مقالات

5.6: معادلات غير متجانسة


ضع في اعتبارك قضيب طوله (2 ) م ، معزول جانبياً (تتدفق الحرارة داخل القضيب فقط). في البداية تكون درجة الحرارة

[ frac {1} {k} sin left ( frac { pi x} {2} right) + 500 text {K}. ]

كلا الطرفين الأيسر والأيمن متصلان بمنظم حرارة ، ودرجة الحرارة على الجانب الأيسر ثابتة عند درجة حرارة (500 text {K} ) والنهاية اليمنى عند (100 text {K} ) . يوجد أيضًا سخان متصل بالقضيب يضيف حرارة ثابتة للقضيب ( sin left ( frac { pi x} {2} right) ). المعادلة التفاضلية التي تصف هذا غير متجانسة

[ ابدأ {محاذاة} dfrac { جزئي} { جزئي t} u & = k dfrac { جزئي ^ 2} { جزئي x ^ 2} u + sin left ( frac { pi x } {2} right) ، nonumber [4pt] u (0، t) & = 500، nonumber [4pt] u (2، t) & = 100، nonumber [4pt] u (x، 0) & = frac {1} {k} sin left ( frac { pi x} {2} right) + 500. end {align} ]

نكتب في حالة عدم التجانس عن الوقت

[u (x، t) = v (x، t) + h (x)، ]

حيث سيتم تحديد (ح ) لجعل (ت ) يفي بمعادلة متجانسة. بالتعويض عن هذه الصيغة ، نجد

[ dfrac { جزئي} { جزئي t} v = k dfrac { جزئي ^ 2} { جزئي x ^ 2} v + k h '' + sin left ( frac { pi x} {2} right). ]

لجعل معادلة (v ) متجانسة ، نطلب [h '(x) = - frac {1} {k} sin left ( frac { pi x} {2} right) ، ]

الذي لديه الحل

[h (x) = C_1 x + C_2 + frac {4} {k pi ^ 2} sin left ( frac { pi x} {2} right). ]

في الوقت نفسه ، ندع (ح ) تحمل شروط الحدود ، (ح (0) = 500 ) ، (ح (2) = 100 ) ، وبالتالي [ح (س) = - {200 } x + 500 + frac {4} {k pi ^ 2} sin left ( frac { pi x} {2} right). ] الوظيفة (v ) ترضي

[ start {align} dfrac { جزئي} { جزئي t} v & = k dfrac { جزئي ^ 2} { جزئي x ^ 2} v ، nonumber [4pt] v (0، t) & = v ( pi، t) = 0، nonumber [4pt] v (x، 0) & = u (x، 0) - h (x) = {200} x. end {محاذاة } ]

هذه مشكلة من النوع الذي رأيناه من قبل. عن طريق فصل المتغيرات نجد

[v (x، t) = sum_ {n = 1} ^ infty b_n exp (- frac {n ^ 2 pi ^ 2} {4} kt) sin frac {n pi} { 2} x. ]

الشرط الأولي يعطي

[ sum_ {n = 1} ^ infty b_n sin nx = {200} x. ]

التي نجد منها

[b_n = (-1) ^ {n + 1} فارك {800} {n pi}. ]

وهكذا

[u (x، t) = - frac {200} x + 500 + frac {4} { pi ^ 2 k} sin left ( frac { pi x} {2} right) + frac {800} { pi} sum_ {n = 1} ^ infty frac {(- 1) ^ n} {n + 1} sin left ( frac { pi nx} {2} يمين) e ^ {- k (n pi / 2) ^ 2 t}. التسمية {مكافئ 10} ]

ملاحظة: مثل (t rightarrow infty )، (u (x، t) rightarrow - frac {400} { pi} x + 500 + frac { sin frac { pi} {2 } س} {ك} ). كما يمكن أن يرى في التين. ( PageIndex {1} ) هذا النهج سريع جدًا - لقد اخترنا (k = 1/500 ) في هذا الشكل ، وقمنا بتلخيصها في أول 60 حلًا.

الشكل ( PageIndex {1} ): اعتماد الحل على المعادلة غير المتجانسة المرجع {eq.10}.


معادلات أويلر-كوشي غير المتجانسة

بالنظر إلى معادلة أويلر كوشي

× ^ 2 دولار فارك-3x فارك-5 ص = س ^ 5 دولار

قم بحل المعادلة المتجانسة المصاحبة عن طريق التفكير في حل بالصيغة $ y (x) = x ^ r $ حيث $ r $ ثابت.

للحصول على حل معين ، ضع في اعتبارك الحلول من النموذج $ y (x) = ax ^ s ln (x) $ للثوابت المناسبة $ a $ و $ s $.

الآن أعرف كيفية حل الجزء غير المتجانس ، ووجدت:

لكن ليس لدي أي فكرة عن كيفية الشروع في إيجاد حل معين من خلال النظر في حلول "هذا النموذج".

هي موضع تقدير كبير أي تلميحات.


Beck، J.V.، Blackwell، B.، Clair، CRS، Clair، CRS، Clair، CS، Artûhin، E.A.، Pavlovc، I.I: التوصيل الحراري العكسي: مشاكل غير موضوعية. نشر Wiley-Interscience. وايلي (1985)

كاراسو كاراسو: تحديد درجات حرارة السطح من خلال الملاحظات الداخلية. تطبيق SIAM J. رياضيات. 42(3), 558–574 (1982)

Egger، H، Yi، H، Marquardt، W، Mhamdi، A: حل فعال لمشكلة التوصيل الحراري العكسي ثلاثي الأبعاد في غليان حمام السباحة. معكوس بروبل. 25 (9), 095006,19 (2009)

إلدين ، إل: تقديرات لمشكلة كوشي لمعادلة الحرارة. معكوس بروبل. 3(2), 263–273 (1987)

إلدين ، إل: معادلات معدلة لتقريب حل مشكلة كوشي لمعادلة الحرارة. في: مشاكل معكوسة وسوء الوضع (Sankt Wolfgang ، 1986) ، المجلد 4 من Notes Rep. Math. علوم. المهندس ، ص 345-350. المطبعة الأكاديمية ، بوسطن (1987)

Fu، C.-L.، Xiong، X.-T.، Fu، P: طريقة تنظيم فورييه لحل تدفق الحرارة السطحي من الملاحظات الداخلية. حساب الرياضيات. النمذجة 42(5–6), 489–498 (2005)

Fu ، C. ، Qiu ، C: تقدير المويجة والخطأ لتدفق الحرارة السطحية. J. كومبوت. الرياضيات التطبيقية. 150(1), 143–155 (2003)

Hào، D.N.، Reinhardt، H.-J.، Schneider، A: الحل العددي لمعادلة قطع مكافئ جانبية. إنترنات. جيه نومر. طرق الهندسة. 50(5), 1253–1267 (2001)

Hào، D.N.، Schneider، A.، Reinhardt، H.-J: تنظيم مشكلة كوشي غير المميزة لمعادلة القطع المكافئ. معكوس بروبل. 11(6), 1247–1263 (1995)

Liu، S.، Feng، L: طريقة تنظيم Tikhonov المنقحة لمشكلة cauchy الخاصة بمعادلة توصيل الحرارة ثنائية الأبعاد. رياضيات. بروبل. م. 1216357, 8 (2018)

Qian، Z.، Fu، C.-L.، Xiong، X.-T: طريقة معدلة لتحديد التدفق الحراري السطحي لـ IHCP. معكوس بروبل. علوم المهندس. 15(3), 249–265 (2007)

Qian، Z: طرق تنظيم مشكلة كوشي لمعادلة قطع مكافئ في أبعاد متعددة. J. معكوس Ill-Posed Probl. 17(9), 891–911 (2009)

Qian، Z: طريقة Tikhonov المعممة الجديدة القائمة على فكرة التصفية من أجل استمرار التحليل الثابت. معكوس بروبل. علوم. م. 26(3), 362–375 (2018)

Qian، Z.، Feng، X: طريقة Tikhonov الكسرية لحل مشكلة كوشي في معادلة هيلمهولتز. أبل الشرج. 96(10), 1656–1668 (2017)

Qian، Z، Fu، C.-L: استراتيجيات التنظيم لمشكلة التوصيل الحراري العكسي ثنائي الأبعاد. معكوس بروبل. 23(3), 1053–1068 (2007)

Qiu، C.-Y.، Fu، C.-L.، Zhu، Y.-B: Wavelets وتنظيم معادلة الحرارة الجانبية. حاسوب. تطبيق الرياضيات. 46(5–6), 821–829 (2003)

Quan، P.H.، Trong، D.D.، Dinh Alain، P.N: تقريب سنك لتدفق الحرارة على حدود لوح محدود ثنائي الأبعاد. رقم. Funct. الشرج الأمثل. 27(5–6), 685–695 (2006)

Regińska، T: تطبيق انكماش المويجات لحل معادلة الحرارة الجانبية. قليلا 41(5 ، ملحق) ، 1101-1110 (2001). اجتماع الذكرى 40 لتأسيس BIT

Regińska، T.، Eldén، L: حل معادلة الحرارة الجانبية بطريقة wavelet-Galerkin. معكوس بروبل. 13(4), 1093–1106 (1997)

Sørli، K، Skaar، IM: مراقبة خط التآكل في فرن الصهر. بورت لودلو ، واشنطن ، الولايات المتحدة الأمريكية. في: المؤتمر الدولي الثالث حول المشكلات المعكوسة في الهندسة ، ASME ، المشكلات العكسية في الهندسة والنظرية والممارسة (1999)

Sørli ، K ، Skaar ، IM: تحليل الحساسية للتصميم الحراري ومشاكل مراقبة الحراريات. النرويج. وقائع CHT-04، CTH-04-132. الندوة الدولية ICHMT حول التقدم في نقل الحرارة الحسابي (2004)

Seidman، T.I.، Eldén، L: طريقة "ترشيح مثالية" لمعادلة الحرارة الجانبية. معكوس بروبل. 6(4), 681–696 (1990)

Woodfield، P، Monde، M، Mitsutake، Y: تنفيذ تقنية تحليلية ثنائية الأبعاد للتوصيل الحراري العكسي للمشكلات العملية. 49, 187–197, 01 (2006)

Xiong، X.، Zhou، Q.، Hon، Y.C: مشكلة عكسية لمعادلة الانتشار الجزئي في حالة ثنائية الأبعاد: تحليل الاستقرار والتنظيم. J. الرياضيات. شرجي. تطبيق 393(1), 185–199 (2012)

Zhao، J.، Liu، S.، Liu، T: طريقة نواة معدلة لحل مشكلة كوشي لمعادلة التوصيل الحراري ثنائية الأبعاد. حال. تطبيق الرياضيات الميكانيكية. 7(1), 31–42 (2015)


محتويات

كمرجع ، تم تلخيص معادلات ماكسويل أدناه بوحدات SI ووحدات Gaussian. إنهم يحكمون المجال الكهربائي ه والمجال المغناطيسي ب بسبب كثافة شحنة المصدر ρ والكثافة الحالية ي:

اسم وحدات SI وحدات جاوس
قانون جاوس ∇ ⋅ E = ρ ε 0 = < frac < rho> < varepsilon _ <0> >>> ∇ ⋅ E = 4 π ρ = 4 بي rho>
قانون جاوس للمغناطيسية ∇ ⋅ B = 0 =0> ∇ ⋅ B = 0 =0>
معادلة ماكسويل-فاراداي (قانون فاراداي للاستقراء) ∇ × E = - ∂ B ∂ t = - < فارك < جزئية mathbf > < t الجزئي >>> ∇ × E = - 1 ج ∂ ب ∂ t = - < فارك <1>> < فارك < جزئية mathbf > < t الجزئي >>>
قانون أمبير الدائري (مع إضافة ماكسويل) ∇ × B = μ 0 (J + ε 0 ∂ E ∂ t) = mu _ <0> يسار ( mathbf + varepsilon _ <0> < frac < جزئي mathbf > < جزئي t >> يمين)> ∇ × B = 1 ج (4 π J + ∂ E ∂ t) = < فارك <1>> يسار (4 pi mathbf + < فارك < جزئية mathbf > < جزئي t >> يمين)>

أين ε0 هي سماحية الفراغ و ميكرومتر0 هي نفاذية الفراغ. طوال العلاقة

ه و ب تحرير الحقول

يمكن أن تعطي معادلات ماكسويل مباشرة معادلات موجية غير متجانسة للمجال الكهربائي ه والمجال المغناطيسي ب. [1] استبدال قانون غاوس للكهرباء في تجعيد قانون فاراداي للحث ، واستخدام تجعيد هوية الضفيرة ∇ × (∇ × X) = ∇(∇ ⋅ X) − ∇ 2 X يعطي معادلة الموجة للمجال الكهربائي ه:

وبالمثل ، فإن استبدال قانون جاوس للمغناطيسية في تجعيد قانون أمبير للدائرة (مع مصطلح ماكسويل الإضافي المعتمد على الوقت) ، واستخدام تجعيد هوية الضفيرة ، يعطي معادلة الموجة للحقل المغناطيسي ب:

تتوافق الجوانب اليسرى لكل معادلة مع حركة الموجة (عامل D'Alembert يعمل على الحقول) ، بينما الجانب الأيمن هو مصادر الموجة. تشير المعادلات إلى أن الموجات الكهرومغناطيسية تتولد إذا كان هناك تدرجات في كثافة الشحنة ρ، التدفقات في كثافة التيار ي، كثافة التيار المتغيرة بمرور الوقت ، أو أي خليط منها.

لا يتم استخدام هذه الأشكال من معادلات الموجة في كثير من الأحيان في الممارسة العملية ، حيث أن المصطلحات المصدر معقدة بشكل غير مريح. الصيغة الأبسط الأكثر شيوعًا في الأدبيات والمستخدمة في النظرية تستخدم صيغة الجهد الكهرومغناطيسي ، المعروضة بعد ذلك.

أ و φ تحرير الحقول المحتملة

التعريف بالجهد الكهربي φ (كمون عددي) والإمكانات المغناطيسية أ (محتمل متجه) محدد من ه و ب الحقول بواسطة:

معادلات ماكسويل الأربعة في فراغ بشحنة ρ والحالية ي تقلل المصادر إلى معادلتين ، قانون غاوس للكهرباء هو:

وقانون Ampère-Maxwell هو:

أصبحت شروط المصدر الآن أبسط بكثير ، لكن شروط الموجة أقل وضوحًا. نظرًا لأن الإمكانات ليست فريدة من نوعها ، ولكن لها حرية قياس ، يمكن تبسيط هذه المعادلات عن طريق تثبيت المقاييس. الاختيار الشائع هو حالة مقياس لورنز:

ثم تصبح معادلات الموجة غير المتجانسة غير متجانسة ومتماثلة في الإمكانات:


سيرة ذاتية

Cette article étudie la save d & # x27énergie pour les equations d & # x27Euler avec densités variables en Dim deux et trois. Nous présentons deux types de condition sur la régularité des Solutions، assurant laervation de l & # x27énergie cinétique sur l & # x27intervalle de temps تعتبر ، y compris le temps initial. La première condition est une Propriété d & # x27intégrabilité sur le gradient de densité. تتوافق Elle à la condition du résultat de Constantin-E-Titi [4] pour le cas homogène. La deuxième famille de condition فرض de la régularité Sobolev en temps sur la vitesse، et permet deائع une مجموعة كبيرة من الملامح densité peu réguliers.


دميتري يرشوك 1 , , علاء دوفلاتوفا 2 , ياوهين يرشاك 3 , فيليكس بوروفيك 1

1 معهد نقل الكتلة الحرارية التابع للأكاديمية الوطنية للعلوم في RB ، شارع Brovka ، 15 ، مينسك ، RB

2 M.V. جامعة لومونوسوف موسكو الحكومية ، موسكو

3 جامعة بيلاروسيا الحكومية ، شارع Nezavisimosti 4 ، مينسك ، RB

نبذة مختصرة

تم العثور على الحل العام لمعادلة Mathieu المخمدة المتجانسة في الشكل التحليلي ، مما يسمح باستخدامها العملي في العديد من التطبيقات ، بما في ذلك دراسات الموصلية الفائقة ، دون حسابات عددية.

الكلمات الدالة: معادلة ماثيو ، دوال بيسل ، الموصلية الفائقة

المجلة الدولية للفيزياء، 2014 2 (5) ، ص 165-169.
DOI: 10.12691 / ijp-2-5-6

تم استلامه في 09 أكتوبر 2014 تمت المراجعة في 13 أكتوبر 2014 وتم قبوله في 15 أكتوبر 2014

حقوق النشر © 2013 Science and Education Publishing. كل الحقوق محفوظة.

استشهد بهذا المقال:

  • ييرشوك ، دميتري ، وآخرون. "الحل التحليلي لمعادلة ماتيو المتجانسة المخمدة." المجلة الدولية للفيزياء 2.5 (2014): 165-169.
  • Yerchuck، D.، Dovlatova، A.، Yerchak، Y.، & Borovik، F. (2014). حل تحليلي لمعادلة ماتيو المتجانسة المخمدة. المجلة الدولية للفيزياء, 2(5), 165-169.
  • ييرشاك وديمتري وآلا دوفلاتوفا وياوهين ييرشاك وفيليكس بوروفيك. "الحل التحليلي لمعادلة ماتيو المتجانسة المخمدة." المجلة الدولية للفيزياء 2 ، لا. 5 (2014): 165-169.

1. مقدمة وخلفية

من المعروف أن عددًا من الظواهر الفيزيائية يمكن وصفها رياضيًا بواسطة معادلة ماثيو. على سبيل المثال ، معادلة الحركة لشبكة التدفق في نظرية الموصل الفائق هي كما يلي [1]

أين ب هو الحث المغناطيسي في العينة ، م هي الكتلة الكلية (لكل وحدة طول) لشبكة التدفق ، وهي معامل اللزوجة ، وتردد المجال المغناطيسي المعدل ، ج هي سرعة الضوء ، J 0 وهي سعة وتردد تيار الميكروويف ، على التوالي ، K 0 و k هما اتساعان لمكون ثابت ومكون متناوب في الوظيفة ك(ر) مرتبط بعلاقة

بين القوة F(ر) والإزاحة الصغيرة ذ(ر) لشبكة التدفق من موضع توازنها ، أي

المعادلة (1) هي معادلة ماثيو المخمدة غير المتجانسة.

تعتبر معادلة ماثيو معرفة جيدة في نظرية المعادلات التفاضلية ، انظر على سبيل المثال [2 ، 3 ، 4 ، 5].

في ذلك ، ما يسمى بمعادلة ماثيو العامة هي المعادلة التالية

أين ح وهي ثوابت حقيقية أو معقدة. الحل المعروف لمعادلة Mathieu العامة (4) مبني في النموذج

أين ص(ر) هي دالة دورية مع الفترة ، تساوي & # 960 ، & # 956 ما يسمى بمؤشر الخصائص ، اعتمادًا على قيم ح و & # 952. الوظيفة

يمثل نفسه الحل الثاني. الحلان (5) و (6) مستقلان خطيًا ، وينتجان النظام الأساسي للحلول ، باستثناء الحالة ، عندما أناμ∈ض، أي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة [4]. علاوة على ذلك ، الحل (5) مكتوب رسميًا في شكل السلسلة اللانهائية التالية

فيها لمجموعة المعاملات <ج ن > العلاقات المتكررة التالية

تم الحصول عليها. إنها الخوارزمية الوحيدة للحل العددي. في الواقع ، لم يتم العثور على الحل التحليلي لمعادلة Mathieu العامة (4). إن وجود الخوارزمية الوحيدة للحل العددي غير ملائم للاستخدام العملي لمعادلة Mathieu ، خاصة في حالات التطبيقات الفيزيائية عندما تكون التبعيات التحليلية مطلوبة لفهم العمليات الفيزيائية. على سبيل المثال ، فضل مؤلفو العمل [1] بدلاً من محاولة حل معادلة ماثيو عدديًا استخدام المعادلة الخطية المقابلة.

دعونا نلاحظ ، أنه يمكن اختزال معادلة Mathieu المتجانسة المتجانسة إلى معادلة Mathieu العامة المتجانسة (in) من خلال التحويل التالي للوظيفة.

في الوقت نفسه ، لاحظ مؤلفو [1] أنه عندما يكون المجال المغناطيسي ثابتًا ح يصبح كبيرًا جدًا [أكبر من 800 جم] ، فمن المحتمل أن يصبح هيكل التدفق معقدًا للغاية بحيث يظل النموذج البسيط المقترح صالحًا.

من الواضح في المثال المعطى ، أن الحل التحليلي لمعادلة Mathieu يظل فعليًا للغاية لتطبيقات العلوم الفيزيائية والهندسة.

من ناحية أخرى ، فإن الحل التحليلي لمعادلة ماثيو له أيضًا الجانب النظري الرياضي. يتم تحديده من خلال حقيقة أن حل عدد من المعادلات التفاضلية يتم تقليله إلى حل معادلة Mathieu. هم ، على سبيل المثال ، هم

تحويل المتغير ر = كوز يؤدي إلى معادلة ماثيو

تحويل المتغير ر = كوس2ض يؤدي إلى معادلة ماثيو

يؤدي تحويل المتغير إلى معادلة ماثيو

إلى معادلات ماثيو باستخدام الصيغ المثلثية

الهدف من هذا العمل هو إيجاد الحل التحليلي لمعادلة Mathieu العامة.

2. النتائج

نظرية. يمكن تمثيل الحل العام لمعادلة Mathieu العامة بشكل تحليلي ليكون تراكب دوال Bessel من النوعين الأول والثاني.

من الواضح أن المعادلة (1) يمكن تمثيلها بالصيغة

أين و هي العوامل التفاضلية

من الواضح أيضًا أن الحل الجزئي لمعادلة البداية سيتوافق مع تقاطع مجموعات الحلول التي ترضي المعادلات في وقت واحد

إذن ، علينا حل المعادلات

أو في شكل معادل

يمكن دراستها أيضًا. هناك عدد من المتغيرات لتبسيط حل (22) باستخدام تناظر ذ(ر). في حالة إذا ذ(ر) زوجي ، غير متكافئ ، حتى من (22) نحصل عليه

الحالة المعطاة تعادل المهمة المذكورة أعلاه التي صاغتها العلاقات (17) - (19). علاوة على ذلك ، إذا ذ(ر) زوجي ، غير متكافئ ، حتى من (22) نحصل عليه

هذه هي المعادلة التفاضلية البسيطة من الدرجة الأولى ، وحلها واضح.

المعادلات المتجانسة ، المقابلة للمعادلات غير المتجانسة (1) ، أي المعادلات

يمكن حلها بدقة. دعونا نعين

ثم ، وفقًا لـ [6] ، الحلول هي

للمعادلة الأولى في (25) و

للمعادلة الثانية في (25). هنا

هي دوال بيسل من النوع الأول والنوع الثاني من الفهرس

للمعادلة (28) والمؤشر

ثم مجموعة الوظائف ، مرضية للعلاقة

سيكون حل المعادلة المتجانسة ، المقابلة لبداية المعادلة غير المتجانسة (1). الاستنتاج الصحيح ، إذا. على وجه الخصوص ، يتم استيفاء العلاقة للقضية وبواسطة

ومن هنا نحصل على الشروط التي بواسطتها العلاقة

سيكون حل معادلة Mathieu المتجانسة والمبللة. هم انهم

بالتالي، الخامسض، هذا هو الخامس يجب أن ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة.

لذلك ، فإن العلاقة (34) هي حل معادلة Mathieu المتجانسة المتجانسة بواسطة و الخامسض. هذا يعني أن هناك قيودًا على القيم المحتملة للمعلمات في بداية معادلة Mathieu المتجانسة المتجانسة. هم كالتالي

من الواضح أنه من خلال = 0 نحصل على حل معادلة Mathieu المتجانسة غير المشوشة ، أي حل معادلة Mathieu العامة.

للحصول على النظام الأساسي لحلول معادلة Mathieu المتجانسة المخمدة ، علينا إيجاد الحل الثاني المستقل خطيًا. يمكن القيام بذلك بسهولة ، إذا تم أخذ ذلك في الاعتبار

لأن الاستبدال يعادل

نحصل على ذلك بالتعبير (31) سيكون

التعبير المعطى هو الحل الثاني المستقل خطيًا لمعادلة Mathieu المتجانسة المتجانسة وبواسطة at لـ حتى الخامسض وعلى للتفاوت الخامسض، هذا هو. استقلالها الخطي عن الحل الأول ينبع من الاستقلال الخطي لوظائف Bessel في النوعين الأول والثاني. عند الثبات ، تمثل العلاقات (34) و (41) نفسها النظام الأساسي لحل معادلة Mathieu المتجانسة المتجانسة. لذا ، فإن الحل العام لمعادلة Mathieu المتجانسة المخمدة هو

وهكذا ، وجدنا الحل العام لمعادلة Mathieu المتجانسة المتجانسة في الشكل التحليلي ، مما يسمح لها عمليًا باستخدامها في العديد من التطبيقات دون حسابات عددية ، حيث أن وظائف Bessel معروفة جيدًا. يمكن الحصول على حل معادلة Mathieu المبللة غير المتجانسة من خلال توسيع الحل العام لمعادلة Mathieu المتجانسة المبللة في سلسلة Fourier.


معادلة تكامل حجم السطح للتشتت الكهرومغناطيسي بواسطة أسطوانات غير متجانسة

يقدم هذا البحث صيغة معادلة متكاملة للتشتت الكهرومغناطيسي بواسطة أسطوانات لانهائية غير متجانسة لها سماح ونفاذية عددية عشوائية. تتضمن الصيغة كلاً من الحجم والتكامل السطحي مع مكون مجال واحد غير معروف ، وتنطبق على كل من الحالات الكهربائية المستعرضة والمغناطيسية المستعرضة. هذه المعادلة التكاملية بين الحجم والسطح مناسبة تمامًا للتطبيق العددي. في هذه الورقة ، يتم اشتقاق المعادلة التكاملية أولاً عن طريق دمج معادلة الموجة بمساعدة وظيفة Green في الفضاء الحر ، ثم تحليلها من وجهة النظر المادية ، مما ينتج عنه تفسير جديد لآلية التشتت. أخيرًا ، تمت برمجة المعادلة باستخدام طريقة اللحظات مع وظائف تمدد النبضة ومطابقة النقاط. تظهر النتائج العددية لإثبات صحة الصيغة والتفسير الجديد لآلية التشتت.


محتويات

الخصائص الأولية تحرير

يترك X و ص يكون ن×ن المصفوفات المعقدة واسمحوا أ و ب تكون أعدادًا مركبة عشوائية. نشير إلى ن×ن مصفوفة الهوية بواسطة أنا والمصفوفة الصفرية بمقدار 0. المصفوفة الأسية تفي بالخصائص التالية. [2]

نبدأ بالخصائص التي هي عواقب فورية للتعريف كسلسلة قوى:

  • ه 0 = أنا
  • إكسب (X T) = (exp X) T أين X يشير T إلى تبديل X .
  • إكسب (X ∗) = (exp X) ∗ أين X ∗ ترمز إلى تبديل المترافق X .
  • لو ص غير قابل للانعكاس إذن هYXY −1 = انتمXص −1 .

النتيجة الرئيسية التالية هي هذه:

عواقب الهوية السابقة هي كما يلي:

  • هفأسهbX = ه (أ + ب)X
  • هXهX = أنا

باستخدام النتائج المذكورة أعلاه ، يمكننا بسهولة التحقق من المطالبات التالية. لو X متماثل إذن ه X متماثل أيضًا ، وإذا X هو منحرف متماثل إذن ه X متعامد. لو X هو هيرميتي إذن ه X هو أيضا Hermitian ، وإذا X ثم هو انحراف هرميتى ه X هو وحدوي.

أخيرًا ، تحويل لابلاس لمصفوفة أسية يصل إلى المذيب ،

لجميع القيم الإيجابية الكبيرة بما فيه الكفاية لـ س.

تعديل أنظمة المعادلات التفاضلية الخطية

أحد أسباب أهمية المصفوفة الأسية هو أنه يمكن استخدامها لحل أنظمة المعادلات التفاضلية العادية الخطية. حل

حيث A مصفوفة ثابتة ، معطى بواسطة

يمكن أيضًا استخدام المصفوفة الأسية لحل المعادلة غير المتجانسة

انظر قسم التطبيقات أدناه للحصول على أمثلة.

لا يوجد حل مغلق للصيغة المعادلات التفاضلية

حيث A ليست ثابتة ، لكن سلسلة Magnus تعطي الحل كمجموع لا نهائي.

محدد المصفوفة الأسية Edit

حسب صيغة جاكوبي ، بالنسبة لأي مصفوفة مربعة معقدة ، فإن هوية التتبع التالية تحمل: [3]

بالإضافة إلى توفير أداة حسابية ، توضح هذه الصيغة أن المصفوفة الأسية هي دائمًا مصفوفة قابلة للعكس. هذا يأتي من حقيقة أن الجانب الأيمن من المعادلة أعلاه دائمًا ما يكون غير صفري ، وبالتالي فإن det (هـ أ ) ≠ 0 مما يدل على ذلك هـ أ يجب أن تكون قابلة للعكس.

في حالة القيمة الحقيقية ، تعرض الصيغة الخريطة أيضًا

أن لا تكون متهورًا ، على عكس الحالة المعقدة المذكورة سابقًا. ينتج هذا من حقيقة أنه ، بالنسبة للمصفوفات ذات القيمة الحقيقية ، يكون الجانب الأيمن من الصيغة موجبًا دائمًا ، بينما توجد مصفوفات قابلة للعكس ذات محدد سالب.

لأي عدد حقيقي (عددية) x و y نعلم أن الدالة الأسية تفي بالغرض ه x+ذ = ه x ه ذ . وينطبق الشيء نفسه على مصفوفات التنقل. إذا كانت المصفوفات X و Y تنقل (بمعنى أن س ص = YX )، من ثم،

ومع ذلك ، بالنسبة للمصفوفات التي لا تنقل ، فإن المساواة أعلاه لا تنطبق بالضرورة.

تحرير صيغة منتج الكذب

حتى إذا كان X و Y لا ينتقلان ، فإن الأسي ه X + ص يمكن حسابها باستخدام صيغة منتج لي [4]

تحرير صيغة بيكر-كامبل-هاوسدورف

في الاتجاه الآخر ، إذا كانت المصفوفات X و Y صغيرة بما فيه الكفاية (ولكن ليس بالضرورة التنقل) ، فلدينا

حيث يمكن حساب Z كسلسلة في مبدلات X و Y عن طريق معادلة Baker-Campbell-Hausdorff: [5]

حيث تكون المصطلحات المتبقية عبارة عن جميع المحولات المتكررة التي تتضمن X و Y. إذا كان X و Y يتنقلان ، فسيكون كل المبدل صفر ولدينا ببساطة ض = X + ص .

بالنسبة لمصفوفات Hermitian ، توجد نظرية ملحوظة تتعلق بتتبع مصفوفة أسية.

إذا كانت A و B مصفوفات Hermitian ، إذن

لا يوجد شرط للتبديل. هناك أمثلة معاكسة لإثبات أن عدم المساواة بين Golden – Thompson لا يمكن أن تمتد إلى ثلاث مصفوفات - وعلى أي حال ، tr (exp (أ) exp (ب) exp (ج)) ليس مضمونًا أن يكون حقيقيًا بالنسبة إلى Hermitian أ , ب , ج . ومع ذلك ، أثبت ليب [7] [8] أنه يمكن تعميمه على ثلاث مصفوفات إذا قمنا بتعديل التعبير على النحو التالي

دائمًا ما يكون أسي المصفوفة مصفوفة مقلوبة. معكوس مصفوفة ه X اعطي من قبل هX . هذا مشابه لحقيقة أن الأسي لعدد مركب يكون دائمًا غير صفري. ثم تعطينا المصفوفة الأسية خريطة

من فضاء الجميع ن×ن المصفوفات للمجموعة الخطية العامة من الدرجة n ، أي مجموعة الكل ن×ن المصفوفات المعكوسة. في الواقع ، هذه الخريطة تخيلية مما يعني أنه يمكن كتابة كل مصفوفة مقلوبة على أنها أسي لمصفوفة أخرى [9] (لهذا ، من الضروري النظر في المجال ج من الأعداد المركبة وليس ص).

لأي مصفوفتين X و Y ،

حيث ‖ · ‖ تشير إلى قاعدة مصفوفة عشوائية. ويترتب على ذلك أن الخريطة الأسية مستمرة وأن Lipschitz مستمرة على مجموعات فرعية مدمجة من من(ج) .

يحدد منحنى سلس في المجموعة الخطية العامة التي تمر عبر عنصر الهوية عند ر = 0.

في الواقع ، هذا يعطي مجموعة فرعية ذات معلمة واحدة من المجموعة الخطية العامة منذ ذلك الحين

مشتق هذا المنحنى (أو متجه المماس) عند نقطة ر اعطي من قبل

المشتق في ر = 0 هي مجرد مصفوفة X، وهو ما يعني ذلك X يولد هذه المجموعة الفرعية ذات المعلمة الواحدة.

بشكل أكثر عمومية ، [10] لأس عام يعتمد على t ، X(ر) ,

أخذ التعبير أعلاه ه X(ر) خارج علامة التكامل وتوسيع التكامل وبمساعدة Hadamard lemma ، يمكن للمرء الحصول على التعبير المفيد التالي لمشتق أس المصفوفة ، [11]

تختلف المعاملات في التعبير أعلاه عما يظهر في الأسي. للحصول على نموذج مغلق ، انظر مشتق من الخريطة الأسية.

من الصعب العثور على طرق موثوقة ودقيقة لحساب المصفوفة الأسية ، ولا يزال هذا موضوع بحث كبير حالي في الرياضيات والتحليل العددي. تستخدم كل من Matlab و GNU Octave و SciPy تقريب Padé. [12] [13] [14] في هذا القسم ، نناقش الطرق التي يمكن تطبيقها من حيث المبدأ على أي مصفوفة ، والتي يمكن تنفيذها بشكل صريح للمصفوفات الصغيرة. [15] تصف الأقسام اللاحقة طرقًا مناسبة للتقييم العددي على المصفوفات الكبيرة.

تحرير حالة قابلة للتحويل

ثم يمكن الحصول على الأس من خلال أس كل إدخال على القطر الرئيسي:

تسمح هذه النتيجة أيضًا لأحد الأسس المصفوفات القابلة للقياس. لو

و د قطري ، إذن

ه أ = أوي د يو −1 .

يعطي تطبيق صيغة سيلفستر نفس النتيجة. (لرؤية هذا ، لاحظ أن الجمع والضرب ، وبالتالي أيضًا الأس ، للمصفوفات القطرية يعادل الجمع والضرب بالعنصر ، وبالتالي الأس على وجه الخصوص ، فإن الأس "أحادي البعد" يعتبر عنصرًا حكيمًا للحالة القطرية .)

مثال: تحرير قابل للقياس

تحرير حالة عدم القدرة

مصفوفة ن هو عديم الفعالية إذا ن ف = 0 لبعض الأعداد الصحيحة ف. في هذه الحالة ، المصفوفة الأسية ه ن يمكن حسابها مباشرة من توسيع السلسلة ، حيث تنتهي السلسلة بعد عدد محدود من المصطلحات:

نظرًا لأن السلسلة تحتوي على عدد محدود من الخطوات ، فهي عبارة عن مصفوفة متعددة الحدود ، والتي يمكن حسابها بكفاءة.

تعديل الحالة العامة

باستخدام تحرير تحلل الأردن - شوفالي

هذا يعني أنه يمكننا حساب الأس X عن طريق الاختزال إلى الحالتين السابقتين:

لاحظ أننا بحاجة إلى تبديل أ و ن من أجل الخطوة الأخيرة في العمل.

استخدام تعديل شكل الأردن المتعارف عليه

الطريقة وثيقة الصلة هي ، إذا كان الحقل مغلقًا جبريًا ، للعمل مع نموذج الأردن X. لنفترض أن X = PJP −1 أين ي هو شكل الأردن X. ثم

لذلك ، نحتاج فقط إلى معرفة كيفية حساب المصفوفة الأسية لكتلة الأردن. لكن كل كتلة في الأردن هي من الشكل

أين ن هي مصفوفة عديمة الفعالية خاصة. المصفوفة الأسية لـ ي ثم من قبل

تعديل حالة الإسقاط

إذا كانت P عبارة عن مصفوفة إسقاط (أي أنها غير فعالة: ص 2 = ص ) ، مصفوفته الأسية هي:

ه ص = أنا + (ه - 1)ص .

اشتقاق هذا من خلال توسيع الدالة الأسية ، فإن كل قوة من P تنخفض إلى P والتي تصبح عاملاً مشتركًا في المجموع:

تعديل حالة الدوران

لدوران بسيط تكون فيه متجهات الوحدة العمودية أ و ب تحديد مستوى ، [16] يمكن التعبير عن مصفوفة الدوران R بدلالة دالة أسية مماثلة تشتمل على مولد G والزاوية θ. [17] [18]

تنتج صيغة العدد الأسي من تقليل قوى G في توسع السلسلة وتحديد معاملات السلسلة ذات الصلة لـ ص 2 و G مع −cos (θ) وخطيئة (θ) على التوالى. التعبير الثاني هنا عن البريد Gθ هو نفس التعبير عن ص(θ) في المقالة التي تحتوي على اشتقاق المولد ، ر(θ) = البريد Gθ .

يقلل إلى المصفوفة القياسية لدوران المستوى.

المصفوفة ص = −جي 2 يُسقط متجهًا على الطائرة ab ويؤثر الدوران فقط على هذا الجزء من المتجه. مثال يوضح هذا هو دوران 30 درجة = π / 6 في المستوى الممتد أ و ب ,

يترك ن = أنا - ص ، وبالتالي ن 2 = ن ومنتجاتها مع ص و جي صفر. سيسمح لنا هذا بتقييم قوى ص .

بحكم نظرية كايلي - هاملتون ، فإن المصفوفة الأسية يمكن التعبير عنها باعتبارها متعددة الحدود من الرتبة n 1.

إذا كان P و سر هي كثيرة الحدود غير صفرية في متغير واحد ، مثل أن ص(أ) = 0 ، وإذا كانت دالة الشكل

لإثبات ذلك ، اضرب أول اثنين من المعادلات أعلاه في ص(ض) واستبدل z بـ A.

مثل كثير الحدود سر(ض) على النحو التالي ، انظر صيغة سيلفستر. ترك جذر P ، سفي(ض) من ناتج P بواسطة الجزء الرئيسي من سلسلة Laurent لـ f عند a: يتناسب مع متغير Frobenius المشترك ذي الصلة. ثم المجموع سر التابع سفي، حيث a يمتد على جميع جذور P ، يمكن اعتباره معينًا سر . كل الآخرين سر سيتم الحصول عليها عن طريق إضافة مضاعفات P إلى سر(ض). بخاصة، سر(ض) ، كثيرة حدود لاغرانج-سيلفستر ، هي الوحيدة سر درجته أقل من P.

مثال: النظر في حالة مصفوفة 2 × 2 التعسفية ،

المصفوفة الأسية هـ تا بحكم نظرية كايلي هاملتون ، يجب أن يكون من الشكل

(لأي عدد مركب z وأي ج-الجبر B ، نشير مرة أخرى بواسطة z حاصل ضرب z بوحدة B.)

دع α و هما جذور كثير الحدود المميز لـ A ،

لو αβ بينما إذا α = β ,

أين الخطيئة (كيو تي)/ف تساوي 0 إذا كانت t = 0 ، و t إذا كانت q = 0.

وهكذا ، كما هو موضح أعلاه ، تحللت المصفوفة A إلى مجموع قطعتين متبادلتين ، القطعة الأثرية والقطعة التي لا تتبع ،

يقلل المصفوفة الأسية إلى منتج عادي من الأس للقطعتين المعنيتين. غالبًا ما تُستخدم هذه الصيغة في الفيزياء ، لأنها ترقى إلى التناظرية لصيغة أويلر لمصفوفات باولي المغزلية ، أي تناوب التمثيل المزدوج للمجموعة SU (2).

كثير الحدود سر يمكن أيضًا إعطاء توصيف "الاستيفاء" التالي. حدد هر(ض) ≡ البريد tz ، و ن ≡ درجة ص . ثم سر(ض) هي الدرجة الفريدة & lt ن كثير الحدود الذي يرضي سر (ك) (أ) = هر (ك) (أ) عندما تكون k أقل من تعدد a كجذر لـ P. نفترض ، كما يمكننا بوضوح ، أن P هي كثيرة الحدود الصغرى لـ A. نفترض كذلك أن A هي مصفوفة قابلة للقياس. على وجه الخصوص ، جذور P بسيطة ، وتوصيف "الاستيفاء" يشير إلى ذلك سر يتم الحصول عليها من خلال صيغة لاغرانج ، لذلك فهي لاغرانج - سيلفستر متعدد الحدود.

على الطرف الآخر ، إذا ص = (ض - أ) ن ، من ثم

أبسط حالة لا تغطيها الملاحظات المذكورة أعلاه هي عندما يكون الفوسفور = (ض - أ) 2 (ض - ب) ، (z-b)> مع أب ، الذي يحصد

إن إجراء حساب عملي وسريع لما ورد أعلاه يقلل من الخطوات السريعة التالية. أذكر من فوق أن ن × ن إكسب المصفوفة (تا) يرقى إلى مجموعة خطية من القوى الأولى n −1 لـ A بواسطة نظرية كايلي هاملتون. للمصفوفات القابلة للقطر ، كما هو موضح أعلاه ، على سبيل المثال في حالة 2 × 2 ، تنتج صيغة سيلفستر exp (تا) = بα إكسب () + بβ إكسب (تي) ، حيث B s هي المتغيرات المشتركة لـ Frobenius لـ A.

من الأسهل ، مع ذلك ، حل هذه القيم B مباشرة ، عن طريق إيجاد قيمة هذا التعبير ومشتقته الأولى عند t = 0 ، بدلالة A و I ، للعثور على نفس الإجابة على النحو الوارد أعلاه.

لكن هذا الإجراء البسيط يعمل أيضًا مع المصفوفات المعيبة ، في التعميم بسبب Buchheim. [19] هذا موضح هنا لمثال 4 × 4 لمصفوفة لا قطري، و B ليست مصفوفات إسقاط.

مع قيم eigenvalues λ1 = 3/4 و λ2 = 1 ، ولكل منها مضاعفة العدد اثنين.

ضع في اعتبارك الأسي لكل قيمة ذاتية مضروبة في t ، exp (λأنار). اضرب كل قيمة ذاتية أُسية في مصفوفة المعامل غير المحدد المقابلة بأنا . If the eigenvalues have an algebraic multiplicity greater than 1, then repeat the process, but now multiplying by an extra factor of t for each repetition, to ensure linear independence.

(If one eigenvalue had a multiplicity of three, then there would be the three terms: B i 1 e λ i t , B i 2 t e λ i t , B i 3 t 2 e λ i t >e^t>,

B_>t^<2>e^t>> . By contrast, when all eigenvalues are distinct, the B s are just the Frobenius covariants, and solving for them as below just amounts to the inversion of the Vandermonde matrix of these 4 eigenvalues.)

Sum all such terms, here four such,

To solve for all of the unknown matrices B in terms of the first three powers of A and the identity, one needs four equations, the above one providing one such at t = 0. Further, differentiate it with respect to t ,

(In the general case, n −1 derivatives need be taken.)

Setting t = 0 in these four equations, the four coefficient matrices B s may now be solved for,

Substituting with the value for A yields the coefficient matrices

The procedure is much shorter than Putzer's algorithm sometimes utilized in such cases.

Suppose that we want to compute the exponential of

where the matrix P اعطي من قبل

Let us first calculate exp(ي). لدينا

The exponential of a 1×1 matrix is just the exponential of the one entry of the matrix, so exp(ي1(4)) = [ه 4 ]. The exponential of ي2(16) can be calculated by the formula هأنا + ن) = ه λ ه N mentioned above this yields [20]

Therefore, the exponential of the original matrix ب يكون

Linear differential equations Edit

The matrix exponential has applications to systems of linear differential equations. (See also matrix differential equation.) Recall from earlier in this article that a homogeneous differential equation of the form

has solution ه في ذ(0) .

If we consider the vector

we can express a system of inhomogeneous coupled linear differential equations as

Making an ansatz to use an integrating factor of هفي and multiplying throughout, yields

The second step is possible due to the fact that, if AB = BA ، من ثم ه في ب = Be في . So, calculating ه في leads to the solution to the system, by simply integrating the third step with respect to t .

Example (homogeneous) Edit

The matrix exponential is

so that the general solution of the homogeneous system is

Example (inhomogeneous) Edit

Consider now the inhomogeneous system

From before, we already have the general solution to the homogeneous equation. Since the sum of the homogeneous and particular solutions give the general solution to the inhomogeneous problem, we now only need find the particular solution.

which could be further simplified to get the requisite particular solution determined through variation of parameters. ملحوظة ج = ذص(0). For more rigor, see the following generalization.

Inhomogeneous case generalization: variation of parameters Edit

For the inhomogeneous case, we can use integrating factors (a method akin to variation of parameters). We seek a particular solution of the form ذص(ر) = exp(tA) ض(ر) ,

For ذص to be a solution,

أين ج is determined by the initial conditions of the problem.

More precisely, consider the equation

with the initial condition ص(ر0) = ص0 ، أين

A is an n by n complex matrix, F is a continuous function from some open interval I to ℂ ن , t 0 > is a point of I , and Y 0 > is a vector of ℂ ن .

Left-multiplying the above displayed equality by e −tA عائدات

We claim that the solution to the equation

where the notation is as follows:

To justify this claim, we transform our order n scalar equation into an order one vector equation by the usual reduction to a first order system. Our vector equation takes the form

where A is the transpose companion matrix of P . We solve this equation as explained above, computing the matrix exponentials by the observation made in Subsection Evaluation by implementation of Sylvester's formula above.

In the case n = 2 we get the following statement. الحل ل

where the functions س0 و س1 are as in Subsection Evaluation by Laurent series above.

The matrix exponential of another matrix (matrix-matrix exponential), [21] is defined as

for any normal and non-singular ن×ن matrix X , and any complex ن×ن matrix Y .

For matrix-matrix exponentials, there is a distinction between the left exponential Y X and the right exponential X Y , because the multiplication operator for matrix-to-matrix is not commutative. Moreover,


Abidi, H., Gui, G.L., Zhang, P.: On the decay and stability of global solutions to the 3D inhomogeneous Navier–Stokes equations. Commun. Pure Appl. رياضيات. 64(6), 832–881 (2011)

Abidi, H., Paicu, M.: Global existence for the magnetohydrodynamic system in critical spaces. بروك. R. Soc. Edinb. Sect. أ 138(3), 447–476 (2008)

Alexander, R., Wang, Y.G., Xu, C.J., Yang, T.: Well-posedness of the Prandtl equation in Sobolev spaces. J. Am. رياضيات. Soc. 28(3), 745–784 (2015)

Alfvén, H.: Existence of electromagnetic-hydrodynamic waves. Nature 150, 405–406 (1942)

Beirão da Veiga, H.: Vorticity and regularity for flows under the Navier boundary condition. Commun. Pure Appl. Anal. 5(4), 907–918 (2006)

Beirão da Veiga, H., Crispo, F.: Concerning the (W^) -inviscid limit for 3-d flows under a slip boundary condition. J. الرياضيات. Fluid Mech. 13(1), 117–135 (2011)

Chen, D.X., Wang, Y.X., Zhang, Z.F.: Well-posedness of the linearized Prandtl equation around a non-monotonic shear flow. آن. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 35(4), 1119–1142 (2018)

Choe, H.J., Kim, H.: Strong solutions of the Navier–Stokes equations for nonhomogeneous incompressible fluids. Commun. Part. Differ. Equ. 28(5–6), 1183–1201 (2003)

Constantin, P.: Note on loss of regularity for solutions of the 3-D incompressible Euler and related equations. Commun. رياضيات. فيز. 104(2), 311–326 (1986)

Constantin, P., Foias, C.: Navier–Stokes Equation. University of Chicago Press, Chicago (1988)

Desjardins, B., Le Bris, C.: Remarks on a nonhomogeneous model of magnetohydrodynamics. Differ. Integral Equ. 11(3), 377–394 (1998)

Gérard-Varet, D., Prestipino, M.: Formal derivation and stability analysis of boundary layer models in MHD. Z. Angew. رياضيات. فيز. 68(3), 76 (2017)

Gerbeau, J.F., Le Bris, C.: Existence of solution for a density-dependent magnetohydrodynamic equation. Adv. Differ. Equ. 2(3), 427–452 (1997)

Gie, G.M., Jung, C.Y., Temam, R.: Recent progresses in boundary layer theory. Discrete Contin. Dyn. Syst. 36(5), 2521–2583 (2016)

Grenier, E., Guo, Y., Nguyen, T.: Spectral stability of Prandtl boundary layers: an overview. Analysis (Berlin) 35(4), 343–355 (2015)

Grenier, E., Guo, Y., Nguyen, T.: Spectral instability of characteristic boundary layer flows. Duke Math. J. 165(16), 3085–3146 (2016)

Gui, G.L.: Global well-posedness of the two-dimensional incompressible magnetohydrodynamics system with variable density and electrical conductivity. J. Funct. Anal. 267(5), 1488–1539 (2014)

Guo, Y., Nguyen, T.: A note on Prandtl boundary layers. Commun. Pure Appl. رياضيات. 64(10), 1416–1438 (2011)

Guo, Y., Nguyen, T.: Prandtl boundary layer expansions of steady Navier–Stokes flows over a moving plate. آن. PDE 3(1), 10 (2017)

Guo, Y., Iyer, S.: Validity of steady Prandtl layer expansions, arXiv:1805.05891

Huang, Y.T., Liu, C.J., Yang, T.: Local-in-time well-posedness for compressible MHD boundary layer. J. Differ. Equ. 266(6), 2978–3013 (2019)

Ignatova, M., Vicol, V.: Almost global existence for the Prandtl boundary layer equations. Arch. Ration. Mech. Anal. 220(2), 809–848 (2016)

Kato, T.: Nonstationary flows of viscous and ideal fluids in (>^3) . J. Funct. Anal. 9, 296–305 (1972)

Kazhikov, A.V.: Solvability of the initial-boundary value problem for the equations of the motion of an inhomogeneous viscous incompressible fluid. Dokl. Akad. Nauk SSSR 216, 1008–1010 (1974). ((in Russian))

Li, W.X., Wu, D., Xu, C.J.: Gevrey class smoothing effect for the Prandtl equation. SIAM J. Math. Anal 48(3), 1672–1726 (2016)

Li, W.X., Yang, T.: Well-posedness in Gevrey function spaces for the Prandtl equations with non-degenerate critical points. J. Eur. رياضيات. Soc. 22(3), 717–775 (2020)

Lin, X.Y., Zhang, T.: Almost global existence for 2D magnetohydrodynamics boundary layer system. رياضيات. Methods Appl. Sci. 41(17), 7530–7553 (2018)

Liu, C.J., Wang, D.H., Xie, F., Yang, T.: Magnetic effects on the solvability of 2D MHD boundary layer equations without resistivity in Sobolev spaces. J. Funct. Anal. 279(7), 45 (2020)

Liu, C.J., Xie, F., Yang, T.: A note on the ill-posedness of shear flow for the MHD boundary layer equations. Sci. China Math. 61(11), 2065–2078 (2018)

Liu, C.J., Yang, T.: Ill-posedness of the Prandtl equations in Sobolev spaces around a shear flow with general decay. J. الرياضيات. Pures Appl. (9) 108(2), 150–162 (2017)

Liu, C.J., Xie, F., Yang, T.: MHD boundary layers theory in Sobolev spaces without monotonicity. I. Well-posedness theory. Commun. Pure Appl. رياضيات. 72(1), 63–121 (2019)

Liu, C.J., Xie, F., Yang, T.: Justification of Prandtl Ansatz for MHD boundary layer. SIAM J. Math. Anal. 51(3), 2748–2791 (2019)

Lions, P.L.: Mathematical Topics in Fluid Mechanics, vol. 1, Incompressible Models Oxford Lecture Series in Mathematics and Applications, vol 3. Oxford University Press, New York (1996)

Masmoudi, N.: Remarks about the inviscid limit of the Navier–Stokes system. Commun. رياضيات. فيز. 270(3), 777–788 (2007)

Masmoudi, N., Rousset, F.: Uniform Regularity for the Navier–Stokes equation with Navier boundary condition. Arch. Ration. Mech. Anal. 203(2), 529–575 (2012)

Masmoudi, N., Wong, T.K.: Local-in-time existence and uniqueness of solutions to the Prandtl equations by energy methods. Commun. Pure Appl. رياضيات. 68(10), 1683–1741 (2015)

Oleinik, O.A.: On the system of Prandtl equations in boundary-layer theory. Dokl. Akad. Nauk SSSR 150, 28–31 (1963)

Oleinik, O.A.: On the mathematical theory of boundary layer for an unsteady flow of incompressible fluid, Prikl. حصيرة. Meh. 30, 801–821(Russian) translated as J. Appl. رياضيات. Mech. 30, 951–974 (1966)

Oleinik, O.A., Samokhin, V.N.: Mathematical Models in Boundary Layers Theory, Applied Mathematics and Mathematical Computation, vol. 15. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton (1999)

Prandtl, L.: Uber flüssigkeits-bewegung bei sehr kleiner reibung. Verhandlungen des III. Internationlen Mathematiker Kongresses, Heidelberg. Teubner, Leipzig, pp. 484–491 (1904)

Iyer, S.: Steady Prandtl boundary layer expansions over a rotating disk. Arch. Ration. Mech. Anal. 224(2), 421–469 (2017)

Iyer, S.: Steady Prandtl layers over a moving boundary: nonshear Euler flows. SIAM J. Math. Anal. 51(3), 1657–1695 (2019)

Sammartino, M., Caflisch, R.E.: Zero viscosity limit for analytic solutions, of the Navier–Stokes equation on a half-space. I. Existence for Euler and Prandtl equations. Commun. رياضيات. فيز. 192(2), 433–461 (1998)

Sammartino, M., Caflisch, R.E.: Zero viscosity limit for analytic solutions of the Navier–Stokes equation on a half-space. II. Construction of the Navier–Stokes solution. Commun. رياضيات. فيز. 192(2), 463–491 (1998)

Schlichting, H., Gersten, K.: Unsteady Boundary Layers. In: Boundary-Layer Theory. Springer, Berlin, Heidelberg (2017)

Simon, J.: Nonhomogeneous viscous incompressible fluids: existence of velocity, density, and pressure. SIAM J. Math. Anal. 21(5), 1093–1117 (1990)

Wang, Y., Xin, Z.P., Yong, Y.: Uniform regularity and vanishing viscosity limit for the compressible Navier–Stokes with general Navier-Slip boundary conditions in three-dimensional domains. SIAM J. Math. Anal. 47(6), 4123–4191 (2015)

Xiao, Y.L., Xin, Z.P.: On 3D Lagrangian Navier–Stokes (alpha ) model with a class of vorticityslip boundary conditions. J. الرياضيات. Fluid Mech. 15(2), 215–247 (2013)

Xie, F., Yang, T.: Global-in-time stability of 2D MHD boundary layer in the Prandtl-Hartmann regime. SIAM J. Math. Anal. 50(6), 5749–5760 (2018)

Xie, F., Yang, T.: Lifespan of solutions to MHD boundary layer equations with analytic perturbation of general shear flow. Acta Math. Appl. Sin. Engl. سر. 35(1), 209–229 (2019)

Xu, C.J., Zhang, X.: Long time well-posedness of Prandtl equations in Sobolev space. J. Differ. Equ. 263(12), 8749–8803 (2017)

Zhang, P., Zhang, Z.F.: Long time well-posedness of Prandtl system with small and analytic initial data. J. Funct. Anal. 270(7), 2591–2615 (2016)


Affiliations

College of Mathematics and Statistics, Chongqing University, Chongqing, P.R. China

College of Sciences, Shihezi University, Xinjiang, P.R. China

You can also search for this author in PubMed Google Scholar

You can also search for this author in PubMed Google Scholar

You can also search for this author in PubMed Google Scholar

Contributions

YZ derived the scheme and implements the numerical examples KW proposed the problem and supervised the deduction of the scheme and simulation of the numerical examples RG suggested some details. All authors read and approved the final manuscript.

Corresponding author


شاهد الفيديو: Differential Equations 6: Homogeneous Differential Equations حل المعادلات التفاضلية المتجانسة (شهر نوفمبر 2021).