مقالات

4.1: حل الأنظمة عن طريق الرسوم البيانية - الرياضيات


نقدم في هذا القسم تقنية رسومية لحل أنظمة معادلتين خطيتين في مجهولين. كما رأينا في الفصل السابق ، إذا كانت نقطة تحقق معادلة ، فإن تلك النقطة تقع على الرسم البياني للمعادلة. إذا كنا نبحث عن نقطة تحقق معادلتين ، فنحن نبحث عن نقطة تقع على الرسوم البيانية لكلا المعادلتين ؛ أي أننا نبحث عن نقطة تقاطع.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المعادلتين:

[ start {align} x-3 y & = - 9 2 x + 3 y & = 18 end {align} nonumber ]

وهو ما يسمى أ نظام المعادلات الخطية. المعادلات عبارة عن معادلات خطية لأن رسومها البيانية عبارة عن خطوط ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {1} ). لاحظ أن السطرين في الشكل ( PageIndex {1} ) يتقاطعان عند النقطة ((3،4) ). لذلك ، يجب أن تحقق النقطة ((3،4) ) كلا المعادلتين. دعونا تحقق.

استبدل (3 ) بـ (x ) و (4 ) بـ (y ).

[ start {align} x-3 y & = - 9 3-3 (4) & = - 9 3-12 & = - 9 - 9 & = - 9 end {align} لا يوجد رقم ]

استبدل (3 ) بـ (x ) و (4 ) بـ (y ).

[ start {align} 2 x + 3 y & = 18 2 (3) +3 (4) & = 18 6 + 12 & = 18 18 & = 18 end {align} nonumber ]

ومن ثم ، فإن النقطة ((3،4) ) تفي بكلتا المعادلتين وتسمى حل النظام.

حل نظام خطي

النقطة ((x، y) ) تسمى حل نظام من معادلتين خطيتين إذا وفقط إذا استوفت كلا المعادلتين. علاوة على ذلك ، نظرًا لأن النقطة تفي بمعادلة إذا وفقط إذا كانت تقع على الرسم البياني للمعادلة ، لحل نظام من المعادلات الخطية بيانياً ، نحتاج إلى تحديد نقطة تقاطع الخطين اللذين لهما المعادلات المعطاة.

دعونا نجرب مثالا.

مثال ( PageIndex {1} )

حل نظام المعادلات التالي: [3x + 2y = 12 y = x + 1 label {system1} ]

المحلول

نحن نبحث عن النقطة ((x، y) ) التي تحقق كلا المعادلتين ؛ أي أننا نبحث عن النقطة التي تقع على الرسم البياني لكلتا المعادلتين. لذلك ، فإن الأسلوب المنطقي هو رسم الرسوم البيانية لكلا الخطين ، ثم تحديد نقطة التقاطع.

أولاً ، دعنا نحدد (x ) - و (y ) - تقاطعات (3x + 2y = 12 ).

للعثور على (x ) - التقاطع ، دعنا (y = 0 ).

[ start {align} 3 x + 2 y & = 12 3 x + 2 (0) & = 12 3 x & = 12 x & = 4 end {align} nonumber ]

للعثور على (y ) - التقاطع ، دع (x = 0 ).

[ start {align} 3 x + 2 y & = 12 3 (0) +2 y & = 12 2 y & = 12 y & = 6 end {align} nonumber ]

ومن ثم ، فإن (x ) - التقاطع هو ((4،0) ) والتقاطع (y ) - هو ((0،6) ). تم رسم هذه التقاطعات في الشكل ( PageIndex {2} ) ويتم رسم الخط (3x + 2y = 12 ) من خلالها.

بمقارنة المعادلة الثانية (y = x + 1 ) بصيغة التقاطع المنحدر (y = mx + b ) ، نرى أن الميل هو (m = 1 ) وتقاطعهم هو (( 0،1) ). ارسم التقاطع ((0،1) ) ، ثم اصعد لأعلى (1 ) الوحدة والوحدة اليمنى (1 ) ، ثم ارسم الخط (انظر الشكل ( فهرس الصفحة {3} )).

نحن نحاول إيجاد النقطة التي تقع على كلا الخطين ، لذلك نرسم كلا الخطين على نفس نظام الإحداثيات ، مع تسمية كل منهما بمعادلته (انظر الشكل ( PageIndex {4} )). يبدو أن الخطوط تتقاطع عند النقطة ((2،3) ) ، مما يجعل ((x، y) = (2، 3) ) حل النظام في المثال ( PageIndex {1} ) (انظر الشكل ( PageIndex {4} )).

التحقق من: لإثبات أن ((x، y) = (2، 3) ) هو أحد حلول System ref {system1} ، يجب أن نظهر أننا نحصل على عبارات صحيحة عندما نستبدل (2 ) بـ (x ) ) و (3 ) لـ (y ) في كلا معادلي النظام المرجع {system1}.

استبدال (2 ) بـ (س ) و (3 ) من أجل (ص ) في (3 س + 2 ص = 12 ) ، نحصل على:

[ start {align} 3 x + 2 y & = 12 3 (2) +2 (3) & = 12 6 + 6 & = 12 12 & = 12 end {align} nonumber ]

ومن ثم ، فإن ((2،3) ) يحقق المعادلة (3x + 2y = 12 ).

استبدال (2 ) بـ (x ) و (3 ) لـ (y ) في (y = x + 1 ) ، نحصل على:

[ start {array} {l} {y = x + 1} {3 = 2 + 1} {3 = 3} end {array} nonumber ]

ومن ثم ، فإن ((2،3) ) يفي بالمعادلة (ص = س + 1 ).

نظرًا لأن ((2،3) ) يفي بكلتا المعادلتين ، فإن هذا يجعل ((2،3) ) أحد حلول System ref {system1}.

تمرين ( PageIndex {1} )

حل نظام المعادلات التالي:

[ begin {align} 2 x-5 y & = - 10 y & = x-1 end {align} nonumber ]

إجابه

((5,4))

مثال ( PageIndex {2} )

حل نظام المعادلات التالي: [3x-5y = -15 2x + y = -4 label {system2} ]

المحلول

مرة أخرى ، نبحث عن النقطة التي تحقق كلا المعادلتين في النظام ref {system2}. وبالتالي ، نحتاج إلى إيجاد النقطة التي تقع على الرسوم البيانية لكلا الخطين الممثلة في معادلات System ref {system2}. سيكون الأسلوب هو رسم كلا الخطين ، ثم تقريب إحداثيات نقطة التقاطع. أولاً ، دعنا نحدد (x ) - و (y ) - تقاطعات (3x − 5y = −15 ).

للعثور على (x ) - التقاطع ، دعنا (y = 0 ).

[ begin {align} 3 x-5 y & = - 15 3 x-5 (0) & = - 15 3 x & = - 15 x & = - 5 end {align} لا يوجد رقم ]

للعثور على (y ) - التقاطع ، دع (x = 0 ).

[ begin {align} 3 x-5 y & = - 15 3 (0) -5 y & = - 15 - 5 y & = - 15 y & = 3 end {align} لا يوجد رقم ]

ومن ثم ، فإن (x ) - التقاطع هو ((- 5،0) ) والتقاطع (y ) - هو ((0،3) ). تم رسم هذه التقاطعات في الشكل ( PageIndex {5} ) ويتم رسم الخط (3x − 5y = −15 ) من خلالها.

بعد ذلك ، دعنا نحدد تقاطعات المعادلة الثانية (2x + y = −4 ).

للعثور على (x ) - التقاطع ، دعنا (y = 0 ).

[ start {align} 2 x + y & = - 4 2 x + 0 & = - 4 2 x & = - 4 x & = - 2 end {align} nonumber ]

للعثور على (y ) - التقاطع ، دع (x = 0 ).

[ start {align} 2 x + y & = - 4 2 (0) + y & = - 4 y & = - 4 end {align} nonumber ]

ومن ثم ، فإن (x ) - التقاطع هو ((- 2،0) ) والتقاطع (y ) - هو ((0 ، −4) ). تم رسم هذه التقاطعات في الشكل ( PageIndex {6} ) ويتم رسم الخط (2x + y = −4 ) من خلالها.

لإيجاد حل System ref {system2} ، نحتاج إلى رسم كلا الخطين على نفس نظام الإحداثيات وتحديد إحداثيات نقطة التقاطع. على عكس المثال ( PageIndex {1} ) ، في هذه الحالة سنضطر إلى الاكتفاء بتقريب هذه الإحداثيات. يبدو أن إحداثيات نقطة التقاطع هي تقريبًا ((- 2.6،1.4) ) (انظر الشكل ( PageIndex {7} )).

التحقق من: نظرًا لأن لدينا فقط تقريب لحل النظام ، لا يمكننا أن نتوقع أن يتحقق الحل بالضبط في كل معادلة. ومع ذلك ، نأمل أن يتحقق الحل تقريبًا.

استبدل ((x، y) = (- 2.6،1.4) ) في المعادلة الأولى من System ref {system2}.

[ start {align} 3 x-5 y & = - 15 3 (-2.6) -5 (1.4) & = - 15 - 7.8-7 & = - 15 - 14.8 & = - 15 نهاية {محاذاة} غير رقم ]

لاحظ أن ((x، y) = (- 2.6،1.4) ) لا يتحقق بالضبط ، لكنه قريب جدًا من أن يكون بيانًا صحيحًا.

استبدل ((x، y) = (- 2.6،1.4) ) في المعادلة الثانية من System ref {system2}.

[ begin {align} 2 x + y = -4 2 (-2.6) + 1.4 = -4 - 5.2 + 1.4 = -4 - 3.8 = -4 end {align} nonumber ]

مرة أخرى ، لاحظ أن ((x، y) = (−2.6،1.4) ) لا يتحقق بالضبط ، لكنه قريب جدًا من أن يكون بيانًا صحيحًا.

ملحوظة

سنتعلم لاحقًا في هذا القسم كيفية استخدام أداة التقاطع في حاسبة الرسوم البيانية للحصول على تقريب أكثر دقة للحل الفعلي. بعد ذلك ، في القسم 4.2 والقسم 4.3 ، سنعرض كيفية العثور على الحل الدقيق.

تمرين ( PageIndex {2} )

حل نظام المعادلات التالي:

[ begin {align} -4 x-3 y & = 12 x-2 y & = - 2 end {align} nonumber ]

إجابه

((−2.7,−0.4))

حالات إستثنائية

في معظم الأحيان ، بالنظر إلى الرسوم البيانية لخطين ، سوف يتقاطعان في نقطة واحدة بالضبط. لكن هناك استثناءان لهذا السيناريو العام.

مثال ( PageIndex {3} )

حل نظام المعادلات التالي: [2x + 3y = 6 2x + 3y = -6 label {system3} ]

المحلول

لنضع كل معادلة في صيغة الميل والمقطع عن طريق حل كل معادلة لـ (y ).

حل (2x + 3y = 6 ) من أجل (y ):

[ start {align} 2 x + 3 y & = 6 2 x + 3 y-2 x & = 6-2 x 3 y & = 6-2 x dfrac {3 y} { 3} & = dfrac {6-2 x} {3} y & = - dfrac {2} {3} x + 2 end {align} nonumber ]

حل (2x + 3y = -6 ) من أجل (y ):

[ start {align} 2 x + 3 y & = - 6 2 x + 3 y-2 x & = - 6-2 x 3 y & = - 6-2 x dfrac {3 y} {3} & = dfrac {-6-2 x} {3} y & = - dfrac {2} {3} x-2 end {align} nonumber ]

تخبرنا مقارنة (y = (- 2/3) x + 2 ) بصيغة تقاطع الميل (y = mx + b ) أن الميل هو (m = −2/3 ) وهم- التقاطع هو ((0،2) ). ارسم التقاطع ((0،2) ) ، ثم انزل (2 ) الوحدات والوحدات اليمنى (3 ) وارسم الخط (انظر الشكل ( PageIndex {8} )).

تخبرنا مقارنة (y = (−2/3) x - 2 ) بصيغة تقاطع الميل (y = mx + b ) أن الميل هو (m = −2/3 ) وهم- التقاطع هو ((0 ، −2) ). ارسم التقاطع ((0، −2) ) ، ثم انزل (2 ) الوحدات والوحدات اليمنى (3 ) وارسم الخط (انظر الشكل ( PageIndex {9} )).

للعثور على حل System ref {system3} ، ارسم كلا الخطين على نفس نظام الإحداثيات (انظر الشكل ( PageIndex {10} )). لاحظ كيف تبدو الخطوط متوازية (لا تتقاطع). حقيقة أن كلا الخطين لهما نفس الميل (- 2/3 ) تؤكد شكوكنا في أن المستقيمين متوازيان. ومع ذلك ، لاحظ أن الخطوط لها تقاطعات (y ) - مختلفة. ومن ثم ، فإننا ننظر إلى خطين متوازيين لكن متميزين (انظر الشكل ( PageIndex {10} )) لا يتقاطعان. ومن ثم ، لا يوجد حل لدى System ref {system3}.

تمرين ( PageIndex {3} )

حل نظام المعادلات التالي:

[ start {align} x-y & = 3 - 2 x + 2 y & = 4 end {align} nonumber ]

إجابه

لا حل.

مثال ( PageIndex {4} )

حل نظام المعادلات التالي: [x-y = 3 - 2 x + 2 y = -6 label {system4} ]

المحلول

دعونا نحل كلا المعادلتين من أجل (y ).

حل (x − y = 3 ) من أجل (y ):

[ start {align} xy & = 3 xyx & = 3-x - y & = - x + 3 - 1 (-y) & = - 1 (-x + 3) y & = x-3 end {align} nonumber ]

حل (- 2x + 2y = −6 ) من أجل (y ):

[ start {align} -2 x + 2 y & = - 6 - 2 x + 2 y + 2 x & = - 6 + 2 x 2 y & = 2 x-6 dfrac { 2 y} {2} & = dfrac {2 x-6} {2} y & = x-3 end {align} nonumber ]

كلا الخطين لهما ميل (م = 1 ) ، وكلاهما لهما نفس (ص ) - تقاطع ((0 ، −3) ). ومن ثم ، فإن السطرين متطابقان (انظر الشكل ( PageIndex {11} )). وبالتالي ، يحتوي النظام ref {system4} على عدد لا نهائي من نقاط التقاطع. أي نقطة على أي من الخطين هي حل للنظام. أمثلة على نقاط التقاطع (الحلول التي تفي بكلتا المعادلتين) هي ((0 ، −3) ) ، ((1 ، −2) ) ، و ((3،0) ).

الحل البديل:

تتمثل الطريقة الأسهل بكثير في ملاحظة أنه إذا قسمنا طرفي المعادلة الثانية (- 2x + 2y = −6 ) على (- 2 ) ، نحصل على:

[ begin {align} -2x + 2y & = -6 quad { color {Red} text {المعادلة الثانية في النظام}} المرجع {system4}. dfrac {-2 x + 2 y} {- 2} & = dfrac {-6} {- 2} quad color {Red} text {قسمة كلا الجانبين على} -2 dfrac { -2 x} {- 2} + dfrac {2 y} {- 2} & = dfrac {-6} {- 2} quad color {Red} text {Distribute} -2 xy & = 3 رباعي لون {أحمر} نص {تبسيط. } نهاية {محاذاة} غير رقم ]

ومن ثم ، فإن المعادلة الثانية في System ref {system4} مماثلة للمعادلة الأولى. وبالتالي ، هناك عدد لا حصر له من الحلول. أي نقطة على أي من الخطين هي حل.

تمرين ( PageIndex {4} )

حل نظام المعادلات التالي:

[ start {align} -6 x + 3 y & = - 12 2 x-y & = 4 end {align} nonumber ]

إجابه

هناك عدد لا حصر له من الحلول. الخطان متطابقان ، لذا فإن أي نقطة على أي من الخطين هي حل.

تقودنا الأمثلة ( PageIndex {1} ) و ( PageIndex {2} ) و ( PageIndex {3} ) و ( PageIndex {4} ) إلى الاستنتاج التالي.

عدد حلول النظام الخطي

عند التعامل مع نظام من معادلتين خطيتين في مجهولين ، هناك ثلاثة احتمالات فقط:

  1. هناك حل واحد بالضبط.
  2. لا توجد حلول.
  3. هناك عدد لا حصر له من الحلول.

حل الأنظمة باستخدام حاسبة الرسوم البيانية

لدينا بالفعل خبرة في رسم المعادلات باستخدام آلة حاسبة الرسوم البيانية. لقد استخدمنا أيضًا الزر TRACE لتقدير نقاط التقاطع. ومع ذلك ، فإن حاسبة الرسوم البيانية لديها أداة أكثر تعقيدًا للعثور على نقاط التقاطع. في المثال التالي سنستخدم حاسبة الرسوم البيانية للعثور على حل System ref {system1} of Example ( PageIndex {1} ).

مثال ( PageIndex {5} )

استخدم حاسبة الرسوم البيانية لحل نظام المعادلات التالي: [3x + 2y = 12 y = x + 1 label {system5} ]

المحلول

لإدخال معادلة في ص = القائمة، يجب أولاً حل المعادلة من أجل (ص ). ومن ثم ، يجب علينا أولاً حل (3x + 2y = 12 ) من أجل (y ).

[ begin {align} 3x + 2y & = 12 quad color {Red} text {المعادلة الأصلية. } 2y & = 12-3x quad color {Red} text {Subtract} 3x text {من كلا جانبي المعادلة. } dfrac {2y} {2} & = dfrac {12-3 x} {2} quad color {Red} text {قسّم كلا الجانبين على} 2 y & = dfrac {12} {2} - dfrac {3 x} {2} quad color {Red} text {على اليسار ، قم بالتبسيط. على اليمين ،} y & = 6- dfrac {3} {2} x quad color {Red} text {Simplify. } نهاية {محاذاة} ]

يمكننا الآن استبدال معادلي System ref {system5} في ص = القائمة (انظر الشكل ( PageIndex {12} )).

يختار 6: قياسي Z من قائمة ZOOM لإنتاج الرسوم البيانية الموضحة في الشكل ( PageIndex {13} ).

يصبح السؤال الآن "كيف نحسب إحداثيات نقطة التقاطع؟" انظر إلى علبة الآلة الحاسبة أعلى زر TRACE مباشرةً في الصف العلوي من الأزرار ، حيث سترى كلمة CAlC ، مرسومة بنفس لون الثاني مفتاح. اضغط على الثاني المفتاح ، ثم الزر TRACE ، الذي سيفتح ملف احسب القائمة الموضحة في الشكل ( PageIndex {14} ).

ملحوظة

قد يبدو الأمر مزعجًا عندما تسأل الآلة الحاسبة "المنحنى الأول" ، "المنحنى الثاني" عندما يكون هناك منحنين فقط على الشاشة. ومع ذلك ، تخيل الموقف عندما يكون هناك ثلاثة منحنيات أو أكثر على الشاشة. ثم هذه الأسئلة منطقية. يمكنك تغيير اختيارك لـ "المنحنى الأول" أو "المنحنى الثاني" باستخدام مفاتيح الأسهم لأعلى ولأسفل لتحريك المؤشر إلى منحنى مختلف.

يختار 5: تقاطع. تظهر النتيجة في الشكل ( PageIndex {15} ). وضعت الآلة الحاسبة المؤشر على المنحنى (y = 6− (3/2) x ) (انظر الزاوية اليسرى العليا من شاشة العرض الخاصة بك) ، وفي الزاوية اليسرى السفلية تسألك الآلة الحاسبة عما إذا كنت تريد استخدام المنحنى المحدد باعتباره "المنحنى الأول". أجب بـ "نعم" بالضغط على أدخل زر.

تستجيب الآلة الحاسبة كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {16} ). يقفز المؤشر إلى المنحنى (y = x + 1 ) (انظر الزاوية اليسرى العليا لنافذة العرض الخاصة بك) ، وفي الزاوية اليسرى السفلية تسألك الآلة الحاسبة عما إذا كنت تريد استخدام المنحنى المحدد كـ "المنحنى الثاني . " أجب بـ "نعم" بالضغط على أدخل مفتاح مرة أخرى.

تستجيب الآلة الحاسبة كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {17} ) ، وتطلب منك "تخمين". في هذه الحالة ، اترك المؤشر في مكانه واضغط على أدخل مفتاح مرة أخرى للإشارة إلى الآلة الحاسبة بأنك تخمن في الموضع الحالي للمؤشر.

نتيجة الضغط أدخل لسؤال "التخمين" في الشكل ( PageIndex {17} ) موضح في الشكل ( PageIndex {18} ) ، حيث توفر الآلة الحاسبة الآن تقريبًا لإحداثيات نقطة التقاطع على الحافة السفلية من نافذة المشاهدة. لاحظ أن الآلة الحاسبة قد وضعت المؤشر على نقطة التقاطع في الشكل ( PageIndex {17} ) وتفيد بأن الإحداثيات التقريبية لنقطة التقاطع هي ((2،3) ).

ملحوظة

في الأقسام اللاحقة ، عندما نفحص تقاطع رسمين بيانيين بهما أكثر من نقطة تقاطع ، سيصبح التخمين أكثر أهمية. في هذه الحالات المستقبلية ، سنحتاج إلى استخدام مفاتيح الأسهم لليمين واليسار لتحريك المؤشر بالقرب من نقطة التقاطع التي نرغب في أن تعثر عليها الآلة الحاسبة.

الإبلاغ عن الحل الخاص بك على واجبك المنزلي. عند الإبلاغ عن الحل الخاص بك في ورقة واجبك المنزلي ، اتبع إرشادات التقديم باستخدام الآلة الحاسبة من الفصل 3 ، القسم 2. قم بعمل نسخة دقيقة من الصورة المعروضة في نافذة العرض الخاصة بك. قم بتسمية المحاور (x ) و (y ). في نهاية كل محور ، ضع القيمة المناسبة لـ ( mathrm {Xmin} ، mathrm {Xmax} ، mathrm {Ymin} ) ، و ( mathrm {Ymax} ) المبلغ عنها في الآلة الحاسبة الخاصة بك نافذة او شباك قائمة. استخدم مسطرة لرسم الخطوط وقم بتسمية كل منها بمعادلاتها. أخيرًا ، قم بتسمية نقطة التقاطع بإحداثياتها (انظر الشكل ( PageIndex {19} )). ما لم يُطلب منك خلاف ذلك ، قم دائمًا بالإبلاغ عن كل رقم معروض على الآلة الحاسبة.

تمرين ( PageIndex {5} )

حل نظام المعادلات التالي:

[ start {align} 2 x-5 y & = 9 y & = 2 x-5 end {align} nonumber ]

إجابه

((2,-1))

ستحتاج أحيانًا إلى ضبط المعلمات في ملف نافذة او شباك القائمة بحيث تكون نقطة التقاطع مرئية في نافذة العرض.

مثال ( PageIndex {6} )

استخدم الآلة الحاسبة للرسوم البيانية لإيجاد حل تقريبي للنظام التالي: [y = - dfrac {2} {7} x + 7 y = dfrac {3} {5} x-5 label {system6} ]

المحلول

كل معادلة من System ref {system6} تم حلها بالفعل لـ (y ) ، حتى نتمكن من المتابعة مباشرة وإدخالها في ص = القائمة، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {20} ). يختار 6: قياسي Z من تكبير القائمة لإنتاج الصورة الموضحة في الشكل ( PageIndex {21} ).

من الواضح أن نقطة التقاطع خارج الشاشة إلى اليمين ، لذلك يتعين علينا زيادة قيمة ( mathrm {Xmax} ) (set ( mathrm {Xmax} = 20 )) كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {22} ). بمجرد إجراء هذا التغيير على ( mathrm {Xmax} ) ، اضغط على رسم بياني زر لإنتاج الصورة الموضحة في الشكل ( PageIndex {23} ).

الآن بعد أن أصبحت نقطة التقاطع مرئية في نافذة العرض ، اضغط على 2ND CALC واختر 5: تقاطع من قائمة CALCULATE (انظر الشكل ( PageIndex {24} )). قم بعمل ثلاث مكابس متتالية من أدخل زر للاستجابة إلى "المنحنى الأول" و "المنحنى الثاني" و "تخمين". تستجيب الآلة الحاسبة بالصورة الموجودة في الشكل ( PageIndex {25} ). وبالتالي ، فإن حل System ref {system6} هو تقريبًا ((x، y) ≈ (13.54837،3.1290323) ).

( اللون {أحمر} تحذير! )

الآلة الحاسبة الخاصة بك هي آلة تقريبية. من المحتمل جدًا أن تختلف الحلول الخاصة بك قليلاً عن الحل المقدم في الشكل ( PageIndex {25} ) في الأماكن (2-3 ) الأخيرة.

الإبلاغ عن الحل الخاص بك في واجبك المنزلي:

عند الإبلاغ عن الحل الخاص بك في ورقة واجبك المنزلي ، اتبع إرشادات إرسال الآلة الحاسبة من الفصل 3 ، القسم 2. وأخيرًا ، قم بتسمية نقطة التقاطع بإحداثياتها (انظر الشكل ( PageIndex {26} )). ما لم يُطلب منك خلاف ذلك ، قم دائمًا بالإبلاغ عن كل رقم معروض على الآلة الحاسبة.

تمرين ( PageIndex {6} )

حل نظام المعادلات التالي:

[ begin {align} y & = dfrac {3} {2} x + 6 y & = - dfrac {6} {7} x-4 end {align} nonumber ]

إجابه

((-4.2,-0.4))


الكيفية: حل نظام المعادلات من خلال الرسوم البيانية

يوضح هذا الفيديو للمشاهد كيفية حل المعادلات الآنية باستخدام رسم بياني أو "رسم بياني" كما هو مشار إليه. يتم ذلك عن طريق إعادة ترتيب المعادلتين أولاً بحيث يكون y هو موضوع كلتا المعادلتين. يمكن بعد ذلك حل المعادلات بالتعويض - لا يغطي الفيديو ذلك. باستخدام الرسم البياني ، فإن الخطوة التالية هي رسم كلا الخطين على الرسم البياني. يمكن القيام بذلك عن طريق استبدال القيم المتغيرة لـ x لإعطاء إحداثيات y. يجب أن يكون حل المعادلة الخطية هو النقطة التي يتقاطع عندها الخطان.
لمزيد من المعلومات حول كيفية حل المعادلة الآنية باستخدام رسم بياني ، يرجى مشاهدة الفيديو.

هل تريد إتقان برنامج Microsoft Excel ونقل آفاق العمل من المنزل إلى المستوى التالي؟ ابدأ حياتك المهنية من خلال حزمة التدريب Premium A-to-Z Microsoft Excel من متجر Gadget Hacks الجديد واحصل على وصول مدى الحياة إلى أكثر من 40 ساعة من التعليمات الأساسية إلى المتقدمة حول الوظائف والصيغة والأدوات والمزيد.


حل عن طريق الرسم البياني

هندسيًا ، يتكون النظام الخطي من خطين ، حيث يكون الحل هو نقطة التقاطع. لتوضيح ذلك ، سنقوم برسم النظام الخطي التالي بمحلول (3 ، 2):

أولاً ، أعد كتابة المعادلات بصيغة الميل والمقطع حتى نتمكن من رسمها بسهولة.

بعد ذلك ، استبدل هذه الأشكال من المعادلات الأصلية في النظام للحصول على ما يسمى بالنظام المكافئ نظام يتكون من معادلات مكافئة تشترك في نفس مجموعة الحلول. . تشترك الأنظمة المكافئة في نفس مجموعة الحلول.

إذا رسمنا كلا الخطين على نفس مجموعة المحاور ، فيمكننا أن نرى أن نقطة التقاطع هي بالفعل (3 ، 2) ، حل النظام.

للتلخيص ، تتكون الأنظمة الخطية الموصوفة في هذا القسم من معادلتين خطيتين لكل منهما متغيرين. الحل هو زوج مرتب يتوافق مع نقطة يتقاطع فيها الخطان في مستوى إحداثيات المستطيل. لذلك ، يمكننا حل الأنظمة الخطية عن طريق رسم كلا الخطين على نفس مجموعة المحاور وتحديد النقطة التي يتقاطعان عندها. عند رسم الخطوط ، احرص على اختيار مقياس جيد واستخدام أداة تقويم لرسم الخط من خلال دقة النقاط مهمة للغاية هنا. خطوات حل الأنظمة الخطية باستخدام طريقة الرسوم البيانية A وسيلة لحل نظام عن طريق رسم المعادلات على نفس مجموعة المحاور وتحديد مكان تقاطعها. في المثال التالي.

المثال 2: حل الرسم البياني:

الخطوة 1: أعد كتابة المعادلات الخطية بصيغة الميل والمقطع.

الخطوة 2: اكتب النظام المكافئ وارسم الخطوط على نفس مجموعة المحاور.

الخطوه 3: استخدم الرسم البياني لتقدير النقطة التي تتقاطع عندها الخطوط وتحقق لمعرفة ما إذا كان يحل النظام الأصلي. في الرسم البياني أعلاه ، يبدو أن نقطة التقاطع هي (1 ، 3).

المثال 3: حل الرسم البياني: <2 x + y = 2 - 2 x + 3 y = - 18.

المحلول: نحل كل معادلة من أجل ذ للحصول على نظام مكافئ حيث تكون الخطوط في شكل تقاطع منحدر.

ارسم الخطوط وحدد نقطة التقاطع.

المثال 4: حل الرسم البياني: <3 x + y = 6 y = - 3.

طريقة الرسوم البيانية لحل الأنظمة الخطية ليست مثالية عندما يتكون الحل من إحداثيات ليست أعدادًا صحيحة. ستكون هناك طرق جبرية أكثر دقة في الأقسام القادمة ، ولكن الهدف في الوقت الحالي هو فهم الهندسة المستخدمة عند حل الأنظمة. من المهم أن تتذكر أن حلول النظام تتوافق مع النقطة ، أو النقاط ، حيث تتقاطع الرسوم البيانية للمعادلات.

جرب هذا! حل بطريقة الرسم البياني: <- x + y = 6 5 x + 2 y = - 2.

حل الفيديو


4.1: حل الأنظمة عن طريق الرسوم البيانية - الرياضيات

أنظمة المعادلات الخطية: الرسوم البيانية (صفحة 2 من 7)

عندما تحل أنظمة معادلات (خطية أو غير ذلك) ، فأنت ، من حيث الخطوط الرسومية ذات الصلة بالمعادلات ، تجد أي نقاط تقاطع لهذه الخطوط.

بالنسبة لأنظمة المعادلات الخطية ذات المتغيرين ، هناك ثلاثة أنواع ممكنة من الحلول للأنظمة ، والتي تتوافق مع ثلاثة أنواع مختلفة من الرسوم البيانية لخطين مستقيمين.

هذه الحالات الثلاث موضحة أدناه:

يُظهر الرسم البياني الأول أعلاه ، & quotCase 1 & quot ، خطين مختلفين غير متوازيين يتقاطعان عند نقطة واحدة بالضبط. هذا يسمى نظام المعادلات & quotindependent & quot ، والحل دائمًا هو بعض x,ذ -هدف.

نظام مستقل:
نقطة حل واحدة

يُظهر الرسم البياني الثاني أعلاه ، & quotCase 2 & quot ، خطين متميزين متوازيين. نظرًا لأن الخطوط المتوازية لا تتقاطع أبدًا ، فلا يمكن أن يكون هناك تقاطع ، أي أنه بالنسبة لنظام المعادلات الذي يمثل خطوطًا متوازية ، لا يمكن أن يكون هناك حل. وهذا ما يسمى بنظام المعادلات & quot؛ متناسقة & quot؛ ولا يوجد له حل.

نظام مستقل:
حل واحد و
نقطة تقاطع واحدة

نظام غير متسق:
لا يوجد حل و
لا توجد نقطة تقاطع

يبدو أن الرسم البياني الثالث أعلاه ، & quotCase 3 & quot ، يعرض سطرًا واحدًا فقط. في الواقع ، إنه نفس الخط المرسوم مرتين. هذه & quottwo & quot الأسطر ، هي في الحقيقة نفس السطر ، & quotintersect & quot في كل نقطة على طولها. يسمى هذا النظام & quotdependent & quot ، و & quot؛ quotsolution & quot هو السطر الكامل.

نظام مستقل:
حل واحد و
نقطة تقاطع واحدة

نظام غير متسق:
لا يوجد حل و
لا توجد نقطة تقاطع

نظام تابع:
الحل هو
خط كامل

هذا يدل على أن نظام المعادلات قد يكون له حل واحد (محدد x,ذ -نقطة) ، لا يوجد حل على الإطلاق ، أو حل لا نهائي (كونه جميع حلول المعادلة). لن يكون لديك أبدًا نظام به حلين أو ثلاثة حلول ، فسيكون دائمًا حل واحد أو لا شيء أو عدد لا نهائي من الحلول.

من المحتمل أن تكون الطريقة الأولى التي ستراها لحل أنظمة المعادلات هي & quots عن طريق الرسم البياني & quot. تحذير: عليك أن تأخذ هذه المشاكل بحذر. الطريقة الوحيدة لإيجاد الحل من الرسم البياني هي لو ترسم نظامًا محوريًا أنيقًا جدًا ، لو ترسم خطوطًا أنيقة جدًا ، لو يتصادف أن يكون الحل نقطة ذات إحداثيات عدد صحيح جميلة وأنيقة ، و لو الخطوط ليست قريبة من أن تكون متوازية. حقوق النشر ونسخ إليزابيث ستابيل 2003-2011 جميع الحقوق محفوظة


على سبيل المثال ، إذا تقاطعت الخطوط بزاوية ضحلة ، فقد يكون من المستحيل تقريبًا تحديد مكان تقاطع الخطوط.

وإذا لم تكن نقطة التقاطع عبارة عن زوج أنيق من الأعداد الصحيحة ، فإن كل الرهانات متوقفة.

(هل يمكنك معرفة ذلك من خلال النظر إلى أن الحل المعروض يحتوي على إحداثيات
من (& ndash4.3، & ndash0.95)؟ رقم؟ ثم ترى وجهة نظري.)

على الجانب الإيجابي ، نظرًا لأنهم سيضطرون إلى إعطائك حلولًا رائعة وأنيقة لحل المشكلات عن طريق الرسوم البيانية & quot ، ستتمكن من الحصول على جميع الإجابات الصحيحة طالما أنك رسم بياني بدقة شديدة. على سبيل المثال:

    حل النظام التالي بالرسم البياني.

2x & - 3ذ = & ndash2
4
x + ذ = 24

أعلم أنني بحاجة إلى رسم بياني أنيق ، لذا سأمسك بالمسطرة وأبدأ. أولاً ، سأحل كل معادلة لـ & quot ذ= & quot ، لذا يمكنني رسم بياني بسهولة:

2x & - 3ذ = & ndash2
2x + 2 = 3ذ
(2/3)x + (2/3) = ذ

4x + ذ = 24
ذ = & ndash4x + 24

سيكون من السهل رسم الخط الثاني باستخدام المنحدر والتقاطع فقط ، لكنني سأحتاج إلى مخطط T للخط الأول.


حل أنظمة المعادلات بالرسوم البيانية - المشكلة 1

لحل نظام المعادلات عن طريق الرسم البياني ، ارسم كل معادلة بيانيًا وحدد النقطة التي يتقاطع فيها الخطان. هذه النقطة هي حل نظام المعادلات - حيث تتساوى قيمتا x و y في المعادلتين. افحص الحل عن طريق إدخال القيم في كل معادلة. إذا كانت المعادلات صحيحة ، بمعنى أن طرفي المعادلتين متساويان ، يكون الحل صحيحًا.

هذا هو نظام المعادلات الذي طُلب مني حله عن طريق الرسم البياني. ما يعنيه ذلك هو أنني يجب أن أرسم كلا الخطين بيانيًا وأجد المكان الذي يتقاطعان فيه. طلبت مني المشكلة الآن أيضًا التحقق من الحل ، لذلك بمجرد أن أحصل على النقطة التي أعتقد أنها صحيحة ، سأقوم باستبدال هذه القيم مرة أخرى في كلا المعادلتين والتحقق من أنني أحصل على المساواة.

لنفعلها اذا. أول شيء سأفعله لأنني شخص مرئي أحب اللون ، سأقوم بتعيين المعادلة الأولى التي سأقوم برسمها باللون الأحمر والمعادلة الثانية سأقوم برسمها باللون الأزرق. قد يكون هذا قادرًا على مساعدتي في تتبع أي خط هو. حسنًا ، بالنسبة لهذا الخط ، سأضع النقطة الأولى عند تقاطع y عند 4 ، ومن هناك سأحسب الميل لأعلى بمقدار 1 على 1.

تقع نقطتي الأولى عند تقاطع y عند 4 ، ومن هناك سأقوم بحساب الميل الذي يزيد بمقدار 1 على 1. سأقوم ببعض النقاط المختلفة في كلا الاتجاهين حتى أتمكن من التأكد من أن الرسم البياني الخاص بي سيذهب إلى يكون دقيقا. مرة أخرى يا رفاق ، إنه أمر بالغ الأهمية عند حل الأنظمة من خلال رسم بياني أنك دقيق وإلا ستحصل على نقطة التقاطع الخاطئة ، الإجابة الخاطئة. حسنًا ، هناك خط أحمر خاص بي.

الخط التالي مختلف قليلاً. أرغب في وضع نقطتي الأولى عند نقطة التقاطع y عند 1 ، ومن هناك سأعد الميل لأعلى 4 على 1 إلى اليمين. حسنًا ، ها نحن ، بدءًا من 1 هو نقطتي الأولى. من هناك سأقوم بالعد 4 ، الحق 1. 1 ، 2 ، 3 ، 4 الحق 1. 1 ، 2 ، 3 ، 4 الحق 1. 1 ، 2 ، 3 ، 4 حقًا 1 ، 2 ، 3 ، 4 الحق 1 حسنًا. قم ببعض النقاط حتى تتأكد يا رفاق من صحة الرسم البياني الخاص بك. استخدم المسطرة بشكل مطلق للرسم ثم ابحث عن مكان تقاطع الخطوط.

الهدف الكامل من حل نظام المعادلات هو البحث عن الحل. الحل هو النقطة التي تتقاطع فيها الخطوط ، أو أنها تتقاطع وتتقاطع معناه تقاطعًا. لذلك دعونا ننظر هنا إلى النقطة التي تتقاطع فيها هذه الخطوط هي 1 ، 2 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 (1،5) أعتقد أن هذا هو جوابي. دعنا ننتقل ونتحقق مرة أخرى باستخدام الاستبدال للتأكد من صحة ذلك.

أولًا ، في المعادلة الحمراء ، أريد معرفة ما إذا كان عدد ص الخاص بي يساوي عدد س زائد 4. فهل صحيح أن 5 يساوي 1 زائد 4؟ نعم ، إنهما متساويان في الجودة ، لذا فإن ذلك يعمل في المعادلة الأولى ، ولكن لكي تكون حلاً ، يجب أن تعمل في كليهما ، لذلك لم أنتهي من التحقق بعد. دعونا نلقي نظرة على المعادلة الزرقاء. دعونا نرى ما إذا كنت سأحصل على مساواة عندما أقوم بتوصيل وجهة نظري التي أعتقد أنها صحيحة. هل صحيح أن 5 يساوي 4 في 1 زائد 1؟ نعم رائع ، هذا يخبرني أنه نظرًا لأن النقطة هي حل لكل من هاتين المعادلتين الأصليتين ، فقد فعلت ذلك بشكل صحيح. هذا جيد لأنني لا أحب الرسم البياني ولا أريد أن أفعل ذلك الرجل مرة أخرى.

تأكدوا يا رفاق من الدقة في المرة الأولى. أنا لا ألعب هنا ، يجب عليك استخدام ورقة الرسم البياني وعليك استخدام المسطرة وإلا فلن تحصل على هذه الأشياء للتحقق بشكل صحيح.


حل أنظمة المعادلات بالرسوم البيانية - المفهوم

نظام المعادلات هو معادلتان أو أكثر تحتويان على نفس المتغيرات. حل أنظمة المعادلات بالرسوم البيانية هي إحدى الطرق للعثور على النقطة التي تمثل حلًا لكلا (أو كل) المعادلات الأصلية. إلى جانب حل أنظمة المعادلات عن طريق الرسوم البيانية ، تشمل الطرق الأخرى لإيجاد حل لأنظمة المعادلات الاستبدال والحذف والمصفوفات.

نظام المعادلات في الجبر سوف يشتمل على معادلتين مختلفتين بمتغيرين. إحدى الطرق لحلها أو معنى إيجاد النقطة التي تمثل حلاً في كلتا المعادلتين هي رسمهما بالرسم البياني والبحث عن مكان تقاطع الخطين.
إذن ، ما سيحدث في واجبك المنزلي هو أنك ستحصل على سطرين ، وعليك & # 39 & # 39 ؛ إعادة رسم بياني لكليهما والعثور على المكان الذي يعبرانه عن ما تطلبه المشكلة.
هناك أمران يجب أخذهما في الاعتبار ، أول شيء يمكن لمعظم الناس الرسم البياني به بشكل أكثر فاعلية إذا كانت الخطوط في شكل y = mx + b تبدأ في الرسم البياني للتقاطع y الميل من هناك. بالنسبة للعديد من الأشخاص ، تعد هذه أسهل طريقة للرسم البياني ، ولكن يمكنك أيضًا استخدام اعتراضات أو عمل جدول للقيم إذا لم تكن مصممًا جيدًا. شيء آخر يجب أن تضعه في الاعتبار هو أنك تبحث عن النقطة التي كانت الخطوط متقاطعة ، لذا عليك أن تكون دقيقًا ، إذا لم يخبرك معلمك باستخدام ورقة الرسم البياني ، احصل على ورقة الرسم البياني على أي حال. لأنه عندما تنظر إلى الرسم البياني الخاص بك وتحاول أن تحسب مكان تقاطع الخطوط ، وإذا كنت تحب ورق دفتر الملاحظات فقط ، فلن تكون دقيقًا للغاية. لذا يرجى التأكد من استخدامك لورق الرسم البياني لهذه المشاكل.
على نفس المنوال ، عليك استخدام رجال المسطرة ، ولا توجد طريقة للتغلب عليها. إذا كنت ترغب في الحصول على الإجابة الصحيحة ، فأنت بحاجة إلى أن تكون سطورك دقيقة ويجب أن تكون مستقيمة تمامًا. إذا كان بإمكانك القيام بكل هذه الأشياء ، فستكون في حالة جيدة لأنك ستضطر إلى حل المشكلات حيث تقوم برسم أنظمة المعادلات الرسومية وإيجاد الحل.


هيا بنا نبدأ

دعنا نستكشف كيفية تحديد حل نظام المعادلات الخطية بيانياً. سوف تتعلم سيناريوهات الحلول الممكنة المختلفة وكيفية التحقق من هذا الحل.

معايير TEKS وتوقعات الطلاب

ا (3) الدوال والمعادلات والمتباينات الخطية. يطبق الطالب معايير العملية الرياضية عند استخدام الرسوم البيانية للوظائف الخطية والسمات الرئيسية والتحولات ذات الصلة لتمثيل بطرق متعددة وحل المعادلات والمتباينات وأنظمة المعادلات بطرق متعددة وبدونها. يتوقع من الطالب أن:

أ (3) (و) أنظمة الرسم البياني لمعادلتين خطيتين في متغيرين على المستوى الإحداثي وتحديد الحلول إذا كانت موجودة

أ (3) (ز) تقدير حلول أنظمة معادلتين خطيتين باستخدام متغيرين في مشاكل العالم الحقيقي بيانياً

هدف (أهداف) المورد

حدد حل نظام المعادلات الخطية بيانياً.

أسئلة أساسية

How many solutions can you have to a systems of linear equations, and what are they?

Graphically, what do the solutions to a system of linear equations look like?


Lane ORCCA (2020–2021): Open Resources for Community College Algebra

We have learned how to graph a line given its equation. In this section, we will learn what a النظام من two linear equations is, and how to use graphing to solve such a system.

Subsection 5.1.1 Solving Systems of Equations by Graphing

Example 5.1.1 .

Fabiana and David are running at constant speeds in parallel lanes on a track. David starts out ahead of Fabiana, but Fabiana is running faster. We want to determine when Fabiana will catch up with David. Let's start by looking at the graph of each runner's distance over time, in Figure 5.1.2.

Each of the two lines has an equation, as discussed in Chapter 4. The line representing David appears to have (y)-intercept ((0,4)) and slope (frac<4><3> ext<,>) so its equation is (y=frac<4><3>t+4 ext<.>) The line representing Fabiana appears to have (y)-intercept ((0,0)) and slope (2 ext<,>) so its equation is (y=2t ext<.>)

When these two equations are together as a package, we have what is called a :

The large left brace indicates that this is a collection of two distinct equations, not one equation that was somehow algebraically manipulated into an equivalent equation.

As we can see in Figure 5.1.2, the graphs of the two equations cross at the point ((6,12) ext<.>) It's important to check to see if this is correct, because when making a hand-drawn graph, it would be easy to be off by a little bit. To check, we can substitute the values of (x) and (y) from the point ((6,12)) into each equation:

So we have checked that ((6,12)) is indeed the solution for the system.

We refer to the point ((6,12)) as the to this system of linear equations. To denote the , we write (<(6,12)> ext<.>) But it's much more valuable to interpret these numbers in context whenever possible: it took (6) seconds for the two runners to meet up, and when they met they were (12) meters up the track.

Example 5.1.3 .

Determine the solution to the system of equations graphed in Figure 5.1.4.

The two lines intersect where (x=-3) and (y=-1 ext<,>) so the solution is the point ((-3,-1) ext<.>) We write the solution set as (<(-3,-1)> ext<.>)

Remark 5.1.5 .

In Example 5.1.1, we stated that the solution was the point ((6,12) ext<.>) It makes sense to write this as an ordered pair when we're given a graph. In some cases when we have no graph, particularly when our variables are not (x) and (y ext<,>) it might not be clear which variable “comes first” and we won't be able to write an ordered pair. Nevertheless, given the context we can write meaningful summary statements.

Checkpoint 5.1.6 .

Now let's look at an example where نحن need to make a graph to find the solution.

Example 5.1.7 .

Solve the following system of equations by graphing:

Notice that each of these equations is written in slope-intercept form. The first equation, (y=frac<1><2>x+4 ext<,>) is a linear equation with a slope of (frac<1><2>) and a (y)-intercept of ((0,4) ext<.>) The second equation, (y=-x-5 ext<,>) is a linear equation with a slope of (-1) and a (y)-intercept of ((0,-5) ext<.>) We'll use this information to graph both lines.

The two lines intersect where (x=-6) and (y=1 ext<,>) so the solution of the system of equations is the point ((-6,1) ext<.>) We write the solution set as (<(-6,1)> ext<.>)

Example 5.1.9 .

Solve the following system of equations by graphing:

Since both line equations are given in standard form, we'll graph each one by finding the intercepts. Recall that to find the (x)-intercept of each equation, replace (y) with (0) and solve for (x ext<.>) Similarly, to find the (y)-intercept of each equation, replace (x) with (0) and solve for (y ext<.>)

For our first linear equation, we have:

So the intercepts are ((-12,0)) and ((0,4) ext<.>) Let's find a checkpoint for this line by choosing (x=-9 ext<.>) Notice that this (x) value falls between the (x)-coordinates of the two intercepts we've already found. Next, we plug that value in for (x) and solve for (y ext<:>)

So the checkpoint is ((-9,1) ext<.>)

For our second linear equation, we have:

So the intercepts are (left(frac<3><2>,0 ight)) and ((0,1) ext<.>) Let's find a checkpoint for this line by choosing (x=6 ext<.>) Notice that this (x) value does not fall between the (x)-coordinates of the two intercepts we've already found. However, the two intercepts are pretty close together, so when that's the case, it's best to pick a value on one side of an intercept, just not too far away. Next, we plug that value in for (x) and solve for (y ext<:>)

So the checkpoint is ((6,-3) ext<.>)

Now we can graph each line by plotting the intercepts and checkpoint, and connecting these points:

It appears that the solution of the system of equations is the point of intersection of those two lines, which is ((-3,3) ext<.>) Again, it's important to check to verify that this solution is correct. To check, we can substitute the values of (x) and (y) from the point ((-3,3)) into each equation:

So we have checked that ((-3,3)) is indeed the solution for the system. We write the solution set as (<(-3,3)> ext<.>)

Example 5.1.11 .

A college has a north campus and a south campus. The north campus has (18<,>000) students, and the south campus has (4<,>000) students. In the past five years, the north campus lost (4<,>000) students, and the south campus gained (3<,>000) students. If these trends continue, in how many years would the two campuses have the same number of students? Write and solve a system of equations modeling this problem.

Since all the given student counts are in the thousands, we make the decision to measure student population in thousands. So for instance, the north campus starts with a student population of (18) (thousand students).

The north campus lost (4) thousand students in (5) years. So it is losing students at a rate of (frac<4 ext< thousand>><5 ext< year>> ext<,>) or (frac<4><5>,frac< ext>< ext> ext<.>) This rate of change should be interpreted as a negative number, because the north campus is losing students over time. So we have a linear model with starting value (18) thousand students, and a slope of (-frac<4><5>) thousand students per year. In other words,

where (y) stands for the number of students in thousands, and (t) stands for the number of years into the future.

Similarly, the number of students at the south campus can be modeled by (y=frac<3><5>t+4 ext<.>) Now we have a system of equations:

We will graph both lines using their slopes and (y)-intercepts.

According to the graph, the lines intersect at ((10,10) ext<.>) So if the trends continue, both campuses will have (10<,>000) students (10) years from now. We will leave it up to you to check this solution.

Example 5.1.13 .

Solve the following system of equations by graphing:

Since both line equations are given in point-slope form, we can start by graphing the point indicated in each equation and use the slope to determine the rest of the line.

For our first equation, (y=3(x-2)+1 ext<,>) the point indicated in the equation is ((2,1)) and the slope is (3 ext<.>)

For our second equation, (y=-frac<1><2>(x+1)-1 ext<,>) the point indicated in the equation is ((-1,-1)) and the slope is (-frac<1><2> ext<.>)

Now we can graph each line by plotting the points and using their slopes.

It appears that the solution of the system of equations is the point of intersection of those two lines, which is ((1,-2) ext<.>) To check, we can substitute the values of (x) and (y) from the point ((1,-2)) into each equation:

So we have checked that ((2,-1)) is indeed the solution for the system. We write the solution set as (<(2,-1)> ext<.>)

Subsection 5.1.2 Special Systems of Equations

Recall that when we solved linear equations in one variable, we had two special cases. In one special case there was no solution and in the other case, there were infinitely many solutions. When solving systems of equations in two variables, we have two similar special cases.

Example 5.1.15 . Parallel Lines.

Let's look at the graphs of two lines with the same slope, (y=2x-4) and (y=2x+1 ext<:>)

For this system of equations, what is the solution? Since the two lines have the same slope they are and will never intersect. This means that there is no solution to this system of equations. We write the solution set as (emptyset ext<.>)

The symbol (emptyset) is a special symbol that represents the , a set that has no numbers in it. This symbol is ليس the same thing as the number zero. ال number of eggs in an empty egg carton is zero whereas the empty carton itself could represent the empty set. The symbols for the empty set and the number zero may look similar depending on how you write the number zero. Try to keep the concepts separate.

Example 5.1.17 . Coinciding Lines.

Next we'll look at the other special case. Let's start with this system of equations:

To solve this system of equations, we want to graph each line. The first equation is in slope-intercept form and can be graphed easily using its slope of (2) and its (y)-intercept of ((0,-4) ext<.>)

The second equation, (6x-3y=12 ext<,>) can either be graphed by solving for (y) and using the slope-intercept form or by finding the intercepts. If we use the intercept method, we'll find that this line has an (x)-intercept of ((2,0)) and a (y)-intercept of ((0,-4) ext<.>) When we graph both lines we get Figure 5.1.18.

Now we can see these are actually the نفس line, or . To determine the solution to this system, we'll note that they overlap everywhere. This means that we have an infinite number of solutions: الكل points that fall on the line. It may be enough to report that there are infinitely many solutions. In order to be more specific, all we can do is say that any ordered pair ((x,y)) satisfying the line equation is a solution. In set-builder notation, we would write (<(x,y)mid y=2x-4> ext<.>)

Remark 5.1.19 .

In Example 5.1.17, what would have happened if we had decided to convert the second line equation into slope-intercept form?

This is the literally the same as the first equation in our system. This is a different way to show that these two equations are equivalent and represent the same line. Any time we try to solve a system where the equations are equivalent, we'll have an infinite number of solutions.

Warning 5.1.20 .

Notice that for a system of equations with infinite solutions like Example 5.1.17, we didn't say that كل point was a solution. Rather, every point that falls on that line is a solution. It would be incorrect to state this solution set as “all real numbers” or as “all ordered pairs.”

List 5.1.21 . A summary of the three types of systems of equations and their solution sets

If two linear equations have different slopes, the system has one solution.

If the linear equations have the same slope with different (y)-intercepts, the system has no solution.

If two linear equations have the same slope and the same (y)-intercept (in other words, they are equivalent equations), the system has infinitely many solutions. This solution set consists of all ordered pairs on that line.

Exercises 5.1.3 Exercises

Warmup and Review

Find the line’s slope and (y)-intercept.

A line has equation (y=<4>x+5 ext<.>)

Find the line’s slope and (y)-intercept.

A line has equation (y=<5>x+2 ext<.>)

Find the line’s slope and (y)-intercept.

A line has equation (y=-x+6 ext<.>)

Find the line’s slope and (y)-intercept.

A line has equation (y=-x+3 ext<.>)

Find the line’s slope and (y)-intercept.

A line has equation (displaystyle< y= -frac<6x> <7>+5 > ext<.>)

Find the line’s slope and (y)-intercept.

A line has equation (displaystyle< y= -frac<8x> <7>- 10 > ext<.>)

Find the line’s slope and (y)-intercept.

A line has equation (displaystyle< y= frac <10>- 3 > ext<.>)

Find the line’s slope and (y)-intercept.

A line has equation (displaystyle< y= frac <2>- 10 > ext<.>)

Graph the equation (y=-3x ext<.>)

Graph the equation (y=frac<1><4>x ext<.>)

Graph the equation (y=frac<2><3>x+4 ext<.>)

Graph the equation (y=-2x+5 ext<.>)

Solve the linear equation for (y ext<.>)

Solve the linear equation for (y ext<.>)

Solve the linear equation for (y ext<.>)

Solve the linear equation for (y ext<.>)

Checking Solutions for System of Equations

Decide whether ((1,-2)) is a solution to the system of equations:

Decide whether ((3,5)) is a solution to the system of equations:

Decide whether ((4,1)) is a solution to the system of equations:

Decide whether ((5,-3)) is a solution to the system of equations:

Decide whether (left(<<2>>>,<<2>>> ight)) is a solution to the system of equations:

Decide whether (left(<<2>>>,<<2>>> ight)) is a solution to the system of equations:


4.1: Solving Systems by Graphing - Mathematics

Graphing Systems of Linear Equations

· Solve a system of linear equations by graphing .

· Determine whether a system of linear equations is consistent or inconsistent .

· Determine whether a system of linear equations is dependent or independent.

· Determine whether an ordered pair is a solution of a system of equations.

· Solve application problems by graphing a system of equations.

Recall that a linear equation graphs as a line, which indicates that all of the points on the line are solutions to that linear equation. There are an infinite number of solutions. If you have a system of linear equations, the solution for the system is the value that makes all of the equations true. For two variables and two equations, this is the point where the two graphs intersect. The coordinates of this point will be the solution for the two variables in the two equations.

The solution for a system of equations is the value or values that are true for الكل equations in the system. The graphs of equations within a system can tell you how many solutions exist for that system. Look at the images below. Each shows two lines that make up a system of equations.

If the graphs of the equations intersect, then there is one solution that is true for both equations.

If the graphs of the equations do not intersect (for example, if they are parallel), then there are no solutions that are true for both equations.

If the graphs of the equations are the same, then there are an infinite number of solutions that are true for both equations.

When the lines intersect, the point of intersection is the only point that the two graphs have in common. So the coordinates of that point are the solution for the two variables used in the equations. When the lines are parallel, there are no solutions, and sometimes the two equations will graph as the same line, in which case we have an infinite number of solutions.

Some special terms are sometimes used to describe these kinds of systems.

The following terms refer to how many solutions the system has.

o When a system has one solution (the graphs of the equations intersect once), the system is a consistent system of linear equations and the equations are independent.

o When a system has no solution (the graphs of the equations don’t intersect at all), the system is an inconsistent system of linear equations and the equations are independent.

o If the lines are the same (the graphs intersect at all points), the system is a consistent system of linear equations and the equations are dependent. That is, any solution of one equation must also be a solution of the other, so the equations depend on each other.

The following terms refer to whether the system has any solutions at all.

o The system is a consistent system of linear equations when it has solutions.

o The system is an inconsistent system of linear equations when it has no solutions.

We can summarize this as follows:

o A system with one or more solutions is consistent.

o A system with no solutions is inconsistent.

o If the lines are different, the equations are independent linear equations.

o If the lines are the same, the equations are dependent linear equations.

Using the graph of ذ = x و x + 2ذ = 6, shown below, determine how many solutions the system has. Then classify the system as consistent or inconsistent and the equations as dependent or independent.

The lines intersect at one point. So the two lines have only one point in common, there is only one solution to the system.

Because the lines are not the same the equations are independent.

Because there is just one solution, this system is consistent.

The system is consistent and the equations are independent.

Using the graph of ذ = 3.5x + 0.25 and 14x – 4ذ = -4.5, shown below, determine how many solutions the system has. Then classify the system as consistent or inconsistent and the equations as dependent or independent.

The lines are parallel, meaning they do not intersect. T here are no solutions to the system.

The lines are not the same, the equations are independent.

There are no solutions. Therefore, this system is inconsistent.

The system is inconsistent and the equations are independent.

Which of the following represents dependent equations and ثابتة systems?

Incorrect. The two lines in this system have the same slope, but different values for ب. This means the lines are parallel. The lines don’t intersect, so there are no solutions and the system is inconsistent. Because the lines are not the same the equations are independent. The correct answer is C.

Incorrect. The two lines in this system have different slopes and different values for ب. This means the lines intersect at one point. Since there is a solution, this system is consistent. And because the lines are not the same, the equations are independent. The correct answer is C.

صيح. The two lines in this system are the same can be rewritten as . Since there are many solutions, this system is consistent. The lines are identical so the equations are dependent.

Incorrect. The two lines in this system have different slopes and the same value for ب. This means the lines intersect at one point—the ذ-تقاطع. Recall that intersecting lines have one solution and therefore the system is consistent. Because the lines are not the same the equations are independent. The correct answer is C.

From the graph above, you can see that there is one solution to the system ذ = x و x + 2ذ = 6. The solution appears to be (2, 2). However, you must verify an answer that you read from a graph to be sure that it’s not really (2.001, 2.001) or (1.9943, 1.9943).

One way of verifying that the point does exist on both lines is to substitute the x- و ذ-values of the ordered pair into the equation of each line. If the substitution results in a true statement, then you have the correct solution!

Is (2, 2) a solution of the system ذ = x و x + 2ذ = 6?

(2, 2) is a solution of ذ = x.

(2, 2) is a solution of x + 2ذ = 6.

Since the solution of the system must be a solution to الكل the equations in the system, check the point in each equation. Substitute 2 for x and 2 for ذ in each equation.

(2, 2) is a solution to the system.

Since (2, 2) is a solution of each of the equations in the system, (2, 2) is a solution of the system.

أناs (3, 9) a solution of the system ذ = 3x and 2xذ = 6?

(3, 9) is a solution of ذ = 3x.

(3, 9) is ليس a solution of 2xذ = 6.

Since the solution of the system must be a solution to الكل the equations in the system, check the point in each equation. Substitute 3 for x and 9 for ذ in each equation.

(3, 9) is not a solution to the system.

Since (3, 9) is not a solution of one of the equations in the system, it cannot be a solution of the system.

Is (−2, 4) a solution of the system ذ = 2x and 3x + 2ذ = 1?

( − 2, 4) is not a solution of ذ = 2x.

( − 2, 4) is not a solution of 3x + 2ذ = 1.

Since the solution of the system must be a solution to الكل the equations in the system, check the point in each equation. Substitute −2 for x and 4 for ذ in each equation.

(−2, 4) is not a solution to the system.

Since ( − 2, 4) is not a solution to either of the equations in the system, ( − 2, 4) is not a solution of the system.

Remember, that in order to be a solution to the system of equations, the value of the point must be a solution for both equations. Once you find one equation for which the point is false, you have determined that it is not a solution for the system.

Which of the following statements is true for the system 2xذ = −3 and ذ = 4x – 1?

A) (2, 7) is a solution of one equation but not the other, so it يكون a solution of the system

B) (2, 7) is a solution of one equation but not the other, so it is ليس a solution of the system

C) (2, 7) is a solution of both equations, so it يكون a solution of the system

D) (2, 7) is ليس a solution of either equation, so it is ليس a solution to the system

A) (2, 7) is a solution of one equation but not the other, so it يكون a solution of the system

Incorrect. If the point were a solution of one equation but not the other, then it is ليس a solution of the system. In fact, the point (2, 7) is a solution of both equations, so it is a solution of the system. The two lines are not identical, so it is the only solution.

B) (2, 7) is a solution of one equation but not the other, so it is ليس a solution of the system

Incorrect. The point (2, 7) is a solution of both equations, so it is a solution of the system. The two lines are not identical, so it is the only solution.

C) (2, 7) is a solution of both equations, so it يكون a solution of the system

صيح. Substituting 2 for x and 7 for ذ gives true statements in both equations, so the point is a solution to both equations. That means it is a solution to the system. The two lines are not identical, so it is the only solution.

D) (2, 7) is ليس a solution of either equation, so it is ليس a solution to the system

Incorrect. Substituting 2 for x and 7 for ذ gives true statements in both equations, so the point lies on both lines. This means it is a solution to both equations. It is also the only solution to the system.

Graphing as a Solution Method

You can solve a system graphically. However, it is important to remember that you must check the solution, as it might not be accurate.

Find all solutions to the system ذx = 1 و ذ + x = 3.

First, graph both equations on the same axes.

The two lines intersect once. That means there is only one solution to the system.

The point of intersection appears to be (1, 2).

Read the point from the graph as accurately as possible.

(1, 2) is a solution of ذ – x = 1.

(1, 2) is a solution of ذ + x = 3.

Check the values in both equations. Substitute 1 for x and 2 for ذ. (1, 2) is a solution.

(1, 2) is the solution to the system y – x = 1 and

Since (1, 2) is a solution for each of the equations in the system, it is the solution for the system.

How many solutions does the system ذ = 2x + 1

and −4x + 2ذ = 2 have?

First, graph both equations on the same axes.

The two equations graph as the same line. So every point on that line is a solution for the system of equations.

The system ذ = 2x + 1 and −4x + 2ذ = 2 has an infinite number of solutions.

Which point is the solution to the system xذ = −1 and 2xذ = − 4? The system is graphed correctly below.

Incorrect. Substituting ( − 1, 2) into each equation, you find that it is a solution for 2xذ = − 4, but not for xذ = − 1. This means it cannot be a solution for the system. The correct answer is ( − 3, − 2).

Incorrect. Substituting ( − 4, − 3) into each equation, you find that it is a solution for xذ = − 1, but not for 2xذ = − 4. This means it cannot be a solution for the system. The correct answer is ( − 3, − 2).

صيح. Substituting ( − 3, − 2) into each equation shows this point is a solution for both equations, so it is the solution for the system.

Incorrect. Substituting ( − 1, − 1) into each equation, you find that it is neither a solution for 2xذ = − 4, nor for xذ = − 1. This means it cannot be a solution for the system. The correct answer is ( − 3, − 2).

Graphing a Real-World Context

Graphing a system of equations for a real-world context can be valuable in visualizing the problem. Let’s look at a couple of examples.

In yesterday’s basketball game, Cheryl scored 17 points with a combination of 2-point and 3-point baskets. The number of 2-point shots she made was one greater than the number of 3-point shots she made. How many of each type of basket did she score?

x = the number of 2-point shots made

ذ = the number of 3-point shots made

Assign variables to the two unknowns – the number of each type of shots.

2x = the points from 2-point baskets

3ذ = the points from 3-point baskets

Calculate how many points are made from each of the two types of shots.

The number of points Cheryl scored (17) =

the points from 2-point baskets + the points from 3-point baskets.

Write an equation using information given in the problem.

The number of 2-point baskets (x) = 1 + the number of 3-point baskets (ذ)

Write a second equation using additional information given in the problem.

Now you have a system of two equations with two variables.

Graph both equations on the same axes.

The two lines intersect, so they have only one point in common. That means there is only one solution to the system.

The point of intersection appears to be (4, 3).

Read the point of intersection from the graph.

Check (4, 3) in each equation to see if it is a solution to the system of equations.

(4, 3) is a solution to the equation.

Cheryl made 4 two-point baskets and 3 three-point baskets.

Andres was trying to decide which of two mobile phone plans he should buy. One plan, TalkALot, charged a flat fee of $15 per month for unlimited minutes. Another plan, FriendFone, charged a monthly fee of $5 in addition to charging 20¢ per minute for calls.

To examine the difference in plans, he made a graph:

If he plans to talk on the phone for about 70 minutes per month, which plan should he purchase?

Look at the graph. TalkALot is represented as ذ = 15, while FriendFone is represented as

The number of minutes is listed on the x-محور. متي x = 70, TalkALot costs $15, while FriendFone costs about $19.

Andres should buy theTalkALot plan.

Since TalkALot costs less at 70 minutes, Andres should buy that plan.

Note that if the estimate had been incorrect, a new estimate could have been made. Regraphing to zoom in on the area where the lines cross would help make a better estimate.

Paco and Lisel spent $30 going to the movies last night. Paco spent $8 more than Lisel.

لو ص = the amount that Paco spent, and L = the amount that Lisel spent, which system of equations can you use to figure out how much each of them spent?

Incorrect. ص + 8 = L reads: “Lisel spent $8 more than Paco.” The correct system is:

صيح. The total amount spent (ص + L) is 30, so one equation should be ص + L = 30. Paco spent 8 dollars more than Lisel, so L + 8 will give you the amount that Paco spent. This can be rewritten ص = L + 8.

Incorrect. ص + 30 = L reads: “Lisel spent $30 more than Paco.” The correct system is:

Incorrect. L + 30 = ص reads: “Paco spent $30 more than Lisel.” The correct system is:

A system of linear equations is two or more linear equations that have the same variables. You can graph the equations as a system to find out whether the system has no solutions (represented by parallel lines), one solution (represented by intersecting lines), or an infinite number of solutions (represented by two superimposed lines). While graphing systems of equations is a useful technique, relying on graphs to identify a specific point of intersection is not always an accurate way to find a precise solution for a system of equations.


Watch our free video on how to solve Systems of Equations by Graphing. This video shows how to solve problems that are on our free Graphing Systems of Equations worksheet that you can get by submitting your email above.

Watch the free Solving Systems of Equations by Graphing video on YouTube here: How to Solve Systems of Equations by Graphing

Video Transcript:

This video is about solving systems of equations by graphing. You can get the worksheet we use in this video for free by clicking on the link in the description below.

The first problem in our solving systems of equations by graphing worksheet gives us y equals 2x minus 3 and then y equals negative 3x plus 2. We’re looking for the solution of these two equations and the system that they make. What that means is we are looking for the point of intersection of the two equations. For example this isn’t the answer but for example if we had our graph here and we had one equation that went this way and the other equation that when you graphed it went like this, the solution to that equation would be the point of intersection. It’s the point that satisfies both equations, which would be the point that the two equations cross.

In order to solve systems of equations by graphing you have to graph both equations and then you have to find the point of intersection on the graph and then that coordinate will be your answer. In order to find the point of intersection we have to first graph both equations these equations are written in slope-intercept form, which means you can use the slope and you can use the y-intercept to graph them.

In the case of the first one we know that slope-intercept form is y equals MX plus B, we know M is the slope because it’s always with the X and we know that B is the y-intercept. In the case of this equation M which is the slope is 2 and then B which is the y-intercept is negative 3, and we’re going to graph this equation in red. We have the y-intercept of negative 3 and the slope of 2. We will go down to negative 3 for the y-intercept, which is right here and then we will follow the slope which is 2 or the rise over the run, which is 2 over 1. You go up 2 and then over 1. We’ll start at our y-intercept and we’ll go up 2 over 1 I’ll go up 2 over one and so on.

Then we have to do the same thing for y equals negative 3x plus two. We have to find the slope and the y-intercept and then graph it. In this case the slope is negative 3 and then the y-intercept is positive 2. We’re going to start our y-intercept which is 2. We go up to 2 and then we’re going to graph with our slope which is negative 3. Negative 3 over 1 or down 3 and then over 1. We’ll start at our point we’ll go down 1 2 3 over 1 down 1 2 3 over 1 and we’ll graph then once we have a couple points we can go ahead and connect them. This is our second equation which is in blue.

Now the solution to our system here is going to be the point of intersection, which is right here. It’s the only point that would be true for both equations or that would satisfy the system. This point here is X is 1 Y is negative 1. Our solution to the system of equations is x equals 1 and y equals negative 1. And then in coordinates it would be 1 negative 1 and that’s the solution.

Number three on the solving systems by graphing worksheet gives us our system which in this case is y equals 4x plus 3 and the second equation is y equals negative x minus 2. We have to do the same thing we did in the other problem. We’re going to go ahead and we’re going to find the slope and the y-intercept for each equation. The slope for y equals 4x plus 3 is 4 and then the y-intercept is positive 3 and then for the second equation we have y equals negative x minus 2. Our slope is even though it’s negative x what that’s like saying is that it’s actually like saying negative 1x. It’s not written but there is a one right there. That’s really negative 1x and then our y-intercept is negative two.

We’re going to go ahead and graph these. I’m gonna graph the first one in red. Our y-intercept for the first one is 3. We will go to our y axis and we’ll plot 3 and then the slope is 4. We will go up 4 and then over 1. We’ll go up 1 2 3 4 over 1 4 over 1 would be right here you could also go backwards so we’ll go down 1 2 3 4 and then this way. You can go in the negative direction and then you can go ahead and graph that equation or draw our line.

I should say then we’re gonna do the same thing for the blue equation which is y equals negative x minus 2. We’ll start at negative 2 which is right here our slope is negative 1x. We will go down 1 this time and then over 1. We’re going to go down 1 over 1 down 1 over 1 which goes in this direction and then you can always go backwards. You go up and left instead of down and right we’ll go this way. And then once we have our points plotted we can go ahead and draw our line.

And then once again in order to solve systems of equations by graphing you have to find the point of intersection between the equations. Our point of intersection is right there. It’s the spot where the two lines cross, in this case that would be negative 1 negative 1. X is negative 1 Y is negative 1. The solution X would be negative 1 Y would be negative 1 and in the terms of coordinates the solution would be negative 1 negative 1.


شاهد الفيديو: Wiskunde 4STW: Stelsels oplossen met de substitutie- en combinatiemethode oef. 12+13 (ديسمبر 2021).