مقالات

2.1: ضرب الأعداد الصحيحة - رياضيات


ضرب الأعداد الصحيحة

  • فهم عملية الضرب
  • تكون قادرة على ضرب الأعداد الصحيحة
  • تكون قادرة على تبسيط عمليات الضرب بأرقام تنتهي بصفر
  • أن تكون قادرًا على استخدام الآلة الحاسبة لضرب عدد صحيح بآخر

عمليه الضرب

التعريف: الضرب

عمليه الضرب هو وصف الإضافة المتكررة.

بالإضافة إلى

(5 + 5 + 5)

الرقم 5 يتكرر 3 مرات. لذلك نقول أن لدينا ثلاثة ضرب خمسة ونصفها بالكتابة

(3 مرات 5 )

هكذا،

(3 مرات 5 = 5 + 5 + 5 )

التعريف: Multiplicand

في الضرب ، يسمى المضاف المتكرر (الرقم الذي يتم إضافته) بـ المضاعفة. في (3 مرات 5 ) ، الرقم 5 هو المضاعف.

التعريف: المضاعف

أيضًا ، في عملية الضرب ، يُطلق على الرقم الذي يسجل عدد مرات استخدام المضاعف اسم مضاعف. في (3 مرات 5 ) ، الرقم 3 هو المضاعف.

مجموعة العينة أ

عبر عن كل إضافة متكررة كضرب. في كل حالة ، حدد المضاعف والمضرب.

(7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7)

المحلول

(6 مرات 7 ) ، المضاعف هو 6. الضرب هو 7.

مجموعة العينة أ

(18 + 18 + 18)

المحلول

(3 مرات 18 ). المضاعف هو 3. المضاعف هو 18.

مجموعة الممارسة أ

عبر عن كل إضافة متكررة كضرب. في كل حالة ، حدد المضاعف والمضرب.

(12 + 12 + 12 + 12)

. المضاعف هو. المضاعف هو.

إجابه

(4 مرات 12 ). المضاعف هو 4. المضاعف هو 12.

مجموعة الممارسة أ

(36 + 36 + 36 + 36 + 36 + 36 + 36 + 36)

. المضاعف هو.

إجابه

(8 مرات 36 ). المضاعف هو 8. الضرب هو 36.

مجموعة الممارسة أ

(0 + 0 + 0 + 0 + 0)

. المضاعف هو.

إجابه

(5 مرات 0 ). المضاعف هو 5. الضرب هو 0.

مجموعة الممارسة أ

( underbrace {1847 + 1847 + cdots + 1847} _ {12000 text {times}} )

س. Multiplicand هو .me

إجابه

(12000 مرات 1847 ). المضاعف هو 12000. المضرب هو 1،847.

التعريف: العوامل

في عملية الضرب ، تسمى أيضًا الأعداد التي يتم ضربها عوامل.

التعريف: المنتجات

نتيجة الضرب تسمى منتج. في (3 مرات 5 = 15 ) ، لا يُطلق على الرقمين 3 و 5 اسم المضاعف والمضاعف فحسب ، بل يطلق عليهما أيضًا العوامل. المنتج هو 15.

مؤشرات الضرب ( مرات ، cdot ، () )

رمز الضرب ( ( times )) ليس هو الرمز الوحيد المستخدم للإشارة إلى الضرب. تشمل الرموز الأخرى النقطة ( ( cdot )) وأزواج الأقواس (). التعبيرات

(3 مرات 5 ، 3 cdot 5 ، 3 (5) ، (3) 5 ، (3) (5) )

كلها تمثل نفس المنتج.

عملية الضرب بمضاعف رقم واحد

بما أن الضرب هو الجمع المتكرر ، فلا ينبغي أن نستغرب أن نلاحظ ذلك حمل يمكن أن يحدث. يحدث الحمل عندما نجد حاصل ضرب 38 و 7:

أولاً نحسب (7 مرات 8 = 56 ). اكتب 6 في عمود الآحاد. احمل ال 5. ثم خذ (7 مرات 3 = 21 ). أضف إلى الرقم 21 الذي تم نقله إلى الرقم 5: (21 + 5 = 26 ). المنتج هو 266.

مجموعة العينة ب

ابحث عن المنتجات التالية.

المحلول

( start {array} {lcl} {3 times 4 = 12} & & { text {اكتب 2 ، احمل 1.}} {3 times 6 = 18} & & { text {أضف إلى 18 الرقم 1 الذي تم حمله: 18 + 1 = 19.}} end {array} )

حاصل الضرب هو 192.

مجموعة العينة ب

المحلول

( start {array} {lcl} {5 times 6 = 30} & & { text {اكتب 0 ، احمل 3.}} {5 times 2 = 10} & & { نص {أضف إلى 10 الثلاثة التي تم حملها: 10 + 3 = 13. اكتب 3 ، احمل 1.}} {5 times 5 = 25} & & { نص {أضف إلى 25 الرقم 1 الذي تم حمله: 25 + 1 = 6.}} end {array} )

المنتج هو 2،630.

مجموعة العينة ب

المحلول

( start {array} {lcl} {9 times 4 = 36} & & { text {اكتب 6 ، احمل 3.}} {9 times 0 = 0} & & { نص {أضف إلى 0 الرقم 3 الذي تم حمله: 0 + 3 = 13. اكتب 3.}} {9 times 8 = 72} & & { text {اكتب الرقم 2 ، احمل 7.}} {} & & { text {نظرًا لعدم وجود المزيد من عمليات الضرب ، اكتب كلاً من 1 و 6.}} end {array} )

المنتج هو 16.236.

مجموعة الممارسة ب

ابحث عن المنتجات التالية.

( start {array} {r} {37} { underline { times 5}} end {array} )

إجابه

185

مجموعة الممارسة ب

ابحث عن المنتجات التالية.

( start {array} {r} {78} { underline { times 8}} end {array} )

إجابه

624

مجموعة الممارسة ب

ابحث عن المنتجات التالية.

( start {array} {r} {537} { underline { times 7}} end {array} )

إجابه

3,752

مجموعة الممارسة ب

ابحث عن المنتجات التالية.

( start {array} {r} {40،019} { underline { times 8}} end {array} )

إجابه

320,152

مجموعة الممارسة ب

ابحث عن المنتجات التالية.

( start {array} {r} {301،599} { underline { times 3}} end {array} )

إجابه

904,797

عملية الضرب بمضاعف متعدد الأرقام

في الضرب الذي يتكون فيه المضاعف من رقمين أو أكثر ، فإن يجب أن يتم الضرب في أجزاء. هذه العملية هي على النحو التالي:

  • أول منتج جزئي اضرب المضاعف في رقم الآحاد للمضاعف. هذا المنتج يسمى أول منتج جزئي.
  • المنتج الجزئي الثاني اضرب المضاعف في رقم العشرات في المضاعف. هذا المنتج يسمى المنتج الجزئي الثاني. نظرًا لاستخدام رقم العشرات كعامل ، تتم كتابة حاصل الضرب الجزئي الثاني أسفل المنتج الجزئي الأول بحيث يظهر الرقم الموجود في أقصى اليمين في عمود العشرات.
  • إذا لزم الأمر ، استمر بهذه الطريقة للعثور على المنتجات الجزئية. اكتب كل واحد أسفل الرقم السابق بحيث يظهر الرقم الموجود في أقصى اليمين في العمود الموجود أسفل الرقم الذي تم استخدامه كعامل مباشرةً.
  • إجمالي المنتج أضف المنتجات الجزئية للحصول على إجمالي المنتج.

ملحوظة

قد يكون من الضروري حملها عند العثور على كل منتج جزئي.

مجموعة العينة ج

اضرب 326 ب 48.

المحلول

الجزء 1:

الجزء 2:

الجزء 3: هذه الخطوة غير ضرورية حيث تم استخدام جميع الأرقام في المضاعف.

الجزء 4: أضف المنتجات الجزئية للحصول على المنتج الإجمالي.

المنتج هو 15،648.

مجموعة العينة ج

اضرب 5،369 ب 842.

المحلول

الجزء 1:

الجزء 2:

الجزء الثالث:

المنتج هو 4،520،698.

مجموعة العينة ج

اضرب 1،508 ب 206.

المحلول

الجزء 1:

الجزء 2:

نظرًا لأن 0 مرات 1508 تساوي 0 ، فلن يغير المنتج الجزئي هوية المنتج الإجمالي (الذي يتم الحصول عليه عن طريق الإضافة). انتقل إلى المنتج الجزئي التالي.

الجزء الثالث:

المنتج هو 310،648

مجموعة الممارسة ج

اضرب 73 ب 14.

إجابه

1,022

مجموعة الممارسة ج

اضرب 86 ب 52.

إجابه

4,472

مجموعة الممارسة ج

اضرب 419 ب 85.

إجابه

35,615

مجموعة الممارسة ج

اضرب 2،376 ب 613.

إجابه

1,456,488

مجموعة الممارسة ج

اضرب 8،107 ب 304.

إجابه

2,464,528

مجموعة الممارسة ج

اضرب 66،260 ب 1،008.

إجابه

66,790,080

مجموعة الممارسة ج

اضرب 209 ب 501.

إجابه

104,709

مجموعة الممارسة ج

اضرب 24 ب 10.

إجابه

240

مجموعة الممارسة ج

اضرب 3،809 ب 1،000.

إجابه

3,809,000

مجموعة الممارسة ج

اضرب 813 ب 10000.

إجابه

8,130,000

عمليات الضرب بأرقام تنتهي بالصفر

في كثير من الأحيان ، عند إجراء عملية الضرب ، سينتهي أحد العاملين أو كليهما بالأصفار. يمكن إجراء عمليات الضرب هذه بسرعة عن طريق محاذاة الأرقام بحيث تكون الأرقام الموجودة في أقصى اليمين غير الصفرية في نفس العمود.

مجموعة عينة د

نفذ عملية الضرب (49000) (1200).

((49000) (1،200) ) = ( start {array} {r} {49000} { underline { times 1200}} end {array} )

بما أن الرقمين 9 و 2 هما الرقمان الموجودان في أقصى اليمين ، فضعهما في نفس العمود.

ارسم (ربما عقليًا) خطًا رأسيًا لفصل الأصفار عن الأصفار.

اضرب الأرقام الموجودة على يسار الخط العمودي كالمعتاد ، ثم اربط بالطرف الأيمن من هذا المنتج العدد الإجمالي للأصفار.

المنتج 58.800.000

مجموعة الممارسة د

اضرب 1800 في 90.

إجابه

162,000

مجموعة الممارسة د

اضرب 420.000 في 300.

إجابه

126,000,000

مجموعة الممارسة د

اضرب 20،500،000 في 140،000.

إجابه

2,870,000,000,000

حاسبات

يتم تنفيذ معظم عمليات الضرب باستخدام الآلة الحاسبة.

مجموعة عينة ه

اضرب 75891 ب 263.

المحلول

عرض يقرأ
اكتب7589175891
صحافة×75891
اكتب263263
صحافة=19959333

المنتج هو 19959333.

مجموعة عينة ه

اضرب 4،510،000،000،000 في 1،700.

المحلول

عرض يقرأ
اكتب451451
صحافة×451
اكتب1717
صحافة=7667

يقرأ العرض الآن 7667. سيتعين علينا إضافة الأصفار بأنفسنا. يوجد إجمالي 12 صفراً. بإرفاق 12 صفراً بـ 7667 ، نحصل على 7،667،000،000،000،000.

المنتج هو 7،667،000،000،000،000.

مجموعة عينة ه

اضرب 57،847،298 ب 38،976.

المحلول

عرض يقرأ
اكتب5784729857847298
صحافة×57847298
اكتب3897638976
صحافة=2.2546563 12

تقرأ الشاشة الآن 2.2546563 12. ما هو نوع هذا الرقم؟ هذا مثال على عدد صحيح مكتوب فيه الترميز العلمي. سوف ندرس هذا المفهوم عندما نصل إلى الأعداد العشرية.

مجموعة الممارسة هـ

استخدم الآلة الحاسبة لإجراء كل عملية ضرب.

(52 مرات 27 )

إجابه

1,404

مجموعة الممارسة هـ

(1448 مرات 6،155 ).

إجابه

8,912,440

مجموعة الممارسة هـ

(8940.000 مرات 205.000 ).

إجابه

1,832,700,000,000

تمارين

قم بإجراء عمليات الضرب للمشكلات التالية. يمكنك التحقق من كل منتج باستخدام آلة حاسبة.

تمرين ( PageIndex {1} )

( start {array} {r} {8} { underline { times 3}} end {array} )

إجابه

24

تمرين ( PageIndex {2} )

( start {array} {r} {3} { underline { times 5}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {3} )

( start {array} {r} {8} { underline { times 6}} end {array} )

إجابه

48

تمرين ( PageIndex {4} )

( start {array} {r} {5} { underline { times 7}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {5} )

(6 مرات 1 )

إجابه

6

تمرين ( PageIndex {6} )

(4 مرات 5 )

تمرين ( PageIndex {7} )

(75 مرات 3 )

إجابه

225

تمرين ( PageIndex {8} )

(35 مرات 5 )

تمرين ( PageIndex {9} )

( start {array} {r} {45} { underline { times 6}} end {array} )

إجابه

270

تمرين ( PageIndex {10} )

( start {array} {r} {31} { underline { times 7}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {11} )

( start {array} {r} {97} { underline { times 6}} end {array} )

إجابه

582

تمرين ( PageIndex {12} )

( start {array} {r} {75} { underline { times 57}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {13} )

( start {array} {r} {64} { underline { times 15}} end {array} )

إجابه

960

تمرين ( PageIndex {14} )

( start {array} {r} {73} { underline { times 15}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {15} )

( start {array} {r} {81} { underline { times 95}} end {array} )

إجابه

7,695

تمرين ( PageIndex {16} )

( start {array} {r} {31} { underline { times 33}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {17} )

(57 مرات 64 )

إجابه

3,648

تمرين ( PageIndex {18} )

(76 مرة 42 )

تمرين ( PageIndex {19} )

(894 مرات 52 )

إجابه

46,488

تمرين ( PageIndex {20} )

(684 مرات 38 ).

تمرين ( PageIndex {21} )

( start {array} {r} {115} { underline { times 22}} end {array} )

إجابه

2,530

تمرين ( PageIndex {22} )

( start {array} {r} {706} { underline { times 81}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {23} )

( start {array} {r} {328} { underline { times 21}} end {array} )

إجابه

6,888

تمرين ( PageIndex {24} )

( start {array} {r} {550} { underline { times 94}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {25} )

(930 مرات 26 ).

إجابه

24,180

تمرين ( PageIndex {26} )

(318 مرات 63 )

تمرين ( PageIndex {27} )

( start {array} {r} {582} { underline { times 127}} end {array} )

إجابه

73,914

تمرين ( PageIndex {28} )

( start {array} {r} {247} { underline { times 116}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {29} )

( start {array} {r} {305} { underline { times 225}} end {array} )

إجابه

68,625

تمرين ( PageIndex {30} )

( start {array} {r} {782} { underline { times 547}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {31} )

( start {array} {r} {771} { underline { times 663}} end {array} )

إجابه

511,173

تمرين ( PageIndex {32} )

( start {array} {r} {638} { underline { times 516}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {33} )

(1905 مرات 710 ).

إجابه

1,352,550

تمرين ( PageIndex {34} )

(5،757 مرات 5،010 ).

تمرين ( PageIndex {35} )

( start {array} {r} {3،106} { underline { times 1،752}} end {array} )

إجابه

5,441,712

تمرين ( PageIndex {36} )

( start {array} {r} {9،300} { underline { times 1،130}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {37} )

( start {array} {r} {7،057} { underline { times 5،229}} end {array} )

إجابه

36,901,053

تمرين ( PageIndex {38} )

( start {array} {r} {8،051} { underline { times 5،580}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {39} )

( start {array} {r} {5،804} { underline { times 4،300}} end {array} )

إجابه

24,957,200

تمرين ( PageIndex {40} )

( start {array} {r} {357} { underline { times 16}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {41} )

( start {array} {r} {724} { underline { times 0}} end {array} )

إجابه

0

تمرين ( PageIndex {42} )

( start {array} {r} {2،649} { underline { times 41}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {43} )

( start {array} {r} {5،173} { underline { times 8}} end {array} )

إجابه

41,384

تمرين ( PageIndex {44} )

( start {array} {r} {1،999} { underline { times 0}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {45} )

( start {array} {r} {1،666} { underline { times 0}} end {array} )

إجابه

0

تمرين ( PageIndex {46} )

( start {array} {r} {51،730} { underline { times 142}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {47} )

( start {array} {r} {387} { underline { times 190}} end {array} )

إجابه

73,530

تمرين ( PageIndex {48} )

( start {array} {r} {3،400} { underline { times 70}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {49} )

( start {array} {r} {460،000} { underline { times 14،000}} end {array} )

إجابه

6,440,000,000

تمرين ( PageIndex {50} )

( start {array} {r} {558،000،000} { underline { times 81،000}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {51} )

( start {array} {r} {37،000} { underline { times 120}} end {array} )

إجابه

4,440,000

تمرين ( PageIndex {52} )

( start {array} {r} {498،000} { underline { times 0}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {53} )

( start {array} {r} {4،585،000} { underline { times 140}} end {array} )

إجابه

641,900,000

تمرين ( PageIndex {54} )

( start {array} {r} {30،700،000} { underline { times 180}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {55} )

( start {array} {r} {8،000} { underline { times 10}} end {array} )

إجابه

80,000

تمرين ( PageIndex {56} )

لنفترض أن المسرح يتسع لـ 426 شخصًا. إذا كان المسرح يتقاضى 4 دولارات لكل تذكرة ويبيع كل مقعد ، فكم من المال سيحصلون عليه؟

تمرين ( PageIndex {57} )

في فصل اللغة الإنجليزية ، يُتوقع من الطالب قراءة 12 رواية خلال الفصل الدراسي وإعداد تقرير عن كل واحدة منها. إذا كان هناك 32 طالبًا في الفصل ، فكم عدد التقارير التي سيتم إعدادها؟

إجابه

384 تقريرًا

تمرين ( PageIndex {58} )

يتكون الامتحان النهائي في فصل الرياضيات من 65 مسألة. إذا تم إعطاء هذا الاختبار لـ 28 شخصًا ، فكم عدد المشكلات التي يجب على المعلم تقديرها؟

تمرين ( PageIndex {59} )

تقدم معلمة قانون الأعمال اختبارًا مكونًا من 45 مشكلة لاثنين من فصولها. إذا كان في كل فصل 37 شخصًا ، فكم عدد المشكلات التي يتعين على المعلم تصحيحها؟

إجابه

3330 مشكلة

تمرين ( PageIndex {60} )

يعطي مدرس الجبر امتحانًا يتكون من 43 مشكلة لأربعة من فصوله. إذا كان عدد الطلاب في الفصول 25 و 28 و 31 و 35 طالبًا ، فكم عدد المشكلات التي يتعين على المعلم تصحيحها؟

تمرين ( PageIndex {61} )

يشير مصطلح "الانحراف المعياري" في الإحصاء إلى رقم يتم حسابه من بيانات معينة. إذا كانت البيانات تشير إلى أن الانحراف المعياري الواحد هو 38 وحدة ، فكم عدد الوحدات التي تمثل ثلاثة انحرافات معيارية؟

إجابه

114 وحدة

تمرين ( PageIndex {62} )

تأتي المشروبات الغازية في علب 24 علبة. إذا قام سوبر ماركت ببيع 857 علبة خلال أسبوع واحد ، فكم عدد العلب الفردية التي تم بيعها؟

تمرين ( PageIndex {63} )

هناك 60 ثانية في 1 دقيقة و 60 دقيقة في 1 ساعة. كم ثانية هناك في 1 ساعة؟

إجابه

3600 ثانية

تمرين ( PageIndex {64} )

هناك 60 ثانية في دقيقة واحدة ، و 60 دقيقة في ساعة واحدة ، و 24 ساعة في يوم واحد ، و 365 يومًا في عام واحد. كم ثانية هناك في 1 سنة؟

تمرين ( PageIndex {65} )

يسافر الضوء 186000 ميل في ثانية واحدة. كم ميلا يسافر بها الضوء في سنة واحدة؟ (تلميح: هل يمكنك استخدام نتيجة المشكلة السابقة؟)

إجابه

5،865،696،000،000 ميل في السنة

تمرين ( PageIndex {66} )

تبيع كافتيريا مدرسة ابتدائية 328 وجبة غداء كل يوم. كل وجبة غداء تكلف 1 دولار. كم من المال تجلبه الكافتيريا في أسبوعين؟

تمرين ( PageIndex {67} )

شركة كمبيوتر تبيع الأسهم مقابل 23 دولارًا للسهم. إذا قام 87 شخصًا بشراء 55 سهمًا ، فما مقدار الأموال التي سيتم جلبها؟

إجابه

$110,055

تمارين للمراجعة

في العدد 421998 ، كيف يمكن أن يكون هناك عشرة آلاف؟

قرِّب 448.062.187 لأقرب مائة ألف.

إجابه

448,100,000

أوجد المجموع. 22451 + 18976.

اطرح 2،289 من 3،001.

إجابه

712

حدد خاصية الجمع التي تبرر حقيقة أن (عدد صحيح أول + عدد صحيح ثان) = (العدد الصحيح الثاني + أول رقم صحيح)


يُقال أن الرقم عبارة عن عدد كسري إذا كان على شكل b / d بحيث تكون d أكبر من 0. الأعداد الصحيحة هي أعداد طبيعية بما في ذلك الصفر. الأعداد الصحيحة هي 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230.

كما تمت مناقشته ، فإن الأرقام الكسرية هي من الشكل ب / د. نستخدم الأعداد الطبيعية لتمثيل هذه الأعداد الكسرية.

ضرب عدد كسري في عدد صحيح

يبدو ضرب العدد الكسري والعدد الصحيح مثيرًا للاهتمام بعض الشيء. عندما نلاحظ الأعداد الصحيحة فهي أرقام بسيطة. هذه ليست الحالة نفسها للأعداد الكسرية. الأرقام الكسرية على شكل ب / د. لذا ، فإن ضرب هذه الأرقام يبدو صعبًا بعض الشيء. نقدم لك هنا شرحًا بسيطًا يساعدك على فهم عملية ضرب الأعداد الصحيحة والأعداد الكسرية بسهولة.

عندما نلاحظ الأعداد الكسرية ، يكون لها بسط ومقام. الأعداد الصحيحة لها بسط ولكن ليس مقامًا. هل لديك أي فكرة عن كيفية المضي قدمًا؟

كيفية ضرب الأعداد الكسرية بأعداد صحيحة؟

نتبع بعض الخطوات البسيطة لضرب الأعداد الكسرية في الأعداد الصحيحة

الخطوة 1: هنا ، نلاحظ أن العدد الصحيح ليس له مقام. إذن ، علينا وضع المقام في صورة 1.

الخطوة 2: عندما تضرب العدد الصحيح والعدد الكسري ، يجب أن تضرب البسط في البسط والمقام في المقام.

الخطوة 3: سيكون الحل إما كسرًا من عدد صحيح وهذا يعطينا النتيجة النهائية.

أمثلة على ضرب الكسور في أعداد صحيحة

اضرب الكسر ، ( frac <2> <7> ) ببعض العدد الصحيح 3؟

نحن هنا نجمع بين المنطق البسيط والرياضيات مما يساعدنا على القيام بالضرب التالي.

بالنسبة إلى العدد الصحيح ، لدينا فقط بسط وليس لدينا مقام. إذن ، نأخذ هنا مقام عدد صحيح على أنه 1. هذا لا يغير القيمة الفعلية للعدد الصحيح ، ولذا يمكننا ضرب العدد الصحيح بعدد كسري.

يتم ضرب الأعداد الكسرية بضرب البسط والمقام.

هنا ، الكسر هو ( frac <2> <7> ) والعدد الصحيح هو 3.

ليس لدينا مقام لـ 3. لذا ضع المقام على 1.

الآن ، يصبح العدد الصحيح 3/1.

اضرب هذه الأرقام ( frac <2 * 3> <7 * 1> )

ومن ثم ، فإن النتيجة التي تم الحصول عليها بضرب العدد الصحيح 3 ورقم الفصيلة ( frac <2> <7> ) هي ( frac <6> <7> ).

اضرب كسرًا ( frac <22> <7> ) ببعض العدد الصحيح 14؟

بالنسبة إلى العدد الصحيح ، لدينا فقط بسط وليس لدينا مقام. إذن ، نأخذ المقام على أنه 1.

يتم ضرب الأعداد الكسرية بضرب البسط والمقام.

هنا ، الكسر هو ( frac <22> <7> ) والعدد الصحيح هو 14.

ليس لدينا مقام لـ 14. لذا ضع المقام على 1.

الآن ، يصبح العدد الصحيح ( frac <14> <1> ).

اضرب هذه الأرقام ( frac <22 * 14> <7 * 1> )

ومن ثم ، فإن النتيجة التي تم الحصول عليها بضرب العدد الصحيح 14 ورقم الفصائلية ( frac <22> <7> ) هي 44.

اضرب كسرًا ( frac <234> <26> ) ببعض الأعداد الصحيحة 171؟

بالنسبة إلى العدد الصحيح ، لدينا فقط بسط وليس لدينا مقام. إذن ، نأخذ المقام على أنه 1.

يتم ضرب الأعداد الكسرية بضرب البسط والمقام.

هنا ، الكسر هو ( frac <234> <26> ) والعدد الصحيح هو 171.

ليس لدينا مقام لـ 171. لذلك ضع المقام على الشكل 1.

الآن ، يصبح العدد الصحيح ( frac <171> <1> ).

اضرب هذه الأرقام ( frac <234 * 171> <26 * 1> )

ومن ثم ، فإن النتيجة التي تم الحصول عليها بضرب العدد الصحيح 171 ورقم الفصائلية ( frac <234> <26> ) هي 1539.

ضرب كسر كسري بعدد صحيح

من أجل ضرب الكسور المختلطة في عدد صحيح ، أولاً ، قم بتغيير الكسر المختلط إلى كسر عادي مما يساعدنا على حل المسألة بنفس العملية مثل الكسر العادي.

كيفية ضرب الأعداد الكسرية المختلطة بأعداد صحيحة؟

نتبع بعض الخطوات البسيطة لضرب الأعداد الكسرية في الأعداد الصحيحة

الخطوة 1: قم بتغيير الكسر المختلط إلى كسر عادي.

الخطوة 2: هنا ، نلاحظ أن العدد الصحيح ليس له مقام. إذن ، علينا وضع المقام في صورة 1.

الخطوة 3: عندما تضرب العدد الصحيح والعدد الكسري المختلط ، يجب أن تضرب البسط في البسط والمقام في المقام.

الخطوة 4: سيكون الحل إما كسرًا أو عددًا صحيحًا وهذا يعطينا النتيجة النهائية.

إليك بعض الأمثلة التي تساعدك على فهم ضرب الكسور المختلطة بأعداد صحيحة.

أمثلة على ضرب الكسور المختلطة بأعداد صحيحة

اضرب الكسر المختلط 2 ( frac <2> <5> ) بعدد صحيح 6؟

2 ( frac <2> <5> ) هو كسر مختلط. لذلك ، لا يمكننا استخدامها في الضرب البسيط. قم بتغييره إلى كسر بسيط.

الكسر البسيط هو ( frac <12> <5> ).

بالنسبة إلى العدد الصحيح ، لدينا فقط بسط وليس لدينا مقام. إذن ، نأخذ المقام على أنه 1.

يتم ضرب الأعداد الكسرية بضرب البسط والمقام.

هنا ، الكسر هو ( frac <12> <5> ) والعدد الصحيح هو 6.

ليس لدينا مقام لـ 6. لذا ضع المقام على 1.

الآن ، يصبح العدد الصحيح ( frac <6> <1> ).

اضرب هذه الأرقام ( frac <12 * 6> <5 * 1> )

ومن ثم ، فإن النتيجة التي تم الحصول عليها بضرب العدد الصحيح 6 بالرقم الكسري 2 ( frac <2> <5> ) هي ( frac <72> <5> ).

اضرب الكسر المختلط 7 ( frac <12> <15> ) بعدد صحيح 9؟

7 ( frac <12> <15> ) هو كسر مختلط. لذلك ، لا يمكننا استخدامها في الضرب البسيط. قم بتغييره إلى كسر بسيط.

الكسر البسيط هو ( frac <117> <15> ).

بالنسبة إلى العدد الصحيح ، لدينا فقط بسط وليس لدينا مقام. إذن ، نأخذ المقام على أنه 1.

يتم ضرب الأعداد الكسرية بضرب البسط والمقام.

هنا ، الكسر هو ( frac <117> <15> ) والعدد الصحيح هو 9.

ليس لدينا مقام 9. لذلك ضع المقام على 1.

الآن ، يصبح العدد الصحيح ( frac <9> <1> ).

اضرب هذه الأرقام ( frac <117 * 9> <15 * 1> )

ومن ثم ، فإن النتيجة التي تم الحصول عليها بضرب العدد الصحيح 9 بالرقم الكسري 7 ( frac <12> <15> ) هي ( frac <1053> <15> )


أوراق عمل الرياضيات المجانية للعمليات الأساسية

يتيح لك منشئ ورقة العمل هذا إنشاء أوراق عمل لجمع وطرح وقسمة وضرب الأعداد الصحيحة والأعداد الصحيحة ، بما في ذلك الأشكال الأفقية والعمودية (القسمة المطولة وما إلى ذلك) ، والمعادلات البسيطة مع المتغيرات.

يمكنك عمل أوراق عمل لـ.

  • حقائق الجمع / الطرح الأساسية
  • الجمع والطرح الذهني (على سبيل المثال ، المئات كاملة)
  • جداول الضرب ، بما في ذلك العوامل المفقودة
  • حقائق القسمة الأساسية ، بما في ذلك الباقي
  • الضرب والقسمة الذهنية (على سبيل المثال ، بواسطة قوى العشرة)
  • الجمع والطرح على شكل عمود ، بما في ذلك الطرح مع أو بدون إعادة التجميع
  • الضرب على شكل عمود (الضرب المطول)
  • تقسيم طويل
  • معادلات بسيطة تستخدم إما سطرًا فارغًا أو متغيرًا (اختر إضافة مفقودة / مطروح / ناقص / عامل / مقسوم / مقسوم). هذا قابل للاستخدام من الصف الأول حتى ما قبل الجبر / الجبر 1!

كل هذا يمكن القيام به إما بأعداد صحيحة موجبة أو أعداد صحيحة (أرقام سالبة) عن طريق اختيار نطاق الأرقام المستخدمة. جرب الخيارات لتخصيص أوراق العمل كما تريد!

على سبيل المثال ، يمكنك إضافة أي قدر من المساحة الإضافية لحل المشكلات ، ووضع حد حول كل مشكلة ، واختيار الخط وحجم الخط ، مما يسمح بتخصيص أوراق العمل للطلاب الذين يعانون من مشاكل بصرية أو اضطراب فرط الحركة ونقص الانتباه.


2.1: ضرب الأعداد الصحيحة - رياضيات

مشروع تحسين تعليم الرياضيات في المدارس (TIMES)

ضرب الأعداد الصحيحة

العدد والجبر: الوحدة 9السنة: 4-7

  • فهم القيمة المكانية كما هي مطبقة على الأعداد الصحيحة (انظر الوحدة الخاصة بالعد والقيمة المكانية).
  • تقدير أنه يمكن نمذجة الإضافة من خلال الجمع بين مجموعات من الكائنات ، ويمكن أيضًا نمذجتها على خط الأرقام.
  • فهم ، والطلاقة مع ، تخطي العد.
  • فهم إضافة رقمين من رقم واحد وطلاقة في استخدامها.
  • الإلمام باستخدام المصفوفات لنمذجة الضرب.
  • استخدام رمز الضرب ليعني "مجموعات من".
  • معرفة حقائق الضرب والقسمة البسيطة.

تتضمن أمثلة استخدام الضرب حساب تكلفة ستة عناصر
بتكلفة 25 سنتًا لكل منهما. من الأسرع بكثير حساب 6 × 25 عن طريق الضرب
من الإضافة المتكررة.

يجيب الضرب على أسئلة مثل:

1 اشترت جودي 15 صندوقًا من الشوكولاتة. كل علبة تحتوي على 24 قطعة شوكولاتة. كم عدد الشوكولاتة التي امتلكتها جودي؟

2 هنري لديه 16 لفة من الأسلاك. طول كل لفة 18 م. ما هو الطول الإجمالي للسلك الذي يمتلكه هنري؟

النموذج الهندسي الطبيعي للضرب كمساحة مستطيلة يؤدي إلى تطبيقات في القياس. على هذا النحو ، يوفر الضرب رابطًا مبكرًا بين الحساب والهندسة.

الطلاقة مع الضرب يقلل من الضغط المعرفي في تعلم مواضيع لاحقة مثل
كتقسيم. يعد تطوير الفهم القوي للحساب أمرًا ضروريًا لجميع الرياضيات الإضافية.

بالنسبة للأعداد الصحيحة ، الضرب يعادل الجمع المتكرر.

نمذجة الضرب بالمصفوفات

يعد استخدام المصفوفات لنمذجة الضرب أمرًا ضروريًا. على سبيل المثال ، يتم توضيح 3 و 5 بواسطة

نسمي 15 حاصل ضرب 3 و 5 ، ونسمي عوامل 3 و 5 من 15.

بالنظر إلى صفوف المصفوفة نرى ذلك

من خلال النظر إلى أعمدة المصفوفة نرى ذلك أيضًا

هذا يوضح 3 مرات 5 & # 61 5 مرات 3. نقول أن الضرب تبادلي.

نمذجة الضرب عن طريق العد بالتخطي

العد القفزي ، مثل التلاوة 3 ، 6 ، 9 ، 12 ، 15. هو أحد أقدم المقدمات للجمع المتكرر وبالتالي إلى الضرب. يمكن توضيح ذلك على خط الأعداد كما هو موضح في 3 مرات 5 = 15 أدناه.

على خط الأعداد ، حقيقة أن 3 & # 43 3 & # 43 3 & # 43 3 & # 43 3 & # 61 5 & # 43 5 & # 43 5 ليست واضحة جدا الرسم البياني أعلاه يظهر 5 & # 43 5 & # 43 5 ، في حين أن 3 & # 43 3 & # 43 3 & # 43 3 & # 43 3 على خط الأعداد تبدو مختلفة تمامًا.

يعد التخطي العد مهمًا لأنه يساعد الأطفال على تعلم جداول الضرب الخاصة بهم.

نمذجة الضرب حسب المنطقة

يؤدي استبدال الكائنات في مصفوفة بواسطة وحدة أو مربعات 1 × 1 إلى تقديم نموذج منطقة الضرب. هذا موضح أدناه لمدة 3 مرات و 5 مرات.

في هذه المرحلة ، نستخدم مربعات الوحدة بدلاً من العدادات أو النجوم. يمكننا أيضًا استخدام نموذج مساحة الضرب لضرب الكسور.

تعلم جدول الضرب

إتقان جداول الضرب أمر ضروري لمزيد من الرياضيات وفي الحياة اليومية.

إذا كان بإمكان الطلاب إضافة رقم مكون من رقم واحد إلى رقم مكون من رقمين ، فيمكنهم على الأقل إعادة بناء جدول الضرب حتى لو لم يكونوا قد طوروا الطلاقة بعد. لذلك من الضروري التأكد من أن الطلاب يمكنهم الإضافة بطلاقة.

نوصي بشدة أن يتعلم الطلاب حقائق الضرب الخاصة بهم حتى 12 و 12. وهذا يرجع أساسًا إلى أن جدول 12 ضروريًا لحسابات الوقت - هناك 12 شهرًا في السنة ، و 24 ساعة في اليوم ، و 60 دقيقة في الساعة. يعد الإلمام بالعشرات مفيدًا في الحياة اليومية لأن التعبئة في 3 و 4 مصفوفات أكثر ملاءمة من المصفوفتين 2 و 5. بالإضافة إلى ذلك ، يحتوي جدول 12 و 12 على العديد من الأنماط التي يمكن استغلالها بشكل بناء في تمارين ما قبل الجبر.

تتمثل الطريقة المباشرة لتعلم الجداول في قراءة كل صف ، إما عن ظهر قلب أو عن طريق تخطي العد. ومع ذلك ، يحتاج الطلاب أيضًا إلى أن يكونوا قادرين على تذكر الحقائق الفردية دون اللجوء إلى الجدول بأكمله.

بالنظر إلى جدول الضرب 12 و 12 يعطي الانطباع بأن هناك 144 حقيقة يجب تعلمها.

ومع ذلك ، هناك العديد من التقنيات التي يمكن استخدامها لتقليل عدد الحقائق التي يجب تعلمها.

  • تقلل تبادلية الضرب على الفور من 144 إلى 78.
  • جداول الضرب 1 و 10 واضحة ومباشرة ويقلل إتقانها من العدد
    من الحقائق التي يجب تعلمها حتى 55.

  • من السهل أيضًا تعلم جداول الضرب 2 و 5 ، كما أن إتقانهما يقلل من عدد الحقائق التي يجب تعلمها إلى 36.

  • الجدولان 9 و 11 هما الجدولان الأسهل في تخطي العد لأن 9 و 11 يختلفان عن 10 في 1. وهذا يقلل من عدد الحقائق إلى 21.

هذا يقلل من عدد المصطلحات التي يجب تعلمها إلى 15.

مهما كانت التقنيات المستخدمة ، يجب أن يكون الهدف هو الطلاقة.

خواص الضرب

تتمثل إحدى مزايا نهج المصفوفة والمساحة في أن خصائص الضرب أكثر وضوحًا.

كما نوقش أعلاه ، فإن قلب المصفوفة 3 و 5 على جانبها يوضح أن 3 و 5 و 61 5 و 3 لأن المنطقة لا تتغير.

3 مرات 5 و 61 و 5 مرات 3

لقد رأينا ذلك من قبل من خلال النظر إلى الصفوف والأعمدة بشكل منفصل ، ولكن يمكننا أيضًا القيام بذلك عن طريق قلب المستطيل على جانبه ، أي بالتناوب.

3 مرات 5 و 61 و 5 مرات 3

خاصية أخرى مهمة في الضرب هي الترابطية ، التي تقول ذلك

تضمن ترابطية الضرب أن التعبير a & times b & times c لا لبس فيه. لا نعلم عادة ارتباط الضرب صراحة في السنوات 4-7. بدلاً من ذلك ، نقوم بتدريس خاصية أي ترتيب للضرب ، والتي تكون نتيجة للخصائص التبادلية والرابطية.

أي خاصية ترتيب الضرب

يمكن ضرب قائمة الأرقام معًا بأي ترتيب لإعطاء حاصل ضرب الأرقام.

تتشابه خاصية أي ترتيب في الضرب مع خاصية أي ترتيب للإضافة. كل من الترابطية والتبادلية هي ملاحظات غير بديهية لاحظ أن الطرح والقسمة ليسا تبادليًا ولا ترابطيًا. بمجرد أن نكون على دراية بالعمليات الحسابية ، فإننا نميل إلى اعتبار الترابطية والتبادلية في الضرب أمرًا مفروغًا منه ، تمامًا كما نفعل مع الجمع. في كثير من الأحيان ، يجدر التفكير في أن التبادلية والترابط يجتمعان لإعطاء الخصائص المهمة والقوية لأي ترتيب.

يتطابق ضرب ثلاثة أعداد صحيحة هندسيًا مع حساب عدد مكعبات الوحدة في (أو حجم) منشور مستطيل. تعني خاصية الضرب بأي ترتيب أنه يمكننا حساب هذا الحجم بضرب أطوال الأضلاع بأي ترتيب. يتوافق ترتيب الحساب مع تقسيم الحجم بطرق مختلفة.

توزيعية الضرب على الجمع والطرح.

المعادلة 3 & مرات (2 & # 43 4) & # 61 (3 & مرات 2) & # 43 (3 مرات 4) مثال على التوزيع
من الضرب على الجمع. مع المصفوفات ، هذا يتوافق مع
الرسم البياني التالي.

=

مع المناطق يتوافق مع الرسم البياني أدناه.

المنطقة رقم 61 3 مرات 6

الضرب هو أيضًا توزيعي على الطرح.
على سبيل المثال 7 مرات (10 - 2) & # 61 7 مرات 10 - 7 مرات 2. يمكن توضيح ذلك من خلال نموذج المنطقة.

تسمح خاصية أي ترتيب للضرب وقانون التوزيع الخاص بالضرب بإكمال بعض مسائل الضرب بدون حسابات معقدة.

استخدام خاصية أي أمر

نستخدم خاصية الضرب بأي ترتيب لتبسيط العمليات الحسابية عن طريق التغيير
الترتيب الذي نقوم به الضرب. فمثلا،

في بعض الأحيان ، تحدث إعادة الترتيب هذه بعد أن نحلل أحد العوامل ،
مثل عندما نضاعف مرتين من أجل الضرب في أربعة ، كما في

هذه التقنية لنقل عامل من رقم إلى آخر بالترتيب
لتبسيط عملية حسابية لها تطبيقات تتجاوز المضاعفة المتكررة ، كما في

يسمى هذا أحيانًا "نصف ومضاعفة".

استخدم خاصية أي ترتيب لتنفيذ عمليات الضرب التالية.

أ 5 مرات و 7 مرات 2 ب 68 & ضرب 5 ج مرات 25 و 11 مرات 4

استخدام خاصية التوزيع

نستخدم كلا الخاصيتين التوزيعيتين لتبسيط بعض مسائل الضرب. فمثلا،

يمكن استخدام بعض الأمثلة من هذا النوع لتطوير المفاهيم المطلوبة في الخوارزمية الرسمية. تعتبر الملاحظات مثل 14 × 60 = 14 × 6 × 10 و 14 × 600 = 14 × 6 × 100 أساسية لفهم خوارزمية الضرب.

يمكن إجراؤها أولاً كاستراتيجية ذهنية ، ثم استخدامها كأمثلة مبكرة في الخوارزمية الرسمية. تشمل الاستراتيجيات العقلية الأخرى المتعلقة بالخوارزمية ملاحظات مثل

حيث أن الضرب في مضاعفات الأس العشرة المكونة من رقم واحد ليس أكثر تعقيدًا من الضرب في الرقم الفردي وتتبع القيمة المكانية.

استخدم قانون التوزيع لتنفيذ عمليات الضرب التالية.

أ مرات 31 و 8 ب 99 & مرات 32 ج 1001 مرات 34 د 102 × 8

الهوية (أ & ناقص ب) (أ & # 43 ب) & # 61 أ 2 & ناقص ب 2 مفيدة أيضًا للحساب الذهني.

على سبيل المثال & # 58 49 & مرات 51 & # 61 (50 & ناقص 1) & مرات (50 & # 43 1) & # 61 2500 & ناقص 1 & # 61 2499

نفذ كل عملية من عمليات الضرب التالية باستخدام هذه المطابقة.

أ 48 & مرات 52 ب 47 & مرات 53 ج مرات 31 و 29 د 201 وضرب 199

تعمل الخوارزمية بكفاءة أكبر إذا استخدمت عددًا صغيرًا من الخطوات التي تنطبق عليها
كل المواقف. لذلك لا تلجأ الخوارزميات إلى تقنيات ، مثل استخدام ما يقرب من الزوجي ، والتي تكون فعالة في حالات قليلة ولكنها غير مجدية في معظم الحالات.

لن تساعدك الخوارزمية القياسية على مضاعفة رقمين من رقم واحد. من الضروري أن يتقن الطلاب عملية ضرب عددين من رقم واحد قبل الشروع في أي خوارزمية رسمية.

تقع خاصية التوزيع في قلب خوارزمية الضرب الخاصة بنا لأنها تمكننا من حساب المنتجات عمودًا واحدًا في كل مرة ثم جمع النتائج معًا. يجب تقويتها حسابيًا وهندسيًا وخوارزميًا. على سبيل المثال ، لدينا 6 × 14 = 6 × 10 + 6 × 4 حسابيًا ، ونرى نفس الظاهرة هندسيًا ،

ونقوم بتطبيق ذلك حسابيًا في الحساب التالي.

بمجرد فهم هذه العملية والتخطيط ، يمكننا المتابعة إلى الخوارزمية المتعاقد عليها.

الضرب في رقم واحد

أولاً ، نتعاقد مع الحساب من خلال تتبع أرقام الحمل ودمج الإضافة كما نذهب. الحساب السابق يختصر إما

حسب مكان تسجيل أرقام الحمل.

يجب توخي الحذر حتى في هذه المرحلة المبكرة بسبب مزيج الضرب والجمع. لاحظ أيضًا أن الموقع الدقيق وحجم الرقم المحمول ليسا ضروريين للعملية ويختلفان عبر الثقافات. عندما نقوم بضرب طويل ، يمكن أن تظهر عدة أرقام حمل في كل عمود ويمكن أن يكون تسجيلها في التخطيط عائقًا أكثر من كونه مساعدة. لذلك من المستحسن تطوير طلاقة كافية في الضرب برقم واحد حتى يتمكن الطالب من إجراء عملية حسابية مثل

دون الحاجة إلى تسجيل أرقام الحمل بشكل صريح. إذا احتاج الطالب حقًا إلى تسجيل أرقام الحمل ، فإننا نوصي بوضعها فوق العمود ذي الصلة وشطبها عند دمجها في الحل.

الضرب في عدد واحد من مضاعفات أس عشرة

الملاحظة التالية هي أن الضرب في مضاعف مكون من رقم واحد للعشرة ليس أصعب من الضرب في رقم واحد بشرط أن نتتبع القيمة المكانية. لذا ، لإيجاد عدد الثواني في 14 دقيقة ، نحسب

وتنفيذه بتنسيق مثل

وبالمثل ، يمكننا تتبع قوى أعلى من عشرة باستخدام القيمة المكانية لصالحنا. وبالتالي

بالنسبة للطلاب الذين قابلوا الملاحظة الأساسية كجزء من تمارينهم الحسابية الذهنية ، فإن الشيء الجديد الوحيد في هذه المرحلة هو كيفية تخطيط هذه الحسابات.

الضرب في عدد مكون من رقمين

تحدث القفزة المعرفية التالية عندما نستخدم التوزيعية لمضاعفة رقمين من رقمين معًا. يتم تنفيذ هذا كمنتجين من الأنواع المذكورة أعلاه. فمثلا،

يُستخدم في الحساب المكون من خطوتين أدناه.

هذا يتوافق مع تحلل المنطقة الموضح أدناه.

في المراحل المبكرة ، يجدر تطوير المنظورات الحسابية والهندسية والخوارزمية الموضحة أعلاه بشكل متزامن.

تفريغ كل سطر في حساب الضرب الطويل باستخدام التوزيع الصريح ،
مثل

هذا هو 74 & مرات 63 & # 61 (70 & # 43 4) (60 & # 43 3)

هذا يتوافق أيضًا مع تحلل المنطقة

ليس من الفعال القيام بهذا الضرب الطويل الممتد ، ولكن يمكن استخدامه لتسليط الضوء على الاستخدام المتعدد للتوزيع في العملية. يظهر الرسم التوضيحي لنموذج المساحة المستخدم في هذه الحالة لاحقًا كتفسير هندسي للحسابات في الجبر.

ضرب الأعداد متعددة الخانات

كلما زاد عدد الأرقام التي نضربها ، زاد عدد المرات التي نحتاج فيها إلى تطبيق خاصية التوزيع ، وكلما زاد عدد الأسطر التي نحسبها ، كما هو موضح أدناه.

يتوافق هذا المثال مع & # 58 5974 & مرات 3 & # 43 5974 & 60 & # 43 5974 & مرات 200 & # 43 5974 & 1000

علاوة على ذلك ، فإن مضاعفة الأعداد الصحيحة لا تزداد تعقيدًا.

أول تطبيق من تطبيقات الضرب التي يحتمل أن يلتقي بها الطلاب هو القسمة. عند حساب القسمة ، فإننا نحسب باستمرار مضاعفات المقسوم عليه ، ويعتبر الافتقار إلى الطلاقة في الضرب عائقًا كبيرًا في هذه العملية. تضع المادة في هذه الوحدة الأساس لعملية الضرب ثم القسمة على الكسور والأعداد العشرية.

تشمل تطبيقات الضرب الأخرى التي يتم تحقيقها مبكرًا النسب المئوية وحساب المستهلك. على سبيل المثال ، نحسب سعر عنصر ما بما في ذلك ضريبة السلع والخدمات عن طريق حساب 1.1 مرة تكلفتها السابقة على ضريبة السلع والخدمات.

إن الإلمام بالضرب والتعبير عن الأعداد كمنتجات للعوامل يمهدان الطريق لإحدى النظريات الرئيسية في الرياضيات.

النظرية الأساسية للحساب: يمكن كتابة كل عدد صحيح أكبر من 1 كمنتج للأعداد الأولية وهذا التعبير فريد من نوعه حتى الترتيب الذي تكتب به العوامل. على سبيل المثال ، 24 = 2 3 & مرات 3 و 20 & # 61 2 2 & مرات 5.

للنظرية الأساسية في الحساب عواقب وتطبيقات بعيدة المدى في علوم الكمبيوتر والتشفير وتشفير المفتاح العام.

أخيرًا وليس آخرًا ، فإن وجود أسس قوية في الحساب يضع الطالب في طريقه للنجاح في الجبر.

استخدام جدول الضرب كمصدر للأنماط

القدرة على تحديد الأنماط والدخول في مشاكل مفتوحة كلاهما مهارات حسابية حاسمة. يمكن استخدام جدول الضرب كمصدر للأنشطة لكليهما.

ارسم شبكة 10 × 10 وحدد مضاعفات 9 عليها. ما هو النمط الهندسي الذي تصنعه مضاعفات 9 في الجدول ولماذا نشأ؟ ما هو النمط الحسابي لأرقام الأعداد في جدول 9 مرات ولماذا نشأ؟

ارسم شبكة 12 و 12 مكتوبًا عليها الأرقام من 1 إلى 144. اختر إدخالاً ليس على حافة الجدول. كيف ترتبط الأرقام الموجودة فوقها مباشرة وتحتها مباشرة بالرقم الموجود في المربع الذي اخترته؟ كم عدد الأشياء التي يمكنك قولها عن الأرقام على يسار ويمين الرقم الذي اخترته؟

حاصل ضرب عددين هو نفسه بغض النظر عن كيفية حسابه أو كيفية كتابة إجابتك. مثلما يدور تاريخ العدد في الحقيقة حول تطور الأرقام ، فإن تاريخ الضرب هو أساسًا تاريخ العمليات التي استخدمها الأشخاص لإجراء العمليات الحسابية. مكّن تطوير تدوين القيمة المكانية الهندوسية العربية من تنفيذ خوارزميات فعالة للحساب وربما كان السبب الرئيسي لشعبية التدوين واعتماده بسرعة.

إحدى التقنيات التي تختلف تمامًا عن الخوارزمية القياسية هي الازدواجية المصرية وتعود إلى ما قبل عام 1850 قبل الميلاد. إنه يقلل من الحسابات إلى سلسلة من المضاعفات مع الإضافة النهائية.

افترض أنك تريد ضرب 63 في 22. اكتب أولاً

ثم ضاعف الرقمين واكتبهما أدناه للحصول على

استمر في المضاعفة حتى يصبح الرقم الموجود في العمود الأيسر أكبر ما يمكن دون أن يكون أكبر من 22. لذلك نكتب

1 63
2 126
4 252
8 504
16 1008

وتوقف لأن 32 أكبر من 22.

الآن نعمل في طريقنا للخلف ونبدأ بوضع علامة على الرقم 16 ، وكان ذلك تقليديًا عن طريق وضع خط على يسار الرقم ، كما هو موضح أدناه.

إضافة 8 إلى 16 يعطي رقمًا أكبر من 22 ، لذلك لا نحدد الصف أعلاه.

منذ 16 & # 43 4 ≤ 22 ، نحدد الصف بـ 4 في العمود الأيسر.

منذ 16 & # 43 4 & # 43 2 & # 61 22 نحتفل بالصف بالرقم 2 في العمود الأيسر ،

ومنذ 16 & # 43 4 & # 43 2 & # 43 1 & GT 22 ، لا نحتفل بالصف العلوي. هذا يتركنا مع

1 63
/ 2 126
/ 4 252
8 504
/ 16 1008

تعطي إضافة الأرقام في العمود الأيمن من الصفوف المميزة

وهو حاصل ضرب 22 × 63. هذا يعمل بسبب

تعتمد الازدواجية المصرية على التوزيعية وحقيقة أن كل رقم يمكن كتابته كمجموع قوى 2.

أكمل ما يلي باستخدام الازدواج المصري.

أ 34 & ضرب 56 ب 57 مرات 34

طريقة الفلاحين الروس

مثل الازدواجية المصرية ، تعمل طريقة الفلاحين الروسية لأن كل رقم له تعبير فريد في القاعدة 2. يقلل أسلوب الفلاحين الروس الحسابات إلى سلسلة من المضاعفات والنصف مع إضافة نهائية.

كخوارزمية ، تعمل طريقة الفلاحين الروسية على النحو التالي.

  • ضع الرقمين اللذين تريد ضربهما أعلى عمودين.
  • أنتج صفًا آخر من رقمين بمضاعفة الرقم في العمود الأول
    وخفض الرقم في العمود الثاني إلى النصف ، مع تجاهل أي باقٍ في
    عملية النصف.
  • كرر الخطوة السابقة حتى يصبح الرقم في عمود النصف 1.
  • اشطب جميع الصفوف التي يتساوى فيها الرقم الموجود في عمود النصف.
  • أضف جميع الأرقام التي لم يتم شطبها في عمود المضاعفة.
  • هذا المجموع يساوي حاصل ضرب العددين الأصليين. على سبيل المثال ، عند استخدامه لحساب 63 في 22 نكتب

ثم احسب 126 & # 43 252 & # 43 1008 & # 61 1386 واستنتج أن 63 & ضرب 22 & # 61 1386.
هذا الإجراء يعمل دائمًا ، ولكن لماذا؟

لنفترض أننا نريد ضرب 63 في 16. نبدأ بكتابة 63 و 16 في الجزء العلوي من
عمودين وتحت كل منهما نكتب الأرقام التي نحصل عليها بمضاعفة واحد و
النصف الآخر.

في هذه الحالة ، يكون حاصل ضرب العددين في كل صف مطابقًا لمنتج الرقمين أعلاه مباشرة. على سبيل المثال ، 126 × 8 = 63 × 16. باتباع سلسلة المنتجات نستنتج أن 63 × 16 = 1008 × 1 = 1008. يعمل هذا بسهولة خاصة لأن 16 هي قوة 2.

افترض بدلاً من ذلك أننا نريد ضرب 63 في 14.

نظرًا لعدم وجود باقٍ في القسم الأول ، 126 & 7 & # 61 63 & ضرب 14 وكانت الخطوة الأولى ببساطة إعادة صياغة المنتج بطريقة مختلفة. يمكننا بأمان شطب 63 وضرب في 14 والتظاهر بأنه لم يكن هناك من الأساس. ومع ذلك ، في الخطوة الثانية ، تجاهلنا الباقي ، وبالتالي هناك فرق بين الصفين على وجه الخصوص ، 126 & ضرب 7 = 252 & مرات 3 + 126 & مرات 1. لاحظ أن الفرق بين حاصل الضرب في الصفين هو 126 ، الرقم الموجود في الصف العلوي في العمود المضاعف. نظرًا لأن الباقي في القسمة على 2 يمكن أن يكون 0 أو 1 فقط ، في كل خطوة نعيد صياغة المشكلة بالضبط ، أو نخرج بنسخة واحدة من الرقم في عمود المضاعفة. في هذا الحساب ، تجاهلنا نسخة واحدة من 126 ونسخة واحدة من 252 قبل أن نصل إلى التعبير 504 & مرات 1. لذا يجب أن يكون حاصل الضرب الأصلي 63 × 14 يساوي 504 + 252 + 126.

بشكل عام ، قد يكون هناك العديد من الصفوف التي لا يتبقى لدينا فيها والعديد من الصفوف التي نتجاهل فيها الباقي. قمنا بشطب تلك الصفوف التي أدى القسمة على 2 إلى إعادة صياغة دقيقة للمنتج في الصف السابق وهذا يتوافق تمامًا مع الصفوف التي تحتوي على أرقام زوجية في عمود النصف. الأرقام التي لم يتم شطبها في عمود المضاعفة تتوافق مع الباقي ومجموعها يساوي المنتج الأصلي.

الطريقة الإيطالية أو طريقة شعرية

هناك تقنية أخرى ، تُعرف بالطريقة الإيطالية أو طريقة الشبكة ، وهي في الأساس تنفيذ النسخة الموسعة من الخوارزمية القياسية ولكن في تخطيط مختلف. هذه الطريقة قديمة جدًا وربما كانت الطريقة المعتمدة بشكل عام إذا لم يكن من الصعب طباعتها. يبدو أنه ظهر لأول مرة في الهند ، لكنه سرعان ما ظهر في أعمال الصينيين والعرب. وجدت طريقها من العرب إلى إيطاليا ويمكن العثور عليها في العديد من المخطوطات الإيطالية في القرنين الرابع عشر والخامس عشر.

الضرب 34 × 27 موضح هنا.

في المستطيل العلوي الأيمن 4 & مرات 2 محسوبة. الرقم 8 موجود في المثلث السفلي و 0 في المثلث العلوي.

ثم يتم احتساب 3 مرات و 2 وإدخال النتيجة كما هو موضح.

في أسفل المستطيل الأيمن 4 × 7 محسوب. الرقم 8 موجود في المثلث السفلي والرقم 2 في المثلث العلوي. يتم أيضًا تسجيل نتيجة 3 و 7 بهذه الطريقة.

يحتوي القطر الأخضر على الوحدات.

يحتوي القطر الأزرق على العشرات.

يحتوي القطر البني على المئات.

يتم الآن جمع الأرقام على طول كل قطري بدءًا من اليمين وكل منها
تم تسجيل النتيجة كما هو موضح. لاحظ أن هناك "حمل" من "قطري العشرات" إلى "قطري المئات"

استخدم طريقة الشبكة لتنفيذ كل من عمليات الضرب التالية

أ 35 & مرات 73 ب 67 & مرات 87 ج 453 × 235

تاريخ الرياضيات: مقدمة ، الطبعة الثالثة ، فيكتور ج.كاتز ، أديسون ويسلي ، (2008)

تاريخ الرياضيات ، دي إي سميث ، منشورات دوفر نيويورك ، (1958)

أ 70 ب 340 ج 1100

أ 2496 ب 2491 ج 899 د 39 999

أ 1904 ب 1938

أ 2555 ب 5829 ج 106 455

تم تمويل مشروع تحسين تعليم الرياضيات في المدارس (TIMES) 2009-2011 من قبل وزارة التعليم والتوظيف وعلاقات مكان العمل التابعة للحكومة الأسترالية.

الآراء المعبر عنها هنا هي آراء المؤلف ولا تمثل بالضرورة وجهات نظر وزارة التعليم والتوظيف وعلاقات مكان العمل بالحكومة الأسترالية.


في الصف الرابع ، الوحدة 2 ، يضرب الطلاب ما يصل إلى أربعة أرقام بأرقام مكونة من رقم واحد ، معتمدين على فهمهم للقيمة المكانية وخصائص العمليات ، بالإضافة إلى النماذج المرئية مثل نموذج المنطقة ، لحلها.

كأساس لعملهم متعدد السنوات مع الضرب والقسمة ، تعلم الطلاب في الصف الثاني تقسيم المستطيل إلى صفوف وأعمدة وكتابة جملة إضافة متكررة لتحديد الإجمالي. كما تم تخطي العد بـ 5 ، و 10 ، و 100. بعد ذلك ، في الصف الثالث ، طور الطلاب فهمًا مفاهيميًا للضرب والقسمة فيما يتعلق بالمجموعات والمصفوفات والمساحة المتساوية. لقد طوروا مجموعة متنوعة من الاستراتيجيات للبناء نحو الطلاقة مع الضرب والقسمة في حدود 100 وطبقوا تلك المعرفة في سياق المسائل المكونة من خطوة واحدة أو خطوتين باستخدام العمليات الأربع.

لبدء الوحدة ، يقوم الطلاب بتوسيع فهمهم لحالات الضرب التي تعلموها في الصف الثالث لتشمل المقارنة المضاعفة باستخدام الكلمات & ldquotimes أكبر عدد ممكن. & rdquo لمواصلة تحديث عمل الطلاب & rsquo في الصفين 2 و 3 حول العد القفزي والضرب الأساسي الحقائق وتوسيعها لتشمل القيم التي لم يتعاملوا معها بعد ، يقوم الطلاب بالتحقيق في العوامل والمضاعفات ضمن 100 ، بالإضافة إلى الأعداد الأولية والمركبة (4.OA.4). وبالتالي ، فإن هذا المحتوى العنقودي الداعم يخدم كأساس للعمل الرئيسي مع الضرب والقسمة بكميات أكبر. بشكل عرضي ، ستدعم أيضًا العمل الرئيسي في الوحدة 5 للتعرف على الكسور المتكافئة وتوليدها. بعد ذلك ، ينتقل الطلاب إلى رقمين من رقم واحد ، وثلاثة أرقام برقم واحد ، وأربعة أرقام برقم واحد ، ورقمين في مضاعفة رقمين ، باستخدام نموذج المنطقة ، والنواتج الجزئية ، وأخيرًا خوارزمية قياسية ، تجعل الروابط بين جميع التمثيلات كما هي. يساعد استخدام نموذج المنطقة الطلاب على فهم الضرب من الناحية المفاهيمية وكارتباط لعملهم مع المنطقة والمحيط (4.MD.3) ، وهو معيار الكتلة الداعمة. أخيرًا ، مع الفهم الكامل لجميع حالات الضرب ، يقومون بعد ذلك بتطبيق مهاراتهم الجديدة في الضرب لحل مشاكل الكلمات متعددة الخطوات باستخدام الضرب والجمع والطرح ، بما في ذلك الحالات التي تنطوي على المقارنة المضاعفة (4.NBT.5 ، 4.OA.3) ، 4.MD.3) ، مما يسمح بالعديد من الفرص لربط المحتوى عبر مجالات متعددة.

توفر هذه الوحدة الكثير من الفرص لتعميق ممارسات الطلاب والرياضيات. على سبيل المثال ، عندما يحلل الطلاب الأرقام إلى مجاميع من مضاعفات وحدات الأساس العشر لمضاعفتهم ، فإنهم يرون ويستخدمون البنية (MP.7). الطلاب و ldquoreason بشكل متكرر (MP.8) حول العلاقة بين الرسومات الرياضية والعمل العددي المكتوب ، يمكن للطلاب رؤية خوارزميات الضرب والقسمة كاختصارات أو ملخصات لاستدلالهم حول الكميات (NBT Progression ، ص 14). أخيرًا ، بينما يقوم الطلاب بحل مشاكل الكلمات متعددة الخطوات التي تتضمن الجمع والطرح والضرب ، فإنهم يقومون بنمذجة باستخدام الرياضيات (MP.4).

سيعمل الطلاب في هذه الوحدة على إعدادهم للطلاقة في استخدام خوارزمية الضرب في الصف الخامس (5.NBT.5). يتعلم الطلاب أيضًا عن التطبيقات الجديدة للضرب في الدرجات المستقبلية ، بما في ذلك زيادة الكميات صعودًا وهبوطًا في الصف الخامس (5.NF.5) ، وصولاً إلى المعدلات والمنحدرات في الصفوف المتوسطة (6.RP ، 7.RP) . يعتمد كل مستوى صف لاحق على فهم الضرب وخوارزميته ، مما يجعل هذه الوحدة مهمة للطلاب في الصف الرابع.

السرعة: 26 يومًا تعليميًا (23 درسًا ، يومان مرنان ، يوم تقييم واحد)

للحصول على إرشادات حول ضبط السرعة للعام الدراسي 2020-2021 بسبب إغلاق المدارس ، راجع التعديلات الموصى بها في نطاق الصف الرابع والتسلسل.

اشترك في Fishtank Plus لفتح الوصول إلى موارد إضافية لهذه الوحدة ، بما في ذلك:


2.1: ضرب الأعداد الصحيحة - رياضيات

Acrobat Distiller 7.0 (Windows)

2005-11-30T17: 25: 17-05: 00 Acrobat PDFMaker 7.0 لبرنامج Word 2005-11-30T17: 25: 33-05: 00 2005-11-30T17: 25: 33-05: 00 uuid: 3acd7006-a976- 47af-a46f-3bdab33ab9d9 uuid: d092d2da-edc9-498c-91ad-03ab8c8470f4 2 application / pdf خطة الدرس بقلم مايكل بارنز وشارون أوزبورن وكاتي براندون

endstream endobj 8 0 obj> endobj xref 0 94 0000000000 65535 f 0000009040 00000 n 0000009294 00000 n 0000011029 00000 n 0000012467 00000 n 0000012500 00000 n 0000012523 00000 n 0000012580 00000 n 0000017058 00000 n 0000000000 65535 f 000000000 6550000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 و 0000000000 65535 و 0000000000 65535 و 0000000000 65535 و 0000000000 65535 و 0000000000 65535 و 0000000000 65535 و 0000000000 65535 و 0000000000 65535 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 و 0000000000 65535 و 0000000000 65535 و 0000000000 65535 و 0000000000 65535 0000000000 653535 ف 0000000000 65535 و 0000000000 65535 و 0000000000 65535 و 0000000000 65535 و 000000 0000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 و 0000000000 65535 و 0000000000 65535 و 0000000000 65535 و 0000000000 65535 و 0000000000 65535 و 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 و 0000000000 65535 و 0000000000 65535 و 0000000000 65535 و 0000000000 65535 و 0000000000 65535 و 0000000000 65535 و 0000000000 65535 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 ف 0000000000 65535 مقطورة> startxref 116 ٪٪ EOF


2.1: ضرب الأعداد الصحيحة - رياضيات

تريد أوراق عمل الرياضيات غير محدودة؟ تعرف على المزيد حول برنامج ممارسة الرياضيات عبر الإنترنت.
اطلع على بعض مشاكل ممارسة الرياضيات المدعومة الأخرى.

التعقيد = 2 ، الوضع = v

تتضاعف. أعط الإجابة بصيغتين غير مبسّطة (غير مناسبة) ومبسطة (عدد مختلط). إذا لم يكن هناك عدد صحيح ، فاتركه فارغًا.

التعقيد = 10 ، الوضع = v

تتضاعف. أعط الإجابة بصيغتين غير مبسّطة (غير مناسبة) ومبسطة (عدد مختلط). إذا لم يكن هناك عدد صحيح ، فاتركه فارغًا.

التعقيد = 10

تتضاعف. أعط الإجابة بصيغتين غير مبسّطة (غير مناسبة) ومبسطة (عدد مختلط). إذا لم يكن هناك عدد صحيح ، فاتركه فارغًا.

الإجابات

التعقيد = 1 ، الوضع = v

تتضاعف. أعط الإجابة بصيغتين غير مبسّطة (غير مناسبة) ومبسطة (عدد مختلط). إذا لم يكن هناك عدد صحيح ، فاتركه فارغًا.

التعقيد = 2 ، الوضع = v

تتضاعف. أعط الإجابة بصيغتين غير مبسّطة (غير مناسبة) ومبسطة (عدد مختلط). إذا لم يكن هناك عدد صحيح ، فاتركه فارغًا.

التعقيد = 10 ، الوضع = v

تتضاعف. أعط الإجابة بصيغتين غير مبسّطة (غير مناسبة) ومبسطة (عدد مختلط). إذا لم يكن هناك عدد صحيح ، فاتركه فارغًا.

التعقيد = 10

تتضاعف. أعط الإجابة بصيغتين غير مبسّطة (غير مناسبة) ومبسطة (عدد مختلط). إذا لم يكن هناك عدد صحيح ، فاتركه فارغًا.


اضرب عددًا كسريًا في عدد صحيح

اتبع الإرشادات الموجودة في مربع الحوار بعد الضغط على الزر & ltSTART & gt. قد يتم الضغط على الزر & ltEXPLAIN & gt بعد إدخال العامل الثاني لمعرفة كيفية القيام بالمثال.

تم عمل الصورة التالية بواسطة Multiply with Circles Designer:

أجزاء مثال الضرب هي العامل الأول والعامل الثاني والحاصل الضرب.

ستلاحظ من الصورة أن هناك 3 صفوف من الدوائر ، كل صف يحتوي على 2 1 & frasl4 الدوائر.

عندما يبدأ البرنامج ، سيُطلب منك تحديد العامل الأول ، عدد الدوائر في كل صف ، أو 2 1 & frasl4.

سيُطلب منك بعد ذلك تحديد العامل الثاني. العامل الثاني هو عدد الصفوف ، أو 3. العامل الثاني في هذا البرنامج سيكون دائمًا 1 أو 2 أو 3 .. لن يستمر البرنامج ما لم يتم تحديد كل عامل بشكل صحيح. سيُطلب منك بعد ذلك تحديد المنتج.

يمكنك أن ترى من الصورة أن هناك 6 دوائر كاملة. يمكن دمج الدوائر الجزئية الثلاث لتشكيل 3/4 دائرة كاملة ليصبح المجموع 6 3 & frasl4 الدوائر. المنتج إذن هو 6 3 & frasl4.

لحساب المنتج, اكتب أولاً كل عامل في صورة كسر كما هو موضح في المثال أعلاه. ثم اضرب بسط كل عامل في بسط حاصل الضرب ومقام كل عامل لمقام حاصل الضرب. يمكنك إدخال المنتج في شكل كسر أو رقم كامل أو مختلط ، لذلك 27 & frasl4 أو 6 3 وفراسل4 كلاهما مقبول.

كيفية الإلغاء ستلعب رسمًا متحركًا قصيرًا يوضح لك طريقة الاختصار هذه لكتابة كسر بأدنى العبارات.

نظرًا لأن العامل الثاني في كل مثال من الكسور المتعددة هو رقم صحيح ، يمكنك استخدام طريقة أخرى لحساب المنتج كما هو موضح في المثال أدناه. اضرب جزء العدد الصحيح في 2 1 & frasl4 بواسطة العامل الثاني 3 ثم جزء الكسر 3 2 & frasl3 بالعامل الثاني 3. ثم اجمع العددين للمنتج.

مكتوبًا ، سيبدو المثال كما يلي:

كما ترى ، تقوم بتوزيع العامل 3 على العدد الصحيح وجزء الكسر 2 1 & frasl4. عندما تضرب عاملًا في إضافتين أو أكثر ، فإنك تُظهر خاصية التوزيع للضرب على الجمع.

لمزيد من التعليمات حول ضرب الكسور ، انتقل إلى كيفية ضرب الكسور.

بعد إدخال المنتج ، يمكنك الضغط على الزر & ltREPORT & gt. سيطلب التقرير اسمك ولكن يمكنك تقديم رمز لاسمك. سيعطي هذا التقرير نفس النتائج الموجودة في مربع الحوار. يمكن طباعة التقرير أو إرساله بالبريد الإلكتروني.


الأعداد الصحيحة على خط الأعداد

يمكن عرض مجموعة الأعداد الطبيعية ومجموعة الأعداد الصحيحة على خط الأعداد كما هو موضح أدناه. تمثل جميع الأعداد الصحيحة الموجبة أو الأعداد الصحيحة الموجودة على الجانب الأيمن من 0 الأعداد الطبيعية ، بينما تمثل جميع الأعداد الصحيحة الموجبة جنبًا إلى جنب مع الصفر الأعداد الصحيحة معًا. يمكن تمثيل مجموعتي الأرقام على خط الأعداد على النحو التالي:


محتويات

العلامة مشفرة في Unicode عند U + 00D7 × MULTIPLICATION SIGN (HTML & amp # 215 · & amptimes).

هناك رموز رياضية أخرى لعملية الضرب:

  • يُشار إلى الضرب أيضًا بعلامات نقطية ، [3] عادةً ما تكون نقطة مركزية (نادرًا ما تكون نقطة):
  • في الجبر ، غالبًا ما تتم كتابة الضرب الذي يتضمن المتغيرات كتجاور (على سبيل المثال ، س ص إلى عن على x مرات ذ أو 5x خمس مرات x)، وتسمى أيضا الضرب الضمني. [4] يمكن أيضًا استخدام الترميز للكميات المحاطة بأقواس (على سبيل المثال ، 5 (2) أو (5) (2) لخمس مرات اثنين). يمكن أن يتسبب هذا الاستخدام الضمني للضرب في الغموض عندما تتطابق المتغيرات المتسلسلة مع اسم متغير آخر ، عندما يمكن الخلط بين اسم متغير أمام قوس واسم دالة ، أو في التحديد الصحيح لترتيب العمليات.
  • في الضرب المتجه ، يوجد تمييز بين الرمز المتقاطع والرموز النقطية. يشير الرمز المتقاطع عمومًا إلى أخذ منتج متقاطع لمتجهين ، مما ينتج عنه متجه نتيجة لذلك ، بينما تشير النقطة إلى أخذ حاصل الضرب النقطي لمتجهين ، مما يؤدي إلى عددية.

في برمجة الكمبيوتر ، لا تزال علامة النجمة (كما في 5 * 2) هي أكثر الرموز شيوعًا. ويرجع ذلك إلى حقيقة أن معظم أجهزة الكمبيوتر كانت تقتصر تاريخياً على مجموعات الأحرف الصغيرة (مثل ASCII و EBCDIC) التي تفتقر إلى علامة الضرب (مثل ⋅ أو ×) ، بينما ظهرت علامة النجمة على كل لوحة مفاتيح. نشأ هذا الاستخدام في لغة برمجة FORTRAN.

تسمى الأرقام المراد ضربها عمومًا "العوامل". الرقم المراد ضربه هو "المضاعف" ، والرقم الذي يتم ضربه به هو "المضاعف". عادةً ما يتم وضع المضاعف أولاً ثم يتم وضع المضاعف في المرتبة الثانية [1] ولكن في بعض الأحيان يكون العامل الأول هو المضاعف والثاني المضاعف. [5] أيضًا نظرًا لأن نتيجة الضرب لا تعتمد على ترتيب العوامل ، فإن التمييز بين "المضاعف" و "المضاعف" مفيد فقط على مستوى أولي جدًا وفي بعض خوارزميات الضرب ، مثل الضرب المطول. لذلك ، في بعض المصادر ، يعتبر مصطلح "مضاعف" مرادفًا لـ "عامل". [6] في الجبر ، الرقم هو مضاعف متغير أو تعبير (على سبيل المثال ، 3 في 3س ص 2) يسمى المعامل.

تسمى نتيجة الضرب منتجًا. حاصل ضرب الأعداد الصحيحة هو مضاعف كل عامل. على سبيل المثال ، 15 هو حاصل ضرب 3 و 5 ، ومضاعف 3 ومضاعف 5.

تتطلب الطرق الشائعة لضرب الأرقام باستخدام القلم الرصاص والورق جدولًا لضرب النواتج الصغيرة المحفوظة أو التي يتم الرجوع إليها (عادةً أي رقمين من 0 إلى 9) ، ولكن هناك طريقة واحدة ، وهي خوارزمية الضرب الفلاحي ، لا تفعل ذلك.

يعد ضرب الأرقام في أكثر من منزلتين عشريتين يدويًا أمرًا مملًا وعرضة للخطأ. تم اختراع اللوغاريتمات الشائعة لتبسيط مثل هذه الحسابات ، لأن إضافة اللوغاريتمات تعادل الضرب. تسمح قاعدة الشريحة بضرب الأرقام بسرعة إلى حوالي ثلاثة أماكن دقة. ابتداءً من أوائل القرن العشرين ، كانت الآلات الحاسبة الميكانيكية ، مثل مارشانت ، هي الضرب الآلي لما يصل إلى 10 أرقام. لقد قللت أجهزة الكمبيوتر والآلات الحاسبة الإلكترونية الحديثة بشكل كبير من الحاجة إلى الضرب اليدوي.

تحرير الخوارزميات التاريخية

تم توثيق طرق الضرب في كتابات الحضارات المصرية واليونانية والهندية والصينية القديمة.

قد يلمح عظم Ishango ، الذي يعود تاريخه إلى حوالي 18000 إلى 20000 قبل الميلاد ، إلى معرفة التكاثر في العصر الحجري القديم الأعلى في وسط إفريقيا ، لكن هذا أمر تخميني.

تحرير المصريين

الطريقة المصرية في ضرب الأعداد الصحيحة والكسور ، الموثقة في بردية أحمس ، كانت بالإضافات المتتالية والمضاعفة. على سبيل المثال ، لإيجاد حاصل ضرب 13 و 21 ، كان على المرء مضاعفة 21 ثلاث مرات ، والحصول على 2 × 21 = 42 ، 4 × 21 = 2 × 42 = 84 ، 8 × 21 = 2 × 84 = 168. يمكن بعد ذلك العثور على المنتج الكامل عن طريق إضافة المصطلحات المناسبة الموجودة في التسلسل المضاعف:

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

البابليون تحرير

استخدم البابليون نظام رقم الموضع الستيني ، مشابهًا للنظام العشري الحديث. وهكذا ، كان الضرب البابلي مشابهًا جدًا للضرب العشري الحديث. بسبب الصعوبة النسبية لتذكر منتجات مختلفة 60 × 60 ، استخدم علماء الرياضيات البابليون جداول الضرب. تتكون هذه الجداول من قائمة أول عشرين مضاعفات لبعض الرقم الأساسي ن: ن, 2ن, . 20ن متبوعًا بمضاعفات العدد 10ن: 30ن 40نو 50ن. ثم لحساب أي منتج جنسي ، على سبيل المثال 53ن، مطلوب واحد فقط لإضافة 50ن و 3ن محسوبة من الجدول.

تحرير الصينية

في النص الرياضي Zhoubi Suanjing، مؤرخة قبل 300 قبل الميلاد ، و تسعة فصول في الفن الرياضي، تمت كتابة حسابات الضرب بالكلمات ، على الرغم من أن علماء الرياضيات الصينيين الأوائل استخدموا حساب التفاضل والتكامل الذي يتضمن إضافة القيمة المكانية والطرح والضرب والقسمة. كان الصينيون يستخدمون بالفعل جدول الضرب العشري بنهاية فترة الممالك المتحاربة. [7]

الطرق الحديثة تحرير

تم وصف طريقة الضرب الحديثة القائمة على نظام العد الهندوسي العربي لأول مرة بواسطة Brahmagupta. أعطى Brahmagupta قواعد الجمع والطرح والضرب والقسمة. كتب هنري بورشارد فاين ، أستاذ الرياضيات في جامعة برينستون ، ما يلي:

الهنود هم مخترعو ليس فقط النظام العشري الموضعي نفسه ، ولكن أيضًا لمعظم العمليات التي ينطوي عليها الحساب الأولي للنظام. لقد أداؤوا عمليات الجمع والطرح تمامًا كما يتم إجراؤهم في الوقت الحاضر في عمليات الضرب التي أحدثوها بعدة طرق ، وطرقنا فيما بينهم ، لكن القسمة قاموا بها بشكل تراكمي. [8]

أدخل الخوارزمي هذه الخوارزميات الحسابية العشرية للقيمة المكانية إلى البلدان العربية في أوائل القرن التاسع ، وشاعها فيبوناتشي في العالم الغربي في القرن الثالث عشر.

طريقة الشبكة تحرير

تُستخدم طريقة الضرب في طريقة الشبكة أو طريقة الصندوق في المدارس الابتدائية في إنجلترا وويلز وفي بعض مناطق الولايات المتحدة للمساعدة في تعليم فهم كيفية عمل الضرب متعدد الأرقام. مثال على ضرب 34 في 13 هو وضع الأرقام في شبكة مثل:

تحرير خوارزميات الكمبيوتر

الطريقة الكلاسيكية لضرب اثنين ن تتطلب الأرقام -digit ن 2 رقم الضرب. تم تصميم خوارزميات الضرب التي تقلل من وقت الحساب بشكل كبير عند ضرب أعداد كبيرة. الطرق القائمة على تحويل فورييه المنفصل تقلل من التعقيد الحسابي إلى ا(ن سجل ن سجل الدخول ن). في الآونة الأخيرة ، سجل العوامل ن تم استبداله بوظيفة تزيد بشكل أبطأ بكثير على الرغم من أنها لا تزال غير ثابتة (كما نأمل). [9]

في مارس 2019 ، قدم David Harvey و Joris van der Hoeven مقالًا يعرض خوارزمية ضرب عدد صحيح مع تعقيد مزعوم لـ O (n log ⁡ n). [10] الخوارزمية ، التي تعتمد أيضًا على تحويل فورييه السريع ، يُخمن أنها مثالية بشكل مقارب. [11] لا تعتبر الخوارزمية مفيدة عمليًا ، حيث تظهر مزاياها فقط عند ضرب أعداد كبيرة جدًا (تحتوي على أكثر من 2 1729 12 بت). [12]

يمكن للمرء فقط إضافة أو طرح كميات من نفس النوع بشكل مفيد ، ولكن يمكن مضاعفة كميات من أنواع مختلفة أو تقسيمها بدون مشكلة. على سبيل المثال ، يمكن اعتبار أربعة أكياس بها ثلاث كرات لكل منها على أنها: [1]

[4 أكياس] × [3 كرات في الكيس] = 12 كرة.

عندما يتم ضرب قياسين معًا ، يكون المنتج من نوع يعتمد على أنواع القياسات. يتم إعطاء النظرية العامة من خلال تحليل الأبعاد. يتم تطبيق هذا التحليل بشكل روتيني في الفيزياء ، ولكن له أيضًا تطبيقات موجودة في التمويل والمجالات التطبيقية الأخرى.

من الأمثلة الشائعة في الفيزياء حقيقة أن ضرب السرعة بالوقت يعطي مسافة. فمثلا:

50 كيلومترًا في الساعة × 3 ساعات = 150 كيلومترًا.

في هذه الحالة ، تلغي وحدات الساعة ، تاركة المنتج بوحدات كيلومتر فقط.

تشمل الأمثلة الأخرى على الضرب التي تتضمن الوحدات ما يلي:

2.5 متر × 4.5 متر = 11.25 متر مربع 11 متر / ثانية × 9 ثواني = 99 متر 4.5 ساكن لكل بيت × 20 منزل = 90 ساكن

تحرير تدوين رأس المال pi

يمكن كتابة ناتج سلسلة من العوامل برمز المنتج المشتق من الحرف الكبير ∏ (pi) في الأبجدية اليونانية (يشبه إلى حد كبير الحرف الكبير ∑ (sigma) يستخدم في سياق الجمع). [13] [14] [15] موضع Unicode U + 220F (∏) ​​يحتوي على حرف رسومي للدلالة على مثل هذا المنتج ، متميزًا عن الحرف U + 03A0 (Π). يتم إعطاء معنى هذا الترميز من خلال:

يعطي الرمز المنخفض رمزًا لمتغير منضم (أنا في هذه الحالة) ، يسمى "مؤشر الضرب" ، مع حده الأدنى (1) ، في حين أن الخط المرتفع (هنا 4) يعطي حده الأعلى. الحد الأدنى والأعلى عبارة عن تعبيرات تدل على الأعداد الصحيحة. يتم الحصول على عوامل المنتج عن طريق أخذ التعبير الذي يتبع عامل المنتج ، مع استبدال القيم الصحيحة المتتالية لمؤشر الضرب ، بدءًا من الحد الأدنى ومضاعفة بمقدار 1 حتى (بما في ذلك) الحد الأعلى. فمثلا:

بشكل عام ، يتم تعريف الترميز على أنه

أين م و ن هي أعداد صحيحة أو تعبيرات يتم تقييمها إلى أعداد صحيحة. في حالة أين م = ن ، قيمة المنتج هي نفسها قيمة العامل الفردي xم لو م & GT ن ، المنتج منتج فارغ قيمته 1 - بغض النظر عن تعبير العوامل.

تحرير الخصائص

إذا كانت جميع المصطلحات متطابقة ، فإن تسلسل المنتج يعادل الأُس.

تحرير المنتجات اللانهائية

يمكن للمرء أيضًا أن يفكر في المنتجات ذات المصطلحات العديدة اللانهائية التي تسمى المنتجات اللانهائية. من الناحية المعيارية ، يتكون هذا من الاستبدال ن أعلاه برمز اللانهاية ∞. يتم تعريف حاصل ضرب مثل هذا التسلسل اللانهائي على أنه حد منتج الأول ن شروط ، مثل ن ينمو بلا قيود. هذا هو،

يمكن للمرء أن يحل محل بالمثل م ذات اللانهاية السالبة ، وحدد:

بشرط وجود كلا الحدين.

بالنسبة للأعداد الحقيقية والمركبة ، والتي تتضمن على سبيل المثال الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة والكسور ، فإن الضرب له خصائص معينة:

الخاصية التبادلية لا يهم الترتيب الذي يتم به ضرب رقمين: x ⋅ y = y ⋅ x. تعد تعبيرات الخاصية الترابطية التي تتضمن فقط الضرب أو الجمع ثابتة فيما يتعلق بترتيب العمليات: (x ⋅ y) ⋅ z = x ⋅ (y ⋅ z) خاصية التوزيع معلقة فيما يتعلق بالضرب على الجمع. هذه المطابقة لها أهمية قصوى في تبسيط التعبيرات الجبرية: x ⋅ (y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z عنصر الهوية المتطابقة المضاعفة هي 1 ، أي مضروب في 1 هو نفسه. تُعرف هذه الميزة لـ 1 باسم خاصية الهوية: x ⋅ 1 = x < displaystyle x cdot 1 = x> خاصية 0 أي رقم مضروب في 0 هو 0. هذا ما يعرف بـ خاصية صفر من الضرب: x ⋅ 0 = 0 < displaystyle x cdot 0 = 0> النفي −1 مرة أي رقم يساوي المعكوس الجمعي من هذا الرقم. (- 1) ⋅ x = (- x) حيث (- x) + x = 0 –1 مرات –1 تساوي 1. (- 1) ⋅ (- 1) = 1 عكس العنصر كل رقم x، باستثناء 0 ، لديه المعكوس الضربي، 1 x < displaystyle < frac <1>>> ، مثل أن x ⋅ (1 x) = 1 < displaystyle x cdot left (< frac <1>> right) = 1>. ترتيب الحفاظ الضرب برقم موجب يحافظ على الترتيب: For أ & GT 0 ، إذا ب & GT ج من ثم أب & GT أ . الضرب برقم سالب يعكس الترتيب: For أ & lt 0 ، إذا ب & GT ج من ثم أب & lt أ . الأعداد المركبة ليس لها ترتيب.

قد لا تحتوي الأنظمة الرياضية الأخرى التي تتضمن عملية الضرب على كل هذه الخصائص. على سبيل المثال ، الضرب ليس بشكل عام تبادليًا للمصفوفات والمربعات.

في هذا الكتاب مبادئ الحسابات ، nova methodo exposita، اقترح جوزيبي بينو بديهيات للحساب بناءً على بديهياته عن الأعداد الطبيعية. [16] حساب بينو له بديهيتين في الضرب:

هنا س(ذ) يمثل خليفة ذ، أو الرقم الطبيعي الذي يتبع ذ. يمكن إثبات الخصائص المختلفة مثل الترابط من هذه البديهيات وغيرها من البديهيات الحسابية بينو بما في ذلك الاستقراء. على سبيل المثال س(0) ، يُرمز له بـ 1 ، هو هوية مضاعفة لأن

س × 1 = س × ق (0) = (س × 0) + س = 0 + س = س

تُعرّفها بديهيات الأعداد الصحيحة عادةً على أنها فئات تكافؤ لأزواج مرتبة من الأعداد الطبيعية. يعتمد النموذج على معالجة (x,ذ) بما يعادل xذ متي x و ذ تعامل كأعداد صحيحة. وبالتالي فإن كلا من (0،1) و (1،2) يعادلان -1. تعريف بديهية الضرب للأعداد الصحيحة بهذه الطريقة

القاعدة التي يمكن من خلالها استنتاج −1 × −1 = 1

( 0 , 1 ) × ( 0 , 1 ) = ( 0 × 0 + 1 × 1 , 0 × 1 + 1 × 0 ) = ( 1 , 0 )

يتم تمديد الضرب بطريقة مماثلة للأعداد المنطقية ثم إلى الأعداد الحقيقية.

يمكن تعريف ناتج الأعداد الصحيحة غير السالبة بنظرية المجموعة باستخدام الأعداد الأصلية أو بديهيات Peano. انظر أدناه كيفية توسيع هذا إلى ضرب الأعداد الصحيحة التعسفية ، ثم الأعداد المنطقية التعسفية. يتم تعريف ناتج الأعداد الحقيقية من حيث منتجات الأعداد المنطقية ، انظر بناء الأعداد الحقيقية.

هناك العديد من المجموعات التي ، في ظل عملية الضرب ، ترضي البديهيات التي تحدد بنية المجموعة. هذه البديهيات هي الإغلاق ، والترابط ، وإدراج عنصر الهوية والعكس.

مثال بسيط هو مجموعة الأرقام المنطقية غير الصفرية. هنا لدينا المتطابقة 1 ، على عكس المجموعات تحت الجمع حيث تكون الهوية عادةً 0. لاحظ أنه مع الأسس المنطقية ، يجب علينا استبعاد الصفر لأنه في ظل الضرب ، لا يوجد معكوس: لا يوجد رقم منطقي يمكن ضربه في صفر ينتج عنه 1. في هذا المثال لدينا مجموعة أبيلية ، ولكن هذا ليس هو الحال دائمًا.

لرؤية هذا ، ضع في اعتبارك مجموعة المصفوفات المربعة القابلة للانعكاس ذات البعد المحدد في حقل معين. هنا ، من السهل التحقق من الإغلاق والترابط وإدراج الهوية (مصفوفة الهوية) والعكس. ومع ذلك ، فإن ضرب المصفوفة ليس تبادليًا ، مما يدل على أن هذه المجموعة غير أبيلية.

هناك حقيقة أخرى جديرة بالملاحظة وهي أن الأعداد الصحيحة تحت الضرب ليست مجموعة - حتى لو استبعدنا الصفر. يمكن ملاحظة ذلك بسهولة من خلال عدم وجود معكوس لجميع العناصر بخلاف 1 و 1.

عادةً ما يتم ملاحظة الضرب في نظرية المجموعة إما بنقطة أو عن طريق التجاور (إغفال رمز العملية بين العناصر). حتى يتم ضرب العنصر أ حسب العنصر ب يمكن تدوينها على أنها أب أو أب. عند الإشارة إلى مجموعة عبر الإشارة إلى المجموعة والتشغيل ، يتم استخدام النقطة. على سبيل المثال ، يمكن الإشارة إلى مثالنا الأول بـ (Q / <0>، ⋅) < displaystyle left ( mathbb / <0 >، ، cdot right)>.

يمكن للأرقام عدد (3 تفاحات) ، طلب (التفاحة الثالثة) ، أو يقيس (بارتفاع 3.5 أقدام) مع تقدم تاريخ الرياضيات من العد على أصابعنا إلى نمذجة ميكانيكا الكم ، تم تعميم الضرب على أنواع أكثر تعقيدًا وتجريدًا من الأرقام ، والأشياء التي ليست أرقامًا (مثل المصفوفات) أو لا تشبه إلى حد كبير الأرقام (مثل المربعات الرباعية).

عند تكرار الضرب ، تُعرف العملية الناتجة باسم الأس. على سبيل المثال ، حاصل ضرب ثلاثة عوامل (2 × 2 × 2) هو "اثنان مرفوعان للقوة الثالثة" ، ويُرمز له بـ 2 3 ، اثنان مع حرف مرتفع ثلاثة. في هذا المثال ، الرقم اثنان هو قاعدة، وثلاثة هو الأس. بشكل عام ، يشير الأس (أو مرتفع) إلى عدد المرات التي تظهر فيها القاعدة في التعبير ، بحيث يكون التعبير

يدل علي ن نسخ من القاعدة أ يجب أن تتضاعف معًا. يمكن استخدام هذا الترميز عندما يكون الضرب معروفًا بأنه ترابط قوى.


شاهد الفيديو: درس ضرب الاعداد الصحيحة وقسمتها - رياضيات الصف السادس (شهر نوفمبر 2021).