مقالات

6.5: معادلة بلاك شول - الرياضيات


تحدد حلول معادلة بلاك-شول قيمة المشتق ، على سبيل المثال خيار الشراء أو خيار البيع ، والذي يعتمد على الأصل. يمكن أن يكون الأصل سهمًا أو مشتقًا منه ، على سبيل المثال. من حيث المبدأ ، هناك عدد لا نهائي من هذه المنتجات ، على سبيل المثال مشتقات رقم n. معادلة بلاك شول لقيمة (V (S، t) ) للمشتق هي

ابدأ {المعادلة}
التسمية {BS1}
V_t + frac {1} {2} sigma ^ 2 S ^ 2V_ {SS} + rSV_S-rV = 0 mbox {in} Omega،
نهاية {المعادلة}

أين ثابتة (T ) ، (0

$$ Omega = {(S، t) in mathbb {R} ^ 2: 0

و ( سيجما ) ، (r ) ثوابت موجبة. بتعبير أدق ، ( سيجما ) هو تقلب الأصول الأساسية (S ) ، (r ) هو سعر الفائدة المضمون لاستثمار خالي من المخاطر.

إذا كانت (S (t) ) هي قيمة الأصل في الوقت (t ) ، فإن (V (S (t) ، t) ) هي قيمة المشتق في الوقت (t ) ، حيث (V (S ، t) ) هو حل مشكلة قيمة حد أولية مناسبة لمعادلة Black-Scholes ، انظر أدناه.

تتبع معادلة بلاك شول من Lemma في Ito في ظل بعض الافتراضات حول الوظيفة العشوائية المرتبطة بـ (S (t) ) ، راجع [26] ، على سبيل المثال.

خيار الشراء

هنا (V (S، t): = C (S، t) ) ، حيث (C (S، t) ) هي قيمة خيار الاستدعاء (الأوروبي). في هذه الحالة ، لدينا الشروط الجانبية التالية لـ ( ref {BS1}):

ابدأ {eqnarray}
التسمية {BSC1}
ج (S ، T) & = & max {S-E ، 0 }
التسمية {BSC2}
ج (0 ، ر) & = & 0
التسمية {BSC3}
C (S، t) & = & S + o (S) mbox {as} S to infty، mbox {uniformly in} t،
نهاية {eqnarray}

حيث (E ) و (T ) ثوابت موجبة ، (E ) هو سعر الممارسة و (T ) انتهاء الصلاحية.

الشرط الجانبي ( المرجع {BSC1}) يعني أن قيمة الخيار ليس لها قيمة في الوقت (T ) إذا كان (S (T) le E ) ، الشرط ( ref {BSC2}) يقول ذلك ليس من المنطقي شراء الأصول إذا كانت قيمة الأصل صفرًا ، فالشرط ( المرجع {BSC3}) يعني أننا نشتري الأصول إذا أصبحت قيمتها كبيرة ، انظر الشكل 6.5.1 ، حيث يشار إلى الشروط الجانبية.


الشكل 6.5.1: الشروط الجانبية لخيار الشراء

نظرية 6.4 (صيغة بلاك شول لخيارات الاتصال الأوروبية).
الحل (C (S، t) )، (0 le S < infty )، (0 le t le T ) ، لمشكلة القيمة الأولية ( المرجع {BS1} ) - ( ref {BSC3}) معروف صراحة ومُعطى بواسطة

$$ C (S، t) = SN (d_1) -Ee ^ {- r (T-t)} N (d_2) ، $$

أين
ابدأ {eqnarray *}
N (x) & = & frac {1} { sqrt {2 pi}} int _ {- infty} ^ x e ^ {- y ^ 2/2} dy،
d_1 & = & frac { ln (S / E) + (r + sigma ^ 2/2) (T-t)} { sigma sqrt {T-t}} ،
d_2 & = & frac { ln (S / E) + (r- sigma ^ 2/2) (T-t)} { sigma sqrt {T-t}}.
نهاية {eqnarray *}

دليل - إثبات. البدائل

$$ S = Ee ^ x، t = T- frac { tau} { sigma ^ 2/2}، C = Ev (x، tau) ]

غير المعادلة ( المرجع {BS1}) إلى

ابدأ {المعادلة}
التسمية {BS2}
v_ tau = v_ {xx} + (k-1) v_x-kv ،
نهاية {المعادلة}

أين

$$ k = frac {r} { sigma ^ 2/2}. ]

الشرط الأولي ( المرجع {BS2}) يعني

ابدأ {المعادلة}
التسمية {BS3}
الخامس (س ، 0) = max {e ^ x-1،0 }.
نهاية {المعادلة}

لحل ( ref {BS2}) نصنع ansatz

$$ v = e ^ { alpha x + beta tau} u (x، tau)، ]

حيث ( alpha ) و ( beta ) ثوابت سنحددها على النحو التالي. بإدخال ansatz في المعادلة التفاضلية ( المرجع {BS2}) ، نحصل على

$$ beta u + u_ tau = alpha ^ 2u + 2 alpha u_x + u_ {xx} + (k-1) ( alpha u + u_x) -ku. ]

اضبط ( beta = alpha ^ 2 + (k-1) alpha-k ) واختر ( alpha ) بحيث (0 = 2 alpha + (k-1) ) ، ثم ( u_ tau = u_ {xx} ). هكذا

ابدأ {المعادلة}
التسمية {BS4}
v (x، tau) = e ^ {- (k-1) x / 2- (k + 1) ^ 2 tau / 4} u (x، tau)،
نهاية {المعادلة}

حيث (u (x، tau) ) هو حل لمشكلة القيمة الأولية

ابدأ {eqnarray *}
u_ tau & = & u_ {xx}، - infty 0
ش (س ، 0) & = & u_0 (س) ،
نهاية {eqnarray *}

مع

$$ u_0 (x) = max left {e ^ {(k + 1) x / 2} -e ^ {(k-1) x / 2} ، 0 right }. ]

حل مشكلة القيمة الأولية هذه تحصل عليه صيغة بواسون

$$ u (x، tau) = frac {1} {2 sqrt { pi tau}} int _ {- infty} ^ {+ infty} u_0 (s) e ^ {- (xs ) ^ 2 / (4 tau)} ds. ]

تغيير المتغير بواسطة (q = (s-x) / ( sqrt {2 tau}) ) ، نحصل على
ابدأ {eqnarray *}
u (x، tau) & = & frac {1} { sqrt {2 pi}} int _ {- infty} ^ {+ infty} u_0 (q sqrt {2 tau} + x ) ه ^ {- q ^ 2/2} dq
& = & I_1-I_2،
نهاية {eqnarray *}
أين
ابدأ {eqnarray *}
I_1 & = & frac {1} { sqrt {2 pi}} int _ {- x / ( sqrt {2 tau)}} ^ { infty} e ^ {(k + 1) (x + q sqrt {2 tau})} ه ^ {- q ^ 2/2} dq
I_2 & = & frac {1} { sqrt {2 pi}} int _ {- x / ( sqrt {2 tau)}} ^ { infty} e ^ {(k-1) (x + q sqrt {2 tau})} ه ^ {- q ^ 2/2} dq.
نهاية {eqnarray *}
تظهر عملية حسابية أولية ذلك
ابدأ {eqnarray *}
I_1 & = & e ^ {(k + 1) x / 2 + (k + 1) ^ 2 tau / 4} N (d_1)
I_2 & = & e ^ {(k-1) x / 2 + (k-1) ^ 2 tau / 4} N (d_2) ،
نهاية {eqnarray *}
أين
ابدأ {eqnarray *}
d_1 & = & frac {x} { sqrt {2 tau}} + frac {1} {2} (k + 1) sqrt {2 tau}
d_2 & = & frac {x} { sqrt {2 tau}} + frac {1} {2} (k-1) sqrt {2 tau}
N (d_i) & = & frac {1} { sqrt {2 pi}} int _ {- infty} ^ {d_i} e ^ {- s ^ 2/2} ds، i = 1 ، 2.
نهاية {eqnarray *}

دمج صيغة (u (x، tau) ) والتعريف ( المرجع {BS4}) لـ (v (x، tau) ) والإعدادات السابقة (x = ln (S / E) ) ) و ( tau = sigma ^ 2 (Tt) / 2 ) و (C = Ev (x، tau) ) ، نحصل أخيرًا على صيغة النظرية 6.4.

بشكل عام ، لم يتم تعريف حل مشكلة القيمة الأولية لمعادلة الحرارة بشكل فريد ، انظر على سبيل المثال [10] ، ص 206.

التفرد. يأتي التفرد من افتراض النمو ( المرجع {BSC3}). لنفترض أن هناك حلين لـ ( ref {BS1}) ، ( ref {BSC1}) - ( ref {BSC3}) ، فإن الفرق (W (S، t) ) يفي بالمعادلة التفاضلية ( ref {BS1}) والشروط الجانبية

$$ W (S، T) = 0، W (0، t) = 0، W (S، t) = O (S) mbox {as} S to infty ]

بشكل موحد في (0 le t le T ).

من الاعتبار الأساسي الأقصى ، راجع التمرين ، يتبع ذلك (| W (S، t) | le cS ) في (S ge 0 ) ، (0 le t le T ). الثابت (c ) مستقل عن (S ) و (t ). من تعريف (u ) نرى ذلك
$$
u (x، tau) = frac {1} {E} e ^ {- alpha x- beta tau} W (S، t)،
$$
حيث (S = Ee ^ x ) ، (t = T-2 tau / ( sigma ^ 2) ). وبالتالي لدينا خاصية النمو
ابدأ {المعادلة}
التسمية {wachs1}
| u (x، tau) | le Me ^ {a | x |}، x in mathbb {R} ^ 1،
نهاية {المعادلة}
مع ثوابت موجبة (م ) و (أ ). ثم حل (u_ tau = u_ {xx} ) ، في (- infty (0 le tau le sigma ^ 2 T / 2 ) ، مع الحالة الأولية (u (x ، 0) = 0 ) محدد بشكل فريد في فئة الوظائف التي تلبي شرط النمو ( المرجع {wachs1}) ، راجع الاقتراح 6.2 من هذا الفصل.
هذا هو ، (u (x ، tau) equiv 0 ).

(علبة)

ضع خيارا

هنا (V (S، t): = P (S، t) ) ، حيث (P (S، t) ) هي قيمة خيار put (الأوروبي). في هذه الحالة ، لدينا الشروط الجانبية التالية لـ ( ref {BS1}):
ابدأ {eqnarray}
التسمية {BSP1}
الفوسفور (S ، T) & = & max {E-S ، 0 }
التسمية {BSP2}
P (0، t) & = & Ee ^ {- r (T-t)}
التسمية {BSP3}
P (S، t) & = & o (S) mbox {as} S to infty، mbox {uniformly in} 0 le t le T.
نهاية {eqnarray}
هنا (E ) هو سعر التمرين و (T ) انتهاء الصلاحية.

الشرط الجانبي ( المرجع {BSP1}) يعني أن قيمة الخيار ليس لها قيمة في الوقت (T ) إذا كان (S (T) ge E ) ، الشرط ( ref {BSP2}) يشير إلى ذلك لا معنى لبيع الأصول إذا كانت قيمة الأصل صفرًا ، فالشرط ( المرجع {BSP3}) يعني أنه لا معنى لبيع الأصول إذا أصبحت قيمتها كبيرة.

نظرية 6.5 (صيغة بلاك شول لخيارات البيع الأوروبية).

الحل (P (S، t) )، (0 ( المرجع {BS1}), ( المرجع {BSP1})-( المرجع {BSP3}) معروف بشكل صريح ويتم تقديمه بواسطة

$$ P (S، t) = Ee ^ {- r (T-t)} N (-d_2) -SN (-d_1) $$
حيث (N (x) ) ، (d_1 ) ، (d_2 ) هي نفسها كما في النظرية 6.4.

دليل - إثبات. تتبع معادلة خيار البيع نفس الحسابات كما في حالة خيار الشراء أو من تعادل البيع والشراء.

$$ C (S، t) -P (S، t) = S-Ee ^ {- r (T-t)} ]

و من

$$ N (x) + N (-x) = 1. ]

فيما يتعلق بالتكافؤ في وضع المكالمة ، انظر التمرين. انظر أيضًا [26] ، ص 40 ، للحصول على حجة إرشادية تؤدي إلى صيغة تكافؤ الشراء والاستدعاء.

(علبة)


صيغة بلاك شول

في عام 1973 ، نشر F. Black و M. Scholes معادلة لسعر العقد المالي الذي يعتمد سداده في وقت لاحق بطريقة غير خطية على قيمة أصل معين في ذلك الوقت. لقد حققت صيغة بلاك شول نجاحًا ملحوظًا سواء من حيث الاستخدام في الصناعة المالية أو كنقطة انطلاق لمزيد من البحث الرياضي. في الوقت الحاضر (2000) ، نمت نظرية تسعير ما يسمى بالعقود المشتقة والموضوعات ذات الصلة إلى تخصص رياضي متطور. مسح المنطقة متاح ، على سبيل المثال في [a8].

أفضل مثال معروف لعقد المشتقات هو خيار الشراء الأوروبي ، والذي يمنح المالك الحق ، ولكن ليس الالتزام ، بالحصول على أصل معين (الأساسي) في وقت مستقبلي محدد (وقت انتهاء الصلاحية) بسعر محدد (سعر الإضراب). إذا تم الإشارة إلى قيمة الأصل الأساسي في وقت انتهاء الصلاحية $ T $ بواسطة $ S _ $ وتم الإشارة إلى سعر التنفيذ بواسطة $ K $ ، فإن قيمة خيار Call عند انتهاء الصلاحية هي $ operatorname (S _ - K، 0) $. الصيغة التي قدمها Black and Scholes لقيمة خيار الشراء الأوروبي في وقت $ t & lt T $ هي

يبدأ بطاقة شعار C (t) = S (t) N (d _ <1>) - K e ^ <- gamma (T - t)> N (d _ <2>) ، end

يبدأ د _ <1> = frac < اسم التشغيل <السجل> (S (t) / K) + (r + sigma ^ <2> / 2) (T - t)> < sigma sqrt > ، النهاية

يبدأ د _ <2> = frac < اسم التشغيل <السجل> (S (t) / K) + (r - sigma ^ <2> / 2) (T - t)> < sigma sqrt >. نهاية

معنى الرموز هو كما يلي: $ C (t) $ هو السعر في الوقت $ t $ لخيار Call الذي ينتهي في الوقت $ T & gt t $ مع سعر التنفيذ $ K $ S (t) $ هو السعر من الأصل الأساسي في الوقت $ t $ N (.) $ هي دالة التوزيع العادية التراكمية $ r $ هي معدل الفائدة و $ sigma $ هي معلمة تُعرف باسم تقلب الأصل الأساسي.

يمكن ذكر النظرية الكامنة وراء صيغة بلاك-شول على النحو التالي. دع العملية العشوائية ذات القيمة الحقيقية $ S _ $ والدالة الحتمية $ B _ $ تفي بمعادلات Itô التفاضلية العشوائية

يبدأ بطاقة شعار د S _ = mu S _ d t + sigma S _ d w _ ، end

يبدأ د B _ = r B _ d t، end

حيث $ mu $ و $ sigma $ و $ r $ ثوابت ، و $ w _ $ يشير إلى حركة براونية قياسية (راجع أيضًا المعادلة التفاضلية العشوائية للعملية العشوائية). حدد إستراتيجية محفظة التمويل الذاتي كزوج من العمليات $ ( phi _ ، psi _ ) $ تتكيف مع الترشيح المرتبط بالحركة البراونية في (a2) ، بحيث تكون العملية محددة بواسطة $ يرضي V _ = phi _ S _ + psi _ B _ $ (عملية قيمة المحفظة)

يبدأ د V _ = phi _ d S _ + psi _ d B _ . نهاية

(التفسير الاقتصادي لهذه الصيغة هو عدم إضافة أي أموال إلى المحفظة أو سحبها منها ، ومن هنا مصطلح "التمويل الذاتي".) بالنظر إلى الأوقات الثابتة $ t $ و $ T $ مع $ t & lt T $ والأصل الحالي value $ S (t) = S _ $ ، توجد استراتيجية تمويل ذاتي $ ( phi، psi) $ مُعرَّفة على $ [t، T] $ مثل $ V _ = operatorname (S _ - K، 0) $ يكاد يكون مؤكدًا فقط إذا وفقط إذا كان $ V _ = C (t) $ ، حيث $ C (t) $ يُعطى بواسطة (a1).

في إثبات النظرية أعلاه ، يتضح أن وزن المحفظة يعالج $ phi _ $ و $ psi _ $ يمكن إنشاؤه بالفعل بواسطة $ phi _ = phi (t ، S _ ) $ و $ psi _ = psi (t، S _ ) $ حيث $ phi (.،.) $ و $ psi (.،.) $ هي وظائف سلسة. زوج الوظائف $ ( phi، psi) $ يسمى استراتيجية التحوط. بالنسبة للممارسين ، فإن حساب استراتيجيات التحوط لا يقل أهمية عن حساب الأسعار.

لقد تم تمديد صيغة Black – Scholes في اتجاهات عديدة. يمكن للمرء أن يفكر في الخيارات التي تعتمد على القيمة النهائية $ S _ $ بطرق أخرى ، والخيارات التي لا تعتمد فقط على القيمة النهائية ولكن أيضًا على المسار الذي يسلكه المتغير $ S _ $ والخيارات الموجودة على علاوة على ذلك ، يمكن للمرء أن يأخذ في الاعتبار عدة متغيرات أساسية مختلفة للعمليات التي تتبعها المتغيرات الأساسية. تسمى الخيارات التي تم تحديد وقت انتهاء صلاحيتها بالخيارات الأوروبية ، وهناك أيضًا خيارات أمريكية ، تنتهي صلاحيتها في وقت محدد من قبل المالك. في عدد من الحالات ، يمكن إعطاء حلول تحليلية مماثلة لصيغة بلاك-شولز ، ولكن في العديد من الحالات الأخرى ، يتعين على المرء أن يلجأ إلى الأساليب العددية. يمكن التمييز بين التقنيات التحليلية والرقمية في نوعين. يعتمد أحد الأساليب على توصيف قيمة الخيار من حيث توقع قيمة الخيار عند انتهاء الصلاحية بموجب ما يسمى بمقياس مارتينجال المكافئ ، والذي يرتبط بالإجراء المعطى في الأصل من خلال تحويل جيرسانوف (راجع أيضًا مارتينجال) عملية عشوائية مضبوطة). يستخدم الأسلوب الثاني معادلة الانتشار التي يمكن كتابتها لتطور سعر الخيار كدالة للمتغيرات الأساسية. ترتبط المقاربتان عبر صيغة Feynman-Kac.


عروض خاصه وترويجات للمنتج

إعادة النظر

& # 34 بالنسبة للمهندسين الماليين الناشئين ، هذه مقدمة رائعة للرياضيات التي تقوم عليها نظرية تسعير المشتقات. كما أنه يوفر الكثير من التمارين التي ستساعدك على بناء الإتقان. & # 34Dineen فاز بجائزة (أفضل كتب لعام 2006) لتقديمه علاجًا للرياضيات في الهندسة المالية يمكن الوصول إليه وصارمته في نفس الوقت. & # 34 ---- جلين هولتون ، مؤسس Contingency Analysis and Riskbook.com

& # 34. اختيار ممتاز. يقدم هذا الكتاب عرضًا شاملاً للرياضيات الكامنة وراء معادلة تسعير المشتقات. إنه مكتوب لعلماء الرياضيات وكذلك الطلاب الماليين أو المهنيين. & # 34 ---- مراجعات MAA

& # 34. من أهداف المؤلف إغراء الطلاب بجمال الرياضيات ، وهو ما يوضحه جيدًا. إذا نجح مدرس الدورة الذي يقوم بالتدريس من الكتاب في ذلك ، فأعتقد أن الدورة ستحقق نجاحًا كبيرًا. & # 34 يتفوق على معظم منافسيها. مجموعة متنوعة من التمارين والحلول الجميلة. & # 34 ---- مراجعات رياضية


بلاك شولز: الصيغة الرياضية المرتبطة بالانهيار المالي

& # x27s ليس كل يوم يكتب شخص ما معادلة تنتهي بتغيير العالم. لكن هذا يحدث في بعض الأحيان ، ولا يتغير العالم دائمًا للأفضل. لقد قيل إن إحدى الصيغ المعروفة باسم Black-Scholes ، إلى جانب أحفادها ، ساعدت في تفجير العالم المالي.

تمت كتابة كتاب بلاك شول لأول مرة في أوائل السبعينيات ، لكن قصته بدأت قبل ذلك ، في بورصة دوجيما للأرز في اليابان في القرن السابع عشر حيث تمت كتابة العقود الآجلة لتجار الأرز. ينص عقد مستقبلي بسيط على أنني سأوافق على شراء الأرز منك في غضون عام واحد و 27 ثانية ، بسعر نتفق عليه الآن.

بحلول القرن العشرين ، كان مجلس شيكاغو للتجارة يوفر سوقًا للمتداولين للتداول ليس فقط في العقود الآجلة ولكن في عقود الخيارات. مثال على أحد الخيارات هو العقد الذي نتفق فيه على أنه يمكنني شراء الأرز منك في أي وقت خلال العام المقبل ، بسعر نتفق عليه الآن - لكنني لست مضطرًا لذلك إذا لم أرغب في ذلك.

يمكنك أن تتخيل لماذا قد يكون هذا النوع من العقود مفيدًا. إذا كنت أدير سلسلة كبيرة من مطاعم الهمبرغر ، لكنني لا أعرف كمية اللحم البقري التي سأحتاج إلى شرائها العام المقبل ، وأنا قلق من أن سعر اللحم البقري قد يرتفع ، حسنًا - كل ما أحتاجه هو شراء بعض خيارات على لحوم البقر.

ولكن هذا يؤدي بعد ذلك إلى مشكلة حساسة للغاية. كم يجب أن أدفع مقابل خيارات لحوم البقر هذه؟ ما هي قيمتها؟ وهذا هو المكان الذي يمكن أن تساعد فيه هذه المعادلة التي غيرت العالم ، صيغة بلاك شول.

& quot المشكلة التي تحاول حلها & # x27s هي تحديد قيمة الحق ، ولكن ليس الالتزام ، لشراء أصل معين بسعر محدد ، في غضون أو في نهاية فترة زمنية محددة ، كما يقول البروفيسور مايرون سكولز ، الأستاذ المالية في كلية الدراسات العليا للأعمال بجامعة ستانفورد - وبالطبع - مخترع مشارك لصيغة بلاك شولز.

كان الشباب سكولز مفتونًا بالتمويل. عندما كان مراهقًا ، أقنع والدته بإنشاء حساب حتى يتمكن من التداول في سوق الأوراق المالية. أحد الأشياء المدهشة في سكولز هو أنه طوال فترة دراسته كطالب جامعي ثم طالب دكتوراه ، كان نصف أعمى. وهكذا ، كما يقول ، كان جيدًا جدًا في الاستماع والتفكير.

عندما كان يبلغ من العمر 26 عامًا ، أعادت عملية جراحية بصره إلى حد كبير. في العام التالي ، أصبح أستاذًا مساعدًا في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، وهناك عثر على لغز تسعير الخيارات.

كان أحد أجزاء اللغز هو سؤال المخاطرة هذا: قيمة خيار شراء لحوم البقر بسعر - لنقل - 2 دولار (1.23 جنيه إسترليني) للكيلوغرام من المفترض أن يعتمد على سعر اللحم البقري ، وكيفية سعر اللحم البقري. يتجول حول المكان.

لكن العلاقة بين سعر اللحم البقري وقيمة خيار اللحم البقري لا تختلف بطريقة مباشرة - إنها تعتمد على مدى احتمالية استخدام الخيار بالفعل. وهذا بدوره يعتمد على سعر الخيار وسعر اللحم البقري. يبدو أن جميع المتغيرات متشابكة بطريقة لا يمكن اختراقها.

عمل سكولز على حل المشكلة مع زميله ، فيشر بلاك ، واكتشف أنه إذا كنت أمتلك فقط المحفظة المناسبة من لحوم البقر ، بالإضافة إلى خيارات لشراء وبيع لحوم البقر ، فإن لدي محفظة لذيذة وخالية تمامًا من المخاطر. نظرًا لأنني أعرف بالفعل سعر اللحم البقري وسعر الأصول الخالية من المخاطر ، فمن خلال النظر إلى الفرق بينهما ، يمكنني تحديد سعر خيارات لحوم البقر هذه. هذه هي الفكرة الأساسية. التفاصيل معقدة للغاية.

& quot؛ ربما استغرقنا عامًا أو عامًا ونصف حتى نتمكن من حل معادلة بلاك-شول البسيطة والحصول عليها ، & quot؛ يقول سكولز. & quot ولكن كان لدينا الديناميكيات الأساسية الفعلية من قبل. & quot

تبين أن طريقة Black-Scholes ليست فقط طريقة لحساب قيمة الخيارات ولكن جميع أنواع الأصول المالية الأخرى. "لقد كنا مثل الأطفال في قصة حلوى بمعنى أننا وصفنا الخيارات في كل مكان ، وكانت الخيارات مضمنة في كل ما فعلناه في الحياة ،" يقول سكولز.

يقول إيان ستيوارت ، الذي يقول إيان ستيوارت ، الذي يجادل كتابه أن بلاك سكولز كان اختراعًا خطيرًا ، إن بلاك وشولز كانا & # x27t الأطفال الوحيدين في متجر الحلوى.

& quot؛ ما فعلته المعادلة هو منح الجميع الثقة لتداول الخيارات وبسرعة كبيرة ، خيارات مالية أكثر تعقيدًا تُعرف باسم المشتقات ، & quot؛ كما يقول.

اعتقد سكولز أن معادلته ستكون مفيدة. لم يتوقع & # x27t أن يغير وجه التمويل. لكن سرعان ما أصبح من الواضح أنه سيكون كذلك.

& quot حول الوقت الذي نشرنا فيه هذا المقال ، أنه & # x27s عام 1973 ، في وقت واحد أو بعد شهر تقريبًا ، بدأت بورصة خيارات مجلس شيكاغو في تداول خيارات الشراء على 16 سهمًا ، 'يتذكر.

كان سكولز قد انتقل للتو إلى جامعة شيكاغو. كان هو وزملاؤه يدرسون معادلة ومنهجية بلاك شول للطلاب لعدة سنوات.

& quot؛ كان هناك العديد من المتداولين الشباب الذين تلقوا دورات في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا أو شيكاغو في استخدام تقنية تسعير الخيارات. من ناحية أخرى ، كان هناك مجموعة من المتداولين الذين لم يكن لديهم سوى الحدس والخبرة السابقة. وفي فترة زمنية قصيرة جدًا ، تم القضاء على اللاعبين البديهي بشكل أساسي من قبل اللاعبين الأكثر منهجية الذين لديهم تقنية التسعير هذه.

هذه كانت البداية فقط.

& quot؛ بحلول عام 2007 ، كانت تجارة المشتقات في جميع أنحاء العالم كوادريليون (ألف مليون) دولار أمريكي - وهذا يعادل 10 أضعاف إجمالي إنتاج السلع على كوكب الأرض على مدار تاريخه بالكامل ، كما يقول ستيوارت. & quotOK ، نحن & # x27re نتحدث عن الإجماليات في تجارة ثنائية الاتجاه ، فالناس يشترون والناس يبيعون وأنت & # x27 تضيفها كلها كما لو أنها لا تلغي ، لكنها كانت صفقة ضخمة. & quot

اجتازت صيغة بلاك شول اختبار السوق. ولكن مع اعتماد البنوك وصناديق التحوط أكثر فأكثر على معادلاتها ، أصبحت أكثر وأكثر عرضة للأخطاء أو المبالغة في التبسيط في الرياضيات.

& quot المعادلة مبنية على فكرة أن الحركات الكبيرة نادرة جدًا في الواقع. تكمن المشكلة في أن الأسواق الحقيقية لديها هذه التغييرات الكبيرة في كثير من الأحيان التي يتوقعها هذا النموذج ، كما يقول ستيوارت. & quot والمشكلة الأخرى هي أن الجميع & # x27s يتبعون نفس المبادئ الرياضية ، لذلك سيحصلون جميعًا على نفس الإجابة. & quot

الآن هذه كانت مشاكل معروفة. ما لم يكن واضحًا هو ما إذا كانت المشكلات صغيرة بما يكفي لتجاهلها ، أو أنها مفهومة جيدًا بما يكفي لإصلاحها. ثم في أواخر التسعينيات ، حدث شيئان رائعان.

& quot؛ حصل المخترعون على جائزة نوبل في الاقتصاد & quot؛ يقول ستيوارت. & quot. أود أن أزعم أنهم يستحقون تمامًا الحصول عليها. & quot

توفي فيشر بلاك شابًا في عام 1995. عندما فاز سكولز في عام 1997 بجائزة نوبل التذكارية ، لم يشاركها مع بلاك بل مع روبرت ميرتون ، وهو خبير آخر في تسعير الخيارات.

ألهم عمل Scholes & # x27 جيلًا من المعالجات الرياضية في وول ستريت ، وبحلول هذه المرحلة كان هو وميرتون لاعبين في عالم التمويل ، كشركاء في صندوق تحوط يسمى Long-Term Capital Management.

كانت الفكرة الكاملة لهذه الشركة أنها ستؤسس تداولها على مبادئ رياضية مثل معادلة بلاك-شول. وفي الواقع كانت ناجحة بشكل مذهل في البداية ، "يقول ستيوارت. & quot لقد كان أداءً يتفوق على الشركات التقليدية بشكل ملحوظ وكان كل شيء يبدو رائعًا. & quot

لكنها لم تنته جيدًا. واجهت شركة Long-Term Capital Management ، من بين أمور أخرى ، الأزمة المالية الروسية. خسرت الشركة 4 مليارات دولار (2.5 مليار جنيه إسترليني) في غضون ستة أسابيع. تم إنقاذها من قبل كونسورتيوم من البنوك التي تم تجميعها من قبل الاحتياطي الفيدرالي. و- في ذلك الوقت- كانت قصة كبيرة جدًا بالفعل. كان هذا كله يحدث في أغسطس وسبتمبر من عام 1998 ، بعد أقل من عام على منح سكولز جائزة نوبل.

يقول ستيوارت إن الدروس المستفادة من Long-Term Capital Management كانت واضحة. & quot لقد أظهر خطورة هذا النوع من التداول القائم على الخوارزميات إذا لم تراقب بعض المؤشرات التي يستخدمها الأشخاص الأكثر تقليدية ، & quot ؛ كما يقول. لقد التزموا [إدارة رأس المال طويلة الأجل] ، إلى حد كبير ، فقط بالمضي قدمًا في النظام الذي لديهم. وحدث خطأ. & quot

يقول سكولز أن & # x27s ليس ما حدث على الإطلاق. & quot ليس لها علاقة بالمعادلات ولا علاقة لها بالنماذج ، & quot يقول. & quot ؛ لم أكن أدير الشركة ، دعني أكون واضحًا جدًا بشأن ذلك. لم تكن هناك قدرة على الصمود أمام الصدمة التي حدثت في السوق في صيف وخريف أواخر عام 1998. لذلك كان الأمر مجرد مجازفة. لم تكن & # x27t مسألة نمذجة. & quot

هذا شيء كان الناس لا يزالون يجادلون فيه بعد حوالي عقد من الزمان. هل كان انهيار Long-Term Capital Management بمثابة لائحة اتهام للمقاربات الرياضية للتمويل أم أنه ، كما يقول سكولز ، كان مجرد حالة من التجار الذين يخاطرون كثيرًا ضد الحكم الأفضل لخبراء الرياضيات؟

بعد عشر سنوات من الإنقاذ طويل الأجل لإدارة رأس المال ، انهار بنك ليمان براذرز. وأصبح الجدل حول بلاك-شولز و LTCM الآن نقاشًا أوسع حول دور المعادلات الرياضية في التمويل.

يدعي إيان ستيوارت أن معادلة بلاك-شول غيرت العالم. هل يعتقد حقًا أن الرياضيات تسببت في الأزمة المالية؟

& quot لقد تسببت إساءة استخدام المعادلة في المتاعب ، ولا أعتقد أنه يمكنك إلقاء اللوم على مخترعي المعادلة إذا أتى شخص آخر واستخدمها بشكل سيئ ، & quot.

& quot ولم تكن & # x27t فقط تلك المعادلة. لقد كان جيلًا كاملاً من النماذج الرياضية الأخرى وجميع أنواع التقنيات الأخرى التي تلت ذلك. لكنها كانت من الاكتشافات الكبرى التي فتحت الباب أمام كل هذا

غيّر بلاك-شولز ثقافة وول ستريت ، من مكان يتاجر فيه الناس على أساس الفطرة السليمة والخبرة والحدس ، إلى مكان يقول فيه الكمبيوتر بنعم أو لا.

ولكن هل من العدل حقًا إلقاء اللوم على بلاك سكولز فيما أعقب ذلك؟ يقول سكولز: & quot إن تقنية بلاك شولز لها قواعد ومتطلبات محددة للغاية. & quot؛ جذبت هذه التكنولوجيا أو دفعت البنوك الاستثمارية إلى توظيف أشخاص لديهم مهارات كمية أو رياضية. أنا أقبل ذلك. ثم قاموا بتطوير منتجات أو تقنيات خاصة بهم. & quot

يقول سكولز ، لم تكن كل تلك التقنيات اللاحقة جيدة بما يكفي. & quot [البعض] لديه افتراضات خاطئة ، أو أنهم استخدموا البيانات بشكل غير صحيح لمعايرة نماذجهم ، أو أن الأشخاص الذين استخدموا النماذج لم & # x27t يعرفون كيفية استخدامها. & quot

يقول سكولز إنه لا عودة للوراء. إن القضية الأساسية هي أن التقنيات الكمية في التمويل ستستمر ، وستنمو ، وستستمر في التطور بمرور الوقت ، كما يقول.

لكن بالنسبة لإيان ستيوارت ، فإن قصة بلاك سكولز - وإدارة رأس المال طويلة الأجل - هي نوع من الحكاية الأخلاقية. & quotIt & # x27s من المغري للغاية رؤية الأزمة المالية والأشياء المختلفة التي أدت إليها كنوع من المأساة اليونانية الكلاسيكية المتمثلة في الغطرسة التي تولد الأعداء ، ويضيف.

& quot؛ إنك تحاول الطيران ، فأنت تطير قريبًا جدًا من الشمس ، ويذوب الشمع بجناحيك ويسقط على الأرض. وجهة نظري الشخصية هي أنه & # x27s ليس مجرد إغراء للقيام بذلك ولكن هناك بالفعل قدرًا معينًا من الحقيقة في طريقة التفكير هذه. أعتقد أن المصرفيين & # x27 الغطرسة أنجبوا بالفعل عدوًا. لكن المشكلة الكبرى هي أنه لم يكن المصرفيون هم الذين ينحدر عليهم العدو - لقد كان ذلك هو البقية منا. & quot؛


نموذج بلاك سكولز & # 8217 s Formula

قد تبدو الصيغة مخيفة ، ولكن إليك الأخبار السارة: لا تحتاج حقًا إلى فهم الرياضيات الأساسية لاستخدامها في تسعير الخيارات.

بشكل عام ، هناك أدوات يمكنك استخدامها يمكن أن تساعدك في حساب الأسعار. وتشمل جداول البيانات ومنصات التداول والآلات الحاسبة عبر الإنترنت. يمكنك العثور عليها ببحث بسيط في Google. للحصول على أداة أكثر عمومية ، تحقق من حاسبة الاستثمار المجانية هذه.

يمكنك كتابة معادلة بلاك سكولز بطرق مختلفة ، بما في ذلك هذه الطريقة: C = S (t) N (d 1) - K e ^ (- r t) x N (d 2)

مخيف ، نعم. ولكن هنا & # 8217s كيف يتغير كل شيء:

ج = سعر خيار الشراء
س = سعر المخزون الحالي (الأصل الأساسي)
ك = إضرب الأرز
ص = سعر فائدة خالٍ من المخاطر
ر = وقت النضج
ن = التوزيع الطبيعي

D1 و د 2 هي متغيرات تقوم بحسابها بناءً على المعادلات الأساسية. D1 هي معادلة لوغاريتمية تأخذ في الاعتبار التقلبات المتوقعة و د 2 هي معادلة مشتقة من د 1 ووقت النضج.

مرة أخرى ، في حين أن الرياضيات معقدة ، لا تحتاج إلى فهمها تمامًا للاستفادة من الصيغة في استراتيجيات الخيارات الخاصة بك. يمكنك استخدام مجموعة متنوعة من الأدوات المتوفرة لإجراء الحسابات نيابة عنك.


صيغة تسعير خيار بلاك شول

يمكنك مقارنة أسعار خياراتك باستخدام صيغة Black-Scholes. إنها صيغة محترمة تحسب القيم النظرية للاستثمار بناءً على المقاييس المالية الحالية مثل أسعار الأسهم ومعدلات الفائدة ووقت انتهاء الصلاحية وغير ذلك. تساعد صيغة Black-Scholes المستثمرين والمقرضين على تحديد أفضل خيار ممكن للتسعير.

تستخدم حاسبة بلاك شولز الصيغ التالية:

C = SP ه -dt N (د1) - شارع ه -rt N (د2)

P = ST ه -rt N (-d2) - SP ه -dt N (-d1)

د1 = (ln (SP / ST) + (r - d + (σ 2/2)) t) / σ √t

د2 = (ln (SP / ST) + (r - d - (2/2)) t) / σ √t = d1 - σ √t

ج هي قيمة خيار الشراء ،

ص هي قيمة خيار البيع ،

ن (.) هي دالة التوزيع العادية القياسية التراكمية ،

SP هو سعر السهم الحالي (السعر الفوري) ،

شارع هو سعر التنفيذ (سعر الممارسة) ،

ه هو الثابت الأسي (2.7182818) ،

ln هو اللوغاريتم الطبيعي ،

ص هو سعر الفائدة الحالي الخالي من المخاطر (كرقم عشري) ،

ر هو وقت انتهاء الصلاحية بالسنوات ،

σ هو التقلب السنوي للسهم (كعدد عشري) ،


الطرق الرياضية للمهندسين II

طرق الفروق للمعادلات التفاضلية العادية - الفروق المحدودة والدقة والاستقرار والتقارب - معادلة الموجة أحادية الاتجاه واستقرار CFL / von Neumann - مقارنة طرق معادلة الموجة - معادلة الموجة من الدرجة الثانية (بما في ذلك القفزة) - ملامح الموجة ، معادلة الحرارة / مصدر النقطة - الفروق المحدودة لمعادلة الحرارة - قوانين الحمل والانتشار / الحفظ - قوانين الحفظ / التحليل / الصدمات - الصدمات والمراوح من مصدر النقطة - طريقة ضبط المستوى - المصفوفات في معادلات الفروق (1D ، 2D ، 3D)

الحذف مع إعادة الترتيب: المصفوفات المتفرقة - الرياضيات المالية / معادلة بلاك شول - الطرق التكرارية والمعاملات المسبقة - الطرق العامة للأنظمة المتفرقة - الطرق متعددة الشبكات - طرق كريلوف / الشبكة المتعددة المستمرة - طريقة التدرج المتقارن - حلال Poisson السريع - التحسين مع القيود - المربعات الصغرى الموزونة - حساب التباينات / الصيغة الضعيفة - تقديرات الخطأ / الإسقاطات - نقاط السرج / شرط Inf-sup - مربعان / قيد المساواة Bu = d - التنظيم حسب مدة العقوبة - البرمجة الخطية والثنائية - لغز الازدواجية / المشكلة العكسية / المعادلات التكاملية


نموذج بلاك شولز

ال نموذج بلاك شولز هي أداة لتسعير خيارات الأسهم. نموذج Black-Scholes ، وغالبًا ما يُطلق عليه أيضًا استخدام اسمه الكامل نموذج تسعير خيار بلاك شول، هو أسلوب لحساب قيمة خيار السهم ، فليكن خيار شراء أو خيار بيع.

الفكرة الأساسية وراء نموذج Black-Scholes هي أن سعر الخيار يتحدد ضمنيًا بسعر السهم الأساسي.

كيف يعمل نموذج بلاك شول؟

ال نموذج بلاك شولز هو نموذج رياضي يعتمد على فكرة أن أسعار الأسهم تتبع عملية عشوائية ، وبعبارة أخرى ، فإن سعر السهم في الوقت t + 1 مستقل عن السعر في الوقت t. يشار إلى هذا أيضًا باسم مشي عشوائي.

بافتراض أن أسعار الأسهم تتبع مسارًا عشوائيًا ، فهذا يشير بالفعل إلى أننا سنحتاج إلى تضمين بعض الرياضيات والإحصاءات. نموذج بلاك شول هو صيغة يمكن التعبير عنها كما هو موضح في الفقرة التالية.

ما هي صيغة بلاك شول؟

نموذج Black-Scholes هو أساسًا صيغة تُستخدم لحساب قيم الخيار. تتكون صيغة بلاك شول من ثلاثة أجزاء. المعادلة الرئيسية والصيغتان لحساب المعلمات.

يخبرنا هذا الجزء من معادلة Black-Scholes أن سعر خيار الشراء على النمط الأوروبي مع تاريخ انتهاء الصلاحية في الوقت T المكتوب على المخزون S يساوي سعر السهم المعدل للتقلب وسعر الفائدة والسبريد مطروحًا منه القيمة الحالية من سعر تسليم المخزون (أو سعر الإضراب) تم تعديله أيضًا وفقًا للتقلبات ومعدل الفائدة والانتشار.

يمكن حساب المعلمات d1 و d2 في صيغة Black-Scholes بالطريقة التالية:

تعتبر d1 و d2 معلمات لـ to فاي في المعادلة الأولى. يمثل Phi دالة توزيع تراكمية للتوزيع الطبيعي. بعبارات عامة ، نحسب المعلمتين d1 و d2 ونبحث عن قيمة مجدولة مقابلة في كتاب ، ثم نعوض بهذه القيم مرة أخرى في الصيغة الأولى.

تشبه صيغة بلاك شول لخيار البيع على النمط الأوروبي إلى حد بعيد صيغة بلاك شول لخيار الشراء. وهي كالتالي:

تخبرنا صيغة Black-Scholes هذه أنه يمكن حساب قيمة خيار البيع كقيمة حالية لسعر تسليم السهم مطروحًا منه سعر السهم ، وكلاهما معدّل وفقًا للتقلبات وسعر الفائدة والسبريد.

مثال على حساب صيغة بلاك شول

تُستخدم صيغة Black-Scholes لحساب قيمة الخيار. يمكننا توضيح عمل صيغة بلاك شول على مثال.

لنفترض أن السعر الحالي لأسهم شركة XYZ هو 100 دولار وأنك ترغب في الحصول على خيار شراء سهم واحد من أسهم شركة XYZ مقابل 95 دولارًا. الخيار ينتهي في ثلاثة أشهر. نفترض أيضًا أن السهم لا يدفع أرباحًا. الانحراف المعياري لعائدات الأسهم هو 50٪ سنويًا ، ومعدل الخالي من المخاطر 10٪ سنويًا ، ويمكننا حساب قيمة الخيار على النحو التالي:

d1 = [ln (100 دولار / 95 دولارًا) + (0.10 + 0.25 / 2) * 0.25] / 0.50 * √0.25 = 0.43
d2 = 0.43 - 0.50 * √0.25 = 0.18
N(0.43) = 0.6664
N(0.18) = 0.5714

Plugging these parameters into the formula, we get:

C(S,T) = $100 * 0.6664 - $95 * e -(0.10 * 0.25) * 0.5714 = 66.64 - 52.94 = $13.70

You can go to our Black-Scholes formula option value on-line calculator page to run some calculations and verify this result.

Note, this Black-Scholes formula example is used to value a call option. The Black-Scholes model can also be used to price puts options. If you want to value a put option, you can either calculate it from scratch, similar to what we did above but just using the P(S,T) formula, or recalculate the Black-Scholes model through the put-call parity. Using the put-call parity approach to calculate put option value given that you know the call option value, you would solve the put-call parity equation for the value of the put option. See the following example:

P(S,T) = C(S,T) + B(T) - S(T) = C(S,T) + X * e -rT - S(T) = $13.70 + $95 * e -(0.10 * 0.25) - $100 = $6.35

Ready to know what are the limitations of these results?

What are the assumptions behind the Black-Scholes model?

Understanding the Black-Scholes model assumptions is very important for the application of the model to real-world scenarios. Listing of the Black-Scholes model assumptions is provided on the next page: Black-Scholes model assumptions.

What is the history of the Black-Scholes model?

The Black-Scholes model was developed by Fischer Black و Myron Scholes في عام 1973. Robert Merton also participated in the model’s creation hence that is why the model is sometimes referred to as the Black-Scholes-Merton model . Black, Sholes, and Merton were awarded the Nobel Prize in Economics for the Black-Scholes model. All three men were college professors working at both the University of Chicago and MIT at the time.

Does the Black-Scholes model work in the real world?

The Black-Scholes model was later improved to deal with some limitations of the real world. For example the جيeneralized أutoصegressive جonditional حeteroskedasticity (GARCH) model replaces the constant volatility with stochastic, or random, volatility.

Are there any models that are more advanced than Black-Scholes?

The Black-Scholes model is subject to many limitations and assumptions as discussed on the Black-Scholes assumptions page. Every model is only an approximation of the real world, and every model has some limitations. The Black-Scholes model was revolutionary in a way it approached options valuation.

Throughout the years, many other models emerged trying to provide more accurate approach to option valuation. However, with a little generalization, we can say that probably most of them are enhancements of Black-Scholes. All of them are based on the same valuation principle. The difference between models is mostly how they address assumptions of the Black-Scholes model. We already mentioned that for example the GARCH model substitutes constant volatility with a stochastic one. Other models address other assumptions, for example the assumption of constant interest rate, or address them differently. We can name a few models related to valuations, for example: Garman-Kolhagen Option Pricing Model which is used for currency options, Hull-White , Cox-Ingersoll-Ross , Vasicek , Cox-Ross-Rubenstein model, etc.


Mathematics Solutions for Class 6 Maths Chapter 10 - Equations

Mathematics Solutions Solutions for Class 6 Maths Chapter 10 Equations are provided here with simple step-by-step explanations. These solutions for Equations are extremely popular among Class 6 students for Maths Equations Solutions come handy for quickly completing your homework and preparing for exams. All questions and answers from the Mathematics Solutions Book of Class 6 Maths Chapter 10 are provided here for you for free. You will also love the ad-free experience on Meritnation’s Mathematics Solutions Solutions. All Mathematics Solutions Solutions for class Class 6 Maths are prepared by experts and are 100% accurate.

Page No 51:

Question 1:

Different mathematical operations are given in the two rows below. Find out the number you get in each operation and make equations.
16 ÷ 2, 5 × 2, 9 + 4, 72 ÷ 3,
4 + 5 8 × 3, 19 - 10, 10 - 2,
37 - 27, 6 + 7

إجابه:

Page No 55:

Question 1:

Rewrite the following using a letter.
(1) The sum of a certain number and 3.
(2) The difference obtained by subtracting 11 from another number.
(3) The product of 15 and another number.
(4) Four times a number is 24.

إجابه:


(1)
Let the certain number be x.

&there4 Sum of a certain number and 3 = x + 3

(2)
Let another number be x.

&there4 Difference obtained by subtracting 11 from another number = x &minus 11

(3)
Let another number be x.

&there4 Product of 15 and another number = 15 × x = 15x

Page No 55:

Question 2:

Find out which operation must be done on both sides of these equations in order to solve them.
(1) x + 9 = 11 (2) x - 4 = 9 (3) 8x = 24 (4) x 6 =   3

إجابه:


(1) Subtract 9 from both sides

&rArr x + 9 &minus 9 = 11 &minus 9 (Subtract 9 from both sides)

&rArr x &minus 4 + 4 = 9 + 4 (Add 4 to both sides)

&rArr 8 x 8 = 24 8 (Divide both sides by 8)

(4) Multiply both sides by 6

&rArr x 6 × 6 =   3 × 6 (Multiply both sides by 6)

Page No 55:

Question 3:

Given below are some equations and the values of the variables. Are these values the solutions to those equations?

إجابه:

توضيح

Since LHS &ne RHS, so ذ = 3 is ليس a solution of equation ذ &minus 3 = 11.

Since LHS = RHS, so ن = 10 is a solution of equation 17 = ن + 7.

Since LHS = RHS, so x = 6 is a solution of equation 30 = 5x.

Since LHS &ne RHS, so م = 7 is ليس a solution of equation m 2 =   14 .

Page No 55:

Question 4:

Solve the following equations.
(1) y   -   5 = 1 (2) 8 = ر + 5 (3) 4x = 52 (4) 19 = m   - 4
(5) P 4 =   9 (6) x + 10 = 5 (7) m   -   5   =   -   12 (8) p + 4 = - 1

إجابه:

&rArr ذ &minus 5 + 5 = 1 + 5 (Add 5 to both sides)

Thus, the solution of the given equation is ذ = 6.

&rArr 8 &minus 5 = ر + 5 &minus 5 (Subtract 5 from both sides)

Thus, the solution of the given equation is ر = 3.

&rArr 4 x 4 = 52 4 (Divide both sides by 4)

Thus, the solution of the given equation is x = 13.

&rArr 19 + 4 = م &minus 4 + 4 (Add 4 to both sides)

Thus, the solution of the given equation is م = 23.

&rArr p 4 × 4 = 9 × 4 (Multiply both sides by 4)

Thus, the solution of the given equation is ص = 36.

&rArr x + 10 &minus 10 = 5 &minus 10 (Subtract 10 from both sides)

Thus, the solution of the given equation is x = &minus5.

&rArr م &minus 5 + 5 = &minus12 + 5 (Add 5 to both sides)

Thus, the solution of the given equation is م = &minus7.

&rArr ص + 4 &minus 4 = &minus1 &minus 4 (Subtract 4 from both sides)

Thus, the solution of the given equation is ص = &minus5.

Page No 55:

Question 5:

Write the given information as an equation and find its solution.
(1) Haraba owns some sheep. After selling 34 of them in the market, he still has 176 sheep. How many sheep did Haraba have at first?

(2) Sakshi prepared some jam at home and filled it in bottles. After giving away 7 of the bottles to her friends, she still has 12 for herself. How many bottles had she made in all? If she filled 250g of jam in each bottle, what was the total weight of the jam she made?

(3) Archana bought some kilograms of wheat. She requires 12kg per month and she got enough wheat milled for 3 months. After that, she had 14 kg left. How much wheat had Archana bought altogether?

إجابه:


(1)
Let the number of sheeps with Haraba at first be x.

According to the given condition,

Number of sheeps with Haraba at first &minus Number of sheeps sold in the market = Number of sheeps left with Haraba

&rArr x &minus 34 + 34 = 176 + 34 (Add 34 to both sides)

Thus, there were 210 sheeps with Haraba at first.

(2)
Let the total number of jam bottles made by Sakshi be x.

According to the given condition,

Total number of jam bottles made by Sakshi &minus Number of jam bottles given to her friends = Number of jam bottles left with Sakshi

&rArr x &minus 7 + 7 = 12 + 7 (Add 7 to both sides)

So, the total number of jam bottles made by Sakshi are 19.

Weight of jam in each bottle = 250 g

= Weight of jam in each bottle × Number of bottles

Thus, the total weight of the jam made by Sakshi is 4750 g or 4.75 kg.

(3)
Let the weight of wheat bought by Archana altogether be x kg.

According to the given condition,

Weight of wheat bought by Archana altogether &minus Weight of the wheat used in 3 months = Amount of wheat left with Archana


شاهد الفيديو: تسعير خيارات الشراء - Pricing Call Options (شهر نوفمبر 2021).