مقالات

17.7: المعادلات الخطية من الدرجة الثانية II - الرياضيات


لا تعمل طريقة القسم الأخير إلا عندما يكون للوظيفة (f (t) ) في (a ddot y + b dot y + cy = f (t) ) شكل جميل بشكل خاص ، أي عندما مشتقات (f ) تشبه إلى حد كبير (f ) نفسها. في حالات أخرى ، يمكننا تجربة تنوع المعلمات كما فعلنا في حالة الدرجة الأولى.

بما أنه من قبل (a not = 0 ) ، يمكننا دائمًا القسمة على (a ) لجعل معامل ( ddot y ) مساويًا لـ 1. وبالتالي ، لتبسيط المناقشة ، نفترض ( أ = 1 ). نعلم أن المعادلة التفاضلية ( ddot y + b dot y + cy = 0 ) لها حل عام (Ay_1 + By_2 ). كما كان من قبل ، فإننا نخمن حلاً معينًا لـ ( ddot y + b dot y + cy = f (t) ) ؛ هذه المرة نستخدم التخمين (y = u (t) y_1 + v (t) y_2 ). احسب المشتقات:

[ eqalign { dot y & = dot uy_1 + u dot y_1 + dot vy_2 + v dot y_2 cr ddot y & = ddot uy_1 + dot u dot y_1 + dot u dot y_1 + u ddot y_1 + ddot vy_2 + dot v dot y_2 + dot v dot y_2 + v ddot y_2. cr} ]

الآن استبدال:

[ eqalign { ddot y + b dot y + cy & = ddot uy_1 + dot u dot y_1 + dot u dot y_1 + u ddot y_1 + ddot vy_2 + dot v dot y_2 + dot v dot y_2 + v ddot y_2 cr & qquad + b dot uy_1 + bu dot y_1 + b dot vy_2 + bv dot y_2 + cuy_1 + cvy_2 cr & = (u ddot y_1 + bu dot y_1 + cuy_1) + (v ddot y_2 + bv dot y_2 + cvy_2) cr & qquad + b ( dot uy_1 + dot vy_2) + ( ddot uy_1 + dot u dot y_1 + ddot vy_2 + dot v dot y_2) + ( dot u dot y_1 + dot v dot y_2) cr & = 0 + 0 + b ( dot uy_1 + dot vy_2) + ( ddot uy_1 + dot u dot y_1 + ddot vy_2 + dot v dot y_2) + ( dot u dot y_1 + dot v dot y_2). cr} ]

أول حدين بين قوسين هما صفر لأن (y_1 ) و (y_2 ) حلان للمعادلة المتجانسة المرتبطة بهما. الآن ننخرط في بعض التفكير التمني. إذا ( dot uy_1 + dot vy_2 = 0 ) ثم أيضًا

[ ddot uy_1 + dot u dot y_1 + ddot vy_2 + dot v dot y_2 = 0، ]

بأخذ مشتقات كلا الجانبين. يؤدي ذلك إلى تقليل التعبير بالكامل إلى ( dot u dot y_1 + dot v dot y_2 ). نريد أن يكون هذا (f (t) ) ، أي أننا بحاجة إلى ( dot u dot y_1 + dot v dot y_2 = f (t) ). لذلك نود بشدة أن تكون هذه المعادلات صحيحة:

[ eqalign { dot uy_1 + dot vy_2 & = 0 cr dot u dot y_1 + dot v dot y_2 & = f (t). cr} ]

هذا نظام من معادلتين في المجهولين ( dot u ) و ( dot v ) ، لذلك يمكننا حلها كالمعتاد للحصول على ( dot u = g (t) ) و ( dot v = h (t) ).

ثم يمكننا إيجاد (u ) و (v ) بحساب المشتقات العكسية. هذه بالطبع هي نقطة الخلاف في الخطة بأكملها ، حيث قد يكون من المستحيل العثور على المشتقات العكسية. ومع ذلك ، فإن هذا ينجح أحيانًا ويستحق المحاولة.

مثال ( PageIndex {1} )

ضع في اعتبارك المعادلة ( ddot y-5 dot y + 6y = sin t ).

المحلول

يمكننا حل هذا من خلال طريقة المعاملات غير المحددة ، لكننا سنستخدم تباين المعلمات. حل المعادلة المتجانسة هو (Ae ^ {2t} + Be ^ {3t} ) ، لذا فإن المعادلات المتزامنة المطلوب حلها هي

[ eqalign { dot ue ^ {2t} + dot ve ^ {3t} & = 0 cr 2 dot ue ^ {2t} +3 dot ve ^ {3t} & = sin t. cr } ]

إذا ضربنا المعادلة الأولى في 2 وطرحها من المعادلة الثانية نحصل عليها

[ eqalign { dot ve ^ {3t} & = sin t cr dot v & = e ^ {- 3t} sin t cr v & = - {1 over 10} (3 sin t + cos ر) ه ^ {- 3t} ، cr} ]

باستخدام التكامل بالأجزاء. ثم من المعادلة الأولى:

[ eqalign { dot u & = - e ^ {- 2t} dot ve ^ {3t} = - e ^ {- 2t} e ^ {- 3t} sin (t) e ^ {3t} = - e ^ {- 2t} sin t cr u & = {1 over 5} (2 sin t + cos t) e ^ {- 2t}. cr} ]

الآن الحل المحدد الذي نسعى إليه هو

[ eqalign {ue ^ {2t} + ve ^ {3t} & = {1 over 5} (2 sin t + cos t) e ^ {- 2t} e ^ {2t} - {1 over 10 } (3 sin t + cos t) e ^ {- 3t} e ^ {3t} cr & = {1 over 5} (2 sin t + cos t) - {1 over 10} (3 sin t + cos t) cr & = {1 over 10} ( sin t + cos t)، cr} ]

وحل المعادلة التفاضلية

[Ae ^ {2t} + Be ^ {3t} + ( sin t + cos t) / 10. ]

للمقارنة (والممارسة) ، قد ترغب في حل هذا باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة.

مثال ( PageIndex {2} ):

يمكن حل المعادلة التفاضلية ( ddot y-5 dot y + 6y = e ^ t sin t ) باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة ، على الرغم من أننا لم نر أي أمثلة لمثل هذا الحل.

المحلول

مرة أخرى ، سنحلها من خلال تغيير المعلمات. المعادلات المطلوب حلها هي

[ eqalign { dot ue ^ {2t} + dot ve ^ {3t} & = 0 cr 2 dot ue ^ {2t} +3 dot ve ^ {3t} & = e ^ t sin t .سجل تجاري} ]

إذا ضربنا المعادلة الأولى في 2 وطرحها من المعادلة الثانية نحصل عليها

[ eqalign { dot ve ^ {3t} & = e ^ t sin t cr dot v & = e ^ {- 3t} e ^ t sin t = e ^ {- 2t} sin t cr v & = - {1 over 5} (2 sin t + cos t) e ^ {- 2t}. cr} ]

ثم استبدال نحصل عليه

[ eqalign { dot u & = - e ^ {- 2t} dot ve ^ {3t} = - e ^ {- 2t} e ^ {- 2t} sin (t) e ^ {3t} = - e ^ {- t} sin t cr u & = {1 over 2} ( sin t + cos t) e ^ {- t}. cr} ]

الحل الخاص هو

[ eqalign {ue ^ {2t} + ve ^ {3t} & = {1 over 2} ( sin t + cos t) e ^ {- t} e ^ {2t} - {1 over 5} (2 sin t + cos t) e ^ {- 2t} e ^ {3t} cr & = {1 over 2} ( sin t + cos t) e ^ t- {1 over 5} (2 sin t + cos t) e ^ t cr & = {1 over 10} ( sin t + 3 cos t) e ^ t، cr} ]

وحل المعادلة التفاضلية

[Ae ^ {2t} + Be ^ {3t} + e ^ t ( sin t + 3 cos t) / 10. ]

مثال ( PageIndex {3} ):

المعادلة التفاضلية ( ddot y -2 dot y + y = e ^ t / t ^ 2 ) ليست بالصيغة القابلة للتطبيق على طريقة المعاملات غير المحددة. حل المعادلة المتجانسة هو (Ae ^ t + Bte ^ t ) وبالتالي فإن المعادلات المتزامنة

[ eqalign { dot ue ^ {t} + dot vte ^ {t} & = 0 cr dot ue ^ {t} + dot vte ^ {t} + dot ve ^ t & = {e ^ t أكثر من t ^ 2}. cr} ]

ينتج عن طرح المعادلات

[ eqalign { dot ve ^ {t} & = {e ^ t over t ^ 2} cr dot v & = {1 over t ^ 2} cr v & = - {1 over t}. سجل تجاري} ]

ثم استبدال نحصل عليه

[ eqalign { dot ue ^ t & = - dot vte ^ t = - {1 over t ^ 2} te ^ t cr dot u & = - {1 over t} cr u & = - ln ر. cr} ]

الحل هو (Ae ^ t + Bte ^ t-e ^ t ln t-e ^ t ).


شاهد الفيديو: نظام معادلات بثلاث متغيرات (شهر نوفمبر 2021).