مقالات

12.4: معادلة لابلاس في الإحداثيات القطبية - الرياضيات


في القسم 12.3 ، قمنا بحل مشاكل القيمة الحدية لمعادلة لابلاس على مستطيل مع جوانب موازية للمحاور (س ، ص ). سننظر الآن في مشاكل القيمة الحدودية لمعادلة لابلاس على المناطق ذات الحدود الموصوفة بشكل أفضل من حيث الإحداثيات القطبية. في هذه الحالة ، من المناسب اعتبار (u ) وظيفة ((r ، ثيتا) ) وكتابة معادلة لابلاس في شكل قطبي

[ label {eq: 12.4.1} u_ {rr} + frac {1} {r} u_r + frac {1} {r ^ 2} u _ { theta theta} = 0، ]

أين

[r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} quad text {and} quad theta = cos ^ {- 1} frac {x} {r} = sin ^ {- 1} frac {x} {r}. لا يوجد رقم]

نبدأ بالحالة التي تكون فيها المنطقة عبارة عن قرص دائري نصف قطره ( rho ) ، مركزه في الأصل ؛ أي أننا نريد تحديد حل رسمي لمشكلة القيمة الحدية

[ label {eq: 12.4.2} start {array} {c} {u_ {rr} + frac {1} {r} u_ {r} + frac {1} {r ^ {2}} u _ { theta theta} = 0، quad 0

(الشكل ( PageIndex {1} )). لاحظ أن المعادلة المرجع {eq: 12.4.2} لا تفرض أي قيود على (u (r، theta) ) عندما (r = 0 ). سنتناول هذا السؤال في الوقت المناسب.

نبحث أولاً عن المنتجات (v (r، theta) = R (r) Theta ( theta) ) التي تفي بالمعادلة المرجع {eq: 12.4.1}. لهذه الوظيفة ،

[v_ {rr} + frac {1} {r} v_r + frac {1} {r ^ 2} v _ { theta theta} = R '' Theta + frac {1} {r} R ' Theta + frac {1} {r ^ 2} R Theta '' = 0 nonumber ]

للجميع ((r ، ثيتا) ) مع (r ne0 ) إذا

[ frac {r ^ 2R '' + rR '} {R} = - frac { Theta' '} { Theta} = lambda، nonumber ]

حيث ( lambda ) ثابت فصل. (تحقق.) هذه المعادلة تعادل

[ Theta '' + lambda Theta = 0 nonumber ]

و

[ label {eq: 12.4.3} r ^ 2R '' + rR '- lambda R = 0. ]

نظرًا لأن ((r، pi) ) و ((r، - pi) ) هما إحداثيات قطبية لنفس النقطة ، فإننا نفرض شروطًا حدودية دورية على ( Theta ) ؛ هذا هو،

[ label {eq: 12.4.4} Theta '' + lambda Theta = 0، quad Theta (- pi) = Theta ( pi)، quad Theta '(- pi) = Theta '( pi). ]

نظرًا لأننا لا نريد أن يكون (R Theta ) صفرًا بشكل متطابق ، يجب أن يكون ( lambda ) قيمة ذاتية للمعادلة المرجع {eq: 12.4.4} ويجب أن يكون ( Theta ) مرتبطًا الوظيفة الذاتية. من النظرية 11.1.6 ، قيم eigenvalues ​​للمعادلة المرجع {eq: 12.4.4} هي ( lambda_0 = 0 ) مع وظائف eigenfunctions ( Theta_0 = 1 ) و ، من أجل (n = 1،2 ، 3 ، dots ، ) ( lambda_n = n ^ 2 ) ، مع دالة eigenfunction المرتبطة ( cos n theta ) و ( sin n theta ) لذلك ،

[ Theta_n = alpha_n cos n theta + beta_n sin n theta nonumber ]

حيث ( alpha_n ) و ( beta_n ) ثوابت.

ينتج عن استبدال ( lambda = 0 ) في المعادلة المرجع {eq: 12.4.3}

[r ^ 2R '' + rR '= 0 ، بلا رقم ]

وبالتالي

[ frac {R_0 ''} {R_0 '} = - frac {1} {r} ، nonumber ]

[R_0 '= فارك {c_1} {r} ، غير رقم ]

و

[ label {eq: 12.4.5} R_0 = c_2 + c_1 ln r. ]

إذا (c_1 ne0 ) ثم

[ lim_ {r to0 +} | R_0 (r) | = infty، nonumber ]

وهو أمر غير منطقي إذا فسرنا (u_0 (r، theta) = R_0 (r) Theta_0 ( theta) = R_0 (r) ) كتوزيع درجة حرارة الحالة المستقرة في القرص الذي يتم الحفاظ على حدوده عند درجة الحرارة الثابتة (R_0 ( rho) ). لذلك نطلب الآن أن يتم تقييد (R_0 ) كـ (r to0 + ). هذا يعني أن (c_1 = 0 ) ، ونحن نأخذ (c_2 = 1 ). وهكذا ، (R_0 = 1 ) و (v_0 (r ، ثيتا) = R_0 (r) Theta_0 ( ثيتا) = 1 ). لاحظ أن (v_0 ) يفي بالمعادلة المرجع {eq: 12.4.2} مع (f ( theta) = 1 ).

استبدال ( lambda = n ^ 2 ) في المعادلة المرجع {eq: 12.4.3} ينتج عنه معادلة أويلر

[ التسمية {eq: 12.4.6} r ^ 2R_n '' + rR_n'-n ^ 2 R_n = 0 ]

لـ (R_n ). كثير الحدود غير الرسمي لهذه المعادلة هو

[s (s-1) + s-n ^ 2 = (s-n) (s + n) ، non number ]

لذا فإن الحل العام للمعادلة المرجع {eq: 12.4.6} هو

[ label {eq: 12.4.7} R_n = c_1r ^ n + c_2r ^ {- n}، ]

بواسطة Theorem 7.4.3. تمشيا مع افتراضنا السابق في (R_0 ) ، نطلب الآن أن يتم تقييد (R_n ) كـ (r to0 + ). هذا يعني أن (c_2 = 0 ) ، ونختار (c_1 = rho ^ {- n} ). ثم (R_n (r) = r ^ n / rho ^ n ) ، لذا

[v_n (r، theta) = R_n (r) Theta_n ( theta) = frac {r ^ n} { rho ^ n} ( alpha_n cos n theta + sin n theta). لا يوجد رقم]

الآن (v_n ) يلبي المعادلة المرجع {eq: 12.4.2} مع

[f ( theta) = alpha_n cos n theta + beta_n sin n theta. nonumber ]

بشكل عام ، إذا ( alpha_0 ) ، ( alpha_1 ) ، ... ، ( alpha_m ) و ( beta_1 ) ، ( beta_2 ) ، ... ، ( beta_m ) ثوابت اعتباطية إذن

[u_m (r، theta) = alpha_0 + sum_ {n = 1} ^ m frac {r ^ n} { rho ^ n} ( alpha_n cos n theta + beta_n sin n theta) لا يوجد رقم]

يفي بالمعادلة المرجع {eq: 12.4.2} مع

[f ( theta) = alpha_0 + sum_ {n = 1} ^ m ( alpha_n cos n theta + beta_n sin n theta). nonumber ]

هذا يحفز التعريف التالي.

نظرية ( PageIndex {1} )

الحل الرسمي المحدد لمشكلة القيمة الحدية المعادلة المرجع {eq: 12.4.2} هو

[ label {eq: 12.4.8} u (r، theta) = alpha_0 + sum_ {n = 1} ^ infty frac {r ^ n} { rho ^ n} ( alpha_n cos n theta + beta_n sin n theta) ، ]

أين

[F ( theta) = alpha_0 + sum_ {n = 1} ^ infty ( alpha_n cos n theta + beta_n sin n theta) nonumber ]

هل سلسلة فورييه من (f ) على ([- pi ، pi] ) ؛ هذا هو،

[ alpha_0 = frac {1} {2 pi} int _ {- pi} ^ pi f ( theta) ، d theta، nonumber ]

و

[ alpha_n = frac {1} { pi} int _ {- pi} ^ pi f ( theta) cos n theta ، d theta quad text {and} quad beta_n = frac {1} { pi} int _ {- pi} ^ pi f ( theta) sin n theta ، d theta، quad n = 1،2،3، dots. لا يوجد رقم]

بما أن ( sum_ {n = 0} ^ infty n ^ k (r / rho) ^ n ) يتقارب لكل (k ) إذا (0 0 ) ، فإن المعادلة المرجع {eq: 12.4.8} ترضي معادلة لابلاس إذا (0

[F ( theta) = f ( theta) ، quad - pi le theta < pi. nonumber ]

من النظرية 11.2.4 ، يكون هذا صحيحًا إذا كان (f ) مستمرًا ومتجانسًا على ([- pi، pi] ) و (f (- pi) = f ( pi) ) .

مثال ( PageIndex {1} )

أوجد الحل الرسمي المحدد للمعادلة ref {eq: 12.4.2} مع (f ( theta) = theta ( pi ^ 2- theta ^ 2) ).

المحلول

من المثال 11.2.6 ،

[ theta ( pi ^ 2- theta ^ 2) = 12 sum_ {n = 1} ^ infty frac {(- 1) ^ n} {n ^ 3} sin n theta، quad - pi le theta le pi، nonumber ]

وبالتالي

[u (r، theta) = 12 sum_ {n = 1} ^ infty frac {r ^ n} { rho ^ n} frac {(- 1) ^ n} {n ^ 3} الخطيئة n ثيتا ، quad 0 le r le rho ، quad - pi le theta le pi. nonumber ]

مثال ( PageIndex {2} )

حدد الحل الرسمي لـ

[ label {eq: 12.4.9} start {array} {c} {u_ {rr} + frac {1} {r} u_ {r} + frac {1} {r ^ {2}} u _ { theta theta} = 0 ، quad rho _ {0}

حيث (0 < rho_0 < rho ) (الشكل ( PageIndex {2} )).

المحلول

نستخدم فصل المتغيرات تمامًا كما في السابق ، باستثناء أننا الآن نختار الثوابت في المعادلة المرجع {eq: 12.4.5} والمعادلة المرجع {eq: 12.4.7} بحيث يكون (R_n ( rho_0) = 0 ) لـ (n = 0 ) ، (1 ) ، (2 ) ،…. في ضوء حالة Dirichlet غير المتجانسة على الحدود (r = rho ) ، من المناسب أيضًا طلب ذلك (R_n ( rho) = 1 ) لـ (n = 0 ) ، (1 ) ) ، (2 ) ،…. نتركه لك للتحقق من ذلك

[R_0 (r) = frac { ln r / rho_0} { ln rho / rho_0} quad text {and} quad R_n = frac { rho_0 ^ {- n} r ^ n - rho_0 ^ nr ^ {- n}} { rho_0 ^ {- n} rho ^ n- rho_0 ^ n rho ^ {- n}} ، quad n = 1،2،3 ، dots لا يوجد رقم]

استيفاء هذه المتطلبات. وبالتالي

[v_0 ( rho، theta) = frac { ln r / rho_0} { ln rho / rho_0} nonumber ]

و

[v_n (r، theta) = frac { rho_0 ^ {- n} r ^ n- rho_0 ^ nr ^ {- n}} { rho_0 ^ {- n} rho ^ n- rho_0 ^ n rho ^ {- n}} ( alpha_n cos n theta + beta_n sin n theta) ، quad n = 1،2،3 ، dots ، nonumber ]

حيث ( alpha_n ) و ( beta_n ) ثوابت عشوائية.

إذا كانت ( alpha_0 ) ، ( alpha_1 ) ، ... ، ( alpha_m ) و ( beta_1 ) ، ( beta_2 ) ، ... ، ( beta_m ) ثوابت عشوائية إذن

[u_m (r، theta) = alpha_0 frac { ln r / rho_0} { ln rho / rho_0} + sum_ {n = 1} ^ m frac { rho_0 ^ {- n } r ^ n- rho_0 ^ nr ^ {- n}} { rho_0 ^ {- n} rho ^ n- rho_0 ^ n rho ^ {- n}} ( alpha_n cos n theta + beta_n sin n theta) nonumber ]

يفي بالمعادلة المرجع {eq: 12.4.9} ، مع

[f ( theta) = alpha_0 + sum_ {n = 1} ^ m ( alpha_n cos n theta + beta_n sin n theta). nonumber ]

هذا يحفزنا على تحديد الحل الرسمي للمعادلة المرجع {eq: 12.4.9} ليكون العام (f )

[u (r، theta) = alpha_0 frac { ln r / rho_0} { ln rho / rho_0} + sum_ {n = 1} ^ infty frac { rho_0 ^ {- n} r ^ n- rho_0 ^ nr ^ {- n}} { rho_0 ^ {- n} rho ^ n- rho_0 ^ n rho ^ {- n}} ( alpha_n cos n theta + beta_n sin n theta) ، nonumber ]

أين

[F ( theta) = alpha_0 + sum_ {n = 1} ^ infty ( alpha_n cos n theta + beta_n sin n theta) nonumber ]

هل سلسلة فورييه من (f ) على ([- pi ، pi] ).

مثال ( PageIndex {3} )

تحديد الحل الرسمي المحدود لـ

[ label {eq: 12.4.10} start {array} {c} {u_ {rr} + frac {1} {r} u_ {r} + frac {1} {r ^ {2}} u _ { theta theta} = 0، quad 0

حيث (0 < gamma <2 pi ) (Figure ( PageIndex {3} )).

المحلول

الآن (v (r، theta) = R (r) Theta ( theta) ) ، أين

[ التسمية {eq: 12.4.11} r ^ 2R '' + rR '- lambda R = 0 ]

و

[ label {eq: 12.4.12} Theta '' + lambda Theta = 0، quad Theta (0) = 0، quad Theta ( gamma) = 0. ]

من النظرية 11.1.2 ، القيم الذاتية للمعادلة المرجع {eq: 12.4.12} هي ( lambda_n = n ^ 2 pi ^ 2 / gamma ^ 2 ) ، مع ارتباط eigenfunction ( Theta_n = sin n pi theta / gamma ) ، (n = 1 ) ، (2 ) ، (3 ) ،…. استبدال ( lambda = n ^ 2 pi ^ 2 / gamma ^ 2 ) في المعادلة المرجع {eq: 12.4.11} ينتج عنه معادلة أويلر

[r ^ 2R '' + rR_n '- frac {n ^ 2 pi ^ 2} { gamma ^ 2} R = 0. nonumber ]

كثير الحدود غير الرسمي لهذه المعادلة هو

[s (s-1) + s- frac {n ^ 2 pi ^ 2} { gamma ^ 2} = left (s- frac {n pi} { gamma} right) left (s + frac {n pi} { gamma} right) ، nonumber ]

وبالتالي

[R_n = c_1r ^ {n pi / gamma} + c_2r ^ {- n pi / gamma} ، nonumber ]

بواسطة Theorem 7.4.3. للحصول على حل يظل مقيدًا كـ (r to0 + ) نسمح (c_2 = 0 ). بسبب حالة Dirichlet في (r = rho ) ، من الملائم أن يكون لديك (r ( rho) = 1 ) ؛ لذلك نأخذ (c_1 = rho ^ {- n pi / gamma} ) ، لذلك

[R_n (r) = frac {r ^ {n pi / gamma}} { rho ^ {n pi / gamma}}. nonumber ]

الآن

[v_n (r، theta) = R_n (r) Theta_n ( theta) = frac {r ^ {n pi / gamma}} { rho ^ {n pi / gamma}} sin frac {n pi theta} { gamma} nonumber ]

يفي بالمعادلة المرجع {eq: 12.4.10} مع

[f ( theta) = sin frac {n pi theta} { gamma}. nonumber ]

بشكل عام ، إذا كانت ( alpha_1 ) ، ( alpha_2 ) ، ... ، ( alpha_m ) ثوابت عشوائية

[u_m (r، theta) = sum_ {n = 1} ^ m alpha_n frac {r ^ {n pi / gamma}} { rho ^ {n pi / gamma}} sin frac {n pi theta} { gamma} nonumber ]

يفي بالمعادلة المرجع {eq: 12.4.10} مع

[f ( theta) = sum_ {n = 1} ^ m alpha_n sin frac {n pi theta} { gamma}. nonumber ]

هذا يحفزنا على تحديد الحل الرسمي المحدد للمعادلة المرجع {eq: 12.4.10} ليكون كذلك

[u_m (r، theta) = sum_ {n = 1} ^ infty alpha_n frac {r ^ {n pi / gamma}} { rho ^ {n pi / gamma}} sin frac {n pi theta} { gamma} ، nonumber ]

أين

[S ( theta) = sum_ {n = 1} ^ infty alpha_n sin frac {n pi theta} { gamma} nonumber ]

هل تمدد فورييه الجيبي لـ (f ) على ([0، جاما] )؛ هذا هو،

[ alpha_n = frac {2} { gamma} int_0 ^ gamma f ( theta) sin frac {n pi theta} { gamma} ، d theta. لا يوجد رقم]


معادلة لابلاس في الإحداثيات القطبية باستخدام المصفوفات

رأيت أن الطريقة الموضحة أدناه يمكن استخدامها لاشتقاق معادلة لابلاس للإحداثيات القطبية باستخدام حسابات أقل.

حتى بعد حساب المصفوفة التالية:

يبدأ frac < جزئي x> < جزئي r> & amp frac < جزئي y> < جزئي r> frac < جزئي x> < جزئي ثيتا> & amp frac < جزئي x> < جزء من ثيتا> نهاية (باستخدام $ x = r cos theta، y = r sin theta $) ، ما زلت لا أعرف كيف لابلاسيان $ nabla ^ <2> u = frac < جزئي ^ <2> u> < جزئي r ^ <2>> + frac <1> frac < جزئي u> < جزئي r> + frac <1>> تم الحصول على frac < جزئي ^ <2> u> < part theta ^ <2>> $. ما يحيرني بشكل خاص هو المنتج النقطي وكيف يتم تطبيق عامل التشغيل 2 times1 $ على مصفوفة $ 2 times2 $.


معادلة لابلاس في الإحداثيات الأسطوانية

داخل حجم أسطواني من نصف القطر والارتفاع. دعونا نعتمد الإحداثيات الأسطوانية القياسية ، ، ، ،. افترض أن الجزء المنحني من السطح المحيط يتوافق مع ، بينما يتوافق الجزءان المسطحان مع و ، على التوالي. افترض ، أخيرًا ، أن شروط الحدود التي يتم فرضها على السطح المحيط هي

أين هي وظيفة معينة. بمعنى آخر ، تكون الإمكانية صفرًا على الأسطح المنحنية والسفلية للأسطوانة ، ومحددة على السطح العلوي.

في الإحداثيات الأسطوانية ، تتم كتابة معادلة لابلاس

دعونا نحاول حل النموذج القابل للفصل

نعمل بالطريقة المعتادة ، نحصل عليها

لاحظ أننا اخترنا الحلول الأسية ، بدلاً من الحلول المتذبذبة في الاتجاه - [بالكتابة ، بدلاً من ، في المعادلة (399)]. كما سيتضح ، يعني هذا أن الحلول الشعاعية تتأرجح ، وهو الخيار المناسب لمجموعة معينة من شروط الحدود قيد الدراسة. حل المعادلة (399) ، مع مراعاة أن [الذي يلي شرط الحد الأول ، (394)] هو

الحل الأكثر عمومية للمعادلة (400) هو

لاحظ أنه للتأكد من أن الإمكانات ذات قيمة واحدة ، يتم تقييد الثابت ليكون عددًا صحيحًا. أخيرًا ، إذا كتبنا ، تصبح المعادلة (401)

تُعرف هذه المعادلة باسم معادلة بيسل. الحل القياسي لهذه المعادلة حسن التصرف هو

هذا الحل ، المعروف باسم دالة بيسل ، له خصائص

بعبارة أخرى ، في الحجج الصغيرة ، يكون للوظيفة سلوك قانون القوة ، بينما في الحجج الكبيرة تأخذ شكل تذبذب اتساع يتحلل ببطء. إنه يتبع هذا

دعنا نشير إلى الصفر عشر لوظيفة Bessel. بعبارة أخرى ، هو الجذر رقم (بالترتيب ، كزيادة من صفر) من. يمكن البحث عن قيم في الكتب المرجعية القياسية. (على سبيل المثال ، و.) يمكننا تلبية شرط الحد الثاني ، (395) ، من خلال الاختيار ، حيث

وهكذا ، يصبح حلنا القابل للانفصال

من الملائم التعبير عن الوظيفة المحددة في شكل سلسلة فورييه:

شرطنا النهائي ، (396) ، يعطي الناتج

يبقى عكس التعبيرين السابقين للحصول على المعاملين و. في الواقع ، من الممكن إثبات ذلك إذا

وحلنا محدد بالكامل.

النظر في أن الحد. في هذه الحالة ، وفقًا للمعادلة (409) ، تصبح القيم المسموح بها أكثر تباعدًا. وبالتالي ، فإن المجموع فوق القيم المنفصلة في (410) يتحول إلى متكامل على مدى مستمر من القيم. على سبيل المثال ، لنفترض أننا نرغب في حل معادلة لابلاس في المنطقة ، مع مراعاة الشرط الحدودي الذي يتم تحديده بأين ومعه. في هذه الحالة ، سنختار تلبية شرط الحدود بشكل عام. يضمن الاختيار أن يتم التصرف بشكل جيد في الإمكانات ، ويلبي تلقائيًا شرط الحدود بشكل عام. ومن ثم ، يصبح حلنا العام

ثم شرط الحدود النهائية يعني ذلك

يمكننا عكس التعبيرين السابقين عن طريق المطابقة

وحلنا محدد بالكامل.

لنفترض أننا نرغب في حل معادلة لابلاس في حجم أسطواني من نصف القطر والارتفاع ، مع مراعاة شروط الحدود

أين هو محدد. بمعنى آخر ، الإمكانية تساوي صفرًا على الجزأين المسطحين من السطح المحيط ، وتُعطى على الجزء المنحني. يمكننا مرة أخرى البحث عن حل قابل للفصل بالصيغة (398). نعمل بالطريقة المعتادة ، نحصل عليها

لاحظ أننا اخترنا الحلول المتذبذبة بدلاً من الحلول الأسية في الاتجاه [بالكتابة ، بدلاً من ، في المعادلة (428)]. هذا هو الاختيار المناسب لمجموعة معينة من الشروط الحدودية قيد الدراسة. حل المعادلة (428) ، مع مراعاة القيود التي [التي تتبع الشروط الحدودية (425) و (426)] هي

هنا ، هو عدد صحيح موجب. الحل أحادي القيمة للمعادلة (429) هو مرة أخرى

أخيرًا ، الكتابة ، تأخذ المعادلة (430) الشكل

تُعرف هذه المعادلة باسم معادلة بيسل المعدلة. الحل القياسي لهذه المعادلة حسن التصرف هو

هذا الحل ، المعروف باسم دالة Bessel المعدلة ، له خصائص

بعبارة أخرى ، في الحجج الصغيرة ، يكون للوظيفة سلوك قانون السلطة ، بينما في الحجج الكبيرة ، فإنها تنمو بشكل كبير. إنه يتبع هذا


معادلات تفاضلية جزئية

الثاني كيف تنشأ

تنشأ المعادلات التفاضلية الجزئية في عدة فروع للرياضيات. على سبيل المثال ، معادلات كوشي وريمان ،

هي أن تكون دالة تحليلية للمتغير المعقد ض = x+iy. وبالتالي ، فإن الفرع الغني والجميل للرياضيات المعروف باسم نظرية الوظيفة التحليلية هو مجرد دراسة حلول لنظام معين من المعادلات التفاضلية الجزئية.

كمثال بسيط لمعادلة تفاضلية جزئية نشأت في العلوم الفيزيائية ، فإننا نعتبر حالة الوتر المهتز. نفترض أن الخيط عبارة عن جسم طويل ورفيع جدًا من مادة مرنة ومرنة بسبب نحافتها الشديدة ويتم شدها بإحكام بين النقاط x = 0 و x = إل على ال x محور x,ذ طائرة. يترك x تكون أي نقطة على السلسلة ، واسمحوا ذ(س ،ر) يكون إزاحة تلك النقطة من x المحور في الوقت المناسب ر. نفترض أن عمليات إزاحة السلسلة تحدث في ملف س ، ص طائرة. ضع في اعتبارك الجزء من السلسلة بين نقطتي إغلاق x1 و x2. التوتر تي في الخيط يعمل في اتجاه الظل للمنحنى الذي تشكله الخيط. القوة الصافية على المقطع [x1,x2] في ال ذ الاتجاه

أين ϕأنا هي الزاوية بين مماس المنحنى و x المحور في xأنا. وفقًا لقانون نيوتن الثاني ، هذه القوة يجب أن تساوي الكتلة مضروبة في التسارع. هذا هو

حيث ρ هي كثافة (الكتلة لكل وحدة طول) من السلسلة. وهكذا ، في الحد

نلاحظ أن tan ϕ = ∂ذ/∂x. إذا قمنا بعمل الافتراض المبسط (مبرر أو غير ذلك) ذلك

وهي المعادلة المعروفة للوتر المهتز.

عادةً ما يؤدي اشتقاق المعادلات التفاضلية الجزئية من القوانين الفيزيائية إلى تبسيط الافتراضات التي يصعب تبريرها تمامًا. معظم الوقت هي مجرد حجج معقولة. لهذا السبب ، قبلت بعض فروع العلم المعادلات التفاضلية الجزئية كبديهيات. يتم الحكم على نجاح هذه البديهيات من خلال مدى جودة استنتاجاتهم في وصف الملاحظات السابقة والتنبؤ بملاحظات جديدة.


12.4: معادلة لابلاس في الإحداثيات القطبية - الرياضيات

معادلة YOUNG-LAPLACE في تنسيق قطبي ملائم وتنفيذه في MATLAB & reg

ECUACI & OacuteN DE YOUNG-LAPLACE EN COORDENADAS POLARES CONVENIENTES Y SU IMPLEMENTACI & OacuteN EN MATLAB & reg

EQUA & Ccedil & AtildeO DE YOUNG-LAPLACE EM COORDENADAS POLARES ADEQUADAS E SUA PROGRAMA & Ccedil & AtildeO EM MATLAB & reg

ألبرتو آر الويس 1،2 ، أدريانا ف.رينك & oacuten 1

1 Facultad de Ingenier & iacutea، Universidad del Atl & aacutentico، Km. 7 أنتيجوا ضد & إياكوتيا أ بويرتو كولومبيا ، بارانكويلا ، كولومبيا.

Recibido: 18/06/10 - Aceptado: 12/11/10

تم اقتراح شكل جديد للتعبير عن معادلة يونغ لابلاس. تم تطوير معادلة Young-Laplace في نظام إحداثيات قطبي مناسب ومبرمجة في MatLab & reg. أظهر الملف الشخصي الذي تم إنشاؤه أنه يتوافق مع تلك الواردة في الأدبيات. تم تطوير واختبار خوارزمية تتجنب الاستيفاء الشخصي لقياس التوتر السطحي من مقاطع القطرات المعلقة.

الكلمات الدالة: إسقاط الملف الشخصي ، والإحداثيات القطبية ، ومعادلة يونغ لابلاس ، و MatLab & reg.

Se propone una nueva forma para expresar la ecuaci & oacuten de Young-Laplace. Se desarroll & oacute laecuaci & oacutende Young-Laplaceen un sistema de Coordenadas Tipo Polar Comforte، y su soluci & oacuten se program & oacute en el البرمجيات ماتلاب وريج. Los perfiles que se generaron mostraron una excelente coincidencia con los reportados en la Literatura. Se desarroll & oacute un algoritmo que evita la interpolaci & oacuten en los perfiles وتقييم el cual se & oacute para la selectinaci & oacuten de la tensi & oacuten superficial a partir de perfiles de gotas pendientes.

العصا بالابراس: perfil de gota و socenadas polares و ecuaci & oacuten de Young-Laplace و MatLab.

Prop & otildee-se uma nova forma para expressar a equa & ccedil & atildeo de Young-Laplace. Desenvolveu-se a equa & ccedil & atildeo de Young-Laplace em um sistema de formatenadas tipo polar adequado e sua solu & ccedil & atildeo programou-se no software MatLab & reg. Os perfis gerados mostraram uma excelente coincid & ecircncia com os reportados na Literatura. Desenvolveu-se um algoritmo que evita a interpola & ccedil & atildeo nos perfis، o qual foi avaliado para aermina & ccedil & atildeo da tens & atildeo superficial a partir de perfis de gotas pingentes.

بالافراس شافيز: perfil de gota و Coordenadas polares و equa & ccedil & atildeo de Young-Laplace و MatLab.

يعد التوتر السطحي والسطحي من الخصائص المهمة جدًا في العلوم والهندسة نظرًا للدور الذي يلعبه في العديد من العمليات مثل الاستحلاب والرغوة. إلى جانب ذلك ، هذه الخاصية حساسة للغاية لوجود الملوثات وتعطي نظرة ثاقبة حول سلوك القوى بين الجزيئات في الواجهات. غالبًا ما تكون القيم الموثوقة لهذه الخاصية مطلوبة وهناك حاجة إلى تقنيات موثوقة لقياسها.

تم تطوير العديد من التقنيات لقياس التوتر السطحي (1). من بين الطرق الشائعة الاستخدام ، تتميز طرق شكل الإسقاط القائمة على تحليل شكل وحجم قطرة قلادة بالعديد من المزايا: فهي طرق مطلقة ولا تعتمد على زاوية التلامس بين السائل والسطح الصلب. إلى جانب ذلك ، فإن كمية العينة صغيرة ولديها دقة ممتازة ، وهي قابلة للتطبيق على كل من واجهات الهواء السائل والسائل السائل ، ومتعددة الاستخدامات وبسيطة ومناسبة في العديد من المواقف ، بما في ذلك درجة الحرارة والضغط الشديدين. كما تم استخدامها لتحديد خصائص الامتزاز للأنظمة البيولوجية ، بما في ذلك امتصاص البروتين في الواجهات (2 ، 3).

تعتمد الطريقة على معادلة Young-Laplace الخاصة بالشعرية. يقارن الملف الشخصي الذي تم الحصول عليه باستخدام مجموعة من المعلمات الأولية التي تشمل التوتر السطحي ، مع الملف الشخصي التجريبي. يتم تكرار الإجراء لعدة قيم للتوتر السطحي حتى يتم التوصل إلى اتفاق جيد بين الملف الشخصي المحسوب نظريًا والتجريبي (4-6).

تم إدخال العديد من التغييرات على الطريقة الأصلية بعد ظهورها في التسعينيات (5 ، 6). تشمل التعديلات تحسينات في الأجهزة (7) ، والعدسة ، وكاميرا CCD ، ومصدر الضوء ، وما إلى ذلك ، وتغييرات في الخوارزميات لتشمل طرقًا رقمية جديدة (8-10) ، وخوارزميات الكشف عن الحواف (11) ، وتطبيق الطريقة لعينات عكرة (7 ، 12).

أحد مساوئ استخدام الصيغة الديكارتية لمعادلة Young-Laplace هو أنه - بالنسبة لعملية مقارنة الملف الشخصي - ضروري لاستيفاء الملف الشخصي الذي تم إنشاؤه (13). في هذا العمل ، يتم التعبير عن معادلة Young-Laplace التي تصف ملف تعريف القطرات المتدلية في نظام إحداثيات يشبه القطبية مناسب لتجنب الاستيفاء. تم حل المعادلات الناتجة في برنامج MatLab & reg (2009 ، The MathWorks) ، وتتم مقارنة الملفات الشخصية التي تم الحصول عليها مع البيانات الواردة في الأدبيات والنتائج التي تم الحصول عليها لحل الصيغة الديكارتية للمعادلة باستخدام MatLab & reg.

تم التعبير عن معادلة Young-Laplace الخاصة بالشعرية في نظام إحداثيات مناسب ، على النحو الذي اقترحه Zholob et al. (13) ، ومزيد من تطويرها من قبلنا. تم الحصول على الصيغة الخالية من الأبعاد للمعادلة بقسمة طول نصف القطر على نصف قطر الانحناء عند القمة. تم حل المعادلة التفاضلية الناتجة عدديًا باستخدام برنامج MatLab & reg لأرقام سندات مختلفة ، وتمت مقارنة النتائج ببيانات الأدبيات. تمت كتابة خوارزمية أيضًا للحصول على رقم Bond من ملفات تعريف تجريبية. تم اختبار البرنامج باستخدام ملفات تعريف تشبه التجارب. تم إنشاء ملفات التعريف الشبيهة بالتجربة من خلال حل معادلة Young-Laplace رقميًا وإضافة ضوضاء عشوائية لمحاكاة ملفات تعريف تجريبية حقيقية.

النتائج والمناقشة إسقاط المعادلة الشخصية

تم تطوير معادلة Young-Laplace & # 911 & # 93 لوصف المظهر الجانبي للغضروف المفصلي داخل الشعيرات الدموية ، لكن الظواهر الفرعية هي نفسها التي تعطي قطرات أشكالها المميزة ، لذلك يمكن استخدامها لوصف ملف تعريف القلادة والخطية قطرات (1). في هذه المعادلة ، يتم وصف فرق الضغط ، AP ، بنصف قطر الانحناء ، ر1و ر2والتوتر السطحي ، ذ. يمكن تحديد فرق الضغط من حيث الارتفاع ، ض ، وفرق الكثافة Ap و ب هو نصف قطر الانحناء عند قمة السقوط كما هو موضح في المعادلة & # 912 & # 93.

بالنسبة للأشكال المتماثلة ، فإن نصف قطر الانحناء ر1و ر2يمكن التعبير عنها كدالة لطول القوس والزاوية المتكونة بين x- المحور والخط المماس للنقطة المدروسة كما هو معروض في المعادلة & # 913 & # 93:

أين & بيتا هو رقم السند المحدد بالمعادلة & # 914 & # 93:

رقم السندات موجب لأرقام الثورة المفلطحة ، أي الفقاعات الموجودة أسفل السطح والغضروف المفصلي في الأنبوب الشعري ، والسالب لأرقام الثورة الموسعة مثل القطرات المتدلية والفقاعات المعلقة (5 ، 14). يتم تعريف الأطوال غير الأبعاد كما هو موضح في المعادلات التالية:

مع مراعاة الاعتبارات الهندسية ، يتم الحصول على مجموعة المعادلات التالية:

يتم وصف الشروط الأولية بالمعادلة & # 919 & # 93:

يجب حل المعادلات & # 916 & # 93 و & # 917 & # 93 و & # 918 & # 93 في وقت واحد للحصول على ملف التعريف المحسوب. لم يتم اكتشاف أي حل تحليلي لذلك ، يجب حل المعادلات عدديًا. تمت برمجة الخوارزمية لحل هذه المعادلة في MatLab & reg باستخدام وظائف التراكم كـ ODE45. من الجدير بالذكر أن متغير التكامل في هذه الحالة هو طول قوس بلا أبعاد ، بينما في ملفات التعريف التجريبية تكون الإحداثيات x و ض. يفرض هذا الموقف ضرورة استيفاء القيم في الملف الشخصي المحسوب عندما نحاول مقارنتها بالقيم التجريبية ، مما يزيد من وقت الحساب ويقلل من دقة الضبط (13).

يمكن تجنب هذه الصعوبات باستخدام نظام إحداثيات يشبه القطبية كما اقترحه Zholob et al. (13) ، كما هو موضح في الشكل 1.

يتم تحويل الإحداثيات التجريبية بسهولة إلى نظام الإحداثيات هذا ويتم تحويل معادلة Young-Laplace باستخدام د كمتغير تكامل ، مما يجعل المقارنة بين التشكيلات التجريبية والمحسوبة مباشرة. ومع ذلك ، تظهر بعض الصعوبات عند تنفيذ نظام الإحداثيات هذا: يعتمد موضع مركز الإسقاط على تخصيص الخط المنقسم عند محاولة تحديد مقادير بلا أبعاد ضجيظهر حتمًا في المعادلات ومتى ضجيستخدم لتحديد مقادير بدون أبعاد ، يتم تحديد طول الملف الشخصي على الفور عن طريق اختيار حجم zج. هذه الصعوبات تجعل نظام الإحداثيات هذا محرجًا جدًا ليتم تنفيذه. في هذا العمل ، تم اقتراح نظام يشبه القطبية أكثر طبيعية ، كما هو موضح في الشكل 2.

إذا تم استخدام متغيرات بلا أبعاد محددة بالمعادلة & # 9110 & # 93 ، يمكن ربط الانحناء والمشتق الثاني من نصف القطر بالمعادلة & # 9111 & # 93 (15):

أين ك هو الانحناء الذي قدمته معادلة Young-Laplace ويمكن التعبير عنه في نظام الإحداثيات المحدد مسبقًا بواسطة المعادلات & # 9111-14 & # 93:

حيث يجب استيفاء شرط الحدود لتماثل القمة:

تم تنفيذ حل المعادلة & # 9111 & # 93 للمعادلة & # 9116 & # 93 في MatLab & reg ومقارنة النتائج مع البيانات التي أبلغ عنها Bashforth و Adams (14) في الشكل 3. يتم فرض ملفات التعريف التجريبية والمحسوبة. يمكن رؤية هذا بشكل أكثر وضوحًا في الشكل 4 ، حيث يتم رسم الاختلافات بين نصف القطر لبيانات Bashforth و Adams والنتائج التي تم الحصول عليها باستخدام المعادلات المقترحة في هذا العمل. كما يتضح ، الخطأ في عدم اليقين التجريبي لمعظم الأجهزة المستخدمة لهذه التحديدات (مستوى الميكرومتر).

ملامح تشبه التجريبية

تمت محاكاة ملفات التعريف التجريبية من خلال إنشاء ملفات تعريف نظرية باستخدام معادلة Young-Laplace المعبر عنها في النظام الديكارتي وإدخال ضوضاء عشوائية إلى الملف الشخصي الذي تم إنشاؤه ، مثل المعادلة & # 9117 & # 93:

أين الاشتراكات إكسب و الجنرال الرجوع إلى ملف التعريف المشوه والمولد ، على التوالي ، و xخطأو ضامرتتوافق مع التشويه العشوائي المضاف إلى ملف التعريف الذي تم إنشاؤه. تم تحديد حجم الخطأ الذي تم إدخاله ليكون مكافئًا تقريبًا لبكسل واحد في صورة 600 × 400 ويمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا أو صفرًا لكل نقطة تم إنشاؤها (xالجنرال، ضالجنرال). تم أيضًا ترجمة موضع القمة بشكل عشوائي من ملف (0, 0) الموقف ، وتم تقديم ميل عشوائي للملف أيضًا (15):

أين الخط إكسب يشير إلى إحداثيات الملف الشخصي التجريبي ، و (xا ف ب، ضا ف ب) هي الإحداثيات الجديدة للقمة وزاوية ميل الكاميرا ص.

خوارزمية لحساب التوتر السطحي والاختبار

تمت كتابة خوارزمية لتقييم التوتر السطحي باستخدام الطريقة الموضحة سابقاً. تم إنشاء ملفات تعريف شبيهة بالتجربة ثم تم اختبار أداء الخوارزمية: تقريب تقريبي لإحداثيات القمة ورقم Bond ، & بيتا، يجب أن يتم توفيرها من قبل المستخدم. باستخدام الشكل المناسب للمعادلة & # 9118 & # 93 ، يتم تصحيح الإحداثيات مع مراعاة موضع القمة وميل الكاميرا (القيمة الأولية المفترضة لـ & فاي هي 0) ، والقيم التجريبية لـ ثيتا و ص محسوبة. تقوم الخوارزمية بتهيئة نصف قطر الانحناء في القمة عن طريق ضبط عدة نقاط حول القمة على شكل دائرة. بهذه القيم لموضع القمة وميل زاوية الكاميرا والمعلمات ب و & بيتا تم تهيئة طريقة MatLab & reg Levenberg-Mardquardt المضمنة باستخدام وظيفة تقليل الاختلاف بين الطريقة المحسوبة والتجريبية ص لكل قيمة تجريبية ثيتا. لا يلزم الاستيفاء في هذه الطريقة لأن الحساب ص يمكن الحصول عليها في التجريبية ثيتا القيم. تم عرض أداء الخوارزمية - باستخدام التشكيلات الجانبية التجريبية المتولدة - في الجدول 1. تم العثور على اتفاق ممتاز بين القيم النظرية والقيم التي تم العثور عليها بواسطة الخوارزمية المكتوبة في هذا العمل. يتم تقديم الخوارزمية المكتوبة كملف m في الملحق.

تتم كتابة خوارزمية أخرى لتقييم التوتر السطحي للحلول من الصور الملتقطة أو فيديو قطرات قلادة. تم وصف هذه الخوارزميات على نطاق واسع ، لكن خوارزميتنا تستخدم شكل معادلة يونغ لابلاس المقترحة هنا.

تم اقتراح شكل جديد من معادلة يونغ لابلاس في إحداثيات تشبه القطبية. باستخدام هذه الطريقة ، يتم تجنب الاستيفاء في حساب التوتر السطحي من ملامح القطرة التجريبية. أظهر تطبيق الخوارزمية في MatLab & reg توافقًا ممتازًا بين النتائج التي تم الحصول عليها والنتائج الواردة في الأدبيات. علاوة على ذلك ، أظهر اختبار الخوارزمية أن التنفيذ في MatLab & reg يمكن استخدامه لحساب التوتر السطحي للحلول من بروفيلات الإسقاط.

1. أدامسون ، إيه دبليو وجاست ، أ. ب. الكيمياء الفيزيائية للأسطح. نيويورك: John Wiley & amp Sons، Inc. 1996. pp. 784. [& # 160Links & # 160]

2. تشين ، ب. بوليكوفا ، ز. بيس- أسكياك ، سي آر ونومان ، إيه دبليو دراسة التفاعلات الجزيئية بين الدهون والبروتينات باستخدام قياسات التوتر السطحي الديناميكي: مراجعة. كول. تصفح. ب. 1999. 15: 313-324. [& # 160 روابط & # 160]

3. Makievski، A.V R.W & atildestneck، R. Grigoriev، D. O. Kr & atildegel، J. and Trukhin، D.V. متوازيات امتصاص البروتين التي تمت دراستها عن طريق تحليل الشكل المتناظر المحوري. كول. تصفح. أ. 1998. 143: 461-6. [& # 160 روابط & # 160]

4. Song ، B. Springer ، J. تحديد التوتر البيني من ملف تعريف إسقاط قلادة باستخدام معالجة الصور بمساعدة الكمبيوتر: 2. تجريبية. J. كول. واجهة Sci. 1996. 184: 77-91. [& # 160 روابط & # 160]

5. Río, O. I. d. Neumann, A. W. axisymmetric drop shape analysis: computational methods for the measurement of interfacial properties from the shape and dimensions of pendant and sessile drops. J. Coll. Intefac. Sci. 1997. 196: 136-47. [ Links ]

6. Song, B. Springer, J. Determination of interfacial tension from the profile of a pendant drop using computer-aided image processing: 1. theoretical. J. Coll. Interface Sci. 1996. 184: 64-76. [ Links ]

7. Hoorfar, M. Neumann, A. W. Recent progress in axisymmetric drop shape analysis (ADSA). Adv. Coll. Interfac. Sci. 2006. 121: 25-49. [ Links ]

8. Dingle, N. M. Tjiptowidjojo, K. Basaran, O. A. Harris, M. T. A finite element based algorithm for determining interfacial tension (ã) from pendant drop profiles. J. Coll. Interface Sci. 2005. 286: 647-60. [ Links ]

9. Álvarez, N. J. Walker, L. M. Anna, S. L. A non-gradient based algorithm for the determination of surface tension from a pendant drop: application to low Bond number drop shapes. J. Coll. Interfac. Sci. 2009. 333: 557-62. [ Links ]

10. Thiessen, D. B. Chione, D. J. McCreary, C. B. Krantz, W. B. Robust digital image analysis ofpendant drop shapes. J. Coll. Interface Sci. 1996. 177: 658-65. [ Links ]

11. Holgado-Terriza, J. A. Gómez-Lopera, J. F. Luque-Escamilla, P. L. Atae-Allah, C. Cabrerizo-Vílchez, M. A. Measurement of ultralow interfacial tension with ADSA using an entropic edge-detector. Coll. Surf. A. 1999. 156: 579-86. [ Links ]

12. Zuo, Y. Y. Ding, M. Li, D. and Neumann, A. W. Further development of axisymmetric drop shape analysis-captive bubble for pulmonary surfactant related studies. Biochem. Biophys. Acta. 2004. 1675: 12-20. [ Links ]

13. Zholob, S. A. Makievski, A. V. Miller, R. Fainerman, V. B. Optimisation of calculation methods for determination of surface tensions by drop profile analysis tensiometry. Adv. Coll. Interface Sci. 2007. 134-135: 322-9. [ Links ]

14. Bashforth, F. Adams, J. C. An attempt to test the theories of capillary act by comparing the theoretical and measured form of drops of fluid. Cambridge, Cambridge University Press. 1883. pp. 140. [ Links ]

15. Polyanin, A. D. Manzhirov, A. V. Handbook of mathematics for engineers and scientists. Boca Ratón, Chapman and Hall/CRC. 2007. pp. 1509. [ Links ]





/> All the contents of this journal, except where otherwise noted, is licensed under a Creative Commons Attribution License


Potential of a Uniform Sphere of Charge

The use of Poisson's and Laplace's equations will be explored for a uniform sphere of charge. In spherical polar coordinates, Poisson's equation takes the form:

but since there is full spherical symmetry here, the derivatives with respect to θ and φ must be zero, leaving the form

Examining first the region outside the sphere, Laplace's law applies.

Since the zero of potential is arbitrary, it is reasonable to choose the zero of potential at infinity, the standard practice with localized charges. This gives the value b=0. Since the sphere of charge will look like a point charge at large distances, we may conclude that

so the solution to LaPlace's law outside the sphere is

Now examining the potential inside the sphere, the potential must have a term of order r 2 to give a constant on the left side of the equation, so the solution is of the form

Substituting into Poisson's equation gives

Now to meet the boundary conditions at the surface of the sphere, r=R

The full solution for the potential inside the sphere from Poisson's equation is


12.4: Laplace's Equation in Polar Coordinates - Mathematics

Instructor: James Imamura
Office: 457 Willamette Hall
E-mail: [email protected]
Phone: 541-346-5212

Course: Physics 421: Mathematical Methods for Physicists
Course CRN: 15532
Text: Mathematical Methods in the Physical Science, 3rd Ed., Mary L. Boas
Class: 09:30-10:30, MWF, 00 REMOTE
Office Hours: Zoom, by appointment

  • Vector Algebra. Chapters 3.4,3.5,6.1-6.3: vector analysis and vector operations, addition, subtraction, multiplication (scalar, dot product, cross product), multiplication involving 3 or more vectors (Triple Scalar Product, Triple Vector Product, Laplace's Identity, and applications) vector functions. rotations (Chapter 3.7) and vectors as first rank tensors (and scalars as zero rank tenors) (Chapter 10.2). For additional enrichment and enjoyment on other transformations needed for Cartesian vectors, see 10.6. 10.6 not to be tested.
  • Vector Calculus. Chapter 6.4-6.12, parts of Chapter 4 (Partial Differentiation), Chapter 5 (Multipole Integrals, Applications of Integration), and Chapter 10 curvlinear coordinate systems and some Tensor Analysis.
  • Chapters 7 (Fourier Analysis), 8 (Ordinary Differential Equations), 12 (Series solutions of differential equation, Legendre, Bessel, Hermite, and Laguerre functions), Chapter 13 (Partial Differential Equations)

    Homework: 50 pts
    Tests will be take-home exams
    Test 1: 50 pts
    Test 2: 50 pts
    Final: 70 pts


Laplace equation in cylindrical coordinates

Solutions to the Laplace equation in cylindrical coordinates have wide applicability from fluid mechanics to electrostatics. Applying the method of separation of variables to Laplace’s partial differential equation and then enumerating the various forms of solutions will lay down a foundation for solving problems in this coordinate system . Finally, the use of Bessel functions in the solution reminds us why they are synonymous with the cylindrical domain.

1.1 Separation of Variables

Beginning with the Laplacian in cylindrical coordinates , apply the operator to a potential function and set it equal to zero to get the Laplace equation

First expand out the terms

Then apply the method of separation of variables by assuming the solution is in the form

Plug this into (2) and note how we can bring out the functions that are not affected by the derivatives

Divide by R ⁢ ( r ) ⁢ P ⁢ ( θ ) ⁢ Z ⁢ ( z ) and use short hand notation to get

“Separating” the z term to the other side gives

This equation can only be satisfied for all values if both sides are equal to a constant, λ , such that

Before we can focus on solutions, we need to further separate (4), so multiply (4) by r 2

As before, set both sides to a constant, κ

Now there are three differential equations and we know the form of these solutions. The differential equations of (3) and (5) are ordinary differential equations, while (6) is a little more complicated and we must turn to Bessel functions.

1.2 Axial Solutions ( z )

Following the guidelines setup in [Etgen] for linear homogeneous differential equations, the first step in solving

is to find the roots of the characteristic polynomial

Although, one can go forward using the square root , here we will introduce another constant, γ to imply the following cases. So if we want real roots, then we want to ensure a negative constant

and if we want complex roots, then we want to ensure a positive constant

Case 1 : λ ≤ 0 and real roots ( λ = - γ 2 ) .

For every real root, there will be an exponential in the general solution. The real roots are

Therefore, the solutions for these roots are

Combining these using the principle of superposition, gives the general solution,

Case 2 : λ > 0 and complex roots ( λ = γ 2 ) .

and the corresponding solutions

h 4 ⁢ ( z ) = C 5 ⁢ e 0 ⁢ cos ⁡ ( γ ⁢ z ) = C 5 ⁢ cos ⁡ ( γ ⁢ z )
h 5 ⁢ ( z ) = C 6 ⁢ e 0 ⁢ sin ⁡ ( γ ⁢ z ) = C 6 ⁢ sin ⁡ ( γ ⁢ z ) .

Combining these into a general solution yields

1.3 Azimuthal Solutions ( θ )

are in the most general sense obtained similarly to the axial solutions with the characteristic polynomial

Using another constant, ν to ensure positive or negative constants, we get two cases.

Case 1 : κ ≤ 0 and real roots ( κ = - ν 2 ) .

The solutions for these roots are then

Combining these for the general solution,

Case 2 : κ > 0 and complex roots ( κ = ν 2 ) .

and the corresponding solutions

h 4 ⁢ ( θ ) = C 5 ⁢ e 0 ⁢ cos ⁡ ( ν ⁢ θ ) = C 5 ⁢ cos ⁡ ( ν ⁢ θ )
h 5 ⁢ ( θ ) = C 6 ⁢ e 0 ⁢ sin ⁡ ( ν ⁢ θ ) = C 6 ⁢ sin ⁡ ( ν ⁢ θ ) .

Combining these into a general solution

For the first glimpse at simplification, we will note a restriction on κ that is used when it is required that the solution be periodic to ensure P is single valued

Then we are left with either the periodic solutions that occur with complex roots or the zero case. So not only

but also ν must be an integer, i.e.

Note, that ν = 0 , is still a solution, but to be periodic we can only have a constant

1.4 Radial Solutions ( r )

The radial solutions are the more difficult ones to understand for this problem and are solved using a power series. The two types of solutions generated based on the choices of constants from the θ and z solutions (excluding non-periodic solutions for P ) leads to the Bessel functions and the modified Bessel functions . The first step for both these cases is to transform (6) into the Bessel differential equation .

Case 1 : λ < 0 ( λ = - γ 2 ) , κ > 0 ( κ = ν 2 ) .

Substitute γ and ν into the radial equation (6) to get

Next, use the substitution

Therefore, the derivatives are

and make a special note that

Substituting these relationships into (10) gives us

Finally, multiply by R / x 2 to get the Bessel differential equation

Delving into all the nuances of solving Bessel’s differential equation is beyond the scope of this article, however, the curious are directed to Watson’s in depth treatise [Watson]. Here, we will just present the results as we did for the previous differential equations. The general solution is a linear combination of the Bessel function of the first kind J ν ⁢ ( r ) and the Bessel function of the second kind Y ν ⁢ ( r ) . Remebering that ν is a positive integer or zero.

Bessel function of the first kind:

Bessel function of the second kind (using Hankel’s formula):

Y ν ⁢ ( x ) = 2 ⁢ J ν ⁢ ( x ) ⁢ ( η + l ⁢ n ⁢ ( x 2 ) ) - ( x 2 ) - ν ⁢ ∑ m = 0 ν - 1 ( ν - m - 1 ) ! m ! ⁢ ( x 2 ) 2 ⁢ m
- ∑ m = 0 ∞ ( - 1 ) m ⁢ ( x 2 ) ν + 2 ⁢ m m ! ⁢ ( ν + m ) ! ⁢ < 1 1 + 1 2 + … + 1 m + 1 1 + 1 2 + … + 1 ν + m >.

For the unfortunate person who has to evaluate this function, note that when m = 0 , the singularity is taken care of by replacing the series in brackets by

Some solace can be found since most physical problems need to be analytic at x = 0 and therefore Y ν ⁢ ( x ) breaks down at l ⁢ n ⁢ ( 0 ) . This leads to the choice of constant C 2 to be zero.

Case 2 : λ > 0 ( λ = γ 2 ) , κ > 0 ( κ = ν 2 ) .

Using the previous method of substitution, we just get the change of sign

This leads to the modified Bessel functions as a solution, which are also known as the pure imaginary Bessel functions. The general solution is denoted

where I ν is the modified Bessel function of the first kind and K ν is the modified Bessel function of the second kind

1.5 Combined Solution

Keeping track of all the different cases and choosing the right terms for boundary conditions is a daunting task when one attempts to solve Laplace’s equation. The short hand notation used in [Kusse] and [Arfken] will be presented here to help organize the choices as a reference. It is important to remember that these solutions are only for the single valued azimuth cases ( κ = ν 2 ) .

Once the separate solutions are obtained, the rest is simple since our solution is separable

So we just combine the individual solutions to get the general solutions to the Laplace equation in cylindrical coordinates.


Fourier Series Solution of Laplace's Equation

قم بتنزيل الفيديو من iTunes U أو Internet Archive.

وصف: Around every circle, the solution to Laplace's equation is a Fourier series with coefficients proportional to r n . On the boundary circle, the given boundary values determine those coefficients.

Instructor: Prof. Gilbert Strang

Examples of Fourier Series

Fourier Series Solution of .

GILBERT STRANG: OK. So this is using Fourier series. So I had to pick an equation where we were given a function, and not just a couple of initial values. So I made the equation a partial differential equation. The most famous one, Laplace's equation.

So this is the setup. And you'll see how Fourier series comes in. We're in a circle. I'm going to make this a nice model problem.

So inside this circle we're solving Laplace's equation. Laplace's equation was the second derivative of u in the x direction, plus the second derivative of u in the y direction, is 0. That's the way heat, temperature, distributes itself when you leave it alone.

In this problem I'm going to put a source of heat at that point. So it'll be a point source. A delta function. And on the rest of the boundary, temperature 0. So the boundary function is a delta function with a spike at that one point, and 0 elsewhere.

And our problem is to solve the Laplace's equation inside the circle. And we use polar coordinates because we've got a circle. So there is the equation with x and y, but we really are thinking r and theta. And the reason is, you get beautiful solutions to this equation using r and theta.

And that was a family of solutions. r to the n-th cos n theta just works. And so does r to the n-th sine n theta. And that's for every n.

So we have-- we can combine. We have a linear equation. We can take combinations of solutions with coefficients a n in the cosines, and bn in the sines.

And now here's the key step. Put in r equal 1. Put r equal 1. And then this solution, u at 1 and theta-- r equal 1-- is the boundary. It's the circle.

And that's where we're given u of 1 to be the delta function. The point source. The delta function. Delta of theta. The point source at theta equals 0.

So you see our job. That function, that boundary condition, is supposed to tell us the a's and the b's. And then we have our solution.

So by putting r equal to 1 in this formula, we're supposed to get the delta function. So let me put r equal 1. Easy to do. It's the sum of a n, 1 to the n-th, cos n theta, plus the sum of bn, 1 to the n-th, sine n theta, is supposed to match the delta function.

So that's the Fourier series for the delta function. That's the whole point. That we use a Fourier series expression for the boundary function, whatever that boundary function is. Here it's a particularly nice neat one.

And actually, the delta function is an even function. It's 0 at theta and it's 0 at minus theta. So changing theta to minus theta still leaves me the spike at 0. So because it's an even function, I won't see any signs. I won't see any odd functions. The sine theta.

And I have an easy time to find the coefficients a n of the cosines. Actually, we did that directly from the formula for the a n's. Let me just remember that formula. The formula was a0 was 1 over 2 pi times the average.

a0 is the average value of the temperature. And the temperature on the boundary is delta theta. And that integrates to 1, and we get the answer 1 over 2 pi. That's the average temperature.

Isn't that a little weird? The temperature 0 except at one point. At that point it's a delta function with the coefficient 1 outside it. And then we get 1 over 2 pi as the average.

The other a n's, the coefficients of the cosines, are 1 over pi, times the integral of our delta function, times cos n theta d theta. And the delta function, that point source, picks out that number at theta equals 0. And that number is 1. So I'm getting 1 over pi. So finally I now know the a's and b's.

When I put those in, that tells me the solution. The solution-- now I can put r back in the picture-- it's a sum. Well, let me take the a0 term. The a0 is 1 over 2 pi-- that's the constant, that's the average-- plus the sum of 1 over pi cos n theta, from n equals 1 to infinity.

And r to the n-th. Sorry. r to the n-th.

So you see what happens. When r is 1, we have the Fourier series for the delta function. That's the very exceptional function that's given on the boundary.

As soon as r is less than 1, these r to the n-th's get small, and we have a series that adds up to a reasonable sum. And we can actually-- it's possible to add up that series. It's possible to add up that series. It's a geometric series if you switch from cosines to exponentials. That's usually the good way to get good formulas.

And here, so you can add it up. And I think there's a 1 over 2 pi still there. And I think it's 1 minus r squared, over 1 plus r squared, minus 2r cos theta.

Let me just be sure I got that right. Yep, looks good. Looks good.

And we could check if it's good. Let's take theta equal 0. So if we take theta equal 0. Let me draw that circle again. Theta equal 0. We're coming out on that ray. And we're expecting to see infinity when we get there, at r equal 1.

So theta equal 0. So let me just put that. On the ray, theta equal 0.

This is what you should do. We have a formula for all r and theta, but let's look at some particular points to see what's happening.

So along that ray, where theta is 0, I have 1 over 2 pi, 1 minus r squared, over 1 plus r squared, minus 2r. Because cos theta is 1. And 1 plus r squared, minus 2r, is 1 minus r squared. Right? Because cos theta is 1 on this ray. Theta is 0. Cos theta is 1.

And now 1 minus r will factor out of this. And I think we get 1 plus r. And we still have a 1 minus r down below. I like that. You don't often, for partial differential equations, get some nice expression for the solution. So that's the solution.

And as r goes to 1, this solution blows up. Right. The temperature is infinite on the boundary, but the temperature is something reasonable inside.

And at r equals 0, I have 1 over 2 pi. Well, of course. It's the average value. Right at the center that temperature is going to be the average on the boundary.

That's a natural key property of Laplace's equation. It averages everything. Actually, if I take a little circle in anywhere, those temperature in the center of that circle would be the average of the temperatures around the little circle. For all the circles. It's just the Laplace's equation. Solving Laplace's equation averages everything.

And the result is that the temperature function sort of smoothes out as I come in. Around the boundary it's far from smooth. There's a big jolt at theta equals 0. But if I look on that circle, or that circle, or this circle, the temperature is a nice smooth function.

And it's never going to be above the maximum on the boundary. And it's never going to be below the minimum on the boundary. Everything's being averaged.

So that's, you see, a use of the Fourier series. For one particular function. I could do another function, but I don't think I will.

I could take the function that's 1 on the top of the circle and minus 1 on the bottom half of the circle. OK, that's a function with a jump, but not a delta function. So we would see a Fourier series that would give us the a's and the b's. There would probably only be b's in that case. Sine. Sine terms. And we'd get an answer.

May I just, while I'm talking about averages, add one final comment. Usually, for a complicated region, we can't solve Laplace's equation with formulas. It's not possible. We can't find sines and cosines that match some crazy boundary.

So we have to replace Laplace's equation. So I'll write Laplace's equation again. That goes into u-- we have a region. And we carve it out with a grid.

And then at each point on the grid, we have an equation connecting the value of u at that point. Say u0 at the center. With u east, maybe, u west, u north, and u south.

So we have an equation, and I want to write that equation down. u center is just going to be the average. It's just going to be 1/4 of u east, u west, u north, and u south.

So that'll be true at-- that equation will hold. The unknowns are all these u's. The u's of all the mesh points. And I have an equation at every mesh point.

So I have the same number of equations from the mesh points as unknowns at the mesh points. I solve that big system, and that gives me a solution u. An approximate solution u to Laplace's equation. So this would be called Laplace's difference equation, or Laplace's five-point scheme, because it uses five points in that average.


شاهد الفيديو: لابلاس في الصوره القطبيهLec11 (ديسمبر 2021).