مقالات

4.1: متتاليات الأعداد الحقيقية


مهارات التطوير

  • اشرح تسلسل الأعداد الحقيقية

في الفصل الثاني ، طورنا المعادلة (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + cdots = frac {1} {1-x} ) ، وقد ذكرنا أن هناك قيودًا على تمثيل هذه المتسلسلة. على سبيل المثال ، يؤدي استبدال (x = 1 ) و (x = -1 ) في هذا التعبير إلى

[1 + 1 + 1 + cdots = frac {1} {0} ؛ ؛ text {and} 1 - 1 + 1 - 1 + cdots = frac {1} {2} ]

التي يصعب قبولها. من ناحية أخرى ، إذا استبدلنا (x = frac {1} {2} ) في التعبير ، فسنحصل على (1 + left ( frac {1} {2} right) + left ( frac {1} {2} right) ^ 2 + left ( frac {1} {2} right) ^ 3 + cdots = 2 ) والذي يبدو أكثر استساغة حتى نفكر فيه. يمكننا جمع رقمين معًا بالطريقة التي تعلمناها جميعًا في المدرسة الابتدائية. ولكن في كثير فقط؟ ماذا يعني ذلك حتى؟ قبل أن نتمكن من إضافة عدد لا بأس به من الأرقام معًا ، يجب أن نجد طريقة لإعطاء معنى للفكرة.

للقيام بذلك، ندرس لفي فاي نيت المبلغ عن طريق التفكير في الأمر على النحو تسلسل فاي نيت مبالغ جزئية. في مثالنا ، سيكون لدينا التسلسل التالي للمجاميع الجزئية.

[ left (1، 1 + frac {1} {2}، 1 + frac {1} {2} + left ( frac {1} {2} right) ^ 2، 1 + frac {1} {2} + left ( frac {1} {2} right) ^ 3 ، cdots ، sum_ {j = 0} ^ {n} left ( frac {1} {2} يمين) ^ j right) ]

يمكننا رسم هذه المجاميع على خط الأعداد لنرى ما يميلون إليه عندما يكبر (n ).

الشكل ( PageIndex {1} ): رقم خط مؤامرة.

نظرًا لأن كل مجموع جزئي يقع في النقطة الوسطى بين المجموع الجزئي السابق و (2 ) ، فمن المعقول افتراض أن هذه المبالغ تميل إلى الرقم (2 ). بالفعل ، ربما تكون قد رأيت تعبيرًا مثل ( lim_ {n to infty} left ( sum_ {j = 0} ^ {n} left ( frac {1} {2} right) ^ j right) = 2 ) تم التعديل بحجة مماثلة. وبالطبع ، فإن الاعتماد على مثل هذه الصور والكلمات ليس بالأمر اليسير إذا كنا نشبع بالحدس. ومع ذلك ، يجب أن نكون قادرين على جعل هذه البديهيات صارمة دون الاعتماد على الصور أو الكلمات الغامضة مثل "اقتراب.”

لا شك أنك تتساءل "ما الخطأ في كلمة "المناهج"؟ يبدو واضحا بما فيه الكفاية بالنسبة لي.غالبًا ما تكون هذه نقطة شائكة. ولكن إذا فكرنا مليًا في ما نعنيه بكلمة "مقاربةنرى أن هناك افتراضًا ضمنيًا من شأنه أن يسبب لنا بعض الصعوبات لاحقًا إذا لم نكشفها.

لرؤية هذا ، ضع في الاعتبار التسلسل ( left (1، frac {1} {2}، frac {1} {3}، frac {1} {4}، cdots right) ). من الواضح أنها "اقتراب"صفر ، أليس كذلك؟ ولكن ، أليس كذلك "مقاربة" (- 1 )؟ إنه كذلك ، بمعنى أن كل مصطلح يقترب من (- 1 ) من السابق. ولكنه أيضا "اقتراب" (- 2 ) أو (- 3 ) أو حتى (- 1000 ) بنفس المعنى. هذه هي مشكلة كلمة "اقتراب. " إنها تقول فقط أننا نقترب من شيء ما مما كنا عليه في الخطوة السابقة. لا يخبرنا أننا نقترب بالفعل. بما أن القمر يتحرك في مدار إهليلجي حول الأرض لجزء من كل شهر فهو "يقترب" الأرض. القمر يقترب من الأرض ولكن لحسن الحظ لا يقترب من الأرض. الافتراض الضمني الذي أشرنا إليه سابقًا هو: عندما نقول أن التسلسل ( left ( frac {1} {n} right) _ {n = 1} ^ infty ) "اقتراب"صفر نعني أنه يقترب وليس أقرب. عادةً ما يكون هذا النوع من الغموض في لغتنا غير ضار. عندما نقول "اقتراب"في محادثة غير رسمية ، يمكننا عادةً معرفة ما إذا كنا نعني"يقترب من" أو "يقترب من.ولكن عند التحدث رياضيًا ، نحتاج إلى أن نكون أكثر حرصًا ، وأكثر وضوحًا ، في اللغة التي نستخدمها.

فكيف يمكننا تغيير اللغة التي نستخدمها لإزالة هذا الغموض؟ لنبدأ من خلال التعرف بدقة على ما نعنيه عندما نقول أن التسلسل يتقارب من الصفر. على سبيل المثال ، ربما تريد أن تقول أن التسلسل ( left (1، frac {1} {2}، frac {1} {3}، frac {1} {4}، cdots right ) = left ( frac {1} {n} right) _ {n = 1} ^ infty ) يتقارب إلى الصفر. وهل من سبيل لإعطاء هذا المعنى دون الاعتماد على الصور أو الحدس؟

تتمثل إحدى الطرق في القول بأنه يمكننا جعل ( frac {1} {n} ) أقرب ما يكون إلى الصفر كما نرغب ، بشرط أن نجعل (n ) كبيرًا بما يكفي. ولكن حتى هذا يحتاج إلى أن يكون أكثر تحديدًا. على سبيل المثال ، يمكننا الحصول على ( frac {1} {n} ) ضمن مسافة (0.1 ) من (0 ) بشرط أن نجعل (n> 10 ) ، يمكننا الحصول على ( frac {1} {n} ) ضمن مسافة (0.01 ) من (0 ) بشرط أن نجعل (n> 100 ) ، إلخ. مسافة عشوائية (ε> 0 ) ، يمكننا الحصول على ( frac {1} {n} ) ضمن (ε ) من (0 ) بشرط أن نجعل (n> frac {1} { varepsilon} ). وهذا يؤدي إلى التعريف التالي.

التعريف ( PageIndex {1} )

لنفترض ((s_n) = (s_1، s_2، s_3، ...) ) أن تكون سلسلة من الأرقام الحقيقية. نقول أن ((s_n) ) يتقارب إلى (0 ) ونكتب ( lim_ {n to infty} s_n = 0 ) المقدمة لأي (ε> 0 ) ، هناك حقيقة رقم (N ) بحيث إذا (n> N ) ، ثم (| s_n | <ε ).

ملاحظات حول التعريف ( PageIndex {1} ):

  1. هذا التعريف هو النسخة الرسمية للفكرة التي تحدثنا عنها للتو ؛ وهذا هو، نظرا مسافة التعسفية (ε )، ويجب أن تكون قادرة على فاي الثانية على SPECI فاي ج رقم (N ) بحيث (s_n ) ضمن (ε ) من (0 )، كلما (n> N ). (N ) هو إجابة السؤال عن حجم "كبير بما فيه الكفاية"لوضع (s_n ) بالقرب من (0 ).
  2. على الرغم من أننا لسنا بحاجة إليها في المثال ( left ( frac {1} {n} right) ) ، تظهر القيمة المطلقة في التعريف لأننا نحتاج إلى جعل المسافة من (s_n ) إلى (0 ) أصغر من (ε ). بدون القيمة المطلقة في التعريف ، سنكون قادرين على "ثبت"هذه العبارات الفاحشة مثل ( lim_ {n to infty} -n = 0 ) ، والتي من الواضح أننا لا نريدها.
  3. يمكن أيضًا كتابة العبارة (| sn | <ε ) كـ (- ε
  4. في أي وقت يمكن العثور على (N ) يعمل مع (ε ) معين ، سيعمل أي رقم (M> N ) من أجل ذلك (ε ) أيضًا ، لأنه إذا (n> M ) ثم (n> N ).

تمرين ( PageIndex {1} )

لنفترض أن (أ ) و (ب ) أرقام حقيقية مع (ب> 0 ). أثبت (| a |

لتوضيح كيف يجعل هذا التعريف الأفكار المذكورة أعلاه صارمة ، دعنا نستخدمها لإثبات أن ( lim_ {n to infty} left ( frac {1} {n} right) = 0 ).

دليل - إثبات:

دعونا نعطي (ε> 0 ). دعونا (N = frac {1} { varepsilon} ). إذا (n> N ) ، إذن (n> frac {1} { varepsilon} ) وهكذا ( left | frac {1} {n} right | = frac {1} { n} < varepsilon ). ومن ثم من خلال التعريف ، ( lim_ {n to infty} frac {1} {n} = 0 ).

لاحظ أن هذا الدليل صارم ولا يشير إلى مفاهيم غامضة مثل "تصبح أصغر" أو "تقترب من الداخل.وتتكون من ثلاثة مكونات:

  1. توفر تحدي المسافة (ε> 0 )
  2. تحديد رقم حقيقي (N )
  3. أظهر أن هذا (N ) يعمل من أجل هذا المعطى (ε ).

لا يوجد أيضًا تفسير حول المكان الذي جاء منه (N ). في حين أنه من الصحيح أن اختيار (N ) هذا ليس مفاجئًا في ضوء "الخردةلقد فعلنا ذلك قبل التعريف ، فإن الدافع وراء كيفية حصولنا عليه ليس في الدليل الرسمي ولا هو مطلوب. في الواقع ، لا يتم تضمين مثل هذه الخردة في دليل رسمي. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك ما يلي.

مثال ( PageIndex {1} ):

استخدم تعريف التقارب إلى الصفر لإثبات ( lim_ {n to infty} frac { sin} {n} = 0 ).

دليل - إثبات:

دع (ε> 0 ). إذا (n> N ) ، ثم (n> frac {1} { varepsilon} ) و ( frac {1} {n} < varepsilon ). وبالتالي ( left | frac { sin n} {n} right | leq frac {1} {n} < varepsilon ). ومن هنا جاء التعريف ، ( lim_ {n to infty} frac { sin} {n} = 0 ).

لاحظ أن (N ) جاء من العدم ، ولكن ربما يمكنك رؤية عملية التفكير التي دخلت في هذا الاختيار: كنا بحاجة إلى استخدام عدم المساواة (| sin n | ≤ 1 ). مرة أخرى ، هذه القصاصات ليست جزءًا من الإثبات الرسمي ، لكنها ضرورية عادةً لمعرفة ما يجب أن يكون (N ). قد تكون قادرًا على حل المشكلة التالية دون القيام بأي أعمال خردة أولاً ، لكن لا تتردد في القيام بأعمال الخردة إذا كنت في حاجة إليها.

تمرين ( PageIndex {2} )

استخدم تعريف التقارب للصفر لإثبات ما يلي.

  1. ( lim_ {n to infty} frac {1} {n ^ 2} = 0 )
  2. ( lim_ {n to infty} frac {1} { sqrt {n}} = 0 )

عندما تصبح التسلسلات أكثر تعقيدًا ، سيصبح القيام بأعمال القصاصات في وقت مبكر أكثر أهمية.

مثال ( PageIndex {2} ):

استخدم تعريف التقارب إلى الصفر لإثبات ( lim_ {n to infty} frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} = 0 ).

قصاصات:

بالنظر إلى (ε> 0 ) ، نحتاج إلى معرفة الحجم المطلوب (n ) لضمان أن ( left | frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} right | < varepsilon ). لاحظ أولاً أن (( frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} < frac {n + 4} {n ^ 2} ). لاحظ أيضًا أنه إذا (n> 4 ) ، إذن (n + 4 4 ) ، لدينا ( frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} < frac {n + 4} {n ^ 2} < frac {2n} {n ^ 2} < frac {2} {n} ). يمكننا جعل هذا أقل من (ε ) إذا صنعنا (n> frac {2} { varepsilon} ). هذا يعني أننا نحتاج إلى عمل (n> 4 ) و (n> frac {2} { varepsilon} ) في وقت واحد. يمكن القيام بذلك إذا سمحنا (N ) هي الحد الأقصى لهذين الرقمين. يظهر هذا النوع من الأشياء بانتظام ، لذلك تم تطوير التدوين (N = max left (4، frac {2} { varepsilon} right) ) لتعني الحد الأقصى من هذين الرقمين. لاحظ أنه إذا (N = max left (4، frac {2} { varepsilon} right) ) ثم (N ≥ 4 ) و (N geq frac {2} { varepsilon} ). نحن الآن جاهزون للإثبات الرسمي.

دليل - إثبات:

دع (ε> 0 ). دعونا (N = max left (4، frac {2} { varepsilon} right) ). إذا (n> N ) ، ثم (n> 4 ) و (n> frac {2} { varepsilon} ). وبالتالي لدينا (n> 4 ) و ( frac {2} {n} < varepsilon ). وبالتالي

[ يسار | فارك {n + 4} {n ^ 2 + 1} يمين | = frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} < frac {n + 4} {n ^ 2} < frac {2n} {n ^ 2} = frac {2} {n} < varepsilon ]

ومن ثم حسب التعريف ، ( lim_ {n to infty} frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} = 0 ).

مرة أخرى نؤكد أن الخردة ليس جزء من الإثبات الرسمي ولن يراه القارئ. ومع ذلك ، إذا نظرت بعناية ، يمكنك رؤية القصاصات في الإثبات الرسمي.

تمرين ( PageIndex {3} )

استخدم تعريف التقارب إلى الصفر لإثبات ( lim_ {n to infty} frac {n ^ 2 + 4n + 1} {n ^ 3} = 0 ).

تمرين ( PageIndex {4} )

دع b يكون رقمًا حقيقيًا غير صفري مع (| b | <1 ) ودع (ε> 0 ).

  1. حل عدم المساواة (| b | ^ n <ε ) من أجل (n ).
  2. استخدم الجزء (أ) لإثبات ( lim_ {n to infty} b ^ n = 0 ).

يمكننا رفض هذا التعريف لإثبات أن تسلسلًا معينًا لا يقترب من الصفر.

مثال ( PageIndex {3} ):

استخدم التعريف لإثبات أن التسلسل ((1 + (-1) ^ n) _ {n = 0} ^ { infty} = (2،0،2،0،2، cdots) ) لا تتلاقى إلى الصفر.

قبل أن نقدم هذا الدليل ، دعنا نحلل ما يعنيه عدم تقارب التسلسل ((s_n) ) مع الصفر. يعني التقارب مع الصفر أنه في أي وقت يتم إعطاء مسافة (ε> 0 ) ، يجب أن نكون قادرين على الرد برقم (N ) بحيث (| s_n | <ε ) لكل (n> ن). لهذا لن يحدث، يجب أن نكون قادرين على فاي الثانية بعض (ε> 0 ) بحيث لا خيار لل (N ) ستعمل. بالطبع ، إذا وجدنا مثل هذا (ε ) ، فعندئذٍ سيفشل أي واحد أصغر في الحصول على مثل هذا (N ) ، لكننا نحتاج فقط إلى واحد لإفسادنا. إذا قمت بالتحديق في المثال لفترة كافية ، فسترى أن أي (ε ) مع (0 <ε ≤ 2 ) سوف يسبب مشاكل. لأغراضنا ، سوف ندع (ε = 2 ).

دليل - إثبات:

دع (ε = 2 ) واجعل (N ∈ mathbb {N} ) أي عدد صحيح. إذا سمحنا (k ) أن يكون أي عدد صحيح غير سالب مع (k> frac {N} {2} ) ، إذن (n = 2k> N ) ، ولكن (| 1 + (-1) ^ ن | = 2 ). وبالتالي لن يفي أي خيار من (N ) بشروط التعريف لهذا (ε ) ، (أي أن (| 1 + (-1) ^ n | <2 ) للجميع (n> N )) وهكذا ( lim_ {n to infty} (1 + (-1) ^ n) neq 0 ).

تمرين ( PageIndex {5} )

نفي تعريف ( lim_ {n to infty} s_n = 0 ) لتقديم تعريف رسمي لـ ( lim_ {n to infty} s_n neq 0 ).

تمرين ( PageIndex {6} )

استخدم التعريف لإثبات ( lim_ {n to infty} frac {n} {n + 100} neq 0 ).

الآن بعد أن أصبح لدينا مقبض حول كيفية إثبات أن التسلسل يتقارب بدقة مع الصفر ، فلنعمم هذا على تعريف رسمي لتسلسل يتقارب مع شيء آخر. بشكل أساسي ، نريد أن نقول إن التسلسل ((s_n) ) يتقارب مع رقم حقيقي ، بشرط أن يتقارب الفرق ((s_n - s) ) إلى الصفر. وهذا يؤدي إلى التعريف التالي:

التعريف ( PageIndex {2} )

لنفترض أن ((s_n) = (s_1، s_2، s_3، ...) ) سلسلة من الأرقام الحقيقية وليكن (s ) عددًا حقيقيًا. نقول أن ((s_n) ) يتقارب إلى (s ) ونكتب ( lim_ {n to infty} s_n = s ) المقدمة لأي (ε> 0 ) ، هناك حقيقة رقم (N ) بحيث إذا (n> N ) ، ثم (| s_n - s | <ε ).

ملاحظات حول DEfinition ( PageIndex {2} )

  1. بوضوح ( lim_ {n to infty} s_n = s ) فقط إذا وفقط إذا ( lim_ {n to infty} (s_n - s) = 0 ).
  2. لاحظ مرة أخرى أن هذا يشير إلى أنه يمكننا جعل (s_n ) أقرب ما يكون إلى (s ) كما نرغب (داخل (ε )) بجعل (n ) كبيرًا بما يكفي ( (> N )) . كما كان من قبل ، فإن هذا التعريف يجعل هذه المفاهيم محددة للغاية.
  3. لاحظ أنه يمكن كتابة (| s_n - s | <ε ) في الأشكال المكافئة التالية
    1. (| s_n - ث | <ε )
    2. (- ε
    3. (ق - ε
    4. (s_n ∈ (ث - ε ، ث + ε) )

ونحن أحرار في استخدام أي من هذه الأشياء التي تناسبك في ذلك الوقت.

كمثال ، دعنا نستخدم هذا التعريف لإثبات أن التسلسل في المشكلة ( PageIndex {6} ) ، في الواقع ، يتقارب مع (1 ).

مثال ( PageIndex {4} ):

إثبات ( lim_ {n to infty} frac {n} {n + 100} = 1 ).

قصاصات:

بالنظر إلى (ε> 0 ) ، نحتاج إلى الحصول على ( left | frac {n} {n + 100} - 1 right | < varepsilon ). هذا يدفعنا للقيام ببعض الجبر.

[ left | frac {n} {n + 100} - 1 right | = يسار | فارك {n- (n + 100)} {n + 100} - 1 يمين | leq frac {100} {n} ]

وهذا بدوره يشير إلى أن (N = frac {100} { varepsilon} ) يجب أن يعمل.

دليل - إثبات:

دع (ε> 0 ). دعونا (N = frac {100} { varepsilon} ). إذا (n> N ) ، ثم (n> frac {100} { varepsilon} ) وهكذا ( frac {100} {n} < varepsilon ). بالتالي

[ left | frac {n} {n + 100} - 1 right | = يسار | فارك {n- (n + 100)} {n + 100} - 1 يمين | = frac {100} {n + 100} < frac {100} {n} < varepsilon ]

وبالتالي بالتعريف ( lim_ {n to infty} frac {n} {n + 100} = 1 )

لاحظ مرة أخرى أن القصاصات ليست جزءًا من الإثبات الرسمي وأن مؤلف الدليل ليس ملزمًا بمعرفة من أين جاء اختيار (N ) (على الرغم من أنه يمكن عادةً رؤية عملية التفكير في الإثبات الرسمي). يحتوي الدليل الرسمي على الأجزاء الثلاثة المطلوبة فقط: تقديم تحدي تعسفي (ε> 0 ) ، وتقديم محدد spec c (N ) ، وإظهار أن هذا (N ) يعمل مع المعطى (ε ) ).

لاحظ أيضًا أنه بالنظر إلى تسلسل محدد مثل ( frac {n} {n + 100} ) ، فإن التعريف لا يشير إلى الحد الذي سيكون عليه ، في الواقع ، إذا كان موجودًا. بمجرد إجراء تخمين متعلم بشأن ما يجب أن تكون عليه النهاية ، فإن التعريف يتحقق فقط من صحة هذا الحدس.

يقودنا هذا إلى السؤال التالي: إذا كان الحدس مطلوبًا لتحديد ما يجب أن يكون حد التسلسل ، فما هو الغرض من هذا التعريف المعقد وغير البديهي نسبيًا؟

تذكر أنه عندما تم تطوير هذه الصيغ الصارمة ، كانت المفاهيم البديهية للتقارب موجودة بالفعل واستخدمت بنجاح كبير. تم تطوير هذا التعريف لمعالجة القضايا التأسيسية. هل يمكن التحقق من حدسنا بطريقة ملموسة فوق اللوم؟ كان هذا هو الغرض من هذا التعريف غير البديهي. كان يجب استخدامه للتحقق من أن حدسنا كان ، في الواقع ، صحيحًا ونفعل ذلك بطريقة محددة للغاية. على سبيل المثال، إذا (ب> 0 ) هو رقم فاي xed، فإنك ربما يقول ك (ن ) النهج في NITY فاي و (ب ^ {( فارك {1} {ن})} ) نهج (ب ^ 0 = 1 ). بعد كل شيء ، لقد أثبتنا بالفعل أن ( lim_ {n to infty} frac {1} {n} = 0 ). يجب أن نكون قادرين على دعم هذا الحدس بتعريفنا الدقيق.

تمرين ( PageIndex {7} )

دعونا (ب> 0 ). استخدم التعريف لإثبات ( lim_ {n to infty} b ^ {( frac {1} {n})} = 1 ). [تلميح: ربما تحتاج إلى فصل هذا إلى حالتين: (0 <ب <1 ) و (ب ≥ 1 ).]

تمرين ( PageIndex {8} )

  1. قدم تعريفًا صارمًا لـ ( lim_ {n to infty} s_n neq s ).
  2. استخدم التعريف الخاص بك لإظهار ذلك لأي رقم حقيقي (a ) ، ( lim_ {n to infty} ((- 1) ^ n) neq a ). [تلميح: اختر (ε = 1 ) واستخدم حقيقة أن ( left | a - (-1) ^ n right | <1 ) يعادل ((- 1) ^ n - 1

مساهم


إليك كيفية تحقيق $ 1 / ln 2 $. إنه تعديل لبناء هارالد. نأخذ التسلسل $ 1/2 $ و $ 1/4 $ و $ 3/4 $ وما إلى ذلك ونطبق التحويل $ x to ln (1 + x) / ln 2 $.

إذن التسلسل هو $ ln (3/2) / ln (2) ، ln (5/4) / ln (2) ، ln (7/4) / ln (2) ، dots $

المصطلحات العامة هي $ x_n $ لـ $ n = 2 ^ a + b $ مع $ b & lt2 ^ a $ هو

ثم بعد $ n = 2 ^ a + b $ من الخطوات لـ $ b & lt2 ^ a $ ، نكون قد أضفنا القطع $ (2 b + 1) / (2 ^) $ ، ستكون أكبر فترة زمنية

إذا ضربنا في $ 2 ^ a + b + 1 $ ، فإن $ lim sup $ هو $ 1 / ln 2 $.

لإظهار أن هذا هو الأمثل ، قم بتكوين شجرة ثنائية حيث تكون الرؤوس عبارة عن فترات تظهر في أي نقطة في التسلسل. تنقسم كل فترة زمنية عند نقطة ما إلى فترتين ، مما يعطي بنية الشجرة. قم بتسمية كل رأس بالخطوة التي تنقسم عندها. لأي $ beta & gt lim sup n a_n $ ، لجميع الرؤوس باستثناء عدد محدود منها ، يكون طول الفاصل الزمني المسمى $ n $ على الأكثر $ beta / n $. مجموع أطوال الفواصل الزمنية في كل صف هو $ 1 $ ، لذا فإن مجموع الصفوف الأولى $ k $ هو $ k $.

وبالتالي فإن $ k $ هو على الأكثر مجموع ما يزيد عن $ 2 ^ k-1 $ من الأرقام المميزة $ n $ من $ beta / n $ بالإضافة إلى ثابت يأتي من القمم العديدة المحدودة حيث لا يكون الطول على الأكثر $ beta / n $ . لذا فإن $ k $ هو على الأكثر مجموع الأرقام الموجودة على أول $ 2 ^ k-1 $ من الأرقام $ beta / n $ بالإضافة إلى ثابت ، والذي يكون على الأكثر $ beta k ln 2 $ بالإضافة إلى ثابت. إذن $ beta geq 1 / ln 2 $.

لذا $ lim sup n a_n geq 1 / ln 2 $.

تمت الإضافة: كما يذكر John Bentin ، من المعروف في الواقع أن النتيجة التي ذكرتها أدناه للتشتت وبالتالي $ 1 / log 2 $ من OP (المذكورة في التعليقات المحذوفة الآن) هي أفضل.

يظهر هذا في الأصل في Niederreiter ، على مقياس كثافة التسلسلات. في: موضوعات في نظرية الأعداد الكلاسيكية ، شمال هولندا ، أمستردام ، 1984.

مصدر أسهل يمكن الوصول إليه هو كتاب Niederreiter "Random Number Generation and Quasi Monte Carlo Methods" (SIAM ، 1992). هناك نظرية 6.7.

لا يمكن أن يكون هناك تسلسل أفضل يرجع إلى Niederreiter ، لكن المثال المعطى هناك الذي يوضح أنه الأمثل يُنسب إلى Ruzsa. المثال هناك $ x_1 = 1 $ ثم $ x_n = left < frac < log (2n-3)> < log 2> right >. $

الكتاب المذكور أعلاه متاح كمسح ضوئي من مساحة ويب Niederreiter (الملاحظة حوالي 10 ميغا بايت).

في تعليق أشرت إلى الكلمة المفتاحية المنخفضة تناقض تعارض تضارب التسلسل ، الذي يرتبط بالفعل ، ولكن الكلمة الأساسية الأفضل وما هو مطلوب حقًا هو منخفض تشتت تسلسل.

تشتت نقطة محدودة $ P = $ set في بعض المساحة المحيطة يُعرَّف $ S $ بأنه السيادة على كل $ x in S $ من $ min_i d (x، x_i) $ حيث أقتبس في الورقة $ d $ هو معيار اللانهاية (لكن منذ أن تكون في 1 د لا يهم كثيرا).

وبعد ذلك ، بالنسبة للتسلسل ، يعتبر المرء تشتت المقاطع الأولية. وبالتالي فإن الجير الأعلى من $ n $ مضروبًا في تشتت عناصر $ n $ الأولى من التسلسل هو فقط نصف ما هو مطلوب هنا (في الواقع ، قد يتعين على المرء أن يكون حريصًا قليلاً على تضمين 0 و 1 ليتم حفظه وبالتالي اضرب في $ n + 2 $ ، لكن هذا لا يغير شيئًا بشكل مقارب).

يبدو أن فكرة التشتت هذه قد قدمها نيدريتر وفي ورقته البحثية "التسلسلات منخفضة التناقض والتشتت المنخفض" (J. Number Th. ، 1987) ، انظر في النهاية ، ذكر أن أفضل بناء آنذاك لـ ينتج عن تسلسل التشتت المنخفض $ 1 / log 4 $ وهو في الواقع نصف $ 1 / log 2 $ الذي يبلغ عنه OP. (لم يرد البناء في هذه الورقة من Niederreiter لكنه يقتبس من ذلك ، يجب أن أضيف أن النتيجة هي dimesion التعسفي في حالة 1-d قد تكون أو لا تكون أقدم).

يبدو أن هناك العديد من الأعمال ذات الصلة ، لذا قد يجد المرء المزيد مع المزيد من عمليات البحث الموسعة.

يحرر: هنا دليل بسيط على أن $ alpha: = inf limsup n a_n geq 1 / ln 2 $. لاحظ أن هذا التعديل يتم بعد تقديم الحلول في الإجابات الأخرى.

دعونا ننظر في تسلسل أطوال الفترات الفرعية في خطوة ما $ n $ ، بترتيب تنازلي: $ ell_0 geq ell_1 geq dots geq ell_n $ بحيث يكون $ ell_0 = a_n $. افترض أننا ننظر إلى إحدى أسوأ الخطوات ، بحيث يكون $ k a_k leq n a_n $ لكل $ k & gtn $. ثم $ j $ step لاحقًا ، هناك فترة فرعية واحدة على الأقل بطول $ ell_j $ ، نظرًا لأنه لا يمكن تقسيم الفترات الأطول كلها. هذا يعني $ ell_j leq ell_0 frac = a_n frac <1> <1 + j / n> $

علاوة على ذلك ، يجب أن يكون مجموع $ ell_ ast $ 1 $ ، بحيث يكون $ 1 = sum ell_j leq a_n sum_j frac <1> <1 + j / n> sim a_n cdot n int_0 ^ 1 فارك < mathrmt> <1 + t> = na_n ln 2 $ هذا يثبت $ limsup n a_n geq 1 / ln 2 $.

نحصل أيضًا على تلميح حول كيفية إدراك ذلك: في كل خطوة ، قسّم أطول فترة زمنية بطريقة تجعل توزيع الطول أقرب ما يكون إلى الملف الشخصي $ t mapsto frac1 <1 + t> $ over $ [0،1 ] $.

هذه ليست إجابة كاملة ، ولكن الحد العلوي والسفلي غير متطابقين لـ $ alpha: = inf limsup n a_n $ (حيث يكون infimum على $ $ والحد الأعلى على $ n $):

$ frac12 + frac1 < sqrt <2>> simeq 1،207 leq alpha leq frac <1+ sqrt <5>> 2 simeq 1،618 $

للحد الأدنى: اسمحوا $ يكون $ ثابتًا وافترض أنه مقابل $ n $ كبير بما يكفي ، يكون طول كل القطع على الأكثر $ a / n $ (حيث $ a geq1 $). دع $ psi $ يكون رقمًا أقل من $ 1 $ ليتم تحسينه لاحقًا ، واسمحوا لي بتجاهل أخطاء التقريب التي لا تذكر ، وإلقاء نظرة على أكبر قطعة $ n psi $ في الخطوة $ n $. قم بالإشارة إلى طوله بمقدار $ ell $: الطول الإجمالي للقطع هو $ 1 $ وهو أيضًا $ a / n cdot n psi + ell n (1- psi) $ ، بحيث يكون $ ell geq frac <1-a psi> <1- psi> cdot frac1n. $ نظرًا لوجود ما لا يقل عن $ psi n $ قطعة بحجم $ ell $ على الأقل ، بخطوة من الترتيب $ n + psi n $ ستكون هناك قطعة واحدة متبقية. لذلك لدينا $ frac a geq frac <1-a psi> <1- psi> cdot frac1n $ الذي يأتي منه $ a geq frac <1+ psi> <1+ psi ^ 2>. $ Optimizing in يعطي $ psi $ الحد الأدنى المطلوب.

للحد الأعلى: نبحث عن طريقة لتحقيق $ limsup n a_n = phi $ حيث $ phi = frac <1+ sqrt <5>> 2 $ هي النسبة الذهبية.

إصلاح $ lambda leq 1/2 دولار ، وإنشاء $ حثيًا بحيث يتم قطع أكبر فاصل زمني في جزأين من الأطوال في النسبة $ lambda: 1- lambda $ في كل خطوة. لتبسيط التحليل ، اختر $ lambda $ بحيث يكون $ (1- lambda) ^ 2 = lambda $ (أي أخذ $ lambda = frac <3- sqrt <5>> 2 $). من خلال هذا الاختيار ، نحصل على ذلك في كل خطوة $ n $ كل القطع بأطوال $ lambda ^ k $ أو $ lambda ^(1- lambda) $ ، لبعض $ k $ يعتمد فقط على $ n $.

بدلاً من التعبير عن $ k $ في دالة $ n $ ، دعونا نفكر في الحالة الأسوأ: هناك $ n $ قطعة بطول $ lambda ^ k $ وواحدة فقط بطول $ lambda ^(1- لامدا) $. إذا كان مجموع الأطوال هو $ 1 $ ، فقم بكتابة $ ell = lambda ^ k $ ولاحظ $ phi = frac <1- lambda> < lambda> $ ، يمكننا حساب $ ell = frac <1>$ بحيث (لهؤلاء $ n $ عندما نكون في أسوأ سيناريو): $ n a_n = frac إلى phi. $


محتويات

يمكن اعتبار التسلسل كقائمة من العناصر بترتيب معين. [2] [3] المتتاليات مفيدة في عدد من التخصصات الرياضية لدراسة الوظائف ، والمسافات ، والتراكيب الرياضية الأخرى باستخدام خصائص التقارب للمتواليات. على وجه الخصوص ، المتتاليات هي أساس السلاسل ، والتي تعتبر مهمة في المعادلات التفاضلية والتحليل. تعتبر التسلسلات أيضًا ذات أهمية بحد ذاتها ، ويمكن دراستها كنماذج أو ألغاز ، كما هو الحال في دراسة الأعداد الأولية.

هناك عدد من الطرق للإشارة إلى التسلسل ، بعضها أكثر فائدة لأنواع معينة من التسلسلات. تتمثل إحدى طرق تحديد التسلسل في سرد ​​جميع عناصره. على سبيل المثال ، تشكل الأرقام الفردية الأربعة الأولى المتتالية (1 ، 3 ، 5 ، 7). يتم استخدام هذا الترميز للتسلسلات اللانهائية أيضًا. على سبيل المثال ، يتم كتابة التسلسل اللانهائي للأعداد الصحيحة الفردية الموجبة بالشكل (1 ، 3 ، 5 ، 7 ،.). نظرًا لأن تدوين التسلسلات باستخدام علامة القطع يؤدي إلى الغموض ، فإن الإدراج في القائمة يكون مفيدًا للغاية للتسلسلات اللانهائية العرفية التي يمكن التعرف عليها بسهولة من عناصرها القليلة الأولى. تتم مناقشة طرق أخرى للدلالة على التسلسل بعد الأمثلة.

أمثلة تحرير

الأعداد الأولية هي الأعداد الطبيعية الأكبر من 1 والتي لا تحتوي على قواسم سوى 1 وهي نفسها. أخذ هذه في ترتيبها الطبيعي يعطي التسلسل (2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ،.). تُستخدم الأعداد الأولية على نطاق واسع في الرياضيات ، لا سيما في نظرية الأعداد حيث توجد العديد من النتائج المتعلقة بها.

تتكون أرقام فيبوناتشي من تسلسل الأعداد الصحيحة التي تكون عناصرها مجموع العنصرين السابقين. أول عنصرين هما إما 0 و 1 أو 1 و 1 بحيث يكون التسلسل (0 ، 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، 34 ،.). [2]

تتضمن الأمثلة الأخرى للتسلسلات تلك المكونة من أعداد منطقية وأرقام حقيقية وأرقام مركبة. التسلسل (.9 ، .99 ، .999 ، .9999 ،.) ، على سبيل المثال ، يقترب من الرقم 1. في الواقع ، يمكن كتابة كل رقم حقيقي على أنه حد لسلسلة من الأرقام المنطقية (على سبيل المثال من خلال التوسع العشري. ). كمثال آخر ، π هو حد التسلسل (3 ، 3.1 ، 3.14 ، 3.141 ، 3.1415 ،.) ، والذي يتزايد. التسلسل المرتبط هو تسلسل الأرقام العشرية لـ π ، أي (3 ، 1 ، 4 ، 1 ، 5 ، 9 ،.). على عكس التسلسل السابق ، لا يحتوي هذا التسلسل على أي نمط يمكن تمييزه بسهولة عن طريق الفحص.

تشتمل موسوعة المتواليات الصحيحة على الإنترنت على قائمة كبيرة من أمثلة المتواليات الصحيحة. [4]

تحرير الفهرسة

يمكن أن تكون الرموز الأخرى مفيدة للتسلسلات التي لا يمكن تخمين نمطها بسهولة أو للتسلسلات التي لا تحتوي على نمط مثل أرقام π. أحد هذه الرموز هو كتابة صيغة عامة لحساب نال مصطلح كدالة ن، قم بتضمينه بين قوسين ، وقم بتضمين خط منخفض يشير إلى مجموعة القيم التي ن يستطيع اخذ. على سبيل المثال ، في هذا الترميز يمكن كتابة تسلسل الأرقام الزوجية كـ (2 n) n ∈ N >>. يمكن كتابة تسلسل المربعات كـ (n 2) n ∈ N ) _ >>. المتغير ن يسمى الفهرس ، وتسمى مجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها مجموعة الفهرس.

غالبًا ما يكون من المفيد دمج هذا الترميز مع تقنية معالجة عناصر التسلسل كمتغيرات فردية. ينتج عن هذا تعبيرات مثل (أ n) n ∈ N )_ >> ، والتي تشير إلى تسلسل نيتم إعطاء العنصر th بواسطة المتغير a n < displaystyle a_>. فمثلا:

في الحالات التي يتم فيها فهم مجموعة أرقام الفهرسة ، غالبًا ما يتم ترك الأحرف المنخفضة والمرتفعة. وهذا يعني أن المرء يكتب ببساطة (أ ك) )> لتسلسل تعسفي. في كثير من الأحيان ، الفهرس ك من المفهوم أن تعمل من 1 إلى ∞. ومع ذلك ، غالبًا ما تتم فهرسة التسلسلات بدءًا من الصفر ، كما في

في بعض الحالات ، ترتبط عناصر التسلسل بشكل طبيعي بسلسلة من الأعداد الصحيحة التي يمكن بسهولة استنتاج نمطها. في هذه الحالات ، قد تكون مجموعة الفهرس ضمنية من خلال قائمة بالعناصر المجردة القليلة الأولى. على سبيل المثال ، يمكن الإشارة إلى تسلسل مربعات الأرقام الفردية بأي من الطرق التالية.

علاوة على ذلك ، كان من الممكن ترك الحروف المنخفضة والمرتفعة في الرموز الثالثة والرابعة والخامسة ، إذا كان من المفهوم أن مجموعة الفهرسة هي الأرقام الطبيعية. في النقطتين الثانية والثالثة ، يوجد تسلسل محدد جيدًا (أ ك) ك = 1 ∞ )_^ < infty >> ، لكنه ليس نفس التسلسل الذي يشير إليه التعبير.

تحديد تسلسل عن طريق تحرير العودية

غالبًا ما يتم تحديد التسلسلات التي ترتبط عناصرها بالعناصر السابقة بطريقة مباشرة باستخدام العودية. هذا على عكس تعريف تسلسل العناصر كوظائف لمواقعها.

لتحديد تسلسل بالعودية ، يحتاج المرء إلى قاعدة تسمى علاقة تكرارية لبناء كل عنصر من حيث العناصر الموجودة قبله. بالإضافة إلى ذلك ، يجب توفير عناصر أولية كافية بحيث يمكن حساب جميع العناصر اللاحقة من التسلسل من خلال التطبيقات المتتالية لعلاقة التكرار.

تسلسل فيبوناتشي هو مثال كلاسيكي بسيط ، محدد بعلاقة التكرار

مثال معقد للتسلسل المحدد بواسطة علاقة تكرار هو تسلسل Recamán ، [5] المحدد بواسطة علاقة التكرار

أ تكرار خطي مع معاملات ثابتة هي علاقة تكرار للنموذج

التسلسل الشامل هو تسلسل محدد بعلاقة تكرار للنموذج

حيث ج 1 ، ... ، ج ك ، dots ، c_> هي كثيرات الحدود في n. بالنسبة لمعظم التسلسلات الشاملة ، لا توجد صيغة صريحة للتعبير صراحةً عن n < displaystyle a_> كدالة ل n. ومع ذلك ، تلعب التسلسلات الشاملة دورًا مهمًا في مجالات مختلفة من الرياضيات. على سبيل المثال ، العديد من الوظائف الخاصة لها سلسلة تايلور التي يكون تسلسل معاملاتها شاملاً. يسمح استخدام علاقة التكرار بحساب سريع لقيم هذه الوظائف الخاصة.

لا يمكن تحديد جميع التسلسلات بعلاقة تكرار. مثال على ذلك هو تسلسل الأعداد الأولية بترتيبها الطبيعي (2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ،.).

هناك العديد من المفاهيم المختلفة للتسلسل في الرياضيات ، وبعضها (على سبيل المثال، التسلسل الدقيق) بالتعريفات والرموز الواردة أدناه.

تحرير التعريف

في هذه المقالة ، يتم تعريف التسلسل رسميًا على أنه دالة مجالها هو فاصل من الأعداد الصحيحة. يغطي هذا التعريف العديد من الاستخدامات المختلفة لكلمة "التسلسل" ، بما في ذلك المتواليات اللانهائية من جانب واحد ، والتتابعات ثنائية اللانهائية ، والمتواليات المحدودة (انظر أدناه للحصول على تعريفات لهذه الأنواع من التسلسلات). ومع ذلك ، يستخدم العديد من المؤلفين تعريفًا أضيق من خلال اشتراط أن يكون مجال التسلسل هو مجموعة الأعداد الطبيعية. هذا التعريف الأضيق له عيب أنه يستبعد التسلسلات المحدودة والمتواليات ثنائية اللانهائية ، وكلاهما يطلق عليهما عادة التسلسلات في الممارسة الرياضية القياسية. عيب آخر هو أنه إذا أزال المرء المصطلحات الأولى من التسلسل ، يحتاج المرء إلى إعادة فهرسة المصطلحات المتبقية لتلائم هذا التعريف. في بعض السياقات ، لتقصير العرض ، يتم إصلاح المجال المشترك للتسلسل حسب السياق ، على سبيل المثال من خلال اشتراط أن يكون هو المجموعة ص من الأعداد الحقيقية ، [6] المجموعة ج من الأعداد المركبة ، [7] أو فضاء طوبولوجي. [8]

على الرغم من أن التسلسلات هي نوع من الوظائف ، إلا أنها عادة ما يتم تمييزها من الناحية المعيارية عن الوظائف من حيث أن الإدخال مكتوب على هيئة حرف منخفض وليس بين قوسين ، أي أن عوضا عن أ(ن). هناك اختلافات في المصطلحات أيضًا: تسمى قيمة التسلسل عند أدنى إدخال (غالبًا 1) "العنصر الأول" من التسلسل ، وتسمى القيمة في ثاني أصغر إدخال (غالبًا 2) "العنصر الثاني" ، إلخ أيضًا ، في حين أن الوظيفة المستخرجة من مدخلاتها يُشار إليها عادةً بحرف واحد ، على سبيل المثال F، عادةً ما يتم كتابة التسلسل المستخرج من مدخلاته بواسطة تدوين مثل (أ n) n ∈ A )_> ، أو تمامًا مثل (أ ن). ).> هنا أ هو المجال ، أو مجموعة الفهرس ، من التسلسل.

المتتاليات وحدودها (انظر أدناه) هي مفاهيم مهمة لدراسة المساحات الطوبولوجية. تعميم هام للتسلسل هو مفهوم الشبكات. أ صافي هي دالة من مجموعة موجهة (ربما غير معدودة) إلى فضاء طوبولوجي. The notational conventions for sequences normally apply to nets as well.

Finite and infinite Edit

ال length of a sequence is defined as the number of terms in the sequence.

A sequence of a finite length ن is also called an ن-tuple. Finite sequences include the empty sequence ( ) that has no elements.

Normally, the term تسلسل لانهائي refers to a sequence that is infinite in one direction, and finite in the other—the sequence has a first element, but no final element. Such a sequence is called a singly infinite sequence أو أ one-sided infinite sequence when disambiguation is necessary. In contrast, a sequence that is infinite in both directions—i.e. that has neither a first nor a final element—is called a bi-infinite sequence, two-way infinite sequence، أو doubly infinite sequence. A function from the set ض of all integers into a set, such as for instance the sequence of all even integers ( . −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, . ), is bi-infinite. This sequence could be denoted ( 2 n ) n = − ∞ ∞ ^> .

Increasing and decreasing Edit

الشروط nondecreasing و nonincreasing are often used in place of increasing و decreasing in order to avoid any possible confusion with strictly increasing و strictly decreasing, respectively.

Bounded Edit

If the sequence of real numbers (أن) is such that all the terms are less than some real number م, then the sequence is said to be bounded from above. In other words, this means that there exists م such that for all ن, أنم. Any such م يسمى upper bound. Likewise, if, for some real m, أنm للجميع ن greater than some ن, then the sequence is bounded from below and any such m يسمى أ lower bound. If a sequence is both bounded from above and bounded from below, then the sequence is said to be المحصورة.

Subsequences Edit

أ subsequence of a given sequence is a sequence formed from the given sequence by deleting some of the elements without disturbing the relative positions of the remaining elements. For instance, the sequence of positive even integers (2, 4, 6, . ) is a subsequence of the positive integers (1, 2, 3, . ). The positions of some elements change when other elements are deleted. However, the relative positions are preserved.

Other types of sequences Edit

Some other types of sequences that are easy to define include:

  • ان integer sequence is a sequence whose terms are integers.
  • أ polynomial sequence is a sequence whose terms are polynomials.
  • A positive integer sequence is sometimes called multiplicative, if أnm = أنأm for all pairs ن, m مثل ذلك ن و m are coprime. [9] In other instances, sequences are often called multiplicative, if أن = na1 للجميع ن. Moreover, a multiplicative Fibonacci sequence [10] satisfies the recursion relation أن = أن−1أن−2.
  • A binary sequence is a sequence whose terms have one of two discrete values, e.g. base 2 values (0,1,1,0, . ), a series of coin tosses (Heads/Tails) H,T,H,H,T, . the answers to a set of True or False questions (T, F, T, T, . ), and so on.

An important property of a sequence is convergence. If a sequence converges, it converges to a particular value known as the limit. If a sequence converges to some limit, then it is متقاربة. A sequence that does not converge is متشعب.

Formal definition of convergence Edit

Applications and important results Edit

  • lim n → ∞ ( a n ± b n ) = lim n → ∞ a n ± lim n → ∞ b n (a_pm b_)=lim _a_pm lim _b_>
  • lim n → ∞ c a n = c lim n → ∞ a n ca_=clim _a_> for all real numbers c
  • lim n → ∞ ( a n b n ) = ( lim n → ∞ a n ) ( lim n → ∞ b n ) (a_b_)=left(lim _a_ ight)left(lim _b_ ight)>
  • lim n → ∞ a n b n = lim n → ∞ a n lim n → ∞ b n ><>>>=a_>b_>>> , provided that lim n → ∞ b n ≠ 0 b_ eq 0>
  • lim n → ∞ a n p = ( lim n → ∞ a n ) p a_^

    =left(lim _a_ ight)^

    > for all p > 0 and a n > 0 >0>

  • If a n ≤ b n leq b_> for all n greater than some N , then lim n → ∞ a n ≤ lim n → ∞ b n a_leq lim _b_>. [أ]
  • (Squeeze Theorem)
    If ( c n ) )> is a sequence such that a n ≤ c n ≤ b n leq c_leq b_> for all n > N and lim n → ∞ a n = lim n → ∞ b n = L a_=lim _b_=L> ,
    then ( c n ) )> is convergent, and lim n → ∞ c n = L c_=L> .
  • If a sequence is bounded and monotonic then it is convergent.
  • A sequence is convergent if and only if all of its subsequences are convergent.

Cauchy sequences Edit

A Cauchy sequence is a sequence whose terms become arbitrarily close together as n gets very large. The notion of a Cauchy sequence is important in the study of sequences in metric spaces, and, in particular, in real analysis. One particularly important result in real analysis is Cauchy characterization of convergence for sequences:

A sequence of real numbers is convergent (in the reals) if and only if it is Cauchy.

Metric spaces that satisfy the Cauchy characterization of convergence for sequences are called complete metric spaces and are particularly nice for analysis.

Infinite limits Edit

In calculus, it is common to define notation for sequences which do not converge in the sense discussed above, but which instead become and remain arbitrarily large, or become and remain arbitrarily negative. If a n > becomes arbitrarily large as n → ∞ , we write

In this case we say that the sequence diverges, or that it converges to infinity. An example of such a sequence is أن = ن .

and say that the sequence diverges أو converges to negative infinity.


Interactive Real Analysis

It is important to try to develop a more intuitive understanding about lim sup و lim inf. The next results will attempt to make these concepts somewhat more clear.

  1. there is a subsequence converging to ج
  2. there is a subsequence converging to د
  3. d lim inf lim sup c for any subsequence <>
  • A j picks out the greatest lower bound for the truncated sequences . وبالتالي A j tends to the smallest possible limit of any convergent subsequence.
  • بصورة مماثلة، B j picks the smallest upper bound of the truncated sequences, and hence tends to the greatest possible limit of any convergent subsequence.
  • If is the sequence of all rational numbers in the interval [0, 1], enumerated in any way, find the lim sup و lim inf of that sequence.

The final statement relates lim sup و lim inf with our usual concept of limit.

To see that even simple concepts like lim inf و lim sup can result in interesting math consider the following unproven conjecture:

The first equation is a conjecture, not yet proven, called the twin prime conjecture. In fact, it is not even known if the lim inf is finite. On the other hand, the second equation involving lim sup is known to be infinite because of arbitrary spaces between two primes.


2 Completeness

The main reason for introducing the reals is that the reals contain all limits. More technically, the reals are complete (in the sense of metric spaces or uniform spaces, which is a different sense than the Dedekind completeness of the order in the previous section ). This means the following:

A sequence ( x n ) of real numbers is called a Cauchy sequence if for any ε > 0 there exists an integer N (possibly depending on ε ) such that the distance | x n - x m | is less than ε provided that n and m are both greater than N . In other words, a sequence is a Cauchy sequence if its elements x n eventually come and remain arbitrarily close to each other.

A sequence ( x n ) converges to the limit x if for any ε > 0 there exists an integer N (possibly depending on ε ) such that the distance | x n - x | is less than ε provided that n is greater than N . In other words, a sequence has limit x if its elements eventually come and remain arbitrarily close to x .

It is easy to see that every convergent sequence is a Cauchy sequence. Now the important fact about the real numbers is that the converse is true:

Every Cauchy sequence of real numbers is convergent .

That is, the reals are complete.

Note that the rationals are not complete. For example, the sequence 1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 , 1.4142 , 1.41421 , … is Cauchy but it does not converge to a rational number. (In the real numbers, in contrast, it converges to the square root of 2 .)

The existence of limits of Cauchy sequences is what makes calculus work and is of great practical use. The standard numerical test to determine if a sequence has a limit is to test if it is a Cauchy sequence, as the limit is typically not known in advance.

For example the standard series of the exponential function

converges to a real number because for every x the sums

can be made arbitrarily small by choosing N sufficiently large. This proves that the sequence is Cauchy, so we know that the sequence converges even if we don’t know ahead of time what the limit is.


Completeness in (R^n)

Recall that the set of real numbers is complete - if we have a sequence of real numbers where the terms get closer together, then the sequence has a real number as a limit. This property is not true in the set of rational numbers, for example, which originally motivated the construction of the reals. Unfortunately, the characterization of completeness from first-year calculus, that nonempty subsets of real numbers which are bounded above have least upper bounds, does not translate easily to (R^n) .

The fundamental issue is that since (R) is a line it makes sense to ask which of any two elemets is bigger. In other words, given any two numbers (x,yin R) , it is always the case that either (xleq y) or (yleq x) . That is, (R) is totally ordered.

On the other hand, given two vectors (,inR^2) (or more generally in (R^n) for (ngeq 2) ), it doesn’t make sense to ask which of the two vectors is bigger. We could try defining an order by saying (leq ) whenever (| |leq| |) but this turns out to not satisfy some nice properties that we would expect of an order, for example there are many nonequal vectors of the same magnitude, so with this definition (leq ) and (leq ) does not imply that (=) .

There is no way of ordering elements of (R^n) for our purposes, so we can’t generalize the definition of least upper bound to (R^n) . This means the first-year calculus characterization of completeness does not help us directly.

When trying to generalize a concept to (R^n) , we will try to find equivalent formulations of the statement until we have a statement that makes sense in (R^n) . Then we will use this as the definition of the concept in (R^n) .

For example, in (R) we saw above that the Bounded Sequence Theorem follows from the Monotone Convergence Theorem, and the Monotone Convergence Theorem follows from the completeness of (R) : [ ext R implies ext implies ext]

You can check that these are all actually equivalences, in other words, that you can prove the completeness of (R) (the least upper bound property) from the Monotone Convergence Theorem and that you can prove the Monotone Convergence Theorem from the Bounded Sequence Theorem: [ ext R iff ext iff ext] Hence in (R) the notion of completeness is equivalent to the Bounded Sequence Theorem. Finally notice that the statement of the Bounded Sequence Theorem no longer requires the definition of a least upper bound (or an order between vectors) and has a generalization to the Bounded Sequence Theorem in (R^n) as above.

This allows us to define completeness of (R^n) in terms of the bounded sequence theorem. The analogue of the completeness axiom in higher dimensions thus becomes

For (n=1) this notion of completeness is equivalent to the usual single-variable calculus completeness axiom so we have arrived at a generalization of completeness which now works in any dimension, since it does not rely on a least upper bound property in higher dimensions. We could also show that completeness is equivalent to the Intermediate Value Theorem, or to the statement that every absolutely convergent sequence converges.


No doubt, most readers of this book think of real numbers as values on a number line, which has long been accepted by scientists and engineers as a model for measurements of length, mass, and time.

Although there is nothing wrong with this intuitive interpretation, it is the goal of this section to show how the real numbers can be logically created from more primitive number systems like the natural numbers, as well as introducing aspects of the real numbers decimal expansions, the least upper bound property, types of real numbers like rational, irrational, algebraic, and transcendental, and completeness properties.

Without going into the history of how numbers went from 1, 2, 3, … to the real numbers, there are two fundamental approaches to how to define the real numbers. First, we can state axioms that we believe characterize our interpretation of the real numbers. هذا ال here they are, the real numbers. This approach is called the synthetic approach, whereby axioms hopefully embody what we believe a “continuum” should be.

On the other hand, we can “construct” .

يحصل Advanced Mathematics الآن مع التعلم عبر الإنترنت O’Reilly.

يتمتع أعضاء O’Reilly بتدريب مباشر عبر الإنترنت ، بالإضافة إلى الكتب ومقاطع الفيديو والمحتوى الرقمي من أكثر من 200 ناشر.


المشكلة 10

A basketball team's players were successful on 50% of their two-point shots and 40% of their three-point shots, which resulted in 54 points. They attempted 50% more two-point shots than three-point shots. How many three-point shots did they attempt?


Number Sequences Examples & Types

Number sequences consist of a finite row of numbers of which one of the numbers is missing in the sequence. As the term sequence already indicates, it is an ordered row of numbers in which the same number can appear multiple times. On his page the most common number sequences examples are presented.

Practice the number sequence tests used by employers with JobTestPrep.

Arithmetic Sequences

An arithmetic sequence is a mathematical sequence consisting of a sequence in which the next term originates by adding a constant to its predecessor. When the first term x1 and the difference of the sequence d is known, the whole sequence is fixed, or in formula:

An example of this type of number sequence could be the following:

This sequence has a difference of 5 between each number. The pattern is continued by adding the constant number 5 to the last number each time. The value added each time is called the “common difference”. The common difference could also be negative, like this:

This common difference is -2. The pattern is continued by subtracting 2 each time.


I would start by thinking about why the cardinality of ##[0,1)^2## is equal to the cardinality ##[0,1)##. To do this you think realize that any element of ##[0,1)^2## can be written as ##(x,y)## where ##x## and ##y## have infinite decimal expansions ##x = a_1 a_2 a_3 . ## and ##y = b_1 b_2 b_3 . ##, then you can combine these into a unique real number ##z = a_1 b_1 a_2 b_2 a_3 b_3 . ## .

From here, you can generalize this proof to show that ##|[0,1)^mathbb| = |[0,1)|## by recalling the proof that the rational and natural numbers have the same cardinality. At this point you should be almost home.

Great point, jbunniii, we should definitely make sure to deal with multiple expansions.

(By the way, I'm sorry that I have edited and updated my post multiple times. I'm still trying to figure out how to use the Tex features properly.)

Sure, but the number of elements in the sequences is.

"the cardinality of the set of ([countable] infinite) sequences of real numbers"
I added "()" to clarify the structure.


شاهد الفيديو: خصائص الأعداد الحقيقية للصف الثاني ثانوي الفصل الدراسي الأول (شهر نوفمبر 2021).