مقالات

10.3E: النظرية الأساسية للأنظمة الخطية المتجانسة (تمارين)


Q10.3.1

1. إثبات: إذا كانت ({ bf y} _1 ) ، ({ bf y} _2 ) ، ... ، ({ bf y} _n ) هي حلول ​​({ bf y} ' = A (t) { bf y} ) في ((a، b) ) ، ثم أي تركيبة خطية من ({ bf y} _1 ) ، ({ bf y} _2 ) ، ... ، ({ bf y} _n ) هو أيضًا حل ({ bf y} '= A (t) { bf y} ) في ((a، b) ).

2. في القسم 5.1 الخطأ الخطأ للحلين (y_1 ) و (y_2 ) من معادلة الدرجة الثانية العددية

[P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = 0 tag {A} ]

تم تعريفه ليكون

[W = left | start {array} {cc} y_1 & y_2 y'_1 & y'_2 end {array} right |. nonumber ]

  1. أعد كتابة (A) كنظام للمعادلات من الدرجة الأولى ووضح أن (W ) هو Wronskian (كما هو محدد في هذا القسم) من حلين لهذا النظام.
  2. طبق المعادلة 10.3.6 على النظام المشتق في (أ) ، وبيّن أن [W (x) = W (x_0) exp left {- int ^ x_ {x_0} {P_1 (s) over P_0 (s)} ، ds right }، nonumber ] وهي صيغة صيغة هابيل الواردة في نظرية 9.1.3.

3. في القسم 9.1 ، الخطأ الخطأ (n ) الحلول ​​(y_1 ) ، (y_2 ) ، ... ، (y_n ) من (n - ) معادلة الترتيب

[P_0 (x) y ^ {(n)} + P_1 (x) y ^ {(n-1)} + cdots + P_n (x) y = 0 tag {A} ]

تم تعريفه ليكون

[W = left | start {array} {cccc} y_1 & y_2 & cdots & y_n y'_1 & y'_2 & cdots & y_n ' vdots & vdots & ddots & vdots y_1 ^ {(n-1)} & y_2 ^ {(n-1)} & cdots & y_n ^ {(n-1)} end {array} right |. nonumber ]

  1. أعد كتابة (A) كنظام للمعادلات من الدرجة الأولى وأظهر أن (W ) هو Wronskian (كما هو محدد في هذا القسم) لحلول ​​(n ) هذا النظام.
  2. طبق المعادلة 10.3.6 على النظام المشتق في (أ) ، وبيّن أن [W (x) = W (x_0) exp left {- int ^ x_ {x_0} {P_1 (s) over P_0 (s)} ، ds right }، nonumber ] وهي صيغة صيغة هابيل الواردة في نظرية 9.1.3.

4. افترض

[{ bf y} _1 = left [ start {array} {c} {y_ {11}} {y_ {21}} end {array} right] quad text {and} رباعي { bf y} _2 = left [ start {array} {c} {y_ {12}} {y_ {22}} end {array} right] nonumber ]

هي حلول ​​(2 مرات 2 ) النظام ({ bf y} '= A { bf y} ) على ((أ ، ب) ) ، واسمحوا

[Y = left [ begin {array} {cc} {y_ {11}} & {y_ {12}} {y_ {21}} & {y_ {22}} end {array} right ] quad text {and} quad W = left | begin {array} {cc} {y_ {11}} & {y_ {12}} {y_ {21}} & {y_ {22} } end {array} right | nonumber ]

وبالتالي ، (W ) هو Wronskian لـ ( {{ bf y} _1 ، { bf y} _2 } ).

  1. استنتج من تعريف المحدد أن [W '= left | begin {array} {cc} {y' _ {11}} & {y '_ {12}} {y_ {21}} & { y_ {22}} end {array} right | + left | start {array} {y_ {11}} & {y_ {12}} {y '_ {21}} & {y' _ {22}} end {array} صحيح |. nonumber ]
  2. استخدم المعادلة (Y '= A (t) Y ) وتعريف ضرب المصفوفات لتوضيح أن [[y' _ {11} quad y '_ {12}] = a_ {11} [y_ { 11} quad y_ {12}] + a_ {12} [y_ {21} quad y_ {22}] nonumber ] و [[y '_ {21} quad y' _ {22}] = أ_ {21} [y_ {11} quad y_ {12}] + a_ {22} [y_ {21} quad y_ {22}]. nonumber ]
  3. استخدم خصائص المحددات للاستنتاج من (أ) و (أ) أن [ left | start {array} {cc} {y '_ {11}} & {y' _ {12}} {y_ { 21}} & {y_ {22}} end {array} right | = a_ {11} W quad text {and} quad left | start {array} {cc} {y_ {11}} & {y_ {12}} {y '_ {21}} & {y' _ {22}} end {array} right | = a_ {22} W. nonumber ]
  4. استنتج من (ج) أن [W '= (a_ {11} + a_ {22}) W، nonumber ] واستخدم هذا لتوضيح أنه إذا كان (a

5. افترض أن (n times n ) المصفوفة (A = A (t) ) مستمرة في ((a، b) ). يترك

[Y = left [ begin {array} {cccc} y_ {11} & y_ {12} & cdots & y_ {1n} y_ {21} & y_ {22} & cdots & y_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots y_ {n1} & y_ {n2} & cdots & y_ {nn} end {array} right]، nonumber ]

حيث أعمدة (Y ) هي حلول ​​({ bf y} '= A (t) { bf y} ). يترك

[r_i = [y_ {i1} ، y_ {i2} ، dots ، y_ {in}] nonumber ]

يكون الصف (i ) من (Y ) ، واجعل (W ) هو المحدد لـ (Y ).

  1. استنتج من تعريف المحدد أن [W '= W_1 + W_2 + cdots + W_n، nonumber ] حيث ، لـ (1 le m le n ) ، الصف (i ) من ( W_m ) هو (r_i ) إذا (i ne m ) ، و (r'_m ) إذا (i = m ).
  2. استخدم المعادلة (Y '= A Y ) وتعريف ضرب المصفوفة لتوضيح أن [r'_m = a_ {m1} r_1 + a_ {m2} r_2 + cdots + a_ {mn} r_n. nonumber ]
  3. استخدم خصائص المحددات للاستنتاج من (ب) أن [ det (W_m) = a_ {mm} W. nonumber ]
  4. استنتج من (أ) و (ج) أن [W '= (a_ {11} + a_ {22} + cdots + a_ {nn}) W ، non Number ] واستخدم هذا لإظهار أنه إذا (a

6. افترض أن (n times n ) المصفوفة (A ) مستمرة على ((a، b) ) و (t_0 ) هي نقطة في ((a، b) ). لنفترض أن (Y ) مصفوفة أساسية لـ ({ bf y} '= A (t) { bf y} ) في ((a، b) ).

  1. أظهر أن (Y (t_0) ) قابل للعكس.
  2. أظهر أنه إذا كان ({ bf k} ) تعسفيًا (n ) - متجه ، فإن حل مشكلة القيمة الأولية [{ bf y} '= A (t) { bf y}، رباعي { bf y} (t_0) = { bf k} nonumber ] هو [{ bf y} = Y (t) Y ^ {- 1} (t_0) { bf k}. nonumber ]

7. اسمحوا

[A = left [ begin {array} {cc} {2} & {4} {4} & {2} end {array} right]، quad { bf y} _1 = يسار [ start {array} {c} e ^ {6t} e ^ {6t} end {array} right]، quad { bf y} _2 = left [ begin {array} {r } e ^ {- 2t} -e ^ {- 2t} end {array} right]، quad { bf k} = left [ start {array} {r} -3 9 نهاية {مجموعة} يمين]. غير رقم ]

  1. تحقق من أن ( {{ bf y} _1، { bf y} _2 } ) هي مجموعة أساسية من الحلول لـ ({ bf y} '= A { bf y} ).
  2. حل مشكلة القيمة الأولية [{ bf y} '= A { bf y}، quad { bf y} (0) = { bf k}. علامة {A} ]
  3. استخدم نتيجة تمرين 10.3.6 (ب) لإيجاد صيغة لحل (أ) لمتجه أولي عشوائي ({ bf k} ).

8. كرر تمرين 10.3.7 مع

[A = left [ begin {array} {cc} {- 2} & {- 2} {- 5} & {1} end {array} right]، quad { bf y} _1 = left [ start {array} {r} e ^ {- 4t} e ^ {- 4t} end {array} right]، quad { bf y} _2 = left [ begin {array} {r} -2e ^ {3t} 5e ^ {3t} end {array} right]، quad { bf k} = left [ begin {array} {r} 10 -4 end {array} right]. nonumber ]

9. كرر تمرين 10.3.7 مع

[A = left [ begin {array} {cc} {- 4} & {- 10} {3} & {7} end {array} right]، quad { bf y} _1 = left [ start {array} {r} -5e ^ {2t} 3e ^ {2t} end {array} right]، quad { bf y} _2 = left [ start {array } {r} 2e ^ t - e ^ t end {array} right]، quad { bf k} = left [ begin {array} {r} -19 11 end {array } حق]. غير رقم ]

10. كرر تمرين 10.3.7 مع

[A = left [ begin {array} {cc} {2} & {1} {1} & {2} end {array} right]، quad { bf y} _1 = يسار [ start {array} {r} e ^ {3t} e ^ {3t} end {array} right]، quad { bf y} _2 = left [ begin {array} {r } e ^ t -e ^ t end {array} right]، quad { bf k} = left [ begin {array} {r} 2 8 end {array} right] .لا يوجد رقم ]

11. اسمحوا

[ begin {align} A & = left [ begin {array} {ccc} {3} & {- 1} & {- 1} {- 2} & {3} & {2} { 4} & {- 1} & {- 2} end {array} right]، { bf y} _1 & = left [ begin {array} {c} e ^ {2t} 0 e ^ {2t} end {array} right]، quad { bf y} _2 = left [ begin {array} {c} e ^ {3t} - e ^ {3t} e ^ {3t} end {array} right]، quad { bf y} _3 = left [ begin {array} {c} e ^ {- t} - 3e ^ {- t} 7e ^ {- t} end {array} right]، quad { bf k} = left [ begin {array} {r} 2 - 7 20 end {array} right ]. end {align} nonumber ]

  1. تحقق من أن ( {{ bf y} _1، { bf y} _2، { bf y} _3 } ) هي مجموعة أساسية من الحلول لـ ({ bf y} '= A { bf ذ} ).
  2. حل مشكلة القيمة الأولية [{ bf y} '= A { bf y}، quad { bf y} (0) = { bf k}. علامة {A} ]
  3. استخدم نتيجة تمرين 10.3.6 (ب) لإيجاد صيغة لحل (أ) لمتجه أولي عشوائي ({ bf k} ).

12. كرر تمرين 10.3.11 مع

[ begin {align} A & = left [ begin {array} {ccc} {0} & {2} & {2} {2} & {0} & {2} {2} & {2} & {0} end {array} right]، { bf y} _1 & = left [ begin {array} {c} -e ^ {- 2t} 0 e ^ {-2t} end {array} right]، quad { bf y} _2 = left [ begin {array} {c} -e ^ {- 2t} e ^ {- 2t} 0 end {array} right]، quad { bf y} _3 = left [ begin {array} {c} e ^ {4t} e ^ {4t} e ^ {4t} نهاية {مجموعة} يمين] ، رباعي { bf k} = يسار [ تبدأ {مجموعة} {r} 0 - 9 12 end {array} right]. end {align} لا يوجد رقم ]

13. كرر تمرين 10.3.11 مع

[ begin {align} A & = left [ begin {array} {ccc} {- 1} & {2} & {3} {0} & {1} & {6} {0} & {0} & {- 2} end {array} right]، { bf y} _1 & = left [ begin {array} {c} e ^ t e ^ t 0 نهاية {مجموعة} يمين] ، رباعي { bf y} _2 = يسار [ تبدأ {مجموعة} {c} e ^ {- t} 0 0 end {array} right] ، رباعي { bf y} _3 = left [ start {array} {c} e ^ {- 2t} - 2e ^ {- 2t} e ^ {- 2t} end {array} right] ، quad { bf k} = left [ start {array} {r} 5 5 - 1 end {array} right]. end {align} nonumber ]

14. افترض أن (Y ) و (Z ) مصفوفات أساسية لـ (n times n ) النظام ({ bf y} '= A (t) { bf y} ). ثم بعض المصفوفات الأربعة (YZ ^ {- 1} ) ، (Y ^ {- 1} Z ) ، (Z ^ {- 1} Y ) ، (ZY ^ {- 1} ) ثابتة بالضرورة. حددهم وأثبت أنهم ثابتون.

15. افترض أن أعمدة المصفوفة (n times n ) (Y ) هي حلول ​​(n times n ) النظام ({ bf y} '= A { bf y} ) و (C ) عبارة عن (n مرات n ) مصفوفة ثابتة.

  1. أظهر أن المصفوفة (Z = YC ) تحقق المعادلة التفاضلية (Z '= AZ ).
  2. بيّن أن (Z ) مصفوفة أساسية لـ ({ bf y} '= A (t) { bf y} ) فقط إذا كان (C ) قابلاً للانعكاس و (Y ) مصفوفة أساسية لـ ({ bf y} '= A (t) { bf y} ).

16. افترض أن (n times n ) المصفوفة (A = A (t) ) متصلة على ((a، b) ) و (t_0 ) في ((a، b) ). بالنسبة إلى (i = 1 ) ، (2 ) ، ... ، (n ) ، دع ({ bf y} _i ) يكون الحل لمشكلة القيمة الأولية ({ bf y} _i '= A (t) { bf y} _i، ؛ { bf y} _i (t_0) = { bf e} _i ) ، أين

[{ bf e} _1 = left [ start {array} {c} 1 0 vdots 0 end {array} right]، quad { bf e} _2 = يسار [ start {array} {c} 0 1 vdots 0 end {array} right] ، quad cdots quad { bf e} _n = left [ start {array } {c} 0 0 vdots 1 end {array} right] ؛ nonumber ]

أي ، المكون (j ) من ({ bf e} _i ) هو (1 ) إذا (j = i ) ، أو (0 ) إذا (j ne i ).

  1. أظهر أن ( {{ bf y} _1، { bf y} _2، dots، { bf y} _n } ) هي مجموعة أساسية من حلول ​​({ bf y} '= A (ر) { bf y} ) في ((أ ، ب) ).
  2. استنتج من (أ) و تمرين 10.3.15 أن ({ bf y} '= A (t) { bf y} ) يحتوي على عدد لا نهائي من مجموعات الحلول الأساسية في ((a، b) ).

17. أظهر أن (Y ) هي مصفوفة أساسية للنظام ({ bf y} '= A (t) { bf y} ) إذا وفقط إذا (Y ^ {- 1} ) هي مصفوفة أساسية لـ ({ bf y} '= - A ^ T (t) { bf y} ) ، حيث يشير (A ^ T ) إلى تبديل (A ). تلميح: انظر التمرين 10.3.11.

18. لنفترض أن (Z ) هي المصفوفة الأساسية لنظام المعامل الثابت ({ bf y} '= A { bf y} ) بحيث (Z (0) = I ).

  1. أظهر أن (Z (t) Z (s) = Z (t + s) ) لجميع (s ) و (t ). تلميح: للثابت (س) يترك ( جاما _ {1} (t) = Z (t) Z (s) ) و ( جاما _ {2} (t) = Z (t + s) ). اظهر ذلك ( جاما _ {1} ) و ( جاما_ {2} ) كلاهما حلين لمشكلة القيمة الأولية للمصفوفة ( Gamma '= A Gamma، : Gamma (0) = Z (s) ). ثم نستنتج من نظرية 10.2.1 أن ( جاما _ {1} = جاما _ {2} ).
  2. أظهر أن ((Z (t)) ^ {- 1} = Z (-t) ).
  3. المصفوفة (Z ) المحددة أعلاه يُرمز إليها أحيانًا بـ (e ^ {tA} ). ناقش الدافع وراء هذا الترميز.