مقالات

12: ثلاثة أبعاد - رياضيات


Thumbnail: رسم توضيحي لنظام الإحداثيات الديكارتية لـ 3D. (المجال العام ؛ خورخي ستولفي).


معادلات رياضيات الهندسة ثلاثية الأبعاد للفصل 12 الفصل 11

هل تبحث عن معادلات هندسية ثلاثية الأبعاد للفصل 12 الفصل 11؟ اليوم ، سوف نشارك معادلات الهندسة ثلاثية الأبعاد للفصل 12 الفصل 11 وفقًا لمتطلبات الطالب. أنت لست طالبًا واحدًا يبحث عن معادلات هندسة ثلاثية الأبعاد للصف الثاني عشر فصلاً 2. وفقًا لي ، يبحث آلاف الطلاب عن معادلات الهندسة ثلاثية الأبعاد للصف 12 الفصل 11 شهريًا. إذا كان لديك أي شك أو مشكلة تتعلق بصيغ الهندسة ثلاثية الأبعاد ، فيمكنك الاتصال بسهولة من خلال وسائل التواصل الاجتماعي للمناقشة. سوف تساعد الصيغ الهندسية ثلاثية الأبعاد جدًا في فهم مفهوم وأسئلة الفصل الهندسة ثلاثية الأبعاد.

  1. جيب التمام لخط يصل بين نقطتين P (x1 ، ذ1 ، ض1) و Q (x2 ، ذ2 ، ض2) هي ( frac: ، : فارك: ، فارك) أين
    PQ = ( sqrt <(x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2> )
  2. معادلة خط يمر بنقطة (x1 ، ذ1 ، ض1 ) ولها جيب تمام الاتجاه l، m، n هو: ( frac= فارك= فارك)
  3. معادلة المتجه لخط يمر عبر نقطتين يتجه موضعهما ( vec ) و ( vec) هو ( vec= vec + لامدا ( vec- VEC) )
  4. أقصر مسافة بين ( vec= vec+ لامدا : vec) و ( vec= vec+ مو : vec) يكون:
    ( يسار | فارك <( vecمرات vec). ( vec- vec)> <| vecمرات vec|> حق | )
  5. المسافة بين الخطوط المتوازية ( vec= vec+ لامدا : vec) و ( vec= vec+ مو : vec) يكون
    ( اليسار | فارك < vecمرات ( vec- vec)> <| vec|> حق | )
  6. معادلة المستوى عبر نقطة يكون متجه موضعها ( vec ) وعموديًا على المتجه ( vec) هو (( vec- vec) :. : vec=0)
  7. معادلة مستوى عمودي على خط معين بنسب اتجاه A و B و C ويمر عبر نقطة معينة (x1 ، ذ1 ، ض1) هو A (x - x1) + ب (ص - ص1) + ج (ض - ض1) = 0
  8. معادلة مستوى يمر عبر ثلاث نقاط غير خطية (x1 ، ذ1 ، ض1) (x2 ، ذ2 ، ض2) و (x3 ، ذ3 ، ض3) يكون:
    (يبدأ x-x_1 & amp y-y_1 & amp z-z_1 x_2-x_1 & amp y_2-y_1 & amp z_2-z_1 x_3-x_1 & amp y_3-y_1 & amp z_3-z_1 end=0)
  9. الخطان ( vec= vec+ لامدا : vec) و ( vec= vec+ مو : vec) متحد المستوى إذا:
    (( vec- vec) :. : ( vecمرات vec)=0)
  10. الزاوية φ بين الخط ( vec= vec + lambda : vec) والطائرة ( vec:.:قبعة= d ) بواسطة:
    (sin : phi = left | frac < vec:.:قبعة> <| vec|| قبعة|> حق | )
  11. الزاوية θ بين المستويين أ1س + ب1ص + ج1ض + د1 = 0 و أ2س + ب2ص + ج2ض + د2 = 0 بواسطة:
    (كوس : ثيتا = يسار | فارك< sqrt: sqrt> حق | )
  12. مسافة النقطة التي يكون متجه موضعها ( vec ) من المستوى ( vec:.:قبعة= d ) بواسطة: ( left | d- vec :. : hat حق | )
  13. المسافة من نقطة (x1 ، ذ1 ، ض1) إلى الطائرة Ax + By + Cz + D = 0:
    ( اليسار | فارك< sqrt> حق | )

ملخص الصيغ الهندسية ثلاثية الأبعاد

لقد قمنا بإدراج أهم الصيغ للهندسة ثلاثية الأبعاد للفصل 12 الفصل 11 والتي تساعد في حل الأسئلة المتعلقة بفصل الهندسة ثلاثية الأبعاد. أود أن أقول أنه بعد تذكر معادلات الهندسة ثلاثية الأبعاد ، يمكنك البدء في حل الأسئلة والأجوبة في فصل الهندسة ثلاثية الأبعاد. إذا واجهت أي مشكلة في إيجاد حل لأسئلة الهندسة ثلاثية الأبعاد ، فيرجى إبلاغي بذلك من خلال التعليق أو البريد.


الفصل 11 الفئة 12 الهندسة ثلاثية الأبعاد

احصل على حلول NCERT للفئة 12 الهندسة ثلاثية الأبعاد ، الفصل 11 ، الفصل 12 من كتاب NCERT. وأوضح حلول لجميع الأسئلة والأمثلة مع ورقة الصيغة.

في الفصل 11 ، درسنا أساسيات الهندسة ثلاثية الأبعاد - مثل صيغة المسافة ، صيغة المقطع

في هذا الفصل ، الهندسة ثلاثية الأبعاد للفئة 12 ، نعتمد على الخطوط والمستويات ثلاثية الأبعاد ، ونجد أيضًا المعادلات في شكل متجه - بمساعدة متجهات الفصل 10.

تشمل الموضوعات المحددة -

  • جيب التمام الاتجاه ونسب الاتجاه - كيف تجد باستخدام طرق مختلفة - متى زاوية متى الجانب متى نقطتان أعطي
  • معادلة الخط - نشكل معادلة الخط في حالات مختلفة - نقطة واحدة وخط واحد متوازي, 2 نقطة معطى. نتعلم أيضًا كيفية التحويل المتجه شكل المعادلة لديكارتي شكل
  • الزاوية بين خطين - نجد الزاوية بين سطرين باستخدام صيغة المتجه ، الصيغة الديكارتية ، باستخدام جيب التمام الاتجاهي والنسب
  • أقصر مسافة بين سطرين - إيجاد أقصر مسافة بين خطين متوازيين وخطين منحرفين
  • معادلة المستوى - إيجاد معادلة المستوى في شكل عادي، متي عمودي ونقطة يمر من خلال ، عند المرور 3 غير متداخلة نقاط. نجد أيضًا معادلة المستوى باستخدام شكل اعتراض، وعندما تمر الطائرة تقاطع الطائرات
  • الاشتراك في خطين - التحقق مما إذا كان الخطان متحد المستوى
  • الزاوية بين مستويين - إيجاد الزاوية بين مستويين باستخدام طريقة المتجه والديكارتي
  • المسافة بين النقطة والمستوى - كلا من صيغة المتجه والصيغة الديكارتية
  • الزاوية بين الخط والمستوى - صيغة المتجه فقط
  • معادلة الخط تحت ظروف الطائرات - إيجاد معادلة الخط عند إعطاء بعض الشروط بين مستويين
  • أشر بالخطوط والمستويات - إيجاد إحداثيات النقطة عندما يتقاطع الخط مع مستوى أو نقطة إيجاد حيث يتقاطع الخط والمستوى

لمعرفة المزيد ، انقر فوق أي موضوع يتعلق بالمفهوم أو قم بإجراء تمرين NCERT.


الرياضيات ثلاثية الأبعاد فئة 12 أسئلة مهمة

CBSE ، NCERT ، JEE Main ، NEET-UG ، NDA ، أوراق الامتحان ، بنك الأسئلة ، حلول NCERT ، الأمثلة ، ملاحظات المراجعة ، مقاطع الفيديو المجانية ، اختبارات MCQ والمزيد.

الرياضيات ثلاثية الأبعاد فئة 12 أسئلة مهمة. أصدر myCBSEguide للتو الفصل من إجابات الأسئلة الحكيمة للصف 12 الرياضيات. تتوفر أسئلة تدريب حكيمة مع حلول كاملة للتنزيل بتنسيق myCBSEguide الموقع الإلكتروني والتطبيق المحمول. تم إعداد هذه الأسئلة مع الحل من قبل فريقنا من المعلمين الخبراء الذين يقومون بتدريس الصفوف في مدارس CBSE لسنوات. هناك حوالي 4-5 مجموعة من الأسئلة الإضافية التي تم حلها في الفصل 11 في الرياضيات والهندسة البعدية من كل فصل. لن يفوت الطلاب أي مفهوم في هذا الفصل الحكيم الذي تم تصميمه خصيصًا للتعامل مع امتحان المجلس. لقد اهتممنا بكل مفهوم معين في منهج الرياضيات CBSE Class 12 تم تأطير الأسئلة وفقًا لأحدث مخطط وضع العلامات والطباعة الزرقاء الصادرة عن CBSE للفصل 12.


حلول NCERT للفصل 12 الرياضيات الهندسة ثلاثية الأبعاد

حلول NCERT للفصل 12 الرياضيات الهندسة ثلاثية الأبعاد ممارسه الرياضه 11.1 سؤال رقم 1.

إذا كان الخط يصنع زوايا 90 ° و 135 ° و 45 ° مع محاور x و y و z على التوالي ، فأوجد جيب التمام في اتجاهه

حلول NCERT:

إذا كان الخط يجعل الزوايا α و و مع محاور x و y و z ، فإن جيب التمام للاتجاه هو l = cos α و m = cos β و n = cos γ.

إذا كانت α = 90 ° ، β = 135 ° و γ = 45 °. وبالتالي ، فإن اتجاه جيب التمام للخط المعين هو

l = cos 90 ° ، m = cos 135 ° و n = cos 45 °.

حلول NCERT للفصل 12 الرياضيات الهندسة ثلاثية الأبعاد ممارسه الرياضه 11.1 سؤال رقم 2.

أوجد اتجاه جيب التمام لخط يجعل زوايا متساوية مع محاور الإحداثيات.

حلول NCERT:

إذا كان الخط يجعل الزوايا α و و مع محاور x و y و z ، فإن جيب التمام للاتجاه هو l = cos α و m = cos β و n = cos γ.

بالنظر إلى أن α = β = γ. وبالتالي ، فإن اتجاه جيب التمام للخط المعين هو

ل = كوس α ، م = كوس α و ن = كوس α.

لذلك ، فإن اتجاه جيب التمام للخط المحدد هو (1 / √3 ، 1 / ​​√3 ، 1 / ​​√3) أو (-1 / √3 ، -1 / √3 ، -1 / 3).

حلول NCERT للفصل 12 الرياضيات الهندسة ثلاثية الأبعاد ممارسه الرياضه 11.1 سؤال رقم 3.

إذا كان للخط نسب اتجاه –18 ، 12 ، –4 ، فما هي جيب التمام لاتجاهه؟

حلول NCERT:

لنفترض أن أ ، ب ، ج هي نسب اتجاه الخط ، ثم جيب التمام للخط هو

بالنظر إلى أن نسب الاتجاه للخط هي أ = –18 ، ب = 12 ، ج = –4. ثم،

وبالتالي ، فإن اتجاه جيب التمام للخط هو

حلول NCERT للفصل 12 الرياضيات الهندسة ثلاثية الأبعاد ممارسه الرياضه 11.1 سؤال رقم 4.

بيّن أن النقاط (2 ، 3 ، 4) ، (- 1 ، - 2 ، 1) ، (5 ، 8 ، 7) متداخلة.

حلول NCERT:

نسب الاتجاه للخط الذي يربط A و B هي (- 1 - 2) ، (- 2 - 3) ، (1 - 4) أو ، - 3 ، - 5 ، –3.

نسب الاتجاه للخط الذي يربط B و C هي (5 + 1) ، (8 + 2) ، (7-1) أو ، 6 ، 10 ، 6

من الواضح أن نسب الاتجاه لـ AB و BC متناسبة.

ومن ثم ، فإن AB يوازي BC.

لكن النقطة B مشتركة بين كل من AB و BC. لذلك ، A ، B ، C هي نقاط خطية متداخلة.

حلول NCERT للفصل 12 الرياضيات الهندسة ثلاثية الأبعاد ممارسه الرياضه 11.1 سؤال رقم 5.

أوجد اتجاه جيب التمام لأضلاع المثلث الذي رؤوسه (3 ، 5 ، - 4) ، (- 1 ، 1 ، 2) ، (- 5 ، - 5 ، - 2).

حلول NCERT:

amans maths blogsambambpiclass 12 maths ncert solutionsncert solutionsncert solutions class 12 Maths geometry 3d geometryces class 12 Maths الهندسة ثلاثية الأبعاد حلولncert class 12th Maths pdfncert فئة 12 هندسة ثلاثية الأبعاد فئة 12 صيغة هندسة ثلاثية الأبعاد فئة 12 حل ncert ، هندسة ثلاثية الأبعاد فئة 12 ملاحظات


في هذا الفصل ، نقدم نهج المتجهات و ndashalgebra للهندسة ثلاثية الأبعاد و ndashdash. الهدف هو تقديم الخصائص القياسية للخطوط والمستويات ، مع الحد الأدنى من استخدام المخططات ثلاثية الأبعاد المعقدة مثل تلك التي تتضمن مثلثات متشابهة. تعرف على المزيد حول هذه في قائمة ملاحظات الهندسة ثلاثية الأبعاد للفئة 12.

الموضوعات والموضوعات الفرعية التي يتم تناولها في ملاحظات الهندسة ثلاثية الأبعاد للفصل 12 هي:

11.2 جيب التمام التوجيهي ونسب اتجاه الخط

11.2.1 العلاقة بين جيب التمام في اتجاه الخط

11.2.2 جيب التمام للاتجاه لخط يمر بنقطتين

11.3 معادلة الخط في الفضاء

11.3.1 معادلة خط يمر بنقطة معينة ويكون موازيًا لمتجه معين

11.3.2 معادلة خط يمر بنقطتين معينتين

11.4 الزاوية بين خطين

11.5 أقصر مسافة بين خطين

11.5.1 المسافة بين خطين منحرفين

11.5.2 المسافة بين الخطوط المتوازية

11.6.1 معادلة المستوى في الصورة العادية

11.6.2 معادلة مستوى عمودي على متجه معين ويمر عبر نقطة معينة

11.6.3 معادلة مستوى يمر عبر ثلاث نقاط غير خطية

11.6.4 شكل تقاطع معادلة المستوى

11.6.5 طائرة تمر عبر تقاطع طائرتين محددتين

11.7 الاشتراك في خطين

11.8 الزاوية بين مستويين

11.9 مسافة نقطة من مستوى

11.10 الزاوية بين الخط والمستوى.

قم بتنزيل ملف PDF المجاني لملاحظات الفئة 12 من الهندسة ثلاثية الأبعاد وابدأ التحضير باستخدام Vidyakul!


حلول NCERT للفصل 12 الرياضيات الهندسة ثلاثية الأبعاد

حلول NCERT للفصل 12 الرياضيات الهندسة ثلاثية الأبعاد ممارسه الرياضه 11.3 السؤال رقم 1.

في كل من الحالات التالية ، حدد اتجاه جيب التمام للخط العمودي للمستوى والمسافة من الأصل.

حلول NCERT:

إذا كانت المعادلة الديكارتية للمستوى هي Ax + By + Cz = D ، فإن نسب الاتجاه العادية ن = أأنا + بي + جك هم (أ ، ب ، ج). ومن ثم ، فإن جيب التمام هو اتجاهها

.

إذا كانت معادلة المستوى z = 2 ⇒ 0.x + 0.y + 1.z = 2. ثم ، ن = 0أنا + 0ي + 1ك. ومن ثم ، فإن جيب التمام هو (0 ، 0 ، 1).

الآن ، نعلم أن الخط العمودي من P (x1، ذ1، ض1) إلى الطائرة

وبالتالي ، فإن العمودي من الأصل O (0 ، 0 ، 0) على المستوى هو .

حلول NCERT:

إذا كانت المعادلة الديكارتية للمستوى هي Ax + By + Cz = D ، فإن نسب الاتجاه العادية ن = أأنا + بي + جك هم (أ ، ب ، ج). ومن ثم ، فإن جيب التمام هو اتجاهها

.

إذا كانت معادلة المستوى هي x + y + z = 1. ثم ، ن = أنا + ي + ك ونسب الاتجاه هي (1 ، 1 ، 1). وبالتالي ، فإن اتجاه جيب التمام للخط العمودي للمستوى هو .

الآن ، نعلم أن الخط العمودي من P (x1، ذ1، ض1) إلى الطائرة

وبالتالي ، فإن العمودي من الأصل O (0 ، 0 ، 0) على المستوى هو .

حلول NCERT:

إذا كانت المعادلة الديكارتية للمستوى هي Ax + By + Cz = D ، فإن نسب الاتجاه العادية ن = أأنا + بي + جك هم (أ ، ب ، ج). ومن ثم ، فإن جيب التمام هو اتجاهها

.

إذا كانت معادلة المستوى 2x + 3y - z = 5. إذن ، ن = 2أنا + 3يك ونسب الاتجاه هي (2 ، 3 ، -1). وبالتالي ، فإن اتجاه جيب التمام للخط العمودي للمستوى هو

.

الآن ، نعلم أن الخط العمودي من P (x1، ذ1، ض1) إلى الطائرة

وبالتالي ، فإن العمودي من الأصل O (0 ، 0 ، 0) على المستوى هو .

حلول NCERT:

إذا كانت المعادلة الديكارتية للمستوى هي Ax + By + Cz = D ، فإن نسب الاتجاه العادية ن = أأنا + بي + جك هم (أ ، ب ، ج). ومن ثم ، فإن جيب التمام هو اتجاهها

.

إذا كانت معادلة المستوى 5y + 8 = 0 0.x + 5y + 0.z = –8. ثم، ن = 0أنا + 5ي + 0ك ونسب الاتجاه هي (0 ، 5 ، 0). وبالتالي ، فإن اتجاه جيب التمام للخط العمودي للمستوى هو (0 ، 1 ، 0).

الآن ، نعلم أن الخط العمودي من P (x1، ذ1، ض1) إلى الطائرة

وبالتالي ، فإن العمودي من الأصل O (0 ، 0 ، 0) على المستوى هو .

حلول NCERT للفصل 12 الرياضيات الهندسة ثلاثية الأبعاد ممارسه الرياضه 11.3 سؤال رقم 2.

أوجد معادلة المتجه لمستوى يقع على مسافة 7 وحدات من الأصل وعمودي للمتجه 3أنا + 5ي − 6ك.

حلول NCERT:

بالنظر إلى أن المتجه الطبيعي هو ن = 3أنا + 5ي − 6ك.

ثم، و .

ومن ثم ، فإن المعادلة المطلوبة للمستوى هي .

حلول NCERT للفصل 12 الرياضيات الهندسة ثلاثية الأبعاد ممارسه الرياضه 11.3 سؤال رقم 3.

أوجد المعادلة الديكارتية للطائرات التالية:

(أ) ص ⋅ (أنا + يك) = 2

حلول NCERT:

لإيجاد المعادلة الديكارتية للطائرة ، ضع ص = سأنا + صي + ضك.

وهكذا ، (xأنا + صي + ضك ) ⋅ (أنا + يك) = 2

(ب) ص ⋅ (2أنا + 3ي − 4ك) = 1

حلول NCERT:

لإيجاد المعادلة الديكارتية للطائرة ، ضع ص = سأنا + صي + ضك.

وهكذا ، (xأنا + صي + ضك) ⋅ (2أنا + 3ي − 4ك) = 1

(ج) ص ⋅ [(ق - 2 طن)أنا + (3 - ر)ي + (2s + t)ك] = 15

حلول NCERT:

لإيجاد المعادلة الديكارتية للطائرة ، ضع ص = سأنا + صي + ضك.

وهكذا ، (xأنا + صي + ضك) ⋅ [(ق - 2 طن)أنا + (3 - ر)ي + (2s + t)ك] = 15

⇒ (s - 2t) x + (3 - t) y + (2s + t) z = 1

حلول NCERT للفصل 12 الرياضيات الهندسة ثلاثية الأبعاد ممارسه الرياضه 11.3 السؤال رقم 4.

في الحالات التالية ، أوجد إحداثيات سفح العمود العمودي المرسومة من الأصل.

حلول NCERT:

دع إحداثي سفح العمود P العمودي من الأصل إلى المستوى يكون (x1، ذ1، ض1).

ثم ، نسب الاتجاه للخط OP هي x1، ذ1، ض1.

بالنظر إلى معادلة المستوى في الصورة العادية هي

أين هو اتجاه جيب التمام لـ OP.

نحن نعلم أن جيب التمام في الاتجاه ونسب الاتجاه متناسبة. ثم،

بالتعويض عن هذه القيم في معادلة المستوى المعطاة ، نحصل على

.

وبالتالي ، فإن الإحداثي المطلوب للقدم العمودي هو (24/29, 36/29, 48/29).

حلول NCERT:

دع إحداثي سفح العمود P العمودي من الأصل إلى المستوى يكون (x1، ذ1، ض1).

ثم ، نسب الاتجاه للخط OP هي x1، ذ1، ض1.

بالنظر إلى معادلة المستوى في الصورة العادية هي

حيث 3/5 و 4/5 هما اتجاه جيب التمام لـ OP.

نحن نعلم أن جيب التمام في الاتجاه ونسب الاتجاه متناسبة. ثم،

بالتعويض عن هذه القيم في معادلة المستوى المعطاة ، نحصل على

وبالتالي ، فإن الإحداثي المطلوب للقدم العمودي هو (0, 18/25, 24/25).

حلول NCERT:

دع إحداثي سفح العمود P العمودي من الأصل إلى المستوى يكون (x1، ذ1، ض1).

ثم ، نسب الاتجاه للخط OP هي x1، ذ1، ض1.

بالنظر إلى معادلة المستوى في الصورة العادية هي

أين هي جيب التمام لاتجاه OP.

نحن نعلم أن جيب التمام في الاتجاه ونسب الاتجاه متناسبة. ثم،

بالتعويض عن هذه القيم في معادلة المستوى المعطاة ، نحصل على

وبالتالي ، فإن الإحداثي المطلوب للقدم العمودي هو (1/3, 1/3, 1/3).

حلول NCERT:

دع إحداثي سفح العمود P العمودي من الأصل إلى المستوى يكون (x1، ذ1، ض1).

ثم ، نسب الاتجاه للخط OP هي x1، ذ1، ض1.

بالنظر إلى معادلة المستوى في الصورة العادية هي

حيث 0 ، 1 ، 0 هي اتجاه جيب التمام لـ OP.

نحن نعلم أن جيب التمام في الاتجاه ونسب الاتجاه متناسبة. ثم،

أو x1 = 0 ، ص1 = ك ، ض1 = 0.

بالتعويض عن هذه القيم في معادلة المستوى المعطاة ، نحصل على k = - 8/5

وبالتالي ، فإن الإحداثي المطلوب للقدم العمودي هو (0, −8/5 , 0).

حلول NCERT للفصل 12 الرياضيات الهندسة ثلاثية الأبعاد ممارسه الرياضه 11.3 السؤال رقم 5.

أوجد المعادلات المتجهة والديكارتية للطائرات

(أ) يمر بالنقطة (1 ، 0 ، - 2) والخط العمودي للمستوى هو أنا + يك.

حلول NCERT:

المستوى المعطى يمر بالنقطة P (1 ، 0 ، - 2) ويكون المستوى الطبيعي أنا + يك.

وهكذا لدينا أ = أنا – 2ي و ن = أنا + يك.

الآن ، معادلة المتجه للمستوى المار أ وطبيعي ل ن يكون (صأ).ن = 0.

وبالتالي ، فإن معادلة المتجه للمستوى المعطى هي [ص – (أنا – 2ي)].(أنا + يك) = 0.

مرة أخرى ، يمر المستوى عبر النقطة P (1 ، 0 ، - 2) ويكون المستوى الطبيعي أنا + يك.

لدينا x1 = 1 ، ص1 = 0 ، ض1 = –2 وجيب التمام هو a = 1 و b = 1 و c = –2.

الآن ، المعادلة الديكارتية للطائرة المارة (x1، ذ1، ض1) واتجاه جيب التمام العادي (أ ، ب ، ج) هو أ (س - س1) + ب (ص - ص1) + ج (ض - ض1) = 0.

وبالتالي ، فإن المعادلة الديكارتية للمستوى المعطى هي

(1) (x - 1) + (1) (y - 0) + (–2) (z - (–2)) = 0 ⇒ س + ص - ض = 3.

(ب) يمر بالنقطة (1 ، 4 ، 6) والخط العمودي للمستوى هو أنا − 2ي + ك.

حلول NCERT:

المستوى المعطى يمر بالنقطة P (1 ، 4 ، 6) ويكون المستوى الطبيعي أنا − 2ي + ك.

وهكذا لدينا أ = أنا + 4ي + 6ك و ن = أنا − 2ي + ك.

الآن ، معادلة المتجه للمستوى المار أ وطبيعي ل ن يكون (صأ).ن = 0.

وبالتالي ، فإن معادلة المتجه للمستوى المعطى هي [ص – (أنا + 4ي + 6ك)].(أنا − 2ي + ك) = 0.

مرة أخرى ، يمر المستوى عبر النقطة P (1 ، 4 ، 6) ويكون المستوى الطبيعي أنا − 2ي + ك.

لدينا x1 = 1 ، ص1 = 4 ، ض1 = 6 والاتجاه هو a = 1 و b = –2 و c = 1.

الآن ، المعادلة الديكارتية للطائرة المارة (x1، ذ1، ض1) واتجاه جيب التمام العادي (أ ، ب ، ج) هو أ (س - س1) + ب (ص - ص1) + ج (ض - ض1) = 0.

وبالتالي ، فإن المعادلة الديكارتية للمستوى المعطى هي

(1) (x - 1) + (–2) (y - 4) + (1) (z - 6) = 0 س - 2 ص + ع + 1 = 0.

حلول NCERT للفصل 12 الرياضيات الهندسة ثلاثية الأبعاد ممارسه الرياضه 11.3 السؤال رقم 6.

أوجد معادلات المستويات المارة بثلاث نقاط.

حلول NCERT:

معادلة المستوى الذي يمر عبر ثلاث نقاط غير خطية (x1، ذ1، ض1) ، (x2، ذ2، ض2) و (x3، ذ3، ض3) يكون

معادلة المستوى الذي يمر عبر النقاط المعطاة أ (1 ، 1 ، - 1) ، ب (6 ، 4 ، - 5) ، ج (- 4 ، - 2 ، 3) هي

نظرًا لأن صفين من المحددات متماثلان ، فإن النقاط المعطاة تكون على خط واحد. وبالتالي ، هناك طائرات لا نهائية تمر عبر نقاط خطية متداخلة معينة.

حلول NCERT:

معادلة المستوى الذي يمر عبر ثلاث نقاط غير خطية (x1، ذ1، ض1) ، (x2، ذ2، ض2) و (x3، ذ3، ض3) يكون

معادلة المستوى الذي يمر عبر النقاط المعطاة أ (1 ، 1 ، 0) ، ب (1 ، 2 ، 1) ، ج (- 2 ، 2 ، - 1) هي

حلول NCERT للفصل 12 الرياضيات الهندسة ثلاثية الأبعاد ممارسه الرياضه 11.3 السؤال رقم 7.

أوجد القطع المقطوعة بالمستوى 2x + y - z = 5.

حلول NCERT:

إذا كانت معادلة المستوى هي 2x + y - z = 5.

في الوضع الطبيعي للمعادلة ، لدينا

عند مقارنة هذه المعادلة مع نحصل على التقاطع على المحاور

حلول NCERT للفصل 12 الرياضيات الهندسة ثلاثية الأبعاد ممارسه الرياضه 11.3 السؤال رقم 8.

أوجد معادلة المستوى مع التقاطع 3 على المحور y وبالتوازي مع مستوى ZOX.

حلول NCERT:

نظرًا لأن المستوى موازٍ لمستوى ZOX ويكون التقاطع على المحور y 3 ، فإن المستوى يمر عبر P (0 ، 3 ، 0) ويكون اتجاه جيب التمام للخط العمودي للمستوى (0 ، 1 ، 0)

نحن نعلم أن المعادلة الديكارتية للمستوى المار (x1، ذ1، ض1) واتجاه جيب التمام العادي (أ ، ب ، ج) هو أ (س - س1) + ب (ص - ص1) + ج (ض - ض1) = 0.

وبالتالي ، فإن معادلة المستوى المعطى هي 0 (x - 0) + 1 (y - 3) + 0 (z - 0) = 0 ، أو y = 3.

حلول NCERT للفصل 12 الرياضيات الهندسة ثلاثية الأبعاد ممارسه الرياضه 11.3 السؤال رقم 9.

أوجد معادلة المستوى من خلال تقاطع المستويات 3x - y + 2z - 4 = 0 و x + y + z - 2 = 0 والنقطة (2 ، 2 ، 1).

حلول NCERT:

معادلات المستويات المعطاة هي

الآن معادلة المستوى الذي يمر عبر تقاطع المستويات (1) و (2) هي

(3x - y + 2z - 4) + k (x + y + z - 2) = 0 ... (3)

يمر هذا المستوى بالنقطة (2 ، 2 ، 1). ضع x = 2 و y = 2 و z = 1.

(6 - 2 + 2-4) + ك (2 + 2 + 1 - 2) = 0

ضع k = -2/3 في المعادلة (3) ، نحصل على المعادلة المطلوبة للمستوى المحدد

(3 س - ص + 2 ع - 4) + (-2/3) (س + ص + ع - 2) = 0

حلول NCERT للفصل 12 الرياضيات الهندسة ثلاثية الأبعاد ممارسه الرياضه 11.3 السؤال رقم 10.

أوجد معادلة المتجه للمستوى الذي يمر عبر تقاطع المستويات ص.(2أنا + 2ي − 3ك) = 7 و ص.(2أنا + 5ي + 3ك ) = 9 وعبر النقطة (2 ، 1 ، 3).

حلول NCERT:

معادلات المستويات المعطاة هي ص.(2أنا + 2ي − 3ك) = 7 و ص.(2أنا + 5ي + 3ك ) = 9.

بالنسبة للمعادلة الديكارتية للطائرة ، ضع ص = (سأنا + صي + ضك).

(xأنا + صي + ضك).(2أنا + 2ي − 3ك) = 7 ⇒ 2x + 2y - 3z - 7 = 0 ... (1)

(xأنا + صي + ضك).(2أنا + 5ي + 3ك ) = 9 ⇒ 2x + 5y + 3z - 9 = 0 ... (2)

الآن معادلة المستوى الذي يمر عبر تقاطع المستويات (1) و (2) هي

(2x + 2y - 3z - 7) + k (2x + 5y + 3z - 9) = 0 ... (3)

يمر هذا المستوى بالنقطة (2 ، 1 ، 3). ضع x = 2 و y = 1 و z = 3.

(4 + 2-9-7) + ك (4 + 5 + 9-9) = 0 ⇒ ك = 10/9.

ضع k = 10/9 في المعادلة (3) ، نحصل على المعادلة المطلوبة للمستوى المحدد

(2x + 2y - 3z - 7) + (10/9) (2x + 5y + 3z - 9) = 0

⇒ (xأنا + صي + ضك).(38أنا + 68ي + 3ك) = 153

ص.(38أنا + 68ي + 3ك) = 153

حلول NCERT للفصل 12 الرياضيات الهندسة ثلاثية الأبعاد ممارسه الرياضه 11.3 السؤال رقم 11.

أوجد معادلة المستوى عبر خط تقاطع المستويات x + y + z = 1 و 2x + 3y + 4z = 5 المتعامد مع المستوى x - y + z = 0.

حلول NCERT:

معادلات المستويات المعطاة هي

الآن معادلة المستوى الذي يمر عبر تقاطع المستويات (1) و (2) هي

(س + ص + ع - 1) + ك (2 س + 3 ص + 4 ع - 5) = 0

⇒ (1 + 2 ك) س + (1 + 3 ك) ص + (1 + 4 ك) ض - (1 + 5 ك) = 0 ... (3)

بما أن معادلة المستوى (3) متعامدة على المستوى x - y + z = 0 ، إذن

⇒ (1 + 2 ك) (1) + (1 + 3 ك) (- 1) + (1 + 4k) (1) = 0

ضع k = –1/3 في المعادلة (3) ، نحصل على المعادلة المطلوبة للمستوى المحدد

حلول NCERT للفصل 12 الرياضيات الهندسة ثلاثية الأبعاد ممارسه الرياضه 11.3 السؤال رقم 12.

أوجد الزاوية بين المستويات التي تكون معادلات المتجه لها ص ⋅ (2أنا + 2ي − 3ك) = 5 و ص ⋅ (3أنا − 3ي + 5ك) = 3.

حلول NCERT:

إذا كانت θ هي الزاوية بين المستويين r.ن1 = د1 و ص.ن2 = د2، من ثم

بالنظر إلى أن ن1 = (2أنا + 2ي − 3ك) و ن2 = (3أنا − 3ي + 5ك). ثم

حلول NCERT للفصل 12 الرياضيات الهندسة ثلاثية الأبعاد ممارسه الرياضه 11.3 السؤال رقم 13.

في الحالات التالية ، حدد ما إذا كانت المستويات المحددة متوازية أو متعامدة ، وفي حالة عدم وجود أي منهما ، ابحث عن الزوايا بينهما.

(أ) 7 س + 5 ص + 6 ع + 30 = 0 و 3 س - ص - 10 ع + 4 = 0

حلول NCERT:

معادلات المستويات المعطاة هي 7x + 5y + 6z + 30 = 0 و 3x - y - 10z + 4 = 0.

منذ ، كلا الطائرتين ليسا متوازيتين.

بما أن (7) (3) + (5) (- 1) + (6) (- 10) ≠ 0 ، فإن كلا المستويين ليسا متعامدين.

إذا كانت هي الزاوية بين المستويات المعطاة ، إذن

(ب) 2 س + ص + 3 ع - 2 = 0 ، س - 2 ص + 5 = 0

حلول NCERT:

معادلات المستويات هي 2x + y + 3z - 2 = 0 و x - 2y + 5 = 0.

بما أن (2) (1) + (1) (- 2) + (3) (0) = 2-2 = 0 ، فإن كلا المستويين متعامدين.

(ج) 7 س + 5 ص + 6 ع + 30 = 0 و 3 س - ص - 10 ع + 4 = 0

حلول NCERT:

معادلات المستويات المعطاة هي 2x - 2y + 4z + 5 = 0 و 3x - 3y + 6z - 1 = 0

منذ ، كلا الطائرتين متوازيتان.

(د) 2 س - ص + 3 ع - 1 = 0 و 2 س - ص + 3 ع + 3 = 0

حلول NCERT:

معادلات المستويات المعطاة هي 2x - y + 3z - 1 = 0 و 2x - y + 3z + 3 = 0.

منذ ، كلا الطائرتين متوازيتان.

(هـ) 4x + 8y + z - 8 = 0 و y + z - 4 = 0

حلول NCERT:

معادلات المستويات المعطاة هي 4x + 8y + z - 8 = 0 و y + z - 4 = 0

منذ ، كلا الطائرتين ليسا متوازيتين.

بما أن (4) (0) + (8) (1) + (1) (1) ≠ 0 ، فإن كلا المستويين ليسا متعامدين.

إذا كانت هي الزاوية بين المستويات المعطاة ، إذن

حلول NCERT للفصل 12 الرياضيات الهندسة ثلاثية الأبعاد ممارسه الرياضه 11.3 السؤال رقم 14.

في الحالات التالية ، أوجد مسافة كل نقطة من النقاط المحددة من المستوى المحدد المقابل.

(أ) إحداثيات النقطة هي (0 ، 0 ، 0) ومعادلة المستوى هي 3x - 4y + 12z = 3.

حلول NCERT:

دع P (x1، ذ1، ض1) تكون النقطة المعطاة و Ax + By + Cz = D هي المعادلة الديكارتية للمستوى المحدد. إذن ، العمودي من P على المستوى هو

وبالتالي ، فإن المسافة العمودية من النقطة المعطاة P (0 ، 0 ، 0) إلى المستوى 3x - 4y + 12 z = 3 هي

(ب) إحداثيات النقطة هي (3 ، - 2 ، 1) ومعادلة المستوى هي 2x - y + 2z + 3 = 0.

حلول NCERT:

دع P (x1، ذ1، ض1) تكون النقطة المعطاة و Ax + By + Cz = D هي المعادلة الديكارتية للمستوى المحدد. إذن ، العمودي من P على المستوى هو

وبالتالي ، فإن المسافة العمودية من النقطة المعينة P (3 ، - 2 ، 1) إلى المستوى 2x - y + 2z + 3 = 0 هي

(ج) تنسيق النقطة هو (2 ، 3 ، - 5) ومعادلة المستوى هي x + 2y - 2z = 9

حلول NCERT:

دع P (x1، ذ1، ض1) تكون النقطة المعطاة و Ax + By + Cz = D هي المعادلة الديكارتية للمستوى المحدد. إذن ، العمودي من P على المستوى هو

وبالتالي ، فإن المسافة العمودية من النقطة المعينة P (2 ، 3 ، - 5) إلى المستوى x + 2y - 2z = 9 هي

(د) إحداثيات النقطة هي (- 6 ، 0 ، 0) ومعادلة المستوى هي 2x - 3y + 6z - 2 = 0

حلول NCERT:

دع P (x1، ذ1، ض1) تكون النقطة المعطاة و Ax + By + Cz = D هي المعادلة الديكارتية للمستوى المحدد. إذن ، العمودي من P على المستوى هو

وبالتالي ، فإن المسافة العمودية من النقطة المعينة P (- 6 ، 0 ، 0) إلى المستوى 2x - 3y + 6z - 2 = 0 هي


12: ثلاثة أبعاد - رياضيات

أسئلة دراسة حالة الهندسة ثلاثية الأبعاد CBSE الثانية عشر في موضوع الرياضيات لعام 2021

يوفر QB365 أسئلة دراسة الحالة المحدثة للصف 12 من الرياضيات ، كما يوفر الحل التفصيلي لكل سؤال من أسئلة دراسة الحالة. أسئلة دراسة الحالة هي أحدث نمط سؤال محدث من NCERT ، سيساعد QB365 في الحصول على المزيد من الدرجات في الامتحانات

QB365 - برنامج بنك الأسئلة

أسئلة دراسة حالة الهندسة ثلاثية الأبعاد CBSE الثانية عشر في موضوع الرياضيات لعام 2021

أسئلة دراسة الحالة

يتم تنظيم مباراة كرة قدم بين طلاب الفصل الثاني عشر من مدرستين ، على سبيل المثال المدرسة "أ" والمدرسة "ب" ، حيث يتم اختيار فريق من كل مدرسة. يجلس الطلاب الباقون من الفصل الثاني عشر للمدرسة A و B على التوالي على المستوى الذي تمثله المعادلة ( vec cdot ( قبعة+ قبعة+2 قبعة) = 5 نص <و> vec cdot ( قبعة-قبعة+ قبعة) = 6 ) ، لتشجيع فريق مدارسهم.

بناءً على المعلومات الواردة أعلاه ، أجب عن الأسئلة التالية.
(ط) المعادلة الديكارتية للطائرة التي يجلس عليها طلاب المدرسة "أ"

(أ) 2 س - ص + ع = 8 (ب) 2 س + ص + ع = 8 (ج) س + ص + 2 ز = 5 (د) س + ص + ع = 5

(2) الحجم الطبيعي للطائرة التي يجلس عليها طلاب المدرسة B هو

(أ) ( مربع 5 ) (ب) ( مربع 6 ) (ج) ( مربع 3 ) (د) ( مربع 2 )

(3) شكل اعتراض معادلة المستوى الذي يجلس عليه طلاب المدرسة "ب" هو

(أ) ( frac<6> + frac<6> + frac<6>=1) (ب) ( frac<3> + frac<(- 6)> + frac<6>=1) (ج) ( frac<3> + frac<6> + frac<6>=1) (د) ( frac<3> + frac<6> + frac<3>=1)

(4) أي مما يلي هو طالب في المدرسة "ب"؟

(أ) موهيت جالس في (1 ، 2 ، 1) (ب) رافي جالس في (0،1،2) (ج) خوشي جالس في (3 ، 1 ، 1) (د) شوتا جالسًا في (2 ، -1 ، 2).

(5) مسافة الطائرة التي يجلس عليها طلاب المدرسة "ب" عن الأصل هي

(أ) 6 وحدات (b) ( frac <1> < sqrt <6>> ) وحدات (c) ( frac <5> < sqrt <6>> ) وحدات (د) ( sqrt 6 ) وحدات
5

ضع في اعتبارك الرسم البياني التالي ، حيث تم إعطاء القوى الموجودة في الكبل.

بناءً على المعلومات الواردة أعلاه ، أجب عن الأسئلة التالية.
(ط) المعادلة الديكارتية للخط على طول EA هي

((أ) فارك<-4> = فارك<3> = فارك<12>) ((ب) فارك<-4> = فارك<3> = فارك<12>) ((ج) فارك<-3> = فارك<4> = فارك<12>) ((د) فارك<3> = فارك<4> = فارك<12>)

(2) المتجه ( overline) يكون

(أ) (8 قبعة-6 قبعة+24 قبعة) (ب) (- 8 قبعة-6 قبعة+24 قبعة) (ج) (- 8 قبعة-6 قبعة-24 قبعة) (د) (8 قبعة+6 قبعة+24 قبعة)

(iii) طول الكابل EB هو

(أ) 24 وحدة (ب) 26 وحدة (ج) 27 وحدة (د) 25 وحدة

(4) طول الكابل EC يساوي طول

(أ) EA (ب) EB (ج) ED (د) كل هؤلاء

(v) مجموع جميع المتجهات على طول الكابلات هو

(أ) (96 قبعة) (ب) (96 قبعة) (ج) (- 96 قبعة) (د) (96 قبعة)
5

رأى خفر السواحل الهندي (lCG) أثناء قيامه بدورية قاربًا مشبوهًا به أربعة رجال. لم يكونوا في أي مكان يشبهون الصيادين. كان الجنود يراقبون عن كثب حركة القارب لإتاحة الفرصة للاستيلاء على القارب. لاحظوا أن القارب يتحرك على طول سطح مستو. في لحظة من الزمن ، إحداثيات موقع مروحية وقارب خفر السواحل هي (2 ، 3 ، 5) و (1 ، 4 ، 2) على التوالي.

بناءً على المعلومات الواردة أعلاه ، أجب عن الأسئلة التالية.
(ط) إذا كان الخط الذي يربط بين مواقع المروحية والقارب متعامدًا مع الطائرة التي يتحرك فيها القارب ، فإن معادلة الطائرة تكون

(أ) x-y + 3z = 2 (ب) س + ص + 3 ع = 2 (ج) س - ص + 3 ع = 3 (د) س + ص + 3 ع = 3

(2) إذا قرر الجندي إطلاق القارب في لحظة معينة من الزمن ، حيث تُقاس المسافة بالأمتار ، فما هي المسافة التي يجب أن تقطعها تلك الرصاصة؟

(أ) ( مربع 5 ) م (ب) ( مربع 8 ) م (ج) ( مربع 10 ) م (د) ( مربع 11 ) م

(3) إذا كانت سرعة الرصاصة 30 م / ثانية ، فكم من الوقت ستستغرق الرصاصة لتصطدم بالقارب بعد إطلاق الطلقة؟

(أ) 30 ثانية (ب) 1 ثانية (ج) ( فارك <1> <2> ) ثانية (د) ( فارك < مربع <11>> <30> ) م

(4) في اللحظة الزمنية المحددة ، تكون معادلة الخط الذي يمر عبر مواقع المروحية والقارب

(أ) ( frac<1> = فارك<-1> = فارك<3>) (ب) ( frac<1> = فارك<-1> = فارك<3>) (ج) ( frac<1> = فارك<1> = فارك<-3>) (د) ( frac<1> = فارك<1> = فارك<-3>)

(v) في لحظة زمنية مختلفة ، يتحرك القارب إلى موضع مختلف على طول السطح المستوي. ما هي إحداثيات موقع القارب حتى تصطدم الرصاصة بالقارب إذا أطلق الجندي الرصاصة على طول الخط الذي تكون معادلته ( frac<1> = فارك<-2> = فارك <3>?)

(أ) ( يسار ( فارك <1> <2> ، فارك <1> <2> ، فارك <1> <2> يمين) ) (ب) ( يسار ( فارك <3> <4> ، فارك <3> <2> ، فارك <5> <4> يمين) ) (c) ( left ( frac <1> <3>، frac <1> <4>، frac <1> <5> right) ) (د) لا شيء من هؤلاء
5

معادلة حركة الصاروخ هي: x = 2t ، Y = -4t ، z = 4t ، حيث يُعطى الوقت & # 39t & # 39 بالثواني ، والمسافة المقاسة بالكيلومترات.

بناءً على المعلومات الواردة أعلاه ، أجب عن الأسئلة التالية.
(ط) ما هو مسار الصاروخ؟

(خط مستقيم (ب) الدائرة (ج) القطع المكافئ (د) لا شيء من هؤلاء

(2) أي من النقاط التالية تقع على مسار الصاروخ؟

(أ) (0 ، 1 ، 2) (ب) (1 ، -2 ، 2) (ج) (2 ، -2 ، 2) (د) لا شيء من هؤلاء

(iii) في أي مسافة سيكون الصاروخ من نقطة البداية (0 ، 0 ، 0) في 10 ثوانٍ؟

(أ) 40 كم (ب) 60 كم (ج) 30 كم (د) 80 كم

(4) إذا كان موضع الصاروخ في لحظة معينة هو (3 ، -6 ، 6) ، فما هو ارتفاع الصاروخ عن الأرض ، على طول المستوى xy؟

(أ) 3 كم (ب) 2 كم (ج) 4 كم (د) 6 كم

(v) في لحظة معينة من الزمن ، إذا كان الصاروخ فوق مستوى سطح البحر ، حيث تكون معادلة سطح البحر 3x - Y + 4z = 2 وموضع الصاروخ في تلك اللحظة الزمنية هو (1، -2،2 ) ، ثم صورة موقع الصاروخ في البحر

(أ) ( left ( frac <20> <13>، frac <15> <13>، frac <18> <13> right) ) (b) ( left ( frac <-20> <13>، frac <-15> <13>، frac <-18> <13> right) ) (ج) ( left ( frac <20> <13>، frac <-15> <13>، frac <18> <13> right) ) (د) لا شيء من هؤلاء
5

برج متحرك يقف على قمة تل. ضع في اعتبارك السطح الذي يقف عليه البرج كمستوى به النقاط A (0 ، 1،2) ، B (3 ، 4 ، -1) و C (2 ، 4 ، 2) عليه. يتم ربط برج الهاتف المحمول بثلاثة كبلات من النقطة A ، النطاق C بحيث يقف عموديًا على الأرض. تكون قمة البرج عند النقطة (6 ، 5 ، 9) ، كما هو موضح في الشكل.

بناءً على المعلومات الواردة أعلاه ، أجب عن الأسئلة التالية
(1) معادلة المستوى الذي يمر عبر النقاط A ، النطاق C هي

(أ) 3 س - 4 ص + ع = 0 (ب) 3 س - 2 ص + ع = 0 (ج) 4x - 3y + z = 0 (د) 4x - 3y + 3z = 0

(2) ارتفاع البرج من الأرض

(أ) 6 وحدات (ب) 5 وحدات (c) ( frac <17> < sqrt <14>> وحدات ) (د) ((د) فارك <5> < sqrt <14>> وحدات )

(3) معادلة الخط العمودي المرسوم من قمة البرج إلى الأرض هي

(أ) ( frac<3> = فارك<-2> = فارك<1>) (ب) ( frac<3> = فارك<-2> = فارك<1>) (ج) ( frac<3> = فارك<2> = فارك<1>) (د) لا شيء من هؤلاء

(iv) The coordinates of foot of perpendicular drawn from the peak of tower to the ground are


Important topics for Xam Idea Class 12 Maths Solutions Chapter 12: Three-dimensional Geometry

Few important topics that are covered in this chapter are below-mentioned:

Direction cosine of a line: Let us assume that the directed line OP makes angles α, β, and g with positive x, y, and z-axis respectively, then cos α, cos β, and cos g, are called direction cosines of a line. They are represented by l, m, and n respectively. Therefore, we can say that the l = cos α, m = cos β, and n = cos g. Also, the sum of squares of direction cosines of a line is always 1.

That means, l 2 + m 2 + n 2 = cos 2 α + cos 2 β, + cos 2 g = 1

Direction ratio of a line: Numbers proportional to the direction cosines of a line is called as direction ratios of a line. 3 points to be noted are:

If a, b, and c are direction ratio of a line, then

If a, b, and c are direction ratio of a line, then its direction cosines are

Direction ratios of a line PQ passing through the points P(x 1 , y 1 , z 1 ) and Q(x 2 , y 2 , z 2 ) are x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , and z 2 – z 1 and direction cosines are.

The angle between two lines: Vector form and Cartesian form of the angle between two lines are:

Vector form: Angle between the lines

Cartesian form: If ϴ is the angle between the lines

Also, angle (ϴ) between two lines with direction cosines, l 1 , m1 , n1 and l2 , m2 , n2 is given by cos ϴ = l1 l2 + m 1 m2 + n1 ن2

The shortest distance between two lines: Two non-intersecting lines or non-parallel lines are called skew lines and the shortest distance between them will be the perpendicular line between them. The vector form and Cartesian form formula for the shortest distance between two lines are:

Then, the shortest distance is,

Coplanar: If two lines are parallel to each other, then they are called coplanar.

Plane: A surface such that a line segment joining any two points of it lies wholly on it, then it is called a plane. A straight line perpendicular to every line lying on a plane is called normal to the plane.

Exercise Discussion for Xam Idea Class 12 Maths Solutions Chapter 12: Three-dimensional Geometry

Chapter 12 Three-dimensional Geometry, has a total of 88 solved problems in it. The problems are categorized into 4 parts. Each category is further divided into two parts: PYQ (past years questions) and OIQ (objective inventory questionnaires).


Top Career Options for PCB Students

Popular CoursesTop Colleges in India
Medical (MBBS)Click Here
Ayurveda (BAMS)Click Here
Homoeopathic (BHMS)Click Here
Siddha (BSMS)Click Here
Yoga & Neuropathic (BYNS)Click Here
Unani (BUMS)Click Here
Dental (BDS)Click Here
Nursing (B.Sc. Nursing)Click Here
Physiotherapy (BPT)Click Here
Veterinary (B.V.Sc.)Click Here
Pharmacy (B.Pharm)Click Here

Best Parenting Tips:
> Listen to your children’s feelings and thoughts.
> Focus on what’s good about your children.
> Know what your children can do based on their age and abilities.
> Behave how you want your children to behave.


شاهد الفيديو: الوحدة 12درس الأشكال ثلاثية الأبعاد (شهر نوفمبر 2021).