مقالات

8: مواضيع أخرى في نظرية الأعداد - الرياضيات


يناقش هذا الفصل مواضيع مختلفة ذات أهمية عميقة في نظرية الأعداد. القسم 1 الخاص بالتشفير هو تطبيق لنظرية الأعداد في مجال فك تشفير الرسائل ، بينما الأقسام الأخرى حول المنحنيات الإهليلجية ووظيفة ريمان زيتا مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بنظرية الأعداد. يرتبط القسم الخاص بنظرية فيرما الأخيرة ، من خلال إثبات وايل لتخمين فيرمات بعدم وجود حلول صحيحة لـ (x ^ n + y ^ n = z ^ n ) لـ (n> 2 ) ، إلى مجال المنحنيات الإهليلجية (وبالتالي إلى القسم 2).

الأستاذ رامز معلوف من جامعة سيدة اللويزة بلبنان لمساهمته في الفصل الثامن.


البدء في دراسة الموضوعات المتقدمة في نظرية الأعداد

أنا طالب جامعي في السنة الأولى وقد تلقيت دورة ابتدائية في نظرية الأعداد والتي تتضمن فقط موضوعات تمهيدية أساسية مثل: القسمة ، gcd-lcm ، الأعداد الأولية ، التطابق ، الوظائف النظرية للأرقام ، إلخ.
بناءً على تجربتي في هذا الموضوع ، قررت أن أدرسه بمفردي.
أخطط لتغطية هذه الموضوعات: الجذور البدائية ، المخلفات التربيعية ، الأشكال التربيعية الثنائية ، إلخ.

هل يمكن لأحد أن يخبرني في أي تسلسل يجب أن أدرس هذه المواضيع؟
على الرغم من أنني رأيت أنه في معظم الكتب تأتي الجذور البدائية قبل المخلفات التربيعية التي تتبعها الأشكال الثنائية التربيعية ، وما هي الموضوعات الأخرى التي تتبع هذه الموضوعات الثلاثة؟

ثانيًا ، ما أريد الحصول عليه هو المعرفة في مجال الرياضيات المفضل لدي وهو نظرية الأعداد ، فهل أسلوبي لتعلم هذا صحيح؟ أو ، هل يجب أن أرى أولاً أي فرع: الجبر أو التحليلي يثير اهتمامي أكثر ويدرس فقط هذا الفرع بعينه؟

والأهم من ذلك ، ما هي الكتب أو المراجع الأخرى مثل مقاطع فيديو المحاضرات التي يجب أن أشير إليها ، وهي مناسبة لتعلم المادة خطوة بخطوة مع التدريبات للعمل؟
ما رأيكم يا رفاق في كتاب ديفيد بيرتون وكتاب آلان بيكر؟

أعتذر إذا تم طرح سؤال مشابه من قبل شخص ما أو إذا لم أقم بإضافة العلامات المناسبة أو إذا طرحت الكثير من الأسئلة في منشور واحد فقط.

ويرجى عدم التوصية بكتب مثل: مقدمة لنظرية الأعداد من تأليف هاردي ورايت وآخر بقلم نيفن وزوكرمان ، فهذه الكتب - ليست مناسبة على الإطلاق لشخص يدرس الموضوعات لأول مرة.
شكرا مقدما للجميع.


تخصص في الرياضيات

أكمل ما يلي:
  • رياضيات 113 حساب التفاضل والتكامل 1 (4 ساعات معتمدة) (أو 108 و 109)
  • 114 رياضيات التفاضل والتكامل 2 (4 ساعات معتمدة)
  • MATH 200 حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات (4 ساعات معتمدة)
  • رياضيات 210 مقدمة في المعادلات والأنظمة التفاضلية (4 ساعات معتمدة)
  • 240 رياضيات الجبر الخطي (4 ساعات معتمدة)
  • رياضيات 301 الجبر المجرد 1 (4 ساعات معتمدة)
  • رياضيات 317 تحليل حقيقي (4 ساعات معتمدة)

متطلبات الحلفاء

  • CISC 130 مقدمة في البرمجة وحل المشكلات في العلوم (4 ساعات معتمدة)
    أو CISC 131 مقدمة في البرمجة وحل المشكلات (4 ساعات معتمدة)

ملحوظة: يوصى باستخدام CISC 130 لهذا التخصص

بالإضافة إلى أحد مسارات الرياضيات التالية:

مسار الرياضيات البحتة

ثمانية اعتمادات مما يلي:
  • MATH 302 Abstract Algebra II (4 ساعات معتمدة)
  • رياضيات 419 متغيرات مركبة (4 ساعات معتمدة)
  • 420 طوبولوجيا رياضيات (4 ساعات معتمدة)

مسار الرياضيات التطبيقية

  • 315 رياضيات تطبيقية ونمذجة 1 (4 ساعات معتمدة)
  • رياضيات 316 الرياضيات التطبيقية والنمذجة 2 (4 ساعات معتمدة)
بالإضافة إلى ثمانية أرصدة مما يلي:
  • MATH 300 المعادلات التفاضلية المتقدمة (4 ساعات معتمدة)
  • MATH 302 Abstract Algebra II (4 ساعات معتمدة)
  • MATH 303 إحصاء العلوم التطبيقية (4 ساعات معتمدة)
  • احتمالية رياضيات 313 (4 ساعات معتمدة)
  • STAT 314 الإحصاء الرياضي (4 ساعات معتمدة)
  • رياضيات 385 طرق رياضية للتحليل العددي (4 ساعات معتمدة)
  • MATH 400 الأنظمة الديناميكية والفوضى (4 ساعات معتمدة)
  • رياضيات 419 متغيرات مركبة (4 ساعات معتمدة)
  • 420 طوبولوجيا رياضيات (4 ساعات معتمدة)

مسار الإحصاء

  • احتمالية رياضيات 313 (4 ساعات معتمدة)
  • STAT 314 الإحصاء الرياضي (4 ساعات معتمدة)
  • 333 STAT الأساليب الإحصائية التطبيقية: الانحدار ، السلاسل الزمنية ، التنبؤ (4 ساعات معتمدة)
  • رياضيات 385 طرق رياضية للتحليل العددي (4 ساعات معتمدة)

مسار تعليم الرياضيات

  • 325 رياضيات الهندسة (4 ساعات معتمدة)
  • MATH 450 الرياضيات المتقدمة: الاستكشاف والعرض (4 ساعات معتمدة)

مُنظِّر عدد يربط الرياضيات بمحاولات إبداعية أخرى

يعمل جوردان إلينبيرج على شاطئ بحيرة ميندوتا ، المتاخم لحرم جامعة ويسكونسن ، ماديسون.

ستيف ناديس

قال جوردان إلينبيرج ، عالم الرياضيات في جامعة ويسكونسن ، ماديسون: "هناك العديد من المسارات المختلفة في الرياضيات". "هناك الصورة النمطية التي يظهرها الاهتمام بالرياضيات في وقت مبكر. هذا بالتأكيد ليس صحيحًا بشكل عام. إنها ليست القصة العالمية - لكنها قصتي ".

تم دعم هذا الحساب من قبل خبير الإحصاء الحيوي في جامعة بنسلفانيا - والدته ، سوزان إلينبيرج. قالت: "تعرف الأردن على الأرقام قبل أن يتمكن من المشي". "سنذهب إلى مكان ما معه ، وسيبدأ في الاتصال بالأرقام ، وسيتعين علينا أنا ووالده معرفة مكان رؤيته. كل ليلة ، كان يطلب مني أن أعلمه شيئًا جديدًا عن الرياضيات ". عندما كان في الصف الثاني ، بدأ مدرس محلي بأخذه إلى منهج الرياضيات في المدرسة الثانوية. منذ ذلك الحين ، كان منشغلا بالرياضيات - وإن لم يكن ذلك على وجه الحصر.

بعد تخرجه من جامعة هارفارد في عام 1993 ، أكمل إلينبيرج برنامج الماجستير لمدة عام في الكتابة الخيالية في جامعة جونز هوبكنز ، حيث كتب رواية نُشرت بعد عقد من الزمن بعنوان ملك الجندب. لكنه شعر دائمًا أنه سيعود في النهاية إلى الرياضيات ، وفي عام 1994 التحق ببرنامج الدكتوراه مرة أخرى في جامعة هارفارد ، لمتابعة البحث تحت إشراف باري مازور ، مُنظِّر رقم.

قالت إيلينبيرج: "كان باري مستشارًا عظيمًا ورجلًا مثقفًا للغاية". "أحد الأشياء التي أظهرها لي هو أنه من الجيد أن أهتم بأشياء أخرى غير الرياضيات. من خلاله رأيت أن التواجد في الجامعة لا يعني فقط أن أكون في قسم الرياضيات ، بل أن تكون جزءًا من عالم كامل من المنح الدراسية ".

أخذت Ellenberg هذه النظرة إلى القلب ، حيث وجدت الرياضيات لاستكشافها في كل شيء من بدع الإنترنت إلى حقوق التصويت. لقد تفاعل بل وتعاون مع زملائه من العديد من المجالات والأقسام المختلفة ، مع مواكبة كتاباته - الأوراق الأكاديمية لمجلات الرياضيات ، والمقالات الشعبية في الصحف والمجلات. في عام 2001 ، بدأ في كتابة عمود لـ سليت يسمى "حل الرياضيات". العديد من الإدخالات ليست أجرة رياضيات نموذجية ، مثل "Algebra for Adulterers" و "Cooking the Books on Virginity" و "ما تخبرنا به مسرحيات برودواي الموسيقية عن الإبداع."

أحدث كتاب له ، شكل، هو كل شيء عن الهندسة - على الرغم من أنه ، كما قد تتوقع ، فإنه يختلف بشكل كبير عن الهندسة التقليدية لأيام مدرستك الثانوية. وقال إن إثبات تطابق المثلثات وما شابهها لا يشبه كثيرًا أعمال الهندسة الحديثة. في مقدمة الكتاب ، اعترف إيلينبيرج بأنه كان موضوعًا مثيرًا للفضول بالنسبة إليه: "أيها القارئ ، دعني أكون صريحًا معك بشأن الهندسة: في البداية لم أهتم بها."

كوانتا تحدثت مع Ellenberg في وقت سابق من هذا الشهر حول الهندسة والرياضيات الانتخابية والإبداع. تم اختصار المقابلة وتحريرها من أجل الوضوح.


  • مخطط رياضي منفصل
  • قائمة موضوعات حساب التفاضل والتكامل
  • قائمة موضوعات الهندسة
    • مخطط الهندسة
    • قائمة الموضوعات المثلثية
      • مخطط علم المثلثات
      • قائمة الهويات المثلثية

      راجع أيضًا مجالات الرياضيات ومسرد المصطلحات.

      كدليل تقريبي ، يتم تقسيم القائمة إلى أجزاء نقية وتطبيقية على الرغم من أن هذه الفروع في الواقع متداخلة ومترابطة.

      الرياضيات البحتة

      الجبر

      • مخطط الجبر
      • قائمة موضوعات الجبر الملخص
      • قائمة التراكيب الجبرية
      • قائمة الموضوعات الجبرية المنطقية
      • قائمة موضوعات نظرية الفئة
      • قائمة المواضيع الجبرية التبادلية
      • قائمة الموضوعات الجبرية المتماثلة
      • قائمة موضوعات المجموعة
      • قائمة نظريات نظرية التمثيل
      • قائمة الموضوعات الجبرية الخطية
      • القائمة القانونية المتبادلة
      • مسرد نظرية المجال
      • مسرد نظرية المجموعة
      • مسرد الجبر الخطي
      • قائمة نظريات الحلقات
      • قائمة نظريات cohomology

      حساب التفاضل والتكامل والتحليل

      • قائمة بموضوعات التحليلات المعقدة
      • قائمة مواضيع التحليل الوظيفي
        • قائمة الفراغات المتجهة في الرياضيات
        • قائمة مواضيع تحليل فورييه
        • قائمة موضوعات الهندسة
        • قائمة الأشكال الهندسية
        • قائمة موضوعات المنحنى
        • قائمة المواضيع المثلثة
        • قائمة مواضيع الدائرة
          • قائمة الموضوعات المتعلقة بي
          • قائمة الأسطح الجبرية
          • قائمة نظريات cohomology

          التوافقية

          منطق

          • قائمة الموضوعات الجبرية المنطقية
          • قائمة النظريات من الدرجة الأولى
          • قائمة الخصائص الأساسية
          • قائمة مواضيع المنطق الرياضي
          • قائمة نظريات التسلسل
          • قائمة موضوعات نظرية المجموعات

          نظرية الأعداد

          • قائمة بأرقام موضوعات نظرية الجبر
          • قائمة موضوعات نظرية الأعداد
          • قائمة موضوعات نظرية الأعداد الترفيهية
          • مصطلحات الحساب والهندسة الديوفانتية
          • قائمة الأعداد الأولية - ليست مجرد جداول ، بل قوائم متنوعة أنواع الأعداد الأولية (مع كل جدول مرفق)
          • قائمة وظائف زيتا الرياضيات التطبيقية

          النظام الديناميكي والمعادلات التفاضلية

          المعادلات التفاضلية هي معادلات تتضمن وظائف غير معروفة ومشتقاتها.

          • قائمة موضوعات النظام الديناميكي والمعادلات التفاضلية
          • قائمة مواضيع المعادلات التفاضلية الجزئية
          • قائمة المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية

          الفيزياء الرياضية

          • قائمة الموضوعات الرياضية في الميكانيكا الكلاسيكية
          • قائمة الموضوعات الرياضية في نظرية الكم
          • قائمة الموضوعات الرياضية في النسبية
          • قائمة موضوعات نظرية الأوتار
          • فهرس مقالة الموجة

          الحوسبة

          • قائمة الموضوعات الخوارزمية الشائعة
          • قائمة موضوعات الحوسبة والتعقيد
          • لموضوعات الحوسبة في الهندسة والرسومات
            • قائمة موضوعات الهندسة المقارنة التوافقية
            • قائمة الرسوم البيانية الحاسوبية وموضوعات الهندسة الوصفية
            • قائمة موضوعات هندسة الحوسبة العددية

            نظرية المعلومات هي فرع من فروع الرياضيات التطبيقية والهندسة الكهربائية التي تتضمن قياس المعلومات. تاريخياً ، تم تطوير نظرية المعلومات لإيجاد حدود أساسية لضغط البيانات ونقلها بشكل موثوق.


            8: مواضيع أخرى في نظرية الأعداد - الرياضيات

            المدرب: ا. لابا. المكتب: Math Bldg 239. الهاتف: 822 2450. البريد الإلكتروني: ilaba (at) math.ubc.ca.

            نلتقي في هذا الفصل الدراسي كل أربعاء ، 4-5 مساءً (ملاحظة تغيير الوقت) ، في MATX 1118. انقر هنا للحصول على جدول الاجتماعات.

            تتمثل الخطة في مناقشة مجموعة معينة من المشكلات في واجهة نظرية الأعداد التحليلية والتوافقية ، والتحليل التوافقي ، والتوافقية ، ونظرية ergodic ، بالإضافة إلى أفكار من مجالات أخرى للرياضيات مختلطة أيضًا. هذه كلها موضوعات بحثية ساخنة - وفقًا لذلك ، يمكننا غالبًا ما يرغبون في التقدم في أسرع وقت ممكن لقراءة الأوراق البحثية الحالية ، وبعضها لم ينشر بعد في المجلات. سيتم اقتراح ومناقشة مشاكل البحث ، بمستويات متفاوتة من الصعوبة.

            المواضيع:

            • تحليل فورييه: معايير "العشوائية" للمجموعات ، وإيجاد البنية في مجموعات غير عشوائية.
            • نهج اندماجي: انتظام Szemeredi lemma وامتداداته وتطبيقاته ،
            • النهج النظري ergodic: الخلفية ، نظرية التكرار المتعدد ، تعميمات نظرية Szemeredi ،
            • النتائج الكمية للتعاقب الحسابي ثلاثي المدى ،
            • العمل الأخير لـ Green and Tao على التعاقب الحسابي في الأعداد الأولية ،
            • نتائج أخرى ذات صلة ، على سبيل المثال العثور على أنماط في مجموعات فرعية من شعرية عدد صحيح.
            • مشكلة الككية: الجوانب النظرية للأرقام. (تتطلب جوانب فورييه التحليلية قدرًا لا بأس به من الخلفية في التحليل التوافقي ، ونأمل أن يتم تضمينها في دورة موضوعات منفصلة في وقت ما في المستقبل.)
            • المجاميع مقابل المنتجات: إذا كانت A عبارة عن مجموعة من n أرقام ، فيجب أن تكون واحدة على الأقل من المجموعات و لديك علاقة أساسية (تقريبًا) ن 2؟
            • مشاكل مجموعة المسافة (مثال: ما هو أقل عدد للمسافات المميزة بين n من النقاط في المستوى؟).
            • والعديد من الآخرين من نفس النكهة: من السهل وصفها ، يصعب حلها ، وغالبًا ما تتطلب الجمع بين الأساليب والأفكار التي تبدو غير مرتبطة.

            الجدول والشكل:

            ستكون الاجتماعات أقل تنظيمًا مما كانت عليه في معظم دورات الدراسات العليا ، مع التركيز على المناقشة وتبادل الأفكار وحل المشكلات بدلاً من المحاضرات الرسمية. من المتوقع أن يتم التعلم أثناء الاجتماعات في الوقت الفعلي. أرغب في أن يرأس كل اجتماع شخص معين (ليس بالضرورة أنا.) سيُطلب منه قراءة المواد الحالية مقدمًا ، وتقديم مقدمة موجزة ، والإجابة على الأسئلة ، وإدارة المناقشة بخلاف ذلك. تشجيع الجميع على المشاركة.

            الدورة بأكملها (فصلين دراسيين) تستحق 4 ساعات معتمدة إذا قمت بالتسجيل. ومع ذلك ، لا يتعين عليك التسجيل من أجل الحضور. (نظرًا لأن هذه دورة قراءة ، فلا يوجد حد أدنى لعدد الطلاب المطلوب.)


            نظرية الأعداد

            نظهر أن عدد جذر متعامد لمعامل L مقسّى يتحلل كمنتج لرقمين آخرين: رقم الجذر المتعامد للمعلمة الرئيسية والقيمة على ارتداد معين للحرف المركزي للمعامل Langlands. تحل الصيغة تخمينًا لـ Gross و Reeder وتحسب أرقام جذر تمثيلات Weil-Deligne الناشئة في عمل Hiraga و Ichino و Ikeda على مقياس Plancherel.

            بالنظر إلى الأعداد الصحيحة الموجبة لـ coprime $ d '، d' '$، B ' ezout يخبرنا Lemma أن هناك أعدادًا صحيحة $ u ، v $ بحيث أن $ d'u-d''v = 1 $. نوضح أنه عند التبديل بين $ d '$ و $ d' '$ إذا لزم الأمر ، قد نختار $ u $ و $ v $ ليكونا رقمين Loeschian ، أي من النموذج $ | alpha | ^ 2 $ ، حيث $ ألفا في mathbb[j] $ حلقة الأعداد الصحيحة لحقل الرقم $ mathbb(ي) $ ، حيث $ j ^ 2 + j + 1 = 0 $. نقوم بذلك باستخدام عناصر Atkin-Lehner في بعض الجبر الرباعي $ mathcal$. نستخدم هذه الحقيقة لحساب عدد فئات الاقتران لعناصر الترتيب 3 بالترتيب $ mathcal مجموعة فرعية رياضيات$.

            في عام 1975 ، حصل Don Zagier على نسخة جديدة من صيغة Kronecker المحدودة لحقل تربيعي حقيقي يتضمن دالة مثيرة للاهتمام $ F (x) $ والتي تُعرف الآن باسم emph. كما أوضح زاجير ، ومؤخراً من قبل رادشينكو وزاجير ، فإن $ F (x) $ يلبي الخصائص الجميلة التي تهم كل من نظرية الأعداد الجبرية وكذلك في نظرية الأعداد التحليلية. في هذه الورقة ، ندرس $ mathscr_(x) $ ، امتداد لوظيفة Herglotz التي تستوعب أيضًا emph فلاسينكو وزاجير. نسميها emph. يرتبط ارتباطًا وثيقًا بسلسلة معينة من سلسلة لامبرت. نشتق نوعين مختلفين من المعادلات الوظيفية التي يتم تلبيتها بواسطة $ mathscr_(x) $. أعطى Radchenko و Zagier علاقة جميلة بين التكامل $ displaystyle int_ <0> ^ <1> frac < log (1 + t ^ x)> <1 + t> ، dt $ و $ F (x) $ واستخدمته لتقييم هذا التكامل في مختلف الحجج المنطقية وغير المنطقية. نحصل على علاقة بين $ mathscr_(x) $ وتعميم التكامل أعلاه الذي يتضمن بولي لوغاريتم. التوسعات المقاربة لـ $ mathscr_(x) يتم أيضًا الحصول على $ وبعض سلاسل لامبرت المعممة جنبًا إلى جنب مع النتائج التكميلية الأخرى.

            تعمل النماذج العادية الأردنية كممثلين ممتازين لفئات الاقتران من المصفوفات في الحقول المغلقة. بمجرد أن نعرف النماذج العادية ، يمكننا حساب وظائف المصفوفات ، وثوابتهم الرئيسية ، وما إلى ذلك. يكون الموقف أكثر تعقيدًا إذا بحثنا عن النماذج العادية لفئات الاقتران عبر الحقول غير المغلقة وخاصة للحلقات.
            في هذا البحث قمنا بدراسة PGL (2، Z) - فئات الاقتران لمصفوفات GL (2، Z). إن نهج حلقة الأعداد الصحيحة في الأردن له حدود مختلفة وهو في الواقع غير فعال. يتم توفير الأشكال العادية لفئات الاقتران لمصفوفات GL (2 ، Z) بواسطة نظرية بديلة ، والتي تُعرف باسم Gauss Reduction Theory. نقدم تقنيات جديدة لحساب الأشكال المختصرة في نظرية اختزال غاوس من حيث عناصر بعض الكسور المستمرة. يعتمد النهج الحالي على التقدم الأخير في هندسة الأرقام. توفر التقنية المقترحة حسابًا واضحًا لفترات الكسور المستمرة لمنحدرات المتجهات الذاتية.

            بالنظر إلى الأعداد الصحيحة الموجبة $ j ، k $ ، مع $ j geq 2 $ ، نوضح أن هناك أعدادًا صحيحة موجبة $ d ، e $ مثل $ sqrtتابع $ توسيع الكسر $ sqrt= [البريد ، overline] $ ، مع الفترة $ j $ ، إذا وفقط إذا كان $ k $ زوجيًا أو $ 3 nmid j $ ، في هذه الحالة نعطي الصيغ المغلقة للعثور على كل هذه $ d و e $ بالإضافة إلى أصغر حل في الأعداد الصحيحة الموجبة إلى معادلة Fermat-Pell $ X ^ 2-dY ^ 2 = (- 1) ^ j $.

            القوائم المتقاطعة يوم الأربعاء ، 7 يوليو 21

            لنفترض أن $ ell $ أولي ، و $ k $ هو حقل مُنشأ بشكل نهائي للخاصية يختلف عن $ ell $ ، و $ X $ وهو منحنى سلس متصل هندسيًا أعلى من $ k $. قل تمثيلًا شبه بسيط لـ $ pi_1 ^ < mathrm> (X _ < bar k>) $ حسابي إذا امتد إلى مجموعة فرعية من الفهرس المحدود $ pi_1 ^ < mathrm> (X) $. نظهر وجود ثابت فعال $ N = N (X، ell) $ بحيث يكون أي تمثيل حسابي شبه بسيط لـ $ pi_1 ^ < mathrm> (X _ < bar k>) $ إلى $ mathrm_n ( overline < mathbb_ ell>) $ ، وهو نموذج تافه $ ell ^ N $ ، هو في الحقيقة تافه. يمتد هذا إلى النتيجة السابقة للمؤلف الثاني من خاصية الصفر إلى جميع الخصائص. يعتمد الدليل على نسخة جديدة غير تبادلية من نظرية Siegel الخطية والصيغة $ ell $ -adic لنظرية بيكر على الأشكال الخطية في اللوغاريتمات.

            الهدف من هذا البحث هو تقديم كثيرات حدود Laguerre المعممة المتدهورة كنسخة متدهورة من متعدد حدود Laguerre المعمم واشتقاق بعض الخصائص المتعلقة بمعدلات الحدود وأرقام Lah ، بما في ذلك التعبير الصريح ، صيغة نوع رودريغز وتعبيرات للمشتقات .
            الحداثة في هذه الورقة هي أنها أول ورقة بحثية عن النسخ المنحطة من كثيرات الحدود المتعامدة.

            نحن نؤسس تقارب متوسط ​​لمتوسطات ergodic متعددة مع التكرارات المعطاة بواسطة قوى كسرية مميزة للأعداد الأولية ونتائج التكرار المتعددة ذات الصلة. نتيجة نتيجتنا الرئيسية هي أن كل مجموعة من الأعداد الصحيحة ذات الكثافة العليا الموجبة تحتوي على أنماط بالصيغة $ $ ، حيث $ a ، b $ هي أعداد غير صحيحة موجبة و $ p_n $ تشير إلى $ n $ -th ، خاصية تفشل إذا كان $ a $ أو $ b $ عددًا طبيعيًا. يعتمد نهجنا على معيار حديث للجودة المشتركة لمجموعات التسلسلات ويخصص الجزء الأكبر من الإثبات للحصول على تقديرات حلقة دراسية جيدة لمتوسطات ergodic المتعددة ذات الصلة. المدخلات المطلوبة من نظرية الأعداد هي الحدود العليا لعدد المضاعفات الأولية $ k $ التي تتبع من تقديرات نظرية الغربال الأولية ونتائج التوزيع المتساوي للقوى الكسرية للأعداد الأولية في الدائرة.

            نثبت في هذا البحث أنه إذا كان $ < varphi_i (x) = lambda x + t_i > $ هو نظام دالة متكررة متساوية الانقباض و $ b $ هو عدد صحيح موجب يرضي $ frac < log b> < log | lambda |> notin mathbb، فإن $ ثم كل $ x $ تقريبًا هو أمر طبيعي في $ b $ الأساسي لأي مقياس غير ذري مماثل للذات $ < varphi_i > $.


            8: مواضيع أخرى في نظرية الأعداد - الرياضيات

            • الناشر: CRC Press
            • السنة: 2016
            • رقم ال ISBN: 9781498717496 (غلاف مقوى)
            • 414 ص
            • يشمل الكتاب: موقع الكتروني

            الوصف مقدمة في نظرية الأعداد عبارة عن نص تم اختباره في الفصل الدراسي وملائم للطلاب ويغطي مجموعة متنوعة من موضوعات نظرية الأعداد ، بدءًا من الخوارزمية الإقليدية القديمة للعثور على القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين إلى التطورات الحديثة مثل التشفير ، ونظرية القطع الناقص. المنحنيات والحل السلبي لمشكلة هيلبرت العاشرة. يوضح المؤلفون الروابط بين نظرية الأعداد ومجالات الرياضيات الأخرى ، بما في ذلك الجبر والتحليل والتوافقيات. يصفون أيضًا تطبيقات نظرية الأعداد لمشكلات العالم الحقيقي ، مثل التطابقات في نظام ISBN والحساب المعياري ونظرية أويلر في تشفير RSA والمخلفات التربيعية في بناء الدورات.

            مثالية لدورة على مستوى جامعي واحد أو فصلين دراسيين ، هذه النسخة الثانية:

            يتميز بهيكل أكثر مرونة يوفر مجموعة أكبر من الخيارات لتصميم الدورة
            يضيف أقسامًا جديدة حول تمثيلات الأعداد الصحيحة ونظرية الباقي الصينية
            يوسع مجموعات التمارين لتشمل مجموعة متنوعة من المشكلات ، ويربط العديد منها نظرية الأعداد بمجالات خارج الرياضيات (مثل الموسيقى)
            يوفر حسابات للتجارب الحسابية باستخدام SageMath ، وهو نظام مجاني لبرمجيات الرياضيات مفتوح المصدر ، بالإضافة إلى Mathematica و Maple ، عبر الإنترنت من خلال موقع ويب قوي يديره المؤلف
            يتضمن دليل حلول مع اعتماد الدورة المؤهلة

            من خلال معالجة كل من الموضوعات الأساسية والمتقدمة & # 8213 واستخدام الأمثلة العملية ، والعديد من التدريبات ، وحزم البرامج الشائعة لضمان فهم عملي & # 8213 مقدمة إلى نظرية الأعداد ، فإن الإصدار الثاني يغرس أساسًا متينًا لمعرفة نظرية الأعداد. مصادر إضافية رفيق موقع الويب الموضوعات ذات الصلة نظرية الأعداد


            موضوعات في نظرية الأعداد (WI21)

            معلومات الدورة:

            • محاضرات: الإثنين ، الأربعاء ، الجمعة ، الكتلة F (2:35 - 3:40 مساءً بتوقيت شرق الولايات المتحدة)
            • دورة كتابية: عن بعد مع مكونات متزامنة (RSC)
            • فترة س: الخميس ، كتلة FX (1:40 - 2:30 مساءً بتوقيت شرق الولايات المتحدة)
            • تواريخ: 7 يناير 2021-10 مارس 2021
            • تكبير الارتباط: استخدم شريط التنقل. أرسل لي بريدًا إلكترونيًا إذا كان لديك أي مشاكل.
            • معلم: جون فويت
            • بريد إلكتروني:[email protected]
            • ساعات العمل: خلال X-hour ، أو يرجى تحديد موعد عبر البريد الإلكتروني!
            • صفحة ويب الدورة التدريبية:https://canvas.dartmouth.edu/courses/44283 (أو http://www.math.dartmouth.edu/
            • المتطلبات الأساسية: الرياضيات 101 أو ما يعادلها ، لكن الشهية الرياضية الصحية كافية. تم تصميم الدورة التدريبية بحيث تحتوي على نقاط دخول متعددة ، اعتمادًا على خلفيتك.
            • نصوص موصى بها:
              • جيمس إي همفريز ، المجموعات الجبرية الخطية ، 1981.
              • مرحاض. ووترهاوس ، مقدمة لمخططات مجموعة أفين ، 1979.
              • Gunter Malle and Donna Testerman ، المجموعات الجبرية الخطية والمجموعات المحدودة من نوع الكذب ، 2011.
              • ت. سبرينغر ، المجموعات الجبرية الخطية ، الطبعة الثانية ، 1998.
              • فيليم أدريان دي جراف ، الحساب مع المجموعات الجبرية الخطية ، 2017.

              وصف:

              المجموعة الجبرية الخطية هي مجموعة فرعية من المصفوفات المعكوسة المحددة بواسطة المعادلات متعددة الحدود (في إدخالات المصفوفة وعكس المحدد). تدعم المجموعات الجبرية الخطية جميع الرياضيات ، وفي هذه الدورة سوف ندرسها من منظور مجرد. وجهة نظرنا: البحث عن كل متعة الجبر الخطي ونظرية المجموعة ، ولكن من وجهة نظر الهندسة الجبرية. على وجه الخصوص ، سوف نبحث عن التصنيف الرائع للمجموعات الاختزالية ، وهي المجموعات الجبرية الخطية الأكثر أهمية في الممارسة.

              نتائج التعلم:

              بنهاية هذه الدورة ، يجب أن تكون قادرًا على فهم الهياكل الأساسية للمجموعات الجبرية الخطية: تحديد المصطلحات ، وشرح أهميتها ، وتطبيقها في السياق.

              صفحات إضافية:

              تُظهر صفحة المنهج الدراسي طريقة عرض موجهة للجدول لجدول المقرر الدراسي وأساسيات تقدير المقرر الدراسي. يمكنك إضافة أي تعليقات أو ملاحظات أو أفكار أخرى لديك حول هيكل الدورة التدريبية أو سياسات الدورة التدريبية أو أي شيء آخر.


              8: مواضيع أخرى في نظرية الأعداد - الرياضيات

              يعتمد تدريس الرياضيات في مدارس والدورف على أحد أشكال الواقعية، والذي عينه شتاينر أيضًا باسم الوحدانية (شتاينر GA 1 ، الفصل 6 'طريقة جوته للإدراك (الطبعة الألمانية 1987 ، ص 129) - وشتاينر GA 4 ، الفصل 7 "هل هناك حدود للاعتراف؟" (الطبعة الألمانية 1995 ، ص 124)). والمغزى من ذلك هو أن المفاهيم ، النشطة في العقل ، تشارك بشكل مباشر في بناء الواقع ، بدلاً من كونها عموميات مستخرجة من حالات متعددة بطريقة الاسمية. في الفلسفة الحديثة للرياضيات ، يتم بث مثل هذه المواقف مرة أخرى في عدد من المتغيرات (انظر Wilholt 2004)

              وفقًا لشتاينر ، تنشأ المعرفة من خلال الجمع بين المفاهيم المناسبة مع تجربة حسية أو نفسية معينة. هذا يعني بالضرورة أن عملية تكوين المفاهيم الرياضية تتضمن أيضًا إضفاء بعض عناصر الخبرة مع المحتوى المفاهيمي وبالتالي رفعه إلى عالم التفكير الخالص. بقدر ما يمكن أن تستند الرياضيات إلى الخبرة الحسية ، فيما يتعلق بتكوين المفاهيم ، فإن المجال الأساسي المعني هو مجال أنشطة حواس التوازن والحركة (الحس الحركي). تهتم هذه في المقام الأول بترتيب حركات الجسم فيما يتعلق بالفضاء ، وبالتالي فهي ذاتية التنشيط بدلاً من المشاركة في نقل المعلومات من الخارج (Steiner GA 21، '5. حول الأساس الحقيقي للعلاقات المتعمدة (الطبعة الألمانية 1983 ، ص 143 وما يليها)) Schuberth 2012). بعد مسار نمو الطفل ، يقود المسار تدريجياً من تنمية الحواس فيما يتعلق بالأرقام إلى التفكير الخالص في المفاهيم الرياضية ، كما وصفه ألكسندر إسرائيل ويتنبرغ (Wittenberg 1968 ، 1990) بشكل واضح بطريقة مثالية. وبالتالي لا يتم اكتساب المفاهيم الرياضية من خلال التجريد من تجربة الحس الخارجي. من حيث المحتوى فهي فوق التجريبية. على الرغم من إمكانية تطبيقها على العالم الخارجي ، إلا أن جمالها ومرونتها يتجاوزان هذا التطبيق العملي. في متابعة الرياضيات ، يسكن الإنسان في عالم موضوعي من الأفكار ، يتجاوز التعاطف والكراهية والآراء. كل من يتمسك بمفهوم معين بتفكيره يدخل نفس المجال الروحي. (Locher-Ernst 1954).

              بالنظر إلى كل هذا ، لا يمكن أن تكون الرياضيات مجرد مسألة تعلم التعاريف والنظريات والبراهين واستراتيجيات حل المشكلات ، ولا دراسة منتجات التفكير الاسمي (راجع على سبيل المثال Bourbaki 1957: p.8 Field 1980). يجب أن يزود أي تدريس للرياضيات يستحق الأملاح الطلاب بمواجهات حقيقية مع الظواهر الرياضية - في المدرسة الابتدائية ، بالطبع ، بالاقتران مع الإجراءات الملموسة وأنواع الأسئلة المناسبة. لا يمكن بالطبع تقديم "الأشياء" الرياضية بالطريقة نفسها التي تعرض بها التجارب في الفيزياء ، على سبيل المثال. تظهر في الذهن عندما ينشئ الطلاب صورة ذهنية من خلال عملية نشطة ، غالبًا من خلال الحركة أو تحول تلك الحركة (على سبيل المثال ، Bernhard 1984 1999: Ulin 1987 ، ومؤخراً ، على سبيل المثال ، Weber 2009). وبالتالي ، فإن تجربة الظواهر الرياضية تسير جنبًا إلى جنب مع النشاط الداخلي المنتج ، مما يمكّن الطلاب من الانخراط في ديناميكيات تطوير المفاهيم الرياضية.

              عندها فقط يتم ترتيب الظواهر بشكل منهجي ، وأخيرًا ، في المناقشات الصفية ، تداعياتها ونتائجها الأوسع لتشكيل مفاهيم أخرى (Steiner GA 302، 14.06.1921 (German edition 1986، p 42ff.) Sigler 2010)) . هذا يسمح للطلاب بتعلم ممارسة الاتصال الرياضي والحجج. بهذه الطريقة ، تظل ممارسة الرياضيات عملية مفتوحة ، تحفز الخيال والحس الجمالي والرغبة في اكتشاف المزيد. الهدف هو الوصول إلى فهم حقيقي للظواهر وعلاقاتها المتبادلة ، وليس مجرد اللجوء الرسمي لتأمين المعرفة. يتم تحقيق ذلك من خلال تكييف المحتوى والأساليب مع قدرة الطلاب المتطورة تدريجيًا على تكوين الأحكام ، بحيث تعزز الدروس تطورًا صحيًا لقدرتهم العامة على الحكم.

              هذه خطة منهجية طويلة الأجل ، تدعم العملية الموضحة أعلاه ، والتي يتم فيها تنظيم تطوير المفاهيم الرياضية على مستويات مختلفة. عندما تتكشف كل واحدة ، يتم وضع محتواها في سياق جديد ، وبهذه الطريقة تمتد آثارها. من الأمثلة الصارخة على هذه العملية التراكمية لتنمية المهارات نظرية فيثاغورس:

              الفئة / الصف الخامس: التلميح الأول لنظرية فيثاغورس من خلال اشتقاق مربعين متطابقين من مربع واحد

              الفئة / الصف السادس: نهج موجه عمليًا لنظرية فيثاغورس خاصة في المثلث متساوي الساقين قائم الزاوية

              الفئة / الصف السابع: إثبات بديهي لنظرية فيثاغورس عن طريق إضافة وتقسيم البراهين البصرية البديلة للمناطق

              الفئة / الصف الثامن: البراهين عن طريق تحويلات القص

              الفئة / الصف 9: جذور مربعة ثلاثية فيثاغورس

              الفئة / الصف 10: التفسير الهندسي لنظرية جيب التمام كتعميم لنظرية فيثاغورس

              يمكن العثور على خطوات أخرى في هندسة الكرات أو - بشكل عام - في هندسة الأسطح المنحنية (Steiner GA 300c، 30.04.1924 (النسخة الألمانية 1975 ، ص 155)).

              تشكل هذه التسلسلات تجمعات موضوعية (Wittenberg 1990: p. 122 وما يليها) ، والتي تلتقي في النهاية وتتداخل بحيث تؤدي "عمليات تكوين المفهوم المميزة لكل منها" (ويجاند 2014: ص 114) إلى خلق "الحياة (. مرنة) "(Steiner GA 293، 30.08.1919 (German edition 1992، p.140)) ، والتي تكون عرضة للتوسع والنمو.

              منظور مهم آخر هو علاقة الرياضيات بالحياة اليومية. سيتم استغلال الفرص مرارًا وتكرارًا لإثبات الأهمية العملية ، على سبيل المثال ، في الدرس الرئيسي بالمدرسة الثانوية حول مسح الأراضي ، حيث يجد علم المثلثات تطبيقه العملي ، أو في الأساليب الهندسية للرسم الفني المستخدم في الهندسة المعمارية وتصميم الآلات ، أو في تطبيق نظرية الجبر والوظائف على الحسابات في عالم المال والأعمال.

              ومع ذلك ، في سنوات الدراسة الابتدائية الأولى ، يتم تعيين الأرقام والعمليات فيما يتعلق بمواقف بسيطة يومية أو أوصاف خيالية. في الصف 3 ، يتم تقديم الحساب البسيط فيما يتعلق بالقياس في دروس البناء والزراعة الرئيسية. تتضمن الكسور معالجة مجموعة متنوعة من الحواس في مجموعة واسعة من الأنشطة. يبدأ الجبر بالعمل مع الصيغ التجارية (حساب الفائدة) ، ويستلزم نهج المعادلات أيضًا التركيز على العديد من الأمثلة المفيدة والعملية. "كل تعليم يجب أن يعطي تعليمات في فن الحياة." (Steiner GA 192، 11.05.1919 (German edition 1991، p. 98)). في الوقت الحاضر ، يعتبر هذا الأمر القضائي الصادر عن شتاينر وثيق الصلة بـ جميع الانواع تدريس الرياضيات (راجع ماس 2011). ومع ذلك ، من المهم التمييز بين ما يسمى "النمذجة" في المناقشات التربوية الحالية ، وما يقصده شتاينر بعبارة "تعليم فن الحياة". يعتمد الأول على افتراض أن الأشكال الرياضية للتفكير لا يمكن أن تكون سوى نماذج للواقع. في هذه الحالة ، يمكن تطبيق النماذج الرياضية بشكل شرعي على جميع مجالات الحياة على قدم المساواة. ستتم مناقشة درجة أهميتها في كل مجال لاحقًا. على النقيض من ذلك ، يمثل هذا الأخير وجهة النظر القائلة بأن الرياضيات قابلة للتطبيق فقط على تلك المجالات التي تكون إما رياضية بطبيعتها على أي حال ، أو حيث يمكن إثبات صلتها العملية بالحياة اليومية للطلاب بسهولة.

              كل هذا لا يعني بأي حال من الأحوال أنه لا توجد أسباب رياضية بحتة لفتح مواضيع جديدة. تولد نظرية الأعداد ، وبشكل أكثر تحديدًا ، الهندسة حافزًا كبيرًا لمتابعة الرياضيات بدافع الحب لوضوحها الجوهري ومشروعيتها الموضوعية.

              في جميع المدارس ، بالإضافة إلى موضوعات الحساب والجبر والتحليل والإحصاء التي يتم تغطيتها بشكل طبيعي ، تشكل الهندسة الفرع الرئيسي الثاني للمنهج الدراسي. تشكل الهندسة الأولية ، والهندسة الصلبة - وكلاهما غالبًا عنصرًا من دروس الفن في المدرسة الثانوية - والهندسة الإسقاطية معًا الركائز الأساسية لما هو في الواقع منهج في حد ذاته. يتم التعامل معهم بشكل مستقل عن الاتجاه الجبري الأكثر في نهاية المطاف للموضوعات المعروضة. فقط في الصف 11 ، في الهندسة التحليلية ، يتم الجمع بين هذين الجانبين من المناهج الدراسية. يحدث هذا بشكل أساسي بهدف خلق فرص لممارسة هاتين الطريقتين في التفكير وتقييم مزاياهما النسبية.

              الطريقة المستخدمة هنا هي استهداف تطوير أنماط التفكير المختلفة. Accordingly, from the first year of school onward – for instance, with the very first introduction of numbers – a beginning is made in approaching things from the whole to the parts (analytical thinking). This is subsequently paralleled, as Steiner says, by synthetic thinking, in which the whole is understood as the co-operative interaction of the parts. This can be continued in all succeeding classes and subjects (Steiner GA 294, 21.08.1919 (German edition 1974, p. 13)) Schubert 2012 p. 38ff.). It is confidently assumed that the mutual effects of such modes of thinking, intrinsic as they are to certain subjects, will rub off on other realms of knowledge and also upon the students’ life of feeling and will (GA 301, 05.05.1920 (German edition 1977, p. 152 ff.)) Schubert 1990).

              Mathematics is given in the form of main lesson blocks all the way through the school. From around class 6 two running lessons are added in. During the class-teacher period (from classes 1 to 8) the organisation and timing of the main lessons is basically at the discretion of the class-teacher. The original intention was – and this was the practice of the first Waldorf school in Stuttgart – that there should be 12 weeks of mathematics per year in the first five years, 10 in each of the next three years (classes 6 – 8), and then 8 weeks in each of the high school years (9 – 12). Of course, these times are by no means fixed, and can be varied according to the particular school’s requirements.

              The running lessons are mainly there to give opportunities for acquiring and practising certain abilities and skills, so that the necessary mathematical procedures and techniques can be mastered. To this end the work is centred around problems, involving practice in the application of heuristic strategies and in this way finding approaches to a solution (Götte, Loebell and Maurer 2009 p. 280 Ulin 1987: p. 26ff.). This requires a store of graded exercises, capable of being fitted to individual needs, which enables the students to observe, document and gradually take responsibility for their own progress in learning.

              The guiding principle for the use of electronic aids such as various kinds of calculators or of “dynamic geometry” software is the extent to which they encourage active engagement with the mathematic phenomena concerned and thus promote genuine skills development. As a rule this leads to computer aids being used in very consciously controlled doses from class 9 or 10 onwards.


              شاهد الفيديو: The History of Mathematics and Its Applications (ديسمبر 2021).