مقالات

2.1: مقدمة للمعادلات والمتباينات - الرياضيات


بالنسبة لمعظم الناس ، يشير مصطلح الحيازة الإقليمية إلى القيود ، وعادة ما يتعامل مع التعدي على ممتلكات الغير أو طقوس المرور ويحدث في مكان أجنبي. ما لا يدركه معظم الأمريكيين هو أنه من سبتمبر حتى ديسمبر ، تهيمن حيازة الأراضي على أنماط حياتنا أثناء مشاهدة اتحاد كرة القدم الأميركي. في هذه المنطقة ، يخضع الحيازة الإقليمية للحكام الذين يتخذون قراراتهم بناءً على ما تكشفه السلاسل. إذا كانت الكرة عند النقطة (A (x_1 ، y_1) ) ، فالأمر متروك للاعب الوسط ليقرر المسار الذي يجب أن يشير إليه (B (x_2، y_2) ) ، منطقة النهاية ، هو الأكثر جدوى.


2.1: مقدمة للمعادلات والمتباينات - الرياضيات

فيما يلي مجموعة من مشكلات التخصيص لفصل حل المعادلات وعدم المساواة في ملاحظات الجبر. يرجى ملاحظة أن هذه المشاكل ليس لها أي حلول متاحة. هذه مخصصة في الغالب للمعلمين الذين قد يرغبون في تعيين مجموعة من المشكلات للتسليم. وجود حلول متاحة (أو حتى إجابات نهائية فقط) من شأنه أن يهزم الغرض من المشكلات.

إذا كنت تبحث عن بعض مشاكل الممارسة (مع الحلول المتاحة) ، يرجى مراجعة مشاكل الممارسة. ستجد هناك مجموعة من المشاكل التي يجب أن تمنحك القليل من التدريب.

فيما يلي قائمة بجميع الأقسام التي تمت كتابة مشاكل التخصيص لها بالإضافة إلى وصف موجز للمادة التي تمت تغطيتها في الملاحظات الخاصة بهذا القسم المحدد.

مجموعات الحلول والحلول - في هذا القسم نقدم بعض الرموز والأفكار الأساسية المستخدمة في حل المعادلات وعدم المساواة. نحدد حلول المعادلات والمتباينات ومجموعات الحلول.

المعادلات الخطية - في هذا القسم نعطي عملية لحل المعادلات الخطية ، بما في ذلك المعادلات ذات التعبيرات المنطقية ، ونوضح العملية بعدة أمثلة. بالإضافة إلى ذلك ، نناقش الدقة التي ينطوي عليها حل المعادلات التي غالبًا ما يغفلها الطلاب.

تطبيقات المعادلات الخطية - في هذا القسم نناقش عملية حل التطبيقات بشكل عام على الرغم من أننا سنركز فقط على المعادلات الخطية هنا. سنعمل على تطبيقات في التسعير ومشاكل المسافة / السعر ومشاكل معدل العمل ومشاكل الاختلاط.

المعادلات التي تحتوي على أكثر من متغير واحد - في هذا القسم سننظر في حل المعادلات التي تحتوي على أكثر من متغير واحد فيها. ستحتوي هذه المعادلات على متغيرات متعددة وسيُطلب منا حل معادلة أحد المتغيرات. هذا شيء سيُطلب منا القيام به على أساس منتظم إلى حد ما.

المعادلات التربيعية ، الجزء الأول - في هذا القسم سنبدأ في البحث في حل المعادلات التربيعية. على وجه التحديد ، سنركز على حل المعادلات التربيعية بالتحليل إلى عوامل وخاصية الجذر التربيعي في هذا القسم.

المعادلات التربيعية ، الجزء الثاني - في هذا القسم سنستمر في حل المعادلات التربيعية. سنستخدم إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية في هذا القسم ونستخدم ذلك لاشتقاق الصيغة التربيعية. الصيغة التربيعية هي طريقة سريعة تتيح لنا حل أي معادلة تربيعية بسرعة.

المعادلات التربيعية: ملخص - في هذا القسم سنلخص الموضوعات من القسمين الأخيرين. سنقدم إجراءً لتحديد الطريقة التي يجب استخدامها في حل المعادلات التربيعية وسنقوم بتعريف المميز الذي سيتيح لنا تحديد نوع الحلول التي سنحصل عليها من حل المعادلة التربيعية بسرعة.

تطبيقات المعادلات التربيعية - في هذا القسم سوف نعيد النظر في بعض التطبيقات التي رأيناها في قسم التطبيق الخطي ، هذه المرة فقط سوف تتضمن حل معادلة من الدرجة الثانية. يتم تضمين أمثلة في مشاكل المسافة / الأسعار ومشاكل معدل العمل.

المعادلات المختزلة إلى الصيغة التربيعية - ليست كل المعادلات في ما نعتبره عمومًا معادلات تربيعية. ومع ذلك ، يمكن تحويل بعض المعادلات ، مع الاستبدال المناسب ، إلى معادلة من الدرجة الثانية. تسمى هذه الأنواع من المعادلات التربيعية في الشكل. في هذا القسم سنحل هذا النوع من المعادلات.

المعادلات ذات الجذور التربيعية - سنناقش في هذا القسم كيفية حل المعادلات ذات الجذور التربيعية فيها. كما سنرى ، سنحتاج إلى توخي الحذر الشديد مع الحلول المحتملة التي نحصل عليها لأن العملية المستخدمة في حل هذه المعادلات يمكن أن تؤدي إلى قيم ليست في الواقع حلولًا للمعادلة.

المتباينات الخطية - في هذا القسم سنبدأ في حل المتباينات. سنركز على حل المتباينات الخطية في هذا القسم (كلا المتباينات المفردة والمزدوجة). سنقدم أيضًا تدوين الفاصل.

عدم المساواة متعدد الحدود - في هذا القسم سنستمر في حل التفاوتات. ومع ذلك ، في هذا القسم نبتعد عن التفاوتات الخطية وننتقل إلى حل التفاوتات التي تتضمن كثيرات الحدود من الدرجة 2 على الأقل.

عدم المساواة العقلانية - نواصل حل التفاوتات في هذا القسم. سنقوم الآن بحل المتباينات التي تتضمن تعبيرات عقلانية ، على الرغم من أننا سنرى أن العملية هنا متطابقة إلى حد كبير مع العملية المستخدمة عند حل المتباينات مع كثيرات الحدود.

معادلات القيمة المطلقة - في هذا القسم سنقدم تعريفًا هندسيًا ورياضيًا للقيمة المطلقة. سننتقل بعد ذلك إلى حل المعادلات التي تتضمن قيمة مطلقة. سنعمل أيضًا على مثال يتضمن قيمتين مطلقتين.


مقدمة في المعادلات والمتباينات

بالنسبة لمعظم الناس ، يشير مصطلح الحيازة الإقليمية إلى القيود ، وعادة ما يتعامل مع التعدي على ممتلكات الغير أو طقوس المرور ويحدث في مكان أجنبي. ما لا يدركه معظم الأمريكيين هو أنه من سبتمبر حتى ديسمبر ، تهيمن حيازة الأراضي على أنماط حياتنا أثناء مشاهدة اتحاد كرة القدم الأميركي. في هذه المنطقة ، يخضع الحيازة الإقليمية للحكام الذين يتخذون قراراتهم بناءً على ما تكشفه السلاسل. إذا كانت الكرة في نقطة أ (س 1 ، ص 1) ، (س 1 ، ص 1) ، ثم يعود الأمر إلى لاعب الوسط ليقرر أي طريق للإشارة ب (س 2 ، ص 2) ، (س 2 ، ص 2) ، منطقة النهاية ، هو الأكثر جدوى.

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: جاي أبرامسون
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: College Algebra
    • تاريخ النشر: 13 فبراير 2015
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/college-algebra/pages/1-introduction-to-prerequisites
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/college-algebra/pages/2-introduction-to-equations-and-inequities

    © 12 كانون الثاني (يناير) 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    المصادر المفتوحة لكلية الجبر في المجتمع

    الأهداف: محتوى مقرر PCC ودليل مخرجاته

    من الممكن حل المعادلات والمتباينات ببساطة عن طريق قراءة الرسم البياني جيدًا. في هذا القسم ، نتخذ هذا النهج لحل المعادلات.

    الشكل 9.4.1. درس فيديو بديل

    القسم الفرعي 9.4.1 حل المعادلات باستخدام الرسم البياني

    ل جبريا لحل معادلة مثل (- 0.01x ^ 2 + 0.7x-18 = -0.04x ^ 2-3.6x + 32 text <،> ) سنبدأ بإعادة ترتيب المصطلحات حتى نتمكن من تطبيق الصيغة التربيعية. سيكون هذا الكثير من العمل بالقلم الرصاص والورق ، والكثير من الفرص لارتكاب أخطاء بشرية. البديل هو بيانيا حل هذه المعادلة. نبدأ برسم كلاهما بالرسم البياني

    يحدث أننا تعلمنا كيفية رسم معادلات مثل هذه يدويًا في القسم 9.3 ، لكننا سوف "نغش" في هذا القسم ونستخدم تقنية الرسوم البيانية فقط لعمل الرسوم البيانية لنا.

    مثال 9.4.2.

    حل المعادلة (- 0.01x ^ 2 + 0.7x-18 = -0.04x ^ 2-3.6x + 32 ) بيانياً.

    هناك نقطتا تقاطع حيث تتقاطع المنحنيات مع بعضها البعض: ((22.46،28.677) ) و ((74.207،14.878) text <.> ) تخبرك كل واحدة منهم بحل المعادلة التي بدأناها مع. النقطة ((22.46،28.677) ) تعني أنه عندما يكون (x ) حول (22.46 text <،> ) كلاهما (- 0.01x ^ 2 + 0.7x-18 ) و (- 0.04x ^ 2-3.6x + 32 ) توصل إلى نفس النتيجة. هذه النتيجة حول (28.677 text <،> ) لكن هذا لا يهم في الوقت الحالي. ما يهم هو (x ) - القيمة ، حول (22.46 text <،> ). هذا هو أحد الحلول للمعادلة.

    توضح لنا نقطة التقاطع الثانية بالمثل أن (74.207 ) هو حل تقريبي آخر. يمكننا أن نستنتج أن الحل المعين للمعادلة هو تقريبًا ( <22.46،74.207 > text <.> )

    مثال 9.4.4.

    حل المعادلة بيانياً (- 0.01 (x-90) (x + 20) = 25 text <.> )

    ابدأ برسم منحنيين على نفس قطعة الأرض: (y = text) و (ص = نص text <.> ) لهذا المثال تحديدًا ، (y = -0.01 (x-90) (x + 20) ) و (y = 25 text <.> )

    نقاط التقاطع هي ((12.807،25) ) و ((57.913،25) text <،> ) والتي تخبرنا أن الحلول هي تقريبًا (12.807 ) و (57.913 text <. > ) مجموعة الحلول تقريبًا ( <12.807، 57.913 > text <.> )

    أحد الأشياء الممتازة في حل المعادلات بيانياً هو أنه لا يهم حقًا "نوع" المعادلة. يمكن أن تحتوي المعادلة على رياضيات لم تدرسها على وجه التحديد ، ولكن طالما أن شيئًا ما (مثل الكمبيوتر أو معلمك) يوفر لك الرسوم البيانية ، فلا يزال بإمكانك حل المعادلة.

    مثال 9.4.6.

    حل المعادلة بيانياً ( lvert x + 5 rvert = frac <1> نص <.> )

    إذا كنت تتعلم الجبر فقط من هذا الكتاب المدرسي ، فإن هذه المعادلة بها بعض الأجزاء والقطع غير المألوفة. تمثل الأشرطة الرأسية في ( lvert x + 5 rvert ) المفهوم الرياضي الأساسي للقيمة المطلقة ، والتي يمكنك تحسينها في الملحق A.3. على الجانب الآخر من المعادلة يوجد التعبير ( frac <1> text <،> ) مع متغير في المقام. لم يناقش هذا الكتاب المدرسي مثل هذه الأشياء حتى الآن.

    على الرغم من أننا لا نملك معرفة عامة بهذه الأنواع من التعبيرات الرياضية والرسوم البيانية الخاصة بها ، فلا يزال بإمكاننا الوثوق ببعض المصادر لتقديم الرسوم البيانية لنا.

    يبدو أن هناك نقطة تقاطع واحدة فقط حول ((- 0.7639،4.236) text <.> ) لذا فإن مجموعة الحلول تقريبًا ( <- 0.7639 > text <.> )

    إذا كنا نحل بيانيًا وكان هناك شيء ما يزودك بالفعل بالرسم البياني ، فليس من الضروري حتى أن يكون لديك تعبيرات رياضية للمنحنين.

    مثال 9.4.8.

    في الشكل 9.4.9 ، يوجد منحنيان تم رسمهما. يمثل المحور الأفقي السنوات ، ويمثل أحد المنحنى عدد سكان كاليفورنيا ، ويمثل المنحنى الآخر عدد سكان نيويورك. في أي سنة تساوى عدد سكان كاليفورنيا مع عدد سكان نيويورك؟

    يبدو أن هناك نقطة تقاطع واحدة فقط حول ((1963،17.5) text <.> ) لذا فإن مجموعة الحلول تقريبًا ( <1963 > نص <.> ) ولكن في السياق ، هذا يقول أن عام 1963 هو العام الذي تساوي فيه عدد سكان كاليفورنيا مع سكان نيويورك.

    القسم الفرعي 9.4.2 حل المتباينات باستخدام الرسم البياني

    في الجزء الأول من هذا الكتاب ، نتعلم كيفية حل التفاوتات الخطية مثل (2x + 1 lt5 ) باستخدام الجبر. باستخدام الرسوم البيانية بدلاً من الجبر الرمزي ، يمكننا حل المتباينات بتعبيرات رياضية أكثر تعقيدًا ، بالإضافة إلى التفاوتات في السياق التي قد لا تحتوي حتى على تعبيرات رياضية.

    مثال 9.4.10.

    في الشكل 9.4.11 ، يوجد منحنيان تم رسمهما. يمثل المحور الأفقي السنوات ، ويمثل أحد المنحنيات النسبة المئوية للنساء الأمريكيات اللائي تتراوح أعمارهن بين 25 و 34 عامًا المشاركات في القوى العاملة ، ويمثل المنحنى الآخر النسبة المئوية للنساء الأمريكيات اللائي تتراوح أعمارهن بين 45 و 54 عامًا اللائي يشاركن في القوى العاملة. متى كانت النسبة المئوية للمجموعة 25-34 أكثر من النسبة المئوية للمجموعة 45-54؟

    يبدو أن منحنى النساء 25–34 يرتفع فوق المنحنى الآخر بين عامي 1975 و 1997. لذا فإن مجموعة الحلول هي الفاصل ((1975،1997) text <.> ) ولكن في السياق ، هذا يعني أنه في بين عامي 1975 و 1997 ، كانت النسبة المئوية للنساء 25-34 في القوة العاملة أكبر من النسبة المئوية للنساء 45-54 في القوة العاملة.

    من المفيد إلقاء نظرة أخرى على هذا الرسم البياني مع بعض التعليقات التوضيحية. أردنا أن يكون منحنى 25–34 أكبر من منحنى 45–54. بصريا ، نقوم بإغلاق المشاهد على المنطقة المشار إليها. مجموعة الحلول التي نبحث عنها هي سنوات أن هذا حدث ، والذي يقع أسفل المحور الأفقي. لذا علينا أن نسقط المنطقة التي حددناها لأسفل على المحور الأفقي. بعد أن ننتهي من ذلك ، فإن الفترة التي نراها على المحور الأفقي هي مجموعة الحلول.

    مثال 9.4.13.

    حل المتباينات التالية بيانياً.

    لكلا الجزأين من هذا المثال ، نبدأ برسم المعادلات (y = -20t ^ 2-70t + 300 ) و (y = -5t + 300 ) وتحديد نقاط التقاطع. يمكنك استخدام بعض التكنولوجيا للقيام بذلك ، أو ربما تجد نفسك مزودًا بهذه الرسوم البيانية ، مع تحديد نقاط التقاطع بوضوح أو من السهل تحديدها.

    لحل (- 20t ^ 2-70t + 300 geq -5t + 300 text <،> ) نحتاج إلى تحديد مكان (y ) - قيم القطع المكافئ أعلى من (أو تساوي) تلك القيم من الخط. تم تمييز هذه المنطقة في الشكل 9.4.15.

    يمكننا أن نرى أن هذه المنطقة تتضمن جميع قيم (t ) بين وتضمين ، (t = -3.25 ) و (t = 0 text <.> ) لذا فإن حلول هذه المتباينة تشمل جميع القيم من (t ) التي (- 3.25 le t le 0 text <.> ) يمكننا كتابة هذا الحل المعين في تدوين الفاصل مثل ([- 3.25،0] ) أو في مجموعة البناء تدوين كـ ( نص <.> )

    لحل (- 20t ^ 2-70t + 300 lt -5t + 300 text <،> ) سنحتاج إلى تحديد مكان (y ) - قيم القطع المكافئ أقل من تلك الموجودة في الخط. تم تمييز هذه المنطقة في الشكل 9.4.16.

    يمكننا أن نرى ذلك (- 20t ^ 2-70t + 300 lt -5t + 300 ) لجميع قيم (t ) حيث (t lt -3.25 ) أو (t gt 0 text <.> ) يمكننا كتابة مجموعة الحل هذه في تدوين الفاصل الزمني كـ ((- infty، -3.25) كوب (0، infty) ) أو في تدوين مجموعة البناء كـ ( t gt 0 > text <.> )

    من حين لآخر ، "يتوقف" المنحنى فجأة ، وعلينا أن ندرك ذلك في حل لمشكلة عدم المساواة.

    مثال 9.4.17.

    حل المتباينة (1-x gt sqrt) باستخدام الرسم البياني.

    نرسم (y = 1-x ) و (y = sqrt text <،> ) ثم ابحث عن تقاطع (تقاطعات) الرسوم البيانية. يتقاطع المنحنيان عند ((- 1،2) text <.> )

    بما أن المتباينة هي ( overbrace <1-x> ^ < text> gt overbrace < sqrt> ^ < نص> text <،> ) نريد تحديد المنطقة التي يكون فيها الخط أعلى من نصف القطع المكافئ. بينما يمتد الخط أعلى وأعلى إلى اليسار ، يتوقف نصف القطع المكافئ فجأة عند ((- 5،0) text <.> ) لذا يجب أن تتوقف مجموعة الحلول عند المكان المقابل. كما هو موضح ، فإن مجموعة الحلول هي الفاصل ([- 5 ، -1) نص <.> )

    أسئلة القراءة 9.4.3 أسئلة القراءة

    افترض أن لديك معادلة حيث (x ) هو المتغير الوحيد. لحل هذه المعادلة ، اشرح كيف يمكنك استخدام الرسم البياني. افترض أن بعض التقنيات يمكن أن تزودك بأي رسم بياني ترغب في رؤيته.

    المنحنيات (y = x ^ 4-3x ^ 2 + x ) و (y = 1- sqrt) عبور في ثلاثة مواقع. كم عدد الحلول الموجودة لـ (x ^ 4-3x ^ 2 + x = 1- sqrt نص <؟> )

    لا تكون مجموعة حل المتباينة عمومًا عبارة عن رقم واحد أو مجموعة صغيرة من الأرقام. بشكل عام ، حل المتباينة هو أ.

    تمارين 9.4.4 تمارين

    نقاط التقاطع

    استخدم التكنولوجيا لعمل بعض الرسوم البيانية وتحديد عدد المرات التي تتقاطع فيها الرسوم البيانية للمنحنيات التالية مع بعضها البعض.

    استخدم التكنولوجيا لعمل بعض الرسوم البيانية وتحديد عدد المرات التي تتقاطع فيها الرسوم البيانية للمنحنيات التالية مع بعضها البعض.

    استخدم التكنولوجيا لعمل بعض الرسوم البيانية وتحديد عدد المرات التي تتقاطع فيها الرسوم البيانية للمنحنيات التالية مع بعضها البعض.

    استخدم التكنولوجيا لعمل بعض الرسوم البيانية وتحديد عدد المرات التي تتقاطع فيها الرسوم البيانية للمنحنيات التالية مع بعضها البعض.

    استخدم التكنولوجيا لعمل بعض الرسوم البيانية وتحديد عدد المرات التي تتقاطع فيها الرسوم البيانية للمنحنيات التالية مع بعضها البعض.

    استخدم التكنولوجيا لعمل بعض الرسوم البيانية وتحديد عدد المرات التي تتقاطع فيها الرسوم البيانية للمنحنيات التالية مع بعضها البعض.

    استخدم التكنولوجيا لعمل بعض الرسوم البيانية وتحديد عدد المرات التي تتقاطع فيها الرسوم البيانية للمنحنيات التالية مع بعضها البعض.

    استخدم التكنولوجيا لعمل بعض الرسوم البيانية وتحديد عدد المرات التي تتقاطع فيها الرسوم البيانية للمنحنيات التالية مع بعضها البعض.


    المعادلات الخطية والمتباينات


    ارسم الأزواج المرتبة (-1،3) ، (1،4) ، (-4،0) ، (-2 ، -1).

    أوجد إحداثيات كل نقطة

    أوجد إحداثيات كل نقطة

    المخططات المبعثرة
    في مارس من عام 1998 ، أصدر المجلس الأمريكي لاقتصاد موفر للطاقة ترتيبه للسيارات والشاحنات الصديقة للبيئة وغير الصديقة التي تُباع في الولايات المتحدة. يوضح الجدول التالي استخدام الوقود ، بالأميال لكل جالون من البنزين ، في كل من المدينة وعلى الطريق السريع ، لستة مركبات في المرتبة الأسوأ بالنسبة للبيئة. قم برسم مخطط مبعثر لهذه البيانات.

    استخدام وقود المدينة ، x 12 9 10 12 13 12
    استخدام الطريق السريع ، ذ 16 15 13 16 17 17

    5.2 الرسوم البيانية للخطوط المستقيمة

    حل المعادلة الخطية في متغيرين هو زوج مرتب من الأرقام (x ، y) الذي يجعل المعادلة بيانًا صحيحًا.

    بالنسبة إلى y = 3x & # 8211 5 ، أوجد قيمة m وقيمة b. هل (-1، -8) حل؟

    أوجد حل الزوج المرتب لـ
    الذي يتوافق مع x = 4.

    الرسم البياني لمعادلة في متغيرين هو رسم الحلول الزوجية المرتبة للمعادلة.
    & # 8226 أوجد ثلاثة حلول للمعادلة
    & # 8226 رسم بيانيًا للنقاط
    & # 8226 ارسم خطاً بين النقاط

    معادلات الرسم البياني للصيغة
    الفأس + ب = ج
    عن طريق إعادة الكتابة إلى النموذج أولاً
    ص = م س + ب
    من ثم
    & # 8226 أوجد ثلاثة حلول للمعادلة
    & # 8226 رسم بيانيًا للنقاط
    & # 8226 ارسم خطاً بين النقاط

    اكتب 5x & # 8211 2y = 10 بالصيغة y = mx + b ثم ارسم المعادلة بيانيًا.

    تقاطع x هو المكان الذي يقطع فيه الرسم البياني المحور x ، (x ، 0).
    تقاطع ص هو المكان الذي يقطع فيه الرسم البياني المحور ص ، (0 ، ص).

    أوجد تقاطع x و y لـ 4x & # 8211 y = 4. ارسم الخط.

    5.3 منحدرات الخطوط المستقيمة

    ميل الخط هو نسبة التغير في إحداثيات y بين أي نقطتين على الخط إلى التغير في إحداثيات x.

    أوجد ميل الخط الذي يحتوي على النقطتين (-1،1) و (2،3).

    أوجد ميل الخط الذي يحتوي على النقطتين (-3،4) و (2، -2).

    أوجد ميل الخط الذي يحتوي على النقطتين (-1،3) و (2،3).

    أوجد ميل الخط الذي يحتوي على النقطتين (2،4) و (2، -2).

    أوجد ميل الخط الذي يحتوي على النقطتين (-1،2) و (1،3).

    أوجد ميل الخط الذي يحتوي على النقطتين (1،2) و (4 ، -5).

    أوجد ميل المستقيم الذي يحتوي على النقطتين (2،3) و (2،7).

    أوجد ميل الخط الذي يحتوي على النقاط (1 ، -3) و (-5 ، -3).

    لأي معادلة للصيغة
    ص = م س + ب ،
    ميل الخط هو م ، وتقاطع ص هو ب.

    5.4 معادلات الخطوط المستقيمة

    صيغة تقاطع المنحدر: y = mx + b

    أوجد معادلة الخط المستقيم الذي ميله 2 وتقاطع y (0،3).

    أوجد معادلة الخط الذي ميله 3/2 ويحتوي على النقطة (4 ، -2).

    استخدم صيغة نقطة الميل لإيجاد معادلة الخط الذي يمر عبر النقطة إحداثياتها (-2 ، -1) ولها ميل 3/2.

    استخدم صيغة نقطة الميل لإيجاد معادلة الخط المار بالنقطة التي إحداثياتها (5،4) وميلها 2/5.

    مجموعة = مجموعة من الكائنات

    العلاقة = مجموعة من الأزواج المرتبة

    مجال العلاقة = مجموعة الإحداثيات الأولى للأزواج المرتبة.

    مدى العلاقة = مجموعة الإحداثيات الثانية للأزواج المرتبة.

    الوظيفة = علاقة لا يوجد فيها زوجان مرتبان لهما نفس الإحداثي الأول والإحداثيات الثانية المختلفة.

    أوجد مجال ومدى العلاقة <(- 5، 1)، (-3، 3)، (-1، 5)>. هي العلاقة وظيفة؟

    أوجد مجال ومدى العلاقة <(1،0)، (1،1)، (1،2)، (1،4)، (1،4)>. هي العلاقة وظيفة؟

    f (x) هي قيمة الدالة عند x

    أوجد قيمة f (x) = 2x & # 8211 4 عند x = 3. اكتب زوجًا مرتبًا يمثل عنصرًا من عناصر الدالة.

    أوجد قيمة f (x) = -5x + 1 عند x = 2. اكتب زوجًا مرتبًا يمثل عنصرًا من عناصر الدالة.

    عندما يتم وصف دالة بواسطة معادلة ويتم تحديد المجال ، يمكن العثور على نطاق الوظيفة.

    أوجد مدى الدالة المعطاة بواسطة المعادلة f (x) = -3x + 2 إذا كان المجال كذلك

    أوجد مدى الدالة المعطاة في المعادلة f (x) = 4x - 3 إذا كان المجال كذلك

    الرسوم البيانية للوظائف الخطية

    المعادلات بالصيغة y = mx + b هي دوال.

    y = المتغير التابع
    س = متغير مستقل

    يمكن أن تكتب y = 2x + 1 بالتدوين الوظيفي.

    تسمى الدوال ذات الشكل f (x) = mx + b الدوال الخطية.

    تُعطى القيمة V لاستثمار قدره 2500 دولارًا بمعدل فائدة سنوي بسيط قدره 6٪ بواسطة المعادلة V = 150t + 2500 ، حيث t هو مقدار الوقت بالسنوات الذي يتم فيه استثمار الأموال. اكتب المعادلة في التدوين الوظيفي. ارسم معادلة قيم t بين 0 و 10. النقطة التي إحداثياتها (5،3250) موجودة على الرسم البياني. اكتب جملة تشرح معنى هذا الزوج المرتب.

    سيارة تسير بسرعة موحدة تبلغ 40 ميلاً في الساعة. المسافة d (بالأميال) التي تسافرها السيارة في t ساعة تُعطى بالمعادلة d = 40 t. اكتب المعادلة في التدوين الوظيفي. ارسم معادلة قيم t بين 0 و 5. النقطة التي إحداثياتها (3 ، 120) على الرسم البياني. اكتب جملة تشرح معنى هذا الزوج المرتب.

    5.6 رسم المتباينات الخطية بالرسوم البيانية.

    التمثيل البياني لـ y = x + 1 يقسم الطائرة إلى ثلاث مجموعات:

    & # 8226 حل من أجل y
    & # 8226 رسم الخط
    & # 8226 تحديد نصف المستوى
    & # 8226 خط متصل أو خط متقطع


    هذه المعادلة هي تعريف التشكل ويشار إليها باسم خريطة التجميع. تحقق من الجبر C * المخفّض لمزيد من المعلومات حول المفهوم المحيط بهذه المعادلة.

    اكتشف ما إذا كان y منطقيًا أم غير منطقي في المعادلة أعلاه. لفهم هذه المشكلة تمامًا ، تحتاج إلى إلقاء نظرة أخرى على الأرقام المنطقية ومفاهيمها. الحرف y هو ما يُعرف بثابت أويلر-ماسكيروني وله قيمة 0.5772.

    تم حساب هذه المعادلة حتى نصف تريليون رقم تقريبًا ومع ذلك لم يتمكن أحد من معرفة ما إذا كان عددًا منطقيًا أم لا.


    أمثلة على عدم المساواة

    إذا كان 2x + 5y = 18 و x = 4 فما قيمة y؟

    أ) هو الجواب

    بوضع قيمة x في المعادلة

    في جميع منافسات رفع الأثقال الباكستانية في ملتان ، كان أول رفع للسيد ساهيوال يزيد بمقدار 150 كجم عن المصعد الثاني وكان مجموع مصعدين 375 كجم. ما هو وزن الرفع الأول؟

    L هو وزن الرفع الأول و P هو وزن الرفع الثاني. بناءً على حالة معينة لديك المعادلة 2L = P + 150 و L + P = 375

    يزيد عمر الابن بمقدار 4 سنوات عن عمر والده. ما هو سن الابن إذا كان الأب 40؟

    المعادلة هي أساس بشرط أن 2Son & # 8211 4 = الأب ، الأب الآن = 40


    إنه & # x27s في النظام

    هذه و rsquos في النظام الوحدة هي مراجعة رئيسية لـ CMP2 أشكال الجبر وحدة لتعكس الخبرة في تدريس تلك الوحدة السابقة ومتطلبات معايير الدولة الأساسية المشتركة للرياضيات (CCSSM). لتحقيق هذا التركيز الجديد وتلبية متطلبات CCSSM ، قمنا بحذف التحقيق 1 من أشكال الجبر وحدة ونقل التحقيق الثاني لتلك الوحدة في وقت لاحق في الوحدة المنقحة والمعاد تصميمها. يركز أول تحقيقين الآن على معيار الصف الثامن CCSSM. النصف الثاني من التحقيق الثاني والتحقيقات الثالثة والرابعة مادة تغطية في منهج CCSSM للجبر.

    عند مراجعة الوحدة ، تناولنا قلقًا مشتركًا يتمثل في أن المواد المتعلقة بتقنيات حل أنظمة المعادلات الخطية التي تظهر في التحقيق 4 لم يتم تقديمها بروح CMP (على سبيل المثال ، إجرائية للغاية وليس حل مشكلة مفتوحة بدرجة كافية). تم توضيح هذا القلق من قبل بعض المعلمين مع تعليقات مفادها أن الطلاب لم يروا حاجة لتعلم العديد من التقنيات لحل أنظمة المعادلات الخطية. يمكن القول أيضًا أن CCSSM لا تدعو صراحةً إلى حل الأنظمة عن طريق مجموعات خطية أو طرق استبدال (على الأقل ليس في توقعات الصف الثامن). لقد تناولنا هذه المخاوف من خلال تطوير نهج جديد أكثر سياقية وبديهية لطرق حل الأنظمة. ما زلنا ندرج مبادئ وطرق استخدام استراتيجيات المجموعات الخطية في حل أنظمة المعادلات الخطية ، حيث تم استدعاؤها صراحةً من قبل CCSSM للجبر الأول وهي تعمل على تعزيز فهم الطالب ومهاراته الجبرية بشكل عام.


    2.1: مقدمة للمعادلات والمتباينات - الرياضيات

    سنستمر في ممارسة الرسم البياني لمنطقة الحل لأنظمة المتباينات الخطية. سنقوم أيضًا برسم حلول نظام يتضمن متباينة مركبة.

    مثال

    قم بتظليل منطقة الرسم البياني التي تمثل حلًا لكل من التفاوتات. [اللاتكس] x + y geq1 [/ اللاتكس] و [اللاتكس] y – x geq5 [/ اللاتكس].

    ارسم متباينة واحدة. قم أولاً برسم خط الحدود باستخدام جدول القيم أو نقاط التقاطع أو أي طريقة أخرى تفضلها. خط حدود [اللاتكس] x + y geq1 [/ latex] هو [اللاتكس] x + y = 1 [/ اللاتكس] ، أو [اللاتكس] y = x + 1 [/ اللاتكس]. بما أن علامة التساوي مضمنة مع علامة أكبر من ، فإن خط الحدود متصل.

    ابحث عن زوج مرتب على جانبي خط الحدود. أدخل ال x و ذ- القيم في عدم المساواة [اللاتكس] x + y geq1 [/ latex] ومعرفة أي زوج مرتب ينتج بيانًا صحيحًا.

    نظرًا لأن [اللاتكس] (4 ، 1) [/ اللاتكس] ينتج عنه بيان صحيح ، فإن المنطقة التي تحتوي على [لاتكس] (4 ، 1) [/ لاتكس] يجب أن تكون مظللة.

    افعل الشيء نفسه مع المتباينة الثانية. ارسم خط الحدود ، ثم اختبر النقاط لمعرفة المنطقة التي تمثل حل المتباينة. في هذه الحالة ، خط الحدود هو [اللاتكس] y – x = 5 left ( texty = x + 5 right) [/ latex] وهي صلبة. نقطة الاختبار [اللاتكس] (- 3 ، 0) [/ اللاتكس] ليست حلًا لـ [اللاتكس] y – x geq5 [/ اللاتكس] ونقطة الاختبار [اللاتكس] (0 ، 6) [/ اللاتكس] هي حل .

    توضح المنطقة الأرجوانية في هذا الرسم البياني مجموعة كل حلول النظام.

    تعرض مقاطع الفيديو التالية مزيدًا من الأمثلة لرسم بياني لمجموعة حلول نظام من المتباينات الخطية.

    يتضمن النظام في مثالنا الأخير متباينة مركبة. سنرى أنه يمكنك التعامل مع المتباينة المركبة مثل خطين عند رسمهما بالرسم البياني.

    مثال

    أوجد الحل للنظام [اللاتكس] 3x + 2y & lt 12 [/ لاتكس] و [اللاتكس] -1 ≤ y ≤ 5 [/ اللاتكس].

    ارسم متباينة واحدة. قم أولاً برسم خط الحدود ، ثم اختبر النقاط.

    تذكر ، لأن عدم المساواة [اللاتكس] 3x + 2y & lt 12 [/ latex] لا تتضمن علامة المساواة ، ارسم خطًا متقطعًا.

    اختبار نقطة مثل [لاتكس] (0 ، 0) [/ لاتكس] سيظهر أن المنطقة تحت الخط هي الحل لهذه المتباينة.

    إن عدم المساواة [اللاتكس] -1 ≤ y ≤ 5 [/ اللاتكس] هو في الواقع متباينان: [اللاتكس] −1 ≤ y [/ اللاتكس] ، و [اللاتكس] y ≤ 5 [/ اللاتكس]. هناك طريقة أخرى للتفكير في ذلك وهي أن y يجب أن تكون بين [اللاتكس] −1 [/ اللاتكس] و [اللاتكس] 5 [/ اللاتكس]. خطوط الحدود لكليهما أفقية. تحتوي المنطقة الواقعة بين هذين الخطين على حلول [اللاتكس] -1 ≤ y ≤ 5 [/ اللاتكس]. نجعل الخطوط صلبة لأننا نريد أيضًا تضمين [اللاتكس] y = −1 [/ اللاتكس] و [اللاتكس] y = 5 [/ اللاتكس].

    ارسم هذه المنطقة على نفس المحاور مثل المتباينة الأخرى.

    تُظهر المنطقة الأرجواني مجموعة كل حلول النظام.

    في الفيديو التالي ، نوضح كيفية حل نظام آخر من المتباينات يحتوي على متباينة مركبة.


    شكوى DMCA

    إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

    قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

    يرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع الإلكتروني أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب عليك التفكير أولاً في الاتصال بمحامٍ.

    الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

    يجب عليك تضمين ما يلي:

    توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

    أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

    تشارلز كوهن فارسيتي توتورز ذ م م
    101 طريق هانلي ، جناح 300
    سانت لويس ، مو 63105


    شاهد الفيديو: مقدمة عن المعادلات التفاضلية الجزئيةPDEs محاضرة 1 (شهر نوفمبر 2021).