مقالات

15.1: فركتلات - رياضيات


الفركتلات هي مجموعات رياضية ، يتم الحصول عليها عادة من خلال العودية ، والتي تظهر خصائص أبعاد مثيرة للاهتمام. في الوقت الحالي ، يمكننا أن نبدأ بفكرة التشابه الذاتي ، وهي سمة من سمات معظم الفركتلات.

التشابه الذاتي

الشكل هو متشابهة عندما تبدو بشكل أساسي هي نفسها من مسافة كما تبدو أقرب.

غالبًا ما يمكن العثور على التشابه الذاتي في الطبيعة. في القرنبيط الرومانسكي في الصورة أدناه [1] ، إذا قمنا بتكبير جزء من الصورة ، فإن القطعة المتبقية تبدو مشابهة للكل.

وبالمثل ، في سعفة السرخس أدناه [2] ، تبدو قطعة واحدة من السعف مماثلة للكل.

وبالمثل ، إذا قمنا بتكبير الصورة على ساحل البرتغال [3] ، فإن كل تكبير يكشف عن تفاصيل مخفية سابقًا ، والخط الساحلي ، على الرغم من عدم تطابقه مع المنظر من جهة أخرى ، إلا أنه يُظهر خصائص مماثلة.


[1] en.Wikipedia.org/wiki/File:Ca...ractal_AVM.JPG

[2] http://www.flickr.com/photos/cjewel/3261398909/

[3] Openstreetmap.org، CC-BY-SA


الدرس 15

دعنا نتحرى عن التعبيرات ذات المتغيرات والأسس.

15.1: لأعلى أم لأسفل؟

أوجد قيم (3 ^ x ) و ( left ( frac13 right) ^ x ) لقيم مختلفة لـ (x ). ما أنماط هل لاحظت؟

(س ) (3 ^ س ) ( يسار ( frac13 يمين) ^ س )
1
2
3
4

15.2: ما هي القيمة؟

قيم كل تعبير للقيمة المعطاة لـ (x ).

15.3: تجربة الأس

ابحث عن حل لكل معادلة في القائمة. (قد تكون الأرقام الموجودة في القائمة حلاً لأكثر من معادلة ، ولن يتم استخدام جميع الأرقام الموجودة في القائمة.)

  1. (64 = س ^ 2 )
  2. (64 = س ^ 3 )
  3. (2 ^ س = 32 )
  4. (س = يسار ( frac25 يمين) ^ 3 )
  5. ( فارك <16> <9> = س ^ 2 )
  6. (2 boldcdot 2 ^ 5 = 2 ^ س )
  7. (2 س = 2 ^ 4 )
  8. (4 ^ 3 = 8 ^ س )

هذا الفراكتل يسمى Sierpinski رباعي السطوح. رباعي الوجوه هو متعدد الوجوه له أربعة وجوه. (جمع رباعي الوجوه هو رباعي السطوح).

تشكل رباعي السطوح الصغيرة أربعة متوسطة الحجم رباعي السطوح: الأزرق والأحمر والأصفر والأخضر. تشكل رباعي الوجوه المتوسطة الحجم رباعي السطوح كبير.

قم بتوسيع الصورة

وصف: & ltp & gt: يتكون رباعي السطوح الكبير من أربعة أشكال رباعية السطوح متوسطة الحجم بألوان مختلفة: الأزرق والأحمر والأصفر والأخضر. يتكون كل رباعي السطوح متوسط ​​الحجم من أربعة أشكال صغيرة رباعية السطوح. & lt / p & gt

  1. كم عدد الوجوه الصغيرة التي يمتلكها هذا الفراكتل؟ تأكد من تضمين الوجوه التي لا يمكنك رؤيتها. حاول إيجاد طريقة لمعرفة ذلك حتى لا تضطر إلى عد كل وجه.
  2. كم عدد رباعي السطوح الصغيرة في الطبقة السفلية تلامس الطاولة؟
  3. لعمل نسخة أكبر من هذه الفركتلات ، يمكنك أن تأخذ أربع فركتلات مثل تلك التي في الصورة وتجمعها معًا. اشرح أين ستلصق الفركتلات لتكوين رباعي السطوح أكبر.
  4. كم عدد الوجوه الصغيرة التي يمكن أن يمتلكها هذا الفراكتل الأكبر؟ كم عدد رباعي السطوح الصغيرة سيكون في الطبقة السفلية؟
  5. ما هي الأنماط الأخرى التي يمكنك أن تجدها؟

ملخص

في هذا الدرس ، رأينا التعبيرات التي تستخدم الحرف (x ) كمتغير. قمنا بتقييم هذه التعبيرات لقيم مختلفة لـ (س ).

  • لتقييم التعبير (2x ^ 3 ) عندما يكون (x ) هو 5 ، نستبدل الحرف (x ) بـ 5 للحصول على (2 boldcdot 5 ^ 3 ). هذا يساوي (2 boldcdot 125 ) أو 250 فقط. لذا فإن قيمة (2x ^ 3 ) هي 250 عندما يكون (x ) هو 5.
  • لتقييم ( frac<8> ) عندما يكون (x ) هو 4 ، نستبدل الحرف (x ) بـ 4 لنحصل على ( frac <4 ^ 2> <8> = frac <16> <8> ) ، وهو ما يساوي 2. لذا ( frac<8> ) له قيمة 2 عندما يكون (x ) هو 4.

لقد رأينا أيضًا معادلات مع المتغير (x ) وكان علينا أن نقرر ما هي قيمة (x ) التي تجعل المعادلة صحيحة.

  • افترض أن لدينا معادلة (10 ​​ boldcdot 3 ^ x = 90 ) وقائمة بالحلول الممكنة: (<1، 2، 3، 9، 11> ). القيمة الوحيدة لـ (x ) التي تجعل المعادلة صحيحة هي 2 لأن (10 ​​ boldcdot 3 ^ 2 = 10 boldcdot 3 boldcdot 3 ) والتي تساوي 90. إذن 2 هو حل المعادلة.

تم تطوير IM 6-8 Math في الأصل من قبل Open Up Resources وتأليف Illustrative Mathematics® ، وهي محمية بحقوق الطبع والنشر لعام 2017-2019 بواسطة Open Up Resources. تم ترخيصه بموجب ترخيص Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0). منهج الرياضيات 6-8 متاح على https://openupresources.org/math-curriculum/.

تعد التعديلات والتحديثات الخاصة بـ IM 6-8 Math حقوق الطبع والنشر لعام 2019 بواسطة Illustrative Mathematics ، ومرخصة بموجب ترخيص Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0)

التعديلات لإضافة دعم إضافي لمتعلم اللغة الإنجليزية هي حقوق الطبع والنشر لعام 2019 من Open Up Resources ، ومرخصة بموجب ترخيص Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

المجموعة الثانية من تقييمات اللغة الإنجليزية (تم وضع علامة عليها على أنها مجموعة "B") هي حقوق الطبع والنشر لعام 2019 بواسطة Open Up Resources ، ومرخصة بموجب ترخيص Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

الترجمة الإسبانية للتقييمات "B" هي حقوق طبع ونشر لعام 2020 بواسطة Illustrative Mathematics ، ومرخصة بموجب الترخيص الدولي Creative Commons Attribution 4.0 (CC BY 4.0).

لا يخضع اسم وشعار الرياضيات التوضيحية لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز استخدامهما بدون موافقة كتابية مسبقة وصريحة من الرياضيات التوضيحية.

يتضمن هذا الموقع صورًا ذات ملكية عامة أو صورًا مرخصة بشكل علني محمية بحقوق الطبع والنشر لأصحابها. تظل الصور المرخصة بشكل علني خاضعة لشروط التراخيص الخاصة بكل منها. راجع قسم إحالة الصورة لمزيد من المعلومات.


15.1: فركتلات - رياضيات

الرياضيات الكسورية

يعتبر بينوا ماندلبروت عمومًا والد الفركتلات. لقد صاغ مصطلح الفركتل لوصف المنحنيات والأسطح والأشياء التي لها بعض الخصائص المميزة للغاية. لقد تعلمت في المدرسة أن المنحنيات البسيطة ، مثل الخط ، لها بُعد واحد. المربعات والمستطيلات والدوائر والمضلعات ، وما إلى ذلك ، لها بعدين ، بينما الأجسام الصلبة مثل المكعب ، لها ثلاثة أبعاد. الأبعاد الثلاثة تحدد الفضاء. يمكن اعتبار الوقت بُعدًا رابعًا. عادة ما نفكر في الأبعاد على أنها أعداد صحيحة: 1 ، 2 ، 3 ،. . .

ما يميز الفركتلات هو أنها تمتلكها أبعاد كسرية ! يمكن أن يكون لمنحنى فركتلي أبعاد 1.4332 ، على سبيل المثال ، بدلاً من 1. الفركتلات ليست مجرد فضول رياضي. معظم الأشياء الطبيعية هي كسورية بطبيعتها ، ويمكن وصفها بشكل أفضل باستخدام الرياضيات الكسورية. الغيوم والأوراق ونظام الأوعية الدموية والسواحل وجزيئات الوبر وما إلى ذلك لها أشكال كسورية.

يتم إنشاء الفركتلات من خلال عملية تكرارية - القيام بنفس الشيء مرارًا وتكرارًا. تمتلك الفركتلات أيضًا خاصية أنه عندما تقوم بتكبيرها فإنها تظل متشابهة إلى حد كبير. وهذا ما يسمى التشابه الذاتي.


فركتلات ، فوضى ، تشابه ذاتي

فيما يلي مجموعة من الاستكشافات المختلفة للفركتلات بواسطة المؤلف على مر السنين بالإضافة إلى توضيحات لمواضيع مختلفة. وهي تشمل معظم الصيغ المعروفة ، بما في ذلك على سبيل المثال لا الحصر L-Systems و IFS (أنظمة الوظيفة المتكررة) والجاذبات وكلاً من الفركتلات الهندسية ثنائية وثلاثية الأبعاد. يتم أيضًا تضمين عدد من الحلول العددية لأبعاد الحوسبة والمقاييس الأخرى.

يرجى ملاحظة أنني متاح كمستشار في الأمور المتعلقة بالفركتلات. قد يشمل ذلك إنشاء نماذج جديدة وإنشاء رسومات عالية الجودة ورسوم متحركة وتنفيذ الخوارزميات (انظر بُعد المربع والبوصلة) وما إلى ذلك.

ملء مساحة عشوائية للطائرة
ملء الفراغ لمستوى (وخط أو ثلاثي الأبعاد) بشكل عشوائي. المفهوم المبدئي والإلهام من قبل جون شير.

DLA (التجميع المحدود للانتشار)
تجميع محدود الانتشار في 2D و 3D. بما في ذلك مقيد بسطح وتنفيذ البرمجيات.

تقديم أحواض جذب من نوع Wada
إليك خدعة الحفلة خلال عيد الميلاد. احصل على 4 كرات كبيرة لامعة لعيد الميلاد ، وبعض ورق التغليف الملون ، وبعض الأضواء من شجرة الكريسماس ، ولديك معمل كسوري خاص لتسلية نفسك خلال موسم الأعياد.

البعد الكسري والتشابه الذاتي - البعد الكسري لعد مربع للبيانات الحجمية - البعد الكسري لبيانات النقطة
حزمة برمجيات عدّ مربعات معينة ، مسطرة أو بُعد بوصلة ، اختزالية ، طيف متعدد الفركتلات ، مخططات التكرار ، تشابه ذاتي. أمثلة على التشابه الذاتي في الفركتلات مع أمثلة من الرياضيات وصور للعالم المادي.

بما في ذلك البدو ، العدد الحقيقي Mset ، مجموعة Quinternion ، Sine Mset ، Triternion fractal ، حجم Danca.

ضوضاء
بما في ذلك ضوضاء 1 / و. الكواكب الكسورية والمناظر الطبيعية: طرق تكوين الكواكب الكسورية والمناظر الطبيعية والسحب. توليد ضوضاء بقوانين أطياف القدرة المختلفة. بما في ذلك توليف التردد وإزاحة نقطة المنتصف ومعرض للصور التي تم إنشاؤها باستخدام Voxel World بواسطة Dmytry Lavrov. ضجيج واضطراب بيرلين: إنشاء مواد ذات أبعاد عشوائية وتأثيرات طبيعية أخرى باستخدام تقنيات تُنسب إلى كين بيرلين.

فركتلات متعددة السطوح
حشية سيربينسكي ، إسفنجة منجر ، فركتلات صلبة أفلاطونية ومكملاتها ، مجموعة محاصر ، Crossed Menger ، Jerusalem Menger Cube ، Cubic ، Keplerian Fractals

IFS (أنظمة الوظائف المتكررة)
تطبيق مولد IFS على أساس ماكنتوش ودليل. معرض عشوائي IFS. بلاط IFS ، IFS Bush ، IFS Maple Leaf ، IFS Spiral ، IFS Mandelbrot-like ، أشجار IFS ، أوراق IFS ، IFS Sand Dollar ، IFS ferns ، IFS chaos text ، Dragon ، Twigs ، IFS hedgehog ، IFS cross

أنظمة L (أنظمة Lindenmayer)
وصف البرنامج التاريخي ، أمثلة من الأوراق ، والشجيرات ، والطحالب ، والأشجار ، والعصي والأعشاب الضارة ، ومثلث LSystem ، و LSystem Peano ، و LSystem crystal ، و Square Sierpinski ، و Quadratic Gosper ، و Hilbert curve ، و LSystem board ، و Koch curve ، و Quadratic Koch Island ، و Quadratic Snowflake ، و Sierpinski رأس السهم ، ندفة الثلج من Von Koch ، LSystem Cross ، Pentaplexity ، بلاط LSystem ، حلقات LSystem ، منحنى التنين ، gosper السداسي ، خلخال كريشنا ، أوراق المانجو ، Snake kolam.

محتويات : الأوراق والعروض التقديمية وورش العمل
الهندسة ، الأسطح ، المنحنيات ، المجسمات المتعددة السطوح
فركتلات ، فوضى ، تشابه ذاتي
القباب ، القباب السماوية ، عين السمكة ، المرآة الكروية
الرسوم المجسمة ، الإسقاط ثلاثي الأبعاد
بانوراما 360 فيديو
إعادة البناء الفوتوغرافي
متفرقات: الإسقاط ، النمذجة ، التقديم
تنسيقات البيانات: ثلاثي الأبعاد ، صوت ، صورة
مكتبة الملمس والمرح والألغاز والسفر
كل الصفحات في مكان واحد
جديد / محدث: الجاذبات ثلاثية الأبعاد لمشاهدة الواقع الافتراضي
معايرة الكاميرا اليدوية لعرض صورة عين السمكة
تجارب في منظور عكسي
أدوات لإسقاط مرآة كروية
خارج الموقع : FaceBook و Sketchfab و YouTube و Vimeo و Shapeways

محتويات هذا الموقع هي & نسخ حقوق الطبع والنشر Paul Bourke أو أي مساهم تابع لجهة خارجية عند الإشارة إليه. يمكنك طباعة أو حفظ نسخة إلكترونية من أجزاء من هذا الموقع لاستخدامك الشخصي. يجب البحث عن إذن لأي استخدام آخر. أي كود مصدر موجود هنا يمكن استخدامه بحرية بشرط أن يتم منح الاعتمادات للمؤلف. يمكن التفاوض على شراء تراخيص خالية من الائتمان للمواد الموجودة على هذا الموقع مع المؤلف. يمكن للمؤلف أيضًا الاقتباس من الاختلافات الفريدة و / أو الإصدارات عالية الدقة من الصور الموجودة على هذا الموقع.


الهندسة الكسورية: أسس وتطبيقات رياضية

توصي لجنة قائمة المكتبات الأساسية باقتناء مكتبات الرياضيات الجامعية هذا الكتاب.

يجب أن يكشف المراجع في البداية أنه درس الهندسة الفركتلية كطالب جامعي (في السنة الثانية) في سانت أندروز من الإصدار الثاني لهذا النص والهيليب وما كان ذلك بالطبع رائعًا! يأمل المرء ، ربما من الناحية المثالية ، أن يعامل كل طالب جامعي في الرياضيات في مثل هذه الواحة الخضراء قبل التخرج. في الواقع ، يمكن للطالب الفضولي أن يدرس نص Falconer & rsquos بمفرده بشكل مربح للغاية ، مع بعض المساعدة / التوجيه الضروري في بعض الزوايا الفنية. هناك ، لمثل هذا الطالب ، مجموعة كاملة من الحلول للتمارين المتاحة عبر الإنترنت.

تمت كتابة الطبعة الأولى من النص قيد المراجعة حوالي عام 1989 ، والثانية في عام 2003. وبين ذلك ، كتب فالكونر نص متابعة لطلاب الدراسات العليا والباحثين المهتمين بمعالجة الأدبيات الحالية بعنوان: تقنيات في الهندسة الكسورية (TFG) ، الذي نشره Wiley في عام 1997. وقبل أن يبدأ في هذا الثنائي ، كتب بالفعل ما لا يزال العديد من علماء الرياضيات يعتبرونه خيار المتذوق و rsquos: هندسة المجموعات الكسورية (GFS) ، تم نشره في عام 1985 في المجلد 85 من Cambridge Tracts in Mathematics. يبدو كما لو الهندسة الكسورية: أسس وتطبيقات رياضية تمت كتابة (FGFA) لإتاحة المواد من كتابه النحيف (حوالي 180 صفحة) لعام 1985 للمبتدئين ، بالإضافة إلى جذب الباحثين من مجالات تتجاوز الرياضيات ودقتها المخيفة في كثير من الأحيان. تستمر مواهب البروفيسور Falconer & rsquos في الازدهار. في العام الماضي ، في عام 2013 ، تعاملنا مع كتابه الأرفع والأكثر شمولاً حتى الآن: الفركتلات: مقدمة قصيرة جدًا (FVSI) ، نشرته أكسفورد.

يتكون الكتاب من ثمانية عشر فصلاً بمتوسط ​​20 صفحة لكل فصل ، وهو مقسم إلى جزأين: الأول هو & ldquoFoundations & rdquo (ثمانية فصول) ، والثاني & ldquo التطبيقات والأمثلة & rdquo (عشرة فصول).

أسس: هناك فصل تمهيدي سريع حول العناصر المختلفة للخلفية الرياضية الضرورية ، وبعد ذلك سنقوم ببناء مجموعة أدوات لدراسة الفركتلات وتشريحها: يتم تقديم بُعد العد الصندوقي أولاً ، ثم أبعاد وأبعاد Hausdorff والتعبئة ، يليه فصل عن التقنيات الأساسية لحساب الأبعاد. تعطي الفصول من 5 إلى 8 الأكثر تقنية للقارئ طعمًا لنظرية القياس الهندسي: فهي تدرس التركيب المحلي ، والإسقاطات ، والمنتجات ، وتقاطعات الفركتلات على التوالي.

التطبيقات والأمثلة: بعد بناء الأدوات ، يتم التعامل مع القارئ بمجموعة لا تصدق من الآفاق الرياضية حيث يمكن للمرء أن يجد مجموعات كسورية من نوع أو آخر. يدرس الفصل 9 أنظمة الوظائف المتكررة المتشابهة وذاتية الارتباط (IFSs) التي تعمم إنشاءات مثل مجموعة كانتور الوسطى الثالثة التي قد يلتقي بها الطالب في تحليل حقيقي أو طوبولوجيا جامعية. يوجد قسم جديد عن نظرية لابيدوس وفان فرانكينهوجسن ورسكووس للأبعاد المعقدة. يدرس الفصل العاشر أمثلة جميلة لمجموعات جزئية كسورية تنشأ من داخل نظرية الأعداد. تم استبعاد الأمثلة الأكثر تعقيدًا مثل مجموعة القيم الحقيقية في [0،1] والتي تكون جميع مداخل الكسر المستمرة فيها إما 1s أو 2s من المناقشة ، ولكن القارئ المهتم يتم توجيهه إلى مراجع ممتازة في الأدبيات. يدرس الفصل 11 أبعاد الرسوم البيانية للوظائف ، حيث ظل حساب القيمة الدقيقة لبعد Hausdorff مجالًا نشطًا للبحث. يقدم الفصل 12 smorgasbord من & ldquopure & rdquo (هذه الكلمة حلقات خاطئة هنا في المراجع & rsquos ear!) الرياضيات ، على سبيل المثال مشكلة Kakeya ، تخمين Vitushkin & rsquos ، ومجموعات / حلقات كسورية.

الفصلين 13 و 14 ، حول الأنظمة الديناميكية وديناميكيات الصورة الكاملة ، من بين المراجعين و rsquos المفضلين! يتذكر أن هذه الفصول تركت انطباعًا قويًا عندما كان طالبًا ، واستمر في دراسة هذا منذ ذلك الحين. من المؤكد أنه كان من الممكن كتابة كتب كاملة في كل فصل من هذه الفصول ، وقد تمت كتابتها. يلقي الفصلان 15 و 16 بالعمليات العشوائية في المزيج ويدرسان الفركتلات العشوائية والحركة البراونية والأسطح البراونية. يقدم الفصل 17 تحليل multifractals و [مدش] وهذا هو أرضية جديدة إلى حد ما ، ومن السهل على القارئ الوصول إلى حافة البحث المعاصر بعد قراءة هذا الفصل ومتابعة مراجع نهاية الفصل. يبدو للمراجع أن فصلاً / قسمًا عن الشكلية الديناميكية الحرارية (انظر التعليقات أدناه) سيكون بالترتيب هنا أيضًا. يمتد الفصل الأخير عبر سلسلة من الفركتلات التي تظهر في تطبيقات فيزيائية مختلفة. هناك أمثلة كلاسيكية الآن من دراسة الاضطراب ، ولكن هناك أيضًا تطبيقات حديثة ، على سبيل المثال للهوائيات كسورية!

ينتهي كل فصل بكل من & ldquoNotes والمراجع & rdquo و & ldquoExercises & rdquo ، وكلاهما يستحق التعليق. تم إعداد التمارين بشكل جيد وتم اختبارها في الفصول الدراسية في بيئات مختلفة. كما يقدمون للطلاب دعوة إلى جوانب الرياضيات الحديثة التي تتجاوز بكثير أجرة الكلية القياسية. كان هناك جهد كبير في جعل الملاحظات والمراجع محدثة (أي حتى عام 2013) وفي كثير من الحالات تقود الطالب / الباحث إلى أحدث الأدبيات البحثية. لا شك أن هذين الجانبين يضيفان للكتاب نجاحًا مستمرًا.

بالنسبة إلى كتاب مدرسي بقيمة 60 دولارًا يحتوي على الكثير من المحتوى الجذاب بصريًا ، تكون جودة الورق رديئة للغاية. الكتاب مليء بالمخططات التي تجعل القراءة ممتعة. ومع ذلك ، تظهر جميع المخططات تقريبًا من خلال الصفحة بسبب نحافة الورقة. هذا أمر مؤسف بشكل خاص عندما تكون هناك رسوم بيانية على جانبي صفحة واحدة. أنا & rsquod أوصي بطباعة ورق أفضل للطبعة الرابعة! ستكون الصور الملونة للفركتلات مثل مجموعات Mandelbrot و Julia موضع ترحيب كبير أيضًا.

يقوم الكتاب بعمل رائع في أخذ القارئ في جولة خاطفة للأنفاس ، كما يجب أن يتضح من الملخص ، جولة آفاق رياضية. ومع ذلك ، كنت آسف لرؤية كل من FGFA و FGVSI يفوتان تقديم مجال حيوي من الرياضيات الكسورية الجميلة التي كانت تاريخياً المكان الأول الذي ظهرت فيه مثل هذه الأشياء المعقدة بشكل غير معلن. في عام 1883 تم نشر Poincar & eacute في المجلد الأول من Mittag-Leffler & rsquos اكتا ماتيماتيكا، تحقيقاته المتعلقة بمجموعات (ووظائف) الفوشيين ثم الكلينيين. هذه مجموعات فرعية منفصلة من مجموعة تساوي القياس للفضاء الزائدي ثنائي وثلاثي الأبعاد ، على التوالي. كان هنا أثناء إزعاج مولدات مجموعة فوشية تعثر بوانكار وإيكيوت على مجموعات Kleinian الأولى (التي تسمى الآن شبه Fuchsian في الأدب). كانت مجموعات الحدود الخاصة بهم عبارة عن منحنيات معقدة للغاية ، في كلمات Poincar & eacute & rsquos:

نطاقات CES sont s & eacutepar & eacutes par une ligne L، si l & rsquoon peut appeler & ccedila une ligne. & hellip De plus j & rsquoai tout بدلاً من croire qu & rsquoil n & rsquoy a pas de tangente aux Points de L qui ne font pas partie de P.

& ldquoM & eacutemoire sur les groupes klein & eacuteens & rdquo، اكتا ماث, 3 (1883) ، 49 & ndash92.

تم عرض أعمال Poincar & eacute & rsquos على مجموعات / وظائف Fuchsian و Kleinian بشكل جميل في عدد من الأماكن ، على سبيل المثال انظر الفصل 3 من السيرة العلمية العلمية لجيريمي جراي ورسكوس. يعمل المراجع حاليًا على عرض لهذا التاريخ بهدف وصف اكتشاف Poincar & eacute & rsquos بعناية ، وتلقيه والتطورات الرياضية اللاحقة حتى إحياء Sullivan & rsquos في أوائل الثمانينيات بإثباته الشهير لنظرية عدم تجول المجالات. في سياق تحقيقاته ، كشف سوليفان عن قاموس جميل بشكل لا يصدق يتعلق بالنتائج / المفاهيم من ديناميات الهولومورفيك ومجموعات كلاينيان التي تواصل تحفيز البحث حتى يومنا هذا.

يحتوي Falconer على فصل ممتاز (14) عن السابق ، لكنه يفتقد إلى الفصل المفيد & ldquodual & rdquo عن مجموعات Fuchsian و Kleinian. سيوفر هذا أيضًا تكملة لطيفة لـ IFS المتشابهة والذاتية من الفصل 9. في الواقع ، سيكون من الجيد إضافة قسم إضافي إلى الفصل 9 مع تقديم التعميمات غير الخطية ، على سبيل المثال مطابقة IFSs & agrave la Mauldin-Urbański ، أو حتى مجموعات قاطعة ملفات تعريف الارتباط الأبسط كما هو موضح في الفصل 4 (قواطع ملفات تعريف الارتباط والتشويه المحدود) لـ Falconer & rsquos TFG. سيكون من الجيد أيضًا تضمين & ldquoheart & rdquo للفصل 5 (الشكلية الديناميكية الحرارية) من TFG: شرح تعميم Bowen & rsquos (إلى المواقف غير الخطية) لصيغة Moran-Hutchinson لبُعد Haudorff لمجموعة الجاذب / الحد.

بعض الأخطاء المطبعية المسلية

أ. في ص. 75 ، الفقرة الأخيرة من القسم 4.1 التي تلي إثبات الاقتراح 4.9 تنتهي بما ربما كان اقتراحًا تم تجاهله وقد فاته محررو النسخ لاحقًا. لكن المحتوى الرياضي المقصود واضح. هنا & rsquos كيف يجب قراءة الفقرة:

قد يكون من المهم للقارئ أن تكون نتائج القسم 4.1 ذات عمومية أكبر تتجاوز ( mathbb^ n ) ، على سبيل المثال في فضاءات هيلبرت غير المحدودة الأبعاد والقابلة للفصل. للحصول على عرض نظيف ومستقل ، انظر القسم 8 (استطالة لنظرية القياس الهندسي) من D. Mauldin ، T. Szarek و M. Urbański ، & ldquoGraph Directed Markov Systems on Hilbert Spaces & rdquo، Math. بروك. كامبريدج فيل. شركة 147 (2009) ، 455-488.

ب. على الرغم من أن اسم العائلة Urbański مكتوب بشكل صحيح في وقت سابق في قائمة المراجع ، فإن الإدخال في p. 356 يجب أن يكون & ldquoUrbański M. (1990) & rdquo و ليس & ldquoUrbanski C. (1990) & rdquo. ما يجعل الخطأ الإملائي لهذا اللقب البولندي على الأقل أمرًا يمكن تبريره إلى حد ما ، هو أن الزلة المماثلة تحدث في أكثر من عدة مناسبات في موقع الويب الخاص بالمؤلف و rsquos.

كتاب Falconer & rsquos ممتاز في كثير من النواحي ويوصي به المراجع بشدة. عسى أن تمتلك كل مكتبة جامعية نسخة أو ثلاثة! وإذا طلبت من طالب قراءة هذا ، فانتقل إليه اليوم!

توشار داس هو أستاذ مساعد في الرياضيات في جامعة ويسكونسن وندش لاكروس.


تم إنشاء الصور باستخدام المولد النمطي هندسي متكرر لـ ImageJ.

باستخدام المثلث المركزي كقاعدة ، قم بتكوين رباعي السطوح. استبدل القاعدة المثلثة بـ "الخيمة" الرباعية السطوح.

البعد Hausdorff
(القيمة الدقيقة)
البعد Hausdorff
(تقريبًا)
اسم توضيح ملاحظات
1/2 0.5 أصفار عملية وينر أصفار عملية Wiener (الحركة البراونية) هي مجموعة غير كثيفة من مقياس Lebesgue 0 مع بنية كسورية. [4] [37]
حل E (C 1 s + C 2 s) = 1 ^+ C_ <2> ^) = 1> حيث E (C 1) = 0.5 ) = 0.5> و E (C 2) = 0.3 ) = 0.3> 0.7499 مجموعة كانتور عشوائية بنسبة 50٪ - 30٪ التعميم: في كل تكرار ، يتم تحديد طول الفترة اليسرى بمتغير عشوائي C 1 < displaystyle C_ <1>> ، نسبة متغيرة من طول الفترة الأصلية. نفس الشيء بالنسبة للفاصل الزمني الصحيح ، مع متغير عشوائي C 2 < displaystyle C_ <2>>. يفي بعد Hausdorff الخاص به s < displaystyle s>: E (C 1 s + C 2 s) = 1 ^+ C_ <2> ^) = 1> (حيث E (X) هي القيمة المتوقعة لـ X ). [4]
حل s + 1 = 12 ⋅ 2 - (s + 1) - 6 ⋅ 3 - (s + 1) - 6 cdot 3 ^ <- (ق + 1) >> 1.144. منحنى فون كوخ مع فاصل زمني عشوائي طول الفترة الوسطى هو متغير عشوائي مع توزيع منتظم على الفترة (0،1 / 3). [4]
تقاس 1.22±0.02 ساحل أيرلندا تم تحديد قيم البعد الكسري لساحل أيرلندا بأكمله بواسطة مكارتني وأبرنيثي وجولت [38] في جامعة أولستر وطلاب الفيزياء النظرية في كلية ترينيتي بدبلن ، تحت إشراف S. Hutzler. [39]

لاحظ أن هناك اختلافات ملحوظة بين الساحل الغربي الممزق لأيرلندا (البعد الكسري حوالي 1.26) والساحل الشرقي الأكثر سلاسة (البعد الكسري 1.10) [39]


15 + 1 + 8 = أنت تفعل الرياضيات

ما مدى صعوبة العمل؟ هل أنت من هؤلاء الأشخاص الذين يقدمون كل ما حصلت عليه ، أو & # 39 & # 39 يترك كل شيء في الميدان ، & # 39 & # 39 كما يقول المثل؟ أعلم أن هناك أوقاتًا أقوم فيها & rsquom بهذا الشكل. ألتقي بمدربي ، وأحصل على خطة تدريب جديدة وأضع الخطة موضع التنفيذ. عادةً ما أعرف عدد المرات التي سأقوم فيها برفع الأثقال في الأسبوع ، وعندما يتم تحديد سباقاتي في الشهر التالي ، وعندما أحتاج إلى قضاء يوم عطلة ، وما إلى ذلك. أحب البحث عن تمارين جديدة ، وتجربة فصول جديدة ، وجعل اللياقة البدنية بمثابة جزء روتيني ومتسق من حياتي. أنا & rsquom مدرك تمامًا لما إذا كنت سأحقق هدف دقائق اللياقة الخاص بي للشهر على SparkPeople أم لا. هذا & rsquos كل شيء جيد ، أليس كذلك؟

أعلم أننا نعتقد ذلك مرات عديدة ، لكنني رأيت شيئًا على الإنترنت مؤخرًا يضع الأمور في منظور أفضل بالنسبة لي. لسوء الحظ ، يمكنني & # 39t تذكر المكان الذي قرأته الآن ، لكن المؤلف قال إننا نعمل 60 دقيقة في اليوم (ساعة واحدة) ثم يتعين علينا اتخاذ قرارات الطعام لمدة 15 ساعة ، وترك 8 ساعات للنوم. إذا لم تقم باختيارات طعام جيدة للعديد من تلك الساعات ، فكيف تتوقع أن تعوضك ساعة واحدة وتحركك في الاتجاه الصحيح؟

فكر في الأمر في غضون دقائق و hellip60 مقابل 900. أعلم أنني & rsquove تم القبض عليه وأنا أقول ، & # 39 & # 39 & # 39 & rsquom سوف أتناول هذا لأنني في وقت لاحق ، سأفعل ذلك & # 39. أوقفتني صديقي المفضل في مساراتي مؤخرًا بإخباري أنها لا تريد & rsquot سماع عذر أو تبرير الكعكة الفاسدة التي كنت أستعد لتناولها وندش تناولها والمضي قدمًا. نظرت إليها وكأنها عدوتي (صديقي / عدوتي). حسنًا ، أمزح فقط ، لكنها كانت على حق. من المحتمل أن يستغرق الأمر أكثر من 60 دقيقة لحرق قطعة الحب هذه & ndash أعني الشوكولاته & ndash من جسدي. أنا & rsquom لا أقول أنه يمكنك & rsquot تناول الحلوى لأنني ثق بي ، لقد أكلت تلك الكعكة واستمتعت بكل قضمة. هل يجب أن أفعل ذلك كثيرًا؟ رقم! في صباح اليوم التالي نهضت وركضت في السباق وعدت إلى المسار الصحيح.

المغزى من هذه القصة هو أنك يجب أن تقضي وقتًا أطول في الاستعداد لتلك الـ 900 دقيقة في اليوم أكثر مما تقضيه في تلك الـ 60 دقيقة في اليوم من أجل الوصول إلى أهدافك. كيف تفعل ذلك؟ أفعل ذلك من خلال التخطيط لوجباتي. لقد بحثت وقرأت كثيرًا منذ أن & rsquom عشاق الطعام وأحب أن أفعل ذلك. أحتفظ بقائمة من الوصفات الصحية التي جربناها وأحببناها. لقد بدأت لوحة على Pinterest لتجميع الوصفات التي أجربها معًا. أميل إلى الاحتفاظ بمخزون من الإمدادات في المخزن والمجمد يمكن استخدامه في عدد كبير من الوصفات الصحية. أتردد على المتجر مرتين على الأقل في الأسبوع للمنتجات الطازجة. أحافظ على Tupperware منظمًا ولدي مجموعة إضافية في متناول اليد. كل هذه الأشياء تجعل تحضير الطعام وتناوله أسهل لعائلتي.

عندما يتعلق الأمر بوجباتي ، فإنني أميل إلى السير مع التيار. أنا & rsquove تتبعت طعامي باستمرار لمدة ثلاث سنوات تقريبًا حتى الآن ، ويمكنني أن أحسب في رأسي عدد السعرات الحرارية التي أتناولها إذا بقيت خارج المطاعم. بشكل دوري ، أحتاج إلى التحقق من نفسي والتخطيط لوجباتي بعناية فقط لتذكير نفسي بأن الطعام مهم للغاية. سيعكس جسدي دائمًا كمية ونوعية ما أضعه في فمي ، بغض النظر عن مقدار التمرين.

هل يجب أن تستخدم هذه المدونة كمبرر للعمل فقط على 900 دقيقة من التخطيط للوجبات وتجاهل تلك 60 دقيقة من اللياقة؟ مستحيل! يحتاج جسمك إلى كليهما وأنا مؤمن إيمانا راسخا بعبارة & # 39 & # 39 حركته أو أفقده & # 39 & # 39. لدي حاليًا أكثر من 41000 دقيقة لياقة مسجلة على حسابي في SparkPeople منذ بداية رحلتي. من الواضح ، أعتقد أنك بحاجة إلى التمرين. أعتقد أن أفضل مزيج لرحلة صحية ناجحة هو إيجاد توازن جيد بين الاثنين ، وأدرك أن القيام بأحدهما دون الآخر سيخدعني في النتائج التي أستحقها.

كلما وجدت نفسي أطول في هذه الرحلة ، شعرت أن أجسادنا تشبه سيارات السباق المضبوطة بدقة. إذا لم تعتني بهذه السيارة ، فستتوقف عن الركض. إذا لم تقم بضبط المحرك وتزييت الأجزاء وتغيير الإطارات ووضع وقود عالي الجودة ، فستحصل على سباق جيد. تحتاج أجسامنا إلى طعام جيد وعالي الجودة والكثير من الماء. نحتاج إلى الحركة والتمدد والتمرين لتقوية عظامنا وبناء العضلات وجعل جميع الأجزاء تعمل معًا بشكل جيد. عندما لا نقوم بكل هذه الأشياء ، فإننا نكافح في سباقنا.

هل تشعر أن لديك توازنًا صحيًا بين التخطيط للتمارين الرياضية وتناول الوجبات؟ هل تفضل واحد على الآخر؟ أي واحد تحتاج للعمل فيه هذا الأسبوع؟


مقدمة للطبعة الأولى التاسع

مقدمة للطبعة الثانية xiii

مقدمة للطبعة الثالثة الخامس عشر

1 الخلفية الرياضية 3

1.2 وظائف وحدود 7

1.3 القياسات والتوزيعات الجماعية 11

1.4 ملاحظات حول نظرية الاحتمالات 17

1.5 ملاحظات ومراجع 24

2 بعد صندوق العد 27

2.1 أبعاد العد الصندوقي 27

2.2 خصائص ومشكلات بعد الصندوق 34

* 2.3 أبعاد عد الصندوق المعدلة 38

2.4 بعض التعاريف الأخرى للبعد 40

2.5 ملاحظات ومراجع 41

3 Hausdorff ومقاييس التعبئة وأبعادها 44

3.2 أبعاد هاوسدورف 47

3.3 حساب بُعد هاوسدورف & # 8211 أمثلة بسيطة 51

3.4 التعريفات المكافئة لأبعاد هاوسدورف 53

* 3.5 قياس التعبئة وأبعادها 54

* 3.6 تعريفات أدق للبعد 57

3.9 ملاحظات ومراجع 63

4 تقنيات لحساب الأبعاد 66

4.2 المجموعات الفرعية ذات القياس المحدود 75

4.3 الطرق النظرية المحتملة 77

* 4.4 طرق تحويل فورييه 80

4.5 ملاحظات ومراجع 81

5 التركيب المحلي للفركتلات 83

5.4 الملاحظات والمراجع 96

6 إسقاطات الفركتلات 98

6.1 إسقاطات المجموعات التعسفية 98

6.2 إسقاطات مجموعات s ذات البعد المتكامل 101

6.3 إسقاطات المجموعات التعسفية ذات البعد المتكامل 103

6.4 الملاحظات والمراجع 105

7 منتجات الفركتلات 108

7.2 الملاحظات والمراجع 116

8 تقاطعات الفركتلات 118

8.1 معادلات التقاطع للفركتلات 119

* 8.2 مجموعات ذات تقاطع كبير 122

8.3 الملاحظات والمراجع 128

تطبيقات وأمثلة الجزء الثاني 131

9 أنظمة وظائف متكررة & # 8211 مجموعات متشابهة ذاتيًا وذاتية الارتباط 133

9.1 أنظمة الوظائف المتكررة 133

9.2 أبعاد المجموعات المتشابهة ذاتيا 139

9.5 تطبيقات لترميز الصور 155

* 9.6 وظائف زيتا وأبعادها المعقدة 158

9.7 ملاحظات ومراجع 167

10 أمثلة من نظرية الأعداد 169

10.1 توزيع أرقام الأرقام 169

10.2 الكسور المستمرة 171

10.3 تقريب الديوفانتين 172

10.4 ملاحظات ومراجع 176

11 الرسوم البيانية للوظائف 178

11.1 أبعاد الرسوم البيانية 178

* 11.2 الارتباط الذاتي للوظائف الكسورية 188

11.3 ملاحظات ومراجع 192

12 أمثلة من الرياضيات البحتة 195

12.1 الازدواجية ومشكلة الكعكية 195

12.2 تخمين فيتوشكين & # 8217 s 198

12.4 مجموعات وحلقات كسورية 201

12.5 ملاحظات ومراجع 204

13 الأنظمة الديناميكية 206

13.1 مبيدات الحشرات وأنظمة الوظائف المتكررة 208

13.3 تحويلات التمدد والطي 213

13.5 الأنظمة الديناميكية المستمرة 220

* 13.6 نظرية القسمة الصغيرة 225

* 13.7 الأس والنتروبيا Lyapunov 228

13.8 ملاحظات ومراجع 231

14 تكرار الدوال المعقدة & # 8211 مجموعات جوليا ومجموعة ماندلبروت 235

14.1 تحدد النظرية العامة لجوليا 235

14.2 دوال تربيعية & # 8211 مجموعة ماندلبروت 243

14.3 مجموعات جوليا من الدوال التربيعية 248

14.4 توصيف الدوائر بأبعاد 256

14.5 طريقة نيوتن & # 8217s لحل المعادلات متعددة الحدود 258

14.6 ملاحظات ومراجع 262

15 فركتلات عشوائية 265

15.1 مجموعة كانتور عشوائية 266

15.2 الترشيح الفركتلي 272

15.3 ملاحظات ومراجع 277

16 الحركة البراونية والأسطح البراونية 279

16.1 الحركة البراونية في 279 # 8477

16.2 الحركة البراونية في & # 8477n 285

16.3 الحركة البراونية الكسرية 289

16.4 الأسطح البراونية الكسرية 294

16.5 L & # 233vy عمليات مستقرة 296

16.6 ملاحظات ومراجع 299

17 مقياس متعدد الفركلات 301

17.1 التحليل الخشن متعدد الفركلات 302

17.2 التحليل متعدد الفركلات الدقيق 307

17.3 متعدد الكتل المتشابهة ذاتيًا 310

17.4 ملاحظات ومراجع 320

18 التطبيقات الفيزيائية 323

18.1 كسورية بالإصبع 325

18.2 - تفردات الجهد الكهروستاتيكي والجهد الثقالي 330

18.3 ديناميات الموائع والاضطرابات 332

18.5 الفركتلات في التمويل 336

18.6 ملاحظات ومراجع 340


تاريخ الهندسة الكسورية

إن أي مفهوم رياضي معروف الآن لأطفال المدارس قد مر بعقود ، إن لم يكن قرونًا من الصقل. ستواجه الطالبة النموذجية ، في نقاط مختلفة من حياتها المهنية الرياضية - مهما كانت طويلة أو قصيرة - مفاهيم الأبعاد والأعداد المركبة و "الهندسة". إذا كان مجال الرياضيات لا يثير اهتمامها بشكل خاص ، فقد ترى هذه الطالبة أن هذه المفاهيم مميزة وغير مرتبطة ، وعلى وجه الخصوص ، قد ترتكب خطأ الاعتقاد بأن الهندسة الإقليدية التي علمتها لها في المدرسة تشمل مجال الهندسة بأكمله . ومع ذلك ، إذا كانت ستتابع الرياضيات على المستوى الجامعي ، فقد تكتشف مجالًا دراسيًا مثيرًا وجديدًا نسبيًا يربط بين الأفكار المذكورة أعلاه بالإضافة إلى العديد من الأفكار الأخرى: الهندسة الكسورية.

في حين أن نصيب الأسد من الفضل في تطوير الهندسة الكسورية يعود إلى بينوا ماندلبروت ، فإن العديد من علماء الرياضيات الآخرين في القرن الذي سبقه قد وضعوا الأسس لعمله. علاوة على ذلك ، يدين ماندلبروت بقدر كبير من تقدمه لقدرته على استخدام تكنولوجيا الكمبيوتر - وهي ميزة افتقر إليها أسلافه بشكل واضح ، لكن هذا لا ينتقص بأي حال من إنجازاته الحكيمة. ومع ذلك ، مع الاعتراف بإنجازات ماندلبروت وفهمها ، فإنه يساعد بلا شك في التعرف على الأعمال ذات الصلة لكارل وييرستراس ، وجورج كانتور ، وفيليكس هاوسدورف ، وجاستون جوليا ، وبيير فاتو ، وبول ليفي - وليس فقط لجعل عمل ماندلبروت أوضح - - ولكن لمعرفة صلاتها بفروع الرياضيات الأخرى. وبالمثل ، في حين أن معظم المؤلفين لن يفشلوا في تضمين مناقشة موجزة على الأقل لحياة ماندلبروت المثيرة للاهتمام وغير التقليدية إلى حد ما (بالنسبة لعالم الرياضيات الحديث) في نصوصهم على الفركتلات ، يبدو من العدل إعطاء بعض الاعتبار ، إن لم يكن متساويًا ، لأسلافه .

حتى القرن التاسع عشر ، كانت الرياضيات تهتم فقط بالوظائف التي تنتج منحنيات قابلة للتفاضل. في الواقع ، تقول الحكمة التقليدية السائدة اليوم أن أي وظيفة لها صيغة تحليلية (أي مجموع سلسلة قوة متقاربة) ستنتج بالتأكيد مثل هذا المنحنى. [3] ومع ذلك ، في 18 يوليو 1872 ، قدم كارل وييرستراس ورقة بحثية في الأكاديمية الملكية البروسية للعلوم توضح أنه بالنسبة لعدد صحيح موجب و 0 & lt b & lt 1 0 & lt b & lt 1 0 & lt b & lt 1

في حين أن كلاهما تقريبي ، يمكن للمرء أن يرى أن هذه الوظائف تفتقر إلى نعومة القطع المكافئ أو وظائف الجيب وجيب التمام. قاومت هذه الوظائف التحليل التقليدي وكانت - وإن لم يكن بسبب مظهرها ، الذي كان يتجاوز قدرة علماء الرياضيات في ذلك الوقت على تمثيلها - وصفها تشارلز هيرميت بـ "الوحوش" وتجاهلها المجتمع الرياضي المعاصر إلى حد كبير. [2]

في عام 1883 ، قدم جورج كانتور ، الذي حضر المحاضرات التي ألقاها Weierstrass أثناء فترة دراسته في جامعة برلين [9] والذي سيضع نظرية ما هو ماندلبروت بالنسبة للهندسة الكسورية ، [3] وظيفة جديدة ، ψ ، والتي من أجلها ψ '= 0 باستثناء مجموعة النقاط ، <ض>. هذه المجموعة ، ، هو ما أصبح يعرف باسم مجموعة كانتور.

مجموعة كانتور لديها مقياس ليبيج للصفر ، ومع ذلك ، فهي أيضًا لانهائية بشكل لا يحصى. [3] علاوة على ذلك ، فإن لها خاصية التشابه الذاتي ، مما يعني أنه إذا قام المرء بتكبير جزء من المجموعة ، يحصل المرء على المجموعة بأكملها مرة أخرى. بالنظر إلى الشكل 4 ، يمكن للمرء أن يرى بسهولة أن كل خط أفقي يبلغ ثلث حجم الخط الأفقي فوقه مباشرة. في الواقع ، التشابه الذاتي هو سمة من سمات الفركتلات ، ومجموعة كانتور هي مثال مبكر للفركتلات ، على الرغم من أن التشابه الذاتي لم يتم تعريفه حتى عام 1905 (بواسطة Cesàro ، الذي كان يحلل الورقة بواسطة Helge von Koch التي تمت مناقشتها أدناه) و لم يتم تعريف الفركتلات حتى عام 1975 ماندلبروت ، [2] وبالتالي لم يكن كانتور قد فكر بها في هذه المصطلحات.

في بحث نُشر عام 1904 ، قام عالم الرياضيات السويدي هيلج فون كوخ ببناء باستخدام الوسائل الهندسية منحنى فون كوخ الشهير حاليًا ، ومن ثم ندفة كوخ الثلجية ، وهي عبارة عن ثلاثة منحنيات فون كوخ مرتبطة ببعضها البعض. ذكر في مقدمة مقالته ما يلي حول مقال Weierstrass لعام 1872 [6]:

منحنى Von Koch ، مثل مجموعة Cantor ، له خاصية التشابه الذاتي. إنها أيضًا كسورية ، على الرغم من أن فون كوخ ، مثل كانتور ، لم يكن يفكر بمثل هذه المصطلحات. لقد كان يهدف فقط إلى توفير طريقة بديلة لإثبات أن الوظائف غير القابلة للتفاضل (أي الوظائف التي "ليس لها ظل" في اللغة الهندسية) يمكن أن توجد - وهي طريقة تتضمن استخدام "الهندسة الأولية" (المرجع [6] العنوان يترجم على منحنى مستمر بدون Tangent Constructible من الهندسة الأولية ). وبذلك ، عبر فون كوخ عن وجود صلة بين هذه "الوحوش" غير المتمايزة في التحليل والهندسة.

كان فون كوخ نفسه عالم رياضيات عاديًا إلى حد ما. العديد من نتائجه الأخرى مستمدة من نتائج هنري بوانكاريه ، الذي كان يعلم أنه من الممكن الحصول على نتائج "مرضية" - أي ما يسمى بـ "الوحوش" - لكنه لم يستكشفها أبدًا ، خارج المقالة المذكورة أعلاه. [5] وتجدر الإشارة إلى أن بوانكاريه درس الديناميكيات غير الخطية في أواخر القرن التاسع عشر ، مما أدى في النهاية إلى نظرية الفوضى ، [2] وهو مجال وثيق الصلة بالهندسة الكسورية ، وإن كان خارج نطاق هذه الورقة. لذلك من المناسب أن يكون عالم الرياضيات الذي اتبعت أعماله عمل بوانكاريه عن كثب واحدًا من أسلاف مجال يرتبط ارتباطًا وثيقًا بمجال الدراسة الذي ساعد بوانكاريه نفسه في وضع الأسس له.

أحد المفاهيم الأساسية في دراسة الفركتلات ، بصرف النظر عن التشابه الذاتي وعدم التمايز المذكور أعلاه ، هو بُعد Hausdorff ، وهو مفهوم قدمه فيليكس هاوسدورف في مارس 1918. كانت نتائج Hausdorff من نفس الورقة مهمة في مجال الطوبولوجيا ، وكذلك [3] ومع ذلك ، فإن تعريفه للبعد قد وسع التعريف السابق للسماح للمجموعات بأن يكون لها بُعد تعسفي ، وقيمة غير صفرية [4] ( على عكس البعد الطوبولوجي) انتهى به الأمر إلى أن يكون جزءًا لا يتجزأ من تعريف الفركتلات ، حيث عرّف ماندلبروت الفركتلات "مجموعة لها أبعاد Hausdorff أكبر من بعدها الطوبولوجي". [2]

بمجرد أن قدم هاوسدورف هذا التعريف الجديد الموسع للبعد ، كان موضوع التحقيق - لا سيما من قبل أبراهام ساميلوفيتش بيسيكوفيتش ، الذي كتب ، من عام 1934 إلى أوائل عام 1937 ، ما لا يقل عن ثلاث أوراق بحثية تشير إلى عمل هاوسدورف. [3] للأسف ، بحلول هذا الوقت ، كان هاوسدورف يعاني من صعوبات في العيش كيهودي في ألمانيا النازية. أُجبر على التخلي عن منصبه كأستاذ في جامعة بون في عام 1935 ، وعلى الرغم من استمراره في العمل على نظرية المجموعات والطوبولوجيا ، إلا أنه لا يمكن نشر عمله إلا خارج ألمانيا. على الرغم من أنه تمكن مؤقتًا من تجنب إرساله إلى معسكر اعتقال ، إلا أن الوضع في ألمانيا سرعان ما أصبح لا يطاق ، وفي ظل عدم وجود مكان آخر يذهبون إليه ، اختار هو وزوجته وزوجة أخته الانتحار في يناير 1942. [4]

نظرًا لأن فاتو وجوليا (وبالتالي عملهما) سبقت أجهزة الكمبيوتر ، لم يتمكنوا من إنشاء صور مثل تلك الموجودة على اليمين ، وهي الرسم البياني لملايين التكرارات لوظيفة ما. كانوا مقتصرين على ما يمكنهم القيام به يدويًا ، والذي سيكون حوالي ثلاث أو أربع تكرارات فقط. [7] نشرت جوليا ورقة من 199 صفحة في عام 1918 بعنوان Mémoire sur l'iteration des fonctions rationelles Ⓣ ، الذي ناقش الكثير من عمله حول الوظائف التكرارية ووصف مجموعة جوليا. بهذه الورقة ، فازت جوليا بالجائزة الكبرى لأكاديمية العلوم وأصبحت مشهورة للغاية في الأوساط الرياضية طوال عشرينيات القرن الماضي. ومع ذلك ، على الرغم من هذا الأهمية ، فقد ظل عمله على التكرار في الغموض لمدة خمسين عامًا تقريبًا. [11]

من ناحية أخرى ، لم تحقق فاتو نفس المستوى من الشهرة التي حققتها جوليا ، حتى معاصرة ، على الرغم من اكتشافها لنتائج متشابهة جدًا - وإن كان بطريقة مختلفة - وتقديمها أيضًا للنشر. قدم إعلانا عن نتائجه إلى يتألف Rendus، بينما اختارت جوليا إرسال التأليف الخاص به إلى Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. أرسلت جوليا ، لحماية عمله ، رسائل إلى يتألف Rendus مطالبتهم بالتحقيق في النتائج التي لها الأولوية. أطلق المنشور على النحو الواجب تحقيقًا وتضمن ملاحظة حول النتائج التي توصلت إليها جوليا في نفس العدد مثل إعلان فاتو. من الواضح أن هذا أحبط فاتو بدرجة كافية لمنعه من دخول سباق الجائزة الكبرى. ومع ذلك ، منحته أكاديمية العلوم بعض التقدير ومنحته جائزة عن ورقته البحثية حول هذا الموضوع. [10]

يمكن فصل مجموعات جوليا تمامًا ، وفي هذه الحالة تكون "غبار" (الشكل 7) - على غرار مجموعة كانتور (الشكل 4) - أو أنها متصلة تمامًا (الشكل 6). في حالات نادرة ، يمكن أن تكون "تشعبات" (الشكل 8) ، حيث تكون "مكونة بالكامل من خطوط فرعية متفرعة باستمرار ، والتي تكون متصلة فقط لأن إزالة أي نقطة منها ستقسمها إلى قسمين ،" [ 7] وعندها سيتم اعتبارهم "غبار". [7]

إذا انطلق هذا التسلسل إلى ما لا نهاية ، فسيتم فصل المجموعة. خلاف ذلك ، يتم توصيله. [7]

في عام 1938 ، وهو العام الذي أعقب آخر ورقة بحثية لبيشيكوفيتش حول بُعد هاوسدورف ، أنتج بول ليفي معالجة شاملة لخاصية التشابه الذاتي. لقد أظهر أن منحنى فون كوخ كان مجرد مثال واحد من العديد من الأمثلة على منحنى مماثل ذاتيًا ، على الرغم من أن فون كوخ نفسه ذكر أن منحنىه يمكن تعميمه. المنحنيات التي تم إنشاؤها بواسطة Lévy (انظر الشكل 9 على سبيل المثال - المجموعتان الأخضر والأزرق هما نسختان أصغر من المجموعة الأكبر) كانت متكررة ومتصلة ، وبتكرار كافٍ ، أغلفة (أو مربعات) المستوى. ومع ذلك ، فإن منحنيات ليفي ليست فركتلات ، حيث تحتوي على بعد هوسدورف وبُعد طوبولوجي لاثنين. [3]

لم يشك أي شخص في هذا الوقت في وجود شخص ما ، وإن كان لا يزال شابًا جدًا ، سيوحد أعمال ليفي وهاوسدورف. وُلد بنوا ماندلبروت عام 1924 في وارسو ، بولندا ، وكان يهوديًا مثل Hausdorff ، على الرغم من أن عائلته تمكنت من الهروب من الحياة تحت حكم الرايخ الثالث في عام 1936 من خلال مغادرة بولندا إلى فرنسا ، حيث ساعدهم أفراد العائلة والأصدقاء في تكوين حياتهم الجديدة . كان أحد أعمام ماندلبروت ، وهو Szolem Mandelbrojt ، عالم رياضيات بحتًا ، اهتم بماندلبروت الشاب وحاول توجيهه نحو الرياضيات. في الواقع ، في عام 1945 ، أظهر ماندلبروت لابن أخيه أعمال فاتو وجوليا ، على الرغم من أن ماندلبروت الشاب لم يهتم كثيرًا في البداية. [13]

كان تعليم ماندلبروت متفاوتًا للغاية ، وانقطع تمامًا في عام 1940 ، عندما أُجبر ماندلبروت وعائلته على الفرار من النازيين مرة أخرى. هذه المرة ذهبوا إلى وسط فرنسا. فضل ماندلبروت ، مثل هيلج فون كوخ من قبله ، التمثيلات المرئية للمشكلات الرياضية ، على عكس الرمزية ، [7] على الرغم من أن هذا قد ينبع أيضًا من افتقاره للتعليم الرسمي ، بسبب الحرب العالمية الثانية. [13] لسوء الحظ ، فإن هذا من شأنه أن يجعله في صراع مباشر مع أسلوب التدريس لـ "Bourbaki" ، وهي مجموعة من علماء الرياضيات الذين سيطر إيمانهم بحل المشكلات تحليليًا (على عكس البصري) على تدريس الرياضيات في فرنسا في ذلك الوقت. [7]

بعد انتهاء الحرب ، خضع ماندلبروت لامتحانات القبول في مدرسة البوليتكنيك في باريس ، على الرغم من عدم وجود استعدادات. لقد أبلى بلاءً حسنًا في قسم الرياضيات ، حيث يمكنه توظيف قدرته على حل المشكلات من خلال التخيل للإجابة على الأسئلة. في حين أن هذه الطريقة لم تكن ممكنة دائمًا في الأقسام الأخرى ، فقد نجح في اجتياز [7] وبعد مسيرة مهنية لمدة يوم واحد في المدرسة نورمال ، بدأ ماندلبروت في مدرسة البوليتكنيك ، حيث التقى بأحد معلميه ، بول ليفي ، [13 ] الذي كان أستاذاً هناك من عام 1920 حتى تقاعده عام 1959 [12].

بعد الانتهاء من دراسته ، انتقل ماندلبروت إلى نيويورك ، حيث بدأ العمل في مركز أبحاث توماس جيه واتسون التابع لشركة IBM. أعطته الشركة حرية اختيار موضوع الدراسة ، مما أتاح له استكشاف المفاهيم وتطويرها باستخدام أساليبه الخاصة ، دون الحاجة إلى القلق بشأن رد فعل المجتمع الأكاديمي. في عام 1967 ، بينما كان لا يزال هناك ، كتب ماندلبروت مقالته التاريخية ، كم طول ساحل بريطانيا؟ التشابه الذاتي الإحصائي والبعد الكسري [8] ، حيث ربط فكرة علماء الرياضيات السابقين بالعالم الحقيقي - أي الخطوط الساحلية ، والتي ادعى أنها "متشابهة إحصائيًا". جادل بأن [8]

تعتبر مجموعة ماندلبروت ، بالنسبة للكثيرين ، الفركتال الجوهري. عندما يقوم المرء بتكبير جزء من الحافة ، يلاحظ المرء أن مجموعة Mandelbrot متشابهة بذاتها بالفعل. علاوة على ذلك ، إذا قام المرء بالتكبير بشكل أكبر على أقسام مختلفة من الحافة ، يحصل المرء على مجموعات جوليا مختلفة. في الواقع ، إنها "تشبه بشكل مقارب مجموعات جوليا بالقرب من أي نقطة على حدودها" ، كما ثبت في نظرية لعالم الرياضيات الصيني تان لي. [7]

لم ينجح ماندلبروت في ابتكار تخصص الهندسة الكسورية فحسب ، بل قام أيضًا بتعميمه من خلال تطبيقاته في مجالات العلوم الأخرى. من الواضح أنه كان يعتقد أن هذا مهم ، كما قال ذات مرة [3]

كما لمح في كم طول ساحل بريطانيا؟ تأتي الهندسة الكسورية مفيدة في تمثيل الظواهر الطبيعية مثل الخطوط الساحلية أو صورة ظلية شجرة أو شكل رقاقات الثلج - لا يتم تمثيل الأشياء بسهولة باستخدام الهندسة الإقليدية التقليدية. بعد كل شيء ، لا يتبادر إلى الذهن أي كيان عضوي عندما يفكر المرء في مربع أو دائرة. وبالمثل ، لا يتبادر إلى الذهن أي شكل بسيط من الهندسة الإقليدية عند التفكير في أشياء مثل مسار النهر. حتى الأرض ليست كرة كاملة ، مهما كان من الملائم أن تتعامل حسابات المرء معها على هذا النحو. علاوة على ذلك ، فإن للهندسة الكسورية ونظرية الفوضى روابط مهمة بالفيزياء والطب ودراسة ديناميات السكان. [7] ومع ذلك ، حتى لو كان المجال يفتقر إلى هذه الروابط ، فسيكون من الصعب على أولئك الذين يميلون إلى مقاومة المظهر الجمالي لمعظم الفركتلات.

أدى منهج ماندلبروت غير التقليدي إلى ابتكار شكل جديد مذهل ومفيد للرياضيات. ومع ذلك ، لا يمكن لأي عالم رياضيات أن يدعي أنه طور نتائجه في عزلة تامة عن نتائج أي شخص آخر. يدين اكتشاف ماندلبروت بالكثير لعلماء الرياضيات الذين سبقوه ، مثل Weierstrass و von Koch ، ولكن بشكل خاص إلى Julia و Fatou و Hausdorff. لقد استفاد أيضًا من الوصول إلى أجهزة الكمبيوتر ، مما سمح له ليس فقط بالبناء على أعمال الآخرين بطريقة جديدة - وهي طريقة لم يتم القيام بها من قبل - ولكن باستخدام طريقته المفضلة في حل المشكلات - وهي التصور. علاوة على ذلك ، يقدم اختراعه أيضًا حجة لأهمية دراسة الرياضيات البحتة: حتى جاء ماندلبروت ووحّد الأفكار الانتقائية لهوزدورف وجوليا وآخرين ، فقد مثلوا أفكارًا رياضية مجردة جدًا من فروع مختلفة من الرياضيات (البحتة). هناك القليل جدًا مما قد يثير اهتمام عالم الأحياء العادي حول نظرية المجموعات. ومع ذلك ، من خلال الهندسة الفركتلية ، فإن العديد من هذه الأفكار التي تبدو مجردة (من علماء رياضيات غير معروفين نسبيًا خارج مجالات أبحاثهم الخاصة) يطورون تطبيقات يمكن أن يقدرها علماء آخرون وحتى غير علماء. وبالتالي ، فإن العمل الذي أدى في النهاية إلى الفركتلات وتطبيقاتها هو مثال مضاد ممتاز لحجج أي شخص يجرؤ على تشويه سمعة دراسة الرياضيات البحتة.


1 إجابة 1

بعد التفكير قليلاً في الخيارات ، فهذه طريقة ممكنة لإظهار الأنماط الأساسية. أنا أشرح هذه الطريقة ، لكني أرغب حقًا في تعلم الآخرين ، ومشاركة الأفكار مع مستخدمي MSE الآخرين ، لذلك سأبقي السؤال مفتوحًا لبعض الوقت.

في هذه الحالة ، بالنسبة لنفس المثال أعلاه ، OEIS A000265 ، يتم تمثيل كل رقم أولي من التسلسل (أو الحالة الأولى من الجهاز الآلي) بواسطة دائرة نصف قطرها $ 1 $ (أصفر).

في الخطوة الثانية ، تم & اقتباس العناصر التي تم وضع علامة عليها للإزالة & quot بواسطة أقرب العناصر الموجودة في جانبها الأيمن. نما العنصر الغازي. سوف نظهر هذا النمو من خلال إضافة دائرة جديدة بنصف قطر يغطي كلاً من العنصر المحتل (يمثله دائرة الخطوة السابقة) والغزاة (ممثلة أيضًا بدائرة الخطوة السابقة).

تلك الدائرة الجديدة هي على سبيل المثال يظهر باللون الأحمر. عندما نكرر الخوارزمية ، أو بعبارة أخرى ، نستمر في تطوير الآلية الموضحة في السؤال بعض الخطوات الأخرى ، وأخيراً يبدأ النمط في الظهور:

من الواضح أن هناك نمط كسوري هناك! يمكن تطبيق نفس الطريقة على أي تسلسل كسوري ، مما يوفر أنماطًا مختلفة لكل منها. وبالطبع من الممكن استخدام بدلاً من الدوائر أو المستطيلات (أو الماس) أو الأشكال الأخرى.

يمكن أن يمثل رمز اللون عمق الخطوة. على سبيل المثال ، يمكن أن تملأ الألوان الدافئة الدوائر التي تمثل الحالة الأولية (أو الخطوات) للأوتوماتون (ستكون دوائر داخلية) ويمكن أن تملأ الألوان الباردة معظم الدوائر الخارجية والأكبر (الخطوات الأخيرة من الإنسان الآلي).

سأكون ممتنًا جدًا لتعلم تصورات أخرى!


شاهد الفيديو: 2288 Vergelijkingen in Wiskunde (ديسمبر 2021).