مقالات

1: زوايا المثلث القائم الزاوية - الرياضيات


علم المثلثات هو دراسة العلاقات بين أضلاع وزوايا المثلثات. كلمة "علم المثلثات" مشتقة من الكلمات اليونانية المثلثية (τρ´ιγωνo) ، والتي تعني "المثلث" ، والمترو (µǫτρω´) ، والتي تعني "القياس". على الرغم من أن الإغريق القدماء ، مثل هيبارخوس وبطليموس ، استخدموا علم المثلثات في دراستهم لعلم الفلك بين عام 150 قبل الميلاد تقريبًا. - 200 م ، تاريخها أقدم بكثير. على سبيل المثال ، سجل الكاتب المصري أحمد بعض الحسابات المثلثية البدائية (المتعلقة بنسب جوانب الأهرامات) في بردية ريند الشهيرة في وقت ما حوالي عام 1650 قبل الميلاد. يتميز علم المثلثات عن الهندسة الأولية جزئيًا باستخدامه المكثف لوظائف معينة للزوايا ، تُعرف بالوظائف المثلثية. قبل مناقشة هذه الوظائف ، سنراجع بعض المصطلحات الأساسية حول الزوايا.

  • 1.1: الزوايا
    في الهندسة الأولية ، تعتبر الزوايا دائمًا موجبة وليست أكبر من (360 ^ circ ). لقد تعلمت أيضًا أن مجموع زوايا المثلث يساوي (180 ^ ◦ ) ، وأن المثلث متساوي الساقين هو مثلث له ضلعان متساويان في الطول. تذكر أن إحدى الزوايا في المثلث القائم الزاوية هي الزاوية القائمة. وهكذا ، في المثلث القائم ، تكون إحدى الزاويتين (90 ^ ◦ ) والزاويتان الأخريان زاويتان حادتان مجموعهما (90 ^ ◦ ) (أي أن الزاويتين الأخريين هما زاويتان متكاملتان).
  • 1.2: الدوال المثلثية للزاوية الحادة
    للمثلث القائم △ ABC ، ​​والزاوية القائمة عند C والأطوال a و b و c. للزاوية الحادة A ، استدع الضلع BC ضلعها المقابل ، واسم الضلع AC الضلع المجاور لها. تذكر أن وتر المثلث هو الضلع AB. غالبًا ما تحدث نسب أضلاع المثلث الأيمن بدرجة كافية في التطبيقات العملية لتبرير أسمائها الخاصة ، لذلك يمكننا تحديد الوظائف المثلثية الست لـ A.
  • 1.3: التطبيقات وحل المثلثات القائمة
    خلال تطوره المبكر ، غالبًا ما كان علم المثلثات يستخدم كوسيلة للقياس غير المباشر ، على سبيل المثال تحديد مسافات أو أطوال كبيرة باستخدام قياسات الزوايا والمسافات الصغيرة المعروفة. اليوم ، يستخدم علم المثلثات على نطاق واسع في الفيزياء وعلم الفلك والهندسة والملاحة والمسح ومختلف مجالات الرياضيات والتخصصات الأخرى. سنرى في هذا القسم بعض الطرق التي يمكن من خلالها تطبيق علم المثلثات. يجب أن تكون الآلة الحاسبة في وضع الدرجة لهذه الأمثلة.
  • 1.4: الدوال المثلثية لأي زاوية
    لتحديد الدوال المثلثية لأي زاوية - بما في ذلك الزوايا الأقل من 0 درجة أو أكبر من 360 درجة - نحتاج إلى تعريف أكثر عمومية للزاوية. نقول أن الزاوية تتشكل من خلال تدوير شعاع OA حول نقطة النهاية O (تسمى الرأس) ، بحيث يكون الشعاع في موضع جديد ، يُشار إليه بواسطة الشعاع OB. الشعاع OA يسمى الجانب الأولي للزاوية ، و OB هو الجانب النهائي للزاوية.
  • 1.5: دوران وانعكاسات الزوايا
    الآن بعد أن عرفنا كيفية التعامل مع زوايا أي مقياس ، سنلقي نظرة على كيف يمكن لعمليات هندسية معينة أن تساعد في تبسيط استخدام الدوال المثلثية لأي زاوية ، وكيف يمكن إنشاء بعض العلاقات الأساسية بين هذه الدوال. العمليتان اللتان سنركز عليهما في هذا القسم هما الدوران والانعكاس.
  • 1.E: زوايا المثلث القائم الزاوية (تمارين)
    هذه هي تمارين الواجب المنزلي لمرافقة خريطة نص "علم المثلثات الابتدائية" الخاصة بـ Corral. هذا نص عن علم المثلثات الابتدائية ، مصمم للطلاب الذين أكملوا دورات في الجبر والهندسة في المدرسة الثانوية. على الرغم من أنه مصمم لطلاب الجامعات ، إلا أنه يمكن استخدامه أيضًا في المدارس الثانوية. يتم تغطية الموضوعات التقليدية ، ولكن يتم اتباع نهج هندسي أكثر من المعتاد. كما تمت مناقشة بعض الطرق العددية (مثل الطريقة القاطعة لحل المعادلات المثلثية).

المصغرات: أنواع الزوايا.


مثلث قائم

المثلث القائم الزاوية هو مثلث فيه قياس إحدى زواياه 90 درجة (زاوية قائمة) ، مثل المثلث الموضح أدناه.

يُرمز إلى الزوايا القائمة عادةً بمربع مرسوم عند رأس الزاوية القائمة على الزاوية. الضلع المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم يسمى الوتر. تسمى الجوانب التي تشكل الزاوية اليمنى الأرجل. الوتر هو أطول ضلع في المثلث القائم الزاوية.

نظرًا لأن قياس الزاوية القائمة هو 90 درجة ، وبما أن مجموع الزوايا الثلاث في أي مثلث يساوي 180 درجة ، فإن مجموع الزاويتين الأخريين في المثلث القائم يجب أن يكون 180 درجة - 90 درجة = 90 درجة ، لذلك يجب أن تكون زوايا حادة. خلاف ذلك ، لا يمكن أن يكون الشكل مثلثًا.


PCC SLC Math Resources

في الشكل 14.12.1 ، توجد دائرة متمركزة في الأصل بنصف قطر طولها (r text <.> ) تم رسم نصف قطر من الأصل إلى نقطة على الدائرة في الربع I النقطة هي المسمى ((س ، ص) نص <.> ) تم إنشاء مثلث قائم الزاوية بإسقاط مقطع خط من النقطة ((س ، ص) ) عموديًا على (س ) - المحور. تسمى زاوية المثلث المتكون عند الأصل ( theta text <.> )

يسمى الوتر ( text text <.> ) تم تسمية جانب المثلث الواقع على المحور (س ) - ( نص) الذي يرمز إلى "المجاور" حيث أنه في الجانب الآخر من الوتر الذي هو صفة لـ ( theta text <.> ) يتم تسمية الجانب الرأسي للمثلث ( نص) لـ "الجهة المقابلة" حيث يوجد فيها ضلع المثلث المقابل ( theta text <.> )

يمكننا الآن إعادة تعريف القيم المثلثية للزوايا الحادة (الزوايا التي تقع قياساتها بين (0 ^ < circ> ) و (90 ^ < circ> text <،> ) بدون تضمين (0 ^ <) Circ> ) ولا (90 ^ < circ>) text <.> ) التعريفات الجديدة للجيب وجيب التمام والظل مذكورة أدناه. لا نحتاج إلى تحديد تعريفات جديدة للوظائف المثلثية الأساسية الثلاثة الأخرى حيث يمكن تحديد قيمها من خلال الهويات المتبادلة.

طريقة شائعة لتذكر هذه التعريفات الجديدة هي الاختصار الذي نلفظه "نقع a to-ah". اختصار لتقف على ما يلي.

(إن) جيب ثيتا يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر.

(إن) جيب تمام ثيتا يساوي طول الضلع المجاور الذي يقسم طول الوتر.

(the) tangent of theta يساوي طول الضلع المجاور قسمة طول الضلع المقابل.

دعونا نرى عدة أمثلة.

مثال 14.12.2

حدد القيم المثلثية الأساسية الست للزاوية المسماة ( theta ) في الشكل 14.12.3.

نبدأ بتحديد طول الوتر. نقوم بهذا باستخدام متطابقة فيثاغورس.

لاحظ أنه يمكنني افتراض ( text) موجب لأنه يمثل طولًا.

بالنسبة إلى ( theta text <،> ) ، فإن الجانب المسمى (3 ) هو الضلع المقابل والجانب المسمى (4 ) هو الضلع المجاور. لدينا الآن جميع المعلومات اللازمة لاشتقاق القيم المثلثية الأساسية الست f ( theta text <.> )

مثال 14.12.4

حدد قيم الجيب وجيب التمام والظل للزاوية المسماة ( بيتا ) في الشكل 14.12.5. ثم حدد قيمة ( beta ) لأقرب عشر درجة. تأكد من أن كل المقامات منطقية وأن كل الجذور التربيعية مبسطة تمامًا.

سنبدأ بتحديد طول الوتر.

بالنسبة إلى ( beta text <،> ) ، فإن الجانب المسمى (6 ) هو الجانب المقابل والجانب المسمى (3 ) هو الجانب المجاور. لدينا كل المعلومات اللازمة لإيجاد القيم المثلثية ، لذلك دعونا نفعل ذلك.

لأن (0 ^ < circ> lt beta lt 90 ^ < circ> text <،> ) يمكننا استخدام أي من الدوال المثلثية العكسية لتحديد قيمة ( beta ) لأن ذلك الفاصل الزمني في نطاق جميع الدوال المثلثية العكسية الست. أختار استخدام دالة الظل العكسي.

بعد التأكد من أن الآلة الحاسبة كانت في وضع الدرجة ، حددت قيمة ( beta text <.> )

مثال 14.12.6

حدد الأجزاء المفقودة من المثلث الموضحة في الشكل 14.12.7. تأكد من أن كل المقامات منطقية وأن كل الجذور التربيعية مبسطة تمامًا.

مجموع زوايا المثلث دائمًا هو (180 ^ < circ> text <،> ) حتى نتمكن من ذكر ذلك على الفور

بالنسبة إلى الملاك الثلاثين درجة ، فإن الضلع المسمى (9 ) هو الضلع المجاور والجانب المسمى (أ ) هو الضلع المقابل. يمكننا استخدام ( cos left (30 ^ < circ> right) ) لتحديد قيمة (r ) و ( tan left (30 ^ < circ> right) ) لتحديد قيمة (a text <.> ) لنفعل ذلك.

مثال 14.12.8

أوجد الأجزاء المفقودة من المثلث الموضحة في الشكل 14.12.9. قرِّب القياسات الزاوية لأقرب جزء من عُشر درجة.

سنبدأ باستخدام نظرية فيثاغورس لتحديد قيمة (b text <.> )

بالنسبة إلى ( alpha ) ، فإن الجانب المسمى (5 ) هو الجانب المقابل. دعونا نلاحظ ما يلي.

بالنسبة إلى ( بيتا ) ، فإن الجانب المسمى (ب ) (والذي نعرف الآن أنه (12 )) هو الجانب المقابل. من هذا نحصل على ما يلي.

يعطيني استخدام مفتاح الجيب العكسي للآلة الحاسبة الخاصة بي تقديراتي للقيمتين الزاويتين.

(45 ^ -45 ^ -90 ^ ) مثلثات و (30 ^ -60 ^ -90 ^ ) مثلثات

يظهر في الشكل 14.12.10 مثلث قائم الزاوية لكل من زواياه الحادة قياس (45 ^ < circ> ). يجب أن يكون لأضلاع المثلث المقابلة للزوايا المتساوية قياس متساوٍ ، ومن القياسي استخدام (1 ) كقياس متساوٍ. يمكننا بعد ذلك استخدام نظرية فيثاغورس لتحديد طول الوتر.

تم وضع علامة على كل من الضلع المقابل والجانب المجاور لكل من زاويتين (45 ^ < circ> ) على أنهما (1 text <،> ) حتى نتمكن من استخدام ذلك مع الوتر لاشتقاق قيم الجيب وجيب التمام والظل لـ (45 ^ < circ> ) وهو ما نقوم به أدناه.

المثلث الخارجي الموضح في الشكل 14.12.11 هو مثلث استوائي ، مثلث أضلاعه الثلاثة متساوية في القياس. نظرًا لأن جميع الأضلاع لها قياسات متساوية ، فإن قياس الزوايا أيضًا متساوي. نظرًا لأن مجموع قياسات الزوايا يجب أن يكون (180 ^ < circ> text <،> ) يجب أن تقيس كل زاوية (60 ^ < circ> text <.> )

تم إنشاء مثلثين قائم الزاوية بإسقاط قطعة مستقيمة من أعلى قمة رأسًا عموديًا على الجانب السفلي من المثلث. من الواضح بصريًا أن المثلثين عبارة عن صور متطابقة ، ومن السهل إثبات أن المثلثين متطابقان في الواقع.

إذا قمنا بتعيين طول (1 ) لكل من الأرجل السفلية ، فسيكون طول الوتر (2 ) (نظرًا لأن طوله يساوي طول الجانب السفلي من المثلث متساوي الأضلاع). يمكننا الآن استخدام نظرية فيثاغورس لتحديد طول الضلع المشترك للمثلثين القائمين. دعنا نستخدم المتغير ( ell ) لتمثيل هذا الطول.

تم استخراج أحد المثلثات اليمنى الموضحة في الشكل 14.12.11 وهو موضح بالشكل 14.12.12. من منظور الزاوية (30 ^ < circ> ) ، يكون الضلع المسمى (1 ) هو الجانب المقابل والجانب المسمى ( sqrt <3> ) هو الضلع المجاور. من منظور الزاوية (60 ^ < circ> ) ، يكون الجانب المسمى ( sqrt <3> ) هو الجانب المقابل والجانب المسمى (1 ) هو الجانب المجاور. في كلتا الحالتين ، يكون الوتر هو (2 text <،> ) دعنا نستخدم هذه المعلومات لاشتقاق قيم الجيب وجيب التمام والظل في (30 ^ < circ> ) و (60 ^ < circ> text <.> ) هذا موضح أدناه.


السؤال رقم 1

ما قياس الزاوية أ في المثلث القائم أدناه؟

أ) 17
ب) 27
ج) 17
د) 90 درجة

السؤال 2

ما هي قيمة الضلع x في المثلث الأيمن أدناه؟

أ) 1
ب) 9
ج) 20
د) 3

السؤال 3

السؤال 4

في المثلث الأيمن ABC أدناه ، قياس الزاوية A يساوي 30 درجة وطول AC يساوي 8 وحدات. أوجد طول BC

أ) 8 / # 8730 3
ب) 4 / & # 8730 3
ج) 4
د) 8

السؤال 5

في المثلث الأيمن أدناه ، ما هو الخطيئة & # 945؟

أ) 13/9
ب) 9/13
ج) 13 & # 873010/50
د) 13/24

السؤال 6

أوجد طول AC في المثلث القائم أدناه.

أ) 9
ب) 9 & # 87302
ج) 18 & # 87302
د) 18

السؤال 7

أوجد طول الوتر في المثلث القائم أسفل المكان x هو رقم حقيقي.

أ) 5
ب) 10
ج) 25
د) & # 8730 5

السؤال 8

السؤال 9

في الشكل أدناه BC عمودي على AD ، و CD = 8 ، وقياس الزاوية D يساوي 60 درجة ، وقياس الزاوية A يساوي 45 درجة. أوجد طول AB

أ) 8 & # 87306
ب) 8 & # 87303
ج) 8 & # 87302
د) 8

السؤال 10

ما طول AB في الشكل أدناه.

أ) 12 & # 87302
ب) 12
ج) 12 & # 87303
د) 12 & # 87306

السؤال 11

في الشكل أدناه ، أوجد cos & # 952.

أ) 3/5
ب) 4/5
ج) 1/5
د) 2/5

السؤال 12

في المثلث أدناه م =؟

أ) 5
ب) 10 & # 87302
ج) 20 & # 87302
د) 5 & # 87302

1.3 حساب المثلثات القائم الزاوية

نبدأ بحثنا عن الدوال المثلثية باستخدام المثلثات القائمة الزاوية. نظرًا لأن الزاويتين الحادتين في المثلث القائم مقيدان بمقاييس الدرجة بين 0 o و 90 o فإننا نغطي هذه الزوايا فقط هنا. لاحقًا ، سيتم تمديد الوظائف بطريقة طبيعية لتشمل جميع مقاييس الزوايا. لفهم الأقسام القادمة ، من الضروري فهم وحفظ التعريفات التي تظهر هنا. سيتم بعد ذلك نقل الأفكار والتقنيات بسهولة إلى أقسام أخرى.

مثلثين متشابه إذا كانت زاويتان من زاويتين في مثلث لهما نفس قياس زاويتين في المثلث الآخر. نظرًا لأن مجموع قياسات زوايا المثلث هو 180 & # 176 ، فهذا يعني أنه لكل زاوية في مثلث واحد توجد زاوية في المثلث الآخر بنفس القياس. نسمي زوايا نفس القياس زوايا متناظرة. تسمى الأضلاع المتقابلة للزوايا المقابلة بالأضلاع المتناظرة.

من النتائج المهمة المتعلقة بالمثلثات المتشابهة أن نسب الأضلاع المتناظرة في المثلثين متساوية. هذا يعني أن الاثنين لهما نفس الشكل أو أن أحدهما نسخة مصغرة من الآخر. حقيقة أن نسب الأضلاع المتناظرة متساوية هو بالضبط ما نحتاجه لجعل النسب المثلثية محددة جيدًا.

وبالتالي فإن هذه النسبة تعتمد على الزاوية نفسها فقط وليس على المثلث المعين الذي يحتوي على الزاوية المعنية. (هذا ما يعنيه التحديد الجيد في هذا السياق).

سيكون إجراءنا هذا بعد ذلك. دع أ يكون أي زاوية حادة. أنشئ مثلثًا قائمًا يحتوي على الزاوية أ. كوِّن النسب الستة الممكنة باستخدام أطوال أضلاع المثلث. هذه هي النسب المثلثية الست. كل ما تبقى هو إعطاءهم أسماء.

اسم نسبة الرموز
جيب أ
جيب التمام من أ
ظل من أ
قاطع من أ
قاطع التمام لـ A
ظل التمام لـ A

اعمل من خلال هذا المثال العددي لترى كيف تُستخدم نظرية فيثاغورس وتعريفات النسب لإيجاد جميع النسب الستة عند معرفة ضلعي مثلث قائم الزاوية.

في العرض التوضيحي التالي ، اسحب الرأس B أو C في المثلث القائم الزاوية إلى الموضع المطلوب. ستظهر لك تقديرات تقريبية لحجم الزوايا وأطوال الأضلاع والنسب الستة التي ناقشناها للتو. قد تجد صعوبة في الحصول على أحجام الزاوية التي تريدها بالضبط ، ولكن على سبيل المثال ، من خلال جعل الضلع b بطول 227 والضلع c بطول 131 ، ستحصل على مثلث 30-60-90.

استخدم الشرح للتحقق من بعض خواص المثلث ونسب أضلاعه. على سبيل المثال ، حاول الحصول على مثلث فيه كلاهما ب و ج لها أطوال 115. ما هي الزوايا وما هي قيم التوابع المثلثية الست. ماذا لو فعلنا ب ضعف حجم ج (على سبيل المثال 100 و 50 على التوالي)؟ كمثال آخر ، الإصلاح ب وزيادة ج. ماذا تلاحظ في التغيير في الخطيئة (ج)؟

تحاول الآن إيجاد قيم النسب المثلثية في التمرين التالي. في كل حالة ، أوجد طول الضلع الثالث وقيمة النسبة المطلوبة.

النسب المثلثية في المثلثات القائمة

ملاحظة للمراجعين

نقوم بتضمين مجموعة عينة من الأسئلة ليتم تضمينها في دليل الطالب. هذه تستند إلى التمارين في التطبيقات الصغيرة ومحتوى كل قسم. وهي مخصصة لاستخدامها في الواجبات المنزلية وللطالب للعمل على الورق.


نظرًا لأن لديك مثلثًا بزاوية 90 دولارًا ^ circ $ ، فلديك مثلث قائم الزاوية.

هذا يعني أنك سترغب في استخدام نظرية فيثاغورس. (تلميح!)

الضلع المقابل للزاوية القائمة هو الضلع الأطول: طول الوتر $ c $. في حالتك ، لدينا $ c = 13 $. الضلعان الآخران للمثلث القائم اللذان يلتقيان بالزاوية القائمة هما ضلعه أرجل: لنفترض أنها بطول $ a ، b $: في المثلث ، $ a $ هو الضلع المقابل للزاوية $ A $ ، و $ a $ غير معروف $ b $ هو الضلع المقابل للزاوية $ B $ و $ b = 12 $. ثم نعرف أن $ a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 tag$

سيعطيك حل $ a $ طول الضلع المقابل $ A $. للعثور على قياسات الزوايا المجهولة ، يمكنك استخدام العلاقات المثلثية المعطاة بواسطة "TOA SOH CAH" (اسألني إذا كنت بحاجة إلى ذلك ، ماذا يعني هذا) لتحديد الزاويتين المجهولتين.

ستحتاج فقط إلى معرفة زاوية واحدة ، باستخدام ، على سبيل المثال ، $ B = sin ^ <-1> left ( dfrac <12> <13> right) $ للعثور على قياسها. يمكنك بعد ذلك إيجاد قيمة $ A $ نظرًا لأن مجموع زوايا أي مثلث هو معيار الهندسة الإقليدية هو $ 180 ^ circ $: $ A + B + C = A + B + 90 = 180 $


حل مشكلة

الآن بعد أن عرفنا ما نبحث عنه & # 8217re ، يمكننا المضي قدمًا ومحاولة الحصول عليه β, س، و ر معًا بطريقة تتيح لنا حل المشكلة. صدق أو لا تصدق ، لدينا كل المعلومات التي نحتاجها لحل هذه المشكلة. من خلال ملء المعلومات المفقودة بناءً على ما نعرفه بالفعل ، يمكننا تسهيل حل هذه المشكلة قليلاً.

أولا ، لاحظ أن المثلث الصغير يحتوي على β يحتوي على زاوية قائمة. نحن & # 8217ll نسمي هذه الزاوية بـ π / 2 ، نظرًا لأننا نعمل بالراديان ، ولكن # 8217s أيضًا تعادل 90 درجة.

بعد ذلك ، نقوم & # 8217ll بتسمية الزاوية الأخيرة من هذا المثلث كـ (π / 2) & # 8211 β. سنفعل ذلك لأننا لا نعرف بعد قياس هذه الزاوية ، ولكن بما أننا نعرف قياس الزاويتين الأخريين ، يمكننا كتابة الزاويتين الأخريين بدلالة الزاويتين الأولين. نظرًا لأن جميع الزوايا في المثلث تضيف ما يصل إلى 180 درجة ، أو ، فإن الزاوية المتبقية هي π & # 8211 (π / 2) & # 8211 β = (/ 2) & # 8211 β.

الآن بعد أن أصبح لدينا هذه الزوايا الثلاث ، يمكننا البدء في تسمية زوايا بعض المثلثات الأخرى. نظرًا لأننا نعلم أن الخط العمودي يشكل زاوية قائمة (90 درجة) مع قاعدة أكبر مثلث ، فنحن نعلم أن الزاويتين المكونتين من الخط القطري (بين القسمين الأزرق والأخضر) مكملتان لبعضهما البعض. هذا يعني أنهم سيضيفون إلى 90 درجة ، أو π / 2. وهذا يعني أن الزاوية الزرقاء تساوي π / 2 & # 8211 (π / 2 & # 8211 β)، أو ببساطة β.

من هنا ، يمكننا البدء في الدمج س و ر في الصورة. لاحظ أن الشكل الرباعي يتكون بين س و ر لها ثلاث زوايا قائمة ، مما يعني أن الزاوية الأخيرة يجب أن تكون أيضًا قائمة. يأتي هذا مباشرة من حقيقة أن الشكل الرباعي له أربع زوايا مجموعها 360 درجة. لهذا السبب ، نعلم أن كل زوج من الأضلاع المتقابلة متساويان في الطول ، ويمكننا تسمية الأضلاع المتبقية من الشكل بـ س و ر.

في هذه المرحلة ، قد تبدأ في رؤية أين تصبح الإجابة واضحة. لأن لدينا β, س، و ر معًا ، يمكننا تسمية الجانبين وفقًا لموضعهما بالنسبة إلى β. لم أقم & # 8217t بتسمية الوتر لأنه لم يكن & # 8217t مناسبًا لهذا الموقف بالذات ، ولكن إذا كان الوتر س أو ر ثم سأقوم بتسميته أيضًا. الآن بعد أن أصبح لدينا جوانبنا & # 8217 العلاقات إلى الزاوية β، يمكننا استخدام المعلومات الأصلية المعطاة لحل السؤال.

منذ الجانبين مع س و ر كانت الضلعين المقابل والمجاور للزاوية ، فسنستخدم علاقة الظل لإنهاء هذه المسألة. يمكننا تحديد العلاقة المعطاة لنا من المسألة ، حيث نسبة الضلعين ، شارع، هو ظل الزاوية 0.697. في هذه الحالة ، يكون ظل الزاوية β كذلك!

الآن يمكنك أن ترى ذلك على الأرجح β يساوي 0.697. ومع ذلك ، إذا كنت تريد الذهاب إلى أبعد من ذلك والقيام بذلك بشكل صحيح ، فأنت & # 8217d تأخذ الظل المعكوس لكلا طرفي المعادلة. سيُظهر لك هذا أن المماس المعكوس لـ (شارع) يساوي 0.697 راديان ، وهو ما يساوي الزاوية β.

وبذلك نصل إلى إجابتنا: 0.7 راديان. تأكد من الانتباه إلى صياغة السؤال وتقريب الإجابة إلى أقرب جزء من عشرة ، وإلا فسيتم وضع علامة خاطئة على SAT!


Trig Word مشاكل # 1

الآن بعد أن أصبح لدينا فهم أساسي لما تمثله الدوال المثلثية ، الجيب وجيب التمام والظل ، ويمكننا استخدام الآلات الحاسبة لإيجاد قيم الدوال المثلثية ، يمكننا استخدام كل هذا لحل بعض المسائل الكلامية. في هذه القراءة ، سنلقي نظرة على أمثلة لمشاكل الكلمات ، ثم نجربها.

نموذج رقم 1
زاوية ميل الشمس 20 درجة والقطب يلقي بظلاله 40 قدم. كم يبلغ ارتفاع العمود؟

المحلول
باستخدام الصورة أعلاه ، X = 20 درجة ، و y = 40 قدمًا.

تان X = س / ص
0.3640 = x / 40
س = 14.56 قدم

نموذج رقم 2
طول المنحدر 50 قدمًا وميله 30 درجة. إذا صعدت المنحدر ، ما مدى ارتفاعك عن الأرض؟

المحلول
باستخدام الصورة أعلاه ، X = 30 درجة و z = 50 قدمًا.

الخطيئة X = س / ض
0.5 = س / 50
س = 25

نموذج رقم 3
رجل يسير 5 أميال عند 60 درجة شمال الشرق. إلى أي مدى شرق نقطة انطلاقه هو؟

المحلول
باستخدام الصورة أعلاه ، مع y يمثل السفر الشرقي ، يمثل x السفر الشمالي ، ويمثل z المسار الفعلي للرجل ،


1: زوايا المثلث القائم الزاوية - الرياضيات

مطلوب القليل جدًا من علم المثلثات لـ MCAT ، لكن الفهم الأساسي للتعريفات والمعرفة القوية لمثلثين قائم بذاته خاصين ضروريان للأداء القوي ، خاصة في المواد الفيزيائية.

التعاريف والعلاقات

لأي مثلث قائم الزاوية وزاوية معينة ، هناك قيم مميزة للجيب وجيب التمام والظل التي تعتمد على أطوال أرجل المثلث والوتر ، كما هو موضح في الشكل 10.1.

شكل 10.1. المثلث الأيمن والجوانب

شرط تُحسب كنسبة بين الضلع المقابل لزاوية الفائدة والوتر:

المعادلة 10.17

جيب التمام تُحسب كنسبة بين الضلع المجاور لزاوية الفائدة والوتر:

المعادلة 10.18

الظل تُحسب على أنها النسبة بين الضلع المقابل للزاوية محل الاهتمام والجانب المجاور لزاوية الاهتمام:

المعادلة 10.19

النسب المثلثية: سوه كاه تو:

& middot & emspسine = اوضعية وانقسام حypotenuse

& middot & emspجأوسين = أتجاور وتقسيم حypotenuse

& middot & emspتيأنجنت = اوضعية وانقسام أتجاور

تتراوح قيم كل من الجيب وجيب التمام من & ناقص 1 إلى 1. ومع ذلك ، تتراوح قيم الظل من & ناقص & infin إلى & infin.

كل دالة مثلثية لها أيضًا دالة عكسية: جيب معكوس (خطيئة & ناقص 1 أو أركسين), معكوس جيب التمام (cos & ناقص 1 أو arccos)، و الظل العكسي (تان وناقص 1 أو أركتان). تستخدم هذه الدوال القيمة المحسوبة لجيب الجيب أو جيب التمام أو الظل ، وتنتج قيمة عددية لزاوية الاهتمام. للمثلث في الشكل 10.1 ، من المرجح أن تظهر الدوال المثلثية العكسية في الأسئلة التي تطلب اتجاه الناتج في الجمع أو الطرح المتجه.

المفهوم الرئيسي

الدوال المثلثية مفيدة لتقسيم المتجه إلى مكوناته. تعتبر الدوال المثلثية العكسية مفيدة في تحديد اتجاه الناتج من مكوناته.

في يوم الاختبار ، يجب أن تعرف قيم الجيب وجيب التمام والظل لجميع الزوايا في 30 & ناقص 60 & ناقص 90 و 45 & ناقص 45 & ناقص 90 مثلثات قائمة خاصة ، إما عن طريق الحفظ أو عن طريق رسم المثلثات. يظهر المثلثان في الشكل 10.2.

شكل 10.2. مثلثات قائمة خاصة (أ) 30 & ناقص 60 & ناقص 90 (ب) 45 & ناقص 45 & ناقص 90.

القيم المهمة للنسب المثلثية في هذه الزوايا موضحة في الجدول 10.3.


شاهد الفيديو: الدوال المثلثية في المثلث قائم الزاوية. رياضيات. التحصيلي علمي. 1441-1442 (ديسمبر 2021).