مقالات

10.1: مقدمة في الكسور - الرياضيات


تعتبر الكسور من أصعب الموضوعات في التدريس (والتعلم!) في المدرسة الابتدائية. لكن في الوقت الحالي ، فكر في ما يجعل هذا الموضوع صعبًا للغاية.

أعتقد حصة الزوج

ربما واجهت صعوبة في تعلم الكسور في المدرسة الابتدائية. ربما ما زلت تجدها مربكة. حتى لو كنت أحد المحظوظين الذين لم يكافحوا عند تعلم الكسور ، فمن المحتمل أن يكون لديك أصدقاء عانوا بالفعل.

تحدث مع شريك عن سبب ذلك. ما هو الصعوبة في فهم الكسور؟ لماذا الموضوع أصعب من المواضيع الأخرى التي نتعامل معها في المدارس الابتدائية؟

تذكر أن المعلمين يجب أن يكون لديهم الكثير من النماذج العقلية - الكثير من الطرق لشرح نفس المفهوم. في هذا الفصل ، سوف نلقي نظرة على بعض الطرق المختلفة لفهم فكرة الكسور وكذلك العمليات الأساسية عليها.


10.1: مقدمة في الكسور - الرياضيات

إذا نظرنا إلى المستطيل بطريقة أخرى ، فإن أضلاعه تكون بنسبة 16/45. سنستخدم هذا التغيير في الرأي عند التعبير عن 45/16 ككسر مستمر. يقترح 45/16 أن نقوم بتحويله إلى a الرقم كاملا حاصل القسمة (بما أن 45 أكبر من 16) زائد أ جزء الصحيح (ما تبقى بعد أن أخذنا مضاعفات العدد 16 من 45).
45/16 هي حصتين من 16 ، مع بقاء 13 ، أو من حيث الكسور العادية:

الآن ، لنفترض أننا فعلنا الشيء نفسه مع المستطيل 13 × 16 ، وننظر إليه في الاتجاه المعاكس ، لذا فهو 16 × 13 (لذا فإننا نعبر عن 16/13 كجزء من العدد الصحيح بالإضافة إلى كسر متبقي). فيما يتعلق بالتدوين الرياضي لدينا:

  • 2 مربعات برتقالية (16 × 16)
  • 1 مربع أزرق (13 × 13)
  • 4 مربعات حمراء (3 × 3)
  • 3 المربعات الصفراء (1 × 1)

استخدام خوارزمية GCD الخاصة بإقليدس لعمل جزء مستمر

لذلك دعونا ننظر مرة أخرى إلى الحسابات التي أجريناها أعلاه لـ 45/16.

45=2 & مرات16+13: 45 مضاعف للعدد 16 مع بقاء 13
16=1 & مرات13+ 3: 16 هو مضاعف 13 مع بقاء 3
13=4 & مرات 3+ 1: 13 من مضاعفات العدد 3 مع بقاء 1
3=3 & مرات 1+ 0: 3 من مضاعفات 1 e & timesactly.
إل=مرات & ن س+ ص
  • دقيق و
  • يعمل مع أي رقمين بدلاً من 45 و 16 ، و
  • إنها تنتهي دائمًا منذ كل مرة يتم فيها تقليل L و R و S حتى تكون S في النهاية 1 و R تساوي 0.

يصف إقليدس (عالم رياضيات وفيلسوف يوناني من حوالي 300 قبل الميلاد) هذه الخوارزمية في المقترحات 1 و 2 و 3 من الكتاب 7 من العناصر، على الرغم من أنه ربما كان معروفًا لعلماء الرياضيات البابليين والمصريين من 3000-4000 قبل الميلاد أيضًا.
إذا جربناها مع أرقام أخرى ، فإن الباقي النهائي غير الصفري هو أكبر رقم يمثل قاسمًا دقيقًا لكلا العددين الأصليين (القاسم المشترك الأكبر) - هنا هو 1.

استخدام قوائم المقسومات لإيجاد GCD

ها هي قواسم 45 و 16: إذن العدد الأكبر في على حد سواء من هذه القوائم هي 1 فقط.

لنأخذ كسرًا مثل 168/720. إنه ليس بأدنى حد لأنه يمكننا إيجاد كسر مكافئ يستخدم أرقامًا أبسط. نظرًا لأن كلا من 168 و 720 متساويان ، فإن 168/720 هو نفس (الحجم) مثل 84/360. يمكن أيضًا اختزال هذا الكسر ، وربما يكون الجزء الجديد قابلاً للاختزال أيضًا. لذلك يمكننا إيجاد أكبر عدد للتقسيم إلى كليهما البسط 168 والمقام 720 والحصول على أبسط صورة على الفور؟
ومع ذلك ، دعونا أولاً نحاول إيجاد أكبر رقم نقسمه على كل من 168 و 720 مباشرةً:
ابحث عن قوائم المقسومات على 168 و 720 واختر أكبر رقم في كلتا القائمتين: Phew! - لقد تطلب ذلك بعض العمل!
الآن علينا فقط إيجاد أكبر عدد في كلتا القائمتين. سرعان ما يكشف القليل من البحث الدقيق أن الرقم 24. لذا فإن 24 هو القاسم المشترك الأكبر (gcd) لـ 168 و 720. غالبًا ما سترى عبارات مثل هذه مكتوبة على النحو التالي:

تكمن أهمية المحورين a و b في أنه يخبرنا كيفية وضع الكسر أ / ب في أبسط صورة بإعطاء الرقم المطلوب قسمة الجزء العلوي والسفلي عليه. سيكون الكسر الناتج هو أبسط شكل ممكن. وبالتالي

يتم تطبيق خوارزمية إقليدس هنا على 720 و 168: فقط استمر في القسمة ولاحظ الباقي بحيث يكون الرقم الأكبر 720 هو 4 عقود من الرقم الأصغر 168 مع بقاء 48. الآن كرر الرقم الأصغر (168) والباقي (48) وهكذا: لذا فإن المضاعف الأخير قبل أن نصل إلى الصفر هو 24 ، تمامًا كما وجدنا أعلاه ولكن بجهد أقل هذه المرة!

ها هو مستطيل 720 × 168 مقسم إلى مربعات ، كما هو موضح أعلاه حيث الأرقام في المربعات هي طول جوانبها. لاحظ كيف تظهر حواصل القسمة 4 و 3 و 2 في الصورة وأيضًا أن gcd هو 24 (جانب أصغر المربعات):
وهنا يتم التعبير عن 720/168 ككسر مستمر:

ترميز القائمة للكسور المستمرة

في بعض الكتب والمقالات الرياضية ، سترى شكلاً آخر من أشكال الترميز يوفر مساحة:

أنت تفعل الرياضيات.

  1. ما هي الأرقام التي تحل محل الحروف؟
  2. ما هو المبدأ العام لحساب gcd بالنظر إلى رقمين معبر عنه بقوى من نفس الأعداد الأولية؟
  3. ما هو القاسم المشترك الأكبر للعددين 24 و 18 (أطلق عليه G)؟ ما هو GCD 24 و 18 و 30؟ ما علاقتها بمؤشر GCD لـ G و 30؟ [هذه هي الاقتراحات 3 من إقليدس العناصر، الكتاب 7.]
  4. يعتبر gcd مفيدًا في تبسيط الكسر. ولكن عند جمع الكسور ، نجد مكافئات لها نفس المقام. نحتاج هذه المرة إلى أصغر عدد سيتم قسمة المقامين عليه تمامًا ، بعد ذلك المضاعف المشترك الأصغر (lcm).
    باستخدام تحليل القوى الأولية للمقامرين ، كيف يمكننا إيجاد lcm؟ استخدم 168 و 720 كمثال.
  5. ما هي العلاقة بين gcd (a، b)، lcm (a، b) and a & timesb؟

عندما نضرب gcd (a، b) في lcm (a، b) فإننا نستخدم كل قوة أولية في كل من a و b. وبالتالي
gcd (a، b) & times lcm (a، b) = a & times b

حاسبة CF خوارزمية إقليدس

  • خوارزمية Eucild لإيجاد GCD لرقمين a و b
  • قائمة قواسم a و b مع إبراز أكبر
  • كيف ترتبط خوارزمية إقليدس بـ CF لـ a / b ، على سبيل المثال لـ 45/16:


ما يقوله الناس.

طلابي مهووسون بـ Reflex! إنه أمر ممتع وهم يتصفحون الحقائق الخاصة بهم ، مما يساعد في مجالات أخرى من الرياضيات. إنه أفضل بكثير من أي برنامج ممل جربته. هذا هو أول مورد وجدته يساعد في الواقع جميع طلابي في معرفة الحقائق الخاصة بهم.

مدرس رياضيات ، مدرسة ابتدائية ، مقاطعة مدرسة بورتلاند ، أو

لقد أصبحوا أكثر طلاقة وأسرع في قدرتهم على حل مشاكل الحقائق الأساسية. أكبر شيء رأيته هو النمو في الثقة، والتي تُرجمت إلى جميع جوانب الرياضيات التي نغطيها هذا العام. تمكن الطلاب من التعامل مع مسائل الرياضيات بطريقة أكثر فاعلية وقد ظهر ذلك من خلال عملية عملهم.

مدرس الصف الخامس ، المدرسة المتوسطة ، مدارس West Haven العامة ، CT

يعد برنامج Reflex أفضل برنامج لطلاقة الرياضيات استخدمته كوالد أو معلم. كل واحد من طلابي هو قصة نجاح. قامت شركة Reflex بتحسين اختبار STAR Math و AIMSweb الخاص بنا بأكثر من 20 بالمائة.

مدرس للصف الثالث ، مدرسة ابتدائية ، منطقة مدرسة لوغان الموحدة 326 ، كانساس

أنا أحب رد الفعل! إنه أفضل ما استخدمته في 15 عامًا من التدريس. إنهم أكثر ثقة في حقائقهم لدرجة أنهم قادرون على التركيز على المهارات أو المعايير الأخرى التي يتم تدريسها دون أن يطغى عليهم. لقد رأيت نموًا مذهلاً. ثقتهم تزدهر وهم يخبرونني في الواقع كم يستمتعون بالرياضيات الآن!

Title I Specialist، الابتدائية School، New Town School District 1، ND

ExploreLearning & reg هي شركة مقرها شارلوتسفيل بولاية فيرجينيا تعمل على تطوير حلول عبر الإنترنت لتحسين تعلم الطلاب في الرياضيات والعلوم.

ExploreLearning هي شركة Cambium Learning & reg.

ExploreLearning و Gizmo و Gizmos و Reflex علامات تجارية مسجلة لشركة ExploreLearning.


التعبيرات

لتنفيذ التعبيرات الرياضية الأكثر تعقيدًا ، ضع في اعتبارك استخدام image.expression () ، الذي يوزع تمثيلًا نصيًا لعملية حسابية. يستخدم المثال التالي التعبير () لحساب فهرس الغطاء النباتي المحسن (EVI):

محرر التعليمات البرمجية (جافا سكريبت)

كولاب (بايثون)

لاحظ أن الوسيطة الأولى للتعبير () هي التمثيل النصي للعملية الرياضية ، والوسيطة الثانية عبارة عن قاموس حيث تكون المفاتيح عبارة عن أسماء متغيرة مستخدمة في التعبير والقيم هي نطاقات الصور التي يجب تعيين المتغيرات إليها. يمكن الإشارة إلى النطاقات الموجودة في الصورة باسم b ("اسم النطاق") أو b (الفهرس) ، على سبيل المثال b (0) ، بدلاً من توفير القاموس. يمكن تحديد النطاقات من الصور بخلاف المدخلات عند استخدام قاموس خريطة النطاق. لاحظ أن التعبير () يستخدم "تقسيم الأرضية" ، والذي يتجاهل الباقي ويعيد عددًا صحيحًا عند تقسيم عددين صحيحين. على سبيل المثال 10/20 = 0. لتغيير هذا السلوك ، اضرب أحد المعاملين في 1.0: 10 * 1.0 / 20 = 0.5. يتم النظر فقط في تقاطع وحدات البكسل غير المقنعة وإعادتها على أنها غير مقنعة عند تقييم نطاقات من أكثر من صورة مصدر واحدة. يتم سرد عوامل تشغيل التعبير المدعومة في الجدول التالي.

معاملات التعبير ()
اكتب رمز اسم
علم الحساب + - * / % ** جمع ، طرح ، ضرب ، قسمة ، معامل ، أس
العلائقية ==! = & lt & gt & lt = & gt = يساوي ، لا يساوي ، أقل من ، أكبر من ، إلخ.
منطقي & أمبير & أمبير || ! ^ و ، أو ، لا ، Xor
ثلاثي ? : إذا بعد ذلك

باستثناء ما هو مذكور بخلاف ذلك ، يتم ترخيص محتوى هذه الصفحة بموجب ترخيص Creative Commons Attribution 4.0 ، كما يتم ترخيص نماذج التعليمات البرمجية بموجب ترخيص Apache 2.0. للحصول على التفاصيل ، راجع سياسات موقع Google Developers. Java هي علامة تجارية مسجلة لشركة Oracle و / أو الشركات التابعة لها.


رياضيات المدرسة الثانوية. المتطلبات المحددة هي الإلمام بالجبر الرمزي الأولي ، ومفهوم نظام الأرقام (على وجه الخصوص ، خصائص ، والتمييز بين ، الأعداد الطبيعية ، والأعداد الصحيحة ، والأرقام المنطقية ، والأرقام الحقيقية) ، وبعض نظرية المجموعات الأولية ( بما في ذلك المتباينات وفترات الخط الحقيقي). عادةً ما يجد الطلاب الذين تكون إلمامهم بهذه الموضوعات صدئًا نوعًا ما أنه مع القليل من الجهد الإضافي يمكنهم التقاط ما هو مطلوب على طول الطريق. الاستخدام المكثف الوحيد لهذه الموضوعات هو في الأسبوعين الأخيرين (اختياري) من الدورة الموسعة.

طريقة جيدة لتقييم ما إذا كان لديك الأساسي الخلفية المدرسية كافية (حتى لو كانت صدئة حاليًا) هي إلقاء نظرة على الموضوعات الموجودة في كتاب Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics (تنزيل مجاني) ، الذي نشرته مطبعة الأكاديميات الوطنية الأمريكية في عام 2001. على الرغم من أنه يستهدف معلمي الرياضيات من رياض الأطفال وحتى الصف الثامن ومعلمي المعلمين ، فهي توفر تغطية ممتازة لما يشكل تعليمًا أساسيًا جيدًا للرياضيات للحياة في القرن الحادي والعشرين (والذي كان هدف الأكاديميات الوطنية في إنتاجه).


الكسور لأجهزة iPad و Web و Chrome

يتيح تطبيق الكسور للطلاب استخدام شريط أو دائرة لتمثيل ومقارنة وتنفيذ العمليات باستخدام الكسور ذات القواسم من 1 إلى 100. اختر نموذج الكسر وعدد الأجزاء المتساوية. استخدم لونًا لتحديد أجزاء معينة لإظهار جزء من الكل. كشف أو إخفاء الملصقات الرقمية حسب الحاجة. ركب الكسور على بعضها البعض لمقارنة الكسور أو رؤية أجزاء متساوية.

نماذج الكسور هي مكون رئيسي في طبعة الجسور في الرياضيات الثانية. المعاينة عبر الإنترنت متاحة.

ميزات التطبيق

  • استخدم شريطًا أو دائرة ككل.
  • قسّم كل كامل إلى أي مكان من 1 إلى 100 جزء متساوٍ.
  • قارن الكسور وتمثل الكسور المتكافئة.
  • الجمع والطرح والضرب والقسمة مع الكسور.
  • اكتشف العلاقة بين الكسور والنسب المئوية والكسور العشرية.
  • حدد حجم الكل وعدد الأجزاء المتساوية.
  • إخفاء وكشف تسميات الكسور.
  • قم بإخفاء وكشف العمل باستخدام أغلفة يمكن تغيير حجمها لإنشاء مشاكلك الخاصة واستراتيجيات النموذج.
  • استخدم أدوات الرسم للتعليق على العمل وإظهار الفهم.
  • أضف المعادلات والتعبيرات والأوصاف باستخدام نص الرياضيات وأدوات الكتابة.
  • شارك عملك عن طريق حفظ صورة أو تقديم رمز مشاركة للآخرين.

تمديد النشاط

تخمين رقمي يعمل بشكل جيد مع الكسور أو الكسور العشرية أو النسب المئوية. من الضروري إعطاء الطلاب بعض الأدوات المرئية. يساعد استخدام خط الأعداد الطلاب في مقارنة الأرقام وترتيب الأرقام.

يعد الرسم البياني من 1 إلى 100 أداة أخرى تعمل بشكل جيد مع تخمين رقمي. أخبر الطلاب أن الرقم السري موجود في مكان ما على الرسم البياني 1–100. عبور الأرقام من الرسم البياني حيث يتم حذفها. إن الإلمام بمخطط 1–100 يمنح طلاب المرحلة الابتدائية العليا ميزة مميزة عندما يتعلق الأمر بالحساب الذهني وفهم نظام الأرقام لدينا. عندما يكون لدى الطلاب نموذج مرئي للمخطط في رؤوسهم ، يمكنهم بسهولة القفز حولها باستخدام العشرات. لديهم أيضًا نموذجًا هندسيًا مفيدًا (مربع 10 × 10) للتعرف على كيفية ارتباط الأرقام ببعضها البعض. تلعب تخمين رقمي باستخدام مخطط من 1 إلى 100 يمنح الطلاب مزيدًا من التعرض للمخطط ويدفعهم إلى توضيح بعض العلاقات الرقمية المتأصلة فيه.

ظهرت في النشرة الإخبارية لحلول الرياضيات على الإنترنت ، ربيع 2007 ، العدد 25

المنشورات ذات الصلة:
الدروس الثانوية لممارسة الرياضيات للصفوف 3-5
بقلم جينيفر م.باي ويليامز وشيري إل مارتيني

مشكلة الثلاثة مخازن

يذهب رجل إلى متجر ويقول للمالك ، "أعطني ما لدي من نقود معي وسأنفق 10 دولارات." يتم ، والرجل يفعل الشيء نفسه في المحل الثاني والثالث ، وبعد ذلك لا يتبقى له نقود. كم بدأ به؟

يشرح المقال أن المشكلة أعطيت لفصل عمره ثماني سنوات. عمل الأطفال على حل المشكلة على مدى عدة أيام ، وذكر معلمهم أنه "بعد فترة أصبحت الرياضيات صعبة للغاية بالنسبة لبعض الأطفال". ومع ذلك ، استمروا جميعًا في المشاركة بطرق مختلفة ، وتمكن بعض الأطفال من الوصول إلى حل. قدمت مارلين بيرنز المشكلة إلى فصل من طلاب الصف الخامس.

لقد تأثرت بالمشكلة وقبل الدرس ، كما اقترحت المقالة ، أخذت الوقت لحلها بنفسي. (أقترح أن تفعل هذا أيضًا). ثم ، لبدء الدرس ، جمعت الطلاب على البساط وأريتهم المجلة. قلت لهم: "لقد وجدت مشكلة في هذه القضية اعتقدت أنها مثيرة للاهتمام". "سأكون مهتمًا برد فعلك على ما إذا كانت هذه المشكلة سهلة للغاية ، أو صحيحة ، أو صعبة للغاية بالنسبة لطلاب الصف الخامس."

قرأت المشكلة بصوت عالٍ وقلت ، "من فضلك فكر في هذا بنفسك للحظة. كما تفكر ، سأكتب على السبورة ما قاله الرجل لكل من أصحاب المتاجر الثلاثة ". كتبت على السبورة:

أعطني نفس القدر من المال الذي أملكه معي وسأنفق 10 دولارات.

كان لدى عدد قليل من الطلاب أسئلة حول المشكلة. "هل تبرع بكل أمواله بعد المتجر الثالث؟" أراد جيمس أن يوضح.

"وكان ينفق عشرة دولارات في كل مرة؟" سأل كيلي.

قلت: "نعم ، لقد أنفق عشرة دولارات في ثلاثة متاجر مختلفة." أضفت إلى ما كتبته على السبورة:

أعطني نفس القدر من المال الذي أملكه معي وسأنفق 10 دولارات.

ثم قلت للطلاب ، "استدر وتحدث مع جارك حول كيفية التعامل مع حل المشكلة. سأقاطعك خلال بضع دقائق حتى نتمكن من مشاركة الأفكار ". أصبحت الغرفة صاخبة عندما بدأ الطلاب يتحدثون.

بعد لحظات قليلة ، هرع سكوت نحوي. قال "أعتقد أنني أعرف شيئًا عن المتجر الثالث". "يجب أن يحصل الرجل على خمسة دولارات عندما يدخل إلى هناك ، لأنه إذا أعطاه صاحب المتجر خمسة دولارات ، فسيحصل على عشرة دولارات. وبعد ذلك عندما أنفق عشرة دولارات ، كان سينهار ". ابتسم سكوت ثم جلس بجانب غابرييل ، شريكه.

بعد ذلك ، اقتربت مني مارا وناتانيا. مارا لديها سؤال. "هل كان عليه أن ينفق عشرة دولارات في آخر متجر؟" هي سألت.

قالت نتانيا: "انظر ، لقد أخبرتك".

"ولكن ماذا لو لم يكن لديه عشرة دولارات لينفقها ، حتى بعد أن أعطاه صاحب المتجر المال؟" استمرت مارا.

أجبته: "كان من الممكن أن يكون الوضع مختلفًا". "في هذه القصة ، كان لدى الرجل ما يكفي من المال في كل مرة لإنفاق عشرة دولارات ، ولكن بعد أن أنفق عشرة دولارات في المتجر الثالث ، لم يتبق لديه أي نقود على الإطلاق." بدا أن مارا تقبل هذا التفسير وجلست هي ونتانيا معًا مرة أخرى.

سرعان ما قاطعت الطلاب في مناقشة الفصل بأكمله. قلت لهم: "أعتقد أنه سيكون من المفيد سماع أفكار بعضنا البعض". "دعنا نتحدث عن المشكلة معًا ، وبعد ذلك ستعود إلى مكاتبك وتعمل على حل المشكلة بالورق والقلم الرصاص."

شارك حسن أولاً. "جربت عشرة دولارات ، لكنها لم تنجح لأنه كان لا يزال لديه عشرة دولارات في النهاية."

"كيف عرفت؟" انا سألت.

وأوضح حسن: "في المتجر الأول ، أعطاه الرجل عشرة دولارات ، فامتلك عشرين. لذلك عندما قضى عشرة أعوام ، كان لا يزال لديه عشرة. ونفس الشيء حدث في متجرين آخرين ".

قالت جيسيل: "لقد جربت عشرين دولارًا ، وكان ذلك أسوأ".

"ماذا تقصد ب" أسوأ "؟" انا سألت.

ضاحك جيسيل. "انتهى به الأمر بتسعين دولارًا. في المتجر الأول ، أعطاه صاحب المخزن عشرين ، وكان ذلك أربعين. كان لديه ثلاثون دولارًا متبقيًا بعد إنفاق عشرة في المتجر الثاني يعطيه الرجل ثلاثين دولارًا ، فيكون لديه ستين دولارًا ، وهذا يعطيه خمسين دولارًا متبقيًا بعد إنفاق عشرة. وفي المتجر الثالث ، خمسون زائد خمسين يساوي مائة ، لذلك ينفق عشرة ولا يتبقى لديه تسعون دولارًا ".

ثم وجهت انتباه الطلاب إلى قائمة استراتيجيات حل المشكلات المنشورة في الغرفة.

حل مشكلة أبسط (أو مشابهة).

قلت: "حسن حاول عشرة دولارات وجيزيل حاولت عشرين دولارًا". "أي من هذه الإستراتيجيات تعتقد أنهم كانوا يستخدمونها؟"

قالت كيشا: "خمن وتحقق".

وأضافت كارا: "نوع من التصرف بها أيضًا".

"كم منكم اختار مبلغًا ثم فحصه لمعرفة ما إذا كان سينجح؟" انا سألت.

رفع حوالي ثلث الطلاب أيديهم.

قال مايكل: "لقد جربت تسعة دولارات ، لكن تبقى لديه دولاران في النهاية".

قالت إليسا: "جربت ثمانية دولارات ، لكنه كان ستة دولارات في الحفرة في النهاية".

قال جورج: "كان في الحفرة إذا بدأت بستة دولارات". "لا أعرف كم بالضبط ، لكن هناك الكثير."

وأضاف ترافون "بسبعة دولارات أيضًا".

الكسندرا لديها فكرة مختلفة. قالت: "نعتقد أنه ليس مبلغًا كاملًا بالدولار". "لقد جربنا بعض هذه الأرقام أيضًا ، لكنها لم تنجح. لذلك يجب أن تكون بعض الدولارات وبعض السنتات "

"والآن ماذا ستفعل؟" انا سألت.

قالت: "سنجرب بعض الكميات الأخرى بالقرب من تلك التي كانت قريبة".

"ماذا تقصد ب" إغلاق "؟" لقد بحثت.

"حسنًا ، لقد كان في الحفرة بثمانية دولارات ولكن ليس بتسعة دولارات ، لذلك ربما يكون بينهما" ، قالت ألكسندرا بتمعن.

قال سكوت ، "لقد فعلت طريقة العمل إلى الخلف" ، وعاد إلى قائمة الاستراتيجيات. شرح للصف ما قاله لي من قبل ، أن الرجل يجب أن يذهب إلى المتجر الثالث بخمسة دولارات لكي لا يتبقى منه شيء.وأضاف سكوت: "بعد ذلك حاولت معرفة المبلغ الذي ذهب إلى المتجر الثاني ليخرج بخمسة دولارات."

رفع ألفين يده متحمسًا. "لقد اكتشفت ذلك!" هو قال. "عليك أن تضيف عشرة إلى الخمسة ثم تقسم على اثنين. خمسة زائد عشرة يساوي خمسة عشر ، ونصفها سبعة دولارات وخمسون سنتًا ".

احتج العديد من الطلاب. "أنا لا أفهم."

"لماذا قسمته إلى نصفين؟"

"هل هو على حق؟" سألني كيلي.

"هل تشرح فكرتك أكثر؟" سألت ألفين.

قال "حسنًا". "إذا كان لديه سبعة وخمسين ، وأعطاه صاحب المتجر سبعة وخمسين ، فلديه خمسة عشر دولارًا ، أليس كذلك؟" أومأ الآخرون برأسهم. تابع ألفين: "ثم يقضي عشرة أعوام ويبقى لديه خمسة". "لذا إذا ذهبت في الاتجاه الآخر ، أضف العشرة إلى الخمسة ، ثم خذ النصف ، فأنت تعرف ما كان لديه عندما ذهب إلى المتجر."

أومأ بعض الطلاب الآن بالموافقة على أن البعض الآخر لا يزال مرتبكًا أو غير متأكد. قررت أن الوقت قد حان بالنسبة لهم لمواصلة العمل بأنفسهم. قلت: "أعتقد أن هذا هو الوقت المناسب لكم جميعًا للعودة إلى العمل. لا بأس إذا كنت ترغب في العمل مع شريك ، ولكن يجب على كل واحد منكما إعداد أوراقك الخاصة. استمع إلى ما يجب أن تكتبه ". انتظرت لحظة حتى نظرت كل العيون إلي.

قلت: "تتبع كل ما تفعله." "حتى لو تبين أن شيئًا ما غير صحيح ، اتركه هناك. يمكن أن تساعدك المعلومات لاحقًا ، ويمكن أن تساعدني أيضًا في فهم كيف كنت تفكر. عندما تكتشف الإجابة ، اشرح بالكلمات كيف حصلت عليها أخيرًا. وأخيرًا ، اكتب عما إذا كنت تعتقد أن هذه المشكلة كانت سهلة للغاية ، أو صحيحة ، أو صعبة للغاية بالنسبة لطلاب الصف الخامس ".

"ماذا تسمى المشكلة؟" أراد ديانا أن يعرف. اعتاد الطلاب على كتابة العناوين على أوراقهم.

قلت "يمكنك أن تقرر ما تسميه".

"هل يمكن لثلاثة منا العمل معًا؟" سأل ترافون.

قلت: "هذا جيد ، طالما أن كل منكما يقوم بعمل أوراقك الخاصة."

لم يكن لدى أي شخص آخر سؤال وعاد الطلاب إلى مكاتبهم للعمل. كانت الغرفة صاخبة بشكل منتج ، وظل الطلاب منشغلين.

بعد أن حل المشكلة ، جاء جيمس بسؤاله المعتاد: "هل علي أن أكتب؟"

كانت الكتابة دائمًا صراعًا بالنسبة إلى جيمس.

نظرت إلى ورقة جيمس ورأيت أنه حل المشكلة عدديًا. طلبت منه أن يشرح ما كتبه ، وقد فعل ذلك بوضوح. قال "لكن ألفين ساعدني".

أجبته "لا بأس". "من الجيد استخدام أفكار الآخرين طالما أنها منطقية بالنسبة لك."

قال جيمس: "لقد فعلت ذلك بطريقتي الخاصة أيضًا". "خمنت وفحصت ، لكن ألفين عمل للخلف وكان ذلك أسهل."

اقترحت ، "هذه هي الطريقة التي يمكنك أن تبدأ بها كتابتك". "يمكنك توضيح أنك خمنت وتحقق أولاً ، ثم استخدمت فكرة ألفين." عاد جيمس إلى مقعده لإكمال ورقته.

أثناء عمل الطلاب ، بدأت في إنشاء جدول T على السبورة ، مع وضع علامة على العمود الأول "البداية" والعمود الثاني "النهاية". سجلت على الطاولة المبالغ التي وجدها الطلاب أثناء عملهم ، وسجلت المبالغ النهائية كأرقام سالبة عندما كان الرجل في الحفرة وأرقامًا موجبة عندما كان الرجل متقدمًا. بعد عدة إدخالات ، بدا الجدول كما يلي:

يبدأ نهاية
$10.00 + $10.00
$20.00 + $90.00
$ 9.00 + $ 2.00
$ 7.00 – $14.00
$ 8.00 – $ 6.00
$ 7.75 – $ 8.00

قررت إليسا إعادة كتابة الجدول بأرقام البداية بالترتيب وفي فواصل زمنية قدرها 0.25 دولارًا من 5.00 دولارات إلى 10.00 دولارات. العديد من الآخرين فعلوا أيضًا.

اتصلت بالفصل مرة أخرى إلى البساط لإجراء محادثة ختامية ، وكان التبادل مفعمًا بالحيوية. كان الإجماع العام هو أن التخمين والتحقق ، والعمل للخلف ، والعمل بها ، والبحث عن نمط كانت استراتيجيات حل المشكلات الأكثر استخدامًا. لاحظت إليسا أنه عندما تغير مبلغ البداية بمقدار 0.25 دولارًا أمريكيًا ، تغير مبلغ النهاية بمقدار 2.00 دولارًا أمريكيًا. تساءلت ألكسندرا عما إذا كانت الإجابة الصحيحة ستتضاعف إذا ضاعفت 10.00 دولارات في المشكلة إلى 20.00 دولارًا.

لم يكن لدى جميع الطلاب الوقت الكافي للكتابة عما إذا كانت المشكلة سهلة للغاية ، أو صحيحة ، أو صعبة للغاية. لكن مناقشتنا في الفصل كشفت أن معظم الطلاب اعتقدوا أن المشكلة كانت مناسبة تمامًا لطلاب الصف الخامس.

قال سكوت: "هذا يجعلك تفكر وهو تحدٍ جيد."

وأضاف جبرائيل "وهذا ليس مملًا".

قال مايكل: "أعتقد أنه كان صعبًا". "لوقت طويل كان كل ما جربته خطأ."

علق بعض الطلاب على أوراقهم. كتب جورج: اعتقدت أن هذه المشكلة كانت مناسبة تمامًا لطلاب الصف الخامس لأنها لا تستغرق وقتًا طويلاً ولا يمكنك إنهاءها في دقيقة واحدة. كتب ترافون: كان هذا صعبًا لأنه لا يوجد نمط مفيد للغاية أعرفه. كتب كارا: أعتقد أنه أمر صحيح وصعب لأنك تفكر كثيرًا ولكن الأمر يستغرق وقتًا طويلاً. كان لقيشة وجهة نظر مختلفة. كتبت: اعتقد انه كان سهلا جدا.

من العدد 18 من النشرة الإخبارية على الإنترنت ، صيف 2005

السباغيتي وكرات اللحم للجميع!

بدأت شيريل الدرس بالقراءة السباغيتي وكرات اللحم للجميع! بصوت عالٍ إلى الفصل. في القصة ، دعا السيد والسيدة كومفورت 32 فردًا من أفراد العائلة والأصدقاء للم شملهم ووضعوا ثماني طاولات مربعة تتسع لأربعة أشخاص في كل منها ، واحد إلى جانب. عند وصول الضيوف ، يكون لديهم جميعًا أفكارهم الخاصة حول كيفية إعادة ترتيب الجداول بحيث يمكن للمجموعات ذات الأحجام المختلفة الجلوس معًا. تحتج السيدة كومفورت ، مع العلم أنه ستكون هناك مشاكل جلوس لاحقًا ، لكن تم تجاهل احتجاجاتها. تصبح الحفلة عبارة عن ارتباك مبهج من الطاولات والكراسي والأطباق والنظارات والطعام المعاد ترتيبها. كل شيء يعمل في النهاية ، على أية حال ، عندما ثبت أن السيدة كومفورت على حق.

عندما أنهت شيريل قراءة القصة ، سألت الفصل ، "ما الذي كان يقلق السيدة كومفورت؟"

أجابت نيكول أولاً ، "لن تكون هناك مساحة كافية ، لأنك عندما تدفع الطاولات معًا تفقد الكراسي" ، قالت.

"ماذا تقصد؟" سألت شيريل.

"الأمر يشبه ، إذا وضعت طاولتين معًا ، فستفقد مقاعد حيث تتلامس الطاولات. يصعب شرحه." رسمت نيكول طاولتين في الهواء ، مشيرة إلى الجانبين حيث التقيا. رسمت شيريل مربعين على السبورة ، ورسمت سهمًا حيث يتلامس الجانبان. "هل تقصد فقدان الكراسي هنا؟" هي سألت. أومأت نيكول برأسها. (انظر الشكل 1).

بعد سماع أفكار الطلاب الآخرين حول مشكلة السيدة كومفورت ، قالت شيريل ، "دعونا نستخدم بلاط الألوان لاستكشاف طرق مختلفة لترتيب أربع طاولات فقط. سنبدأ بأربع طاولات فقط ".

أعطت شيريل إرشادات الفصل لترتيب "الجداول" المربعة. قالت: "عندما يتلامس البلاط ، يجب أن يفعلوا ذلك على طول الجانب بأكمله. لا بأس من لمس أجزاء من الجوانب أو الزوايا فقط ". لقد أظهرت على جهاز العرض العلوي. (انظر الشكل 2.)

قامت شيريل أيضًا بترتيب البلاط بطريقة لا تتبع حكمها وطلبت من الطلاب شرح السبب. (انظر الشكل 3.)

ثم أكملت التعليمات. "في مجموعتك ، شارك المربعات التي وضعتها على طاولتك وابحث عن طرق مختلفة لترتيب أربعة مربعات. تأكد من اتباع قاعدتي ". كانت شيريل قد وضعت حوالي 70 بلاطة لكل مجموعة من أربعة طلاب.

أثناء عمل الطلاب ، تجولت شيريل في جميع أنحاء الفصل ، ومراقبة الطلاب والإجابة على الأسئلة حسب الحاجة. عندما أتيحت الفرصة للجميع للعمل على المشكلة ، قاطعت الطلاب وطلبت انتباههم.

"ما الترتيبات التي قمت بها؟" سألت شيريل. "من يود أن يصف ترتيبًا ما حتى أتمكن من بنائه بالبلاط على السقف؟"

أفاد براندون: "يمكنك عمل خط مستقيم".

"مثله؟" طلبت شيريل ترتيب أربعة بلاطات في مستطيل 1 × 4. أومأ براندون برأسه.

قالت راحيل: "اصنعي مربعًا بها الأربعة". قامت شيريل ببناء مربع باستخدام أربعة بلاطات.

قالت نيكول: "فعلت ثلاثة وواحد".

"ماذا تقصد؟" سألت شيريل.

أوضحت نيكول ، "طاولة صغيرة مثل طاولة ناثان ، ثم طاولة 1 × 3".

قال ناثان: "يمكنك عمل أربع طاولات منفصلة".

قال زاك: "يمكنك صنع حرف T". "ضع ثلاثة في سطر وواحد أسفل الخط الأوسط."

قال إريك: "لقد صنعت ذلك أيضًا ، لكنني مقلوب".

قامت شيريل ببناء ترتيب إيريك تحت زاك وأوضحت للفصل أنه عندما يمكنك تحريك شكل أو تدويره أو تحريكه إلى شكل آخر بالضبط ، تكون الأشكال متطابقة. وأوضحت: "سنعتبر أن الأشكال المتطابقة هي نفسها".

تساءلت شيريل عندما كانت ترتيبات الطلاب فوق الرؤوس ، "ماذا لو كانت الترتيبات الوحيدة التي استخدمناها هي طاولات مفردة مستطيلة الشكل مصنوعة من أربعة بلاطات؟ ما الأشكال التي يجب أن نزيلها؟ "

قال ناثان "الجداول الأربعة المنفصلة التي اقترحتها".

أضافت ريفكا ، "والشخص الذي يشبه الحرف T."

قالت نيكول: "عليك أيضًا أن تخلع جهازي". "إنه ليس مستطيلًا واحدًا."

عندما اقترح مالكيا إزالة الساحة ، اندلعت المحادثة. تذكر بعض الطلاب أن المربع كان مستطيلاً ، لكن البعض الآخر لم يتذكره. شيريل كلاري ، "المربع هو نوع خاص من المستطيل لأن أضلاعه كلها متساوية في الطول. ولكن ، مثل المستطيل ، لا يزال المربع به أربع زوايا قياسها 90 درجة وضلعها المتقابل متوازي ".

أرادت شيريل أن تتأكد من أن الطلاب لديهم طريقة لتسمية المستطيلات التي بنوها. قامت برسم مستطيل 1 × 4 على السبورة. قالت ، "يمكنني تسجيل هذا بطريقتين" ، وسجلته أسفل المستطيل:

ثم قامت شيريل برسم مربع 2 × 2 ووضع علامة عليه.

أشارت شيريل إلى الطاولة المربعة 2 × 2 وسألت ، "إذا كان شخص واحد يجلس على جانب طاولة صغيرة مربعة ، ولم يجلس أحد على الزوايا أو الشقوق بين الطاولات ، فكم عدد الأشخاص الذين يمكنهم الجلوس هنا؟"

أجابت نيكول "سهل ، ثمانية". "فقط عد شخصين على كل جانب ضرب أربعة جوانب."

أوضحت شيريل: "عندما تحسب عدد الأشخاص الذين يمكنهم الجلوس على الطاولة ، فأنت في الواقع تحدد محيطها". "هذا لأن كل شخص يجلس على جانب واحد من المربعات الصغيرة ويشغل وحدة واحدة من الطول. إذن ، محيط المستطيل 2 × 2 يساوي 8 وحدات ".

لاحظ إريك أن "محيط الجدول 1 × 4 هو 10".

جعلت شيريل الآخرين يتحققون من بيان إريك وأن يتأكدوا أيضًا من محيط العديد من المستطيلات الأخرى. ثم قدمت مشكلة أخرى.

بدأت شيريل "دعونا نفكر في حفلة السيد والسيدة كومفورت". لنفترض أن السيدة كومفورت قررت أن يجلس جميع الأشخاص البالغ عددهم 32 شخصًا على طاولة واحدة كبيرة مستطيلة الشكل وأرادت معرفة عدد الطاولات المربعة الصغيرة التي يمكن استئجارها. تعرف على ما إذا كان بإمكانك العثور على جميع الطاولات المستطيلة الممكنة ذات الأحجام والأشكال المختلفة التي تتسع لـ 32 شخصًا ".

"هل كل طاولة يجب أن تكون 32 بالضبط؟" أراد JT أن يعرف.

"كم عدد البلاط الذي نستخدمه؟" سأل مالكيا.

أجابت شيريل: "سيعتمد ذلك على الجداول التي تبنيها".

"هل يمكننا العمل مع شريك؟" سألت نيكول.

أجابت شيريل: "نعم ، لكن احتفظ بسجلك الخاص."

لم يكن هناك المزيد من الأسئلة. أعطت شيريل اتجاهًا أخيرًا. "استخدم البلاط ، لكن ارسم الحلول على قطعة من الورق. تأكد من تسجيل أبعاد كل طاولة وعدد الأشخاص الذين سيجلسون عليها ".

مراقبة الأطفال

بالنسبة لبقية فترة الفصل ، لاحظت شيريل الطلاب في العمل وقدمت المساعدة عند الحاجة.

شاهدت كاثلين وهي تصنع مستطيلاً بحجم 16 × 2. قالت كاثلين بصوت عالٍ وهي تعمل ، "هممم ، 32 شخصًا. يجب أن ينجح هذا ، لأن 16 ضرب 2 تساوي 32. " عبس كاثلين مع التركيز وهي تحسب جوانب المربعات. ثم نظرت إلى شيريل في مفاجأة.

قالت: "أنا لا أفهم". "أحصيت 36 مقعدًا. لكن هذا لا معنى له ، لأن 16 ضرب 2 تساوي 32. ربما حسبت خطأ ". عدت الجوانب مرة أخرى.

"لا يزال 36. هاه." هزت كاثلين كتفيها ، وخلطت القطع الستة عشر في الكومة الموجودة في منتصف طاولتها ، وبدأت في بناء مستطيل آخر.

"ماذا تفعل؟" سألتها شيريل.

ردت كاثلين: "حسنًا ، لابد أنني أخطأت" لأن أول ما صنعته لم ينجح ، لذلك سأحاول شيئًا آخر ".

"ماذا ستحاول؟" سألت شيريل.

"لا أدري، لا أعرف. سأقوم فقط بالتجول وأرى ما سيحدث "، قالت.

شاهدت شيريل بينما بدأت كاثلين في وضع البلاط في صف طويل بعرض مربع واحد. واصلت عد الجوانب واحدًا تلو الآخر في كل مرة تضيف فيها بلاطة جديدة. أخيرًا ، ابتسمت.

"إنها تعمل! هذا واحد يتسع لـ 32 شخصًا. إنها 1 في 15. الآن لتسجيلها ". بدأت كاثلين برسم المستطيل على ورقتها.

كان أليكس يجلس على الجانب الآخر من كاثلين. قال: "لقد وجدت هذا أيضًا". "الآن أحاول لعبة 2-by."

ردت كاثلين "أوه" ثم بدأت في بناء مستطيل بعرض أربعة مربعات.

جاء ناثان إلى شيريل. قال: "أنا لا أرسم مستطيلات على ورقتي مثل أي شخص آخر". "قررت استخدام Xs بدلاً من ذلك. لكن لوقا أخبرني أن هذا خطأ. لا يمكنني رسم Xs إذا أردت ذلك؟ " أظهر ناثان لشيريل ورقته.

طلبت شيريل من ناثان شرح ما فعله. قالت شيريل ، التي شعرت بالارتياح لأنه فهم ما كان يفعله ، "ما فعلته يبدو منطقيًا بالنسبة لي."

ركض ناثان عائداً إلى لوك. قال: "قلت لك إنها ستقول أنه بخير".

واصلت شيريل حول الفصل. بحلول نهاية الفترة ، رأت أن جميع الطلاب قد عثروا على بعض المستطيلات وبعضهم عثر عليها جميعًا. طلبت من الأطفال أن يتركوا البلاط ، وجمعت أوراقهم. خططت شيريل لمواصلة الدرس في اليوم التالي.

اليوم المقبل

في صباح اليوم التالي ، أعطت شيريل الفصل مهلة للنظر. "ما هي الطريقة الأقل تكلفة لمقاعد 32 شخصًا على طاولة واحدة كبيرة مستطيلة؟ وما هي أغلى طريقة؟ للإجابة ، سيحتاج بعضكم إلى إيجاد المزيد من ترتيبات الطاولة ".

بعد حوالي 10 دقائق ، قاطعت شيريل الطلاب لبدء مناقشة الصف. "ما هي الخيارات التي يمكن أن تستوعبها وسائل الراحة لكل 32 شخصًا على طاولة واحدة؟" سألت شيريل. ارتفعت أيدي الطلاب.

قالت راشيل: "سيكون لديهم مجموعة ، ثمانية على وجه الدقة". أومأ معظم الطلاب بموافقتهم أو تمتموا.

"هل يمكن لأحد أن يصف أبعاد الجداول التي من شأنها أن تعمل؟" سألت شيريل. "سوف أسجلهم على السبورة."

ذكر إريك ، "مرة واحدة - 15 ، 2 - مرات - 14 ، 3 - مرات - 13 ، 4 - مرات - 12 ، 5 - مرات - 11 ، و 6 مرات - 10 ، و 7 مرات - 9 ، و 8 مرات - 8. " بعد أن سجلت شيريل الأبعاد ، عادت ورسمت كل مستطيل مناظر.

"أوه ، أرى نمطًا!" قال Anfernee. "هل يمكنني إظهار ذلك؟" أومأت شيريل برأسها ، وجاء أنفرني إلى اللوحة. قالت ، مشيرةً ، "من الأعلى إلى الأسفل ، يذهب 1 ، ثم 2 ، ثم 3 ، ثم 4 ، ثم 5 ، وهكذا ، حتى 8."

وأضافت آن ماريا: "والجانب الآخر ينخفض".

قال أنفرني: "أوه ، أجل ، لم أر ذلك". "نعم ، 15 ، 14 ، 13 وما بعدها." جلس إلى أسفل.

"ألا ينبغي أن تستمر القائمة؟" سألت شيريل. "ألا يجب أن يأتي مستطيل 9 × 7 بعد ذلك؟" (انظر الشكل 6.)

قال مالكيا: "لقد حصلت على هذا بالفعل".

وأضافت نيكول "نعم ، 9 × 7 و 7 × 9 متماثلان".

قالت كيرستن: "كل الآحاد بعد 8 ضرب 8 مكررة ، لذا لا يمكنك عدهم".

قالت شيريل: "دعونا نفكر في عدد الطاولات المربعة التي سيتعين على السيد والسيدة كومفورت تأجيرها لكل مستطيل كبير". "كم سيكون عليهم استئجار طاولة بحجم 15 × 1؟"

"خمسة عشر. أجاب العديد من الطلاب.

"ماذا عن 2 في 14؟" واصلت شيريل. "كم عدد الطاولات التي يجب أن تستأجرها شركة Comforts لهذا الترتيب؟"

"ثمانية وعشرون" ، نادى العديد من الأطفال.

"ماذا عن الترتيب 3 في 13؟" سألت شيريل. سرعان ما أدرك الفصل ما كانت تفعله شيريل.

قالت ريفكا: "أنت تتكاثر فقط". "فقط افعل ذلك مع كل منهم & # 8211 28 و 39 و 48 و 55 و 60 و 63 و 64."

"ما الذي تلاحظه في أشكال الطاولات؟" ثم سألت شيريل.

قال مالكيا ، "8 في 8 مربع ، والباقي مستطيلات."

"لكن 8 في 8 مستطيل أيضًا ، هل تتذكر؟" ذكّرت إيرين مالكيا.

قال براندون "انظر". "إذا قاموا بترتيب مستطيل طويل نحيف لـ 32 ، فيمكنهم القيام بذلك باستخدام 15 طاولة فقط. إنها أرخص بهذه الطريقة ".

وأضاف شارنت: "سيوفرون مساحة أيضًا ، لأن 1 مرة 15 يشغل أقل قدر من المساحة".

أضافت نيكول: "ستحتاج إلى غرفة طويلة ، على الرغم من ذلك ، مثل وليمة الملك".

ثم أوقفت شيريل المحادثة وأعطت مهمة كتابية لتقييم تفكير كل طالب. كتبت ثلاثة أسئلة على السبورة ليجيب عليها الأطفال:

  1. ما هي الأنماط التي كانت مفيدة أثناء عملك؟
  2. ما هي ترتيبات الجدول الأكثر والأقل اقتصادا؟
  3. ماذا تلاحظ في مناطق ومحيط الترتيبات التي قمت بها؟

عمل الطلاب على المهمة لبقية الفصل.

في الثواني الثلاث القادمة. . . تنبؤات الألفية

رولاند مورغان في الثواني الثلاث القادمة. . . تنبؤات الألفية (New York: Puffin، 1997) عبارة عن مجموعة من التنبؤات حول الأحداث اليومية وغير اليومية التي ستحدث في الثواني الثلاث القادمة ، والدقائق الثلاث التالية ، والساعات الثلاث التالية ، والأيام ، والأسابيع. . . على طول الطريق حتى الثلاثة ملايين سنة القادمة. هنا ، يستكشف طلاب الصف الخامس واحدًا فقط من التنبؤات الواردة في الكتاب ويستخدمون التقدير والضرب والقسمة لعمل تنبؤات خاصة بهم. يظهر هذا الدرس في الكتاب الجديد الرياضيات والواقعية ، الصفوف 3-5 ، بقلم ستيفاني شيفيلد وكاثلين غالاغر.

حملت الكتاب حتى يتمكن الطلاب من رؤية الغلاف عندما أتوا وجلسوا في منطقة الاجتماع. يُظهر الغطاء دائرة كبيرة ، والتي عند الفحص الدقيق يمكنك رؤيتها هي الخطوط العريضة لساعة الجيب. يوجد داخل الدائرة رسوم توضيحية وكلمات تنبعث من الصورة المركزية لتمثال الحرية.حدق الطلاب بقراءة المطبوعات الصغيرة المحيطة بتمثال الحرية.

سألت روكسان: "اقرأ لنا المقال الذي يتحدث عن تمثال الحرية".

قرأت ، "في الثواني الثلاث المقبلة ، سيشرب الإيطاليون كومة من المياه المعدنية بارتفاع تمثال الحرية."

قرأت بعض الإدخالات الأخرى من غلاف الكتاب لإعطاء الفصل لمحة عن شكل الكتاب. عندما فتحت الكتاب ، تخطيت المقدمة عمدًا ، والتي تعطي توجيهات لعمل تنبؤاتك الخاصة. يغطي كل انتشار مكون من صفحتين بعد المقدمة فترة زمنية محددة ، ولكن دائمًا بزيادات من ثلاث: ثلاث ثوان ، وثلاث دقائق ، وثلاث ساعات ، وثلاثة أيام ، وثلاث ليال ، وثلاثة أسابيع ، وثلاثة أشهر ، وثلاث سنوات ، وثلاثة عقود ، وثلاثة قرون وثلاثة آلاف سنة وثلاثة ملايين سنة. في أول صفحتين ، قرأت جميع الإدخالات تقريبًا لما يمكن أن يحدث في الثواني الثلاث القادمة. علمنا أنه في الثواني الثلاث القادمة ، سيرسل الروس أكثر من أربعة آلاف رسالة أو طرد بالبريد وأن الأمريكيين سيشترون ستة وخمسين وحدة تكييف. كان الطلاب مهتمين بمعرفة أنه "سيتم قطع ثلاثة وتسعين شجرة لصنع بطانات للحفاضات التي يمكن التخلص منها."

"كل ثلاث ثوان يقطعون هذا العدد الكبير من الأشجار؟" سألت أوليفيا.

ورد ريك: "إنهم لا يقطعون الأشجار في الليل".

لم يوافق كاميرون على ذلك ، قائلاً: "الوقت ليس الليل على الجانب الآخر من العالم ويمكنهم قطع الأشجار هناك." اعتقدت أن هذا هو الوقت المناسب للحديث عن كيفية قيام المؤلف بتنبؤاته.

"هل تعتقد أن الناس قطعوا ثلاثة وتسعين شجرة بالضبط كل ثلاث ثوان؟" انا سألت.

قال بيرتون ، "لا ، من يستطيع أن يعد جميع الأشجار التي تم قطعها في جميع أنحاء العالم في نفس الثواني الثلاث بالضبط؟ يجب أن يخمن المؤلف ".

عدت إلى الوراء وقرأت المقدمة ، التي تشرح دور العد عبر التاريخ ، بدءًا من احتساب المطاعم للمآدب الإمبراطورية في الصين القديمة إلى العد المتطور الذي نقوم به اليوم باستخدام أجهزة الكمبيوتر. شرحت "الحقائق الواردة في هذا الكتاب تم استنتاجها من هذه الثروة الجديدة الهائلة من المعلومات".

"هل تعتقد أن تنبؤات المؤلف من المفترض أن تكون دقيقة أم تقديرات؟" انا سألت. اتفق الأطفال على أن التوقعات يجب أن تكون تقديرية ، وانتقلت لقراءة الصفحة التالية ، والتي تتناول ما سيحدث في الدقائق الثلاث القادمة. يحتوي هذا الكتاب على أكثر مما يمكن قراءته في جلسة واحدة ، لذلك قرأت ما يكفي لإعطاء الطلاب نكهة كل قسم.

ثم عرضت المشكلة التي أردت أن يحلها الطلاب. "إذا كنت ترغب في عمل توقع لأشياء تستغرق ثلاث دقائق أو ثلاث ساعات ، فما هو الشيء الذي يمكنك عده بسهولة دون مغادرة هذه الغرفة؟" انا سألت. اقترحت عليهم التحدث إلى شخص يجلس بالقرب منهم عن أفكارهم. "معًا ، يمكنكما التوصل إلى شيء يمكنك الاعتماد عليه في الغرفة من شأنه أن يساعدك في توقع نفس الحدث في المستقبل."

تحدث الطلاب معًا ورفعوا أيديهم بحماس للإبلاغ عن أفكارهم.

قال كاميرون ، "نعتقد أنه يمكننا حساب عدد المرات التي يرمش فيها شخص ما عينيه في دقيقة واحدة ونكتشف ذلك لمدة ثلاث دقائق أو ثلاث ساعات."

قلت: "هذا يبدو عمليًا". "أي أفكار أخرى؟"

اقترحت رانا ، "يمكننا حساب عدد المرات التي تتنفس فيها. سيكون ذلك سهلا! " تحدثنا معًا وقررنا اختيار هذين الخيارين ، التنفس والوميض. ثم ناقشنا كيفية جمع المعلومات التي نحتاجها لعمل التنبؤات.

أوضح أنتوني: "علينا أن نحسب عدد المرات التي يتنفس فيها شريكنا أو يرمش في ثلاث دقائق". "ثم يمكننا معرفة عدد المرات التي يمكن أن يتنفسوا فيها أو يرمشوا في غضون ثلاث ساعات."

"أعتقد أنه سيكون مملًا أن نعد شخصًا يومض لمدة ثلاث دقائق ،" تأمل أندريس. "ألا يمكننا العد فقط لدقيقة واحدة وضربها في ثلاثة؟"

قلت "بالتأكيد". "تحتاج أنت وشريكك إلى اتخاذ قرار بشأن التنبؤ الذي ترغب في القيام به ، ثم التناوب في عد تنفس أو وميض بعضكما البعض. ثم فكر في الحسابات التي سيتعين عليك إجراؤها لعمل توقعاتك ". عاد الطلاب إلى مقاعدهم مع شركائهم.

وضع إيثان وسيسيليا خطة للتوقيت. قالت سيسيليا لإيثان: "سأقضي دقيقة واحدة وأنت تحسبني طرفة عين". "ثم سنضرب ذلك في ثلاثة." أشارت سيسيليا إلى إيثان لبدء العد. لقد قام بتسجيل علامة في كل مرة كانت تغمض فيها عينها حتى طلبت منه التوقف مرة أخرى. عدت سيسيليا ومضاتها ووجدت أنها رمشت عشرين مرة. بعد ذلك قاموا بتبادل الوظائف وحققت Cecelia علامات في عدد ومضات إيثان - 22 مرة في دقيقة واحدة. للعثور على متوسط ​​عدد الومضات في الدقيقة ، أضافوا عشرين زائدًا واثنين وعشرين ومقسومًا على اثنين. بعد ذلك قاموا بضرب واحد وعشرين في ثلاثة لمعرفة عدد المرات ، في المتوسط ​​، يومضوا في ثلاث دقائق.

كان متوسط ​​عدد ومضات كاميرون وماسون في دقيقة واحدة خمس مرات فقط. قاموا بضرب ثلاثة ليحصلوا على خمسة عشر ومضة في ثلاث دقائق ، ثم ضربوا ستين في ثلاثة. فسألت محتارة: "من أين أتى الستون؟"

أجاب كاميرون: "هناك ستون دقيقة في الساعة ، لذا فإن ستين دقيقة في ثلاث ساعات تساوي مائة وثمانين دقيقة. ثم ضربنا ذلك في خمسة ، لأننا نرمش خمس مرات كل دقيقة. هذا يعطينا تسعمائة ومضة في ثلاث ساعات ". (انظر الشكل 1.)

الشكل 1. فهم كاميرون وماسون بوضوح كيفية حساب عدد المرات التي يمكن أن يرمشا فيها في ثلاث دقائق وثلاث ساعات وما إلى ذلك.

أخذ كل من إنغريد ودوغلاس ورانا بالتناوب في التوقيت دقيقة واحدة وعد بعضهم بعضًا في الوميض ، واستخدموا 12 ومضة في الدقيقة كمتوسط. شرحت رنا ما فعلوه: "أولاً قمنا بضرب اثني عشر في ثلاثة واكتشفنا أننا رمشنا ستة وثلاثين مرة في ثلاث دقائق. ثم علمنا أن هناك ستين دقيقة في الساعة ، لذلك ضربنا ستين في ثلاثة وحصلنا على مائة وثمانين ".

قال دوغلاس: "هذا هو عدد الدقائق في ثلاث ساعات".

تابعت رنا: "حسنًا". "فضاعفنا مائة وثمانين في ستة وثلاثين ونحصل على ستة آلاف وخمسمائة وأربعين." لقد لاحظت أنهم ارتكبوا خطأ عند إضافة حاصل الضرب الجزئي ، حيث أضافوا بشكل غير صحيح ثمانين زائد ستين ، لأن أحد الأصفار في خانة العشرات بدا وكأنه ستة. بسبب هذا الخطأ ، تم إيقاف حساباتهم الأخرى. (انظر الشكل 2.)

الشكل 2. ارتكبت إنجريد ودوغلاس ورانا خطأ حسابيًا في إحدى الخطوات الأولى واضطروا إلى إعادة الحساب.

لمتابعة هذا الدرس ، يمكن للطلاب البحث عن أجزاء أخرى من المعلومات ، مثل هذه:

  • عدد علب الحليب في حالة سكر في الأيام أو الأسابيع الثلاثة المقبلة
  • عدد الأسنان التي فقدها الطلاب في ثلاثة أيام
  • عدد أقلام الرصاص التي يستخدمها الطلاب في ثلاثة أسابيع

المنشورات ذات الصلة:
الرياضيات والواقع ، الصفوف 3-5
بواسطة ستيفاني شيفيلد وكاثلين غالاغر

من النشرة الإخبارية على الإنترنت العدد 16 ، شتاء 2004-2005

الجمل الصواب والخطأ والمفتوح

في هذا الدرس الأول ، يستكشف الطلاب أولاً الجمل الحسابية ليقرروا ما إذا كانت صحيحة أم خاطئة. يقدم الدرس بعد ذلك للطلاب جمل ليست صحيحة ولا خاطئة ولكنها معادلات جبرية ، وتسمى أيضًا الجمل المفتوحة ، مثل x + 3 = 7 أو 2 x = 12. يظهر النشاط في Maryann Wickett و Katharine Kharas و Marilyn Burns الجديد كتاب، دروس في التفكير الجبري للصفوف 3-5 (منشورات حلول الرياضيات ، 2002).

لكل طالب ، قرأته بصوت عالٍ ، وأخبرني ما إذا كانت صحيحة أم خاطئة ، وشرح السبب. قلة من الطلاب يعرفون كيفية قراءة الجملة الثالثة. شرحت ، "يمكنك استخدام نقطة بهذه الطريقة بدلاً من علامة الأوقات التي تستخدمها عادةً في الضرب."

قال أصلي: "أعرف المشكلة الثالثة الآن". "تقرأه ، ستة في صفر يساوي ستة ، وهذا خطأ."

ثم طلبت من الطلاب كتابة أمثلة على معادلات حسابية كانت صحيحة وبعضها خاطئ. بعد بضع دقائق قاطعتهم. رسمت عمودين على السبورة ، أحدهما للجمل الرياضية الصحيحة ، والآخر للجمل الرياضية الخاطئة. قلت ، "عندما أدعوك ، اقرأ إحدى جملك الرياضية. لا تخبر ما إذا كنت تعتقد أنه صحيح أم خطأ. سنخمن ونرى ما إذا كنت توافق على تخميننا ". دعوت رينا.

قالت ، "اضرب ستة في ثلاثة وتقسم ذلك على اثنين. ثم تأتي علامة التساوي. على الجانب الآخر تفعل أربعة زائد خمسة ".

توقفت مؤقتًا لمنح الطلاب وقتًا للتفكير ثم طلبت من رينا أن تأتي إلى السبورة وتكتب معادلتها. كتبت:

بعد لحظات قليلة ، كان معظم الطلاب واضحين في صحة ذلك. لقد كتبت معادلتها في العمود True.

بعد أن شارك العديد من الطلاب الآخرين معادلاتهم ، على الرغم من رغبة المزيد من الطلاب في القيام بذلك ، انتقلت إلى الدرس. كما شاهد الطلاب ، كتبت ما يلي على السبورة:

"هل هذه المعادلة صحيحة أم خاطئة؟" انا سألت. كان الفصل هادئًا. أخيرًا ، تم رفع عدد قليل من الأيدي. اتصلت بجازمين.

قالت جازمين: "يمكن أن يكون الأمر كذلك". "نحن لا نعرف ما هو الصندوق ، لذلك لا نعرف ما إذا كان صحيحًا أم خطأ."

"كيف يمكننا أن نجعلها حقيقة؟" انا سألت.

قالت ليزي: "اكتب ثمانية في المربع لأن خمسة وثمانية تساوي ثلاثة عشر". فعلت كما أوعزت ليزي.

"هل هناك أي رقم آخر يمكنني كتابته في المربع يجعل الجملة صحيحة؟" انا سألت. قال تروك: "لا أعتقد ذلك". "أعتقد أن الطريقة الوحيدة لتحقيق ذلك هي وضع ثمانية في المربع." قال تشيس: "أعتقد أنه يمكنك جعلها تعمل بواسطة الكسور". "يمكنك وضع ستة عشر على اثنين كإجابة ، وهذا سيجعلها صحيحة." كما كتبت 16/2 على السبورة ، رفعت عدة أيادي.

قالت جيسي: "يبدو أن ستة عشر على اثنين يبدو مختلفًا ، لكنه في الحقيقة نفس المقدار".

وأضافت تينا "إنها لا تزال ثمانية".

أجبته ، "ستكون المعادلة صحيحة طالما أن كل ما نضعه في المربع يعادل ثمانية." لا أحد لديه أي تعليقات أخرى.

قلت "الجمل الرياضية مثل هذه تسمى جمل مفتوحة". "إنها ليست صحيحة ولا خاطئة لأن هناك جزءًا من الجملة ، المربع في معادلتي ، هذا ليس رقمًا. يُطلق على المربع اسم متغير ، لأنه يمكنك تغيير الرقم الذي تضعه فيه أو تستخدمه لاستبداله ". لقد كتبت جملة مفتوحة ومتغيرة على السبورة. لقد خططت لاستخدام هذه المفردات بانتظام لمساعدة الطلاب على التعرف عليها ومرتاحين لها ، تمامًا بشكل دوري خلال الدرس الذي قمت بتبديله بين "المعادلة" و "الجملة الرياضية".

"هل سيكون مربع" سبعة ضرب ستة يساوي "جملة مفتوحة؟" سأل جازمين. كتبت على السبورة:

يعتقد معظمهم أنه كان. قالت لوسي ، "اثنان وأربعون يجب أن تدخل الصندوق إذا كنت تريد أن تكون المشكلة صحيحة. إذا وضعت 39 في المربع بدلاً من ذلك ، فهذا خطأ. "

"ماذا عن" أربعة زائد مربع يساوي اثني عشر "؟" سأل يشوع. كتبت على السبورة:

قلت "جوشوا يريد أن يعرف ما إذا كانت هذه جملة مفتوحة". "ارفع إبهامك لأعلى إذا كنت تعتقد أن هذه جملة مفتوحة ، لأسفل إذا كنت تعتقد أنها ليست كذلك ، ورفع جانبًا إذا لم تكن متأكدًا." ارتفعت كل الابهام.

قلت: "أوافق على أنها جملة مفتوحة". "لماذا هو؟"

قال تيرنر: "أنا أعلم". "لأن ما إذا كان هذا صحيحًا أم لا يعتمد على ما هو موجود في المربع."

"ما الذي يجعله صحيحًا؟" انا سألت. "أرني بأصابعك." وضع الطلاب ثمانية أصابع لكل منهم.

"ما الذي يجعلها خطأ؟" انا سألت.

قال تيري ، "أي شيء سيجعله خاطئًا باستثناء ثمانية ، لذا فإن جميع الأرقام الأخرى تجعله خاطئًا."

ثم قلت للفصل ، "مع شريكك ، لبضع دقائق ، اكتب بعض الجمل المفتوحة الأخرى." بعد بضع دقائق ، طلبت انتباه الفصل. اتصلت على ليزي.

"ماذا عن" خمسة عشر ألفًا زائد واحد يساوي المربع "؟" قالت ليزي. كتبت على السبورة:

أظهر الآخرون إبهامهم للموافقة على أنها جملة مفتوحة. "ما الرقم الذي يمكننا كتابته في المربع لجعل جملة ليزي المفتوحة صحيحة؟" انا سألت. اتصلت على دييغو.

قال: خمسة عشر ألفا وواحد.

"من يود أن يأتي إلى السبورة ويكتب خمسة عشر ألف وواحد؟" انا سألت. تم رفع أيدي قليلة. لم يكن بعض الأطفال متأكدين من أنهم يستطيعون كتابة الرقم بشكل صحيح. اتصلت بكيث.

قال: "لن يتناسب مع الصندوق".

أجبته: "يمكنني تكبير الصندوق". فعلت ذلك وجاء كيث إلى السبورة وكتب بشكل صحيح 15،001.

ثم طلبت من كيني أن يعطي جملة مفتوحة أخرى. قال كيني: "المثلث ناقص أربعة يساوي ثلاثة".

مرة أخرى ، أظهر الطلاب موافقتهم. "من يعرف ما هو الرقم الذي يجب وضعه في المثلث لجعل الجملة المفتوحة صحيحة؟" انا سألت.

قالت دانا: "سبعة". وافق الآخرون.

من المهم أن يتعلم الطلاب أنه يمكننا استخدام رموز مختلفة للمتغيرات. لقد سررت أن كيني قد تطوع باستخدام المثلث. إذا لم يكن هناك أي طالب ، لكنت كتبت جملة مفتوحة كما فعل كيني ، وتحدثت عنها مع الطلاب ، ثم أدخلت رموزًا أخرى أيضًا. منذ أن قدم كيني اقتراحه ، بنيت عليه في هذا الوقت. تحت معادلة كيني ، كتبت:

قلت ، "أعتقد أن جملتي المفتوحة هي نفسها جملة كيني بطريقة ما ومختلفة بطريقة أخرى. من يمكنه شرح ما أفكر فيه؟ " ارتفعت الأيدي.

قال أصلي: "لقد استخدمت صندوقًا بدلًا من المثلث".

قلت ، "نعم ، لقد استخدمت مربعًا للمتغير واستخدم كيني مثلثًا للمتغير" ، وأغتنم الفرصة لاستخدام متغير الكلمة.

قال تيري: "لكن الأرقام هي نفسها". ثم كتبت على السبورة:

"ماذا عن هذه المعادلة؟" انا سألت. "هل هي جملة مفتوحة؟" يعتقد البعض أنه كان كذلك والبعض الآخر لم يكن متأكدا.

"من يود استخدام كلماتك الخاصة لشرح ما هي الجملة المفتوحة؟" دعوت توني.

أوضح توني: "إنها جملة تحتوي على صندوق أو شيء يرمز إلى رقم". "يعتمد ذلك على الرقم الذي تضعه سواء كان صحيحًا أم لا."

"ما رأيك في الجملة التي كتبتها مع x بدلاً من المربع أو المثلث؟" يعتقد معظم الطلاب أنها كانت جملة مفتوحة لم يكن ثلاثة غير متأكدين.

"من يود أن يشرح لماذا تعتقد أنها جملة مفتوحة؟" انا قلت. دعوت تيري.

قال ، "لديها شيء يرمز إلى رقم مفقود. أعتقد أنه يمكنك استخدام ما تريد. إن x على ما يرام ، وكذلك المربع ، وكذلك المثلث ".

قلت: "أنا أتفق مع تيري".

"هل يمكنك استخدام أي حرف؟" سألت لوسي.

أجبته "نعم". "في الواقع ، يمكنك استخدام أي رمز تريده. لكن في الغالب نرى المربعات والمثلثات والأحرف المستخدمة للمتغيرات في المعادلات ". واصلت حتى نهاية الفترة ، وجعل الطلاب يقدمون جملهم المفتوحة وأطلب من الآخرين التفكير في الرقم الذي يجب استخدامه للمتغير لجعل الجملة المفتوحة صحيحة. بحلول نهاية الفصل ، بدا الطلاب جميعًا مرتاحين لتصنيف الجمل الصحيحة والخطأ والمفتوحة ومعرفة كيفية جعل الجمل المفتوحة صحيحة.

من العدد 7 من النشرة الإخبارية عبر الإنترنت ، خريف 2002

المنشورات ذات الصلة:
دروس في التفكير الجبري للصفوف 3-5
بقلم ماريان ويكيت وكاثرين خاراس ومارلين بيرنز

نسبة

النسبة الذهبية هي نسبة الطول إلى العرض وهي تقريبًا 1: 1.618. لا تظهر هذه النسبة في الفن والعمارة فحسب ، بل يمكن ملاحظتها أيضًا في الطبيعة وفي جسم الإنسان. النسبة الذهبية هي نسبة الطول الإجمالي للشخص إلى الارتفاع من قدمه إلى السرة.

كيف يقارن طولك الإجمالي بالارتفاع من قدمك إلى سرتك؟

هل هي قريبة من النسبة الذهبية؟

تحقق من أطوال أخرى ، مثل المسافة من الخصر إلى الجزء العلوي ومن أعلى الرأس إلى الخصر ، لمعرفة ما إذا كانت هناك نسبة مماثلة بين تلك القياسات. أدخل البيانات الخاصة بك على الرسم البياني. كيف تقارن بياناتك بالأعضاء الآخرين في فصلك؟ أشياء يجب مراعاتها كيف ستقارن بياناتك مع طلاب آخرين في صفك؟

راجع ملف PDF للحصول على نسخة كاملة من هذا الدرس.

من التحقيقات والمهام والقواعد لتدريس وتقييم الرياضيات بقلم بات ليلبورن وأليكس سيوراك.

التعلم من كتابة الطالب

في العدد السابق من نشرة Math Solutions الإخبارية (العدد 23 ، ربيع / صيف 1998) ، قمت بوصف ضعه في الترتيب الدرس الذي علمته لمساعدة طلاب الصف الخامس على تعلم مقارنة وترتيب الكسور. على مدار العام ، واصلت مساعدة الفصل في تعلم طرق لمقارنة الكسور. كالعادة ، تعلمت الكثير من الطلاب ، خاصة من أعمالهم المكتوبة. أكثر ما كشف لي هو مجموعة متنوعة من الاستراتيجيات التي طورها الطلاب لمقارنة الكسور. أدناه ، أصف بعضًا مما تعلمته من كتاباتهم وأقدم اقتراحات لكيفية استخدام الكتابة مع طلابك.

في سنواتي الأولى في تدريس الرياضيات ، قمت بتدريس الطلاب لمقارنة الكسور بالطريقة التي تعلمتها كطالب ابتدائي - تحويل الكسور بحيث يكون لديهم جميعًا قواسم مشتركة. ومع ذلك ، في أحدث تعليمي للكسور ، لا أقوم بتدريس طريقة واحدة. بدلاً من ذلك ، أحث الطلاب على التفكير ، والتفكير ، وفهم مقارنة الكسور ، ومساعدتهم على تعلم مجموعة متنوعة من الاستراتيجيات التي يمكنهم تطبيقها بشكل مناسب في مواقف مختلفة. بينما يعد تغيير الكسور بحيث يكون لها قواسم مشتركة إحدى الإستراتيجيات المفيدة ، فهي ليست الإستراتيجية الوحيدة ولا الأكثر فاعلية.

لمساعدة الطلاب على تعلم مقارنة الكسور ، استخدمت عدة أنواع من الدروس. أعطيت الطلاب مشكلات في العالم الحقيقي لحلها ، مثل مشاركة ملفات تعريف الارتباط أو مقارنة كمية البيتزا التي يتناولها الأشخاص المختلفون ، وإجراء مناقشات في الفصل حول طرق مختلفة لحل المشكلات.لقد أعطيتهم خبرات مع المواد المتلاعبة - كتل النمط ، والبلاط الملون ، وقضبان Cuisenaire ، وغيرها - واستكشفنا وناقشنا كيفية تمثيل الأجزاء الكسرية. لقد قمت بتدريس ألعاب الكسور التي تطلبت منهم مقارنة الكسور ، وقمنا بمشاركة الاستراتيجيات. في بعض الأحيان ، أعطيتهم الكسور ، وناقشنا طرقًا مختلفة لمقارنتها.

تحدثنا كثيرًا عن الكسور. من خلال التعبير عن أفكارهم وسماع أفكار الآخرين ، يوسع الأطفال وجهات نظرهم حول كيفية التفكير رياضيًا. أيضًا ، يساعد التحدث والاستماع في إعدادهم للكتابة ، وهو ما أجعلهم يقومون به بشكل فردي عدة مرات في الأسبوع في الفصل وفي كثير من الأحيان للواجبات المنزلية أيضًا. أتيحت لطلابي العديد من الفرص لشرح كتابي كيف قارنوا الكسور.

لقد بدأت درسًا واحدًا في الفصل بمطالبة الطلاب بالتفكير في جزأين - 6/8 و 4/5. "أيهما أكبر؟" لقد سالتهم. "وكيف قررت؟" في هذا اليوم لم أجعلهم يناقشون أفكارهم ولكن بدلاً من ذلك طلبت منهم الكتابة بشكل فردي حتى أتمكن من رؤية كيف يفكر كل طالب. (كيف ستقرر أي من الكسرين أكبر؟)

أظهرت أوراق الطلاب مجموعة متنوعة من الأساليب. كتبت لورا: 6/8 & lt 4/5 لأن 6/8 = 12/16 و 4/5 = 12/15 ولديك نفس البسط لذا فهو يجعل الأمر أسهل بطريقة ما. 12/15 أكبر من 12/16 لذا 4/5 أكبر من 6/8. لم أكن متأكدة من قراءتي الأولى كيف كانت لورا تفكر. هذا أمر شائع عندما أقرأ عمل الطلاب. من الصعب اتباع تفكير الآخرين ، خاصةً عندما يختلف تفكيرهم عن تفكيرنا. قرأت شرح لورا مرة أخرى وأدركت أنها حولت الكسور بحيث يكون بينهما البسط. لم تشرح كيف عرفت أن 12/15 أكبر من 12/16 وهذا يبدو واضحًا لها. لكن طريقتها نجحت وكانت فعالة.

قامت لورا بتحويل الكسور بحيث يكون لها البسط المشترك.

قرأت جريدة بريان بعد ذلك. لقد فكر بنفس الطريقة التي استخدمتها لورا لكنه عبر عن تفكيره بشكل مختلف وبمزيد من التفاصيل. كتب: أعلم أن 6/8 = 12/16 لأن 6 × 2 = 12 و 8 × 2 = 16. 4/5 = حتى 12/15 لأن 4 × 3 = 12 و 5 × 3 = 15. 16 هو رقم أكبر ولكنه كسر أصغر و 15 هو رقم أصغر لكن الكسر الأكبر يجعل الساحرة 6/8 = 12/16 ، 4/5 = 12/15. بينما لم تكن لغة بريان دقيقة ، إلا أنها أشارت إلى أنه فهم أنه كلما زاد المقام ، كانت الأجزاء الكسرية أصغر. كان فهم ورقة براين أسهل بالنسبة لي ، وأعتقد في الغالب لأنني فكرت في ورقة لورا أولاً.

ومع ذلك ، فكانت جيني منطقية بشكل مختلف. قارنت كلا الكسرين بكامل واحد. كتبت: 6/8 أقل من 4/5 لأن 6/8 تبعد 2/8 عن 1 صحيح و 4/5 هي 1/5 من الكل. 2/8 يساوي 1/4. 1/4 أكبر من 1/5 لذا 4/5 أكبر من 6/8 لأنه يتبقى مقدارًا أصغر للوصول إلى الكل. تُظهر طريقة جيني أيضًا فهمها للكسور المتكافئة ، بحيث تكون 2/8 هي نفسها 1/4. كان تفسير جيني واضحًا وصحيحًا. أيضًا ، كان من السهل بالنسبة لي أن أفهم لأن نهجها يعكس الطريقة التي كنت أفكر بها بشأن المشكلة.

قامت جيني بتحويل الكسور بحيث يكون بينهما بسط مشترك.

كما فعل جيني ، قارن دونالد كلا الكسرين بكُل واحد وأظهر فهمه للكسور المتكافئة. لكنه فكر أيضًا في البسط المشترك. هو كتب: أعلم أن 6/8 أقل من 4/5 لأن 4/5 = 8/10 وهو 2/10 بعيدًا عن الكل. و 6/8 هو 2/8 بعيدًا عن الكل. و 8/10 أكبر من 6/8 لأن العشرات أصغر من 8 مما يجعلها أقرب إلى الكل مما يجعلها أكثر. احتوى تفسير دونالد على بعض الأخطاء النحوية. كان يقصد "أجزاء 10" و "8" ، وليس 10 و 8. أدى استخدامه لـ "it" مرتين إلى إضعاف الجملة الأخيرة ، وتجاهل كلمة "to" في المكان المطلوب. كانت الجملة ستكون أوضح لو كتب دونالد: و 8/10 أكبر من 6/8 لأن 10 أصغر من 8 ، مما يجعل 8/10 أقرب إلى الكل ، مما يجعلها أكثر. احتاج دونالد إلى تذكير بانتظام لإعادة قراءة أوراقه قبل تسليمها ، وعلى الرغم من أن هذه الورقة تمثل تحسنًا في كتاباته ، إلا أنه لا يزال هناك حاجة لمزيد من التحسين.

اعتمدت ماريا على القواسم المشتركة. كتبت: أعلم أن 6/8 & lt 4/5 لأنني أعرف أن 6/8 أيضًا = 30/40 و 4/5 أيضًا = 32/40 و 30/40 أقل من 32/40 لذا 4/5 و GT 6/8. 30/40 تبعد 2/40 عن 32/40. حصلت على هذا لأنني استخدمت القواسم المشتركة. أظهرت ماريا أيضًا كيف وصلت إلى الكسور المحولة. كتبت:

4/5 8/10 12/15 16/20 20/25 24/30 28/35 32/40

كل إجابات هؤلاء الطلاب كانت صحيحة وتفسيراتهم مقبولة. كانوا يفعلون ما هو منطقي لهم عندما حاولوا التفكير في الكسور.

استخدام كتابة الطالب في الفصل

بعد قراءة أوراق الطلاب ، أجريت مناقشات مع الأفراد ، خاصة إذا كنت أواجه صعوبة في فهم أسبابهم أو إذا كان منطقهم غير صحيح أو غير كامل. أحيانًا أركز على أخطائهم في الكتابة وفي أحيان أخرى أركز فقط على الرياضيات. يعتمد اتخاذ هذا القرار على الورقة والطالب والرياضيات المستخدمة.

ثم لدي بعض الطلاب يشاركون أوراقهم مع الفصل حتى يتمكن الطلاب من الاستفادة من تفكير بعضهم البعض. على سبيل المثال ، طلبت من ماريا أن توضح للصف كيف وصلت إلى الكسور ذات القواسم المشتركة. لم تكن طريقتها تقليدية ، لكنها كانت صحيحة وفعالة من الناحية الحسابية. شرحت ، "ظللت أغيرها إلى كسور متساوية. كنت أعرف عندما بلغت الأربعين من العمر أنه سيعمل لستة أثمان ".

أثار تفسير ماريا نقاشًا في الفصل حول طرق أخرى لتحويل الكسور إلى كسور ذات قواسم مشتركة. كان العديد من الطلاب حريصين على شرح الأساليب التي استخدموها. كان راؤول متحركًا بشكل خاص. قال: "إذا ضربت 8 ضرب 5 تحصل على 40 ويمكنك استخدام ذلك كمقام. ثم اضرب 6 في 5 لتحصل على 30 واحصل على هذا البسط لستة أثمان ثم اضرب 4 في 8 واستخدم 32 للبسط لأربعة أخماس. "

أومأت ماريا برأسها وكأنها تفهم. قالت بهدوء: "لكني أحب طريقي بشكل أفضل".

أجبته: "لا بأس أن تستخدم طريقتك الخاصة". "من المهم أيضًا أن تتعلم طرقًا مختلفة للتفكير في الكسور." (أذكر الأطفال باستمرار للنظر في العديد من الاستراتيجيات المختلفة لتطوير وتوسيع ذخيرتهم الرياضية.) ثم كتبت جزأين على السبورة - 3/4 و 2/3 - وطلبت من كل طالب إخراج ورقة وتحويلها هذه إلى القواسم المشتركة بطريقتين & # 8211 طريق ماريا وطريقة راؤول. لقد جعلتهم يقارنون عملهم مع شركائهم ثم قام متطوعون بتوضيح كل طريقة حتى تتمكن ماريا وراؤول من الحكم على ما إذا تم تطبيق أساليبهم بشكل صحيح.

طلبت من آخرين قراءة أوراقهم أيضًا وبدأت في تجميع قائمة صفية من الاستراتيجيات لمقارنة الكسور. لقد أقرت بأفكار الطلاب - طريقة ماريا ، وطريقة براين ، وما إلى ذلك - ثم أعطيت الاستراتيجيات أسماء عامة - قم بالتحويل إلى قواسم مشتركة ، ومعرفة أيها أقرب إلى 1 ، والتحويل إلى البسط المشترك ، وما إلى ذلك. كتبت القائمة على ورقة الرسم البياني وحفظها منشورة في الفصل الدراسي للطلاب للرجوع إليها.

في سنوات التدريس التي أمضيتها ، لم تبتكر كل الفصول جميع الاستراتيجيات. (كان هذا هو الفصل الأول الذي كان فيه البسط المشترك يمثل إستراتيجية سائدة.) إذا كانت هناك إستراتيجية أريد أن يعرفها الطلاب ولم يقدمها أحد ، فأنا أقدمها وأقدم التدريب عليها. لكني أقدمها كواحدة من بين العديد ، وليست الطريقة "الأفضل" أو "الصحيحة" لمقارنة الكسور. تعتمد الطريقة "الأفضل" أو "الصحيحة" على السياق أو الأرقام أو الغرض أو مزيج من هذه العوامل.

اقتراح لفصلك الدراسي

قد تحاول مشاركة إحدى طرق طلابي مع فصلك. قم بإعادة إنتاج واحد منهم ، وقدم نسخًا للطلاب في أزواج ، واطلب منهم معرفة ما إذا كان بإمكانهم اكتشاف سبب منطقي. اطلب منهم شرح الطريقة بكلماتهم الخاصة. ثم امنحهم تدريبًا على تطبيقه على الكسور الأخرى. بهذه الطريقة ، يمكنك استخدام عمل بعض طلابي للمساعدة في تطوير مهارات الطلاب وفهمهم. ولكن ، إذا كان ذلك ممكنًا ، شارك بأفكار فصلك. إن تكريم تفكير طلابك هو وسيلة لإشراكهم كمساهمين مهمين في تعلمهم وتعلم زملائهم في الفصل.

من النشرة الإخبارية المطبوعة العدد 24 ، خريف / شتاء 1998-1999

استخدام المنقلة في المرحلة الإعدادية

من تجاربها السابقة في تعليم طلاب المدارس الإعدادية حول الزوايا ، أدركت كاثي همفريز أن الطلاب غالبًا ما يواجهون صعوبة في تعلم كيفية استخدام المنقلة. غالبًا لا يرون الحاجة إلى الأداة ، لذلك لا تقدم كاثي المنقلة إلا بعد أن يكون لدى الطلاب تجارب ملموسة في قياس الزوايا بعدة طرق.

عندما وزعت كاثي منقلة على صفها في سان خوسيه ، كاليفورنيا ، قالت للطلاب ، "المنقلة هي أداة مفيدة لكل من قياس الزوايا ورسم الزوايا بأحجام محددة." طلبت من الطلاب العمل في أزواج واستكشاف المنقلة.

اقترحت "قد يكون من المفيد استخدام الزاوية الصحيحة كمرجع ، لأنك تعرف بالفعل أن الزاوية الصحيحة هي تسعون درجة".

بعد فترة ، دعت كاثي الفصل للانتباه وطلبت من الطلاب مشاركة ما لاحظوه. ثم أعطتهم كاثي التحدي المتمثل في معرفة كيفية استخدام المنقلة وكتابة التوجيهات التي يمكن أن يتبعها شخص آخر. قالت ، "يجب أن توضح اتجاهاتك كيفية قياس الزوايا وكذلك كيفية رسم الزوايا بأحجام مختلفة. يمكنك تضمين رسومات إذا كانت ستساعد في توضيح اتجاهاتك ".

قبل أن يبدأ الطلاب ، كتبت كاثي المنقلة والزاوية على الرأس كمرجع لهم وسألتهم عن الكلمات الأخرى المتعلقة بالزوايا التي قد يستخدمونها. سردت جميع الكلمات التي اقترحها الطلاب: حادة ، صحيحة ، منفرجة ، مستقيمة ، درجات.

عبر الطلاب عن تفكيرهم بطرق مختلفة. على سبيل المثال ، كتبت جيني وسارة التوجيهات التالية لقياس الزاوية: أولا ، أنت تصنع زاوية. ثم تضع الخط السفلي للزاوية على خط المنقلة. ثم تضع النقطة على رأس الزاوية. ثم تكتشف درجة الزاوية. إذا كنت لا تستطيع فهم ذلك ، يمكنك القيام بذلك. عليك أولاً معرفة ما إذا كانت الزاوية منفرجة أم حادة. إذا كان الأمر منفرجًا ، فأنت تستخدم السطر العلوي ، وإذا كان حادًا ، فأنت تستخدم الحد الأدنى. ثم تحصل على السهم وترفعه إلى الرقم والرقم الذي يصطدم به الخط هو درجة الزاوية.

كتب كوونج وشيريل: إحدى القواعد التي يجب أن تتذكرها دائمًا هي أنه يجب أن تكون دائمًا على الخط المستقيم في الأسفل. إذا اتجهت الزاوية إلى اليمين ، فيجب عليك قراءة الأرقام السفلية. ولكن إذا انتقلت إلى اليسار ، فيجب عليك قراءة الأرقام العلوية.

كتب رون إم ورون س. تضع رأس الزاوية التي تقيسها في منتصف الحفرة. يوجد الفتحة أسفل المنقلة. عند القياس ، لنفترض أنها 69 درجة. على المنقلة لا تقول 69 درجة. فقط 50 ، 60 ، وأمبير 70. ما تفعله هو القياس والعد بالخطوط الموجودة أعلى المنقلة.

صمم ويل وبات عملهما ككتيب. أطلقوا عليها العنوان دليل المنقلة (انظر الشكل 1). كتبوا: هناك شيئان تقوم بهما المنقلة. إنه 1. يقيس الزوايا و 2. يصنع زوايا جديدة. لقياس زاوية ، ضع الجانب الخشن من المنقلة لأسفل ثم ضع رأس الزاوية في الفتحة الصغيرة في المنتصف (كما هو موضح في الصفحتين 3 و 4) وإذا كانت الزاوية حادة ، استخدم الأرقام الموجودة في الأسفل على اليمين ولكن إذا كان حادًا ولكنه يشير إلى اليسار ، فاستخدم الجانب الأيسر والأعلى (كما هو موضح في الصفحتين 3 و 4). لعمل زوايا ، استخدم الجزء السفلي من المنقلة (موضح في الصفحتين 3 و 4) لجعل أي زاوية لا تريدها.

في الشكلين 2 و 3 ، شرح الطلاب بطرق مختلفة كيفية استخدام المنقلة.

من النشرة الإخبارية على الإنترنت العدد 4 ، شتاء 2001-2002

لعبة الشريك الشريك

في لعبة الشريك هذه ، يقسم طلاب الصف الرابع على أعداد مكونة من رقم واحد لتحديد ما إذا كان حاصل القسمة باقياً.

مفتاح تعلم الرياضيات هو فهم & # 8220 لماذا & # 8221 وراء & # 8220how & # 8221. HMH في الرياضيات يؤكد على أهمية إنشاء فهم مفاهيمي ويعزز هذا الفهم من خلال الممارسة الإجرائية. يطلب نموذج التعلم من الطلاب أولاً تطوير تفكيرهم قبل ربط فهمهم بالمفاهيم والمهارات.

HMH في الرياضيات أكثر من مجرد حل ، إنها رؤية لنمو الطلاب.

HMH في الرياضيات تم بناؤه لضمان النمو لكل طالب.

مع المعلمين الواثقين والطلاب المتمكنين ، تصبح الرحلة نحو العمق الحقيقي للفهم وثقافة النمو في كل فصل دراسي للرياضيات حقيقة قابلة للتحقيق.

HMH في الرياضيات يتضمن أنشطة التعلم التي تشجع المثابرة المنتجة لتحويل الخوف من الرياضيات إلى حماس الرياضيات.

مشكلة جراد البحر

يعد المال نموذجًا مفيدًا لمساعدة الطلاب على فهم الأعشار والمئات ، ولكن غالبًا ما يواجه الطلاب صعوبة في توسيع نطاق معرفتهم لفهم جزء من الألف إلى عشرة آلاف. تقدم مشكلة Lobster للطلاب تجربة حل المشكلات التي تساعدهم على التعرف على كيفية توسيع الكسور العشرية إلى ما بعد المئات وتزويدهم بممارسة لتحديد الكسور العشرية التي تأتي بين الأرقام الأخرى. ظهر الدرس في تعليم الحساب لكاري دي فرانسيسكو ومارلين بيرنز: دروس للأعداد العشرية والصفوف من 5 إلى 6 (منشورات حلول الرياضيات ، 2002).

سألت الطلاب ، "وفقًا للمقياس الرقمي للبقالة ، يزن الكركند أكثر من اثنين وستة وخمسين جزءًا من مائة ولكن أقل من اثنين وسبعة وخمسين رطلاً. كم تعتقد أن جراد البحر يزن؟ " كتبت على السبورة:

قال ماركوس ، "لا يوجد شيء بينهما. سبعة وخمسون جزءًا من مائة تأتي مباشرة بعد ستة وخمسين جزءًا من مائة ". لا أحد لديه فكرة مختلفة.

"ماذا لو قال الميزان إن جراد البحر يزن بين رطلين وثلاثة أرطال؟ كم يمكن أن يزن الكركند؟ "

أجاب شانون ، "جراد البحر يمكن أن يزن رطلين ونصف."

"هل يمكن أن تزن أي شيء آخر؟" كانت الغرفة هادئة.

"ماذا لو سجل الميزان جراد البحر بوزن يتراوح بين جنيهين ونصف جنيه وثلاثة أرطال؟ كم يمكن أن يزن الكركند إذن؟ " لا يزال هناك أي رد.

لقد غيرت السؤال مرة أخرى ، هذه المرة باستخدام سياق مألوف أكثر. لنفترض أن ماثيو كان لديه أكثر من دولارين وخمسين سنتًا ، ولكنه أقل من ثلاثة دولارات. كم من المال يمكن أن يمتلكه ماثيو؟ "

رد جوناثان ، "يمكن أن يحصل على دولارين و واحد وخمسين سنتًا أو دولارين وخمسة وسبعين سنتًا أو أي شيء بينهما."

"ماذا تقصد بعبارة" أي شيء بينهما "؟" انا سألت.

تابع جوناثان ، "يمكن أن يحصل ماثيو على أي مبلغ يزيد عن خمسين ولكن ليس أكثر من ثلاثة دولارات ، مثل اثنين وستين واثنين وسبعين ، وحتى ثلاثة دولارات."

"هل لدى أي شخص طريقة أخرى للإجابة على سؤالي؟" انا سألت.

اقترحت إيلين ، "يمكن أن يكون لدى ماثيو أيضًا مجموعات مختلفة من المال بين ستين واثنين وسبعين. يمكن أن يكون لديه اثنان وستون ، واثنان وستون ، وصولًا إلى اثنين وسبعين. ويمكن أن يكون لديه مجموعات أكثر بين اثنين وثمانين واثنين وتسعين ".

ثم سألت ، "هل دولاران وتسعون سنتًا أكثر ما يمكن أن يحصل عليه ماثيو قبل أن يتجاوز الثلاثة دولارات؟"

أجابت لورا: "لا ، يمكنه الحصول على واحد وتسعين ، واثنين وتسعين ، وحتى اثنين وتسعين وتسعين". "لذا فإن أقصى ما يمكن أن يحصل عليه هو دولاران وتسعة وتسعون سنتًا."

"كيف نعرف ذلك؟" انا سألت.

أوضح لويس ، "عليك أن تبدأ برصيد تسعين وتسعين وتستمر في إضافة سنتات حتى تصل إلى الدولار التالي."

"هل يمكن لأي شخص أن يشرحها بطريقة أخرى؟" انا سألت.

ردت ماريا: "يبدو الأمر كما لو كان لديك عملتان بالدولار وتسعة عشرة سنتات ، وإذا أضفت سنتًا إضافيًا ، فستحصل على ثلاثة دولارات ، لكن لا يمكنك تجاوز ثلاثة دولارات". "لذلك تحتاج إلى إضافة بنسات أو نيكل إلى تسعين سنتًا حتى تقترب من ثلاثة دولارات."

"ما هو أقل مبلغ يمكن أن يمتلكه متى؟" انا سألت.

قال إيان ، "اثنان وخمسون." وافق آخرون.

تابعت ، "لذلك يمكن أن يمتلك ماثيو العديد من المجموعات المختلفة من المال بين خمسين وثلاثة دولارات فقط عن طريق إضافة البنسات أو السنتات."

بدا الطلاب واضحين بشأن هذا ، لذا قدمت نسخة أخرى من سؤال الكركند. "ماذا لو سجل المقياس الرقمي جراد البحر بوزن يتراوح بين اثنين وخمسة أعشار جنيه وثلاثة أرطال؟ كم يمكن أن يزن الكركند؟ " كتبت على السبورة:

تابعت ، "مع شريكك ، فكر في مناقشتنا حول المال. قرر ما إذا كان يمكن أن يكون هناك بالفعل قياسات بين اثنين وخمسة أعشار أرطال وثلاثة أرطال ، وإذا كان الأمر كذلك ، فناقش الأوزان المحتملة للكركند ". بدأ الطلاب في المناقشة في أزواج. شعر العديد من الطلاب أن جراد البحر يمكن أن يزن ما بين 2.51 جنيهًا و 2.99 جنيهًا إسترلينيًا ، وهو ما كان يمكن أن يمتلكه ماثيو بين 2.51 دولار و 2.99 دولارًا.

ثم أعدت انتباه الطلاب إلى السؤال الأصلي. "وفقًا للمقياس الرقمي للبقالة ، يزن جراد البحر أكثر من اثنين وستة وخمسين جزءًا من مائة ولكن أقل من اثنين وسبعة وخمسين رطلاً على المائة. كم تعتقد أن جراد البحر يزن؟ " أشرت إلى اللوحة حيث كتبت 2.56 رطل و 2.57 رطل. "عصف ذهني مع شريكك الأوزان المحتملة بينهما. تأكد من موافقتك على الأرقام التي توصلت إليها ، ومعرفة كيفية نطقها ، وقادر على شرح تفكيرك ".

حاول عدة أزواج من الطلاب الربط بين المال والوزن ، لكن سرعان ما أدركوا أنه لا يوجد شيء أقل من فلس واحد في نظام المال لدينا. كان العديد من الطلاب قادرين على افتراض أنه يمكنهم إضافة منزلة عشرية أخرى خلف الرقم الأخير كما فعلوا عندما كان وزن الكركند أكثر من 2.5 رطل - 2.561 أو 2.562 رطل ، على سبيل المثال. ومع ذلك ، كانوا يجدون صعوبة في قراءة الحلول الممكنة.

لمساعدة الطلاب على قراءة الكسور العشرية ، قمت بإدراج ثلاثة أرقام عشرية على السبورة:

قلت: "دعونا نقرأ الرقم الأول على السبورة بصوت عالٍ". الطلاب فعلوا ذلك بسهولة. كررت هذا للرقم الثاني ، ومرة ​​أخرى تمكن الطلاب من القيام بذلك.

"ماذا عن الرقم الأخير؟" انا سألت. "أيه أفكار؟"

حاول لويس. قال "إنه مئتان وخمسمائة واثنان وستون شيء".

"أنت على حق. الآن ماذا عن جزء "الشيء"؟ " انا سألت.

قالت جيني: "أتذكر". "عندما كان لدينا المكعب الكبير يكون واحدًا ، فإن المكعب الصغير كان ألفًا." تذكرت جيني استكشافنا السابق باستخدام الكتل العشرة الأساسية.

صححت "الألف" ، مؤكدة على أن النهاية. كتبت على السبورة:

"لذا ، إذا جمعت ما قاله لويس وجيني معًا ، فسيكون الرقم اثنان وخمسمائة واثنين وستين جزءًا من الألف. قمت أيضًا بكتابة الرقم على السبورة باستخدام الكلمات لمساعدة الطلاب الذين يجدون أنه من الأسهل التعلم من خلال القراءة بدلاً من الاستماع.

اثنان وخمسمائة واثنان وستون جزء من الألف

قرأنا الرقم بصوت عالٍ ، ثم سألت الطلاب عن حلول للسؤال حول الأوزان البينية. عندما كان الطلاب ينادون بالإجابات ، قمت بكتابتها على السبورة. اتفق معظمهم على أن أقل وزن يمكن أن يزن جراد البحر كان 2.561 رطلاً وأقصى وزن يمكن أن يزن 2.569 رطلاً.

ثم سأل بلير ، "ألا يمكن أن يكون للكركند أوزان أكثر من ذلك بكثير؟"

"هل يمكنك الخروج وإظهار رأيك؟" انا سألت. وافق بلير. جاءت وكتبت 2.561 في أقصى الجانب الأيسر من اللوحة و 2.569 في أقصى اليمين. ثم ، تحت الرقم 2.561، أدرجت 2.561 تسع مرات. في نهاية الأول 2.561 في قائمتها ، أضافت 1 لجعلها 2.5611. في نهاية الثانية 2.561، وأضافت أ 2. واصل Blaire أسفل القائمة ، وقام بإنشاء سلسلة من الأرقام لكل منها أربعة منازل عشرية:

قال بلير ، "أعتقد أن هذا يمكن أن يستمر." عندما كتب بلير الأرقام في عمود ثم أضاف الأرقام من 1 إلى 9 ، فتح للآخرين طريقة جديدة للتفكير في الكسور العشرية.

"هل لدى أي شخص فكرة عن كيفية قراءة الرقم الأول في قائمة بلير؟" انا سألت.

قال ماديسون ، "إذا اتبعت النمط ، فإنك تفعل عشرة أضعاف الألف ، لكنني لا أعرف ما هو."

قالت ميشا ، "أراهن أنها عشرة آلاف."

"كيف تقرأ الرقم؟" انا سألت.

قلت ، "اسمع كما قرأت الرقم الأول." أشرت إلى كل رقم في 2.5611 كما قلت ، "إنه اثنان وخمسة آلاف وستمائة وأحد عشر إلى عشرة آلاف. عندما يكون لديك أربعة أرقام بعد الفاصلة العشرية ، فإن الرقم يشير إلى عشرة آلاف ".

سأل إسحاق ، "إذن ما هو الجواب؟ ما الذي يمكن أن يزن جراد البحر؟ "

"ما رأيك؟" أجبته.

قال: "لا أعتقد أن هناك إجابة واحدة صحيحة". "أعتقد أن هناك الكثير من الإجابات."

لإنهاء فترة الدرس ، أعطيت واجبًا منزليًا. قلت ، "فكر فيما ناقشناه اليوم وقرر ما إذا كنت تتفق مع إسحاق وبلير. أجب على هذا السؤال." كتبت على السبورة:

هل هناك عدد لا حصر له من الأوزان الممكنة بين 2.56 رطل. و 2.57 رطل.؟ اشرح تفكيرك وأعط أمثلة.

(انظر الأشكال 1-3 في الصفحات التالية).

الشكل 1. اتفق جاستن مع بلير وكان واضحًا بشأن العدد اللامتناهي للأوزان بين 2.56 رطل. و 2.57 رطل.

الشكل 2. عندما طُلب من لويس أن يكتب ، أوضح أنه لم يفهم تفسير بلير.

الشكل 3. كتب ماثيو أن هناك أوزانًا بين 2.56 رطل. و 2.57 رطل ، لكن الأمثلة التي قدمها أظهرت عدم فهمه.

المنشورات ذات الصلة:
تدريس الحساب: دروس للأعداد العشرية والصفوف 5-6
بواسطة كاري ديفرانسيسكو ومارلين بيرنز

من العدد 10 من النشرة الإخبارية على الإنترنت ، صيف 2003

مخططات فين والنسبة المئوية

قمت برسم مخطط Venn كبير على السبورة وقمت بتسمية كل دائرة من الدوائر الثلاث المتقاطعة: لقد تلقيت دروسًا في الآلات الموسيقية ، لا تحب البابايا ، يحتوي عنوان الشارع على ثلاثة أرقام بالضبط. أثار اهتمام الطلاب عندما كتبت الأحرف الأولى من اسمي على ملاحظة Post-it مقاس 1 × 2 بوصة ووضعتها في تقاطع الدوائر الثلاث.

شرحت ، "كل دائرة تصف شيئًا صحيحًا عني ، لذلك أضع الأحرف الأولى من اسمي في التقاطع. هذا هو المكان الوحيد في مخطط فين هذا الموجود داخل كل مجموعة من المجموعات الثلاث ". استعرض توضيحي المصطلحات المتعلقة بمخططات فين.

"ما هي الأشياء الثلاثة التي تعرفها عني الآن؟" انا سألت.

قالت روز: "أنت تعزف على آلة موسيقية ، ولا تحب البابايا ، ورقم منزلك به ثلاثة أرقام".

قلت "الآن سأقوم ببعض التخمينات حول فصلنا". كتبت على السبورة:

  • 45٪ يلعبون الآلات الموسيقية
  • 25٪ لا يحبون البابايا
  • 33٪ يعيشون في عناوين مكونة من ثلاثة أرقام بالضبط

تابعت: "أيضًا ، أعتقد أن شخصًا واحدًا فقط في الفصل ينتمي إلى المركز معي. نظرًا لوجود خمسة وعشرين منا جميعًا معًا ، فما النسبة التي أتوقع أنها ستكون في التقاطع؟ "

قال جيسون ، بصوت عالٍ وثابت ، "كل شخص يساوي 4 في المائة لأن هناك خمسة وعشرون في المائة."

وأضافت لورين أن "شخصين سيكونان 8 بالمائة". كتبت على السبورة:

ثم أعطيت كل طالب ملاحظة لاصقة لاستخدامها في الأحرف الأولى من اسمه. ثم طلبت من ماريان أن تصعد إلى السبورة وتضعها على مخطط فين.

قالت ماريان: "أنا في حيرة من أمري". "أتلقى دروسًا في الموسيقى ويتكون عنواني من ثلاثة أرقام بالضبط ، لكني لا أعرف ما إذا كنت أحب البابايا. أعتقد أنني بحاجة إلى ملصق آخر ".

كان لدى هارون فكرة. "نظرًا لأنك لا تعرف ما إذا كنت تحب البابايا أم لا ، ما عليك سوى أن تكون في الدوائر التي تقول إنك تعيش في منزل بثلاثة أرقام وأنك تأخذ دروسًا في الموسيقى." جاء وساعد ماريان في وضع مذكرتها اللاصقة.

"هل هناك أي شخص لا ينتمي إلى أي دائرة؟" انا سألت. رفع جيفري يده.

"لذا ، هل يجب على جيفري التخلص من مذكرته اللاصقة؟ انا سألت.

وعلقت لورين قائلة "إنه لا يزال جزءًا من الفصل".

قال جيفري أثناء صعوده ووضع ملصقاته خارج الدوائر الثلاث: "أعتقد أنني أخرج". أومأت بموافقي.

بعد ذلك ، وضعتُ زمي في القسم الذي كان بداخل الدائرة بعنوان "له عنوان مكون من ثلاثة أرقام بالضبط" ولكن ليس في أي مجموعة أخرى.

"ما هو صحيح في شخص ما قد يضع الملصق الخاص به أو لها هنا؟" انا سألت. حددت لويز بشكل صحيح أن عنوان هذا الشخص يتكون من ثلاثة أرقام.

"ماذا تعرف أيضًا عن هذا الشخص؟" انا سألت.

اعتقد الجميع للحظة. ثم قالت لويز: "إنهم لا يحبون البابايا ولا يعزفون على آلة موسيقية."

ثم قلت ، "الآن ستضع جميع ملاحظاتك الملصقة في المكان الذي تنتمي إليه. إذا لم تكن متأكدًا ، فاستشر صديقًا ". جعلت الطلاب يصعدون إلى السبورة في مجموعات صغيرة. كان بعض الأطفال يعرفون بالضبط أين يضعون ملاحظاتهم اللاصقة ، وكان آخرون مترددون. لكن المحادثة المتحركة ساعدت كل طالب على اتخاذ القرار.

بعد أن نشر جميع الطلاب الأحرف الأولى من اسمهم ، قمنا بإحصاء الملاحظات اللاصقة للتحقق من وجود 25 منهم. لقد سمحت بدقيقة واحدة لفحص النتائج بصمت. ثم قمنا بتدوين المعلومات وقمنا بتسجيلها على السبورة:

  • 15 تلقوا دروسًا في الموسيقى
  • 9 لها عناوين مكونة من ثلاثة أرقام بالضبط
  • 5 ـ يكره البابايا

قلت: "دعونا نفهم ما هي النسبة المئوية من صفنا في الواقع لكل فئة". "لا تحاول الوصول إلى الآلات الحاسبة الخاصة بك - أود منا أن ندركها في رؤوسنا." الآلات الحاسبة متاحة للطلاب في جميع الأوقات ، لذلك لم يكن هذا اتجاهًا نموذجيًا. ومع ذلك ، أردت أن يفكر الطلاب عقليًا ويتحدثوا عن تفكيرهم. شعرت أن المناقشة ستساعد الطلاب الذين لم يكونوا على ثقة. للمساعدة ، كتبت على السبورة ما قاله جيسون بالفعل:

سألت ، "كم عدد الأشخاص الذين سيمثلون 50 بالمائة؟"

قالت لورين بتمعن: "اثنا عشر ونصفًا ، لكن لا يمكنك الحصول على نصف شخص ، لذلك أعتقد أنه لا يمكننا الحصول على نسبة 50 في المائة بالضبط في أي فئة."

قال توم: "لا يمكننا أيضًا الحصول على 10 بالمائة". "كلا ، سيكون ذلك شخصين ونصف."

قلت: "دعونا نرى مدى نجاحي في التخمينات". "خمسة عشر من أصل خمسة وعشرين منا يأخذون دروسًا في الموسيقى. هل هي أكثر من 50 في المائة أم أقل من 50 في المائة؟ " يعتبر معيار النصف مفيدًا لحساب النسب المئوية الدقيقة.

قال بول: "إنه أكثر من النصف ، لكن ليس بعيدًا جدًا". "أعتقد أنها 60 في المائة."

أجاب بول ، "أعلم أنه يمكن اختزال خمسة عشر وعشرين خمسًا إلى ثلاثة على خمسة ، وأنا أعلم أن كل واحد على خمسة هو 20 بالمائة. لذلك كنت بحاجة إلى ثلاثة 20 في المائة ".

"I fteen فاي فقط تضاعفت أربع منذ كنت أعرف أن كل شخص بقيمة 4 في المئة"، وقال انه انضم إسحاق في.

أضاف توم: "أعلم أن 100 في المائة من الناس سيكونون في الخامسة والعشرين ، لذا فإن عشرة أشخاص ، أو 40 في المائة ، ليسوا في الدائرة. ستون في المئة. "

"حسنًا ، كيف فعلت؟" انا سألت.

قال آلان: "ليس جيدًا". "خمنت أن أقل من نصفنا كان أكثر من النصف."

ردت سارة ، "لكنها كانت خصم 15 في المائة فقط."

قال ديفيد ، "خمسة عشر في المائة تقريبًا أربعة أشخاص ، وفي فصل مكون من خمسة وعشرين عامًا ، هذا ليس سيئًا للغاية."

ثم اكتشفنا أن 36 بالمائة يعيشون في عناوين مكونة من ثلاثة أرقام وأن 20 بالمائة لا يحبونها
بابايا.

بعد ذلك ، قمت بتوزيع ورق الصحف والعلامات وطلبت من الطلاب رسم مخططات Venn بثلاث دوائر متقاطعة ، ووضع علامة على كل منها ، وتخمين عدد الفصل الذي سيقع في كل فئة. في نهاية الفصل ، جمعت الأوراق. في اليوم التالي ، قمت بإعادة توزيعها وجعلت كل طالب يسجل الدخول على مخطط فين الخاص بكل شخص آخر. قام الطلاب بعد ذلك بحساب النسب المئوية للأشخاص الذين ليسوا في كل فئة. كان هناك قدر كبير من التعاون ، وكانت المناقشة الصفية التي أعقبت ذلك غنية ومثمرة.

من النشرة الإخبارية على الإنترنت العدد 3 ، خريف 2001

المنشورات ذات الصلة:
الواجب المنزلي الرياضيات المهم ، الصفوف 4-6
بواسطة أنيت رافيل

جمع وطرح الكسور العشرية

في لعبة الشريك هذه ، يتدرب طلاب الصف الخامس على جمع وطرح الكسور العشرية.

مفتاح تعلم الرياضيات هو فهم & # 8220 لماذا & # 8221 وراء & # 8220how & # 8221. HMH في الرياضيات يؤكد على أهمية إنشاء فهم مفاهيمي ويعزز هذا الفهم من خلال الممارسة الإجرائية. يطلب نموذج التعلم من الطلاب أولاً تطوير تفكيرهم قبل ربط فهمهم بالمفاهيم والمهارات.

HMH في الرياضيات أكثر من مجرد حل ، إنها رؤية لنمو الطلاب.

HMH في الرياضيات تم بناؤه لضمان النمو لكل طالب.

مع المعلمين الواثقين والطلاب المتمكنين ، تصبح الرحلة نحو العمق الحقيقي للفهم وثقافة النمو في كل فصل دراسي للرياضيات حقيقة قابلة للتحقيق.

HMH في الرياضيات يتضمن أنشطة التعلم التي تشجع المثابرة المنتجة لتحويل الخوف من الرياضيات إلى حماس الرياضيات.

إدخال ضرب الكسور

يعد تعليم ضرب الكسور ، بطريقة ما ، أمرًا بسيطًا - قاعدة الضرب عبر البسط والمقام يسهل على المدرسين تدريسها وعلى الطلاب التعلم. ومع ذلك ، فإن التدريس حتى يتمكن الطلاب أيضًا من تطوير الفهم هو أمر أكثر تطلبًا ، وتتناول مارلين بيرنز هذا في كتابها الجديد تعليم الحساب: دروس لضرب الكسور وقسمتها للصفوف 5-6 (منشورات حلول الرياضيات ، 2003). في المقتطف التالي من الفصل 2 ، تبني مارلين على ما يعرفه الطلاب عن ضرب الأعداد الصحيحة لبدء تطوير فهم ما يحدث عندما نضرب الكسور.

لقد بدأت الدرس بنشر مخطط العبارات "الحقيقية" حول ضرب الأعداد الصحيحة التي أنشأتها سابقًا مع الفصل:

  1. الضرب هو نفسه الجمع المتكرر عندما تضيف نفس الرقم مرارًا وتكرارًا.
  2. تايمز تعني "مجموعات من."
  3. يمكن عرض مسألة الضرب على شكل مستطيل.
  4. يمكنك عكس ترتيب العوامل ويظل المنتج كما هو.
  5. يمكنك فصل الأرقام عن بعضها لتسهيل عملية الضرب.
  6. عندما تضرب رقمين ، يكون حاصل الضرب أكبر من العوامل إلا إذا كان أحدهما صفرًا أو واحدًا.

خططت لاستخدام هذه العبارات كأساس لمساعدة الطلاب على التفكير في ضرب الكسور. في البداية أشرت إلى البيان الأول:

1. الضرب هو نفسه الجمع المتكرر عند جمع نفس العدد مرارًا وتكرارًا.

"هل تعتقد أن هذا صحيح عندما نفكر في الكسور؟" انا سألت. كتبت على السبورة:

تابعت "تحدث مع جارك حول كيفية فهم هذه المشكلة من خلال الإضافة المتكررة".

بعد بضع دقائق ، اتصلت بخوانيتا. قالت ، "أعتقد أنه يمكنك فعل ذلك بإضافة النصف مرة تلو الأخرى. فعلت نصف زائد نصف ، هكذا ، ست مرات. أعتقد أن الجواب هو ثلاثة ". كتبت على السبورة:

"كيف حصلت على إجابة الثلاثة؟" انا سألت.

ردت خوانيتا ، "نصف زائد نصف هو واحد كامل ، ويمكنك فعل ذلك ثلاث مرات ، وتحصل على ثلاثة." كتبت:

وأضاف إيدي ، "يبدو الأمر كما لو كان لديك شيء آخر ست مرات ، يمكنك إضافة شيء آخر ست مرات ، وهذا ما فعلته خوانيتا بالنصفين."

"إذن ، هل هذه العبارة الأولى تعمل على الضرب في كسر؟" انا سألت. أومأ الطلاب بموافقتهم ، وكتبت "موافق" بجوار العبارة الأولى.

ثم أشرت إلى البيان الثاني:

"هل يعقل قراءة" ستة أضعاف النصف "على أنها" ست مجموعات من النصف "؟" أومأ معظم الطلاب برأسهم.

وأضاف شاول: "الجواب لا يزال ثلاثة". كتبت موافق بجوار البيان الثاني ثم أشرت إلى العبارة الثالثة:

3. يمكن إظهار مشكلة الضرب على شكل مستطيل.

سألت ، "هل يمكننا رسم مستطيل لإظهار ستة ضرب نصف؟" لم يكن الطلاب متأكدين.

قلت ، "لنفترض أن المشكلة كانت ستة أضعاف واحد" ، وأنا أكتب 6 × 1 على السبورة. كان الطلاب على دراية باستخدام المستطيلات لضرب الأعداد الصحيحة. لقد رسمت مستطيلًا ، وقلت كما فعلت ذلك ، "طول أحد جانبي المستطيل ست وحدات وطول الجانب الآخر من المستطيل وحدة واحدة". قمت بتسمية الجانبين 6 و 1 ثم قسمت المستطيل إلى ستة مربعات صغيرة.

قلت: "انظر إذا كان هذا المستطيل يساعدك على التفكير في كيفية رسم مستطيل لإظهار ستة أضعاف النصف".

قالت كايلا ، "فقط اقطعها إلى نصفين."

"ما هي الطريقة التي يجب أن أقطع بها المستطيل؟" انا سألت.

قالت كايلا "جانبية". قسمت المستطيل كما اقترحت كايلا ، ثم مسحت 1 واستبدلت به 1 مكتوبًا مرتين. أيضًا ، قمت بالتظليل في النصف السفلي للإشارة إلى أنه لم يكن جزءًا من المشكلة.

"النصف العلوي من المستطيل هو ست وحدات في نصف وحدة ويظهر المسألة ستة في نصف. يظهر النصف المظلل السفلي نفس المشكلة مرة أخرى ، لكننا لسنا بحاجة إلى النظر في كليهما. كم عدد المربعات الموجودة في المستطيل غير المظلل؟ هل هذا لا يزال يعطي إجابة من ثلاثة؟ "

أوضح داميان ، "النصفان يصنعان الكل ، وأنت تفعل ذلك ثلاث مرات ، لذا فإن النصفين الستة يشكلان ثلاثة مربعات كاملة. ثلاثة لا يزال الجواب ".

"ولكن ماذا لو كان كلا الرقمين كسرين؟" تحدى جوليو.

قلت: "دعونا نجرب واحدة". كتبت على السبورة:

قررت أن أوضح للطلاب طريقة للتفكير في تمثيل المشكلة باستخدام مستطيل. "عندما أرسم مستطيلاً لمسألة ضرب مع كسور ، أجد أنه من الأسهل أولاً رسم مستطيل بأضلاع عدد صحيح. لذا ، بالنسبة لهذه المشكلة ، أفكر في مستطيل واحد تلو الآخر ، "قلت. رسمت مربعًا على السبورة ، وسميت كل جانب بالرقم 1 ، ثم تابعت ، "هذا المستطيل مربع لأن كلا العاملين متماثلان. يظهر أن واحد في واحد يساوي واحد. شاهد الآن وأنا أرسم مستطيلًا داخل هذا المستطيل مع جوانب يقيس كل منها نصفًا ". لقد قسمت المربع ، مظللًا في الجزء الذي لم نكن بحاجة إلى النظر فيه لإظهار جزء 1/2 في 1/2 في الزاوية اليسرى العليا ، وقمت بتسمية كل جانب 1/2.

قلت ، "الجزء غير المظلل له جوانب يمثل كل منها نصف وحدة. ما مقدار المربع الواحد تلو الآخر غير المظلل؟ "

أجاب العديد من الطلاب "ربع".

كان شاول متشككًا. سأل: "هل تقصد أن نصف ضرب النصف هو ربع؟" أومأت.

"لكن هل توافق على أن المستطيل غير المظلل له جوانب نصف كل منها؟" انا سألت. أومأ شاول برأسه.

"لكنك غير متأكد من صحة إجابة الربع؟" انا سألت. مرة أخرى ، أومأ شاول برأسه.

قلت: "دعونا نرى ما إذا كانت العبارات الأخرى يمكن أن تساعدك في معرفة السبب". كنت أعرف أنه إذا فكر الطلاب في المشكلة على أنها "نصف النصف" ، فإنهم سيوافقون على إجابة الربع. خططت لتطوير هذه الفكرة ، واستخدمت العبارة التالية للقيام بذلك.

أشرت إلى البيان التالي:

4. يمكنك عكس ترتيب العوامل ويبقى المنتج كما هو.

علق كريج ، "يجب أن ينجح ذلك." وافق آخرون.

قال بريندان: "لكن هذا لا يهم لنصف ضعف النصف". "إذا قمت بتبديلها ، فلا تزال لديك نفس المشكلة."

قلت ، "حسنًا ، لنفكر في هذا البيان للمشكلة الأولى التي حلناها - ستة أضعاف نصف. ماذا لو فكرنا في المشكلة على أنها نصف ضرب ستة؟ " كتبت على السبورة:

تابعت ، "إذا فكرنا في علامة الأوقات على أنها" مجموعات من "، فإن نصف ضرب ستة يجب أن يكون" نصف مجموعات من ستة ". من المنطقي ، مع ذلك ، أن تقول "نصف مجموعة من ستة" أو "نصف من ستة" ، وترك جزء "المجموعات". كلاهما يبدو أفضل ، ولا يزالان نفس الفكرة. ماذا تعتقد أن "نصف ستة" يمكن أن يعني؟ "

قالت سابرينا: "إنه نفس الشيء". "نصف ستة يساوي ثلاثة ، لذلك نصف ضرب ستة يساوي ثلاثة ، وهذا هو نفسه ستة في نصف."

قلت ، "دعونا نفكر في نصف مرة ونصف بالطريقة نفسها. ما هو نصف النصف؟ "

سمعت عدة إجابات. "رابعة." "ربع." "ربع."

"إذن ما رأيك في عكس ترتيب العوامل عندما تكون العوامل عبارة عن كسور؟" انا سألت.

اتفق الطلاب على أنها ستنجح ، لذلك كتبت "موافق" بجوار البيانين 3 و 4.

قلت: "لنلق نظرة على البيان الخامس" ، مشيرًا إليه:

5. يمكنك تفكيك الأرقام لتسهيل عملية الضرب.

"تحدث مع جارك حول كيفية تطبيق هذا البيان على المشكلة ستة أضعاف النصف."

بعد لحظات قليلة ، اتصلت برندان. قال: "إنها تعمل. يمكنك تقسيم الستة إلى اثنين ، ثم تقوم بذلك مرتين في واحد على نصف ثلاث مرات. اثنان في نصف يساوي واحدًا. واحد زائد واحد زائد واحد يساوي ثلاثة. لذا فهو يعمل ". كتبت على السبورة:

قالت أنيتا ، "قسمنا الستة إلى أربعة واثنين. نصف أربعة يساوي اثنين ونصف اثنين يساوي واحد واثنين زائد واحد يساوي ثلاثة. إنها تعمل." سجلت:

لقد كتبت "موافق" بجانب البيان. قلت: "بقي لدينا بيان واحد" ، مشيرةً إليه:

6. عندما تضرب رقمين ، يكون حاصل الضرب أكبر من العوامل إلا إذا كان أحدهما صفرًا أو واحدًا.

سألت ، "هل هذه العبارة صحيحة لستة ضرب النصف؟"

قال ساتشي: "إنه لا يعمل". "ثلاثة أصغر من ستة ، لذا فهو لا يعمل."

"هل يمكننا تغيير العبارة حتى تعمل؟" انا سألت.

قال جوليو ، "يجب أن يقول في النهاية" ما لم تكن العوامل صفرًا أو واحدًا أو كسرًا ". لقد قمت بتعديل البيان كما اقترح جوليو:

6. عندما تضرب رقمين ، يكون حاصل الضرب أكبر من العوامل ما لم يكن أحد العوامل صفرًا أو واحدًا أو كسرًا.

فكرت في كيفية الرد. إذا كان أحد العوامل أقل من واحد ، فإن فكرة جوليو تعمل. ولكن إذا كان الكسر أكثر من واحد ، فقد لا تنجح فكرة جوليو. كنت أرغب في الاعتراف بفكرة جوليو ولكن أيضًا منحته الفرصة لتحسينها. لقد طرحت مشكلة بها كسر كواحد من العوامل التي كانت الإجابة لها أكبر من كلا العاملين. قلت ، "هذه فكرة جيدة ، لكنني أعتقد أنها تحتاج إلى مزيد من المعلومات. فكر في هذه المسألة - ستة في ثلاثة أنصاف. هذا هو نفسه ست مجموعات من ثلاثة أنصاف ". كتبت على السبورة:

قلت: "تحدث مع جارك حول الجواب على هذه المشكلة". بعد دقيقتين ، اتصلت بكريغ.

قال: "لدينا تسعة". "علمنا أن ثلاثة على اثنين هي نفسها نصف ونصف ، وواحد ونصف زائد واحد ونصف يساوي ثلاثة ، وثلاثة زائد ثلاثة زائد ثلاثة يساوي تسعة ، لذا فإن الإجابة هي تسعة." لقد سجلت فكرة كريج على السبورة:

تابع كريج ، "وتسعة أكبر من ستة أو ثلاثة أنصاف. لذا فإن البيان لا يعمل. إنها تعمل بالطريقة التي كانت عليها من قبل ، لكنها لا تعمل بالطريقة التي غيرتها بها ".

قال جوليو: "أعتقد أنه يمكنني إصلاح ما قلته". "يجب أن يكون الكسر أصغر من واحد. لذا فإن أي رقم يكون صفرًا أو واحدًا أو بينهما يكون إجابة أصغر من العوامل ".

"إذن ماذا يجب أن أكتب لتغيير العبارة؟" انا سألت.

قال جوليو ، "في النهاية ، اكتب" صفرًا أو واحدًا أو كسرًا أصغر من واحد ". كتبت على السبورة:

6. عندما تضرب رقمين ، يكون حاصل الضرب أكبر من العوامل ما لم يكن أحد العوامل صفرًا أو واحدًا أو كسرًا أصغر من واحد.

أومأ خوليو وآخرون برأسهم. لقد كتبت "موافق" بجانب البيان المنقح.

كان هذا هو الدرس الأول الذي خططت لتعليمه حول ضرب الكسور. في الدروس اللاحقة ، طورت فهم الطلاب ومهاراتهم.

من النشرة الإخبارية على الإنترنت العدد 12 ، شتاء 2003-2004

متى يكون الكسر يساوي النصف؟

بعد أن اكتسب الفصل خبرة في مقارنة كسرين باستخدام النصف كمعيار ، كتبت على السبورة:

قلت: "ارفع يدك إذا كان بإمكانك أن تشرح لماذا هذا الكسر يعادل النصف". انتظرت حتى رفع كل طالب يده. في حين أن السؤال كان تافهاً بالنسبة لمعظم الطلاب ، فقد خططت للبناء على فهمهم وإجراء مناقشة في الفصل حول طرق مختلفة لتحديد أن الكسر يعادل النصف. أيضًا ، خططت لتجميع التفسيرات التي قد يقدمونها في قائمة وتمثيلها جبريًا ، مما يمنح الطلاب خبرة في استخدام المتغيرات لوصف العلاقات العددية العامة.

قبل دعوة أي طالب للرد ، أعطيت توجيهًا. "تأكد من الاستماع إلى ما يقوله الآخرون ومعرفة ما إذا كانت فكرتك هي نفسها أو مختلفة. إذا كانت لديك طريقة مختلفة ، فقم برفع يدك مرة أخرى. أنا مهتم بمعرفة عدد الطرق المختلفة التي يمكننا التوصل إليها لشرح ما يجعل الكسر يعادل النصف ".

أفاد جيك أولاً. قال: "أضفت القمة مرتين لترى ما إذا كانت تصنع القاع".

كنت أعرف ، أو اعتقدت أنني أعرف ، ما كان يقوله جيك. لكن رده منحني الفرصة للضغط من أجل مزيد من الوضوح منه.

قلت: "أخبرني ماذا تقصد بالكسر الذي كتبته على السبورة".

قال: "ستذهب ستة زائد ستة وتحصل على اثني عشر".

قلت "أوه". "لقد أضفت ستة إلى نفسه." أومأ جيك بموافقته.

أكدت "هذا يعمل". "هل يمكنك قول فكرتك مرة أخرى ، ولكن هذه المرة استخدم الكلمتين البسط والمقام بدلاً من الكلمات العلوية والسفلية؟"

قال جيك ، "اذهب إلى البسط مع البسط لترى ما إذا كانت الإجابة هي المقام." ثم كتبت على السبورة:

إذا كان البسط مع البسط يساوي المقام ، فإن الكسر يساوي 1 ⁄2.

"من لديه طريقة مختلفة لتحديد ما إذا كان الكسر يساوي النصف؟" انا سألت. دعوت روزي.

قالت ، "اضرب البسط في اثنين وانظر إذا كان الجواب هو المقام." كتبت على السبورة:

إذا كان البسط في 2 يساوي المقام ، فإن الكسر يساوي 1 ⁄2.

قال دونالد: "لدي طريقة أخرى". "إذا دخل البسط في المقام مرتين ، فسيكون الكسر نصفًا." كتبت:

إذا دخل البسط في المقام مرتين ، فإن الكسر يساوي 1 ⁄2.

قلت للفصل ، "لقد تعبت يدي من كتابة أفكارك. تتمثل إحدى فوائد الرياضيات في أن لدينا رموزًا لوصف الأفكار ولا يتعين علينا استخدام الكلمات طوال الوقت. الرموز مثل الاختصارات. معرفة ما إذا كنت تفهم كيف يمكنني تسجيل أفكار جيك وروزي ودونالد في الرياضيات ، وليس اللغة الإنجليزية. "

التفت إلى السبورة ، موضحًا كما كتبت. "بدلاً من كتابة البسط والمقام مرات ومرات ، سأستخدم اختصارًا لكلٍّ من: n و d. من يستطيع أن يشرح لماذا هذا منطقي؟ " كنت قد كتبت:

أجاب كارل ، "لقد استخدمت للتو الحرف الأول."

قلت ، "انظر إلى هذا الكسر" ، كتابة 3 ⁄4 على اللوحة. "بالنسبة لهذا الكسر ، ن ثلاثة و د أربعة. "

قال ستيفن: "لكنها ليست النصف".

قال جينا: "لا أفهم لماذا n هي ثلاثة و d هي أربعة".

"من يستطيع أن يشرح؟" انا سألت. دعوت بيتر.

قال: "لأن الرقم ثلاثة هو أعلى رقم في الكسر ، لذا فهو البسط". "وأربعة هو الرقم السفلي ، لذلك فهو المقام."

"لكن الجزء الذي كتبته - ن خلال د- ليس جزءًا حقيقيًا ، "قال جينا.

كانت فكرة المتغيرات الجبرية جديدة بالنسبة لهؤلاء الطلاب وحاولت شرحها. قلت: "إنه ليس جزءًا محددًا". "افترض أنك ذهبت إلى المنزل وأخبرت والدتك أن معلمك أعطاك واجبات منزلية. إذا كان ذلك واجبًا منزليًا في الرياضيات ، فأنت تشير إلي. ولكن إذا كانت واجبات علمية منزلية ، أو تقريرًا عن كتاب ، أو أي شيء يتعلق بالفن ، فأنت تتحدث عن مدرس مختلف. "المعلم" هو وصف عام "السيدة سيكون وصف بيرنز وصفًا محددًا. بالطريقة نفسها ، "n على d" هو اسم عام يمكن أن يعني أي كسر ، لكن "ستة على اثني عشر" يشير إلى كسر معين لأنك تعرف الآن الأرقام التي تفكر فيها للبسط والمقام. "

لم أكن متأكدًا مما إذا كانت جينا قد فهمت ، لكنني ضغطت. "شاهد وأنا أترجم فكرة جيك إلى اختصار رياضي. إذا كان ذلك منطقيًا بالنسبة لك ، فمن المؤكد أنه سيوفر لنا بعض طاقة الكتابة ". كتبت على السبورة بجوار الجملة التي كتبتها لوصف فكرة جايك:

تابعت ، "وشاهد ما يمكنني كتابته لفكرة روزي." كتبت:

"ما الذي يمكنني كتابته لفكرتك ، يا دونالد ، باستخدام n و d؟" انا سألت.

فكر دونالد للحظة ثم سأل ، "هل يمكنني أن أصعد وأكتبها؟" قد وافقت. جاء واستخدم الترميز لقسمة الأعداد الصحيحة للتسجيل. هو كتب:

تدوين القسمة هذا ليس معيارًا للتمثيل الجبري ، وهو ما أردت أن يعرفه دونالد والآخرون. لكنني أردت أيضًا تكريم مساهمة دونالد ، التي كانت صحيحة من حيث المفهوم ، ولكن ليس في العرف. قلت: "ما كتبته يبدو منطقيًا بالنسبة لي". "انظر إذا كانت هذه الطريقة تصف فكرتك أيضًا. هذه هي الطريقة التي سترى بها فكرتك عادة في كتب الرياضيات ". كتبت:

ثم عدت إلى مناقشة الطرق الأخرى لمعرفة ما إذا كان الكسر يعادل النصف. اتصلت بجينا ، التي بدت الآن أكثر ثقة.

قال جينا: "إذا كان البسط نصف المقام ، فهو يعمل". كتبت على السبورة:

خطرت لجورج فكرة أخرى. "إذا كان بإمكانك قسمة المقام على اثنين والحصول على البسط ، فسيكون ذلك نصفًا." سجلت:

ثم قلت ، "ارفع يدك عندما تفكر في كسر آخر يعادل النصف." بعد لحظة ، رفع الجميع أيديهم باستثناء جوناثان وكوني.

"هل لديك كسر يا جوناثان؟" انا سألت. هز رأسه ورفع يده. وكذلك فعلت كوني.

بدأت حول الغرفة حيث يخبرني الطلاب بالكسور ، وقمت بتسجيل اقتراحاتهم على السبورة. عندما اتصلت بأديسون ، قال ، "مائة إلى مائتين." كان هناك اندلاع للضحكات تبعها سلسلة من اقتراحات الكسور الأخرى التي تسببت في المزيد من الضحك: "خمسمائة إلى واحد من الألف". "من ألف إلى اثنين من الألف." "مليون - اثنان من المليون." لقد كتبت كلًا من هذه على السبورة:

اتخذت علي اتجاهًا آخر عندما جاء دورها. قالت: "سبعة ونصف - خمسة عشر". كتبت على السبورة:

يتبع الآخرون مع كسور مماثلة.

ثم سألت ، "كم عدد الكسور التي تعتقد أنه يمكنك كتابتها والتي تعادل النصف؟"

"ما لا نهاية!" أجاب العديد في نفس الوقت.

قلت ، "أوافق على وجود عدد لا نهائي من الكسور التي تعادل النصف.

يمثل تمثيل أفكارك جبريًا كما فعلت على الرسم البياني طريقة سهلة للإشارة إلى العديد والعديد من الكسور ".

ثم أعطيت الفصل مهمة. شرحت ، "سأكتب عشرة كسور على السبورة". "قرر ما إذا كان كل منها يساوي نصفًا أم أقل من نصف أم أكثر من نصف. اشرح على ورقتك أسبابك لكلٍّ منها ".

أدرجت على السبورة الكسور العشرة التي يجب على الطلاب أخذها في الاعتبار:

10. 1,000 ⁄2,000

انظر الشكلين 1 و 2 في الصفحات التالية للحصول على أمثلة لكيفية عمل الطلاب في هذه المهمة.

الشكل 1. استخدم بريت مخططًا لتقديم الإجابات.

الشكل 2. أظهرت ورقة تومي فهمه.

من النشرة الإخبارية على الإنترنت العدد 4 ، شتاء 2001-2002

بقايا طعام 100

كتاب ماريان ويكيت ومارلين بيرنز الجديد ، تدريس الحساب: دروس لتوسيع الشعبة للصفوف 4-5 (منشورات Math Solutions ، 2003) ، يبني على المفاهيم والمهارات المقدمة في تدريس الحساب: دروس إدخال الشعبة للصفوف 3-4 (منشورات حلول الرياضيات ، 2002). يساعد كتابهم الجديد الطلاب في الحساب باستخدام القواسم والأرباح متعددة الأرقام (باستخدام طريقة منطقية بالنسبة لهم!) كما يعمق فهم الطلاب لقابلية القسمة والعلاقات بين الأرباح والمقسومات ومعاني الباقي. الدرس المقدم أدناه يعلم الطلاب لعبة تعزز كل هذه الأهداف. (ملاحظة: دروس أخرى في الكتاب تتناول بالتحديد كيفية تعليم مهارات القسمة المطولة. أيضًا ، إذا كنت معتادًا على لعبة بقايا الطعام من كتاب القسم الأول ، سترى هنا كيفية توسيع هذه اللعبة للطلاب الأكبر سنًا.)

بدأت الدرس "اليوم سأعلمك بقايا الطعام بـ 100". "لأريكم كيفية اللعب ، أحتاج إلى متطوع."

اخترت سكايلر ، وبينما كان يسير إلى مقدمة الغرفة ، كتبت على السبورة:

شرحت بينما أشرت إلى ما كتبته على السبورة ، "عندما تلعب ، ستصنع أنت وشريكك ورقة تسجيل واحدة تبدو هكذا. تأكد من كتابة كلا الاسمين على ورقة التسجيل ".

تابعت: "هذه المرة سأذهب أولاً لأظهر ما يجب أن أفعله". "هناك شيء مهم يجب تذكره في نهاية اللعبة ، حيث يضيف كلا اللاعبين الباقي ، ويفوز اللاعب صاحب المبلغ الأكبر. يبدأ اللاعب الأول برقم بداية ، أو عائد ، من مائة. لأنني أول لاعب ، أبدأ بمئة ويجب أن أختار القاسم من الأرقام المدرجة من واحد إلى عشرين. ثم سأقسم المائة على المقسوم الذي اخترته ، وسيسجل سكايلر على الورقة. أي قاسم سيكون اختيارًا جيدًا؟ "

أوضح لوكاس ، "إذا كنت تريد الفوز ، فعليك اختيار القاسم الذي سيعطي الباقي كبيرًا."

"ماذا سيكون اختيارًا سيئًا؟" انا سألت.

قال لوب ، "يمكن للمرء أن يكون سيئًا لأن المرء يدخل في جميع الأرقام دون باقي."

قال ألبرتو: "عشرة ستكون سيئة". "عشر مرات تساوي مائة ، لذلك لن يكون هناك أي باقٍ."

"أي رقم في القائمة سيكون اختيارًا جيدًا؟" انا سألت.

قال ديريك "ثلاثة". "مع ثلاثة ، سيكون هناك الباقي من واحد لأنك إذا عدت بثلاثة ، فستهبط على تسعة وتسعين ، وهذا على بعد واحد من مائة."

قالت زوي: "تسعة عشر". "سيكون لديها ما تبقى من خمسة. خمسة في عشرين تساوي مائة. تسعة عشر هو واحد أقل من عشرين ، لذا أعتقد أن خمس مرات وتسعة عشر سيكون خمسة وتسعين. مائة ناقص خمسة وتسعين هو خمسة وستبقى خمسة وتسعين.

لقد سجلت تفكير زوي على السبورة:

قلت: "تعجبني فكرة زوي عن استخدام تسعة عشر كمقسوم عليه". "نظرًا لأنه حان دوري لاختيار المقسوم والقسمة ، فسوف يسجل سكايلر على ورقة التسجيل الخاصة بنا ،" مائة مقسومة على تسعة عشر تساوي - خمسة وخمسة متبقية ". ضع دائرة حول الباقي واكتب أول حرف لي منذ أن حان دوري." سجلت سكايلر:

واصلت ، "قبل أن يأخذ سكايلر دوره ، علينا القيام بأمرين. عليه أن يشطب تسعة عشر من قائمة القواسم. لا نستخدم سوى كل رقم مدرج مرة واحدة في اللعبة ". شطب سكايلر رقم 19. "ثم يتعين علينا طرح ما تبقى من خمسة من رقم البداية الخاص بي البالغ مائة لإنشاء رقم بداية جديد لاستخدام سكايلر."

أخبرني سكايلر أن رقم البداية كان خمسة وتسعين ، ووافق الفصل.

قلت: "منذ أن جاء دور سكايلر ، أسجل". لقد كتبت 95 تحت عمود رقم البداية. بدا سكايلر مرتبكًا ، لذلك طلبت من كنزي النصيحة.

"إذا كنت تستخدم عشرين كما المقسوم عليه، ثم يمكنك الحصول على ما تبقى من fteen فاي. أربعة في عشرين تساوي ثمانين ، وخمس وتسعين ناقص ثمانين تساوي خمسة عشر. "

أخبرني سكايلر أن أكتب 95 ÷ 20 = 4 R15. ذكرني أن أحيط بالباقي 15 ، ليضع أول حرف له بجانب المشكلة ، وشطب 20. لقد فعلت.

قال جوي ، "تذكر أن تطرح الباقي من خمسة وتسعين. خمسة وتسعون ناقص خمسة عشر هو ثمانون ".

أجبته "أنا موافق". "منذ أن حان دوري ، سكايلر يمكنها التسجيل." سجل 80 في عمود رقم البداية.

اقترحت جوانا أن أستخدم ثمانية عشر. شرحت ، "عشرة ضرب أربعة هي أربعون. ثمانية في أربعة يساوي 32. إذن ، اثنان وأربعون وثلاثون يساوي اثنين وسبعين ".

قلت "سأستخدم اقتراحك ثمانية عشر". سجل سكايلر على السبورة:

"ما هي النتيجة حتى الآن؟" انا سألت.

قالت جوانا ، "سكايلر لديها خمسة عشر ولديك ثلاثة عشر."

سألت عن كيفية إنشاء رقم البداية التالي ، وشرحت كايلي ، "يمكنك طرح الباقي من رقم البداية الأخير. ثمانون ناقص ثمانية يساوي اثنان وسبعون ".

قرر سكايلر استخدام أحد عشر كمقسوم عليه. قال: حصتي اثنان وسبعون. إذن ، اثنان وسبعون على أحد عشر يساوي ستة وباقي ستة. أحصل على ست نقاط ".

لقد سجلت دور سكايلر على السبورة:

قالت كورينا "ستة وستون سيكون رقم البداية التالي ، لأن اثنين وسبعين ناقص ستة هو ستة وستون." قد وافقت.

بدا أن الطلاب يفهمون كيفية اللعب وأردت أن أمنحهم خبرة أولية في اللعبة ، لذلك قلت ، "تنتهي اللعبة عندما يكون رقم البداية صفرًا ، لكن سكايلر وأنا سنتوقف هنا حتى تتمكن من اللعب . لمعرفة الفائز ، أضف الباقي ".

قال كيري: "سكايلر لديها واحد وعشرون وأنت لديك ثلاثة عشر فقط".

"أوافق" ، قلت وكتبت نتائجنا تحت التسجيل الخاص بنا لنمذجة للطلاب كيفية تسجيل نتائجهم عندما لعبوا:

"لماذا لا تبدأ اللعب مع شركائك الآن؟" قلت ، وتركت تسجيل اللعبة بيني وبين سكايلر على السبورة كنموذج للطلاب.

مراقبة الطلاب

بعد بضع دقائق ، لاحظت أن شون ولوكاس شاركا في مناقشة مكثفة. سألني شون ، "هل من الممكن أن يكون الباقي أكبر من خمسة عشر؟ لا أعتقد أن هذا ممكن ، لكن لوكاس يفعل ذلك ".

قال لوكاس ، "أعتقد أن أي رقم يمكن أن يكون باقياً. ما يمكن أن يكون الباقي يعتمد على المقسوم عليه ".

"ما هو القاسم في المشكلة التي تناقشها؟" انا سألت.

قال لوكاس: "إنها التاسعة عشرة". "أعتقد أنه طالما أن الباقي أصغر من المقسوم عليه ، فلا بأس لأنه لا يوجد ما يكفي لمجموعة أخرى."

أجبته: "إذا كان المقسوم عليه هو تسعة عشر، فإنه من الممكن أن يكون ما تبقى من fteen فاي".

لاحظت أثناء استمراكي في تعميم أن سكايلر وساشا أظهروا كيف قاموا بالتقسيم ، وبعد جولتين ، غيّروا طريقتهم في تسجيل عملهم.

الشكل 2. غير سكايلر وساشا طريقة تسجيلهما المباراة لكنهما أظهروا تفكيرهم بوضوح. بينما ارتكب ساشا خطأ عندما ضرب 12 × 6 ، لم يؤثر ذلك على رقم البداية التالي.

سجل إيلي ولوبي تقسيمهما باستخدام طريقة أخرى.

الشكل 3. أخطأت Lupe عندما قسمت 40 على 11. ومع ذلك ، لم يؤثر ذلك على رقم البداية التالي. استخدمت إيلي ورقة الخدش لتوضح كيف استوعبت إجاباتها.

بعد أن لعب الطلاب لفترة ، طلبت انتباههم.

مناقشة الصف

"ما رأيك في اللعبة بقايا الطعام مع 100؟" انا سألت.

قال زوي ، "إيلي وأنا اكتشفنا شيئًا. في النهاية ، يمكنك الحصول على الكثير من بقايا الطعام بمجرد أن يصبح رقم البداية أقل من عشرين. وصلنا إلى ثلاثة عشر كرقم ابتدائي ، وتركنا أربعة عشر كمقسوم عليه ، لذلك أخذت الرقم أربعة عشر وحصلت على العدد ثلاثة عشر لأن ثلاثة عشر مقسومة على أربعة عشر هي صفر مع باقي ثلاثة عشر ".

قال كنزي ، "لقد أدركت أنا وبيت ذلك أيضًا ، ولكن ليس حتى أصبح رقم البداية خمسة. ثم أدركت بيث أنها يمكن أن تقسم خمسة على ستة وستكون الإجابة صفرًا الباقي خمسة ، وقد حصلت على الخمسة ".

قالت بيث ، "لدي سؤال. جمع إيفريت وديريك كل بقايا طعامهما معًا وخرجت إلى مائة. عندما أضفت أنا وكنزي مجموعتنا ، كنا في الثامنة والثمانين فقط. أنا لا أفهم ذلك ".

سألت الفصل ، "لماذا من المنطقي أن إجمالي ما تبقى من كلا اللاعبين يجب أن يبلغ مائة إذا أنهيت اللعبة؟"

قال نيكي ، "إذا بدأت بمئة ، وواصلت القسمة حتى تصل إلى الصفر ، فيجب أن تضيف الباقي ما يصل إلى مائة لأن الطريقة الوحيدة لجعل الأرقام الأولية تنخفض هي طرح الباقي."

"اوه نعم!" أجاب العديد من الطلاب.

اقترحت على Beth و Kenzie أنه من الممكن أن يكونا قد ارتكبا خطأ في مكان ما وربما كانا بحاجة إلى العودة والتحقق من عملهما. ذهبوا إلى الجزء الخلفي من الغرفة للتحقق من عملهم معًا ، وبعد بضع لحظات ، قال لهم: "وجدنا الخطأ".

أبلغوا عن أخطاء الطرح والقسمة التي ارتكبوها وعلقوا على ما اكتشفوه. "اكتشفنا أنه إذا نظرت إلى القواسم التي لم يتم استخدامها وحاولت التفكير في مضاعفات أحد القواسم التي تكون أكبر قليلاً من أرباحك أو رقم البداية ، يمكنك الحصول على الباقي الكبير ،" أوضح بيث. "على سبيل المثال ، إذا كان عائدك يساوي خمسة عشر وثمانية قاسم لا يزال بإمكانك اختياره ، فسيكون اختيارًا جيدًا لأن مضاعفات ثمانية تساوي ثمانية وستة عشر وستة عشر أكبر من خمسة عشر ، لذلك يجب أن يكون هناك كبير بقية. سيكون هناك ما تبقى من سبعة لهذه المشكلة ".

شارك كنزي: "لاحظنا أيضًا أن رقم البداية الجديد دائمًا ما يكون هو نفسه جزء العدد الكامل من حاصل القسمة السابق مضروبًا في القاسم السابق". "إذا نظرت إلى السبورة ، يمكنك معرفة ذلك. انظر حيث تقول ثمانين على ثمانية عشر يساوي أربعة على ثمانية. أربعة في ثمانية عشر يساوي اثنين وسبعين ، وهو رقم البداية التالي. في المسألة العليا حيث تقول مائة مقسومة على تسعة عشر تساوي خمسة وخمسة متبقية ، خمسة في تسعة عشر تساوي خمسة وتسعين ، وهو رقم البداية الجديد ".

لم تكن هناك تعليقات أخرى. خلال الأيام العديدة التالية ، واصل الأطفال اللعب عندما كان لديهم وقت فراغ. كان من الرائع رؤيتهم ينخرطون بسعادة كبيرة أثناء ممارسة الانقسام.

المنشورات ذات الصلة:
تدريس الحساب: دروس إدخال الشعبة للصفوف 3-4
بقلم ماريان ويكيت وسوزان أوهانيان ومارلين بيرنز

من النشرة الإخبارية على الإنترنت العدد 12 ، شتاء 2003-2004

تقسيم البراونيز

في هذا الدرس المقتطف ، يقسم الطلاب "الكعك" إلى نصفين باستخدام إما نهج مكاني (مع التركيز على أشكال الأجزاء الكسرية) أو نهج رقمي (حساب عدد الوحدات المربعة في الأشكال التي يصنعونها). في الدرس الكامل لـ Dividing Brownies ، الذي يظهر في Marilyn Burns تدريس الحساب: دروس لتمديد الكسور الصف الخامس (منشورات Math Solutions ، 2003) ، يواصل الطلاب التحقيق ، ويقسمون البراونيز إلى أرباع وأثمان.

قبل بدء الفصل ، رسمت على السبورة ست شبكات مربعة 4 × 4 مثل تلك الموجودة في ورقة العمل التي سيستخدمها الطلاب.

سألت ، "دعونا نرى ما إذا كان بإمكاننا معرفة كيفية تقسيم كل من هذه الشبكات إلى نصفين بطريقة مختلفة. فكر في كل منها على أنه كعكة براوني ستقطعها بحيث يحصل كل شخص على نفس الكمية ليأكلها ". اتصلت بدانيال.

قال دانيال: "فقط ارسم خطًا في المنتصف من الأعلى إلى الأسفل".

"هل تقصد خطًا عموديًا مثل هذا؟" سألت ، باستخدام كلمة عمودي لتعزيز هذه المصطلحات عندما رسمت خطًا. أومأ دانيال برأسه "نعم".

قال علي: "هذا ما كنت أفكر فيه".

قال إيلي: "أعرف طريقة أخرى". "ارسم الخط في المنتصف."

"هل تقصد خطًا أفقيًا مثل هذا؟" سألت وأنا أرسم على الشبكة الثانية.

"طريق اخر؟" انا سألت. دعوت كاتيا.

"ارسم خطاً مائلاً. ابدأ من الأعلى ، على اليسار ، ثم انزل إلى الأسفل على اليمين.

"هل تقصد خطًا قطريًا ، مثل هذا؟" سألت وأنا أرسم على الشبكة الثالثة. أومأت كاتيا برأسها.

قالت صوفيا: "ارسم خطًا قطريًا مثل خط كاتيا ، ولكن في الاتجاه الآخر ، من أعلى اليمين إلى أسفل اليسار".

فعلت ذلك على الشبكة الرابعة.

انتظرت أكثر قليلاً ثم قلت ، "حاول التفكير في طرق لا تستخدم قطعًا مستقيمًا واحدًا ولكنها لا تزال تقطع الكعكة إلى قطعتين بنفس الحجم. تحدث إلى طاولاتك وشاهد ما يمكنك التوصل إليه ".

ارتفع مستوى الضوضاء في الفصل عندما بدأ الطلاب في الحديث. أخرج البعض أقلام الرصاص والورق للرسم. من المعتاد أن يتعثر الفصل بعد هذه الاقتراحات الأربعة الأولى ، لكنني وجدت أنه إذا أعطيت الطلاب وقتًا للتحدث معًا ، فإنهم عادةً ما يبتكرون طرقًا أخرى تعمل. بعد لحظات قليلة ، استدعيت الفصل للانتباه. تم رفع الكثير من الأيدي. اتصلت بأندرو.

قال ، "هذا حقا من الصعب شرحه. هل يمكنني الخروج ورسمه؟ " وافقت ، لذلك جاء إلى مجلس الإدارة ورسم فكرته.

"كيف تعرف على وجه اليقين أن القطعتين عبارة عن نصفين؟" انا سألت.

قال أندرو ، "كلاهما بهما ثمانية مربعات" ، مقسمًا الشبكة إلى مربعات لإظهار ما كان يقصده. "انظروا ، كل شيء ستة عشر ، إذن ثمانية نصف."

التفت إلى الفصل. "ممتاز إذا فهمت ما قاله أندرو ، استهجن إذا لم تكن متأكدًا." كانت كارولين وليندسي تستهجن ، لذلك أوضح أندرو مرة أخرى.

قال: "انظر ، هناك ستة عشر مربعًا صغيرًا" ، عدهم واحدًا تلو الآخر لإثبات ذلك. "ثمانية يساوي نصفًا لأن ثمانية زائد ثمانية يساوي ستة عشر." كانت كل من كارولين وليندسي راضية.

أضاف إيمي ، "يمكنك أن ترى أنهما متماثلان. أحدهما مقلوب نوعًا ما من الآخر ".

"نعم ، يمكنني أن أرى كيف يمكنك تدوير أحدهما ويتناسب تمامًا مع الآخر" ، قلت ثم سألته ، "من الذي يرغب في تقسيم الكعكة الأخيرة إلى نصفين بطريقة أخرى؟" دعوت ماريا. جاءت بورقها ورسمت على الشبكة الأخيرة.

وأوضحت: "لقد تحققت كما فعل أندرو". "كلاهما ثمانية."

قلت: "ممتاز إذا وافقت ، واستهجن إذا كنت تريد التحدي أو ترغب في مزيد من التوضيح". الجميع كان لديه إبهام.

ثم طلبت من الفصل أن ينظر مرة أخرى إلى الكعك المقطوع بخطوط مائلة ، كما اقترحت كاتيا وصوفيا. "هل يمكنك عد المربعات على هذه للتأكد من أن كل نصف يساوي ثمانية مربعات؟" انا سألت. أردت أن يفكر الطلاب في العد والجمع بين أنصاف المربعات. اندلعت ضجة في الفصل وانتظرت لحظة قبل أن أسأل الطلاب عن انتباههم. ثم اتصلت بكلوديا. صعدت إلى السبورة وشرحت ، مستخدمة كعكة كاتيا براوني.

قالت ، "انظر ، هناك ستة مربعات كاملة" ، وهي ترسم الخطوط وتؤشر Xs لتظهر لهم في النصف القطري السفلي. "ثم هذان النصفان يصنعان واحدًا آخر ، وهو سبعة ، ونصفان آخران يساويان ثمانية." نظرت إلي.

نظرت إلى الفصل وسألت ، "أسئلة؟"

"هل يمكنك فعل ذلك مرة أخرى؟" سألت كارولين.

قالت كلوديا "حسنًا" وكررت تفسيرها. كانت كارولين راضية ولم تكن هناك أسئلة أخرى.

ثم أخبرت الطلاب بما عليهم فعله بعد ذلك. أريتهم ورقة عمل من الشبكات وقلت ، "سأعطي كل واحد منكم واحدة من هذه. ابحث عن طرق لتقسيم كل كعكة على ورقة العمل إلى نصفين بطريقة مختلفة. لكل قطعة كعك تقسمها ، تأكد من أنه يمكنك شرح كيف تعرف أن القطعتين عبارة عن نصفين حقًا ".

"هل يمكننا العمل معًا؟" ميليسا تريد أن تعرف.

قلت "نعم" ، "لكن يجب على كل منكما التسجيل على ورقته".

"هل يمكننا استخدام تلك الموجودة على السبورة؟" سأل إيلي.

قلت "لا" ، "انظر إذا كان بإمكانك العثور على آخرين."

قال نيك: "أعتقد أنه سيكون من الصعب ملء الملاءة".

قلت "انظر فقط كم يمكنك أن تجد".

بدأ الطلاب العمل. لاحظت أثناء تعميمي أن بعض الطلاب اعتمدوا على عدّ المربعات قبل الرسم ، بينما كان آخرون يرسمون ، ثم يعدون ، ويقومون بالتصحيح إذا لزم الأمر. أثناء عملهم ، قمت بمسح الكعك الذي قمنا بتقسيمه على السبورة ورسمت ست شبكات فارغة لمناقشة الفصل. عندما بقيت حوالي عشر دقائق في هذه الفترة ، وجهت الفصل للانتباه. لم يكمل أي شخص الصفحة بأكملها ، لكنهم فعلوا ما يكفي لجعلني أشعر بالثقة في أنهم فهموا المهمة. في الدقائق القليلة الأخيرة من الفصل ، كان لدي ستة طلاب يأتون إلى السبورة ، ويقسمون إحدى الشبكات الفارغة إلى نصفين ، ويشرحون للفصل كيف قاموا بتقسيم الشبكة إلى قطعتين متساويتين.

من النشرة الإخبارية على الإنترنت العدد 11 ، خريف 2003

واجب الرياضيات المهم

الواجب المنزلي: إذا كان 3 يمثل 5٪ من رقم ، فما 30٪ من هذا الرقم؟

للوهلة الأولى ، لا تبدو هذه المهمة صعبة للغاية. لكن عندما طلبت من تلاميذ في الصف السادس حل هذه المشكلة كواجب منزلي ، طلبت منهم أيضًا تدوين ملاحظات حول كيفية حلها. عندما شاركنا مناهجنا ، كنت مقتنعًا بأن التدريس عن ظهر قلب للطرق الثلاث لحل مشكلات النسبة المئوية أقل إرضاءً بكثير من تطوير إحساس الطلاب الأوسع بالعدد.

قالت ديما: "اكتشفت أن واحد بالمائة من العدد يساوي ثلاثة مقسومًا على خمسة ، لأن ثلاثة هي خمسة بالمائة. الجواب هو ثلاثة fths فاي والذي أعلم أنه من ست نقاط. بما أنني أريد ثلاثين بالمائة ، أضرب النقطة ستة في ثلاثين ، وأحصل على ثمانية عشر. الجواب ثمانية عشر ". كتبت ما قالته باختصار على السبورة:

أوجد 1٪ ثم x 5 في 30.

قالت جوان ، "لقد علمت أن هناك ستة آيات في ثلاثين ، لذلك يجب أن يكون هناك ست ثلاثيات في العدد. هذا الرقم هو ثمانية عشر ". كتبت:

5 × 6 = 30 لذا 3 × 6 = الرقم الذي نبحث عنه.

قال سيمون ، "لقد صنعت نسبتين. الأول هو إيجاد العدد الصحيح. لقد كتبت أكثر من ثلاثة ن يساوي خمسة على مائة ثم أعبر-مضروبة، وكنت أعرف أنه فاي هاء ن هو نفس ثلاثمائة، وبالتالي فإن عدد كله ستين. ثم كتبت ن أكثر من ستين يساوي ثلاثين على مائة لمعرفة ما سيكون ثلاثون بالمائة من العدد الصحيح. أنا أيضا حصلت على ثمانية عشر ".

قالت شارلوت ، "إذا كان ثلاثة يمثل خمسة بالمائة من عدد ، فيجب أن يكون ستة هو عشرة بالمائة من العدد ، وإذا كان ستة هو عشرة بالمائة ، فإن ثلاثة في ستة ، أو ثمانية عشر ، يمثل ثلاثين بالمائة من العدد."

"واو ، هذا منطقي للغاية!" قال جون ، مندهشًا من تفسير شارلوت البسيط.

سألته ، "إذن يا جون ، كيف حللت هذه المشكلة؟"

"حسنًا ، يقول والدي دائمًا أن أرسم صورة ، وهذه فكرة جيدة ، لكنني لا أعرف دائمًا الصورة التي أرسمها."

اقترحت "دعونا نرى ما إذا كان بإمكاننا المساعدة". رسمت مستطيلًا كبيرًا وقسمته إلى عشرة مستطيلات رفيعة طويلة. "كل من هؤلاء هو عشرة بالمائة."

قال سام: "فقط قم بقصهم إلى نصفين ، وبعد ذلك سيكون كل منهم خمسة بالمائة".

لقد قمت بتلوين واحد على عشرين في البوصة و قمت بتسميته بـ خمسة بالمائة. كان جون متحمسًا. "أعلم ، يمكنك العد حسب العدد ولون أحد هذه الأقسام في كل مرة حتى تصل إلى الثلاثين. دعونا نرى ، يمكنك تلوين ستة منهم. هذه ستين بالمائة ".

قال مايك وهو يصحح جون: "لا ، لقد فكرت في الأمر بهذه الطريقة أيضًا ، ولكن بدون الصورة. قلت إن خمسة بالمائة يساوي واحدًا وعشرين في ثلاثة يساوي ستين ، وهذا يعني أن ستين هو العدد الصحيح. إيجاد ثلاثين بالمائة من الستين يساوي ثمانية عشر ".

قال جون: "انتظر". "ما علاقة ذلك بصورتي؟ لم أكن مضطرًا لمعرفة العدد الصحيح ، فأنا أعلم فقط أنني قمت بالتلوين في ست كتل وكل واحدة تساوي ثلاثة. أوه نعم ، هذا يعني أن ثمانية عشر هو ثلاثون بالمائة. أنا أتفق مع مايك ".

كنت أقلق بشأن قضاء الكثير من وقت الفصل في مناقشة واجب منزلي. ومع ذلك ، مثل TIMSS ' (1996-1998) تشير النتائج إلى أن ما نريده حقًا هو الفهم الشامل بدلاً من التعرف على مجموعة متنوعة من الموضوعات.

من النشرة الإخبارية المطبوعة العدد 28 ، خريف / شتاء 2000-2001

المنشورات ذات الصلة:
الواجب المنزلي الرياضيات المهم ، الصفوف 4-6
بواسطة أنيت رافيل

لعبة العامل

لعب ال لعبة العامل يوفر تنسيقًا جذابًا يمكن للطلاب من خلاله التعرف على عوامل الأرقام من اثنين إلى ثلاثين من خلال لعب لعبة لوحية لشخصين. للعب لعبة العوامل ، يختار كل لاعب رقمًا بينما يجد اللاعب الآخر مجموع العوامل المتاحة لهذا الرقم.

أثناء لعب هذه اللعبة الرائعة والبسيطة والفعالة ،

  • يدرك الأطفال بسرعة أن الأعداد الأولية هي اختيارات سيئة بعد الخطوة الأولى من اللعبة ، على الرغم من أنهم قد لا يتمكنون من تحديد الأرقام على هذا النحو. . . بعد
  • تدرك أن الأعداد الكبيرة ليست بالضرورة أفضل الخيارات
  • تعلم أن بعض الأرقام اختيارات ساحقة لأن لديها العديد من العوامل
  • افهم أن بعض الأرقام الفردية هي اختيارات جيدة وأن الأرقام الزوجية يمكن أن تكون اختيارات سيئة و
  • قبل كل شيء ، كيف ترتبط قدرتهم على تحليل رقم بفهمهم للضرب والقسمة.

يوفر هذا التحقيق للطلاب فرصًا لـ:

  • راجع حقائق الضرب والقسمة
  • ربط قسمة وإيجاد عوامل الأرقام
  • يصنف الأعداد على أنها أولية أو مركبة
  • تدرك أن بعض الأرقام غنية بالعوامل بينما البعض الآخر قليل
  • التعرف على أن بعض المنتجات ناتجة عن أكثر من زوج عامل واحد
  • تحديد وتوضيح العلاقة بين العوامل والمضاعفات

مدة

2-3 حصص دراسية ولعبت طوال الوحدة أو السنة

المواد

  • لوحات ألعاب العامل (انظر القابلة للتكرار في نهاية هذا الدرس) ، نسخة علوية ونسخة واحدة لكل زوج من الطلاب
  • عامل توجيهات اللعبة (انظر قابل للتكرار في نهاية هذا الدرس)
  • 2 أقلام ملونة (لون مختلف لكل لاعب)

كلمات

عامل زوج متعدد المنتج


سبب الحظر: تم تقييد الوصول من منطقتك مؤقتًا لأسباب أمنية.
وقت: الثلاثاء 6 يوليو 2021 22:26:09 بتوقيت جرينتش

حول Wordfence

Wordfence هو مكون إضافي للأمان مثبت على أكثر من 3 ملايين موقع WordPress. يستخدم مالك هذا الموقع Wordfence لإدارة الوصول إلى موقعه.

يمكنك أيضًا قراءة الوثائق للتعرف على أدوات حظر Wordfence & # 039s ، أو زيارة wordfence.com لمعرفة المزيد حول Wordfence.

تم إنشاؤه بواسطة Wordfence في الثلاثاء ، 6 يوليو 2021 22:26:09 GMT.
وقت الكمبيوتر & # 039 s:.


آثار القلق من الرياضيات لدى طلاب المدارس الابتدائية والثانوية

يؤثر القلق من الرياضيات على الطلاب في وقت مبكر من الصف الأول من خلال التأثير على ذاكرتهم العاملة. الذاكرة العاملة هي بمثابة "خدش ذهني". من المهم عندما نحتاج إلى تتبع الأرقام. لكن هذه الذاكرة العاملة يمكن أن تتعطل بسبب القلق من الرياضيات لدى طلاب المدارس الابتدائية والثانوية. هذا يمكن أن يقود الطلاب الذين يعانون من قلق الرياضيات إلى أن يتخلفوا بنصف عام دراسي عن أقرانهم في الرياضيات. حتى بالنسبة للطلاب الذين لا يعانون من القلق بشأن الرياضيات ، من المهم تطوير عادات دراسية إيجابية ستساعدهم عندما تصبح الرياضيات أكثر تعقيدًا.


مناهجنا الأعلى تقييمًا

قررت EdReports ، وهي منظمة غير ربحية مكرسة لتزويد المعلمين بمورد موثوق به للمراجعات المستقلة للمناهج الدراسية في الفصول الدراسية ، أن EdGems Math يلبي التوقعات في مجالات المحاذاة الثلاثة لـ EdReports وهي "التركيز والاتساق" ، و "الممارسات الصارمة والرياضية & # 8221 ، و "الدعامات التعليمية ومؤشرات الاستخدام الأخرى".


شاهد الفيديو: أقسام الكلمة باللغة العربية (شهر نوفمبر 2021).