مقالات

3.1: الظل والمشتق عند نقطة - الرياضيات


أهداف التعلم

في هذا القسم ، نسعى جاهدين لفهم الأفكار الناتجة عن الأسئلة المهمة التالية:

  • كيف ترتبط السرعة المتوسطة لجسم متحرك بقيم وظيفة موضعه؟
  • كيف نفسر متوسط ​​السرعة لجسم ما هندسيًا فيما يتعلق بالرسم البياني لوظيفة موضعه؟
  • كيف ترتبط فكرة السرعة اللحظية بالسرعة المتوسطة؟

يمكن النظر إلى حساب التفاضل والتكامل على نطاق واسع على أنه دراسة التغيير. السؤال الطبيعي والمهم الذي يجب طرحه حول أي كمية متغيرة هو "ما مدى سرعة تغير الكمية؟" اتضح أنه من أجل جعل الإجابة على هذا السؤال دقيقة ، يلزم وجود رياضيات جوهرية.

نبدأ بمشكلة مألوفة: كرة يتم رميها بشكل مستقيم في الهواء من ارتفاع أولي. من هذا السيناريو الأساسي ، سنطرح أسئلة حول كيفية تحرك الكرة. ستقودنا هذه الأسئلة إلى البدء في التحقيق في الأفكار التي ستكون مركزية خلال دراستنا لحساب التفاضل والتي لها عواقب واسعة النطاق. في قدر كبير من تفكيرنا حول حساب التفاضل والتكامل ، سنكون مستفيدين جيدًا من خلال تذكر هذا المثال الأول وسؤال أنفسنا كيف ترتبط الأفكار المختلفة (المجردة في بعض الأحيان) التي ندرسها بفعل بسيط يتمثل في رمي الكرة مباشرة في الهواء .

معاينة النشاط ( PageIndex {1} ):

افترض أن ارتفاع الكرة (بالأقدام) في الوقت t (بالثواني) مُعطى بالصيغة (s (t) = 64-16 (t-1) ^ 2 ).

  • أنشئ رسمًا بيانيًا دقيقًا لـ (y = s (t) ) على الفاصل الزمني (0 le t le 3 ). ضع علامة على ست نقاط مميزة على الأقل على الرسم البياني ، بما في ذلك النقاط الثلاث التي تتوافق مع وقت إطلاق الكرة ، وعندما تصل الكرة إلى أعلى نقطة لها ، وعندما تهبط الكرة.
  • بلغة الحياة اليومية ، صِف سلوك الكرة في الفاصل الزمني (0
  • ضع في اعتبارك التعبير (AV _ {[0.5،1]} = dfrac {s (1) -s (0.5)} {1-0.5} ).

احسب قيمة (AV _ {[0.5،1]} ). ماذا تقيس هذه القيمة هندسيا؟ ماذا تقيس هذه القيمة جسديا؟ على وجه الخصوص ، ما هي الوحدات الموجودة في (AV _ {[0.5،1]} )؟

المركز ومتوسط ​​السرعة

أي جسم متحرك له ملف وضع التي يمكن اعتبارها وظيفة الوقت. عندما تكون هذه الحركة على طول خط مستقيم ، يتم إعطاء الموضع بواسطة متغير واحد ، وعادةً ما ندع هذا الموضع يُشار إليه بـ (s (t) ) ، مما يعكس حقيقة أن الموضع هو دالة للوقت. على سبيل المثال ، قد نشاهد (s (t) ) كإخبار علامة الميل لسيارة تسير على طريق سريع مستقيم في الوقت (t ) بالساعات ؛ وبالمثل ، فإن الوظيفة (الوظائف ) الموصوفة في معاينة النشاط 1.1.1 هي وظيفة موضع ، حيث يتم قياس الموضع عموديًا بالنسبة إلى الأرض.

لا يقتصر الأمر على أن مثل هذا الكائن المتحرك له موقع مرتبط بحركته ، ولكن في أي فترة زمنية ، يكون للكائن متوسط ​​السرعة. فكر ، على سبيل المثال ، في القيادة من موقع إلى آخر: تقطع السيارة عددًا من الأميال خلال فترة زمنية معينة (تُقاس بالساعات) ، يمكننا من خلالها حساب متوسط ​​سرعة السيارة. في هذه الحالة ، متوسط ​​السرعة هو عدد الأميال المقطوعة مقسومًا على الوقت المنقضي ، والذي يُعطى بالطبع في ميل في الساعة. وبالمثل ، وجد حساب (AV _ {[0.5،1]} ) في نشاط المعاينة 1.1.1 متوسط ​​سرعة الكرة في الفاصل الزمني ([0.5 ، 1] ) ، مُقاسًا بالقدم في الثانية.

بشكل عام ، نقوم بعمل التعريف التالي: بالنسبة لجسم يتحرك في خط مستقيم يتم تحديد موضعه في الوقت (t ) من خلال الوظيفة (s (t) ) ، متوسط ​​سرعة الكائن على الفاصل الزمني من (t = a ) to (t = b ) ، يُرمز إليه (AV _ {[a، b]} ) ، تُعطى بواسطة الصيغة

[أ ف _ {| أ ، ب]} = frac {s (b) - s (a)} {b - a} ]

لاحظ جيدًا: الوحدات الموجودة على (AV _ {[a، b]} ) هي "وحدات (s ) لكل وحدة (t ) ،" مثل "ميل في الساعة" أو "قدم في الثانية. "

النشاط ( PageIndex {2} ):

تتعلق الأسئلة التالية بوظيفة الموضع التي قدمها (s (t) = 64-16 (t-1) ^ 2 ) ، وهي نفس الوظيفة التي تم أخذها في الاعتبار في نشاط المعاينة ( PageIndex {1} )

  1. احسب متوسط ​​سرعة الكرة في كل من الفترات الزمنية التالية: ([0.4 ، 0.8] ، [0.7 ، 0.8] ، [0.79 ، 0.8] ، [0.799 ، 0.8] ، [0.8 ، 1.2] ، [0.8 ، 0.9] ، [0.8 ، 0.81] ، [0.8 ، 0.801] ). قم بتضمين وحدات لكل قيمة.
  2. على الرسم البياني المقدم في الشكل ( PageIndex {1} ) ، ارسم الخط الذي يمر عبر النقاط (A = (0.4، s (0.4)) ) و (B = (0.8، s (0.8)) ) ). ما معنى ميل هذا الخط؟ في ضوء هذا المعنى ، ما هي الطريقة الهندسية لتفسير كل من القيم المحسوبة في السؤال السابق؟
  3. استخدم أداة الرسوم البيانية لرسم الرسم البياني (s (t) = 64-16 (t-1) ^ 2 ) على فاصل زمني يحتوي على القيمة (t = 0.8 ). بعد ذلك ، قم بالتكبير بشكل متكرر على النقطة ((0.8، s (0.8)) ). ما الذي تلاحظه في كيفية ظهور الرسم البياني وأنت تشاهده عن كثب أكثر فأكثر؟
  4. ماذا تخمن أن سرعة الكرة على الفور (t = 0.8 )؟ لماذا ا؟

الشكل ( PageIndex {1} ): قطعة جزئية من (s (t) = 64-16 (t-1) ^ 2 ).

السرعة اللحظية

سواء كنت تقود سيارة أو تركب دراجة أو رمي كرة ، لدينا شعور بديهي بأن أي جسم متحرك له سرعة في أي لحظة - وهو رقم يقيس مدى سرعة تحرك الكائن الرابع فى الحال. على سبيل المثال ، يخبر عداد السرعة في السيارة السائق بما يبدو أنه سرعة السيارة في أي لحظة معينة. في الواقع ، السرعة المرسلة على عداد السرعة هي في الحقيقة سرعة متوسطة يتم حسابها على مدى فترة زمنية صغيرة جدًا (عن طريق حساب عدد الدورات التي مرت بها الإطارات لحساب المسافة المقطوعة) ، نظرًا لأن السرعة تأتي أساسًا من التفكير في تغيير الموضع مقسومًا عن طريق تغيير الوقت. ولكن إذا تركنا الفترة الزمنية التي يتم خلالها حساب متوسط ​​السرعة تصبح أقصر وأقصر ، فيمكننا التقدم من متوسط ​​السرعة إلى فوريا ● السرعة.

بشكل غير رسمي ، نحدد iالسرعة nstantaneous لجسم متحرك في الوقت (t = a ) لتكون القيمة التي تقتربها السرعة المتوسطة لأننا نأخذ فترات زمنية أصغر وأصغر تحتوي على (t = a ) لحساب متوسط ​​السرعة. سنطور تعريفًا أكثر رسمية لهذا الأمر في الحال ، والذي سينتهي به الأمر ليكون أساس الكثير من عملنا في حساب التفاضل والتكامل في الفصل الدراسي الأول. في الوقت الحالي ، من الجيد التفكير في السرعة اللحظية بهذه الطريقة: خذ متوسط ​​السرعات على فترات زمنية أصغر وأصغر ، وإذا اقتربت هذه السرعات المتوسطة من رقم واحد ، فسيكون هذا الرقم هو السرعة اللحظية عند تلك النقطة.

النشاط ( فهرس الصفحة {3} ):

يتعلق كل سؤال من الأسئلة التالية بـ (s (t) = 64-16 (t-1) ^ 2 ) ، وظيفة الموضع من نشاط المعاينة ( PageIndex {1} ).

  1. احسب متوسط ​​سرعة الكرة في الفترة الزمنية ([1.5، 2] ). ما الفرق بين هذه القيمة ومتوسط ​​السرعة في الفترة ([0، 0.5] )؟
  2. استخدم تقنية الحوسبة المناسبة لتقدير السرعة اللحظية للكرة عند (t = 1.5 ). وبالمثل ، قدِّر السرعة اللحظية للكرة عند (t = 2 ). أي قيمة أكبر؟
  3. كيف ترتبط إشارة السرعة اللحظية للكرة بسلوكها في نقطة زمنية معينة؟ أي ما الذي تخبرك به السرعة اللحظية الموجبة أن الكرة تفعل؟ السرعة اللحظية السلبية؟
  4. بدون إجراء أي حسابات ، ماذا تتوقع أن تكون السرعة اللحظية للكرة عند (t = 1 )؟ لماذا ا؟

في هذه المرحلة ، بدأنا نرى ارتباطًا وثيقًا بين السرعة المتوسطة والسرعة اللحظية ، وكذلك كيفية ارتباط كل منهما ليس فقط بالسلوك المادي للجسم المتحرك ولكن أيضًا بالسلوك الهندسي للرسم البياني لوظيفة الموضع. من أجل جعل الارتباط بين السرعة المتوسطة واللحظية أكثر رسمية ، سنقدم مفهوم حد في القسم 1.2. كمعاينة لهذا المفهوم ، فإننا ننظر إلى طريقة للنظر في القيمة المحددة لمتوسط ​​السرعة من خلال إدخال معلمة. لاحظ أنه إذا كنا نرغب في معرفة السرعة اللحظية عند (t = a ) لجسم متحرك بوظيفة الموضع s ، فنحن مهتمون بحساب متوسط ​​السرعات على الفاصل ([a ، b] ) للأصغر والأصغر فترات. تتمثل إحدى طرق تصور ذلك في التفكير في القيمة (b ) على أنها (b = a + h ) ، حيث (h ) هو رقم صغير يُسمح له بالتنوع. وبالتالي ، نلاحظ أن متوسط ​​سرعة الجسم على الفاصل ([a ، a + h] ) هو

[AV _ {[a، a + h]} = dfrac {s (a + h) -s (a)} {h}، ]

مع كون المقام ببساطة (ح ) لأن ((أ + ح) -أ = ح ). في البداية ، من الجيد التفكير في (ح ) عدد حقيقي موجب صغير ؛ لكن من المهم ملاحظة أننا نسمح لـ (h ) أن يكون رقمًا سالبًا صغيرًا أيضًا ، حيث يتيح لنا ذلك التحقيق في متوسط ​​سرعة الكائن المتحرك على فترات زمنية قبل (t = a ) ، أيضًا على النحو التالي (ر = أ ). عندما (h <0 ) ، (AV _ {[a، a + h]} ) يقيس متوسط ​​السرعة على الفاصل ([a + h، a] ).

لمحاولة إيجاد السرعة اللحظية عند (t = a ) ، نتحرى ما يحدث عندما تقترب قيمة (h ) من الصفر. نحن نعتبر هذا أبعد في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {1} ):

بالنسبة للكرة الساقطة التي يتم تحديد وظيفة موضعها بواسطة (s (t) = 16-16t ^ 2 ) (حيث يتم قياس (s ) بالأقدام و (t ) بالثواني) ، ابحث عن تعبير لـ متوسط ​​سرعة الكرة في فترة زمنية من الشكل ([0.5، 0.5 + h] ) حيث (- 0.5

المحلول

نحن نفترض الافتراضات بأن (- 0.5 <ح <0.5 ) و (ح ) ، 0 لأن (ح ) لا يمكن أن يكون صفراً (وإلا لا توجد فاصل زمني لحساب متوسط ​​السرعة) ولأن الوظيفة فقط يبدو منطقيًا في الفترة الزمنية (0 le t le 1 ) ، حيث إنها المدة الزمنية التي تسقط خلالها الكرة. لاحظ أننا نريد الحساب والتبسيط

[A V _ {[0.5،0.5 + h]} = frac {s (0.5 + h) - s (0.5)} {(0.5 + h) - 0.5} ]

الجزء الأكثر غرابة في هذا الحساب هو إيجاد (ث (0.5 + ساعة) ). للقيام بذلك ، نتبع القاعدة التي تحدد الوظيفة (s ). على وجه الخصوص ، نظرًا لأن (s (t) = 16-16t ^ 2 ) ، فإننا نرى ذلك

[s (0.5 + h) = 16-16 (0.5 + h) ^ 2 = 16-16 (0.25 + h + h ^ 2) = 16-4-16h-16h ^ 2 = 12 -16 ساعة - 16 ساعة ^ 2. ]

الآن ، بالعودة إلى حسابنا لمتوسط ​​السرعة ، نجد ذلك

[AV _ {[0.5،0.5 + h]} = dfrac {s (0.5 + h) -s (0.5)} {(0.5 + h) -0.5} = dfrac {(12-16h-16h ^ 2) - (16-16 (0.5) ^ 2)} {0.5 + h-0.5} = dfrac {12-16h-16h ^ 2-12} {h} = dfrac {-16h-16h ^ 2} {h}. ]

في هذه المرحلة ، نلاحظ شيئين: أولاً ، من الواضح أن التعبير عن متوسط ​​السرعة يعتمد على (ح ) ، وهو ما يجب أن يتغير ، نظرًا لأن (ح ) يغير متوسط ​​السرعة. علاوة على ذلك ، نلاحظ أنه نظرًا لأن (h ) لا يمكن أن يساوي الصفر أبدًا ، فيمكننا تبسيط أحدث تعبير. إزالة العامل المشترك (h ) من البسط والمقام ، يتبع ذلك

[A V _ {[0.5،0.5 + h]} = - 16 - 16 ساعة ]

الآن ، لأي قيمة موجبة أو سالبة صغيرة لـ (h ) ، يمكننا حساب متوسط ​​السرعة. على سبيل المثال ، للحصول على متوسط ​​السرعة على ([0.5، 0.75] ) ، ندع (h = 0.25 ) ، ومتوسط ​​السرعة (- 16-16 (0.25) = - 20 قدمًا / ثانية ) ). للحصول على متوسط ​​السرعة على ([0.4، 0.5] ) ، ندع (h = -0.1 ) ، والذي يخبرنا أن متوسط ​​السرعة (- 16-16 (-0.1) = - 14.4 قدم / ثانية ). علاوة على ذلك ، يمكننا حتى استكشاف ما يحدث لـ (AV _ {[0.5،0.5 + h]} ) حيث يقترب (h ) من الصفر. مع اقتراب (ح ) من الصفر ، (- 16 ساعة ) سيقترب أيضًا من الصفر ، وبالتالي يبدو أن السرعة اللحظية للكرة عند (t = 0.5 ) يجب أن تكون (- 16 قدمًا / ثانية ) .

النشاط ( فهرس الصفحة {4} ):

بالنسبة للوظيفة المعطاة بواسطة (s (t) = 64-16 (t-1) ^ 2 ) من نشاط المعاينة 1.1.1 ، ابحث عن أبسط تعبير يمكنك الحصول عليه لمتوسط ​​سرعة الكرة في الفاصل الزمني ( [2، 2 + h] ). استخدم النتيجة لحساب السرعة المتوسطة على ([1.5، 2] ) ولتقدير السرعة اللحظية عند (t = 2 ). أخيرًا ، قارن عملك السابق في النشاط ( PageIndex {1} )

ملخص

في هذا القسم ، واجهنا الأفكار المهمة التالية:

  • يمكن عرض متوسط ​​السرعة على ([أ ، ب] ) هندسيًا على أنه ميل الخط الفاصل بين النقطتين ((أ ، ث (أ)) ) و ((ب ، ث (ب)) ) على الرسم البياني لـ (y = s (t) ) ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {2} ).

الشكل ( PageIndex {2} ): الرسم البياني لوظيفة الموضع مع الخط المار ((ك))) و ((ب ، ث (ب)) ) منحدره (m = dfrac {s (b) -s (a)} {b-a} ). ميل الخط هو متوسط ​​معدل التغيير (س) في الفترة الفاصلة ([أ ، ب] ).

  • بالنظر إلى جسم متحرك يتم تحديد موضعه في الوقت (t ) بواسطة دالة (ق ) ، يتم إعطاء متوسط ​​سرعة الكائن في الفاصل الزمني ([أ ، ب] ) بواسطة (AV_ { [a، b]} = dfrac {s (b) -s (a)} {ba} ). بالنظر إلى الفاصل ([a، b] ) على أنه يحتوي على الشكل ([a، a + h] ) ، نحسب بشكل مكافئ متوسط ​​السرعة من خلال الصيغة (AV _ {[a، a + h]} = dfrac {s (a + h) -s (a)} {h} ).
  • يتم تقدير السرعة اللحظية لجسم متحرك في وقت محدد من خلال النظر في متوسط ​​السرعات على فترات زمنية أقصر وأقصر تحتوي على لحظة الاهتمام.

مشتق (رياضيات)

في الرياضيات (خاصة في حساب التفاضل) ، فإن المشتق هي طريقة لإظهار معدل التغيير اللحظي: أي المقدار الذي تتغير به الوظيفة عند نقطة معينة. بالنسبة للدوال التي تعمل على الأعداد الحقيقية ، فهو ميل خط المماس عند نقطة على الرسم البياني. غالبًا ما تتم كتابة المشتق بالشكل [math] tfrac[/ math] ("dy over dx" ، بمعنى فرق في y مقسومة على فرق في x). ال د ليس متغيرًا ، وبالتالي لا يمكن إلغاؤه. تدوين شائع آخر هو [math] f '(x) [/ math] - مشتق الوظيفة [math] f [/ math] عند النقطة [math] x [/ math]. & # 911 & # 93 & # 912 & # 93 & # 913 & # 93


في الهندسة التفاضلية ، يمكن للمرء أن يرتبط بكل نقطة x < displaystyle x> من مشعب قابل للتفاضل a مساحة الظل—مساحة متجهة حقيقية تحتوي بشكل حدسي على الاتجاهات المحتملة التي يمكن للمرء أن يمر فيها بشكل عرضي عبر x < displaystyle x>. تسمى عناصر مساحة الظل عند x < displaystyle x> نواقل الظل عند x < displaystyle x>. هذا هو تعميم لمفهوم المتجه المحدود في الفضاء الإقليدي. أبعاد الفضاء المماس في كل نقطة من المشعب المتصل هي نفس أبعاد المشعب نفسه.

على سبيل المثال ، إذا كان المشعب المعطى هو 2 < displaystyle 2> -sphere ، فيمكن للمرء أن يتخيل الفضاء المماس عند نقطة ما مثل المستوى الذي يلمس الكرة في تلك النقطة ويكون عموديًا على نصف قطر الكرة من خلال النقطة. بشكل أكثر عمومية ، إذا كان يُنظر إلى مشعب معين على أنه عديدات طيات فرعية مضمنة في الفضاء الإقليدي ، فيمكن للمرء أن يتخيل مساحة مماسة بهذه الطريقة الحرفية. كان هذا هو النهج التقليدي لتحديد النقل الموازي. يستخدمه العديد من المؤلفين في الهندسة التفاضلية والنسبية العامة. [1] [2] بشكل أكثر دقة ، هذا يحدد الفضاء الأفيني المماس ، والذي يختلف عن فضاء نواقل الظل الموصوفة في المصطلحات الحديثة.

بمجرد إدخال المساحات المماسية للمشعب ، يمكن للمرء تحديد الحقول المتجهية ، والتي هي عبارة عن تجريدات لمجال سرعة الجسيمات المتحركة في الفضاء. يرتبط حقل المتجه بكل نقطة من نقاط المنوع متجهًا من مساحة الظل عند تلك النقطة ، بطريقة سلسة. يعمل حقل المتجه هذا على تحديد معادلة تفاضلية عادية معممة على مشعب: حل مثل هذه المعادلة التفاضلية هو منحنى قابل للتفاضل على المشعب الذي يكون مشتقه في أي نقطة مساويًا لمتجه المماس المرتبط بتلك النقطة بواسطة حقل المتجه.

قد يتم "لصق جميع المساحات المماسية للمشعب معًا" لتشكيل مشعب جديد قابل للتفاضل مع ضعف أبعاد المشعب الأصلي ، يُطلق عليه حزمة الظل من المشعب.

هناك طرق مكافئة مختلفة لتحديد المساحات المماسية للمشعب. في حين أن التعريف عبر سرعة المنحنيات هو الأبسط بشكل حدسي ، إلا أنه أيضًا الأكثر تعقيدًا للعمل معه. يتم وصف الأساليب الأكثر أناقة وتجريدًا أدناه.


يتم عرض دالة القطع المكافئ في الشكل 4.2.1. الأسئلة العديدة التالية تشير إلى هذه الوظيفة.

عدة قيم لـ ( fd) في الجدول 4.2.3. لكل قيمة معطاة لـ (x ) ارسم على الشكل 4.2.1 مقطع خط طويل لطيف عند النقطة المقابلة في (g ) الذي يساوي ميله قيمة ( fd text <.> ) إذا فكرنا في هذه المقاطع على أنها خطوط فعلية ، فماذا نسمي الخطوط؟

ما هي قيمة ( fe < fd> <1> text <؟> ) كيف تعرف ذلك؟ أدخل هذه القيمة في الجدول 4.2.3.

الوظيفة (g ) متماثلة عبر السطر (x = 1 text <> ) أي ، إذا تحركنا مسافة متساوية إلى اليسار واليمين من هذا السطر ، فإن المقابل (y ) - الإحداثيات على (g ) متساويان دائمًا. لاحظ أن منحدرات خطوط الظل "متساوية ولكن متقابلة" عند النقاط التي تمت إزالتها بشكل متساوٍ من محور التناظر وهذا ينعكس في قيم ( fe < fd> <-1> ) و ( fe < fd> <3> text <.> ) استخدم فكرة "المنحدر المتساوي ولكن المقابل على مسافة متساوية من محور التناظر" لإكمال الجدول 4.2.3.

ارسم النقاط من الجدول 4.2.3 على الشكل 4.2.2 وقم بتوصيل النقاط. حدد صيغة الدالة الخطية الناتجة.

صيغة ( fe) هو (- 0.5x ^ 2 + x + 5.5 text <.> ) استخدم التعريف 3.3.1 لتحديد صيغة ( fe < fd> نص <.> )

الخط الذي رسمته في الشكل 4.2.2 هو ليس خط مماس لـ (g text <.> ) فقط ما هو هذا الخط بالضبط؟

تظهر الدالة (f ) في الشكل 4.2.4 والدالة المشتقة الأولى المقابلة ( fd) في الشكل 4.2.5. أجب عن كل من الأسئلة التالية بالرجوع إلى هاتين الوظيفتين.


التفسير الهندسي للمشتق: معادلة الظل & # 038 عادي

يصبح متوسط ​​معدل التغيير Δy / Δx هو معدل التغيير اللحظي الذي يمثله dy / dx وبالتالي يمثل dy / dx ميل الظل عند P.

معادلة الظل والعادي

مشتق التابع y = f (x) يمثل ميل المماس للمنحنى عند النقطة العامة (x، y).

دع y = f (x) هو المنحنى المحدد. نعلم بالفعل أن dy / dx عند أي نقطة تقع على المنحنى سيعطينا ميل المماس الذي يمكن رسمه عند هذه النقطة.

دع (x1، ذ1) أي نقطة على المنحنى ، وهذا يعني ، y1 = و (س1).

الآن منحدر المماس الذي يمكن رسمه للمنحنى عند (x1، ذ1) سوف يكون

وبالتالي فإن معادلة الظل عند (x1، ذ1) سيكون،

وبالمثل ، فإن المعادلة العادية عند (x1، ذ1) سيكون

بشرط أن يكون $ displaystyle ( frac) _ <(x_1، y_1)> ne 0 $

إذا كان $ displaystyle ( frac) _ <(x_1، y_1)> = 0 $ فإن المعادلة العادية ستكون x = x1

ثم ، $ displaystyle frac = فارك$

رسم توضيحي: الظل عند النقطة P.1 (بخلاف ذلك (0 ، 0)) على المنحنى y = x 3 يلتقي المنحنى مرة أخرى عند P2. الظل عند P.2 يلتقي بالمنحنى عند P.3 وهكذا. أظهر أن السداسية لـ P.1، ص2، ص3 ، & # 8230 .. صن، وشكل G.P. أيضا ، أوجد النسبة

الحل: دع نقطة P1 على y = x 3 be (h، h 3)

ظل في P.1 هي y & # 8211 h 3 = 3h 2 (x - h) ، وتلتقي y = x 3 عند P2

x = & # 8211 2h لـ P2 مثل x = h للنقطة P1

ظل في P.2 هل ص + 8 ​​س 3 = 3 (2 س) 2 (س + 2 س) ،

بالاستمرار على هذا النحو ، نحصل على x = -8h لـ P4 إلخ،

ومن هنا تأتي abscissae لـ P.1، ص2 ، ص3 & # 8230. هي h ، -2h ، 4h ، -8h ، & # 8230 التي هي في G.P.

$ كبير فارك < Delta_1> < Delta_2> = فارك <1> <2> يسار | يبدأ h & amp h ^ 3 & amp 1 -2h & amp -8h ^ 3 & amp 1 4h & amp 64h ^ ​​3 & amp 1 end الحق | div frac <1> <2> يسار | يبدأ -2h & amp-8h ^ 3 & amp 1 4h & amp 64h ^ ​​3 & amp 1 -8h & amp -512h ^ 3 & amp 1 end الحق | $

رسم توضيحي: إذا كان P.1 و ص2 هي أطوال الخطوط العمودية من الأصل إلى المماس والخط العمودي للمنحنى x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 على التوالي ، أثبت ذلك
$ displaystyle P_1 ^ 2 + frac <4> $ ثابت.

الحل: يمكن تجربة الشكل البارامترى للمنحنى أحيانًا لحل المشكلات.


3.1: الظل والمشتق عند نقطة - الرياضيات

خط الظل هو الخط الذي يلامس منحنى عند نقطة واحدة فقط.

لإيجاد معادلة خط المماس عند نقطة (x1، ذ1) ، & # xa0 نستخدم الصيغة

هنا m ميل عند (x1، ذ1) و (x1، ذ1) هي النقطة التي نرسم عندها خطًا مماسًا.

أوجد معادلة خط المماس عند x & # xa0 = & # xa0 5.

يجب أن نجد معادلة المماس عند النقطة (5 ، 3).

معادلة خط الظل:

خط الظل عند النقطة (5 ، 3).

معادلة خط المماس عند النقطة (5 ، 3) هي

هو مماس للرسم البياني للدالة f & # xa0at & # xa0 (2، 15)، & # xa0 ما هو f '(2)؟

معادلة خط الظل:

ما هو x-coordinate & # xa0 للنقطة التي يوجد بها خط المماس

نظرًا لأن خط الظل المرسوم للمنحنى المعطى موازي لمحور x ، فإن ميل خط الظل المطلوب هو 0.

إذن ، إحداثي x المطلوب هو x & # xa0 = & # xa0 -6.

أوجد معادلة خط المماس الذي يمر بالنقطة (2 ، -1) ويوازي الخط المعطى بالمعادلة 2x-y & # xa0 = & # xa0 1

نظرًا لأن خط الظل المطلوب موازٍ للخط المعطى 2x-y & # xa0 = & # xa0 1 ، فإن ميل الخط المعطى يساوي ميل خط الظل.

m & # xa0 = & # xa0 - معامل x / معامل y

معادلة خط الظل:

بالنسبة إلى g معينة ، نعرف g '(5) & # xa0 = & # xa0 2 and g (5) & # xa0 = & # xa0 3. اكتب معادلة الظل لـ g عند x & # xa0 = & # xa0 5.

المنحدر عند النقطة x & # xa0 = & # xa0 5 هو 2.

نرسم خط المماس عند النقطة (5 ، 3).

معادلة خط الظل:

بصرف النظر عن الأشياء المذكورة أعلاه ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


أمثلة

مثال 1

في وقت سابق ، حصلت على مشكلة بشأن كيفن ، الذي يواجه مشكلة في فهم التفاضل والتكامل.

طلب السيد بانر من Kevin إيجاد معادلة الخط مع الأخذ في الاعتبار النقطتين (4،5) و (4،5). النقاط (4 ، 5) و (4 ، 5) هي نفسها ، لذا فإن الارتفاع /يركض سيكون 00 - تم تقديم Kevin للتو للحاجة إلى حساب التفاضل!

مثال 2

وهكذا يكون ميل خط المماس هو 12. وباستخدام صيغة النقطة والميل أعلاه ، نجد أن معادلة خط المماس هي ذ - 8 = 12 (x - 2) أو ذ = 12x - 16.

مثال 3

منذ ذلك الحين

لإيجاد الميل ، نعوض به ببساطة x = 2 في النتيجة F' (x):

وبالتالي منحدر خط المماس عند x = 2 و x = & ناقص 1 هي 4 و & ناقص 2 على التوالي.

مثال 4

أوجد ميل خط المماس للمنحنى ذ = 1/x الذي يمر بالنقطة (1 ، 1).

باستخدام منحدر صيغة الظل ،

وبالتالي منحدر خط المماس عند x = 1 للمنحنى ذ = 1/x يكون م = & ناقص 1. لإيجاد معادلة خط المماس ، نستخدم ببساطة صيغة نقطة الميل ،

إذن ، معادلة خط المماس هي ذ = -x + 2.

مثال 5

بالنظر إلى الدالة y = 1 /2x 2 وقيم x0= 3 و x1= 4 ، ابحث عن:

حدد النقطتين بالتعويض عن 3 و 4 في x في الدالة f (x) = 1 /2× 2

عوّض بالنقطتين (3 ، 4.5) و (4 ، 8) في صيغة متوسط ​​معدل التغيير: م = ص1& ناقص0 / س1& ناقص0

متوسط ​​معدل التغيير = 7 /2

ميل الخط القاطع بين x0 و x1 هو المنحدر بين (3،4.5) و (4،8) ، وهو 72.

معدل التغيير اللحظي هو المنحدر في س = 3.

استخدم الصيغة: f (x + h) & minusf (x) /ح حيث و (س) = 1 /2س 2 و س = 3

f (3 + h) & minusf (3) /ح . عوّض 3 من أجل x

احباط وتوزيع 1 /2

يكون ميل المماس عند 4 هو نفسه معدل التغيير اللحظي عند x = 4

هذه هي نفس سلسلة الخطوات كما في x = 3 أعلاه

مثال 6

بالنظر إلى الدالة f (x) = 1x والقيم x0= 2 و x1= 3 ، ابحث عن:

حدد النقطتين بالتعويض عن 2 و 3 x في الوظيفة

استبدل النقطتين (2، 1 /2)|(3, 1 /3) في صيغة متوسط ​​معدل التغيير: م = ص1& ناقص0 / س1& ناقص0

متوسط ​​معدل التغيير = & ناقص 16

ميل الخط القاطع بين x0 و x1 هو المنحدر بين (2 ، 1 /2) و (3 ، 1 /3) ، وهو & ناقص 16.

استخدم الصيغة: f (x + h) & minusf (x) /ح حيث و (س) = 1 /x و x = 2

كان لدينا كسر مقسومًا على كسر ، مقلوبًا لضربه

يكون ميل المماس عند 3 هو نفسه معدل التغيير اللحظي عند x = 3

هذه هي نفس سلسلة الخطوات كما في x = 2 أعلاه


خط الظل

لتوضيح كيفية أخذنا لمنحدرات المنحنيات ، دعنا نرسم منحنى ونوضح خط الظل، وهو خط يلامس منحنى عند نقطة معينة (واحدة فقط) ، وعادة لا يمر عبر هذا المنحنى بالقرب من تلك النقطة.

ومع ذلك ، للحصول على ميل فعلي لخط ، نحتاج إلى نقطتين بدلاً من نقطة واحدة فقط. يجب أن نستخدم ما نسميه خط قاطع لتحديد الميل (متوسط ​​معدل التغيير) ، حيث يمر هذا الخط بنقطتين أخريين على المنحنى. لكننا نريد أن يكون هذا الخط صغيرًا (بحيث يكون الميل أكثر دقة) ، لذلك نريد استخدام a حد أين ال تغيير في ( رمز جريء) يقترب أكثر فأكثر من 0 .

إليك بعض الرسوم التوضيحية. هل ترى كيف عندما نحصل على قيم (س ) أصغر وأصغر ، هناك فرصة أفضل بكثير أن يقترب القاطع أكثر فأكثر من المماس الفعلي (المنحدر) للمنحنى عند نقاط على طول المنحنى؟ هل ترى أيضًا أنه كلما اقتربنا ، يصبح خط المماس الفعلي والخطوط القاطعة أكثر فأكثر موازى؟ هذا ما نريده عندما نأخذ المشتقة في التفاضل والتكامل: تصبح خطوط الظل والقطع هي نفس الشيء.


أسس راي بصريات

2.2.12 تقريب Eikonal: ملخص

باختصار ، لقد أوجزت ما يمكن تسميته "النهج التقليدي لتقريب eikonal ،" الذي يربط البصريات الهندسية بالنظرية الكهرومغناطيسية. لقد رأينا أنه بمعنى ما ، إذا كان من الممكن اعتبار 1 k 0 معلمة صغيرة ، فيمكن للمرء أن يصل إلى القواعد المعروفة للبصريات الهندسية المتعلقة بانتشار الضوء ، بدءًا من النظرية الكهرومغناطيسية المصاغة من معادلات ماكسويل .

وبشكل أكثر تحديدًا ، بافتراض اعتماد وقت متناسق على شكل e iωt ، والاعتماد على الفضاء لمتجهات المجال في النموذج هه طك0س و حه طك0س (إلى عن على كبير ك 0 = ω ج) ، أين ه و ح تتفاوت ببطء السعات المعقدة ، لقد اشتقنا معادلات مسارات الأشعة—المسارات التي يتدفق على طولها طاقة المجال الكهرومغناطيسي يحدث (مكافئ. 2.12b ، 2.13 ، و 2.14). جميع مسارات الأشعة هذه متعامدة مع عائلة الأسطح س = ثابت ، حيث دالة eikonal س(ص) يفي بالمعادلة eikonal (2.4a). هذه هي الجبهات الموجية الهندسية لتقريب eikonal. على وجه الخصوص ، في منطقة من الفضاء يشغلها وسيط متجانس ، تكون جميع مسارات الأشعة عبارة عن خطوط مستقيمة (مبدأ الانتشار المستقيم للبصريات الهندسية).

بالإشارة إلى متجه الوحدة المماس لمسار شعاع في أي نقطة معينة ، موجهة على طول اتجاه تدفق الطاقة ، بواسطة t ^ ، يجد المرء أن متجهات السعة المعقدة ه و ح جنبا إلى جنب مع t ^ يشكلون ثالوثًا أيمنًا ، مشابهًا لحالة موجة مستوية أحادية اللون. يتم تعزيز هذا التشبيه بالنتيجة التي تفيد بأن متوسط ​​كثافة الطاقة الكهربائية والمغناطيسية بمتوسط ​​الوقت متساوي (مكافئ 2.7) ويتم إعطاء متوسط ​​تدفق الطاقة في الوقت في أي نقطة معينة بواسطة المعادل. (2.9) ، مما يعني أن طاقة المجال الكهرومغناطيسي مع اختلاف الوقت التوافقي يتم نقلها بسرعة المرحلة المحلية الخامس، المقابلة التي يكون معامل الانكسار المحلي n = c v. في الواقع ، كما ذكرنا سابقًا ، فإن الاختلافات في الزمكان في متجهات المجال في التقريب eikonal تشبه محليًا تلك الخاصة بموجة مستوية. أخيرًا ، تؤدي علاقة تدفق الطاقة إلى قاعدة كثافة البصريات الهندسية (مكافئ 2.17).

بالنسبة لحالة وسط متناحٍ غير مشتت للنظر هنا من أجل البساطة ، فإن سرعة الطور هي نفسها سرعة المجموعة (يُطلق عليها أيضًا "سرعة الشعاع").

تظهر مجموعة ثانية من العلاقات عندما يأخذ المرء في الاعتبار شروط الدرجة الأولى من الصغر الناتجة عن معادلات ماكسويل (أي تلك التي تتضمن العامل 1 ك 0 بالإضافة إلى تلك المستقلة عن ك0). وتشمل معادلات النقل لناقلات المجال (أي ، المعادلة 2.27 ، جنبًا إلى جنب مع معادلات النقل التي تعبر عن التغيرات في أحجام المتجهات) ، والتي تعني ، على وجه الخصوص ، قاعدة الاستقطاب للبصريات الهندسية (أي القاعدة التي تحكم دوران نواقل المجال على طول مسار شعاع لموجة مستقطبة خطيًا).

بالإضافة إلى ذلك ، فإن التقريب eikonal يعيد إنتاج قوانين الانعكاس والانكسار المعروفة جيدًا للبصريات الهندسية ، والآن في سياق أكثر عمومية من السياق الذي يتضمن حادثة موجة مستوية على واجهة مستوية تفصل بين وسيطين. علاوة على ذلك ، من خلال استدعاء مصطلحات من الدرجة الأولى تتضمن 1 k 0 ، يحصل المرء على صيغ Fresnel (نفس العلاقات التي واجهناها في القسم 1.14.3) للانعكاس والانكسار ، مرة أخرى في هذا السياق الأكثر عمومية.

يعد طول المسار البصري على طول مسير (ليس بالضرورة مسار شعاع) أحد الأشياء ذات الصلة والاهتمام الكبير بالبصريات الهندسية وهو يربط بين أي نقطتين في مجال بصري (المعادلة 2.18). في القسم التالي ، سنرى كيف يقودنا مفهوم طول المسار البصري إلى ذلك مبدأ فيرمات، وهو مبدأ يميز مسارات الأشعة في مجال بصري.

كنقطة اهتمام أخيرة ، يمكن إعداد تقريب eikonal لـ متباين الخواص متوسط ​​أيضًا ، حيث يتعافى المرء معادلات فرينل لسرعات المرحلة والأشعة (مكافئ. 1.177a و 1.184). على سبيل المثال ، يتم الحصول على كل هذه النتائج في صياغة Luneburg-Kline البصريات الهندسية (انظر القسم 2.4 للحصول على مقدمة موجزة) ، والذي يعيد إنتاج الصيغ الأساسية التي يعتمد عليها تقريب eikonal.

تتضمن الصيغ الأولية لبصريات الأشعة ببساطة الصيغ الخاصة بتتبع مسارات الأشعة في إعدادات بصرية معينة. وبشكل أكثر تحديدًا ، يستخدم المرء بصريات الأشعة في عمل مسارات الأشعة من خلال الأنظمة البصرية المكونة من العدسات والمرايا ، حيث يتم استدعاء قوانين الانعكاس والانكسار فقط. يتم تبرير هذه القوانين بالرجوع إلى الحالة التي تنعكس فيها الموجة المستوية وتنكسر من واجهة مستوية ممتدة بشكل لا نهائي يفصل بين وسيطين كما في القسم 1.14. يهدف التقريب eikonal ، كما هو موضح أعلاه ، إلى نهج أكثر صرامة وواسع النطاق لربط بصريات الأشعة بالنظرية الكهرومغناطيسية. كما أشرت بالفعل ، هذا مخطط تقريبي يستخدم صغر الطول الموجي حيث يحصل المرء عدة مجموعات من العلاقات من خلال النظر في شروط الطلبات الأصغر حجمًا على التوالي. وتشمل هذه المعادلات التي تصف مسارات الأشعة و ، بالإضافة، معادلات النقل لمتجهات المجال وصيغ فرينل للانعكاس والانكسار.


حساب التفاضل والتكامل المبكر المتعالي: التفاضل وحساب متعدد المتغيرات للعلوم الاجتماعية

ما زلنا لم نجب على أحد أسئلتنا الأولى حول انحدار السطح: البدء من نقطة على سطح معين بواسطة (f (x، y) text <،> ) والسير في اتجاه معين ، ما مدى الانحدار هو السطح؟ نحن الآن جاهزون للإجابة على السؤال.

نحن نعلم بالفعل ما يجب فعله تقريبًا: كما هو موضح في الشكل 7.3 ، نمد خطًا في المستوى (x ) - (y ) - إلى مستوى عمودي ، ثم نحسب ميل المنحنى ذلك هو المقطع العرضي للسطح في ذلك المستوى. حجر العثرة الرئيسي هو أن ما يظهر في هذا المستوى على أنه المحور الأفقي ، أي الخط الموجود في (x ) - (y ) - المستوى ، ليس محورًا فعليًا - لا نعرف شيئًا عن "الوحدات" على طول المحور. هدفنا هو تحويل هذا السطر إلى محور (t ) ثم نحتاج إلى صيغ لكتابة (س ) و (ص ) من حيث هذا المتغير الجديد (t نص <> ) ثم يمكننا اكتب (ض ) من حيث (t ) لأننا نعرف (ض ) من حيث (س ) و (ص نص <> ) وأخيراً يمكننا ببساطة أخذ المشتق.

So we need to somehow “mark off” units on the line, and we need a convenient way to refer to the line in calculations. It turns out that we can accomplish both by using the vector form of a line. Suppose that (vect) is a unit vector (langle u_1,u_2 angle) in the direction of interest. A vector equation for the line through ((x_0,y_0)) in this direction is (vect(t)=langle u_1t+x_0,u_2t+y_0 angle ext<.>) The height of the surface above the point ((u_1t+x_0,u_2t+y_0)) is (g(t)=f(u_1t+x_0,u_2t+y_0) ext<.>) Because (vect) is a unit vector, the value of (t) is precisely the distance along the line from ((x_0,y_0)) to ((u_1t+x_0,u_2t+y_0) ext<>) this means that the line is effectively a (t) axis, with origin at the point ((x_0,y_0) ext<,>) so the slope we seek is

Here we have used the Chain Rule and the derivatives ((u_1t+x_0)=u_1) and ((u_2t+y_0)=u_2 ext<.>) The vector (langle f_x,f_y angle) is very useful, so it has its own symbol, ( abla f ext<,>) pronounced “del f” it is also called the of (f ext<.>)

Example 7.37 . ميل.

Find the slope of (z=x^2+y^2) at ((1,2)) in the direction of the vector (langle 3,4 angle ext<.>)

We first compute the gradient at ((1,2) ext<:>) ( abla f=langle 2x,2y angle ext<,>) which is (langle 2,4 angle) at ((1,2) ext<.>) A unit vector in the desired direction is (langle 3/5,4/5 angle ext<,>) and the desired slope is then (langle 2,4 anglecdotlangle 3/5,4/5 angle=6/5+16/5=22/5 ext<.>)

Example 7.38 . Tangent Vector.

Find a tangent vector to (z=x^2+y^2) at ((1,2)) in the direction of the vector (langle 3,4 angle) and show that it is parallel to the tangent plane at that point.

Since (langle 3/5,4/5 angle) is a unit vector in the desired direction, we can easily expand it to a tangent vector simply by adding the third coordinate computed in the previous example: (langle 3/5,4/5,22/5 angle ext<.>) To see that this vector is parallel to the tangent plane, we can compute its dot product with a normal to the plane. We know that a normal to the tangent plane is

and the dot product is (langle 2,4,-1 anglecdotlangle 3/5,4/5,22/5 angle=6/5+16/5-22/5=0 ext<,>) so the two vectors are perpendicular. (Note that the vector normal to the surface, namely (langle f_x,f_y,-1 angle ext<,>) is simply the gradient with a (-1) tacked on as the third component.)

The slope of a surface given by (z=f(x,y)) in the direction of a (two-dimensional) vector (vect) is called the of (f ext<,>) written (D_>f ext<.>) The directional derivative immediately provides us with some additional information. We know that

if (vect) is a unit vector ( heta) is the angle between ( abla f) and (vect ext<.>) This tells us immediately that the largest value of (D_>f) occurs when (cos heta=1 ext<,>) namely, when ( heta=0 ext<,>) so ( abla f) is parallel to (vect ext<.>) In other words, the gradient ( abla f) points in the direction of steepest ascent of the surface, and (| abla f|) is the slope in that direction. Likewise, the smallest value of (D_>f) occurs when (cos heta=-1 ext<,>) namely, when ( heta=pi ext<,>) so ( abla f) is anti-parallel to (vect ext<.>) In other words, (- abla f) points in the direction of steepest descent of the surface, and (-| abla f|) is the slope in that direction.

Example 7.39 . Direction of Steepest Ascent and Descent.

Investigate the direction of steepest ascent and descent for (z=x^2+y^2 ext<.>)

The gradient is (langle 2x,2y angle=2langle x,y angle ext<>) this is a vector parallel to the vector (langle x,y angle ext<,>) so the direction of steepest ascent is directly away from the origin, starting at the point ((x,y) ext<.>) The direction of steepest descent is thus directly toward the origin from ((x,y) ext<.>) Note that at ((0,0)) the gradient vector is (langle 0,0 angle ext<,>) which has no direction, and it is clear from the plot of this surface that there is a minimum point at the origin, and tangent vectors in all directions are parallel to the (x)-(y)-plane.

If ( abla f) is perpendicular to (vect ext<,>) (D_>f=| abla f|cos(pi/2)=0 ext<,>) since (cos(pi/2)=0 ext<.>) This means that in either of the two directions perpendicular to ( abla f ext<,>) the slope of the surface is 0 this implies that a vector in either of these directions is tangent to the level curve at that point. Starting with ( abla f=langle f_x,f_y angle ext<,>) it is easy to find a vector perpendicular to it: either (langle f_y,-f_x angle) or (langle -f_y,f_x angle) will work.

If (f(x,y,z)) is a function of three variables, all the calculations proceed in essentially the same way. The rate at which (f) changes in a particular direction is ( abla fcdotvect ext<,>) where now ( abla f=langle f_x,f_y,f_z angle) and (vect=langle u_1,u_2,u_3 angle) is a unit vector. Again ( abla f) points in the direction of maximum rate of increase, (- abla f) points in the direction of maximum rate of decrease, and any vector perpendicular to ( abla f) is tangent to the level surface (f(x,y,z)=k) at the point in question. Of course there are no longer just two such vectors the vectors perpendicular to ( abla f) describe the tangent plane to the level surface, or in other words ( abla f) is a normal to the tangent plane.

Example 7.40 . Gradient.

Suppose the temperature at a point in space is given by (T(x,y,z)=T_0/(1+x^2+y^2+z^2) ext<>) at the origin the temperature in Kelvin is (T_0>0 ext<,>) and it decreases in every direction from there. It might be, for example, that there is a source of heat at the origin, and as we get farther from the source, the temperature decreases. The gradient is

The gradient points directly at the origin from the point ((x,y,z))—by moving directly toward the heat source, we increase the temperature as quickly as possible.

Example 7.41 . Tangent Plane.

Find the points on the surface defined by (x^2+2y^2+3z^2=1) where the tangent plane is parallel to the plane defined by (3x-y+3z=1 ext<.>)

Two planes are parallel if their normals are parallel or anti-parallel, so we want to find the points on the surface with normal parallel or anti-parallel to (langle 3,-1,3 angle ext<.>) Let (f=x^2+2y^2+3z^2 ext<>) the gradient of (f) is normal to the level surface at every point, so we are looking for a gradient parallel or anti-parallel to (langle 3,-1,3 angle ext<.>) The gradient is (langle 2x,4y,6z angle ext<>) if it is parallel or anti-parallel to (langle 3,-1,3 angle ext<,>) then

for some (k ext<.>) This means we need a solution to the equations

but this is three equations in four unknowns—we need another equation. What we haven't used so far is that the points we seek are on the surface (x^2+2y^2+3z^2=1 ext<>) this is the fourth equation. If we solve the first three equations for (x ext<,>) (y ext<,>) and (z) and substitute into the fourth equation we get

Exercises for Section 7.5.
Exercise 7.5.1 .

Find (D_> f) for (ds f=x^2+xy+y^2) in the direction of (vect=langle 2,1 angle) at the point ((1,1) ext<.>)

Exercise 7.5.2 .

Find (D_> f) for (ds f=sin(xy)) in the direction of (vect=langle -1,1 angle) at the point ((3,1) ext<.>)

Exercise 7.5.3 .

Find (D_> f) for (ds f=e^xcos(y)) in the direction 30 degrees from the positive (x) axis at the point ((1,pi/4) ext<.>)

Exercise 7.5.4 .

The temperature of a thin plate in the (x)-(y)-plane is (ds T=x^2+y^2 ext<.>) How fast does temperature change at the point ((1,5)) moving in a direction 30 degrees from the positive (x) axis?

Exercise 7.5.5 .

Suppose the density of a thin plate at ((x,y)) is (ds 1/sqrt ext<.>) Find the rate of change of the density at ((2,1)) in a direction (pi/3) radians from the positive (x) axis.

Exercise 7.5.6 .

Suppose the electric potential at ((x,y)) is (dslnsqrt ext<.>) Find the rate of change of the potential at ((3,4)) toward the origin and also in a direction at a right angle to the direction toward the origin.

Exercise 7.5.7 .

A plane perpendicular to the (x)-(y)-plane contains the point ((2,1,8)) on the paraboloid (z=x^2+4y^2 ext<.>) The cross-section of the paraboloid created by this plane has slope 0 at this point. Find an equation of the plane.

Exercise 7.5.8 .

A plane perpendicular to the (x)-(y)-plane contains the point ((3,2,2)) on the paraboloid (36z=4x^2+9y^2 ext<.>) The cross-section of the paraboloid created by this plane has slope 0 at this point. Find an equation of the plane.

Exercise 7.5.9 .

Suppose the temperature at ((x,y,z)) is given by (ds T=xy+sin(yz) ext<.>) In what direction should you go from the point ((1,1,1)) to decrease the temperature as quickly as possible? What is the rate of change of temperature in this direction?

Exercise 7.5.10 .

Suppose the temperature at ((x,y,z)) is given by (ds T=xyz ext<.>) In what direction can you go from the point ((1,1,1)) to maintain the same temperature?

Any direction perpendicular to ( abla T=langle 1,1,1 angle ext<,>) for example, (langle -1,1,0 angle)

Exercise 7.5.11 .

Find an equation for the plane tangent to (ds x^2-3y^2+z^2=7) at ((1,1,3) ext<.>)

Exercise 7.5.12 .

Find an equation for the plane tangent to (ds xyz=6) at ((1,2,3) ext<.>)

Exercise 7.5.13 .

Find an equation for the line normal to (ds x^2+2y^2+4z^2=26) at ((2,-3,-1) ext<.>)

Exercise 7.5.14 .

Find an equation for the line normal to (ds x^2+y^2+9z^2=56) at ((4,2,-2) ext<.>)

Exercise 7.5.15 .

Find an equation for the line normal to (ds x^2+5y^2-z^2=0) at ((4,2,6) ext<.>)

Exercise 7.5.16 .

Find the directions in which the directional derivative of (f(x,y)=x^2+sin(xy)) at the point ((1,0)) has the value 1.

(langle 0,1 angle ext<,>) (langle 4/5,-3/5 angle)

Exercise 7.5.17 .

Show that the curve (vect(t) = langleln(t),tln(t),t angle) is tangent to the surface (xz^2-yz+cos(xy) = 1) at the point ((0,0,1) ext<.>)

Exercise 7.5.18 .

A bug is crawling on the surface of a hot plate, the temperature of which at the point (x) units to the right of the lower left corner and (y) units up from the lower left corner is given by (T(x,y)=100-x^2-3y^3 ext<.>)

If the bug is at the point ((2,1) ext<,>) in what direction should it move to cool off the fastest? How fast will the temperature drop in this direction?

If the bug is at the point ((1,3) ext<,>) in what direction should it move in order to maintain its temperature?

Exercise 7.5.19 .

The elevation on a portion of a hill is given by (f(x,y) = 100 -4x^2 - 2y ext<.>) From the location above ((2,1) ext<,>) in which direction will water run?

in the direction of (langle 8,1 angle)

Exercise 7.5.20 .

Suppose that (g(x,y)=y-x^2 ext<.>) Find the gradient at the point ((-1, 3) ext<.>) Sketch the level curve to the graph of (g) when (g(x,y)=2 ext<,>) and plot both the tangent line and the gradient vector at the point ((-1,3) ext<.>) (Make your sketch large). What do you notice, geometrically?

(ds abla g(-1,3)=langle 2,1 angle)

Exercise 7.5.21 .

The gradient ( abla f) is a vector valued function of two variables. Prove the following gradient rules. Assume (f(x,y)) and (g(x,y)) are differentiable functions.


شاهد الفيديو: كيف تراجع مادة الرياضيات في وقت قصير و تحصل نتائج ممتازة I بكالوريا 2018 (ديسمبر 2021).