مقالات

6.4: قاعدة السلسلة - الرياضيات


في حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير ، وجدنا أن إحدى قواعد التفاضل الأكثر فائدة هي قاعدة السلسلة ، والتي تسمح لنا بإيجاد مشتق تكوين وظيفتين. في هذا القسم ، ندرس امتدادات قاعدة السلسلة ونتعلم كيفية أخذ مشتقات تركيبات وظائف أكثر من متغير واحد.

قواعد السلسلة لمتغير واحد أو متغيرين مستقلين

تذكر أن قاعدة السلسلة الخاصة بمشتق مركب من وظيفتين يمكن كتابتها بالصيغة

[ dfrac {d} {dx} (f (g (x))) = f ′ (g (x)) g ′ (x). ]

في هذه المعادلة ، كلا من ( displaystyle f (x) ) و ( displaystyle g (x) ) هي وظائف لمتغير واحد. افترض الآن أن ( displaystyle f ) دالة من متغيرين وأن ( displaystyle g ) هي دالة لمتغير واحد. أو ربما كلاهما دالات لمتغيرين أو أكثر. كيف نحسب المشتق في هذه الحالات؟ تعطينا النظرية التالية الإجابة عن حالة متغير مستقل واحد.

قاعدة السلسلة لمتغير مستقل واحد

افترض أن ( displaystyle x = g (t) ) و ( displaystyle y = h (t) ) هي وظائف قابلة للتفاضل لـ ( displaystyle t ) و ( displaystyle z = f (x، y ) ) دالة تفاضلية لـ ( displaystyle x ) و ( displaystyle y ). ثم (displaystyle z = f (x (t)، y (t))) هي دالة قابلة للتفاضل لـ ((displaystyle t) و

[ dfrac {dz} {dt} = dfrac {∂z} {∂x} ⋅ dfrac {dx} {dt} + dfrac {∂z} {∂y} ⋅ dfrac {dy} {dt} ، ]

حيث يتم تقييم المشتقات العادية عند ( displaystyle t ) ويتم تقييم المشتقات الجزئية في ( displaystyle (x، y) ).

دليل - إثبات

يستخدم إثبات هذه النظرية تعريف تفاضل دالة من متغيرين. لنفترض أن F قابل للتفاضل عند النقطة ( displaystyle P (x_0، y_0)، ) حيث ( displaystyle x_0 = g (t_0) ) و ( displaystyle y_0 = h (t_0) ) لقيمة ثابتة لـ (displaystyle t_0). نرغب في إثبات أن ( displaystyle z = f (x (t)، y (t)) ) قابل للتفاضل عند ( displaystyle t = t_0 ) وأن المعادلة ثابتة عند هذه النقطة أيضًا.

بما أن ( displaystyle f ) قابل للاشتقاق عند ( displaystyle P ) ، فإننا نعلم ذلك

[z (t) = f (x، y) = f (x_0، y_0) + f_x (x_0، y_0) (x − x_0) + f_y (x_0، y_0) (y − y_0) + E (x، y )، لا يوجد رقم]

أين

[ lim _ {(x، y) → (x_0، y_0)} dfrac {E (x، y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} = 0 . لا يوجد رقم]

ثم نطرح ( displaystyle z_0 = f (x_0، y_0) ) من طرفي هذه المعادلة:

[ start {align *} z (t) −z (t_0) & = f (x (t)، y (t)) - f (x (t_0)، y (t_0)) & = f_x ( x_0، y_0) (x (t) −x (t_0)) + f_y (x_0، y_0) (y (t) −y (t_0)) + E (x (t)، y (t)). النهاية {محاذاة *} ]

بعد ذلك ، نقسم كلا الجانبين على ( displaystyle t − t_0 ):

[z (t) −z (t_0) t − t_0 = fx (x_0، y_0) (x (t) −x (t_0) t − t_0) + f_y (x_0، y_0) (y (t) y ( t_0) t − t_0) + E (x (t)، y (t)) t − t_0. لا يوجد رقم]

ثم نأخذ الحد كـ ( displaystyle t ) ( displaystyle t_0 ):

[ start {align *} lim_ {t → t_0} dfrac {z (t) −z (t_0)} {t − t_0} & = f_x (x_0، y_0) lim_ {t → t_0} left ( dfrac {x (t) −x (t_0)} {t − t_0} right) + f_y (x_0، y_0) lim_ {t → t_0} left ( dfrac {y (t) −y (t_0 )} {t − t_0} right) & + lim_ {t → t_0} dfrac {E (x (t)، y (t))} {t − t_0}. النهاية {محاذاة *} ]

الجانب الأيسر من هذه المعادلة يساوي ( (displaystyle dz / dt ) ، مما يؤدي إلى

[ dfrac {dz} {dt} = f_x (x_0، y_0) dfrac {dx} {dt} + f_y (x_0، y_0) dfrac {dy} {dt} + lim_ {t → t_0} dfrac {E (x (t)، y (t))} {t − t_0}. لا يوجد رقم]

يمكن إعادة كتابة المصطلح الأخير كـ

[ start {align *} lim_ {t → t_0} dfrac {E (x (t)، y (t))} {t − t_0} & = lim_ {t → t_0} dfrac {(E (س ، ص)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} dfrac { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} {t − t_0}) & = lim_ {t → t_0} ( dfrac {E (x، y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}}) lim_ {t → t_0} ( dfrac { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} {t − t_0}). نهاية {محاذاة *} ]

بما أن ( displaystyle t ) يقترب ( displaystyle t_0، (x (t)، y (t)) ) يقترب ( displaystyle (x (t_0)، y (t_0))، حتى نستطيع أعد كتابة المنتج الأخير كـ

[ displaystyle lim _ {(x، y) → (x_0، y_0)} dfrac {(E (x، y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2} } lim _ {(x، y) → (x_0، y_0)} ( dfrac { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} {t − t_0}). nonumber ]

بما أن الحد الأول يساوي صفرًا ، فإننا نحتاج فقط إلى توضيح أن النهاية الثانية محدودة:

[ begin {align *} lim _ {(x، y) → (x_0، y_0)} dfrac { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} {t − t +0} & = lim _ {(x، y) → (x_0، y_0)} sqrt { dfrac {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2} {(t − t_0) ^ 2 }} & = lim _ {(x، y) → (x_0، y_0)} sqrt { left ( dfrac {x − x_0} {t − t_0} right) ^ 2 + left ( dfrac {y − y_0} {t − t_0} right) ^ 2} & = sqrt { left [ lim _ {(x، y) → (x_0، y_0)} left ( dfrac {x − x_0 } {t − t_0} right) right] ^ 2 + left [ lim _ {(x، y) → (x_0، y_0)} left ( dfrac {y − y_0} {t − t_0} right ) حق] ^ 2}. نهاية {محاذاة *} ]

بما أن ( displaystyle x (t) ) و ( displaystyle y (t) ) كلاهما وظائف قابلة للتفاضل لـ ( displaystyle t ) ، فإن كلا الحدين داخل الجذر الأخير موجودان. لذلك ، هذه القيمة محدودة. هذا يثبت قاعدة السلسلة في ( displaystyle t = t_0 )؛ يتبع بقية النظرية من افتراض أن جميع الوظائف قابلة للتفاضل على مجالاتها بالكامل.

يكشف الفحص الدقيق للمعادلة عن نمط مثير للاهتمام. المصطلح الأول في المعادلة هو ( displaystyle dfrac {∂f} {∂x} cdot dfrac {dx} {dt} ) والمصطلح الثاني ( displaystyle dfrac {∂f} {∂ y} ⋅ dfrac {dy} {dt} ). تذكر أنه عند ضرب الكسور ، يمكن استخدام الإلغاء. إذا تعاملنا مع هذه المشتقات ككسور ، فإن كل منتج "يبسط" إلى شيء يشبه ( displaystyle ∂f / dt ). غالبًا ما تسمى المتغيرات ( displaystyle x ) و ( displaystyle y ) التي تختفي في هذا التبسيط المتغيرات الوسيطة: إنها متغيرات مستقلة للدالة ( displaystyle f ) ولكنها متغيرات تابعة للمتغير (( displaystyle t ). يظهر حدان في الجانب الأيمن من الصيغة ، و ( displaystyle f ) دالة من متغيرين. يعمل هذا النمط أيضًا مع وظائف أكثر من متغيرين ، كما نرى لاحقًا في هذا القسم.

مثال ( PageIndex {1} ): استخدام قاعدة السلسلة

احسب ( displaystyle dz / dt ) لكل من الوظائف التالية:

  1. (displaystyle z = f (x، y) = 4x ^ 2 + 3y ^ 2، x = x (t) = sin t، y = y (t) = cos t)
  2. (displaystyle z = f (x، y) = sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}، x = x (t) = e ^ {2t}، y = y (t) = e ^ {- t } )

المحلول

أ. لاستخدام قاعدة السلسلة ، نحتاج إلى أربع كميات - ( displaystyle ∂z / ∂x، ∂z / ∂y، dx / dt ) و ( displaystyle dy / dt ):

  • ( displaystyle dfrac {∂z} {∂x} = 8x )
  • ( displaystyle dfrac {dx} {dt} = cos t )
  • ( displaystyle dfrac {∂z} {∂y} = 6y )
  • ( displaystyle dfrac {dy} {dt} = - sin t )

الآن ، نستبدل كل من هؤلاء في المعادلة:

[ dfrac {dz} {dt} = dfrac { جزئي z} { جزئي x} cdot dfrac {dx} {dt} + dfrac { جزئي z} { جزئي y} cdot dfrac {dy} {dt} = (8x) ( cos t) + (6y) (- sin t) = 8x cos t − 6y sin t. لا يوجد رقم]

هذه الإجابة بها ثلاثة متغيرات. لتقليله إلى متغير واحد ، استخدم حقيقة أن ( displaystyle x (t) = sin t text {and} y (t) = cos t. ) نحصل عليها

[ displaystyle dfrac {dz} {dt} = 8x cos t − 6y sin t = 8 ( sin t) cos t − 6 ( cos t) sin t = 2 sin t cos t . لا يوجد رقم]

يمكن أيضًا حساب هذا المشتق عن طريق استبدال ( displaystyle x (t) ) و ( displaystyle y (t) ) في ( displaystyle f (x، y)، ) ثم التفريق فيما يتعلق بـ (displaystyle t):

[displaystyle z = f (x، y) = f (x (t)، y (t)) = 4 (x (t)) ^ 2 + 3 (y (t)) ^ 2 = 4 sin ^ 2 ر + 3 كوس ^ 2 ر. لا يوجد رقم]

ثم

[ displaystyle dfrac {dz} {dt} = 2 (4 sin t) ( cos t) +2 (3 cos t) (- sin t) = 8 sin t cos t − 6 الخطيئة t cos t = 2 sin t cos t، ]

وهو نفس الحل. ومع ذلك ، قد لا يكون من السهل دائمًا التمييز في هذا النموذج.

ب. لاستخدام قاعدة السلسلة ، نحتاج مرة أخرى إلى أربع كميات - ( displaystyle ∂z / ∂x، ∂z / dy، dx / dt، ) و ( displaystyle dy / dt: )

  • ( displaystyle dfrac {∂z} {∂x} = dfrac {x} { sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}} )
  • ( displaystyle dfrac {dx} {dt} = 2e ^ {2t} )
  • ( displaystyle dfrac {∂z} {∂y} = dfrac {−y} { sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}} )
  • ( displaystyle dfrac {dx} {dt} = - e ^ {- t}. )

نستبدل كل من هؤلاء في المعادلة:

[ start {align *} dfrac {dz} {dt} & = dfrac { جزئي z} { جزئي x} cdot dfrac {dx} {dt} + dfrac { جزئي z} { جزئية y} cdot dfrac {dy} {dt} & = left ( dfrac {x} { sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}} right) (2e ^ {2t}) + يسار ( dfrac {−y} { sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}} right) (−e ^ {- t}) & = dfrac {2xe ^ {2t} −ye ^ {- t}} { sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}}. نهاية {محاذاة *} ]

لتقليل هذا إلى متغير واحد ، نستخدم حقيقة أن ( displaystyle x (t) = e ^ {2t} ) و ( displaystyle y (t) = e ^ {- t} ). وبالتالي،

[ begin {align *} dfrac {dz} {dt} & = dfrac {2xe ^ 2t + ye ^ {- t}} { sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}} & = dfrac {2 (e ^ {2t}) e ^ {2t} + (e ^ {- t}) e ^ {- t}} { sqrt {e ^ {4t} −e ^ {- 2t}}} & = dfrac {2e ^ {4t} + e ^ {- 2t}} { sqrt {e ^ {4t} −e ^ {- 2t}}}. نهاية {محاذاة *} ]

للتخلص من الأسس السالبة ، نضرب الجزء العلوي في ( displaystyle e ^ {2t} ) والجزء السفلي في ( displaystyle sqrt {e ^ {4t}} ):

[ begin {align *} dfrac {dz} {dt} & = dfrac {2e ^ {4t} + e ^ {- 2t}} { sqrt {e ^ {4t} −e ^ {- 2t} }} ⋅ dfrac {e ^ {2t}} { sqrt {e ^ {4t}}} & = dfrac {2e ^ {6t} +1} { sqrt {e ^ {8t} −e ^ {2t}}} & = dfrac {2e ^ {6t} +1} { sqrt {e ^ {2t} (e ^ {6t} −1)}} & = dfrac {2e ^ { 6t} +1} {e ^ t sqrt {e ^ {6t} −1}}. النهاية {محاذاة *} ]

مرة أخرى ، يمكن أيضًا حساب هذا المشتق عن طريق استبدال ( displaystyle x (t) ) و ( displaystyle y (t) ) في ( displaystyle f (x، y)، ) ثم التفريق باحترام إلى (displaystyle t):

[ start {align *} z & = f (x، y) & = f (x (t)، y (t)) & = sqrt {(x (t)) ^ 2− (y (t)) ^ 2} & = sqrt {e ^ {4t} −e ^ {- 2t}} & = (e ^ {4t} −e ^ {- 2t}) ^ {1/2 }. نهاية {محاذاة *} ]

ثم

[ begin {align *} dfrac {dz} {dt} & = dfrac {1} {2} (e ^ {4t} −e ^ {- 2t}) ^ {- 1/2} left ( 4e ^ {4t} + 2e ^ {- 2t} right) & = dfrac {2e ^ {4t} + e ^ {- 2t}} { sqrt {e ^ {4t} −e ^ {- 2t }}}. النهاية {محاذاة *} ]

هذا هو نفس الحل.

تمرين ( PageIndex {1} )

احسب (dz / dt ) بالنظر إلى الوظائف التالية. عبر عن الإجابة النهائية بدلالة ( displaystyle t ).

[z = f (x، y) = x ^ 2−3xy + 2y ^ 2 ]

[x = x (t) = 3 sin2t، y = y (t) = 4 cos2t ]

تلميح

احسب ( displaystyle ∂z / ∂x، ∂z / dy، dx / dt، ) و ( displaystyle dy / dt ) ثم استخدم المعادلة.

إجابه

( displaystyle dfrac {dz} {dt} = dfrac {∂f} {∂x} dfrac {dx} {dt} + dfrac {∂f} {∂y} dfrac {dy} {dt} )

(displaystyle = (2x − 3y) (6 cos2t) + (- 3x + 4y) (- 8 sin2t))

(displaystyle = −92 sin 2t cos 2t − 72 (cos ^ 22t− sin ^ 22t))

( displaystyle = −46 sin 4t − 72 cos 4t. )

غالبًا ما يكون من المفيد إنشاء تمثيل مرئي للمعادلة لقاعدة السلسلة. وهذا ما يسمى ب مخطط الشجرة لقاعدة السلسلة لوظائف متغير واحد وتوفر طريقة لتذكر الصيغة (الشكل ( PageIndex {1} )). يمكن توسيع هذا الرسم البياني لوظائف أكثر من متغير واحد ، كما سنرى بعد قليل.

في هذا الرسم التخطيطي ، تتوافق الزاوية اليسرى الموجودة في أقصى اليسار مع ( displaystyle z = f (x، y) ). بما أن ( displaystyle f ) له اثنان المتغيرات المستقلة، هناك خطان قادمان من هذه الزاوية. يتوافق الفرع العلوي مع المتغير ( displaystyle x ) والفرع السفلي يتوافق مع المتغير ( displaystyle y ). نظرًا لأن كل من هذه المتغيرات يعتمد بعد ذلك على متغير واحد ( displaystyle t ) ، يأتي فرع واحد من ( displaystyle x ) ويأتي فرع واحد من ( displaystyle y ). أخيرًا ، يحتوي كل فرع في أقصى اليمين على ملصق يمثل المسار الذي تم قطعه للوصول إلى هذا الفرع. يتم الوصول إلى الفرع العلوي باتباع الفرع ( displaystyle x ) ، ثم الفرع t ؛ لذلك ، يتم تسميته ( displaystyle (∂z / ∂x) × (dx / dt). ) الفرع السفلي مشابه: أولاً الفرع ( displaystyle y ) ، ثم ( displaystyle t ) ) فرع. يسمى هذا الفرع ( displaystyle (∂z / ∂y) × (dy / dt) ). للحصول على صيغة ( displaystyle dz / dt، ) اجمع كل المصطلحات التي تظهر في أقصى يمين الرسم التخطيطي. هذا يعطينا المعادلة.

في الملاحظة ، ( displaystyle z = f (x، y) ) هي دالة لـ ( displaystyle x ) و ( displaystyle y ) وكلاهما ( displaystyle x = g (u، v ) و (displaystyle y = h (u، v)) هي وظائف من المتغيرات المستقلة (displaystyle u) و (displaystyle v).

قاعدة السلسلة لمتغيرين مستقلين

افترض (displaystyle x = g (u، v)) و (displaystyle y = h (u، v)) هي وظائف مختلفة لـ (displaystyle u) و (displaystyle v) ، و (displaystyle z = f (x، y)) هي دالة قابلة للتفاضل لـ ( displaystyle x ) و ( displaystyle y ). ثم ، (displaystyle z = f (g (u، v)، h (u، v))) هي دالة تفاضلية لـ (displaystyle u) و (displaystyle v) و

[ dfrac {∂z} {∂u} = dfrac {∂z} {∂x} dfrac {∂x} {∂u} + dfrac {∂z} {∂y} dfrac {∂x} {∂u} ]

و

[ dfrac {∂z} {∂v} = dfrac {∂z} {∂x} dfrac {∂x} {∂v} + dfrac {∂z} {∂y} dfrac {∂y} {∂v}. ]

يمكننا رسم مخطط شجرة لكل من هذه الصيغ كما يلي.

لاشتقاق صيغة ( displaystyle ∂z / ∂u ) ، ابدأ من الجانب الأيسر من الرسم التخطيطي ، ثم اتبع فقط الفروع التي تنتهي بـ ( displaystyle u ) وأضف المصطلحات التي تظهر في النهاية من تلك الفروع. بالنسبة إلى صيغة ( displaystyle ∂z / ∂v ) ، اتبع فقط الفروع التي تنتهي بـ ( displaystyle v ) وأضف المصطلحات التي تظهر في نهاية تلك الفروع.

هناك فرق مهم بين هاتين النظريتين لقاعدة السلسلة. في الملاحظة ، الجانب الأيسر من صيغة المشتق ليس مشتقًا جزئيًا ، ولكنه في الملاحظة هو كذلك. والسبب هو ، في الملاحظة ، أن ( displaystyle z ) هي في النهاية دالة لـ ( displaystyle t ) وحدها ، بينما في الملاحظة ، ( displaystyle z ) هي دالة لكليهما ( displaystyle u ) و (displaystyle v).

مثال ( PageIndex {2} ): استخدام قاعدة السلسلة لمتغيرين

احسب ( displaystyle ∂z / ∂u ) و ( displaystyle ∂z / ∂v ) باستخدام الدوال التالية:

[displaystyle z = f (x، y) = 3x ^ 2−2xy + y ^ 2، ؛ س = س (ش ، ت) = 3 ش + 2 ف ، ؛ y = y (u، v) = 4u − v. ]

المحلول

لتنفيذ قاعدة السلسلة لمتغيرين ، نحتاج إلى ستة مشتقات جزئية - ( displaystyle ∂z / ∂x، ؛ ∂z / ∂y، ؛ x / ∂u، ؛ x / ∂v، ؛ ∂y / ∂u، ) و ( displaystyle ∂y / ∂v ):

[ start {align *} dfrac {∂z} {∂x} & = 6x − 2y && dfrac {∂z} {∂y} = - 2x + 2y displaystyle dfrac {∂x} { ∂u} & = 3 && dfrac {∂x} {∂v} = 2 dfrac {∂y} {∂u} & = 4 && dfrac {∂y} {∂v} = - 1. النهاية {محاذاة *} ]

لإيجاد ( displaystyle ∂z / ∂u، ) نستخدم المعادلة:

[ start {align *} dfrac {∂z} {∂u} & = dfrac {∂z} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂u} + dfrac {∂z} {∂ y} ⋅ dfrac {∂y} {∂u} & = 3 (6x − 2y) +4 (−2x + 2y) & = 10x + 2y. النهاية {محاذاة *} ]

بعد ذلك ، نعوض ( displaystyle x (u، v) = 3u + 2v ) و ( displaystyle y (u، v) = 4u − v: )

[ start {align *} dfrac {∂z} {∂u} & = 10x + 2y & = 10 (3u + 2v) +2 (4u − v) & = 38u + 18v. النهاية {محاذاة *} ]

لإيجاد ( displaystyle ∂z / ∂v، ) نستخدم المعادلة:

[ start {align *} dfrac {∂z} {∂v} & = dfrac {∂z} {∂x} dfrac {∂x} {∂v} + dfrac {∂z} {∂y } dfrac {∂y} {∂v} & = 2 (6x − 2y) + (- 1) (- 2x + 2y) & = 14x − 6y. النهاية {محاذاة *} ]

ثم نعوض ( displaystyle x (u، v) = 3u + 2v ) و ( displaystyle y (u، v) = 4u − v: )

[ start {align *} dfrac {∂z} {∂v} & = 14x − 6y & = 14 (3u + 2v) −6 (4u − v) & = 18u + 34v end { محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {2} )

احسب ( displaystyle ∂z / ∂u ) و ( displaystyle ∂z / ∂v ) بالنظر إلى الوظائف التالية:

[z = f (x، y) = dfrac {2x − y} {x + 3y}، ؛ x (u، v) = e ^ {2u} cos 3v، ؛ y (u، v) = e ^ {2u} sin 3v. ]

تلميح

احسب ( displaystyle ∂z / ∂x، ؛ ∂z / ∂y، ؛ x / ∂u، ؛ x / ∂v، ؛ ∂y / ∂u، ) و ( displaystyle ∂y / ∂v ) ، ثم استخدم المعادلة والمعادلة.

إجابه

( displaystyle dfrac {∂z} {∂u} = 0، dfrac {∂z} {∂v} = dfrac {−21} {(3 sin 3v + cos 3v) ^ 2} )

قاعدة السلسلة المعممة

الآن بعد أن رأينا كيفية توسيع قاعدة السلسلة الأصلية لتشمل دوال متغيرين ، من الطبيعي أن نسأل: هل يمكننا تمديد القاعدة إلى أكثر من متغيرين؟ الجواب نعم ، مثل قاعدة السلسلة المعممة تنص على.

قاعدة السلسلة المعممة

لنفترض أن ( displaystyle w = f (x_1، x_2،…، x_m) ) دالة قابلة للتفاضل لـ ( displaystyle m ) متغيرات مستقلة ولكل ( displaystyle i∈ {1، ...، m} ، ) let ( displaystyle x_i = x_i (t_1، t_2،…، t_n) ) تكون دالة تفاضلية لـ ( displaystyle n ) متغيرات مستقلة. ثم

[ dfrac {∂w} {∂t_j} = dfrac {∂w} {∂x_1} dfrac {∂x_1} {∂t_j} + dfrac {∂w} {∂x_2} dfrac {∂x_2} {∂t_j} + ⋯ + dfrac {∂w} {∂x_m} dfrac {∂x_m} {∂t_j} ]

لأي ( displaystyle j∈ {1،2،…، n}. )

في المثال التالي نحسب مشتق دالة من ثلاثة متغيرات مستقلة حيث يعتمد كل من المتغيرات الثلاثة على متغيرين آخرين.

مثال ( PageIndex {3} ): استخدام قاعدة السلسلة العامة

احسب ( displaystyle ∂w / ∂u ) و ( displaystyle ∂w / ∂v ) باستخدام الدوال التالية:

[ start {align *} w & = f (x، y، z) = 3x ^ 2−2xy + 4z ^ 2 x & = x (u، v) = e ^ u sin v y & = y (u، v) = e ^ u cos v z & = z (u، v) = e ^ u. النهاية {محاذاة *} ]

المحلول

صيغ ( displaystyle ∂w / ∂u ) و ( displaystyle ∂w / ∂v ) هي

[ start {align *} dfrac {∂w} {∂u} & = dfrac {∂w} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂u} + dfrac {∂w} {∂ y} ⋅ dfrac {∂y} {∂u} + dfrac {∂w} {∂z} ⋅ dfrac {∂z} {∂u} dfrac {∂w} {∂v} & = dfrac {∂w} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂v} + dfrac {∂w} {∂y} ⋅ dfrac {∂y} {∂v} + dfrac {∂w} { ∂z} ⋅ dfrac {∂z} {∂v}. النهاية {محاذاة *} ]

إذن ، هناك تسعة مشتقات جزئية مختلفة يجب حسابها والتعويض عنها. نحتاج إلى حساب كل منهم:

[ begin {align *} & dfrac {∂w} {∂x} = 6x − 2y && dfrac {∂w} {∂y} = - 2x && dfrac {∂w} {∂z} = 8z & dfrac {∂x} {∂u} = e ^ u sin v && dfrac {∂y} {∂u} = e ^ u cos v && dfrac {∂z} {∂u} = e ^ u & dfrac {∂x} {∂v} = e ^ u cos v && dfrac {∂y} {∂v} = - e ^ u sin v && dfrac {∂z} {∂v } = 0. النهاية {محاذاة *} ]

الآن ، نعوض بكل منهما في الصيغة الأولى لحساب ( displaystyle ∂w / ∂u ):

[ start {align *} dfrac {∂w} {∂u} & = dfrac {∂w} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂u} + dfrac {∂w} {∂ y} ⋅ dfrac {∂y} {∂u} + dfrac {∂w} {∂z} ⋅ dfrac {∂z} {∂u} & = (6x − 2y) e ^ u sin v −2xe ^ u cos v + 8ze ^ u، end {align *} ]

ثم استبدل ( displaystyle x (u، v) = e ^ u sin v، y (u، v) = e ^ u cos v، ) and ( displaystyle z (u، v) = e ^ ش ) في هذه المعادلة:

[ start {align *} dfrac {∂w} {∂u} & = (6x − 2y) e ^ u sin v − 2xe ^ u cos v + 8ze ^ u & = (6e ^ u sin v − 2eu cos v) e ^ u sin v − 2 (e ^ u sin v) e ^ u cos v + 8e ^ {2u} & = 6e ^ {2u} sin ^ 2 v − 4e ^ {2u} sin v cos v + 8e ^ {2u} & = 2e ^ {2u} (3 sin ^ 2 v − 2 sin v cos v + 4). النهاية {محاذاة *} ]

بعد ذلك ، نحسب ( displaystyle ∂w / ∂v ):

[ start {align *} dfrac {∂w} {∂v} & = dfrac {∂w} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂v} + dfrac {∂w} {∂ y} ⋅ dfrac {∂y} {∂v} + dfrac {∂w} {∂z} ⋅ dfrac {∂z} {∂v} & = (6x − 2y) e ^ u cos v −2x (−e ^ u sin v) + 8z (0) ، end {align *} ]

ثم نستبدل ( displaystyle x (u، v) = e ^ u sin v، y (u، v) = e ^ u cos v، ) and ( displaystyle z (u، v) = e ^ u ) في هذه المعادلة:

[ start {align *} dfrac {∂w} {∂v} & = (6x − 2y) e ^ u cos v − 2x (−e ^ u sin v) & = (6e ^ u sin v − 2e ^ u cos v) e ^ u cos v + 2 (e ^ u sin v) (e ^ u sin v) & = 2e ^ {2u} sin ^ 2 v + 6e ^ {2u} sin v cos v − 2e ^ {2u} cos ^ 2 v & = 2e ^ {2u} ( sin ^ 2 v + sin v cos v− cos ^ 2 v) . النهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {3} )

احسب ( displaystyle ∂w / ∂u ) و ( displaystyle ∂w / ∂v ) بالنظر إلى الوظائف التالية:

[ start {align *} w & = f (x، y، z) = dfrac {x + 2y − 4z} {2x − y + 3z} x & = x (u، v) = e ^ {2u } cos3v y & = y (u، v) = e ^ {2u} sin 3v z & = z (u، v) = e ^ {2u}. النهاية {محاذاة *} ]

تلميح

احسب تسعة مشتقات جزئية ، ثم استخدم نفس الصيغ من المثال.

إجابه

( displaystyle dfrac {∂w} {∂u} = 0 )

( displaystyle dfrac {∂w} {∂v} = dfrac {15−33 sin 3v + 6 cos 3v} {(3 + 2 cos 3v− sin 3v) ^ 2} )

مثال ( PageIndex {4} ): رسم مخطط شجرة

قم بإنشاء مخطط شجرة للحالة متى

[w = f (x، y، z)، x = x (t، u، v)، y = y (t، u، v)، z = z (t، u، v) nonumber ]

واكتب الصيغ للمشتقات الجزئية الثلاثة لـ ( displaystyle w ).

المحلول

بدءًا من اليسار ، تحتوي الدالة ( displaystyle f ) على ثلاثة متغيرات مستقلة: ( displaystyle x ، y ) ، و ( displaystyle z ). لذلك ، يجب أن تنبثق ثلاثة فروع من العقدة الأولى. يحتوي كل فرع من هذه الفروع الثلاثة أيضًا على ثلاثة فروع ، لكل من المتغيرات ( displaystyle t ، u ، ) و ( displaystyle v ).

الصيغ الثلاث هي

[ start {align *} dfrac {∂w} {∂t} & = dfrac {∂w} {∂x} dfrac {∂x} {∂t} + dfrac {∂w} {∂y } dfrac {∂y} {∂t} + dfrac {∂w} {∂z} dfrac {∂z} {∂t} dfrac {∂w} {∂u} & = dfrac {∂ w} {∂x} dfrac {∂x} {∂u} + dfrac {∂w} {∂y} dfrac {∂y} {∂u} + dfrac {∂w} {∂z} dfrac {∂z} {∂u} dfrac {∂w} {∂v} & = dfrac {∂w} {∂x} dfrac {∂x} {∂v} + dfrac {∂w} { ∂y} dfrac {∂y} {∂v} + dfrac {∂w} {∂z} dfrac {∂z} {∂v}. النهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {4} )

قم بإنشاء مخطط شجرة للحالة متى

[displaystyle w = f (x، y)، x = x (t، u، v)، y = y (t، u، v) nonumber ]

واكتب الصيغ للمشتقات الجزئية الثلاثة لـ ( displaystyle w. )

تلميح

حدد عدد الفروع التي تنبثق من كل عقدة في الشجرة.

إجابه

[ start {align *} dfrac {∂w} {∂t} & = dfrac {∂w} {∂x} dfrac {∂x} {∂t} + dfrac {∂w} {∂y } dfrac {∂y} {∂t} dfrac {∂w} {∂u} & = dfrac {∂w} {∂x} dfrac {∂x} {∂u} + dfrac {∂ w} {∂y} dfrac {∂y} {∂u} dfrac {∂w} {∂v} & = dfrac {∂w} {∂x} dfrac {∂x} {∂v} + dfrac {∂w} {∂y} dfrac {∂y} {∂v} end {align *} ]

الاشتقاق الضمني

يوفر الاسترجاع من التمايز الضمني طريقة لإيجاد ( displaystyle dy / dx ) عندما يتم تعريف ( displaystyle y ) ضمنيًا كدالة لـ ( displaystyle x ). تتضمن الطريقة التفريق بين طرفي المعادلة التي تحدد الوظيفة فيما يتعلق بـ ( displaystyle x ) ، ثم حل ( displaystyle dy / dx. ) توفر المشتقات الجزئية بديلاً لهذه الطريقة.

ضع في اعتبارك القطع الناقص المعرف بالمعادلة ( displaystyle x ^ 2 + 3y ^ 2 + 4y − 4 = 0 ) كما يلي.

تحدد هذه المعادلة ضمنًا ( displaystyle y ) كدالة لـ ( displaystyle x ). على هذا النحو ، يمكننا إيجاد المشتق ( displaystyle dy / dx ) باستخدام طريقة التفاضل الضمني:

[ start {align *} dfrac {d} {dx} (x ^ 2 + 3y ^ 2 + 4y − 4) & = dfrac {d} {dx} (0) 2x + 6y dfrac { dy} {dx} +4 dfrac {dy} {dx} & = 0 (6y + 4) dfrac {dy} {dx} & = - 2x dfrac {dy} {dx} & = - dfrac {x} {3y + 2} end {align *} ]

يمكننا أيضًا تحديد دالة ( displaystyle z = f (x، y) ) باستخدام الجانب الأيسر من المعادلة التي تحدد القطع الناقص. ثم ( displaystyle f (x، y) = x ^ 2 + 3y ^ 2 + 4y − 4. ) يمكن أن يكون القطع الناقص ( displaystyle x ^ 2 + 3y ^ 2 + 4y − 4 = 0 ) الموصوفة بالمعادلة ( displaystyle f (x، y) = 0 ). يمنحنا استخدام هذه الدالة والنظرية التالية طريقة بديلة لحساب ( displaystyle dy / dx. )

النظرية: التمايز الضمني لوظيفة من متغيرين أو أكثر

افترض أن الدالة ( displaystyle z = f (x، y) ) تحدد ( displaystyle y ) ضمنيًا كدالة ( displaystyle y = g (x) ) لـ ( displaystyle x ) عبر المعادلة ( displaystyle f (x، y) = 0. ) ثم

[ dfrac {dy} {dx} = - dfrac {∂f / ∂x} {∂f / ∂y} ]

مقدم (displaystyle f_y (x، y) ≠ 0.)

إذا كانت المعادلة ( displaystyle f (x، y، z) = 0 ) تحدد ( displaystyle z ) ضمنيًا كدالة قابلة للتفاضل لـ ( displaystyle x ) و ( displaystyle y ) ، إذن

[ dfrac {dz} {dx} = - dfrac {∂f / ∂x} {∂f / ∂z} ؛ text {and} ؛ dfrac {dz} {dy} = - dfrac {∂f / ∂y} {∂f / ∂z} ]

طالما (displaystyle f_z (x، y، z) ≠ 0.)

المعادلة هي نتيجة مباشرة للمعادلة. على وجه الخصوص ، إذا افترضنا أن ( displaystyle y ) يتم تعريفه ضمنيًا على أنه دالة لـ ( displaystyle x ) عبر المعادلة ( displaystyle f (x، y) = 0 ) ، فيمكننا تطبيق قاعدة السلسلة للعثور على ( displaystyle dy / dx: )

[ start {align *} dfrac {d} {dx} f (x، y) & = dfrac {d} {dx} (0) dfrac {∂f} {∂x} ⋅ dfrac {dx} {dx} + dfrac {∂f} {∂y} ⋅ dfrac {dy} {dx} & = 0 dfrac {∂f} {∂x} + dfrac {∂f} {∂ y} ⋅ dfrac {dy} {dx} & = 0. النهاية {محاذاة *} ]

يعطي حل هذه المعادلة لـ ( displaystyle dy / dx ) المعادلة. يمكن اشتقاق المعادلة بطريقة مماثلة.

لنعد الآن إلى المشكلة التي بدأناها قبل النظرية السابقة. باستخدام الملاحظة والوظيفة ( displaystyle f (x، y) = x ^ 2 + 3y ^ 2 + 4y − 4، ) نحصل عليها

[ start {align *} dfrac {∂f} {∂x} & = 2x dfrac {∂f} {∂y} & = 6y + 4. النهاية {محاذاة *} ]

ثم تعطي المعادلة

[ dfrac {dy} {dx} = - dfrac {∂f / ∂x} {∂f / ∂y} = - dfrac {2x} {6y + 4} = - dfrac {x} {3y + 2} ، ]

وهي نفس النتيجة التي تم الحصول عليها من خلال الاستخدام السابق للاشتقاق الضمني.

مثال ( displaystyle PageIndex {5} ): تفاضل ضمني بالمشتقات الجزئية

  1. احسب ( displaystyle dy / dx ) إذا تم تعريف y ضمنيًا كدالة لـ ( displaystyle x ) عبر المعادلة ( displaystyle 3x ^ 2−2xy + y ^ 2 + 4x − 6y − 11 = 0 ). ما هي معادلة خط المماس للرسم البياني لهذا المنحنى عند النقطة ( displaystyle (2،1) )؟
  2. احسب ( displaystyle ∂z / ∂x ) و ( displaystyle ∂z / ∂y، ) معطى ( displaystyle x ^ 2e ^ y − yze ^ x = 0. )

المحلول

أ. اضبط ( displaystyle f (x، y) = 3x ^ 2−2xy + y ^ 2 + 4x − 6y − 11 = 0، ) ثم احسب ( displaystyle f_x ) و ( displaystyle f_y: f_x = 6x − 2y + 4 ) ( displaystyle f_y = −2x + 2y − 6. )

المشتق معطى بواسطة

[ displaystyle dfrac {dy} {dx} = - dfrac {∂f / ∂x} {∂f / ∂y} = dfrac {6x − 2y + 4} {- 2x + 2y − 6} = dfrac {3x − y + 2} {x − y + 3}. ]

يُعطى ميل خط المماس عند النقطة ( displaystyle (2،1) ) من خلال

[ displaystyle dfrac {dy} {dx} ∣ _ {(x، y) = (2،1)} = dfrac {3 (2) −1 + 2} {2−1 + 3} = dfrac {7} {4} ]

لإيجاد معادلة خط المماس ، نستخدم صيغة نقطة الميل (الشكل):

[ begin {align *} y − y_0 & = m (x − x_0) y − 1 & = dfrac {7} {4} (x − 2) y & = dfrac {7} {4} x - dfrac {7} {2} +1 y & = dfrac {7} {4} x− dfrac {5} {2}. end {align *} ]

ب. لدينا ( displaystyle f (x، y، z) = x ^ 2e ^ y − yze ^ x. ) لذلك ،

[ start {align *} dfrac {∂f} {∂x} & = 2xe ^ y − yze ^ x dfrac {∂f} {∂y} & = x ^ 2e ^ y − ze ^ x dfrac {∂f} {∂z} & = - ye ^ x end {align *} ]

باستخدام المعادلة ،

[ begin {align *} dfrac {∂z} {∂x} & = - dfrac {∂f / ∂x} {∂f / ∂y} && & dfrac {∂z} {∂y} & = - dfrac {∂f / ∂y} {∂f / ∂z} & = - dfrac {2xe ^ y − yze ^ x} {- ye ^ x} & text {and} & && = - dfrac {x ^ 2e ^ y − ze ^ x} {- ye ^ x} & = dfrac {2xe ^ y − yze ^ x} {ye ^ x} &&&& = dfrac {x ^ 2e ^ y− ze ^ x} {ye ^ x} end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {5} )

أوجد ( displaystyle dy / dx ) إذا تم تعريف ( displaystyle y ) ضمنيًا كدالة ( displaystyle x ) بواسطة المعادلة ( displaystyle x ^ 2 + xy y y ^ 2 + 7x −3y − 26 = 0 ). ما معادلة خط المماس للرسم البياني لهذا المنحنى عند النقطة ( displaystyle (3، −2) )؟

تلميح

احسب ( displaystyle ∂f / dx ) و ( displaystyle ∂f / dy ) ثم استخدم المعادلة.

المحلول

معادلة خط الظل: ( displaystyle y = - dfrac {11} {4} x + dfrac {25} {4} )

المفاهيم الرئيسية

  • تتضمن قاعدة السلسلة لوظائف أكثر من متغير واحد المشتقات الجزئية فيما يتعلق بجميع المتغيرات المستقلة.
  • تُفيد المخططات الشجرية في اشتقاق الصيغ لقاعدة السلسلة لوظائف أكثر من متغير واحد ، حيث يعتمد كل متغير مستقل أيضًا على متغيرات أخرى.

المعادلات الرئيسية

  • قاعدة السلسلة ، متغير مستقل واحد

( displaystyle dfrac {dz} {dt} = dfrac {∂z} {∂x} ⋅ dfrac {dx} {dt} + dfrac {∂z} {∂y} ⋅ dfrac {dy} { دت} )

  • قاعدة السلسلة ، متغيرين مستقلين

( displaystyle dfrac {dz} {du} = dfrac {∂z} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂u} + dfrac {∂z} {∂y} ⋅ dfrac { y} {∂u} dfrac {dz} {dv} = dfrac {∂z} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂v} + dfrac {∂z} {∂y} ⋅ dfrac {∂y} {∂v} )

  • قاعدة السلسلة المعممة

( displaystyle dfrac {∂w} {∂t_j} = dfrac {∂w} {∂x_1} dfrac {∂x_1} {∂t_j} + dfrac {∂w} {∂x_2} dfrac { x_1} {∂t_j} + ⋯ + dfrac {∂w} {∂x_m} dfrac {∂x_m} {∂t_j} )

قائمة المصطلحات

قاعدة السلسلة المعممة
امتدت قاعدة السلسلة إلى وظائف أكثر من متغير مستقل واحد ، حيث قد يعتمد كل متغير مستقل على واحد أو أكثر من المتغيرات الأخرى
متغير وسيط
بالنظر إلى تكوين الوظائف (على سبيل المثال ، ( displaystyle f (x (t)، y (t))) ) ، فإن المتغيرات الوسيطة هي المتغيرات المستقلة في الوظيفة الخارجية ولكنها تعتمد على المتغيرات الأخرى أيضًا ؛ في الوظيفة ( displaystyle f (x (t)، y (t))، ) المتغيرات ( displaystyle x ) و ( displaystyle y ) هي أمثلة للمتغيرات الوسيطة
مخطط الشجرة
يوضح ويشتق الصيغ لقاعدة السلسلة المعممة ، والتي يتم فيها حساب كل متغير مستقل

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


حساب التفاضل والتكامل - قاعدة السلسلة

في هذه الدروس ، ننظر في كيفية استخدام قاعدة السلسلة لإيجاد مشتق الدوال المركبة.

قاعدة السلسلة

يوضح الشكل التالي قاعدة السلسلة المستخدمة لإيجاد مشتق الدوال المركبة. قم بالتمرير لأسفل الصفحة لمزيد من الأمثلة والحلول.


في تدوين Leibniz ، إذا كان y = f (u) و u = g (x) كلاهما وظائف قابلة للتفاضل ، إذن

ملاحظة: في قاعدة السلسلة ، نعمل من الخارج إلى الداخل. نفرق الدالة الخارجية ثم نضربها في مشتقة الدالة الداخلية.

مثال:
أوجد مشتقات كل مما يلي

مثال:
اشتق y = (2x + 1) 5 (x 3 - x +1) 4

المحلول:
في هذا المثال ، نستخدم قاعدة المنتج قبل استخدام قاعدة السلسلة.

قاعدة السلسلة: قاعدة القوة العامة

قاعدة القوة العامة هي حالة خاصة لقاعدة السلسلة. وهي مفيدة عند إيجاد مشتقة دالة مرفوعة للقوة n. تنص قاعدة القوة العامة على أن هذا المشتق يساوي n من الدالة المرفوعة إلى القوة (n-1) th مضروبة في مشتق الدالة.

يقدم هذا البرنامج التعليمي قاعدة السلسلة ونسخة متخصصة تسمى قاعدة القوة المعممة. يتم عرض العديد من الأمثلة.
خطأ: في الساعة (9:00) تم تغيير السؤال من x 2 إلى x 4

قاعدة السلسلة: القاعدة الأسية العامة

القاعدة الأسية هي حالة خاصة لقاعدة السلسلة. يكون مفيدًا عند إيجاد مشتق e مرفوعًا إلى أس دالة. تنص القاعدة الأسية على أن هذا المشتق هو e أس الدالة مضروبًا في مشتق الدالة.

مشتقات الدوال الأسية. فقط بعض الأمثلة لإيجاد مشتقات وظائف تتضمن الأسي.

قاعدة السلسلة: قاعدة اللوغاريتم العامة

قاعدة اللوغاريتم حالة خاصة لقاعدة السلسلة. وهي مفيدة عند إيجاد مشتق اللوغاريتم الطبيعي للدالة. تنص قاعدة اللوغاريتم على أن هذا المشتق هو 1 مقسومًا على الدالة مضروبًا في مشتق الدالة.

أمثلة باستخدام قاعدة السلسلة

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


قاعدة السلسلة

تتيح لنا قاعدة السلسلة اشتقاق دالة تحتوي على دالة أخرى. ماذا يعني ذلك؟ لنبدأ بمثال:

لقد أخذنا المشتقة بالنسبة إلى x باتباع قواعد الاشتقاق الأساسية. من السهل اشتقاق الدالة (f (x) ) لأنها كثيرة حدود بسيطة. لكن ماذا لو كان لدينا شيء أكثر تعقيدًا؟

هذا هو المكان الذي نستخدم فيه حكم السلسلة، والتي تم تعريفها أدناه:

ولكن ماذا يعني ذلك حقا.

تنص قاعدة السلسلة على أنه إذا كانت إحدى الوظائف تعتمد على أخرى ، ويمكن كتابتها على أنها & quotfunction لوظيفة & quot ، فإن المشتق يأخذ شكل مشتق الدالة بأكملها مضروبًا في مشتق الدالة الداخلية. ربما بدا ذلك أكثر تعقيدًا من الصيغة!

دعونا نرى كيف ينطبق ذلك على المثال الذي ذكرته أعلاه.

$ F (x) = (4x + 4) ^ 3 $ F (x) = (g (x)) ^ 3 $ g (x) = 4x + 4 $

أخذت المحتويات الداخلية للوظيفة وأعدت تعريفها كـ (g (x) ). الآن الوظيفة الأصلية ، (F (x) ) ، هي وظيفة دالة! انظر كيف يعمل؟ الآن عندما نفرق كل جزء ، يمكننا إيجاد مشتق (F (x) ):

كان العثور على (g (x) ) بسيطًا جدًا حيث يمكننا بسهولة أن نرى من المعادلات الأخيرة أنها تساوي (4x + 4 ) لكن كيف وجدنا (f '(x) )؟ حسنًا ، اكتشفنا أن (f (x) ) هو (x ^ 3 ). المشتق (f '(x) ) هو ببساطة (3x ^ 2 ) ، إذن. نظرًا لأننا في هذه الحالة مهتمون بـ (f (g (x)) ) ، فإننا نقوم فقط بالتوصيل ((4x + 4) ) للعثور على (f '(g (x)) ) يساوي (3 (g (x)) ^ 2 ).

إذن ما هو الجواب النهائي؟ تذكر ما تقوله قاعدة السلسلة:

وجدنا بالفعل (f '(g (x)) ) و (g' (x) ) أعلاه. اضربهم معًا:

كان ذلك معقدًا حقًا !! حسنًا ، ليس حقًا. إليك & quot إجابة قصيرة & quot لما فعلته للتو. تظاهرت أن الجزء الموجود داخل الأقواس مجرد قطعة غير معروفة. ثم ميزت النتيجة كالمعتاد وضربت النتيجة بمشتق تلك القطعة!


6.4: قاعدة السلسلة - الرياضيات

كدافع لقاعدة السلسلة ، ضع في اعتبارك الوظيفة

Since f ( x ) is a polynomial function, we know from previous pages that f '( x ) exists. Naturally one may ask for an explicit formula for it. One tedious way to do this is to develop (1+ x 2 ) 10 using the Binomial Formula and then take the derivative. Of course, it is possible to do this, but it won't be much fun. But what if we have to deal with (1+ x 2 ) 100 ! Then I hope you agree that the Binomial Formula is not the way to go anymore.

So what do we do? The answer is given by the Chain Rule . Before we discuss the Chain Rule formula, let us give another example.

مثال. Let us find the derivative of . One way to do that is through some trigonometric identities. Indeed, we have

So we will use the product formula to get

Using the trigonometric formula , we get

Once this is done, you may ask about the derivative of ? The answer can be found using similar trigonometric identities, but the calculations are not as easy as before. Again we will see how the Chain Rule formula will answer this question in an elegant way.

In both examples, the function f ( x ) may be viewed as:

where g ( x ) = 1+ x 2 and h ( x ) = x 10 in the first example, and and g ( x ) = 2 x in the second. We say that f ( x ) is the composition of the functions g ( x ) and h ( x ) and write

The derivative of the composition is given by the formula

Another way to write this formula is

where and u = g ( x ). This second formulation (due to Leibniz) is easier to remember and is the formulation used almost exclusively by physicists.

مثال. Let us find the derivative of

We have , where g ( x ) = 1+ x 2 and h ( x ) = x 100 . Then the Chain rule implies that f '( x ) exists, which we knew since it is a polynomial function, and

مثال. Let us find the derivative of

We have , where g ( x ) = 5 x and . Then the Chain rule implies that f '( x ) exists and

In fact, this is a particular case of the following formula

The following formulas come in handy in many areas of techniques of integration.


A free online chain rule calculator to differentiate a function based on the chain rule of derivatives. In this chain rule derivatives calculator enter any function and click calculate to differentiate it in seconds.

ال online Chain rule derivatives calculator computes a derivative of a given function with respect to a variable x using analytical differentiation. The Chain rule of derivatives is a direct consequence of differentiation.

Chain Rule in Derivatives:
The Chain rule is a rule in calculus for differentiating the compositions of two or more functions. All functions are functions of real numbers that return real values.

Find Derivatives Using Chain Rules:
The Chain rule states that the derivative of f(g(x)) is f'(g(x)).g'(x). It helps to differentiate composite functions. Use this Chain rule derivatives calculator to find the derivative of a function that is the composition of two functions for which derivatives exist with ease.


6.4: Chain Rule - Mathematics

SOLUTION 1 : Let variables x and y represent two nonnegative numbers. The sum of the two numbers is given to be

We wish to MAXIMIZE the PRODUCT

However, before we differentiate the right-hand side, we will write it as a function of x only. Substitute for y getting

Now differentiate this equation using the product rule and chain rule, getting

P ' = x (2) ( 9- x )(-1) + (1) ( 9- x ) 2

Note that since both x and y are nonnegative numbers and their sum is 9, it follows that . See the adjoining sign chart for P ' .

is the largest possible product.

Click HERE to return to the list of problems.

SOLUTION 2 : Let variable x be the width of the pen and variable y the length of the pen.

The total amount of fencing is given to be

500 = 5 (width) + 2 (length) = 5 x + 2 y ,

We wish to MAXIMIZE the total AREA of the pen

However, before we differentiate the right-hand side, we will write it as a function of x only. Substitute for y getting

Now differentiate this equation, getting

Note that since there are 5 lengths of x in this construction and 500 feet of fencing, it follows that . See the adjoining sign chart for A ' .

is the largest possible area of the pen.

Click HERE to return to the list of problems.

SOLUTION 3 : Let variable x be the length of one edge of the square base and variable y the height of the box.

The total surface area of the box is given to be

48 = (area of base) + 4 (area of one side) = x 2 + 4 ( xy ) ,

We wish to MAXIMIZE the total VOLUME of the box

V = (length) (width) (height) = ( x ) ( x ) ( y ) = x 2 y .

However, before we differentiate the right-hand side, we will write it as a function of x only. Substitute for y getting

Now differentiate this equation, getting

But since variable x measures a distance and x > 0 . Since the base of the box is square and there are 48 ft. 2 of material, it follows that . See the adjoining sign chart for V ' .

is the largest possible volume of the box.

Click HERE to return to the list of problems.

SOLUTION 4 : Let variable r be the radius of the circular base and variable h the height of the cylinder.

The total surface area of the cylinder is given to be

(area of base) + (area of the curved side)

We wish to MAXIMIZE the total VOLUME of the cylinder

However, before we differentiate the right-hand side, we will write it as a function of r only. Substitute for h getting

Now differentiate this equation, getting

But since variable r measures a distance and r > 0 . Since the base of the box is a circle and there are ft. 2 of material, it follows that . See the adjoining sign chart for V ' .

is the largest possible volume of the cylinder.

Click HERE to return to the list of problems.

SOLUTION 5 : Let variable x be the length of one edge of the square cut from each corner of the sheet of cardboard.

After removing the corners and folding up the flaps, we have an ordinary rectangular box.

We wish to MAXIMIZE the total VOLUME of the box

V = (length) (width) (height) = (4-2 x ) (3-2 x ) ( x ) .

Now differentiate this equation using the triple product rule, getting

V ' = (-2) (3-2 x ) ( x ) + (4-2 x ) (-2) ( x ) + (4-2 x ) (3-2 x ) (1)

= -6 x + 4 x 2 - 8 x + 4 x 2 + 4 x 2 - 14 x + 12

for (Use the quadratic formula.)

But since variable x measures a distance. In addition, the short edge of the cardboard is 3 ft., so it follows that . See the adjoining sign chart for V ' .

is largest possible volume of the box.

Click HERE to return to the list of problems.

SOLUTION 6 : Let variable x be the x-intercept and variable y the y-intercept of the line passing throught the point (8/9, 3) .

Set up a relationship between x and y using similar triangles.

We wish to MINIMIZE the length of the HYPOTENUSE of the triangle

However, before we differentiate the right-hand side, we will write it as a function of x only. Substitute for y getting

Now differentiate this equation using the chain rule and quotient rule, getting

(Factor a 2 out of the big brackets and simplify.)

By factoring out x , it follows that

so that (If AB = 0 , then A =0 or B =0 .)

(Impossible, since x > 8/9. Why ?) or

See the adjoining sign chart for H ' .

is the shortest possible hypotenuse.

Click HERE to return to the list of problems.

SOLUTION 7 : Let ( x , y ) represent a randomly chosen point on the graph of .

We wish to MINIMIZE the DISTANCE between points ( x , y ) and (4, 0) ,

However, before we differentiate the right-hand side, we will write it as a function of x only. Substitute for y getting


إصدار التحميلات آخر تحديث
5.0.0-pre.6 204 16.06.2021
5.0.0-pre.5 228 29.05.2021
5.0.0-pre.4 153 22.05.2021
5.0.0-pre.3 715 10.03.2021
5.0.0-pre.2 118 09.03.2021
5.0.0-pre.1 297 08.03.2021
4.6.4 3𧒊 28.05.2021
4.6.3 6𧏎 27.03.2021
4.6.2 1𧉶 19.03.2021
4.6.1 529 19.03.2021
4.6.0 383 18.03.2021
4.5.0 12𧄱 14.02.2021
4.4.0 8𧄝 16.12.2020
4.3.0 4𧏙 21.11.2020
4.2.0 1𧏲 12.11.2020
4.1.0 1𧊹 06.11.2020
4.0.6 2𧍹 18.10.2020
4.0.5 402 18.10.2020
4.0.4 383 17.10.2020
4.0.3 664 14.10.2020
4.0.2 1𧏷 11.10.2020
4.0.1 1𧇸 06.10.2020
4.0.0 2𧆦 02.10.2020
4.0.0-pre9.10 218 01.10.2020
4.0.0-pre9.9 170 30.09.2020
4.0.0-pre9.8 160 29.09.2020
4.0.0-pre9.7 603 20.09.2020
4.0.0-pre9.6 321 14.09.2020
4.0.0-pre9.5 147 14.09.2020
4.0.0-pre9.4 622 30.08.2020
عرض أقل
  • last updated 28.05.2021
  • Contact owners
  • نقل
  • Download package (390.72 KB)
  • Open in Package Explorer
  • />Open in FuGet Package Explorer

Divisibility Tests

In this article 'number' will always mean 'positive whole number'.

Multiples of 2 and 5

The easiest divisibility tests are for $2$ and $5$.
A number is divisible by $2$ if its last digit is even, and by $5$ if its last digit is $ or $5$.

Click to read why these tests work.

These tests refer to 'digits' in the (usual) base $10$ representation of the number, so that (for example) $2645$ represents the number $(2 imes 1000)+(6 imes 100)+(4 imes 10)+(5 imes 1)$.

Every number is (a multiple of $10$) + (last digit). For example, $2645 = 264 imes10+5$

So every number is (a multiple of $2$ and $5$) + (last digit).

If the last digit is a multiple of $2$ (or $5$), then the whole number must be.

Multiples of 4 and 8

A number is divisible by $4$ if the number represented by its last two digits is a multiple of $4$, and it is a divisible by $8$ if the number represented by its last three digits is a multiple of $8$.

Click to read why these tests work.

This is similar to the tests for divisibility by $2$ and $5.$

Every number is (a multiple of $100$) + (last two digits).

Since $100= 4 imes25$, every number is (a multiple of $4$) + (last two digits). So if the last two digits make a number that is a multiple of $4,$ then the whole number must be a multiple of $4.$

For example, $2646 = 100 imes26 + 46 = $ a multiple of $4 + 46.$
$46$ isn't a multiple of $4,$ so $2646$ isn't either.

Every number is (a multiple of $1000$) + (last three digits).

Since $1000= 8 imes125$, every number is (a multiple of $8$) + (last three digits). This means that the whole number is divisible by $8$ if the last three digits represent a number that is divisible by $8.$

For example, $62432 = 1000 imes62 + 432 = $ a multiple of $8 + 432.$
$432$ is a multiple of $8,$ so $62432$ is as well.

ملحوظة: The last three digits can represent a large number, like $928.$ You can use your knowledge of the $8$ times table and split up large numbers to see whether they are multiples of $8.$ For example, $928 = 800 + 128 = 800 + 64 + 64$ so $928$ is a multiple of $8.$

Multiples of 3 and 9

A number is divisible by $3,$ or $9,$ if the sum of its digits is divisible by $3$ or $9.$

For example, $89474$ is divisible by $3$ if $8+9+4+7+4 = 32$ is divisible by $3,$ (which is divisible by $3$ if $3+2=5$ is divisible by $3).$ Since it's not, $89474$ is not divisible by $3.$

Click to read why these tests work.

$10$ is $9 + 1$ = (a multiple of $3$) + $1$
So $20$ is $(2 imes 9) + 2$ = (a multiple of $3$) + $2$
$30$ is $(3 imes 9) + 3$ = (a multiple of $3$) + $3$.
. and $80$ is $(8 imes 9) + 8$ = (a multiple of $3$) + $8$.

. and so $81$ = (a multiple of $3$) $ + 8 + 1$
and so if $8 + 1$ = a multiple of $3$, $81$ is a multiple of $3$

and $82$ = (a multiple of $3$) $ + 8 + 2$
and so if $8 + 2$ = a multiple of $3$, $82$ is a multiple of $3$

and $86$ = (a multiple of $3$) $ + 8 + 6$
and so if $8 + 6$ = a multiple of $3$, $86$ is a multiple of $3$

For $257$, we note that $100$ is $99 + 1$, so $200=(2 imes 99)+2$ = (a multiple of $3$) + $2$

Therefore $257=(($a multiple of $3)+2)+(($a multiple of $3)+5)+7 = ($a multiple of $3) + 2 + 5 + 7$

Once again, $257$ is a multiple of 3 if and only if the sum of its digits is a multiple of $3$. Since $2 + 5 + 7$ is not a multiple of $3$, neither is $257$.

In general, $10=9+1$, $100=99+1$, $1000=999+1$ and so on, so every 'power' of $10$ (like $10$, $100$, $1000$, $10000$ and so on) is just $1$ more than a multiple of $3$. This means the test can be applied to a number with any number of digits.

Because $10=9+1$, $100=99+1$, $1000=999+1$ and so on, we can see that every power of $10$ is just $1$ more than a multiple of $9$, and so this method for divisibility by $3$ works for $9$ too.

Multiples of 6, 12 and other composite (non-prime) numbers

A number is divisible by $6$ if and only if it is divisible by both $2$ and $3$. It is divisible by $12$ if and only if it is divisible by both $3$ and $4$.

Click to read why these tests work and to find out about tests for other composite numbers.

Every number can be written as the product of its prime factors, for example:
$6 = 2 imes3$
$12 = 2^2 imes3$
$120 = 2^3 imes3 imes5$

So every number that is a multiple of $2$ AND $3$ must be a mutliple $6$
على سبيل المثال $150$ is a multiple of $2$ and of $3$ so it must be a multiple of $6$
$150 = 2 imes3 imes5^2 = 6 imes5^2$

And every number that is a multiple of $2^2$ AND $3$ must be a multiple of $12$
على سبيل المثال $156$ is a multiple of $2^2$ and of $3$ so it must be a multiple of $12$
$156 = 2^2 imes3 imes13 = 12 imes13$

And every number that is a multiple of $2^3$ AND $3$ AND $5$ must be a multiple of $120$
على سبيل المثال $600$ is a multiple of $2^3$ and $3$ and $5$ so it must be a multiple of $120$
$600 =2^3 imes3 imes5^2 = 120 imes5$

For any number $n$:
- find the prime factorisation of $n$, so $n$ is expressed as the product of prime numbers, i.e. $n=p_1^ imes p_2^ imes . imes p_k^$
- if a number is a multiple of $p_1^$ AND $p_2^$ AND . AND $p_k^$, then the number must also be a multiple of $n$

Multiples of 11

To determine whether a number is a multiple of $11$, take the ones/units digit, then subtract the tens digit, add the hundreds digit, subtract the thousands digit, and so on until you've added or subtracted all of the digits. If the result is a multiple of $11,$ then so is the original number.

Click to see how this test works.

Whereas every power of $10$ is $1$ more than a multiple of $3$ (or $9$), an alternating pattern emerges for multiples of $11$:
$10$ is $1$ less than $11$
$100$ is $1$ more than $9 imes 11$
$1000$ is $1$ less than $91 imes 11$
$10000$ is $1$ more than $909 imes 11$
$100000$ is $1$ less than $9091 imes 11$
$1000000$ is $1$ more than $90909 imes 11$
وهكذا.

If we write `$m11

6.4: Chain Rule - Mathematics

Question: How will I make my money make me money?

  • Stocks (Kyree)
  • Government Bonds
  • Bonds (Tyrell)
  • 401K (Dartaijah)
  • Traditional IRA vs. Roth IRA
  • ETF (Electronically Traded Funds) (Kayla)
  • Mutual Funds (Kyleel)
  • Purchasing a Home

  • Describe the type of security you choose.
  • How much money do you need to invest in this security?
  • How do you make money through this security?
  • What expenses are associated with this security?
  • How risky is this security and what makes it risky?
  • How would you keep track of the investment?

Choose three problems, 20 minutes.
1. A farmer has 2400 ft of fencing and wants to fence off a rectangular field that borders a straight river. He needs no fence along the river. What are the dimensions of the field that has the largest area?

2. We need to enclose a field with a rectangular fence. We have 500 ft of fencing material and a building is on one side of the field and so won’t need any fencing. Determine the dimensions of the field that will enclose the largest area.

3. We want to construct a box whose base length is 3 times the base width. The material used to build the top and bottom cost $10/ft2 and the material used to build the sides cost $6/ft2 . If the box must have a volume of 50 ft3 determine the dimensions that will minimize the cost to build the box.

4. We want to construct a box with a square base and we only have 10 m2 of material to use in construction of the box. Assuming that all the material is used in the construction process determine the maximum volume that the box can have.

5. A manufacturer needs to make a cylindrical can that will hold 1.5 liters of liquid. Determine the dimensions of the can that will minimize the amount of material used in its construction.

LIMITS REVIEW QUIZ 4/5
See "Limits MC Practice" for practice problems
Quiz MUST be taken DURING CLASS this week (or you will receive a 0)

كمية Problem Typeنقاط
2 Power Rule 20 points
2 Product Rule 20 points
2 Quotient Rule 20 points
2 Chain Rule 20 points
1 Free Response 20 points
9 مجموع 100 points

Complete FIVE (5) released questions using the Free Response Guide
http://apcentral.collegeboard.com/apc/members/exam/exam_information/232050.html

Complete 3 of each: power rule, product rule, quotient rule, chain rule from the eCalc Tests documents

Visit College Board website for Released AP Exam Questions:
1. http://apcentral.collegeboard.com/apc/members/exam/exam_information/232050.html
2. Review answers to questions from sample test under 2015 section
3. HW: Go to 2016. Choose two questions to answer using our problem solving process.

1. What is the problem asking.
( is asking about f(x) f ' (x) or f '' (x) )
2. Graph and visual.
3. What info do you need? (are you given f(x) f ' (x) or f '' (x) ) 4. Show math and full sentence explanation.

2/28:

An oil slick has area y = 30x^3 + 100x square meters x minutes after a tanker explosion. Find the average rate of change in area with respect to time during the period from x = 2 to x = 3 and from x = 2 to x = 2.1. What is the instantaneous rate of change of area with respect to time at x = 2?

A circle with radius r millimeters has area A = πr^ 2 square millimeters. Find the rate of increase of area with respect to radius at r, = 5. Interpret your answer geometrically.

Suppose that the price of pork P depends on the supply S by the formula P = 160 - 3s + (0.01)S^2. Find the rate of change of P with respect to S when S = 50.

A reservoir contains 10^8 - 10^4t - 80t^2 - 10t^3 + 5t^5 liters of water at time I, where t is the time in hours from when the gates are opened. How many liters per hour are leaving the reservoir after one hour?

Suppose that x = 0 represents the level of the Golden Gate Bridge and that x = f(t) = 8 + 6t - 5t^2 represents the position of a stone at time t in seconds.

Suppose that x = j(t) = (1/4) t^2 - t + 2 denotes the position of a bus at time t. (a) Find the velocity as a function of time plot its graph. (b) Find and plot the speed as a function of time. (c) Find the acceleration.

A race car travels 1/4 mile in 6 seconds, its distance from the start in feet after t seconds being f(t) = (44t^2) / 3 + 132t. (a) Find its velocity and acceleration as it crosses the finish line. (b) How fast was it going halfway down the track?

A bagel factory produces 30x - 2x^2 - 2 dollars worth of bagels for each x worker hours of labor. Find the marginal productivity when 5 worker koqrs .we smpto9eh.

Suppose that it costs (30x + 0.04x^2)/(1 + 0.0003x^3) dollars if x calculators are made, where 0 < x < 100, and that calculators are priced at 100 - 0.05

دولار. If all x calculators are sold, what is the marginal profit?

2/23: Filling in Integral "Gaps"

1. You should already know everything from "Anti-derivatives" through "Review: Riemann Sums" from what we've studied in class/textbook. CLICK HERE TO ACCESS.

2. Try a practice problem from each section to make sure you are comfortable with the material we have already covered in the text book. This is STRONGLY ENCOURAGED even though it will not be collected. You will struggle tomorrow if not.

3. Pay special attention to (A) Definite Integral Properties و (B) Trapezoidal Rule و (C) Definite Integral as the limit of a Riemann Sum. CLICK HERE TO ACCESS.

4. Complete a Google Form Reflection on the new information you collect. CLICK HERE TO SUBMIT.

5. Tomorrow we will discuss the Fundamental Theorem of Calculus

2/21/17
Objective: Map out a 4 year plan to land a major fellowship that makes us more competitive for your career after college.

  • Leadership Experience
  • خدمة المجتمع
  • بحث
  • تأليف
  • Strong Grades

As I shared at the start of this week, I will be out of the building for school tours today, Thursday, November 17. By December 5, you should have all KhanAcademy AP Calculus AB Course sections related to derivatives completed, so that we can keep up with our AP Timeline over Thanksgiving break. This will include:


Proof of Simpson's Rule

We consider the area under the general parabola `y=ax^2+bc+c`.

For easier algebra, we start at the point `(0,y_1)`, and consider the area under the parabola between `x=-h` and `x=h`, as shown. (Note that `Delta x = h`.)

`int_(-h)^h (ax^2+bx+c) dx `

`= [(ax^3)/3 + (bx^2)/2 + cx]_(-h)^h `

`= ((ah^3)/3 + (bh^2)/2 + ch)-` `(-(ah^3)/3 + (bh^2)/2 - ch) `

`= (2ah^3)/3 + 2ch`

`=h/3(2ah^2 + 6c)` (getting it into a convenient form)

Our parabola passes through `(-h,y_0)`, `(0,y_1)`, and `(h,y_2)`. Substituting these `x`- and `y`-values into the general equation of our parabola, we get:

`2ah^2 = y_0 -2y_1 + y_2` (by adding the first and 3rd line)

Substituting these into `A = h/3(2ah^2 + 6c)` from above, we have:

The parabola passing through the next set of 3 points will have an area of:

Adding the 2 areas, we get:

`A= h/3(y_0 + 4y_1 + 2y_2 + 4y_3 + y_4)`

Say we have 6 subintervals. We just find the areas under the 3 resulting parabolas, and add them to obtain:

`A = h/3[y_0 + 4y_1 + 2y_2 + 4y_3 +` ` 2y_4 +` ` 4y_5 +` `<: y_6]`

We could keep going by creating more and more segments, and adding the areas as we go along. and we would obtain Simpson's Rule:


شاهد الفيديو: Derivatives. Chain Rule قاعدة السلسلة. Part 1 (ديسمبر 2021).