مقالات

2.5: المشتقات


تعريف المشتق المركب لوظيفة معقدة يشبه تعريف المشتق الحقيقي لوظيفة حقيقية: بالنسبة للدالة (f (z) ) المشتق (f ) في (z_0 ) يتم تعريفه على أنه

[f '(z_0) = lim_ {z to z_0} dfrac {f (z) - f (z_0)} {z - z_0} ]

بشرط ، بالطبع ، أن الحد موجود. إذا كان الحد موجودًا ، نقول إن (f ) تحليلي في (z_0 ) أو (f ) قابل للتفاضل في (z_0 ).

يتذكر: يجب أن يكون الحد موجودًا وأن يكون هو نفسه بغض النظر عن الطريقة التي تقترب بها من (z_0 )!

إذا كان (f ) تحليليًا في جميع النقاط في منطقة مفتوحة (A ) فإننا نقول إن (f ) تحليلي في (A ).

كالعادة مع المشتقات ، هناك العديد من الرموز البديلة. على سبيل المثال ، إذا (w = f (z) ) يمكننا الكتابة

[f '(z_0) = dfrac {dw} {dz} lvert_ {z_0} = lim_ {z to z_0} dfrac {f (z) - f (z_0)} {z - z_0} = lim _ { Delta to 0} dfrac { Delta w} { Delta z} ]

مثال ( PageIndex {1} )

أوجد مشتق (f (z) = z ^ 2 ).

المحلول

قمنا بهذا أعلاه في المثال 2.2.1. الق نظرة على ذلك الآن. بالطبع (f '(z) = 2z ).

مثال ( PageIndex {2} )

إظهار (f (z) = overline {z} ) لا يمكن تمييزه في أي وقت (z ).

المحلول

قمنا بهذا أعلاه في المثال 2.2.2. الق نظرة على ذلك الآن.

تحدي. استخدم الإحداثيات القطبية لإظهار أن الحد في المثال السابق يمكن أن يكون أي قيمة بالمعامل 1 اعتمادًا على الزاوية التي يقترب فيها (z ) من (z_0 ).

القواعد المشتقة

لن يكون من الممتع جدًا حساب كل مشتق باستخدام الحدود. لحسن الحظ ، لدينا نفس صيغ التفاضل مثل الدوال ذات القيمة الحقيقية. بمعنى ، على افتراض أن (f ) و (g ) قابلين للتفاضل لدينا:

  • قاعدة المجموع: [ dfrac {d} {dz} (f (z) + g (z)) = f '+ g' ]
  • قاعدة المنتج: [ dfrac {d} {dz} (f (z) g (z)) = f'g + fg ']
  • قاعدة الحاصل: [ dfrac {d} {dz} (f (z) / g (z)) = dfrac {f'g - fg '} {g ^ 2} ]
  • قاعدة السلسلة: [ dfrac {d} {dz} g (f (z)) = g '(f (z)) f' (z) ]
  • القاعدة المعكوسة: [ dfrac {df ^ {- 1} (z)} {dz} = dfrac {1} {f '(f ^ {- 1} (z))} ]

لإعطائك طابع هذه الحجج ، سنثبت قاعدة المنتج.

[ start {array} {rcl} { dfrac {d} {dz} (f (z) g (z))} & = & { lim_ {z to z_0} dfrac {f (z) g (z) - f (z_0) g (z_0)} {z - z_0}} {} & = & { lim_ {z to z_0} dfrac {(f (z) - f (z_0)) g (z) + f (z_0) (g (z) - g (z_0))} {z - z_0}} {} & = & { lim_ {z to z_0} dfrac {f (z) - f (z_0)} {z - z_0} g (z) + f (z_0) dfrac {(g (z) - g (z_0))} {z - z_0}} {} & = & {f ' (z_0) g (z_0) + f (z_0) g '(z_0)} end {array} ]

هذه حقيقة مهمة كنت ستفكر فيها. سنثبت ذلك في القسم التالي.

نظرية ( PageIndex {1} )

إذا تم تعريف (f (z) ) وقابل للتفاضل على قرص مفتوح و (f '(z) = 0 ) على القرص ، فإن (f (z) ) يكون ثابتًا.


2.5: المشتقات ذات الترتيب الأعلى

تمامًا مثل المشتقات الجزئية ، يُشار إليها بعدة طرق ، بما في ذلك [ frac < جزئي> < جزئي x_j> يسار ( frac < جزئي> < جزئية x_i> f right) ، quad فارك < جزئي ^ 2 و> < جزئي_ ي جزئي_أ> ، رباعي و_، رباعي جزئي_ج جزئي_أو ، رباعي جزئي_ f و ] والمزيد. إذا كان (i = j ) يمكننا أيضًا كتابة [ frac < جزئي ^ 2 f> < جزئي x_i ^ 2>، quad f_، رباعي جزئي_أ ^ 2 و ، رباعي جزئي_ F. ]

تمامًا مثل دوال (C ^ 1 ) ، سنعطي اسمًا لتلك الوظائف التي توجد مشتقاتها من الدرجة الثانية ومستمرة.

من الخصائص المفيدة لهذه الوظائف أن ترتيب الحصول على المشتقات الجزئية لا يهم. قد لا يكون هذا صحيحًا إذا كانت المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية غير متصلة ، انظر الملاحظة.

درس ألكسيس كليروت (فرنسا ، 1713-1765) الرياضيات من قبل والده في سن مبكرة ، وأصبح مهتمًا فيما بعد بعلم الفلك والجيوفيزياء. شارك في رحلة إلى الدائرة القطبية الشمالية لإظهار أن الأرض كانت كرة مسطحة (an كروي مفلطح) وكتب كتابًا يشرح الحجج الرياضية ، "Théorie de la figure de la Terre" ("Theory of the Shape of the Earth").

من أجل التبسيط الترميزي ، سنثبت ذلك لوظيفة (2 ) متغيرات. يشير هذا إلى الحالة العامة ، لأنه عندما نحسب ( frac < جزئي ^ 2 f> < جزئي x_i جزئي x_j> ) أو ( frac < جزئي ^ 2 f> < جزئي x_j جزئي x_i > ) في نقطة معينة ، جميع المتغيرات باستثناء (x_i ) و (x_j ) "مجمدة" ، بحيث يمكن اعتبار (f ) (لهذا الحساب) كدالة لـ (x_i ) و (x_j ) وحده.

بالنظر إلى ( mathbf x = (x، y) في S subseteq R ^ 2 ) ، سنبين أن [ ابدأضع الكلمة المناسبة ليم_ فارك 1 كبير [f (x + h، y + h) -f (x، y + h) - f (x + h، y) + f (x، y) big] = frac < جزئي ^ 2 f > < جزئي س جزئي y> (س ، ص) نهاية] وأن الحد يساوي أيضًا ( frac < جزئي ^ 2 f> < جزئي y جزئي x> (x ، y) ). سيثبت هذا النظرية ويخبرنا بما تعنيه المشتقات الجزئية المختلطة من الرتبة الثانية.

دع (h in R ) مثل (B ( mathbf x2h) subseteq S ) ، والسماح [ phi (s) = f (x + h ، s) -f (x ، s ). ] ثم باستخدام نظرية القيمة المتوسطة (1 ) ذات الأبعاد مرتين ، [ ابدأ f (x + h، y + h) - & ampf (x، y + h) - f (x + h، y) + f (x، y) & amp & amp = phi (y + h) - phi (y) & amp & amp = h phi & # 39 (y + theta_1 h) end] للبعض ( theta_1 in (0،1) ) بواسطة المتغير الفردي MVT. ثم [ ابدأ h phi & # 39 (y + theta_1 h) & amp = h left [ frac < جزئي f> < جزئي y> (x + h ، y + theta_1 h) - frac < جزئي f> < جزئي y> (x، y + theta_1 h) right] & amp = h left [h left ( frac < جزئي> < جزئي x> ( frac < جزئي f> < جزئي y> ( x + theta_2 h، y + theta_1 h) right) right] end] بالنسبة لبعض ( theta_2 in (0،1) ) ، قم بتطبيق المتغير الفردي MVT مرة أخرى. أخيرًا ، يتم تبسيط هذا إلى [h ^ 2 frac < جزئي ^ 2 f> < جزئي x جزئي y> (x + theta_2 h، y + theta_1 h). ] نظرًا لأن هذا ينطبق على الجميع (h ) (مع ( theta_1 ) و ( theta_2 ) اعتمادًا على (ح ) ، ولكن دائمًا في الفترة الزمنية ((0،1) )) و ((x + theta_2 h، y + theta_1 h) to (x، y) ) مثل (h to 0 ) و ( frac < جزئي ^ 2 f> < جزئي x جزئي y> ) مستمر ، وهذا يعني ( eqref). من ناحية أخرى ، من خلال المرور بنفس الوسيطة ، ولكن مع عكس أدوار (x ) و (y ) ، نجد أن الحد في ( eqref) يساوي أيضًا ( frac < جزئي ^ 2 f> < جزئي y جزئي x> (x ، y) ).

ملحوظة: يمكن أن يكون للدالة (f (x، y) ) مشتقات جزئية من الدرجة الثانية في كل نقطة ، ولكن في بعض النقاط ، ( frac < جزئي ^ 2 f> < جزئي x ، جزئي y> ne frac < جزئي ^ 2 f> < جزئي y ، جزئي x> ).

لن نقلق بشأن هذا كثيرًا ، لأننا في هذه الفئة سنواجه غالبًا وظائف الفئة (C ^ 2 ). إذا كنت مهتمًا بمثال ، ففكر في [f (x، y) = begin فارك& amp text (x، y) ne (0،0) 0 & amp text (x، y) = (0،0). نهاية ] ثم يمكن التحقق من أن [ part_x f (x، y) = start فارك<(x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2> & amp text (x، y) ne (0،0) 0 & amp text (x، y) = (0،0) ، نهاية ] [ part_y f (x، y) = ابدأ فارك<(x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2> & amp text (x، y) ne (0،0) 0 & amp text (x، y) = (0،0) . نهاية ] في حساب المشتقات الجزئية عند ((0،0) ) ، يجب استخدام تعريف المشتق الجزئي كحد. على وجه الخصوص ، ( جزئي_س و (0 ، ص) = 0 ) للجميع (ص ) ، و ( جزئي_ص (س ، 0) = س ) للجميع (س ). ويترتب على ذلك [ جزئي_ص جزئي_س f (0،0) = 0 ني 1 = جزئي_س جزئي_ص و (0،0). ]


نسب المشاع الإبداعي لا مشتقات 2.5 عام

شركة CREATIVE COMMONS ليست شركة قانونية ولا تقدم خدمات قانونية. لا يؤدي توزيع هذا الترخيص إلى إنشاء علاقة بين المحامي والعميل. تقدم CREATIVE COMMONS هذه المعلومات حول & quotAS-IS & quot BASIS. لا تقدم CREATIVE COMMONS أي ضمانات بخصوص المعلومات المقدمة ، وتخلي مسؤوليتها عن الأضرار الناتجة عن استخدامها.

يتم توفير العمل (كما هو محدد أدناه) بموجب شروط هذا الترخيص العام الإبداعي المشترك (& quotCCPL & quot OR & quotLICENSE & quot). العمل محمي بموجب حقوق الطبع والنشر و / أو أي قانون آخر معمول به. يُحظر أي استخدام للعمل بخلاف ما هو مصرح به بموجب هذا الترخيص أو قانون حقوق النشر.

من خلال ممارسة أي حقوق للعمل المقدم هنا ، فإنك تقبل وتوافق على الالتزام بشروط هذا الترخيص. يمنحك المُرخص الحقوق الواردة هنا في ضوء قبولك لهذه الشروط والأحكام.

  • 1. تعاريف
    • أ. يعني & quot العمل الجماعي & quot عملًا ، مثل إصدار دوري أو مختارات أو موسوعة ، يتم فيه تجميع العمل بأكمله في شكل غير معدل ، إلى جانب عدد من المساهمات الأخرى ، التي تشكل أعمالًا منفصلة ومستقلة في حد ذاتها ، في مجموعة واحدة. لن يعتبر العمل الذي يشكل "مصنفًا جماعيًا" مصنفًا مشتقًا (على النحو المحدد أدناه) لأغراض هذا الترخيص.
    • ب. & quot ؛ العمل المشتق & quot ؛ يعني العمل المستند إلى العمل أو على العمل وغيره من الأعمال الموجودة مسبقًا ، مثل الترجمة أو الترتيب الموسيقي أو التمثيل الدرامي أو التخيل أو إصدار الصور المتحركة أو التسجيل الصوتي أو إعادة الإنتاج الفني أو الاختصار أو التكثيف أو أي شكل آخر التي يجوز فيها إعادة صياغة المصنف أو تحويله أو تكييفه ، باستثناء أن العمل الذي يشكل مصنفًا جماعيًا لن يعتبر مصنفًا مشتقًا لأغراض هذه الترخيص. لتجنب الشك ، عندما يكون العمل عبارة عن مقطوعة موسيقية أو تسجيل صوتي ، فإن مزامنة العمل في علاقة زمنية مع صورة متحركة (& quotsynching & quot) سيعتبر عملاً مشتقًا لغرض هذا الترخيص.
    • ج. & quotLicensor & quot يعني الفرد أو الكيان الذي يقدم العمل بموجب شروط هذا الترخيص.
    • د. & quot المؤلف الأصلي & quot يعني الفرد أو الكيان الذي أنشأ العمل.
    • ه. & quotWork & quot تعني العمل المحمي بحقوق الطبع والنشر والتأليف المقدم بموجب شروط هذا الترخيص.
    • F. & quotYou & quot تعني فردًا أو كيانًا يمارس حقوقًا بموجب هذه الرخصة ولم يسبق أن انتهك شروط هذه الرخصة فيما يتعلق بالعمل ، أو حصل على إذن صريح من المرخص لممارسة الحقوق بموجب هذه الرخصة على الرغم من انتهاك سابق.
    • أ. لنسخ العمل ، لدمج العمل في واحد أو أكثر من الأعمال الجماعية ، وإعادة إنتاج العمل كما هو مدرج في الأعمال الجماعية
    • ب. لتوزيع نسخ أو تسجيلات صوتية وعرض علني وأداء عام وأداء عام عن طريق نقل صوتي رقمي للعمل بما في ذلك كما هو مدرج في الأعمال الجماعية.
    • ج. لتجنب الشك ، حيث يكون العمل مقطوعة موسيقية:
      • أنا. حقوق الأداء بموجب تراخيص شاملة. يتنازل المُرخص عن الحق الحصري في التحصيل ، سواء بشكل فردي أو عبر جمعية حقوق الأداء (على سبيل المثال ASCAP ، BMI ، SESAC) ، إتاوات الأداء العام أو الأداء الرقمي العام (مثل البث عبر الإنترنت) للعمل.
      • ثانيا. الحقوق الميكانيكية والإتاوات القانونية. يتنازل المُرخص عن الحق الحصري في تحصيل الإتاوات ، سواء بشكل فردي أو عن طريق جمعية حقوق الموسيقى أو وكيل معين (مثل وكالة Harry Fox) ، عن أي سجل صوت تقوم بإنشائه من Work (& quotcover version & quot) وتوزيعه ، وفقًا للترخيص الإجباري الذي تم إنشاؤه بواسطة 17 القسم 115 من USC من قانون حقوق الطبع والنشر الأمريكي (أو ما يعادله في ولايات قضائية أخرى).

      يمكن ممارسة الحقوق المذكورة أعلاه في جميع الوسائط والصيغ سواء كانت معروفة الآن أو تم ابتكارها فيما بعد. تشمل الحقوق المذكورة أعلاه الحق في إجراء مثل هذه التعديلات الضرورية تقنيًا لممارسة الحقوق في الوسائط والتنسيقات الأخرى ، ولكن بخلاف ذلك ليس لديك حقوق لإنشاء أعمال مشتقة. جميع الحقوق التي لم يتم منحها صراحة من قبل المرخص محفوظة بموجب هذا.

      • أ. يجوز لك توزيع العمل أو عرضه علنًا أو تنفيذه علنًا أو تنفيذه بشكل علني رقميًا فقط بموجب شروط هذا الترخيص ، ويجب عليك تضمين نسخة من هذا الترخيص أو معرّف المورد الموحد له مع كل نسخة أو سجل صوتي للعمل. التوزيع أو العرض العام أو الأداء العام أو الأداء الرقمي علنًا. لا يجوز لك عرض أو فرض أي شروط على العمل تغير أو تقيد شروط هذا الترخيص أو ممارسة المستلمين للحقوق الممنوحة بموجب هذه الاتفاقية. لا يجوز لك ترخيص العمل من الباطن. يجب أن تحافظ على جميع الإخطارات التي تشير إلى هذا الترخيص وإخلاء المسؤولية عن الضمانات كما هي. لا يجوز لك توزيع العمل أو عرضه علنًا أو تنفيذه علنًا أو تنفيذه بشكل علني رقميًا باستخدام أي تدابير تكنولوجية تتحكم في الوصول إلى العمل أو استخدامه بطريقة تتعارض مع شروط اتفاقية الترخيص هذه. ينطبق ما ورد أعلاه على المصنف كما هو مدرج في العمل الجماعي ، ولكن هذا لا يتطلب أن يكون العمل الجماعي بصرف النظر عن العمل نفسه خاضعًا لشروط هذه الترخيص. إذا قمت بإنشاء "عمل جماعي" ، بناءً على إشعار من أي مُرخص ، يجب عليك ، بالقدر الممكن عمليًا ، إزالة أي رصيد من "العمل الجماعي" كما هو مطلوب في الفقرة 4 (ب) ، على النحو المطلوب.
      • ب. إذا قمت بتوزيع العمل أو الأعمال الجماعية أو عرضهما علنًا أو أدائهما علنًا أو أدائهما رقميًا بشكل علني ، فيجب عليك الحفاظ على جميع إشعارات حقوق النشر للعمل كما هي وتقديم ، بما يتناسب مع الوسيلة أو الوسائل التي تستخدمها: (1) اسم المؤلف الأصلي (أو اسم مستعار ، إن أمكن) إذا تم توفيره ، و / أو (2) إذا كان المؤلف الأصلي و / أو المرخص يعين طرفًا أو أطرافًا أخرى (على سبيل المثال ، مؤسسة راعية ، كيان نشر ، مجلة) للإسناد في إشعار حقوق التأليف والنشر الخاص بالجهة المرخصة ، البنود الخدمة أو بأي وسيلة معقولة أخرى ، اسم هذا الطرف أو الأطراف عنوان العمل إذا تم توفيره وإلى الحد المعقول عمليًا ، معرّف المورد الموحد ، إن وجد ، الذي يحدده المُرخص ليكون مرتبطًا بالعمل ، ما لم يكن هذا URI لا يشير إلى إشعار حقوق النشر أو معلومات الترخيص للعمل. قد يتم تنفيذ هذا الائتمان بأي طريقة معقولة بشرط ، مع ذلك ، أنه في حالة العمل الجماعي ، سيظهر هذا الائتمان على الأقل حيث يظهر أي ائتمان تأليف مشابه وبطريقة بارزة على الأقل مثل ائتمان التأليف الآخر القابل للمقارنة .

      ما لم يتم الاتفاق بشكل متبادل من قبل الأطراف في الكتابة ، يقدم المرخص العمل كما هو ولا يقدم أي إقرارات أو ضمانات من أي نوع فيما يتعلق بالمواد ، صريحة أو ضمنية أو قانونية أو غير ذلك من الضمانات ، بما في ذلك الملاءمة لغرض معين ، أو عدم الانتهاك ، أو عدم وجود عيوب متأخرة أو أخرى ، أو الدقة ، أو وجود أخطاء ، سواء كان من الممكن اكتشافها أم لا. لا تسمح بعض السلطات القضائية باستثناء الضمانات الضمنية ، لذلك قد لا ينطبق هذا الاستثناء عليك.

      • أ. ينتهي هذا الترخيص والحقوق الممنوحة أدناه تلقائيًا عند أي خرق من جانبك لشروط هذا الترخيص. ومع ذلك ، لن يتم إنهاء تراخيص الأفراد أو الكيانات الذين حصلوا منك بموجب هذا الترخيص ، بشرط أن يظل هؤلاء الأفراد أو الكيانات في حالة امتثال كامل لتلك التراخيص. تظل الأقسام 1 و 2 و 5 و 6 و 7 و 8 سارية بعد إنهاء هذا الترخيص.
      • ب. مع مراعاة الشروط والأحكام المذكورة أعلاه ، يكون الترخيص الممنوح هنا دائمًا (طوال مدة حقوق النشر المعمول بها في العمل). على الرغم مما ورد أعلاه ، يحتفظ المُرخص بالحق في إصدار العمل بموجب شروط ترخيص مختلفة أو التوقف عن توزيع العمل في أي وقت يتم توفيره ، ومع ذلك فإن أي اختيار من هذا القبيل لن يؤدي إلى سحب هذا الترخيص (أو أي ترخيص آخر تم أو تم مطلوب أن يتم منحه بموجب شروط هذا الترخيص) ، وسيظل هذا الترخيص ساري المفعول والتأثير الكامل ما لم يتم إنهاؤه كما هو مذكور أعلاه.
      • أ. في كل مرة تقوم فيها بتوزيع العمل أو تنفيذه رقميًا بشكل علني ، يقدم المرخص للمستلم ترخيصًا للعمل وفقًا لنفس الشروط والأحكام مثل الترخيص الممنوح لك بموجب هذا الترخيص.
      • ب. إذا كان أي بند من أحكام هذا الترخيص غير صالح أو غير قابل للتنفيذ بموجب القانون المعمول به ، فلن يؤثر ذلك على صلاحية أو قابلية تنفيذ بقية شروط هذا الترخيص ، وبدون أي إجراء إضافي من قبل أطراف هذه الاتفاقية ، يجب إصلاح هذا الحكم إلى الحد الأدنى اللازم لجعل هذا الحكم ساريًا وقابل للتنفيذ.
      • ج. لن يتم التنازل عن أي بند أو حكم من هذا الترخيص ولا يتم الموافقة على أي خرق ما لم يكن هذا التنازل أو الموافقة كتابيًا وموقعًا من قبل الطرف المسؤول عن هذا التنازل أو الموافقة.
      • د. يشكل هذا الترخيص الاتفاقية الكاملة بين الطرفين فيما يتعلق بالعمل المرخص هنا. لا توجد تفاهمات أو اتفاقيات أو إقرارات فيما يتعلق بالعمل غير محدد هنا. لا يلتزم المُرخص بأي أحكام إضافية قد تظهر في أي اتصال منك. لا يجوز تعديل هذا الترخيص دون موافقة كتابية متبادلة بينك وبين المرخِّص.

      المشاع الإبداعي ليست طرفًا في هذه الرخصة ، ولا تقدم أي ضمان على الإطلاق فيما يتعلق بالعمل. المشاع الإبداعي لن تكون مسؤولة تجاهك أو تجاه أي طرف بشأن أي نظرية قانونية عن أي أضرار من أي نوع ، بما في ذلك على سبيل المثال لا الحصر أي أضرار عامة أو خاصة أو عرضية أو تبعية تنشأ فيما يتعلق بهذا الترخيص. على الرغم من الجملتين السابقتين (2) ، إذا حددت المشاع الإبداعي نفسها صراحةً على أنها المرخِّص بموجب هذه الاتفاقية ، فسيكون لها جميع حقوق والتزامات المرخِّص.

      باستثناء الغرض المحدود المتمثل في الإشارة للجمهور إلى أن العمل مرخص بموجب CCPL ، لن يستخدم أي طرف العلامة التجارية & quotCreative Commons & quot أو أي علامة تجارية أو شعار مشاع إبداعي ذي صلة دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة من المشاع الإبداعي. سيكون أي استخدام مسموح به متوافقًا مع إرشادات استخدام العلامات التجارية المشاع الإبداعي آنذاك ، والتي قد يتم نشرها على موقع الويب الخاص بها أو إتاحتها بطريقة أخرى عند الطلب من وقت لآخر.

      يمكن التواصل مع المشاع الإبداعي على http://creativecommons.org/.


      سند ترخيص المشاع الإبداعي

      أنت حر في:

      • يشارك & [مدش] نسخ وإعادة توزيع المواد بأي وسيلة أو تنسيق
      • لأي غرض ، حتى تجاريًا.

      بموجب الشروط التالية:

      الإسناد & mdash يجب عليك منح الائتمان المناسب ، وتوفير ارتباط إلى الترخيص ، وبيان ما إذا تم إجراء تغييرات. يمكنك القيام بذلك بأي طريقة معقولة ، ولكن ليس بأي طريقة توحي بأن المرخص يؤيدك أو يؤيدك.

      أنسب هذا العمل:

      المشتقات & mdash إذا قمت بإعادة مزج المواد أو تحويلها أو البناء عليها ، فلا يجوز لك توزيع المواد المعدلة.

      • لا قيود إضافية & mdash لا يجوز لك تطبيق الشروط القانونية أو التدابير التكنولوجية التي تقيد الآخرين قانونًا من فعل أي شيء يسمح به الترخيص.

      إشعارات:

      • لا يتعين عليك الامتثال لترخيص عناصر المواد الموجودة في المجال العام أو حيث يُسمح باستخدامك بموجب استثناء أو تقييد سارٍ.
      • لا توجد ضمانات. قد لا يمنحك الترخيص جميع الأذونات اللازمة للاستخدام المقصود. على سبيل المثال ، قد تحد الحقوق الأخرى مثل الدعاية أو الخصوصية أو الحقوق الأخلاقية من كيفية استخدامك للمادة.

      نسخة جديدة متاحة من هذا الترخيص. يجب أن تستخدمه لأعمال جديدة ، وقد ترغب في إعادة ترخيص الأعمال الموجودة تحته. لا توجد أعمال تلقائيا وضع تحت الرخصة الجديدة ، ومع ذلك.

      تعرف على المزيد حول ترخيص المشاع الإبداعي ، أو استخدم الترخيص للمواد الخاصة بك.

      هذا المحتوى متاح مجانًا بموجب شروط قانونية بسيطة بسبب Creative Commons ، وهي مؤسسة غير ربحية تعتمد على التبرعات. إذا كنت تحب هذا المحتوى ، وتحب أنه مجاني للجميع ، فيرجى التفكير في التبرع لدعم عملنا.

      عندما تشارك ، يفوز الجميع.

      نحب أن نسمع منك!

      ما لم يذكر خلاف ذلك ، المحتوى الموجود على هذا الموقع مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution 4.0 International. أيقونات مشروع نون.

      يسلط هذا الفعل الضوء فقط على بعض الميزات الرئيسية وشروط الترخيص الفعلي. إنه ليس ترخيصًا وليس له قيمة قانونية. يجب عليك مراجعة جميع بنود وشروط الترخيص الفعلي بعناية قبل استخدام المواد المرخصة.

      المشاع الإبداعي ليست شركة محاماة ولا تقدم خدمات قانونية. لا يؤدي توزيع أو عرض أو ربط هذا الفعل أو الترخيص الذي يلخصه إلى إنشاء محامي موكل أو أي علاقة أخرى.

      احتوت الصفحة التي جئت منها على بيانات تعريف مضمنة للترخيص ، بما في ذلك كيف يرغب المنشئ في أن يُنسب إلى إعادة الاستخدام. يمكنك استخدام HTML هنا للإشارة إلى العمل. سيؤدي القيام بذلك أيضًا إلى تضمين البيانات الوصفية على صفحتك حتى يتمكن الآخرون من العثور على العمل الأصلي أيضًا.

      سيتم تحديد قواعد الوساطة المعمول بها في إشعار حقوق النشر المنشور مع العمل ، أو في حالة عدم وجودها في طلب الوساطة. ما لم ينص على خلاف ذلك في إشعار حقوق النشر المرفق بالعمل ، تنطبق قواعد الأونسيترال للتحكيم على أي تحكيم.

      إذا تم توفيره ، يجب عليك تقديم اسم المنشئ وأطراف الإسناد وإشعار حقوق النشر وإشعار الترخيص وإشعار إخلاء المسؤولية ورابط للمادة. تتطلب تراخيص المشاع الإبداعي قبل الإصدار 4.0 أيضًا تقديم عنوان المادة إذا تم توفيرها ، وقد يكون لها اختلافات طفيفة أخرى.

      في الإصدار 4.0 ، يجب عليك الإشارة إلى ما إذا كنت قد قمت بتعديل المادة والاحتفاظ بإشارة إلى التعديلات السابقة. في الإصدار 3.0 والإصدارات السابقة من الترخيص ، تكون الإشارة إلى التغييرات مطلوبة فقط إذا قمت بإنشاء مشتق.

      يمكنك أيضًا استخدام ترخيص مدرج باعتباره متوافقًا على https://creativecommons.org/compatiblelicenses

      الاستخدام التجاري هو الاستخدام المقصود في المقام الأول لتحقيق ميزة تجارية أو تعويض مالي.

      مجرد تغيير التنسيق لا يؤدي إلى إنشاء مشتق.

      يحظر الترخيص تطبيق التدابير التكنولوجية الفعالة ، المحددة بالرجوع إلى المادة 11 من معاهدة الويبو بشأن حق المؤلف.

      لا تتأثر حقوق المستخدمين بموجب الاستثناءات والقيود ، مثل الاستخدام العادل والتعامل العادل ، بتراخيص المشاع الإبداعي.

      قد تحتاج إلى الحصول على أذونات إضافية قبل استخدام المادة بالشكل الذي تريده.


      Stewart Calculus 7e Solutions الفصل 2 تمرين المشتقات 2.5

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 1E

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 2E

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 3E



      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 4E

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 5E

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 6E

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 7E

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 8E

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 9E

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 10E

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 10E

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 12E

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 13E

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 14 هـ

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 15 هـ

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 16E

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 17E


      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 18E


      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 19 هـ


      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 20E

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 21E


      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 22 هـ

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 23 هـ

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 24E


      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 25 هـ

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 26 هـ

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 27E



      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 28 هـ

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 29E

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 30E

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 31E

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 32 هـ


      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 33 هـ

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 34 هـ



      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 35 هـ

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 36 هـ


      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 37E

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 38 هـ


      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 39E


      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 40E

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 41E

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 42 هـ





      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 43 هـ



      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 44 هـ

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 45 هـ

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 46 هـ

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 47E


      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 48 هـ

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 49E
      .

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 50 هـ










      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 51 هـ

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 52 هـ



      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 53 هـ

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 54 هـ

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 55E





      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 56 هـ







      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 57E



      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 58E







      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 59E


      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 60 هـ

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 61E

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 62 هـ


      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 63 هـ

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 64 هـ

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 65 هـ





      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 66 هـ



      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 68 هـ

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 69E

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 70E



      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 71E


      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 72 هـ


      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 73E





      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 74E

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 75 هـ

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 76 هـ


      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 77E

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 78 هـ





      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 79E

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 80E


      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 81 هـ



      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 82 هـ


      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 83 هـ

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 84E

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 85 هـ











      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 86E


      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 87E
      .

      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 88E


      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 89 هـ


      الفصل الثاني تمرين المشتقات 2.5 90E




      المشتقات الجزئية من الدرجة العالية

      بشكل عام ، يمكننا الاستمرار في تمييز المشتقات الجزئية طالما استمرت المشتقات الجزئية الناجحة في الوجود.

      التعريف 2. نقول أن $ f $ هو $ C ^ k $ (أو أحيانًا من الفئة $ C ^ k $) في $ S $ إذا كانت جميع المشتقات الجزئية من $ f $ موجودة ومستمرة في كل مكان في $ S $ .

      إذا كان $ f $ هو $ C ^ k $ ، فعند حساب المشتقات الجزئية حتى طلب $ k $ ، لا داعي للقلق بشأن التسلسل الذي يتم فيه حساب المشتقات الجزئية.

      نظرية 2. افترض أن $ S $ مجموعة فرعية مفتوحة من $ R ^ n $ وأن $ f: S to R $ هو $ C ^ k $. لأي أعداد صحيحة $ i_1 ، ldots ، i_k $ بين $ 1 $ و $ n $ ، إذا كان $ j_1 ، ldots ، j_k $ إعادة ترتيب $ i_1 ، ldots ، i_k $ ، ثم $ frac < جزئي> < جزئي x_> cdots فارك < جزئي> < جزئي x_> و = فارك < جزئي> < جزئي x_> cdots فارك < جزئي> < جزئي x_> f $ في كل مكان في $ S $.

      يكفي إظهار ذلك ابدأضع الكلمة المناسبة فارك < جزئي> < جزئي x_> cdots فارك < جزئي> < جزئي x_> f = ( frac < جزئي> < جزئي x_n>) ^ < alpha_n> cdots ( frac < جزئي> < جزئي x_1>) ^ < alpha_1> f end حيث يشير $ alpha_j ge 0 $ إلى عدد المرات التي يظهر فيها $ frac جزئي < جزئي x_j> $ على الجانب الأيمن من eqref، لـ $ j = 1 ، ldots ، n $. (وبالتالي ، $ alpha_1 + ldots + alpha_n = k $.) بعبارة أخرى ، نهدف إلى إظهار أنه يمكننا إعادة ترتيب المؤشرات $ i_1، ldots، i_k $ بترتيب تصاعدي ، بحيث يتم إعادة ترتيب المؤشرات $ j_1 ، ldots، j_k $ satisfy $ j_1 le j_2 le cdots le j_k $.

      نحن نثبت eqref عن طريق الاستقراء. بالنسبة إلى $ k = 2 $ ، فإنه يتبع من النظرية 1. افترض أنه يحمل قيمة $ k-1 $ ، واعتبر $ frac < جزئي> < جزئي x_> cdots فارك < جزئي> < جزئي x_> و $. بدون كتابة جميع المؤشرات ، والتي قد تكون فوضوية ، فإن النقطة هي أنه من خلال إعادة الترتيب بشكل متكرر بترتيب متزايد ، متواليات مختلفة من التفاضلات الجزئية $ k-1 $ (المشتقات الجزئية الأولى $ k-1 $ ، ثم آخر $ k-1 $ ، ثم أول $ k-1 $ مرة أخرى) يمكننا ترتيب أن جميع المشتقات الجزئية تحدث بترتيب تصاعدي ، ووفقًا لفرضية الاستقراء ، فإن كل هذه التلاعبات تترك الجانبين الأيمن والأيسر من eqref مساو.

      على سبيل المثال ، إذا كان $ f: R ^ 3 to R $ هو $ C ^ 5 $ ، إذن

      للقيام بذلك ، لاحظ أن $ f $ عبارة عن تكوين لمجموع ومنتجات ذات وظائف قابلة للتفاضل بلا حدود ، لذا فإن $ f $ هو $ C ^ k $ على كل $ R ^ 3 $ ، مقابل كل $ k $. نظرًا لأنه من السهل رؤية أن $ frac < جزئي ^ 3 f> < جزئي x ^ 3> = 0 $ ، تسمح لنا النظرية 2 بحساب $ frac < جزئي ^ 3> < جزئي x ^ 3> frac < جزئي ^ <17>> < جزئي y ^ <17>> frac < جزئي ^ <41>> < جزئي z ^ <41>> f (x، y، z) = frac < جزئي ^ <17>> < جزئي y ^ <17>> frac < جزئي ^ <41>> < جزئي z ^ <41>> frac < جزئي ^ 3> < جزئي x ^ 3> f (x، y، z) = 0. $

      مثال 3. يمكن أن تفشل استنتاج النظرية 2 في الصمود إذا لم يكن $ f $ من الفئة $ C ^ k $.


      الملفات التكميلية

      توليف مشتقات رباعي هيدرو الفوران الوظيفية من 2،5-ثنائي ميثيل فوران من خلال التفاعلات المتتالية

      J. Li و E. Muller و M. Pera-Titus و F. J & # 233r & # 244me و K. De Oliveira Vigier ، جرين تشيم., 2019, 21, 2601 DOI: 10.1039 / C9GC01060B

      لطلب الإذن بنسخ مادة من هذه المقالة ، يرجى الانتقال إلى صفحة طلب مركز تخليص حقوق النشر.

      إذا كنت كذلك كمؤلف يساهم في منشور RSC ، لا تحتاج إلى طلب إذن شريطة تقديم الإقرار الصحيح.

      إذا كنت كذلك مؤلف هذا المقال ، لا تحتاج إلى طلب إذن لإعادة إنتاج الأشكال والرسوم البيانية شريطة تقديم الإقرار الصحيح. إذا كنت ترغب في إعادة إنتاج المقالة بأكملها في منشور تابع لجهة خارجية (باستثناء أطروحتك / أطروحتك التي لا يلزم الحصول على إذن بشأنها) ، فيرجى الانتقال إلى صفحة طلب مركز تخليص حقوق الطبع والنشر.


      نبذة مختصرة

      أربعة مشتقات غير موصوفة للبيبرازين - 2،5 - ديون المعينة جانثينوليدات C-F ، و α- تم عزل polyketide المحتوي على البيرون وهو trichopyrone C من مستخلص الفطر البنسليوم غريزيوفولفوم إلى جانب أربعة منتجات معروفة. من بينها ، يمثل janthinolide C أول تناظري للبيبرازين - 2،5 - ديون يحدث بشكل طبيعي ويتميز بحلقة بيبيرازين ديون مشقوق مع مجموعة أوكسيم ، في حين أن بنية جانثينوليد د تمتلك مادة نادرة ن- مجموعة الميثوكسي في المنتجات الطبيعية. تم توضيح هياكلها والكيمياء الفراغية المطلقة بناءً على بيانات التحليل الطيفي ، وحسابات الرنين المغناطيسي النووي و ECD النظرية ، وطريقة Snatzke & # x27s ، وطريقة Mosher & # x27s المعدلة. تم تقييم جميع المركبات ل في المختبر نشاط كبت المناعة في خلايا الطحال الفأرية التي يتم تحفيزها بواسطة مضادات CD3 / anti-CD28 mAbs ، والتي أظهر جانثينوليدات B و C نشاطًا مثبطًا محتملاً مع IC50 قيم 9.3 و 1.3 ميكرومترم ، على التوالي.


      التوليف والنشاط البيولوجي لمشتقات 2،5-ثنائي المستبدلة من 1،3،4-ثياديازول-2،5-ديثيول

      عن طريق تفاعل 1،3،4-ثياديازول-2،5-ديثيول مع مركبات الهالوجينات العضوية المختلفة ، وكلوريدات الأحماض الكربوكسيلية ، ومشتقات حمض الأكريليك ، والقلويدات ، والأمينات الثانوية ، ومشتقات مختلفة من 2،5-ثنائي البديل 1،3،4 - تم تصنيع ثياديازول ودراسة الخصائص البيولوجية لبعضها.

      المواد التي تحتوي على جزء من بنية 1،3،4-ثياديازول لها نشاط فسيولوجي مختلف [1-4]. ومع ذلك ، تجدر الإشارة إلى كمية صغيرة من 1،3،4-ثياديازول-2،5-ديثيول ، على الرغم من توافر وبساطة تركيبها [5]. 1،3،4-ثياديازول-2،5-ديثيول نظرًا لوجوده في هيكله جنبًا إلى جنب مع دورة ثياديازول ، والتي تتميز بوجود ثلاثة مراكز مانحة - ذرتان من ذرة النيتروجين والكبريت غير المتجانسة - اثنتان مكافئتان من الثيول يمكن الوصول إليهما بطريقة معقمة المجموعات ، لديها قدرة عالية على النواة والقدرة على التفاعل وهي كائن مثير للاهتمام للتعديل الكيميائي ، والذي يسمح بإدخال مجموعات وظيفية أخرى وحامل للأدوية وتوليف مختلف 2.5-bisproizvodnye 1،3،4-thiadiazoles. بالإضافة إلى ذلك ، لا يمكن الوصول إلى البيانات المتعلقة بالتوليفة في دورة جزيء ثياديازول وشظايا قلويد.

      من أجل الحصول على مواد نشطة بيولوجيًا جديدة مع عمليات تجزئة 1،3،4-ثياديازول من الألكلة والألكلة ، إضافة 1،3،4-ثياديازول-2،5-ديثيول إلى α,β- تمت دراسة المركبات غير المشبعة ، وتم إجراء أكسدة مجموعات ثيول من 1،3،4-ثياديازول-2،5-ديثيول إلى حمض 1،3،4-ثياديازول-2،5-ديسولفونيك. بالإضافة إلى ذلك ، تم الحصول على أملاح كلاب من حامض 1،3،4-ثياديازول -2،5-ديسولفونيك و 1،3،4-ثياديازول-2،5-ديثيول مع قلويدات وأمينات ثانوية دورية. The combination of fragments of 1,3,4-thiadiazole, alkaloids and their structural analogues—piperidine and morpholine—according to our assumptions, should lead to a wide range of biologically active substances.

      The alkylation reaction of 1,3,4-thiadiazol-2,5-dithiol by organohalogens was carried out in two ways: in an alcohol medium in the presence of triethylamine as an acceptor of hydrogen halogens in the presence of sodium ethoxide. Alkylation takes place only on the thiol groups through

      mechanism with the formation of biproducts (1–4). Yield of final products (1–4) during the alkylation in the presence of triethylamine constitutes 35–55% and, in the presence of sodium ethoxide, 58–80%. The increase in output (1–4) by about 25% indicates that the intermediate sodium salt is stronger electrolyte compared to the ammonium salt or initial 1,3,4-thiadiazol-2,5-dithiols.

      Acylation of 1,3,4-thiadiazol-2,5-dithiol by chlorides of carboxylic acids was carried out in the presence of triethylamine with a slight warming of the reaction mixture for 6–20 hours with the formation of bis(acyl) derivatives (5–9). Outputs of final products (5–9) depended on the nature of the acylating reagent and ranged from 43 to 97%. The lowest yield of acylated product (9) is obtained by using butyric acid chloride, which is explained by electron donor influence of alkyl radical on the magnitude of the positive charge on the carbonyl atom of carbon in the initial chloride. Outputs of acylated products (5–8) are sufficiently high, but they depend on the nature of the substituent and its position in the benzene ring of the chloride (see Figure 1).


      Depending on the nature of the substituent in the α-position of double bond the joining of 1,3,4-thiadiazol-2,5-dithiol to compounds containing a double bond may take place both by Markovnikov's rule and against it.

      As the compounds containing the vinyl fragment acrylic acid, acrylamide, acrylonitrile, methyl methacrylate, vinyl ether of monoethanolamine, vinylbutyl ether, and N-substituted acrylamides were used, synthesis of compounds (10–22) was carried out in an alcoholic or aqueous-alcoholic medium with moderate heating and vigorous stirring of the reaction medium for 6–12 hours.

      The presence of electron-withdrawing substituents in the α-position of the double bond (acrylic acid, acrylonitrile, acrylamide, acrylic acid methyl ester, and N-substituted acrylamides) leads to the fact that the electrophilic attack center of dithiol anion is

      -carbon atom in double bond. The formation of carbanion and subsequent addition of a proton on the α-carbon atom occurs that is, accession takes place against the Markovnikov rule with the formation of compounds (11–14, 16–22).

      The presence of electron-donating substituents in vinylbutyl ether and vinyl ether of monoethanolamine significantly reduces the positive charge on the β-carbon atom of the double bond and leads to the fact that hydrogen atom attacks it, and a dithiol anion attaches to the α-carbon atom that is, 1,3,4-thiadiazol-2,5-dithiol serves as the electrophile and joins to vinyl ethers with Markovnikov's rule with the formation of compounds (10, 15). Yields of compounds (10, 15) are 27 and 79%, respectively. The reactivity of monoethanolamine vinyl ether is significantly reduced due to the presence of intramolecular hydrogen bond in its molecule. The reaction rate and yields of compounds (11–14) (42–93%) depend on the electronic and steric factors that determine the activity and the availability of β-carbon atom in an acrylic system.

      Despite the voluminous amide fragment in the alkaloids of N-alkaloid(amino)-substituted acrylamides, compared with acrylamide yields of final products (16–22) were 25–65%. Outputs (16–22) depend on the electron properties of the alkaloid (amino) amide fragment in the balance and on the conformational rigidity of the initial cycles of secondary amines and alkaloids, which does not allow to escape β-carbon atom of the double bond. The highest yield of obtained compounds (16, 17, 20) is due to the greater basicity and conformational rigidity of the initial cycles of piperidine, morpholine, and cytisine compared with the conformationally unstable anabasine, ل-ephedrine, and د-pseudoephedrine. The low yield of compound (19) can be explained by spatial inaccessibility of the reaction center due to close proximity to fragment of salsoline undergoing nucleophilic attack by a double bond.

      Oxidation of 1,3,4-thiadiazol-2,5-dithiol with an aqueous solution of potassium permanganate takes place only at the thiol groups without affecting the heterocyclic sulfur atom and leads to the formation of 1,3,4-thiadiazol-2,5-disulfonic acid (23) with the yield of about 98%. The reaction of the latter with the alkaloids and secondary amines complex salts (24–30) was synthesized with 50–77% yield. Similarly, the salt of 1,3,4-thiadiazol-2,5-dithiol (31–34) was obtained with yield of 78–94%. Synthesis was carried out in alcoholic medium by heating and stirring the reaction mixture for 5-6 hours. The outputs of salts (24–30) and (31–34) are in the same dependency on basicity and conformational rigidity of the cycles of the secondary amines and alkaloids (16–22).

      The composition and structure of all synthesized compounds (1–34) were proved by IR, NMR 1 H, and 13 C spectroscopy.

      In IR spectrums of all the synthesized compounds (1–34), there are absorption bands at 780–730 (C–Sص), 1060–1040, 1160–1120, 1270–1250 (S–C–S, N=C–S, N–N), 1460, and 1390 (N=C) cm −1 , which are assigned to thiadiazol cycle. In spectrums of 13 C NMR of compounds (1–34) signals of thiadiazol carbon cycle appear as a singlet in the range 168.0–140.0 ppm depending on the nature of the substituent at the sulfur atom of the thiol groups. Spectrums of 1 H NMR confirm the presence of proton signals in the substituents of compounds (1–34) in their characteristic regions of the spectrums.

      Antibacterial and insecticidal activity of the original 1,3,4-thiadiazol-2,5-dithiol was detected. Studies on the antibacterial activity were carried out by conventional methods used for antibiotics [6]. We determined the sensitivity of microorganisms to a medicine by using method of serial dilutions (8.0, 4.0, 2.0, 1.0, 0.5, 0.25, and 0.125 mg/mL) in liquid medium. For these studies we have used cultures of microorganisms: S. aureus 505, P. vulgaris 1, P. aeruginosa ATC 464, E. coli M-17, B. subtilis ACCC 6633, as well as clinical strains of S. agalactiae و C. albicans.

      The minimum bactericidal concentration (MBC) was determined by reseeding from the liquid medium, where there was no visible growth, on solid nutrient medium. The minimum bacteriostatic concentration (MSC) was evaluated by using turbidimetric method by comparing the intensity of microbial growth in liquid nutrient media. The results were recorded on a spectrophotometer, a control culture medium with the appropriate concentration of the drug experience was used.

      It was determined that 1,3,4-thiadiazol-2,5-dithiol has antibacterial (MBC from 0.25 to 0.5 mg/mL MSC from 0.125 to 0.25 mg/mL) (on all subjected strains of microorganisms) and antifungal (MBC 0.25 mg/mL, MSC 0.125 mg/mL) (on a clinical strain of C. albicans) activity.

      Studies of pesticide (insecticide and aphicide) activity of 1,3,4-thiadiazol-2,5-dithiol were conducted in accordance with the methodological instructions [7]. Insecticidal activity of 1,3,4-thiadiazol-2,5-dithiol was studied in relation to the apple moth (Hyponomeuta malinellus Z.), while aphicide one to the apple aphid (Aphis pomi De Geez) and compared with those of standard preparations of Sumi-Alpha and Carbophos. 0,2% aqueous solution of 1,3,4-thiadiazol-2,5-dithiol was used for spraying. Aqueous solutions of reference substances were prepared according to the instructions for use. Average damage of plants before and after processing was registred and effectiveness of drugs calculated. The data obtained were processed statistically the criterion of reliability was calculated by nonparametric methods [8].

      As a result of the tests it was determined that 1,3,4-thiadiazol-2,5-dithiol has insecticidal activity against the apple moth, exceeding the level of reference preparations of Sumi-Alpha and Carbophos. The mean value of efficiency for 1,3,4-thiadiazol-2,5-dithiol is 43,3%, for sumi-alpha: 38,0%, and carbophos: 19,3%. 1,3,4-thiadiazol-2,5-dithiol has also shown aphicidic activity against apple aphid, but the effectiveness of it is inferior to reference drugs.

      According to the results of the primary biotrials 1,3,4-thiadiazol-2,5-dithiol can be recommended for in-depth studies to explore the possibility of its application in agriculture as a pesticide.

      Antioxidant activity of 1,3,4-thiadiazol-2,5-disulfonic acid (23) and its salts (24–26, 28, 29) were tested to determine the effect of the thiadiazol ring and sulfonic groups in the structure of nitrogen-containing heterocyclic compounds on the antioxidant activity (AOA ) of the latter.

      Despite the fact that antioxidants are traditionally considered to be a substance of phenolic nature [9], nitrogen heterocycles containing piperidine, pyridine, pyrimidine, thiazole and other fragments found to have anti- or prooxidant action [10]. Antioxidant activity of 1,3,4-thiadiazol-2,5-disulfonic acid (23) and its salts (24–26, 28, 29) were studied using a model of liposomic oxidation of phosphatidylcholine with the test of thiobarbituric acid [11]. The inhibition of oxidation processes was assessed by measuring concentrations of malondialdehyde (MDA) after 10, 15, 20, and 30 minutes after the start of the reaction. Table 1 shows the antioxidant activity of compounds (23–26, 28, 29) compared to the comparison drug—a synthetic antioxidant ionol 30 minutes after the start of the reaction.