مقالات

1.E: الهندسة التحليلية (تمارين)


هذه هي تمارين الواجب المنزلي لمرافقة Textmap "التفاضل والتكامل العامة" لديفيد جيتشارد. يمكن العثور على تمارين حساب التفاضل والتكامل العامة التكميلية لخرائط النص الأخرى ويمكن الوصول إليها هنا.

1.1: الخطوط

مثال 1.1.1 أوجد معادلة الخط المستقيم من خلال ((1،1) ) و ((- 5، -3) ) بالصيغة (y = mx + b ). (إجابه)

المثال 1.1.2 أوجد معادلة الخط المار خلال ((- 1،2) ) بالميل (- 2 ) بالصيغة (y = mx + b ). (إجابه)

مثال 1.1.3 أوجد معادلة الخط المستقيم من خلال ((- 1،1) ) و ((5، -3) ) بالصيغة (y = mx + b ). (إجابه)

مثال 1.1.4 قم بتغيير المعادلة (y-2x = 2 ) إلى الشكل (y = mx + b ) ، ارسم الخط البياني ، وابحث عن (y ) - التقاطع و (x ) - التقاطع. (إجابه)

مثال 1.1.5 قم بتغيير المعادلة (x + y = 6 ) إلى الشكل (y = mx + b ) ، ارسم الخط البياني ، وابحث عن (y ) - التقاطع و (x ) - التقاطع. (إجابه)

مثال 1.1.6 قم بتغيير المعادلة (x = 2y-1 ) إلى النموذج (y = mx + b ) ، ارسم الخط البياني ، وابحث عن (y ) - التقاطع و (x ) - التقاطع. (إجابه)

مثال 1.1.7 غيّر المعادلة (3 = 2y ) إلى الشكل (y = mx + b ) ، ارسم الخط البياني ، وابحث عن (y ) - التقاطع و (x ) - التقاطع. (إجابه)

مثال 1.1.8 قم بتغيير المعادلة (2x + 3y + 6 = 0 ) إلى الشكل (y = mx + b ) ، ارسم الخط البياني ، وابحث عن (y ) - التقاطع و (x ) - التقاطع (إجابه)

مثال 1.1.9 حدد ما إذا كان الخطان (3x + 6y = 7 ) و (2x + 4y = 5 ) متوازيان. (إجابه)

مثال 1.1.10 افترض أن مثلثًا في (س ، ص ) - يحتوي المستوى على رؤوس ((- 1،0) ) ، ((1،0) ) و ((0،2) ). أوجد معادلات الخطوط الثلاثة التي تقع على طول جوانب المثلث بصيغة (y = mx + b ). (إجابه)

مثال 1.1.11 افترض أنك تقود إلى سياتل بسرعة ثابتة. بعد أن سافرت لمدة ساعة ، مررت بإشارة تقول إنها تبعد 130 ميلاً عن سياتل ، وبعد القيادة لمدة 20 دقيقة أخرى مررت بإشارة تقول إنها 105 ميلاً إلى سياتل. باستخدام المحور الأفقي للوقت (t ) والمحور الرأسي للمسافة (ص ) من نقطة البداية ، رسم بيانيًا وابحث عن المعادلة (y = mt + b ) للمسافة من نقطة البداية . كم من الوقت تستغرق الرحلة إلى سياتل؟ (إجابه)

المثال 1.1.12 دع (س ) يقف لدرجة الحرارة بالدرجات المئوية (مئوية) ، ودع (ص ) يقف لدرجة الحرارة بالدرجات فهرنهايت. درجة حرارة (0 ^ circ ) C تقابل (32 ^ circ ) F ودرجة حرارة (100 ^ circ ) C تقابل (212 ^ circ ) F. أوجد معادلة الخط الذي يربط درجة الحرارة بالفهرنهايت (ص ) بدرجة الحرارة المئوية (س ) بالصيغة (ص = م س + ب ). ارسم الخط ، وابحث عن النقطة التي يتقاطع عندها هذا الخط مع (y = x ). ما المعنى العملي لهذه النقطة؟ (إجابه)

مثال 1.1.13 تفرض شركة تأجير السيارات الرسوم التالية لنوع معين من السيارات: 25 دولارًا في اليوم مع 100 ميل مجاني مشمول ، و 0.15 دولار لكل ميل لأكثر من 100 ميل. لنفترض أنك تريد استئجار سيارة ليوم واحد ، وأنت تعلم أنك ستستخدمها لأكثر من 100 ميل. ما المعادلة المتعلقة بالتكلفة (ص ) بعدد الأميال (س ) التي تقود فيها السيارة؟ (إجابه)

مثال 1.1.14 يعلن متجر النسخ عن الأسعار التالية: 5 سنتات لكل نسخة لأول 20 نسخة ، و 4 سنتات لكل نسخة للنسخة 21 إلى 100 ، و 3 سنتات لكل نسخة بعد النسخة المائة. لنفترض أن (x ) هو عدد النسخ ، وليكن (y ) هو التكلفة الإجمالية للتصوير. (أ) رسم بيانيًا للتكلفة حيث تنتقل (x ) من 0 إلى 200 نسخة. (ب) ابحث عن المعادلة بالصيغة (y = mx + b ) التي تخبرك بتكلفة عمل (x ) النسخ عندما يكون (x ) أكثر من 100.إجابه)

مثال 1.1.15 يعمل نظام الضرائب في مملكة Xyg على النحو التالي. الشخص الذي يكسب أقل من 100 قطعة ذهبية في الشهر لا يدفع ضرائب. الشخص الذي يكسب ما بين 100 و 1000 قطعة نقدية ذهبية يدفع ضريبة تساوي 10٪ من المبلغ الذي يكسبه على 100 قطعة ذهبية. يجب على الشخص الذي يكسب أكثر من 1000 قطعة نقدية ذهبية أن يسلم للملك كل الأموال التي حصل عليها أكثر من 1000 بالإضافة إلى الضريبة على أول 1000. (أ) ارسم رسمًا بيانيًا للضريبة المدفوعة (ص ) مقابل الأموال المكتسبة (x ) ، وإعطاء صيغ لـ (y ) بدلالة (x ) في كل منطقة (0 le x le 100 ) ، (100 le x le 1000 ) و (س ج 1000 ). (ب) افترض أن ملك Xyg قرر استخدام الجزء الثاني من هذه الأجزاء الخطية (لـ (100 le x le 1000 )) لـ (x le 100 ) أيضًا. اشرح من الناحية العملية ما يفعله الملك وما معنى التقاطع (ص ). (إجابه)

المثال 1.1.16 يتم وصف الضريبة على دافع ضرائب واحد في الشكل 1.1.3. استخدم هذه المعلومات لرسم بياني للضريبة مقابل الدخل الخاضع للضريبة (على سبيل المثال ، (x ) هو المبلغ الموجود في النموذج 1040 ، السطر 37 ، و (y ) هو المبلغ الموجود في النموذج 1040 ، السطر 38). ابحث عن المنحدر و (y ) - تقاطع كل خط يشكل الرسم البياني المضلع ، حتى (x = 97620 ). (إجابه)

جداول معدل الضريبة لعام 1990
الجدول العاشر—استخدام إذا كانت حالة التسجيل الخاصة بك غير مرتبطة
إذا تجاوز المبلغ الموجود في النموذج 1040 ، السطر 37:لكن لم ينته:أدخل في النموذج 1040 سطر 38من المبلغ الذي يزيد عن:

$0$19,45015%$0
19,45047,050$2,917.50+28%19,450
47,05097,620$10,645.50+33%47,050

97,620......يستخدم ورقة عمل أدناه لمعرفة الضرائب الخاصة بك
جدولة Z—استخدام إذا كانت حالة التسجيل الخاصة بك رب الأسرة
إذا تجاوز المبلغ الموجود في النموذج 1040 ، السطر 37:لكن لم ينته:أدخل في النموذج 1040 سطر 38من المبلغ الذي يزيد عن:

$0 $26,050 15% $0
$26,050 67,200 $3,907.50+28% 26,050
67,200 134,930 $15,429.50+33% 67,200

134,930......يستخدم ورقة عمل أدناه لمعرفة الضرائب الخاصة بك

الشكل 1.1.3. جدول الضرائب.

مثال 1.1.17 تخبرك أبحاث السوق أنه إذا حددت سعر عنصر عند 1.50 دولار ، فستتمكن من بيع 5000 عنصر ؛ ومقابل كل 10 سنتات تقوم بخفض السعر إلى أقل من 1.50 دولار ، ستتمكن من بيع 1000 قطعة أخرى. دع (x ) هو عدد العناصر التي يمكنك بيعها ، واجعل (P ) هو سعر العنصر. (أ) التعبير عن (P ) خطيًا من حيث (x ) ، وبعبارة أخرى ، عبر عن (P ) بالشكل (P = mx + b ). (ب) التعبير عن (س ) خطيًا من حيث (ف ). (إجابه)

مثال 1.1.18 يعطي المعلم اختبارًا نهائيًا من 100 نقطة ، ويقرر أن النتيجة 90 أو أعلى ستكون درجة 4.0 ، والنتيجة 40 أو أقل ستكون درجة 0.0 ، وبين 40 و 90 ، سيكون التقدير خطيًا. لنفترض أن (x ) هي درجة الامتحان ، واجعل (y ) الدرجة المقابلة. ابحث عن صيغة بالصيغة (y = mx + b ) تنطبق على الدرجات (x ) بين 40 و 90. (إجابه)

1.2: المسافة بين نقطتين ؛ الدوائر

المثال 1.2.1أوجد معادلة دائرة نصف القطر 3 المتمركزة في:

أ) ((0،0) )د) ((0،3) )
ب) ((5،6) )هـ) ((0 ، -3) )
ج) ((- 5 ، -6) )و) ((3،0) )

(إجابه)

المثال 1.2.2 لكل زوج من النقاط (A (x_1، y_1) ) و (B (x_2، y_2) ) ابحث عن (i) ( Delta x ) و ( Delta y ) في الانتقال من ( أ ) إلى (ب ) ، (ب) ميل الخط الذي ينضم (أ ) و (ب ) ، (ج) معادلة الخط الذي ينضم (أ ) و (ب ) ) بالصيغة (y = mx + b ) ، (4) المسافة من (A ) إلى (B ) ، و (v) معادلة الدائرة ذات المركز عند (A ) ذلك يمر من خلال (ب ).

أ) (أ (2،0) ) (ب (4،3) )د) (أ (-2،3) ) (ب (4،3) )
ب) (أ (1 ، -1) ) ، (ب (0،2) )هـ) (أ (-3 ، -2) ) ، (ب (0،0) )
ج) (أ (0،0) ) ، (ب (-2 ، -2) )و) (أ (0.01 ، -0.01) ) ، (ب (-0.01،0.05) )

( (ب) ( Delta x = -1 ) ، ( Delta y = 3 ) ، (m = -3 ) ، (y = -3x + 2 ) ، ( sqrt {10 } )

(ج) ( Delta x = -2 ) ، ( Delta y = -2 ) ، (m = 1 ) ، (y = x ) ، ( sqrt {8} ) "> إجابة

)

المثال 1.2.3 ارسم الدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 + 10y = 0 ).

المثال 1.2.4 ارسم الدائرة (x ^ 2-10x + y ^ 2 = 24 ).

المثال 1.2.5 ارسم الدائرة (x ^ 2-6x + y ^ 2-8y = 0 ).

المثال 1.2.6 أوجد المعادلة القياسية للدائرة التي تمر عبر ((- 2،1) ) وظل الخط (3x-2y = 6 ) عند النقطة ((4،3) ). رسم. (تلميح: الخط المار بمركز الدائرة ونقطة التماس عمودي على خط المماس.) (إجابه)

1.3: الوظائف

ابحث عن مجال كل من الوظائف التالية:

المثال 1.3.1 (y = f (x) = sqrt {2x-3} ) (إجابه)

المثال 1.3.2 (ص = و (س) = 1 / (س + 1) ) (إجابه)

مثال 1.3.3 (ص = و (س) = 1 / (س ^ 2-1) ) (إجابه)

مثال 1.3.4 (y = f (x) = sqrt {-1 / x} ) (إجابه)

مثال 1.3.5 (y = f (x) = { root 3 of x} ) (إجابه)

مثال 1.3.6 (y = f (x) = { root 4 of x} ) (إجابه)

مثال 1.3.7 (y = f (x) = sqrt {r ^ 2- (x-h) ^ 2} ) ، حيث (r ) و (h ) ثوابت موجبة. (إجابه)

مثال 1.3.8 (y = f (x) = sqrt {1- (1 / x)} ) (إجابه)

المثال 1.3.9 (y = f (x) = 1 / sqrt {1- (3x) ^ 2} ) (إجابه)

المثال 1.3.10 (y = f (x) = sqrt {x} + 1 / (x-1) ) (إجابه)

مثال 1.3.11 (y = f (x) = 1 / ( sqrt {x} -1) ) (إجابه)

المثال 1.3.12 أوجد مجال (h (x) = cases {(x ^ 2-9) / (x-3) & x neq 3 cr 6 & if (x = 3 ). cr} ) (إجابه)

مثال 1.3.13 افترض (f (x) = 3x-9 ) و (g (x) = sqrt {x} ). ما هو مجال التكوين ((g circ f) (x) )؟ (أذكر ذلك تكوين يتم تعريفه على أنه ((g circ f) (x) = g (f (x)) ).) ما هو مجال ((f circ g) (x) )؟ (إجابه)

المثال 1.3.14 مزارع يريد بناء سياج على طول النهر. لديه 500 قدم من المبارزة ويريد أن يحيط بقلم مستطيل من ثلاث جهات (مع توفير النهر للجانب الرابع). إذا كان (س ) هو طول الضلع العمودي على النهر ، فحدد مساحة القلم كدالة في (س ). ما هو المجال لهذه الوظيفة؟ (إجابه)

مثال 1.3.15 علبة على شكل أسطوانة تصنع من 100 سم مربع من المواد في الجانب والأعلى والأسفل ؛ تريد الشركة المصنعة أن تحتوي العلبة على أقصى حجم ممكن. اكتب الحجم كدالة لنصف قطر العلبة (r ) ؛ أوجد مجال الوظيفة. (إجابه)

المثال 1.3.16 علبة على شكل أسطوانة تصنع لحجم لتر واحد (1000 سم مكعب). تريد الشركة المصنعة استخدام أقل قدر ممكن من المواد للعلبة. اكتب مساحة سطح العلبة (إجمالي الجزء العلوي والسفلي والجانب) كدالة لنصف قطر العلبة (r ) ؛ أوجد مجال الوظيفة. (إجابه)

1.4: التحولات والتخفيف

بدءًا من الرسم البياني (y = sqrt {x} ) ، والرسم البياني (y = 1 / x ) ، والرسم البياني (y = sqrt {1-x ^ 2} ) ( نصف دائرة الوحدة العلوية) ، ارسم الرسم البياني لكل من الوظائف التالية:

مثال 1.4.1 (f (x) = sqrt {x-2} )

مثال 1.4.2 (و (س) = - 1-1 / (س + 2) )

مثال 1.4.3 (f (x) = 4 + sqrt {x + 2} )

مثال 1.4.4 (ص = و (س) = س / (1-س) )

مثال 1.4.5 (y = f (x) = - sqrt {-x} )

مثال 1.4.6 (f (x) = 2 + sqrt {1- (x-1) ^ 2} )

مثال 1.4.7 (f (x) = - 4+ sqrt {- (x-2)} )

مثال 1.4.8 (f (x) = 2 sqrt {1- (x / 3) ^ 2} )

مثال 1.4.9 (و (س) = 1 / (س + 1) )

مثال 1.4.10 (f (x) = 4 + 2 sqrt {1- (x-5) ^ 2/9} )

مثال 1.4.11 (و (س) = 1 + 1 / (س -1) )

مثال 1.4.12 (f (x) = sqrt {100-25 (x-1) ^ 2} +2 )

يظهر الرسم البياني لـ (f (x) ) أدناه. ارسم الرسوم البيانية للوظائف التالية.

مثال 1.4.13 (ص = و (س -1) )

مثال 1.4.14 (ص = 1 + و (س + 2) )

مثال 1.4.15 (ص = 1 + 2 و (س) )

المثال 1.4.16 (ص = 2 و (3 س) )

مثال 1.4.17 (ص = 2 و (3 (س -2)) + 1 )

مثال 1.4.18 (ص = (1/2) و (3 س -3) )

مثال 1.4.19 (ص = و (1 + س / 3) +2 )


الكتاب المدرسي والواجب المنزلي

سيتم تعيين واجبات الواجبات المنزلية وإكمالها من خلال MyMathLab (MML). MML هو نظام للواجبات المنزلية والدراسة عبر الإنترنت. يحتوي أيضًا على كتاب إلكتروني لكتابك المدرسي مع روابط لمصادر الوسائط المتعددة ، مثل مقاطع الفيديو للدروس وحلول المشكلات خطوة بخطوة. هناك أيضًا خطة دراسة مخصصة تم إنشاؤها تلقائيًا من عملك السابق وتربطك بتمارين تعليمية غير محدودة لمزيد من الدراسة ، بحيث يمكنك التدرب حتى تتقن المهارات.

يمكنك طلب المواد الخاصة بك لـ Math102 في أي من الخيارات التالية المدرجة أدناه:

  • الخيار رقم 1: كتاب إلكتروني (رقم نص مطبوع) + فصل دراسي واحد MyMathLab الوصول مباشرة من خلال موقع ويب بوصلة الدورة التدريبية (http://pearsonmylabandmastering.com/؟cc) عند التسجيل
  • الخيار رقم 2: كتاب إلكتروني (رقم نص مطبوع) + فصل دراسي واحد MyMathLab الوصول ، ISBN: 032119991X ، في ملحق Umass Textbook.
  • الخيار رقم 3: الجديد نص مطبوع + كتاب إلكتروني + فصل دراسي واحد MyMathLab الوصول ، ISBN: 1256153664 ، في ملحق Umass Textbook.

يرجى التسجيل وبدء مهامك خلال الأسبوع الأول من الفصول الدراسية.

تتمثل إحدى الفوائد العديدة لاستخدام MyMathLab في أنه ستتاح لك الفرصة لإعادة حل مشاكل الواجبات المنزلية لعدد غير محدود من المرات من أجل الحصول على 100٪ طالما أنك لا تزال تعمل قبل الموعد النهائي للواجب المنزلي. تحفظ MML وتسجيل وتسجيل جميع الأعمال التي تم إنجازها في مهمة حتى الموعد النهائي. لكل مهمة تاريخ استحقاق خاص بها وأنت مسؤول عن معرفته. أوصي بشدة بمحاولة أداء الواجب المنزلي مبكرًا وعدم الانتظار حتى يحين موعده. تتطلب بعض المهام أن تتعلم استخدام أدوات محددة (مثل كيفية رسم القطع المكافئ على MML). لن يتم منح الامتدادات بسبب مشاكل تقنية في اللحظة الأخيرة مع MML ما لم يتم توثيق المشكلة بدقة مع جهة اتصال من دعم MML.

سيعمل MyMathLab على جهاز كمبيوتر شخصي أو كمبيوتر Macintosh. إذا لم يكن لديك جهاز خاص بك ، فستتمكن من الوصول إلى MML على جميع أجهزة كمبيوتر OIT في الحرم الجامعي. انظر هنا للعثور على أجهزة الكمبيوتر OIT هذه.

التسجيل في MyMathLab:

التسجيل في MML مطلوب ويجب أن يتم على الفور. للتسجيل في MML ، ستحتاج إلى عنصرين:

  1. رمز وصول MML الذي ستشتريه (سلسلة مكونة من 16 حرفًا من الأحرف الكبيرة)
  2. رقم مقرر MML: benincasa42202

أيضًا ، أثناء التسجيل في MML ، يرجى إدخال اسم مستخدم UMass U-mail الخاص بك كاسم مستخدم MML الخاص بك ، وإدخال عنوان البريد الإلكتروني الخاص بك باعتباره عنوان البريد الإلكتروني الخاص بـ MML.

سيساعدك الأول في حساب درجتك ، وسيساعد الأخير في مراسلات الدورة التدريبية.

إذا واجهت أي مشاكل تقنية مع MML ، فاتصل بخط مساعدة الطالب Course Compass على: 1-800-677-6337


الجزء 2: حسابات XAS

لحساب أطياف الامتصاص ، قم بتنزيل أو نسخ ملف الإدخال أدناه إلى دليل العمل. إنه إدخال عام يحتاج إلى التعديل بناءً على النظام الذي تعمل به.

لحساب أطياف الامتصاص ل MgS السائبة ، قم أولاً بإعادة تسمية ملف الإدخال وتغيير X إلى S. يمكن القيام بذلك عن طريق الكتابة في الجهاز:

الآن قم بتغيير كل X s في ملف الإدخال إلى S s. انقل ملف الإدخال الجديد إلى دليل العمل الصحيح. الخطوة التالية هي إضافة الإحداثيات المحسّنة للنظام ، والتي يمكنك العثور عليها في ملف .xyz المكتوب بواسطة البرنامج بعد التحسين الهندسي. استخدم قيم خطوة التكرار الأخيرة ، واكتبها في القسم الفرعي & ampCOORD. الخطوة الأخيرة هي إضافة القيم الصحيحة لمتجهات الشبكة. يمكنك نسخه من ملف إدخال تحسين الهندسة.

لإجراء هذا الحساب ، تابع كما فعلت من قبل.

يجب أن يستغرق هذا الحساب وقتًا أطول من عملية التحسين الهندسي للتشغيل. بمجرد الانتهاء ، تحقق من عدد التحذيرات وما إذا كان الحساب متقاربًا. في بعض الأحيان لا يتقارب ضمن الحد الأقصى لعدد التكرارات التي قمنا بتعيينها في ملف الإدخال. في هذه الحالة ، يمكنك زيادة الرقم باستخدام الكلمة الأساسية MAX_SCF.

يمكنك التحقق في دليل العمل من إنشاء بعض الملفات. يتم كتابة طاقات وشدة الامتصاص (قوة المذبذب) في الملفات المسماة MgS-xas_at1_st1.spectrum و MgS-xas_at2_st1.spectrum ، حيث يتوافق الأول مع الذرة 1 في ملف الإدخال الخاص بك ، والثاني يتوافق مع الذرة رقم 2.

لتعديل الأطياف مع وظائف gaussian ، قم بتنزيل الملفات lib_tools.zip واستخراجها في نفس الدليل مثل ملفات الإخراج. الآن قم بتشغيل كتابة البرنامج النصي في المحطة:

كإخراج ، ستحصل على ملفين: range.inp و range.out. الأول يحتوي على نفس المعلومات مثل ملف Mgs-xas_at1_st1.spectrum ، وفي الثاني ستجد طيف امتصاص لـ atom 1. قم بتغيير اسم الملفات إلى S_K-edge.inp و S_K-edge.out ، فمثلا. يمكنك الآن رسم كل من شدة الامتصاص من الملف S_K-edge.inp والطيف المعقد من الملف S_K-edge.out. من الأول فقط يجب رسم العمودين الثاني والسادس.

للحصول على النطاق لـ atom 2 ، يمكنك فتح الملف get_average_spectrum.sh ، واستبدال at1 بـ at2 في السطر لـ i بـ $ (ls $

/ * xas_at2 * طيف). قم بتشغيل البرنامج النصي مرة أخرى وستحصل على نفس الملفين مرة أخرى ، ولكن الآن مع شدة الامتصاص وطيف الذرة 2. قم بتغيير أسمائهم إلى Mg_K-edge.inp و Mg_K-edge.out ، وقم برسم طيف الامتصاص.


السؤال رقم 1.
يحتوي الجسر على قوس مكافئ يبلغ ارتفاعه 10 أمتار في الوسط وعرضه 30 مترًا في الأسفل. أوجد ارتفاع القوس على بعد 6 أمتار من المركز على كلا الجانبين.
المحلول:
من الرسم البياني ، معادلة القوس المكافئ

∴ الارتفاع المطلوب = 10 & # 8211 ص1 = 10 & # 8211 1.6 = 8.4 م.

السؤال 2.
نفق يمر عبر جبل لطريق سريع مكون من أربعة حارات يكون له فتحة بيضاوية الشكل. يجب أن يكون العرض الإجمالي للطريق السريع (وليس الفتحة) 16 مترًا ، ويجب أن يكون الارتفاع عند حافة الطريق كافيًا لشاحنة بارتفاع 4 أمتار لتخليص ما إذا كانت أعلى نقطة للفتحة هي 5 أمتار تقريبًا. ما هو اتساع الافتتاح؟
المحلول:
من الرسم التخطيطي ،
AA & # 8217 = 16 م ، OA = 8 م ، OB = 5 م
∴ معادلة القطع الناقص هي

العرض المطلوب للفتحة هو 2y1 = 2 (4.8) = 9.6 م

السؤال 3.
يصل ارتفاع المياه عند نافورة المياه إلى 4 أمتار كحد أقصى على مسافة أفقية 0.5 متر من مصدرها. إذا كان مسار الماء عبارة عن قطع مكافئ ، فأوجد ارتفاع الماء على مسافة أفقية 0.75 متر من نقطة الأصل.
المحلول:
من الرسم التخطيطي
معادلة مسار الماء

الارتفاع المكرر = 4 & # 8211 ذ1 = 4 & # 8211 1 = 3 م

السؤال 4.
مهندس يصمم طبق القمر الصناعي مع مقطع عرضي مكافئ. يبلغ عرض الطبق عند الفتحة 5 أمتار ، ويتم وضع البؤرة على مسافة 1.2 متر من الرأس
(أ) ضع نظام إحداثيات مع الأصل عند الرأس والمحور x على محور التناظر للقطع المكافئ وابحث عن معادلة القطع المكافئ.
(ب) أوجد عمق طبق القمر الصناعي عند الرأس.
المحلول:
من الرسم التخطيطي ،

(أ) اعتبر أن طبق القمر الصناعي مفتوح قطع مكافئ يمينًا
ص 2 = 4 فأس & # 8230 & # 8230 & # 8230 .. (1)
من الواضح أ = 1.2 م
(1) ⇒ ص 2 = 4 (1.2)
ص 2 = 4.8 س
(ب) استخدم النقطة (x1، 2.5) في (1)
(2.5) 2 = 4 (1.2) x1
( frac <(2.5) ^ <2>> <4 (1.2)> ) = y1
x1 = 1.3 م
عمق طبق الأقمار الصناعية عند القمة 1.3 م

السؤال 5.
يتم وضع كابل مكافئ لجزء 60 مترًا من قاع الطريق لجسر معلق كما هو موضح أدناه. يجب أن تكون الكابلات العمودية متباعدة كل 6 أمتار على طول هذا الجزء من الطريق. احسب أطوال أول اثنين من هذه الكابلات الرأسية من الرأس.
المحلول:
من الرسم التخطيطي ،

معادلة الجسر المعلق
(س & # 8211 ح) 2 = 4 أ (ص & # 8211 ك)
لكن V (0، 3)
س 2 = 4 أ (ص & # 8211 3)
استخدم النقطة (30 ، 16) في (1)
30 2 = 4a (16 & # 8211 3) 900 = 13 × 4a
( فارك <900> <13 مرات 4> ) = أ

(ط) طول أول كابل رأسي من الرأس هو
استخدم (6 ، ذ1) في 2)
(2) ⇒ (6) 2 = ( frac <900> <13> ) (y1 – 3)
( فارك <36 مرات 13> <900> ) = ص1 – 3
0.52 = ص1 – 3
ذ1 = 3.52 م
(2) طول الكبل العمودي الثاني من الرأس هو
استخدم النقطة (12، y2) في 2)
(2) ⇒ (12) 2 = ( frac <900> <13> ) (y2 – 3)
( فارك <144 مرات 13> <900> ) = ص2 – 3
0.52 = ص2 – 3
ذ2 = 3.52 م

السؤال 6.
المقطع العرضي لبرج التبريد النووي على شكل قطع زائد مع المعادلة ( frac> <30 ^ <2>> - frac> <44 ^ <2>> ) = 1. يبلغ ارتفاع البرج 150 مترًا والمسافة من أعلى البرج إلى مركز القطع الزائد نصف المسافة من قاعدة البرج إلى مركز القطع الزائد. أوجد قطر قمة وقاعدة البرج.
المحلول:
من الرسم التخطيطي ، معادلة القطع الزائد هي

السؤال 7.
يتحرك قضيب طوله 1.2 متر ونهايته تلامس دائمًا محاور الإحداثيات. موضع النقطة P على القضيب ، والذي يبعد 0.3 متر من النهاية الملامسة للمحور x هو قطع ناقص. أوجد الانحراف.
المحلول:
من الرسم التخطيطي ،
(i) ∆ le OAB مثلث قائم الزاوية.
(2) APD و PBC هما زاويتان متناظرتان ، لذا فإن الزوايا المقابلة متساوية.

السؤال 8.
افترض أن الماء المنبعث من نهاية أنبوب أفقي ، 7.5 متر فوق سطح الأرض ، يصف مسارًا مكافئًا. يقع رأس المسار المكافئ في نهاية الأنبوب. في موضع 2.5 متر تحت خط الأنبوب ، يكون تدفق المياه منحنيًا إلى الخارج بمقدار 3 أمتار عن الخط العمودي عبر نهاية الأنبوب. إلى أي مدى بعد هذا الخط العمودي ستضرب المياه الأرض؟
المحلول:
من الرسم التخطيطي ،

معادلة مسار الماء هي
x 2 = & # 8211 4 ay
استخدم النقطة (3 ، & # 8211 2.5) في (1)
(3) 2 = & # 8211 4a (- 2.5)
9 = 10 أ
أ = ( frac <9> <10> ) استبدال في (1)
(1) ⇒ x 2 = -4 ( frac <9> <10> ) y & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230. (2)
استخدم النقطة (x1، -7.5) في (2)
(2) س1 2 = -4 ( فارك <9> <10> ) (- 7.5) ⇒ س1 2 = 30 ( ( فارك <9> <10> ))
x1 = ( الجذر التربيعي <3 مرات 9> )
x1 = (3 sqrt <3> ) م
تضرب المياه الأرض (3 مربع <3> ) متر وراء الخط الرأسي.

السؤال 9.
عند إضاءة صاروخ تكسير ، يتم إسقاطه في مسار مكافئ ويصل أقصى ارتفاع له إلى 4 أمتار عندما يكون على بعد 6 أمتار من نقطة الإسقاط. أخيرًا تصل إلى الأرض على بعد 12 مترًا من نقطة البداية. أوجد زاوية الإسقاط؟
المحلول:
من الرسم التخطيطي ،

معادلة مسار القطع المكافئ هي
× 2 = -4ay
استخدم النقطة (6 ، -4) في (1)
(1) (6) 2 = 16 أ
( فارك <36> <16> ) = 10 أ
استبدل a = ( frac <9> <14> ) في (1)
(1) ⇒ x 2 = -4 ( left ( frac <9> <4> right) ) y
س 2 = -9 س & # 8230 & # 8230 & # 8230 .. (2)
اشتق فيما يتعلق بـ & # 8216x & # 8217

السؤال 10.
تقع النقطتان A و B على مسافة 10 كيلومترات ، ويُحدد من صوت انفجار مسموع في تلك النقاط في أوقات مختلفة أن موقع الانفجار أقرب بمقدار 6 كيلومترات من A من B. أظهر أن موقع الانفجار يقتصر على مكان معين. منحنى والعثور على معادلة له.
المحلول:
من الرسم التخطيطي ،

Samacheer Kalvi 12th Math Solutions Chapter 5 الهندسة التحليلية ثنائية الأبعاد & # 8211 II Ex 5.5 مسائل إضافية

السؤال رقم 1.
إذا كان قطر العاكس المكافئ 20 سم وعمقه 5 سم ، فأوجد مسافة التركيز من مركز العاكس.
المحلول:

من خلال خاصية العاكس المكافئ ، يجب وضع موضع المصباح في البؤرة.
بأخذ الرأس من نقطة الأصل ، تكون معادلة العاكس y 2 = 4ax.
دع PQ يكون قطر العاكس P = (5 ، 10)
بما أن P (5 ، 10) تقع على القطع المكافئ ،
10 2 = 4 أ × 5
أي 100 = 20a ⇒ a = 5
لذا فإن البؤرة على مسافة 5 سم من الرأس والبؤرة (5 ، 0).

السؤال 2.
يقع تركيز المرآة المكافئة على مسافة 8 سم من مركزها (قمة الرأس). إذا كان عمق المرآة 25 سم ، فأوجد قطر المرآة.
المحلول:

دع الرأس يكون في الأصل.
VF = أ = 8 سم
معادلة القطع المكافئ هي
ص 2 = 4 ماكس = 4 (8) س = 32 س
عمق المرآة = x1 = 25 سم.
إذن ، نصف القطر يساوي 0.
⇒ ص 2 = 32 (25) = 800
y = ( sqrt <800> = 10 sqrt <8> = 10 times 2 sqrt <2> = 20 sqrt <2> ) = نصف قطر المرآة
∴ قطر المرآة = 2 × 20 ( sqrt <2> ) = 40 ( sqrt <2> ) سم من المرآة.

السؤال 3.
يكون كبل الجسر المعلق على شكل قطع مكافئ يبلغ طوله 40 مترًا. الطريق على بعد 5 أمتار تحت أدنى نقطة في الكابل. إذا تم توفير دعم إضافي عبر الكبل 30 مترًا فوق مستوى الأرض ، فابحث عن طول الدعامة إذا كان ارتفاع الأعمدة 55 مترًا.
المحلول:

يتم أخذ أدنى نقطة على الكبل كرأس ويتم أخذها على أنها الأصل.
دع AB ، CD هما الركائز.
امتداد القطع المكافئ = 40 مترًا = المسافة بين AB و CD
C & # 8217V = VA & # 8217 = 20 مترًا
ارتفاع كل عمود = 55 مترًا ⇒ AB = 55 مترًا
إذن ، A & # 8217B = 55 & # 8211 5 = 50 مترًا
وبالتالي ، فإن النقطة B هي (20 ، 50).
معادلة القطع المكافئ هي x 2 = 4ay
هنا ، B هي نقطة على القطع المكافئ ، x 2 = 4ay
(20) 2 = 4a (50) ⇒ 4a = ( frac <20 times 20> <50> ) = 8
∴ المعادلة س 2 = 8 ص
دع PQ يكون طول الدعم الإضافي RQ.
RQ = 30 ، RR & # 8217 = 5 ⇒ R & # 8217Q = 25
دع VR & # 8217 يكون x1 ∴ Q هي (x1, 25).
Q هي نقطة على القطع المكافئ
x1 2 = 8 × 25 = 200
x1 = ( sqrt <200> = 10 sqrt <2> )
الطول الكامل ، PQ = 2 x1 = 20 ( sqrt <2> ). طن متري.

السؤال 4.
يدرك لاعب kho-kho في جلسة تدريب أثناء الجري أن مجموع المسافات من أعمدة kho-kho منه دائمًا 8 أمتار. أوجد معادلة المسار الذي تتبعه إذا كانت المسافة بين القطبين 6 أمتار.
المحلول:

أعط FP + F & # 8217P = 4
على سبيل المثال ، 2 أ = 8 و
FF & # 8217 = 2ae = 6
أي ، a = 4 و ae = 3
ه = ( فارك= فارك <3> <4> )
ب 2 = أ 2 (1 & # 8211 هـ 2) = 16 (1 & # 8211 ( فارك <9> <16> )) = 7
إذن ، معادلة المسار عبارة عن قطع ناقص تكون معادلته ( frac> <16> + frac><7>) = 1.


القطع الزائد

8.1 التعريف

يتم تعريف القطع الزائد على أنه موضع نقطة تتحرك في مستوى بحيث تكون المسافة من نقطة ثابتة دائمًا ه مرات (ه & GT 1) بعده عن خط ثابت. تسمى النقطة الثابتة بؤرة القطع الزائد. يسمى الخط المستقيم الثابت الدليل والثابت ه يسمى الانحراف اللامركزي للقطع الزائد.

8.2 المعادلة القياسية

يترك س كن التركيز والخط ل يكون المخرج. ألفت SX عمودي على الدليل. يقسم SX داخليا وخارجيا في النسبة ه : 1 (ه & GT 1). يترك أ و أ′ تكون نقطة القسمة. منذ والنقاط أ و أ' استلقي على المنحنى.

يحصل الهندسة التحليلية الآن مع التعلم عبر الإنترنت O’Reilly.

يتمتع أعضاء O’Reilly بتدريب مباشر عبر الإنترنت ، بالإضافة إلى الكتب ومقاطع الفيديو والمحتوى الرقمي من أكثر من 200 ناشر.


نظام هندسي ديناميكي رمزي باستخدام طريقة الهندسة التحليلية

يمكن لنظام هندسي رمزي مثل Geometry Expressions إنشاء قياسات رمزية من حيث المدخلات غير المحددة من الشكل الهندسي. يحتوي على عناصر من نظام الهندسة الديناميكية وعناصر من مبرهنة النظرية الآلية. تعتمد التعبيرات الهندسية على طريقة الهندسة التحليلية. نصف الطريقة في الأسلوب المستخدم من خلال عروض إثباتات نظرية شبه اصطناعية مثل طريقة المنطقة. تختلف طريقة الهندسة التحليلية من حيث أنها تعتبر الهندسة من منظور إقليدي / ديكارتي تقليدي. إلى الحد الذي يتم فيه إثبات النظريات ، يتم إثباتها فقط للأرقام القريبة بدرجة كافية من الشكل المحدد. من الواضح أن هذا له عيوب نظرية ، إلا أنه يتم موازنتها بالميزة العملية التي يعتبرها النموذج الهندسي المستخدم مألوفًا للطلاب والمهندسين. تقوم الطريقة بفصل الإنشاءات عن القياسات الهندسية ، وبالتالي فهي تقبل مجموعة متنوعة من أنواع القياس وأنواع البناء. يتم تقديم خوارزمية لاشتقاق أشكال بسيطة لتعبيرات الزاوية تلقائيًا ويظهر أنها مكافئة لفئة من البراهين التقليدية. يتكون نظام الإثبات شبه الآلي من النظام الهندسي الرمزي و CAS والمستخدم. يعتبر تضمين المستخدم في النظام الهجين ميزة تربوية أساسية. تم تقديم عدد من الأمثلة لتوضيح مدى قابلية تطبيق مثل هذا النظام ودور المستخدم في الإثبات.


1.E: الهندسة التحليلية (تمارين)

3.3.3 قياس التماثل لنموذج المستوى الإقليدي التحليلي اطبع
في الرياضيات ، يعتبر فن طرح الأسئلة أكثر قيمة من حل المشكلات.
جورج كانتور (1845-1918)

يطرح سؤال طبيعي ، & quot ما هو شكل مصفوفة التساوي القياس التي هي تحويل أفيني للطائرة الإقليدية؟ & quot نحن نحقق في هذا السؤال. مصفوفة تحويل أفيني للطائرة الإقليدية لها الشكل. ما هي القيود التي يجب وضعها على القيم أاي جاي إلى عن على أ أن تكون مصفوفة تساوي القياس؟ لنقطتين X و ص، يترك X ' = فأس و Y ' = AY. ثم

إذا افترضنا أ هو قياس متساوي ، إذن د(X ، ص) = د(X '، Y'). بالتالي

لكي يتساوى التعبيران الأول والأخير ، يجب أن يكون لدينا

افترض أ11 = 0. ثم بـ (1) أ21 = ± 1. وبواسطة (3) أ22 = 0. أخيرًا بواسطة (2) أ12 = ±1.
يفترض أ11 غير صفري. ثم بـ (3) ، استبدل بـ (2) ، ومن ثم بـ (1) ، أ22 = ± أ11. لو أ22 = أ11، ثم (3) يعني أ12 = 21. لو أ22 = 11، ثم (3) يعني أ12 = أ21.

منذ ، هناك عدد حقيقي من هذا القبيل وعلاوة على ذلك ، لاحظ أنه لا توجد قيود على أ13 و أ23.
وبالتالي ، فإننا نلخص النتائج في الاقتراح التالي ، والذي لم يتبق منه سوى إثبات العكس.

مقترح 3.7. التحويل الأفيني للمستوى الإقليدي هو قياس تساوي إذا وفقط إذا كان تمثيل المصفوفة كذلك

(تساوي مباشر) أو (قياس غير مباشر).

نتيجة طبيعية للمقترح 3.7. محدد التساوي المباشر هو 1 ومحدد التماثل غير المباشر هو -1.

أمثلة.ما هو القياس المباشر؟ ما هو القياس غير المباشر؟ لاحظ مواضع المثلثات. ماذا يحدث لقياسات الزوايا بين الأضلاع؟ استخدم تعريف قياس الزاوية بين خطين للتحقق من تخميناتك. تحقق أكثر من خلال النظر في مقاطع فيديو الرسوم المتحركة. (انظر أدناه بين المثالين للروابط.)

انقر هنا للحصول على رسم متحرك لأمثلة الرسوم: المثال أعلاه أو المثال أدناه.

الاقتراح 3.8. ناتج المصفوفات من اثنين من أفيني المباشر أو اثنين من مساواة غير مباشرة من المستوى الإقليدي هو مصفوفة من التماثل المباشر الأفيني. علاوة على ذلك ، فإن ناتج التماثل المباشر وغير المباشر الأفيني للطائرة الإقليدية هو مقياس تماثل غير مباشر للطائرة الإقليدية.

الاقتراح 3.9. مجموعة التماثل المباشر الأفيني للطائرة الإقليدية هي مجموعة.

الاقتراح 3.10. مجموعة التماثل الأفيني للطائرة الإقليدية هي مجموعة.

نفحص جزئيًا الأسئلة المطروحة قبل الرسوم التوضيحية أعلاه. لاحظ أن الرسم التخطيطي الأول يوضح قياس تساوي مباشر بينما الرسم البياني الثاني هو قياس تساوي غير مباشر. إذا قمنا بتسمية الرؤوس في المثلث الأصلي في اتجاه عقارب الساعة على النحو التالي أ ، ب، و ج ، ماذا يحدث للرؤوس في شكل الصورة لكل رسم بياني؟ في الرسم التخطيطي الأول ، تظل رؤوس الصورة بنفس ترتيب اتجاه عقارب الساعة ولكنها تنعكس إلى ترتيب عكس اتجاه عقارب الساعة في الرسم التخطيطي الثاني. يبدو أن التساوي القياس المباشر يحافظ على الاتجاه كما هو ، ويعكس التساوي غير المباشر الاتجاه.
افحص هذا بشكل أكبر عن طريق حساب قياسات الزوايا بين الخطوط التي تحددها الجوانب لكلا المخططين. الزاوية بين السطور ل[1 ، -1 ، 0] و م[1 ، -3 ، 2] يقيس تقريبًا -0.464 ، أين (تحقق من الحسابات التي تحدد الخطين وقياس الزاوية.) قياس الزاوية بين خطي الصورة l '[1، -3.085، –4.322] و m '[1 ، 6.655 ، 8.210] ، في الرسم البياني الأول ، تساوي تقريبًا -0.464. الزوايا بين السطور ل و م والخطوط l ' و م قياس نفس الشيء. قياس الزاوية بين خطي الصورة l '[1 ، 0.325 ، –1.424] ومتر '[1 ، 0.985 ، -1.751] ، في الرسم البياني الثاني ، حوالي 0.464. قياس الزاوية بين خطوط الصورة ل و م له إشارة معاكسة لقياس الزاوية بين الخطوط ل و م. احسب قيم الزاويتين الأخريين ، و.
تقودنا الملاحظات في الأمثلة أعلاه إلى تخمين الافتراضين التاليين.

الاقتراح 3.11. بالنسبة للتساوي المباشر المباشر للمستوى الإقليدي ، فإن قياس الزاوية بين خطين يساوي قياس الزاوية بين خطي الصورة.

دليل - إثبات. دع الخطوط ص و ف ' تكون صور الخطوط ص و ف تحت قياس متساوي مباشر مع مصفوفة أ. يترك ب يكون معكوس المصفوفة أ. بالاقتراح 3.9 ، ب هي مصفوفة تساوي القياس المباشر. حسب الاقتراح 3.6 ، هناك أرقام حقيقية غير صفرية k1 و ك2 مثل ذلك ك1 ص = pB و ك2ف ' = qB. نستخدم نتائج الجملتين السابقتين مع الاقتراح 3.7 للحساب. الخط ف ' يمكن التعبير عنها في شكل مماثل. احسب قياس الزاوية بين ص و q ' حيث الزاوية ليست زاوية قائمة. (تم ترك حالة الزاوية اليمنى لتتحقق منها.)

الاقتراح 3.12. بالنسبة للتساوي غير المباشر للطائرة الإقليدية ، فإن قياس الزاوية بين خطي الصورة له إشارة معاكسة لقياس الزاوية بين الخطين.

تمرين 3.37. يترك أ(0, 0, 1), ب(1, 0, 1), ج(0, 1, 1), د(1 ، 1 ، 1) ، هـ(2 ، 1 ، 1) ، و F(1 ، 2 ، 1). عرض المجموعاتأ ، ب ، ج> و <د ، ه ، ف> متطابقة. (يقال إن مجموعتين من النقاط تتطابق بشرط أن يكون هناك قياس متساوي حيث تكون إحدى المجموعات هي صورة المجموعة الأخرى.)

تمرين 3.38. خرائط تحويل أفيني X(5 ، 0 ، 1) إلى X '(4 ، 6 ، 1) و ص(0 ، 0 ، 1) إلى ص '(1 ، 2 ، 1). (عرض د(X ، ص) = د(X & # 39 ، Y & # 39) وتبين أن التحول قد لا يكون قياسًا متساويًا. (ب) أوجد قياس تساوي مباشر للتحول. (ج) ابحث عن قياس غير مباشر للتحول. (د) ابحث عن صورة ض(3 ، 10 ، 1) للتساوي القياس التي حصلت عليها في الجزأين (ب) و (ج).

تمرين 3.39. أكمل إثبات الاقتراح 3.7.

تمرين 3.40. إثبات اقتراح 3.8.

تمرين 3.41. إثبات اقتراح 3.9.

تمرين 3.42. إثبات الاقتراح 3.10.

تمرين 3.43. املأ الخطوات المفقودة للحسابين في إثبات الاقتراح 3.11.

تمرين 3.44. إثبات عكس التماثل غير المباشر الأفيني للطائرة الإقليدية هو تماثل غير مباشر أفيني للطائرة الإقليدية.

تمرين 3.45. إثبات الاقتراح 3.12. (تمرين الملاحظة 3.44.)


1.E: الهندسة التحليلية (تمارين)

اسمح لخطين متعامدين بالمرور عبر مركز تقويم العظام $ H $ of $ Delta ABC. $ افترض أنهما يلتقيان بالجوانب $ AB ، $ $ AC ، $ و $ BC $ في $ C_1 ، $ B_1 ، $ $ A_1 $ و $ C_2 ، $ B_2 ، $ A_2 ، $ على التوالي. دع $ t in [0،1]. $ تعريف $ M_1 = tA_1 + (1-t) A_2، $ $ M_2 = tB_1 + (1-t) B_2، $ و $ M_3 = tC_1 + (1-t) C_2. $

أثبت أن $ M_ <1> و $ $ M_ <2> $ و $ M_3 $ متداخلة.

المحلول

As has already been done previously, we choose to place the origin of the coordinate system at the orthocenter and the axes along the two given lines. We thus may specify the coordinates of the points involved: $A_<1>(a,0),$ $A_<2>(0,b),$ $B_<1>(c,0),$ $B_<2>(0,d),$ $C_<1>(e,0),$ $C_<2>(0,f).$ From here, $M_<1>(ta,(1-t)b),$ $M_<2>(tb,(1-t)d),$ $M(te,(1-t)f).$

The three points are collinear iff

$left|egin ta & (1-t)b & 1 tc & (1-t)d & 1 te & (1-t)f & 1 end ight|= t(1-t)left|egin a & b & 1 c & d & 1 e & f & 1 end ight|=0, $

We may exclude cases where $t=0$ or $t=1$ as trivial because then the three midpoints all lie on one of the given lines and are, therefore, automatically collinear:

Thus the collinearity of the three points is equivalent to the determinant identity:

$left|egin a & b & 1 c & d & 1 e & f & 1 end ight|=0, $

Note that segment $A_1A_2$ lies on the side line $BC$ of $Delta ABC,$ and, therefore, the latter has the slope $-b/a.$ Let $A=(x_<1>,y_<1>).$ Then since $AHperp BC,$

Now, again, since $A_1A_2$ and $BC$ define the same line, its equation is

In particular, $bx_<2>+ay_<2>=ab$ and $bx_<3>+ay_<3>=ab.$ Thus we can solve (2) and (4) for $x_2$ and $y_2,$ whereas from (3) and (4) we can obtain for $x_3$ and $y_3.$ Let's focus on $x_2$ and $y_2:$

But we can also use the fact that $B$ lies on $AB,$ i.e., $C_1C_2.$ Since the equation of the latter is $fx+ey=ef,$ we have $fx_<2>+ey_<2>=dc.$ Solving this together with (2) gives,

Equating the two expressions for either $x_2$ or $y_2$ we obtain

The latter expression is equivalent to

Proceeding similarly for $A$ and $C$ yields additional identities $ef(ac+bd)=cd(ae+bf)$ and $cd(ae+bf)=ab(ce+df).$ Between them, the three identities hold three equal quantities. We'll need just (7'). Let's return to the determinant in (0):

$left|egin a & b & 1 c & d & 1 e & f & 1 end ight|= left|egin a & b & 1 c & d & 1 e-a & f-b & 0 end ight|. $

We may assume that none of the six quantities $a,b,c,d,e,f$ is ,$ for, otherwise, one of the vertices lies on one of the given lines, making it an altitude. For example, if $b=0$ the second line is the altitude through $A,$ whereas the first is parallel to $BC:$

In this case, $M_2M_3parallel BC,$ $M_1$ is the point at infinity of the pencil of lines parallel to $BC,$ making the three points collinear. We thus assume that $abcdef e 0$ and proceed to modify the determinant in (8). With (7') in mind:

$ abcdefleft|egin a & b & 1 c & d & 1 e-a & f-b & 0 end الحق | = left|egin abdf & abce & 1 bcdf & acded & 1 bdf(e-a) & ace(f-b) & 0 end ight|$

We continue with the determinant on the right. Invoking (7') and (7):

$egin left|egin abdf & abce & 1 bcdf & acded & 1 bdf(e-a) & ace(f-b) & 0 end الحق | &= left|egin abdf & abce+abdf & 1 bcdf & acde+bcdf & 1 bdf(e-a) & 0 & 0 end ight| &=bdf(e-a)[abce+abdf-acde-bcdf] &=bdf(e-a)[ab(ce+df)-cd(ae+bf)] &=0. نهاية$

Which shows the required collinearity.

Acknowledgment

The proof is a slight modification of the one supplied by Leonard Giugiuc (Romania). A synthetic proof for the case of $t=1/2$ could be found on a separate page.


1.E: Analytic Geometry (Exercises)

David Catlin: Monday, 10:30 pm - 11:20 pm. Thursday, 1:30 pm - 2:20 pm.

Laszlo Lempert: Tuesday, 1:00 pm - 2:00 pm. Thursday, 2:00 pm - 3:00 pm.

February 9 from 7:00 pm - 8:00 pm

March 21, from 7:00 pm - 8:00 pm

April 11 from 7:00 pm - 8:00 pm

The Final Exam is scheduled by the administration, and its date will not be available until mid semester.

Copies of practice exams can be picked up in room 157 in the Purdue Memorial Union or downloaded from here:

Spring 1998
Exam 1
Exam 2
Exam 3
Final
Spring 1999
Exam 1
Exam 3
Final
Fall 1999
Exam 1
Exam 2
Exam 3
Final

This site contains answers to the practice exams.

Exam Answers
Exam Scores
To access your exam scores, type in the last 6 digits of your student id number, then press the "Submit ID" button.

    Last day for a student to drop a course without it being recorded: January 24, 2000, 5:00 P.M.

Students who are currently undergoing an evaluation process to determine whether they are eligible for academic adjustments are encouraged to find out now what procedures they will have to follow when they are certified by requesting the above ment ioned Information Sheet from MATH 242.

Large print copies of the Information Sheet are available from MATH 242 upon request.


Differential Calculus

1.2.5 Analytic functions

(I) P ower series يترك ه be a normed vector space with norm |.| and suppose that F is a Hausdorff quasi-complete locally convex space (see Remark 1.1 for the case where F is normable). With the notation of section 1.2.1 , let S E F be the K -vector space of formal power series س = ∑صسص, where سص = جص.X ص and c p ∈ ℒ p , s E F . Let (|.|γ)γ ∈ Γ be a family of semi-norms which induces the topology of F and let ص > 0 we write that ‖سγ, ص = ∑صص صجصγ و

The set S E F is a K -vector space called the space of convergent power series. If S ∈ S E F , we say that ρ S ≔ inf r > 0 : S ∈ S r E F is the radius of convergence من س. لنفترض أن ρ (س) > 0 if we replace the indeterminate X with an element حه such that | ح | & lt ρ (س), then the family جص.ح ص is summable ([P2], section 3.2.1 (III)), as can be seen by adapting the proof of ([P2], section 3.4.1 (I), Theorem 3.41), and the mapping س : سس (ح) is continuous in the open set | ح | & lt ρ (س).If F is a Banach space and ρ (س) > 0, then the power series س is absolutely convergent in | ح | & lt ρ (س) and normally convergent in | ح | ≤ ص′ for every ص′ such that 0 < ص′ < ρ (س) ([P2], section 4.3.2 (I)).

(II) A nalytic functions يترك أ be a non-empty open subset of ه. We say that a function F from أ إلى F is analytic (or is a mapping of class ج ω ) if, for each point أأ, there exists a convergent series S ∈ S E F , denoted by Fأ, such that F (أ + ح) = Fأ (ح) for every حه with sufficiently small norm. This definition generalizes ([P2], section 4.3.2 (I), Definition 4.74). Write C ω A F for the K -vector space of analytic functions from أ إلى F. If K = ℝ and f ∈ C ω A F , then F is of class ج ∞ in أ, and so is each of its differentials د ص F (ص ≥ 1). Every mapping f ∈ C ω A F admits the following Taylor series expansion at the point أ, which converges in | ح | & lt ρ(Fأ):

If | أ | & lt ρ(Fأ), then the radius of convergence of the Taylor expansion of F at the point أ أكبر من أو يساوي ρ (Fأ) − | أ |. لو أ = ه و ρ (Fأ) = +∞, then the function F is said to be entire.

يترك ه, F be Banach spaces, جي a quasi-complete locally convex space, أ an open subset of ه, F : أF an analytic function, ب an open subset of F containing F (أ) and ز : بجي an analytic function. ثم، زF is analytic (exercise) see ( [BOU 82a] , 3.2.7), ( [WHI 65] , p. 1079).

The principle of analytic continuation ([P2], section 4.3.2 , Theorem 4.76) can be generalized as follows (exercise: see [WHI 65] , p. 1080): let ه و F be two Banach spaces, Ω a connected open subset of ه و F, ز two analytic functions from Ω into F. لو F و ز coincide in any non-empty open subset of Ω, then they must be equal.

يترك ه be a Banach space and writefor the subset of invertible operators in ℒ E . يترك ℐ : ℌ → ℌ : u ↦ u − 1 . The mappingis analytic and satisfies D ℐ u 0 . h = − u 0 − 1 . h . u 0 − 1 for every u 0 ∈ ℌ .

We know that ℌ is open in ℒ E ([P2], section 3.4.1 (II), Corollary 3.49 ). Let u 0 ∈ ℌ and s ∈ ℒ E . We have u0 + s = u0 (1هالخامس), where الخامس = − u − 1 s. If || الخامس || < 1, then 1هالخامس is invertible with inverse Σن ≥ 0 الخامس ن (ibid.). Hence, if s < 1 u 0 , u0 + s has inverse ∑ن ≥ 0(− u0 − 1 . s) ن u0 − 1 , which shows that ℐ is analytic. Furthermore, ∑ن ≥ 0(− u0 − 1 . s) ن u0 − 1 = u0 − 1 − u0 − 1 . s. u0 − 1 + o(‖s‖).

(III) H olomorphic functions يترك ه be a normed complex vector space with norm |.|, أ some non-empty open subset of ه، و F a complex quasi-complete locally convex space. Goursat’s theorem ([P2], section 4.2.4 , Proposition 4.56) can be generalized as follows ( [BOU 82a] , 3.1.1): the function F : أF is analytic if and only if it is holomorphic (i.e. complex-differentiable). If this condition is satisfied for ه = ه1 × … × هن, let أ =(أ1,…, أن) ∈ أ, ص = (ص1, …, صن), where صأنا > 0, and c α = 1 α ! D α f a , where α is the multi-index (α1,…, αن). The Cauchy inequalities ([P2], section 4.3.2 (II), Lemma-Definition 4.78(2)) can be generalized as follows (exercise): for ص αص1 α1صن αن ,

Hence ([P2], section 4.3.2 (II), Theorem-Definition 4.81(3)), if F is entire in ه and bounded in F, then it must be constant (Liouville’s theorem). The statement of Hartogs’ theorem ([P2], section 4.3.2 (II), Corollary 4.80) also holds, mutatis mutandis, for a function F : أF, where أ is an open subset of ه1 × … × هن, and each هأنا is a complex normed vector space: any such function is analytic if and only if it is analytic in each of its variables when the others are held fixed.

Theorem 1.25

(maximum modulus) يترك ه (respectively F) be a complex Banach space (respectively quasi-complete Hausdorff locally convex space), A some connected non-empty open subset of ه و F : هF a holomorphic function. يترك |.|γ be a continuous semi-norm on F. If the function | F |γ : x ↦ | F (x)|γ is not constant, then it does not have a maximum in A.

Let us begin by showing the result by contradiction when E = F = ℂ . لنفترض أن F has a maximum in أ. By translation, we may assume that 0 ∈ أ and that this maximum is attained at 0. Let ج0 = F (0). لو F is not constant, then there exists بم ≠ 0 such that F (ض) = ج0 (1 + بمض م + ض م .ح (ض)), where ح is holomorphic in أ and satisfies ح (0) = 0. Choose ص > 0 such that | ض | ≤ ص implies ضأ and h z ≤ 1 2 b m . Let t ∈ ℝ be such that e mit = b m b m . إلى عن على ض = re it , we have

In the case where E = ℂ , we can similarly argue by contradiction by assuming that there exist ض0, ض1أ such that | F (ض) |γ ≤ | F (ض0)|γ للجميع ضأ and | F (ض1)|γ < | F (ض0)|γ. Let V = λ . f z 0 : λ ∈ ℂ and η : V → ℂ : λ . f z 0 ↦ λ . f z 0 γ . Then, | η |γ = 1, where η γ ≔ sup y ∈ F , y γ ≤ 1 η y . By the Hahn–Banach theorem ([P2], section 3.3.4 (II), Theorem 3.25), there exists a continuous linear form ξ ∈ F ∨ extending η such that | ξ |γ = 1. Therefore, for all xأ, | ξF (ض)| ≤ | F (ض)|γ ≤ | F (ض0)|γ = | ξF (ض0)|, so ξF is constant by (1). Hence, | ξF (ض1) = | ξF (ض0)| = | F (ض0)|γ and | ξF (ض1)| ≤ | F (ض1)|γ < | F (ض0)|γ, contradiction.

In the general case, let ز (ξ) = F (ض0 + ξ (ضض0)) and suppose that | F (ض)|γ ≤ | F (ض0)|γ للجميع ضأ. ثم، ز is holomorphic in Ω = ξ ∈ ℂ : ξ < 1 + r for sufficiently small ص > 0 and ض sufficiently close to ض0. Therefore, | ز (ξ)|γ ≤ | F (ض0)|γ = | ز (0)|γ، و ز is constant in Ω by (2). هكذا، ز (0) = ز (1), so F (ض) = F (ض0). The set of ضأ satisfying this condition is non-empty, open and closed in أ, and so must be equal to أ ([P2], section 2.3.8 ).


شاهد الفيديو: الهندسة التحليلية - الاختبار التاسع (شهر نوفمبر 2021).