مقالات

3.9: الاستبدالات في التكاملات المتعددة


يناقش هذا القسم ترجمة الرسم البياني من (س ص ) المستوى الديكارتي إلى المستوى (uv ) الديكارتي ويعرف اليعقوبي.

مقدمة

كما لوحظ في الأقسام الأخرى المتعلقة بالإحداثيات القطبية ، يتم دمج بعض تكامل الوظائف على مساحة xyz بسهولة أكبر عن طريق ترجمتها إلى أنظمة إحداثيات مختلفة. يمكن أن تجعل هذه الاستبدالات عملية التكامل و / أو حدود التكامل أسهل ، كما فعل استبدال "U" للتكاملات الفردية. في هذا القسم ، سنقوم بترجمة الدوال من المستوى الإحداثي الديكارتي x-y-z إلى المستوى الإحداثي الديكارتي u-v-w لتسهيل حل بعض عمليات الدمج.

أحد المكونات الرئيسية لهذه الترجمة يسمى المحدد اليعقوبي ، أو ببساطة اليعقوبي, الذي يقيس مقدار تغير الحجم عند نقطة معينة عند التحويل من نظام إحداثي إلى آخر.

من المهم ملاحظة أنه على الرغم من أننا نغير نظام الإحداثيات الذي نرسم عليه وظائفنا ، فإن النظرية الكامنة وراء التكاملات المتعددة لم تتغير. لا تزال حدود التكامل تخلق المجال تحت المنحنى ، وسيساعدنا التكامل في العثور على حجم الشكل الذي تم إنشاؤه بواسطة الوظيفة الأصلية والمجال.

مناقشة نظرية مع التفصيل الوصفي

لأي وظيفة معينة (f (x ، y) ) ، يمكننا تعريف x و y كدالة لمتغيرات أخرى (g (u ، v) ). للقيام بذلك ، نجد أولاً (u ) و (v ) كدالة لـ (x ) و (y ) التي ستتيح عملية تكامل أسهل. ثم حل من أجل (x ) و (y ) لترجمة الوظيفة بحيث (x = g (u، v) text {and} y = h (u، v) ). هذا يترجم المنطقة من R في المستوى x-y إلى D في المستوى u-v.

يتذكر:

[I = iint_R f (x، y) dA ]

لذلك يجب أن نجد (dA ):

(dA ) يتغير من (dxdy ) إلى (| J (u ، v) | dudv ). يؤدي كل تغيير في u ( ( Delta u )) والتغيير في v ( ( Delta v )) إلى إنشاء متوازي أضلاع عبارة عن مناطق صغيرة ( Delta A ) أو dA. يمكننا العثور على مساحة كل من هذه متوازي الأضلاع (P) عن طريق أخذ حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين اللذين أنشأتهما ( ( Delta u text {and} Delta v )).

[ text {Area of ​​P} = begin {vmatrix} vec {V_1} times vec {V_2} end {vmatrix} = J (u، v) ]

[ start {align *} J (u، v) & = start {vmatrix} dfrac { جزئي x} { جزئي u} & dfrac { جزئي x} { جزئي v} dfrac { جزئية ص} { جزئية u} & dfrac { جزئية y} { جزئية v} نهاية {vmatrix} & = dfrac { جزئية x} { جزئية u} dfrac { جزئية y } { جزئي v} - dfrac { جزئي y} { جزئي u} dfrac { جزئي x} { جزئي v} & = dfrac { جزئي (x، y)} { جزئي ( ش ، ت)} نهاية {محاذاة *} ]

(| J (u ، v) | ) يمثل مساحة متوازي الأضلاع ، وهو محدد مصفوفة اليعاقبة ، الموضحة أعلاه. يقيس اليعقوبي مدى تغير التحول من المنطقة (R ) إلى المنطقة (G ). لذلك ، يتم تمثيل ترجمة تكامل (f (x ، y) ) بواسطة

[ iint_R f (x، y) dx dy = iint_G f (g (u، v)، h (u، v)) | J (u، v) | du dv. ]

يمكن تطبيق الشيء نفسه على التكاملات الثلاثية ، حيث يتم تمثيل الترجمات بواسطة

[س = ز (ش ، ت ، ث) ، ؛ ص = ح (ش ، ت ، ث) ، ؛ ض = ك (ش ، ت ، ث) ]

[ start {align *} J (u، v، w) & = dfrac { جزئي (x، y، z)} { جزئي (u، v، w)} & = begin {vmatrix } dfrac { جزئي x} { جزئي u} & dfrac { جزئي x} { جزئي v} & dfrac { جزئي x} { جزئي w} dfrac { جزئي y} { u} & dfrac { جزئي y} { جزئي v} & dfrac { جزئي y} { جزئي w} dfrac { جزئي z} { جزئي u} & dfrac { جزئي z } { جزئي v} & dfrac { جزئي z} { جزئي w} نهاية {vmatrix} & = dfrac { جزئي x} { جزئي u} start {vmatrix} dfrac { جزئي y} { جزئي v} & dfrac { جزئي y} { جزئي w} dfrac { جزئي z} { جزئي v} & dfrac { جزئي z} { جزئي w} نهاية { vmatrix} - dfrac { جزئية x} { جزئية v} تبدأ {vmatrix} dfrac { جزئي y} { جزئي u} & dfrac { جزئي y} { جزئي w} dfrac { جزئي z} { جزئي u} & dfrac { جزئي z} { جزئي w} نهاية {vmatrix} + dfrac { جزئي x} { جزئي w} start {vmatrix} dfrac { جزئي y} { جزئي u} & dfrac { جزئي y} { جزئي v} dfrac { جزئي z} { جزئي u} & dfrac { جزئي z} { جزئي v} نهاية { vmatrix} & = df rac { جزئي x} { جزئي u} يسار ( dfrac { جزئي y} { جزئي v} cdot dfrac { جزئي z} { جزئي w} - dfrac { جزئي z} { جزئي v} cdot dfrac { جزئي y} { جزئي w} يمين) - dfrac { جزئي x} { جزئي v} يسار ( dfrac { جزئي y} { جزئي u} cdot dfrac { جزئي z} { جزئي w} - dfrac { جزئي z} { جزئي u} cdot dfrac { جزئي y} { جزئي w} يمين) + dfrac { جزئي x} { جزئي w} يسار ( dfrac { جزئي y} { جزئي u} cdot dfrac { جزئي z} { جزئي v} - dfrac { جزئي z} { جزئي u} cdot dfrac { جزئي y} { جزئي v} يمين) end {محاذاة *} ]

تسمى هذه الطريقة للحصول على اليعقوبي توسع العامل المساعد.

على الرغم من أن المقدمة ركزت بشكل أساسي على ترجمة دالة ديكارتية إلى نظام إحداثيات ديكارتي مختلف ، يمكن أيضًا استخدام مفهوم اليعقوبي لشرح كيفية عمل الترجمات إلى الإحداثيات القطبية أيضًا.

للإحداثيات الأسطوانية

[x = r text {cos} theta، y = r text {sin} theta، z = z ]

وبالتالي:

[J (u، v، w) = بدء {vmatrix} dfrac { جزئي x} { جزئي u} & dfrac { جزئي x} { جزئي v} & dfrac { جزئي x} { جزئي w} dfrac { جزئي y} { جزئي u} & dfrac { جزئي y} { جزئي v} & dfrac { جزئي y} { جزئي w} dfrac { جزء z} { جزئي u} & dfrac { جزئي z} { جزئي v} & dfrac { جزئي z} { جزئي w} نهاية {vmatrix} = start {vmatrix} text {cos} theta & -r text {sin} theta & 0 text {sin} & r text {cos} theta & 0 0 & 0 & 1 end {vmatrix} ]

[ iiint_D F (x، y، z) dx dy dz = iiint_G H (r، theta، z) | r | د د ثيتا دز ]

للإحداثيات الكروية

[J ( rho، phi، theta) = start {vmatrix} dfrac { جزئي x} { جزئي rho} & dfrac { جزئي x} { جزئي phi} & dfrac { جزئي x} { جزئي theta} dfrac { جزئي y} { جزئي rho} & dfrac { جزئي y} { جزئي phi} & dfrac { جزئي y} { جزئي theta} dfrac { جزئي z} { جزئي rho} & dfrac { جزئي z} { جزئي phi} & dfrac { جزئي z} { جزئي theta} نهاية {vmatrix } = rho ^ 2 text {sin} phi ]

[ iiint_D F (x، y، z) dx dy dz = iiint_G H ( rho، phi، theta) | rho ^ 2 text {sin} phi | d rho d phi d ثيتا ]

ومن ثم ، يصبح (dx ، dy ، dz ) (rd ، rd ، theta ) بإحداثيات أسطوانية و ( rho ^ 2 text {sin} phi d rho d phi d theta ) في إحداثيات كروية.

مثال ( PageIndex {1} )

استخدم التحويل التالي لتقييم التكامل.

[u = dfrac {y} {x} text {and} v = xy ]

[ iint_R dfrac {y} {x} dA ]

[ text {حيث يتم تقييد R بـ:} 1 le u le 2 text {and} 1 le v le 2 ]

المحلول

ابحث أولاً عن (x ) و (y ) كوظائف (u ) و (v ):

(u = dfrac {y} {x} ) (v = xy )

(y = xu ) ( rightarrow ) (x = dfrac {v} {y} )

(x = dfrac {v} {xu} )

(x ^ 2 = dfrac {v} {u} )

(س = sqrt { dfrac {v} {u}} )

(ص = xu )

(y = left ( sqrt { dfrac {v} {u}} right) u )

(y = sqrt {vu} )

(x = g (u، v) = sqrt { dfrac {v} {u}} text {and} y = h (u، v) = sqrt {vu} )

باستخدام (x = g (u، v) text {and} y = h (u، v) ) ، ابحث عن التكامل من حيث (u text {and} v ):

[ dfrac {y} {x} = dfrac { sqrt {vu}} { sqrt { dfrac {v} {u}}} = u ]

ويتغير (dA ) من (dx dy ) إلى ( left | J (u، v) right | du dv ). اليعقوبي يساوي:

[J (u، v) = البدء {vmatrix} dfrac { جزئي x} { جزئي u} & dfrac { جزئي x} { جزئي v} dfrac { جزئي y} { u} & dfrac { جزئي y} { جزئي v} end {vmatrix} = dfrac { جزئي x} { جزئي u} dfrac { جزئي y} { جزئي v} - dfrac { جزئي y} { جزئي u} dfrac { جزئي x} { جزئي v} ]

[ dfrac { جزئي x} { جزئي u} = dfrac {1} {2} u ^ {- dfrac {3} {2}} v ^ { dfrac {1} {2}} dfrac { جزئي x} { جزئي v} = dfrac {1} {2} u ^ {- dfrac {1} {2}} v ^ {- dfrac {1} {2}} dfrac { جزئي y} { جزئي u} = dfrac {1} {2} u ^ {- dfrac {1} {2}} v ^ { dfrac {1} {2}} dfrac { جزئي y} { جزئي v} = dfrac {1} {2} u ^ { dfrac {1} {2}} v ^ {- dfrac {1} {2}} ]

[ begin {align *} J (u، v) & = begin {vmatrix} dfrac {1} {2} u ^ {- dfrac {3} {2}} v ^ { dfrac {1 } {2}} & dfrac {1} {2} u ^ {- dfrac {1} {2}} v ^ {- dfrac {1} {2}} dfrac {1} {2} u ^ {- dfrac {1} {2}} v ^ { dfrac {1} {2}} & dfrac {1} {2} u ^ { dfrac {1} {2}} v ^ {- dfrac {1} {2}} end {vmatrix} & = left (- dfrac {1} {4} u ^ {- 1} - dfrac {1} {4} u ^ {- 1 } right) & = dfrac {1} {2u} end {align *} ]

لذلك ، قم بتقييم:

[ begin {align *} & int_1 ^ 2 int_1 ^ 2 u left ( dfrac {1} {2u} right) du dv & = int_1 ^ 2 int_1 ^ 2 dfrac {1} {2} du dv & = int_1 ^ 2 left. dfrac {1} {2} u right | _1 ^ 2 dv & = int_1 ^ 2 1 - dfrac {1} {2} dv & = left. dfrac {1} {2} v right | _1 ^ 2 & = 1 - dfrac {1} {2} = dfrac {1} {2} end {align *} ]

مثال ( PageIndex {2} )

استخدم التحويل التالي لتقييم التكامل.

[u = x- dfrac {1} {2} y text {and} v = y ]

[ int_0 ^ { dfrac {1} {2}} int _ { dfrac {y} {2}} ^ { dfrac {y + 4} {2}} y ^ 3 (2x-y) e ^ {{2x-y} ^ 2} dx dy ]

المحلول

حل أولاً من أجل (س ) و (ص ):

(u = x- dfrac {1} {2} y ) (v = y )

(u = x- dfrac {1} {2} v ) (y = v )

(x = u + dfrac {1} {2} v ).

ثم استبدل (x ) و (y ) بـ (g (u، v) ) و (h (u، v) ):

التكامل:

[y ^ 3 (2x-y) e ^ {{2x-y} ^ 2} rightarrow v ^ 3 [2 (u + dfrac {1} {2} v) - v] e ^ {{ [2 (u + dfrac {1} {2} v) - v]} ^ 2} ]

[= v ^ 3 (2u) e ^ {{2u} ^ 2} ]

[= (2uv ^ 3) e ^ {4u ^ 2} ]

يغير التحول أيضًا حدود التكامل

( begin {align *} x & = dfrac {y + 4} {2} rightarrow u + dfrac {1} {2} v = dfrac {v +4} {2} [ 4pt] & = dfrac {y} {4} rightarrow u + dfrac {v} {2} = dfrac {v} {2} end {align *} ]

(u = dfrac {4} {2} )

(ش = 0 )

(ش = 2 )

ويتغير (dx dy ) إلى ( left | J (u، v) right | du dv ). اليعقوبي يساوي:

[J (u، v) = البدء {vmatrix} dfrac { جزئي x} { جزئي u} & dfrac { جزئي x} { جزئي v} dfrac { جزئي y} { u} & dfrac { جزئي y} { جزئي u} end {vmatrix} = dfrac { جزئي x} { جزئي u} dfrac { جزئي y} { جزئي v} - dfrac { جزئي y} { جزئي u} dfrac { جزئي x} { جزئي v} ]

[= start {vmatrix} 1 & 5 0 & 1 end {vmatrix} = 1 ]

هكذا،

[ start {align *} iint_R f (x، y) dx dy & = iint_G f (g (u، v)، h (u، v)) | J (u، v) | du dv & = int_0 ^ { dfrac {1} {2}} int_0 ^ 2 2uv ^ 3 e ^ {4u ^ 2} (1) dv du & = int_0 ^ { dfrac {1} {2}} اليسار. dfrac {ue ^ {4u ^ 2} v ^ 4} {2} right | _0 ^ 2 du & = int_0 ^ { dfrac {1} {2}} 8ue ^ {4u ^ 2} du & = left. e ^ {4u ^ 2} right | _0 ^ { dfrac {1} {2}} & = e-1 end {align *} ]

مثال ( PageIndex {3} )

أوجد كتلة الجسم الذي يحده

(1 le x le 2، 0 le xy le 1، 0 le z le 2 )

بكثافة يمكن وصفها بالصيغة (x ^ 2 y + 2xyz ) باستخدام التحويل (u = x، v = xy، w = 3z ).

المحلول

ضع التكامل في الإحداثيات الديكارتية:

[ int_1 ^ 2 int_0 ^ { dfrac {1} {x}} int_0 ^ 2 x ^ 2y + 2xyz dzdydx. ]

لتطبيق الاستبدال ، حل أولاً من أجل (x ) و (y ) باستخدام التحويلات المعطاة:

[u = x qquad v = xy qquad w = 3z ]

[x = u qquad y = dfrac {v} {x} qquad z = dfrac {w} {3} ]

[y = dfrac {v} {u}. ]

ثم قم بإجراء الاستبدالات المناسبة داخل التكامل:

[x ^ 2 y + 2xyz rightarrow u ^ 2 left ( dfrac {v} {u} right) + 2u left ( dfrac {v} {u} right) left ( dfrac {w } {3} right) rightarrow uv + dfrac {2vw} {3}. ]

بعد ذلك ، ابحث عن الحدود الجديدة للمنطقة التي نريد دمجها:

(1 le x le 2 rightarrow 1 le u le 2 )

(0 le xy le 1 rightarrow 0 le v le 1 )

(0 le z le 2 rightarrow 0 le dfrac {w} {3} le 2 rightarrow 0 le w le 6 ).

لإكمال التحول ، ابحث عن Jacobian:

[ start {align *} J (u، v، w) & = dfrac { جزئي (x، y، z)} { جزئي (u، v، w)} = begin {vmatrix} dfrac { جزئي x} { جزئي u} & dfrac { جزئي x} { جزئي v} & dfrac { جزئي x} { جزئي w} dfrac { جزئي y} { جزئي u} & dfrac { جزئي y} { جزئي v} & dfrac { جزئي y} { جزئي w} dfrac { جزئي z} { جزئي u} & dfrac { جزئي z} { جزئي v} & dfrac { جزئي z} { جزئي w} نهاية {vmatrix} & = begin {vmatrix} 1 & 0 & 0 - dfrac {v} {u ^ 2} & dfrac {1} {u} & 0 0 & 0 & dfrac {1} {3} end {vmatrix} & = dfrac {1} {3u}. النهاية {محاذاة *} ]

لاحظ أن اليعقوبي للمصفوفة المثلثية السفلية (القيم الموجودة أعلى القطر كلها صفر) هي مضاعفة الإدخالات القطرية. يمكنك تأكيد ذلك بتوسيع العامل المساعد.

باستخدام كل التحويلات المحسوبة ، يمكننا حساب التكامل الجديد:

[ start {align *} text {Mass} & = int_0 ^ 6 int_0 ^ 1 int_1 ^ 2 left (uv + dfrac {2vw} {3} right) dfrac {1} {3u } dudvdw & = dfrac {1} {3} int_0 ^ 6 int_0 ^ 1 int_1 ^ 2 v + dfrac {2vw} {3u} dudvdw & = dfrac {1} {2 } int_0 ^ 6 int_0 ^ 1 اليسار. vu + dfrac {2vw} {3} ln | u | right | _1 ^ 2 dvdw & = dfrac {1} {3} int_0 ^ 6 int_0 ^ 1 v + dfrac {2vw} {3} ln2 dvdw & = dfrac {1 } {3} int_0 ^ 6 اليسار. dfrac {v ^ 2} {2} + dfrac {2w ln2} {3} left ( dfrac {v ^ 2} {2} right) right | _0 ^ 1 dw & = dfrac {1} {3} int_0 ^ 6 dfrac {1} {2} + dfrac {w ln2} {3} dw & = dfrac {1} {3} left [ dfrac { 1} {2} w + dfrac {w ^ 2 ln2} {6} right] _0 ^ 6 & = dfrac {1} {3} left [3 + 6 ln2 right] & = 1 + 2 ln2. النهاية {محاذاة *} ]


شاهد الفيديو: التكاملات المتعددة- التكامل المزدوج Double Integration (شهر نوفمبر 2021).