مقالات

3.4E: تمارين - رياضيات


في التمارين ((3.4E.1) ) إلى ((3.4E.6) ) ، ابحث عن كل الحلول.

تمرين ( PageIndex {1} )

( displaystyle {y '= {3x ^ 2 + 2x + 1 over y-2}} )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {2} )

(( sin x) ( sin y) + ( cos y) y '= 0 )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {3} )

(س ص '+ ص ^ 2 + ص = 0 )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {4} )

(y ' ln | y | + x ^ 2y = 0 )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {5} )

( displaystyle {(3y ^ 3 + 3y cos y + 1) y '+ {(2x + 1) y over 1 + x ^ 2} = 0} )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {6} )

(س ^ 2yy '= (ص ^ 2-1) ^ {3/2} )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

في التمارين ((3.4E.7) ) إلى ((3.4E.10) ) ، ابحث عن كل الحلول. ارسم أيضًا حقل اتجاه وبعض المنحنيات المتكاملة على المنطقة المستطيلة المشار إليها.

تمرين ( PageIndex {7} )

( displaystyle {y '= x ^ 2 (1 + y ^ 2)}؛؛ {- 1 le x le1، -1 le y le1 } )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {8} )

(y '(1 + x ^ 2) + xy = 0 ؛ ؛ {- 2 le x le2، -1 le y le1 } )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {9} )

(y '= (x-1) (y-1) (y-2) ؛ ؛ {- 2 le x le2، -3 le y le3 } )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {10} )

((y-1) ^ 2y '= 2x + 3 ؛ ؛ {- 2 le x le2، -2 le y le5 } )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

في Exercises ((3.5E.11) ) to ((3.5E.12) ) ، حل مشكلة القيمة الأولية.

تمرين ( PageIndex {11} )

( displaystyle {y '= {x ^ 2 + 3x + 2 over y-2}، quad y (1) = 4} )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {12} )

(y '+ x (y ^ 2 + y) = 0 ، quad y (2) = 1 )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

في التمارين ((3.5E.13) ) إلى ((3.5E.16) ) ، حل مشكلة القيمة الأولية ورسم الحل.

تمرين ( PageIndex {13} )

((3y ^ 2 + 4y) y '+ 2x + cos x = 0، quad y (0) = 1 )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {14} )

(displaystyle {y '+ {(y + 1) (y-1) (y-2) على x + 1} = 0، quad y (1) = 0})

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {15} )

(ص '+ 2 س (ص + 1) = 0 ، رباعي ص (0) = 2 )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {16} )

(ص '= 2 س ص (1 + ص ^ 2) ، رباعي ص (0) = 1 )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

في التمارين ((3.4E.17) ) إلى ((3.4E.23) ) ، حل مشكلة القيمة الأولية وابحث عن الفترة الزمنية لصلاحية الحل.

تمرين ( PageIndex {17} )

(y '(x ^ 2 + 2) + 4x (y ^ 2 + 2y + 1) = 0 ، quad y (1) = - 1 )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {18} )

(ص '= - 2 س (ص ^ 2-3 ص + 2) ، رباعي ص (0) = 3 )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {19} )

( displaystyle {y '= {2x over 1 + 2y}، quad y (2) = 0} )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {20} )

(y '= 2y-y ^ 2، quad y (0) = 1 )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {21} )

(س + ص ص = 0 ، رباعي ص (3) = -4 )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {22} )

(y '+ x ^ 2 (y + 1) (y-2) ^ 2 = 0 ، quad y (4) = 2 )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {23} )

((س + 1) (س -2) ص '+ ص = 0 ، رباعي ص (1) = - 3 )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {24} )

حل ( displaystyle {y '= {(1 + y ^ 2) over (1 + x ^ 2)}} ) صراحة.

تلميح: استخدم الهوية ( displaystyle { tan (A + B) = { tan A + tan B over1- tan A tan B}} ).

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {25} )

حل ( displaystyle {y ' sqrt {1-x ^ 2} + sqrt {1-y ^ 2} = 0} ) صراحة.

تلميح: استخدم الهوية ( sin (A-B) = sin A cos B- cos A sin B ).

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {26} )

حل ( displaystyle {y '= { cos x over sin y}، quad y ( pi) = { pi over2}} ) بشكل صريح.

تلميح: استخدم الهوية ( cos (x + pi / 2) = - sin x ) ودورية جيب التمام.

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {27} )

حل مشكلة القيمة الأولية

ابدأ {eqnarray *}
y '= ay-by ^ 2، quad y (0) = y_0.
نهاية {eqnarray *}

ناقش سلوك الحل إذا كان الجزء (أ) (y_0 ge0 ) ؛ الجزء (ب) (y_0 <0 ).

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {28} )

عدد السكان (P = P (t) ) من الأنواع يلبي المعادلة اللوجستية

ابدأ {eqnarray *}
P '= aP (1- alpha P)
نهاية {eqnarray *}

و (P (0) = P_0> 0 ). ابحث عن (P ) من أجل (t> 0 ) ، وابحث عن ( lim_ {t to infty} P (t) ).

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {29} )

ينتشر الوباء بين السكان بمعدل يتناسب مع ناتج عدد الأشخاص المصابين بالفعل وعدد الأشخاص المعرضين للإصابة ، ولكنهم لم يصابوا بعد. لذلك ، إذا كان (S ) يشير إلى إجمالي عدد الأشخاص المعرضين للإصابة و (I = I (t) ) يشير إلى عدد الأشخاص المصابين في الوقت (t ) ، إذن

ابدأ {eqnarray *}
أنا '= rI (S-I) ،
نهاية {eqnarray *}

حيث (r ) ثابت موجب. بافتراض أن (I (0) = I_0 ) ، ابحث عن (I (t) ) لـ (t> 0 ) ، وأظهر أن ( lim_ {t to infty} I (t) = س).

إجابه

يحدد لاحقًا.

تمرين ( PageIndex {30} )

نتيجة التمرين ((3.5E.29) ) غير مشجعة: إذا أصيب أي عضو حساس في المجموعة بالعدوى في البداية ، فعندئذٍ على المدى الطويل ، يُصاب جميع الأعضاء المعرضين للإصابة! في ملاحظة أكثر تفاؤلاً ، افترض أن المرض ينتشر وفقًا لنموذج التمرين ((3.5E.29) ) ، لكن هناك دواء يعالج السكان المصابين بمعدل يتناسب مع عدد الأفراد المصابين. الآن تصبح معادلة عدد الأفراد المصابين

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 3.5E.1}
أنا '= rI (S-I) -QI
نهاية {المعادلة}

حيث (q ) ثابت موجب.

(أ) اختر (r ) و (S ) موجب. من خلال رسم حقول الاتجاه وحلول ​​eqref {eq: 3.5E.1} على شبكات مستطيلة مناسبة

ابدأ {eqnarray *}
R = {0 le t le T، 0 le I le d }
نهاية {eqnarray *}

في المستوى ((t، I) ) - تحقق من أن (I ) هو أي حل لـ eqref {eq: 3.5E.1} بحيث (I (0)> 0 ) ، إذن ( lim_ {t to infty} I (t) = Sq / r ) if (q

(ب) للتحقق من النتائج التجريبية للجزء (أ) ، استخدم فصل المتغيرات لحل eqref {eq: 3.5E.1} بالحالة الأولية (I (0) = I_0> 0 ) ، وابحث عن ( lim_ {t to infty} أنا (t) ).

تلميح: هناك ثلاث حالات يجب مراعاتها: الجزء (i) (q rS ) ؛ الجزء (الثالث) (q = rS )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {31} )

ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 3.5E.2}
y '= ay-by ^ 2-q ،
نهاية {المعادلة}

حيث (أ ) ، (ب ) ثوابت موجبة ، و (ف ) ثابت اعتباطي. افترض أن (y ) يدل على حل هذه المعادلة الذي يفي بالشرط الأولي (y (0) = y_0 ).

(أ) اختر (أ ) و (ب ) موجب و (q <أ ^ 2/4 ب ). من خلال رسم حقول الاتجاه وحلول ​​eqref {eq: 3.5E.2} على شبكات مستطيلة مناسبة

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 3.5E.3}
R = {0 le t le T ، c le y le d }
نهاية {المعادلة}

في المستوى ((t، y) ) - اكتشف أن هناك أرقام (y_1 ) و (y_2 ) مع (y_1 y_1 ) ثم ( lim_ {t to infty} y (t) = y_2 ) ، وإذا (y_0

(ب) اختر (أ ) و (ب ) موجب و (س = أ ^ 2/4 ب ). من خلال رسم حقول الاتجاه وحلول ​​eqref {eq: 3.5E.2} على شبكات مستطيلة مناسبة بالشكل eqref {eq: 3.5E.3} ، اكتشف أن هناك عددًا (y_1 ) مثل إذا ( y_0 ge y_1 ) ثم ( lim_ {t to infty} y (t) = y_1 ) ، بينما إذا (y_0

(ج) اختر (a ) و (b ) و (q> a ^ 2 / 4b ). من خلال رسم حقول الاتجاه وحلول ​​eqref {eq: 3.5E.2} على شبكات مستطيلة مناسبة بالشكل eqref {eq: 3.5E.3} ، اكتشف أنه مهما كان (y_0 ) ، (y (t) = - infty ) لبعض القيمة المحدودة لـ (t ).

(د) تحقق من نتائج التجارب بشكل تحليلي. ابدأ بفصل المتغيرات في eqref {eq: 3.5E.2} للحصول عليها

ابدأ {eqnarray *}
{y ' over ay-by ^ 2-q} = 1.
نهاية {eqnarray *}

لتحديد ما يجب فعله بعد ذلك ، سيتعين عليك استخدام الصيغة التربيعية. يجب أن يقودك هذا إلى معرفة سبب وجود ثلاث حالات. خذها من هناك!

نظرًا لدورها في الانتقال بين هذه الحالات الثلاث ، يُطلق على (q_0 = a ^ 2 / 4b ) اسم ({ color {blue} { mbox {قيمة التشعب}} ) من (q ) . بشكل عام ، إذا كان (q ) معلمة في أي معادلة تفاضلية ، يُقال إن (q_0 ) قيمة تشعب لـ (q ) إذا كانت طبيعة حلول المعادلة بـ (q q_0 ).

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {32} )

من خلال رسم حقول الاتجاه وحلول ​​[y '= qy-y ^ 3، ]

اقنع نفسك بأن (q_0 = 0 ) قيمة تشعب لـ (q ) لهذه المعادلة. اشرح ما الذي يجعلك تتوصل إلى هذا الاستنتاج.

إجابه

يتم تحديده لاحقًا ،

تمرين ( PageIndex {33} )

لنفترض أن المرض ينتشر وفقًا لنموذج التمرين 3.5E.29 ، ولكن هناك دواء يعالج السكان المصابين بمعدل ثابت يبلغ (q $ ) فردًا لكل وحدة زمنية ، حيث (q> 0 ).

ثم تصبح معادلة عدد الأفراد المصابين [I '= rI (S-I) -q. ]

بافتراض أن (I (0) = I_0> 0 ) ، استخدم نتائج التمرين 3.5E.31 لوصف ما يحدث كـ (t to infty ).

إجابه

يحدد لاحقًا.

تمرين ( PageIndex {34} )

بافتراض أن (p not equiv 0 ) ، حدد الشروط التي بموجبها المعادلة الخطية

[y '+ p (x) y = f (x) [قابل للفصل. إذا استوفت المعادلة هذه الشروط ، فقم بحلها عن طريق فصل المتغيرات وبالطريقة المطورة فيها

القسم ~ 3.1.

إجابه

يحدد لاحقًا.

حل المعادلات في التمارين ((3.5E.35) ) إلى ((3.5E.38) ) باستخدام تباين المعلمات متبوعًا بفصل المتغيرات.

تمرين ( PageIndex {35} )

({y '+ y = {2xe ^ {- x} over1 + ye ^ x}} )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {36} )

({xy'-2y = {x ^ 6 على y + x ^ 2}} )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {37} )

({y'-y} = {(x + 1) e ^ {4x} over (y + e ^ x) ^ 2} )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {38} )

(y'-2y = {xe ^ {2x} over1-ye ^ {- 2x}} )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمرين ( PageIndex {39} )

استخدم تباين المعلمات لإظهار أن حلول المعادلات التالية هي من الشكل (y = uy_1 ) ، حيث (u ) يفي بمعادلة قابلة للفصل (u '= g (x) p (u) ) . ابحث عن (y_1 ) و (ز ) لكل معادلة.

  1. (س ص '+ ص = ح (س) ص (س ص) )
  2. ({xy'-y = h (x) p left ({y over x} right)} )
  3. (y '+ y = h (x) p (e ^ xy) )
  4. (xy '+ ry = h (x) p (x ^ ry) )
  5. ({y '+ {v' (x) over v (x)} y = h (x) p left (v (x) y right)} )
إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.


أفكار كبيرة الرياضيات الجبر 2 إجابات الفصل 6 الدوال الأسية واللوغاريتمية

هل تريد إتقان مفاهيم الجبر 2 الفصل 6 مثل وظائف النمو الأسي والتحلل ، والقاعدة الطبيعية e ، واللوغاريتمات ، ووظائفها ، وخصائص اللوغاريتمات ، وما إلى ذلك؟ بعد ذلك ، يعد الوصول إلى هذا الدليل هو الحل الأمثل لمخاوفك. أفكار كبيرة الرياضيات الجبر 2 إجابات الفصل 6 الدوال الأسية واللوغاريتمية تجعلك تفهم الموضوعات بسرعة وتزيل كل استفساراتك المتعلقة بالموضوع. علاوة على ذلك ، تتم كتابة حلول BIM Algebra 2 Ch 6 السائدة بواسطة خبراء الموضوع بناءً على المبادئ التوجيهية لأحدث المناهج الأساسية المشتركة. ومن ثم ، قم بتنزيل Big Ideas Math Algebra 2 Ch 6 Exponential and Logarithmic Functions وتعزيز مهاراتك في الرياضيات.


تمارين 7 (الدوال الأسية)

في الصيغة (i = Ie ^ <- frac> ) ، (أنا = 50 ، mathrm) ، (أنا = 150 ، mathrm) (الوحدات: miliAmperes) ، (R = 60 ، Omega ) (الوحدات: أوم) و (L = 0.3 ، mathrm) (الوحدات: هنري). حدد القيمة المقابلة لـ (t ). (تذكر أنه بالنسبة للوحدات ، لدينا ( mathrm/ أوميغا = ماذرم). بت اختياري: تصف هذه الصيغة التيار عبر المحرِّض عند التفريغ في دائرة RL.)

تعطى الشحنة اللحظية في دارة سعوية بواسطة (q = Q left (1-e ^ <- frac)> حق) ). احسب قيمة (t ) (الوقت) عندما (q = 0.01 ، mathrm) ، (Q = 0.015 ، mathrm) (الوحدات: كولوم) (C = 0.0001 ، mathrm) (الوحدات: Farad) و (R = 7000 ، Omega ) (الوحدات: أوم). (تذكر أنه بالنسبة للوحدات ، لدينا ( Omega cdot mathrm= mathrm) .)

من الصيغة (v = V left (1-e ^ <- frac> right) ) ، احسب قيمة (C ) (السعة ، الوحدات: فاراد) عندما (v = 130 ، mathrm) ، (V = 440 ، mathrm) (الوحدات: Volt) (t = 0.156 ، mathrm) (الوحدات: الثانية) و (R = 44000 Omega ) (الوحدات: أوم). (تذكر أنه بالنسبة للوحدات ، لدينا ( Omega cdot mathrm= mathrm). بت اختياري: تصف هذه الصيغة الجهد اللحظي على مكثف عند الشحن في دائرة RC.)

ارسم الدالة (y = 3e ^ <2x> ) على النطاق (x = -3 ) إلى (x = 3 ) ومن الرسم البياني حدد قيمة (y ) عندما (x = 1.7 ) وقيمة (س ) عندما (ص = 3.3 ).

لقيم (x ) من (- 0.5 ) إلى (1.5 ) ، ارسم الرسم البياني الذي يمثله المعادلة (y = 10e ^ <2x> ).

بالنظر إلى الصيغة (i = frac يسار (1-e ^ <- frac> right) ) ، ارسم منحنى (i ) مقابل (t ) عندما (E = 300 ) ، (R = 30 ) و (L = 5 ) لنطاق (t ) من (0 ) إلى (0.8 ). من الرسم البياني ، قم بتقدير قيمة (t ) عند (i = 3.2 ) واحسب أيضًا قيمة (t ) باستخدام الصيغة للتحقق من دقة الرسم البياني.

تمثل الصيغة (i = 2 (1 - e ^ <-10t>) ) العلاقة بين التيار اللحظي (i ) (يقاس بالأمبير) والوقت (t ) (يقاس بالثواني) في دارة حثي. ارسم رسمًا بيانيًا لـ (i ) مقابل (t ) بأخذ قيم (t ) من (0 ) إلى (0.3 ) على فترات (0.05 ). من الرسم البياني ، حدد الوقت المستغرق لزيادة التيار من (1.0 ) إلى (1.6 ، mathrm ) وتحقق من هذه القيمة عن طريق الحساب.

الملف له قيمة المحاثة (L = 2.2 ، mathrm) ومقاومة (R = 15 ، أوميغا ). وهي متصلة بمصدر جهد بـ (E = 12 ، mathrm). بعد الاتصال ، يتم إعطاء (i ) الحالي بواسطة (i = frac يسار (1-e ^ <- frac> حق) ). ارسم رسمًا بيانيًا للتيار المرسوم مقابل الوقت من لحظة الاتصال ولأول (0.8 ) ثانية. من الرسم البياني ، حدد الوقت الذي سيستغرقه التيار للوصول (50 ٪ ) من قيمته النهائية وتحقق من هذه القيمة عن طريق الحساب.

يتم توصيل ملف المحاثة (L ) والمقاومة (R ) كما هو موضح أدناه. يتم نقل المفتاح من جهة الاتصال A إلى جهة الاتصال B مما يؤدي إلى انخفاض (i ) الحالي وفقًا للمعادلة (i = I left (1-e ^ <- frac> حق) ). ارسم الرسم البياني لهذا النقصان بالتخطيط (i ) مقابل (t ) لوقت (300 ، mathrm) بعد نقل المفتاح. من المؤامرة تقدير التيار المتدفق (158 ، mathrm) بعد التبديل.

حلول: 1. (i) (1151 ) (ii) (48.2 ) (iii) (442 ) (iv) (33.97 ) (v) (58.7 ) 2. (i) (3.2 ) (ii) (2.43 ) (iii) (3.99 ) (iv) (- 1.4 ) (v) (4.12 ) 3. (5.1) 4. (5.5 ، mathrm) 5. (769 ، mathrm) 6. (0.00001 ، mathrm) 9. (t = 64 مرات 10 ^ <-3> ) 10. (91.9 مرات 10 ^ <-3> ، mathrm) 11. (0.1 ، mathrm) 12. (1 ، ماذرم )


3.4E: تمارين - رياضيات

تلميحات الرياضيات
مفيد في فصل الفيزياء التمهيدية

جايسون هارلو
قسم الفيزياء
جامعة تورنتو

لغة العلم هي الرياضيات. إن القيام بالحسابات التي تنطوي عليها المواقف المادية يعرّفك على المفاهيم ويطور حدسك ويسمح لك باكتشاف الأشياء بنفسك. فيما يلي بعض التلميحات التي قد تجدها مفيدة مع تقدم الدورة التدريبية.

تخيل أن مدربك يسألك عن ارتفاع برج CN. الجواب ، "ارتفاع برج سي إن حوالي 500" لا معنى له. العبارة الصحيحة هي: "يبلغ ارتفاع برج CN حوالي 500 أمتار. "في هذه الحالة ، تحتاج إلى تحديد وحدة من المسافة. وحدة أخرى للمسافة هي الكيلومتر ، أو 1000 متر. لذلك يمكن أيضًا صياغة العبارة بشكل صحيح: "يبلغ ارتفاع برج CN حوالي نصف كيلومتر." كلاهما إجابتان مقبولتان تمامًا. يحتوي كل رقم تقريبًا على وحدات. عندما نحتفل بمجموعات المشكلات والاختبارات الخاصة بك ، سنخصم نقاطًا إذا رأينا إجابات نهائية رقمية بوحدات مفقودة.

يمكن أن يكون الحساب لعبة ممتعة ، لكنني أعتقد أنه من الأفضل بكثير كتابة الأرقام في آلة حاسبة والتركيز على الفيزياء والرياضيات. لا توافق؟ ومع ذلك ، لا يجب أن تثق بشكل أعمى بكل شيء تخبرك به الآلة الحاسبة. من السهل ارتكاب خطأ كتابي ومن الجيد إعادة التحقق من الأشياء. يجب أن تفكر دائمًا في إجاباتك العددية عندما تكتبها وتسأل نفسك ، "هل هذا منطقي؟"

إذا لم يكن لديك واحدة بالفعل ، فيرجى شراء آلة حاسبة للجيب غير متصلة بهذه الدورة التدريبية. لا يجب أن تكون فاخرة أو باهظة الثمن ، ولكن يجب أن تحتوي على زر "EE" أو "EXP" على الأقل. لا يمكنك إحضار جهاز كمبيوتر محمول أو هاتف إلى الاختبار أو الامتحان.


دالة توليد اللحظة المشتركة ، والتغاير ، ومعامل الارتباط لمتغيرين عشوائيين

نبذة مختصرة

في هذا الفصل ، نتابع دراسة اثنين من r.v.'s X و Y مع p.d.f. و X ، ص. تحقيقا لهذه الغاية ، ضع في اعتبارك r.v. التي هي دالة لـ r.v.'s X و Y ، g (X ، Y) ، وتحديد توقعاتها. اختيار خاص لـ g (X ، Y) يعطي المفصل m.gf. من R.v.'s X و Y ، والتي تمت دراستها إلى حد ما في القسم الأول. خيار آخر لـ g (X ، Y) ينتج ما يُعرف بالتغاير بين R.v.'s X و Y ، بالإضافة إلى معامل الارتباط بينهما. تمت دراسة بعض خواص هذه الكميات في القسم الثاني من هذا الفصل. تمت مناقشة أدلة بعض النتائج وبعض الخصائص الإضافية لمعامل الارتباط في القسم 8.3.


التعليقات التحريرية

من الغلاف الخلفي

الرياضيات الهندسية هي الكتاب الدراسي الرائد للطلاب الجامعيين لدورات في الهندسة الكهربائية والإلكترونية والأنظمة وهندسة الاتصالات. إنه موجه بشكل أساسي إلى العامين 1 و 2.

& # 183 يدمج الهندسة والرياضيات من خلال معالجة تركز على التطبيقات

& # 183 يطور بعناية ، في مجلد واحد شامل ، الأساس والتقنيات الرياضية المتقدمة الأكثر ملاءمة لطلاب الهندسة الكهربائية والإلكترونية والأنظمة والاتصالات ، بما في ذلك: الجبر وعلم المثلثات وحساب التفاضل والتكامل ، بالإضافة إلى نظرية المجموعات والتسلسلات والسلاسل ، معادلات الجبر المنطقي والمنطق والفرق

& # 183 تتضح أهمية الرياضيات من خلال مجموعة متنوعة من الأمثلة ، مما يوفر الحافز للطلاب من جميع القدرات

& # 183 شروحات واضحة وشاملة مكتوبة بأسلوب سهل الوصول إليه وسهل الاستخدام

& # 183 يتضمن معالجة شاملة لطرق التحويل المتكاملة الضرورية للمهندس الحديث والمهني ، ولا سيما محولات لابلاس و z و فورييه

& # 183 جميع الموضوعات موضحة بعدد كبير من الأمثلة كاملة العمل والتمارين مع الحلول ، مما يمكّن الطلاب من ممارسة معارفهم وتطويرها واختبارها.

تم تنقيح الطبعة الرابعة لتشمل:

& # 183 قسمًا جديدًا حول تطبيقات قواعد العدد ، والتدوين التجميعي ، والدالة الصادقة ، والموجات ، والمنحنيات القطبية ، وتحويل جيب التمام المنفصل

& # 183 ميزة جديدة للتطبيق الهندسي ، تعرض مجموعة واسعة من الأمثلة التطبيقية ، بما في ذلك تكنولوجيا الموسيقى والهندسة المستدامة ومعالجة الصور الرقمية.


أنتوني كروفت أستاذ تعليم الرياضيات بجامعة لوبورو.

كان روبرت دافيسون رئيسًا للجودة سابقًا في كلية التكنولوجيا بجامعة دي مونتفورت.

مارتن هارجريفز هو المحاضر الرئيسي في كلية التكنولوجيا في جامعة دي مونتفورت

جيمس فلينت محاضر أول في هندسة الأنظمة اللاسلكية بجامعة لوبورو.


3.4E: تمارين - رياضيات

المهمة الثالثة: أفكار نظرية

في هذه الصفحة نجمع ملاحظات حول مشكلتنا. فيما يلي قائمة بالأشياء التي يجب النظر إليها (ليس بالضرورة بهذا الترتيب):

باستخدام كثير الحدود هلبرت ، & # 039s ليس من الصعب رؤية ذلك يجب أن يساوي مجموع المكون e_i لنوع الانقسام لحزمة الظل الممتدة درجة التشكل. أيضًا ، كما أثبتنا في الفصل ، يجب أن يساوي مجموع المكون e_i لنوع تقسيم حزمة cotangent -6d للحصول على درجة d التشكل.

سنقوم بتحميل ملاحظات قصيرة مكتوبة بوضوح إلى هذه الصفحة تتناول العديد من المشكلات:

هنا اقتران R- ثنائي الخطي H: E_X (φ) × Ω (φ) - & gt R:

العلاقة بين أنواع الانقسام و (جدا) الحرية: لنفترض أن f_1 ، ... ، f_5 يكون نوع التقسيم لـ E_X (φ). إذن لدينا:

الحل الكامل للتمرين 37 (محدث). التمرين 37 (- الرانكية)

ملاحظة بسيطة (هذا لا يقول شيئًا جديدًا ، لكني أريد فقط الاحتفاظ به في السجل): اسمحوا د أن تكون درجة التشكل φ. إذا كان أحد f_i = d ، لنقل دون فقدان العمومية f_1 ، فيجب أن يكون لدينا f_2 + f_3 + f_4 + f_5 = 0. لذلك ، إذا كانت مجانية / مجانية جدًا ، فإن f_2 = f_3 = f_4 = f_5 = 0 هذا يعني أن 4e_2 = 4e_3 = 4e_4 = 4e_5 = -5d. التكافؤ الأخير ممكن فقط إذا كان 4 | د. لذلك ، إذا كانت d غير قابلة للقسمة على 4 ، وواحدة من f_i = d (والتي يبدو أنها تحدث كثيرًا في حالتنا) ، فلا يمكن أن تكون φ مجانية.

أيضًا ، تُظهر هذه الملاحظة أنه لا يمكن أن يكون هناك تشكل حر جدًا يرضي الشرط (2) أعلاه ، والذي لا يمكن تقسيم درجته على 4. علاوة على ذلك ، يجب أن يكون كل شكل حر لدرجة غير قابلة للقسمة على 4 E مجانيًا جدًا.

التشكل من الدرجة د ≤ 4 اسمحوا such أن تكون واحدة من هذه التشكل. ثم الخريطة الخطية R للوحدات المتدرجة R (-d) ⊕ R (-d) ⊕ R (-d) ⊕ R (-d) ⊕ R (-d) ⊕ R (-d )—– & gt R تستحث ak خطي الخريطة (R (-d) ⊕ R (-d) ⊕ R (-d) ⊕ R (-d) ⊕ R (-d) ⊕ R (-d)) _ d —— & gt R_d. هذه خريطة خطية k من فضاء متجه ذي بعد 6 إلى فضاء متجه من البعد d + 1 5. ومن ثم ، يجب أن تحتوي على نواة غير صفرية. على وجه الخصوص بالنسبة لـ d ≤ 3 ، يجب أن يكون للنواة بُعد لا يقل عن 2 (حسب الرتبة- البطلان). ومن ثم ، يوجد e_i ، e_j (i = = j) مثل أن e_i = -d = e_j. ثم f_i = d = f_j. ولكن بعد ذلك مجموع f_k & # 039s لا يمكن أن يساوي d دون أن يكون واحدًا على الأقل من f_k & # 039s أقل من 0. لذلك ، بالنسبة لـ d ≤ 3 ، لا توجد أشكال حرة أو حرة جدًا.

الحالة د = 4 أكثر إثارة للاهتمام. إذا كانت نواة الخريطة الخطية k (R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4)) _ 4 —— & gt R_4 لها أبعاد أكثر من 2 ، ثم من خلال حجة مماثلة لحالة d ≤ 3 ، فإن التشكل ليس حرًا ولا مجانيًا جدًا. لكن R_4 لها بعد 5 على k. إذا كانت نواة (R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4)) _ 4 —— & gt R_4 لها بعد 1 ( لاحظ أن النواة سيكون لها دائمًا بُعد إيجابي) ، ثم (R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4)) _ 4 - - & GT R_4 هو طارئ. لذلك ، (R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4)) _ <4 + 1> —— & gt R_ < 4 + 1> هي خريطة خطية تسلسلية K بواسطة Lemma في الفصل. الآن ، R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4)) _ <4 + 1> لها بعد 12 ، و R_ <4 + 1> لها بعد البعد 6. لذلك ، النواة لها البعد 6. مولد النواة السابقة يعطي مولدين من هذه النواة. لذلك ، حصلنا على 4 مولدات أخرى في هذه النواة. هذا يعطينا إجمالي 5 مولدات ، وبالتالي لدينا e_1 = e_2 = e_3 = e_4 = -4-1 و e_5 = -4. إذن ، f_1 = f_2 = f_3 = f_4 = 0 ، و f_5 = 4. إذن ، التشكل مجاني ، لكنه ليس مجانيًا جدًا.

ما يوضحه لنا هذا هو أنه بالنسبة إلى d = 4 ، فإن التشكل لا يكون أبدًا مجانيًا جدًا.

التشكل ليس مجانيًا إذا ker (R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4)) _ 4 —— & gt R_4) لديه قاتمة ≥ 2.

إذا كان ker (R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4) ⊕ R (-4)) _ 4 —— & gt R_4) قاتمة 1 ، إذن التشكل مجاني ، وله نوع تقسيم [0،0،0،0،4].

ملاحظات حول e_i & # 039s و f_i & # 039s هذا نوع من الملاحظة بالنسبة لي لأخذها في الاعتبار والتي أنا فقط أسجلها هنا. إذا كان بإمكان الأشخاص الآخرين الاستفادة منه بشكل جيد ، فهذا رائع!

نعلم أن e_1 + e_2 + e_3 + e_4 + e_5 = -6d. نعلم أيضًا أن e_i ≤ -d ، لأنه لا يوجد شيء على يسار (R (-d) ^ 6) _d. وبالتالي،

- لا يمكن أن يكون هناك e_i مثل e_i & lt -2d. إذا كان هناك ، قل wlog أن e_1 & lt -2d. ثم ، e_2 +… + e_5 = -6d - e_1 & gt -4d. لكن هذا مستحيل منذ e_i ≤ -d. لذلك ، لدينا دائمًا -2d ≤ e_i ≤ -d. هذا يعني أن -3d ≤ f_i ≤ d.

دليل محتمل على عدم وجود أشكال حرة من الدرجة الخامسةلا توجد أشكال حرة من الدرجة 5


الرياضيات الابتدائية

& # 8220 مرحبًا ، أردت أن أشارككم تحسين ابني باستخدام برنامج الرياضيات في سنغافورة Dimensions Math PK – 5. كان في المدرسة العامة التي أغلقت بسبب كوفيد. بدأ ابني العام في النسبة المئوية 76 ، واختبر للتو في النسبة المئوية 99.

برنامجك يعمل. شكرًا لك على توفير منهج دراسي قوي وفعال للأطفال لاستخدامه في المنزل. & # 8221

- كارين إس ، معلمة تعليم منزلي للصف الخامس

& # 8220 أقوم بتدريس الصف الثالث. نحن نحب الرياضيات في سنغافورة وكذلك الطلاب وأولياء الأمور! في السنوات التسع التي تلت التحول إلى الرياضيات في سنغافورة ، ارتفع تقدم طلابنا بشكل كبير! شكرا لكم على منتج رائع !! & # 8221

& # 8220 لقد كنت مدرسًا لمدة 44 عامًا ، وكانت هذه السنوات التسع الماضية هي أكثر الأعوام إنتاجية من حيث مكاسب الرياضيات لطلابنا على الإطلاق !! & # 8221

& # 8220 بدأنا حساب الأبعاد هذا العام لـ K-3 وشهدنا بالفعل نتائج هائلة! مقاطع الفيديو رائعة !! & # 8221

& # 8220 كأب ، ابني في الصف الثاني ويستمتع حقًا بالرياضيات في سنغافورة. لقد تأثرت حقًا بأنه يعرف حقائق الضرب والقسمة لديه وقادر على مهاجمة المشكلات الجديدة بكل المهارات التي تعلمها. & # 8221


إذا كنت تريد الإبلاغ عن خطأ ، أو إذا كنت تريد تقديم اقتراح ، فلا تتردد في إرسال بريد إلكتروني إلينا:

تم إرسال رسالتك إلى W3Schools.

أهم البرامج التعليمية

أعلى المراجع

أهم الأمثلة

دورات الويب

تم تحسين W3Schools للتعلم والتدريب. يمكن تبسيط الأمثلة لتحسين القراءة والتعلم. تتم مراجعة البرامج التعليمية والمراجع والأمثلة باستمرار لتجنب الأخطاء ، ولكن لا يمكننا ضمان الصحة الكاملة لجميع المحتويات. أثناء استخدام W3Schools ، فإنك توافق على قراءة شروط الاستخدام وملفات تعريف الارتباط وسياسة الخصوصية الخاصة بنا والموافقة عليها.


3.4E: تمارين - رياضيات

مقدمة في الفيزياء 1

قسم الفيزياء ، جامعة تورنتو

لغة العلم هي الرياضيات. إن القيام بالحسابات التي تنطوي عليها المواقف المادية يعرّفك على المفاهيم ويطور حدسك ويسمح لك باكتشاف الأشياء بنفسك. فيما يلي بعض التلميحات التي قد تجدها مفيدة مع تقدم الدورة التدريبية.

تخيل أن مدربك يسألك عن ارتفاع برج CN. الإجابة ، & quohe ارتفاع برج CN حوالي 500 & quot؛ لا معنى له. العبارة الصحيحة هي: & quot ارتفاع برج CN حوالي 500 أمتار. & quot في هذه الحالة ، تحتاج إلى تحديد وحدة من المسافة. وحدة أخرى للمسافة هي الكيلومتر ، أو 1000 متر. لذلك يمكن أيضًا صياغة العبارة بشكل صحيح: & quot ؛ يبلغ ارتفاع برج CN حوالي نصف كيلومتر. & quot كلاهما إجابتان مقبولتان تمامًا. يحتوي كل رقم تقريبًا على وحدات. عندما نحتفل بمجموعات المشكلات والاختبارات الخاصة بك ، سنخصم نقاطًا إذا رأينا إجابات نهائية رقمية بوحدات مفقودة.

يمكن أن يكون الحساب لعبة ممتعة ، لكنني أعتقد أنه من الأفضل بكثير كتابة الأرقام في آلة حاسبة والتركيز على الفيزياء والرياضيات. لا توافق؟ ومع ذلك ، لا يجب أن تثق بشكل أعمى بكل شيء تخبرك به الآلة الحاسبة. من السهل ارتكاب خطأ كتابي ومن الجيد إعادة التحقق من الأشياء. يجب أن تفكر دائمًا في إجاباتك العددية عند كتابتها وتسأل نفسك ، & quot ؛ هل هذا منطقي؟ & quot

إذا لم يكن لديك واحدة بالفعل ، فيرجى شراء آلة حاسبة للجيب لهذه الدورة. لا يجب أن تكون فاخرة أو باهظة الثمن ، ولكن يجب أن تحتوي على زر & quotEE & quot أو & quotEXP & quot على الأقل.


شاهد الفيديو: Unit 3 - Exercise u0026 Exercise. Ratio and Proportions. Math. Class 10th (ديسمبر 2021).