مقالات

4.2: تصور الكسور (الجزء 2)


نموذج الكسور المتكافئة

دعونا نفكر في آندي وبوبي وطعامهما المفضل مرة أخرى. إذا أكل آندي ( dfrac {1} {2} ) بيتزا وأكل بوبي ( dfrac {2} {4} ) من البيتزا ، فهل تناولوا نفس الكمية من البيتزا؟ بمعنى آخر ، هل ( dfrac {1} {2} = dfrac {2} {4} )؟ يمكننا استخدام البلاط الكسري لمعرفة ما إذا كان آندي وبوبي قد أكلوا ما يعادل أجزاء من البيتزا.

التعريف: الكسور المتكافئة

الكسور المتكافئة هي كسور لها نفس القيمة.

تعمل بلاطات الكسور كنموذج مفيد للكسور المتكافئة. قد ترغب في استخدام مربعات الكسور للقيام بالنشاط التالي. أو يمكنك عمل نسخة من الشكل 4.3 وتوسيعه ليشمل الأثمان ، والأعشار ، والثاني عشر.

ابدأ بقطعة ( dfrac {1} {2} ). كم عدد الأرباع يساوي نصفًا؟ كم عدد المربعات ( dfrac {1} {4} ) التي تغطي مربع ( dfrac {1} {2} ) بالضبط؟

الشكل ( PageIndex {7} )

نظرًا لأن اثنين من ( dfrac {1} {4} ) يغطيان مربع ( dfrac {1} {2} ) ، فإننا نرى أن ( dfrac {2} {4} ) هو نفسه ( dfrac {1} {2} ) أو ( dfrac {2} {4} = dfrac {1} {2} ).

كم عدد المربعات ( dfrac {1} {6} ) التي تغطي مربع ( dfrac {1} {2} )؟

الشكل ( PageIndex {8} )

نظرًا لأن ثلاثة ( dfrac {1} {6} ) تغطي البلاط ( dfrac {1} {2} ) ، فإننا نرى أن ( dfrac {3} {6} ) هو نفسه ( dfrac {1} {2} ). لذلك ، ( dfrac {3} {6} = dfrac {1} {2} ). الكسور هي كسور متكافئة.

مثال ( PageIndex {13} ): كسور مكافئة

استخدم بلاطات الكسور لإيجاد الكسور المتكافئة. أظهر نتيجتك مع الشكل.

  1. كم ثمانية يساوي النصف؟
  2. كم من عشرة يساوي النصف؟
  3. كم من اثني عشر يساوي النصف؟

المحلول

  1. يتطلب الأمر أربعة ( dfrac {1} {8} ) بلاطات لتغطية مربع ( dfrac {1} {2} ) تمامًا ، لذلك ( dfrac {4} {8} = dfrac {1 } {2} ).

  1. يتطلب الأمر خمسة ( dfrac {1} {10} ) بلاطات لتغطية مربع ( dfrac {1} {2} ) تمامًا ، لذلك ( dfrac {5} {10} = dfrac {1 } {2} ).

  1. يتطلب الأمر ستة ( dfrac {1} {12} ) بلاطات لتغطية مربع ( dfrac {1} {2} ) تمامًا ، لذلك ( dfrac {6} {12} = dfrac {1 } {2} ).

لنفترض أنه تم وضع علامة على المربعات ( dfrac {1} {20} ). كم منها سيستغرق الأمر ليساوي ( dfrac {1} {2} )؟ هل تفكر في عشرة مربعات؟ إذا كنت على حق ، فأنت على حق ، لأن ( dfrac {10} {20} = dfrac {1} {2} ).

لقد أظهرنا أن ( dfrac {1} {2} ، dfrac {2} {4} ، dfrac {3} {6} ، dfrac {4} {8} ، dfrac {5} {10} و dfrac {6} {12} ) و ( dfrac {10} {20} ) كلها كسور متساوية.

تمرين ( PageIndex {25} )

استخدم بلاطات الكسور لإيجاد كسور متكافئة: كم عدد الأثمان يساوي ربعًا؟

إجابه

(2)

تمرين ( PageIndex {26} )

استخدم بلاطات الكسور لإيجاد كسور متكافئة: كم من اثني عشر يساوي ربعًا؟

إجابه

(3)

أوجد الكسور المتكافئة

استخدمنا مربعات الكسور لإظهار أن هناك العديد من الكسور المكافئة لـ ( dfrac {1} {2} ). على سبيل المثال ، ( dfrac {2} {4} و dfrac {3} {6} ) و ( dfrac {4} {8} ) كلها مكافئة لـ ( dfrac {1} { 2} ). عندما نصطف بلاطات الكسر ، استغرقت أربعة من بلاطات ( dfrac {1} {8} ) نفس طول القطعة ( dfrac {1} {2} ). أظهر هذا أن ( dfrac {4} {8} = dfrac {1} {2} ). راجع المثال ( PageIndex {13} ).

يمكننا إظهار ذلك بالبيتزا أيضًا. يوضح الشكل ( PageIndex {9a} ) بيتزا واحدة ، مقطعة إلى قطعتين متساويتين مع ( dfrac {1} {2} ) مظللة. يوضح الشكل ( PageIndex {9b} ) بيتزا ثانية بالحجم نفسه ، مقطعة إلى ثماني قطع مع ( dfrac {4} {8} ) مظللة.

الشكل ( PageIndex {9} )

هذه طريقة أخرى لتوضيح أن ( dfrac {1} {2} ) يعادل ( dfrac {4} {8} ). كيف يمكننا استخدام الرياضيات لتغيير ( dfrac {1} {2} ) إلى (frac {4} {8} )؟ كيف يمكنك أن تأخذ بيتزا مقطعة إلى قطعتين وتقطعها إلى ثماني قطع؟ يمكنك تقطيع كل من القطعتين الكبيرتين إلى أربع قطع أصغر! سيتم بعد ذلك تقطيع البيتزا بأكملها إلى ثماني قطع بدلاً من قطعتين فقط. رياضيا ، ما وصفناه يمكن كتابته على النحو التالي:

[ dfrac {1 cdot textcolor {blue} {4}} {2 cdot textcolor {blue} {4}} = dfrac {4} {8} nonumber ]

تؤدي هذه النماذج إلى خاصية الكسور المتكافئة ، والتي تنص على أنه إذا ضربنا بسط ومقام كسر في نفس العدد ، فإن قيمة الكسر لا تتغير.

التعريف: خاصية الكسور المتكافئة

إذا كانت (أ ) و (ب ) و (ج ) أرقام حيث (ب ≠ 0 ) و (ج ≠ 0 ) ، إذن

[ dfrac {a} {b} = dfrac {a cdot c} {b cdot c} ]

عند التعامل مع الكسور ، غالبًا ما يكون من الضروري التعبير عن نفس الكسر بأشكال مختلفة. لإيجاد صيغ معادلة لكسر ، يمكننا استخدام خاصية الكسور المتكافئة. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الكسر نصف.

[ begin {split} dfrac {1 cdot textcolor {blue} {3}} {2 cdot textcolor {blue} {3}} = dfrac {3} {6} ؛ & وبالتالي ؛ dfrac {1} {2} = dfrac {3} {6} dfrac {1 cdot textcolor {blue} {2}} {2 cdot textcolor {blue} {2}} = dfrac {2} {4} ؛ & وبالتالي ؛ dfrac {1} {2} = dfrac {2} {4} dfrac {1 cdot textcolor {blue} {10}} {2 cdot textcolor {blue} {10}} = dfrac {10} {20} ؛ & وبالتالي ؛ dfrac {1} {2} = dfrac {10} {20} end {split} nonumber ]

لذلك نقول إن ( dfrac {1} {2} و dfrac {2} {4} و dfrac {3} {6} ) و ( dfrac {10} {20} ) الكسور المتكافئة.

مثال ( PageIndex {14} ): كسور مكافئة

أوجد ثلاثة كسور مكافئة لـ ( dfrac {2} {5} ).

المحلول

لإيجاد كسر مكافئ لـ ( dfrac {2} {5} ) ، نضرب البسط والمقام في العدد نفسه (لكن ليس صفرًا). دعونا نضربهم في (2 ) و (3 ) و (5 ).

[ dfrac {2 cdot textcolor {blue} {2}} {5 cdot textcolor {blue} {2}} = dfrac {4} {10} qquad dfrac {2 cdot textcolor { blue} {3}} {5 cdot textcolor {blue} {3}} = dfrac {6} {15} qquad dfrac {2 cdot textcolor {blue} {5}} {5 cdot textcolor {blue} {5}} = dfrac {10} {25} nonumber ]

إذن ، ( dfrac {4} {10} و dfrac {6} {15} ) و ( dfrac {10} {25} ) مكافئة لـ ( dfrac {2} {5} ).

تمرين ( PageIndex {27} )

أوجد ثلاثة كسور مكافئة لـ ( dfrac {3} {5} ).

إجابه

تتضمن الإجابات الصحيحة ( dfrac {6} {10} و dfrac {9} {15} ) و ( dfrac {12} {20} )

تمرين ( PageIndex {28} )

أوجد ثلاثة كسور مكافئة لـ ( dfrac {4} {5} ).

إجابه

تتضمن الإجابات الصحيحة ( dfrac {8} {10} و dfrac {12} {15} ) و ( dfrac {16} {20} )

مثال ( PageIndex {15} ): كسور مكافئة

أوجد كسرًا مقامه 21 يساوي ( dfrac {2} {7} ).

المحلول

لإيجاد الكسور المتكافئة ، نضرب البسط والمقام في العدد نفسه. في هذه الحالة ، علينا ضرب المقام في رقم ينتج عنه (21 ).

نظرًا لأنه يمكننا ضرب (7 ) في (3 ) للحصول على (21 ) ، يمكننا إيجاد الكسر المكافئ بضرب كل من البسط والمقام في (3 ).

[ dfrac {2} {7} = dfrac {2 cdot textcolor {blue} {3}} {7 cdot textcolor {blue} {3}} = dfrac {6} {21} nonumber ]

تمرين ( PageIndex {29} )

ابحث عن كسر مقامه (21 ) يعادل ( dfrac {6} {7} ).

إجابه

( dfrac {18} {21} )

تمرين ( PageIndex {30} )

أوجد كسر مقامه (100 ) والذي يعادل ( dfrac {3} {10} ).

إجابه

( dfrac {30} {100} )

حدد موقع الكسور والأرقام الكسرية على خط الأعداد

نحن الآن جاهزون لرسم الكسور على خط الأعداد. سيساعدنا هذا في تصور الكسور وفهم قيمها.

دعونا نحدد موقع ( dfrac {1} {5} ، dfrac {4} {5} ، 3 ، 3 dfrac {1} {3} ، dfrac {7} {4} ، dfrac {9} { 2} و 5 ) و ( dfrac {8} {3} ) على خط الأعداد. سنبدأ بالأعداد الصحيحة (3 ) و (5 ) لأنها أسهل طريقة للتخطيط.

الكسور المناسبة المدرجة هي ( dfrac {1} {5} ) و ( dfrac {4} {5} ). نعلم أن الكسور الصحيحة تحتوي على قيم أقل من واحد ، لذلك ( dfrac {1} {5} ) و ( dfrac {1} {5} ) يقعان بين الأعداد الصحيحة (0 ) و ( 1 ). المقامات كلاهما (5 ) ، لذلك نحتاج إلى تقسيم مقطع خط الأعداد بين (0 ) و (1 ) إلى خمسة أجزاء متساوية. يمكننا القيام بذلك عن طريق رسم أربع علامات متساوية التباعد على خط الأعداد ، والتي يمكننا بعد ذلك تصنيفها كـ ( dfrac {1} {5} ، dfrac {2} {5} ، dfrac {3} {5} ) و ( dfrac {4} {5} ). ارسم الآن النقاط على ( dfrac {1} {5} ) و ( dfrac {4} {5} ).

الرقم المختلط الوحيد المطلوب رسمه هو (3 dfrac {1} {3} ). ما بين عددين صحيحين (3 dfrac {1} {3} )؟ تذكر أن العدد الكسري هو عدد صحيح بالإضافة إلى كسر صحيح ، لذلك (3 dfrac {1} {3}> 3 ). نظرًا لأنه أكبر من (3 ) ، ولكن ليس وحدة كاملة أكبر ، فإن (3 dfrac {1} {3} ) يقع بين (3 ) و (4 ). نحتاج إلى تقسيم جزء خط الأعداد بين (3 ) و (4 ) إلى ثلاث قطع متساوية (أثلاث) ورسم (3 dfrac {1} {3} ) عند العلامة الأولى.

أخيرًا ، انظر إلى الكسور غير الصحيحة ( dfrac {7} {4} و dfrac {9} {2} ) و ( dfrac {8} {3} ). سيكون تحديد هذه النقاط أسهل إذا قمت بتغيير كل منها إلى رقم مختلط.

[ dfrac {7} {4} = 1 dfrac {3} {4} ، qquad dfrac {9} {2} = 4 dfrac {1} {2} ، qquad dfrac {8} { 3} = 2 dfrac {2} {3} nonumber ]

هذا هو خط الأعداد مع رسم جميع النقاط.

مثال ( PageIndex {16} ): تحديد الموقع والتسمية

حدد موقع ما يلي وقم بتسميته على سطر الأرقام: ( dfrac {3} {4} ، dfrac {4} {3} ، dfrac {5} {3} ، 4 dfrac {1} {5} ) و ( dfrac {7} {2} ).

المحلول

ابدأ بتحديد موقع الكسر المناسب ( dfrac {3} {4} ). يقع بين (0 ) و (1 ). للقيام بذلك ، قسّم المسافة بين (0 ) و (1 ) إلى أربعة أجزاء متساوية. ثم ارسم ( dfrac {3} {4} ).

بعد ذلك ، حدد موقع الرقم المختلط (4 dfrac {1} {5} ). يقع بين (4 ) و (5 ) على خط الأعداد. قسّم خط الأعداد بين (4 ) و (5 ) إلى خمسة أجزاء متساوية ، ثم ارسم (4 dfrac {1} {5} ) خمس المسافة بين (4 ) و (5 ).

الآن حدد موقع الكسور غير الصحيحة ( dfrac {4} {3} ) و ( dfrac {5} {3} ). من الأسهل رسمها إذا قمنا بتحويلها إلى أعداد مختلطة أولاً.

[ dfrac {4} {3} = 1 dfrac {1} {3} ، qquad dfrac {5} {3} = 1 dfrac {2} {3} nonumber ]

اقسم المسافة بين (1 ) و (2 ) إلى أثلاث.

بعد ذلك ، دعونا نرسم ( dfrac {7} {2} ). نكتبه في صورة عدد مختلط ، ( dfrac {7} {2} = 3 dfrac {1} {2} ). ارسمها بين (3 ) و (4 ).

يعرض خط الأعداد جميع الأرقام الموجودة على خط الأعداد.

تمرين ( PageIndex {31} )

حدد موقع ما يلي وقم بتسميته على سطر الأرقام: ( dfrac {1} {3} ، dfrac {5} {4} ، dfrac {7} {4} ، 2 dfrac {3} {5} ، dfrac {9} {2} ).

إجابه

تمرين ( PageIndex {32} )

حدد موقع ما يلي وقم بتسميته على سطر الأرقام: ( dfrac {2} {3} ، dfrac {5} {2} ، dfrac {9} {4} ، dfrac {11} {4} ، 3 dfrac {2} {5} ).

إجابه

في مقدمة الأعداد الصحيحة ، قمنا بتعريف عكس العدد. إنه الرقم الذي هو نفس المسافة من الصفر على خط الأعداد ولكن على الجانب المقابل للصفر. رأينا ، على سبيل المثال ، أن عكس (7 ) هو (- 7 ) وعكس (- ) 7 هو (7 ).

الكسور لها أضداد أيضًا. عكس ( dfrac {3} {4} ) هو (- dfrac {3} {4} ). إنها نفس المسافة من (0 ) على خط الأعداد ، ولكن على الجانب الآخر من (0 ).

سيساعدنا التفكير في الكسور السالبة على أنها عكس الكسور الموجبة في تحديد موقعها على خط الأعداد. لتحديد موقع (- dfrac {15} {8} ) على خط الأعداد ، فكر أولاً في مكان ( dfrac {15} {8} ). إنه كسر غير صحيح ، لذلك نحوله أولاً إلى العدد المختلط (1 dfrac {7} {8} ) ونرى أنه سيكون بين (1 ) و (2 ) على خط الأعداد . لذا فإن نقيضه (- dfrac {15} {8} ) سيكون بين (- 1 ) و (- 2 ) على خط الأعداد.

مثال ( PageIndex {17} ): تحديد الموقع والتسمية

حدد موقع ما يلي وقم بتسميته على سطر الأرقام: ( dfrac {1} {4} ، - dfrac {1} {4} ، 1 dfrac {1} {3} ، −1 dfrac {1} {3 } و dfrac {5} {2} ) و (- dfrac {5} {2} ).

المحلول

ارسم خط الأعداد. ضع علامة (0 ) في المنتصف ثم ضع علامة على عدة وحدات إلى اليسار واليمين.

لتحديد موقع ( dfrac {1} {4} ) ، قسّم الفاصل الزمني بين (0 ) و (1 ) إلى أربعة أجزاء متساوية. يمثل كل جزء ربع المسافة. لذلك ارسم ( dfrac {1} {4} ) عند العلامة الأولى.

لتحديد موقع (- dfrac {1} {4} ) ، قسّم الفاصل الزمني بين (0 ) و (- 1 ) إلى أربعة أجزاء متساوية. ارسم (- dfrac {1} {4} ) عند العلامة الأولى على يسار (0 ).

نظرًا لأن (1 dfrac {1} {3} ) يقع بين (1 ) و (2 ) ، قسّم الفاصل الزمني بين (1 ) و (2 ) إلى ثلاثة أجزاء متساوية. ارسم (1 dfrac {1} {3} ) عند العلامة الأولى على يمين (1 ). إذًا بما أن (- 1 dfrac {1} {3} ) هو عكس (1 dfrac {1} {3} ) فهو يقع بين (- 1 ) و (- 2 ). قسّم الفترة الزمنية بين (- 1 ) و (- 2 ) إلى ثلاثة أجزاء متساوية. ارسم (- 1 dfrac {1} {3} ) عند العلامة الأولى على يسار (- 1 ).

لتحديد موقع ( dfrac {5} {2} ) و (- dfrac {5} {2} ) ، قد يكون من المفيد إعادة كتابتهما كأرقام مختلطة (2 dfrac {1} {2 } ) و (- 2 dfrac {1} {2} ). نظرًا لأن (2 dfrac {1} {2} ) يقع بين (2 ) و (3 ) ، اقسم الفاصل الزمني بين (2 ) و (3 ) إلى جزأين متساويين. ارسم ( dfrac {5} {2} ) عند العلامة. ثم بما أن (- 2 dfrac {1} {2} ) يقع بين (- 2 ) و (- 3 ) ، قسّم الفاصل الزمني بين (- 2 ) و (- 3 ) إلى جزئين متساويين. ارسم (- dfrac {5} {2} ) عند العلامة.

تمرين ( PageIndex {33} )

حدد موقع كل كسر من الكسور المعطاة وقم بتسميتها على خط الأعداد: ( dfrac {2} {3} ، - dfrac {2} {3} ، 2 dfrac {1} {4} ، −2 dfrac {1 } {4} ، dfrac {3} {2} ، - dfrac {3} {2} )

إجابه

تمرين ( PageIndex {34} )

حدد موقع كل كسر من الكسور المعطاة وقم بتسميتها على خط الأعداد: ( dfrac {3} {4} ، - dfrac {3} {4} ، 1 dfrac {1} {2} ، −1 dfrac {1 } {2} ، dfrac {7} {3} ، - dfrac {7} {3} )

إجابه

ترتيب الكسور والأعداد الكسرية

يمكننا استخدام رموز عدم المساواة لترتيب الكسور. تذكر أن (أ> ب ) يعني أن (أ ) على يمين (ب ) على خط الأعداد. كلما ننتقل من اليسار إلى اليمين على خط الأعداد ، تزداد القيم.

مثال ( PageIndex {18} ): ترتيب

اطلب كل زوج من أزواج الأرقام التالية ، باستخدام (<) أو (> ):

  1. (- dfrac {2} {3} ) ____ (- 1 )
  2. (- 3 dfrac {1} {2} ) ____ (- 3 )
  3. (- dfrac {3} {7} ) ____ (- dfrac {3} {8} )
  4. (- 2 ) ____ (- dfrac {16} {9} )

المحلول

  1. (- dfrac {2} {3}> −1 )

  1. (- 3 dfrac {1} {2} <−3 )

  1. (- dfrac {3} {7} <- dfrac {3} {8} )

  1. (- 2 <- dfrac {16} {9} )

تمرين ( PageIndex {35} )

اطلب كل زوج من أزواج الأرقام التالية ، باستخدام (<) أو (> ):

  1. (- dfrac {1} {3} ) __ (- 1 )
  2. (- 1 dfrac {1} {2} ) __ (- 2 )
  3. (- dfrac {2} {3} ) __ (- dfrac {1} {3} )
  4. (- 3 ) __ (- dfrac {7} {3} )
الإجابة أ

(>)

الجواب ب

(>)

الجواب ج

(<)

الجواب د

(<)

تمرين ( PageIndex {36} )

اطلب كل زوج من أزواج الأرقام التالية ، باستخدام (<) أو (> ):

  1. (- 3 ) __ (- dfrac {17} {5} )
  2. (- 2 dfrac {1} {4} ) __ (- 2 )
  3. (- dfrac {3} {5} ) __ (- dfrac {4} {5} )
  4. (- 4 ) __ (- dfrac {10} {3} )
الإجابة أ

(>)

الجواب ب

(<)

الجواب ج

(>)

الجواب د

(<)

المفاهيم الرئيسية

  • ملك واحد
    • أي عدد ، باستثناء الصفر ، مقسومًا على نفسه هو واحد.
      ( dfrac {a} {a} = 1 ) ، حيث (a neq 0 ).
  • أعداد كسرية
    • يتكون الرقم المختلط من عدد صحيح (a ) وكسر ( dfrac {b} {c} ) حيث (c neq 0 ).
    • هو مكتوب على النحو التالي: (a dfrac {b} {c} ) (c neq 0 )
  • الكسور الصحيحة وغير الصحيحة
    • الكسر ( frac {a} {b} ) هو كسر صحيح إذا (a
  • حول كسر غير فعلي إلى عدد كسري.
    1. اقسم المقام على البسط.
    2. حدد حاصل القسمة والباقي والمقسوم عليه.
    3. اكتب الرقم المختلط كـ ( dfrac { text {باقي}} { text {divisor}} ).
  • حوّل عددًا كسريًا إلى كسر غير فعلي.
    1. اضرب العدد الصحيح في المقام.
    2. أضف البسط إلى المنتج الموجود في الخطوة 1.
    3. اكتب المجموع النهائي على المقام الأصلي.
  • خاصية الكسور المتكافئة
    • إذا كانت (a ) ، (b ) و (c ) أرقامًا حيث (b neq 0 ) ، (c neq 0 ) ، ثم ( dfrac {a} {b} = dfrac {a cdot c} {b cdot c} ]).

قائمة المصطلحات

الكسور المتكافئة

الكسور المتكافئة هي كسرين أو أكثر لهما نفس القيمة.

جزء

تمت كتابة الكسر ( dfrac {a} {b} ). في الكسر ، (أ ) هو البسط و (ب ) هو المقام. يمثل الكسر أجزاء من الكل. المقام (ب ) هو عدد الأجزاء المتساوية التي تم تقسيم الكل إليها ، ويشير البسط (أ ) إلى عدد الأجزاء التي تم تضمينها.

عدد كسري

يتكون الرقم المختلط من عدد صحيح (a ) وكسر ( dfrac {b} {c} ) حيث (c neq 0 ). هو مكتوب كـ (a dfrac {b} {c} ) ، حيث (c neq 0 ).

الكسور الصحيحة وغير الصحيحة

يكون الكسر ( dfrac {a} {b} ) مناسبًا إذا (a b ).

مع التدريب يأتي الإتقان

في التدريبات التالية ، ظلل أجزاء من الدوائر أو المربعات لتمثيل الكسور التالية.

  1. ( dfrac {1} {2} )
  2. ( dfrac {1} {3} )
  3. ( dfrac {3} {4} )
  4. ( dfrac {2} {5} )
  5. ( dfrac {5} {6} )
  6. ( dfrac {7} {8} )
  7. ( dfrac {5} {8} )
  8. ( dfrac {7} {10} )

في التمارين التالية ، استخدم الدوائر الكسرية لعمل أجمعات ، إن أمكن ، بالقطع التالية.

  1. 3 أثلاث
  2. 8 أثمان
  3. 7 أسداس
  4. 4 أثلاث
  5. 7 أخماس
  6. 7 أرباع

في التدريبات التالية ، قم بتسمية الكسور غير الصحيحة. ثم اكتب كل كسر غير فعلي في صورة عدد كسري.

في التدريبات التالية ، ارسم دوائر كسرية لنمذجة الكسر المحدد.

  1. ( dfrac {3} {3} )
  2. ( dfrac {4} {4} )
  3. ( dfrac {7} {4} )
  4. ( dfrac {5} {3} )
  5. ( dfrac {11} {6} )
  6. ( dfrac {13} {8} )
  7. ( dfrac {10} {3} )
  8. ( dfrac {9} {4} )

في التدريبات التالية ، أعد كتابة الكسر غير الفعلي في صورة عدد كسري.

  1. ( dfrac {3} {2} )
  2. ( dfrac {5} {3} )
  3. ( dfrac {11} {4} )
  4. ( dfrac {13} {5} )
  5. ( dfrac {25} {6} )
  6. ( dfrac {28} {9} )
  7. ( dfrac {42} {13} )
  8. ( dfrac {47} {15} )

في التدريبات التالية ، أعد كتابة العدد الكسري في صورة كسر غير فعلي.

  1. (1 dfrac {2} {3} )
  2. (1 dfrac {2} {5} )
  3. (2 dfrac {1} {4} )
  4. (2 dfrac {5} {6} )
  5. (2 dfrac {7} {9} )
  6. (2 dfrac {5} {7} )
  7. (3 dfrac {4} {7} )
  8. (3 dfrac {5} {9} )

في التدريبات التالية ، استخدم مربعات الكسور أو ارسم شكلًا لإيجاد كسور مكافئة.

  1. كم ستة يساوي ثلث؟
  2. كم من اثني عشر يساوي الثلث؟
  3. كم ثمانية يساوي ثلاثة أرباع؟
  4. كم من اثني عشر يساوي ثلاثة أرباع؟
  5. كم على أربعة يساوي ثلاثة أنصاف؟
  6. كم سداس يساوي ثلاثة أنصاف؟

في التدريبات التالية ، أوجد ثلاثة كسور مكافئة للكسر الآتي. اعرض عملك باستخدام الأرقام أو الجبر.

  1. ( dfrac {1} {4} )
  2. ( dfrac {1} {3} )
  3. ( dfrac {3} {8} )
  4. ( dfrac {5} {6} )
  5. ( dfrac {2} {7} )
  6. ( dfrac {5} {9} )

في التدريبات التالية ، ارسم الأرقام على خط الأعداد.

  1. ( dfrac {2} {3} ، dfrac {5} {4} ، dfrac {12} {5} )
  2. ( dfrac {1} {3} ، dfrac {7} {4} ، dfrac {13} {5} )
  3. ( dfrac {1} {4}، dfrac {9} {5}، dfrac {11} {3} )
  4. ( dfrac {7} {10}، dfrac {5} {2}، dfrac {13} {8}، 3 )
  5. (2 dfrac {1} {3}، −2 dfrac {1} {3} )
  6. (1 dfrac {3} {4} ، −1 dfrac {3} {5} )
  7. ( dfrac {3} {4} ، - dfrac {3} {4} ، 1 dfrac {2} {3} ، −1 dfrac {2} {3} ، dfrac {5} {2} ، - dfrac {5} {2} )
  8. ( dfrac {2} {5} ، - dfrac {2} {5} ، 1 dfrac {3} {4} ، −1 dfrac {3} {4} ، dfrac {8} {3} ، - dfrac {8} {3} )

في التمارين التالية ، رتب كل زوج من أزواج الأرقام التالية باستخدام <أو>.

  1. −1 __ (- dfrac {1} {4} )
  2. −1 __ (- dfrac {1} {3} )
  3. (- 2 dfrac {1} {2} ) __− 3
  4. (- 1 dfrac {3} {4} ) __− 2
  5. (- dfrac {5} {12} ) __ (- dfrac {7} {12} )
  6. (- dfrac {9} {10} ) __ (- dfrac {3} {10} )
  7. −3 __ (- dfrac {13} {5} )
  8. −4 __ (- dfrac {23} {6} )

الرياضيات اليومية

  1. مقاييس الموسيقى يتم تقسيم رقصة الرقص إلى تهم. A ( dfrac {1} {1} ) يحتوي العد على خطوة واحدة في العد ، و ( dfrac {1} {2} ) يحتوي العد على خطوتين في العد و 1 3 يحتوي على ثلاث خطوات في العد. كم عدد الخطوات في عدد ( dfrac {1} {5} )؟ ما نوع العد الذي يحتوي على أربع خطوات؟
  2. مقاييس الموسيقى غالبًا ما تستخدم الكسور في الموسيقى. في 4 4 مرة ، هناك أربع ملاحظات ربع في مقياس واحد.
    1. كم عدد التدابير التي ستدلي بها ثماني ملاحظات ربع سنوية
    2. تحتوي أغنية "عيد ميلاد سعيد لك" على 25 ملاحظة ربع سنوية. كم عدد المقاييس الموجودة في "عيد ميلاد سعيد لك؟"
  3. الخبز تحضر نينا خمسة أواني حلوى فدج لتقديمها بعد حفل موسيقي. لكل مقلاة ، تحتاج 1 2 كوب من الجوز.
    1. كم عدد أكواب الجوز التي تحتاجها لخمس أواني حلوى فدج؟
    2. هل تعتقد أنه من الأسهل قياس هذا المقدار عند استخدام كسر غير فعلي أو عدد كسري؟ لماذا ا؟

تمارين الكتابة

  1. أعط مثالاً من تجربتك الحياتية (خارج المدرسة) حيث كان من المهم فهم الكسور.
  2. اشرح كيفية تحديد موقع الكسر غير الصحيح ( dfrac {21} {4} ) على خط الأعداد حيث يتم تمييز الأعداد الصحيحة فقط من 0 إلى 10.

الاختيار الذاتي

(أ) بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

(ب) إذا كانت معظم الشيكات الخاصة بك:

…بثقة. تهانينا! لقد حققت الأهداف في هذا القسم. فكر في مهارات الدراسة التي استخدمتها حتى تتمكن من الاستمرار في استخدامها. ماذا فعلت لتصبح واثقًا من قدرتك على فعل هذه الأشياء؟ كن دقيقا.

... مع بعض المساعدة. يجب معالجة هذا بسرعة لأن الموضوعات التي لا تتقنها تصبح حفرًا في طريقك إلى النجاح. في الرياضيات ، كل موضوع يعتمد على عمل سابق. من المهم التأكد من أن لديك أساسًا قويًا قبل المضي قدمًا. من يمكنك طلب المساعدة؟ زملائك في الفصل والمدرس هم موارد جيدة. هل يوجد مكان في الحرم الجامعي يتوفر فيه مدرسو الرياضيات؟ هل يمكن تحسين مهاراتك الدراسية؟

... لا - لا أفهم! هذه علامة تحذير ويجب ألا تتجاهلها. يجب أن تحصل على المساعدة على الفور وإلا ستغرق بسرعة. راجع معلمك بأسرع ما يمكن لمناقشة وضعك. يمكنكما معًا وضع خطة لتزويدك بالمساعدة التي تحتاجها.


4.2: تصور الكسور (الجزء 2)


مثل الكسور وخلافا لها

تقدم هذه الصفحة الكسور المتشابهة وغير المتشابهة بناءً على مقامات الكسور.

• الكسور المتشابهة هي كسور في نفس القيمة المكانية وبالتالي فإن المقامات متساوية.

• على عكس الكسور هي كسور في قيم مكانية مختلفة وبالتالي فإن القواسم ليست متساوية.
مخطط الدرس

ضع في اعتبارك الكسرين الممثلين في الشكل. كلاهما من نفس الحجم ولذا فهما متساويان.

الكسور الممثلة في الشكل بمقادير مختلفة.

على الرغم من أن الكسرين يظهران كقطعة واحدة ، إلا أنهما يمثلان كسرين مختلفين.

يوضح الشكل الكسرين كجزء من الكل. في الكسر الأول ، يتم تقسيم الكل إلى 8 8 قطع ويمثل الكسر 1 8 1 8 قيمة مكانية. في الكسر الثاني ، يتم تقسيم الكل إلى 12 12 قطعة ويمثل الكسر 1 12 1 12 قيمة مكانية.

أحجام القطع المفردة غير متساوية. ينعكس ذلك في المقام ، حيث يمثل المقام عدد الأجزاء التي تم تقسيم الكل إليها أو القيمة المكانية.

يوضح الشكل الكسرين بقيم مكانية مختلفة. الكسر الأول قيمته المكانية 1 8 1 8 والثاني قيمته المكانية 1 12 1 12. ينعكس ذلك في مقامات الكسور ، حيث يمثل المقام القيمة المكانية.

الكسور المتشابهة هي كسور في نفس القيمة المكانية وبالتالي فإن المقامات متساوية.

على عكس الكسور هي كسور في قيم مكانية مختلفة وبالتالي فإن القواسم ليست متساوية.

مثل الكسور: يتم إعطاء الكسور بنفس القيمة المكانية وبالتالي فإن المقامات متساوية.
على سبيل المثال: 2 4 2 4 و 3 4 3 4.

على عكس الكسور: الكل مقسم إلى أجزاء بأحجام مختلفة. الكسور المعطاة بقيم مكانية مختلفة وبالتالي فإن المقامات غير متساوية.
على سبيل المثال: 2 3 2 3 و 3 5 3 5.

تعني كلمة "مثل": أن يكون لهما نفس الخصائص أو الصفات.

تعني كلمة "بخلاف" وجود خصائص أو صفات مختلفة.

ما هي الكسور 2 4 2 4 و 2 5 2 5؟
الجواب "على عكس الكسور".

»مثل الكسور
→ لها نفس المقام أو الكسور المعطاة في نفس القيمة المكانية
→ على سبيل المثال: 1 8 1 8 و 3 8 3 8
»على عكس الكسور
→ وجود قواسم أو كسور مختلفة معطاة بقيم مكانية مختلفة
→ على سبيل المثال: 1 8 1 8 و 1 12 1 12

التالي


4.2: تصور الكسور (الجزء 2)


الكسور الصحيحة وغير الصحيحة والمختلطة

في هذا ، يتم شرح ما يلي.

• الكسر المناسب: أصغر من الكل وبشكل صحيح جزء من الكل

• الكسر غير الصحيح: أكبر من الكل في صورة كسر

• الكسر المختلط: أكبر من الكل في صورة مزيج من عدد صحيح وكسر
مخطط الدرس

الخلط السليم وغير اللائق

ضع في اعتبارك الشكل المعطى. الجزء الملون هو تمثيل لكسر والجزء الرمادي يظهر فقط كتمثيل للكل.

الكسر الذي يمثله الجزء الملون في الشكل الآتي هو 2 4 2 4

الكسر الذي يمثله الجزء الملون في الشكل الآتي هو 6 4 6 4

تمثل الصورة الكسر 6 4 6 4. عدد الأجزاء في الكسر المعطى: 6 6
عدد الأجزاء التي تشكل الكل: 4 4
عدد الأجزاء في الكسر المعطى أكبر من عدد الأجزاء التي تشكل الكل.

تمثل الصورة الكسر 6 4 6 4. 4 4 أجزاء من الكسر المعطى يعاد ترتيبها لتكوين الكل والجزء 2 2 المتبقي معروض في مكان قريب. لذلك ، يمكن التعبير عن 6 4 6 4 على هذا النحو 1 2 4 1 2 4.

تمثل الصورة ثلاثة كسور

• الكسر المعطى بالجزء الأخضر: 1 4 1 4

• الكسر المعطى بأجزاء أرجوانية: 6 4 6 4

• الكسر الناتج من الأجزاء البرتقالية: 1 2 4 1 2 4

كلمة "كسر" تعني "جزء من الكل".

• في الكسور الثلاثة المعطاة ، يكون 1 4 1 4 فقط جزءًا من الكل. قيمة الكسر أقل من 1 1 ، والتي تعد جزءًا من الكل بشكل صحيح. تسمى هذه الكسور الكسور المناسبة.

• الكسر 6 4 6 4 أكبر من 1 1 ويمثل البسط في المقام. تسمى هذه الكسور الكسور غير الصحيحة.

• الكسر 1 2 4 1 2 4 أكبر من 1 1 ويتم تمثيله في صورة عدد صحيح مع كسر. تسمى هذه الكسور الكسور المختلطة.

كلمة "مناسبة" تعني: النوع المطلوب أو الصحيح. الكسور المناسبة هي كسور أصغر من الكل وتكون بشكل صحيح جزءًا من الكل.

كلمة "غير لائق" تعني: ليس من النوع الصحيح. الكسور غير الصحيحة هي كسور أكبر من الكل.

وتعني كلمة "مختلط": تتكون من كميات أو عناصر مختلفة. الكسور المختلطة هي كسر يحتوي على عدد صحيح من الكل وكسر صحيح.

جزء الصحيح: عدد الأجزاء في الكسر (البسط) أقل من عدد الأجزاء التي تشكل الكل (المقام) المعطى كبسط مقسومًا على المقام. الكسور الصحيحة أقل من 1.

جزء غير لائق: عدد الأجزاء في الكسر (البسط) أكبر من عدد الأجزاء التي تشكل الكل (المقام) المعطى كبسط في المقام. الكسور غير الصحيحة أكبر من 1 في صورة بسط في المقام.

كسر مختلط: تم تحديده على أنه عدد أجمعين مع كسر. الكسور المختلطة أكبر من 1 وتُعطى كرقم صحيح متبوعًا ببسط في المقام.

ما نوع الكسر 3 7 3 7؟
الجواب هو "كسر مناسب".

ما نوع الكسر 17 7 17 7؟
الجواب هو "كسر غير لائق".

ما نوع الكسر 2 3 7 2 3 7؟
الجواب هو "الكسر المختلط".

ما نوع الكسر 7 30 35 7 30 35؟
الجواب هو "الكسر المختلط".

" جزء الصحيح
→ الكسر أصغر من الكل
→ على سبيل المثال: 2 4 2 4
" جزء غير لائق
→ الكسر أكبر من الكل
→ على سبيل المثال: 6 4 6 4
»كسر مختلط
→ عدد صحيح وكسر معطى معًا
→ على سبيل المثال: 1 2 4 1 2 4

التالي


4.2: تصور الكسور (الجزء 2)


الكسور المتكافئة وأبسط شكل للكسر

في هذه الصفحة ، يتم شرح الكسور المتكافئة وأبسط شكل للكسر

• كسرين أو أكثر يحددان نفس المقدار بقيم مكانية مختلفة هما كسوران متكافئة.

• من بين مجموعة الكسور المتكافئة ، فإن الكسر ذي المقام الأدنى (الذي يمثل أقل عدد من القطع الكلية) هو أبسط شكل من أشكال الكسر.
مخطط الدرس

ينقسم الكل إلى 4 4 قطع ويتم اعتبار 2 2 قطعة. الكسر الذي يمثله الجزء الملون هو 2 4 2 4

الكل ينقسم إلى قطعتين ويتم اعتبار قطعة واحدة. الكسر الذي يمثله الجزء الملون هو 1 2 1 2.

تظهر الصورة ثلاثة أجزاء بثلاثة ألوان مختلفة.

• الجزء الرمادي يظهر الكل

• الجزء البرتقالي يوضح الكسر 2 4 2 4

• الجزء الأرجواني يوضح الكسر 1 2 1 2

يمثل الكسر 2 4 2 4 و 1 2 1 2 نفس المقدار ونفس العدد.

بسط ومقام كسر واحد هو مضاعف البسط والمقام لكسر آخر على التوالي. تسمى هذه الكسور الكسور المتكافئة.

كلمة "معادل" تعني تساوي القيمة أو المبلغ. الكسور المتكافئة هي جزء من كمية متساوية.

تُظهر الصورة أربعة كسور ، 1 2 1 2 ، 2 4 2 4 ، 3 6 3 6 ، و 4 8 4 8. هذه كسور متكافئة.

تحتوي الكسور 2 4 2 4 و 3 6 3 6 و 4 8 4 8 على بسط ومقام بعوامل مشتركة 2 2 و 3 3 و 4 4 على التوالي.

لوحظ أن
• في 1 2 1 2 ، يتم تقطيع الكل إلى قطعتين ،
• في 2 4 2 4 يتم تقطيع الكل إلى أربع قطع ،
• وهكذا بالنسبة لـ 3 6 3 6 و 4 8 4 8 ، بستة وثماني قطع على التوالي.
كل هذه الكسور تمثل نفس المقدار ومن بينها ، 1 2 1 2 بها أصغر عدد من القطع. إنه أبسط صورة لجميع الكسور.

من الملاحظ أن الكسر 1 2 1 2 فقط ليس له عامل مشترك بين البسط والمقام.
الكسر بدون عامل مشترك بين البسط والمقام هو أبسط صورة للكسور المتكافئة.

كلمة "أبسط" تعني: بدون تعقيد ، سهل وبسيط وابتدائي. الكسر بدون عامل مشترك بين البسط والمقام هو أبسط صورة للكسور المتكافئة.

الكسور التي تحدد نفس المقدار بقيم مكانية مختلفة هي كسور متكافئة.

الكسر الذي يحدد نفس المقدار بأدنى مقام ممكن هو أبسط صورة من الكسور المتكافئة.

جزء يعادل: كسرين p q p q و l m l m متكافئان إذا كان البسطان l l و p p والمقامان m m و q q لهما عامل مشترك a a.

هذا هو
ل = أ × ص ل = أ × ص و
م = أ × ف م = أ × ف.
أ هو عدد صحيح.
لاحظ أن lm l m و p q p q يحددان نفس المقدار بقيم مكانية مختلفة.

أبسط شكل لكسر: الكسر p q p q بدون عامل مشترك بين البسط والمقام هو أبسط صورة للكسور المتكافئة. أي ، p ≠ a × q p a × q لأي عدد صحيح a a.

الكسور المعطاة 1 2 1 2 و 2 4 2 4. أي واحد هو الشكل البسيط للكسور المتكافئة المعطاة؟
1 2 1 2 هو الشكل البسيط للكسرين. .

" الكسور المتكافئة
→ الكسور التي تحدد نفس المقدار بقيم مكانية مختلفة
" ابسط شكل
→ الكسر الذي يحدد المقدار بأدنى مقام ممكن
→ على سبيل المثال: أبسط شكل من 2 4 2 4 هو 1 2 1 2


تحليل وتكوين حاسبة الكسور

آلة حاسبة للكسور المتحللة عبر الإنترنت لتحليل الكسر إلى كسر وحدة. تحلل الكسور هو تفتيت الكسور إلى عدة أجزاء يمكن جمعها معًا. تكوين الكسور هو عكس التحلل ، حيث تتكون جميع الكسور الجزئية كواحد. تساعدك حاسبة تحليل الكسور وتكوينها عبر الإنترنت على تكوين الكسور وتحللها. اختر الخيار وأدخل القيم في الآلة الحاسبة للعثور على النتيجة.


4.2: تصور الكسور (الجزء 2)


في هذا ، يتم شرح المقارنة بين كسرين من قيم أو مقامات مكانية مختلفة. هذا يغطي

• مقارنة الكسور المتشابهة بقيمة البسط.

• عند مقارنة البسط ، يتم تطبيق مبادئ / إجراءات مقارنة الأعداد الصحيحة.

• ترتيب الكسور تصاعديًا وتنازليًا
مخطط الدرس

دعونا نراجع بسرعة مقارنة الأعداد الصحيحة ونبدأ في فهم مقارنة الكسور.

الرقم 7 7 "أكبر" من الرقم 3 3.

الرقم 4 4 "أصغر" من الرقم 6 6.

الرقم 5 5 "يساوي" الرقم 5 5.

في الأعداد الصحيحة ، درسنا ما يلي.

خاصية تريكوتومي للمقارنة : يمكن مقارنة رقمين للعثور على أحدهما كـ

مقارنة بالمبدأ الأول: يتم مطابقة كميتين واحد لواحد ويتم مقارنتهما في عدد أو مقدار الكميات. نتيجة لذلك ، يكون أحدهما أصغر أو مساويًا أو أكبر للآخر. مثال: مقارنة العددين 7 7 و 8 8. تتم مقارنة الكميات التي يمثلونها في الشكل. وجد أن 7 7 أصغر من 8 8.

إجراء مبسط - مقارنة حسب التسلسل المرتب: لمعرفة ما إذا كان أحد الأرقام أكبر أو أصغر من رقم آخر ، تتم مقارنة الأرقام باستخدام الترتيب 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، ⋯ 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، ⋯. مثال: مقارنة العددين 4 4 و 7 7.

4 4 على الجانب الأيسر حتى 7 7 بالترتيب 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 وهكذا 4 4 أصغر من 7 7.

المقارنة حسب القيمة المكانية -- Simplified Procedure to Compare Large Numbers: To find if one number is larger or smaller than another number, the digits at the highest place value are compared and if they are equal, then the digits at next lower place value are compared.

Given two whole numbers, they can be compared as

Can such comparison be done on two fractions?

Given two fractions 1 8 1 8 and 1 12 1 12 . The figure shows the fractions. 1 8 1 8 is shown in brown, and 1 12 1 12 is shown in purple color.

Comparing the quantities represented by the fractions, it is concluded that 1 8 1 8 is larger than 1 12 1 12 .

Given two fractions 3 4 3 4 and 5 8 5 8 . A picture to show the quantities is not given. Can these be compared?

Given two fractions 3 4 3 4 and 5 8 5 8 .

The figure shows the fractions. 3 4 3 4 is shown in brown, and 5 8 5 8 is shown in purple color.

With the figure, it is easy to find that one fraction is larger than another.
To compare these fractions, convert the fractions to like fractions having same place value

Given two fractions 3 4 3 4 and 5 8 5 8 . The fraction 3 4 3 4 is converted to 6 8 6 8 to make them like fractions.

Both 6 8 6 8 and 5 8 5 8 have the same place value 1 8 1 8 (ie: same denominator 8 8 ).

In this form, the numerators can be compared and 6 8 6 8 is larger, which means its equivalent fraction 3 4 3 4 is larger than 5 8 5 8 .

Two fractions can be compared by numerators after converting them into like fractions.

In whole numbers, 2 2 tens and 8 8 units are compared by converting 2 2 tens into 20 20 units. 20 20 units is larger than 8 8 units.

In fractions, the denominators represent the place values, and numbers of same place value can be compared. Numerators of like fractions are compared as whole numbers, and unlike fractions are converted to like fractions before the comparison.

Comparing fractions: First principles The numerators of two like fractions can be compared as whole numbers.

Unlike fractions are first converted into like fractions to compare them.

Given 3 4 3 4 and 2 3 2 3 , Which fraction is smaller?
The answer is ' 2 3 2 3 '. First, convert them to like fractions

LCM ( 4 , 3 ) = 12 LCM ( 4 , 3 ) = 12

Comparing the numerators 9 9 and 8 8 , it is concluded that 2 3 2 3 is smaller.

So far only positive fractions were considered for comparison. Fractions are directed numbers too. Fractions can be either positive or negative. Let us see how to compare such fractions.

Comparison of Integers -- First Principles: : Comparison is in terms of the amount received (or the aligned direction).

Amount given is smaller than amount received, as comparison is by amount received.

Larger amount given is smaller than smaller amount given, as comparison is by the amount received.

Comparison of Integers -- Simplified Procedure:

sign-property of comparison
• +ve and +ve are compared as whole numbers.
• When comparing +ve and -ve, the +ve value is larger irrespective of the absolute values of the numbers.
• When comparing -ve and -ve, the number with smaller absolute value is larger than the other.

The absolute values are compared as the simplified procedure detailed in whole numbers comparison by place-value.

3 4 3 4 and − 6 7 - 6 7 are compared. The numbers are, received: 3 4 received: 3 4 and given: 6 7 given: 6 7 in directed fractions form. Received, is greater than, given.

Negative fractions are smaller than positive fractions.

Comparing − 3 - 3 or − 6 - 6 . The comparison is in terms of received. When comparing in terms of amount received, given: 3 given: 3 is larger than given: 6 given: 6 .

The same is applicable for fractions. Negative fraction with larger absolute value is smaller than negative fraction with smaller absolute value.

Comparison of Negative and Positive fractions: : Comparison is in terms of the amount received.

Amount given is smaller than amount received, as comparison is by amount received.

Larger amount given is smaller than smaller amount given, as comparison is by the amount received.

sign-property of comparison
• +ve and +ve are compared as larger absolute value is larger fraction in value.
• When comparing +ve and -ve, the +ve value is larger irrespective of the absolute values of the numbers.
• When comparing -ve and -ve, the number with smaller absolute value is larger than the other.

Which of the following is smaller than the other? 1 2 1 2 or − 2 3 - 2 3
The answer is " − 2 3 - 2 3 ." As per sign property of comparison, the negative number is smaller than the positive number.

Which of the following is smaller than the other? − 1 2 - 1 2 or − 3 4 - 3 4
The answer is " − 3 4 - 3 4 "

Both the numbers are negative. So, the larger amount in negative is smaller in values. Comparing the numbers without the sign and converting them to like fractions, 3 4 3 4 is larger in value and so − 3 4 - 3 4 is smaller than − 1 2 - 1 2 .

Which of the following is larger than the other? − 3 4 - 3 4 or − 3 4 - 3 4
The answer is "the numbers are equal"

Which of the following is larger than the other? 3 4 3 4 or − 3 4 - 3 4
The answer is " 3 4 3 4 ". As per sign property of comparison, the positive number is larger than the negative number.

In whole numbers, we learned that the ordinal-property of the numbers is defined by `0<1<2<3 ⋯ < − 3 < − 2 < − 1 < 0 ⋯ < - 3 < - 2 < - 1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ⋯ < 1 < 2 < 3 < ⋯ .

Let us see how the ordinal property is extended to fractions. ⋯ < − 3 5 < − 2 5 < − 1 5 < 0 ⋯ < - 3 5 < - 2 5 < - 1 5 < 0 < 1 5 < 2 5 < 3 5 < ⋯ < 1 5 < 2 5 < 3 5 < ⋯

The ordinal property is best captured by the number-line.

• Number-line of whole numbers starts from 0 0 and extends in one direction. It consists of points at positions 0 , 1 , 2 , ⋯ 0 , 1 , 2 , ⋯ .

• Number-line of integers extends in both the directions. It consists of points at positions ⋯ , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , ⋯ ⋯ , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , ⋯

• Fractions are placed between the integers values. Number-line of fractions extends in both the directions.

Consider the number line of fractions. 1 2 1 2 is placed between points 0 0 and 1 1 .

The line-segment between 0 0 and 1 1 is split into 2 2 equal pieces. 1 2 1 2 is at the position of 1 1 piece as shown in the figure.

The fraction 2 3 4 2 3 4 , is placed between points 2 2 and 3 3 at third position of 4 4 pieces. The line-segment between 2 2 and 3 3 is split into 4 4 equal pieces. 2 3 4 2 3 4 is at the position of third piece as shown in the figure.

Given several fractions, to compare as largest or smallest, the fractions are converted to like fractions.

The ascending order was introduced in whole numbers. Given numbers are arranged from smallest to largest.

The descending order was introduced in whole numbers. Given numbers are arranged from largest to smallest.

Two or more fractions can be arranged in ascending order or descending order, after converting them to like fractions. The like fractions can be ordered based on the value of the numerators.

Two or more fractions can be compared to arrange them in
• ascending order : from the smallest to the largest
• descending order : from the largest to the smallest

Arrange the numbers in ascending order − 23 4 - 23 4 , 7 3 7 3 , 42 3 42 3 .
The answer is " − 23 4 - 23 4 , 7 3 7 3 , 42 3 42 3 "

Arrange the numbers in descending order 8 5 8 5 , 9 10 9 10 , − 9 2 - 9 2 .
The answer is " 8 5 8 5 , 9 10 9 10 , − 9 2 - 9 2 "

Arrange the numbers in descending order 2 27 2 27 , 2 9 2 9 , 2 36 2 36 .
The answer is " 2 9 2 9 , 2 27 2 27 , 2 36 2 36 "

» convert the fractions to like fractions and compare the numerators.
→ 3 4 ? 2 3 3 4 ? 2 3
→ 3 4 = 9 12 3 4 = 9 12 and 2 3 = 8 12 2 3 = 8 12
→ 9 > 8 9 > 8 ⇒ ⇒ 9 12 > 8 12 9 12 > 8 12
→ 3 4 > 2 3 3 4 > 2 3

In comparing numerators as integers, the following principles / procedures of integer comparion is used.
• Comparison by First Principle
• Simplified Procedure -- Comparison by ordered-sequence
• Comparison by Place-value
• sign-property of comparison
التالي


Lesson Synthesis

Lesson Synthesis

“Today we made sense of and created diagrams that represent fractions, including fractions greater than 1.”

“Did you notice anything interesting about the last two diagrams you created and the fractions they represent?” (Students may or may not refer to equivalence. Sample responses:

  • They are both greater than 1.
  • The shaded parts are the same size. They have the same amount of shading.
  • The numerator and denominator in one fraction are twice the numerator and denominator in the other.
  • The fractions are equivalent.)

Simple Fractions NO PREP Packet

This Simple Fractions NO PREP Packet is FILLED with engaging activities to help students master simple fractions! The FUN, hands-on and interactive approach allows teachers to teach with multiple modalities!

ال BEST part about this packet is that there is NO PREP! NO laminating, NO costly colored ink, NO cutting…just PRINT و LEARN!

Here is what is included in this Simple Fraction Packet:

*A Rainbow of Fractions- Color each fraction bar according to the color code. Helps students see how each group of fractions compares to a whole fraction.

*A Rainbow of Fractions Part II- Same as a Rainbow of Fractions except students color the bars in different groups to see how they compare to a whole.

*A Rainbow of Fractions III- Works with smaller fractions such as 1/8, 1/10, 1/12 and 1/16. This allows students to see how the parts of a smaller fraction relate to a whole fraction.

*Fraction Mini-Booklet- The mini-booklet is a self-contained one page interactive booklet that explains a whole fraction, the numerator, the denominator and has students color 1/2, 1/3 and 1/4 of a fraction.

*Fractions Page- Students see examples of 1, 1/2, 1/3 and 14 of a fraction. After looking at a shaded fraction, students are asked to identify the shaded part and the part that is not shaded.

*Color the Fraction- Students are required to color 1/2, 1/3 and 1/4 of a each fraction. This pages uses different shapes to help students recognize fractions within divided objects.

*Roll and Color a Fraction- This interactive game allows one or two students to roll a die, and color a fraction in that column. This pages uses circles.

*Roll and Color a Fraction II - This page also has students playing a game and coloring fractions. This page uses a variety of rectangles.

*Read and Color the Fraction- This Read and Color the Fraction page will help students practice reading the fraction word and coloring the correct parts of a circle.

**Read and Color the Fraction- This Read and Color the Fraction page will help students practice reading the fraction word and coloring the correct parts of a rectangle.

*Cut and Paste a Fraction- Students cut and paste a fraction that matches the shaded part with circles.

*Cut and Paste a Fraction II- Students cut and paste a fraction that matches the shaded part with squares.

Draw and Color a Fraction -Students are given a simple shape, asked to divide the shape into a specific number of equal parts and color part of the shape a specific color.

*Fraction Super Star- This cut and paste page allows kids to match the shapes to the correct fraction word.

*Cut and Paste Fractions - Fractions are displayed in 4 different ways using 1/3 and 1/2, and students match to the correct spots.

*Cut and Paste a Fraction II-Fractions are displayed in 4 different ways using 1/4 and 1/6, and students match to the correct spots.

*Pizza Fractions- Follow the directions to make the perfect pizza. Students will add toppings onto different fractions of the pizza!

*Ice Cream Fractions- Read the recipe for the perfect ice cream cone! Color the scoops according to the recipe.

*A pice of Pie Word Problems- Read the word problems and the different parts of the pie on 9 different word problems.

*Let's Share! - Students use the color code to color the correct number of fractions for Bill and Jane's school supplies.

*I Understand Parts of a Group- Color the correct parts of each lunch item.

*Gumball Fractions- Color the gumballs according to the code. Cut and paste the gumballs onto the gumball machine. (Uses eighths)

*Gumball Fractions II- Color the gumballs according to the code. Cut and paste the gumballs onto the gumball machine. (Uses tenths)

*Colorful Gumball Fractions - Students will pick three different colors to color a given set of gumballs. Next, students record their fraction with the correct numerator and denominator.

*Coloring Fractions- Students color the fraction according to the given given directions. Next, students record the colored part of the fraction AND the part that is NOT colored.

*Spin and Color a Fraction- This FUN and interactive page allows students to make a spinner out of a pencil and paperclip. The will spin the spinner with 1/2, 1/3 and 1/4 of a fraction and color the fraction to match their spin!

*Spin and Color a Fraction II- This FUN and interactive page allows students to make a spinner out of a pencil and paperclip. The will spin the spinner with 2/4, 2/3 and 2/5 of a fraction and color the fraction to match their spin!

*Fraction Word Problems- Students read the words problems, draw a picture to match and color accordingly. The last word problem allows students to write the fraction part on their own.

*Fraction Word Problems II- Students read the words problems, draw a picture to match and color accordingly. The last word problem allows students to write the fraction part on their own.

*Ten Frame Fractions- Students look at the written fraction and color the ten frame to match.

*Ten Frame Fractions II - This page requires students to read the fraction word, write the numerator and color the ten frame to match.

*Base Ten Fractions- Look at each written fraction and color the Base Ten Rod to match!

*Base Ten Fractions II- This page requires students to read the fraction word, write the numerator and color the Base Ten Rod to match.

*Domino Fractions- Look at the domino and read the fraction. Color the circles to show the fraction on each domino.

*Domino Fractions II- Look at the domino and read the fraction. Color the circles to show the fraction on each domino.

*Roll and Draw a Fraction- Roll two dice. Place the smaller number on top (numerator) and the larger number on the bottom (denominator). Divide and color the circles to show your fraction.

*Color and Compare Like Fractions- Color each circle to match the written fraction. Compare the fractions with a < or > sign.

*Color and Compare Fractions II- Color each circle to match the written fraction. Compare the fractions with a < , > or = sign.

*Color by Fraction- This FUN coloring page allows students to read the written fraction and use the color code to color the correct shaded fraction in the picture!

This hands-on and interactive packet is sure to help students ENJOY simple fractions and MASTER this Common Core standard! I hope you find this packet helpful!

If you like this resource, be sure to check out our other NO PREP packets!


4.2: Visualize Fractions (Part 2)

Scientific Programming Language

  • Powerful mathematics-oriented syntax with built-in 2D/3D plotting and visualization tools
  • Free software, runs on GNU/Linux, macOS, BSD, and Microsoft Windows
  • Drop-in compatible with many Matlab scripts

Syntax Examples

The Octave syntax is largely compatible with Matlab. The Octave interpreter can be run in GUI mode, as a console, or invoked as part of a shell script. More Octave examples can be found in the Octave wiki.

Solve systems of equations with linear algebra operations on ثلاثة أبعاد و matrices.

Visualize data with high-level plot commands in 2D and 3D.

Octave Packages

GNU Octave can be extended by packages. Find them at:

تطوير

Octave is free software licensed under the GNU General Public License (GPL). Assuming you have Mercurial installed on your machine you may obtain the latest development version of Octave sources with the following command:

Octave Version 6.2.0 has been released and is now available for download. An official Windows binary installer is also available. For macOS see the installation instructions in the wiki.


4.2: Visualize Fractions (Part 2)

Количество зарегистрированных учащихся: 8.7 тыс.

Good data collection is built on good samples. But the samples can be chosen in many ways. Samples can be haphazard or convenient selections of persons, or records, or networks, or other units, but one questions the quality of such samples, especially what these selection methods mean for drawing good conclusions about a population after data collection and analysis is done. Samples can be more carefully selected based on a researcher’s judgment, but one then questions whether that judgment can be biased by personal factors. Samples can also be draw in statistically rigorous and careful ways, using random selection and control methods to provide sound representation and cost control. It is these last kinds of samples that will be discussed in this course. We will examine simple random sampling that can be used for sampling persons or records, cluster sampling that can be used to sample groups of persons or records or networks, stratification which can be applied to simple random and cluster samples, systematic selection, and stratified multistage samples. The course concludes with a brief overview of how to estimate and summarize the uncertainty of randomized sampling.

Рецензии

the most comprehensive course about sampling undoubtedly. Try to take quizzes as well in order to get the most of the course and materials.

Very effective instructor who talks as if he's actually in class with you, rather than reading from slides.

Реподаватели

James M Lepkowski

Екст видео

We now know that systematic samples depend on two features of our design. The interval and the random start the two work together. Our random start can be between one and the interval, or it can be anywhere on the list, depending on the sampling technique, the systematic sampling technique we're going to apply. And we've been looking at some methods for dealing with the situation where that sampling interval has a fractional part, a decimal part that goes with it. So we want to continue to look at these fractional intervals by talking about the approach that in dealing with this we take the fractional interval directly. This is the third alternative among the three that we're going to discuss for systematic sampling. Now this one requires us to be both focused on a technique that we learned and then we have some insight in to how the technique works. And we're actually just going to use the fractional part. We're not going to round it away in our interval but we're actually going to use it in determining which elements are selected. So let's say that we had a list that had 23 elements in the population that we're going to draw sample of 5. So 23 elements, sample of 5, our interval would be 23 divided by 5 or 4.6. Now, to choose our random start now, we're not going to round that interval and we're going to choose a random start that includes the decimal. So the random start could be 0.1 or 0.2 or 0.3, 0.4. Now that sounds odd, how can we start with a 0.4 when there is no element 0.4? We're going to have to do some rounding but the rounding is done after we have calculated the selection. And we include the fractional part in that calculation of the selection, before we do any rounding. So all we're going to do is shift the rounding from the interval to the selection, all right. So, let's start with a table of random numbers and choose a random number from 0.1 to 4.6. Then we're going to have to think a little bit creatively about it. Our random number tables don't come with decimals inserted in them, but it doesn't matter. What we're interested in is any number from 01 to 46, where we're going to insert the decimal between the two digits. We need a two digit number then, from 0.1 to 4.6 or 1 to 46, and then we're going to insert that decimal. Suppose that number that we choose is 35, or inserting the decimal, making it a fractional interval gives us an interval of 3.5. What are we going to do with that? Before we get to that, what are we going to do if we don't have a table of random numbers? Well, we can go back to our system of generating uniform random numbers, things that we talked about when we talk about random numbers from zero to one in the software package. And in this particular case, we've generated a uniform random number from our package, whatever it happens to be. And it happens to be 0.76087. Well that certainly doesn't get us started. We need a random number not from 0 to 1 as the generator provides it, but from 0.1 to 3.5. Let's simply multiply 4.6, the interval that we have, by that random start, that 0.76087. We get 3.5 again, and that's our random start. So either way, we're going to look it up in a table, implied decimal, or we're going to use a generator that gives us a number on the uniform distribution between zero and one. And then multiply that times the interval to get our random start for our process. But wait a minute, what do we do at that point? Well we continue, we're going to continue this process by doing the systematic counting now, and not counting by a whole number by 4, by 10, by 15, by 37 but counting by the actual interval 4.6. So we start for the first selection with 3.5 and we count to 3.5 plus 4.6 to 8.1. Now I know the fractional part is there. But we're going to leave it there. We're just going to use it all the way through before we do any rounding. Again, we're going to add the interval of 4.6 to where we just got to the 8.1 for our third selection 12.7. Added again one more time to 12.7, the 4.6 to 17.3, add it one more time. We're not off the end of the list. 17.3 plus 14.6, 21.9 and one more time, now we go off the end of the list. 4.6 plus 21.9 is 26.5, there are only 23 elements on our list. So we've gone too far. Our five selections then happened to be those that we've got up until the time we went off the end of the list. And so that, oops factor says, yes, we're off the end of the list but back up because we now have as our selections, 3.5, 8.1, 12.7, 17.3, and 21.9. But wait a minute, we have these decimals remaining. We're going to have to round them at this point. And a simple, and from a probability point of view acceptable, way to do the rounding is truncation. Truncation, just dropping the decimal. It's a form of rounding. Our usual rounding rule is to round up or round down, depending on whether the decimal portion is 0.5 or larger, rounding up, or less than 0.5, and rounding down. Here let's just simply strike that decimal in each of those cases, so that our selections now become 3, 8, 12, 17, and 21. Now, we've got 3, 8, 12, 17, and 21 as selections, and notice something about them. From 3 to 6 is an interval of 5, from 8 to 12 is an interval of 4. From 12 to 17 an interval of 5, from 17 to 21 an interval of 4. Our interval is varying depending on the rounding that's actually happened. The rounding is the accumulation of the decimal portion of the interval, of that 4.6, and sometimes it causes us to go up by 5, sometimes it causes us to end up having counted by 4. Our interval varies across all possible random starts. The interval, when we take all of these gaps between each of the selections and average them will be indeed 4.6. Remember our conceptual representation for this in which we had columns that represented the different samples in rows, the different elements in the samples. Well, think about it this way. Here in this display, you'll notice the red numbers are those that are actually selected. The columns are the random starts now let's move over to the random starts here. I did put them all on this is too busy enough as it is, right this is really hard to see. But, moved over to the column labeled 1.0 or 10, 1 in red 0 in black. And we'll notice as we go down that column we start with that element 1.0 and then add the 4.6 to get 5.6, 10.2, 14.8, 19.4. And now we go through and simply drop the black digits to get our selections 1, 5, 10, 14 and 19. And that's true of all the random starts from 1 all the way up to 1.0 to 4.6. We get five selections, including the one that was initially our random start after we truncate. There is the problem of, wait a minute what about those random starts that are less than one? But in that case, if we dropped the decimal we get zero there is no zero in element. So we just continue on with the process. So go to the column labeled 01, 0.1. Adding the interval is 4.7. Adding the interval again is 9.3 and so on. And we can see that we get before we get off the end of the list with truncation, we have five selections. 4, 9, 13, 18, and 23 and that's true of all of those random starts from 0.1 to 0.9. That is, we have six numbers there but one of them does not generate a selection but the other five do. That's the way the process would work in practice. So just to identify again one more time. In our case, we had a random start of 3.5. And that generated the 81 or 8.1, 12.7, 17.3, 21.9. Truncating gave us our sample. And if we had instead gotten instead of 3.5, 0.5, one of the possible random starts, we would still have the five selections, 5, 9, 14, 18, and 23. That we had before five selections and be done. So every time we're going to get selections back there won't be any variation on the sample size. So always going to be a sample size five. And we seemed to resolve the problem except for and we realize we've got this varying gap between the numbers but. Once we truncated, doesn't matter. We know that gap on average will be the right one. All right, seems like a reasonable solution but it's a little bit confusing. What's really important here is whether or not every element in the list has the same weight, the same chance of being selected. So is every element in the list represented among this myriad of numbers now, that we have? We've got lots and lots of selections that are occurring. And when we do that truncation do we get the right balance here, the right probability, an EPSEM Sample? So, here we could work backwards. We could go through that list, and you may want to go back and do this, and find all the instances where the first element is chosen. You're going to have to find the 1.0, the 1.1, the 1.2, and so on through 1.9, where the truncation eliminates the decimal portion. It turns out the only way that element 1 could be chosen in that scheme is if the random start is 1.0 to 1.9 that is 10 to 19 and there are 10 numbers there. Ten possible random starts that select element 1. That means that there are 46 random starts, 10 of which selected. Its chance of selection is 10 over 46, or 1 in 4.6, or very importantly, 1 over the interval. The interval is actually the inverse of the sampling rate. And so our sampling rate is one over the interval and that's oftentimes how we express these things as we talk about these in the sampling realm. We're going to talk about a sampling rate of 1 and 4.6, which we now know we can implement through a fractional interval method to obtain exactly that sampling rate. What about element 2? Well, it's the same thing. It's only the random starts, 2.0 through 2.9. What about element 3? Same thing, there are exactly 10 random starts to get them. But now when we get to 4, there are two ways that the fourth element can come in in the sample. Either the random start is at the end of the list, 4.0, 4.1, 4.2 through 4.6. Or if we go back to the beginning of the random starts, 0.1, 0.2 and 0.3. When we add the interval and we truncate, will get us the fourth element. And again there is only ten of those columns that will generate that fourth element in one of our samples, same probability. For the fifth element, now this is a second generation one. This is one that can only be selected as one of the second selections, provided the random start is anyone from 0.4 to 1.3. But there are ten of them and again we get the same result. We can go through and identify these selections all the way through with this kind of scheme. And identify ten samples that everyone is in. There is a little confusion here. Element 4 can come in to the sample as a first selection but element 5 can come in as a first selection or a second. So, that seems to be potentially confusing, but there's no problem with the probabilities with something like this. So, again, the simple method is epsem in this particular case, this fractional interval. This is a very widely used technique for systematic sampling with fractional intervals. Well there are some other techniques that we could do for dealing with a fractional interval. But they're beyond the scope of what we're doing, and they're not used as often. They're used in particular circumstances, or sometimes just by preference, that someone would use them. But we need to turn to another topic with respect to systematic sampling. We're going to talk about what happens if the underlying list has an ordering to it? And what that implies in terms of the kinds of selections that we get? And we're going to consider several different kinds of list order, and has an impact on the sample that we're going to talk about in our next lecture. So, please join us then when we talk in lecture three about list order in continuing our discussion about systematic sampling. شكرا لك.


شاهد الفيديو: استكشاف الكسور الجزء الثاني مقارنة وترتيب الكسور-رياضيات الصف الرابع (ديسمبر 2021).