مقالات

2.1: النسبة - الرياضيات


عادة ما يتم حساب النسب عند التعامل مع المتغيرات النوعية. لنفترض أنك تريد معرفة نسبة الوقت الذي يستغرقه لاعب كرة السلة في رمية حرة. يمكنك إلقاء نظرة على عدد المرات التي يحاول فيها اللاعب تنفيذ الرمية الحرة وعدد مرات قيامه بالرمية الحرة. ثم يمكنك قسمة الرقم الذي تم إجراؤه على الرقم الذي حاولت. هذه هي الطريقة التي نجد بها التناسب. هذه عينة إحصائية ، حيث لا يمكننا النظر في جميع المحاولات ، لأن اللاعب قد يحاول المزيد في المستقبل. إذا تقاعد اللاعب ، ولم يرغب أبدًا في لعب كرة السلة مرة أخرى ، فيمكننا العثور على معلمة السكان لهذا اللاعب. نظرًا لوجود حالات نادرة حيث يمكنك العثور على هذا ، فسنحدد كلاً من معلمة السكان وإحصاء العينة. تذكر مع ذلك ، عادةً ما نستخدم إحصاء العينة لتقدير معلمة السكان.

التعريف: نسبة السكان

نسبة السكان:

[p = frac {r} {N} label {Population} ]

حيث (r ) = عدد النجاحات الملحوظة

(N ) = عدد المرات التي يمكن فيها تجربة النشاط

التعريف: نسبة العينة

[ hat {p} = frac {r} {n} label {sample} ]

حيث (r ) = عدد حالات النجاح التي تمت ملاحظتها و (n ) = عدد المرات التي تمت فيها تجربة النشاط

مثال ( PageIndex {1} )

مثال ( PageIndex {1} ): إيجاد التناسب

لنفترض أنك سألت 140 شخصًا عما إذا كانوا يفضلون آيس كريم الفانيليا على النكهات الأخرى ، و 86 قالوا نعم. ما هي نسبة الناس الذين يفضلون آيس كريم الفانيليا؟

المحلول

نظرًا لأنك سألت 140 شخصًا فقط ، وهناك أكثر من 140 شخصًا في العالم ، فهذه عينة ونستخدم صيغة نسبة العينة (المعادلة المرجع {عينة}.

[ hat {p} = frac {r} {n} nonumber ]

مع (r ) = 86 و (n ) = 140.

[ hat {p} = frac {86} {140} almost 0.614 = 61.4 ٪ nonumber ]

لذا فإن 61.4٪ من الأشخاص في العينة يحبون آيس كريم الفانيليا. قد يعني هذا أن 61.4٪ من جميع الناس في العالم يحبون آيس كريم الفانيليا. لا نعرف على وجه اليقين ، ولكن هذا تخمين جيد للنسبة الحقيقية ، ص، طالما كانت عينتنا ممثلة للسكان. إذا كنت تمتلك متجرًا لبيع الآيس كريم ، فربما تريد التأكد من طلب المزيد من آيس كريم الفانيليا أكثر من النكهات الأخرى.


مثال: جنس قسم طلاب كلية العلوم

سؤال البحث: هل تختلف نسبة الطلاب المسجلين في كلية العلوم في ولاية بنسلفانيا والذين يعتبرون نساءً عن 50٪؟

في هذا السؤال ، نقارن نسبة جميع طلاب كلية ولاية بنسلفانيا للعلوم (أي (ع )) بالقيمة المعطاة 0.5. هذا اختبار نسبة عينة واحدة. نريد أن نعرف ما إذا كانت نسبة السكان مختلفة عن 0.5 ، إذن هذا اختبار ثنائي الطرف. فرضياتنا هي:


النسبة الذهبية أسطورة وحقيقة وسوء فهم: الدليل المفقود

هناك العديد من المفاهيم الخاطئة والتحريفات حول النسبة الذهبية. ينظر البعض بحماس شديد إلى الأنماط ويقولون إنها موجودة حيث لا توجد في الواقع. يقول البعض ممن يهدفون إلى فضح أسطورة النسبة الذهبية إنها غير موجودة في المكان الذي توجد فيه بالفعل ، ويفتقدون ما هو واضح وغالبًا لا يذكرون النسب التي تظهر بدلاً من ذلك. غالبًا ما يكرر الأشخاص من كلا الجانبين ما سمعوه بدلاً من إجراء التحليل المطلوب شخصيًا لدعم استنتاجاتهم. الذكاء والتعليم ليسا دائمًا عوامل للوصول إلى الحقيقة ، حتى أن دكتوراه في الرياضيات يخطئون أحيانًا. بصفتي مؤلف هذا الموقع منذ عام 1997 ، قمت بتغيير آرائي والمعلومات الموجودة على هذا الموقع أيضًا. دعونا نلقي نظرة على بعض النقاط المشتركة للارتباك والنقاش ، والتي تغطي الجمال ، والبارثينون ، ومبنى الأمانة العامة للأمم المتحدة ، والهرم الأكبر ، وقذيفة نوتيلوس ، التي يستخدمها فنانون مشهورون (دافنشي ، وبوتيتشيلي ، وسورات ، وما إلى ذلك) ومواضيع أخرى. سأقدم إجابات موضوعية ، مع أدلة إضافية في & # x02026 المزيد عن الرياضيات والخرافة والحقيقة


استخدام التناسب في حل المثلثات

يمكننا استخدام النسب لحل المثلثات المتشابهة.

مثال: كم يبلغ ارتفاع الشجرة؟

حاول سام استخدام سلم وشريط قياس وحبال وأشياء أخرى مختلفة ، لكنه لا يزال غير قادر على معرفة طول الشجرة.

ولكن بعد ذلك ، لدى سام فكرة ذكية. مثلثات متشابهة!

يقيس سام العصا وظلها (بالأمتار) وأيضًا ظل الشجرة ، وهذا ما يحصل عليه:

يرسم سام الآن رسمًا تخطيطيًا للمثلثين ، ويكتب نسبة "الارتفاع إلى الطول" لكلا المثلثين:

ارتفاع: طول الظل: ح 2.9 م = 2.4 م 1.3 م

اضرب في الزوايا المعلومة ، ثم اقسم على الرقم الثالث:

ح = (2.9 مرات 2.4) / 1.3
= 6.96 / 1.3
= 5.4 م (لأقرب 0.1)

الجواب: طول الشجرة 5.4 م.

ولم يكن حتى بحاجة إلى سلم!

يمكن أن يكون & quotHeight & quot في الأسفل ، طالما أنه موجود في الأسفل لكل من النسبتين ، مثل هذا:

دعونا نجرب نسبة & quot؛ طول الظل إلى الارتفاع & quot:

طول الظل: ارتفاع: 2.9 م ح = 1.3 م 2.4 م

اضرب في الزوايا المعلومة ، ثم اقسم على الرقم الثالث:

ح = (2.9 مرات 2.4) / 1.3
= 6.96 / 1.3
= 5.4 م (لأقرب 0.1)

إنه نفس الحساب كما كان من قبل.


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الجهة المعينة الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع الإلكتروني أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورز ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


1.2: الخلطات الغامضة (15 دقيقة)

نشاط

الغرض من هذا النشاط هو أن يوضح الطلاب أن طعم الخليط يعتمد على كمية الماء وكمية مزيج الشراب المستخدم في صنع الخليط.

من الناحية المثالية ، يأتي الطلاب إلى الفصل الدراسي وهم يعرفون كيفية رسم واستخدام المخططات أو الجداول ذات النسب المعادلة لتحليل سياقات مثل تلك الموجودة في المهمة. إذا اقترح التقييم التشخيصي أن بعض الطلاب يستطيعون وبعض الطلاب لا يمكنهم ذلك ، فقم بإجراء أزواج استراتيجية للطلاب لهذه المهمة.

إطلاق

اعرض على الطلاب صور المشروبات.

قم بتوسيع الصورة

قم بتوسيع الصورة

قم بتوسيع الصورة

قم بتوسيع الصورة

إذا أمكن ، أعط كل طالب ثلاثة أكواب تحتوي على خليط المشروبات.

اطلب من الطلاب العمل من خلال السؤال الأول والتوقف مؤقتًا للمناقشة. اطرح أسئلة مثل ،

  • "ماذا يعني أن نقول أنه يحتوي على كمية أكبر من المشروبات الممزوجة؟"
  • "تخيل أنك تتناول كميات مختلفة من النوعين اللذين يتذوقان نفس المذاق. سيكون هناك المزيد من مزيج المشروبات بكميات أكبر ، لكن لن يختلف مذاقها. لماذا هذا؟"

الهدف هو أن نرى أنه في نفس الكمية من كل خليط (قل ملعقة صغيرة) ، فإن خليط المشروبات الأكثر نكهة يحتوي على مزيج شراب أكثر لنفس الكمية من الماء. (بدلاً من ذلك ، يمكننا القول أن خليط الشراب الأكثر نكهة يحتوي على كمية أقل من الماء لنفس الكمية من مزيج المشروبات). استخدم MLR 8 (تدعم المناقشة) عن طريق الإيماءات أو تمثيل تعابير الوجه من أجل "قوة" الخليط.

بعد أن يكون الطلاب قد أحرزوا بعض التقدم في فهم هذه الفكرة ، يجب أن يتابع الفصل إلى السؤال الثاني. إذا انتهى الطلاب بسرعة ، فاضغط عليهم للعثور على كمية مزيج الشراب لكل كوب ماء في كل وصفة ، وبالتالي التأكيد على معدل الوحدة.

سيعرض لك معلمك ثلاث خلطات. طعمان متشابهان وواحد مختلف.

فيما يلي الوصفات التي تم استخدامها لصنع الخلطات الثلاثة:

  • 1 كوب ماء مع (1 frac12 ) ملاعق صغيرة من مسحوق الشراب الممزوج
  • 2 كوب ماء مع ( frac12 ) ملعقة صغيرة من مسحوق الشراب الممزوج
  • 1 كوب ماء مع ( frac14 ) ملعقة صغيرة من مسحوق الشراب الممزوج

أي من هذه الوصفات مخصصة لمزيج المذاق الأقوى؟ اشرح كيف تعرف.

استجابة الطالب

للوصول ، استشر أحد شركائنا المعتمدين في IM.

هل أنت مستعد لأكثر من ذلك؟

يعطي الملح والسكر طعمين مختلفين بشكل واضح ، أحدهما مالح والآخر حلو. في خليط الملح والسكر ، يمكن أن يكون الخليط مالحًا أو حلوًا أو كليهما. هل سيتذوق أي من هذه الخلطات نفس المذاق بالضبط؟

  • الخليط أ: 2 كوب ماء ، 4 ملاعق صغيرة ملح ، 0.25 كوب سكر
  • المزيج ب: 1.5 كوب ماء ، 3 ملاعق صغيرة ملح ، 0.2 كوب سكر
  • المزيج ج: 1 كوب ماء ، 2 ملعقة صغيرة ملح ، 0.125 كوب سكر

استجابة الطالب

للوصول ، استشر أحد شركائنا المعتمدين في IM.

توليف النشاط

الخلاصة الرئيسية من هذا النشاط هي أن النكهة تعتمد على مقدار مزيج الشراب و كمية الماء الموجودة في الخليط. بالنسبة لكمية معينة من الماء ، كلما أضفت مزيجًا أكثر من الشراب ، كلما كان طعم الخليط أقوى. وبالمثل ، بالنسبة لكمية معينة من مزيج الشراب ، كلما أضفت المزيد من الماء ، كلما كان طعم الخليط أضعف. لمقارنة كمية النكهة لخليطين ، عندما تختلف مقادير مزيج الشراب وكميات الماء في الخليطين ، يمكننا كتابة نسب معادلة لكل حالة بحيث نقارن كمية مزيج الشراب لنفسه. كمية الماء أو كمية الماء لنفس الكمية من مزيج الشراب. الحوسبة أ معدل الوحدة لكل حالة مثال خاص لهذه الإستراتيجية. اجعل هذه الأفكار صريحة إذا لم يعبر عنها الطلاب.

إذا لم يقم الطلاب بإنشائها ، ارسم مخططات منفصلة مثل هذا:

قم بتوسيع الصورة

أو مضاعفة مخططات خط الأرقام مثل هذا:

قم بتوسيع الصورة

لكل خليط ، حدد التطابقات بين المخططات المنفصلة ومخططات خط الأرقام ، وبين المخططات والجداول:

ماء (أكواب) مزيج الشراب (ملاعق صغيرة)
1 (1 frac12 )
2 3
ماء (أكواب) مزيج الشراب (ملاعق صغيرة)
2 ( frac12 )
1 ( frac14 )

اطرح أسئلة مثل ، "في الرسم التخطيطي لخط الرقم المزدوج ، نرى العلاقة من 1 إلى (1 frac12 ) عند علامة التجزئة الأولى. أين نرى هذه العلاقة في مخطط الشريط المزدوج؟ في الطاولة؟"

استخدم MLR 7 (قارن واتصل) للطلاب لمقارنة طرق معرفة كيفية معرفة الوصفة الأقوى. من استخدم الضرب؟ من استخدم القسمة؟ من الذي استخدم معدل وحدة الماء لكل مزيج شراب ملعقة شاي؟ من الذي استخدم معدل وحدة مزيج الشراب لكل كوب ماء؟


2 أفكار على ldquo ونسبة ونسبة rdquo

ديوي ويليامز يقول:

أنت & # 8217 محقًا في المفاهيم الخاطئة الشائعة بين النسب والكسور & # 8211 غالبًا ما يخلط التلاميذ بين النسبة 2: 3 والكسر 2/3.

ومع ذلك ، أعتقد أيضًا أن هناك الكثير من القيمة في توضيح أوجه التشابه بين النسب والكسور. النسب المكافئة مشابهة جدًا من الناحية المفاهيمية للكسور المتكافئة ، ومن الجدير الإشارة إلى أوجه التشابه هذه.

Mrmath_admin يقول:

شكرا على التعليق. أوافق تمامًا على الحاجة إلى فهم النسبة كنسبة. أصبحت هذه الأسئلة أكثر شيوعًا في الوقت الحاضر في أوراق الامتحان. يستمر الطلاب في العثور عليهم صعبًا.

من الشائع أيضًا أن ترى مشاكل النسبة والتناسب مرتبطة بالمضاعف المشترك الأصغر.
شكرا لك مرة أخرى
جوناثان


ما هي النسبة؟

النسبة هي تعبير يخبرنا أن النسبتين متكافئتان. يقال أن نسبتين متناسبتين إذا كانتا متساويتين. يتم تمثيل النسب بعلامة ":" أو "=". على سبيل المثال ، إذا كانت a و b و c و d أعدادًا صحيحة ، فسيتم كتابة النسبة على النحو التالي: a: b = c: d أو a / b = c / d أو b: a = d: c. على سبيل المثال ، النسبتان 3: 5 و 15: 25 متناسبة ويتم كتابتها بالشكل 3: 5 = 15:25

تُعرف الأرقام الأربعة أ ، ب ، ج ، د بمصطلحات النسبة. يشار إلى المصطلحين الأول (أ) والأخير (د) بالمصطلحات المتطرفة بينما يطلق على المصطلحين الثاني والثالث في التناسب المصطلحات المتوسطة.


نسبة أم نسبة؟

هل فكرت يومًا في ما تعنيه هاتان الكلمتان حقًا؟ غالبًا ما يتم استخدامهما معًا كعبارة ، "نسبة ونسبة" ، لكن هل هما في الواقع مصطلحات مختلفة لنفس المفهوم الرياضي؟ إذا سأل التلميذ الفرق ، فكيف ترد؟

يجب أن أعترف أنني لم أفكر بوعي في المعنى الدقيق للنسبة أو النسبة حتى بدأت تدريب المعلم. أظن أن هذا لن يكون مفاجأة خاصة ، ولكن هل يجب أن أقلق بشأن تعريفات هذه المصطلحات؟ واحدة من الصعوبات التي نواجهها غالبًا في الفصل الدراسي هي تعريف الأطفال بالتعريف الرياضي للكلمة والذي يستخدم أيضًا في اللغة اليومية. ربما هذا ينطبق إلى حد ما على النسبة والنسبة؟ في مكان ما في أعماق ذهني ، يبدو أنني أتذكر أنه قيل لي أن النسبة تقارن جزءًا إلى جزء بينما النسبة تقارن جزءًا بالكل. ولكن ماذا يعني ذلك حقا؟ هل هذا مفيد؟ وهل هي القصة كلها؟

لنلقِ نظرة على النسبة أولاً. النسبة في رأيي هي المقارنة بين كميتين أو أكثر. وفقًا لقاموس أكسفورد الإنجليزي على الإنترنت ، فإن النسبة هي "العلاقة بين مقدارين متشابهين فيما يتعلق بالكمية ، يحددها عدد المرات التي يحتوي فيها أحدهما على الآخر (جزئيًا أو جزئيًا)". على سبيل المثال ، قد يُقال على زجاجة من عصير البرتقال "خفف جزءًا واحدًا من التركيز إلى أربعة مقادير من الماء". يتم إعطاء كمية الماء المطلوبة من حيث كمية التركيز. يقترح إطار العمل الوطني للحساب أنه عند تقديم هذه الفكرة لأول مرة للأطفال ، قد يتم التعبير عن هذه الفكرة بشكل أفضل على أنها "لكل جزء مركز واحد ، نحتاج إلى 4 أجزاء من الماء". يمكن توضيح هذه النسبة بوضوح شديد باستخدام صور بسيطة:

في الفصل الدراسي ، يمكن نمذجة "لكل" من خلال رسم 4 "مستطيلات مائية" بجوار كل "مستطيل مركز" بحيث يتمكن التلاميذ من تحديد عدد أجزاء الماء اللازمة لتركيز عدد معين من الأجزاء. على مستوى أعلى ، سيكونون بعد ذلك في وضع يسمح لهم بتأكيد ما إذا كان تمثيل تصويري معين يصف نفس النسبة أم لا. بالطبع ، سيكون وجود عدادات أو مكعبات برتقالية وبيضاء طريقة أخرى لتصوير المركز والماء. فليس من قبيل القفزة الكبيرة إذن إدخال مفردات مختلفة قليلاً لنفس الشيء؟ يمكن أيضًا التعبير عن "4 لكل 1" على أنها "4 لكل 1".

في المناقشة مع الزملاء ، أدركنا أيضًا أنه عندما نتحدث عن النسب ، فمن المناسب تمامًا تجاهل الوحدات. قد نقول أن نسبة التفاح إلى الكمثرى هي 3 إلى 1 وهذا يتعارض مع الحبوب من حيث اتساق الوحدات. من المؤكد أن هذا يمكن أن يجعل فهم النسبة أكثر إشكالية؟

غالبًا ما تتضمن القواميس الرياضية كلمة "كسر" في تعريفها للنسبة. على سبيل المثال ، يعرّف قاموس الرياضيات الذي نشرته McGraw-Hill (2003) نسبة كميتين ، A و B ، على أنها "حاصل القسمة أو الكسر A / B". فكيف تتناسب النسبة مع هذا؟ يشير إطار الحساب إلى أنه بحلول نهاية السنة 6 ، يجب أن يكون الأطفال قادرين على "ربط الكسور بنسب بسيطة". لذا ، يبدو أن الكسور مرتبطة أيضًا بالتناسب.

إذا نظرنا مرة أخرى إلى قاموس أكسفورد الإنجليزي ، نجد أن النسبة مُعرَّفة على أنها "جزء أو جزء في علاقته بالجزء المقارن بأكمله ، حصة أحيانًا ببساطة ، جزء ، قسم ، جزء". للوهلة الأولى ، يبدو أن هذا يتفق مع حدسي الأصلي. إذا نظرنا إلى الصورة أعلاه ، يمكننا وصف نفس الموقف من حيث التناسب: هناك جزء واحد من التركيز في كل 5 أجزاء. بعبارة مختلفة قليلاً ، قد نقول أن 1 من كل 5 أجزاء مركزة. هذه المرة نربط كمية التركيز (جزء واحد) بالكل (5 أجزاء).

ومع ذلك ، إذا لجأنا إلى قاموس رياضي مرة أخرى ، يُقال لنا أن "نسبة الكميتين هي النسبة بينهما" (McGraw-Hill ، 2003). يتوسع قاموس كولينز للرياضيات (2002) في هذه النسبة المحددة قليلاً على أنها "العلاقة بين أربعة أرقام أو كميات تساوي فيها نسبة الزوج الأول نسبة الزوج الثاني". أعتقد أن هذا التعريف الرياضي الأخير قد يشمل استخدامي اليومي لكلمة "نسبة" وهذا لا يقارن الجزء بالكل على الإطلاق.

إلو أين سيقودنا هذا الأمر!؟ أجد صعوبة في التوصل إلى أي استنتاجات مما سبق - تبدو الحدود بين الاثنين غير واضحة للغاية بالنسبة لي. في أحسن الأحوال ، أشعر بالسعادة لفهمي للنسبة ولكن يبدو أن نسبة الكلمات تستخدم بطريقتين مختلفتين. سأكون حريصًا جدًا على سماع أفكارك حول هذا الموضوع والتي أود أن أضيفها إلى هذا المقال. ربما لديك تعريفات واضحة في عقلك قد تساعدك؟


شاهد الفيديو: قدرات النسبة المئوية %% (شهر نوفمبر 2021).