مقالات

11.5: أقسام مخروطية


أهداف التعلم

  • تحديد معادلة القطع المكافئ في شكل قياسي مع التركيز ودليل معين.
  • تحديد معادلة القطع الناقص في شكل قياسي مع بؤر معينة.
  • تحديد معادلة القطع الزائد في شكل قياسي مع بؤر معينة.
  • تعرف على القطع المكافئ أو القطع الناقص أو القطع الزائد من قيمته اللامركزية.
  • اكتب المعادلة القطبية للمقطع المخروطي ذي الانحراف (هـ ).
  • حدد ما إذا كانت المعادلة العامة للدرجة الثانية هي القطع المكافئ أو القطع الناقص أو القطع الزائد.

تمت دراسة المقاطع المخروطية منذ زمن الإغريق القدماء ، واعتبرت مفهومًا رياضيًا مهمًا. في وقت مبكر من 320 قبل الميلاد ، كان علماء الرياضيات اليونانيون مثل Menaechmus و Appollonius و Archimedes مفتونين بهذه المنحنيات. كتب أبولونيوس أطروحة كاملة من ثمانية مجلدات عن المقاطع المخروطية حيث كان ، على سبيل المثال ، قادرًا على اشتقاق طريقة محددة لتحديد مقطع مخروطي من خلال استخدام الهندسة. منذ ذلك الحين ، ظهرت تطبيقات مهمة للمقاطع المخروطية (على سبيل المثال ، في علم الفلك) ، وتستخدم خصائص المقاطع المخروطية في التلسكوبات الراديوية ، ومستقبلات أطباق الأقمار الصناعية ، وحتى الهندسة المعمارية. نناقش في هذا القسم الأقسام الثلاثة الأساسية المخروطية وبعض خصائصها ومعادلاتها.

تحصل المقاطع المخروطية على اسمها لأنه يمكن إنشاؤها عن طريق تقاطع مستوى مع مخروط. المخروط له جزأان متماثلان الشكل يسمى قيلولة. قيلولة واحدة هو ما يقصده معظم الناس بـ "مخروط" ، على شكل قبعة للحفلات. يمكن إنشاء مخروط دائري قائم من خلال تدوير خط يمر عبر الأصل حول ذ-المحور كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {1} ).

يتم إنشاء المقاطع المخروطية عن طريق تقاطع مستوى مع مخروط (الشكل ( PageIndex {2} )). إذا كان المستوى موازيًا لمحور الثورة ( ذ-المحور) ، ثم قطع مخروطي هو القطع الزائد. إذا كان المستوى موازيًا لخط التوليد ، فإن الجزء المخروطي هو قطع مكافئ. إذا كان المستوى متعامدًا على محور الدوران ، فإن الجزء المخروطي يكون دائرة. إذا تقاطع المستوى مع قيلولة واحدة بزاوية مع المحور (بخلاف 90°) ، ثم القسم المخروطي هو قطع ناقص.

القطع المكافئ

يتم إنشاء القطع المكافئ عندما يتقاطع مستوى مع مخروط موازٍ لخط التوليد. في هذه الحالة ، تتقاطع الطائرة مع أحد القيلولة فقط. يمكن أيضًا تعريف القطع المكافئ من حيث المسافات.

التعاريف: التركيز والمخرج والرأس

القطع المكافئ هو مجموعة من جميع النقاط التي المسافة من نقطة ثابتة تسمى التركيز، تساوي المسافة من خط ثابت ، يسمى الدليل. النقطة الواقعة في منتصف المسافة بين التركيز والدليل تسمى قمة الرأس من القطع المكافئ.

يظهر رسم بياني للقطع المكافئ النموذجي في الشكل ( PageIndex {3} ). باستخدام هذا الرسم البياني جنبًا إلى جنب مع صيغة المسافة ، يمكننا اشتقاق معادلة للقطع المكافئ. تذكر صيغة المسافة: بالنظر إلى النقطة P بالإحداثيات ((x_1، y_1) ) والنقطة س بالإحداثيات ((x_2، y_2)، ) يتم تحديد المسافة بينهما بواسطة الصيغة

[d (P، Q) = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2}. ]

ثم من تعريف القطع المكافئ والشكل ( PageIndex {3} ) ، نحصل على

[د (ف ، ف) = د (ف ، س) ]

[ sqrt {(0 − x) ^ 2 + (p y) ^ 2} = sqrt {(x − x) ^ 2 + (- p y) ^ 2}. ]

تربيع كلا الجانبين وتبسيط الغلة

[ start {align} x ^ 2 + (p y) ^ 2 = 0 ^ 2 + (- p y) ^ 2 x ^ 2 + p ^ 2−2py + y ^ 2 = p ^ 2 + 2py + y ^ 2 x ^ 2−2py = 2py x ^ 2 = 4py. نهاية {محاذاة} ]

لنفترض الآن أننا نريد تغيير موضع الرأس. نستخدم المتغيرات ((ح ، ك) ) للإشارة إلى إحداثيات الرأس. ثم إذا كان التركيز أعلى الرأس مباشرة ، يكون له إحداثيات ((h، k + p) ) والدليل له المعادلة (y = k − p ). يؤدي المرور بنفس الاشتقاق إلى الصيغة ((x − h) ^ 2 = 4p (y − k) ). يؤدي حل هذه المعادلة لـ (y ) إلى النظرية التالية.

معادلات القطع المكافئ: النموذج القياسي

بالنظر إلى القطع المكافئ الذي يفتح لأعلى مع وجود قمة عند ((h، k) ) والتركيز يقع عند ((h، k + p) ) ، حيث (p ) ثابت ، فإن معادلة القطع المكافئ هي معطى بواسطة

[y = dfrac {1} {4p} (x − h) ^ 2 + k. ]

هذا ال النموذج القياسي من القطع المكافئ.

يمكننا أيضًا دراسة الحالات التي ينفتح فيها القطع المكافئ لأسفل أو إلى اليسار أو اليمين. يمكن أيضًا كتابة المعادلة الخاصة بكل حالة من هذه الحالات بالشكل القياسي كما هو موضح في الرسوم البيانية التالية.

بالإضافة إلى ذلك ، يمكن كتابة معادلة القطع المكافئ في الشكل العام، على الرغم من أنه في هذا الشكل ، لا يمكن التعرف على قيم (h ) و (k ) و (p ) على الفور. تتم كتابة الشكل العام للقطع المكافئ

[ax ^ 2 + bx + cy + d = 0 label {para1} ]

أو

[ay ^ 2 + bx + cy + d = 0. label {para2} ]

المعادلة المرجع {الفقرة 1} تمثل القطع المكافئ الذي يفتح إما لأعلى أو لأسفل. المعادلة المرجع {الفقرة 2} تمثل القطع المكافئ الذي يفتح إما لليسار أو لليمين. لوضع المعادلة في الشكل القياسي ، استخدم طريقة إكمال المربع.

مثال ( PageIndex {1} ): تحويل معادلة القطع المكافئ من عام إلى نموذج قياسي

ضع المعادلة

[x ^ 2−4x − 8y + 12 = 0 ]

إلى الشكل القياسي ورسم القطع المكافئ الناتج.

المحلول

بما أن y غير مربعة في هذه المعادلة ، فإننا نعلم أن القطع المكافئ يفتح إما لأعلى أو لأسفل. لذلك نحتاج إلى حل هذه المعادلة لإيجاد y ، والتي ستضع المعادلة في الصورة القياسية. للقيام بذلك ، قم أولاً بإضافة (8y ) إلى طرفي المعادلة:

[8y = x ^ 2−4x + 12. ]

الخطوة التالية هي إكمال المربع الموجود على الجانب الأيمن. ابدأ بتجميع أول حدين على الجانب الأيمن باستخدام الأقواس:

[8y = (x ^ 2−4x) +12. ]

حدد بعد ذلك الثابت الذي ، عند إضافته داخل الأقواس ، يجعل الكمية الموجودة داخل الأقواس مربعًا كاملًا ثلاثي الحدود. للقيام بذلك ، خذ نصف معامل x وقم بتربيعه. هذا يعطي (( dfrac {−4} {2}) ^ 2 = 4. ) أضف 4 داخل الأقواس واطرح 4 خارج الأقواس ، لذلك لم تتغير قيمة المعادلة:

[8y = (x ^ 2−4x + 4) + 12−4. ]

الآن اجمع الحدود المتشابهة وعالج الكمية الموجودة داخل الأقواس:

[8y = (x − 2) ^ 2 + 8. ]

أخيرًا ، اقسم على 8:

[y = dfrac {1} {8} (x − 2) ^ 2 + 1. ]

هذه المعادلة الآن في الشكل القياسي. بمقارنة هذا بالمعادلة تعطي (h = 2 ، k = 1 ) ، و (p = 2 ). يفتح القطع المكافئ ، بحيث يكون الرأس عند ((2،1) ) ، والتركيز عند ((2،3) ) ، والدليل (y = −1 ). يظهر الرسم البياني لهذا القطع المكافئ على النحو التالي.

تمرين ( PageIndex {1} )

ضع المعادلة (2y ^ 2 − x + 12y + 16 = 0 ) في الصورة القياسية وارسم القطع المكافئ الناتج.

تلميح

حل ل x). تحقق من الاتجاه الذي يفتح به القطع المكافئ.

إجابه

[س = 2 (ص + 3) ^ 2−2 ]

محور تناظر القطع المكافئ العمودي (يفتح لأعلى أو لأسفل) هو خط عمودي يمر عبر الرأس. القطع المكافئ له خاصية عاكسة مثيرة للاهتمام. لنفترض أن لدينا طبق استقبال مع مقطع عرضي مكافئ. إذا دخلت شعاع من الموجات الكهرومغناطيسية ، مثل الضوء أو موجات الراديو ، إلى الطبق في خط مستقيم من قمر صناعي (موازٍ لمحور التناظر) ، فإن الموجات تنعكس عن الطبق وتتجمع عند بؤرة القطع المكافئ مثل مبين.

فكر في طبق مكافئ مصمم لجمع الإشارات من قمر صناعي في الفضاء. الطبق موجه مباشرة إلى القمر الصناعي ، ويقع جهاز الاستقبال في بؤرة القطع المكافئ. تنعكس موجات الراديو القادمة من القمر الصناعي عن سطح القطع المكافئ إلى جهاز الاستقبال ، الذي يجمع الإشارات الرقمية ويفك تشفيرها. يسمح هذا لجهاز استقبال صغير بجمع الإشارات من زاوية واسعة من السماء. تعمل المصابيح الكاشفة والمصابيح الأمامية في السيارة على نفس المبدأ ، ولكن في الاتجاه المعاكس: يقع مصدر الضوء (أي المصباح الكهربائي) عند البؤرة والسطح العاكس على المرآة المكافئة يركز الشعاع للأمام مباشرة. يسمح هذا لمصباح كهربائي صغير بإضاءة زاوية واسعة من المساحة أمام المصباح أو السيارة.

الحذف

يمكن أيضًا تعريف القطع الناقص من حيث المسافات. في حالة القطع الناقص ، هناك بؤرتان (جمع التركيز) ودليلان (جمع الدليل). سنلقي نظرة على الأدلة بمزيد من التفصيل لاحقًا في هذا القسم.

التعريف: قطع ناقص

القطع الناقص هو مجموعة جميع النقاط التي يكون مجموع مسافاتها من نقطتين ثابتتين (البؤر) ثابتًا.

يظهر رسم بياني للقطع الناقص النموذجي في الشكل ( PageIndex {6} ). في هذا الشكل ، تم تصنيف البؤر على أنها (F ) و (F ′ ). كلاهما نفس المسافة الثابتة من الأصل ، ويتم تمثيل هذه المسافة بالمتغير (c ). لذلك فإن إحداثيات (F ) هي ((ج ، 0) ) وإحداثيات (F ′ ) هي ((- ج ، 0). ) النقاط (P ) و (P ′ ) تقع في نهايات المحور الرئيسي للقطع الناقص ولها إحداثيات ((أ ، 0) ) و ((- أ ، 0) ) ، على التوالي. دائمًا ما يكون المحور الرئيسي هو أطول مسافة عبر القطع الناقص ، ويمكن أن يكون أفقيًا أو رأسيًا. وبالتالي ، فإن طول المحور الرئيسي في هذا القطع الناقص هو (2 أ ). علاوة على ذلك ، يُطلق على (P ) و (P ′ ) رؤوس القطع الناقص. تقع النقاط (Q ) و (Q ′ ) في نهايات الملف محور صغير للقطع الناقص ولها إحداثيات ((0 ، ب) ) و ((0 ، − ب) ، ) على التوالي. المحور الثانوي هو أقصر مسافة عبر القطع الناقص. المحور الثانوي عمودي على المحور الرئيسي.

وفقًا لتعريف القطع الناقص ، يمكننا اختيار أي نقطة على القطع الناقص ويكون مجموع المسافات من هذه النقطة إلى البؤرتين ثابتًا. لنفترض أننا اخترنا النقطة (P ). نظرًا لأن إحداثيات النقطة (P ) هي ((أ ، 0) ، ) مجموع المسافات هو

[د (ف ، ف) + د (ف ، ف ′) = (أ − ج) + (أ + ج) = 2 أ. ]

لذلك فإن مجموع المسافات من نقطة عشوائية A بإحداثيات ((x، y) ) يساوي أيضًا (2a ). باستخدام صيغة المسافة ، نحصل على

[د (أ ، ف) + د (أ ، و ′) = 2 أ. ]

[ sqrt {(x − c) ^ 2 + y ^ 2} + sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = 2a ]

اطرح الجذر الثاني من كلا الجانبين وربّع كلا الجانبين:

[ sqrt {(x − c) ^ 2 + y ^ 2} = 2a− sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} ]

[(x − c) ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2−4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + (x + c) ^ 2 + y ^ 2 ]

[x ^ 2−2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2−4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 ]

[- 2cx = 4a ^ 2−4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + 2cx. ]

الآن افصل الجذر في الطرف الأيمن عن المربع مرة أخرى:

[- 2cx = 4a ^ 2−4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + 2cx ]

[4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = 4a ^ 2 + 4cx ]

[ sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = a + dfrac {cx} {a} ]

[(x + c) ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + 2cx + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} ]

[x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + 2cx + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} ]

[x ^ 2 + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2}. ]

افصل المتغيرات الموجودة في الجانب الأيسر من المعادلة والثوابت على الجانب الأيمن:

[x ^ 2− dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} + y ^ 2 = a ^ 2 − c ^ 2 ]

[ dfrac {(a ^ 2 − c ^ 2) x ^ 2} {a ^ 2} + y ^ 2 = a ^ 2 − c ^ 2. ]

اقسم كلا الجانبين على (a ^ 2 − c ^ 2 ). هذا يعطي المعادلة

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {a ^ 2 − c ^ 2} = 1. ]

إذا رجعنا إلى الشكل ( PageIndex {6} ) ، فإن طول كل جزء من مقطعي الخط الأخضر يساوي (أ ). هذا صحيح لأن مجموع المسافات من النقطة (Q ) إلى البؤر (F ) و (F ′ ) يساوي (2 أ ) ، وأطوال هذين الخطين هي مساو. يشكل هذا المقطع المستقيم مثلثًا قائمًا بطول الوتر (أ ) وأطوال الساق (ب ) و (ج ). من نظرية فيثاغورس (ب ^ 2 + ج ^ 2 = أ ^ 2 ) و (ب ^ 2 = أ ^ 2 − ج ^ 2 ). لذلك تصبح معادلة القطع الناقص

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1. ]

أخيرًا ، إذا تم نقل مركز القطع الناقص من الأصل إلى نقطة ((ح ، ك) ) ، فلدينا الشكل القياسي التالي للقطع الناقص.

معادلة القطع الناقص في النموذج القياسي

النظر في القطع الناقص مع المركز ((ح ، ك) ) ، ومحور رئيسي أفقي بطول (2 أ ) ، ومحور عمودي ثانوي بطول (2 ب ). ثم معادلة هذا القطع الناقص في الشكل القياسي هي

[ dfrac {(x − h) ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {(y − k) ^ 2} {b ^ 2} = 1 label {HorEllipse} ]

وتقع البؤر في ((h ± c، k) ) ، حيث (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). معادلات الدلائل هي (x = h ± dfrac {a ^ 2} {c} ).

إذا كان المحور الرئيسي عموديًا ، تصبح معادلة القطع الناقص

[ dfrac {(x − h) ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {(y − k) ^ 2} {a ^ 2} = 1 label {VertEllipse} ]

وتقع البؤر في ((ح ، ك ± ج) ) ، حيث (ج ^ 2 = أ ^ 2 − ب ^ 2 ). معادلات الدلائل في هذه الحالة هي (y = k ± dfrac {a ^ 2} {c} ).

إذا كان المحور الرئيسي أفقيًا ، فإن القطع الناقص يسمى أفقيًا ، وإذا كان المحور الرئيسي رأسيًا ، فإن القطع الناقص يسمى الرأسي. تكون معادلة القطع الناقص بشكل عام إذا كانت في الشكل

[Ax ^ 2 + By ^ 2 + Cx + Dy + E = 0 ، ]

أين أ و ب كلاهما إيجابي أو كلاهما سلبي. لتحويل المعادلة من النموذج العام إلى النموذج القياسي ، استخدم طريقة استكمال المربع.

مثال ( PageIndex {2} ): إيجاد الشكل القياسي للقطع الناقص

ضع المعادلة

[9x ^ 2 + 4y ^ 2−36x + 24y + 36 = 0 ]

في شكل قياسي ورسم بياني القطع الناقص الناتج.

المحلول

اطرح أولاً 36 من طرفي المعادلة:

[9x ^ 2 + 4y ^ 2−36x + 24y = −36. ]

بعد ذلك ، قم بتجميع المصطلحات (x ) معًا والمصطلحات (y ) معًا ، واستخرج العامل المشترك:

[(9x ^ 2−36x) + (4y ^ 2 + 24y) = - 36 ]

[9 (س ^ 2−4 س) +4 (ص ^ 2 + 6 ص) = - 36. ]

نحتاج إلى تحديد الثابت الذي ينتج عنه مربع كامل عند إضافته داخل كل مجموعة من الأقواس. في المجموعة الأولى من الأقواس ، خذ نصف معامل x وربّعها. هذا يعطي (( dfrac {−4} {2}) ^ 2 = 4. ) في المجموعة الثانية من الأقواس ، خذ نصف معامل ذ وربّعها. هذا يعطي (( dfrac {6} {2}) ^ 2 = 9. ) أضفها داخل كل زوج من الأقواس. نظرًا لأن المجموعة الأولى من الأقواس بها 9 في المقدمة ، فإننا في الواقع نضيف 36 إلى الطرف الأيسر. وبالمثل ، نضيف 36 إلى المجموعة الثانية أيضًا. لذلك تصبح المعادلة

[9 (س ^ 2−4 س + 4) +4 (ص ^ 2 + 6 ص + 9) = - 36 + 36 + 36 ]

[9 (س ^ 2−4 س + 4) +4 (ص ^ 2 + 6 ص + 9) = 36. ]

الآن حلل كلا مجموعتي الأقواس وقسمهما على 36:

[9 (س − 2) ^ 2 + 4 (ص + 3) ^ 2 = 36 ]

[ dfrac {9 (x − 2) ^ 2} {36} + dfrac {4 (y + 3) ^ 2} {36} = 1 ]

[ dfrac {(x − 2) ^ 2} {4} + dfrac {(y + 3) ^ 2} {9} = 1. ]

المعادلة الآن في الشكل القياسي. بمقارنة هذا بالمعادلة المرجع {VertEllipse} يعطي (h = 2 ، k = −3 ، a = 3 ، ) و (b = 2 ). هذا شكل بيضاوي عمودي مع المركز عند ((2، −3) ) والمحور الرئيسي 6 والمحور الثانوي 4. يظهر الرسم البياني لهذا القطع الناقص على النحو التالي.

تمرين ( PageIndex {2} )

ضع المعادلة

[9x ^ 2 + 16y ^ 2 + 18x − 64y − 71 = 0 ]

إلى الشكل القياسي ورسم القطع الناقص الناتج.

تلميح

حرك الثابت فوق المربع وأكمل المربع.

إجابه

[ dfrac {(x + 1) ^ 2} {16} + dfrac {(y − 2) ^ 2} {9} = 1 ]

وفقًا لقانون كبلر الأول لحركة الكواكب ، فإن مدار كوكب حول الشمس عبارة عن قطع ناقص مع الشمس في إحدى البؤر كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {8A} ). نظرًا لأن مدار الأرض عبارة عن قطع ناقص ، فإن المسافة من الشمس تختلف على مدار العام. من المفاهيم الخاطئة الشائعة أن الأرض أقرب إلى الشمس في الصيف. في الواقع ، في الصيف بالنسبة لنصف الكرة الشمالي ، تكون الأرض بعيدة عن الشمس عنها خلال فصل الشتاء. يرجع الاختلاف في الموسم إلى ميل محور الأرض في المستوى المداري. المذنبات التي تدور حول الشمس ، مثل مذنب هالي ، لها أيضًا مدارات إهليلجية ، مثلها مثل الأقمار التي تدور حول الكواكب والأقمار الصناعية التي تدور حول الأرض.

تتمتع القطع الناقصة أيضًا بخصائص عاكسة مثيرة للاهتمام: يمر شعاع الضوء المنبعث من تركيز واحد عبر التركيز الآخر بعد انعكاس المرآة في القطع الناقص. يحدث الشيء نفسه مع الموجة الصوتية أيضًا. قاعة التماثيل الوطنية في مبنى الكابيتول الأمريكي بواشنطن العاصمة ، هي غرفة مشهورة في شكل بيضاوي كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {8B} ). كانت هذه القاعة بمثابة مكان اجتماع لمجلس النواب الأمريكي لما يقرب من خمسين عامًا. يتم تحديد موقع بؤرتي هذه الغرفة شبه الإهليلجية بوضوح من خلال علامات على الأرض ، وحتى إذا كانت الغرفة مليئة بالزوار ، عندما يقف شخصان على هذه البقع ويتحدثان مع بعضهما البعض ، يمكنهما سماع بعضهما البعض كثيرًا بشكل أكثر وضوحًا مما يمكنهم سماع شخص يقف بالقرب منهم. تقول الأسطورة أن مكتب جون كوينسي آدامز كان يقع على إحدى البؤر وكان قادرًا على التنصت على أي شخص آخر في المنزل دون الحاجة إلى الوقوف على الإطلاق. على الرغم من أن هذا يصنع قصة جيدة ، إلا أنه من غير المحتمل أن يكون صحيحًا ، لأن السقف الأصلي أنتج الكثير من الصدى لدرجة أنه كان يجب تعليق الغرفة بأكملها بالسجاد لتخفيف الضوضاء. أعيد بناء السقف في عام 1902 وعندها فقط ظهر تأثير الهمس الشهير الآن. معرض هامس آخر شهير - موقع العديد من عروض الزواج - موجود في محطة غراند سنترال في مدينة نيويورك.

القطوع الزائدة

يمكن أيضًا تعريف القطع الزائد من حيث المسافات. في حالة القطع الزائد ، توجد بؤرتان وموجهان. تحتوي القطوع الزائدة أيضًا على خطين مقاربين.

التعريف: القطع الزائد

القطع الزائد هو مجموعة كل النقاط حيث يكون الفرق بين مسافاتها من نقطتين ثابتتين (البؤرتين) ثابتًا.

يظهر الرسم البياني للقطع الزائد النموذجي على النحو التالي.

اشتقاق معادلة القطع الزائد في الشكل القياسي مطابق تقريبًا لاشتقاق القطع الناقص. تكمن عقبة واحدة بسيطة في التعريف: الفرق بين رقمين دائمًا موجب. لنفترض أن (P ) نقطة على القطع الزائد بالإحداثيات ((x، y) ). ثم يعطي تعريف القطع الزائد (| d (P، F_1) −d (P، F_2) | = ثابت ). لتبسيط الاشتقاق ، افترض أن (P ) يقع على الفرع الأيمن من القطع الزائد ، وبالتالي تنخفض أشرطة القيمة المطلقة. إذا كان على الفرع الأيسر ، فسيتم عكس الطرح.رأس الفرع الأيمن له إحداثيات ((أ ، 0) ، ) لذلك

[د (P، F_1) −d (P، F_2) = (ج + أ) - (ج − أ) = 2 أ. ]

وبالتالي فإن هذه المعادلة صحيحة لأي نقطة على القطع الزائد. العودة إلى الإحداثيات ((س ، ص) ) من أجل (ف ):

[d (P، F_1) −d (P، F_2) = 2a ]

[ sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} - sqrt {(x − c) ^ 2 + y ^ 2} = 2a. ]

افصل الجذر الثاني والمربع كلا الجانبين:

[ sqrt {(x − c) ^ 2 + y ^ 2} = - 2a + sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} ]

[(x − c) ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2-4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + (x + c) ^ 2 + y ^ 2 ]

[x ^ 2−2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2-4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 ]

[- 2cx = 4a ^ 2-4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + 2cx. ]

الآن افصل الجذر في الطرف الأيمن عن المربع مرة أخرى:

(- 2cx = 4a ^ 2-4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + 2cx )

(- 4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = - 4a ^ 2−4cx )

(- sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = - a− dfrac {cx} {a} )

((x + c) ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + 2cx + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} )

(x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + 2cx + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} )

(x ^ 2 + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} ).

افصل المتغيرات الموجودة في الجانب الأيسر من المعادلة والثوابت على الجانب الأيمن:

[x ^ 2− dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} + y ^ 2 = a ^ 2 − c ^ 2 ]

[ dfrac {(a ^ 2 − c ^ 2) x ^ 2} {a ^ 2} + y ^ 2 = a ^ 2 − c ^ 2. ]

أخيرًا ، قسّم كلا الجانبين على (a ^ 2 − c ^ 2 ). هذا يعطي المعادلة

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {a ^ 2 − c ^ 2} = 1. ]

نحدد الآن ب بحيث (b ^ 2 = c ^ 2 − a ^ 2 ). هذا ممكن بسبب (c> a ). لذلك تصبح معادلة القطع الزائد

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1. ]

أخيرًا ، إذا تم نقل مركز القطع الزائد من الأصل إلى النقطة ((h، k)، ) لدينا الشكل القياسي التالي للقطع الزائد.

معادلة القطع الزائد في الصورة القياسية

ضع في اعتبارك القطع الزائد مع المركز ((h، k) ) والمحور الرئيسي الأفقي والمحور الرأسي الثانوي. ثم معادلة هذا القطع الزائد هي

[ dfrac {(x − h) ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {(y − k) ^ 2} {b ^ 2} = 1 label {HorHyperbola} ]

وتقع البؤر في ((h ± c، k)، ) حيث (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ). يتم إعطاء معادلات الخطوط المقاربة بواسطة (y = k ± dfrac {b} {a} (x − h). ) معادلات الدلائل هي

[x = h ± dfrac {a ^ 2} { sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} = h ± dfrac {a ^ 2} {c} ]

إذا كان المحور الرئيسي عموديًا ، تصبح معادلة القطع الزائد

[ dfrac {(y − k) ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {(x − h) ^ 2} {b ^ 2} = 1 ]

وتقع البؤر في ((h، k ± c)، ) حيث (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ). يتم إعطاء معادلات الخطوط المقاربة بواسطة (y = k ± dfrac {a} {b} (x − h) ). معادلات الموجهات هي

[y = k ± dfrac {a ^ 2} { sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} = k ± dfrac {a ^ 2} {c}. ]

إذا كان المحور الرئيسي (المحور العرضي) أفقيًا ، فإن القطع الزائد يسمى أفقيًا ، وإذا كان المحور الرئيسي رأسيًا ، فإن القطع الزائد يسمى عموديًا. تكون معادلة القطع الزائد بشكل عام إذا كانت في الشكل

[Ax ^ 2 + By ^ 2 + Cx + Dy + E = 0 ، ]

حيث A و B لهما إشارات متقابلة لتحويل المعادلة من النموذج العام إلى النموذج القياسي ، استخدم طريقة إكمال المربع.

مثال ( PageIndex {3} ): إيجاد النموذج القياسي للقطع الزائد

ضع المعادلة (9x ^ 2−16y ^ 2 + 36x + 32y − 124 = 0 ) في الصورة القياسية وقم برسم القطع الزائد الناتج. ما هي معادلات الخطوط المقاربة؟

المحلول

أضف أولاً 124 إلى طرفي المعادلة:

(9x ^ 2−16y ^ 2 + 36x + 32y = 124. )

المجموعة التالية x الشروط معا و ذ المصطلحات معًا ، ثم استخرج العوامل المشتركة:

((9x ^ 2 + 36x) - (16y ^ 2−32y) = 124 )

(9 (س ^ 2 + 4x) 16 (ص ^ 2−2 ص) = 124 ).

نحتاج إلى تحديد الثابت الذي ينتج عنه مربع كامل عند إضافته داخل كل مجموعة من الأقواس. في المجموعة الأولى من الأقواس ، خذ نصف معامل x وقم بتربيعه. هذا يعطي (( dfrac {4} {2}) ^ 2 = 4 ). في المجموعة الثانية من الأقواس ، خذ نصف معامل y وقم بتربيعه. هذا يعطي (( dfrac {−2} {2}) ^ 2 = 1. ) أضفها داخل كل زوج من الأقواس. وبالمثل ، نطرح 16 من المجموعة الثانية من الأقواس. لذلك تصبح المعادلة

(9 (س ^ 2 + 4x + 4) −16 (ص ^ 2−2 ص + 1) = 124 + 36−16 )

(9 (س ^ 2 + 4x + 4) −16 (ص ^ 2−2 ص + 1) = 144. )

عامل التالي كلا مجموعتي الأقواس وقسمه على 144:

(9 (س + 2) ^ 2−16 (ص 1) ^ 2 = 144 )

( dfrac {9 (x + 2) ^ 2} {144} - dfrac {16 (y − 1) ^ 2} {144} = 1 )

( dfrac {(x + 2) ^ 2} {16} - dfrac {(y − 1) ^ 2} {9} = 1. )

المعادلة الآن في الشكل القياسي. بمقارنة هذا بالمعادلة المرجع {HorHyperbola} يعطي (h = −2 ، k = 1 ، a = 4 ، ) و (b = 3 ). هذا قطع زائد أفقي مع مركز عند ((- 2،1) ) وخطوط مقاربة معطاة بواسطة المعادلات (y = 1 ± dfrac {3} {4} (x + 2) ). يظهر الرسم البياني لهذا القطع الزائد في الشكل ( PageIndex {10} ).

تمرين ( PageIndex {3} )

ضع المعادلة (4y ^ 2−9x ^ 2 + 16y + 18x − 29 = 0 ) في الصورة القياسية وقم برسم القطع الزائد الناتج. ما هي معادلات الخطوط المقاربة؟

تلميح

حرك الثابت فوق المربع وأكمل المربع. تحقق من الاتجاه الذي يفتح به القطع الزائد

إجابه

( dfrac {(y + 2) ^ 2} {9} - dfrac {(x − 1) ^ 2} {4} = 1. ) هذا قطع زائد رأسي. الخطوط المقاربة (y = −2 ± dfrac {3} {2} (x − 1). )

تحتوي القطوع الزائدة أيضًا على خصائص عاكسة مثيرة للاهتمام. ينعكس الشعاع الموجه نحو بؤرة واحدة للقطع الزائد بواسطة مرآة زائدية باتجاه البؤرة الأخرى. هذا المفهوم موضح في الشكل ( PageIndex {11} ).

هذه الخاصية للقطع الزائد لها تطبيقات مهمة. يتم استخدامه في تحديد الاتجاه الراديوي (نظرًا لأن الاختلاف في الإشارات من برجين ثابت على طول القطعات الزائدة) ، وفي بناء المرايا داخل التلسكوبات (لعكس الضوء القادم من المرآة المكافئة إلى العدسة). حقيقة أخرى مثيرة للاهتمام حول القطوع الزائدة هي أنه بالنسبة للمذنب الذي يدخل النظام الشمسي ، إذا كانت السرعة كبيرة بما يكفي للهروب من جاذبية الشمس ، فإن المسار الذي يسلكه المذنب أثناء مروره عبر النظام الشمسي يكون زائديًا.

الانحراف والمخرج

تتضمن الطريقة البديلة لوصف المقطع المخروطي الموجهات والبؤر وخاصية جديدة تسمى الانحراف. سنرى أن قيمة الانحراف اللامركزي للقسم المخروطي يمكن أن تحدد هذا الشكل المخروطي بشكل فريد.

التعريف: اللامركزية والمخرجات

ال الانحراف (ه ) من المقطع المخروطي يعرف بأنه المسافة من أي نقطة على المقطع المخروطي إلى بؤرته ، مقسومة على المسافة العمودية من تلك النقطة إلى أقرب دليل. هذه القيمة ثابتة لأي قسم مخروطي ، ويمكن أن تحدد المقطع المخروطي أيضًا:

  1. إذا كان (e = 1 ) ، فإن المخروط هو قطع مكافئ.
  2. إذا كان (e <1 ) ، فهو قطع ناقص.
  3. إذا كان (e> 1، ) عبارة عن قطع زائد.

الانحراف اللامركزي في الدائرة يساوي صفرًا. ال الدليل المقطع المخروطي هو الخط الذي يعمل مع النقطة المعروفة بالبؤرة على تحديد المقطع المخروطي. القطوع الزائدة والقطع الناقص غير الدائرية لها بؤرتان ودليلان مرتبطان. القطع المكافئ لها تركيز واحد ودليل واحد.

تظهر الأقسام الثلاثة المخروطية مع أدلةها في الشكل ( PageIndex {12} ).

تذكر من تعريف القطع المكافئ أن المسافة من أي نقطة على القطع المكافئ إلى البؤرة تساوي المسافة من نفس النقطة إلى الدليل. لذلك ، بحكم التعريف ، يجب أن يكون الانحراف المركزي للقطع المكافئ 1. معادلات أدلة القطع الناقص الأفقي هي (x = ± dfrac {a ^ 2} {c} ). يقع الرأس الأيمن للقطع الناقص عند ((أ ، 0) ) والتركيز الصحيح هو ((ج ، 0) ). لذلك فإن المسافة من الرأس إلى البؤرة هي (a − c ) والمسافة من الرأس إلى الدليل الأيمن هي ( dfrac {a ^ 2} {c} −c. ) وهذا يعطي الانحراف مثل

[e = dfrac {a − c} { dfrac {a ^ 2} {c} −a} = dfrac {c (a − c)} {a ^ 2 − ac} = dfrac {c (a −c)} {a (a − c)} = dfrac {c} {a}. ]

نظرًا لأن (c a ) ، لذا فإن الانحراف اللامركزي للقطع الزائد أكبر من 1.

مثال ( PageIndex {4} ): تحديد الانحراف المركزي للقسم المخروطي

حدد الانحراف اللامركزي للقطع الناقص الموصوف في المعادلة

( dfrac {(x − 3) ^ 2} {16} + dfrac {(y + 2) ^ 2} {25} = 1. )

المحلول

من المعادلة نرى أن (أ = 5 ) و (ب = 4 ). قيمة ال ج يمكن حسابها باستخدام المعادلة (أ ^ 2 = ب ^ 2 + ج ^ 2 ) للقطع الناقص. استبدال قيم أ و ب وحل ل ج يعطي (ج = 3 ). لذلك فإن الانحراف اللامركزي للقطع الناقص هو (e = dfrac {c} {a} = dfrac {3} {5} = 0.6. )

تمرين ( PageIndex {4} )

أوجد الانحراف اللامركزي للقطع الزائد الموصوف في المعادلة

( dfrac {(y − 3) ^ 2} {49} - dfrac {(x + 2) ^ 2} {25} = 1. )

تلميح

أوجد أولًا قيمتي a و b ، ثم حدد c باستخدام المعادلة (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ).

إجابه

(e = dfrac {c} {a} = dfrac { sqrt {74}} {7} ≈1.229 )

المعادلات القطبية للمقاطع المخروطية

في بعض الأحيان يكون من المفيد كتابة أو تحديد معادلة المقطع المخروطي في الشكل القطبي. للقيام بذلك ، نحتاج إلى مفهوم المعلمة البؤرية. ال المعلمة البؤرية من قسم مخروطي ص تُعرَّف بأنها المسافة من التركيز إلى أقرب دليل. يعطي الجدول التالي المعلمات البؤرية لأنواع مختلفة من المخروطيات ، أين أ هو طول المحور شبه الرئيسي (أي نصف طول المحور الرئيسي) ، ج هي المسافة من الأصل إلى التركيز ، و ه هو اللامركزية. في حالة القطع المكافئ ، يمثل a المسافة من الرأس إلى البؤرة.

الجدول ( PageIndex {1} ): الانحرافات والمعلمات البؤرية للأقسام المخروطية
مخروطي (ه ) (ع )
الشكل البيضاوي (0 <ه <1 ) ( dfrac {a ^ 2 − c ^ 2} {c} = dfrac {a (1 − e ^ 2)} {c} )
القطع المكافئ (ه = 1 ) (2 أ )
القطع الزائد (ه> 1 ) ( dfrac {c ^ 2 − a ^ 2} {c} = dfrac {a (e ^ 2−1)} {c} )

باستخدام تعريفات المعلمة البؤرية وغرابة القسم المخروطي ، يمكننا اشتقاق معادلة لأي قسم مخروطي في الإحداثيات القطبية. على وجه الخصوص ، نفترض أن إحدى بؤر مقطع مخروطي معين تقع في القطب. ثم باستخدام تعريف المقاطع المخروطية المختلفة من حيث المسافات ، من الممكن إثبات النظرية التالية.

المعادلة القطبية للمقاطع المخروطية

المعادلة القطبية لقسم مخروطي ذو معامل بؤري ص اعطي من قبل

(r = dfrac {ep} {1 ± e cos θ} ) أو (r = dfrac {ep} {1 ± e sin θ}. )

في المعادلة على اليسار ، يكون المحور الرئيسي للمقطع المخروطي أفقيًا ، وفي المعادلة على اليمين يكون المحور الرئيسي عموديًا. للعمل مع مقطع مخروطي مكتوب في الصورة القطبية ، اجعل الحد الثابت في المقام يساوي 1. ويمكن فعل ذلك بقسمة كل من بسط ومقام الكسر على الثابت الذي يظهر أمام علامة الجمع أو السالب في المقام. ثم معامل الجيب أو جيب التمام في المقام هو الانحراف. هذه القيمة تحدد المخروط. إذا ظهر جيب التمام في المقام ، فإن المخروط يكون أفقيًا. إذا ظهرت الجيب ، فإن المخروط يكون عموديًا. إذا ظهر كلاهما ، فسيتم تدوير المحاور. مركز المخروط ليس بالضرورة في الأصل. المركز في الأصل فقط إذا كان المخروط دائرة (أي ، (e = 0 )).

مثال ( PageIndex {5} ): رسم مقطع مخروطي في الإحداثيات القطبية

تحديد وإنشاء رسم بياني للقسم المخروطي الموصوف في المعادلة

(r = dfrac {3} {1 + 2 cos θ} ).

المحلول

الحد الثابت في المقام هو 1 ، وبالتالي فإن الانحراف اللامركزي للمخروط هو 2. هذا قطع زائد. يمكن حساب المعامل البؤري p باستخدام المعادلة (ep = 3. ) بما أن (e = 2 ) ، فهذا يعطي (p = dfrac {3} {2} ). تظهر دالة جيب التمام في المقام ، لذا فإن القطع الزائد يكون أفقيًا. اختر بعض القيم لـ (θ ) وأنشئ جدول قيم. ثم يمكننا رسم القطع الزائد بالرسم البياني (الشكل ( PageIndex {13} )).

(θ ) (ص ) (θ ) (ص )
01 (π )−3
( dfrac {π} {4} ) ( dfrac {3} {1+ sqrt {2}} ≈1.2426 ) ( dfrac {5π} {4} ) ( dfrac {3} {1− sqrt {2}} ≈ − 7.2426 )
( dfrac {π} {2} )3 ( dfrac {3π} {2} )3
( dfrac {3π} {4} ) ( dfrac {3} {1− sqrt {2}} ≈ − 7.2426 ) ( dfrac {7π} {4} ) ( dfrac {3} {1+ sqrt {2}} ≈1.2426 )

تمرين ( PageIndex {5} )

تحديد وإنشاء رسم بياني للقسم المخروطي الموصوف في المعادلة

(r = dfrac {4} {1−0.8 sin θ} ).

تلميح

أولاً ، ابحث عن قيم ه و ص، ثم قم بإنشاء جدول قيم.

إجابه

هنا (البريد = 0.8 ) و (ع = 5 ). هذا القسم المخروطي هو قطع ناقص.

المعادلات العامة من الدرجة الثانية

يمكن كتابة معادلة عامة من الدرجة الثانية في النموذج

[Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0. ]

الرسم البياني لمعادلة من هذا الشكل هو مقطع مخروطي. إذا (B ≠ 0 ) ، فسيتم تدوير محاور الإحداثيات. لتحديد المقطع المخروطي ، نستخدم تمييز المقطع المخروطي (4AC − B ^ 2. )

تحديد القسم المخروطي

يجب أن تكون إحدى الحالات التالية صحيحة:

  1. (4AC − B ^ 2> 0 ). إذا كان الأمر كذلك ، فإن الرسم البياني عبارة عن قطع ناقص.
  2. (4AC − B ^ 2 = 0 ). إذا كان الأمر كذلك ، فإن الرسم البياني هو قطع مكافئ.
  3. (4AC − B ^ 2 <0 ). إذا كان الأمر كذلك ، فإن الرسم البياني عبارة عن قطع زائد.

أبسط مثال على معادلة من الدرجة الثانية تتضمن مصطلحًا متقاطعًا هو (xy = 1 ). يمكن حل هذه المعادلة من أجل (y ) للحصول على (y = dfrac {1} {x} ). يسمى الرسم البياني لهذه الوظيفة القطع الزائد المستطيل كما هو موضح.

الخطوط المقاربة لهذا القطع الزائد هي محوري الإحداثيات (x ) و (y ). لتحديد زاوية دوران المقطع المخروطي θ ، نستخدم الصيغة ( cot 2θ = frac {A − C} {B} ). في هذه الحالة (A = C = 0 ) و (B = 1 ) ، لذلك ( cot 2θ = (0−0) / 1 = 0 ) و (θ = 45 ° ). تتضمن طريقة رسم مقطع مخروطي بمحاور مستديرة تحديد معاملات الشكل المخروطي في نظام الإحداثيات المستدير. تم تسمية المعاملات الجديدة (A ′ و B ′ و C ′ و D ′ و E ′ و ) و (F ′ و ) ويتم تقديمها بواسطة الصيغ

[ start {align} A ′ = A cos ^ 2θ + B cos θ sin θ + C sin ^ 2 θ B ′ = 0 C ′ = A sin ^ 2 θ − B الخطيئة θ cos θ + C cos ^ 2θ D ′ = D cos θ + E sin θ E ′ = −D sin θ + E cosθ F ′ = F. نهاية {محاذاة} ]

الإجراء: رسم بياني مخروطي مستدير

الإجراء الخاص برسم المخروط المستدير هو كالتالي:

  1. حدد المقطع المخروطي باستخدام المميز (4AC − B ^ 2 ).
  2. حدد (θ ) باستخدام الصيغة [ cot2θ = dfrac {A − C} {B} label {rot}. ]
  3. احسب (A ′ و B ′ و C ′ و D ′ و E ′ ) و (F ′ ).
  4. أعد كتابة المعادلة الأصلية باستخدام (A ′ و B ′ و C ′ و D ′ و E ′ ) و (F ′ ).
  5. ارسم رسمًا بيانيًا باستخدام المعادلة التي تم تدويرها.

مثال ( PageIndex {6} ): تحديد شكل مخروطي مستدير

تحديد المخروط وحساب زاوية دوران المحاور للمنحنى الموصوف بالمعادلة

[13x ^ 2−6 sqrt {3} xy + 7y ^ 2−256 = 0. ]

المحلول

في هذه المعادلة ، (A = 13 ، B = −6 sqrt {3} ، C = 7 ، D = 0 ، E = 0 ، ) و (F = −256 ). المميز في هذه المعادلة هو

[4AC − B ^ 2 = 4 (13) (7) - (- 6 sqrt {3}) ^ 2 = 364−108 = 256. ]

لذلك هذا الشكل المخروطي هو قطع ناقص.

لحساب زاوية دوران المحاور ، استخدم المعادلة ref {rot}

[ cot 2θ = dfrac {A − C} {B}. ]

هذا يعطي

( cot 2θ = dfrac {A − C} {B} = dfrac {13−7} {- 6 sqrt {3}} = - dfrac { sqrt {3}} {3} ).

لذلك (2θ = 120 ^ o ) و (θ = 60 ^ o ) ، وهي زاوية دوران المحاور.

لتحديد المعاملات التي تم تدويرها ، استخدم الصيغ الواردة أعلاه:

(A ′ = A cos ^ 2θ + B cos θ sinθ + C sin ^ 2θ )

(= 13 cos ^ 260 + (- 6 sqrt {3}) cos 60 sin 60 + 7 sin ^ 260 )

(= 13 ( dfrac {1} {2}) ^ 2−6 sqrt {3} ( dfrac {1} {2}) ( dfrac { sqrt {3}} {2}) + 7 ( dfrac { sqrt {3}} {2}) ^ 2 )

(=4,)

(ب ′ = 0 )

(C ′ = A sin ^ 2θ − B sin θ cos θ + C cos ^ 2θ )

(= 13 sin ^ 260 + (6 sqrt {3}) sin 60 cos 60 + 7 cos ^ 260 )

(= 13 ( dfrac { sqrt {3}} {2}) ^ 2 + 6 sqrt {3} ( dfrac { sqrt {3}} {2}) ( dfrac {1} {2} ) +7 ( dfrac {1} {2}) ^ 2 )

(=16,)

(D ′ = D cos θ + E الخطيئة θ )

(= (0) cos 60+ (0) خطيئة 60 )

(=0,)

(E ′ = - D sin θ + E cos θ )

(= - (0) الخطيئة 60+ (0) كوس 60 )

(=0)

(F ′ = F )

(=−256.)

تصبح معادلة المخروط في نظام الإحداثيات المستدير

(4 (س ′) ^ 2 + 16 (ص) ^ 2 = 256 )

( dfrac {(x ′) ^ 2} {64} + dfrac {(y ′) ^ 2} {16} = 1 ).

يظهر الرسم البياني لهذا المقطع المخروطي على النحو التالي.

تمرين ( PageIndex {6} )

تحديد المخروط وحساب زاوية دوران المحاور للمنحنى الموصوف بالمعادلة

[3x ^ 2 + 5xy − 2y ^ 2−125 = 0. ]

تلميح

اتبع الخطوتين 1 و 2 من طريقة الخطوات الخمس الموضحة أعلاه

إجابه

المخروط عبارة عن قطع زائد وزاوية دوران المحاور (θ = 22.5 درجة. )

المفاهيم الرئيسية

  • معادلة القطع المكافئ العمودي في الشكل القياسي مع التركيز والدليل المعينين هي (y = dfrac {1} {4p} (x − h) ^ 2 + k ) حيث (p ) هي المسافة من الرأس إلى التركيز و ((ح ، ك) ) هي إحداثيات الرأس.
  • معادلة القطع الناقص الأفقي في الشكل القياسي هي ( dfrac {(x − h) ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {(y − k) ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) حيث يحتوي المركز على إحداثيات ((ح ، ك) ) ، المحور الرئيسي له طول 2 أ، المحور الصغرى بطول 2 ب، وإحداثيات البؤر هي ((ح ± ج ، ك) ) ، حيث (ج ^ 2 = أ ^ 2 − ب ^ 2 ).
  • معادلة القطع الزائد الأفقي بالصيغة القياسية هي ( dfrac {(x − h) ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {(y − k) ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) حيث يحتوي المركز على إحداثيات ((ح ، ك) ) ، وتقع القمم في ((ح ± أ ، ك) ) ، وإحداثيات البؤر هي ((ح ± ج ، ك) ، ) حيث (ج ^ 2 = أ ^ 2 + ب ^ 2 ).
  • الانحراف اللامركزي للقطع الناقص أقل من 1 ، والانحراف المركزي للقطع المكافئ يساوي 1 ، والانحراف اللامركزي للقطع الزائد أكبر من 1. الانحراف المركزي للدائرة هو 0.
  • المعادلة القطبية لمقطع مخروطي غريب الأطوار ه هو (r = dfrac {ep} {1 ± ecosθ} ) أو (r = dfrac {ep} {1 ± esinθ} ) ، حيث ص يمثل المعلمة البؤرية.
  • لتحديد المخروط الناتج عن المعادلة (Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 ) ، احسب أولاً المميز (D = 4AC − B ^ 2 ). إذا كان (D> 0 ) فإن المخروط عبارة عن قطع ناقص ، وإذا كان (D = 0 ) فإن المخروطي هو قطع مكافئ ، وإذا كان (D <0 ) فإن المخروط عبارة عن قطع زائد.

قائمة المصطلحات

قطع مخروطي
القسم المخروطي هو أي منحنى يتكون من تقاطع مستوى مع مخروط من اثنين من القيلولة
الدليل
الدليل (الجمع: الموجهات) هو خط يستخدم لبناء وتعريف المقطع المخروطي ؛ القطع المكافئ له دليل واحد ؛ القطع الناقص والقطع الزائد لها اثنان
مميز
تسمى القيمة (4AC − B ^ 2 ) ، التي تُستخدم لتعريف المخروط عندما تحتوي المعادلة على مصطلح يتضمن (xy ) ، المميز
التركيز
التركيز (الجمع: البؤر) هو نقطة تستخدم لبناء وتعريف المقطع المخروطي ؛ القطع المكافئ له تركيز واحد ؛ القطع الناقص والقطع الزائد لهما اثنان
شذوذ
يتم تعريف الانحراف بأنه المسافة من أي نقطة على المقطع المخروطي إلى بؤرته مقسومة على المسافة العمودية من تلك النقطة إلى أقرب دليل
المعلمة البؤرية
المعلمة البؤرية هي المسافة من تركيز مقطع مخروطي إلى أقرب دليل
الشكل العام
معادلة مقطع مخروطي مكتوب كمعادلة عامة من الدرجة الثانية
المحور الرئيسي
يمر المحور الرئيسي للمقطع المخروطي عبر الرأس في حالة القطع المكافئ أو من خلال الرأسين في حالة القطع الناقص أو القطع الزائد ؛ إنه أيضًا محور تناظر المخروط ؛ يسمى أيضًا المحور العرضي
محور صغير
المحور الصغرى عمودي على المحور الرئيسي ويتقاطع مع المحور الرئيسي في مركز المخروط ، أو في الرأس في حالة القطع المكافئ ؛ يُطلق عليه أيضًا المحور المترافق
المقيلل
القيلولة هي نصف المخروط المزدوج
النموذج القياسي
معادلة مقطع مخروطي توضح خصائصه ، مثل موقع الرأس أو أطوال المحاور الرئيسية والثانوية
قمة الرأس
الرأس هو نقطة متطرفة على مقطع مخروطي ؛ القطع المكافئ له رأس واحد عند نقطة تحوله. القطع الناقص له رأسان ، أحدهما في نهاية كل محور رئيسي ؛ القطع الزائد له رأسان ، أحدهما عند نقطة تحول كل فرع

1.5 أقسام مخروطية

تمت دراسة المقاطع المخروطية منذ زمن الإغريق القدماء ، واعتبرت مفهومًا رياضيًا مهمًا. في وقت مبكر من 320 قبل الميلاد ، كان علماء الرياضيات اليونانيون مثل Menaechmus و Appollonius و Archimedes مفتونين بهذه المنحنيات. كتب أبولونيوس أطروحة كاملة من ثمانية مجلدات عن المقاطع المخروطية حيث كان ، على سبيل المثال ، قادرًا على اشتقاق طريقة محددة لتحديد مقطع مخروطي من خلال استخدام الهندسة. منذ ذلك الحين ، ظهرت تطبيقات مهمة للمقاطع المخروطية (على سبيل المثال ، في علم الفلك) ، وتستخدم خصائص المقاطع المخروطية في التلسكوبات الراديوية ، ومستقبلات أطباق الأقمار الصناعية ، وحتى الهندسة المعمارية. نناقش في هذا القسم الأقسام الثلاثة الأساسية المخروطية وبعض خصائصها ومعادلاتها.

تحصل المقاطع المخروطية على اسمها لأنه يمكن إنشاؤها عن طريق تقاطع مستوى مع مخروط. يحتوي المخروط على جزأين متطابقين يسمى nappes. قيلولة واحدة هو ما يقصده معظم الناس بـ "مخروط" ، على شكل قبعة حفلة. يمكن إنشاء مخروط دائري قائم من خلال تدوير خط يمر عبر الأصل حول ذ-المحور كما هو موضح.

يتم إنشاء المقاطع المخروطية عن طريق تقاطع مستوى مع مخروط (الشكل 1.44). إذا كان المستوى موازيًا لمحور الثورة ( ذ-المحور) ، ثم القسم المخروطي هو القطع الزائد. إذا كان المستوى موازيًا لخط التوليد ، فإن الجزء المخروطي هو قطع مكافئ. إذا كان المستوى متعامدًا على محور الدوران ، فإن الجزء المخروطي يكون دائرة. إذا تقاطع المستوى مع قيلولة واحدة بزاوية مع المحور (بخلاف 90 درجة) ، 90 درجة) ، فإن المقطع المخروطي هو قطع ناقص.

القطع المكافئ

يتم إنشاء القطع المكافئ عندما يتقاطع مستوى مع مخروط موازٍ لخط التوليد. في هذه الحالة ، تتقاطع الطائرة مع أحد القيلولة فقط. يمكن أيضًا تعريف القطع المكافئ من حيث المسافات.

تعريف

القطع المكافئ هو مجموعة من جميع النقاط التي تكون المسافة من نقطة ثابتة ، تسمى البؤرة ، مساوية للمسافة من خط ثابت ، يسمى الدليل. تسمى النقطة الواقعة في منتصف المسافة بين البؤرة والدليل رأس القطع المكافئ.

يظهر رسم بياني للقطع المكافئ النموذجي في الشكل 1.45. باستخدام هذا الرسم البياني جنبًا إلى جنب مع صيغة المسافة ، يمكننا اشتقاق معادلة للقطع المكافئ. تذكر صيغة المسافة: نقطة معينة ص ذات الإحداثيات (x 1 ، y 1) (x 1 ، y 1) والنقطة س بالإحداثيات (س 2 ، ص 2) ، (س 2 ، ص 2) ، يتم تحديد المسافة بينهما بواسطة الصيغة

ثم من تعريف القطع المكافئ والشكل 1.45 ، نحصل على

تربيع كلا الجانبين وتبسيط الغلة

معادلات للقطوع المكافئة

هذا هو الشكل القياسي للقطع المكافئ.

يمكننا أيضًا دراسة الحالات التي ينفتح فيها القطع المكافئ لأسفل أو إلى اليسار أو اليمين. يمكن أيضًا كتابة المعادلة الخاصة بكل حالة من هذه الحالات بالشكل القياسي كما هو موضح في الرسوم البيانية التالية.

بالإضافة إلى ذلك ، يمكن كتابة معادلة القطع المكافئ في الشكل العام ، على الرغم من أن قيم ح, ك، و ص لا يمكن التعرف عليها على الفور. تتم كتابة الشكل العام للقطع المكافئ

المعادلة الأولى تمثل القطع المكافئ الذي يفتح إما لأعلى أو لأسفل. المعادلة الثانية تمثل القطع المكافئ الذي يفتح إما لليسار أو لليمين. لوضع المعادلة في الشكل القياسي ، استخدم طريقة إكمال المربع.

المثال 1.19

تحويل معادلة القطع المكافئ من العام إلى النموذج القياسي

المحلول

منذ ذ غير مربعة في هذه المعادلة ، فنحن نعلم أن القطع المكافئ يفتح إما لأعلى أو لأسفل. لذلك نحن بحاجة إلى حل هذه المعادلة من أجل ذ والتي ستضع المعادلة في الشكل القياسي. للقيام بذلك ، أضف أولاً 8 y 8 y لكلا طرفي المعادلة:

الخطوة التالية هي إكمال المربع الموجود على الجانب الأيمن. ابدأ بتجميع أول حدين على الجانب الأيمن باستخدام الأقواس:

حدد بعد ذلك الثابت الذي ، عند إضافته داخل الأقواس ، يجعل الكمية الموجودة داخل الأقواس مربعًا كاملًا ثلاثي الحدود. للقيام بذلك ، خذ نصف المعامل x وربّعها. هذا يعطينا (−4 2) 2 = 4. (−4 2) 2 = 4. أضف 4 داخل الأقواس واطرح 4 خارج الأقواس ، بحيث لا تتغير قيمة المعادلة:

الآن اجمع الحدود المتشابهة وعالج الكمية الموجودة داخل الأقواس:

محور تناظر القطع المكافئ العمودي (يفتح لأعلى أو لأسفل) هو خط عمودي يمر عبر الرأس. القطع المكافئ له خاصية عاكسة مثيرة للاهتمام. لنفترض أن لدينا طبق استقبال مع مقطع عرضي مكافئ. إذا دخلت شعاع من الموجات الكهرومغناطيسية ، مثل الضوء أو موجات الراديو ، إلى الطبق في خط مستقيم من قمر صناعي (موازٍ لمحور التناظر) ، فإن الموجات تنعكس عن الطبق وتتجمع عند بؤرة القطع المكافئ مثل مبين.

فكر في طبق مكافئ مصمم لجمع الإشارات من قمر صناعي في الفضاء. الطبق موجه مباشرة إلى القمر الصناعي ، ويقع جهاز الاستقبال في بؤرة القطع المكافئ. تنعكس موجات الراديو القادمة من القمر الصناعي عن سطح القطع المكافئ إلى جهاز الاستقبال ، الذي يجمع الإشارات الرقمية ويفك تشفيرها. يسمح هذا لجهاز استقبال صغير بجمع الإشارات من زاوية واسعة من السماء. تعمل المصابيح الكاشفة والمصابيح الأمامية في السيارة على نفس المبدأ ، ولكن في الاتجاه المعاكس: يقع مصدر الضوء (أي المصباح الكهربائي) عند البؤرة والسطح العاكس على المرآة المكافئة يركز الشعاع للأمام مباشرة. يسمح هذا لمصباح كهربائي صغير بإضاءة زاوية واسعة من الفضاء أمام المصباح أو السيارة.

الحذف

يمكن أيضًا تعريف القطع الناقص من حيث المسافات. في حالة القطع الناقص ، هناك بؤرتان (جمع التركيز) ودليلان (جمع الدليل). سنلقي نظرة على الأدلة بمزيد من التفصيل لاحقًا في هذا القسم.

تعريف

ان الشكل البيضاوي هي مجموعة جميع النقاط التي يكون مجموع مسافاتها من نقطتين ثابتتين (البؤر) ثابتًا.

وفقًا لتعريف القطع الناقص ، يمكننا اختيار أي نقطة على القطع الناقص ويكون مجموع المسافات من هذه النقطة إلى البؤرتين ثابتًا. افترض أننا اخترنا النقطة ص. منذ إحداثيات النقطة ص هي (أ ، 0) ، (أ ، 0) ، مجموع المسافات

لذلك مجموع المسافات من نقطة اعتباطية أ ذات الإحداثيات (س ، ص) (س ، ص) تساوي أيضًا 2أ. باستخدام صيغة المسافة ، نحصل على

اطرح الجذر الثاني من كلا الجانبين وربّع كلا الجانبين:

الآن افصل الجذر في الطرف الأيمن عن المربع مرة أخرى:

افصل المتغيرات الموجودة في الجانب الأيسر من المعادلة والثوابت على الجانب الأيمن:

قسّم كلا الطرفين على 2 - c 2. أ 2 - ج 2. هذا يعطي المعادلة

أخيرًا ، إذا تم نقل مركز القطع الناقص من الأصل إلى النقطة (h ، k) ، (h ، k) ، لدينا الشكل القياسي التالي للقطع الناقص.

معادلة القطع الناقص في النموذج القياسي

إذا كان المحور الرئيسي عموديًا ، تصبح معادلة القطع الناقص

إذا كان المحور الرئيسي أفقيًا ، فإن القطع الناقص يسمى أفقيًا ، وإذا كان المحور الرئيسي رأسيًا ، فإن القطع الناقص يسمى عموديًا. تكون معادلة القطع الناقص بشكل عام إذا كانت في الصورة A x 2 + B y 2 + C x + D y + E = 0، A x 2 + B y 2 + C x + D y + E = 0 ، أين أ و ب كلاهما موجب أو كلاهما سلبي. لتحويل المعادلة من النموذج العام إلى النموذج القياسي ، استخدم طريقة إكمال المربع.

مثال 1.20

إيجاد الشكل القياسي للقطع الناقص

المحلول

اطرح أولاً 36 من طرفي المعادلة:

المجموعة التالية x الشروط معا و ذ المصطلحات معًا ، واستخراج العامل المشترك:

الآن حلل كلا مجموعتي الأقواس وقسمهما على 36:

وفقًا لقانون كبلر الأول لحركة الكواكب ، فإن مدار كوكب حول الشمس عبارة عن قطع ناقص مع الشمس في إحدى البؤر كما هو موضح في الشكل 1.50 (أ). نظرًا لأن مدار الأرض عبارة عن قطع ناقص ، فإن المسافة من الشمس تختلف على مدار العام. من المفاهيم الخاطئة الشائعة أن الأرض أقرب إلى الشمس في الصيف. في الواقع ، في الصيف بالنسبة لنصف الكرة الشمالي ، تكون الأرض بعيدة عن الشمس عنها خلال فصل الشتاء. يرجع الاختلاف في الموسم إلى ميل محور الأرض في المستوى المداري. المذنبات التي تدور حول الشمس ، مثل مذنب هالي ، لها أيضًا مدارات إهليلجية ، مثلها مثل الأقمار التي تدور حول الكواكب والأقمار الصناعية التي تدور حول الأرض.

تتمتع القطع الناقصة أيضًا بخصائص عاكسة مثيرة للاهتمام: يمر شعاع الضوء المنبعث من تركيز واحد عبر البؤرة الأخرى بعد انعكاس المرآة في القطع الناقص. يحدث الشيء نفسه مع الموجة الصوتية أيضًا. قاعة التماثيل الوطنية في مبنى الكابيتول الأمريكي في واشنطن العاصمة ، هي غرفة مشهورة في شكل بيضاوي كما هو موضح في الشكل 1.50 (ب). كانت هذه القاعة بمثابة مكان اجتماع لمجلس النواب الأمريكي لما يقرب من خمسين عامًا. يتم تحديد موقع بؤرتي هذه الغرفة شبه الإهليلجية بوضوح من خلال علامات على الأرض ، وحتى إذا كانت الغرفة مليئة بالزوار ، عندما يقف شخصان على هذه البقع ويتحدثان مع بعضهما البعض ، فيمكنهما سماع بعضهما البعض كثيرًا بشكل أكثر وضوحًا مما يمكنهم سماع شخص يقف بالقرب منهم. تقول الأسطورة أن مكتب جون كوينسي آدامز كان يقع على إحدى البؤر وكان قادرًا على التنصت على أي شخص آخر في المنزل دون الحاجة إلى الوقوف على الإطلاق. على الرغم من أن هذا يصنع قصة جيدة ، إلا أنه من غير المحتمل أن يكون صحيحًا ، لأن السقف الأصلي أنتج الكثير من الصدى لدرجة أنه كان يجب تعليق الغرفة بأكملها بالسجاد لتخفيف الضوضاء. أعيد بناء السقف في عام 1902 وعندها فقط ظهر تأثير الهمس الشهير الآن. معرض هامس آخر شهير - موقع العديد من عروض الزواج - موجود في محطة غراند سنترال في مدينة نيويورك.

القطوع الزائدة

يمكن أيضًا تعريف القطع الزائد من حيث المسافات. في حالة القطع الزائد ، توجد بؤرتان ودليلان. تحتوي القطوع الزائدة أيضًا على خطين مقاربين.

تعريف

القطع الزائد هو مجموعة كل النقاط حيث يكون الفرق بين مسافاتها من نقطتين ثابتتين (البؤرتين) ثابتًا.

يظهر الرسم البياني للقطع الزائد النموذجي على النحو التالي.

وبالتالي فإن هذه المعادلة صحيحة لأي نقطة على القطع الزائد. العودة إلى الإحداثيات (س ، ص) (س ، ص) ل ص:

أضف الجذر الثاني من كلا الجانبين ومربع كلا الجانبين:

الآن افصل الجذر في الطرف الأيمن عن المربع مرة أخرى:

افصل المتغيرات الموجودة في الجانب الأيسر من المعادلة والثوابت على الجانب الأيمن:

أخيرًا ، قسّم كلا الطرفين على 2 - c 2. أ 2 - ج 2. هذا يعطي المعادلة

أخيرًا ، إذا تم نقل مركز القطع الزائد من الأصل إلى النقطة (ح ، ك) ، (ح ، ك) ، لدينا الشكل القياسي التالي للقطع الزائد.

معادلة القطع الزائد في الصورة القياسية

إذا كان المحور الرئيسي عموديًا ، تصبح معادلة القطع الزائد

إذا كان المحور الرئيسي (المحور العرضي) أفقيًا ، فإن القطع الزائد يسمى أفقيًا ، وإذا كان المحور الرئيسي رأسيًا ، فإن القطع الزائد يسمى عموديًا. تكون معادلة القطع الزائد بشكل عام إذا كانت في الصورة A x 2 + B y 2 + C x + D y + E = 0، A x 2 + B y 2 + C x + D y + E = 0 ، أين أ و ب لديهم علامات معاكسة. لتحويل المعادلة من النموذج العام إلى النموذج القياسي ، استخدم طريقة إكمال المربع.

مثال 1.21

إيجاد الشكل القياسي للقطع الزائد

المحلول

أضف أولاً 124 إلى طرفي المعادلة:

المجموعة التالية x الشروط معا و ذ المصطلحات معًا ، ثم استخرج العوامل المشتركة:

عامل التالي كلا مجموعتي الأقواس وقسمه على 144:

تحتوي القطوع الزائدة أيضًا على خصائص عاكسة مثيرة للاهتمام. ينعكس الشعاع الموجه نحو بؤرة واحدة للقطع الزائد بواسطة مرآة زائدية باتجاه البؤرة الأخرى. هذا المفهوم موضح في الشكل التالي.

هذه الخاصية للقطع الزائد لها تطبيقات مهمة. يتم استخدامه في تحديد الاتجاه الراديوي (نظرًا لأن الاختلاف في الإشارات من برجين ثابت على طول القطعات الزائدة) ، وفي بناء المرايا داخل التلسكوبات (لعكس الضوء القادم من المرآة المكافئة إلى العدسة). حقيقة أخرى مثيرة للاهتمام حول القطوع الزائدة هي أنه بالنسبة للمذنب الذي يدخل النظام الشمسي ، إذا كانت السرعة كبيرة بما يكفي للهروب من جاذبية الشمس ، فإن المسار الذي يسلكه المذنب أثناء مروره عبر النظام الشمسي يكون زائديًا.

الانحراف والمخرج

تتضمن الطريقة البديلة لوصف المقطع المخروطي الموجهات والبؤر وخاصية جديدة تسمى الانحراف. سنرى أن قيمة الانحراف اللامركزي للقسم المخروطي يمكن أن تحدد هذا الشكل المخروطي بشكل فريد.

تعريف

الغرابة ه من المقطع المخروطي يعرف بأنه المسافة من أي نقطة على المقطع المخروطي إلى بؤرته ، مقسومة على المسافة العمودية من تلك النقطة إلى أقرب دليل. هذه القيمة ثابتة لأي قسم مخروطي ، ويمكن أن تحدد المقطع المخروطي أيضًا:

الانحراف اللامركزي في الدائرة يساوي صفرًا. دليل المقطع المخروطي هو الخط الذي يعمل ، مع النقطة المعروفة باسم التركيز ، على تحديد المقطع المخروطي. القطوع الزائدة والقطع الناقص غير الدائرية لها بؤرتان ودليلان مرتبطان. القطع المكافئ لها تركيز واحد ودليل واحد.

تظهر المقاطع الثلاثة المخروطية مع توجيهاتها في الشكل التالي.

تذكر من تعريف القطع المكافئ أن المسافة من أي نقطة على القطع المكافئ إلى البؤرة تساوي المسافة من نفس النقطة إلى الدليل. لذلك ، بحكم التعريف ، يجب أن يكون الانحراف المركزي للقطع المكافئ 1. معادلات توجيهات القطع الناقص الأفقي هي x = ± a 2 c. س = ± أ 2 ج. يقع الرأس الأيمن للقطع الناقص عند (أ ، 0) (أ ، 0) والتركيز الأيمن هو (ج ، 0). (ج ، 0). إذن ، المسافة من الرأس إلى البؤرة هي a - c a - c والمسافة من الرأس إلى الدليل الأيمن هي a 2 c - a. أ 2 ج - أ. هذا يعطي غريب الأطوار مثل


11.5: أقسام مخروطية

كلية مجتمع برونكس بجامعة مدينة نيويورك

قسم الرياضيات وعلوم الحاسوب

SYLLABUS: الرياضيات 32  حساب التفاضل والتكامل والهندسة التحليلية 2 (4 ساعات معتمدة / 6 ساعات في الأسبوع)

متطلب سابق: الرياضيات 31 أو ما يعادلها

النص: حساب التفاضل والتكامل (الإصدار السادس) بقلم جيمس ستيوارت ، نشرته مؤسسة بروكس / كول.

يمكن للطلاب الذين لا يحتاجون إلى الرياضيات 33 استخدام حساب المتغير الفردي (الإصدار السادس) بواسطة

جيمس ستيوارت ، نشرته بروكس / كول.

تمارين مقترحه لموضوع القسم

الفصل السادس: تطبيقات التكامل

6.1 المناطق بين المنحنيات ص. 352: 1  29 فردي

6.2 مجلدات ص. 362: 1 35 فردي ، 56-62

6.3 مجلدات بأصداف أسطوانية ص. 368: 1  25 فردي

مراجعة الصفحة. 378: 1 ، 7 ، 9 ، 15 ، 23 ، 25

الفصل السابع: وظائف معكوسة

7.1 وظائف معكوسة ص. 391: فردي 1 15 ، 23-27 ، 33-41

خيار المعلم: 7.2-7.4 أو 7.2 * -7.4 *

وظائف أسية و

مشتقاتهم ص. 402: 1 ، 7 13 فردي ، 23  45 فردي ، 73-81 فردي

الدالات اللوغاريتمية ص. 409: 1 17 فردي ، 25 33 فردي ، 45 ، 47 ، 49

7.4 مشتقات الدوال اللوغاريتمية ص. 419: 1  29 فردي ، 41  51 فردي ، 69 79 فردي

7.2 * الوظيفة اللوغاريتمية الطبيعية ص. 428: 1-35 فردي ، 59-71 فردي

7.3 * الدالة الأسية الطبيعية ص. 435: 5-11 فردي ، 27-47 فردي ، 75-83 فردي

7.4 * عام لوغاريتمي وأسي ص. 445: 1-9 فردي ، 21-41 فردي ، 45-49 فردي

7.6 الدوال المثلثية المعكوسة ص. 461: 5 13 فردي ، 23  35 فردي ، 43،45،59  69 فردي

7.7 وظائف الزائدية ص. 468: 7 23 فردي ، 31  47 فردي ، 57 65 فردي

7.8 أشكال غير محددة و

قاعدة لوبيتال ص. 478: 1 4 ، 5 63 فردي ، 93 ، 94 ، 95

مراجعة الصفحة. 483: 5 47 فردي ، 63 77 فردي ، 93 105 فردي

الفصل الثامن: تقنيات التكامل

8.1 التكامل بالأجزاء ص. 493: 1 37 فردي ، 43 52

خيار المدرب: 8.4 يمكن إجراؤه على الفور بعد 8.1.

8.2 التكاملات المثلثية pg. 501: 1  31 فردي

8.3 التعويض المثلثي pg. 508: 1 29 فردي

تكامل وظائف عقلانية ص. 517: 1 29 فردي ، 39-49 فردي

8.5 استراتيجية التكامل ص. 524: 1  57 فردي

8.8 التكاملات غير الصحيحة ص. 551: 1 ، 5 31 فردي ، اختياري 49-54

مراجعة الصفحة. 554: 1 25 فردي ، 41  49 فردي

الفصل 9: تطبيقات أخرى للتكاملات

9.1 طول القوس ص. 566: 1  17 فردي

9.2 مساحة سطح الثورة ص. 573: 1 15 فردي ، 25

الفصل 11: المعادلات البارامترية والإحداثيات القطبية

11.3 الإحداثيات القطبية ص. 683: 1 11 فردي ، 15  25 فردي 29  47 فردي

11.4 المناطق والأطوال في الإحداثيات القطبية ص. 689: 1 31 فردي ، اختياري 45-48

11.5 المقاطع المخروطية ص. 696: 1 47 فردي

القسم 11.6 هو خيار للمدرس.

11.6 المقاطع المخروطية في الإحداثيات القطبية ص. 704: 1  15 فردي

مراجعة الصفحة. 706: 9  15 فردي ، 31  39 فردي ، 45 55 فردي

ملاحظة: يمكن مناقشة بعض عناصر القسمين 11.1 و 11.2 كمقدمة عامة للمنحنيات المشمولة في الفصلين 9 و 11.


لم يعد متوفرًا - احسب: ET الإصدار الأول

يُسمح لطلابك بالوصول غير المحدود إلى دورات WebAssign التي تستخدم هذا الإصدار من الكتاب المدرسي دون أي تكلفة إضافية.

الوصول مشروط باستخدام هذا الكتاب المدرسي في الفصل الدراسي للمدرس.

  • الفصل 1: مراجعة حساب التفاضل والتكامل
    • 1.1 الأعداد الحقيقية والدوال والمعادلات والرسوم البيانية (18)
    • 1.2 الوظائف الخطية والتربيعية (20)
    • 1.3 الفئات الأساسية للوظائف (15)
    • 1.4 الدوال المثلثية (11)
    • 1.5 وظائف عكسية (12)
    • 1.6 الدوال الأسية واللوغاريتمية (14)
    • 1.7 التكنولوجيا: الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر (11)
    • 2.1 حدود ومعدلات التغيير وخطوط الظل (11)
    • 2.2 الحدود: منهج رقمي ورسوم بياني (12)
    • 2.3 قوانين الحدود الأساسية (11)
    • 2.4 الحدود والاستمرارية (12)
    • 2.5 تقييم الحدود جبريًا (15)
    • 2.6 الحدود المثلثية (13)
    • 2.7 نظرية القيمة المتوسطة (11)
    • 2.8 التعريف الرسمي للحد (11)
    • 3.1 تعريف المشتق (11)
    • 3.2 المشتق كدالة (16)
    • 3.3 قواعد المنتج والحاصل (11)
    • 3.4 معدلات التغيير (12)
    • 3.5 المشتقات الأعلى (12)
    • 3.6 مشتقات الدوال المثلثية (13)
    • 3.7 قاعدة السلسلة (14)
    • 3.8 التفاضل الضمني (12)
    • 3.9 مشتقات الدوال العكسية (11)
    • 3.10 مشتقات الدوال اللوغاريتمية (14)
    • 3.11 أسعار ذات صلة (11)
    • 4.1 التقريب الخطي والتطبيقات (10)
    • 4.2 القيم المتطرفة (12)
    • 4.3 نظرية القيمة المتوسطة والرتابة (12)
    • 4.4 شكل الرسم البياني (12)
    • 4.5 رسم بياني وخطوط مقاربة (11)
    • 4.6 التحسين التطبيقي (16)
    • 4.7 قاعدة L'Ho'pital (11)
    • 4.8 طريقة نيوتن (11)
    • 4.9 مضادات المشتقات (11)
    • 5.1 منطقة التقريب والحساب (11)
    • 5.2 التكامل المحدد (11)
    • 5.3 النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل ، الجزء الأول (11)
    • 5.4 النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل ، الجزء الثاني (11)
    • 5.5 صافي أو إجمالي التغيير باعتباره تكامل معدل (11)
    • 5.6 طريقة الاستبدال (11)
    • 5.7 تكاملات الدوال الأسية واللوغاريتمية (11)
    • 5.8 النمو الأسي والانحطاط (11)
    • 6.1 المساحة بين منحنيين (11)
    • 6.2 إعداد التكاملات: الأحجام ، الكثافة ، متوسط ​​القيمة (11)
    • 6.3 أحجام الثورة (11)
    • 6.4 طريقة الأصداف الأسطوانية (11)
    • 6.5 العمل والطاقة (11)
    • 7.1 التكامل العددي (11)
    • 7.2 التكامل بالتقسيم (11)
    • 7.3 التكاملات المثلثية (11)
    • 7.4 التعويض المثلثي (11)
    • 7.5 تكاملات الدوال الزائدية والمعكوسة الزائدية (11)
    • 7.6 طريقة الكسور الجزئية (11)
    • 7.7 التكاملات غير الصحيحة (11)
    • 8.1 طول القوس ومساحة السطح (10)
    • 8.2 ضغط الموائع والقوة (11)
    • 8.3 مركز الكتلة (11)
    • 8.4 تايلور متعدد الحدود (11)
    • 9.1 المعادلات القابلة للفصل (12)
    • 9.2 النماذج المتضمنة ذ' = ك(ص ب) (12)
    • 9.3 الطرق الرسومية والرقمية (12)
    • 9.4 المعادلة اللوجستية (11)
    • 9.5 المعادلات الخطية من الدرجة الأولى (11)
    • 10.1 التسلسلات (11)
    • 10.2 تلخيص سلسلة لانهائية (11)
    • 10.3 تقارب السلاسل مع المصطلحات الإيجابية (11)
    • 10.4 التقارب المشروط والمطلق (11)
    • 10.5 اختبارات النسبة والجذر (11)
    • 10.6 سلسلة الطاقة (11)
    • 10.7 سلسلة تايلور (11)
    • 11.1 المعادلات البارامترية (11)
    • 11.2 طول القوس وسرعته (11)
    • 11.3 الإحداثيات القطبية (11)
    • 11.4 المساحة وطول القوس في الإحداثيات القطبية (11)
    • 11.5 أقسام مخروطية الشكل (11)
    • 12.1 المتجهات في الطائرة (11)
    • 12.2 ناقلات في ثلاثة أبعاد (11)
    • 12.3 حاصل الضرب القياسي والزاوية بين متجهين (11)
    • 12.4 المنتج المتقاطع (11)
    • 12.5 طائرات في ثلاث فضاءات (11)
    • 12.6 مسح الأسطح الرباعية (11)
    • 12.7 إحداثيات أسطوانية وكروية (11)
    • 13.1 وظائف ذات قيمة المتجه (11)
    • 13.2 حساب الدوال المتجهية القيمة (11)
    • 13.3 طول القوس وسرعته (10)
    • 13.4 الانحناء (10)
    • 13.5 الحركة في ثلاث مسافات (10)
    • 13.6 حركة الكواكب وفقًا لكبلر ونيوتن (11)
    • 14.1 وظائف في متغيرين أو أكثر (11)
    • 14.2 الحدود والاستمرارية في عدة متغيرات (11)
    • 14.3 المشتقات الجزئية (11)
    • 14.4 التقريب الخطي والتفاضل والمستويات المماسية (11)
    • 14.5 مشتقات التدرج والاتجاه (11)
    • 14.6 قاعدة السلسلة (11)
    • 14.7 التحسين في عدة متغيرات (11)
    • 14.8 مضاعفات لاغرانج: تحسين مع قيد (11)
    • 15.1 التكاملات في عدة متغيرات (11)
    • 15.2 تكاملات مزدوجة عبر مناطق عامة أكثر (11)
    • 15.3 التكاملات الثلاثية (11)
    • 15.4 التكامل في الإحداثيات القطبية والأسطوانية والكروية (11)
    • 15.5 تغيير المتغيرات (10)
    • 16.1 الحقول المتجهة (11)
    • 16.2 تكاملات الأسطر (11)
    • 16.3 حقول النواقل المحافظة (11)
    • 16.4 الأسطح ذات المعاملات وتكامل الأسطح (11)
    • 16.5 تكاملات الحقول المتجهة (11)
    • 17.1 نظرية جرين (11)
    • 17.2 نظرية ستوكس (10)
    • 17.3 نظرية الاختلاف (11)

    حساب التفاضل والتكامل (متري) الطبعة السادسة

    يُسمح لطلابك بالوصول غير المحدود إلى دورات WebAssign التي تستخدم هذا الإصدار من الكتاب المدرسي دون أي تكلفة إضافية.

    الوصول مشروط باستخدام هذا الكتاب المدرسي في الفصل الدراسي للمدرس.

    • الفصل 1: وظائف ونماذج
      • 1.1: أربع طرق لتمثيل وظيفة (49)
      • 1.2: النماذج الرياضية: فهرس الوظائف الأساسية (10)
      • 1.3: وظائف جديدة من الوظائف القديمة (44)
      • 1.4: حاسبات الرسوم البيانية وأجهزة الكمبيوتر (12)
      • 1: مراجعة الفصل
      • خطأ صحيح
      • صحيح - خطأ (6)
      • 2.1: مشاكل الظل والسرعة (7)
      • 2.2: حد الوظيفة (22)
      • 2.3: حساب الحدود باستخدام قوانين الحدود (45)
      • 2.4: التعريف الدقيق للحد (11)
      • 2.5: الاستمرارية (18)
      • 2: مراجعة الفصل
      • خطأ صحيح
      • صحيح - خطأ (15)
      • 3.1: المشتقات ومعدلات التغيير (40)
      • 3.2: المشتق كدالة (43)
      • 3.3: صيغ التمايز (75)
      • 3.4: مشتقات الدوال المثلثية (36)
      • 3.5: قاعدة السلسلة (48)
      • 3.6: التمايز الضمني (31)
      • 3.7: معدلات التغيير في العلوم الطبيعية والاجتماعية (17)
      • 3.8: أسعار ذات صلة (34)
      • 3.9: التقريبات والتفاضلات الخطية (28)
      • 3: مراجعة الفصل (1)
      • خطأ صحيح
      • صحيح - خطأ (11)
      • 4.1: القيم القصوى والدنيا (51)
      • 4.2: نظرية القيمة المتوسطة (11)
      • 4.3: كيف تؤثر المشتقات في شكل الرسم البياني (41)
      • 4.4: الحدود عند الخطوط المقاربة الأفقية اللانهاية (32)
      • 4.5: ملخص رسم المنحنى (35)
      • 4.6: الرسوم البيانية باستخدام التفاضل والتكامل والآلات الحاسبة (9)
      • 4.7: مشاكل التحسين (51)
      • 4.8: طريقة نيوتن (29)
      • 4.9: المشتقات العكسية (48)
      • 4: مراجعة الفصل
      • خطأ صحيح
      • صحيح - خطأ (19)
      • 5.1: المساحات والمسافات (13)
      • 5.2: التكامل المحدد (46)
      • 5.3: النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل (56)
      • 5.4: التكاملات غير المحددة ونظرية التغيير الصافي (49)
      • 5.5: قاعدة الاستبدال (71)
      • 5: مراجعة الفصل
      • خطأ صحيح
      • صحيح - خطأ (15)
      • 6.1: المناطق بين المنحنيات (36)
      • 6.2: مجلدات (50)
      • 6.3: مجلدات بأصداف أسطوانية (33)
      • 6.4: العمل (26)
      • 6.5: متوسط ​​قيمة الوظيفة (14)
      • 6: مراجعة الفصل
      • خطأ صحيح
      • خطأ صحيح
      • 7.1: وظائف معكوسة (18)
      • 7.2: الدوال الأسية ومشتقاتها (13)
      • 7.2 *: الوظيفة اللوغاريتمية الطبيعية (3)
      • 7.3: الوظائف اللوغاريتمية (10)
      • 7.3 *: الوظيفة الأسية الطبيعية (57)
      • 7.4: مشتقات الدوال اللوغاريتمية (41)
      • 7.4 *: الوظائف اللوغاريتمية والأسية العامة (21)
      • 7.5: النمو الأسي والانحطاط (18)
      • 7.6: الدوال المثلثية المعكوسة (26)
      • 7.7: الوظائف الزائدية (28)
      • 7.8: نماذج غير محددة وقاعدة لوبيتال (71)
      • 7: مراجعة الفصل
      • خطأ صحيح
      • صحيح - خطأ (6)
      • 8.1: التكامل بالأجزاء (60)
      • 8.2: التكاملات المثلثية (59)
      • 8.3: التعويض المثلثي (34)
      • 8.4: تكامل الدوال المنطقية بواسطة الكسور الجزئية (49)
      • 8.5: استراتيجية التكامل (62)
      • 8.6: التكامل باستخدام الجداول وأنظمة الجبر الحاسوبية (41)
      • 8.7: تكامل تقريبي (39)
      • 8.8: تكاملات غير صحيحة (66)
      • 8: مراجعة الفصل
      • خطأ صحيح
      • صحيح - خطأ (14)
      • 9.1: طول القوس (25)
      • 9.2: مساحة سطح الثورة (22)
      • 9.3: تطبيقات في الفيزياء والهندسة (38)
      • 9.4: تطبيقات في علم الاقتصاد وعلم الأحياء (16)
      • 9.5: الاحتمال (15)
      • 9: مراجعة الفصل
      • خطأ صحيح
      • خطأ صحيح
      • 10.1: النمذجة باستخدام المعادلات التفاضلية (10)
      • 10.2: مجالات الاتجاه وطريقة أويلر (22)
      • 10.3: معادلات منفصلة (35)
      • 10.4: نماذج النمو السكاني (18)
      • 10.5: المعادلات الخطية (24)
      • 10.6: أنظمة المفترس الفريسة (7)
      • 10: مراجعة الفصل
      • خطأ صحيح
      • صحيح - خطأ (7)
      • 11.1: منحنيات محددة بواسطة المعادلات البارامترية (31)
      • 11.2: حساب التفاضل والتكامل مع المنحنيات البارامترية (52)
      • 11.3: الإحداثيات القطبية (59)
      • 11.4: المساحات والأطوال في الإحداثيات القطبية (38)
      • 11.5: أقسام مخروطية (40)
      • 11.6: المقاطع المخروطية في الإحداثيات القطبية (20)
      • 11: مراجعة الفصل
      • خطأ صحيح
      • صحيح - خطأ (10)
      • 12.1: المتتاليات (60)
      • 12.2: مسلسل (59)
      • 12.3: الاختبار المتكامل وتقديرات المجاميع (31)
      • 12.4: اختبارات المقارنة (33)
      • 12.5: سلسلة متناوبة (27)
      • 12.6: التقارب المطلق والنسبة واختبارات الجذر (29)
      • 12.7: إستراتيجية سلسلة الاختبار (27)
      • 12.8: سلسلة الطاقة (33)
      • 12.9: تمثيلات الوظائف كسلسلة طاقة (30)
      • 12.10: سلسلة تايلور وماكلورين (55)
      • 12.11: تطبيقات Taylor Polynomials (28)
      • 12: مراجعة الفصل
      • خطأ صحيح
      • صحيح - خطأ (20)
      • 13.1 أنظمة الإحداثيات ثلاثية الأبعاد (26)
      • 13.2 نواقل (32)
      • 13.3 المنتج النقطي (40)
      • 13.4 المنتج المتقاطع (35)
      • 13.5 معادلات الخطوط والمستويات (53)
      • 13.6 اسطوانات وأسطح رباعية (37)
      • 13: مراجعة الفصل
      • خطأ صحيح
      • صحيح - خطأ (18)
      • 14.1 دالات المتجهات ومنحنيات الفضاء (20)
      • 14.2 مشتقات وتكامل دوال المتجهات (36)
      • 14.3 طول القوس والانحناء (43)
      • 14.4 الحركة في الفضاء: السرعة والتسارع (32)
      • 14: مراجعة الفصل
      • خطأ صحيح
      • صحيح - خطأ (12)
      • 15.1 وظائف عدة متغيرات (51)
      • 15.2 الحدود والاستمرارية (33)
      • 15.3 المشتقات الجزئية (64)
      • 15.4 المستويات المماسية والتقديرات الخطية (32)
      • 15.5 قاعدة السلسلة (39)
      • 15.6 المشتقات الاتجاهية ومتجه التدرج (43)
      • 15.7 القيم القصوى والدنيا (40)
      • 15.8 مضاعفات لاجرانج (35)
      • 15: مراجعة الفصل
      • خطأ صحيح
      • صحيح - خطأ (12)
      • 16.1 التكاملات المزدوجة على المستطيلات (14)
      • 16.2 التكاملات المتكررة (28)
      • 16.3 التكاملات المزدوجة عبر المناطق العامة (39)
      • 16.4 التكاملات المزدوجة في الإحداثيات القطبية (27)
      • 16.5 تطبيقات التكاملات المزدوجة (25)
      • 16.6 التكاملات الثلاثية (36)
      • 16.7 التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الأسطوانية (20)
      • 16.8 التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الكروية (34)
      • 16.9 تغيير المتغيرات في التكاملات المتعددة (16)
      • 16: مراجعة الفصل
      • خطأ صحيح
      • صحيح - خطأ (8)
      • 17.1 الحقول المتجهة (21)
      • 17.2 تكاملات الأسطر (34)
      • 17.3 النظرية الأساسية لتكامل الخط (27)
      • 17.4 نظرية جرين (21)
      • 17.5 الضفيرة والتباعد (26)
      • 17.6 الأسطح البارامترية ومساحاتها (45)
      • 17.7 تكاملات السطح (34)
      • 17.8 نظرية ستوكس (14)
      • 17.9 نظرية الاختلاف (25)
      • 17.10 ملخص
      • 17: مراجعة الفصل
      • خطأ صحيح
      • صحيح - خطأ (8)
      • 18.1 معادلات خطية من الدرجة الثانية (22)
      • 18.2 المعادلات الخطية غير المتجانسة (20)
      • 18.3 تطبيقات المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية (13)
      • 18.4 سلسلة الحلول (8)
      • 18: مراجعة الفصل
      • خطأ صحيح
      • صحيح - خطأ (4)

      محتوى هذا الكتاب المدرسي هو جزء من سلسلة WebAssign المحسّنة من Brooks / Cole. مطلوب بطاقة وصول WebAssign المحسنة لهذا الكتاب. يمكن تعبئة بطاقة الوصول الخاصة هذه مع كتاب مدرسي جديد. يمكن أيضًا شراء بطاقة الوصول عبر الإنترنت أو من متجر الكتب من قبل الطلاب الذين يحتاجون إلى الوصول.

      يرجى مناقشة كيفية طلب حزمة من كتابك الدراسي مع WebAssign مع ممثل Cengage Learning أو WebAssign.

      أصبح نهج Stewart الذي أثبت كفاءته في حل المشكلات أساس WebAssign المحسّن لحساب Stewart's Calculus. ستكون قادرًا على الاختيار من بين أكثر من 1000 مشكلة في الكتب المدرسية لتعيينها في بيئة WebAssign الآمنة عبر الإنترنت ، كل واحدة بها حل مفصل متاح للطلاب وفقًا لتقديرك.

      ولمساعدة الطلاب على إتقان مفاهيم التفاضل والتكامل الهامة ، يتضمن WebAssign المحسن محتوى محسّنًا ، على وجه التحديد ربط مشاكل الواجبات المنزلية بالأدوات التفاعلية والبرامج التعليمية والأمثلة التي كتبها Jim Stewart.


      11.5 سلسلة متناوبة

      مقدمة: سنتحدث في هذا الدرس عن نوع معين من السلاسل يسمى سلسلة بديلة. سوف نتعلم كيفية تحديد متى تتقارب سلسلة بديلة باستخدام اختبار السلسلة المتناوب. سنناقش أيضًا دقة تقديرات المتسلسلات المتناوبة. كما سيتم عرض أفكار التقارب المطلق والمشروط.

      أهداف: بعد هذا الدرس يجب أن تكون قادرًا على:

      • استخدم اختبار السلاسل المتناوب لتحديد ما إذا كانت السلسلة اللانهائية تتقارب.
      • استخدم نظرية متبقية المتسلسلة البديلة لتقريب مجموع المتسلسلة البديلة.

      ملاحظات الفيديو و أمبير: املأ ورقة الملاحظات الخاصة بهذا الدرس (11-5-Alternating-Series) أثناء مشاهدة الفيديو. إذا كنت تفضل ذلك ، يمكنك قراءة القسم 11.5 من كتابك المدرسي وحل المشكلات الموجودة في الملاحظات بنفسك كممارسة. تذكر أنه يجب تحميل الملاحظات على Blackboard أسبوعيًا للحصول على تقدير! إذا لم يتم تحميل الفيديو أدناه لسبب ما ، فيمكنك الوصول إليه على YouTube هنا.

      الواجب المنزلي: انتقل إلى WebAssign وأكمل مهمة & # 822011.5 Alternating Series & # 8221.

      مشاكل الممارسة: # 1-13 احتمالات ، 17 ، 19 ، 23 ، 25 ، 27 ، 29 ، 31

      اترك رد إلغاء الرد

      جامعة ألاسكا فيربانكس هي صاحب عمل AA / EO ومؤسسة تعليمية وتحظر التمييز غير القانوني ضد أي فرد. تعرف على المزيد حول إشعار عدم التمييز UA & # 8217s.


      مقدمة

      المقدمة متاحة للتنزيل بتنسيق PDF.

      هذه المادة محمية بموجب جميع قوانين حقوق النشر ، كما هي موجودة حاليًا. لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من هذه المواد ، بأي شكل أو بأي وسيلة ، دون إذن كتابي من الناشر.

      جديد في هذا الإصدار

      · تصورات موجهة إحياء المفاهيم الرياضية ، ومساعدة الطلاب على تصور المفاهيم من خلال الاستكشافات الموجهة والتلاعب الهادف. قام كيرك تريجستد بكتابة وتطوير التصورات الموجهة المحددة لبرنامج الجبر وعلم المثلثات الخاص به. يتم دمجها في النص الإلكتروني ويمكن تخصيصها بتمارين التقييم في MyLab Math لتشجيع التعلم النشط والتفكير النقدي والفهم المفاهيمي. يتم تحديد تمارين التصور الإرشادي في MyLab math من خلال الرمز "GV" وفي النص الإلكتروني بالرمز:

      · أسئلة تقييم الفيديو يمكن تخصيص تمارين MyLab Math المرتبطة بموضوعات الفيديو الرئيسية. تم تصميم هذه الأسئلة للتحقق من فهم الطلاب لمفاهيم الرياضيات المهمة التي تم تناولها في الفيديو. يتم تحديد أسئلة تقييم الفيديو في MyLab Math بواسطة الكود "VQ".

      · تمارين السحب والإفلات هي نوع جديد من تمارين MyLab Math يسمح للطلاب بسحب العناصر التي تحتوي على تعبيرات رياضية أو كلمات أو رسوم بيانية أو صور من حاوية البداية إلى مناطق مستهدفة محددة. يُطلب من الطلاب أداء مستوى أعلى من اتخاذ القرار في إجاباتهم باستخدام أنواع التمارين هذه. يتم استخدام هذا النوع من التمرين بشكل أكبر في أسئلة تقييم الفيديو.

      · تعيينات العينات المحسنة تم إنشاؤها بواسطة Kirk Trigsted لتسهيل إعداد الدورة التدريبية من خلال منح المعلمين نقطة انطلاق لكل فصل. تتضمن كل مهمة ، منتقاة بعناية من قبل المؤلف لتتماشى مع هذا النص ، مزيجًا مدروسًا من أنواع الأسئلة (على سبيل المثال ، المفاهيم ، والمهارات ، وما إلى ذلك) الخاصة بهذا الموضوع.

      · تعيينات منشئ المهارات تقدم ممارسة تكيفية مصممة لزيادة قدرة الطلاب على إكمال مهامهم. من خلال مراقبة أداء الطلاب في واجباتهم المدرسية ، تتكيف Skill Builder مع احتياجات كل طالب وتوفر فقط • في • الوقت ، في • ممارسة المهام لمساعدتهم على تحسين كفاءتهم في أهداف التعلم الرئيسية.

      · ال مراجعة الفصل تمت مراجعة بشكل كبير ، بما في ذلك 160 تمرينًا جديدًا أو محدثًا و 34 مقطع فيديو جديدًا. أيضًا ، يناقش قسم جديد في فصل المراجعة العمليات باستخدام العناصر الراديكالية (القسم R.5)

      · ملخصات الفصول التفاعلية يتم تنظيمها حسب القسم وتسليط الضوء على المفاهيم والتعريفات المهمة جنبًا إلى جنب مع أمثلة ومقاطع فيديو جنبًا إلى جنب لتسهيل دراسة المفاهيم الأساسية على الطلاب. يمكن تعيين ملخصات الفصول في MyLab ™ Math.

      · أكثر من 1200 تمرين جديد ومحدث، ومساعدة الطلاب على الاستفادة القصوى من الوقت الذي يقضونه في أداء الواجبات المنزلية ، وتعظيم البيئة الرقمية لزيادة الفهم المفاهيمي. يمكن تخصيص جميع التمارين في MyLab Math وتظهر في مرجع النص الإلكتروني المطبوع.


      الرجوع إلى الشكل 11 5 تحديد المنحنيات في الرسم التخطيطي

      منحنى متوسط ​​التكلفة المتغيرة G. منحنى متوسط ​​التكلفة الإجمالية.

      الكوازارات الضخمة للغاية ليست وكلاء جيدون للكثافة

      17 الرجوع إلى الشكل 10 4.

      راجع الشكل 11 5 حدد المنحنيات في الرسم التخطيطي. عندما يرتفع الناتج الهامشي للعمالة. منحنى التكلفة الثابتة Haverage. منحنى متوسط ​​التكلفة الثابتة H.

      19 إذا كان منحنى التكلفة الحدية أقل من منحنى متوسط ​​التكلفة المتغيرة ، فإن متوسط ​​التكلفة المتغيرة يتزايد. حدد المنحنيات في الرسم التخطيطي. يوضح الشكل 12 5 الشكل 125 منحنيات التكلفة والطلب التي تواجه شركة نموذجية في صناعة ذات تكلفة تنافسية كاملة.

      منحنى متوسط ​​التكلفة الإجمالية. راجع الشكل 11 5. ب أ إلى ج.

      7 الرجوع إلى الشكل 11 5. تحديد المنحنيات في الرسم التخطيطي. لنفترض أن سعر جلسات البيلاتيس يرتفع إلى 30 بينما يظل الدخل وسعر جلسات اليوجا دون تغيير.

      منحنى متوسط ​​التكلفة الثابتة H. منحنيات التكلفة الحدية و المتوسط. منحنى متوسط ​​التكلفة الإجمالية.

      منحنيات التكلفة الحدية و متوسط ​​منحنى التكلفة الإجمالية. منحنى متوسط ​​التكلفة المتغيرة G. 18 الرجوع إلى الشكل 11 5.

      C تنخفض التكلفة الثابتة مع زيادة القدرة. ج أ إلى د. حدد المنحنيات في الرسم التخطيطي.

      G متوسط ​​منحنى التكلفة المتغيرة h منحنى التكلفة الحدية b e منحنى التكلفة الحدية. حدد المنحنيات في الرسم التخطيطي. إذا أضاف عامل آخر 9 وحدات إنتاج إلى مجموعة من العمال الذين يبلغ متوسط ​​إنتاجهم 7 وحدات ، فإن متوسط ​​إنتاج العمالة.

      يقترب المنحنى g من المنحنى f لأن التكلفة الحدية أعلى من متوسط ​​التكاليف المتغيرة. منحنى متوسط ​​التكلفة الثابتة. 10 الرجوع إلى الشكل 11 1.

      منحنى التكلفة الإجمالية. في الرسم البياني الذي يوضح الناتج الهامشي للعمالة على المحور الرأسي والعمالة على المحور الأفقي ، لا يتقاطع منحنى المنتج الهامشي 10 أ أبدًا مع المحور الأفقي. 25 أ متوسط ​​منحنى التكلفة الثابتة.

      ينخفض ​​متوسط ​​التكلفة الثابتة B مع ارتفاع الإنتاج. يشير الاختلاف الرأسي بين المنحنيين f و g المقاييس 18 إلى الشكل 10 4. اعرض نص الصورة المكتوبة بالرجوع إلى الشكل 11 5 حدد المنحنيات في الرسم التخطيطي.

      د د إلى ب. حدد المنحنيات في الرسم التخطيطي. 17 الرجوع إلى الشكل 11 5.

      يتقاطع B مع المحور الأفقي عند نقطة تقابل العامل الخامس. يتم تمثيل تأثير الاستبدال لتغير السعر هذا بالحركة من أ إلى ب. حدد المنحنيات في الرسم التخطيطي.

      تحتوي هذه المعاينة على أقسام غير واضحة عمدًا. منحنى متوسط ​​التكلفة المتغيرة G. منحنى التكلفة الحدية E.

      منحنى متوسط ​​التكلفة الثابتة H. منحنى متوسط ​​التكلفة المتغيرة G. 6 الرجوع إلى الشكل 10 7.

      25 الرجوع إلى الشكل 11 5. الشكل 10 4 الموافقة المسبقة عن علم 16 الرجوع إلى الشكل 10 4. قم بالتسجيل لعرض النسخة الكاملة.

      حدد المنحنيات في الرسم التخطيطي. الدراسة المنزلية لأسئلة اقتصاديات الأعمال وإجاباتها تشير إلى الشكل 11 4. D يتم تعيين العامل الخامس.

      حدد المنحنيات في الرسم التخطيطي. الرجوع إلى الشكل 125.

      السلوك الدوري لغرامات ركاز الحديد على مقياس ناقلات البضائع السائبة

      الفروق العرقية والعمرية في التنبؤ بالوفيات عند منتصف المستوى الأعلى

      محلول الرجوع إلى الشكل 11 5 تحديد المنحنيات في د

      11 5 أقسام مخروطية نصوص الرياضيات

      طفرات مستقبلات Igf I الناتجة في داخل الرحم وبعد الولادة

      الرياح مدفوعة الزخم من الثقب الأسود الفعال إشعاعيًا

      فهم الاختبارات التشخيصية الجزء الثالث تشغيل جهاز الاستقبال

      قصر القامة في تحديات وخيارات الطفولة نجم

      غموض تحديد العملية بين تشتت التألق

      يمكن لنموذج المخزن المؤقت للذاكرة قصير المدى التذبذب حساب البيانات

      التشوير عبر الحديث بين المحولات الجزيئية من الفئة Mhc في

      منحنيات استجابة التردد التجريبية A Max A L 2 0 Vs F

      يقوم المركب الريبي النووي Hur Malat1 بقمع تعبير Cd133 و

      متوسط ​​التحليل الميداني لتثبيط انتقائية التوجه

      تأثير 18 التصوير المقطعي بالإصدار البوزيتروني الفلوروديوكسي جلوكوز على

      تأثير الروابط المختلفة على هدم الخلايا المستهدفة و

      تحميل ديناميكي على نظام عائم مرن مضاد للتصادم بسبب

      الامتحان النهائي في علم الاقتصاد 200 مع جويا توتشيت في كلية

      حالة فن طرق تقدير قابلية التأثر بالإعصار أ

      يشير تحليل نقاط التوقف الجينومية في P190 و P210 Bcr Abl

      فقر الدم والسكري في غياب رعاية مرضى الكلى

      درجة الحرارة كعامل خطر لدخول المستشفى بين الشباب

      الامتحان النهائي في علم الاقتصاد 200 مع Goya Tocchet في كلية

      منحنى Snrr مقابل ترتيب نموذج Ar المحدد لحالة الصوت


      الفصل 1: مراجعة حساب التفاضل والتكامل
      1.1 الأعداد الحقيقية والوظائف والرسوم البيانية
      1.2 الوظائف الخطية والتربيعية
      1.3 الفئات الأساسية للوظائف
      1.4 الدوال المثلثية
      1.5 وظائف معكوسة
      1.6 الدوال الأسية واللوغاريتمية
      1.7 التقنية: الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر
      تمارين مراجعة الفصل

      الفصل 2: ​​حدود
      2.1 فكرة الحد: السرعة اللحظية وخطوط الظل
      2.2 التحقيق في حدود
      2.3 قوانين الحدود الأساسية
      2.4 الحدود والاستمرارية
      2.5 النماذج غير المحددة
      2.6 نظرية الضغط والحدود المثلثية
      2.7 الحدود في اللانهاية
      2.8 نظرية القيمة المتوسطة
      2.9 التعريف الرسمي للحد
      تمارين مراجعة الفصل

      الفصل الثالث: التمايز
      3.1 تعريف المشتق
      3.2 المشتق كدالة
      3.3 قواعد المنتج والحاصل
      3.4 معدلات التغيير
      3.5 المشتقات الأعلى
      3.6 الدوال المثلثية
      3.7 قاعدة السلسلة
      3.8 التمايز الضمني
      3.9 مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية العامة
      3.10 الأسعار ذات الصلة
      تمارين مراجعة الفصل

      الفصل الرابع: تطبيقات المشتق
      4.1 التقريب الخطي والتطبيقات
      4.2 القيم المتطرفة
      4.3 نظرية القيمة المتوسطة والرتابة
      4.4 الثاني المشتق والتقعر
      4.5 قاعدة L’Hôpital
      4.6 تحليل ورسم الرسوم البيانية للوظائف
      4.7 التحسين التطبيقي
      4.8 طريقة نيوتن
      تمارين مراجعة الفصل

      الفصل الخامس: الاندماج
      5.1 منطقة التقريب والحساب
      5.2 لا يتجزأ المحدد
      5.3 التكامل غير المحدد
      5.4 النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل ، الجزء الأول
      5.5 النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل ، الجزء الثاني
      5.6 صافي التغيير باعتباره تكاملاً لمعدل التغيير
      5.7 طريقة الاستبدال
      5.8 صيغ متكاملة أخرى
      تمارين مراجعة الفصل

      الفصل 6: تطبيقات لا يتجزأ
      6.1 منطقة بين منحنيين
      6.2 إعداد التكاملات: الحجم والكثافة ومتوسط ​​القيمة
      6.3 أحجام الثورة: الأقراص والغسالات
      6.4 أحجام الثورة: أصداف أسطوانية
      6.5 العمل والطاقة
      تمارين مراجعة الفصل

      الفصل السابع: تقنيات التكامل
      7.1 التكامل بالأجزاء
      7.2 التكاملات المثلثية
      7.3 التعويض المثلثي
      7.4 التكاملات التي تتضمن الدوال الزائدية والمعكوسة الزائدية
      7.5 طريقة الكسور الجزئية
      7.6 استراتيجيات التكامل
      7.7 التكاملات غير الصحيحة
      7.8 التكامل العددي
      تمارين مراجعة الفصل

      الفصل 8: تطبيقات أخرى للتكامل
      8.1 الاحتمالية والتكامل
      8.2 طول القوس ومساحة السطح
      8.3 ضغط السوائل والقوة
      8.4 مركز الكتلة
      تمارين مراجعة الفصل

      الفصل التاسع: مقدمة في المعادلات التفاضلية
      9.1 حل المعادلات التفاضلية
      9.2 النماذج التي تتضمن y '= k (y-b)
      9.3 الطرق الرسومية والرقمية
      9.4 المعادلة اللوجيستية
      9.5 المعادلات الخطية من الدرجة الأولى
      تمارين مراجعة الفصل

      الفصل العاشر: سلسلة لانهائية
      10.1 التسلسلات
      10.2 تلخيص متسلسلة لانهائية
      10.3 تقارب المتسلسلات مع المصطلحات الإيجابية
      10.4 التقارب المطلق والمشروط
      10.5 اختبارات النسبة والجذر واستراتيجيات اختيار الاختبارات
      10.6 سلسلة الطاقة
      10.7 تايلور متعدد الحدود
      10.8 سلسلة تايلور
      تمارين مراجعة الفصل

      الفصل 11: المعادلات البارامترية والإحداثيات القطبية والمقاطع المخروطية
      11.1 المعادلات البارامترية
      11.2 طول القوس وسرعته
      11.3 الإحداثيات القطبية
      11.4 المساحة وطول القوس في الإحداثيات القطبية
      11.5 المقاطع المخروطية
      تمارين مراجعة الفصل

      الفصل 12: هندسة المتجهات
      12.1 المتجهات في المستوى
      12.2 الفضاء ثلاثي الأبعاد: الأسطح والمتجهات والمنحنيات
      12.3 حاصل الضرب النقطي والزاوية بين متجهين
      12.4 حاصل الضرب التبادلي
      12.5 طائرات في 3 فضاءات
      12.6 مسح للأسطح الرباعية
      12.7 الإحداثيات الأسطوانية والكروية
      تمارين مراجعة الفصل

      الفصل 13: حساب التفاضل والتكامل من الدوال ذات القيمة المتجهية
      13.1 الدالات ذات القيمة المتجهية
      13.2 حساب التفاضل والتكامل للدوال المتجهية القيمة
      13.3 طول القوس وسرعته
      13.4 الانحناء
      13.5 الحركة في 3 مسافات
      13.6 حركة الكواكب وفقًا لكبلر ونيوتن
      تمارين مراجعة الفصل

      الفصل الرابع عشر: التفاضل في عدة متغيرات
      14.1 وظائف متغيرين أو أكثر
      14.2 الحدود والاستمرارية في عدة متغيرات
      14.3 المشتقات الجزئية
      14.4 التفاضل ، ومستويات الظل ، والتقريب الخطي
      14.5 مشتقات التدرج والاتجاه
      14.6 قواعد سلسلة حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات
      14.7 التحسين في عدة متغيرات
      14.8 مضاعفات لاغرانج: تحسين مع قيد
      تمارين مراجعة الفصل

      الفصل الخامس عشر: التكامل المتعدد
      15.1 التكامل في متغيرين
      15.2 تكاملات مزدوجة على مناطق عامة أكثر
      15.3 التكاملات الثلاثية
      15.4 التكامل في الإحداثيات القطبية والأسطوانية والكروية
      15.5 تطبيقات التكاملات المتعددة
      15.6 تغيير المتغيرات
      تمارين مراجعة الفصل

      الفصل السادس عشر: تكاملات الخط والسطحية
      16.1 الحقول المتجهة
      16.2 تكاملات الخط
      16.3 حقول النواقل المحافظة
      16.4 الأسطح المعلمة والتكاملات السطحية
      16.5 التكاملات السطحية لحقول المتجهات
      تمارين مراجعة الفصل

      الفصل 17: النظريات الأساسية لتحليل المتجهات
      17.1 نظرية جرين
      17.2 نظرية ستوكس
      17.3 نظرية الاختلاف
      تمارين مراجعة الفصل

      الملاحق
      أ. لغة الرياضيات
      ب- خواص الأعداد الحقيقية
      جيم الاستقراء ونظرية ذات الحدين
      د - البراهين الإضافية

      الإجابات على مراجع التمارين ذات الأرقام القياسية
      فهرس

      يمكن الوصول إلى محتوى إضافي عبر الإنترنت على www.macmillanlearning.com/calculuset4e:

      البراهين الإضافية:
      قاعدة L’Hôpital
      حدود الخطأ للعدد
      اندماج
      اختبار المقارنة للخطأ
      تكاملات

      محتوى إضافي:
      التفاضل من الدرجة الثانية
      المعادلات
      ارقام مركبة

      انظر بالداخل


      شاهد الفيديو: كل ما تحتاج إلى معرفته للأقسام المخروطية (شهر نوفمبر 2021).