مقالات

8: تطبيقات أخرى لعلم المثلثات - الرياضيات


في هذا الفصل ، سوف نستكشف تطبيقات علم المثلثات التي ستمكننا من حل العديد من المشاكل المختلفة ، بما في ذلك إيجاد ارتفاع الشجرة. نحن نوسع الموضوعات التي قدمناها في الدوال المثلثية ونبحث في التطبيقات بشكل أعمق وأكثر جدوى.

  • 8.0: مقدمة لمزيد من تطبيقات علم المثلثات
    أكبر شجرة في العالم من حيث الحجم ، تسمى الجنرال شيرمان ، يبلغ ارتفاعها 274.9 قدمًا وتوجد في شمال كاليفورنيا. فقط كيف يعرف العلماء ارتفاعه الحقيقي؟ تتضمن الطريقة الشائعة لقياس الارتفاع تحديد زاوية الارتفاع ، التي تتكون من الشجرة والأرض عند نقطة ما على مسافة ما من قاعدة الشجرة. هذه الطريقة أكثر عملية من تسلق الشجرة وإسقاط شريط قياس طويل جدًا.
  • 8.1: المثلثات غير اليمنى - قانون الجيب
    في هذا القسم ، سنتعرف على كيفية حل المشكلات التي تتضمن مثلثات غير قائمة على الزاوية. يمكن استخدام قانون الجيب لحل المثلثات المائلة. وفقًا لقانون الجيب ، فإن نسبة قياس إحدى الزوايا إلى طول الضلع المقابل لها تساوي النسبتين الأخريين لقياس الزاوية إلى الضلع المقابل. هناك ثلاث حالات محتملة: ASA ، AAS ، SSA. اعتمادًا على المعلومات المقدمة ، يمكننا اختيار المعادلة المناسبة للعثور على الحل المطلوب.
  • 8.2: المثلثات غير اليمنى - قانون جيب التمام
    لسوء الحظ ، بينما يمكّننا قانون الجيب من معالجة العديد من حالات المثلث غير الأيمن ، فإنه لا يساعدنا في المثلثات حيث تكون الزاوية المعروفة بين ضلعين معروفين ، أو مثلث SAS (جانب - زاوية - جانب) ، أو عندما تكون الثلاثة الأضلاع معروفة ، لكن لا توجد زوايا معروفة ، مثلث SSS (جانب جانبي - جانب). في هذا القسم ، سنبحث في أداة أخرى لحل المثلثات المائلة الموصوفة في هاتين الحالتين الأخيرتين.
  • 8.3: الإحداثيات القطبية
    عندما نفكر في رسم نقاط في المستوى ، فإننا عادة ما نفكر في إحداثيات مستطيلة (x ، y) في مستوى الإحداثيات الديكارتية. ومع ذلك ، هناك طرق أخرى لكتابة زوج إحداثيات وأنواع أخرى من أنظمة الشبكة. في هذا القسم ، نقدم الإحداثيات القطبية ، وهي نقاط مسماة (ص ، θ) ومرسومة على شبكة قطبية. يتم تمثيل الشبكة القطبية كسلسلة من الدوائر متحدة المركز تشع من القطب ، أو أصل مستوى الإحداثيات.
  • 8.4: الإحداثيات القطبية - الرسوم البيانية
    تصف المعادلة القطبية العلاقة بين rr و على شبكة قطبية. من الأسهل رسم المعادلات القطبية بيانيًا إذا كان بإمكاننا اختبار معادلات التناظر. هناك ثلاثة اختبارات تناظر تشير إلى ما إذا كان الرسم البياني للمعادلة القطبية سيظهر تناظرًا أم لا. إذا فشلت المعادلة في اختبار التناظر ، فقد يُظهر الرسم البياني تناظرًا وقد لا يعرضه.
  • 8.5: الشكل القطبي للأرقام المركبة
    في هذا القسم ، سنركز على آليات العمل مع الأعداد المركبة: ترجمة الأعداد المركبة من الشكل القطبي إلى الشكل المستطيل والعكس صحيح ، وتفسير الأعداد المركبة في مخطط التطبيقات ، وتطبيق نظرية De Moivre.
  • 8.6: المعادلات البارامترية
    نبدأ هذا القسم بإلقاء نظرة على المكونات الأساسية للمعادلات البارامترية وما يعنيه تحديد معلمات منحنى. ثم سنتعلم كيفية حذف المعلمة ، وترجمة معادلات المنحنى المحدد حدوديًا إلى معادلات مستطيلة ، وإيجاد المعادلات البارامترية للمنحنيات المحددة بواسطة المعادلات المستطيلة.
  • 8.7: المعادلات البارامترية - الرسوم البيانية
    في هذا القسم ، سنناقش المعادلات البارامترية وبعض التطبيقات الشائعة ، مثل مشاكل حركة المقذوفات.
  • 8.8: النواقل
    تشير سرعة الأرض إلى سرعة الطائرة بالنسبة إلى الأرض. تشير السرعة الجوية إلى السرعة التي يمكن أن تسافر بها الطائرة بالنسبة إلى الكتلة الهوائية المحيطة بها. هاتان الكميتان مختلفتان بسبب تأثير الرياح. في قسم سابق ، استخدمنا المثلثات لحل مشكلة مشابهة تتعلق بحركة القوارب. لاحقًا في هذا القسم ، سنجد السرعة الأرضية للطائرة واتجاهها ، أثناء التحقيق في نهج آخر لمشاكل من هذا النوع.
  • 8.E: تطبيقات أخرى لعلم المثلثات (تمارين)
  • 8.R: تطبيقات أخرى لعلم المثلثات (مراجعة)

مقدمة إلى دائرة الوحدة: وظائف الجيب وجيب التمام

الحياة مليئة بالظواهر التي تتكرر على فترات منتظمة. كل يوم ، على سبيل المثال ، يرتفع المد والجزر وينخفض ​​استجابة لجاذبية القمر. وبالمثل ، فإن التقدم من النهار إلى الليل يحدث نتيجة دوران الأرض ، ويتكرر نمط الفصول استجابةً لثورة الأرض حول الشمس. خارج الطبيعة ، تتأثر العديد من الأسهم التي تعكس أرباح الشركة بالتغيرات في دورة الأعمال الاقتصادية.

في الرياضيات ، تُعرف الوظيفة التي تكرر قيمها في فترات منتظمة بالوظيفة الدورية. تُظهر الرسوم البيانية لمثل هذه الوظائف شكلاً عامًا يعكس نمطًا يستمر في التكرار. هذا يعني أن الرسم البياني للدالة له نفس المخرجات في نفس المكان تمامًا في كل دورة. وهذا يترجم إلى أن جميع دورات الدالة لها نفس الطول بالضبط. لذا ، إذا عرفنا كل تفاصيل دورة كاملة لوظيفة دورية حقيقية ، فإننا نعرف حالة مخرجات الوظيفة في جميع الأوقات ، في المستقبل والماضي. في هذا الفصل ، سنبحث في أمثلة مختلفة للوظائف الدورية.

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: جاي أبرامسون
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: الجبر وعلم المثلثات
    • تاريخ النشر: 13 فبراير 2015
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry/pages/1-introduction-to-prerequisites
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry/pages/7-introduction-to-the-unit-circle-sine-and-cosine-functions

    © 19 أبريل 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    محتويات

    مصطلح "علم المثلثات" مشتق من الكلمة اليونانية "τριγονομετρία" ("المثلثات") ، وتعني" قياس المثلث "، من" τρίγονο "(مثلث) +" μετρειν "(للقياس).

    إن كلمتنا الحديثة "sine" مشتقة من الكلمة اللاتينية التجويف، والتي تعني "الخليج" أو "الطي" ، من الترجمة الخاطئة (عبر العربية) للكلمة السنسكريتية جيفا، بدلا من ذلك يسمى جيا. & # 911 & # 93 أرياباتا يستخدم هذا المصطلح أردها جيفا ("نصف وتر") ، والتي تم اختصارها إلى جيفا ثم ترجمها العرب على أنها جيبا (جب). المترجمون الأوروبيون مثل روبرت تشيستر وغيراردو من كريمونا في القرن الثاني عشر في توليدو مرتبكون جيبا إلى عن على جايب (جب) ، يعني "الخليج" ، ربما بسبب جيبا (جب) و جايب (جب) مكتوبة بنفس الطريقة في النص العربي (يستخدم نظام الكتابة هذا اللكنات بدلاً من أحرف العلة وفي بعض التنسيقات لا تتم كتابة اللكنات لتسهيل الكتابة ، لذلك إذا لم يكن القراء على دراية باللغة ، فقد يتم الخلط بين الكلمات مع نفس الحروف لكن صوتيات مختلفة). الكلمتان "دقيقة" و "ثانية" مشتقة من الجمل اللاتينية الأجزاء الدقيقة الدقيقة الأولية و الأجزاء الدقيقة الثانية. & # 912 & # 93 تُترجم هذه تقريبًا إلى "الأجزاء الصغيرة الأولى" و "الأجزاء الصغيرة الثانية".


    جداول الوظائف الطبيعية

    لكي تكون ذات فائدة عملية ، يجب أن تكون قيم الدوال المثلثية متاحة بسهولة لأي زاوية معينة. تظهر الهويات المثلثية المختلفة أن قيم الوظائف لجميع الزوايا يمكن العثور عليها بسهولة من قيم الزوايا من 0 درجة إلى 45 درجة. لهذا السبب ، يكفي أن تُدرج في جدول قيم الجيب وجيب التمام والظل لجميع الزوايا من 0 درجة إلى 45 درجة والتي تعد مضاعفات متكاملة لبعض الوحدات الملائمة (عادةً 1 ′). قبل أن تجعلها أجهزة الكمبيوتر قديمة في أواخر القرن العشرين ، كانت جداول حساب المثلثات هذه مفيدة لعلماء الفلك والمساحين والمهندسين.

    بالنسبة للزوايا التي لا تعد مضاعفات الوحدة ، يمكن تقريب قيم الوظائف. نظرًا لأن قيم الوظائف هي في شكل أرقام غير منطقية بشكل عام ، يتم إدخالها في الجدول كأرقام عشرية ، وتقريبها في مكان مناسب. بالنسبة لمعظم الأغراض ، تكفي أربعة أو خمسة منازل عشرية ، وتكون الجداول بهذه الدقة شائعة. ومع ذلك ، فإن الحقائق الهندسية البسيطة وحدها كافية لتحديد قيم الدوال المثلثية للزوايا 0 درجة و 30 درجة و 45 درجة و 60 درجة و 90 درجة. يتم سرد هذه القيم في جدول لدوال الجيب وجيب التمام والظل.


    جدول المحتويات

    1. الرسوم البيانية والوظائف والنماذج

    1.1 مقدمة في الرسوم البيانية

    1.3 الوظائف الخطية والمنحدر والتطبيقات

    1.4 معادلات الخطوط والنمذجة

    1.5 المعادلات الخطية والوظائف والأصفار والتطبيقات

    1.6 حل المتباينات الخطية

    2.1 تطبيقات الدوال المتزايدة والمتناقصة والمفصلة

    2.2 الجبر من الوظائف

    2.3 تكوين الوظائف

    2.6 الاختلاف والتطبيق

    3. المتباينات التربيعية والمعادلات

    3.2 المعادلات التربيعية والدوال والأصفار والنماذج

    3.3 تحليل الرسوم البيانية للوظائف التربيعية

    3.4 حل المعادلات النسبية والمعادلات الجذرية

    3.5 حل المعادلات والمتباينات ذات القيمة المطلقة

    4. وظائف متعددة الحدود والوظائف العقلانية

    4.1 وظائف كثيرة الحدود والنمذجة

    4.2 رسم وظائف كثيرة الحدود بالرسوم البيانية

    4.3 تقسيم متعدد الحدود نظرية الباقي ونظرية العامل

    4.4 نظريات حول أصفار دوال كثيرة الحدود

    4.6 المتباينات متعددة الحدود وعدم المساواة المنطقية

    5. الدوال الأسية والوظائف اللوغاريتمية

    5.2 الدوال والرسوم البيانية الأسية

    5.3 الدوال والرسوم البيانية اللوغاريتمية

    5.4 خصائص الدوال اللوغاريتمية

    5.5 حل المعادلات الأسية والمعادلات اللوغاريتمية

    5.6 التطبيقات والنماذج: النمو والانحطاط الفائدة المركبة

    6. الدوال المثلثية

    6.1 الدوال المثلثية للزوايا الحادة

    6.2 تطبيقات المثلثات القائمة على اليمين

    6.3 الدوال المثلثية لأي زاوية

    6.4 الراديان وطول القوس والسرعة الزاوية

    6.5 الوظائف الدائرية: الرسوم البيانية والخصائص

    6.6 الرسوم البيانية لوظائف الجيب المحولة ووظائف جيب التمام

    7. المتطابقات المثلثية والدوال المعكوسة والمعادلات

    7.1 المتطابقات: فيثاغورس والجمع والفرق

    7.2 المتطابقات: دالة مشتركة وزاوية مزدوجة ونصف زاوية

    7.3 إثبات المتطابقات المثلثية

    7.4 مقلوب الدوال المثلثية

    7.5 حل المعادلات المثلثية

    8. تطبيقات علم المثلثات

    8.3 الأعداد المركبة: التدوين المثلثي

    8.4 الإحداثيات القطبية والرسوم البيانية

    8.5 المتجهات والتطبيقات

    9. نظم المعادلات والمصفوفات

    9.1 أنظمة المعادلات في متغيرين

    9.2 نظم المعادلات في ثلاثة متغيرات

    9.3 المصفوفات ونظم المعادلات

    9.6 المحددات وقاعدة Cramer & rsquos

    9.7 أنظمة المتباينات والبرمجة الخطية

    10. موضوعات الهندسة التحليلية

    10.2 الدائرة والقطع الناقص

    10.4 الأنظمة غير الخطية للمعادلات والمتباينات

    10.6 المعادلات القطبية للمخروطيات

    11. المتتاليات والمتسلسلات والتوافقية

    11.2 المتتاليات والمتسلسلات الحسابية

    11.3 المتتاليات والمتسلسلات الهندسية

    11.4 الاستقراء الرياضي

    11.5 التوافقية: التباديل

    11.6 التوليفات: التوليفات

    الإجابات // مدرس إضافي & إجابات rsquos


    8: تطبيقات أخرى لعلم المثلثات - الرياضيات

    مشروع تحسين تعليم الرياضيات في المدارس (TIMES)

    القياس والهندسة: الوحدة 23السنة: 9-10

    • الإلمام بنظرية فيثاغورس.
    • المعرفة الأساسية لتطابق وتشابه المثلثات.
    • معرفة الخصائص الأساسية للمثلثات والمربعات والمستطيلات.
    • مرفق مع الجبر والمعادلات البسيطة.
    • الإلمام باستخدام الآلة الحاسبة.

    تشير كلمة علم المثلثات إلى قياس المثلثات وتهتم بدراسة العلاقات بين الأضلاع والزوايا في المثلث. في البداية نحصر اهتمامنا بالمثلثات القائمة الزاوية.

    تم تطوير علم المثلثات في الأصل لحل المشكلات المتعلقة بعلم الفلك ، ولكن سرعان ما تم العثور على تطبيقات للملاحة ومجموعة واسعة من المجالات الأخرى. إنه ذو أهمية عملية كبيرة للبناة والمهندسين المعماريين والمساحين والمهندسين وله العديد من التطبيقات الأخرى.

    لنفترض أننا نتكئ سلمًا على جدار عمودي. عن طريق تحريك السلم بالقرب من الحائط ، وبالتالي زيادة الزاوية بين السلم والأرض ، نزيد المسافة التي يمكن أن يصل إليها السلم لأعلى. نظرًا لأن طول السلم يظل كما هو ، فإن نظرية فيثاغورس تربط المسافة إلى أعلى الجدار بمسافة السلم من قاعدة الجدار. يسمح لنا علم المثلثات بربط نفس المسافة بالزاوية بين السلم والأرض.

    لقياس ارتفاع سارية العلم ، يمكن للمراقب قياس المسافة من القاعدة والزاوية بين أعلى القطب وعين المراقب كما هو موضح في
    الرسم البياني.

    كما هو الحال مع العديد من الموضوعات في الرياضيات ، فإن علم المثلثات هو موضوع يستمر في السنوات الأخيرة من المدرسة الثانوية وما بعده إلى الرياضيات العليا. تعتمد الاتصالات الحديثة على فهم وتسخير معالجة الإشارات ، والتي يتم نمذجتها من خلال الدوال المثلثية.

    يحتوي كل مثلث قائم الزاوية على زاوية قائمة. تخبرنا اختبارات التطابق بذلك
    إذا كانت أي من المعلومات التالية معروفة ، فسيكون المثلث
    عازم تماما:

    • زاوية أخرى وجانب واحد (بواسطة اختبار تطابق ASA)
    • وجهان (إما عن طريق اختبار SAS أو اختبار RHS).

    تمكننا نظرية علم المثلثات ونظرية فيثاغورس من إيجاد الأضلاع والزوايا المتبقية في كلتا الحالتين.

    إذا كان لدينا مثلثين متشابهين قائم الزاوية (يُطلق عليهما أحيانًا مثلثات قائمة) ، فإن زوايا أحدهما تتطابق مع زوايا الآخر وتكون أضلاعهما المتطابقة في نفس النسبة.

    على سبيل المثال ، المثلثات التالية متشابهة.

    نظرًا لأن الجانبين المطابقين في نفس النسبة ،

    = = .

    هذا يعني أن النسبة

    = = = .
    = = =
    و = = = .

    أي بمجرد أن يتم تثبيت زوايا المثلث ، فإن نسب أضلاع المثلث ثابتة. في المثلث القائم الزاوية ، نحتاج فقط إلى معرفة زاوية أخرى ، وبعد ذلك نحصل على قياس الزاوية الثالثة في المثلث. ومن ثم ، في المثلث القائم الزاوية ، إذا عرفنا زاوية أخرى ، فإن نسب أضلاع المثلث ثابتة.

    هذا هو أساس علم المثلثات.

    ارسم زاوية 58 درجة باستخدام المنقلة. ضع علامات على مسافات 3 سم و 5 سم و 8 سم وارسم خطوط عمودية كما هو موضح في الرسم التخطيطي.

    قس الارتفاعات المحددة ، h 1 ، h 2 ، h 3 واحسب النسب لأقرب منزلة عشرية , , .

    لماذا النسب (تقريبًا) متساوية؟

    من أجل التمييز بين النسب المختلفة الممكنة في مثلث قائم الزاوية ، نقدم بعض الأسماء. نشير دائمًا إلى الضلع الأطول (المقابل للزاوية القائمة) على أنه الوتر.

    نختار الآن إحدى الزاويتين الحادتين ونقوم بتسميتها ، غالبًا باستخدام أحد الأحرف اليونانية & alpha ، & beta ، أو & ثيتا. يجب أن نسمي هذه الزاوية الزاوية المرجعية.

    الضلع المقابل للزاوية المرجعية يسمى الضلع المقابل ، ويشار إليه عمومًا على أنه الضلع المقابل ، والضلع المتبقي يسمى الضلع المجاور ، أو ببساطة المجاور ، لأنه بجوار الزاوية المرجعية.

    كما ذكرنا أعلاه ، بمجرد أن نحدد حجم الزاوية المرجعية في مثلث قائم الزاوية ، فإن نسب الجوانب المختلفة تظل كما هي بغض النظر عن حجم المثلث. هناك ست نسب مثلثية محتملة يمكننا استخدامها. نحن نعمل بشكل أساسي مع ثلاثة منهم فقط. الثلاثة المتبقية هم متبادلون.

    تُعرف نسبة المقابل إلى المجاور باسم نسبة الظل أو ظل الزاوية وثيتا. (يأتي الاسم من وقت سابق ويتضمن استخدام الدوائر). نكتب

    تان وثيتا & # 61 أين 0 & deg & lt & theta & lt 90 & deg.

    اكتب قيمة تان وثيتا.

    أ ب

    أ تان وثيتا & # 61 ب تان وثيتا =
    =

    من خلال رسم مثلث مناسب اشرح لماذا تان 45 & درجة # 61 1

    من التمرين الأول أعلاه ، ستجد أن النسب , , كانت جميعها حوالي 1.6. تتوافق هذه النسب مع نسبة الظل ، لذا فإن tan 58 & deg تساوي 1.6 تقريبًا. تعطي الآلة الحاسبة tan 58 & deg & asymp 1.6000334529.

    يمكن إيجاد نسبة الظل للزوايا الأخرى باستخدام الآلة الحاسبة. وغني عن القول أن الآلة الحاسبة لا "ترسم مثلثًا" ولكنها تستخدم خوارزميات رياضية ذكية للعثور على القيمة. من المهم أن يتأكد الطلاب من أن الآلة الحاسبة في وضع الدرجة.

    يمكننا استخدام نسبة الظل لحساب الأضلاع الناقصة في مثلث قائم الزاوية ، بشرط أن نحصل على المعلومات الصحيحة.

    أ أوجد الطول المحدد بـ x في الرسم التخطيطي
    أدناه ، تصحيح لأقرب منزلتين عشريتين.
    ب أوجد x لأقرب منزلتين عشريتين

    أ تان 33 درجة = ب تان 43 درجة =
    بالتالي x & # 61 13 تان 33 درجة بالتالي x تان 43 درجة = 11
    & asymp 8.44.0 وبالتالي x =
    & asymp 11.80.0 تحديث

    النسب الثلاث الأساسية المثلثية

    بالإضافة إلى نسبة الظل ، هناك نسبتان أساسيتان نستخدمهما.
    تُعرف هذه بنسب الجيب وجيب التمام. نحن نأخذ & ثيتا لتكون الزاوية المرجعية
    لذا 0 & درجة & لتر & ثيتا & لتر 90 درجة. يتم تحديد النسب الثلاثة من خلال:

    الخطيئة وثيتا & # 61 , كوس & ثيتا & # 61 , تان وثيتا & # 61

    يحتاج الطلاب إلى تعلم هذه التعريفات بدقة. إحدى الذكريات البسيطة التي قد تساعدهم هي SOH CAH TOA ، والتي تتكون من الحرف الأول من كل نسبة والحرف الأول من الجانبين الذي يشكل هذه النسبة.

    اكتب قيمة المثلث التالي:

    أ الخطيئة وثيتا ب كوس وثيتا ج تان وثيتا

    أ الخطيئة وثيتا = ب كوس وثيتا = ج تان وثيتا =
    = = =
    = = =

    تظهر الزوايا 30 درجة و 45 درجة و 60 درجة بشكل متكرر في علم المثلثات ويمكن التعبير عن نسب الجيب وجيب التمام والظل باستخدام الأرقام المنطقية والجذور الصماء.

    في المخططات أدناه ، احسب كل الأضلاع والزوايا ثم املأ الجدول أدناه.

    ثيتا 30 درجة 45 درجة 60 درجة
    الخطيئة وثيتا
    كوس وثيتا
    تان وثيتا

    يمكننا استخدام النسب المثلثية لحساب الأضلاع الناقصة في مثلث قائم الزاوية.

    أوجد قيمة x ، مقربًا لأقرب أربع منازل عشرية.

    أ ب
    ج

    أ اشرح لماذا الخطيئة (90 & deg & minus & theta) & # 61 cos & theta ، وتبسيط cos (90 & deg & minus & theta).

    ب اثبت ذلك & # 61 تان وثيتا.

    ج من التدوين القياسي كتابة (sin & theta) 2 كـ sin 2 & theta ، و (cos & theta) 2 كـ cos 2 & theta.

    أثبت أن cos 2 & theta & # 43 sin 2 & theta & # 61 1.

    د اشرح لماذا 0 & lt cos & theta & lt 1 و 0 & lt sin & theta & lt 1.

    لقد رأينا أنه في أي مثلث قائم الزاوية بزاوية مرجعية وثيتا ، هناك ثلاث نسب أساسية مرتبطة بهذه الزاوية ويمكن إيجاد قيمة كل نسبة باستخدام الآلة الحاسبة. لاستخدام النسب المثلثية لإيجاد الزوايا في مثلث قائم الزاوية ، علينا عكس العملية. وبالتالي ، بالنظر إلى الجيب أو جيب التمام أو الظل لزاوية ما بين 0 و 90 درجة ، نريد إيجاد الزاوية مع النسبة المعطاة.

    لقد رأينا أن tan 45 & deg & # 61 1. نقول أن المماس العكسي للعدد 1 يساوي 45 درجة. هذا مكتوب كـ tan -1 1 & # 61 45 & deg.

    يجب على الطلاب ألا يخلطوا بين هذا الفهرس & ناقص 1 والمعنى الجبري المعتاد لـ "واحد فوق".
    للمساعدة في تجنب ذلك ، من الأفضل قراءة الرمز tan -1 باعتباره ظلًا معكوسًا وليس كظل tan إلى ناقص واحد.

    وبالمثل ، بما أن sin 30 & deg & # 61 0.5 ، نكتب sin -1 0.5 = 30 & deg ونقول: معكوس الجيب 0.5 هو 30 درجة.

    لإيجاد cos -1 0.25 ، على سبيل المثال ، نستخدم الآلة الحاسبة التي تعطي 75.52 درجة ، صحيحة لأقرب منزلتين عشريتين.

    أوجد كلًا مما يلي ، وصححه لأقرب درجة.

    أ الخطيئة -1 0.6 ب كوس -1 0.412 ج تان -1 2
    د الزاوية وثيتا اللتان لهما الخطيئة وثيتا & # 61 0.8 ه الزاوية وثيتا التي بها cos & theta & # 61 0.2

    أ الخطيئة -1 0.6 & # 61 36.86989. & درجة ب كوس -1 0.412 = 65.66946. & درجة
    & asymp 37 درجة & asymp 66 درجة
    ج تان -1 2 & # 61 63.43494. & درجة د لو الخطيئة وثيتا = 0.8
    & asymp 63 درجة من ثم ثيتا = الخطيئة -1 0.8
    = 53.13. & درجة
    & asymp 53 درجة
    ه لو كوس وثيتا = 0.2
    من ثم ثيتا = cos -1 0.2
    = 78.463. & درجة
    & asymp 78 درجة

    يوضح لنا التمرين التالي كيفية إيجاد زاوية من ضلعين محددين.

    a أوجد الزاوية بين القطر وقاعدة المستطيل ، صحيحة لأقرب درجة.

    ب أوجد زاوية القاعدة في مثلث متساوي الساقين ،
    تصحيح لأقرب درجة.

    زوايا الارتفاع والانخفاض

    عندما ينظر مراقب إلى كائن أعلى من (عين) الراصد ، فإن الزاوية بين خط البصر والأفقي تسمى زاوية الارتفاع.

    من ناحية أخرى ، عندما يكون الكائن أقل من المراقب ، فإن الزاوية بين الأفقي وخط البصر تسمى زاوية الاكتئاب. يتم قياس هذه الزوايا دائمًا من الأفقي.

    من أعلى جرف ، على ارتفاع 100 متر فوق مستوى سطح البحر ، تكون زاوية المنخفض بالنسبة لسفينة تبحر في الماضي 17 درجة. كم تبعد السفينة من قاعدة الجرف إلى أقرب متر؟

    يوضح الرسم البياني الجزء العلوي من الجرف P والسفينة S وقاعدة الجرف B.
    لنفترض أن SB & # 61 x m هي مسافة السفينة من الجرف. بزوايا متناوبة ، PSB & # 61 17 درجة.

    بالتالي تان 17 درجة =
    وبالتالي x =
    = 327.085

    المسافة 327 م (لأقرب متر).

    في بعض المشاكل ، قد يتطلب الأمر عدة خطوات للعثور على الأطوال المرغوبة.

    من النقطة A ، على بعد 10 أمتار من قاعدة الشجرة ، تكون زاوية ارتفاع قمة الشجرة 36 ​​درجة. من النقطة B ، x m أبعد من قاعدة الشجرة ، تكون زاوية الارتفاع 20 درجة.

    a أوجد ارتفاع الشجرة لأقرب جزء من عُشر متر.

    ب أوجد المسافة x m لأقرب جزء من عشرة من المتر.

    أ دع ارتفاع الشجرة h متر
    في أوه ، تان 36 درجة =
    وبالتالي ح = 10 تان 36 درجة
    = 7.2654.
    & asymp 7.3 م ، لأقرب جزء من عشرة من المتر

    ملحوظة & # 58 لم يتم استخدام التقريب 7.3 في الجزء ب. يؤدي إلى إجابة خاطئة.

    ب في HOB ، = تان 20 درجة
    بالتالي OB =
    =
    = 19.96.
    وبالتالي x = AB
    = OB & ناقص OA
    = 9.96.
    & asymp 10.0 م لأقرب جزء من عشرة من المتر

    ضع في اعتبارك الرسم البياني المعروض في الجهة المقابلة.

    أ إثبات أن BD & # 61 (AD & # 43 CD).

    ب ومن ثم نستنتج ذلك

    تان DEB & # 61 تان درهم & # 43 تان CED

    كان أحد التطبيقات المبكرة لعلم المثلثات هو تحسين الملاحة. تستخدم المحامل للإشارة إلى اتجاه شيء ما (ربما سفينة) من نقطة مرجعية ثابتة (ربما منزل خفيف). تعطي المحامل الحقيقية الزاوية وثيتا والدرجة من الشمال مقاسة في اتجاه عقارب الساعة. نكتب الاتجاه الحقيقي لـ & theta & deg as & theta & deg T ، حيث & theta & deg هي زاوية بين 0 درجة و 360 درجة. من المعتاد كتابة الزاوية باستخدام ثلاثة أرقام ، لذلك يُكتب 0 & deg T كـ 000 & deg T ، ويُكتب المحمل الحقيقي لـ 15 & deg كـ 015 & deg T.

    يمكننا استخدام علم المثلثات لحل المسائل التي تتضمن المحامل.

    يمشي أنتوني لمسافة 490 مترًا على اتجاه 140 درجة T من النقطة A إلى النقطة B.

    ابحث عن أقرب متر ،

    أ مدى بُعد النقطة ب شرقًا عن النقطة أ.

    ب إلى أي مدى تقع النقطة ب جنوبًا من النقطة أ.

    أ المسافة شرقا = 490 خطيئة 40 درجة
    & asymp 315 م (صحيح لأقرب متر)
    ب المسافة جنوبا = 490 كوس 40 درجة
    & asymp 375 م (صحيح لأقرب متر)

    يمكن أيضًا طرح الأسئلة الملاحية باستخدام محامل البوصلة.

    من النقطة P ، تبحر السفينة N 20 & deg E لمسافة 20 كم إلى النقطة Q. من Q تبحر السفينة N 70 & deg W حتى تكون عند النقطة R شمال P مباشرة. أوجد المسافة PR.

    إذا أخذنا أي مثلث به ضلعان معطىان أ و ب حول زاوية معينة (حادة) ، فسيتم إعطاء مساحة المثلث بواسطة

    منطقة & # 61 أب الخطيئة وثيتا

    بإسقاط ارتفاع في المثلث الموضح أدناه ، قم باشتقاق الصيغة المذكورة أعلاه.

    لاحظ أن الصيغة أعلاه تعمل حتى في الحالة عندما تكون & ثيتا منفرجة. في الوحدة النمطية ، مزيد من علم المثلثات ، سوف نوضح كيفية تحديد جيب الزاوية المنفرجة.

    من المادة التي تم تطويرها حتى الآن ، يجب أن يكون واضحًا أن النسب المثلثية هي أداة قوية لربط الزوايا والجوانب في المثلثات القائمة الزاوية. لا تمتلك كل المثلثات بالطبع زاوية قائمة. يمكننا تمديد اتصال الزاوية / الجانب إلى مثلث عشوائي باستخدام صيغتين أساسيتين تعرفان بقاعدة الجيب وقاعدة جيب التمام.

    تنص قاعدة الجيب على أنه في المثلث الموضح ،

    = = .

    هذا يعني أنه في أي مثلث ، أي ضلع مقسوم على جيب الزاوية المقابلة له يساوي أي ضلع آخر مقسومًا على جيب الزاوية المقابلة له.

    تنص قاعدة جيب التمام على ذلك في المثلث الموضح

    c 2 & # 61 a 2 & # 43 b 2 & ناقص 2 ab cos C.

    قد يُنظر إلى هذا على أنه نظرية فيثاغورس مع مصطلح تصحيح.

    قد ترغب في اشتقاقها من المواد الموجودة في هذه الوحدة. من السهل نسبياً إثبات قاعدة الشرط. بالنسبة لقاعدة جيب التمام ، قم بإسقاط عمودي من A وطبق نظرية فيثاغورس على المثلثين. يتم تقديم تفاصيل البراهين في الوحدة ، وعلم المثلثات الإضافي وفي الوحدة ، نظرية فيثاغورس.

    بشكل عام ، قد يحتوي المثلث على زاوية منفرجة وكذلك زوايا حادة. حتى الآن قمنا فقط بتعريف النسب المثلثية للزوايا الحادة.

    يمكن تمديد النسب المثلثية لتشمل زوايا منفرجة ، وسيتم ذلك في الوحدة النمطية ، مزيد من علم المثلثات.

    إذا كانت & ثيتا زاوية منفرجة ، فسيتم إعطاء جيب & ثيتا بواسطة

    sin & theta & # 61 sin (180 & deg & minus & theta).

    لاحظ أنه إذا كانت & ثيتا زاوية منفرجة ، فإن ملحقها ، 180 & deg & minus & theta ، يكون حادًا.

    وبالمثل ، إذا كانت & ثيتا زاوية منفرجة ، فسيتم إعطاء جيب التمام لـ & ثيتا بواسطة

    cos & theta & # 61 & minus (180 & deg & minus & theta) ،

    ويعطي ظل & ثيتا بواسطة

    tan & theta & # 61 & minus tan (180 & deg & minus & theta).

    وهكذا ، فإن جيب الزاوية المنفرجة يساوي جيب التكملة وجيب التمام والظل لزاوية منفرجة يساوي سالب جيب التمام والظل من ملحقه ، على التوالي.

    في الوحدة النمطية ، الدوال المثلثية ، نوسع التعريفات إلى أبعد من ذلك لتشمل جميع الزوايا ، بما في ذلك الزوايا الأكبر من 180 درجة والزوايا السالبة.

    بمجرد أن نتمكن من إيجاد جيب الزاوية لجميع الزوايا الممكنة ، يمكننا رسم التمثيل البياني للدالة
    y & # 61 الخطيئة x. يقودنا هذا إلى دراسة الدوال المثلثية المستخدمة لوصف حركة الموجة ومعالجة الإشارات الإلكترونية.

    هناك ست نسب محتملة يمكن أن يتخذها المرء بين الأضلاع الثلاثة للمثلث القائم الزاوية. يمكننا أن نأخذ مقلوب النسب الثلاثة ، الجيب وجيب التمام والظل لنحصل على الثلاثة المتبقية.

    تسمى هذه النسب & # 58 قاطع التمام ، القاطع وظل التمام على التوالي. هذه مكتوبة كـ
    cosec & theta ، و sec & theta ، و cot & theta.

    cosec & ثيتا & # 61 = , sec & # 61 & ثيتا = , سرير وثيتا & # 61 =

    البادئة co- هي اختصار للمكمل ، لأن جيب التمام لزاوية يساوي جيب التكملة. ظل التمام للزاوية هو ظل مكملها وبالمثل فإن قاطع التمام للزاوية هو قاطع تكميلها.

    لقد رأينا في الأمثلة الموجودة في هذه الوحدة ، أنه يمكننا الاستفادة من استخدام نسب الجيب وجيب التمام والظل فقط في حل المشكلات. ومع ذلك ، فإن النسب المتبادلة تنشأ بشكل طبيعي عندما ندرس حساب الدوال المثلثية.

    أ 1 & # 43 tan 2 & theta & # 61 sec 2 & theta. ب cot 2 & theta & # 43 1 & # 61 cosec 2 & theta.

    يحتوي اللوح Plimpton 322 ، الذي يُعتقد أنه كتب حوالي 1800 قبل الميلاد ، على جدول أرقام في الأساس 60 يعتقد البعض أنه سجل مبكر لنسب الظل. هذا لا يزال مثيرا للجدل.

    طور الإغريق شكلاً من أشكال علم المثلثات يعتمد على الحبال في دائرة. جاء هيبارخوس نيقية (١٨٠-١٢٥ قبل الميلاد) ، الذي يُطلق عليه أحيانًا "والد علم المثلثات" ، من إسطنبول الحالية تقريبًا. كان عالم فلك وكان قادرًا على حساب مدة السنة في غضون 6 دقائق. للمساعدة في حساباته الفلكية ، طور شكلاً مبكرًا من علم المثلثات ورسم جداول من الحبال. تم تمديد هذا الجدول في وقت لاحق ، واستخدامه من قبل بطليموس (90 و -160 م).

    قسم هيبارخوس محيط الدائرة إلى 360 درجة (كما فعل البابليون) والقطر إلى 120 جزءًا.

    ثم بالنسبة للقوس AB الذي يقابل زاوية /> في المركز ، فإنه يعطي طول الوتر المقابل crd (/>) ، كما هو موضح في الرسوم البيانية أدناه.

    لاحظ إذن أن crd (60 & deg) & # 61 R وأيضًا crd (90 & deg) & # 61 ص.

    يرتبط طول الوتر بنسبة الجيب كما يوضح الرسم البياني التالي.

    AB & # 61 crd ( ) & # 61 2 R الخطيئة .

    أجرى هيبارخوس حساباته باستخدام R = 60. لم يكن التدوين الجبري متاحًا في هذا الوقت.

    مع انحسار الحضارة في الغرب ، بنى علماء الرياضيات الهنود والعرب على عمل الإغريق. في حوالي القرن الخامس الميلادي ، في عمل يُعرف باسم Surya Siddhanta ، ظهر جدول من الجيوب. كما طور العرب أيضًا علم المثلثات الكروية ، لاستخدامه مرة أخرى في علم الفلك.

    كما رأينا أعلاه ، فإن الجيب مرتبط بنصف وتر ، وكلمة الجيب نفسها نشأت من سلسلة من الترجمات الخاطئة للكلمة السنسكريتية التي تعني نصف الوتر. تمت ترجمة الكلمة الهندية إلى العربية ثم أسيء فهمها على أنها كلمة تعني الثدي. وهذا بدوره يعني منحنى ومن ثم الخليج أو الخليج وهو الجيوب الأنفية في اللاتينية.

    كان الدافع وراء الكثير من علم المثلثات المبكر هو علم الفلك. كان أول نص مثلثي خالص مكتوب في أوروبا هو De triangulis Omnimodis ("على جميع أنواع المثلثات") بواسطة يوهان مولر (1436 & ناقص 1476) ، الاسم المستعار Regiomontanus. كان الدافع وراء عمله هو ترجمته لبطليموس ، حيث أدرك أن هناك حاجة إلى معالجة أكثر منهجية لعلم المثلثات. هو كتب:

    أنت من ترغب في دراسة مثل هذه الأشياء العظيمة والرائعة ، من يتساءل عن
    حركة النجوم ، يجب (أولاً) قراءة هذه النظريات حول المثلثات!

    في عمله ، يشتق ويثبت حكم الشرط.

    تم تعريف جيب التمام بواسطة cos & theta & # 61 sin (90 & deg & minus & theta). هذا هو جيب تكملة الزاوية.

    تم تقديم المصطلحين tangent و secant بواسطة T. Fink (1561 & minus 1656) بينما تم تقديم cotangent (مكمل الظل) بواسطة E.Gunther (1581 & minus1626).

    يوضح الرسم البياني التالي كيف نشأت الأسماء المظللة والقاطع:

    AB & # 61 تان ، OB & # 61 ثانية .

    إذا كان نصف قطر الدائرة 1 ، فإن AB ، الذي يبلغ طوله tan & alpha ، يلامس الدائرة عند A
    (التانغو اللاتيني & ناقص أنا أتطرق) و OB ، الذي يبلغ طوله sec & alpha ، يقطع الدائرة (اللاتينية seco & ناقص I cut.)

    تتشابه المثلثات القائمة الزاوية مع بعضها البعض.

    ارسم مثلثًا متساوي الساقين قائم الزاوية. الزوايا المتساوية كل منها 45 درجة.

    ثيتا 30 درجة 45 درجة 60 درجة
    الخطيئة وثيتا
    كوس وثيتا
    تان وثيتا 1

    أ ، ب ، ج هي أطوال أضلاع المثلث ABC. /> C & # 61 90 & deg و /> A & # 61 & ثيتا & درجة.

    أ الخطيئة وثيتا & # 61 و كوس B & # 61 . لكن B & # 61 90 & deg & minus & theta & deg. إذن cos (90 & minus & theta) = sin & theta.

    ب تان وثيتا & # 61 = ÷ = .

    ج الخطيئة 2 & ثيتا & # 43 كوس 2 & ثيتا & # 61 + = = 1

    د الوتر هو الضلع الأطول ولذا الخطيئة & ثيتا & # 61 & lt 1 و cos & theta & # 61 & lt 1.

    أ 30 درجة ب 44 درجة

    أ BD & # 61 ميلادي & ناقص AB
    BD & # 61 قبل الميلاد & # 43 قرص مضغوط
    مضيفا يعطي 2 دينار بحريني & # 61 ميلادي & # 43 قرص مضغوط
    BD & # 61 (AD & # 43 CD)
    ب تان DEB =
    =
    = تان درهم & # 43 تان CED

    ارسم BD عموديًا على AC مع D على AC.

    منطقة = ب & مرات BD
    = أب الخطيئة وثيتا

    أ اقسم كلا الجانبين على cos 2 & theta للحصول على النتيجة.

    ب اقسم كلا الجانبين على الخطيئة 2 وثيتا للحصول على النتيجة

    تم تمويل مشروع تحسين تعليم الرياضيات في المدارس (TIMES) 2009-2011 من قبل وزارة التعليم والتوظيف وعلاقات مكان العمل التابعة للحكومة الأسترالية.

    الآراء المعبر عنها هنا هي آراء المؤلف ولا تمثل بالضرورة وجهات نظر وزارة التعليم والتوظيف وعلاقات مكان العمل بالحكومة الأسترالية.


    التدريب العملي على نشاط Trig River

    تعمل الوحدات كدليل لمحتوى معين أو مجال موضوع. متداخلة تحت الوحدات عبارة عن دروس (باللون الأرجواني) وأنشطة عملية (باللون الأزرق).

    لاحظ أنه لن تكون جميع الدروس والأنشطة موجودة ضمن الوحدة ، بل قد توجد كمنهج "مستقل" بدلاً من ذلك.

    • ارسم دورتك - التنقل
      • اين هنا؟
        • Nidy-Gridy: استخدام الشبكات والإحداثيات
        • شمالا هو! إنشاء واستخدام بوصلات بسيطة
        • ابحث عن اتجاهك الخاص
        • كيف تكون ملاحا عظيما!
          • رحلة المتجهات!
          • نجم الشمال (وول)
          • الإبحار بالأرقام
            • حافظ على لياقتك
            • نهر تريغ
            • الدقة والدقة والأخطاء في التنقل: تصحيحها!
              • قريب بما فيه الكفاية؟ الزوايا ودقة القياس في التنقل
              • دقة الكمبيوتر
              • حلول السدس
              • هوس خريطة توبو!
                • أين هو معلمك؟
                • مشكلة توبوس
                • الوصول إلى النقطة
                  • مثلثات حجرة الدراسة
                  • تثليث توبو
                  • مثلثات: Topos ، البوصلات والمثلثات ، Oh My!
                  • لقد حصلت على مثلثات!
                  • تقنيات الملاحة براً وبحراً وجواً وفضاءً
                    • ملاحة بحري
                    • الملاحة بسرعة الأقمار الصناعية
                      • اذكر موقعك
                      • إنه & # 39 s حول الوقت
                      • GPS أثناء التنقل
                        • أساسيات جهاز استقبال GPS
                        • صنع فن GPS: ارسمه ، امشي ، سجله ، اعرضه!
                        • مطاردة زبال GPS
                        • لم تضيع في الفضاء
                          • طريق ملتوي إلى المريخ
                          • تعقب الأقمار الصناعية

                          النشرة الإخبارية للشركة المصرية للاتصالات

                          ما هو عرض النهر؟

                          ملخص

                          الاتصال الهندسي

                          في بعض الأحيان ، لا يستطيع المهندسون قياس حجم الجسم أو المسافة بشكل مباشر لأن الأمر سيستغرق وقتًا طويلاً ، أو أنه من المستحيل فعليًا (مقياس شريط لمعرفة المسافة من الأرض إلى بلوتو؟). بدلاً من قياس الحجم أو المسافة في الواقع ، يستخدم المهندسون علم المثلثات والعلاقات الرياضية الأخرى لتقديرها بدقة شديدة.

                          أهداف التعلم

                          بعد هذا النشاط ، يجب أن يكون الطلاب قادرين على:

                          • استخدم حساب المثلثات القائم الزاوية وقياسات الزوايا لحساب المسافات
                          • تحويل من العادات الأمريكية إلى الوحدات المترية
                          • إجراء حساب متوسط ​​ومقارنة الأرقام
                          • اشرح كيف يستخدم المهندسون علم المثلثات والعلاقات الرياضية الأخرى لتقدير المسافات

                          المعايير التعليمية

                          كل تعليم الهندسة الدرس أو النشاط مرتبط بواحد أو أكثر من المعايير التعليمية في العلوم أو التكنولوجيا أو الهندسة أو الرياضيات (STEM).

                          جميع معايير K-12 STEM التي يزيد عددها عن 100،000 مغطاة بـ تعليم الهندسة يتم جمعها وصيانتها وتعبئتها بواسطة شبكة معايير الإنجاز (ASN)، مشروع D2L (www.achievementstandards.org).

                          في ASN ، يتم تنظيم المعايير بشكل هرمي: أولاً حسب المصدر على سبيل المثال، حسب الحالة داخل المصدر حسب النوع على سبيل المثالأو العلوم أو الرياضيات ضمن النوع حسب النوع الفرعي ، ثم حسب الصف ، إلخ.

                          معايير الدولة الأساسية المشتركة - الرياضيات
                          • استخدم الوحدات كطريقة لفهم المشكلات ولتوجيه حل المشكلات متعددة الخطوات ، اختر الوحدات وتفسرها باستمرار في الصيغ ، اختر وتفسر المقياس والأصل في الرسوم البيانية وعروض البيانات. (الصفوف 9-12) مزيد من التفاصيل

                          هل توافق على هذا التوافق؟ شكرا لملاحظاتك!

                          هل توافق على هذا التوافق؟ شكرا لملاحظاتك!

                          هل توافق على هذا التوافق؟ شكرا لملاحظاتك!

                          الرابطة الدولية لمعلمي التكنولوجيا والهندسة - التكنولوجيا
                          • المعرفة المكتسبة من مجالات الدراسة الأخرى لها تأثير مباشر على تطوير المنتجات والأنظمة التكنولوجية. (الصفوف 6-8) مزيد من التفاصيل

                          هل توافق على هذا التوافق؟ شكرا لملاحظاتك!

                          معايير الدولة
                          كولورادو - رياضيات
                          • حل المسائل الواقعية والرياضية التي تتضمن العمليات الأربع ذات الأعداد النسبية. (الصف السابع) مزيد من التفاصيل

                          هل توافق على هذا التوافق؟ شكرا لملاحظاتك!

                          هل توافق على هذا التوافق؟ شكرا لملاحظاتك!

                          قائمة مواد

                          أوراق العمل والمرفقات

                          المزيد من المناهج مثل هذا

                          يتعلم الطلاب أن الرياضيات مهمة في الملاحة والهندسة. يستخدم نظرية فيثاغورس لحل مشاكل العالم الحقيقي.

                          يتعلم الطلاب عن علم المثلثات والهندسة والقياسات أثناء المشاركة في تفاعل عملي مع تقنية LEGO & # 174 MINDSTORMS & # 174. يراجعون أولاً المفاهيم الهندسية والمثلثية الأساسية. ثم يقومون بتقدير ارتفاع كائنات مختلفة باستخدام علم المثلثات البسيط. طلاب.

                          يستكشف الطلاب مفهوم المثلثات القائمة المتشابهة وكيفية تطبيقها على النسب المثلثية. استخدم هذا الدرس لتجديد المعلومات حول ماهية النسب المثلثية وكيفية عملها. بالإضافة إلى علم المثلثات ، يستكشف الطلاب تطبيق Clinometer على جهاز Android & # 174 أو iOS & # 174 وكيف يمكن استخدامه لاختبار ذلك.

                          تعرف على أساسيات تحليل القوى التي يؤديها مهندسوها في مفاصل الجمالون لحساب قوة جسر الجمالون المعروف باسم "طريقة المفاصل". ابحث عن التوترات والضغطات لحل أنظمة المعادلات الخطية حيث يعتمد الحجم على عدد العناصر والعقد في trus.

                          مقدمة / الدافع

                          هل يمكن تحديد عرض النهر دون عبوره؟ (الإجابة: من الممكن الاقتراب جدًا من تحديد عرض نهر بأي حجم باستخدام المثلثات.) يمكن تطبيق نفس المبدأ المستخدم لتحديد عرض النهر على مواقف أخرى ، بما في ذلك تحديد ارتفاع التل ، شجرة أو مبنى. الشكل الهندسي البسيط الذي يجعل كل هذا ممكنًا هو مثلث. خلال هذا النشاط ، ستتعلم كيفية استخدام المثلثات لتحديد عرض النهر.

                          إجراء

                          علم المثلثات هو فرع من فروع الرياضيات يتعامل مع العلاقات بين زوايا وجوانب المثلثات. العلاقات المثلثية الأساسية الثلاثة التي نهتم بها في هذا النشاط هي: الجيب وجيب التمام والظل (يُشار إلى الخطيئة وجيب التمام والظل). إنها نسب أطوال ضلعي مثلث معين. أكثر أنواع المثلثات فائدة للرياضيات هو أ مثلث قائمالتي لها زاوية واحدة تساوي 90 درجة. حسب التعريف ، تتكون الزاوية 90 درجة من خطين متعامدين مع بعضهما البعض (مثل زاوية مربع) ، والخط المائل الذي يربط بين الخطين المتعامدين يجعل الضلع الثالث من المثلث. هذا الخط المنحدر يسمى وتر، والاسم يأتي من اليونانية هيبو (بمعنى تحت) و تينين (بمعنى أن تمتد). من الأسهل إظهار ذلك بصريًا:

                          يمكن أن تساعد الحروف SOH CAH TOA الطلاب على تذكر الجوانب التي تتوافق مع الوظائف (Sine = Opposite / Hypotenuse ، إلخ). قد يساعد فن الإستذكار طلاب الصف السادس إلى الثامن على حفظ العلاقات: "بعض هاج القديم قد اكتشف هبيًا ينطلق في الفن" أو "بعض Oaf لحسن الحظ قطع حفرة في شقتنا."

                          • اطبع ما يكفي من أوراق عمل Trig River لكل طالب والمنقلة الورقية نصف الورقية ، إذا لم يكن هناك عدد كافٍ من البروجيكتور لاستخدامها / مشاركتها للطلاب.
                          • حدد ما إذا كنت ستجري النشاط في الداخل أو الخارج.
                          • قم بإعداد أو اختيار الكائنات التي يمكن استخدامها كعلامات وحدود الشاطئ.

                          هل يمكن تحديد عرض النهر دون عبوره؟ (اسمح بالمناقشة واستمتع بأي أفكار إبداعية: امش عبر النهر ، وألقِ حبلًا عبره ، واستخدم أحجار انطلاق ، وما إلى ذلك. ثم اذكر أن هذا النهر لا يسمح بإيجاد حلول لتلك الحلول لأنه عميق جدًا ، والتيار سريع جدًا ، إنه واسع جدًا ، وليس لديك هذه الأداة ، وما إلى ذلك) إذا كان الطالب يعرف عن استخدام المثلثات ، اطلب منه شرح قدر الإمكان أو تقديم الفكرة وإعطاء مراجعة سريعة للمثلث الأيمن - الرسم والتسمية عليه اللجنة.

                          حدد "نهر" للطلاب. على سبيل المثال ، إذا كنت تعمل في الداخل ، فأعد ترتيب المكاتب لتشكيل "ضفتي" النهر (مع توفير مساحة للطلاب للعمل على كل "شاطئ"). إذا كنت تعمل بالخارج ، فاختر مكانًا به خطان متباعدان على نطاق واسع (2-5 متر) وخطوط متوازية تقريبًا لتحديد ضفتي "النهر". على سبيل المثال ، رصيف عريض ، خطان في ملعب كرة قدم ، أو شريط من العشب بحواف مستقيمة. إذا تم قياس "نهر" صغير ، اطلب من الطلاب القياس بالسنتيمتر ، وإذا تم استخدام "نهر" أكبر ، اطلب من الطلاب القياس بالأمتار. نظرًا لأن هذه نسب المسافة ، يجب أن يكون للنتيجة في النهاية نفس الوحدة (متر ، سم ، إلخ) المستخدمة لإجراء القياس الأولي.

                          1. على جانب واحد من النهر (أقرب ما يكون إلى منتصف ذلك الجانب ، ضع شيئًا يكون بمثابة علامة الحافة البعيدة. وعادة ما يمثل ذلك شجرة على حافة الجانب الآخر من النهر.
                          2. مباشرة على الجانب الآخر من العلامة ، ضع علامة Zero Edge (انظر الشكل 1). يجب أن يكون جميع الطلاب على هذا الجانب من النهر.
                          3. ضع شريط القياس على طول "ضفة الحافة الصفرية" بحيث يكون أحد طرفيه عند Zero Edge Marker وضع قطعة من الشريط كل نصف متر على حافة النهر من المكاتب. كرر هذا في الاتجاه الآخر (انظر الشكل 1).
                          4. امنح كل طالب ورقة عمل.
                          5. يجب على كل طالب عمل تقدير لمدى عرض النهر وتسجيله في الجزء الخلفي من ورقة العمل الخاصة به (أي مكان على الورقة مقبول).
                          6. ستعمل كل مجموعة من علامة شريط مختلفة. عندما يكون كل من طلاب المجموعة عند علامته غير المحظورة وكتبوا في ورقة العمل الخاصة بهم المسافة بين شريطهم وعلامة Zero Edge Marker ، امنح كل مجموعة منقلة.

                          الشكل 1. الإعداد لقياس الزاوية.

                          1. ضع المنقلة مع النقطة المركزية في منتصف الشريط والزاوية الصفرية التي تشير إلى علامة الحافة الصفرية (انظر الشكل 2).
                          2. سيثبت أحد الطلاب المنقلة في مكانه بينما يضع الآخر طرفًا واحدًا من الخيط على النقطة المركزية للمنقلة ويوجه الطرف الآخر إلى علامة الحافة البعيدة. اقرأ الزاوية التي تمر بها السلسلة على المنقلة (يجب ألا يزيد العد من الصفر عن 90 درجة) ، وسجلها في ورقة العمل. أثناء قيام الطلاب بذلك ، يمكن للمدرس قياس المسافة الفعلية بين علامتين لا تكشف المسافة بعد.
                          3. يقوم الشركاء بتبديل الوظائف وتسجيل قياس ثانٍ في ورقة العمل الخاصة بهم.
                          4. أكمل حسابات ورقة العمل. (اترك المكاتب وأقلام التحديد في مكانها).
                          5. اطلب من الطلاب مقارنة تقديرهم لعرض النهر بالقياس الفعلي. ما مدى قرب تقديرهم؟
                          6. اطلب من الطلاب استخدام كل من الوحدات المترية والإنجليزية لقياس المسافة من علامة الصفر. قارن بين النتيجتين في النهاية.

                          السؤال والجواب رقم 1: هل كان الطلاب الذين كانوا أقرب إلى علامة الصفر أكثر أو أقل دقة من الطلاب البعيدين؟ (الإجابة: يجب أن يكون الطلاب القريبون من علامة الصفر أقل دقة لأن قيم ظل الزوايا القريبة من 90 درجة تصبح كبيرة بسرعة ويؤدي خطأ صغير في قياس الزاوية إلى خطأ كبير في المسافة. لاحظ أن نفس المشكلة ستظهر نظرًا لأن الزاوية المقاسة تقترب من الصفر درجة ، ولكن يجب أن يكون الطالب بعيدًا جدًا عن ذلك.)

                          سؤال وجواب # 2: هل يمكن استخدام طريقة القياس هذه في البرية إذا لم يكن لديك آلة حاسبة أو جداول مثلثية؟ (الإجابة: ليس من السهل حفظ قيم الظل لجميع الزوايا ولكن من السهل جدًا تذكر قيمة واحدة: tan (45). اجعل الطلاب يجدون هذه القيمة ثم اشرح سبب حصولهم على إجابة بسيطة.)

                          الشكل 2. قياس الزاوية

                          تقييم

                          سؤال مناقشة: التماس ودمج وتلخيص استجابات الطلاب.

                          • هل يمكن تحديد عرض النهر دون عبوره؟ (اسمح بالمناقشة واستمتع بأي أفكار إبداعية: المشي عبر النهر ، وإلقاء حبل عبره ، واستخدام حجارة الانطلاق ، وما إلى ذلك. ثم اذكر أن هذا النهر لا يسمح بهذه الحلول لأنه عميق جدًا ، والتيار سريع جدًا ، إنه سريع للغاية. واسع جدًا ، ليس لديك هذه الأداة ، وما إلى ذلك) راجع "مع الطلاب" في قسم الإجراءات.

                          تنبؤ: اطلب من الطلاب تقدير عرض النهر وتسجيل التنبؤات على السبورة.

                          التقييم المضمن في النشاط

                          ورقة عمل: اطلب من الطلاب إكمال ورقة عمل النشاط ، ومراجعة حسابات Trig لإجاباتهم لقياس مدى إتقانهم للموضوع.

                          جواب السؤال: اسأل الطلاب وناقشهم كصف:

                          • هل كان الطلاب الأقرب إلى علامة الصفر أكثر أم أقل دقة من الطلاب البعيدين؟ (الإجابة: يجب أن يكون الطلاب القريبون من علامة الصفر أقل دقة لأن قيم ظل الزوايا القريبة من 90 درجة تصبح كبيرة بسرعة ويؤدي خطأ صغير في قياس الزاوية إلى خطأ كبير في المسافة. لاحظ أن نفس المشكلة ستظهر نظرًا لأن الزاوية المقاسة تقترب من الصفر درجة ، ولكن يجب أن يكون الطالب بعيدًا جدًا عن ذلك.)
                          • هل يمكن استخدام هذه الطريقة في البرية إذا لم يكن لديك آلة حاسبة أو الجداول المثلثية؟ (الإجابة: ليس من السهل حفظ قيم الظل لجميع الزوايا ولكن من السهل جدًا تذكر قيمة واحدة: tan (45). اجعل الطلاب يجدون هذه القيمة ثم اشرح سبب حصولهم على إجابة بسيطة.)

                          قضايا السلامة

                          • اطلب من الطلاب توخي الحذر حتى لا يصطدموا بالرؤوس عند التجميع على علامات مسجلة قد يضطرون إلى التناوب إذا كانت علامات الشريط قريبة جدًا من مجموعة من الطلاب.
                          • لتجنب التعثر على أرجل المكتب ، ذكر الطلاب بالتحرك بحذر بين "ضفاف" النهر الوهمي.

                          نصائح استكشاف الأخطاء وإصلاحها

                          قد يتم الخلط بين الطلاب حول علم المثلثات المتضمن في هذا النشاط. بعد أن يحاول جميع الطلاب معرفة المسافة عبر النهر ، اختر إحدى علامات الشريط واطلب من الفصل أن يتجول في النشاط معًا للتعزيز.


                          المثلث القائم الزاوية

                          • استخدم المثلثات القائمة الزاوية لتقييم الدوال المثلثية.
                          • ابحث عن قيم دالة لـو
                          • استخدم دوال مشتركة متساوية للزوايا التكميلية.
                          • استخدم تعريفات الدوال المثلثية لأي زاوية.
                          • استخدم حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لحل المشكلات التطبيقية.

                          جبل. جبل إيفرست ، الذي يقع على الحدود بين الصين ونيبال ، هو أعلى جبل في العالم. قياس ارتفاعه ليس بالمهمة السهلة ، وفي الواقع ، كان القياس الفعلي مصدرًا للجدل لمئات السنين. تتضمن عملية القياس استخدام المثلثات وفرع الرياضيات المعروف باسم علم المثلثات. في هذا القسم ، سنحدد مجموعة جديدة من الوظائف تُعرف باسم الدوال المثلثية ، ونكتشف كيف يمكن استخدامها لقياس الارتفاعات ، مثل تلك الموجودة في أعلى الجبال.

                          استخدام المثلثات القائمة في حساب الدوال المثلثية

                          (الشكل) يوضح مثلث قائم الزاوية بطول جانب عموديوالجانب الأفقي له طوللاحظ أن المثلث مرسوم داخل دائرة نصف قطرها 1. تُعرف هذه الدائرة ، مركزها في الأصل ونصف قطرها 1 ، بدائرة الوحدة.

                          شكل 1.

                          يمكننا تحديد الدوال المثلثية من حيث الزاوية ر وأطوال أضلاع المثلث. الضلع المجاور هو الضلع الأقرب للزاوية x. (المجاور يعني "بجانب.") الضلع المقابل هو الضلع المقابل للزاوية ، ذ. الوتر هو ضلع المثلث المقابل للزاوية القائمة ، 1. هذه الجوانب موضحة في (الشكل).

                          الشكل 2. أضلاع المثلث القائم بالنسبة للزاوية

                          إعطاء مثلث قائم الزاوية بزاوية حادةيتم سرد الدوال الثلاث الأولى المثلثية.

                          يعد SohCahToa أحد الرموز الشائعة لتذكر هذه العلاقات ، ويتكون من الأحرف الأولى من "سine هو اوضع أكثر حypotenuse ، جأوسين هو أتجاور أكثر حypotenuse ، تيangent هو اوضع أكثر أتجاور. "

                          بالنسبة للمثلث الموضح في (الشكل) ، لدينا ما يلي.

                          كيف

                          بمعلومية أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية وأحد الزوايا الحادة ، أوجد الجيب وجيب التمام والظل لهذه الزاوية.

                          1. أوجد الجيب كنسبة الضلع المقابل على الوتر.
                          2. أوجد جيب التمام كنسبة الضلع المجاور على الوتر.
                          3. أوجد المماس على أنه نسبة الضلع المقابل على الضلع المجاور.

                          إيجاد دالة مثلثية لمثلث قائم الزاوية

                          بالنظر إلى المثلث الموضح في (الشكل) ، أوجد قيمة

                          الشكل 3.

                          الضلع المجاور للزاوية يساوي 15 ، ووتر المثلث يساوي 17.

                          [/ إجابة مخفية]

                          جربها

                          بالنظر إلى المثلث الموضح في (الشكل) ، أوجد قيمة

                          الشكل 4. [كشف-answer q = & # 82211590112 & # 8243] إظهار الحل [/كشف-answer] [hidden-answer a = & # 82211590112 & # 8243]
                          [/ إجابة مخفية]

                          وظائف متبادلة

                          بالإضافة إلى الجيب وجيب التمام والظل ، هناك ثلاث وظائف أخرى. يتم تعريف هذه أيضًا من حيث جوانب المثلث.

                          ألق نظرة أخرى على هذه التعريفات. هذه الوظائف هي العمليات المتبادلة للوظائف الثلاث الأولى.

                          عند العمل بالمثلثات القائمة ، ضع في اعتبارك أن نفس القواعد تنطبق بغض النظر عن اتجاه المثلث. في الواقع ، يمكننا تقييم الدوال المثلثية الست لأي من الزاويتين الحادتين في المثلث في (الشكل). الضلع المقابل لإحدى الزوايا الحادة هو الضلع المجاور للزاوية الحادة الأخرى ، والعكس صحيح.

                          الشكل 5. الضلع المجاور لإحدى الزوايا هو المقابل للزاوية الأخرى.

                          تتطلب العديد من المسائل جميع الدوال المثلثية الست لزاوية معينة في المثلث. إحدى الإستراتيجيات الممكنة لاستخدامها هي إيجاد الجيب وجيب التمام والظل للزوايا أولاً. ثم ، ابحث عن الدوال المثلثية الأخرى بسهولة باستخدام المقلوب.

                          كيف

                          بالنظر إلى أطوال أضلاع المثلث القائم ، أوجد الدوال المثلثية الست لإحدى الزوايا الحادة.

                          1. إذا لزم الأمر ، ارسم المثلث الأيمن وقم بتسمية الزاوية المتوفرة.
                          2. حدد الزاوية ، والضلع المجاور ، والضلع المقابل للزاوية ، ووتر المثلث القائم.
                          3. ابحث عن الوظيفة المطلوبة:
                            • الجيب كنسبة الضلع المقابل على الوتر
                            • جيب التمام كنسبة الضلع المجاور على الوتر
                            • الظل هو نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور
                            • secant كنسبة الوتر إلى الضلع المجاور
                            • cosecant كنسبة الوتر إلى الضلع المقابل
                            • ظل التمام هو نسبة الضلع المجاور إلى الضلع المقابل

                          حساب الدوال المثلثية للزوايا ليست في الوضع القياسي

                          باستخدام المثلث الموضح في (الشكل) ، قم بالتقييم

                          الشكل 6.

                          [كشف-answer q = & # 82212211290 & # 8243] إظهار الحل [/كشف-answer] [hidden-answer a = & # 82212211290 & # 8243]

                          [/ إجابة مخفية]

                          التحليلات

                          هناك طريقة أخرى تتمثل في إيجاد الجيب وجيب التمام والظل أولاً. ثم ابحث عن المعادلات الخاصة بهم لتحديد الوظائف الأخرى.

                          جربها

                          باستخدام المثلث الموضح في (الشكل) ، قم بالتقييم

                          الشكل 7.

                          إيجاد الدوال المثلثية للزوايا الخاصة باستخدام أطوال الأضلاع

                          من المفيد تقييم الدوال المثلثية من حيث صلتها بالزوايا الخاصة - مضاعفاتوتذكر ، مع ذلك ، أنه عند التعامل مع المثلثات القائمة ، فإننا مقيدون بالزوايا الواقعة بين

                          افترض أن لدينا ملفمثلث ، والذي يمكن وصفه أيضًا بأنه أمثلث. الجوانب لها أطوال في العلاقةجوانب أمثلث ، والذي يمكن وصفه أيضًا بأنه أمثلث ، أطوال في العلاقةتظهر هذه العلاقات في (الشكل).

                          الشكل 8. أطوال أضلاع المثلثات الخاصة

                          يمكننا بعد ذلك استخدام نسب أطوال الأضلاع لحساب الدوال المثلثية للزوايا الخاصة.

                          كيف

                          بالنظر إلى الدوال المثلثية لزاوية خاصة ، أوجدها باستخدام أطوال الأضلاع.

                          1. استخدم أطوال الأضلاع الموضحة في (الشكل) للزاوية الخاصة التي ترغب في تقييمها.
                          2. استخدم نسبة أطوال الأضلاع المناسبة للدالة التي ترغب في تقييمها.

                          حساب الدوال المثلثية للزوايا الخاصة باستخدام أطوال الأضلاع

                          أوجد القيمة الدقيقة للدوال المثلثية لـباستخدام أطوال الأضلاع.

                          [كشف-answer q = & # 82211736320 & # 8243] إظهار الحل [/كشف-answer] [hidden-answer a = & # 82211736320 & # 8243]

                          [/ إجابة مخفية]

                          جربها

                          أوجد القيمة الدقيقة للدوال المثلثية لـباستخدام أطوال الأضلاع.

                          استخدام دالة مشتركة متساوية للمكملات

                          إذا نظرنا عن كثب إلى العلاقة بين الجيب وجيب التمام للزوايا الخاصة ، نلاحظ وجود نمط. في مثلث قائم الزاوية مع زواياونرى أن شرطيسمىهو أيضا جيب تمامبينما جيبيسمىهو أيضا جيب تمام

                          الشكل 9. جيبيساوي جيب التماموالعكس صحيح.

                          لا ينبغي أن تكون هذه النتيجة مفاجئة لأنه ، كما نرى من (الشكل) ، الضلع المقابل لزاويةهو أيضًا الضلع المجاور لـوبالتاليوهي بالضبط نفس النسبة من نفس الجانبين ،وبصورة مماثلة،وهي أيضًا نفس النسبة باستخدام نفس الجانبين ،و

                          العلاقة المتبادلة بين الجيب وجيب التماموينطبق أيضًا على الزاويتين الحادتين في أي مثلث قائم الزاوية ، لأنه في كل حالة ، فإن النسبة بين نفس الضلعين ستشكل جيب الزاوية وجيب الزاوية الأخرى. بما أن الزوايا الثلاث للمثلث تضاف إليهاوالزاوية الصحيحة هييجب أن تضيف الزاويتان المتبقيتان ما يصل إلىهذا يعني أنه يمكن تكوين مثلث قائم الزاوية بأي زاويتين إضافيتينبمعنى آخر ، أي زاويتين متكاملتين. لذلك قد نذكر أ هوية الوظيفة المشتركة: إذا كانت أي زاويتين متكاملتين ، فإن جيب أحدهما هو جيب تمام الآخر ، والعكس صحيح. هذه الهوية موضحة في (الشكل).

                          الشكل 10. هوية دالة مشتركة للجيب وجيب التمام للزوايا المكملة

                          باستخدام هذه المطابقة ، يمكننا القول دون حساب ، على سبيل المثال ، أن جيبيساوي جيب التماموهذا شرطيساوي جيب التماميمكننا أيضًا تحديد ذلك لزاوية معطاةمن ثمكذلك.

                          هويات الوظيفة المشتركة

                          تم سرد هويات الوظيفة المشتركة بالراديان في (الشكل).

                          كيف

                          بمعلومية جيب وجيب الزاوية لزاوية ، أوجد جيب تمام الزاوية أو جيب تمامها.

                          1. لإيجاد جيب الزاوية التكميلية ، أوجد جيب تمام الزاوية الأصلية.
                          2. لإيجاد جيب تمام الزاوية التكميلية ، أوجد جيب الزاوية الأصلي.

                          استخدام هويات الوظيفة المشتركة

                          لويجد

                          [كشف-answer q = & # 82212026175 & # 8243] إظهار الحل [/كشف-answer] [hidden-answer a = & # 82212026175 & # 8243]

                          وفقًا لمطابقات الوظيفة المشتركة للجيب وجيب التمام ، لدينا ما يلي.

                          [/ إجابة مخفية]

                          جربها

                          لويجد

                          استخدام الدوال المثلثية

                          في الأمثلة السابقة ، قيمنا الجيب وجيب التمام في المثلثات حيث عرفنا الأضلاع الثلاثة. لكن القوة الحقيقية لعلم المثلثات للمثلث القائم الزاوية تظهر عندما ننظر إلى المثلثات التي نعرف زاوية فيها ولكننا لا نعرف كل الأضلاع.

                          كيف

                          بمثلث قائم ، طول ضلع واحد ، وقياس زاوية حادة ، أوجد الأضلاع المتبقية.

                          1. لكل جانب ، حدد الدالة المثلثية التي لها جانب غير معروف إما البسط أو المقام. سيكون الضلع المعروف بدوره هو المقام أو البسط.
                          2. اكتب معادلة تحدد قيمة دالة الزاوية المعروفة التي تساوي نسبة الأضلاع المتناظرة.
                          3. باستخدام قيمة الدالة المثلثية وطول الضلع المعروف ، أوجد طول الضلع المفقود.

                          إيجاد أطوال الأضلاع الناقصة باستخدام النسب المثلثية

                          أوجد الجوانب المجهولة للمثلث في (الشكل).

                          الشكل 11.

                          نعرف الزاوية والضلع المقابل ، لذا يمكننا استخدام المماس لإيجاد الضلع المجاور.

                          نعيد الترتيب لإيجاد الحل

                          يمكننا استخدام الجيب لإيجاد الوتر.

                          مرة أخرى ، نعيد الترتيب لإيجاد قيمة

                          [/ إجابة مخفية]

                          جربها

                          المثلث القائم الزاوية له زاوية واحدةووتر 20. أوجد أضلاع وزاوية المثلث المجهولة.

                          الزاوية المفقودة هي

                          استخدام حساب المثلثات القائم الزاوية لحل المسائل التطبيقية

                          علم المثلثات للمثلث الأيمن له العديد من التطبيقات العملية. على سبيل المثال ، فإن القدرة على حساب أطوال أضلاع المثلث تجعل من الممكن العثور على ارتفاع كائن طويل دون الصعود إلى القمة أو الاضطرار إلى تمديد شريط قياس بطول ارتفاعه. نقوم بذلك بقياس المسافة من قاعدة الجسم إلى نقطة على الأرض تبعد مسافة ما ، حيث يمكننا النظر إلى أعلى الجسم الطويل بزاوية.زاوية ارتفاع جسم فوق مراقب بالنسبة إلى المراقب هي الزاوية بين الأفقي والخط من الكائن إلى عين المراقب & # 8217 s. يحتوي المثلث الأيمن الذي ينشئه هذا الموضع على جوانب تمثل الارتفاع غير المعروف والمسافة المقاسة من القاعدة وخط الرؤية المائل من الأرض إلى الجزء العلوي من الكائن. بمعرفة المسافة المقاسة لقاعدة الجسم وزاوية خط البصر ، يمكننا استخدام الدوال المثلثية لحساب الارتفاع غير المعروف.

                          وبالمثل ، يمكننا تكوين مثلث من أعلى جسم طويل بالنظر إلى الأسفل. زاوية انخفاض كائن أسفل مراقب بالنسبة للمراقب هي الزاوية بين الأفقي والخط من الكائن إلى عين المراقب & # 8217s. أنظر للشكل).

                          الشكل 12.

                          كيف

                          بالنظر إلى جسم طويل ، قم بقياس ارتفاعه بشكل غير مباشر.

                          1. قم بعمل رسم تخطيطي لحالة المشكلة لتتبع المعلومات المعروفة وغير المعروفة.
                          2. ضع مسافة مُقاسة من قاعدة الكائن إلى نقطة يكون فيها الجزء العلوي من الكائن مرئيًا بوضوح.
                          3. في الطرف الآخر من المسافة المقاسة ، انظر إلى أعلى الجسم. قم بقياس الزاوية التي يصنعها خط الرؤية مع الأفقي.
                          4. اكتب معادلة تتعلق بالارتفاع المجهول والمسافة المقاسة وظل زاوية خط البصر.
                          5. حل معادلة الارتفاع المجهول.

                          قياس المسافة بشكل غير مباشر

                          للعثور على ارتفاع الشجرة ، يمشي الشخص إلى نقطة 30 قدمًا من قاعدة الشجرة. إنها تقيس زاويةبين خط الرؤية إلى أعلى الشجرة والأرض ، كما هو موضح في (الشكل). أوجد ارتفاع الشجرة.

                          الشكل 13.

                          نعلم أن زاوية الارتفاع هيويبلغ طول الضلع المجاور 30 ​​قدمًا. الضلع المقابل هو الارتفاع غير المعروف.

                          الدالة المثلثية التي تربط الضلع المقابل للزاوية والضلع المجاور لها هي المماس. لذلك سنذكر معلوماتنا بدلالة مماسالسماحيكون الارتفاع غير معروف.

                          يبلغ طول الشجرة 46 قدمًا تقريبًا. [/ hidden-answer]

                          جربها

                          كم من الوقت يحتاج السلم للوصول إلى عتبة النافذة على ارتفاع 50 قدمًا فوق سطح الأرض إذا كان السلم يرتكز على المبنى مما يجعل زاويةمع الارض؟ قرّب لأقرب قدم.

                          قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على إرشادات وممارسات إضافية باستخدام حساب المثلثات القائم الزاوية.

                          المعادلات الرئيسية

                          الدوال المثلثية
                          الدوال المثلثية المقلوبة
                          هويات الوظيفة المشتركة

                          المفاهيم الرئيسية

                          • يمكننا تعريف الدوال المثلثية كنسب أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية. أنظر للشكل).
                          • يمكن استخدام نفس أطوال الأضلاع لتقييم الدوال المثلثية لأي زاوية حادة في مثلث قائم الزاوية. أنظر للشكل).
                          • يمكننا تقييم الدوال المثلثية للزوايا الخاصة ، مع معرفة أطوال أضلاع المثلثات التي تحدث فيها. أنظر للشكل).
                          • أي زاويتين متكاملتين يمكن أن تكون الزاويتين الحادتين لمثلث قائم الزاوية.
                          • إذا كانت زاويتان متكاملتان ، فإن متطابقات الوظيفة المشتركة تنص على أن جيب أحدهما يساوي جيب تمام الآخر والعكس صحيح. أنظر للشكل).
                          • يمكننا استخدام الدوال المثلثية لزاوية لإيجاد أطوال أضلاع غير معروفة.
                          • حدد الدالة المثلثية التي تمثل نسبة الضلع المجهول إلى الجانب المعروف. أنظر للشكل).
                          • يسهل حساب المثلثات للمثلث الأيمن قياس الارتفاعات والمسافات التي يتعذر الوصول إليها.
                          • يمكن إيجاد الارتفاع أو المسافة غير المعروفة من خلال إنشاء مثلث قائم الزاوية يكون فيه الارتفاع أو المسافة المجهولة أحد أضلاعه ، ويكون الجانب الآخر والزاوية معروفين. أنظر للشكل).

                          تمارين القسم

                          شفهي

                          بالنسبة للمثلث القائم المعطى ، قم بتسمية الضلع المجاور والضلع المقابل والوتر للزاوية المشار إليها.

                          [كشف-answer q = & # 8221fs-id2133705 & # 8243] إظهار الحل [/كشف-الإجابة]
                          [hidden-answer a = & # 8221fs-id2133705 & # 8243][/ إجابة مخفية]

                          عندما يتم وضع مثلث قائم الزاوية له وتر المثلث 1 في دائرة نصف قطرها 1 ، فإن جانبي المثلث يتوافق مع x& # 8211 و ذ-تنسيق؟

                          ظل الزاوية يقارن أي ضلع من أضلاع المثلث القائم؟

                          ظل الزاوية هو نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور.

                          ما العلاقة بين الزاويتين الحادتين في مثلث قائم الزاوية؟

                          اشرح هوية الوظيفة المشتركة.

                          على سبيل المثال ، جيب الزاوية يساوي جيب تمام مكملها ، وجيب الزاوية يساوي جيب التكملة.

                          جبري

                          للتمارين التالية ، استخدم التوابع المشتركة للزوايا التكميلية.

                          بالنسبة للتمارين التالية ، أوجد أطوال الأضلاع المفقودة إذا كانت الضلعهي الزاوية المعاكسةالجانبهي الزاوية المعاكسةوالجانبهو الوتر.

                          رسومية

                          للتمارين التالية ، استخدم (الشكل) لتقييم كل دالة مثلثية للزاوية

                          الشكل 14.

                          [كشف-answer q = & # 82212673682 & # 8243] إظهار الحل [/كشف-answer] [hidden-answer a = & # 82212673682 & # 8243]
                          [/ إجابة مخفية]

                          للتمارين التالية ، استخدم (الشكل) لتقييم كل دالة مثلثية للزاوية

                          الشكل 15.

                          بالنسبة للتدريبات التالية ، أوجد الجوانب المجهولة للمثلث المحدد.

                          تكنولوجيا

                          للتمارين التالية ، استخدم الآلة الحاسبة لإيجاد طول كل ضلع لأقرب أربع منازل عشرية.

                          ملحقات

                          يجد

                          يجد

                          يجد

                          يجد

                          يقع برج راديو على بعد 400 متر من المبنى. من نافذة في المبنى ، يحدد الشخص أن زاوية الارتفاع إلى قمة البرج هيوأن زاوية الانخفاض إلى أسفل البرج هيكم يبلغ ارتفاع البرج؟

                          يقع برج راديو على بعد 100 متر من المبنى. من نافذة في المبنى ، يحدد الشخص أن زاوية الارتفاع إلى قمة البرج هيوأن زاوية الانخفاض إلى أسفل البرج هيكم يبلغ ارتفاع البرج؟

                          يقع نصب يبلغ ارتفاعه 200 قدم في المسافة. من نافذة في مبنى ، يحدد الشخص أن زاوية الارتفاع إلى أعلى النصب هيوأن زاوية الانخفاض أسفل النصب هيكم يبعد الشخص عن النصب؟

                          يقع نصب يبلغ ارتفاعه 400 قدم في المسافة. من نافذة في مبنى ، يحدد الشخص أن زاوية الارتفاع إلى أعلى النصب هيوأن زاوية الانخفاض أسفل النصب هيكم يبعد الشخص عن النصب؟

                          يوجد هوائي في الجزء العلوي من المبنى. من موقع على بعد 300 قدم من قاعدة المبنى ، يتم قياس زاوية الارتفاع إلى قمة المبنى لتكونمن نفس الموقع ، يتم قياس زاوية الارتفاع إلى أعلى الهوائيأوجد ارتفاع الهوائي.

                          يوجد مانع صواعق على قمة المبنى. من موقع على بعد 500 قدم من قاعدة المبنى ، يتم قياس زاوية الارتفاع إلى أعلى المبنى لتكونمن نفس الموقع ، يتم قياس زاوية الارتفاع إلى الجزء العلوي من مانع الصواعق لتكونأوجد ارتفاع مانعة الصواعق.

                          تطبيقات العالم الحقيقي

                          سلم بطول 33 قدمًا يستند إلى مبنى بحيث تكون الزاوية بين الأرض والسلمإلى أي ارتفاع يصل السلم إلى جانب المبنى؟

                          يميل سلم طوله 23 قدمًا على مبنى بحيث تكون الزاوية بين الأرض والسلمإلى أي ارتفاع يصل السلم إلى جانب المبنى؟

                          تم العثور على زاوية الارتفاع إلى أعلى مبنى في نيويورك على أنها 9 درجات من الأرض على مسافة ميل واحد من قاعدة المبنى. باستخدام هذه المعلومات ، أوجد ارتفاع المبنى.

                          تم العثور على زاوية الارتفاع إلى أعلى مبنى في سياتل على أنها 2 درجة من الأرض على مسافة ميلين من قاعدة المبنى. باستخدام هذه المعلومات ، أوجد ارتفاع المبنى.

                          بافتراض أن خشبًا أحمر عملاقًا يبلغ ارتفاعه 370 قدمًا ينمو عموديًا ، إذا مشيت مسافة معينة من الشجرة وقست زاوية الارتفاع إلى أعلى الشجرة لتكونكم أنا بعيد عن قاعدة الشجرة؟

                          قائمة المصطلحات

                          الضلع المجاور في مثلث قائم الزاوية ، والضلع بين زاوية معينة والزاوية اليمنى للاكتئاب ، الزاوية بين الأفقي والخط من الكائن إلى عين المراقب ، بافتراض أن الكائن يقع في مستوى أدنى من زاوية الراصد لارتفاع الزاوية بين الأفقي والخط من الكائن إلى عين المراقب ، بافتراض أن الكائن يقع أعلى من الضلع المقابل للمراقب في مثلث قائم الزاوية ، وهو الجانب الأبعد عن زاوية معينة ، استخدم جانب المثلث الأيمن المقابل لوحدة الزاوية اليمنى ضع دائرة حول دائرة مركزها عندونصف القطر 1

                          تتضمن حلول Balbharati للرياضيات 2 Geometry 9th Standard Maharashtra State Board الفصل 8 (علم المثلثات) جميع الأسئلة مع الحل والشرح التفصيلي. سيؤدي ذلك إلى إزالة شكوك الطلاب حول أي سؤال وتحسين مهارات التطبيق أثناء التحضير لامتحانات المجلس. ستساعدك الحلول التفصيلية خطوة بخطوة على فهم المفاهيم بشكل أفضل وتوضيح ارتباكاتك ، إن وجدت. موقع Shaalaa.com لديه حلول مجلس ولاية ماهاراشترا للرياضيات 2 الهندسة القياسية 9th Standard Maharashtra State Board بطريقة تساعد الطلاب على فهم المفاهيم الأساسية بشكل أفضل وأسرع.

                          علاوة على ذلك ، نحن في موقع Shaalaa.com نقدم مثل هذه الحلول حتى يتمكن الطلاب من الاستعداد للامتحانات الكتابية. يمكن أن تكون حلول الكتب المدرسية من Balbharati مساعدة أساسية للدراسة الذاتية وتعمل كدليل مثالي للمساعدة الذاتية للطلاب.

                          المفاهيم المغطاة في الرياضيات 2 الهندسة 9 المعيار التاسع لمجلس ولاية ماهاراشترا الفصل 8 علم المثلثات هي علم المثلثات ، المصطلحات المتعلقة بالمثلث القائم الزاوية ، المعادلة المهمة في علم المثلثات ، طريقة استخدام الجدول المثلثي ، النسب المثلثية والنسب التبادلية والمثلثية والمتبادلة.

                          يعد استخدام الحلول القياسية 9 من Balbharati تمرين حساب المثلثات من قبل الطلاب طريقة سهلة للتحضير للامتحانات ، لأنها تتضمن حلولًا مرتبة حسب الفصل أيضًا. الأسئلة التي يتضمنها Balbharati Solutions هي أسئلة مهمة يمكن طرحها في الاختبار النهائي. يفضل طلاب المستوى التاسع من مجلس ولاية ماهاراشترا المعياري التاسع حلول Balbharati Textbook Solutions للحصول على درجات أعلى في الامتحان.


                          أمثلة عملية

                          1. استخدام نظرية فيثاغورس & # 8217
                          أثناء اختبار GCSE للرياضيات ، ستتم مطالبتك بحساب العديد من المشكلات الرياضية باستخدام نظرية فيثاغورس & # 8217:

                          مثال
                          (أ) & # 8211 المثلث التالي له القيمتان a = 9 و c = 15. احسب قيمة الضلع & # 8216b

                          المحلول
                          (أ) & # 8211 باستخدام نظرية فيثاغورس & # 8217


                          شاهد الفيديو: Mini Biography - Pythagoras (ديسمبر 2021).