مقالات

3. 10: مشتقات دوال المثلث العكسي


في هذا القسم نستكشف العلاقة بين مشتق الدالة ومشتق معكوسها. يمكن استخدام هذه الصيغة أيضًا لتوسيع قاعدة القوة لتشمل الأسس المنطقية.

مشتق دالة عكسية

ملاحظة: تعتبر نظرية الوظيفة العكسية "إضافية" لدورتنا التدريبية ، ولكنها يمكن أن تكون مفيدة للغاية. هناك طرق أخرى لاشتقاق (إثبات) مشتقات الدوال المثلثية العكسية. تأكد من رؤية جدول مشتقات الدوال المثلثية المعكوسة.

نبدأ بالنظر في الدالة وعكسها. إذا كان (f (x) ) قابلاً للعكس والتفاضل ، فيبدو من المعقول أن معكوس (f (x) ) قابل للتفاضل أيضًا. يوضح الشكل العلاقة بين دالة (f (x) ) ومقلوبها (f ^ {- 1} (x) ). انظر إلى النقطة ((a، f ^ {- 1} (a)) ) على الرسم البياني لـ (f ^ {- 1} (x) ) التي بها خط مماس بميل

[(f − 1) ′ (a) = dfrac {p} {q}. ]

تتوافق هذه النقطة مع نقطة ((f ^ {- 1} (a)، a) ) على الرسم البياني لـ (f (x) ) لها خط مماس بميل

[f ′ (f ^ {- 1} (a)) = dfrac {q} {p}. ]

وبالتالي ، إذا كان (f ^ {- 1} (x) ) قابلاً للتفاضل في (a ) ، فيجب أن يكون الأمر كذلك

((f ^ {- 1}) ′ (a) = dfrac {1} {f ′ (f ^ {- 1} (a))} ).

الشكل ( PageIndex {1} ):ترتبط خطوط الظل للدالة وعكسها ؛ وكذلك مشتقات هذه الدوال أيضًا.

يمكننا أيضًا اشتقاق صيغة مشتق المعكوس من خلال تذكر ذلك (x = f (f ^ {- 1} (x)) ). ثم عن طريق التفريق بين طرفي هذه المعادلة (باستخدام قاعدة السلسلة على اليمين) نحصل عليها

(1 = f ′ (f ^ {- 1} (x)) (f ^ {- 1}) ′ (x)) ).

نحصل على ((f ^ {- 1}) ′ (x) )

((f ^ {- 1}) ′ (x) = dfrac {1} {f ′ (f ^ {- 1} (x))} ).

نلخص هذه النتيجة في النظرية التالية.

نظرية الوظيفة العكسية

لنفترض أن (f (x) ) دالة قابلة للعكس والتفاضل. لنفترض أن (y = f ^ {- 1} (x) ) عكس (f (x) ). لجميع (س ) مرضية (و ′ (و ^ {- 1} (س)) ≠ 0 ) ،

[ dfrac {dy} {dx} = dfrac {d} {dx} (f ^ {- 1} (x)) = (f ^ {- 1}) ′ (x) = dfrac {1} { و ′ (و ^ {- 1} (س))}. ]

بدلاً من ذلك ، إذا كان (y = g (x) ) هو معكوس (f (x) ) ، إذن

[g (x) = dfrac {1} {f ′ (g (x))}. ]

مثال ( PageIndex {1} ): تطبيق نظرية الدالة العكسية

استخدم نظرية الدالة العكسية لإيجاد مشتق (g (x) = dfrac {x + 2} {x} ). قارن المشتق الناتج بالمشتق الناتج عن طريق اشتقاق الدالة مباشرة.

المحلول

معكوس (g (x) = dfrac {x + 2} {x} ) هو (f (x) = dfrac {2} {x − 1} ).

بما أن [g ′ (x) = dfrac {1} {f ′ (g (x))}، ]

ابدأ بإيجاد (f ′ (x) ). هكذا،

(f ′ (x) = dfrac {−2} {(x − 1) ^ 2} ) و (f ′ (g (x)) = dfrac {2} {(g (x) - 1) ^ 2} = dfrac {−2} {( dfrac {x + 2} {x} −1) ^ 2} = - dfrac {x ^ 2} {2} ).

أخيرا،

(g ′ (x) = dfrac {1} {f ′ (g (x))} = - dfrac {2} {x ^ 2} ).

يمكننا التحقق من أن هذا هو المشتق الصحيح بتطبيق قاعدة خارج القسمة على (g (x) ) للحصول على

(g ′ (x) = - dfrac {2} {x ^ 2} ).

تمرين ( PageIndex {1} )

استخدم نظرية الدالة العكسية لإيجاد مشتق (g (x) = dfrac {1} {x + 2} ). قارن النتيجة التي تم الحصول عليها من خلال التفريق المباشر (g (x) ).

تلميح

استخدم المثال السابق كدليل.

إجابه

(g ′ (x) = - dfrac {1} {(x + 2) ^ 2} )

مثال ( PageIndex {2} ): تطبيق نظرية الدالة العكسية

استخدم نظرية الدالة العكسية لإيجاد مشتق (g (x) = sqrt [3] {x} ).

المحلول

الدالة (g (x) = sqrt [3] {x} ) هي معكوس الدالة (f (x) = x ^ 3 ). بما أن (g ′ (x) = dfrac {1} {f ′ (g (x))} ) ، ابدأ بإيجاد (f ′ (x) ). هكذا،

[f ′ (x) = 3x ^ 3 ]

و

[f ′ (g (x)) = 3 ( sqrt [3] {x}) ^ 2 = 3x ^ {2/3} ]

أخيرا،

[g ′ (x) = dfrac {1} {3x ^ {2/3}} = dfrac {1} {3} x ^ {- 2/3}. ]

تمرين ( PageIndex {2} )

أوجد مشتق (g (x) = sqrt [5] {x} ) بتطبيق نظرية الدالة العكسية.

تلميح

(g (x) ) هو معكوس (f (x) = x ^ 5 ).

إجابه

(g (x) = dfrac {1} {5} x ^ {- 4/5} )

من المثال السابق ، نرى أنه يمكننا استخدام نظرية الدالة العكسية لتوسيع قاعدة الأس بالشكل ( dfrac {1} {n} ) ، حيث (n ) عدد صحيح موجب. سيسمح لنا هذا الامتداد في النهاية بالتفريق (x ^ q ) ، حيث (q ) هو أي رقم منطقي.

تمديد قاعدة القوة للأسس المنطقية

قد تمتد قاعدة القوة للأسس المنطقية. بمعنى ، إذا كان (n ) عددًا صحيحًا موجبًا ، إذن

[ dfrac {d} {dx} (x ^ {1 / n}) = dfrac {1} {n} x ^ {(1 / n) −1}. ]

أيضًا ، إذا كان (n ) عددًا صحيحًا موجبًا و (m ) عددًا صحيحًا عشوائيًا ، إذن

( dfrac {d} {dx} (x ^ {m / n}) = dfrac {m} {n} x ^ {(m / n) −1} ).

دليل - إثبات

الدالة (g (x) = x ^ {1 / n} ) هي معكوس الدالة (f (x) = x ^ n ). هكذا،

(f ′ (x) = nx ^ {n − 1} ) و (f ′ (g (x)) = n (x ^ {1 / n}) ^ {n − 1} = nx ^ {( n − 1) / n} ).

أخيرا،

(g ′ (x) = dfrac {1} {nx ^ {(n − 1) / n}} = dfrac {1} {n} x ^ {(1 − n) / n} = dfrac { 1} {n} × ^ {(1 / n) −1} ).

للاشتقاق (x ^ {m / n} ) يجب علينا إعادة كتابته كـ ((x ^ {1 / n}) ^ m ) وتطبيق قاعدة السلسلة. هكذا،

[ dfrac {d} {dx} (x ^ {m / n}) = dfrac {d} {dx} ((x ^ {1 / n}) ^ m) = م (x ^ {1 / n }) ^ {m − 1} ⋅ dfrac {1} {n} x ^ {(1 / n) −1} = dfrac {m} {n} x ^ {(m / n) −1}. ]

مثال ( PageIndex {3} ): تطبيق قاعدة القوة على قوة عقلانية

أوجد معادلة خط المماس للرسم البياني لـ (y = x ^ {2/3} ) عند (x = 8 ).

المحلول

ابحث أولاً عن ( dfrac {dy} {dx} ) وقيمه عند (x = 8 ). منذ

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {2} {3} x ^ {- 1/3} ) و ( dfrac {dy} {dx} ∣_ {x = 8} = dfrac {1} {3} )

ميل خط المماس للرسم البياني عند (x = 8 ) هو ( dfrac {1} {3} ).

بالتعويض عن (x = 8 ) في الوظيفة الأصلية ، نحصل على (y = 4 ). وهكذا ، يمر خط الظل عبر النقطة ((8،4) ). بالتعويض في صيغة ميل ونقطة للخط ، نحصل على خط المماس

(y = dfrac {1} {3} x + dfrac {4} {3} ).

تمرين ( PageIndex {3} )

أوجد مشتق (s (t) = sqrt {2t + 1} ).

تلميح

استخدم قاعدة السلسلة.

إجابه

(s ′ (t) = (2t + 1) ^ {- 1/2} )

مشتقات الدوال المثلثية المعكوسة

نوجه انتباهنا الآن إلى إيجاد مشتقات الدوال المثلثية العكسية. ستثبت هذه المشتقات أنها لا تقدر بثمن في دراسة التكامل لاحقًا في هذا النص. تعتبر مشتقات الدوال المثلثية العكسية مفاجئة تمامًا لأن مشتقاتها هي في الواقع دوال جبرية. في السابق ، أثبتت مشتقات الدوال الجبرية أنها دوال جبرية وأظهرت مشتقات الدوال المثلثية أنها دوال مثلثية. هنا ، ولأول مرة ، نرى أن مشتقة الدالة لا يلزم أن تكون من نفس نوع الوظيفة الأصلية.

مثال ( PageIndex {4} ): مشتق من دالة الجيب العكسي

استخدم نظرية الدالة العكسية لإيجاد مشتق (g (x) = sin ^ {- 1} x ).

المحلول

بما أن (x ) في الفاصل الزمني ([- dfrac {π} {2} ، dfrac {π} {2}] ، f (x) = sin x ) هي معكوس (g (x) = sin ^ {- 1} x ) ، ابدأ بإيجاد (f ′ (x) ). منذ

(f ′ (x) = cos x ) و (f ′ (g (x)) = cos ( sin ^ {- 1} x) = sqrt {1 − x ^ 2} ) ،

نحن نرى ذلك

(g ′ (x) = dfrac {d} {dx} ( sin ^ {- 1} x) = dfrac {1} {f ′ (g (x))} = dfrac {1} { الجذر التربيعي {1 − x ^ 2}} ).

التحليلات

لرؤية ذلك ( cos ( sin ^ {- 1} x) = sqrt {1 − x ^ 2} ) ، ضع في اعتبارك الوسيطة التالية. اضبط ( sin ^ {- 1} x = θ ). في هذه الحالة ، ( sin θ = x ) حيث (- dfrac {π} {2} ≤θ≤ dfrac {π} {2} ). نبدأ بالنظر في الحالة حيث (0 <θ < dfrac {π} {2} ). نظرًا لأن (θ ) زاوية حادة ، يمكننا إنشاء مثلث قائم الزاوية بزاوية حادة (θ ) ، ووتر طول (1 ) وضلع مقابل الزاوية (θ ) بطول (س ). من نظرية فيثاغورس ، الضلع المجاور للزاوية (θ ) له طول ( sqrt {1 − x ^ 2} ). يظهر هذا المثلث في الشكل. باستخدام المثلث ، نرى أن ( cos ( sin ^ {- 1} x) = cos θ = sqrt {1 − x ^ 2} ).

الشكل ( PageIndex {2} ): باستخدام مثلث قائم الزاوية (θ ) ، وطول الوتر (1 ) ، والضلع المقابل للزاوية (θ ) بطول (x ) ، يمكننا أن نرى ذلك ( cos ( sin ^ {- 1} x) = cos θ = sqrt {1 − x ^ 2} ).

في الحالة التي يكون فيها (- dfrac {π} {2} <<0 ) ، نلاحظ أن (0 <−θ < dfrac {π} {2} ) وبالتالي

( cos ( sin ^ {- 1} x) = cos θ = cos (−θ) = sqrt {1 − x ^ 2} ).

الآن إذا (θ = dfrac {π} {2} ) أو (θ = - dfrac {π} {2} ، x = 1 ) أو (x = −1 ) ، ومنذ ذلك الحين الحالة ( cos θ = 0 ) و ( الجذر التربيعي {1 − × ^ 2} = 0 ) ، لدينا

( cos ( sin ^ {- 1} x) = cos θ = sqrt {1 − x ^ 2} ).

وبالتالي ، في جميع الحالات ، ( cos ( sin ^ {- 1} x) = sqrt {1 − x ^ 2} ).

مثال ( PageIndex {5} ): تطبيق قاعدة السلسلة على دالة الجيب العكسي

طبق قاعدة السلسلة على الصيغة المشتقة في مثال لإيجاد مشتق (h (x) = sin ^ {- 1} (g (x)) ) واستخدم هذه النتيجة لإيجاد مشتق (h (x) ) = sin ^ {- 1} (2x ^ 3). )

المحلول

بتطبيق قاعدة السلسلة على (h (x) = sin ^ {- 1} (g (x)) ) ، لدينا

(h ′ (x) = dfrac {1} { sqrt {1− (g (x)) ^ 2}} g ′ (x) ).

الآن دع (g (x) = 2x ^ 3، ) لذلك (g ′ (x) = 6x. ) بالتعويض في النتيجة السابقة ، نحصل عليها

(h ′ (x) = dfrac {1} { sqrt {1−4x ^ 6}} ⋅6x = dfrac {6x} { sqrt {1−4x ^ 6}} )

تمرين ( PageIndex {4} )

استخدم نظرية الدالة العكسية لإيجاد "اشتقاق" مشتق (g (x) = tan ^ {- 1} x ).

تلميح

معكوس (g (x) ) هو (f (x) = tan x ). استخدم المثال ( PageIndex {5} ) كدليل.

إجابه

(g ′ (x) = dfrac {1} {1 + x ^ 2} )

يمكن أيضًا إيجاد مشتقات الدوال المثلثية العكسية المتبقية باستخدام نظرية الدالة العكسية. يتم توفير هذه الصيغ في النظرية التالية.

جدول مشتقات الدوال المثلثية المعكوسة

( dfrac {d} {dx} sin ^ {- 1} x = dfrac {1} { sqrt {1− (x) ^ 2}} )

( dfrac {d} {dx} cos ^ {- 1} x = dfrac {−1} { sqrt {1− (x) ^ 2}} )

( dfrac {d} {dx} tan ^ {- 1} x = dfrac {1} {1+ (x) ^ 2} )

( dfrac {d} {dx} cot ^ {- 1} x = dfrac {−1} {1+ (x) ^ 2} )

( dfrac {d} {dx} sec ^ {- 1} x = dfrac {1} {| x | sqrt {(x) ^ 2−1}} )

( dfrac {d} {dx} csc ^ {- 1} x = dfrac {−1} {| x | sqrt {(x) ^ 2−1}} )

مثال ( PageIndex {6} ): تطبيق صيغ التمايز على دالة الظل العكسي

أوجد مشتق (f (x) = tan ^ {- 1} (x ^ 2). )

المحلول

(دع g (x) = x ^ 2 ) ، لذلك (g ′ (x) = 2x. ) بالتعويض في المعادلة ، نحصل عليها

(f ′ (x) = dfrac {1} {1+ (x ^ 2) ^ 2} ⋅ (2x). )

التبسيط ، لدينا

(f ′ (x) = dfrac {2x} {1 + x ^ 4} ).

مثال ( PageIndex {7} ): تطبيق صيغ التمايز على دالة الجيب العكسي

أوجد مشتق (h (x) = x ^ 2 sin ^ {- 1} x. )

المحلول

من خلال تطبيق قاعدة المنتج ، لدينا

(h ′ (x) = 2x sin ^ {- 1} x + dfrac {1} { sqrt {1 − x ^ 2}} ⋅x2 )

تمرين ( PageIndex {5} )

أوجد مشتق (h (x) = cos ^ {- 1} (3x − 1). )

تلميح

استخدم المعادلة. مع (ز (س) = 3 س − 1 )

إجابه

(h ′ (x) = dfrac {−3} { sqrt {6x − 9x ^ 2}} )

مثال ( PageIndex {8} ): تطبيق دالة الظل العكسي

يتم تحديد موضع الجسيم في الوقت (t ) بواسطة (s (t) = tan ^ {- 1} ( dfrac {1} {t}) ) لـ (t≥ dfrac {1 } {2} ). أوجد سرعة الجسيم في الوقت (t = 1 ).

المحلول

ابدأ بالتمييز بين (s (t) ) لإيجاد (v (t) ). وهكذا ،

(v (t) = s ′ (t) = dfrac {1} {1 + ( dfrac {1} {t}) ^ 2} ⋅ dfrac {−1} {t ^ 2} ).

التبسيط ، لدينا

(v (t) = - dfrac {1} {t ^ 2 + 1} ).

وبالتالي ، (v (1) = - dfrac {1} {2}. )

تمرين ( PageIndex {6} )

أوجد معادلة خط المماس للرسم البياني لـ (f (x) = sin ^ {- 1} x ) عند (x = 0. )

تلميح

(f ′ (0) ) هو ميل خط الظل.

إجابه

(ص = س )

المفاهيم الرئيسية

  • تسمح لنا نظرية الدالة العكسية بحساب مشتقات الدوال العكسية دون استخدام التعريف النهائي للمشتق.
  • يمكننا استخدام نظرية الدالة العكسية لتطوير صيغ اشتقاق للدوال المثلثية العكسية.

المعادلات الرئيسية

  • نظرية الدالة العكسية

((f − 1) ′ (x) = dfrac {1} {f ′ (f ^ {- 1} (x))} ) كلما (f ′ (f ^ {- 1} (x)) ≠ 0 ) و (f (x) ) قابلة للتفاضل.

  • حكم القوة مع الأسس المنطقية

( dfrac {d} {dx} (x ^ {m / n}) = dfrac {m} {n} x ^ {(m / n) −1}. )

  • مشتق دالة الجيب العكسية

( dfrac {d} {dx} sin ^ {- 1} x = dfrac {1} { sqrt {1− (x) ^ 2}} )

  • مشتق دالة جيب التمام العكسي

( dfrac {d} {dx} cos ^ {- 1} x = dfrac {−1} { sqrt {1− (x) ^ 2}} )

مشتق دالة الظل العكسي

( dfrac {d} {dx} tan ^ {- 1} x = dfrac {1} {1+ (x) ^ 2} )

مشتق دالة ظل التمام العكسية

( dfrac {d} {dx} cot ^ {- 1} x = dfrac {−1} {1+ (x) ^ 2} )

مشتق دالة القاطع العكسي

( dfrac {d} {dx} sec ^ {- 1} x = dfrac {1} { sqrt {| x | (x) ^ 2−1}} )

مشتق دالة قاطع التمام العكسي

( dfrac {d} {dx} csc ^ {- 1} x = dfrac {−1} {| x | sqrt {(x) ^ 2−1}} )

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


في تمارين الفصل

احسب مشتق كل من الوظائف التالية:

أظهر أن مشتق كل من الوظائف التالية كما هو معطى.

(y = x معكوس cos (x) - sqrt <1-x ^ 2> ) ( displaystyle dfdx= معكوس كوس (س) )

(y = معكوس tan يسار ( sqrt right) + معكوس csc (x) ) ( displaystyle dfdx=0)

(y = inverse cot left ( frac1x right) + معكوس tan (x) ) ( displaystyle dfdx= فارك <2> <1 + س ^ 2> )

(y = x معكوس sin (x) + sqrt <1-x ^ 2> ) ( displaystyle dfdx= معكوس خطيئة (س) )

20. أزواج غير عادية من الوظائف.

وضح أن أزواج الوظائف التالية تختلف بقيمة ثابتة بغض النظر عن قيمة (x text <.> ) في كل حالة ، ابحث عن الثابت.

(f (x) = معكوس خطيئة يسار ( frac يمين) ) و (ز (س) = 2 معكوس تان يسار ( مربع يمين) نص <.> )

تذكر أن (f (x) ) و (g (x) ) يختلفان بثابت "يعني أن (f (x) -g (x) ) ثابت. ما هو مشتق الثابت؟

(f (x) = معكوس الخطيئة اليسار ( frac <1> < sqrt> right) ) و (g (x) = معكوس tan left ( frac <1> يمين) نص <.> )


3. 10: مشتقات دوال المثلث العكسي

في هذا القسم سنلقي نظرة على مشتقات دوال المثلثات العكسية. من أجل اشتقاق مشتقات الدوال المثلثية العكسية ، سنحتاج إلى الصيغة من القسم الأخير المتعلقة بمشتقات الدوال المعكوسة. إذا كانت (f left (x right) ) و (g left (x right) ) وظائف معكوسة ،

تذكر أيضًا أن وظيفتين مقلوبتان إذا (f left ( يمين) = س ) و (ز يسار ( حق) = س ).

سنمر هنا بالتفصيل عبر الجيب العكسي وجيب التمام العكسي والماس العكسي ونترك الثلاثة الباقية لك لاشتقاقها إذا كنت ترغب في ذلك.

الجيب المعكوس

لنبدأ بجيب معكوس. هنا تعريف الجيب العكسي.

لذا ، فإن إيجاد قيمة دالة مثلثية عكسية هو نفسه السؤال عن الزاوية (بمعنى آخر. (y )) هل أدخلنا وظيفة الجيب للحصول على (x ). القيود على (ص ) المذكورة أعلاه موجودة للتأكد من أننا نحصل على إجابة متسقة من الجيب المعكوس. نعلم أن هناك في الواقع عددًا لا نهائيًا من الزوايا التي ستعمل ونريد قيمة متسقة عندما نعمل مع جيب معكوس. يعطي استخدام نطاق الزوايا أعلاه جميع القيم الممكنة لدالة الجيب مرة واحدة بالضبط. إذا لم تكن متأكدًا من ذلك ، ارسم دائرة وحدة وسترى أن نطاق الزوايا ( (y ) 's) سيغطي جميع قيم الجيب الممكنة.

لاحظ أيضًا أنه منذ (- 1 le sin left (y right) le 1 ) لدينا أيضًا (- 1 le x le 1 ).

دعونا نقدم مثالاً سريعًا.

لذلك ، نحن نسأل حقًا عن الزاوية (y ) التي تحل المعادلة التالية.

ونحن مقيدون بقيم (ص ) أعلاه.

من دائرة الوحدة يمكننا أن نرى بسرعة أن (y = frac < pi> <6> ).

لدينا العلاقة التالية بين دالة الجيب العكسية ودالة الجيب.

بعبارة أخرى ، هم مقلوبون لبعضهم البعض. هذا يعني أنه يمكننا استخدام الحقيقة أعلاه لإيجاد مشتقة معكوس الجيب. دعنا نبدء ب،

[f left (x right) = sin x hspace <0.5in> g left (x right) = < sin ^ <- 1 >> x ]

هذه ليست معادلة مفيدة للغاية. دعونا نرى ما إذا كان بإمكاننا الحصول على صيغة أفضل. لنبدأ باستدعاء تعريف دالة الجيب العكسية.

[y = < sin ^ <- 1 >> left (x right) hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> x = sin left (y right) ]

باستخدام الجزء الأول من هذا التعريف يصبح المقام في المشتق ،

[ cos left (<<< sin> ^ <- 1 >> x> right) = cos left (y right) ]

باستخدام هذا المقام الآن ،

[ cos left (<<< sin> ^ <- 1 >> x> right) = cos left (y right) = sqrt <1 - << sin> ^ 2> y> ]

الآن ، استخدم الجزء الثاني من تعريف دالة الجيب العكسية. المقام إذن ،

وبجمع كل هذا معًا ، نحصل على المشتق التالي.

جيب التمام المعكوس

الآن دعونا نلقي نظرة على معكوس جيب التمام. هذا هو تعريف معكوس جيب التمام.

كما هو الحال مع الجيب المعكوس ، لدينا قيود على الزوايا ، (y ) ، التي نخرجها من دالة جيب التمام العكسي. مرة أخرى ، إذا كنت ترغب في التحقق من ذلك ، يجب أن يقنعك رسم تخطيطي سريع لدائرة الوحدة بأن هذا النطاق سيغطي جميع القيم الممكنة لجيب التمام مرة واحدة بالضبط. أيضًا ، لدينا (- 1 le x le 1 ) لأن (- 1 le cos left (y right) le 1 ).

كما هو الحال مع الجيب المعكوس ، فإننا نسأل فقط ما يلي.

حيث يجب أن تفي (ص ) بالمتطلبات المذكورة أعلاه. من دائرة الوحدة يمكننا أن نرى أنه يجب أن يكون لدينا (y = frac << 3 pi >> <4> ).

لإيجاد المشتق ، سنفعل نفس نوع العمل الذي فعلناه مع معكوس الجيب أعلاه. إذا بدأنا بـ

[f left (x right) = cos x hspace <0.5in> g left (x right) = < cos ^ <- 1 >> x ]

إن تبسيط المقام هنا مطابق تقريبًا للشغل الذي قمنا به من أجل الجيب المعكوس وبالتالي لا يظهر هنا. عند التبسيط نحصل على المشتق التالي.

لذا ، فإن مشتق جيب التمام العكسي مطابق تقريبًا لمشتق الجيب العكسي. الاختلاف الوحيد هو الإشارة السلبية.

الظل المعكوس

هنا هو تعريف معكوس الظل.

مرة أخرى ، لدينا قيود على (y ) ، لكن لاحظ أنه لا يمكننا السماح لـ (y ) أن تكون أيًا من نقطتي النهاية في التقييد أعلاه نظرًا لأن الظل لم يتم تعريفه حتى عند هاتين النقطتين. لإقناع نفسك بأن هذا النطاق سيغطي جميع القيم الممكنة للماس ، قم برسم تخطيطي سريع لدالة الظل ويمكننا أن نرى أننا في هذا النطاق نغطي بالفعل جميع القيم الممكنة للماس. أيضًا ، في هذه الحالة ، لا توجد قيود على (x ) لأن tangent يمكن أن يأخذ جميع القيم الممكنة.

حيث (ص ) يفي بالقيود المذكورة أعلاه. من دائرة الوحدة يمكننا أن نرى ذلك (y = frac < pi> <4> ).

نظرًا لعدم وجود قيود على (س ) ، يمكننا أن نسأل عن حدود دالة الظل العكسي لأن (س ) ينتقل إلى زائد أو ناقص ما لا نهاية. للقيام بذلك ، سنحتاج إلى الرسم البياني لدالة المماس المعكوسة. هذا موضح أدناه.

من هذا الرسم البياني يمكننا أن نرى ذلك

دوال الظل المماس والمعكوسة هي دوال عكسية ،

لذلك ، لإيجاد مشتقة دالة الظل العكسي يمكننا البدء بها

[f left (x right) = tan x hspace <0.5in> g left (x right) = < tan ^ <- 1 >> x ]

تبسيط المقام مشابه لجيب معكوس ، لكنه مختلف بما يكفي لضمان إظهار التفاصيل. سنبدأ بتعريف المماس المعكوس.

[y = < tan ^ <- 1 >> x hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> tan y = x ]

الآن ، إذا بدأنا بحقيقة ذلك

ونقسم كل حد على cos 2 (y ) الذي نحصل عليه ،

أخيرًا ، باستخدام الجزء الثاني من تعريف دالة الظل العكسي ،

مشتق المماس المعكوس إذن ،

هناك ثلاث دوال مثلثية عكسية أخرى ، لكن الثلاثة المعروضة هنا هي الأكثر شيوعًا. يمكن اشتقاق الصيغ الثلاثة المتبقية من خلال عملية مماثلة كما فعلنا أعلاه. فيما يلي مشتقات جميع دوال المثلثات العكسية الستة.

ربما يتعين علينا الآن عمل بعض المشتقات السريعة هنا قبل الانتقال إلى القسم التالي.

ليس هناك الكثير لتفعله بهذا الأمر بخلاف التفريق بين كل مصطلح.

لا تنس تحويل الجذر إلى أس كسري قبل استخدام قاعدة حاصل الضرب.

تدوين بديل

هناك بعض الرموز البديلة التي تستخدم في بعض الأحيان للإشارة إلى دوال المثلثات العكسية. هذا الترميز هو ،


3. 10: مشتقات دوال المثلث العكسي

انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 1.

انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 2.

انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 3.

انقر هنا لمشاهدة حل تفصيلي للمشكلة 4.

انقر هنا لمشاهدة حل تفصيلي للمشكلة 5.

انقر هنا لمشاهدة حل تفصيلي للمشكلة 6.

تتطلب بعض المشكلات التالية استخدام قاعدة السلسلة.

انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 7.

انقر هنا لمشاهدة حل تفصيلي للمشكلة 8.

انقر هنا لمشاهدة حل تفصيلي للمشكلة 9.

انقر هنا للاطلاع على حل تفصيلي للمشكلة 10.

انقر هنا لمشاهدة حل تفصيلي للمشكلة 11.

انقر هنا لمشاهدة حل تفصيلي للمشكلة 12.

انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 13.

انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 14.

انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 15.

انقر هنا للعودة إلى القائمة الأصلية لأنواع مختلفة من مشاكل التفاضل والتكامل.

تعليقاتك وإقتراحاتك مرحب بها. يرجى إرسال أي مراسلات بالبريد الإلكتروني إلى دوان قبة من خلال النقر على العنوان التالي:


مفتاح الحل

الحصول على Triggy With It (من غير المحتمل أن يكون طلابك موجودين في عام 1993 ، لكنهم بالتأكيد قد يعرفون أغنية Will Smith أو حتى نسخة Phish) يرشد الطلاب عبر العديد من المفاهيم الجبرية والمثلثية المهمة: الدوال العكسية ، والهويات المثلثية ، وخصائص المثلث الأيمن ، و أكثر. سيتمكن معظم الطلاب من تذكر العلاقات اللازمة لإكمال النشاط بأكمله. بالإضافة إلى ذلك ، تكرر المشكلتان 2 و 3 المفاهيم والإجراءات من المشكلة 1 ، مما يسمح للطلاب باستخدام عملهم السابق للمساعدة. يعد هذا اكتشافًا موجهًا للطلاب لمشتقات وظائف arcsin (x) و arccos (x) و arctan (x).

نصائح تعليمية

يتطلب CED من الطلاب معرفة مشتقات ست دوال مثلثية عكسية. من المحتمل أن تظهر مشتقات arcsin (u) و arccos (u) و arctan (u) و arccot ​​(u) ، حيث u دالة في x ، في وقت لاحق عندما يواجه الطلاب تمايزًا مضادًا ، لذلك يجب التأكيد على هذه النماذج على الأخرى ثلاثة. بمجرد أن نوضح للطلاب أن مشتقات الدوال المشتركة العكسية متضادات ، يمكنهم بسهولة تذكر جميع الأشكال الستة. وعلى الرغم من أن مشتقات arcsec (u) و arccsc (u) نادرًا ما تظهر على أنها تكامل ، إلا أنه قد يكون من المفيد تقديمها للتأثير الدرامي. لا يسرد AP Calculus CED بشكل صريح أي من وظائف المثلثات العكسية ستظهر في اختبارات AP المستقبلية. ومع ذلك ، نحن مضغوطون بشدة للعثور على MCQs أو FRQs التي تستخدم مشتقات arcsec (u) أو arccsc (u).

رؤى الامتحان

قد تظهر هذه المشتقات إما في قسم MCQ للاختبار أو يتم تضمينها في FRQ.

مفاهيم الطلاب الخاطئة

يعد سوء تطبيق قاعدة السلسلة والتحديات المتعلقة بمعالجة تدوين الجذر التربيعي من أكثر المشكلات شيوعًا المرتبطة بهذا الدرس. لن يُطلب من الطلاب اشتقاق هذه الصيغ ، يعد الحفظ هو الطريقة الأكثر فاعلية للتعامل مع هذه المشتقات.


3. 10: مشتقات دوال المثلث العكسي

يمكن أن تكون إحدى الرموز الأكثر شيوعًا لوظائف المثلثات العكسية مربكة للغاية. أولاً ، بغض النظر عن كيفية تعاملك مع الأس ، فإننا نميل إلى الإشارة إلى دالة حساب المثلثات العكسية بـ "الأس" "-1". بمعنى آخر ، يُشار إلى جيب التمام العكسي كـ (< cos ^ <- 1 >> left (x right) ). من المهم هنا ملاحظة أنه في هذه الحالة "-1" ليس أسًا وبالتالي ،

في دوال المثلثات العكسية ، تبدو "-1" وكأنها أس لكنها ليست كذلك ، فهي ببساطة تدوين نستخدمه للإشارة إلى حقيقة أننا نتعامل مع دالة حساب المثلثات العكسية. إنه تدوين نستخدمه في هذه الحالة للإشارة إلى دوال المثلثات العكسية. إذا كنت أرغب حقًا في أن تشير الأسية إلى 1 على جيب التمام ، سأستخدم ما يلي.

هناك ترميز آخر لدوال المثلثات العكسية التي تتجنب هذا الغموض. وهي كالتالي.

[يبدأ< cos ^ <- 1 >> left (x right) & = arccos left (x right) < sin ^ <- 1 >> left (x right) & = arcsin يسار (x يمين) < tan ^ <- 1 >> left (x right) & = arctan left (x right) end]

لذا ، كن حذرًا مع تدوين دوال المثلث العكسي!

هناك ، بالطبع ، دوال عكسية متشابهة لوظائف المثلثات الثلاث المتبقية ، ولكن هذه هي الوظائف الثلاث الرئيسية التي ستراها في فئة حساب التفاضل والتكامل ، لذا سأركز عليها.

لتقييم دوال المثلثات العكسية ، تذكر أن العبارات التالية متكافئة.

[يبدأ theta & = < cos ^ <- 1 >> left (x right) & hspace <0.5in> & Leftrightarrow & hspace <0.5in> x & = cos left ( theta right) theta & = < sin ^ <- 1 >> left (x right) & hspace <0.5in> & Leftrightarrow & hspace <0.5in> x & = sin left ( theta right) theta & = < tan ^ <- 1 >> left (x right) & hspace <0.5in> & Leftrightarrow & hspace <0.5in> x & = tan left ( ثيتا حق) نهاية]

بعبارة أخرى ، عندما نقوم بتقييم دالة حساب المثلثات العكسية ، نسأل عن الزاوية ، ( theta ) ، هل أدخلناها في دالة المثلث (عادي ، وليس معكوسًا!) لنحصل على (x ).

لذا ، فلنقم ببعض المشاكل لنرى كيف تعمل هذه. قم بتقييم كل مما يلي. عرض كل الحلول إخفاء كل الحلول

في المشكلة 1 من قسم حل المعادلات المثلثية ، حللنا المعادلة التالية.

بعبارة أخرى ، سألنا ما الزوايا ، (x ) ، التي نحتاج إلى إدخالها في جيب التمام للحصول على ( frac << sqrt 3 >> <2> )؟ هذا ما نطلبه هنا بشكل أساسي عندما يُطلب منا حساب دالة المثلث العكسي.

ومع ذلك ، هناك اختلاف واحد كبير جدًا. في المشكلة 1 ، كنا نحل معادلة تنتج عددًا لا نهائيًا من الحلول. هذه كانت،

في حالة الدوال المثلثية العكسية ، فإننا بعد قيمة واحدة. لا نريد أن نضطر إلى التخمين عند أي من الإجابات الممكنة اللانهائية التي نريدها. لذا ، للتأكد من حصولنا على قيمة واحدة من دالة جيب التمام المثلثية العكسية ، نستخدم القيود التالية على جيب التمام العكسي.

[ ثيتا = < cos ^ <- 1 >> left (x right) hspace <0.25in> hspace <0.25in> - 1 le x le 1 hspace <0.25in> < rm> hspace <0.25in> 0 le theta le pi ]

يضمن التقييد على ( theta ) أننا سنحصل فقط على زاوية قيمة واحدة وبما أننا لا نستطيع الحصول على قيم (س ) من جيب التمام أكبر من 1 أو أصغر من -1 يمكننا أيضًا ر عوض بهذه القيم في دالة مثلثية عكسية.

لذلك ، باستخدام هذه القيود على حل المشكلة 1 ، يمكننا أن نرى أن الإجابة في هذه الحالة هي

بشكل عام ، لا نحتاج إلى حل معادلة فعليًا لتحديد قيمة دالة حساب المثلثات العكسية. كل ما علينا فعله هو النظر إلى دائرة الوحدة. لذلك ، في هذه الحالة ، نحن بعد زاوية بين 0 و ( pi ) والتي سيأخذ جيب التمام لها القيمة (- frac << sqrt 3 >> <2> ). لذا ، تحقق من دائرة الوحدة التالية

من هذا يمكننا أن نرى ذلك

القيود التي وضعناها على ( theta ) لدالة جيب التمام العكسي لن تعمل مع دالة الجيب العكسية. انظر فقط إلى دائرة الوحدة أعلاه وسترى أنه بين 0 و ( pi ) يوجد في الواقع زاويتان يكون الجيب لهما ( frac <1> <2> ) وهذا ليس ما نحن عليه يريد. كما هو الحال مع دالة جيب التمام العكسية ، نريد قيمة واحدة فقط. لذلك ، بالنسبة لدالة الجيب العكسية ، نستخدم القيود التالية.

عن طريق التحقق من دائرة الوحدة

القيد المعكوس للظل هو

لاحظ أنه لا توجد قيود على (x ) هذه المرة. هذا لأن ( tan left ( theta right) ) يمكن أن يأخذ أي قيمة من اللانهاية السالبة إلى اللانهاية الموجبة. إذا كان هذا صحيحًا ، فيمكننا أيضًا التعويض بأي قيمة في دالة الظل العكسي. لاحظ أيضًا أننا لا نقوم بتضمين نقطتي النهاية في القيد على ( theta ). لم يتم تعريف الظل عند هاتين النقطتين ، لذلك لا يمكننا تعويضهما في دالة الظل العكسي.

في هذه المشكلة ، نبحث عن الزاوية بين (- frac < pi> <2> ) و ( frac < pi> <2> ) والتي من أجلها ( tan left ( theta right) = 1 ) أو ( sin left ( theta right) = cos left ( theta right) ). يمكن أن يحدث هذا فقط في ( theta = frac < pi> <4> ) لذلك ،

عند تذكر إجابة المشكلة الأولى في هذا القسم ، يكون حل هذه المشكلة أسهل بكثير مما يبدو على السطح.

تؤدي هذه المسألة إلى بعض الحقائق اللطيفة حول جيب التمام المعكوس

هذه المشكلة أيضًا ليست صعبة للغاية (نأمل ...).

كما هو الحال مع معكوس جيب التمام ، لدينا أيضًا الحقائق التالية حول الجيب العكسي.

تمامًا كما كان لجيب التمام العكسي وجيب الجيب العكسي بعض الحقائق اللطيفة عنهما ، كذلك الحال بالنسبة للماس العكسي. ها هي الحقيقة

استخدام هذه الحقيقة يجعل هذه المشكلة سهلة للغاية حيث لم أستطع فعل (< tan ^ <- 1 >> left (4 right) ) يدويًا! يمكن للآلة الحاسبة أن تفعل ذلك بسهولة ، لكن لا يمكنني الحصول على إجابة دقيقة من دائرة الوحدة.


المشتقات المثلثية المعكوسة

في هذا الدرس ، سوف ننظر في كيفية إيجاد مشتقات معكوس الدوال المثلثية.

جدول مشتقات الدوال المثلثية المعكوسة

يعطي الجدول التالي صيغة مشتقات الدوال المثلثية العكسية. قم بالتمرير لأسفل الصفحة لمزيد من الأمثلة والحلول حول كيفية استخدام الصيغ.


مثال:
يميز

المحلول:
يمكننا استخدام الصيغة أعلاه وقاعدة السلسلة.

مثال:
يميز

المحلول:
نحن نستخدم قاعدة المنتج وقاعدة السلسلة.

الدوال المثلثية المعكوسة - المشتقات

صيغ مشتقات دوال المثلث العكسي الستة وأمثلة مشتقة.

أمثلة:
أوجد مشتقات الوظائف التالية

الدوال المثلثية المعكوسة - المشتقات - مثال أصعب

مثال:
أوجد مشتقات
ص = ثانية -1 √ (1 + س 2)

الدوال المثلثية المعكوسة - المشتقات - مثال أصعب

مثال:
أوجد مشتقات
y = sin -1 (cos x / (1 + sinx))

مشتقات دوال المثلث العكسي

مثال واحد لا يتطلب قاعدة السلسلة ومثال واحد يتطلب قاعدة السلسلة.

أمثلة:
أوجد مشتقات كل دالة معطاة.

مشتقات دوال المثلث العكسي

أمثلة:
أوجد مشتقات كل دالة معطاة.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


كيفية التفريق مع دوال المثلث العكسي

$ تبدأ فارك د left (sin ^ <-1> x right) = displaystyle frac 1 > &&&& frac d left ( cos ^ <-1> x right) = displaystyle frac <-1> < sqrt <1-x ^ 2 >> [18pt] frac d left ( tan ^ <-1> x right) = displaystyle frac 1 <1 + x ^ 2> &&&& frac d left ( cot ^ <-1> x right) = displaystyle frac <-1> <1 + x ^ 2> [18pt] frac d يسار (sec ^ <-1> x right) = displaystyle frac 1 <| x | sqrt> &&&& frac د يسار (csc ^ <-1> س يمين) = displaystyle frac <-1> <| x | sqrt> النهاية $

تدوين بديل

في بعض الأحيان ، يتم تمييز دوال المثلثات العكسية بـ "arc" أمام أسمائها بدلاً من الحرف العلوي "-1". يعرض الجدول أدناه كلا الاسمين لكل وظيفة.

$ تبدأ sin ^ <-1> x = arcsin x &&&& cos ^ <-1> x = arccos x [6pt] tan ^ <-1> x = arctan x &&&& cot ^ <-1> x = arccot ​​x [6pt] sec ^ <-1> x = arcsec x &&&& csc ^ <-1> x = arccsc x [6pt] end $


قبل أن نتحدث عن الدوال المثلثية العكسية ، دعنا نراجع الدوال المعكوسة بشكل عام. إذا أردنا إيجاد معكوس دالة ، فإننا نعوض عن الكل. x. مع. ذ. و كل. ذ. مع. x. 'س. إذن ، إذا أردنا إيجاد معكوس. ص = الخطيئة. نقلب المتغيرات ونحصل على. س = الخطيئة. ثم نحل هذه المعادلة لـ. ذ. بأخذ الجيب العكسي (. sin ^ <-1>. أو. arcsin.) لكلا الجانبين ، لأن. الخطيئة ^ <-1>. و ال . الخطيئة. سوف تلغي في الجانب الأيمن.

. الخطيئة ^ <-1>. و . أركسين. كلاهما يشير إلى عكس. الخطيئة. وظيفة ويمكن استخدامها بالتبادل. تذكر ذلك

أقوم بإنشاء دورات عبر الإنترنت لمساعدتك في تحسين حصة الرياضيات. قراءة المزيد.

لأن بعض الناس يعتقدون بشكل غير صحيح أن قاعدة الأس السالبة يمكن تطبيقها على الدوال المثلثية العكسية ، يجادل آخرون بذلك. أركسين. أكثر وضوحًا ويجب استخدامه دائمًا بدلاً من. الخطيئة ^ <-1>. للإشارة إلى الدالة المثلثية العكسية. يجب عليك استخدام أي تدوين يناسبك ، إلا إذا كان أستاذك يتوقع منك استخدام واحدة منها باستمرار. الحقيقة هي أنك عادة ما ترى كلاهما مستخدمًا ، لذلك يجب أن تكون على دراية بكليهما وتذكر أنهما يعنيان نفس الشيء.

يُظهر أول عمودين من الرسم البياني أدناه الدوال المثلثية العكسية الستة ومشتقاتها ، عندما تكون وظيفة "الداخل" عادلة. x. يأخذ العمودان الثالث والرابع في الاعتبار قاعدة السلسلة ويذكراننا بالضرب في مشتقة الدالة الداخلية.


شاهد الفيديو: Trigonometry. Graphs of Trigonometric Functions (شهر نوفمبر 2021).