مقالات

3.2: المعادلات الخطية من الدرجة الأولى - الرياضيات


يُقال أن المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى هي ( textcolor {blue} { mbox {linear}} ) إذا كان من الممكن كتابتها كـ

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 3.3.1}
y '+ p (x) y = f (x) ،
نهاية {المعادلة}

معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى لا يمكن كتابتها بهذا الشكل ( textcolor {blue} { mbox {nonlinear}} ). نقول أن eqref {eq: 3.3.1} هو ( textcolor {blue} { mbox {homogenous}} ) if (f equiv0 )؛ وإلا فهو ( textcolor {blue} { mbox {nonhomogeneous}} ).

نظرًا لأنه من الواضح أن (y equiv0 ) هو حل للمعادلة المتجانسة (y '+ p (x) y = 0 ) ، فإننا نسميها ( textcolor {blue} { mbox {حل بسيط}} ). أي حل آخر هو ( textcolor {blue} { mbox {nontrivial}} ).

مثال ( PageIndex {1} )

المعادلات من الدرجة الأولى

ابدأ {eqnarray *}
س ^ 2 ص '+ 3 ص = س ^ 2
xy'-8x ^ 2y = sin x
س ص '+ ( ln س) ص = 0
ص '= س ^ 2 ص - 2
نهاية {eqnarray *}

ليست بالصيغة eqref {eq: 3.3.1} ، لكنها خطية ، حيث يمكن إعادة كتابتها كـ

ابدأ {eqnarray *}
ص '+ {3 على x ^ 2} ص = 1
y'-8xy = { sin x over x}
ص '+ { ln س أكثر من س} ص = 0
ص'-س ^ 2 ص = -2
نهاية {eqnarray *}

حل عام لمعادلة خطية من الدرجة الأولى

لتحفيز التعريف الذي سنحتاجه ، ضع في اعتبارك المعادلة الخطية البسيطة من الدرجة الأولى

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 3.3.2}
ص '= {1 أكثر من س ^ 2}.
نهاية {المعادلة}

نعلم من حساب التفاضل والتكامل أن (y ) يفي بهذه المعادلة إذا وفقط إذا

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 3.3.3}
ص = - فارك {1} {س} + ج ،
نهاية {المعادلة}

حيث (ج ) ثابت اعتباطي.

نسمي (c ) a ( textcolor {blue} { mbox {parameter}} ) ونقول أن eqref {eq: 3.3.2} يحدد a ( textcolor {blue} { mbox {one - عائلة المعلمات}} ) الوظائف. لكل رقم حقيقي (c ) ، الوظيفة المحددة بواسطة eqref {eq: 3.3.3} هي حل eqref {eq: 3.3.2} في ((- infty، 0) ) و ((0، infty) )؛ علاوة على ذلك ، فإن كل حل eqref {eq: 3.3.2} على أي من هذه الفترات يكون من الشكل eqref {eq: 3.3.3} لبعض الخيارات (c ). نقول أن eqref {eq: 3.3.3} هو ( textcolor {blue} { mbox {the general solution}} ) لـ eqref {eq: 3.3.2}.

سنرى أن موقفًا مشابهًا يحدث فيما يتعلق بأي معادلة خطية من الدرجة الأولى

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 3.3.4}
y '+ p (x) y = f (x) ؛
نهاية {المعادلة}

بمعنى ، إذا كان (p ) و (f ) مستمرين على بعض الفواصل الزمنية المفتوحة ((أ ، ب) ) فهناك صيغة فريدة (y = y (x ، c) ) مماثلة لـ eqref {eq: 3.3.3} الذي يتضمن (x ) ومُعامل (c ) وله الخصائص التالية:

لكل قيمة ثابتة لـ (c ) ، فإن دالة (x ) الناتجة هي حل eqref {eq: 3.3.4} on ((a، b) ). إذا كان (y ) هو حل eqref {eq: 3.3.4} في ((a، b) ) ، فيمكن الحصول على (y ) من الصيغة عن طريق اختيار (c ) بشكل مناسب . سنتصل بـ (y = y (x، c) ) ( textcolor {blue} { mbox {general solution}} ) لـ eqref {eq: 3.3.4}. عندما يتم إنشاء هذا ، سيتبع ذلك معادلة النموذج

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 3.3.5}
P_0 (x) y '+ P_1 (x) y = F (x)
نهاية {المعادلة}

لديه حل عام في أي فاصل زمني مفتوح ((أ ، ب) ) حيث (P_0 ) ، (P_1 ) ، و (F ) كلها متصلة و (P_0 ) لا تحتوي على أصفار ، لأنه في هذه الحالة يمكننا إعادة كتابة eqref {eq: 3.3.5} بالصيغة eqref {eq: 3.3.4} مع (p = P_1 / P_0 ) و (f = F / P_0 ) ، والتي كلاهما مستمر في ((أ ، ب) ).

لتجنب الصياغة المحرجة في الأمثلة والتمارين ، لن نحدد الفاصل ((أ ، ب) ) عندما نطلب الحل العام لمعادلة خطية معينة من الدرجة الأولى. دعنا نتفق على أن هذا يعني دائمًا أننا نريد الحل العام في كل فترة زمنية مفتوحة يكون فيها (p ) و (f ) متواصلين إذا كانت المعادلة بالصيغة eqref {eq: 3.3.4} ، أو في التي (P_0 ) و (P_1 ) و (F ) متصلة و (P_0 ) لا تحتوي على أصفار ، إذا كانت المعادلة بالصيغة eqref {eq: 3.3.5}. نترك الأمر لك لتحديد هذه الفترات في أمثلة وتمارين محددة.

للتأكد من اكتمالها ، نشير إلى أنه إذا كانت (P_0 ) و (P_1 ) و (F ) كلها متصلة على فاصل مفتوح ((أ ، ب) ) ، ولكن (P_0 ) ( textcolor {blue} { mbox {does}} ) لها صفر في ((a، b) ) ، ثم قد يفشل eqref {eq: 3.3.5} في الحصول على حل عام بشأن ( أ ، ب) ) بالمعنى المحدد للتو. نظرًا لأن هذه ليست نقطة رئيسية تحتاج إلى تطوير متعمق ، فلن نناقشها أكثر.

معادلات الدرجة الأولى الخطية المتجانسة

نبدأ بمشكلة إيجاد الحل العام لمعادلة خطية من الدرجة الأولى متجانسة. يشير المثال التالي إلى نتيجة مألوفة من التفاضل والتكامل.

مثال ( PageIndex {2} )

لنكن (أ ) ثابتًا.

أ) أوجد الحل العام لـ start {equation} y'-ay = 0. label {eq: 3.3.6} end {equation}

ب) حل مشكلة القيمة الأولية (y'-ay = 0، quad y (x_0) = y_0 )

إجابه

أ) أنت تعلم بالفعل من حساب التفاضل والتكامل أنه إذا كان (c ) أي ثابت ، فإن (y = ce ^ {ax} ) يرضي eqref {eq: 3.3.6}. ومع ذلك ، فلنتخيل أنك نسيت هذا ، ونستخدم هذه المسألة لتوضيح طريقة عامة لحل معادلة خطية متجانسة من الدرجة الأولى. نعلم أن eqref {eq: 3.3.6} له الحل التافه ( equiv0 ). افترض الآن أن (y ) هو حل غير بديهي لـ eqref {eq: 3.3.6}. بعد ذلك ، نظرًا لأن الوظيفة القابلة للتفاضل يجب أن تكون مستمرة ، يجب أن يكون هناك فاصل زمني مفتوح (I ) لا يحتوي (y ) فيه على أصفار.

نعيد كتابة eqref {eq: 3.3.6} كـ ({y ' over y} = a ) لـ (x ) في (I ). يوضح دمج هذا أن ( ln | y | = ax + k ) ، لذلك (| y | = e ^ ke ^ {ax} ) حيث (k ) ثابت عشوائي. نظرًا لأن (e ^ {ax} ) لا يمكن أن يساوي الصفر مطلقًا ، فإن (y ) ليس له أصفار ، لذلك يكون (y ) إما موجبًا دائمًا أو سالبًا دائمًا. لذلك يمكننا إعادة كتابة (y ) كـ

start {equation} label {eq: 3.3.7} y = ce ^ {ax} end {equation}

حيث (c = left { begin {array} {cl} phantom {-} e ^ k & mbox {if} y> 0، -e ^ k & mbox {if} y <0. نهاية {مجموعة} يمين. )

يوضح هذا أن كل حل غير بديهي لـ eqref {eq: 3.3.6} هو من الشكل (y = ce ^ {ax} ) لبعض الثابت غير الصفري (c ). نظرًا لأن إعداد (c = 0 ) ينتج عنه الحل التافه ، فإن ({ color {blue} it all} ) حلول ​​eqref {eq: 3.3.6} هي بالشكل eqref {eq: 3.3. 7}. بالمقابل ، eqref {eq: 3.3.7} هو حل eqref {eq: 3.3.6} لكل اختيار لـ (c ) ، لأن التفريق eqref {eq: 3.3.7} ينتج (y ' = ace ^ {ax} = ay ). يوضح الشكل ( PageIndex {1} ) الرسوم البيانية لبعض الحلول المقابلة لقيم مختلفة لـ (c )

ب) فرض الشرط الأولي (y (x_0) = y_0 ) ينتج عنه (y_0 = ce ^ {ax_0} ) ، لذلك (c = y_0e ^ {- ax_0} ) و (y = y_0e ^ { -ax_0} e ^ {ax} = y_0e ^ {a (x-x_0)} )

مثال ( PageIndex {3} )

أ) أوجد الحل العام لـ start {equation} xy '+ y = 0. label {eq: 3.3.8} end {equation}

ب) حل مشكلة القيمة الأولية start {المعادلة} xy '+ y = 0، quad y (1) = 3. label {eq: 3.3.9} end {equation}

إجابه

أ) نعيد كتابة eqref {eq: 3.3.8} كـ start {equation} label {eq: 3.3.10} y '+ {1 over x} y = 0، end {equation} حيث (x ) يقتصر على ((- infty، 0) ) أو ((0 ، infty) ). لو

(y ) هو حل غير بديهي لـ eqref {eq: 3.3.10} ، يجب أن يكون هناك فاصل زمني مفتوح (I ) لا يحتوي (y ) فيه على أصفار. يمكننا إعادة كتابة eqref {eq: 3.3.10} كـ ({y ' over y} = - {1 over x} ) لـ (x ) في (I ). يُظهر التكامل أن ( ln | y | = - ln | x | + k ) لذا (| y | = {e ^ k over | x |} ).

نظرًا لأن الوظيفة التي تحقق المعادلة الأخيرة لا يمكنها تغيير تسجيل الدخول إما ((- infty ، 0) ) أو ((0 ، infty) ) ، يمكننا إعادة كتابة هذه النتيجة بشكل أكثر بساطة كما تبدأ {المعادلة } label {eq: 3.3.11} y = {c over x} end {equation}

حيث (c = left { begin {array} {cl} phantom {-} e ^ k & mbox {if} y> 0، -e ^ k & mbox {if} y <0. نهاية {مجموعة} يمين. )

لقد أوضحنا الآن أن كل حل لـ eqref {eq: 3.3.10} مُعطى بواسطة eqref {eq: 3.3.11} لبعض خيارات (c ). (على الرغم من أننا افترضنا أن (y ) لم يكن من السهل اشتقاق eqref {eq: 3.3.11} ، يمكننا الحصول على الحل البسيط عن طريق ضبط (c = 0 ) في eqref {eq: 3.3.11} .) على العكس من ذلك ، فإن أي دالة بالصيغة eqref {eq: 3.3.11} هي حل eqref {eq: 3.3.10} ، لأن التفريق eqref {eq: 3.3.11} ينتج (y '= - {c over x ^ 2} ) ، واستبدال هذا و eqref {eq: 3.3.11} في eqref {eq: 3.3.10}.

ابدأ {eqnarray *}
y '+ {1 over x} y = - { frac {c} {x ^ 2}} + { frac {1} {x}} { frac {c} {x}} = - { frac {c} {x ^ 2}} + { frac {c} {x ^ 2}} = 0.
نهاية {eqnarray *}

يوضح الشكل ( PageIndex {2} ) الرسوم البيانية لبعض الحلول المقابلة لقيم مختلفة لـ (c )

ب) فرض الشرط الأولي (y (1) = 3 ) في eqref {eq: 3.3.11} ينتج عنه (c = 3 ). لذلك فإن حل eqref {eq: 3.3.9} هو (y = {3 over x} ).

الفاصل الزمني لصلاحية هذا الحل هو ((0، infty) ).

النتائج في المثال 3 هي حالات خاصة للنظرية التالية.

نظرية ( PageIndex {1} )

إذا كان (p ) مستمرًا على ((أ ، ب) ، ) فإن الحل العام للمعادلة المتجانسة ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 3.3.12} y '+ p (x) y = 0 end {equation} on ((a، b) ) هي (y = ce ^ {- P (x)} ) ،

حيث start {المعادلة} label {eq: 3.3.13} P (x) = int p (x) ، dx end {equation} هي أي مشتق عكسي لـ (p ) في ((a، b )؛) هذا هو،

start {المعادلة} label {eq: 3.3.14} P '(x) = p (x)، quad a

دليل - إثبات

إذا كان (y = ce ^ {- P (x)} ) ، فإن التفريق بين (y ) واستخدام eqref {eq: 3.3.14} يوضح أن (y '= - P' (x) ce ^ { -P (x)} = - p (x) ce ^ {- P (x)} = - p (x) y، ) لذا (y '+ p (x) y = 0 ) ؛ أي ، (y ) هو حل eqref {eq: 3.3.12} ، لأي اختيار لـ (c ).

سنبين الآن أن أي حل لـ eqref {eq: 3.3.12} يمكن كتابته كـ (y = ce ^ {- P (x)} ) لبعض الثابت (c ). يمكن كتابة الحل البسيط بهذه الطريقة مع (c = 0 ). افترض الآن أن (y ) هو حل غير بديهي. ثم هناك فترة فرعية مفتوحة (I ) من ((أ ، ب) ) والتي لا تحتوي على (y ) أصفار. يمكننا إعادة كتابة eqref {eq: 3.3.12} كـ start {equation} label {eq: 3.3.15} {y ' over y} = - p (x) end {equation} لـ (x ) في (أنا ). ينتج عن تكامل eqref {eq: 3.3.15} واستدعاء eqref {eq: 3.3.13} ( ln | y | = -P (x) + k، ) حيث (k ) ثابت. هذا يعني أن (| y | = e ^ ke ^ {- P (x)}. )

نظرًا لأنه تم تعريف (P ) للجميع (س ) في ((أ ، ب) ) ولا يمكن أن يساوي الأسي صفرًا ، فيمكننا أخذ (أنا = (أ ، ب) ) ، لذلك (y ) بها أصفار على ((a، b) ) حتى نتمكن من إعادة كتابة المعادلة الأخيرة كـ (y = ce ^ {- P (x)} ) ،

حيث (c = left { begin {array} {cl} phantom {-} e ^ k & mbox {if} y> 0 mbox {on} (a، b)، -e ^ k & mbox {if} y <0 mbox {on} (a، b). end {array} right. )

تسمى إعادة كتابة معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى بحيث يعتمد جانب واحد فقط على (y ) و (y ') والآخر يعتمد فقط على (x ) ( textcolor {blue} { mbox {يمثل الفصل من المتغيرات}} ). في إعادة كتابة eqref {eq: 3.3.12} كـ eqref {eq: 3.3.15}. سنطبق هذه الطريقة على المعادلات غير الخطية في القسم 3.2.

معادلات الدرجة الأولى الخطية غير المتجانسة

سنقوم الآن بحل المعادلة غير المتجانسة start {equation} label {eq: 3.3.16} y '+ p (x) y = f (x). نهاية {المعادلة}

عند التفكير في هذه المعادلة ، نسمي (y '+ p (x) y = 0 ) ( textcolor {blue} { mbox {معادلة تكميلية}} ).

سنجد حلول ​​eqref {eq: 3.3.16} بالصيغة (y = uy_1 ) ، حيث (y_1 ) هو حل غير أساسي للمعادلة التكميلية و (u ) يجب تحديده . هذه الطريقة لاستخدام حل المعادلة التكميلية للحصول على حلول لمعادلة غير متجانسة هي حالة خاصة لطريقة تسمى ( textcolor {blue} { mbox {variation of parameters}} ) ، والتي ستصادف العديد منها مرات في هذا الكتاب.

(من الواضح أن (u ) لا يمكن أن يكون ثابتًا ، لأنه إذا كان كذلك ، فسيكون الجانب الأيسر من eqref {eq: 3.3.16} صفرًا. وإدراكًا لذلك ، شاهد المستخدمون الأوائل لهذه الطريقة (u ) ) باعتبارها `` معلمة '' تختلف ؛ ومن ثم ، اسم "اختلاف المعلمات.")

إذا (y = uy_1 ) ثم (y '= u'y_1 + uy_1' ). استبدال هذه التعبيرات لـ (y ) و (y ') في eqref {eq: 3.3.16} ينتج (u'y_1 + u (y_1' + p (x) y_1) = f (x) ، ) مما يقلل إلى start {المعادلة} label {eq: 3.3.17} u'y_1 = f (x) end {equation}

بما أن (y_1 ) هو حل للمعادلة التكميلية ؛ أي ، (y_1 '+ p (x) y_1 = 0. )

في إثبات النظرية 3.2.1 ، رأينا أن (y_1 ) لا يحتوي على أصفار في فاصل زمني حيث (p ) مستمر. لذلك يمكننا تقسيم eqref {eq: 3.3.17} إلى (y_1 ) للحصول على (u '= f (x) / y_1 (x). ) يمكننا دمج هذا (إدخال ثابت تكامل) ، واضرب الناتج في (y_1 ) للحصول على الحل العام لـ eqref {eq: 3.3.16}. قبل أن ننتقل إلى الدليل الرسمي لهذا الادعاء ، دعنا نفكر في بعض الأمثلة.

مثال ( PageIndex {4} ):

أوجد الحل العام لـ start {equation} label {eq: 3.3.18} y '+ 2y = x ^ 3e ^ {- 2x}. end {equation}

إجابه

بتطبيق الجزء (أ) من المثال 3.2.3 مع (a = -2 ) ، نرى أن (y_1 = e ^ {- 2x} ) هو حل للمعادلة التكميلية (y '+ 2y = 0 ). لذلك فإننا نبحث عن حلول لـ eqref {eq: 3.3.18} بالصيغة (y = ue ^ {- 2x} ) ، بحيث تبدأ {المعادلة} التسمية {eq: 3.3.19} y '= u 'e ^ {- 2x} -2ue ^ {- 2x} text {and} y' + 2y = u'e ^ {- 2x} -2ue ^ {- 2x} + 2ue ^ {- 2x} = u'e ^ {- 2x} end {equation}

لذلك (y ) هو حل eqref {eq: 3.3.18} إذا وفقط إذا (u'e ^ {- 2x} = x ^ 3e ^ {- 2x} ) أو ، بشكل مكافئ ، ( ش '= س ^ 3. )

لذلك (u = {x ^ 4 over4} + c ) و (y = ue ^ {- 2x} = e ^ {- 2x} left ({x ^ 4 over4} + c right) ) هو الحل العام لـ eqref {eq: 3.3.18}.

يوضح الشكل ( PageIndex {3} ) بعض المنحنيات المتكاملة لـ eqref {eq: 3.3.18}.

مثال ( PageIndex {5} ):

(أ) أوجد الحل العام start {equation} label {eq: 3.3.20} y '+ ( cot x) y = x csc x. end {equation}

(ب) حل مشكلة القيمة الأولية ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 3.3.21} y '+ ( cot x) y = x csc x، quad y ( pi / 2) = 1. نهاية {المعادلة}

إجابه

(أ) هنا (p (x) = cot x ) و (f (x) = x csc x ) كلاهما متصلان باستثناء النقاط (x = r pi ) ، حيث ( r ) هو عدد صحيح ، لذلك نبحث عن حلول لـ eqref {eq: 3.3.20} على الفواصل الزمنية ( left (r pi، (r + 1) pi right) ). نحتاج إلى حل غير تنافسي للمعادلة التكميلية (y_1 ) ؛ وبالتالي ، يجب أن يفي (y_1 ) (y_1 '+ ( cot x) y_1 = 0 ) ، والذي نعيد كتابته كـ start {equation} label {eq: 3.3.22} {y_1' over y_1} = - cot x = - { cos x over sin x} end {equation}

ينتج عن دمج هذا ( ln | y_1 | = - ln | sin x |، ) حيث نأخذ ثابت التكامل ليكون صفراً لأننا نحتاج فقط ( textcolor {blue} { mbox {one}} ) التي ترضي eqref {eq: 3.3.22}. من الواضح أن (y_1 = 1 / sin x ) خيار مناسب. لذلك فإننا نبحث عن حلول ​​eqref {eq: 3.3.20} بالصيغة (y = {u over sin x}، ) بحيث تبدأ {المعادلة} التسمية {eq: 3.3.23} y ' = {u ' over sin x} - {u cos x over sin ^ 2x} end {equation}

و تبدأ {المعادلة} label {eq: 3.3.24} y '+ ( cot x) y = {u' over sin x} - {u cos x over sin ^ 2x} + {u cot x over sin x} = {u ' over sin x} - {u cos x over sin ^ 2x} + {u cos x over sin ^ 2 x} = {u' over sin x}. end {equation}

لذلك (y ) هو حل eqref {eq: 3.3.20} إذا وفقط إذا ( frac {u '} { sin x} = x csc x = frac {x} { sin x} ) أو بشكل مكافئ (u '= x. )

دمج هذا ينتج

ابدأ {المعادلة} label {eq: 3.3.25} u = {x ^ 2 over2} + c، text y = {u over sin x} = {x ^ 2 over 2 sin x} + {c over sin x}. نهاية {المعادلة}

هو الحل العام لـ eqref {eq: 3.3.20} على كل فترة ( يسار (r pi ، (r + 1) pi right) ) ( (r = عدد صحيح) ).

(ب) فرض الشرط الأولي (y ( pi / 2) = 1 ) في eqref {eq: 3.3.25} ينتج عنه (1 = frac { pi ^ 2} {8} + c ) أو (c = 1- frac { pi ^ 2} {8}. )

وبالتالي ، فإن (y = {x ^ 2 over 2 sin x} + {(1- pi ^ 2/8) over sin x} ) هو حل eqref {eq: 3.3.21} . الفاصل الزمني لصلاحية هذا الحل هو ((0، pi) )؛

يوضح الشكل ( PageIndex {4} ) الرسم البياني الخاص به.

لم يكن من الضروري إجراء الحسابات eqref {eq: 3.3.23} و eqref {eq: 3.3.24} في مثال ( PageIndex {5} ) نظرًا لأننا أظهرنا في المناقشة السابقة مثال ( فهرس الصفحة {5} ) أنه إذا (y = uy_1 ) حيث (y_1 '+ p (x) y_1 = 0 ) ، ثم (y' + p (x) y = u'y_1 ). لقد أجرينا هذه الحسابات حتى ترى هذا يحدث في هذا المثال المحدد. نوصيك بتضمين هذه الحسابات "غير الضرورية" في ممارسة التمارين ، حتى تتأكد من أنك تفهم الطريقة حقًا ، وبعد ذلك ، قم بحذفها.

نلخص طريقة تغيير المعلمات لحل start {المعادلة} label {eq: 3.3.26} y '+ p (x) y = f (x) end {equation} على النحو التالي:

(أ) ابحث عن دالة (y_1 ) مثل ({y_1 ' over y_1} = - p (x). )

للتيسير ، خذ ثابت التكامل ليكون صفرًا.

(ب) اكتب ابدأ {المعادلة} label {eq: 3.3.27} y = uy_1 end {equation} لتذكير نفسك بما تفعله.

(ج) اكتب (u'y_1 = f ) وحل من أجل (u ') ؛ وبالتالي ، (u '= f / y_1 ).

(د) تكامل (u ') للحصول على (u ) ، مع ثابت تكامل تعسفي.

(هـ) استبدل (u ) في eqref {eq: 3.3.27} للحصول على (y ).

لحل معادلة مكتوبة كـ (P_0 (x) y '+ P_1 (x) y = F (x) ) نوصيك بالقسمة على (P_0 (x) ) للحصول على معادلة بالصيغة eqref {eq: 3.3.26} ثم اتبع هذا الإجراء.

الحلول في شكل متكامل

في بعض الأحيان ، لا يمكن تقييم التكاملات التي تنشأ في حل معادلة خطية من الدرجة الأولى بدلالة الدوال الأولية. في هذه الحالة ، يجب ترك الحل بدلالة التكامل.

مثال ( PageIndex {6} ):

(أ) أوجد الحل العام لـ (y'-2xy = 1. )

(ب) حل مشكلة القيمة الأولية ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 3.3.28} y'-2xy = 1، y (0) = y_0. نهاية {المعادلة}

إجابه

(أ) لتطبيق تباين المعلمات ، نحتاج إلى حل غير بديهي (y_1 ) للمعادلة التكميلية ؛ وبالتالي ، (y_1'-2xy_1 = 0 ) ، والتي نعيد كتابتها كـ ({y_1 ' over y_1} = 2x. )

يؤدي تكامل هذا واتخاذ ثابت التكامل ليكون صفرًا إلى إنتاج ( ln | y_1 | = x ^ 2، | y_1 | = e ^ {x ^ 2}. )

نختار (y_1 = e ^ {x ^ 2} ) ونبحث عن حلول ​​eqref {eq: 3.3.28} بالصيغة (y = ue ^ {x ^ 2} ) ، حيث (u ' e ^ {x ^ 2} = 1، u '= e ^ {- x ^ 2} ).

لذلك (u = c + int e ^ {- x ^ 2} dx، ) لكن لا يمكننا تبسيط التكامل على اليمين لأنه لا توجد دالة أولية بمشتق يساوي (e ^ {- x ^ 2} )

لذلك فإن أفضل شكل متاح للحل العام لـ eqref {eq: 3.3.28} هو begin {equation} label {eq: 3.3.29} y = ue ^ {x ^ 2} = e ^ {x ^ 2 } يسار (c + int e ^ {- x ^ 2} dx right). نهاية {المعادلة}

(ب) بما أن الشرط الأولي في eqref {eq: 3.3.28} مفروض في (x_0 = 0 ) ، فمن الملائم إعادة كتابة eqref {eq: 3.3.29} كـ (y = e ^ { x ^ 2} left (c + int ^ x_0 e ^ {- t ^ 2} dt right)، int_0 ^ 0e ^ {- t ^ 2} ، dt = 0. )

يُظهر الإعداد (x = 0 ) و (y = y_0 ) هنا أن (c = y_0 ). لذلك فإن حل مشكلة القيمة الأولية هو start {المعادلة} label {eq: 3.3.30} y = e ^ {x ^ 2} left (y_0 + int ^ x_0 e ^ {- t ^ 2} dt right). end {equation}

للحصول على قيمة معينة لـ (y_0 ) وكل منها ثابت (x ) ، يمكن تقييم التكامل الموجود على اليمين بالطرق العددية. إجراء بديل هو تطبيق إجراءات التكامل العددي التي تمت مناقشتها في الفصل 3 مباشرةً على مشكلة القيمة الأولية eqref {eq: 3.3.28}.

يوضح الشكل ~ ref {figure: 2.1.5} رسوم بيانية لـ eqref {eq: 3.3.30} لعدة قيم لـ (y_0 ).

ابدأ {الشكل} [H]

توسيط

scalebox {.9} {

implegraphics [bb = -78148689643 ، العرض = 5.67 بوصة ، الارتفاع = 3.66 بوصة ، keepaspectratio] {fig020105}}

لون أزرق}

تسمية توضيحية {Solutions of $ y'-2xy = 1 $، $ y (0) = y_ {0} $}

التسمية {الشكل: 2.1.5}

النهاية {الشكل}

نظرية الوجود والتفرد

طريقة تغيير المعلمات تؤدي إلى هذه النظرية.

نظرية ( PageIndex {2} )

افترض أن (p ) و (f ) مستمرين على فاصل زمني مفتوح ((أ ، ب) ، ) ولنفترض أن (y_1 ) يكون أي حل غير بديهي للمعادلة التكميلية (y '+ p ( س) ص = 0 ) في ((أ ، ب) ).

ثم:

(أ) الحل العام للمعادلة غير المتجانسة start {equation} label {eq: 3.3.31} y '+ p (x) y = f (x) end {equation} on ((a، b) ) يكون

start {equation} label {eq: 3.3.32} y = y_1 (x) left (c + int f (x) / y_1 (x) ، dx right) end {equation}

(ب) إذا كانت (x_0 ) نقطة عشوائية في ((أ ، ب) ) و (y_0 ) هي رقم حقيقي تعسفي ، فإن مشكلة القيمة الأولية (y '+ p (x) y = f (x) ، quad y (x_0) = y_0 ) لها الحل الفريد

(y = y_1 (x) left ({y_0 over y_1 (x_0)} + int ^ x_ {x_0} {f (t) over y_1 (t)} ، dt right) ) على ((أ ، ب) )

دليل - إثبات

(أ) لتوضيح أن eqref {eq: 3.3.32} هو الحل العام لـ eqref {eq: 3.3.31} في ((a، b) ) ، يجب أن نثبت أن:

(i) إذا كان (c ) ثابتًا ، فإن الوظيفة (y ) في eqref {eq: 3.3.32} هي حل eqref {eq: 3.3.31} on ((a، b ) ).

(ii) إذا كان (y ) هو حل eqref {eq: 3.3.31} في ((a، b) ) فإن (y ) يكون على الشكل eqref {eq: 3.3.32 } لبعض الثوابت (ج ).

لإثبات الجزء {i} ، نلاحظ أولاً أن أي دالة بالنموذج eqref {eq: 3.3.32} معرّفة في ((a، b) ) ، منذ (p ) و (f ) مستمرة في ((أ ، ب) ). ينتج عن التفريق eqref {eq: 3.3.32} (y '= y_1' (x) left (c + int f (x) / y_1 (x) ، dx right) + f (x). )

بما أن (y_1 '= - p (x) y_1 ) ، يشير هذا و eqref {eq: 3.3.32} إلى أن start {eqnarray *} y' & = & - p (x) y_1 (x) left (c + int f (x) / y_1 (x) ، dx right) + f (x) & = & - p (x) y (x) + f (x)، end {eqnarray * }

مما يعني أن (y ) هو حل eqref {eq: 3.3.31}.

لإثبات الجزء {ii} ، افترض أن (y ) هو حل eqref {eq: 3.3.31} في ((a، b) ). من إثبات النظرية ~ المرجع {thmtype: 3.3.1} ، نعلم أن (y_1 ) لا يحتوي على أصفار في ((أ ، ب) ) ، وبالتالي فإن الوظيفة (u = y / y_1 ) يتم تعريفه في ((أ ، ب) ).

علاوة على ذلك ، بما أن (y '= - py + f y_1' = - py_1، )

start {eqnarray *} u '& = & {y_1y'-y_1'y over y_1 ^ 2} & = & {y_1 (-py + f) - (- py_1) y over y_1 ^ 2} = {f over y_1} end {eqnarray *}

ينتج عن التكامل (u '= f / y_1 ) (u = left (c + int f (x) / y_1 (x) ، dx right) ، ) مما يعني eqref {eq: 3.3. 32} ، منذ (y = uy_1 ).

(ب) لقد أثبتنا part {a} ، حيث ( int f (x) / y_1 (x) ، dx ) في eqref {eq: 3.3.32} هو مشتق عشوائي لـ (f / y_1 ). من الملائم الآن اختيار المشتقة العكسية التي تساوي صفرًا عند (x = x_0 ) ، واكتب الحل العام لـ eqref {eq: 3.3.31} بالشكل (y = y_1 (x) left (c + int ^ x_ {x_0} {f (t) over y_1 (t)} ، dt right). )

بما أن (y (x_0) = y_1 (x_0) left (c + int ^ {x_0} _ {x_0} {f (t) over y_1 (t)} ، dt right) = cy_1 (x_0) ، ) نرى ذلك (y (x_0) = y_0 ) إذا وفقط إذا (c = y_0 / y_1 (x_0) ).


3.2: المعادلات الخطية من الدرجة الأولى - الرياضيات

تكون العملية خطية إذا كانت تتصرف "بشكل جيد" فيما يتعلق بالضرب في الثابت والجمع. يأتي الاسم من معادلة خط عبر الأصل ، $ f (x) = mx $ ، والخاصيتان التاليتان لهذا المعادلة. أولاً ، $ f (cx) = m (cx) = c (mx) = cf (x) $ ، لذا فإن الثابت $ c $ يمكن "تحريكه للخارج" أو "تحريكه من خلال" الدالة $ f $ ثانيًا ، $ f (x + y) = m (x + y) = mx + my = f (x) + f (y) $ ، لذلك يمكن أيضًا نقل رمز الإضافة من خلال الوظيفة.

الخصائص المقابلة للمشتق هي:

من السهل أن ترى ، أو على الأقل تصدق ، أن هذه صحيحة من خلال التفكير في تفسير المسافة / السرعة للمشتقات. إذا كان أحد العناصر في الموضع $ f (t) $ في الوقت $ t $ ، فإننا نعلم أن سرعته مُعطاة بقيمة $ f '(t) $. لنفترض أن هناك عنصرًا آخر في الموضع $ 5f (t) $ في الوقت $ t $ ، أي أنه دائمًا ما يكون 5 مرات على طول المسار مثل الكائن الأول. ثم "يجب" أن تكون أسرع بخمس مرات في جميع الأوقات.

القاعدة الثانية أكثر تعقيدًا إلى حد ما ، ولكن إليك طريقة واحدة لتصورها. لنفترض أن عربة سكة حديد مسطحة في الموضع $ f (t) $ في الوقت $ t $ ، لذا فإن السيارة تسير بسرعة $ f '(t) $ (على وجه التحديد ، دعنا نقول أن $ f (t) يعطي $ الموضع على مسار الطرف الخلفي للسيارة). افترض أن نملة تزحف من مؤخرة السيارة إلى الأمام بحيث يكون وضعها داخل السياره هو $ g (t) $ وسرعته نسبة إلى السيارة هو $ g '(t) $. ثم في الواقع ، في الوقت $ t $ ، تكون النملة في الموضع $ f (t) + g (t) $ على طول المسار ، وسرعتها "من الواضح '' $ f '(t) + g' (t) $.

لا نريد الاعتماد على بعض التفسيرات المادية الواضحة إلى حد ما لتحديد ما هو صحيح رياضيًا ، لذلك دعونا نرى كيفية التحقق من هذه القواعد عن طريق الحساب. سنفعل إحداها ونترك الأخرى للتمارين. $ eqalign < (f (x) + g (x)) & = lim_ < Delta x to 0> cr & = lim_ < Delta x to 0> cr & = lim_ < Delta x to 0> cr & = lim_ < Delta x to 0> left ( + right) cr & = lim_ < Delta x to 0> + lim_ < Delta x to 0> cr & = f '(x) + g' (x) cr> $ وهذا يسمى أحيانًا حكم المجموع للمشتقات.

مثال 3.2.1 أوجد مشتق $ ds f (x) = x ^ 5 + 5x ^ 2 $. علينا استدعاء الخطية مرتين هنا: $ f '(x) = (س ^ 5 + 5 س ^ 2) = x ^ 5 + (5x ^ 2) = 5x ^ 4 + 5(x ^ 2) = 5x ^ 4 + 5 cdot 2x ^ 1 = 5x ^ 4 + 10x. $

نظرًا لأنه سهل جدًا مع القليل من الممارسة ، يمكننا عادةً الجمع بين جميع استخدامات الخطية في خطوة واحدة. يوضح المثال التالي حسابًا مفصلاً بشكل مقبول.

مثال 3.2.2 أوجد مشتق $ ds f (x) = 3 / x ^ 4-2x ^ 2 + 6x-7 $. $ f '(x) = يسار (<3 over x ^ 4> -2x ^ 2 + 6x-7 right) = (3x ^ <-4> -2x ^ 2 + 6x-7) = -12x ^ <-5> -4x + 6. $


معادلات خطية من الدرجة الأولى

أ معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى لديه الشكل التالي:

الحل العام معطى بواسطة

يسمى عامل التكامل. إذا تم إعطاء شرط أولي ، فاستخدمه لإيجاد الثابت C.

فيما يلي بعض الخطوات العملية التي يجب اتباعها: 1. إذا تم إعطاء المعادلة التفاضلية كـ

2. أوجد عامل التكامل

3. أوجد التكامل 4. اكتب الحل العام

5. إذا تم إعطاؤك IVP ، فاستخدم الشرط الأولي لإيجاد الثابت C.


مثال: ابحث عن الحل الخاص بـ:

الحل: دعنا نستخدم الخطوات: الخطوة 1: ليست هناك حاجة لإعادة كتابة المعادلة التفاضلية. لدينا

الخطوة 2: عامل التكامل

الخطوة الرابعة: الحل العام معطى بواسطة

الخطوة الخامسة: من أجل إيجاد الحل المحدد لـ IVP المعطى ، نستخدم الشرط الأولي لإيجاد C. في الواقع ، لدينا

لذلك الحل

لاحظ أنه قد لا يتعين عليك القيام بالخطوة الأخيرة إذا طُلب منك إيجاد الحل العام (وليس IVP).


قائمة المصطلحات

الرياضيات ليس فقط برنامجًا قويًا للرياضيات الرمزية ، بل إنه قادر أيضًا على التعامل مع الحسابات الرقمية المعقدة. في الواقع ، جميع العمليات الرمزية تقريبًا لها نظير عددي. الرياضيات يستخدم حرف خاص ن للتقييمات العددية. يعد حل المعادلات من أكثر المشكلات شيوعًا في الرياضيات العددية. يتم تعريفها في الرياضيات بعلامة المساواة المزدوجة. الأمر الأساسي في الرياضيات لحل المعادلات يحل. ومع ذلك ، بالنسبة للتقييمات العددية ، نحتاج إلى إجراءات أخرى.

افترض أننا بحاجة إلى حل المعادلة الجبرية

لبعض الوظائف السلسة و (خ) و ز (س). الرياضيات أمرين أساسيين ، نقطة ثابتة و حل، لحل هذه المعادلات عدديًا. يمكن العثور على مزيد من التفاصيل في الأقسام الثلاثة الأولى من الجزء الثالث. أذكر ذلك نقطة ثابتة [f، expr] يبدأ بـ expr ، ثم يطبق f بشكل متكرر حتى لا تتغير النتيجة. حل يعمل عندما يقتصر على الحقيقي:

مثال: افترض أننا نريد إيجاد جذر تربيعي للرقم 4.5. أولا ، نحن نطبق نقطة ثابتة قيادة:

أو 2.121320343559643. خيار آخر هو

وهي في الواقع نفس القيمة التي توفرها طريقة نيوتن: 2.121320343559643

العودة إلى صفحة ماثيماتيكا
العودة إلى الصفحة الرئيسية (APMA0330)
العودة إلى الجزء 1 (التخطيط)
العودة إلى الجزء 2 (ODEs من الدرجة الأولى)
العودة إلى الجزء 3 (الطرق العددية)
العودة إلى الجزء 4 (المعادلات التفاضلية الأخرى ذات الترتيب الثاني والأعلى)
العودة إلى الجزء 5 (السلسلة والتكرارات)
العودة إلى الجزء 6 (تحويل لابلاس)
العودة إلى الجزء 7 (مشاكل قيمة الحدود)


التحليل الجزئي الفرعي الرابط الثابت

ابحث عن الحل العام ابدأ y '+ 3y = 2xe ^ <-3x> end

ابحث عن الحل العام ابدأ 2xy '+ y = 10 sqrt نهاية

ابحث عن الحل المعين ابدأ xy '+ y = 3xy qquad y (1) = 0 end

ابحث عن الحل المعين ابدأ y '= (1-y) cos x qquad y ( pi) = 2 end

5 معادلة برنولي

المعادلة ابدأ فارك + 2y = xy ^ <-2> label علامة <2.3.4> نهاية مثال على معادلة برنولي.

بيّن أن الاستبدال (v = y ^ 3 ) يقلل المعادلة (2.3.4) إلى المعادلة start فارك + 6v = 3x التسمية علامة <2.3.5> نهاية

حل المعادلة (2.3.5) من أجل (v text <.> ) ثم قم بإجراء الاستبدال (v = y ^ 3 ) للحصول على حل المعادلة (2.3.4).

يحتوي خزان سعة 400 جالون في البداية على 100 جالون من محلول ملحي يحتوي على 50 رطلاً من الملح. يدخل محلول ملحي يحتوي على رطل واحد من الملح لكل جالون الخزان بمعدل 5 جالونس، ويتدفق المحلول الملحي المخلوط جيدًا في الخزان بمعدل 3 جالونس. ما هي كمية الملح التي سيحتويها الخزان عندما يكون مليئًا بالمحلول الملحي؟


حساب التفاضل والتكامل APEX

في القسم السابق ، استكشفنا تقنية معينة لحل نوع معين من المعادلات التفاضلية تسمى المعادلة التفاضلية القابلة للفصل. في هذا القسم ، نقوم بتطوير وممارسة تقنية لحل نوع من المعادلات التفاضلية يسمى أ الخطية من الدرجة الأولى المعادلة التفاضلية.

تذكر أن المعادلة الجبرية الخطية في متغير واحد هي المعادلة التي يمكن كتابتها (ax + b = 0 text <،> ) حيث (a ) و (b ) أرقام حقيقية. لاحظ أن المتغير (x ) يظهر للقوة الأولى. المعادلات ( sqrt+ 1 = 0 ) و ( sin (x) -3x = 0 ) كلاهما غير خطي. المعادلة التفاضلية الخطية هي المعادلة التي يظهر فيها المتغير التابع ومشتقاته للقوة الأولى فقط. نحن نركز على المعادلات من الدرجة الأولى ، والتي تتضمن مشتقات من الدرجة الأولى (وليس أعلى) من المتغير التابع.

الشكل 8.3.1. مقدمة للقسم 8.3 ، وتقديم مثال 8.3.3

القسم الفرعي 8.3.1 حل المعادلات الخطية من الدرجة الأولى

التعريف 8.3.2. معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى.

A معادلة تفاضلية يمكن كتابتها بالصيغة

حيث (p ) و (q ) هي وظائف عشوائية للمتغير المستقل (x text <.> )

مثال 8.3.3. تصنيف المعادلات التفاضلية.

صنف كل معادلة تفاضلية على أنها خطية من الدرجة الأولى أو قابلة للفصل أو كلاهما أو لا.

  1. (displaystyle displaystyle yp = xy)
  2. ( displaystyle displaystyle yp = e ^ y + 3x )
  3. (displaystyle displaystyle yp - (cos (x)) y = cos (x))
  4. ( displaystyle displaystyle y yp -3xy = 4 ln (x) )

كلاهما. نحدد (p (x) = -x ) و (q (x) = 0 text <.> ) الصيغة المنفصلة للمعادلة هي ( displaystyle frac = س ، دكس نص <.> )

لا هذا ولا ذاك. المصطلح (e ^ y ) يجعل المعادلة غير خطية. بسبب الإضافة ، لا يمكن كتابة المعادلة في شكل منفصل.

الدرجة الأولى الخطية. نحدد (p (x) = - cos (x) ) و (q (x) = cos (x) text <.> ) لا يمكن كتابة المعادلة في شكل منفصل.

لا هذا ولا ذاك. لاحظ أن القسمة على (y ) ينتج عنها مصطلح غير خطي ( displaystyle frac <4 ln (x)> text <.> ) لا يمكن كتابة المعادلة بشكل منفصل.

لاحظ أن الخطية تعتمد على المتغير التابع (y text <،> ) وليس المتغير المستقل (x text <.> ) الوظائف (p (x) ) و (q (x) ) ) لا يلزم أن تكون خطية ، كما هو موضح في الجزء (ج) من المثال 8.3.3. لا ( cos (x) ) ولا ( sin (x) ) وظائف خطية لـ (x text <،> ) لكن المعادلة التفاضلية لا تزال خطية.

قبل وضع تقنية عامة لحل المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى ، ننظر إلى مثال محدد. ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية

هذه معادلة تفاضلية سهلة الحل. على اليسار ، المشتق العكسي للمشتق هو ببساطة الوظيفة (xy text <.> ) باستخدام الاستبدال (u = sin (x) ) على اليمين وتكامل النتائج في الحل الضمني

حل (ص ) ينتج الحل الصريح

على الرغم من عدم وضوحها ، إلا أن المعادلة التفاضلية أعلاه هي في الواقع معادلة تفاضلية خطية. باستخدام قاعدة حاصل الضرب والاشتقاق الضمني ، يمكننا كتابة ( displaystyle frac كبير (س ص كبير) = س فارك + y text <.> ) يمكن كتابة معادلتنا التفاضلية الأصلية

إذا قسمنا على (x text <،> ) فلدينا

الذي يطابق النموذج الوارد في التعريف 8.3.2. سيؤدي عكس خطواتنا إلى العودة إلى الصيغة الأصلية لمعادلتنا التفاضلية.

في الأمثلة الواردة في القسم السابق ، أجرينا عمليات على الثابت التعسفي (C text <،> ) لكننا ما زلنا نسمي النتيجة (C text <.> ) التبرير هو أن النتيجة بعد العملية هي ما يزال محتسب تعسفي. هنا ، نقسم (C ) على (x text <،> ) بحيث تعتمد النتيجة صراحة على المتغير المستقل (x text <.> ) بما أن (C / x ) هو ليس contant ، لا يمكننا فقط تسميته (C text <.> )

بدافع من المشكلة التي اكتشفناها للتو ، فإن الفكرة الأساسية وراء حل المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى هي ضرب كلا طرفي المعادلة التفاضلية بدالة تسمى عامل التكامل، فهذا يجعل الجانب الأيسر من المعادلة يبدو وكأنه قاعدة منتج موسعة. ثم نختصر الطرف الأيسر في مشتقة حاصل الضرب ودمج كلا الطرفين. السؤال الواضح هو ، "كيف تجد عامل التكامل هذا؟"

الشكل 8.3.4. استخدام عامل تكامل لحل معادلة تفاضلية خطية

ضع في اعتبارك المعادلة الخطية من الدرجة الأولى

دعنا نسمي عامل التكامل ( mu (x) text <.> ) نضرب طرفي المعادلة التفاضلية في ( mu (x) ) للحصول على

على الرغم من أننا نستخدم ( mu (x) ) لعامل التكامل الخاص بنا ، إلا أن الرمز غير مهم. The notation (mu(x)) is a common choice, but other texts my use (alpha(x), I(x) ext<,>) or some other symbol to designate the integrating factor.

Our goal is to choose (mu(x)) so that the left hand side of the differential equation looks like the result of a Product Rule. The left hand side of the equation is

Using the Product Rule and Implicit Differentiation,

Equating (frac ig ( mu(x) y ig )) and (mu(x) left ( frac + p(x)y ight )) gives

In order for the integrating factor (mu(x)) to perform its job, it must solve the differential equation above. But that differential equation is separable, so we can solve it. The separated form is

Following the steps outlined in the previous section, we should technically end up with (mu(x) = Ce^ ext<,>) where (C) is an arbitrary constant. Because we multiply both sides of the differential equation by (mu(x) ext<,>) the arbitrary constant cancels, and we omit it when finding the integrating factor.

If (mu(x)) is chosen this way, after multiplying by (mu(x) ext<,>) we can always write the differential equation in the form

Integrating and solving for (y ext<,>) the explicit solution is

Though this formula can be used to write down the solution to a first order linear equation, we shy away from simply memorizing a formula. The process is lost, and it's easy to forget the formula. Rather, we always always follow the steps outlined in Key Idea 8.3.5 when solving equations of this type.

Key Idea 8.3.5 . Solving First Order Linear Equations.

Write the differential equation in the form

Compute the integrating factor

Multiply both sides of the differential equation by (mu(x) ext<,>) and condense the left hand side to get

Integrate both sides of the differential equation with respect to (x ext<,>) taking care to remember the arbitrary constant.

Solve for (y) to find the explicit solution to the differential equation.

Let's practice the process by solving the two first order linear differential equations from Example 8.3.3.

Example 8.3.6 . Solving a First Order Linear Equation.

Find the general solution to (yp = xy ext<.>)

We solve by following the steps in Key Idea 8.3.5. Unlike the process for solving separable equations, we need not worry about losing constant solutions. The answer we find will be the general solution to the differential equation. We first write the equation in the form

By identifying (p(x) = -x ext<,>) we can compute the integrating factor

Multiplying both side of the differential equation by (mu(x) ext<,>) we have

The left hand side of the differential equation condenses to yield

The step where the left hand side of the differential equation condenses to the derivative of a product can feel a bit magical. The reality is that we choose (mu(x)) so that we can get exactly this condensing behavior. It's not magic, it's math! If you're still skeptical, try using the Product Rule and Implicit Differentiation to evaluate (displaystyle fracleft (e^<-frac<1><2>x^2>y ight) ext<,>) and verify that it becomes (e^<-frac<1><2>x^2>left(displaystyle frac - xy ight) ext<.>)

We integrate both sides with respect to (x) to find the implicit solution

Example 8.3.7 . Solving a First Order Linear Equation.

Find the general solution to (yp -(cos(x))y = cos(x) ext<.>)

The differential equation is already in the correct form. The integrating factor is given by

Multiplying both sides of the equation by the integrating factor and condensing,

Using the substitution (u = -sin(x) ext<,>) we can integrate to find the implicit solution

The explicit form of the general solution is

We continue our practice by finding the particular solution to an initial value problem.

Example 8.3.8 . Solving a First Order Linear Initial Value Problem.

Solve the initial value problem (displaystyle xyp - y = x^3ln(x) ext<,>) with (y(1)=0 ext<.>)

We first divide by (x) to get

The integrating factor is given by

Multiplying both sides of the differential equation by the integrating factor and condensing the left hand side, we have

Using Integrating by Parts to find the antiderivative of (xln(x) ext<,>) we find the implicit solution

Solving for (y ext<,>) the explicit solution is

The initial condition (y(1) = 0) yields (C = 1/4 ext<.>) The solution to the initial value problem is

Differential equations are a valuable tool for exploring various physical problems. This process of using equations to describe real world situations is called mathematical modeling, and is the topic of the next section. The last two examples in this section begin our discussion of mathematical modeling.

Example 8.3.9 . A Falling Object Without Air Resistance.

Suppose an object with mass (m) is dropped from an airplane. Find and solve a differential equation describing the vertical velocity of the object assuming no air resistance.

The basic physical law at play is Newton's second law,

Using the fact that acceleration is the derivative of velocity, mass × acceleration can be writting (mv' ext<.>) In the absence of air resistance, the only force of interest is the force due to gravity. This force is approximately constant, and is given by (mg ext<,>) where (g) is the gravitational constant. The word equation above can be written as the differential equation

Because (g) is constant, this differential equation is simply an integration problem, and we find

Since (v = C) with (t=0 ext<,>) we see that the arbitrary constant here corresponds to the initial vertical velocity of the object.

The process of mathematical modeling does not stop simply because we have found an answer. We must examine the answer to see how well it can describe real world observations. In the previous example, the answer may be somewhat useful for short times, but intuition tells us that something is missing. Our answer says that a falling object's velocity will increase linearly as a function of time, but we know that a falling object does not speed up indefinitely. In order to more fully describe real world behavior, our mathematical model must be revised.

Figure 8.3.10 . Video presentation of Examples 8.3.9–8.3.11

Example 8.3.11 . A Falling Object with Air Resistance.

Suppose an object with mass (m) is dropped from an airplane. Find and solve a differential equation describing the vertical velocity of the object, taking air resistance into account.

We still begin with Newon's second law, but now we assume that the forces in the object come both from gravity and from air resistance. The gravitational force is still given by (mg ext<.>) For air resistance, we assume the force is related to the velocity of the object. A simple way to describe this assumption might be (kv^

ext<,>) where (k) is a proportionality constant and (p) is a positive real number. The value (k) depends on various factors such as the density of the object, surface area of the object, and density of the air. The value (p) affects how changes in the velocity affect the force. Taken together, a function of the form (kv^

) is often called a power law. The differential equation for the velocity is given by

(Notice that the force from air resistance opposes motion, and points in the opposite direction as the force from gravity.) This differential equation is separable, and can be written in the separated form

For arbitrary positive (p ext<,>) the integration is difficult, making this problem hard to solve analytically. In the case that (p=1 ext<,>) the differential equation becomes linear, and is easy to solve either using either separation of variables or integrating factor techniques. We assume (p=1 ext<,>) and proceed with an integrating factor so we can continue practicing the process. Writing


Kansas State University

الخطوة 1: Find the integrating factor $ mu(x)=e^=e^<2log(x)>=x^2 $ الخطوة 2: Multiply through by the integrating factor $ x^2frac+2xy=4x^2 $ الخطوه 3: Recognize the left hand side as the derivative of $mu y$. $ frac(x^2y)=4x^2 $ الخطوة الرابعة: Integrate both sides $ x^2y=int 4x^2,dx=(4/3)x^3+C $ الخطوة الخامسة: Solve for $y$. $ y(x)=(4/3)x+Cx^ <-2>$ EXAMPLE: Solve the initial value problem $dy/dx+2xy=1, y(1)=2$.

FIRST: Find the general solution.

Step 4: $displaystyle e^y=int e^,dx=. $

Unfortunately, I don't know the indefinite integral of $e^$. So I leave the integral as a definite integral with $x$ as the upper limit to give me a function of $x$ and $1$ as the lower limit because the initial value is given at $1$ (you'll see why that matters in a second). And I won't forget the constant of integration.

Step 4: (Take Two) $displaystyle e^y=int_1^x e^,ds+C$

SECOND: Solve the initial value problem by plugging in. $ egin y(1)=e^<-1^2>int_1^1 e^,ds+Ce^<-1^2>&<uildrel extover => 2 C&=2e end $ While I don't know the indefinite integral of $e^$, I do know that the integral of anything from $1$ to $1$ is $. That is the advantage of choosing the lower limit to be the same as the place where the initial value is given. So the final answer is $y(x)=e^<-x^2>int_1^x e^,ds+2e^<1-x^2>$


Linear Equations

A linear first order ordinary differential equation (ODE) can be used as a mathematical model for a variety of phenomena, either physical or non-physical. Examples of such phenomena include the following: heat flow problems (thermodynamics), simple electrical circuits (electrical engineering), force problems (mechanics), rate of bacterial growth (biological science), rate of decomposition of radioactive material (atomic physics), crystallization rate of a chemical compound (chemistry), and rate of population growth (statistics). Most of these problems, however, appear in systems of differential equations that are considered in the second course.

A differential equation, written in the normal form:

يسمى linear equation، أين a(x) is a coefficient function and و (خ) is the forcing, driving, input, or nonhomogeneous term. If the driving term و (خ) is not identically zero, then the linear equation is called nonhomogeneous/inhomogeneous or driven. Otherwise, it is called the homogeneous equation.

Theorem: يترك a(x) و و (خ) be continuous functions on the open interval (a,b), and let ( x_0 in (a,b) . ) Then for each ( x in (a,b) ) there exists a unique solution ( y = phi (x) ) to the differential equation ( y' + a(x),y = f(x) ) that also satisfies the initial value condition that ( y(x_0 ) = y_0 ) for any real number ذ0. Moreover, this initial value problem has no singular solution. ■

Note that if the interval in the above theorem is the largest possible interval on which a(x) و و (خ) are continuous, then the interval is the interval of validity for the solution. This means, that for linear first order differential equations, we won't need to actually solve the differential equation in order to find the largest possible interval where the solution exists and continuous (such interval is called the validity interval). Notice as well that the interval of validity will depend only partially on the initial condition. The interval must contain x0, but the value of ذ0 has no effect on the interval of validity.

Example: validity interval

Example: validity interval: Determine the validity interval for the initial value problem

المحلول: First, in order to use the theorem to find the interval of validity, we must rewrite the differential equation in the normal form given in the theorem. So we need to divide out by the coefficient of the derivative.

Next, we need to identify where the two functions ( a(x) = frac<3> ) and ( f(x) = frac ) are not continuous. This will allow us to find all possible intervals of validity for the differential equation. وبالتالي، a(x) is discontinuous at ( x= pm 2 , ) while و (خ) is also undefined at x = 7. Now, with these points in hand, we can break up the real number line into four intervals where both a(x) و و (خ) will be continuous. These four intervals are,

A linear homogeneous (also called not driven) equation

مثال: Consider the homogeneous linear equation

For nonhomogeneous linear equation, there are known two systematic methods to find their solutions: integrating factor method and the Bernoulli method.

Integrating factor method allows us to reduce a linear differential equation in normal form ( y' + a(x),y = f(x) ) to an exact equation. There always exists an integrating factor &mu(خ) as a function of x:

ال Bernoulli method suggests to seek a solution of the inhomogeneous linear differential equation (it does not matter whether the equation is in normal form or not) ( y' + a(x),y = f(x) ) in the form of the product of two functions:

مثال: Consider the nonhomogeneous equation

Its solution can be obtained in one line الرياضيات code:

Now we apply the Bernoulli method: ( y(x) = u(x),v(x) , ) where ش is a solution of the homogeneous equation

مثال: Consider another example for a linear equation with variable coefficients:

We use an integrating factor method by solving the corresponding homogeneous/separable equation for &mu(خ):

Now we demonstrate the Bernoulli method: ( y(x) = u(x), v(x) , ) where u(x) is a solution of the homogeneous part ( x, u' -5,u =0 ) and v(x) is obtained upon solving the separable equation ( x,u, v' = 27, x^7 , e^x . ) Integrating these sequential equations

مثال: Solve the IVP: ( 3ty' +2y=t^2 , quad y(1)=1 . ) We try to find its solution using Mathematica:

مثال: Using الرياضيات, solve the linear differential equation: ( y' = e^ <-2x>-3,y , ) and plot some its solutions.

In DSolve command, the first argument (y'[x]==Exp[-2 x]-3 y[x]) represents the differential equation, the second argument (y[x]) instructs Mathematica that we are solving for y=y(x), and the third argument (x) instructs الرياضيات that the independent variable is x.
Note that gensol is a nested list. The first part of gensol, extracted with gensol[[1]], is the list (y(x)->E^(-2 x) + E^(-3 x) C[1])
and the first part of this list, extracted with gensol[[1,1,1]], is y(x) while the second part of this list
(which represents the formula for the solution), extracted with gensol[[1,1,2]], is y=E^(-2 x) + E^(-3 x) C[1]

مثال: In mining, “mine tailing” are what is left after everything valuable (such as a mineral, coal, or oil) has been removed. The material that is left over after the minerals, coal, or oil is extracted often presents a great deal of hazard to the environment. One of the ways of processing mine tailing is to store them in a pong this method is commonly used when water is used in the mining extraction. This method allows any particles that are suspended in the water to settle at the bottom of the pond. The water can then be treated and recycled.

Suppose that we have a gold mining operation and we are storing our tailing in a pond that has an initial volume of 100,000 cubic meters. When we begin our operation, the pond is filled with clean water. The pond has a stream flowing into it, and water is also being pumped out of the pond. Chemicals are used as a way to process gold ore, which is the material being extracted in this operation. Chemicals that are used, like sodium cyanide, are often highly poisonous and harmful to the environment. Thus, the water must be treated before it is released into the watershed. Suppose that 3,000 cubic meters per day flow into the pond from stream, and 3,000 cubic meters are pumped out of the pond each day to be processed and recycled. Since inflow and outflow are equal, the water level of the pond remains constant.

At time t=0, the water from stream becomes contaminated with chemicals from the mining operation at a rate of 10 kilograms of chemicals per 1000 cubic meters. We will assume that water in our tailing pond is well mixed so that the concentration of chemicals throughout the pond is uniform. In addition, any matter pumped into the pond from the stream settles to the bottom of the pond at a rate of 100 cubic meters per day. Thus, the volume of the pond is reduced by 100 cubic meters each day, and will become full after 500 days of operation. We shall assume that the particulate matter and the chemicals are included in the 1000 cubic meters that flow into the pond from the stream each day.

We want to find a differential equation that will model the amount of chemicals in the tailing pond at any particular time. يترك y(t) be the amount of chemicals in the pond at time ر. Then ( < ext d>y/< ext d>t ) is the difference between the rate at which the chemicals enter the pond and the rate at which the chemicals leave the pond.

Since water flows into the pond from the stream at a rate of 1000 cubic meters per day, the rate as which the chemicals enter the pond is 10 kilograms per day. On the other hand, the rate at which the chemicals leave the pond will depend on the amount of chemicals in the pond at time ر. The volume of the pond is decreasing due to sediment, and at time ر it is V(t)=100000−100t. Thus, the concentration of chemicals in the pond at time ر يكون y/(100000−100t), and the rate at which the chemicals are flowing out of the pond to be recycled is

Notice that the above equation is not autonomous. In fact, it is not even separable. We will have to use a different approach to find a solution. First, we will rewrite the equation in the form suitable for an integrating factor

Example: Mixing Models. Many applications involve the mixing of two or more substances together. We can model how petroleum products are mixed together in a refinery, how various ingredients are mixed together in a brewery, or how greenhouse gases mix and move across various layers of the earth's atmosphere. Basically, it consists of finding a formula for the amount of some "pollutant" in a container, into which pollutant is entering at a fixed rate and also flowing out at a fixed rate. The general physical rule used to describe this situation is

Suppose that a 400-liter tank initially contains 200 liters of salt water containing 2 kilograms of salt. A brine mixture containing 1/10 kilograms of salt per liter flows into the top of the tank at a rate of 4 liters per minute. A well-mixed solution leaves the tank at rate of 3 liters per minute. We wish to know how much salt is in the tank, when the tank is full.

To construct our model, we will let ر be the time (measured in minutes) and set up a differential equation that will measure how fast the amount of salt at time ر, y(t), is changing. We have the initial condition y(0) = 5، و

Example: gas in magma affects volcanic eruptions. Many andesitic volcanoes exhibit effusive eruption activity, with magma volumes as large as 10 7 -- 10 9 m 3 erupted at rates of 1 -- 10 m 3 /s over periods of years or decades. During such eruptions, many complex cycles in eruption rates have been observed, with periods ranging from hours to years. Longerterm trends have also been observed, and are thought to be associated with the continuing recharge of magma from deep in the crust and with waning of overpressure in the magma reservoir. Here we present a model which incorporates effects due to compressibility of gas in magma. The eruption duration and volume of erupted magma may increase by up to two orders of magnitude if the stored internal energy associated with dissolved volatiles can be released into the magma chamber. This mechanism would be favored in shallow chambers or volatile-rich magmas and the cooling of magma by country rock may enhance this release of energy, leading to substantial increases in eruption rate and duration.

Consider a magma with bulk density &rho in a chamber of volume الخامس undergoing a mass recharge rate سأنا and eruption rate س0. Conservation of mass indicates that

It is known that the rate of change in volume of the chamber, ( < ext d>V / < ext d>t , ) is related to the associated rate of change in pressure, ( < ext d>p / < ext d>t , ) as a result of deformation of the surrounding rock by:

Although the initial equation has partial derivatives, it can be assumed for the sake of this model that temperature is constant throughout the eruption thus the equation can be simplified to an ODE and solved both numerically and analytically.

Example: adding milk to coffee. Usually, there is a gap in time between you drink coffee and add cold mild to hot coffee. The temperature inside a mug of coffee is governed by the Newtons's equation.

Return to the main page (APMA0330)
Return to the Part 1 (Plotting)
Return to the Part 2 (First Order ODEs)
Return to the Part 3 (Numerical Methods)
Return to the Part 4 (Second and Higher Order ODEs)
Return to the Part 5 (Series and Recurrences)
Return to the Part 6 (Laplace Transform)
Return to the Part 7 (Boundary Value Problems)


The database contains 327 equations (14 equations are awaiting activation).

    1. Ordinary Differential Equations (11 equations)
      (0 equations) (3 equations) (3 equations) (1 equations) (1 equations) (2 equations) (1 equations)
      (3 equations) (0 equations) (1 equations)
      (12 equations) (13 equations) (7 equations) (2 equations) (24 equations) (1 equations)
      (17 equations) (41 equations) (0 equations) (106 equations) (21 equations) (5 equations) (27 equations) (1 equations)
      (4 equations) (1 equations) (5 equations) (4 equations) (1 equations) (8 equations)
      (2 equations) (1 equations) (9 equations) (0 equations)

    The EqWorld website presents extensive information on solutions to various classes of ordinary differential equations, partial differential equations, integral equations, functional equations, and other mathematical equations.

    Copyright © 2006-2011 Andrei D. Polyanin, Alexei I. Zhurov and Alexander L. Levitin


    First Order Differential Equations

    The first technique, for use on first order 'separable' differential equations, is separation of variables. A first order differential equation (dy/dt) is said to be separable if it can be written in the form:

    Then, separation of variables means to divide through by (f(y)) and then integrate with respect to (t), i.e.:

    There's really no more to it than that! Though of course the integrals on the left and right hand sides may not be particularly simple ones they'l often require you to make a substitution. That's one of the reasons why knowing A-Level integration inside out is of key importance and you should consider going through Module 10 as well for some hints and tips there.

    The Method of Integrating Factors

    Our second technique exploits the product rule for differentiation to solve first order differential equations that can be written in the form:

    Our aim is to be able to write the left hand side as ( frac

    [g(t)y]) for some function (g(t)). You don't need to worry too much about why, but if we take (g(t)=e^ ) then we have what we want. (g) here is what we usually refer to as our integrating factor. Specifically, this means our steps are:

    Now, as a hopefully illuminating example, lets take the simple case:

    Then our integrating factor is:

    And we have jumping to the final formula above:

    So, they're the two techniques you'll need to become familiar with to begin to tackle STEP first order differential equation problems. To really test things out though, lets proceed to work through part of a past STEP question.

    مثال

    This extract is from Question 6 on STEP III 2008 and it gives a nice introduction to first order differential equations in STEP. Firstly, we're first asked to differentiate (y) with respect to (x). The import thing to remember is that (p) is itself a function of (x) and so we're doing implicit differentiation. We find:

    Then, realising the LHS (dy/dx) can be replaced by (p) and rearranging suitabily we find:

    So, now we've got ourselves a differential equation for (x) that we need to solve. We ask ourselves firstly if it is separable, and the answer should hopefully clearly be no. But, it is of the form that allows us to use integrating factors. This should be a lot clearer if we write it as:

    First then, we need to find our integrating factor. Here it is given by:

    Therefore multiplying through and proceeding along the steps we went through in general earlier, or jumping to the final formula, we have:

    as required. Then our condition (p=-3), (x=2) gives us (A):

    (hspace <1.7 in>2=-frac<2><3>(-3)+A frac<1> <(-3)^2>Rightarrow 2=2+A frac<1> <9>Rightarrow A=0. )

    So, we have (x=-frac<2><3>p) or (p=-frac<3><2>x), and substituting this in our original equation for (y) we have our final answer:


    شاهد الفيديو: طريقة حذف جاوس Gaussian elimination (ديسمبر 2021).