مقالات

2.5: الحد الأعلى والحد الأدنى


نبدأ هذا القسم بمقترح يتبع النظرية 2.3.1. يُفترض أن تكون جميع التسلسلات في هذا القسم بأرقام حقيقية.

اقتراح ( PageIndex {1} )

لنفترض أن ( left {a_ {n} right } ) هو تسلسل محدود. حدد

[s_ {n} = sup left {a_ {k}: k geq n right } ]

و

[t_ {n} = inf left {a_ {k}: k geq n right }. ]

ثم ( left {s_ {n} right } ) و ( left {t_ {n} right } ) متقاربان.

دليل - إثبات

إذا (n leq m ) ، إذن ( left {a_ {k}: k geq m right } subset left {a_ {k}: k geq n right } ). لذلك ، يستنتج من النظرية 2.5.3 أن (s_ {n} geq s_ {m} ) وبالتالي فإن التسلسل ( left {s_ {n} right } ) في تناقص. بما أن ( يسار {a_ {n} يمين } ) محصور ، إذن هو ( يسار {s_ {n} يمين } ). على وجه الخصوص ، ( left {s_ {n} right } ) مقيد أدناه. وبالمثل ، يتزايد ( left {t_ {n} right } ) ويحد أعلاه. لذلك ، فإن كلا التسلسلين متقاربان بواسطة نظرية 2.3.1. (مربع)

التعريف ( PageIndex {1} ): تحديد المستوى الأعلى

دع ( يسار {a_ {n} يمين } ) يكون تسلسلًا. ثم الحد الأعلى من ( يسار {a_ {n} يمين } ) ) ، يُرمز إليها بـ ( limsup _ {n rightarrow infty} a_ {n} ) ، محدد بواسطة

[ limsup _ {n rightarrow infty} a_ {n} = lim _ {n rightarrow infty} sup left {a_ {k}: k geq n right }. ]

لاحظ أن ( limsup _ {n rightarrow infty} a_ {n} = lim _ {n rightarrow infty} s_ {n} ) ، حيث تم تعريف (s_ {n} ) في (2.8 ).

وبالمثل ، فإن حد أدنى من ( left {a_ {n} right } ) ، يُرمز إليه بـ ( liminf _ {n rightarrow infty} a_ {n} ) ، مُعرَّف بواسطة

[ liminf _ {n rightarrow infty} a_ {n} = liminf _ {n rightarrow infty} left {a_ {k}: k geq n right }. ]

لاحظ أن ( liminf _ {n rightarrow infty} a_ {n} = lim _ {n rightarrow infty} t_ {n} ) ، حيث (t_ {n} ) معرّف في (2.9 ).

نظرية ( PageIndex {2} )

إذا لم يكن ( left {a_ {n} right } ) محددًا أعلاه ، إذن

[ lim _ {n rightarrow infty} s_ {n} = infty، ]

حيث ( left {s_ {n} right } ) معرّف في (2.8).

وبالمثل ، إذا لم يكن ( left {a_ {n} right } ) محددًا أدناه ، إذن

[ lim _ {n rightarrow infty} t_ {n} = - infty، ]

حيث ( left {t_ {n} right } ) معرّف في (2.9).

دليل - إثبات

لنفترض أن ( left {a_ {n} right } ) غير محدد أعلاه. ثم بالنسبة لأي (k in mathbb {N} ) ، فإن المجموعة ( left {a_ {i}: i geq k right } ) غير مقيدة أعلاه أيضًا. وبالتالي ، (s_ {k} = sup left {a_ {i}: i geq k right } = infty ) للجميع (k ). لذلك ، ( lim _ {k rightarrow infty} s_ {k} = infty ). والدليل على الحالة الثانية مشابه. (مربع)

ملاحظة ( PageIndex {3} )

من خلال النظرية 2.5.2 ، نرى أنه إذا لم يكن ( left {a_ {n} right } ) محددًا أعلاه ، إذن

[ limsup _ {n rightarrow infty} a_ {n} = infty. ]

وبالمثل ، إذا لم يكن ( left {a_ {n} right } ) محددًا أدناه ، إذن

[ liminf _ {n rightarrow infty} a_ {n} = - infty. ]

نظرية ( PageIndex {4} )

لنفترض أن ( left {a_ {n} right } ) يكون تسلسلاً و ( ell in mathbb {R} ). ما يلي متكافئ:

  1. ( limsup _ {n rightarrow infty} a_ {n} = ell ).
  2. لأي ( varepsilon> 0 ) ، يوجد (N in mathbb {R} ) مثل

[a_ {n} < ell + varepsilon text {for all} n geq N، ]

وهناك تداعيات من ( left {a_ {n_ {k}} right } ) من ( left {a_ {n} right } ) بحيث

[ lim _ {k rightarrow infty} a_ {n_ {k}} = ell. ]

دليل - إثبات

افترض ( limsup _ {n rightarrow infty} a_ {n} = ell ). ثم ( lim _ {n rightarrow infty} s_ {n} = ell ) ، حيث يتم تعريف (S_ {n} ) كما في (2.8). لأي ( varepsilon> 0 ) ، يوجد (N in mathbb {N} ) مثل

[ ell- varepsilon

هذا يعني (s_ {N} = sup left {a_ {n}: n geq N right } < ell + varepsilon ). هكذا،

[a_ {n} < ell + varepsilon text {for all} n geq N ]

علاوة على ذلك ، بالنسبة لـ ( varepsilon = 1 ) ، يوجد (N_ {1} in mathbb {N} ) مثل

[ ell-1

وبالتالي ، يوجد (n_ {1} in mathbb {N} ) مثل هذا

[ ell-1

بالنسبة إلى ( varepsilon = frac {1} {2} ) ، يوجد (N_ {2} in mathbb {N} ) و (N_ {2}> n_ {1} ) مثل

[ ell- frac {1} {2}

وبالتالي ، يوجد (n_ {2}> n_ {1} ) مثل هذا

[ ell- frac {1} {2}

بهذه الطريقة ، يمكننا إنشاء تسلسل متزايد بشكل صارم ( left {n_ {k} right } ) للأعداد الصحيحة الموجبة مثل

[ ell- frac {1} {k}

لذلك ، ( lim _ {k rightarrow infty} a_ {n_ {k}} = ell ).

نثبت الآن العكس. بالنظر إلى أي ( varepsilon> 0 ) ، يوجد (N in mathbb {N} ) مثل

[a_ {n} < ell + varepsilon text {and} ell- varepsilon

للجميع (n geq M ) و (k geq N ). دع أي (m geq N ) ، لدينا

[s_ {m} = sup left {a_ {k}: k geq m right } leq ell + varepsilon. ]

بواسطة Lemma 2.1.8 ، (n_ {m} geq m ) ، لذلك لدينا أيضًا

[s_ {m} = sup left {a_ {k}: k geq m right } geq a_ {n_ {m}}> ell- varepsilon. ]

لذلك ، ( lim _ {m rightarrow infty} s_ {m} = limsup _ {m rightarrow infty} a_ {n} = ell ). (مربع)

تم إثبات النتيجة التالية بطريقة مماثلة.

نظرية ( PageIndex {5} )

لنفترض أن ( left {a_ {n} right } ) يكون تسلسلاً و ( ell in mathbb {R} ). ما يلي متكافئ:

  1. ( liminf _ {n rightarrow infty} a_ {n} = ell ).
  2. لأي ( varepsilon> 0 ) ، يوجد (N in mathbb {N} ) مثل

[a_ {n}> ell- varepsilon text {for all} n geq N، ]

وهناك تداعيات من ( left {a_ {n_ {k}} right } ) من ( left {a_ {n} right } ) بحيث

[ lim _ {k rightarrow infty} a_ {n_ {k}} = ell. ]

دليل - إثبات

أضف دليلًا هنا وسيتم إخفاؤه تلقائيًا

النتيجة الطبيعية التالية تتبع مباشرة من النظريتين 2.5.4 و 2.5.5.

نتيجة طبيعية ( PageIndex {6} )

دع ( يسار {a_ {n} يمين } ) يكون تسلسلًا. ثم

[ lim _ {n rightarrow infty} a_ {n} = ell text {if and only if} limsup _ {n rightarrow infty} a_ {n} = liminf _ {n rightarrow infty} a_ {n} = ell. ]

دليل - إثبات

أضف دليلًا هنا وسيتم إخفاؤه تلقائيًا

نتيجة طبيعية ( PageIndex {7} )

دع ( يسار {a_ {n} يمين } ) يكون تسلسلًا.

  1. افترض أن ( limsup _ {n rightarrow infty} a_ {n} = ell ) و ( left {a_ {n_ {k}} right } ) هي نتيجة لاحقة لـ ( left {a_ {n} right } ) مع

[ lim _ {k rightarrow infty} a_ {n_ {k}} = ell ^ { prime}. ]

ثم ( ell ^ { prime} leq ell ).

  1. افترض أن ( liminf _ {n rightarrow infty} a_ {n} = ell ) و ( left {a_ {n_ {k}} right } ) هو نتيجة لاحقة لـ ( left {a_ {n} right } ) مع

[ lim _ {k rightarrow infty} a_ {n_ {k}} = ell ^ { prime}. ]

ثم ( ell ^ { prime} geq ell ).

دليل - إثبات

نثبت فقط (أ) لأن إثبات (ب) مشابه. حسب النظرية 2.5.4 وتعريف الحدود ، لأي ( varepsilon> 0 ) ، يوجد (N in mathbb {N} ) مثل

[a_ {n} < ell + varepsilon text {and} ell ^ { prime} - varepsilon

للجميع (n geq N ) و (k geq N ). منذ (n_ {N} geq N ) ، هذا يعني

[ ell ^ { prime} - varepsilon

وبالتالي ، ( ell ^ { prime} < ell + 2 varepsilon ) وبالتالي ، ( ell ^ { prime} leq ell ) لأن ( mathcal {E} ) هو اعتباطي. (مربع)

ملاحظة ( PageIndex {8} ): حد لاحق

لنفترض أن ( left {a_ {n} right } ) هو تسلسل محدود. حدد

[A = left {x in mathbb {R}: text {هناك موجات لاحقة} يسار {a_ {n_ {k}} right } text {with} lim a_ {n_ {k}} = x right }. ]

كل عنصر من عناصر المجموعة (A ) يسمى أ الحد اللاحق من التسلسل ( يسار {a_ {n} يمين } ). يتبع من Theorem 2.5.4 و Theorem 2.5.5 و Corollary 2.5.7 أن (A neq emptyset ) و

[ limsup _ {n rightarrow infty} a_ {n} = max A text {and} liminf _ {n rightarrow infty} a_ {n} = min A. ]

نظرية ( PageIndex {9} )

افترض أن ( left {a_ {n} right } ) تسلسل مثل (a_ {n}> 0 ) لكل (n in mathbb {N} ) و

[ limsup _ {n rightarrow infty} frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}} = ell <1. ]

ثم ( lim _ {n rightarrow infty} a_ {n} = 0 ).

دليل - إثبات

اختر ( varepsilon> 0 ) بحيث ( ell + varepsilon <1 ). ثم يوجد (N in mathbb {N} ) من هذا القبيل

[ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}} < ell + varepsilon text {for all} n geq N. ]

دعونا (q = ell + varepsilon ). ثم (0

[0

منذ ( lim _ {n rightarrow infty} q ^ {n-N} a_ {N} = 0 ) ، يمتلك المرء ( lim _ {n rightarrow infty} a_ {n} = 0 ). (مربع)

بطريقة مماثلة ، نحصل على النظرية أدناه.

نظرية ( PageIndex {10} )

افترض أن ( left {a_ {n} right } ) تسلسل مثل (a_ {n}> 0 ) لكل (n in mathbb {N} ) و

[ liminf _ {n rightarrow infty} frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}} = ell> 1. ]

ثم ( lim _ {n rightarrow infty} a_ {n} = infty ).

دليل - إثبات

أضف دليلًا هنا وسيتم إخفاؤه تلقائيًا

مثال ( PageIndex {1} )

إعطاء رقم حقيقي ( alpha ) ، حدد

[a_ {n} = frac { alpha ^ {n}} {n!}، n in mathbb {N}. لا يوجد رقم]

المحلول

عندما ( alpha = 0 ) ، من الواضح أن ( lim _ {n rightarrow infty} a_ {n} = 0 ). افترض ( alpha> 0 ). ثم

[ limsup _ {n rightarrow infty} frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}} = lim _ {n rightarrow infty} frac { alpha} {n + 1} = 0 <1. لا يوجد رقم]

وبالتالي ، ( lim _ {n rightarrow infty} a_ {n} = 0 ). في الحالة العامة ، يمكننا أيضًا إظهار أن ( lim _ {n rightarrow infty} a_ {n} = 0 ) من خلال التفكير في ( lim _ {n rightarrow infty} left | a_ {n } right | ) واستخدام التمرين 2.1.3.

من المفترض أن تكون جميع التسلسلات في هذه المجموعة من التمارين في ( mathbb {R} ).

تمرين ( PageIndex {1} )

ابحث عن ( limsup _ {n rightarrow infty} a_ {n} ) و ( liminf _ {n rightarrow infty} a_ {n} ) لكل تسلسل.

  1. (a_ {n} = (- 1) ^ {n} ).
  2. (a_ {n} = sin left ( frac {n pi} {2} right) ).
  3. (a_ {n} = frac {1 + (- 1) ^ {n}} {n} ).
  4. (a_ {n} = n sin left ( frac {n pi} {2} right) ).

تمرين ( PageIndex {2} )

بالنسبة للتسلسل ( left {a_ {n} right } ) ، أثبت أن:

  1. ( liminf _ {n rightarrow infty} a_ {n} = infty ) فقط إذا وفقط إذا ( lim _ {n rightarrow infty} a_ {n} = infty ).
  2. ( limsup _ {n rightarrow infty} a_ {n} = - infty ) فقط إذا وفقط إذا ( lim _ {n rightarrow infty} a_ {n} = - infty ).

تمرين ( PageIndex {3} )

لنفترض أن ( left {a_ {n} right } ) و ( left {b_ {n} right } ) متسلسلان محدودان. اثبت ذلك:

  1. ( sup _ {k geq n} left (a_ {n} + b_ {n} right) leq sup _ {k geq n} a_ {k} + sup _ {k geq n } ب_ {ك} ).
  2. ( inf _ {k geq n} left (a_ {n} + b_ {n} right) geq inf _ {k geq n} a_ {k} + inf _ {k geq n } ب_ {ك} ).

تمرين ( PageIndex {4} )

لنفترض أن ( left {a_ {n} right } ) و ( left {b_ {n} right } ) متسلسلان محدودان.

  1. أثبت أن ( limsup _ {n rightarrow infty} left (a_ {n} + b_ {n} right) leq limsup _ {n rightarrow infty} a_ {n} + limsup _ { n rightarrow infty} b_ {n} ).
  2. أثبت أن ( liminf _ {n rightarrow infty} left (a_ {n} + b_ {n} right) geq liminf _ {n rightarrow infty} a_ {n} + liminf _ { n rightarrow infty} b_ {n} ).
  3. ابحث عن المثالين المتعارضين لإظهار أن المساواة قد لا تصمد في الجزء (أ) والجزء (ب).

تمرين ( PageIndex {5} )

لنفترض أن ( left {a_ {n} right } ) يكون تسلسلًا متقاربًا واجعل ( left {b_ {n} right } ) تسلسلًا عشوائيًا. اثبت ذلك

  1. ( limsup _ {n rightarrow infty} left (a_ {n} + b_ {n} right) = limsup _ {n rightarrow infty} a_ {n} + limsup _ {n rightarrow infty} b_ {n} = lim _ {n rightarrow infty} a_ {n} + limsup _ {n rightarrow infty} b_ {n} ).
  2. ( liminf _ {n rightarrow infty} left (a_ {n} + b_ {n} right) = liminf _ {n rightarrow infty} a_ {n} + liminf _ {n rightarrow infty} b_ {n} = lim _ {n rightarrow infty} a_ {n} + liminf _ {n rightarrow infty} b_ {n} ).

التحليل الأساسي الأول والثاني: مقدمة في التحليل الحقيقي ، المجلدان الأول والثاني

ملحوظة: 1-2 محاضرات ، دليل بديل للأسلحة البيولوجية اختياري

في هذا القسم ندرس التسلسلات المحدودة وتتابعاتها. على وجه الخصوص ، نحدد ما يسمى الحد الأعلى والحد الأدنى من التسلسل المحدود ونتحدث عن حدود التتابعات. علاوة على ذلك ، أثبتنا نظرية Bolzano – Weierstrass 1 ، والتي تعتبر أداة لا غنى عنها في التحليل.

لقد رأينا أن كل تسلسل متقارب محدود ، على الرغم من وجود العديد من المتواليات المتباعدة المحدودة. على سبيل المثال ، التسلسل ( <(- 1)> ^ n > ) مقيد ، لكنه متشعب. ومع ذلك ، لم نفقد كل شيء ولا يزال بإمكاننا حساب حدود معينة بتسلسل تباعد محدود.

القسم الفرعي 2.3.1 الحدود العليا والدنيا

هناك طرق لإنشاء متواليات رتيبة من أي تسلسل ، وبهذه الطريقة نحصل على ما يسمى الحد الأعلى و حد أدنى. توجد هذه الحدود دائمًا للتسلسلات المحدودة.

إذا كان التسلسل ( ) مقيدًا ، فسيتم تقييد المجموعة ( ). لكل (n text <،> ) المجموعة ( ) مقيدة أيضًا (لأنها مجموعة فرعية) ، لذلك نأخذ أعلىها ونقصها.

التعريف 2.3.1.

لنفترض أن ( ) هو تسلسل محدود. حدد التسلسلات ( ) و ( ) من خلال (a_n: = sup ) و (b_n: = inf text <.> ) حدد ، إذا كانت الحدود موجودة ،

للحصول على تسلسل محدود ، توجد دائمًا liminf و limsup (انظر أدناه). من الممكن تعريف liminf و limsup للتسلسلات غير المحدودة إذا سمحنا ( infty ) و (- infty text <.> ) ليس من الصعب تعميم النتائج التالية لتشمل متواليات غير محدودة ، ومع ذلك ، فإننا أولاً ، حصر انتباهنا على الأشياء المقيدة.

الاقتراح 2.3.2.

لنفترض أن ( ) هو تسلسل محدود. دع (a_n ) و (b_n ) كما في التعريف أعلاه.

يتم تقييد التسلسل ( ) بشكل رتيب متناقص و ( ) يحده زيادة رتيبة. على وجه الخصوص ، يوجد ( liminf x_n ) و ( limsup x_n ).

( displaystyle limsup_ ، x_n = inf ) و ( displaystyle liminf_ ، x_n = sup text <.> )

(displaystyle liminf_ ، x_n leq limsup_ ، x_n text <.> )

دليل - إثبات .

دعونا نرى لماذا ( ) هو تسلسل متناقص. نظرًا لأن (a_n ) هو الحد الأعلى الأدنى لـ ( text <،> ) فهو أيضًا حد أعلى للمجموعة الفرعية ( text <.> ) لذلك (a_ text <،> ) يجب أن يكون الحد الأعلى الأدنى لـ ( text <،> ) أقل من أو يساوي (a_n text <، > ) أي ، (a_n geq a_ text <.> ) وبالمثل (تمرين) ، ( ) هو تسلسل متزايد. يُترك كتمرين لإظهار أنه إذا كان ( ) مقيدًا ، فيجب تقييد ( ) و ( ).

يتبع العنصر الثاني في الاقتراح لأن التسلسلات ( ) و ( ) رتيبة.

بالنسبة للعنصر الثالث ، لاحظ أن (b_n leq a_n text <،> ) مثل ( inf ) لمجموعة غير فارغة أقل من أو يساوي ( sup text <.> ) تتلاقى التسلسلات ( ) و ( ) إلى limsup و liminf على التوالي. تطبيق Lemma 2.2.3 للحصول على

مثال 2.3.3.

دعونا نحسب ( liminf ) و ( limsup ) من هذا التسلسل. انظر أيضًا الشكل 2.6. أولا الحد الأدنى:

للحد الأعلى ، نكتب

ليس من الصعب رؤية ذلك

نترك الأمر للقارئ لإظهار أن الحد هو 1. أي ،

هل لاحظ أن التسلسل ( ) ليس تسلسلًا متقاربًا.

الشكل 2.6. أول 20 حدًا من المتتالية في المثال 2.3.3. وضع العلامات هو نفسه كما في الشكل 2.5.

نربط بعض التكرارات اللاحقة بـ ( limsup ) و ( liminf text <.> ) من المهم ملاحظة أن ( ) و ( ) ليست كذلك بالضرورة اللاحقة لـ ( text <،> ) ولا يجب أن تتكون من نفس الأرقام. على سبيل المثال ، للتسلسل ( < nicefrac <1> > text <،> ) (b_n = 0 ) للجميع (n in N text <.> )

نظرية 2.3.4.

إذا كان ( ) تسلسلًا محدودًا ، فهناك نتيجة لاحقة ​​( > ) مثل ذلك

وبالمثل ، هناك (ربما مختلفة) نتيجة لاحقة ​​( > ) مثل ذلك

دليل - إثبات .

حدد (a_n: = sup text <.> ) اكتب (x: = limsup ، x_n = lim ، a_n text <.> ) نحن تحديد اللاحقة حثي. اختر (n_1: = 1 ) وافترض أننا حددنا النتائج اللاحقة حتى (n_k ) لبعض (k text <.> ) الآن اختر بعضًا (m & gt n_k ) بحيث

يمكننا القيام بذلك لأن (a _ <(n_k + 1)> ) هو أعلى من المجموعة ( ) وبالتالي هناك عناصر من التسلسل قريبة بشكل تعسفي ( أو ربما تساوي) إلى السيادة. تعيين (n_ : = m text <.> ) اللاحقة ​​( > ). بعد ذلك ، علينا إثبات أنها تتقارب ولديها النهاية الصحيحة.

لاحظ أن (a _ <(n_+1)> geq a_) (لماذا؟) وذلك (أ_<>> geq x_ text <.> ) لذلك ، لكل (k geq 2 ) لدينا

دعونا نظهر أن ( > ) يتقارب إلى (x text <.> ) لاحظ أن النتائج اللاحقة لا يجب أن تكون رتيبة. دعونا نعطي ( epsilon & gt 0 ). بما أن ( ) يتقارب مع (x نص <،> ) ثم اللاحقة ​​( > ) يتقارب إلى (x text <.> ) وبالتالي يوجد (M_1 in N ) مثل هذا بالنسبة للجميع (k geq M_1 ) لدينا

ابحث عن (M_2 in N ) من هذا القبيل

خذ (M: = max ) واحسب. لجميع (k geq M ) لدينا

نترك البيان لـ ( liminf ) كتمرين.

القسم الفرعي 2.3.2 باستخدام الحد الأدنى والحد الأعلى

تتمثل ميزة ( liminf ) و ( limsup ) في أنه يمكننا دائمًا كتابتها لأي تسلسل (محدد). إذا تمكنا من حسابها بطريقة ما ، فيمكننا أيضًا حساب حد التسلسل إذا كان موجودًا ، أو إظهار أن التسلسل يتباعد. العمل مع ( liminf ) و ( limsup ) يشبه إلى حد ما العمل مع الحدود ، على الرغم من وجود اختلافات دقيقة.

الاقتراح 2.3.5.

لنفترض أن ( ) هو تسلسل محدود. ثم يتقارب ( ) إذا وفقط إذا

علاوة على ذلك ، إذا تقارب ( ) ، إذن

دليل - إثبات .

دع (a_n ) و (b_n ) كما في التعريف 2.3.1. على وجه الخصوص ، للجميع (n in N text <،> )

إذا كان ( liminf ، x_n = limsup ، x_n text <،> ) فإننا نعلم أن ( ) و ( ) يتقاربان مع نفس الحد . بواسطة الضغط lemma (Lemma 2.2.1) ، يتقارب ( ) و

افترض الآن أن ( ) يتقارب مع (x text <.> ) نحن نعلم من خلال النظرية 2.3.4 أن هناك نتيجة لاحقة ​​( > ) التي تتقارب إلى ( limsup ، x_n text <.> ) حيث يتقارب ( ) إلى (x text <،> ) كل تلاقي يتقارب مع (x ) وبالتالي ( limsup ، x_n = lim ، x_ = x text <.> ) وبالمثل ، ( liminf ، x_n = x text <.> )

الحد من السلوك المتفوق والحد الأدنى من التصرف بشكل جيد مع التكرارات اللاحقة.

الاقتراح 2.3.6.

افترض أن ( ) هو تسلسل محدود و ( > ) هي نتيجة لاحقة. ثم

دليل - إثبات .

لقد تم إثبات عدم المساواة المتوسطة بالفعل. سنثبت المتباينة الثالثة ، ونترك المتباينة الأولى كتدريب.

نريد إثبات أن ( limsup ، x_ leq limsup ، x_n text <.> ) حدد (a_j: = sup ) كالمعتاد. حدد أيضًا (c_j: = sup : k geq j > text <.> ) ليس صحيحًا أن ( ) بالضرورة نتيجة لاحقة لـ ( نص <.> ) ومع ذلك ، مثل (n_k geq k ) للجميع (k text <،> ) لدينا هذا ( : k geq j > subset text <.> ) أعلى مجموعة فرعية أقل من أو يساوي أعلى المجموعة وبالتالي

وهي النتيجة المرجوة.

الحد الأعلى والحد الأدنى هما أكبر وأصغر الحدود اللاحقة. إذا كان اللاحق ( <س_> ) في الاقتراح السابق متقارب ، ثم ( liminf ، x_ = ليم ، س_ = يمسوب ، س_ text <.> ) لذلك ،

وبالمثل ، نحصل على الاختبار المفيد التالي لتقارب تسلسل محدد. نترك الدليل كتمرين.

الاقتراح 2.3.7.

التسلسل المحدود ( ) متقارب ويتقارب مع (س ) فقط إذا وفقط إذا كانت كل نتيجة متقاربة ( > ) يتقارب إلى (x نص <.> )

القسم الفرعي 2.3.3 نظرية بولزانو-ويرستراس

في حين أنه ليس صحيحًا أن التسلسل المحدود متقارب ، تخبرنا نظرية بولزانو وويرستراس أنه يمكننا على الأقل إيجاد نتيجة متقاربة. إصدار Bolzano-Weierstrass الذي نقدمه في هذا القسم هو Bolzano-Weierstrass للتسلسلات.

نظرية 2.3.8. Bolzano – Weierstrass.

افترض أن تسلسل ( ) للأرقام الحقيقية محدود. ثم هناك تالية متقاربة ( > نص <.> )

دليل - إثبات .

نستخدم نظرية 2.3.4. تقول أن هناك تالية ذات حد هو ( limsup ، x_n text <.> )

قد يشكو القارئ الآن من أن Theorem 2.3.4 أقوى بشكل صارم من نظرية Bolzano-Weierstrass كما هو موضح أعلاه. هذا صحيح. ومع ذلك ، فإن نظرية 2.3.4 تنطبق فقط على السطر الحقيقي ، لكن Bolzano – Weierstrass تنطبق في سياقات أكثر عمومية (أي في ( R ^ n )) مع نفس العبارة بالضبط.

نظرًا لأن النظرية مهمة جدًا للتحليل ، فإننا نقدم دليلًا واضحًا. فكرة البرهان التالي تعمم أيضًا على سياقات مختلفة.

دليل - إثبات .

(دليل بديل لـ Bolzano – Weierstrass) نظرًا لأن التسلسل مقيد ، فهناك رقمان (a_1 & lt b_1 ) مثل (a_1 leq x_n leq b_1 ) للجميع (n in N text <.> ) سنحدد اللاحقة ​​( <س_> ) ومتسلسلان ( ) و ( text <،> ) بحيث يكون ( ) زيادة رتيبة ، ( < b_i > ) تناقص رتيب ، (a_i leq x_ leq b_i ) وهذا ( lim ، a_i = lim ، b_i text <.> ) هذا (x_) يتقارب ثم يتبعه ضغط اللمة.

نحدد التسلسلات حثيًا. سيكون لدينا دائمًا (a_i & lt b_i text <،> ) وذلك (x_n in [a_i، b_i] ) لعدد لا نهائي من (n in N text <.> ) لدينا تم تعريفه بالفعل (a_1 ) و (b_1 text <.> ) نأخذ (n_1: = 1 text <،> ) أي (x_ = x_1 text <.> ) افترض أنه حتى بعض (k in N ) قمنا بتعريف اللاحقة ​​(x_، x_، ldots، x_ text <،> ) والتسلسلات (a_1، a_2، ldots، a_k ) و (b_1، b_2، ldots، b_k text <.> ) دعنا (y: = frac<2> text <.> ) بوضوح (a_k & lt y & lt b_k text <.> ) إذا كان هناك عدد لا نهائي من (j in N ) مثل (x_j in [a_k، y ] text <،> ) ثم اضبط (a_ : = a_k text <،> ) (b_ : = y text <،> ) واختر (n_ & gt n_) مثل هذا (x_<>> in [a_k، y] text <.> ) إذا لم يكن هناك عدد لا نهائي من (j ) مثل (x_j in [a_k، y] text <،> ) فيجب أن يكون صحيحًا أن هناك عددًا لا نهائيًا من (j in N ) مثل (x_j in [y، b_k] text <.> ) في هذه الحالة اختر (a_ : = y text <،> ) (b_ : = b_k text <،> ) واختر (n_ & gt n_) مثل هذا (x_<>> في [y، b_k] text <.> )

لدينا الآن التسلسل المحدد. ما تبقى لإثباته هو أن ( lim ، a_i = lim ، b_i text <.> ) الحدود موجودة لأن التسلسلات رتيبة. في البناء ، يتم قطع (b_i - a_i ) إلى نصفين في كل خطوة. لذلك ، (ب_ - أ_ = فارك<2> نص <.> ) بالاستقراء ،

لنفترض أن (x: = lim ، a_i text <.> ) كما ( ) رتيب ،

دع (y: = lim ، b_i = inf text <.> ) منذ (a_i & lt b_i ) للجميع (i text <،> ) ثم (x leq y text <.> ) نظرًا لأن التسلسلات رتيبة ، إذن بالنسبة لأي (i ) لدينا (لماذا؟)

لأن ( frac<2^> ) صغير بشكل تعسفي و (y-x geq 0 text <،> ) لدينا (y-x = 0 text <.> ) ننتهي بواسطة الضغط lemma.

دليل آخر على نظرية Bolzano-Weierstrass هو إظهار الادعاء التالي ، والذي يُترك كممارسة صعبة. المطالبة: كل تسلسل له نتيجة رتيبة.

القسم الفرعي 2.3.4 حدود لانهائية

تمامًا كما هو الحال بالنسبة للإنفيما والسوبرما ، من الممكن السماح لبعض الحدود بأن تكون لانهائية. أي أننا نكتب ( lim ، x_n = infty ) أو ( lim ، x_n = - infty ) لبعض التسلسلات المتباعدة.

التعريف 2.3.9.

نقول ( ) يتباعد إلى ما لا نهاية 2 إذا كان لكل (K in R text <،> ) وجود (M in N ) بحيث أنه بالنسبة للجميع (n geq M ) لدينا (x_n & gt K ) نص <.> ) في هذه الحالة نكتب

وبالمثل ، إذا كان لكل (K in R ) وجود (M in N ) مثل هذا بالنسبة للجميع (n geq M ) لدينا (x_n & lt K text <،> ) نقول ( ) يتباعد إلى سالب اللانهاية ونكتب

مع هذا التعريف والسماح ( infty ) و (- infty text <،> ) يمكننا كتابة ( lim ، x_n ) لأي تسلسل رتيب.

الاقتراح 2.3.10.

افترض أن ( ) هو تسلسل رتيب غير محدود. ثم

دليل - إثبات .

تأتي حالة الزيادة الرتيبة من التمرين 2.3.14 الجزء ج) أدناه. دعونا نفعل التناقص الرتيب. يفترض () يتناقص وغير محدود ، أي لكل (K in R text <،> ) يوجد (M in N ) مثل (x_M & lt K text <.> ) حسب الرتابة (x_n leq x_M & lt K ) للجميع (n geq M text <.> ) لذلك ، ( lim ، x_n = - infty text <.> )

مثال 2.3.11.

نترك التحقق للقارئ.

قد نسمح أيضًا ( liminf ) و ( limsup ) بأخذ القيم ( infty ) و (- infty text <،> ) حتى نتمكن من تطبيق ( liminf ) و ( limsup ) على الإطلاق لأي تسلسل ، وليس فقط متسلسل محدود. لسوء الحظ ، فإن التسلسلات ( ) و ( ) ليست متواليات لأرقام حقيقية ولكنها أرقام حقيقية ممتدة. على وجه الخصوص ، يمكن أن يساوي (a_n ) ( infty ) بالنسبة للبعض (n text <،> ) و (b_n ) يمكن أن يساوي (- infty text <.> ) لذلك نحن ليس لديهم تعريف للحدود. ولكن نظرًا لأن الأرقام الحقيقية الموسعة لا تزال مجموعة مرتبة ، فيمكننا أخذ suprema و infima.

التعريف 2.3.12.

لنفترض أن ( ) عبارة عن سلسلة غير محدودة من الأرقام الحقيقية. حدد تسلسل الأرقام الحقيقية الممتدة من خلال (a_n: = sup ) و (b_n: = inf text <.> ) حدد

يتفق هذا التعريف مع تعريف التسلسلات المحدودة عندما يكون ( lim a_n ) أو ( lim b_n ) منطقيًا بما في ذلك احتمال ( infty ) و (- infty text <.> )

مقترح 2.3.13.

لنفترض أن ( ) تسلسل غير محدود. حدد ( ) و ( ) على النحو الوارد أعلاه. ثم يتناقص ( ) ويزداد ( ). إذا كان (a_n ) رقمًا حقيقيًا لكل (n text <،> ) ثم ( limsup ، x_n = lim ، a_n text <.> ) إذا كان (b_n ) هو رقم حقيقي لكل (n text <،> ) ثم ( liminf ، x_n = lim ، b_n text <.> )

دليل - إثبات .

كما كان من قبل ، (a_n = sup geq sup = a_ text <.> ) لذا ( ) في تناقص. وبالمثل ، يتزايد ( ).

إذا كان التسلسل ( ) عبارة عن سلسلة من الأرقام الحقيقية ، فإن ( lim a_n = inf text <.> ) هذا يتبع من Proposition 2.1.10 إذا كان ( ) مقيدًا وكان الاقتراح 2.3.10 إذا () غير مقيد. نتابع بالمثل مع ( text <.> )

يعمل التعريف كما هو متوقع مع ( limsup ) و ( liminf text <،> ) راجع التدريبات 2.3.13 و 2.3.14.

مثال 2.3.14.

افترض (x_n: = 0 ) للفرد (n ) و (x_n: = n ) حتى (n text <.> ) ثم (a_n = infty ) لكل ( n text <،> ) لأنه لأي (M text <،> ) يوجد زوجي (k ) مثل (x_k = k geq M text <.> ) من جهة أخرى يد ، (b_n = 0 ) للجميع (n text <،> ) مثل أي (n text <،> ) ( ) يتكون من (0 ) وأرقام غير سالبة. وبالتالي،

القسم الفرعي 2.3.5 تمارين

تمرين 2.3.1.

افترض أن ( ) هو تسلسل محدود. حدد (a_n ) و (b_n ) كما في التعريف 2.3.1. أظهر أن ( ) و ( ) مقيدان.

تمرين 2.3.2.

افترض أن ( ) هو تسلسل محدود. حدد (b_n ) كما في التعريف 2.3.1. أظهر أن ( ) هو تسلسل متزايد.

تمرين 2.3.3.

إنهاء إثبات الاقتراح 2.3.6. بمعنى ، افترض أن ( ) هو تسلسل محدود و ( > ) هي نتيجة لاحقة. إثبات ( displaystyle liminf_، x_n leq liminf_ ، x_ نص <.> )

تمرين 2.3.4.
تمرين 2.3.5.

دع (x_n: = dfrac << (- 1)> ^ n> text <.> ) ابحث عن ( limsup ، x_n ) و ( liminf ، x_n text <.> )

دع (x_n: = dfrac <(n-1) <(- 1)> ^ n> text <.> ) ابحث عن ( limsup ، x_n ) و ( liminf ، x_n text <.> )

تمرين 2.3.6.

دع ( ) و ( ) يكونان متتابعين مثل (x_n leq y_n ) للجميع (n text <.> ) ثم أظهر ذلك

تمرين 2.3.7.

لنفترض أن ( ) و ( ) متتابعتان.

تلميح: ابحث عن اللاحقة ​​( + y_ > ) من ( ) التي تتقارب. ثم ابحث عن نتيجة ( > > ) من ( <س_> ) التي تتقارب. ثم طبق ما تعرفه عن الحدود.

ابحث عن ( ) و ( ) صريح مثل ذلك

تلميح: ابحث عن الأمثلة التي ليس لها حد.

تمرين 2.3.8.

دع ( ) و ( ) يكونان متتابعين (من التمرين السابق نعلم أن ( ) مقيد).

تلميح: انظر التمرين السابق.

ابحث عن ( ) و ( ) صريح مثل ذلك

تلميح: انظر التمرين السابق.

تمرين 2.3.9.

إذا كانت (S subset R ) مجموعة ، فإن (x in R ) هو ملف نقطة الكتلة إذا كان لكل ( epsilon & gt 0 text <،> ) المجموعة ((x- epsilon ، x + epsilon) cap S setminus ) فارغة. بمعنى ، إذا كانت هناك نقاط (S ) قريبة بشكل تعسفي من (x text <.> ) على سبيل المثال ، (S: = < nicefrac <1> : n in N > ) يحتوي على نقطة كتلة فريدة (واحدة فقط) (0 text <،> ) ولكن (0 notin S text <.> ) أثبت الإصدار التالي من Bolzano - نظرية ويرستراس:

نظرية. لنفترض أن (S مجموعة فرعية R ) مجموعة لانهائية محدودة ، ثم توجد نقطة كتلة واحدة على الأقل من (S ).

تلميح: إذا كان (S ) لانهائي ، فإن (S ) يحتوي على مجموعة فرعية لا حصر لها. أي أن هناك تسلسل ( ) من الأرقام المميزة في (S text <.> )

تمرين 2.3.10.

إثبات أن أي تسلسل يحتوي على سلسلة رتيبة لاحقة. تلميح: اتصل (n in N ) أ قمة if (a_m leq a_n ) للجميع (m geq n text <.> ) هناك احتمالان: إما أن يكون للتسلسل عدد من القمم على الأكثر ، أو يحتوي على عدد لا نهائي من القمم.

اختتم نظرية بولزانو-ويرستراس.

تمرين 2.3.11.

إثبات نسخة أقوى من الاقتراح 2.3.7. لنفترض أن ( ) هو تسلسل بحيث أن كل نتيجة لاحقة ​​( > ) له اللاحقة ​​( > > ) التي تتقارب إلى (x نص <.> )

أظهر أولاً أن ( ) مقيد.

أظهر الآن أن ( ) يتقارب إلى (x text <.> )

تمرين 2.3.12.

يترك () أن يكون تسلسلاً محددًا.

إثبات وجود (s ) بحيث يوجد لأي (r & gt s ) وجود (M in N ) بحيث يكون للجميع (n geq M ) لدينا (x_n & lt r نص <.> )

إذا كان (s ) رقمًا كما في أ) ، فقم بإثبات ( limsup ، x_n leq s text <.> )

أظهر أنه إذا كان (S ) هو مجموعة الكل (s ) كما في أ) ، ثم ( limsup ، x_n = inf ، S text <.> )

تمرين 2.3.13.

(سهل) افترض أن ( ) مثل هذا ( liminf ، x_n = - infty text <،> ) ( limsup ، x_n = infty text <.> )

أظهر أن ( ) ليس متقاربًا ، وأيضًا أنه لا ( lim ، x_n = infty ) ولا ( lim ، x_n = - infty ) صحيحًا.

ابحث عن مثال لمثل هذا التسلسل.

تمرين 2.3.14.

أظهر ذلك ( lim ، x_n = infty ) إذا وفقط إذا ( liminf ، x_n = infty text <.> )

ثم أظهر أن ( lim ، x_n = - infty ) إذا وفقط إذا ( limsup ، x_n = - infty text <.> )

إذا كان ( ) زيادة رتيبة ، أظهر أن إما ( lim ، x_n ) موجود ومحدود أو ( lim ، x_n = infty text <.> ) في أي منهما الحالة ، ( lim ، x_n = sup text <.> )

تمرين 2.3.15.

برهن على الإصدار الأقوى التالي من Lemma 2.2.12 ، اختبار النسبة. افترض أن ( ) هو تسلسل مثل (x_n not = 0 ) للجميع (n text <.> )

تمرين 2.3.16.

افترض أن ( ) هو تسلسل محدود ، (a_n: = sup ) كما كان من قبل. افترض أنه بالنسبة لبعض ( ell in N text <،> ) (a_ ell notin text <.> ) ثم أظهر ذلك (a_j = a_ ell ) للجميع (j geq ell text <،> ) وبالتالي ( limsup ، x_n = a_ ell text <.> )

تمرين 2.3.17.

افترض أن ( ) تسلسل و (a_n: = sup ) و (b_n: = sup ) كما كان من قبل.

أثبت أنه إذا (a_ ell = infty ) لبعض ( ell in N text <،> ) ثم ( limsup ، x_n = infty text <.> )

أثبت أنه إذا (b_ ell = - infty ) لبعض ( ell in N text <،> ) ثم ( liminf ، x_n = - infty text <.> )

تمرين 2.3.18.

افترض أن ( ) هو تسلسل بحيث يكون كلا من ( liminf ، x_n ) و ( limsup ، x_n ) منتهيين. إثبات أن ( ) مقيد.

تمرين 2.3.19.

افترض أن ( ) هو تسلسل محدود ، و ( epsilon & gt 0 ) معطى. إثبات وجود (M ) مثل هذا لجميع (k geq M ) لدينا


الحد الأعلى والحد الأدنى من وظائف الأعداد الحقيقية

تذكر من الحد الأعلى والحد الأدنى من متواليات الأعداد الحقيقية إذا كان $ (a_n) _^ < infty> $ عبارة عن سلسلة من الأرقام الحقيقية ثم قمنا بتعريف:

We now define the limit superior and limit inferior as $x o infty$ for a function $f : (a, infty) o mathbb$ where $a in mathbb$ :

Definition: Let $f : (a, infty) o mathbb$ . ال Limit Superior as $x o infty$ of $f$ is defined as $displaystyle f(x) = lim_ sup_ < f(t) >= inf_ left < sup_ < f(t) > ight >>$ . ال Limit Inferior as $x o infty$ of $f$ is defined as $displaystyle f(x) = lim_ inf_ < f(t) >= inf_ left < sup_ < f(t) > ight > >$ .

We can similarly define the limit superior and limit inferior as $x o -infty$ for a function $f : (-infty, b) o mathbb$ where $b in mathbb$ :

Definition: Let $f : (-infty, b) o mathbb$ . ال Limit Superior as $x o -infty$ of $f$ is defined as $displaystyle f(x) = lim_ sup_ < f(t) >= inf_ left < sup_ < f(t) > ight >>$ . ال Limit Inferior as $x o infty$ of $f$ is defined as $displaystyle f(x) = lim_ inf_ < f(t) >= inf_ left < sup_ < f(t) > ight > >$ .

We now prove some fundamental results regarding the limit superior and limit inferior as $x o infty$ of a function a function $f : (a, infty) o mathbb$ . Analogous results can be proven for the limit superior and limit inferior as $x o -infty$ of a function $f : (-infty, b) o mathbb$ .


Limit Superior and Limit Inferior of a Bounded Real Sequence

Every undergraduate student who has done a basic course on real analysis learns something about limit points of a real sequence. We know that a bounded real sequence has at least one limit point. And we also know that the set of all limit points of a sequence (which is obviously bounded) has its supremum and infimum within itself. That is to say, the supremum and infimum of the set of all limit points of the bounded sequence are themselves limit points of the sequence. The supremum is called "limit supremum" and the infimum is called "limit infimum" of the sequence. This is how many textbooks on analysis define the two terms. However other textbooks define them as:

Try to establish an equivalence between these two definitions. When I learnt these, I failed to find such an attempt to establish the aforesaid equivalence even in good texts on the subject. The proof, as I had to chalk myself out at that time, was not too difficult, but was a cumbersome one and required considerable mental gymnastics. So, give it a try. I will upload the answer if I don't find a satisfactory one coming up within a week.

Note by Kuldeep Guha Mazumder
5 years, 11 months ago

This discussion board is a place to discuss our Daily Challenges and the math and science related to those challenges. Explanations are more than just a solution — they should explain the steps and thinking strategies that you used to obtain the solution. Comments should further the discussion of math and science.


2.5: Limit Superior and Limit Inferior

자, 우리는 지난 몇주동안 B,W 라는 아주 유명한 정리를 증명하기 위해 limit point , Subsequence, 그리고 덤으로 A.P 까지 상당히 알찬 내용을 공부했는데요. 이제 또 하나 해석학을 이해하기 위한 또 중요한 다리를 건너야 합니다. 그것은 바로 Limit Superior 과 Limit inferior , 우리말로 풀어쓰면 '상극한' 과 '하극한' 이라고 말하는, 두 개의 극한에 대한 내용인데요. 이번 포스팅에서는 일단 이것의 정의를 알아보기 전에, 과거에 배웠던 중요한 개념을 복습해 보고 몇 가지 중요한 노테이션등을 살펴 보게 될 겁니다. 그런 다음에, 직접 저 극한값들의 정의를 소개하는 방법까지 살펴보도록 합시다. 그래서 여기서 언급할 과거에 공부했던 해석학 내용은 바로바로, SupE 와 infE 에 대한 개념이 소개되어 있는(#1-4 . Definition of supE,infE & Maximum,Minimum Value)입니다. 정의를 다시 읊조려 보면,

Def 1.7, 1.8 SupE (Least Upper Bound)/ infE (Greatest lower bound)

(1) A set bouned above Let α ∈

(2) A set bouned below Let α` ∈

이겁니다.​ 말로만 읊조릴수도 있지만 의미를 한번쯤 남들에게 설명해보는 것도 상당히 중요한 작업이 되겠죠. 물론, 덤으로 Sup과 inf 을 ε 을 이용하게 다르게 표현하는 방법도 같이 알고 있으면 더욱 좋습니다. (그것은 링크한 포스팅 #1.4 참조) 나중에 수학적으로 증명할 때 테크닉으로 많이 이용되기 때문이지요. 자, 저것에 대한 개념을 잘 숙지하고 계신다면, 우리가 이제 앞으로 이 #2.5 section 내에서 수열 a_k 와 b_k 에 대한 걸 약속을 할겁니다. 이건 앞으로 죽을 때까지 해석학에서 쓰는 표현이 아니라, 그냥 이 #2.5 section 내에서만 편의상 쓰는 거니까, 다른 수업이나 토론 상에서 아무 이야기 없이 그렇게 써먹으면 의사소통이 되지 않을겁니다.

Notation. Let . (In this section #2.5),

저도 그렇고 여러분도 그러겠지만, 일단 저 기호를 접했을 때 뭔가 (천재가 아니라서. ) 한번에 이해되진 않는 것 같은데. 일단 S_n 이라고 하는 수열이 실제 주어져 있다고 하고, 주어진 a_k 와 b_k 가 어떻게 되는지 이해하는게 정신건강에 좋을것 같습니다. 물론 S_n 은 n=1,2,3. 계속 이어지는 수열이라고 했는데요. 여기서도 상황 이해를 위해 모두 수열이 유한하다고 하고, 대략 어떻게 논의되는지 살펴보도록 하겠습니다. 그래서 S_1 항부터 6항까지의 수열이 차례대로 다음과 같이 주어져 있다고 합시다.

이​렇게 주어져 6개의 수열이 주어져 있을 때 만일 a_1 이라고 하는 수열을 표현하고자 한다면,

​이 될겁니다. 이것의 의미를 해석해보면, 1 이상의 항, (조금 더 그래서 해석이 어색할 수도 있지만) n=1. 6 까지의 항 중에서, infinum 한 값을 a_1 으로 하겠다. 이 이야기입니다. 사실 이렇게 Disrcrete 한 경우를 생각해보게 될 경우에는 inf 는 당연히 그 대상 내에서 '최소' 인 원소가 된다는 걸 알 수 있습니다. (그러나 언제까지나 항상 inf 을 그 원소 내에 최솟값이라고 해석해지면 곤란합니다! 절대로 즉 누군가에게 infinum와 최솟값이 다른가염? 이렇게 물으면 다르다는 것을 친구들에게 보여줘야 합니다!) 음, 물론 inf 의 정의에 일일이 대조해 봐도 되겠지만요.. 그럼 그 저 6개의 수열에서 가장 작은 값은요? 바로 -4 가 된다는 걸 알 수 있게 되죠. 그래서

가 됨을 알 수 있답니다. 그리고 그 다음 해석이 매우 중요한데, a_2 를 구축하는 방법은, 여전히

가 되는걸 알 수가 있습니다.​ 여기서 포인트는 n≥2 에 있는데, 바로 n=1 은 조사하고자 하는 수열에서 제외가 된다는 점입니다! 따라서, 초항 ​

: ​-3 , -2 , -4 , 1, 3 , 4

​큰 가장 작은 걸 골라야 합니다. 근데 그걸 뺀다 치더라도 가장 작은 값은 -4 가 된다는 걸 알 수 있겠군뇨! 따라서, ​

: ​-3 , -2 , -4 , 1 , 3 , 4

고르면 되는건데 여전히 -4 가 되는 걸 알죠.. 그러나 수열 4번째 항을 구하는 데서부터는 가장 최소가 하는 항인 -4가 없어지고, 1,3,4 중에서 판단하므로 1이 가장 작고, 5번째 항은 3,4 중에서 3이 가장 작으니까 3이 a_5 가 됩니다. 따라서, 이와 같은 규칙으로 말미암마, ​

: -4, -4, -4, 1, 3, 4

이 되는데, 예를 들어 sup를 구축하는 수열은 (앗! 하지만 딴데가서 언제까지나 항상 Sup은 최댓 값이다! 라고 해석하면 곤란합니다. 최댓 값하고는 다르다! 최댓값하고는!)

여기서는 뭐 자시고 뭐고 할 필요 없이 바로 k가 아무리 움직여도 뒤에 있는 4 가 항상 최댓값이 되기 때문에 (의도치 않게 한국인의 정서에는 상당히 부정적인)

이​ 되는 걸 알 수 있는데, 우리가 여태동안 구한 수열에는 ​

-4, -4, -4, 1, 3, 4

4, 4, 4, 4, 4, 4

1, 1, 1, 1, 1, 2

8, 8, 7, 5, 2, 2

이​렇게 되는데, 사실 과거에 이걸 모르는 이 성질을 모르는 사람이 연구했더라면 수열 여러개 가지고 눈으로 관찰했겠죠! 그리고 한참 고민하다가. 가만 보니 오! 이런 성질이 있었어

하고 떠오르겠지만, 관찰할 수 있는 사실을 그냥 쓰자면 (즉, 이런 성질을 관찰할 수 있는건 그냥 제 생각엔 이렇게 블로그에 1분정도 타이핑 하는 걸로 고민해선 나오지 않았을 거라는 뜻. )

Observation. The sequence ​

아하! 그러해서 우리는 infimum과 Superimum 으로 정의된 ​수열에 대해서 착착 공부해 봤습니다. 그 다음에 할 것은 이제 limit superior 와 inferior 의 정의입니다. 본격적으로 우리가 심도있게 논의해야 할 부분이 되죠.

Def2.5.1) [Limit Superior & limit inferior)

​(1) The limit Superior of ​

​(2) The limit inferior of ​

​일단 여기서부터는 이제, 기호를 해석하는데부터 상당히 많이 난해해지곤 하는데요. 일단 정신을 차리고 기호의 의미를 하나하나 따지어 보도록 합니다. 우리가 수열

를 구축하는 방법은 다 알죠. 즉 이번에는 유한한 수열이 아니라 무한수열 구성 원소 중에서 생각해서 (1)을 보면 n이상의 항들 중에서 (k≥n) 가장 큰 녀석들만 꼽아가지고 b_k 를 만들게 되면, 그것들이 나름대로의 수열을 구축할 수 있는데, 그 b_k 들을 모아놓은 것의 극한을 보내자 이겁니다. 그런데 아까 말했듯이

Obeservation 수열 는 monotone dncreasing 이었고, 특징은 바로 " 수열 내에 큰 값을 채택하는 순간 다음 항을 고를 때, 이전에 선택했던 큰 값이 후보에서 사라지게 되는 경우" 입니다. 따라서, 이런 수열들의 항들이 늘어나면 되면 점점 값이 작아지게 되는 경우가 있을 수 있죠 . 따라서, ​

반대로, (2)의 경우를 보면 limit inferior 의 경우는 ​n이상의 항들 중에서 (k≥n) 에 대해 가장 작은 값을 꼽아서 만드는 거기 때문에, 느낌이 작은 값이 후보에서 사라지게 되는 경우이므로 항들이 커지면 점점 커지게 되는 경우가 있을 수 있게 되고 결국 ​

그런데, 이렇게 말로 하는 것 보다는 실제 주어진 수열을 통해 직접 그 값을 구해보면서, 위의 서술한 Defintion 을 알아가는게 더 도움이 될지도 모르겠습니다. 다음과 같은 수열을 한번 생각해봅시다.

사실 저 수열은 우리가 (고딩 때도 많이 해보았던) 진동하는 수열이죠.

저기다가 k를 무한대로 보낼때의 극한을 생각하거나 혹은 b_k 의 infimum 을 취하는 게 되는데, 2로 계속 반복되는 수열의 극한을 구해봤자 2 라는 걸 알 수 있고

2로 계속 반복되는 수열의 infimum 취해봤자 역시 2라는 걸 알 수 있습니다. 그래서 ​

이 Example 을 통해서, 한번 생각해 볼 수 있는 , 잠깐 생각해 볼 수 있는건

값은 항상 다를까?, 같은 경우가 존재하지 않을까?

이​런 생각을 잠깐 해볼수가 있는데(과연?) 다다음 포스팅에서 언급할 중요한 이론이기도 합니다. 하지만, 그런데요.. 이런 친구의 특성을 잘 파악하기 전에 우리는 조금 더


2.5: Limit Superior and Limit Inferior

계속해서 limit Superimum과 infimum에 대한 주요 개념들을 차근차근히 살펴보고 있는데요. 오늘은, 이제 limit Superimum, Infimum에 대한 성질에 대해 알아보도록 하겠습니다. 사실 Sup과 inf 는 서로 대응되는 관계이기 때문에, 사실 Sup에 대응되는 성질은 inf 에도 모두다 성립을 합니다.(상황만 inf 에 맞게 바꾸기만 하면 되는거니까요) 따라서, 당연히 Sup에 대한 성질 하나만 봐도, 성질을 이해하는데는 큰 지장이 없습니다. 다만, 여기에 있는 기호를 직접 이해하는 것은 상당히 까다로운 일이기도 한데요. 여기서는 서술된 문장 하나하나를 신중히 따져 읽는 훈련도 필요할 것 같습니다. 그래야 더 어려운 내용을 만나도, (운이 좋으면 ) 내가 예전에 봐왔던 문장이라서 해석할 수 있는 문장이거나, 아니면 이해하는데 시간을 덜 들일 수 있을 것 같습니다. 근데 사실 이 성질은, 이 limit sup,inf 에서 핵심 theorem 은 아닙니다. 그러나 핵심 theorem 을 유도할 수 있게 해주는 매우 중요한 요소이죠. 상극한을 기준으로 어떤 ①실수값으로 수렴하는 경우와 ②양의 무한대로 발산하는 경우, ③음의 무한대로 발산하는 경우, 이 세가지에 대한 내용을 살펴볼겁니다. 그래서 오늘은 이론만 살펴보도록 하고, 증명은 다음 포스팅에서 하도록 하겠습니다. 이론을 소개하는 것도 상당히 까다롭습니다ㅠㅠ 먼저 ①의 경우, 즉 실수값으로 수렴하는 경우에 대한 조건을 살펴보죠. ​

thm 2.5.2) Let be a sequence in .

​흐음.. 저도 학교에서 수업할 때 limsup과 inf 에 관해 공부할 때 일단 저 내용을 , 디테일하게 공부하지 않아서 저도 이해하는데 약간 시간을 많이 소비했는데요 (저는 아직 학부생이라서ㅋㅋ 이해해주세요^^) 일단 상극한이 if and only if 구문으로서 상극한이 존재할 필요충분조건입니다. 고등학교 때 피를 쏟으며. 뭐 이런 드립으로 열심히 공부했었죠. 그러니까 우리는 만일 증명을 한다면 논리 구조로, 가는 방향, 오는 방향 전부 증명해야 한다는 걸 다 알 수 있구요. 내용을 보면

상극한 예를 들어보는 게 좋겠쬬, 우리가 #2.5.2 내용에서 언급한 두 개의 수열,

그리고 두 번째 조건을 해석해야 하는데, 첫번째 문장과 두번째 문장과의 연결성, 즉 두 문장이 전혀 무관하지 않구나. 라는 걸 인식해야 하는데요. 다시 thm2.5.2 를 살펴보면, 특히 [ ] 부분을 잘 참고해서 해석해보세요! ​

thm 2.5.2) Let be a sequence in .

(ⅰ)There exists [ for all , and ]

(ⅱ) [ given ] , there exists ​

그래서, 다시 이 부분을​ 기준으로 해서 앞에서 언급했었던 두 개의 수열 를 보면 이것은 또 찾기 쉽습니다. 일단 문장을 따라서 어떤 n0 이상의 n 항들을 살펴봅시다. 그리고 나서,

​이 부분을 읽어야 하는데, 어떤 k 가 존재해서 ​

어? 그렇다면 궂이 (ii) 조건을 언급할 필요가 있는건가요? 그런데, 수학자들이 괜히 수학자들이 아닐 거라고 믿고, (i) 조건은 언제든지 죄다 성립한다고 했었으니, n0=1 로 놓으면,

(ⅰ)There exists for all , and

​그리고 나서, (ii) 조건을 살펴보면 이제 n은 n0=1 에 종속되었다고 강조했으니

(ⅰ)There exists [ for all ] , and

(ⅱ) ​ [ given ] , there exists ​

​(ii) 조건의 n은 1이상의 자연수에 해당하게 될 것이고, 거기서 이제 이 ε보다 더 들어갈 필요가 없습니다. 위 의 [الشكل 2.48] 처럼 n0 = 1 이지만 k≥5، 즉 5 항 이후 부터 ε 안에 들어가는، 즉 k≥5 에 대해 (ii) 조건 은 일반적인 상황 꼭 필요 하다는 걸 알.

물론 제가 계속 한 언급 한 경우 는 모두 'إذا وفقط إذا كان' 구문 에서 한쪽 방향 그러니까 (= & GT) 방향 에 대해서만 설명한 것 입니다. 이 문장 의 경우 에 저 내용 을 증명 하던 어떤 특정한 수열 을 가지고 사실 관계 가 것을 것을 밝히 던 = & gt 방향 과 & lt = 방향 ، 명제 의 역도 실제 모두 성립 보여줘야 완벽한 예가 됩니다. 그런데 여러분 이 주어진 수열 을 가지고 실제 ، 반대로 해도 성립 한다는 것을 잘 알 수 있을 겁니다. 물론 이건 주어진 명제 를 내가 이해 하기 위한 것이지 ، 저걸 보여줬다 고 해서 '수학적' 으론 아무 의미 가 없을 지도 모릅니다. 내 머릿속 으로 어떤 상황 인지 이해 는 반드시 해야 겠죠. 상식적 으로. & # 8203

이번에 는 ② 양 의 무한대 로 발산 하는 경우 를 살펴 보도록 합시다. & # 8203 (나머지 부분 도 (= & GT) 방향 만 예로 들었지만 إذا وفقط إذا 입니다. 그냥 제가 제시 한 수열 로 ، 반대쪽

thm 2.5.2) اسمحوا ان يكون التسلسل في.

(2) & # 8203 ، ويوجد مثل هذا & # 8203

Thm2.5.2 (2) 에서 해석 해야 하는 포인트 는 즉 ، 두개 의 값 M 과 ، N 을 고정 해야 한다는 거고) ، 살피는 겁니다. 글 로만 보면 되게 복잡 하므로 예 를 직접 들어 보도록 하죠. & # 8203

& # 8203 (thm2.5.2 (2)) 의 의미 대로 해석 하자면 ، 임의 의 M 과 임의 의 n 에 대해 성립 하는 것이므로 두 값 을 고정 시켜줘야 합니다. (물론 다른 두 값 으로 고정 시켜도 항상 존재 하겠죠 ..) 즉، M = 5 와 N = 3 을 두 을 을 4 번째 항 이후 로부터 S_k ≥ 5 인 k 가 존재 합니다. 여기서는 يوجد. 즉، 존재 하기 만 하면 되니까 k≥4 이후 의 짝수 항 ك = 4، 6، 8، 10. 은 항상 M 보다 크게 되므로 주어진 문장 이 성립 합니다.

의미 인데 ، & # 8203 을 만족 하는 ك 가 있기만 하면 된다는 의미 가 되겠죠. 전칭 기호 와 존재 기호 의 를 차근 차근히 따져 가며 읽는 가 상당히 중요 합니다.

& # 8203 그다음، 마지막 경우 인 음 의 무한대 로 발산 하는 경우 경우 를 살펴 보도록 합시다.

thm 2.5.2) اسمحوا ان يكون التسلسل في.

이 경우 는 어떤 경우 일까요؟ 사실 ، 이것은 지난번 에 مثال 로 언급 한 적이 없었지만 바로 이라는 수열 이 순 감소 하는 수열 인데 ، 순 감소한 수열 이라도 수렴 할 수 있으니 ، 바로 아래 로 유계 이지 않은 순 감소 (تناقص صارم التسلسل بلا حدود) 이 이에 해당 합니다. 가장 간단한 이야기 ​​로 & # 8203

그렇게 되면 당연히 상극 한 은 음 의 무한대 로 발산 하는 경우 가 되겠죠. 그래서 이 사실 은 이미 증명 되었다고 볼수 있습니다. 그렇게 만족 하는 수열 은

تسلسل تناقصي صارم بلا حدود 의 경우 가 될 수 밖에 없으니까요!

그리고 아까 그랬듯 이 & # 8203 infimum (하 극한) 에 대해서도 비슷한 관계 성립 한다고 했기 때문에 적당히 바꾸면 잘 됩니다.

thm 2.5.3) اسمحوا ان يكون التسلسل في.

(1) افترض (1) وجود & # 8203 (ii) معطى & # 8203

(2) & # 8203 & # 8203 ، ويوجد مثل ذلك & # 8203

(3) 한번 연습 문제 로 ، 하 극한 이 존재 하는 경우 에 대해서도 (1) ​​، (2) ، (3) 조건 이 실제로 만족 하는지 확인해 보시기를 바라 겠습니다. 그런데 ، 이 사실 을 안다면 무엇이 좋을까요؟

(앞에서 말했듯 이 이것 에 대한 증명 은 # 2.5.4 절 내용 의 포스팅 언급 한다고 이야기 했구요. 우리 가 저 사실 을 안다고 하면 ، 매우 매우 중요한 Collary 를 체크 할 수 있습니다.

사실 ، 이 정리 를 믿는 다면 우리 는 수열 의 극한값 이 곧 ، 상극 한 ، 하 극한 값 이라는 사실 까지도 알 수 있습니다. (서로 같은 값 을 갖는 극한 이라는 거죠)

일단، 저 정리 자체 만 보면 극한값 이 있다면 상극 한، 하 극한 의 값 이 같은 거니까، 그것이 상극 한، 하 극한 이 극한값 으로 같은 건진 알 수 없지만، 사실 이 증명 내용 에는

예 를 들어 지난번 에 상당히 고생 하며 구했던 의 극한값 은 실제 0 이라는 사실 을 알았는데 ، 앞에 했던 것 처럼 복잡 하게 할 필요

& # 8203 ، 이라는 걸 바로 한큐 에 알 수 있다는 겁니다. 그래서 지난 # 2.5.1، # 2.5.2 절 주구 장창 언급 했었던 여러 질문

값 은 항상 다를까؟، 같은 경우 가 존재 하지 않을까؟ (# 2.5.1)

값 은 경우 와 극한값 이 것과 관련성 이 있지 않을까؟ & # 8203 (# 2.5.2)

대한 답 이 되는 중요한 정리 입니다. 우리 가 앞에 정리 ثم 2.5.2 ، ثم 2.5.3 가 사실 이라고 굳게 믿는 다면 ، 이 정리 를 증명할 수 있습니다. 증명 을 위해서 두 수열 의 상 ، 하 극한 을 각각 α 로 놓으면 ،

조건 이 부여 되어 있으므로 각각 의 경우 를 나눠서 분석 할겁니다. 먼저 극한값 이 실수 일 경우 를 생각 해서 ، 라고 가정 하면 각 정리 의 ثم 2.5.2 ،

ثم 2.5.3 (1) 항의 (i) 항 에 의해서

결국 (2.5.4) 와 같은 식 을 만들 수 있으며 ، (여기서는 상극 한 ، 하 극한 이 α 로 같다고 가정 했으니 까 모두 같은 α 라는 문자 를 사용 하고 ، 자연수 n1 ، n2)

이므로 실제 그런데 허 극한 تي اتش ام 2.5.3 (3) 에 의해

& # 8203 이므로 ثم 2.5.2 (3) 에 의해

증명 된다는 사실 을 알 수 있습니다. & # 8203 이 ضمني 가 중요한 이유 는 ، 후에 리만 적분 (تكامل ريمان) 을 공부할 때 다시 한번 언급 되는데요. (이 & # 8203 아래 박스 의 내용 은 엄밀한 내용 은 아닙니다. 그러나 대략 적인 느낌 은 알 수 있을 겁니다.)

مراقبة. لنفترض أن S دالة ذات قيمة حقيقية محدودة. ثم يمكننا التفكير في المتابعة كدراسة 2.5.4 Collary Collary)

ثم & # 8203 يمكننا القول أن الوظيفة S هي "Riemann Intergrable"

사실 적분 값 도 도형 의 넓이 잘게 잘게 쪼개서 보내는 극한 값 으로 정의 를 합니다. 그런데 ، 엄밀한 이야기 ​​는 아니지만. 고등학교 때 기억 을 살짝 더듬어 보면 (우리 는 적분 에 대해 모른다고 역시 해야 맞는 거지만 ..) 적분 을 할 적에 ، 극단적 인 예로 단조 증가 인 함수 에 관해서 영역 을 적분 하게 될 때 ، 사각형 을 만들 때 튀어 나간 면적 에 의해 오차 가 생기는 경우 가 ، 있고 면적 을 채우지 못해서 만들어 지는 오차 오차 있죠.

물론 꼭 균등 분할 할 필요 도 없지만 ، 예 를 들어서 주어진 도형 을 한없이 분할 하게 되면 왼쪽 처럼 튀어 나온 영역 의 넓이 는 점점 줄어들게 되겠고 ، 오른쪽 처럼 실제 넓이 를 채우지 못하는 넓이 는 점점 빈 공간 이 이 메워 지게 됩니다. 즉 المجموع العلوي: 보라색 면적 처럼 원래 면적 보다 큰 직사각형 을 잡고 극한 을 취하는 게 (넓이 중에서 가장 infimum 한 값 채택) 상극 한 (& # 8203

표현할 수 있습니다. 시간 이 허락 해 줄지 모르겠지만، 상극 한، 하 극한 의 개념 과 Col2.5.4 는 그런 점 에서 상당히 중요한 개념 이라는 사실 을 알 수 있습니다.

포스팅 에서는 그냥 주어진 의미 만 언급 만 했던 ثم 2.5.2 ، ثم 2.5.3 직접 증명해 보는 시간 을 가져 보고 몇 limsup 과 성질 더 살펴 보도록 합니다.


تسلسل المجموعات

مجموعة الطاقة ℘ (X) من مجموعة X عبارة عن شبكة كاملة يتم ترتيبها من خلال مجموعة التضمين ، وبالتالي فإن السيادة والحد الأقصى لأي مجموعة من المجموعات الفرعية (من حيث تضمين المجموعة) موجودان دائمًا. على وجه الخصوص ، كل مجموعة فرعية ص من X يحدها أعلاه X وأدناه بالمجموعة الفارغة ∅ لأن ∅ ⊆ صX. ومن ثم ، فمن الممكن (والمفيد في بعض الأحيان) النظر في الحدود العليا والسفلى للتسلسلات في ℘ (X) (أي تسلسل مجموعات فرعية من X).

هناك طريقتان شائعتان لتحديد حدود تسلسل المجموعات. في كلتا الحالتين:

  • الترتيب يتراكم حول مجموعات من النقاط بدلاً من النقاط الفردية نفسها. أي لأن كل عنصر من عناصر التسلسل هو في حد ذاته مجموعة ، يوجد تراكم مجموعات القريبة إلى حد ما من عدد لانهائي من عناصر التسلسل.
  • الحد الأعلى / الأعلى / الخارجي هو مجموعة تربط مجموعات التراكم هذه معًا. أي أنه اتحاد كل مجموعات التراكم. عند الطلب من خلال مجموعة التضمين ، يكون الحد الأعلى هو الحد الأعلى الأدنى على مجموعة نقاط التراكم لأنه يحتوي على كل واحد منهم. ومن ثم ، فهي أعلى نقاط الحد.
  • الحد الأدنى / الأدنى / الداخلي هو مجموعة حيث تلتقي كل مجموعات التراكم هذه. أي أنه تقاطع كل مجموعات التراكم. عند الطلب من خلال مجموعة التضمين ، يكون الحد الأدنى هو الحد الأدنى الأكبر على مجموعة نقاط التراكم لأنه كذلك الواردة في كل واحد منهم. ومن ثم ، فهو يمثل الحد الأدنى من النقاط.
  • نظرًا لأن الطلب يتم من خلال مجموعة التضمين ، فسيحتوي الحد الخارجي دائمًا على الحد الداخلي (على سبيل المثال ، lim & # 160inf & # 160Xن ⊆ lim & # 160sup & # 160Xن). ومن ثم ، عند النظر في تقارب سلسلة من المجموعات ، يكفي عمومًا النظر في تقارب الحد الخارجي لذلك التسلسل.

يتضمن الاختلاف بين التعريفين كيفية تعريف الهيكل (أي كيفية تحديد الفصل). في الواقع ، يكون التعريف الثاني مطابقًا للتعريف الأول عند استخدام المقياس المنفصل للحث على الهيكل X.

مجموعة التقارب العامة

في هذه الحالة ، يقترب تسلسل المجموعات من مجموعة محدودة عندما تقترب عناصر كل عضو من عناصر التسلسل من عناصر المجموعة المحددة. على وجه الخصوص ، إذا كان <Xن> هو سلسلة من مجموعات فرعية من X، من ثم:

  • lim & # 160sup & # 160Xن، والذي يسمى أيضًا الحد الخارجي، يتكون من تلك العناصر التي تمثل حدود النقاط في Xن مأخوذة من (بشكل معدود) عدد لانهائي ن. هذا هو، x ∈ lim & # 160sup & # 160Xن إذا وفقط إذا كان هناك تسلسل من النقاط xك و أ اللاحقة<Xنك> من <Xن> مثل هذا xكXنك و xكx كما ك → ∞.
  • ليم & # 160inf & # 160Xن، والذي يسمى أيضًا الحد الداخلي، يتكون من تلك العناصر التي تمثل حدود النقاط في Xن للجميع ولكن عددًا محدودًا منهم ن (على سبيل المثال ، عدد محدود جدًا ن). هذا هو، x ∈ lim & # 160inf & # 160Xن إذا وفقط إذا كان هناك ملف تسلسل من النقاط <xك> مثل هذا xكXك و xكx كما ك → ∞.

الحد ليم & # 160Xن موجود فقط إذا وفقط إذا كان lim & # 160inf Xن و lim & # 160sup Xن توافق ، في هذه الحالة lim & # 160Xن = lim & # 160sup Xن = lim & # 160inf Xن. ΐ]

حالة خاصة: متري منفصل

في هذه الحالة ، التي تُستخدم كثيرًا في نظرية القياس ، تقترب سلسلة من المجموعات من مجموعة محدودة عندما تتضمن المجموعة المحددة عناصر من كل عضو من أعضاء التسلسل. وهذا يعني أن هذه الحالة تختص بالحالة الأولى عندما تكون الطوبولوجيا في مجموعة X ناتج عن المقياس المنفصل. للحصول على نقاط xX و ذX، يتم تحديد المقياس المنفصل بواسطة

لذا فإن سلسلة من النقاط <xك> يتقارب للنقطة xX إذا وفقط إذا xك = x للجميع ولكن عددًا محدودًا منهم ك. التعريف التالي هو نتيجة تطبيق هذا المقياس على التعريف العام أعلاه.

إذا كان <Xن> هو سلسلة من مجموعات فرعية من X، من ثم:

  • lim & # 160sup & # 160Xن يتكون من عناصر X التي تنتمي إلى Xن إلى عن على الكثير بلا حدودن (انظر اللانهائية). هذا هو، x ∈ lim & # 160sup & # 160Xن إذا وفقط إذا كانت هناك تالية لاحقة <Xنك> من <Xن> مثل هذا xXنك للجميع ك.
  • ليم & # 160inf & # 160Xن يتكون من عناصر X التي تنتمي إلى Xن إلى عن على الكل ماعدا الكثيرن (على سبيل المثال ، للكثيرين بشكل محدود ن). هذا هو، x ∈ lim & # 160inf & # 160Xن إذا وفقط إذا كان هناك بعض م& GT0 من هذا القبيل xXن للجميع ن& GTم.

الحد ليم & # 160X موجود فقط إذا وفقط إذا كان lim & # 160inf X و lim & # 160sup X توافق ، في هذه الحالة lim & # 160X = lim & # 160sup X = lim & # 160inf X. & # 913 & # 93 هذا التعريف للحدود الدنيا والعليا قوي نسبيًا لأنه يتطلب أن تكون عناصر الحدود القصوى أيضًا عناصر من كل مجموعة من مجموعات التسلسل.

باستخدام اللغة القياسية لنظرية المجموعات ، ضع في اعتبارك الحد الأدنى من تسلسل المجموعات. إن infimum هو أكبر أدنى مرتبط ب أو لقاء مجموعة. في حالة تسلسل المجموعات ، تلتقي مكونات التسلسل في مجموعة أصغر إلى حد ما من كل مجموعة مكونة. يوفر تضمين المجموعة ترتيبًا يسمح بالتقاطع المحدد لإنشاء حد أدنى أكبر ∩Xن من المجموعات في التسلسلXن>. وبالمثل ، فإن السوبريموم ، وهو أقل ارتباط أو صلة ، لسلسلة من المجموعات هو الاتحاد ∪Xن من مجموعات في التسلسلXن>. في هذا السياق ، الحد الداخلي lim & # 160inf & # 160Xن هو أكبر اجتماع لذيول التسلسل ، والحد الخارجي lim & # 160sup & # 160Xن هو أصغر وصل لذيول التسلسل.

  • يترك أنان يكون لقاء ن ذيل التسلسل. هذا هو،
  • وبالمثل ، دعونا يم يكون الانضمام إلى م ذيل التسلسل. هذا هو،

الحد ليم & # 160Xن موجود فقط إذا وفقط إذا كان lim & # 160sup & # 160Xن= lim & # 160inf & # 160Xن، وفي هذه الحالة ، lim & # 160Xن= lim & # 160inf & # 160Xن= lim & # 160sup & # 160Xن. بهذا المعنى ، يكون للتسلسل حد طالما أن جميع عناصره باستثناء عدد محدود منها تساوي الحد.

أمثلة

فيما يلي العديد من أمثلة مجموعة التقارب. لقد تم تقسيمها إلى أقسام فيما يتعلق بالمقياس المستخدم للحث على الهيكل في المجموعة X.

  • يعد Borel – Cantelli lemma مثالًا لتطبيق هذه التركيبات.
  • ضع في اعتبارك المجموعة X = <0،1> وتسلسل المجموعات الفرعية:
  • lim & # 160sup & # 160Xن =
  • ليم & # 160inf & # 160Xن = <>
  • lim & # 160sup & # 160صن = lim & # 160inf & # 160صن = lim & # 160صن =
  • lim & # 160sup & # 160ضن = lim & # 160inf & # 160ضن = ليم & # 160ضن =
  • ضع في اعتبارك المجموعة X = <50، 20، -100، -25، 0، 1> وتسلسل المجموعات الفرعية:
  • lim & # 160sup & # 160Xن =
  • ليم & # 160inf & # 160Xن = <>
  • ضع في اعتبارك تسلسل مجموعات فرعية من الأرقام المنطقية:
  • lim & # 160sup & # 160Xن =
  • ليم & # 160inf & # 160Xن = <>
  • lim & # 160sup & # 160صن = lim & # 160inf & # 160صن = lim & # 160صن =
  • lim & # 160sup & # 160ضن = lim & # 160inf & # 160ضن = lim & # 160ضن =
  • الحد Ω (أي مجموعة الحد) لحل نظام ديناميكي هو الحد الخارجي لمسارات الحل للنظام. & # 912 & # 93: 50 & # 821151 نظرًا لأن المسارات تصبح أقرب وأقرب إلى مجموعة الحد هذه ، فإن ذيول هذه المسارات تتلاقى إلى الحد الأقصى.
  • على سبيل المثال ، نظام LTI الذي هو عبارة عن اتصال متسلسل للعديد من الأنظمة المستقرة مع نظام LTI غير المخمد من الدرجة الثانية (أي نسبة التخميد الصفرية) سوف يتأرجح إلى ما لا نهاية بعد الاضطراب (على سبيل المثال ، جرس مثالي بعد ضربه). ومن ثم ، إذا تم رسم موضع وسرعة هذا النظام مقابل بعضهما البعض ، فإن المسارات ستقترب من دائرة في فضاء الحالة. هذه الدائرة ، وهي مجموعة حدود النظام & # 937 ، هي الحد الخارجي لمسارات حلول النظام. تمثل الدائرة موضع المسار المقابل لإخراج نغمة جيبية نقية ، أي أن إخراج النظام يقترب / يقترب من نغمة نقية.

محاولة الحل

كنت أحاول معرفة سبب صحة النظريات 1 و 2.
كيف يمكننا إثبات ذلك بصرامة؟

لقد قمت بتدوين جميع التعاريف ، لكنني ما زلت لا أعرف كيفية إثبات النظريتين 1 و 2.

دع أن أن تكون سلسلة من الأرقام الحقيقية. ثم بحكم التعريف ، أن- & gta iff
لكل ε & gt0 ، يوجد عدد صحيح N مثل أن n≥N = & gt | aن - أ | & lt ε.

أيضا ، ليم سوب أن يعرف ب
ليم سوب<>ن: n≥N>
N- & GT
(على نحو مشابه لـ lim inf)

أي مساعدة هي محل تقدير كبير! :)

1) حول النظرية 1 ، لم أر نسخة التعريف التي قدمتها لـ lim sup و lim inf. إصداري من التعريف هو sipmly:
ليم سوب أن يعرف ب
ليم [sup<>ن: n≥N>]
N- & GT

كيف يمكننا إثبات النظرية 1 مباشرة باستخدام هذه التعريفات (وتعريف & quotlimit & quot)؟

2) افترض أن a = lim sup aن= ليم إنف أن.
ثم بالنسبة لجميع ε & gt0 ، يوجد N1 مثل إذا كان n≥N1 ، ثم aن& lta + ε
وللجميع ε & gt 0 يوجد N2 مثل إذا كان n≥N2 ، ثم aن& gt a-ε
هل يجب أن آخذ N = max؟ بحيث n≥N = & gt aن& lta + ε و aن& gt a-ε ، أي | aن -a | & lt ε ، وبالتالي أن- & gta.
أعتقد بشكل عام أننا يجب أن نفترض أن N1 و N2 قد يكونان مختلفين (أي ليس بالضرورة نفس N). هل هذه هي الطريقة الصحيحة لإثبات النظرية 2؟


يمكن للشخص الرجاء مساعدتي؟
أي مساعدة هي محل تقدير كبير! :)

فيما يلي بعض التلميحات لإثبات النظرية 1:

1. سأفترض أنك تعمل على الأعداد الحقيقية ، وليس القيم الحقيقية الممتدة حيث يُسمح بقيم + أو - اللانهاية.

2. أظهر (أو لاحظ ببساطة ، لأنه من السهل) أن lim inf [itex] a_n leq [/ itex] lim sup [itex] a_n [/ itex].

3. أظهر أن | [itex] a_n [/ itex] - a | & lt [itex] epsilon [/ itex] يعني ضمنيًا أن [itex] a_n [/ itex] & lt a + [itex] epsilon [/ itex].

4. ماذا يمكنك إذن أن تقول عن lim sup [itex] a_n [/ itex] من حيث a و [itex] epsilon [/ itex]؟

5. ماذا تعني العلاقة في رقم 4 حول lim sup [itex] a_n [/ itex] و a؟

6. باستخدام الحجج المتشابهة ، قم باشتقاق علاقة مماثلة بين lim inf [itex] a_n [/ itex] و a.

7. استخدم الملاحظة في رقم 2 أعلاه لإنهاء الإثبات.

شكرًا لتلميحاتك ، لكن ما زلت لا أعرف كيفية إثبات النظرية 1 (ليس لدي أي فكرة عن كيفية إثبات 2،4،5).

هذا دليل على النظرية 1 من ملاحظاتي:
أن- & gta
= & gt للجميع ε & gt0 ، يوجد N مثل إذا كان n≥N = & gt | aن-a | & ltε
إذن n≥N = & gt a-ε & lt aن & lt a + ε
= & gt لجميع N '≥N ، a-ε ≤ sup<>ن: n ≥ N '> ≤ a + ε
وهكذا ، سوب<>ن: n≥N> - & gt a as N- & gt∞
==============================

لكن ليس لدي أي فكرة على الإطلاق عن سبب صحة الخطين الأخيرين (المظللين باللون الأزرق). ما هو الهدف من إدخال N؟ ولماذا صحيح أنه بالنسبة لجميع N '≥N ، a-ε ≤ sup<>ن: n ≥ N '> ≤ a + ε؟

هل يمكن لأحد أن يشرح؟

لجميع n≥N ، a-ε & lt aن & lt a + ε
= & gt لجميع N '≥N ، a-ε ≤ sup<>ن: n ≥ N '> ≤ a + ε

لماذا هذا التضمين صحيح؟ (خاصة الحد الأدنى)

يساعد. أنا في حيرة من أمري. هل يمكن لأحد أن يشرح بلطف؟
أي مساعدة هي محل تقدير كبير! [أنا أموت على هذا الدليل :(]

لجميع n≥N ، a-ε & lt aن & lt a + ε
= & gt لجميع N '≥N ، a-ε ≤ sup<>ن: n ≥ N '> ≤ a + ε

لماذا هذا التضمين صحيح؟ (خاصة الحد الأدنى)

يساعد. أنا في حيرة من أمري. هل يمكن لأحد أن يشرح بلطف؟
أي مساعدة هي محل تقدير كبير! [أنا أموت على هذا الدليل :(]

سأحاول شرح هذا. لتبسيط التدوين ، حدد

ثم [itex] V_1 supseteq V_2 supseteq V_3 supseteq. [/ itex] و
[itex] v_1 geq v_2 geq v_3 geq. [/ itex]

(تأتي السلسلة الثانية من المتباينات من القاعدة التي تنص على أنه إذا كانت S و T مجموعات فرعية من القيم الحقيقية و S [itex] supseteq [/ itex] T ، ثم sup S [itex] geq [/ itex] sup T ، يجب أن تكون قد غطيت بالفعل في فصلك.)

الآن ، باستخدام الترميز أعلاه ، علينا إظهار ذلك

[itex] a - epsilon leq v_ leq a + epsilon [/ itex]

بالنسبة إلى عدم المساواة الصحيحة ، لدينا [itex] a_n & lt a + epsilon [/ itex] ، لذا فإن [itex] a + epsilon [/ itex] حد أعلى لـ [itex] V_[/ itex]. منذ [itex] v_[/ itex] هو الحد الأعلى الأدنى لهذه المجموعات ، ويتبع ذلك [tex] v_ leq a + epsilon [/ itex] ، كما هو مطلوب.

للحصول على المتباينة اليسرى ، ناقش على النحو الوارد أعلاه ، ولكن استخدم inf بدلاً من sup. حدد [itex] u_[/ itex] = inf <[itex] a_: N ' geq N [/ itex]>. أظهر أن [itex] a - epsilon leq u_[/ itex] مشابه لما ورد أعلاه. أخيرًا ، لاحظ أن inf [itex] u_ leq [/ itex] sup [itex] v_[/ itex] وتحصل على عدم المساواة اليسرى.


تسلسل الأعداد الحقيقية

في حساب التفاضل والتكامل ، فإن حالة المتتاليات في ص (الأعداد الحقيقية) مهمة. ص نفسها ليست شبكة كاملة ، ولكن يمكن إضافة اللانهايات الموجبة والسالبة لإعطاء المجموعة الكاملة المرتبة [- & infin، & infin]. ثم (xن ) في [- & infin، & infin] يتقارب إذا وفقط إذا كان lim inf xن = ليم سوب xن ، وفي هذه الحالة ليم xن يساوي قيمتها المشتركة. (لاحظ أنه عند العمل فقط في ص، التقارب إلى - & infin أو & infin لا يعتبر تقارب.)

كمثال ، ضع في اعتبارك التسلسل المعطى بواسطة xن = الخطيئة (ن). باستخدام حقيقة أن pi غير منطقي ، يمكن للمرء أن يوضح أن lim inf xن = & ناقص 1 و ليم سوب xن = +1.

لو أنا = ليم إنف xن و س = ليم سوب xن ، ثم الفاصل الزمني [أنا, س] لا تحتوي على أي من الأرقام xن ، ولكن كل تكبير طفيف [أنا & ناقص & إبسيلون ، س + & epsilon] (للصغير التعسفي & epsilon & gt 0) سيحتوي على xن لجميع المؤشرات باستثناء عدد محدود منها ن. في الواقع ، الفاصل الزمني [أنا, س] هو أصغر فاصل زمني مغلق مع هذه الخاصية.

أين صن هل نالعدد الأولي. من المفترض أن تكون قيمة هذا الحد الأدنى هي 2 - وهذا هو التخمين الأولي المزدوج - ولكن حتى الآن لم يتم إثبات أنها محدودة.


2 الحد الإحصائي الأعلى والأدنى في IFNS

في هذا القسم ، نحدد نقطة الحد ، ونقطة الحد الإحصائي ، ونقطة الكتلة الإحصائية ، والحد الإحصائي المتفوق ، والحد الإحصائي الأدنى في المساحات المعيارية الضبابية الحدسية ، ونوضح من خلال مثال كيفية حساب هذه النقاط في مساحات IFN.

التعريف 2.1. تسلسل x في مساحة معيارية ضبابية حدسية (X ، μ ، ν، * ، ◊) محدودة إحصائيًا إذا كان هناك بعض را & GT 0 و ب ∈ (0 ، 1) من هذا القبيل δ(<ك: ميكرومتر(x ك را) & GT 1 - ب أو ν(x ك را) العلامة & lt ب>) = 0.

التعريف 2.2. يترك (X ، μ ، ν، * ، ◊) مساحة معيارية ضبابية حدسية. ثم لX يسمى أ نقطة محدودة من التسلسل x = (x ك) فيما يتعلق بالقاعدة الغامضة الحدسية (μ ، ν) بشرط أن يكون هناك ما يليه x الذي يتقارب إلى ل فيما يتعلق بالمعيار الضبابي الحدسي (μ ، ν). يترك إل(μ ، ν)(x) يشير إلى مجموعة جميع نقاط الحد للتسلسل x فيما يتعلق بالمعيار الضبابي الحدسي (μ ، ν).

التعريف 2.3. يترك (X ، μ ، ν، * ، ◊) مساحة معيارية ضبابية حدسية. ثم ξX يسمى أ نقطة الحد الإحصائي من التسلسل x = (x ك) فيما يتعلق بالقاعدة الغامضة الحدسية (μ ، ν) بشرط أن يكون هناك تالية غير لاحقة لـ x الذي يتقارب إلى ξ فيما يتعلق بالمعيار الضبابي الحدسي (μ ، ν). في هذه الحالة نقول ξ هو شارع(μ ، ν)- نقطة حد التسلسل x = (x ك). اسمحوا Λ(μ ، ν)(x) تشير إلى مجموعة الكل شارع(μ ، ν)-حدود نقاط التسلسل x.

التعريف 2.4. يترك (X ، μ ، ν، * ، ◊) مساحة معيارية ضبابية حدسية. ثم ηX يسمى أ نقطة الكتلة الإحصائية من التسلسل x = (x ك) فيما يتعلق بالقاعدة الغامضة الحدسية (μ ، ν) شريطة أن لكل را & GT 0 و أ ∈ (0, 1),

في هذه الحالة نقول η هو شارع(μ ، ν)نقطة العنقود في التسلسل x. اسمحوا Γ(μ ، ν)(x) تشير إلى مجموعة الكل شارع(μ ، ν)- نقاط العنقودية في التسلسل x.

التعريف 2.5. للتسلسل x في مساحة معيارية ضبابية حدسية (X ، μ ، ν، * ، ◊) ، نحدد المجموعات B x (μ، ν) و A x (μ، ν) بواسطة

لو x هو تسلسل رقمي حقيقي ثم الحد الإحصائي أعلى من x فيما يتعلق بالمعيار الضبابي الحدسي (μ ، ν) بواسطة

والحد الاحصائي ادنى من x فيما يتعلق بالمعيار الضبابي الحدسي (μ ، ν) بواسطة

مثال. سيساعد مثال بسيط في توضيح المفاهيم التي تم تحديدها للتو. دع التسلسل x = (x ك) يتم تعريفها بواسطة

دع μ (x k t) = t t + x k and ν (x k t) = x k t + x k.

من الواضح أن التسلسل أعلاه غير محدود فيما يتعلق بـ (μ ، ν). من ناحية أخرى ، فهي مقيدة إحصائيًا فيما يتعلق بـ (μ ، ν). لهذا،

منذ 0 & lt b & lt 1 ، 1 b - 1 & gt 0. اختر t o = 1 - b 3 b. ثم را & GT 0 و

ومن ثم فهو مقيد إحصائيًا فيما يتعلق بـ (μ ، ν).

لإيجاد ب س (μ، ν) ، علينا إيجادهما ب ∈ (0 ، 1) مثل ذلك

يمكننا بسهولة اختيار أي منها ر و GT 0 مثل t & lt 1 3 (1 b - 1) لـ 0 & lt b & lt 1 ، بحيث

وبالشرط أعلاه ص ∈ (0 ، 1). الآن عدد أعضاء التسلسل الذي يستوفي الشرط أعلاه دائمًا أكبر من n - n 2 أو n - n - 1 2 للحالة ن زوجي أو فردي ، على التوالي. وبالتالي


شاهد الفيديو: التفاضل: الحد الاقصى والحد الادنى للفاصل (ديسمبر 2021).