مقالات

5.3: مجموع ريمان


في القسم السابق ، حددنا التكامل المحدد للدالة على ([أ ، ب] ) لتكون المنطقة الموقعة بين المنحنى والمحور (س ). كانت بعض المجالات سهلة الحساب ؛ لقد أنهينا القسم بمنطقة لم تكن منطقتها سهلة الحساب. في هذا القسم نطور تقنية للعثور على مثل هذه المناطق.

تتمثل إحدى طرق حساب التفاضل والتكامل الأساسية في الإجابة أولاً على مشكلة معينة بتقريب ، ثم تنقيح هذا التقريب لجعله أفضل ، ثم استخدام الحدود في عملية التنقية للعثور على الإجابة الدقيقة. هذا هو بالضبط ما سنفعله هنا.

ضع في اعتبارك المنطقة الواردة في الشكل ( PageIndex {1} ) ، وهي المنطقة الواقعة أسفل (y = 4x-x ^ 2 ) في ([0،4] ). ما هي المنطقة الموقعة لهذه المنطقة - أي ما هي ( int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx )؟

الشكل ( PageIndex {1} ): رسم بياني لـ (f (x) = 4x-x ^ 2 ). ما هي مساحة المنطقة المظللة؟

نبدأ بالتقريب. يمكننا إحاطة المنطقة بمستطيل يبلغ ارتفاعه وعرضه 4 ونجد المساحة حوالي 16 وحدة مربعة. من الواضح أن هذا ملف الإفراط في التقريب؛ نقوم بتضمين منطقة في المستطيل ليست تحت القطع المكافئ.

لدينا تقريب للمساحة باستخدام مستطيل واحد. كيف يمكننا تحسين التقريب لجعله أفضل؟ مفتاح هذا القسم هو هذه الإجابة: استخدم المزيد من المستطيلات.

دعنا نستخدم 4 مستطيلات متساوية العرض من 1. هذا أقسام الفاصل ([0،4] ) في 4 فترات فرعية، ([0،1] )، ([1،2] )، ([2،3] ) و ([3،4] ). في كل فترة فرعية سنرسم مستطيلاً.

هناك ثلاث طرق شائعة لتحديد ارتفاع هذه المستطيلات: حكم اليد اليسرى، ال حكم اليد اليمنى، و ال قاعدة نقطة المنتصف. ال حكم اليد اليسرى يقول لتقييم الوظيفة عند نقطة النهاية اليسرى للفاصل الزمني الفرعي وجعل المستطيل بهذا الارتفاع. في الشكل ( PageIndex {2} ) ، يتم تحديد ارتفاع المستطيل المرسوم على الفاصل ([2،3] ) بواسطة قاعدة اليد اليسرى ؛ يبلغ ارتفاعه (و (2) ). (المستطيل مكتوب عليه "LHR.")

الشكل ( PageIndex {2} ): تقريب ( int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx ) باستخدام المستطيلات. يتم تحديد ارتفاعات المستطيلات باستخدام قواعد مختلفة.

ال حكم اليد اليمنى يقول العكس: في كل فترة فرعية ، قم بتقييم الوظيفة عند نقطة النهاية اليمنى واجعل المستطيل بهذا الارتفاع. في الشكل ، يتم رسم المستطيل المرسوم على ([0،1] ) باستخدام (f (1) ) كإرتفاع ؛ هذا المستطيل يسمى "RHR.".

ال قاعدة نقطة المنتصف يقول أنه في كل فترة فرعية ، قم بتقييم الوظيفة عند نقطة المنتصف واجعل المستطيل بهذا الارتفاع. تم رسم المستطيل المرسوم على ([1،2] ) باستخدام قاعدة النقطة المتوسطة ، بارتفاع (f (1.5) ). هذا المستطيل يسمى "MPR".

هذه هي القواعد الثلاث الأكثر شيوعًا لتحديد ارتفاعات تقريب المستطيلات ، لكن لا يُجبر المرء على استخدام إحدى هذه الطرق الثلاث. المستطيل الموجود على ([3،4] ) يبلغ ارتفاعه تقريبًا (f (3.53) ) ، قريب جدًا من قاعدة نقطة الوسط. تم اختياره بحيث تكون مساحة المستطيل بالضبط منطقة المنطقة الواقعة تحت (f ) في ([3،4] ). (ستتمكن لاحقًا من معرفة كيفية القيام بذلك أيضًا.)

سيقرب المثال التالي قيمة ( int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx ) باستخدام هذه القواعد.

مثال ( PageIndex {1} ): استخدام قواعد اليد اليسرى واليد اليمنى ونقطة المنتصف

تقريب قيمة ( int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx ) باستخدام قاعدة اليد اليسرى ، وقاعدة اليد اليمنى ، وقاعدة النقطة الوسطى ، باستخدام 4 فترات فرعية متباعدة بشكل متساوٍ.

المحلول

{نقوم بتقسيم الفاصل الزمني ([0،4] ) إلى أربع فترات فرعية كما في السابق. في الشكل ( PageIndex {3} ) نرى 4 مستطيلات مرسومة على (f (x) = 4x-x ^ 2 ) باستخدام قاعدة اليد اليسرى. (مناطق المستطيلات معطاة في كل شكل).

الشكل ( PageIndex {3} ): تقريب ( int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx ) باستخدام قاعدة اليد اليسرى في المثال ( PageIndex {1} )

لاحظ كيف أنه في الفترة الفرعية الأولى ، ([0،1] ) ، يكون للمستطيل ارتفاع (f (0) = 0 ). نجمع مساحات كل مستطيل (ارتفاع ( مرات ) عرض) لتقريب قاعدة اليد اليسرى:

[ start {align} f (0) cdot 1 + f (1) cdot 1+ f (2) cdot 1 + f (3) cdot 1 & = 0 + 3 + 4 + 3 & = 10. نهاية {محاذاة} ]

يوضح الشكل ( PageIndex {4} ) 4 مستطيلات مرسومة تحت (f ) باستخدام قاعدة اليد اليمنى ؛ لاحظ كيف أن الفاصل الزمني الفرعي ([3،4] ) له مستطيل ارتفاعه 0.

الشكل ( PageIndex {4} ): تقريب ( int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx ) باستخدام قاعدة اليد اليمنى في المثال ( PageIndex {1} )

في هذا المثال ، يبدو أن هذه المستطيلات هي صورة معكوسة لتلك الموجودة في الشكل ( PageIndex {3} ). (هذا بسبب تناظر منطقتنا المظللة.) يعطي التقريب نفس الإجابة كما كان من قبل ، على الرغم من حسابه بطريقة مختلفة:

[ start {align} f (1) cdot 1 + f (2) cdot 1+ f (3) cdot 1 + f (4) cdot 1 & = 3 + 4 + 3 + 0 & = 10. نهاية {محاذاة} ]

يوضح الشكل ( PageIndex {5} ) 4 مستطيلات مرسومة تحت (f ) باستخدام قاعدة نقطة المنتصف.

الشكل ( PageIndex {5} ): تقريب ( int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx ) باستخدام قاعدة النقطة المتوسطة في المثال ( PageIndex {1} )

يعطي هذا تقريبًا لـ ( int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx ) على النحو التالي:

[ start {align} f (0.5) cdot 1 + f (1.5) cdot 1+ f (2.5) cdot 1 + f (3.5) cdot 1 & = 1.75 + 3.75 + 3.75 + 1.75 & = 11. نهاية {محاذاة} ]

توفر طرقنا الثلاث تقريبين لـ ( int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx ): 10 و 11.

تدوين الجمع

من الصعب أن نحدد في هذه اللحظة أيهما أفضل التقريب: 10 أم 11؟ يمكننا الاستمرار في تحسين التقريب باستخدام المزيد من المستطيلات. ومع ذلك ، يمكن أن يصبح التدوين غير عملي ، حيث نضيف قوائم أطول وأطول من الأرقام. ونحن نقدم تدوين الجمع لتخفيف هذه المشكلة.

لنفترض أننا نرغب في إضافة قائمة من الأرقام (a_1 ) ، (a_2 ) ، (a_3 ) ، ldots ، (a_9 ). بدلا من الكتابة

$$ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9، ]

نستخدم تدوين الجمع والكتابة

الشكل ( PageIndex {6} ): فهم تدوين الجمع

يمثل الحرف الكبير سيجما المصطلح "مجموع". فهرس الجمع في هذا المثال هو (i ) ؛ يمكن استخدام أي رمز. حسب الاصطلاح ، يأخذ الفهرس فقط قيم الأعداد الصحيحة بين (بما في ذلك) الحدين الأدنى والأعلى.

لنتدرب على استخدام هذا الترميز.

مثال ( PageIndex {2} ): استخدام تدوين الجمع

دع الأرقام ( {a_i } ) تعرف على أنها (a_i = 2i-1 ) للأعداد الصحيحة (i ) ، حيث (i geq 1 ). لذا (a_1 = 1 ) ، (a_2 = 3 ) ، (a_3 = 5 ) ، وما إلى ذلك (الناتج هو الأعداد الصحيحة الفردية الموجبة). قم بتقييم الملخصات التالية:

[1. sum_ {i = 1} ^ 6 a_i qquad qquad qquad 2. sum_ {i = 3} ^ 7 (3a_i-4) qquad qquad qquad 3. sum_ { i = 1} ^ 4 (a_i) ^ 2 ]

المحلول

  1. [ start {align} sum_ {i = 1} ^ 6 a_i & = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 & = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 & = 36 . النهاية {محاذاة} ]
  2. لاحظ أن قيمة البداية مختلفة عن 1: [ begin {align} sum_ {i = 3} ^ 7 a_i & = (3a_3-4) + (3a_4-4) + (3a_5-4) + (3a_6-4 ) + (3a_7-4) & = 11 + 17 + 23 + 29 + 35 & = 115. end {align} ]
  3. [ begin {align} sum_ {i = 1} ^ 4 (a_i) ^ 2 & = (a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 + (a_3) ^ 2 + (a_4) ^ 2 & = 1 ^ 2 + 3 ^ 2 + 5 ^ 2 + 7 ^ 2 & = 84 end {align} ]

قد يبدو من الغريب التأكيد على طريقة جديدة وموجزة لكتابة الملخصات فقط لكتابة كل مصطلح عند جمعها. أنه. تعطي النظرية التالية بعض خصائص التلخيصات التي تسمح لنا بالعمل معهم دون كتابة مصطلحات فردية. سوف تتبع الأمثلة.

Theorem ( PageIndex {1} ): خصائص التلخيصات

  1. ( sum_ {i = 1} ^ n c = c cdot n ) ، حيث (c ) ثابت.
  2. ( sum_ {i = m} ^ n (a_i pm b_i) = sum_ {i = m} ^ n a_i pm sum_ {i = m} ^ n b_i )
  3. ( sum_ {i = m} ^ n c cdot a_i = c cdot sum_ {i = m} ^ n a_i )
  4. ( sum_ {i = m} ^ j a_i + sum_ {i = j + 1} ^ n a_i = sum_ {i = m} ^ n a_i )
  5. ( sum_ {i = 1} ^ n i = frac {n (n + 1)} 2 )
  6. ( sum_ {i = 1} ^ n i ^ 2 = frac {n (n + 1) (2n + 1)} 6 )
  7. ( sum_ {i = 1} ^ n i ^ 3 = left ( frac {n (n + 1)} 2 right) ^ 2 )

مثال ( PageIndex {3} ): تقييم التلخيصات باستخدام النظرية ( PageIndex {1} )

راجع المثال ( PageIndex {2} ) وباستخدام Theorem ( PageIndex {1} ) ، قم بتقييم

[ sum_ {i = 1} ^ 6 a_i = sum_ {i = 1} ^ 6 (2i-1). ]

المحلول

[ begin {align} sum_ {i = 1} ^ 6 (2i-1) & = sum_ {i = 1} ^ 6 2i - sum_ {i = 1} ^ 6 (1) & = يسار (2 sum_ {i = 1} ^ 6 i right) - 6 & = 2 frac {6 (6 + 1)} {2} - 6 & = 42-6 = 36 end {محاذاة} ]

لقد حصلنا على نفس الإجابة دون كتابة جميع المصطلحات الستة. عند التعامل مع أحجام صغيرة من (n ) ، قد يكون من الأسرع كتابة المصطلحات يدويًا. ومع ذلك ، فإن النظرية ( PageIndex {1} ) مهمة للغاية عند التعامل مع مبالغ كبيرة كما سنرى قريبًا.

مبالغ ريمان

جرب مرة أخرى ( int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx ). سنقوم بتقريب هذا التكامل المحدد باستخدام 16 فترة فرعية متباعدة بشكل متساوٍ وقاعدة اليد اليمنى في المثال ( PageIndex {4} ). قبل القيام بذلك ، من المفيد القيام ببعض التحضير الدقيق.

الشكل ( PageIndex {7} ): قسمة ([0،4] ) إلى 16 فترات فرعية متباعدة بشكل متساوٍ.

يوضح الشكل ( PageIndex {7} ) سطر رقم من ([0،4] ) مقسمًا إلى 16 فترة فرعية متباعدة بشكل متساوٍ. نشير إلى (0 ) كـ (x_1 ) ؛ لقد حددنا قيم (x_5 ) و (x_9 ) و (x_ {13} ) و (x_ {17} ). يمكننا تحديدهم جميعًا ، لكن الرقم سيصبح مزدحمًا. في حين أنه من السهل تحديد أن (x_ {10} = 2.25 ) ، بشكل عام ، نريد طريقة لتحديد قيمة (x_i ) دون الرجوع إلى الشكل. انصح:

لذا (x_ {10} = x_1 + 9 (4/16) = 2.25. )

إذا قسمنا ([0،4] ) إلى 100 فاصل زمني متباعد بشكل متساوٍ ، فسيكون لكل فاصل فرعي الطول ( Delta x = 4/100 = 0.04 ). يمكننا حساب (x_ {32} ) كـ

$$ x_ {32} = x_1 + 31 (4/100) = 1.24. ]

(كان ذلك أسرع بكثير من إنشاء رسم تخطيطي أولاً).

بالنظر إلى أي تقسيم فرعي لـ ([0،4] ) ، فإن الفاصل الزمني الأول هو ([x_1، x_2] )؛ والثاني هو ([x_2، x_3] )؛ الفاصل الزمني الفرعي (i ^ text {th} ) هو ([x_i، x_ {i + 1}] ).

عند استخدام قاعدة اليد اليسرى ، سيكون ارتفاع المستطيل (i ^ text {th} ) هو (f (x_i) ).

عند استخدام قاعدة اليد اليمنى ، سيكون ارتفاع المستطيل (i ^ text {th} ) (f (x_ {i + 1}) ).

عند استخدام قاعدة نقطة المنتصف ، سيكون ارتفاع المستطيل (i ^ text {th} ) (f left ( frac {x_i + x_ {i + 1}} 2 right) ).

وبالتالي يمكن التعبير عن تقريب ( int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx ) مع 16 فاصلًا فرعيًا متساويًا على النحو التالي ، حيث ( Delta x = 4/16 = 1/4 ):

قاعدة اليد اليسرى: ( sum_ {i = 1} ^ {16} f (x_i) Delta x )

قاعدة اليد اليمنى: ( sum_ {i = 1} ^ {16} f (x_ {i + 1}) Delta x )

قاعدة نقطة المنتصف: ( sum_ {i = 1} ^ {16} f left ( frac {x_i + x_ {i + 1}} 2 right) Delta x )

نستخدم هذه الصيغ في المثالين التاليين. المثال التالي يتيح لنا التدرب على استخدام قاعدة اليد اليمنى وصيغ الجمع المقدمة في Theorem ( PageIndex {1} )

مثال ( PageIndex {4} ): تقريب التكاملات المحددة باستخدام المجاميع

تقريبي ( int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx ) باستخدام قاعدة اليد اليمنى وصيغ الجمع مع 16 و 1000 فواصل متباعدة بشكل متساوٍ.

المحلول

باستخدام الصيغة المشتقة من قبل ، باستخدام 16 فترة متباعدة بشكل متساوٍ وقاعدة اليد اليمنى ، يمكننا تقريب التكامل المحدد مثل

[ sum_ {i = 1} ^ {16} f (x_ {i + 1}) Delta x. ]

لدينا ( Delta x = 4/16 = 0.25 ). منذ (x_i = 0+ (i-1) Delta x ) ، لدينا

[ start {align} x_ {i + 1} & = 0 + big ((i + 1) -1 big) Delta x & = i Delta x end {align} ]

باستخدام صيغ الجمع ، ضع في اعتبارك:

[ begin {align} int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx & almost sum_ {i = 1} ^ {16} f (x_ {i + 1}) Delta x & = sum_ {i = 1} ^ {16} f (i Delta x) Delta x & = sum_ {i = 1} ^ {16} big (4i Delta x - (i Delta x) ^ 2 كبير) Delta x & = sum_ {i = 1} ^ {16} (4i Delta x ^ 2 - i ^ 2 Delta x ^ 3) & = (4 Delta x ^ 2 ) sum_ {i = 1} ^ {16} i - Delta x ^ 3 sum_ {i = 1} ^ {16} i ^ 2 & = (4 Delta x ^ 2) frac {16 cdot 17} {2} - Delta x ^ 3 frac {16 (17) (33)} 6 & = 4 cdot 0.25 ^ 2 cdot 136-0.25 ^ 3 cdot 1496 & = 10.625 نهاية {محاذاة} ]

تمكنا من تلخيص مناطق 16 مستطيلًا بحسابات قليلة جدًا. في الشكل ( PageIndex {8} ) يتم رسم الدالة والمستطيلات الستة عشر بيانيًا. في حين أن بعض المستطيلات تزيد - تقارب المساحة ، والبعض الآخر أقل - تقريبيًا للمساحة (بنفس المقدار تقريبًا). وبالتالي فإن مساحتنا التقريبية البالغة 10.625 هي على الأرجح تقريب جيد إلى حد ما.

معادلة الإشعار ( PageIndex {31} ) ؛ بتغيير قيم 16 إلى 1000 (وتغيير قيمة ( Delta x ) بشكل مناسب) ، يمكننا استخدام هذه المعادلة لتلخيص 1000 مستطيل!

الشكل ( PageIndex {8} ): تقريب ( int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx ) باستخدام قاعدة اليد اليمنى و 16 فترة فرعية متباعدة بشكل متساوٍ.

نقوم بذلك هنا ، بالتخطي من الاستدعاء الأصلي إلى ما يعادل المعادلة ( PageIndex {31} ) لتوفير مساحة. لاحظ أن ( Delta x = 4/1000 = 0.004 ).

[ begin {align} int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx & almost sum_ {i = 1} ^ {1000} f (x_ {i + 1}) Delta x & = ( 4 Delta x ^ 2) sum_ {i = 1} ^ {1000} i - Delta x ^ 3 sum_ {i = 1} ^ {1000} i ^ 2 & = (4 Delta x ^ 2 ) frac {1000 cdot 1001} {2} - Delta x ^ 3 frac {1000 (1001) (2001)} 6 & = 4 cdot 0.004 ^ 2 cdot 500500-0.004 ^ 3 cdot 333،833،500 & = 10.666656 نهاية {محاذاة} ]

باستخدام العديد والعديد من المستطيلات ، لدينا تقريب جيد على الأرجح لـ ( int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx ). هذا هو،

$$ int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx حوالي 10.666656. ]

قبل المثال أعلاه ، ذكرنا الشكل الذي تبدو عليه ملخصات قواعد اليد اليسرى واليد اليمنى وقواعد نقطة المنتصف. كان لكل منها نفس الهيكل الأساسي ، والذي كان:

  1. كل مستطيل له نفس العرض ، والذي أشرنا إليه باسم ( Delta x ) ، و
  2. يتم تحديد ارتفاع كل مستطيل من خلال تقييم (f ) عند نقطة معينة في كل فترة فرعية. على سبيل المثال ، تنص قاعدة اليد اليسرى على أن ارتفاع كل مستطيل يتم تحديده من خلال تقييم (f ) عند نقطة النهاية اليسرى للفاصل الزمني الفرعي الذي يعيش عليه المستطيل.

يمكن تقسيم الفاصل الزمني ([a، b] ) بفترات فرعية ليس لها نفس الحجم. نشير إلى طول الفترة الفرعية الأولى كـ ( Delta x_1 ) ، وطول الفاصل الزمني الفرعي الثاني كـ ( Delta x_2 ) ، وما إلى ذلك ، مع إعطاء طول (i ^ text {th } ) الفاصل الزمني الفرعي كـ ( Delta x_i ). أيضًا ، يمكن تحديد ارتفاع كل مستطيل من خلال تقييم (f ) عند emph {any} نقطة في الفاصل الزمني الفرعي (i ^ text {th} ). نشير إلى النقطة التي تم اختيارها في الفترة الفرعية الأولى كـ (c_1 ) ، والنقطة المنتقاة في الفترة الفرعية الثانية كـ (c_2 ) ، وما إلى ذلك ، حيث تمثل (c_i ) النقطة المختارة في (i ^ text {th} ) الفاصل الزمني الفرعي. وبالتالي فإن ارتفاع الفاصل الزمني الفرعي (i ^ text {th} ) سيكون (f (c_i) ) ومساحة المستطيل (i ^ text {th} ) ستكون (f (c_i) Delta x_i ).

تمت تسمية مجموع المستطيلات ذات المساحة (f (c_i) Delta x_i ) على اسم عالم الرياضيات جورج فريدريش برنارد ريمان ، كما هو موضح في التعريف التالي.

التعريف ( PageIndex {1} ): مجموع ريمان

دع (f ) يتم تعريفه في الفاصل الزمني المغلق ([a، b] ) واجعل ( Delta x ) قسمًا من ([a، b] ) ، مع

$$ a = x_1

اسمح ( Delta x_i ) بالإشارة إلى طول (i ^ text {th} ) الفاصل الزمني الفرعي ([x_i، x_ {i + 1}] ) والسماح (c_i ) بالإشارة إلى أي قيمة في الفاصل الزمني الفرعي (i ^ text {th} ).

المجموع

$$ sum_ {i = 1} ^ n f (c_i) Delta x_i ]

هو مجموع ريمان من (و ) في ([أ ، ب] ).

الشكل ( PageIndex {9} ): مثال على مجموع ريمان العام لتقريب ( int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx )

يوضح الشكل ( PageIndex {9} ) المستطيلات التقريبية لمجموع Riemann لـ ( int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx ). في حين أن المستطيلات في هذا المثال لا تقترب جيدًا من المنطقة المظللة ، فإنها توضح أن عرض الفاصل الفرعي قد يختلف ويمكن تحديد ارتفاعات المستطيلات دون اتباع قاعدة معينة.

"عادة" يتم حساب مبالغ ريمان باستخدام إحدى الطرق الثلاث التي قدمناها. توحيد البناء يجعل الحسابات أسهل. قبل استخدام مثال آخر ، دعنا نلخص بعض ما تعلمناه بطريقة مناسبة.

الفكرة الرئيسية 8: مفاهيم ريمان سوم

ضع في اعتبارك ( int_a ^ b f (x) dx almost sum_ {i = 1} ^ n f (c_i) Delta x_i. )

  1. عندما يكون (n ) الفترات الفرعية متساوية في الطول ، ( Delta x_i = Delta x = frac {b-a} n. )
  2. مصطلح (i ^ text {th} ) للقسم هو (x_i = a + (i-1) Delta x ). (هذا يجعل (x_ {n + 1} = b ).)
  3. مجموع قاعدة اليد اليسرى هو: ( sum_ {i = 1} ^ n f (x_i) Delta x ).
  4. مجموع قاعدة اليد اليمنى هو: ( sum_ {i = 1} ^ n f (x_ {i + 1}) Delta x ).
  5. مجموع قاعدة نقطة المنتصف هو: ( sum_ {i = 1} ^ n f left ( frac {x_i + x_ {x + 1}} {2} right) Delta x ).

لنقم بمثال آخر.

مثال ( PageIndex {5} ): تقريب التكاملات المحددة بالمجموع

تقريبي ( int _ {- 2} ^ 3 (5x + 2) dx ) باستخدام قاعدة نقطة المنتصف و 10 فترات متباعدة بشكل متساوٍ.

المحلول

باتباع Key Idea 8 ، لدينا

[ Delta x = frac {3 - (-2)} {10} = 1/2 quad text {and} quad x_i = (-2) + (1/2) (i-1) = ط / 2-5 / 2. ]

نظرًا لأننا نستخدم قاعدة نقطة الوسط ، سنحتاج أيضًا إلى (x_ {i + 1} ) و ( frac {x_i + x_ {i + 1}} 2 ). بما أن (x_i = i / 2-5 / 2 ) ، (x_ {i + 1} = (i + 1) / 2-5 / 2 = i / 2 -2 ). هذا يعطي

[ frac {x_i + x_ {i + 1}} 2 = frac {(i / 2-5 / 2) + (i / 2-2)} {2} = frac {i-9/2} {2} = i / 2 - 9/4. ]

نقوم الآن ببناء مجموع ريمان ونحسب قيمته باستخدام صيغ الجمع.

[ begin {align} int _ {- 2} ^ 3 (5x + 2) dx & almost sum_ {i = 1} ^ {10} f left ( frac {x_i + x_ {i + 1} } {2} right) Delta x & = sum_ {i = 1} ^ {10} f (i / 2 - 9/4) Delta x & = sum_ {i = 1} ^ {10} big (5 (i / 2-9 / 4) + 2 big) Delta x & = Delta x sum_ {i = 1} ^ {10} left [ left ( frac {5} {2} right) i - frac {37} {4} right] & = Delta x left ( frac {5} 2 sum_ {i = 1} ^ {10} ( i) - sum_ {i = 1} ^ {10} left ( frac {37} {4} right) right) & = frac12 left ( frac52 cdot frac {10 (11 )} {2} - 10 cdot frac {37} 4 right) & = frac {45} 2 = 22.5 end {align} ]

لاحظ الرسم البياني (f (x) = 5x + 2 ) في الشكل ( PageIndex {10} ). المناطق التي يتم حساب مساحتها بالتكامل المحدد هي مثلثات ، مما يعني أنه يمكننا إيجاد الإجابة الدقيقة بدون تقنيات الجمع. نجد أن الإجابة الدقيقة هي بالفعل 22.5. تتمثل إحدى نقاط القوة في قاعدة نقطة الوسط في أنه غالبًا ما يتضمن كل مستطيل منطقة لا يجب احتسابها ، ولكنها تفتقد المنطقة الأخرى التي يجب أن يتم احتسابها. عندما يكون حجم القسم صغيرًا ، يكون هذان المقداران متساويين تقريبًا وهذه الأخطاء تقريبًا "تلغي بعضها البعض". في هذا المثال ، نظرًا لأن وظيفتنا عبارة عن خط ، فإن هذه الأخطاء متساوية تمامًا وتلغي بعضها البعض ، مما يعطينا الإجابة الدقيقة.

لاحظ أيضًا أنه عندما تكون الدالة سالبة ، يكون للمستطيلات ارتفاع "سالب". عندما نحسب مساحة المستطيل ، نستخدم (f (c_i) Delta x ) ؛ عندما تكون (f ) سالبة ، يتم حساب المنطقة على أنها سالبة.

الشكل ( PageIndex {10} ): تقريب ( int _ {- 2} ^ 3 (5x + 2) dx ) باستخدام قاعدة النقطة المتوسطة و 10 فترات فرعية متباعدة بشكل متساوٍ في المثال ( PageIndex {5} ).

لاحظ في المثال السابق أنه بينما استخدمنا 10 فترات متباعدة بشكل متساوٍ ، لم يلعب الرقم "10" دورًا كبيرًا في الحسابات حتى النهاية. يحب علماء الرياضيات تجريد الأفكار ؛ دعنا نقرب مساحة منطقة أخرى باستخدام (n ) فترات فرعية ، حيث لا نحدد قيمة (n ) حتى النهاية.

مثال ( PageIndex {6} ): تقريب التكاملات المحددة باستخدام صيغة باستخدام المجاميع

أعد زيارة ( int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx ) مرة أخرى. تقريب هذا التكامل المحدد باستخدام قاعدة اليد اليمنى مع (n ) فترات فرعية متباعدة بشكل متساو.

المحلول

باستخدام Key Idea 8 ، نعرف ( Delta x = frac {4-0} {n} = 4 / n ). نجد أيضًا (x_i = 0 + Delta x (i-1) = 4 (i-1) / n ). تستخدم قاعدة اليد اليمنى (x_ {i + 1} ) ، وهو (x_ {i + 1} = 4i / n ).

نقوم ببناء مجموع ريمان لقاعدة اليد اليمنى على النحو التالي. تأكد من اتباع كل خطوة بعناية. إذا واجهتك مشكلة ، ولم تفهم كيفية انتقال سطر إلى السطر التالي ، فيمكنك تخطي النتيجة والتفكير في كيفية استخدام هذه النتيجة. يجب عليك العودة ، مع ذلك ، والعمل من خلال كل خطوة من أجل الفهم الكامل.

[ begin {align} int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx & almost sum_ {i = 1} ^ nf (x_ {i + 1}) Delta x & = sum_ {i = 1} ^ nf left ( frac {4i} {n} right) Delta x & = sum_ {i = 1} ^ n left [4 frac {4i} n- left ( frac {4i} n right) ^ 2 right] Delta x & = sum_ {i = 1} ^ n left ( frac {16 Delta x} {n} right) i - sum_ {i = 1} ^ n left ( frac {16 Delta x} {n ^ 2} right) i ^ 2 & = left ( frac {16 Delta x} {n} right) sum_ {i = 1} ^ ni - left ( frac {16 Delta x} {n ^ 2} right) sum_ {i = 1} ^ ni ^ 2 & = left ( frac { 16 Delta x} {n} right) cdot frac {n (n + 1)} {2} - left ( frac {16 Delta x} {n ^ 2} right) frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} & left ( text {استدعاء $ Delta x = 4 / n $} right) & = frac {32 (n + 1)} { n} - frac {32 (n + 1) (2n + 1)} {3n ^ 2} & text {(تبسيط الآن)} & = frac {32} {3} left (1- frac {1} {n ^ 2} right) end {align} ]

والنتيجة هي تركيبة مذهلة وسهلة الاستخدام. لتقريب التكامل المحدد بـ 10 فترات فرعية متباعدة بشكل متساوٍ وقاعدة اليد اليمنى ، اضبط (n = 10 ) واحسبها

$$ int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx almost frac {32} {3} left (1- frac {1} {10 ^ 2} right) = 10.56. ]

تذكر كيف قمنا في وقت سابق بتقريب التكامل المحدد بـ 4 فترات فرعية ؛ مع (n = 4 ) ، تعطي الصيغة 10 ، إجابتنا كما في السابق.

أصبح من السهل الآن تقريب التكامل بـ 1،000،000 فواصل فرعية! تقرب الآلات الحاسبة المحمولة الإجابة قبل الأوان قليلًا وتعطي إجابة بـ (10.66666667 ). (الإجابة الفعلية هي (10.666666666656 ).)

نحن الآن نقوم بقفزة مهمة. حتى هذه النقطة ، اقتصرت الرياضيات لدينا على الهندسة والجبر (إيجاد المناطق ومعالجة التعبيرات). نطبق الآن textit {calculus}. لأي textit {محدود} (n ) ، نحن نعلم ذلك

$$ int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx almost frac {32} {3} left (1- frac {1} {n ^ 2} right). ]

يخبرنا كل من الفطرة السليمة والرياضيات عالية المستوى أنه مع زيادة (n ) زيادة التقريب ، يتحسن. في الواقع ، إذا أخذنا حد كـ (n rightarrow infty ) ، نحصل على المنطقة المحددة وصفه ( int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx ). هذا هو،

[ start {align} int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx & = lim_ {n rightarrow infty} frac {32} {3} left (1- frac {1} {n ^ 2} right) & = frac {32} {3} left (1-0 right) & = frac {32} {3} = 10. overline {6} end { محاذاة} ]

هذه نتيجة رائعة. من خلال النظر في (n ) فترات فرعية متساوية ، حصلنا على صيغة لتقريب التكامل المحدد الذي يتضمن متغيرنا (n ). مع نمو (n ) بشكل كبير - بدون حدود - يتقلص الخطأ إلى الصفر ونحصل على المساحة الدقيقة.

بدأ هذا القسم بتقنية حساب التفاضل والتكامل الأساسية: قم بعمل تقريب ، وصقل التقريب لجعله أفضل ، ثم استخدم الحدود في عملية التنقية للحصول على إجابة دقيقة. هذا بالضبط ما فعلناه للتو.

دعونا نتدرب على هذا مرة أخرى.

مثال ( PageIndex {7} ): تقريب التكاملات المحددة باستخدام صيغة باستخدام المجاميع

ابحث عن صيغة تقارب ( int _ {- 1} ^ 5 x ^ 3dx ) باستخدام قاعدة اليد اليمنى و (n ) فترات فرعية متباعدة بشكل متساوٍ ، ثم خذ الحد كـ (n to infty ) لـ ابحث عن المنطقة بالضبط.

المحلول

بعد Key Idea 8 ، لدينا ( Delta x = frac {5 - (- 1)} {n} = 6 / n ). لدينا (x_i = (-1) + (i-1) Delta x ) ؛ بما أن قاعدة اليد اليمنى تستخدم (x_ {i + 1} ) ، لدينا (x_ {i + 1} = (-1) + i Delta x ).

مجموع ريمان المقابل لقاعدة اليد اليمنى هو (متبوعًا بالتبسيط):

[ begin {align} int _ {- 1} ^ 5 x ^ 3dx & almost sum_ {i = 1} ^ nf (x_ {i + 1}) Delta x & = sum_ {i = 1} ^ nf (-1 + i Delta x) Delta x & = sum_ {i = 1} ^ n (-1 + i Delta x) ^ 3 Delta x & = sum_ { i = 1} ^ n big ((i Delta x) ^ 3 -3 (i Delta x) ^ 2 + 3i Delta x -1 big) Delta x quad text { scriptsize (وزع الآن $ Delta x $)} & = sum_ {i = 1} ^ n big (i ^ 3 Delta x ^ 4 - 3i ^ 2 Delta x ^ 3 + 3i Delta x ^ 2 - Delta x big) quad text { scriptsize (الآن تقسيم التلخيص)} & = Delta x ^ 4 sum_ {i = 1} ^ ni ^ 3 -3 Delta x ^ 3 sum_ {i = 1} ^ ni ^ 2 + 3 Delta x ^ 2 sum_ {i = 1} ^ ni - sum_ {i = 1} ^ n Delta x & = Delta x ^ 4 left ( frac { n (n + 1)} {2} right) ^ 2 -3 Delta x ^ 3 frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} + 3 Delta x ^ 2 frac { n (n + 1)} {2} - n Delta x text {(استخدم $ Delta x = 6 / n $)} & = frac {1296} {n ^ 4} cdot frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2} {4} - 3 frac {216} {n ^ 3} cdot frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} + 3 frac {36} {n ^ 2} frac {n (n + 1)} 2 -6 text {(الآن قم بإجراء قدر كبير من الجبر للتبسيط)} & = 156 + frac {378 } n + frac {216} {n ^ 2} end {align} ]

مرة أخرى ، وجدنا صيغة مضغوطة لتقريب التكامل المحدد مع (n ) فترات فرعية متباعدة بشكل متساوٍ وقاعدة اليد اليمنى. باستخدام 10 فترات فرعية ، لدينا تقريب لـ (195.96 ) (هذه المستطيلات موضحة في الشكل ( فهرس الصفحة {11} ). باستخدام (n = 100 ) يعطي تقريبًا لـ (159.802 ).

الشكل ( PageIndex {11} ): تقريب ( int _ {- 1} ^ 5 x ^ 3dx ) باستخدام قاعدة اليد اليمنى و 10 فترات فرعية متباعدة بشكل متساو.

الآن ابحث عن الإجابة الدقيقة باستخدام حد:

$$ int _ {- 1} ^ 5 x ^ 3dx = lim_ {n to infty} left (156 + frac {378} n + frac {216} {n ^ 2} right) = 156 . ]

حدود مبالغ ريمان

لقد استخدمنا حدودًا لتقييم حدود معينة معطاة بالضبط. هل سيعمل هذا دائمًا؟ سوف نظهر ، بالنظر إلى عدم - شروط تقييدية للغاية ، أن نعم ، ستنجح دائمًا.

أوضح المثالان السابقان كيفية تعبير مثل

$$ sum_ {i = 1} ^ n f (x_ {i + 1}) Delta x ]

يمكن إعادة كتابته كتعبير يتضمن صراحة (n ) ، مثل (32/3 (1-1 / n ^ 2) ).

بالنظر إلى هذا الأسلوب ، يمكننا التفكير في الجمع كدالة لـ (n ). تم إعطاء قيمة (n ) (حيث (n ) عدد صحيح موجب) ، ومجموع مناطق (n ) مستطيلات متباعدة بشكل متساوٍ ، باستخدام قواعد اليد اليسرى ، أو اليد اليمنى ، أو قواعد نقطة المنتصف .

بالنظر إلى تكامل محدد ( int_a ^ b f (x) dx ) ، دعنا:

  1. (S_L (n) = sum_ {i = 1} ^ n f (x_i) Delta x ) ، مجموع المستطيلات المتباعدة بشكل متساوٍ والمكونة باستخدام قاعدة اليد اليسرى ،
  2. (S_R (n) = sum_ {i = 1} ^ n f (x_ {i + 1}) Delta x ) ، مجموع المستطيلات المتباعدة بالتساوي باستخدام قاعدة اليد اليمنى ، و
  3. (S_M (n) = sum_ {i = 1} ^ nf left ( frac {x_i + x_ {i + 1}} {2} right) Delta x ) ، مجموع المستطيلات المتباعدة بشكل متساوٍ باستخدام قاعدة نقطة المنتصف.

تذكر تعريف الحد على أنه (n to infty ): ( lim_ {n to infty} S_L (n) = K ) إذا تم إعطاء أي ( epsilon> 0 ) ، هناك موجود (N> 0 ) من هذا القبيل

$$ يسار | S_L (n) -K يمين | < epsilon quad text {when} quad n geq N. ]

تنص النظرية التالية على أنه يمكننا استخدام أي من قواعدنا الثلاث لإيجاد القيمة الدقيقة لتكامل محدد ( int_a ^ b f (x) dx ). كما أنه يذهب خطوتين إلى الأمام. تنص النظرية على أنه لا يلزم تحديد ارتفاع كل مستطيل باتباع قاعدة معينة ، ولكن يمكن أن يكون (f (c_i) ) ، حيث (c_i ) هو أي نقطة في (i ^ text {th} ) الفاصل الزمني الفرعي ، كما تمت مناقشته من قبل Riemann Sums حيث تم تعريفه في التعريف ( PageIndex {1} ).

تمضي النظرية لتوضيح أن المستطيلات لا يجب أن تكون بنفس العرض. باستخدام تدوين التعريف ( PageIndex {1} ) ، دع ( Delta x_i ) للإشارة إلى طول الفاصل الزمني الفرعي (i ^ text {th} ) في قسم ([a، b ] ). الآن دع (|| Delta x || ) يمثل طول أكبر فاصل زمني فرعي في القسم: أي ، (|| Delta x || ) هو الأكبر من جميع ( Delta x_i ) )'س. إذا كان (|| Delta x || ) صغيرًا ، فيجب تقسيم ([a، b] ) إلى العديد من الفترات الفرعية ، حيث يجب أن يكون لكل الفترات الفرعية أطوال صغيرة. "أخذ الحد كـ (|| Delta x || ) يذهب إلى الصفر" يعني أن عدد (n ) الفواصل الفرعية في القسم يتزايد إلى ما لا نهاية ، حيث أن أكبر طول فاصل فرعي أصبح صغيرًا بشكل عشوائي. ثم نفسر التعبير

$$ lim_ {|| Delta x || to 0} sum_ {i = 1} ^ nf (c_i) Delta x_i ]

مثل "حد مجموع المستطيلات ، حيث يمكن أن يكون عرض كل مستطيل مختلفًا ولكنه يصبح صغيراً ، ولا يتم تحديد ارتفاع كل مستطيل بالضرورة بواسطة قاعدة معينة." تنص النظرية على أن مجموع ريمان هذا يعطي أيضًا قيمة التكامل المحدد لـ (f ) over ([a، b] ).

النظرية ( PageIndex {2} ): التكاملات المحددة وحد مجموع ريمان

دع (f ) مستمرًا في الفاصل الزمني المغلق ([a، b] ) ودع (S_L (n) ) و (S_R (n) ) و (S_M (n) ) يكون كما تم تعريفه من قبل. ثم:

  1. ( lim_ {n to infty} S_L (n) = lim_ {n to infty} S_R (n) = lim_ {n to infty} S_M (n) = lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ nf (c_i) Delta x ) ،
  2. ( lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ nf (c_i) Delta x = int_a ^ bf (x) dx $ و٪ $ lim_ {n to infty} S_L (n) = int_a ^ bf (x) dx ).
  3. ( lim _ { | Delta x | to 0} sum_ {i = 1} ^ n f (c_i) Delta x_i = int_a ^ b f (x) dx ).

نلخص هنا ما تعلمناه خلال الأقسام القليلة الماضية.

  • يمكن أن تكون معرفة "المنطقة الواقعة تحت المنحنى" مفيدة. أحد الأمثلة الشائعة هو: المساحة الواقعة أسفل منحنى السرعة هي الإزاحة.
  • لقد حددنا التكامل المحدد ، ( int_a ^ b f (x) dx ) ، ليكون المنطقة الموقعة تحت (f ) على الفاصل ([a، b] ).
  • بينما يمكننا تقريب تكامل محدد بطرق عديدة ، فقد ركزنا على استخدام المستطيلات التي يمكن تحديد ارتفاعاتها باستخدام: قاعدة اليد اليسرى وقاعدة اليد اليمنى وقاعدة النقطة الوسطى.
  • تسمى مجاميع المستطيلات من هذا النوع بمبالغ ريمان.
  • يمكن حساب القيمة الدقيقة للتكامل المحدد باستخدام حد مجموع ريمان. نستخدم بشكل عام إحدى الطرق المذكورة أعلاه لأنها تجعل الجبر أبسط.

تعلمنا أولاً عن المشتقات من خلال النهايات ثم تعلمنا القواعد التي جعلت العملية أبسط. نحن نعرف طريقة لتقييم تكامل محدد باستخدام النهايات ؛ في القسم التالي سنرى كيف تجعل النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل العملية أبسط. السمة الرئيسية لهذه النظرية هي ارتباطها بين التكامل غير المحدد والتكامل المحدد.


مبالغ ريمان

افترض أن الدالة $ f $ متصلة وغير سالبة في فترة $ [a، b] $.

لنحسب & # 8217s مساحة المنطقة $ R $ المحددة أعلاه بالمنحنى $ y = f (x) $ ، أسفل المحور x ، وعلى الجانبين بالخطوط $ x = a $ و $ x = b $.

سنحصل على هذه المساحة كحد لمجموع مساحات المستطيلات على النحو التالي:

أولاً ، سنقسم الفاصل الزمني $ [a، b] $ إلى $ n $ subintervals [[x_0، x_1]، [x_1، x_2]، ldots، [x_، x_n] ] حيث $ a = x_0 & lt x_1 & lt ldots & lt x_n = b $. (وهذا ما يسمى ب تقسيم من الفاصل الزمني.) لا يلزم أن تكون جميع الفواصل الزمنية بنفس الطول ، لذا استدع أطوال الفترات $ Delta x_1 $ ، $ Delta x_2 $ ، ldots ، $ Delta x_n $ ، على التوالي. يقسم هذا القسم المنطقة $ R $ إلى $ n $ strips.

بعد ذلك ، دع & # 8217s تقرب كل شريط بمستطيل بارتفاع يساوي ارتفاع المنحنى $ y = f (x) $ عند نقطة عشوائية في الفاصل الزمني الفرعي. أي ، بالنسبة إلى الفاصل الفرعي الأول $ [x_0، x_1] $ ، حدد بعض $ x_1 ^ ast $ الموجود في هذا الفاصل الزمني الفرعي واستخدم $ f (x_1 ^ ast) $ لارتفاع المستطيل الأول. مساحة هذا المستطيل هي $ f (x_1 ^ ast) Delta x_1 $.

وبالمثل ، لكل فترة فرعية $ [x_، x_i] $ ، سنختار بعض $ x_i ^ ast $ ونحسب مساحة المستطيل المقابل لتكون $ f (x_i ^ ast) Delta x_i $. المساحة التقريبية للمنطقة $ R $ هي إذن المجموع $ sum_^ n و (x_i ^ ast) Delta x_i $ من هذه المستطيلات.

اعتمادًا على النقاط التي نختارها لـ $ x_i ^ ast $ ، قد يكون تقديرنا كبيرًا جدًا أو صغيرًا جدًا. على سبيل المثال ، إذا اخترنا كل $ x_i ^ ast $ ليكون النقطة في فترته الفرعية مع إعطاء أقصى الارتفاع ، سنقوم بالغ في التقدير مساحة $ R $. (وهذا ما يسمى ب المبلغ العلوي.)

من ناحية أخرى ، إذا اخترنا كل $ x_i ^ ast $ لتكون النقطة في فاصلها الفرعي مما يعطي تقليد الارتفاع ، سنقوم يقلل من شأن مساحة $ R $. (وهذا ما يسمى ب مبلغ أقل.)

عندما يتم اختيار النقاط $ x_i ^ ast $ عشوائيًا ، يكون المجموع $ sum_^ n f (x_i ^ ast) يُطلق على Delta x_i $ اسم a ريمان سوم

وسيعطي تقديرًا تقريبيًا لمنطقة $ R $ الواقعة بين المجاميع الدنيا والعليا. يمكن اعتبار المبالغ العلوية والسفلية مبالغ ريمان محددة.

نظرًا لتقليل عرض المستطيلات ، نتوقع أن نتمكن من تقريب مساحة $ R $ بشكل أفضل. في الواقع ، كحد أقصى $ Delta x_i rightarrow 0 $ ، نحصل على المساحة الدقيقة $ R $ ، والتي نشير إليها بواسطة التكامل المحدد $ int_a ^ b f (x) ، dx $. هذا هو ، [ int_a ^ b f (x) ، dx = lim_ يسار ( sum_^ n و (x_i ^ ast) Delta x_i right). ]

تلاحظ

  • لا يزال تعريف التكامل المحدد قائمًا إذا افترض $ f (x) $ قيمًا موجبة وسالبة على $ [a، b] $. حتى أنه يظل صحيحًا إذا كان $ f (x) $ يحتوي على عدد محدود من الانقطاعات ولكنه محدود.

يسمح لك الاستكشاف التالي بتقريب المساحة الواقعة تحت المنحنيات المختلفة تحت الفاصل $ [0، 5] $. يمكنك إنشاء قسم من الفاصل الزمني وعرض مبلغ أعلى ، أو مجموع أقل ، أو مجموع Riemann آخر باستخدام هذا القسم. سيعطيك الاستكشاف المنطقة الدقيقة ويحسب مساحة التقريب. لإنشاء قسم ، اختر نوع المجموع الذي ترغب في رؤيته وانقر بالماوس بين تسميات القسم $ x_0 $ و $ x_1 $.

دع $ f $ يتم تعريفه على $ [a، b] $ ودعنا $$ يكون قسمًا من $ [a، b] $.

لكل دولار [x_، x_i] $، دع $ x_i ^ ast in [x_، x_i] $.

ثم التكامل المحدد لـ $ f $ على $ [a، b] $ كما هو معرف كـ [ int_a ^ b f (x) ، dx = lim_ يسار ( sum_^ n و (x_i ^ ast) Delta x_i right). ]


5.3: مجموع ريمان

الكثير من حساب التفاضل والتكامل الثاني مكرس للتكامل المحدد لأن هذا هو المفهوم المطلوب للتعامل مع التطبيقات مثل المساحة والحجم والعمل وما إلى ذلك (كما هو معروض في الفصل 6 من النص). من أجل معرفة التكامل المحدد الذي يجب استخدامه في تطبيق معين ، يحتاج المرء إلى فهم مبالغ Riemann المستخدمة لتحديد التكامل المحدد (انظر القسم 5.5 من النص) وتقدير ما يمثله كل مصطلح في مجموع Riemann.

في هذا المعمل ، نأخذ في الاعتبار مجاميع ريمان المرتبطة بمشكلات المنطقة (انظر القسمين 5.3 و 5.4 من النص لمعرفة الخلفية المناسبة). كما رأيت ، في مشكلة منطقة ، يمثل كل مصطلح من مجموع ريمان مساحة المستطيل ويعطي مجموع ريمان نفسه تقريبًا للمنطقة قيد المناقشة. نحن الآن ننظر بمزيد من التفصيل في هذه التقريبات المستطيلة. لاحظ أن جميع التقريبات المستطيلة التي تم النظر فيها في هذا المختبر تعتمد على تقسيم الفاصل الزمني المعني إلى n فترات فرعية متساوية الطول.

قاعدة نقطة المنتصف ارتفاع المستطيل هو قيمة الدالة f (x) عند نقطة المنتصف للفاصل الزمني الفرعي.

تحتوي حزمة الطالب Maple على أوامر لتصور هذه التقريبات الثلاث المستطيلة للمناطق. لاستخدامها ، يجب أولاً تحميل الحزمة عبر الأمر with. ثم جرب الأوامر الثلاثة الواردة أدناه. تأكد من فهم الاختلافات بين المقاربات المستطيلة الثلاثة المختلفة. توقف لحظة لترى أن القواعد المختلفة تختار المستطيلات التي في كل حالة ستقلل أو تبالغ في تقدير المنطقة.

هناك أيضًا أوامر Maple leftsum و rightsum و middlesum لتلخيص مساحات المستطيلات ، انظر الأمثلة أدناه. لاحظ استخدام Evalf للحصول على إجابات عددية.

يجب أن يكون واضحًا من الرسوم البيانية أن جمع مساحات المستطيلات يقارب فقط المنطقة الواقعة أسفل المنحنى. ومع ذلك ، من خلال زيادة عدد الفترات الفرعية ، يمكن زيادة دقة التقريب. تسمح جميع أوامر Maple الموصوفة حتى الآن في هذا المعمل باستخدام وسيطة ثالثة لتحديد عدد الفترات الفرعية. الافتراضي هو 4 فترات فرعية. انظر المثال أدناه للمنطقة تحت y = x من x = 0 إلى x = 2 باستخدام الأمر rightsum مع 4 و 10 و 20 و 100 فترات فرعية. (نظرًا لأن هذه المنطقة تصف مثلثًا قائمًا بارتفاع 2 وقاعدة 2 ، يمكن بسهولة حساب هذه المنطقة على أنها 2 بالضبط) جربها بنفسك بأوامر leftsum و middlesum.

نظرًا لأننا ، في هذا المثال التافه ، نعلم أن المنطقة تساوي 2 بالضبط ، يبدو أنه كلما زاد عدد الفترات الفرعية ، يصبح تقريب المستطيل أكثر دقة. ماذا سيحدث في منطقة ليست بهذه التافهة؟ يصف القسم التالي طريقة لتقييم دقة زوج من التقريبات المستطيلة.

يجب أن يكون واضحًا أنه إذا كانت المنطقة التي يتم تقريبها تحتوي على وحدات مربعة من المساحة ، إذن

بشكل عام ، من المعقد إلى حد ما حساب المبالغ العلوية والسفلية. ومع ذلك ، إذا كانت f (x) رتيبة ، فإن الوضع يكون أسهل بكثير. إذا كانت f (x) تتزايد في الفترة [a ، b] ، فإن المجموع الأعلى هو المجموع الصحيح والمجموع الأدنى هو المجموع الأيسر فقط. في المثال الأخير مع f (x) = x ، تحركت المجاميع الصحيحة (وهي المبالغ العليا) لأسفل باتجاه قيمة A مع زيادة عدد الفترات الفرعية. ماذا يحدث مع المجاميع اليسرى (وهي مبالغ أقل) عندما يزداد عدد الفترات الفرعية n؟ لا تولد تقديرات المنطقة باستخدام هاتين القاعدتين تقديرات تقريبية تكون بالضرورة أكثر أو أقل دقة من القواعد الثلاثة الأولى المقدمة. ومع ذلك ، فهي مفيدة من حيث أنها تعطي حدودًا سفلية وعلوية لماهية المنطقة الحقيقية.


محتويات

  • إذا كانت x i ∗ = x i - 1 < displaystyle x_^ <*> = س_> للجميع أنا، من ثم س يسمى أ حكم اليسار[2] [3] أو غادر مجموع ريمان.
  • إذا كانت x i ∗ = x i < displaystyle x_^ <*> = س_> للجميع أنا، من ثم س يسمى أ القاعدة الصحيحة[2] [3] أو مجموع ريمان الصحيح.
  • إذا كانت x i ∗ = (x i + x i - 1) / 2 ^ <*> = (س_+ x_) / 2> للجميع أنا، من ثم س يسمى قاعدة نقطة الوسط[2] [3] أو مجموع ريمان الأوسط.
  • إذا كانت f (x i ∗) = sup f ([x i - 1، x i]) < displaystyle f (x_^ <*>) = sup f ([x_، x_])> (أي ، سيادة F على [x i - 1، x i] ، x_]>) ، إذن س يتم تعريفه على أنه مجموع ريمان العلوي أو مجموع دربوكس العلوي.
  • إذا كانت f (x i ∗) = inf f ([x i - 1، x i]) ^ <*>) = inf f ([x_، x_])> (وهذا هو infimum of F فوق [x i - 1، x i] ، x_]>) ، إذن س يعرف بأنه أ مجموع ريمان السفلي أو مجموع دربوكس السفلي.

كل هذه الطرق هي من بين الطرق الأساسية لتحقيق التكامل العددي. إذا تحدثنا بشكل فضفاض ، فإن دالة ريمان قابلة للتكامل إذا اجتمعت جميع مجاميع Riemann لأن التقسيم "يصبح أدق وأدق".

بينما لم يتم اشتقاقه كمجموع Riemann ، فإن متوسط ​​مجموع مجموع Riemann الأيمن والأيسر هو مجموع شبه منحرف وهي واحدة من أبسط الطرق العامة لتقريب التكاملات باستخدام المتوسطات الموزونة. ويتبع ذلك في التعقيد قاعدة سمبسون وصيغ نيوتن كوتس.

عادةً ما يتم التعامل مع الطرق الأربعة لتجميع ريمان بشكل أفضل باستخدام أقسام متساوية الحجم. الفاصل [أ, ب] لذلك ينقسم إلى n < displaystyle n> فترات فرعية ، كل منها بطول

ستكون النقاط الموجودة في القسم بعد ذلك

أ ، أ + س ، أ + 2 س ، ... ، أ + (ن - 2) س ، أ + (ن - 1) س ، ب.

تحرير مجموع ريمان الأيسر

بالنسبة لمجموع Riemann الأيسر ، فإن تقريب الدالة بقيمتها عند نقطة النهاية اليسرى يعطي مستطيلات متعددة مع القاعدة Δx والارتفاع F(أ + أناΔx). القيام بهذا من أجل أنا = 0, 1, …, ن - 1 ، وجمع المساحات الناتجة يعطي

مجموع Riemann الأيسر يرقى إلى المبالغة في التقدير إذا F يتناقص بشكل رتيب في هذه الفترة ، ويقلل من التقدير إذا كان يتزايد بشكل رتيب.

تعديل مجموع ريمان الصحيح

F يتم هنا تقريبه بالقيمة الموجودة عند نقطة النهاية اليمنى. هذا يعطي مستطيلات متعددة القاعدة Δx والارتفاع F(أ + أنا Δx). القيام بهذا من أجل أنا = 1, …, ن، وجمع المناطق الناتجة ينتج

مبلغ Riemann الصحيح يرقى إلى الاستهانة إذا F يتناقص بشكل رتيب ، ومبالغة في التقدير إذا كان يتزايد بشكل رتيب. سيكون خطأ هذه الصيغة

تحرير قاعدة نقطة الوسط

التقريب F في منتصف فترات يعطي F(أ + Δx/ 2) للفترة الأولى ، للفترة التالية F(أ + 3Δx/ 2) وهكذا دواليك حتى F(ب - Δx/ 2). يعطي تلخيص المجالات

سيكون خطأ هذه الصيغة

تحرير قاعدة شبه منحرف

في هذه الحالة ، قيم الدالة F في الفاصل الزمني يتم تقريبها بمتوسط ​​القيم عند نقطتي النهاية اليمنى واليسرى. بنفس الطريقة المذكورة أعلاه ، عملية حسابية بسيطة باستخدام صيغة المنطقة

لشكل شبه منحرف مع جوانب متوازية ب1, ب2 والارتفاع ح ينتج عنه

سيكون خطأ هذه الصيغة

التقريب الذي تم الحصول عليه باستخدام قاعدة شبه المنحرف لوظيفة ما هو نفسه متوسط ​​مجموع اليد اليسرى واليد اليمنى لتلك الوظيفة.

بالنسبة للمجال ذي الحجم المحدود ، إذا تقلص الحجم الأقصى لعنصر التقسيم إلى الصفر ، فهذا يعني أن عدد عناصر القسم ينتقل إلى ما لا نهاية. بالنسبة للأقسام المحدودة ، فإن مجاميع Riemann دائمًا ما تكون تقريبية للقيمة المحددة وهذا التقريب يصبح أفضل كلما أصبح القسم أدق. تساعد الرسوم المتحركة التالية في توضيح كيف أن زيادة عدد الأقسام (مع خفض الحد الأقصى لحجم عنصر القسم) تقرب بشكل أفضل "المنطقة" أسفل المنحنى:

نظرًا لأنه من المفترض أن تكون الوظيفة الحمراء هنا دالة سلسة ، فإن مجاميع Riemann الثلاثة ستتقارب مع نفس القيمة التي يذهب إليها عدد الأقسام إلى ما لا نهاية.

لنأخذ على سبيل المثال المنطقة الواقعة تحت منحنى ذ = x 2 بين 0 و 2 يمكن حسابها من الناحية الإجرائية باستخدام طريقة ريمان.

إذا تم النظر إلى الحد على أنه ن → ∞ ، يمكن استنتاج أن التقريب يقترب من القيمة الفعلية للمنطقة الواقعة أسفل المنحنى مع زيادة عدد الصناديق. بالتالي:

تتفق هذه الطريقة مع التكامل المحدد كما هو محسوب بطرق أكثر ميكانيكية:

نظرًا لأن الوظيفة مستمرة وتتزايد بشكل رتيب على الفاصل الزمني ، فإن مجموع ريمان الأيمن يبالغ في تقدير التكامل بأكبر قدر (في حين أن مجموع ريمان الأيسر سيقلل من قيمة التكامل بأكبر قدر). هذه الحقيقة ، التي تتضح بشكل بديهي من الرسوم البيانية ، توضح كيف تحدد طبيعة الوظيفة مدى دقة تقدير التكامل. في حين أن مجاميع ريمان البسيطة واليمنى واليسرى غالبًا ما تكون أقل دقة من التقنيات الأكثر تقدمًا لتقدير التكامل مثل قاعدة شبه منحرف أو قاعدة سيمبسون.

دالة المثال لها مضاد مشتق يسهل العثور عليه ، لذا فإن تقدير التكامل بواسطة مجموع ريمان هو في الغالب تمرين أكاديمي ، ولكن يجب أن نتذكر أنه ليست كل الوظائف لها مشتقات مضادة لذلك فإن تقدير تكاملاتها عن طريق الجمع مهم عمليًا.

الفكرة الأساسية وراء مجموع Riemann هو "تقسيم" المجال عبر قسم إلى أجزاء ، وضرب "حجم" كل قطعة في بعض القيمة التي تأخذها الوظيفة على تلك القطعة ، وجمع كل هذه المنتجات. يمكن تعميم هذا للسماح بمجموع Riemann للوظائف على المجالات ذات أكثر من بعد واحد.

في حين أن عملية تقسيم المجال سهلة الفهم بشكل حدسي ، فإن التفاصيل الفنية لكيفية تقسيم المجال تصبح أكثر تعقيدًا من الحالة ذات البعد الواحد وتتضمن جوانب الشكل الهندسي للمجال. [4]

بعدين تحرير

ثلاثة أبعاد تحرير

عدد تعسفي من الأبعاد تحرير

تتبع مجاميع ريمان ذات الأبعاد الأعلى نفسًا من واحد إلى اثنين إلى ثلاثة أبعاد. بالنسبة للبعد التعسفي ، n ، يمكن كتابة مجموع ريمان كـ


استخدام التعريف في تقييم تكامل محدد

في كثير من الأحيان ، سيتم طرح أسئلة على الطلاب مثل: باستخدام تعريف التكامل المحدد ، ابحث عن المنطقة الموجودة أسفل منحنى الوظيفة f (x) = x 2 < displaystyle f (x) = x ^ <2>> على الفاصل الزمني [0، 3] < displaystyle [0،3]> باستخدام نقاط النهاية اليمنى.

بدلاً من استخدام القواعد "الأسهل" ، مثل قاعدة القوة والنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل ، يتطلب ذلك منا استخدام التعريف المدرج للتو. الخطوة الأولى هي إعداد المجموع. لدينا أ = 0 ، ب = 3 & # 8201 و n هو مجرد رقم طبيعي عشوائي (أو عد). هذا يخبرنا بذلك

هذا يسمح لنا ببناء المجموع. بالنسبة إلى التعسفي n ، < displaystyle n ،> سيكون لدينا

باستخدام هذه النتيجة ، لدينا الآن

علاوة على ذلك ، لدينا بعض القواعد الأساسية للتجميع. هذه القواعد منطقية في تدوين أبسط ، مثل

تعمل بنفس الطريقة في تدوين سيجما ، بمعنى


حساب التفاضل والتكامل في وقت مبكر: حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات للعلوم الاجتماعية

تتمثل إحدى طرق حساب التفاضل والتكامل الأساسية في الإجابة أولاً على مشكلة معينة بتقريب ، ثم تنقيح هذا التقريب لجعله أفضل ، ثم استخدام الحدود في عملية التنقية للعثور على الإجابة الدقيقة. هذا هو بالضبط ما سنفعله هنا لتطوير تقنية للعثور على منطقة مناطق أكثر تعقيدًا.

ضع في اعتبارك المنطقة الواردة في الشكل 1.1 ، وهي المنطقة الواقعة أسفل (y = 4x-x ^ 2 ) في ( left [0،4 right] text <.> ) ما هي المنطقة الموقعة من هذا المنطقة عندما تكون المنطقة فوق المحور (س ) موجبة وتحت السالب؟

نبدأ بالتقريب. يمكننا إحاطة المنطقة بمستطيل بارتفاع وعرض (4 ) وإيجاد المساحة تقريبًا (16 ) وحدة مربعة. من الواضح أن هذا ملف الإفراط في التقريب نقوم بتضمين منطقة في المستطيل ليست تحت القطع المكافئ. كيف يمكننا تحسين التقريب لجعله أفضل؟ مفتاح هذا القسم هو هذه الإجابة: استخدم المزيد من المستطيلات.

لنستخدم أربعة مستطيلات بعرض متساوٍ من (1 text <.> ) هذا يقسم الفاصل ( left [0،4 right] ) إلى أربعة فترات فرعية، ( left [0،1 right] text <،> ) ( left [1،2 right] text <،> ) ( left [2،3 right] ) و ( left [3،4 right] text <.> ) سنرسم مستطيلاً في كل فترة فرعية.

هناك ثلاث طرق شائعة لتحديد ارتفاع هذه المستطيلات: حكم اليد اليسرى، ال حكم اليد اليمنى، و ال قاعدة نقطة المنتصف:

ال حكم اليد اليسرى يقول لتقييم الوظيفة عند نقطة النهاية اليسرى للفاصل الزمني الفرعي وجعل المستطيل بهذا الارتفاع. في الشكل 1.2 ، يتم رسم المستطيل المسمى "LHR" على الفاصل الزمني ( left [2،3 right] ) بارتفاع تحدده قاعدة اليد اليسرى ، أي (f (2) = 4 text < .> )

ال حكم اليد اليمنى يقول العكس: في كل فترة فرعية ، قم بتقييم الوظيفة عند نقطة النهاية اليمنى واجعل المستطيل بهذا الارتفاع. في الشكل 1.2 ، يتم رسم المستطيل المسمى "RHR" على الفاصل الزمني ( left [0،1 right] ) بارتفاع تحدده قاعدة اليد اليمنى ، أي (f (1) = 3 text < .> )

ال قاعدة نقطة المنتصف يقول أنه في كل فترة فرعية ، قم بتقييم الوظيفة عند نقطة المنتصف واجعل المستطيل بهذا الارتفاع. في الشكل 1.2 ، يتم رسم المستطيل المسمى "MPR" على الفاصل ( left [1،2 right] ) بارتفاع تحدده قاعدة نقطة الوسط ، أي (f (1.5) = 3.75 text <. > )

هذه هي القواعد الثلاث الأكثر شيوعًا لتحديد ارتفاعات تقريب المستطيلات ، لكننا لسنا مجبرين على استخدام إحدى هذه الطرق الثلاث. في الشكل 1.2 ، يتم رسم المستطيل المسمى "آخر" على الفاصل ( left [3،4 right] ) مع تحديد ارتفاع باختيار عشوائي (x ) - قيمة على الفاصل ([3 ، 4] text <.> ) القيمة المختارة (x ) - (3.54 text <،> ) والتي تنتج ارتفاع (f (3.54) text <.> )

استخدم المنزلقات للتحقق من قاعدة اليد اليسرى وقاعدة اليد اليمنى وقاعدة نقطة المنتصف. يظهر الرسم البياني لـ (y = 2 sin (x) ).

سيقرب المثال التالي المنطقة الواقعة تحت (f (x) = 4x-x ^ 2 ) باستخدام هذه القواعد.

مثال 1.4. استخدام قواعد اليد اليسرى واليد اليمنى ونقطة المنتصف.

تقريب المساحة الموجودة أسفل (f (x) = 4x-x ^ 2 ) على الفاصل ( left [0،4 right] ) باستخدام قاعدة اليد اليسرى وقاعدة اليد اليمنى وقاعدة نقطة المنتصف ، باستخدام أربع فترات فرعية متباعدة بشكل متساو.

نقسم الفاصل ( left [0،4 right] ) إلى أربع فترات فرعية كما في السابق. في الشكل 1.3 ، نرى أربعة مستطيلات مرسومة على (f (x) = 4x-x ^ 2 ) باستخدام قاعدة اليد اليسرى. (مناطق المستطيلات معطاة في كل شكل).

لاحظ كيف أنه في الفاصل الفرعي الأول ، ([0،1] text <،> ) يكون للمستطيل ارتفاع (f (0) = 0 text <.> ) نجمع مناطق كل مستطيل (الارتفاع × العرض) لتقريب قاعدة اليد اليسرى لدينا:

يوضح الشكل 1.4 أربعة مستطيلات مرسومة تحت (f (x) ) باستخدام قاعدة اليد اليمنى ، لاحظ كيف أن الفاصل الزمني الفرعي ([3،4] ) له مستطيل ارتفاعه 0.

في هذا الشكل ، يبدو أن هذه المستطيلات هي صورة معكوسة لتلك الموجودة في الشكل 1.3. (هذا بسبب تناظر منطقتنا المظللة.) يعطي التقريب نفس الإجابة كما كان من قبل ، على الرغم من حسابه بطريقة مختلفة:

يوضح الشكل 1.5 أربعة مستطيلات مرسومة تحت (f (x) ) باستخدام قاعدة نقطة الوسط.

يعطي هذا تقريبًا للمنطقة على النحو التالي:

توفر طرقنا الثلاث تقريبين للمنطقة الواقعة تحت (f (x) = 4x-x ^ 2 text <:> ) (10 ​​) و (11 text <.> )

من الصعب في هذه اللحظة تحديد أي تقريب أفضل: (10 ​​) أم (11 نص <؟> ) يمكننا الاستمرار في تحسين التقريب باستخدام المزيد من المستطيلات. ومع ذلك ، يمكن أن يصبح التدوين غير عملي ، حيث نضيف قوائم أطول وأطول من الأرقام. ونحن نقدم تدوين الجمع (وتسمى أيضا تدوين سيجما) لحل هذه المشكلة.

التعريف 1.5. تدوين سيجما.

بالنظر إلى المجموع (a_1 + a_2 + a_3 + dots + a_+ أ text <،> ) نستخدمها لكتابة المجموع في صيغة مضغوطة

( دس < مجموع_^ a_i> ) يُقرأ "المجموع كما (i ) ينتقل من (1 ) إلى (n ) من (a_i )" ،
( ds sum ) هو الحرف اليوناني سيجما ويستخدم كـ ،
المتغير (i ) يسمى the ويأخذ قيم عدد صحيح فقط ،
الفهرس (i ) يبدأ في (i = 1 ) وينتهي عند (i = n text <،> ) و
(a_i ) يمثل صيغة المصطلح (i ) - th.

غالبًا ما يُشار إلى الفهرس بواسطة (i text <،> ) (k ) أو (n ) ويجب كتابته أسفل رمز الجمع.

لا تخلط الفهرس مع القيمة النهائية للفهرس التي يجب كتابتها أعلى رمز الجمع.

يمكن أن يبدأ الفهرس من أي عدد صحيح ، ولكن غالبًا ما نكتب المجموع بحيث يبدأ الفهرس من 0 أو 1.

لنتدرب على استخدام هذا الترميز.

مثال 1.6. باستخدام تدوين الجمع.

دع الأرقام () يتم تعريفه على أنه (a_i = 2i-1 ) للأعداد الصحيحة (i text <،> ) حيث (i geq 1 text <.> ) لذا (a_1 = 1 text <، > ) (a_2 = 3 text <،> ) (a_3 = 5 text <،> ) وما إلى ذلك (الإخراج هو الأعداد الصحيحة الفردية الموجبة). قم بتقييم الملخصات التالية:

لاحظ أن قيمة البداية مختلفة عن 1:

تعطي النظريات التالية بعض الخصائص والصيغ للتلخيصات التي تسمح لنا بالعمل معها دون كتابة مصطلحات فردية. سوف تتبع الأمثلة.

نظرية 1.7. خصائص الجمع.

( دس مجموع_^ n (a_i pm b_i) = sum_^ n a_i pm sum_^ n ب_i )

( دس مجموع_^ n c cdot a_i = c cdot sum_^ n a_i )

( دس مجموع_^ j a_i + sum_^ n a_i = sum_^ n a_i )

نظرية 1.8. صيغ التلخيص.
مثال 1.9. تقييم الملخصات.

لقد حصلنا على نفس الإجابة دون كتابة جميع المصطلحات الستة. عند التعامل مع قيم صغيرة لـ (n text <،> ) قد يكون من الأسرع كتابة المصطلحات يدويًا. ومع ذلك ، فإن النظريات 1.7 و 1.8 مهمة للغاية عند التعامل مع مبالغ كبيرة كما سنرى قريبًا.

المثال 1.10. تكوين صيغ قاعدة اليد اليمنى واليسرى ونقطة المنتصف.

لنفترض أن دالة متصلة (y = f (x) ) محددة على الفاصل ([0،4] text <.> ) قم بإنشاء صيغ الجمع لتقريب مساحة (f ) على المعطى الفاصل الزمني باستخدام قواعد اليد اليمنى واليسرى ونقطة المنتصف.

سنفعل بعض التحضير الدقيق. نبدأ بخط الأعداد حيث ( left [0،4 right] ) مقسم إلى ستة عشر فواصل فرعية متباعدة بشكل متساوٍ مع قسم (P = > نص <.> )

نشير إلى (0 ) كـ (x_1 text <> ) لقد وضعنا علامة على قيم (x_5 text <،> ) (x_9 text <،> ) (x_ <13> ) و (x_ <17> نص <.> ) يمكننا تحديدها جميعًا ، لكن الرقم سيصبح مزدحمًا. في حين أنه من السهل تحديد أن (x_ <10> = 2.25 text <،> ) بشكل عام ، فإننا نريد طريقة لتحديد قيمة (x_i ) دون الرجوع إلى الشكل. انصح:

لذا (x_ <10> = x_1 + 9 (4/16) = 2.25 نص <.> )

إذا قمنا بتقسيم ( left [0،4 right] ) إلى 100 فترات فرعية متباعدة بشكل متساوٍ مع القسم (P = > text <،> ) سيكون لكل فترة فرعية طول ( Delta x = 4/100 = 0.04 text <.> ) يمكننا حساب (x_ <32> ) كـ

(كان ذلك أسرع بكثير من إنشاء رسم تخطيطي أولاً).

معطى أي التقسيم الفرعي ( left [0،4 right] text <،> ) الفاصل الفرعي الأول هو ( left [x_1، x_2 right] text <> ) والثاني هو ( left [x_2 ، x_3 right] text <> ) الفاصل الزمني الفرعي (i ^ text ) هو ( left [x_i، x_ right] text <.> ) الآن تذكر عملنا في المثال 1.4 والأشكال 1.3 و 1.4 و 1.5.

عند استخدام قاعدة اليد اليسرى ، سيكون ارتفاع المستطيل (i ^ text ) (f (x_i) text <.> )

عند استخدام قاعدة اليد اليمنى ، سيكون ارتفاع المستطيل (i ^ text ) (f (x_)) نص <.> )

عند استخدام قاعدة نقطة الوسط ، سيكون ارتفاع المستطيل (i ^ text ) ( ds f left ( frac<>> 2 right) text <.> )

وبالتالي يمكن التعبير عن تقريب المنطقة الواقعة تحت (f ) في ( left [0،4 right] ) بستة عشر فواصلًا فرعية متباعدة بشكل متساوٍ على النحو التالي ، حيث ( Delta x = 4/16 = 1/4 نص <:> )

قاعدة اليد اليسرى: ( دس مجموع_^ <16>f(x_i)cdotfrac<1> <4> )
قاعدة اليد اليمنى: ( دس مجموع_^ <16> f (x_) cdot فارك <1> <4> )
قاعدة نقطة المنتصف: ( دس مجموع_^ <16> f left ( frac<>> 2 right) cdot frac <1> <4> )

نستخدم هذه الصيغ في المثال التالي.

المثال 1.11. تقريب المساحة باستخدام المجاميع.

قرب المساحة الموجودة أسفل (f (x) = 4x-x ^ 2 ) في ( left [0،4 right] ) باستخدام قاعدة اليد اليمنى وصيغ الجمع مع ستة عشر و 1000 فاصل متساوٍ.

باستخدام ستة عشر فترة متباعدة بشكل متساوٍ وقاعدة اليد اليمنى ، يمكننا تقريب المنطقة كـ

لدينا ( Delta x = 4/16 = 0.25 text <.> ) منذ (x_i = 0+ (i-1) Delta x text <،> ) لدينا

باستخدام صيغ الجمع ، ضع في اعتبارك:

تمكنا من تلخيص مناطق ستة عشر مستطيلاً بقليل من الحساب. تم رسم الدالة والمستطيلات الستة عشر أدناه. في حين أن بعض المستطيلات تزيد بشكل تقريبي عن المنطقة ، فإن البعض الآخر يقارب المنطقة (بنفس المقدار تقريبًا). وبالتالي فإن مساحتنا التقريبية (10.625 ) من المحتمل أن تكون قيمة تقريبية جيدة إلى حد ما.

لاحظ أنه من خلال تغيير (16 ) إلى (1،000 ) (وتغيير قيمة ( Delta x )) بشكل مناسب ، يمكننا استخدام المعادلة أعلاه لتلخيص (1000 ) مستطيلات! لاحظ الآن أن ( Delta x = 4/1000 = 0.004 text <:> )

باستخدام العديد والعديد من المستطيلات ، لدينا تقريب جيد على الأرجح للمنطقة الواقعة تحت (f (x) = 4x-x ^ 2 ) من ( حوالي 10.666656 text <.> )

قبل المثال أعلاه ، ذكرنا مجموع قواعد اليد اليسرى واليد اليمنى وقواعد نقطة الوسط في المثال 1.10. كان لكل منها نفس الهيكل الأساسي ، والذي كان:

كل مستطيل له نفس العرض ، والذي أشرنا إليه باسم ( Delta x text <،> ) و

يتم تحديد ارتفاع كل مستطيل من خلال تقييم (f (x) ) عند نقطة معينة في كل فترة فرعية. على سبيل المثال ، تنص قاعدة اليد اليسرى على أن ارتفاع كل مستطيل يتم تحديده من خلال تقييم (f (x) ) عند نقطة النهاية اليسرى للفاصل الزمني الفرعي الذي يعيش عليه المستطيل.

يمكن تقسيم الفاصل الزمني ( left [a، b right] ) بفترات فرعية ليس لها نفس العرض. نشير إلى طول الفترة الفرعية الأولى كـ ( Delta x_1 text <،> ) طول الفترة الفرعية الثانية كـ ( Delta x_2 text <،> ) وهكذا ، مع إعطاء طول (i ^ text ) الفاصل الزمني الفرعي كـ ( Delta x_i text <.> ) أيضًا ، يمكن للمرء تحديد ارتفاع كل مستطيل من خلال تقييم (f (x) ) في أي أشر في الفاصل الزمني الفرعي (i ^ text ). نشير إلى النقطة التي تم انتقاؤها في الفترة الفرعية الأولى على أنها (c_1 text <،> ) النقطة المختارة في الفاصل الزمني الثاني كـ (c_2 text <،> ) وما إلى ذلك ، مع تمثيل (c_i ) النقطة المنتقاة في الفاصل الزمني الفرعي (i ^ text ). وبالتالي فإن ارتفاع الفاصل الزمني الفرعي (i ^ text ) سيكون (f (c_i) text <،> ) وستكون مساحة المستطيل (i ^ text ) يكون (f (c_i) Delta x_i text <.> )

تمت تسمية مجموع المستطيلات ذات المساحة (f (c_i) Delta x_i ) على اسم عالم الرياضيات جورج فريدريش برنارد ريمان ، كما هو موضح في التعريف التالي.

التعريف 1.12. ريمان سوم.

دع (f (x) ) يتم تعريفه في الفاصل الزمني المغلق ( left [a، b right] ) والسماح (P = <>> ) يكون قسمًا من ( left [a، b right] text <،> ) مع

دع ( Delta x_i ) يشير إلى طول (i ^ text ) subinterval ([x_i، x_] ) والسماح (c_i ) بالإشارة إلى أي قيمة في الفاصل الزمني الفرعي (i ^ text ). المجموع

هو a من (f (x) ) في ( left [a، b right] text <.> )

عادةً ما يتم حساب مجموع ريمان باستخدام إحدى القواعد الثلاث التي قدمناها. توحيد البناء يجعل الحسابات أسهل. قبل استخدام مثال آخر ، دعنا نلخص بعض ما تعلمناه بطريقة مناسبة.

جمع ريمان باستخدام القواعد (يسار - يمين - نقطة المنتصف).

ضع في اعتبارك دالة (f (x) ) محددة في فاصل ( left [a، b right] text <.> ) يتم تقريب المنطقة الواقعة أسفل هذا المنحنى بواسطة

عندما تكون (n ) الفترات الفرعية متساوية في الطول ، ( ds Delta x_i = Delta x = fracn نص <.> )

مصطلح (i ^ text ) من القسم هو (x_i = a + (i-1) Delta x text <.> ) (هذا يجعل (x_) = ب نص <.> ))

مجموع قاعدة اليد اليسرى هو: ( ds sum_^ n f (x_i) Delta x text <.> )

مجموع قاعدة اليد اليمنى هو: ( ds sum_^ ن و (س_) دلتا س نص <.> )

مجموع قاعدة نقطة المنتصف هو: ( ds sum_^ n f left ( frac<>> <2> right) Delta x text <.> )

يوضح الشكل 1.6 المستطيلات التقريبية لمجموع ريمان. في حين أن المستطيلات في هذا المثال لا تقترب جيدًا من المنطقة المظللة ، إلا أنها توضح أن عرض الفاصل الفرعي قد يختلف ويمكن تحديد ارتفاعات المستطيلات دون اتباع قاعدة معينة.

المثال 1.13. تقريب المساحة باستخدام المجاميع.

تقريب المساحة الموجودة أسفل (f (x) = (5x + 2) ) على الفاصل ( left [-2، 3 right] ) باستخدام قاعدة نقطة الوسط وعشرة فترات متساوية التباعد.

بعد المناقشة أعلاه ، لدينا

نظرًا لأننا نستخدم قاعدة نقطة الوسط ، سنحتاج أيضًا إلى (x_) و ( ds frac<>> 2 text <.> ) منذ (x_i = i / 2-5 / 2 text <،> )

نقوم الآن ببناء مجموع ريمان ونحسب قيمته باستخدام صيغ الجمع.

لاحظ الرسم البياني أدناه لـ (f (x) = 5x + 2 ) وتقريب المنطقة باستخدام قاعدة النقطة المتوسطة و 10 فترات فرعية متباعدة بشكل متساوٍ. المناطق التي تم حساب مناطقها هي مثلثات ، مما يعني أنه يمكننا العثور على الإجابة الدقيقة بدون تقنيات الجمع. نجد أن الإجابة الدقيقة هي بالفعل (22.5 text <.> ) إحدى نقاط القوة في قاعدة نقطة المنتصف هي أنه غالبًا ما يتضمن كل مستطيل منطقة لا يجب احتسابها ، ولكنها تفتقد إلى منطقة أخرى يجب أن يتم احتسابها. عندما يكون عرض القسم صغيرًا ، يكون هذان المقداران متساويين تقريبًا وهذه الأخطاء تقريبًا "تلغي بعضها البعض". في هذا المثال ، نظرًا لأن وظيفتنا عبارة عن خط ، فإن هذه الأخطاء متساوية تمامًا وتلغي بعضها البعض ، مما يعطينا الإجابة الدقيقة.

لاحظ أيضًا أنه عندما تكون الدالة سالبة ، يكون للمستطيلات ارتفاع "سالب" ومساحة موقعة سالبة. عندما نحسب مساحة المستطيل ، نستخدم (f (c_i) Delta x text <> ) عندما تكون (f ) سالبة ، يتم حساب المنطقة على أنها سالبة.

لاحظ في المثال السابق أنه بينما استخدمنا عشر فترات متباعدة بشكل متساوٍ ، لم يلعب الرقم "10" دورًا كبيرًا في الحسابات حتى النهاية. يحب علماء الرياضيات الأفكار المجردة ، دعونا نقرب مساحة منطقة أخرى باستخدام (n ) فترات فرعية ، حيث لا نحدد قيمة (n ) حتى النهاية.

المثال 1.14. تقريب المساحة باستخدام المجاميع.

أعد زيارة (f (x) = 4x-x ^ 2 ) على الفاصل الزمني ( left [0، 4 right] ) مرة أخرى. قرب المنطقة الواقعة أسفل هذا المنحنى باستخدام قاعدة اليد اليمنى مع (n ) فواصل فرعية متباعدة بشكل متساوٍ.

نحن نعلم ( Delta x = frac <4-0> = 4 / n text <.> ) نجد أيضًا (x_i = 0 + Delta x (i-1) = 4 (i-1) / n text <.> ) تستخدم قاعدة اليد اليمنى (x_ text <،> ) وهو (x_ = 4i / n text <.> ) نقوم ببناء قاعدة اليد اليمنى Riemann sum على النحو التالي.

والنتيجة هي تركيبة مذهلة وسهلة الاستخدام. لتقريب المنطقة بعشرة فترات فرعية متباعدة بشكل متساوٍ وقاعدة اليد اليمنى ، اضبط (n = 10 ) واحسبها

تذكر كيف قمنا في وقت سابق بتقريب المنطقة بـ 4 فترات فرعية مع (n = 4 text <،> ) تعطي الصيغة 10 ، إجابتنا كما كانت من قبل.

أصبح من السهل الآن تقريب المنطقة بفترات فرعية (1،000،000 )! تقرب الآلات الحاسبة المحمولة الإجابة قبل الأوان قليلًا وتعطي إجابة بـ (10.66666667 text <.> ) (الإجابة الفعلية هي (10.666666666656 text <.> ))

نحن الآن نقوم بقفزة مهمة. حتى هذه النقطة ، اقتصرت الرياضيات لدينا على الهندسة والجبر (إيجاد المناطق ومعالجة التعبيرات). الآن نحن نطبق حساب التفاضل والتكامل. لأي محدود (n text <،> ) نعلم أن مجموع ريمان لقاعدة اليد اليمنى المقابلة هو:

يخبرنا كل من الفطرة السليمة والرياضيات عالية المستوى أنه كلما زاد حجم (n ) ، يتحسن التقريب. في الواقع ، إذا أخذنا حد مثل (n rightarrow infty text <،> ) نحصل على المنطقة المحددة. هذا هو،

هذه نتيجة رائعة. من خلال النظر في (n ) الفترات الفرعية المتباعدة بشكل متساوٍ ، حصلنا على صيغة لتقريب المنطقة التي تضمنت المتغير (n text <.> ) حيث ينمو (n ) بشكل كبير - بدون تقييد - الخطأ يتقلص إلى الصفر ونحصل على المساحة الدقيقة.

بدأ هذا القسم بتقنية حساب التفاضل والتكامل الأساسية: قم بعمل تقريب ، وصقل التقريب لجعله أفضل ، ثم استخدم الحدود في عملية التنقية للحصول على إجابة دقيقة. هذا بالضبط ما فعلناه للتو.

المثال 1.15. تقريب المساحة بالصيغة باستخدام المجاميع.

ابحث عن صيغة تقارب المساحة الموجودة أسفل (f (x) = x ^ 3 ) على الفاصل ( left [-1، 5 right] ) باستخدام قاعدة اليد اليمنى و (n ) متباعدة بشكل متساو فترات فرعية ، ثم خذ الحد كـ (n to infty ) للعثور على المنطقة بالضبط.

لدينا ( Delta x = frac <5 - (- 1)> = 6 / n text <.> ) لدينا (x_i = (-1) + (i-1) Delta x text <> ) كما تستخدم قاعدة اليد اليمنى (x_ نص <،> ) لدينا (x_ = (-1) + i Delta x text <.> )

مجموع ريمان المقابل لقاعدة اليد اليمنى هو (متبوعًا بالتبسيط):

مرة أخرى ، وجدنا صيغة مضغوطة لتقريب المنطقة بفواصل فرعية متباعدة بشكل متساوٍ وقاعدة اليد اليمنى. يوضح الرسم البياني أدناه الرسم البياني لـ (f ) وتقريب المنطقة باستخدام قاعدة اليد اليمنى و 10 فترات فرعية متباعدة بشكل متساوٍ. ينتج عن هذا تقريب لـ (195.96 text <.> ) استخدام (n = 100 ) يعطي تقريبًا لـ (159.802 text <.> )

الآن ابحث عن الإجابة الدقيقة باستخدام حد:

لقد استخدمنا حدودًا لتقييم حدود معينة معطاة بالضبط. هل سيعمل هذا دائمًا؟ سوف نظهر ، في ظل ظروف غير مقيدة للغاية ، أن نعم ، ستنجح دائمًا.

أوضح المثالان السابقان كيفية تعبير مثل

يمكن إعادة كتابته كتعبير يتضمن صراحة (n text <،> ) مثل (32/3 (1-1 / n ^ 2) text <.> )

بالنظر إلى هذه الطريقة ، يمكننا التفكير في الجمع كدالة (n text <.> ) تم إعطاء قيمة (n ) (حيث (n ) عدد صحيح موجب) ، والمبلغ تم إرجاع من مناطق (n ) المستطيلات المتباعدة بشكل متساوٍ ، باستخدام قواعد اليد اليسرى ، أو اليد اليمنى ، أو قواعد نقطة المنتصف.

إعطاء دالة (f (x) ) محددة في الفاصل ( left [a، b right] ) دعنا:

( ds S_L (n) = sum_^ n f (x_i) Delta x text <،> ) مجموع المستطيلات المتباعدة بشكل متساوٍ والتي تم تشكيلها باستخدام قاعدة اليد اليسرى ،

( ds S_R (n) = sum_^ ن و (س_) Delta x text <،> ) مجموع المستطيلات المتباعدة بشكل متساوٍ المكونة باستخدام قاعدة اليد اليمنى ، و

( ds S_M (n) = sum_^ n f left ( frac<>> <2> right) Delta x text <،> ) مجموع المستطيلات المتباعدة بشكل متساوٍ المكونة باستخدام قاعدة نقطة الوسط.

تنص النظرية التالية على أنه يمكننا استخدام أي من قواعدنا الثلاث للعثور على القيمة الدقيقة للمنطقة الواقعة تحت (f (x) ) على ( left [a، b right] text <.> ) يتقدم أيضًا بخطوتين. تنص النظرية على أنه لا يلزم تحديد ارتفاع كل مستطيل باتباع قاعدة معينة ، ولكن يمكن أن يكون (f (c_i) text <،> ) حيث (c_i ) هو أي نقطة في ( i ^ text ) subinterval ، كما تمت مناقشته سابقًا.

تمضي النظرية لتوضيح أن المستطيلات لا يجب أن تكون بنفس العرض. باستخدام تدوين التعريف 1.12 ، دع ( Delta x_i ) تشير إلى طول الفاصل الزمني الفرعي (i ^ text ) في قسم ([a، b] text <.> ) الآن دع (|| Delta x || ) يمثل طول أكبر فاصل زمني فرعي في القسم: أي ، (|| Delta x || ) هو الأكبر من جميع ( Delta x_i ) )'س. إذا كان (|| Delta x || ) صغيرًا ، فيجب تقسيم ([a، b] ) إلى العديد من الفترات الفرعية ، حيث يجب أن يكون لكل الفترات الفرعية أطوال صغيرة. "أخذ الحد كـ (|| Delta x || ) يذهب إلى الصفر" يعني أن عدد (n ) الفواصل الفرعية في القسم يتزايد إلى ما لا نهاية ، حيث أن أكبر طول فاصل زمني أصبح صغيرًا بشكل عشوائي. ثم نفسر التعبير

مثل "حد مجموع المستطيلات ، حيث يمكن أن يكون عرض كل مستطيل مختلفًا ولكنه يصبح صغيراً ، ولا يتم تحديد ارتفاع كل مستطيل بالضرورة بواسطة قاعدة معينة." تنص النظرية التالية على أنه ، للحصول على وظيفة لطيفة بدرجة كافية ، يمكننا استخدام أي من قواعدنا الثلاثة للعثور على المنطقة تحت (f (x) ) over ([a، b] text <.> )

نظرية 1.16. مساحة وحدود ريمان المبالغ.

لنفترض أن (f (x) ) دالة مستمرة في الفاصل الزمني المغلق ([a، b] ) وليكن (S_L (n) text <،> ) (S_R (n) ) و (S_M (n) ) هي مجموع المستطيلات المتباعدة بشكل متساوٍ والتي تم تشكيلها باستخدام قاعدة اليد اليسرى وقاعدة اليد اليمنى وقاعدة نقطة المنتصف على التوالي. ثم:

المساحة الصافية تحت (f ) على الفاصل ( left [a، b right] ) تساوي ( ds lim_مجموع_^ n f (c_i) Delta x_i text <.> )

المساحة الصافية تحت (f ) على الفاصل الزمني ( left [a، b right] ) تساوي ( ds lim_ < | Delta x | to 0> sum_^ n f (c_i) Delta x_i text <.> )

نلخص هنا ما تعلمناه خلال الأقسام القليلة الماضية.

يمكن أن تكون معرفة "المنطقة الواقعة تحت المنحنى" مفيدة. أحد الأمثلة الشائعة هو: المساحة الواقعة أسفل منحنى السرعة هي الإزاحة.

بينما يمكننا تقريب المنطقة الواقعة أسفل منحنى بعدة طرق ، فقد ركزنا على استخدام المستطيلات التي يمكن تحديد ارتفاعاتها باستخدام: قاعدة اليد اليسرى وقاعدة اليد اليمنى وقاعدة النقطة الوسطى.

تسمى مجاميع المستطيلات من هذا النوع بمبالغ ريمان.

يمكن حساب القيمة الدقيقة للمنطقة باستخدام حد مجموع ريمان. نستخدم بشكل عام إحدى الطرق المذكورة أعلاه لأنها تجعل الجبر أبسط.

تمارين للقسم 1.3.
تمرين 1.3.1.

ابحث عن المنطقة الموجودة أسفل (y = 2x ) بين (x = 0 ) وأي قيمة موجبة لـ (x text <.> )

دع (س = أ ) تدل على نقطة إيجابية تعسفية. ثم نرغب في إيجاد المساحة أسفل المنحنى ،

ضع في اعتبارك أولاً تقريب المنطقة بقاعدة اليد اليسرى باستخدام فواصل فرعية متباعدة بشكل متساوٍ (n ). هذا هو،

لذلك نرى ذلك بشكل عام (i = 1، dots، n text <:> )

لذلك ، فإن تقريبنا (S_L (n) ) هو

يمكن العثور على المنطقة الدقيقة (A ) بأخذ الحد

لذلك ، فإن المنطقة الواقعة أسفل المنحنى (y = 2x ) على الفاصل ([0، a] ) هي (a ^ 2 ) لأي (a & gt0 text <.> )

تمرين 1.3.2.

ابحث عن المساحة الموجودة أسفل (y = 4x ) بين (x = 0 ) وأي قيمة موجبة لـ (x text <.> )

دع (س = أ ) تدل على نقطة إيجابية تعسفية. ثم نرغب في إيجاد المساحة أسفل المنحنى ،

ضع في اعتبارك أولاً تقريب المنطقة بقاعدة اليد اليسرى باستخدام فواصل فرعية متباعدة بشكل متساوٍ (n ). هذا هو،

لذلك نرى ذلك بشكل عام (i = 1، dots، n text <:> )

لذلك ، فإن تقريبنا (S_L (n) ) هو

يمكن العثور على المنطقة الدقيقة (A ) بأخذ الحد

لذلك ، فإن المنطقة الواقعة أسفل المنحنى (y = 4x ) على الفاصل ([0، a] ) هي (2a ^ 2 ) لأي (a & gt0 text <.> )

تمرين 1.3.3.

أوجد المساحة الموجودة أسفل (y = 4x ) بين (x = 2 ) وأي قيمة موجبة لـ (x ) أكبر من 2.

نرغب الآن في العثور على المنطقة الواقعة أسفل المنحنى (y = 4x ) على الفاصل ([2، b] text <،> ) لأي (b & gt2 text <.> )

نحل هذه المشكلة بنفس الطريقة الموضحة أعلاه ، الآن مع

بما أننا سنأخذ الحد ( displaystyle lim_S_L (n) text <،> ) أي مصطلح به (n ) (أو قوة أعلى) في المقام سيذهب إلى الصفر. ثم نرى أن المنطقة المطلوبة (أ ) هي

ملحوظة: بالطبع ، كان بإمكاننا استخدام إجابتنا من التمرين 1.3.2. المساحة الموجودة أسفل (y = 4x ) على الفاصل ([0،2] ) (أي (a = 2 )) هي (2a ^ 2 = 8 text <،> ) والمساحة تحت الفاصل ([0، b] ) هو (2b ^ 2 text <.> ) لذلك ، المنطقة تحت (y = 4x ) على الفاصل ([2، b] ) هي الفرق ، (2b ^ 2-8 text <.> )

تمرين 1.3.4.

ابحث عن المنطقة الموجودة أسفل (y = 4x ) بين أي قيمتين موجبتين لـ (x text <،> ) قل (a lt b text <.> )

الآن ضع في اعتبارك الحالة المعممة بالكامل: المنطقة الواقعة تحت (y = 4x ) على الفاصل ([a، b] text <،> ) مع (a، b geq 0 ) و (b & gt أ نص <.> )

نستخدم مرة أخرى قاعدة اليد اليسرى و (n ) فترات فرعية متباعدة بشكل متساو. هذا هو،

وبالتالي فإن تقريبنا هو

للتحقق من إجابتنا ، نستخدم الحل مرة أخرى للتمرين 1.3.2. المساحة الموجودة أسفل (y = 4x ) من 0 إلى (b ) هي (2b ^ 2 text <،> ) والمساحة الموجودة أسفل المنحنى من 0 إلى (a ) هي (2a ^ 2 text <.> ) لذلك ، يجب أن تكون المنطقة في الفاصل ([a، b] ) (2b ^ 2-2a ^ 2 text <.> )

تمرين 1.3.5.

دع ( ds f (x) = x ^ 2 + 3x + 2 text <.> ) تقريب المنطقة الواقعة أسفل المنحنى بين (x = 0 ) و (x = 2 ) باستخدام 4 مستطيلات و أيضا باستخدام 8 مستطيلات.

نرغب في تقريب المنطقة الواقعة أسفل المنحنى (f (x) = x ^ 2 + 3x + 2 ) على الفاصل ([0،2] ) باستخدام (n = 8 ) مستطيلات.

الآن ، حل المشكلة باستخدام قاعدة النقطة المتوسطة:

لذلك ، تقريبنا هو

المساحة الدقيقة هي ( frac <38> <3> حوالي 12.667 ) وبالتالي فإن هذا أقل من الواقع.

ملحوظة: استخدام طريقة مختلفة (مثل قاعدة اليد اليمنى أو قاعدة اليد اليسرى) سيعطي إجابة مختلفة قليلاً.

تمرين 1.3.6.

لنفترض ( ds f (x) = x ^ 2-2x + 3 text <.> ) تقريب المساحة الواقعة أسفل المنحنى بين (x = 1 ) و (x = 3 ) باستخدام 4 مستطيلات.

نحن الآن نقرب المساحة الواقعة أسفل المنحنى (f (x) = x ^ 2-2x + 3 ) على الفاصل ([1،3] ) باستخدام (n = 4 ) مستطيلات.

سنقوم بإعداد هذه المشكلة باستخدام قاعدة اليد اليمنى:

لذلك ، تقريبنا هو

لذلك ، تقريبنا هو

المساحة الدقيقة هي (20/3 تقريبًا 6.667 ) وبالتالي فإن هذا تقدير مبالغ فيه (وهو ما نتوقعه إذا رسمنا المستطيلات على الرسم البياني أعلاه).

ملحوظة: سيؤدي استخدام طريقة مختلفة (مثل Midpoint أو Left Hand Rule) إلى إعطاء إجابة مختلفة قليلاً.


1 إجابة 1

هذا السؤال في حالته الحالية يكاد يكون غير قابل للقراءة ، لكنني أفترض أن السؤال يطلب إيجاد المجموع الأدنى $ f (x) = (x-2) ^ 2 + 1 $ على الفاصل $ [1،3] $ عندما يكون مقسمة إلى أجزاء $ 3 $.

ستكون الخطوة الأولى هي تقسيم $ [1،3] $ إلى $ 3 $ أجزاء متساوية الطول: $ frac <3-1> <3> = frac <2> <3> $ ، لذا يمكننا استخدام الفواصل الزمنية: $ [1،1 + 2/3] ، [1 + 2 / 3،1 + 4/3] ، [1 + 4 / 3،1 + 6/3] $ ، أو ما يعادله ، $ [1، frac53] ، [ frac53، frac73]، [ frac73،3] $. استدعاء هذا القسم $ P $.

قم بتطبيق تعريف المجموع الأدنى: $ L (f، P) = sum_^ 3m_k (x_k-x_) $ ، حيث $ m_k $ هو الحد الأدنى للدالة $ f $ خلال الفترة $ [x_، x_k] $. هنا يمثل $ x_i $ حدود الفواصل الزمنية للقسم. نظرًا لأننا أنشأنا أقسامًا متساوية الطول ، فقد حصلنا على $ (x_k-x_) = frac <2> 3 $ لكل الأقسام ، لذلك قمنا بتقليل المشكلة لإيجاد قيمة $ frac23 sum_^ 3m_k $.

للعثور على $ m_k $ ، ستحتاج إلى حساب حدود الدالة في كل فترة. لحسن الحظ ، فإن الوظيفة مستمرة وقابلة للتفاضل في مجموعة مضغوطة ، لذلك من خلال بعض النظريات في التحليل ، يكون الحد الأدنى هو الحد الأدنى ويجب أن يكون على حدود المجموعة أو على نقطة ثابتة.

سأحسب أول $ m_k $ كمرجع ، والباقي يمكنك القيام به. لذا احسب الحد الأدنى $ f $ على $ [1،5 / 3] $ من خلال إيجاد القيم عند الحدود: $ f (1) = 2، f (5/3) = 10/9 $. أخيرًا ، ابحث عن النقاط الثابتة في الفاصل الزمني: $ f '(x) = 2 (x-2) = 0 يعني x = 2 $. $ x = 2 $ ليس في الفاصل الزمني $ [1،5 / 3] $ لذا $ m_1 = 10/9 $.


حدد المثال الثاني من القائمة المنسدلة. هذا يدل على خط مستقيم F (x) = x. قم بزيادة الفترات الزمنية وراقب ما يحدث للتقديرات اليمنى واليسرى. من الهندسة ، تعلم أن مساحة المثلث تساوي 1/2 قاعدة في الارتفاع ، وبالتالي فإن المساحة المحددة أسفل هذا المنحنى هي 2.

حدد المثال الثالث ، مع إظهار نصف دائرة (انقر فوق Equalize Axes إذا كان يبدو مضغوطًا). لماذا اليسار واليمين تقديرات متشابهة؟ (تلميح: استخدم مربع الاختيار لإظهار المستطيلات اليسرى فقط أو المستطيلات اليمنى فقط ومعرفة كيفية ارتباطها). قم بزيادة عدد الفواصل الزمنية وراقب ما يحدث. هل يمكنك استخدام الصيغ من الهندسة لحساب منطقة نصف الدائرة هذا؟


حساب التفاضل والتكامل النشط

كيف يمكننا استخدام مجموع Riemann لتقدير المساحة بين منحنى معين والمحور الأفقي خلال فترة زمنية معينة؟

ما هي الفروق بين مجموع ريمان الأيسر ، الأيمن ، الأوسط ، والعشوائي؟

كيف نكتب مجموع ريمان بشكل مختصر؟

في القسم 4.1 ، تعلمنا أنه إذا تحرك جسم ما بسرعة موجبة (v text <،> ) المنطقة الواقعة بين (y = v (t) ) والمحور (t ) - خلال وقت معين الفاصل الزمني يخبرنا عن المسافة التي قطعها الجسم خلال تلك الفترة الزمنية. إذا كان (v (t) ) في بعض الأحيان سالبًا وننظر إلى منطقة أي منطقة أسفل المحور (t ) - على أنها تحتوي على علامة سلبية مرتبطة ، فإن مجموع هذه المناطق الموقعة يخبرنا بتغيير الكائن المتحرك في الموقف خلال فترة زمنية معينة.

على سبيل المثال ، بالنسبة لدالة السرعة الواردة في الشكل 4.2.1 ، إذا كانت مناطق المناطق المظللة هي (A_1 text <،> ) (A_2 text <،> ) و (A_3 ) كما هو موضح ، ثم المسافة الإجمالية (D ) التي يقطعها الجسم المتحرك على ([أ ، ب] ) هي

بينما التغيير الكلي في موضع الكائن على ([أ ، ب] ) هو

لأن الحركة في الاتجاه السلبي على الفاصل الزمني حيث (v (t) lt 0 text <،> ) نطرح (A_2 ) لتحديد التغيير الكلي للكائن في الموضع.

بالطبع ، يفترض إيجاد (D ) و (s (b) -s (a) ) للرسم البياني في الشكل 4.2.1 أنه يمكننا بالفعل العثور على المناطق (A_1 text <،> ) (A_2 text <،> ) و (A_3 text <.> ) حتى الآن ، عملنا مع دوال السرعة التي كانت إما ثابتة أو خطية ، بحيث تكون المنطقة المحددة بدالة السرعة والمحور الأفقي مجموعة من المستطيلات والمثلثات ، ويمكننا إيجاد المساحة بالضبط. ولكن عندما يحد المنحنى منطقة ليست شكلاً هندسيًا مألوفًا ، لا يمكننا إيجاد مساحتها بالضبط. في الواقع ، يعد هذا أحد أكبر أهدافنا في الفصل 4: معرفة كيفية العثور على المنطقة المحددة بالضبط بين المنحنى والمحور الأفقي لأكبر عدد ممكن من أنواع الوظائف المختلفة.

في النشاط 4.1.2 ، قمنا بتقريب المنطقة الواقعة تحت دالة سرعة غير خطية باستخدام المستطيلات. في نشاط المعاينة التالي ، نأخذ في الاعتبار ثلاثة خيارات مختلفة لارتفاعات المستطيلات التي سنستخدمها.

معاينة النشاط 4.2.1.

الشخص الذي يسير على طول مسار مستقيم سرعته بالأميال في الساعة في الوقت (t ) المعطاة بواسطة الوظيفة (v (t) = 0.25t ^ 3-1.5t ^ 2 + 3t + 0.25 text <،> ) للأوقات في الفاصل (0 le t le 2 text <.> ) الرسم البياني لهذه الوظيفة موجود أيضًا في كل من المخططات الثلاثة في الشكل 4.2.2.

لاحظ أنه في كل رسم بياني ، نستخدم أربعة مستطيلات لتقدير المساحة الواقعة تحت (y = v (t) ) على الفاصل ([0،2] text <،> ) ولكن الطريقة التي بها المستطيلات الأربعة يتم تحديد ارتفاعات كل منها تختلف بين الرسوم البيانية الفردية الثلاثة.

كيف يتم اختيار ارتفاعات المستطيلات في أقصى اليسار؟ اشرح ، ومن ثم حدد قيمة

من خلال تقييم الوظيفة (y = v (t) ) عند القيم المختارة بشكل مناسب ومراقبة عرض كل مستطيل. لاحظ ، على سبيل المثال ، أن

اشرح كيف يتم اختيار ارتفاعات المستطيلات في المخطط الأوسط وإيجاد قيمة

وبالمثل ، حدد النمط الخاص بكيفية اختيار ارتفاعات المستطيلات في الرسم البياني الموجود في أقصى اليمين وحدده

من التقديرات (S text <،> ) (T text <،> ) و (U text <،> ) التي تعتقد أنها أفضل تقريب لـ (D text <، > ) المسافة الإجمالية التي قطعها الشخص على ([0،2] text <؟> ) لماذا؟

القسم الفرعي 4.2.1 تدوين سيجما

لقد استخدمنا مجموع مساحات المستطيلات لتقريب المساحة الواقعة أسفل المنحنى. حدسيًا ، نتوقع أن استخدام عدد أكبر من المستطيلات الرفيعة سيوفر تقديرًا أفضل للمنطقة. وبالتالي ، نتوقع التعامل مع مبالغ لعدد كبير من المصطلحات. للقيام بذلك ، نقدم تدوين سيجما، المسمى بالحرف اليوناني ( Sigma text <،> ) وهو الحرف الكبير (S ) في الأبجدية اليونانية.

على سبيل المثال ، لنفترض أننا مهتمون بالمجموع

مجموع أول 100 رقم طبيعي. في تدوين سيجما نكتب

نقرأ الرمز ( sum_^ <100> k ) مثل "المجموع من (k ) يساوي 1 إلى 100 من (k text <.> )" يسمى المتغير (k ) فهرس الجمع وأي حرف يمكن استخدامها لهذا المتغير. يتم الإشارة إلى النمط في شروط المجموع بواسطة دالة في الفهرس على سبيل المثال ،

يسمح لنا تدوين Sigma بتغيير الوظيفة المستخدمة بسهولة لوصف المصطلحات في المجموع ، وتعديل عدد المصطلحات في المجموع ببساطة عن طريق تغيير قيمة (n text <.> ) نحن نختبر فهمنا لـ هذا الترميز الجديد في النشاط التالي.

النشاط 4.2.2.

لكل مجموع مكتوب بترميز سيجما ، اكتب المجموع بخط طويل وقم بتقييمه لإيجاد قيمته. لكل مجموع مكتوب في شكل موسع ، اكتب المجموع في تدوين سيجما.

( displaystyle 3 + 7 + 11 + 15 + cdots + 27 )

( displaystyle 4 + 8 + 16 + 32 + cdots + 256 )

القسم الفرعي 4.2.2 مبالغ ريمان

عندما يكون لجسم متحرك دالة سرعة موجبة (y = v (t) ) في فترة زمنية معينة ([a، b] text <،> ) فإن المنطقة الواقعة أسفل المنحنى على الفترة الزمنية تعطي المسافة الكلية يسافر body على ([a، b] text <.> ) نحن مهتمون أيضًا بالعثور على المنطقة المحددة بدقة (y = f (x) ) على فاصل ([a، b] text <،> ) بغض النظر عن معنى أو سياق الوظيفة (f text <.> ) في الوقت الحالي ، نواصل التركيز على إيجاد تقدير دقيق لهذه المنطقة باستخدام مجموع مناطق المستطيلات. ما لم يُذكر خلاف ذلك ، نفترض أن (f ) مستمر وغير سالب في ([أ ، ب] نص <.> )

الخيار الأول الذي نتخذه في مثل هذا التقريب هو عدد المستطيلات.

إذا أردنا (n ) مستطيلات ذات عرض متساوٍ لتقسيم الفاصل الزمني ([a، b] text <،> ) فيجب أن يكون لكل مستطيل عرض ( Delta x = frac text <.> ) نجعل (x_0 = a text <،> ) (x_n = b text <،> ) ونعرّف (x_ = a + i Delta x text <،> ) بحيث (x_1 = x_0 + Delta x text <،> ) (x_2 = x_0 + 2 Delta x text <،> ) و وهكذا ، كما هو موضح في الشكل 4.2.3.

نستخدم كل فترة فرعية ([x_i، x_] ) كقاعدة للمستطيل ، ثم اختر ارتفاع المستطيل على تلك الفترة الفرعية. هناك ثلاثة خيارات قياسية: يمكننا استخدام نقطة النهاية اليسرى لكل فاصل زمني فرعي ، أو نقطة النهاية اليمنى لكل فترة فرعية ، أو نقطة المنتصف لكل فاصل زمني. هذه هي بالضبط الخيارات التي تمت مواجهتها في نشاط المعاينة 4.2.1 والتي تم عرضها في الشكل 4.2.2. نستكشف بعد ذلك كيف يمكن وصف هذه الخيارات في تدوين سيجما.

ضع في اعتبارك دالة إيجابية عشوائية (f ) في ([أ ، ب] ) مع تقسيم الفاصل الزمني كما هو موضح في الشكل 4.2.3 ، واختر استخدام نقاط النهاية اليسرى. ثم في كل فترة زمنية ([x_، x_] text <،> ) يتم إعطاء مساحة المستطيل المتكون بواسطة

إذا سمحنا (L_n ) بالإشارة إلى مجموع مساحات هذه المستطيلات ، فإننا نرى ذلك

في تدوين سيجما الأكثر إحكاما ، لدينا

لاحظ أنه نظرًا لأن فهرس الجمع يبدأ عند (0 ) وينتهي عند (n-1 text <،> ) ، فهناك بالفعل (n ) مصطلحات في هذا المجموع. نسمي (L_n ) ال غادر مجموع ريمان للوظيفة (f ) في الفاصل ([a، b] text <.> )

لمعرفة كيف يتم إنشاء مجاميع Riemann لنقاط النهاية الصحيحة ونقاط المنتصف ، فإننا نعتبر الشكل 4.2.5.

بالنسبة لمجموع نقاط النهاية اليمنى ، نرى أن مساحة المستطيل على فاصل زمني عشوائي ([x_i، x_] ) بواسطة (B_ = و (س_) cdot Delta x text <،> ) وأن مجموع كل هذه المساحات من المستطيلات يُعطى بواسطة

نسمي (R_n ) ال مجموع ريمان الصحيح للوظيفة (f ) في الفاصل ([a، b] text <.> )

بالنسبة إلى المجموع الذي يستخدم نقاط المنتصف ، نقدم الترميز

بحيث ( overline_) هي نقطة منتصف الفترة الزمنية ([x_i، x_] text <.> ) على سبيل المثال ، بالنسبة للمستطيل ذي المنطقة (C_1 ) في الشكل 4.2.5 ، لدينا الآن

ومن ثم ، فإن مجموع جميع مناطق المستطيلات التي تستخدم نقاط المنتصف هو

ونقول أن (M_n ) هو مجموع ريمان الأوسط لـ (f ) في ([أ ، ب] نص <.> )

وبالتالي ، لدينا متغيرين يجب استكشافهما: عدد المستطيلات وارتفاع كل مستطيل. يمكننا استكشاف هذه الخيارات ديناميكيًا ، والتطبيق الصغير 1 الموجود في http://gvsu.edu/s/a9 مفيد بشكل خاص. هناك نرى الصورة الموضحة في الشكل 4.2.6 ، ولكن مع إمكانية ضبط أشرطة التمرير للارتفاعات وعدد المستطيلات.

من خلال تحريك أشرطة التمرير ، يمكننا أن نرى كيف تتغير ارتفاعات المستطيلات بينما ننظر في نقاط النهاية اليسرى ونقاط المنتصف ونقاط النهاية اليمنى ، بالإضافة إلى تأثير عدد أكبر من المستطيلات الأضيق على تقريب المنطقة المحددة التي يحدها وظيفة والمحور الأفقي.

عندما (f (x) ge 0 ) على ([a، b] text <،> ) كل من مجموع Riemann (L_n text <،> ) (R_n text <،> ) و (M_n ) يقدمان تقديرًا للمساحة الواقعة تحت المنحنى (y = f (x) ) عبر الفاصل ([a، b] text <.> ) نتذكر أيضًا أنه في سياق دالة السرعة غير السلبية (y = v (t) text <،> ) تقارب مجاميع Riemann المقابلة المسافة المقطوعة على ([a، b] ) بواسطة جسم متحرك بوظيفة السرعة (v نص <.> )

هناك طريقة أكثر عمومية للتفكير في مجموع ريمان ، وذلك للسماح بأي اختيار لمكان تقييم الوظيفة لتحديد ارتفاعات المستطيل. بدلاً من القول إننا نختار دائمًا نقاط النهاية اليسرى ، أو نختار دائمًا نقاط المنتصف ، نقول ببساطة أن النقطة (x_^ * ) سيتم تحديده عشوائيًا في الفاصل الزمني ([x_i، x_] ) (بحيث (x_i le x_^ * le x_)). ثم يتم إعطاء مجموع ريمان بواسطة

في http://gvsu.edu/s/a9 ، تمت الإشارة إلى التطبيق الصغير مسبقًا والمشار إليه في الشكل 4.2.6 ، عن طريق إلغاء تحديد المربع "النسبي" في أعلى اليسار ، وبدلاً من ذلك تحديد "عشوائي" ، يمكننا بسهولة استكشاف التأثير باستخدام مواقع نقطية عشوائية في فترات فرعية على مجموع Riemann. في الممارسة الحسابية ، غالبًا ما نستخدم (L_n text <،> ) (R_n text <،> ) أو (M_n text <،> ) بينما يكون مجموع ريمان العشوائي مفيدًا في المناقشات النظرية. في النشاط التالي ، نتحرى عدة مبالغ ريمان مختلفة لدالة سرعة معينة.

النشاط 4.2.3.

افترض أن جسمًا يتحرك على طول مسار خط مستقيم له سرعته بالأقدام في الثانية في الوقت (t ) بالثواني معطى بواسطة (v (t) = frac <2> <9> (t-3) ^ 2 + 2 نص <.> )

ارسم بعناية المنطقة التي ستخبرك مساحتها الدقيقة بقيمة المسافة التي قطعها الكائن في الفاصل الزمني (2 le t le 5 text <.> )

قدِّر المسافة المقطوعة على ([2،5] ) عن طريق حساب (L_4 text <،> ) (R_4 text <،> ) و (M_4 text <.> )

هل ينتج عن المتوسط ​​ (L_4 ) و (R_4 ) نفس القيمة مثل (M_4 text <؟> ) إذا لم يكن الأمر كذلك ، فما رأيك بمتوسط ​​ (L_4 ) و (R_4 ) مقاسات؟

بالنسبة لهذا السؤال ، فكر في دالة عشوائية (f text <،> ) بدلاً من الوظيفة المعينة (v ) المذكورة أعلاه. إذا كان (f ) موجبًا ومتزايدًا في ([أ ، ب] نص <،> ) سوف (L_n ) يبالغ في تقدير المساحة الدقيقة أو يقلل من تقديرها تحت (f ) في ( [a، b] text <؟> ) هل (R_n ) يزيد أو يقلل من تقدير المنطقة الدقيقة تحت (f ) في ([a، b] text <؟> ) اشرح.

القسم الفرعي 4.2.3 عندما تكون الوظيفة سالبة في بعض الأحيان

للحصول على مبلغ Riemann مثل

يمكننا بالطبع حساب المجموع حتى عندما يأخذ (f ) قيمًا سالبة. نحن نعلم أنه عندما يكون (f ) موجبًا في ([a، b] text <،> ) يقدر مجموع Riemann المنطقة الواقعة بين (f ) والمحور الأفقي خلال الفترة.

بالنسبة للوظيفة المصورة في الرسم البياني الأول للشكل 4.2.7 ، يظهر مجموع ريمان الأيسر مع 12 فترة فرعية فوق ([a ، d] ). الوظيفة سالبة على الفاصل الزمني (b le x le c text <،> ) لذا عند نقاط النهاية اليسرى الأربعة التي تقع في ([b، c] text <،> ) المصطلحات ( f (x_i) Delta x ) سالبة. هذا يعني أن هذه المصطلحات الأربعة في مجموع ريمان تنتج تقديرًا لـ ضد من المنطقة التي يحدها (y = f (x) ) والمحور (x ) - على ([b، c] text <.> )

في الرسم البياني الأوسط للشكل 4.2.7 ، نرى أنه من خلال زيادة عدد المستطيلات ، يبدو أن تقريب المنطقة (أو عكس المنطقة) التي يحدها المنحنى يتحسن.

بشكل عام ، أي مجموع Riemann لوظيفة مستمرة (f ) على فاصل ([a، b] ) يقارب الفرق بين المنطقة التي تقع فوق المحور الأفقي على ([a ، b] ) و تحت (f ) والمساحة التي تقع أسفل المحور الأفقي على ([أ ، ب] ) وما فوق (f نص <.> ) في تدوين الشكل 4.2.7 ، قد نقول ذلك

حيث (L_ <24> ) هو مجموع ريمان الأيسر باستخدام 24 فترة فرعية موضحة في الرسم البياني الأوسط. (A_1 ) و (A_3 ) هي مناطق المناطق حيث (f ) موجبة ، و (A_2 ) هي المنطقة حيث (f ) سالبة. سوف نسمي الكمية (A_1 - A_2 + A_3 ) ال صافي المساحة الموقعة يحدها (f ) عبر الفاصل ([أ ، د] نص <،> ) حيث نشير بعبارة "المنطقة الموقعة" إلى أننا نعلق علامة ناقص بمناطق المناطق التي تقع أسفل المحور الافقي.

أخيرًا ، نتذكر أنه إذا كانت الدالة (f ) تمثل سرعة جسم متحرك ، فإن مجموع المساحات التي يحدها المنحنى يخبرنا بإجمالي المسافة المقطوعة خلال الفترة الزمنية ذات الصلة ، في حين أن صافي المساحة الموقعة التي يحدها المنحنى يحسب تغيير الكائن في موضعه على الفاصل الزمني.

النشاط 4.2.4.

لنفترض أن الجسم يتحرك على مسار خط مستقيم له سرعته (v ) (بالقدم في الثانية) في الوقت (t ) (بالثواني) معطى بواسطة

احسب (M_5 text <،> ) مجموع ريمان الأوسط ، لـ (v ) في الفاصل الزمني ([1،5] text <.> ) تأكد من تحديد قيمة ( Delta t ) وكذلك مواقع (t_0 text <،> ) (t_1 text <،> ) ( cdots text <،> ) (t_5 text <.> ) بالإضافة إلى ذلك ، قدم مخططًا دقيقًا للدالة والمستطيلات المقابلة التي يتم استخدامها في المجموع.

بناءً على عملك في (أ) ، قم بتقدير التغيير الكلي في موضع الكائن على الفاصل ([1،5] text <.> )

بناءً على عملك في (أ) و (ب) ، قم بتقدير المسافة الإجمالية التي يقطعها الكائن على ([1،5] text <.> )

استخدم تقنية الحوسبة المناسبة 2 لحساب (M_ <10> ) و (M_ <20> text <.> ) ما هي القيمة الدقيقة التي تعتقد أن المجموع الأوسط يقترب منها في النهاية مع زيادة (n ) بلا حدود؟ ماذا يمثل هذا الرقم في السياق المادي للمشكلة الشاملة؟

ملخص القسم الفرعي 4.2.4

مجموع Riemann هو ببساطة مجموع حاصل الضرب بالشكل (f (x_i ^ *) Delta x ) الذي يقدر المساحة بين دالة موجبة والمحور الأفقي خلال فترة زمنية معينة. إذا كانت الدالة في بعض الأحيان سالبة على الفترة الزمنية ، فإن مجموع ريمان يقدِّر الفرق بين المناطق التي تقع فوق المحور الأفقي وتلك التي تقع أسفل المحور.

الأنواع الثلاثة الأكثر شيوعًا لمجموع ريمان هي الجمع الأيسر ، الأيمن ، والمتوسط ​​، ولكن يمكننا أيضًا التعامل مع مجموع ريمان الأكثر عمومية.الاختلاف الوحيد بين هذه المجاميع هو موقع النقطة التي يتم عندها تقييم الوظيفة لتحديد ارتفاع المستطيل الذي يتم حساب مساحته. بالنسبة لمجموع Riemann الأيسر ، نقوم بتقييم الوظيفة عند نقطة النهاية اليسرى لكل فاصل زمني فرعي ، بينما بالنسبة للمجموع الأيمن والأوسط ، نستخدم نقاط النهاية اليمنى ونقاط المنتصف ، على التوالي.

يتم الإشارة إلى مجاميع ريمان اليسرى واليمنى والوسطى (L_n text <،> ) (R_n text <،> ) و (M_n text <،> ) بالصيغ

حيث (x_0 = a text <،> ) (x_i = a + i Delta x text <،> ) و (x_n = b text <،> ) باستخدام ( Delta x = فارك text <.> ) بالنسبة لمجموع النقاط المتوسطة ، ( overline_ = (x_ + x_i) / 2 text <.> )

تمارين 4.2.5 تمارين

1. حساب مجموع ريمان لوظيفة تربيعية.
2. تقدير المسافة المقطوعة بمجموع ريمان من البيانات.
3. كتابة مبالغ ريمان الأساسية.

ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x) = 3x + 4 text <.> )

احسب (M_4 ) لـ (y = f (x) ) على الفاصل ([2،5] text <.> ) تأكد من تحديد قيمة ( Delta x text <بوضوح) ،> ) بالإضافة إلى مواقع (x_0، x_1، ldots، x_4 text <.> ) قم بتضمين رسم تخطيطي دقيق للوظيفة والمستطيلات المقابلة المستخدمة في المجموع.

استخدم صيغة هندسية مألوفة لتحديد القيمة الدقيقة للمنطقة التي يحدها (y = f (x) ) والمحور (x ) - على ([2،5] text <.> )

اشرح لماذا تتطابق القيم التي حسبتها في (أ) و (ب). هل سيكون هذا صحيحًا إذا استخدمنا رقمًا مختلفًا عن (n = 4 ) وحساب (M_n text <؟> ) هل سيكون (L_4 ) أو (R_4 ) لهما نفس قيمة المنطقة بالضبط من المنطقة الموجودة في (ب)؟

وصف مجموعة الوظائف (g ) التي ستكون دائمًا الحالة التي يعطي فيها (M_n text <،> ) بغض النظر عن قيمة (n text <،> ) المساحة الصافية الموقعة بالضبط يحد بين الوظيفة (ز ) والمحور (س ) - على الفاصل ([أ ، ب] نص <.> )

دع (S ) هو المبلغ الذي قدمه

افترض أن (S ) هو مبلغ ريمان الصحيح. ما هي الوظيفة (f ) وما الفاصل ([أ ، ب] ) هو مجموع ريمان لهذه الوظيفة؟ لماذا ا؟

كيف تتغير إجابتك على (أ) إذا كان (S ) هو مجموع ريمان المتبقي؟ مبلغ متوسط ​​ريمان؟

افترض أن (S ) هو حقًا مبلغ ريمان الصحيح. ما هي الكمية الهندسية التي تقارب (S )؟

استخدم تدوين سيجما لكتابة مجموع جديد هو مجموع ريمان الصحيح لنفس الوظيفة ، لكنه يستخدم ضعف عدد الفترات الفرعية مثل (S text <.> )

السيارة التي تسير على طريق مستقيم تقوم بالفرملة وتقاس سرعتها في عدة نقاط زمنية مختلفة ، كما هو مبين في الجدول التالي.

ارسم البيانات المعطاة على مجموعة من المحاور مع مرور الوقت على المحور الأفقي والسرعة على المحور الرأسي.

قدّر المسافة الإجمالية المقطوعة أثناء السيارة على مكابح الوقت باستخدام مجموع ريمان الأوسط مع 3 فترات فرعية.

تقدير المسافة الإجمالية المقطوعة على ([0،1.8] ) عن طريق حساب (L_6 text <،> ) (R_6 text <،> ) و ( frac <1> <2> (L_6 + R_6) نص <.> )

بافتراض أن (v (t) ) يتناقص دائمًا في ([0،1.8] text <،> ) ما هي أقصى مسافة ممكنة قطعتها السيارة قبل أن تتوقف؟ لماذا ا؟

يزداد معدل هروب التلوث من عملية الغسل في مصنع التصنيع بمرور الوقت حيث تصبح المرشحات والتقنيات الأخرى أقل فعالية. بالنسبة لهذا المثال بالذات ، افترض أن معدل التلوث (بالأطنان في الأسبوع) يتم الحصول عليه من خلال الوظيفة (r ) الموضحة في الشكل 4.2.9.

استخدم الرسم البياني لتقدير قيمة (M_4 ) على الفاصل ([0،4] text <.> )

ما معنى (M_4 ) من حيث التلوث الناتج عن النبات؟

افترض أن (r (t) = 0.5 e ^ <0.5t> text <.> ) استخدم هذه الصيغة من أجل (r ) لحساب (L_5 ) في ([0،4] text < .> )

حدد حدًا أعلى للكمية الإجمالية للتلوث الذي يمكن أن يفلت من النبات خلال فترة الأربعة أسابيع المصورة التي تكون دقيقة ضمن خطأ يبلغ طنًا واحدًا على الأكثر من التلوث.


أمثلة

تقريبي بي

ابحث عن قيمة $ N $ والتي تضمن مبلغ Riemann الصحيح البالغ $ f (x) = frac <4> <1 + x ^ 2> $ على $ [0،1] $ ضمن $ 10 ^ <-5> $ من القيمة الدقيقة

استخدم تحسين القوة الغاشمة للعثور على حد على $ left | f '(x) right | $ على $ [0،1] $:

لذلك ، ترك $ | f '(x) right | leq 2.6 $ مقابل $ x في [0،1] $. استخدم خطأ ملزمة

$ frac <(b-a) ^ 2> <2 N> K_1 leq 10 ^ <-5> Rightarrow frac <1.3> leq 10 ^ <-5> Rightarrow 130000 leq N $

لنحسب مبلغ Riemann الصحيح لـ $ N = 130000 $:

تحقق من دقة التقريب

تقريبي ln (2)

أوجد قيمة $ N $ التي تضمن مجموع نقاط الوسط Riemann البالغ $ f (x) = frac <1>$ over $ [1،2] $ ضمن $ 10 ^ <-8> $ من القيمة الدقيقة

نظرًا لأن $ f '' (x) $ يتناقص لكل $ x & gt0 $ لدينا $ متبقي | ، f '' (x) ، صحيح | leq 2 $ لكل $ x في [1،2] $. استخدم خطأ ملزمة:

$ frac <(ba) ^ 3> <24 N ^ 2> K_2 leq 10 ^ <-8> Rightarrow frac <1> <12 N ^ 2> leq 10 ^ <-8> Rightarrow frac <10 ^ 4> < sqrt <12>> leq N $

لذلك فإن القسم بحجم $ N = 2887 $ يضمن الدقة المطلوبة:

تحقق من دقة التقريب:


شاهد الفيديو: حساب التفاضل و التكامل 2. الوحدة 1. تعريف مجموع ريمان التكاملي (شهر نوفمبر 2021).