلازل.

المفاهيم الخاطئة

فهم مقياس ريختر: انها ليست خطية. هناك اعتقاد خاطئ على سبيل المثال بأن المقدار 8 هو ضعف الطاقة مقارنة بحجم 4. لأن حجمه الأسي 8 أكبر بكثير من حجم 4.

الهوس بهيكل المباني فقط: هيكل المباني مهم للغاية في الوقاية من الإصابات وتقليل الكوارث. لكنها ليست الاعتبار الوحيد المهم. اعتبار آخر مهم للغاية هو ضغط التربة. يمكن أن يكون مركز الزلزال على بعد أميال عديدة ، لكن شدته ستكون أكبر في تلك المواقع التي فقدت الأرض وغير مستقرة. الحشوات التي لم يتم ضغطها بشكل صحيح (والمواقع الطبيعية غير المتوازنة) هي أكثر الأماكن خطورة أثناء الزلزال.

كيفية جعل هذه وحدة هرمية

على سبيل المثال ، في فصل الرياضيات للصف الثامن ، يمكن إعادة تصميم هذه الوحدة لتلبية المعايير الأساسية المشتركة أدناه:

8.F.3 يفسر المعادلة y = mx + b على أنها تحدد دالة خطية ، يكون رسمها البياني عبارة عن خط مستقيم ، ويعطي أمثلة على وظائف غير خطية. على سبيل المثال ، الدالة A = s ^ 2 التي تعطي مساحة مربع كدالة لطول ضلعها ليست خطية لأن رسمها البياني يحتوي على النقاط (1،1) و (2،4) و (3،9) ، التي ليست على خط مستقيم.

8.F.5 يصف نوعيا العلاقة الوظيفية بين كميتين من خلال تحليل الرسم البياني (على سبيل المثال ، عندما تكون الوظيفة تتزايد أو تتناقص ، خطية أو غير خطية). ارسم رسمًا بيانيًا يعرض السمات النوعية لوظيفة تم وصفها شفهيًا.

يمكن أن تكون بعض الأنشطة الممكنة مقارنة الرسوم البيانية للدالة الخطية والدالة الأسية لتوضيح ومناقشة الاختلافات. يمكن للطلاب استخدام حاسبات الرسوم البيانية لمعرفة الخصائص المختلفة للوظائف. يمكن استخدام وظيفة بسيطة تولد القطع المكافئ لمحاكاة الوظيفة اللوغاريتمية لمقياس ريختر حتى يتمكن الطلاب من فهم الزيادات المختلفة في الحجم.

يمكن للطلاب إنشاء جداول حساسة للنمط من الدوال الخطية وغير الخطية البسيطة ، على سبيل المثال ، ومعرفة كيفية تصرفهم بشكل مختلف.

في بناء جهاز قياس الزلازل ، يمكن للطلاب فقط إنشاء الآلة البسيطة نفسها واستخدام "طاولة الاهتزاز" لمعرفة كيفية عملها. يمكن للطلاب أيضًا قياس سعة المنحنى دون تحويله إلى مقياس ريختر.


شاهد الفيديو: درس الوسط الحسابي برمجة الصف التاسع (شهر نوفمبر 2021).