مقالات

10: الكسور


"فطائر لكل طفل[1]"نهج الكسور المستخدمة في هذا الجزء يأتي من جيمس تانتون ، ويستخدم بإذن منه. شاهد تطوره لهذه الأفكار وغيرها في http://gdaymath.com/.


  1. صورة دائرية بواسطة Claus Ableiter (عمل خاص) [GFDL ، CC-BY-SA-3.0 أو CC BY-SA 2.5-2.0-1.0] ، عبر ويكيميديا ​​كومنز

حاسبة الكسر

النتيجة الهجائية في الكلمات هي سبعة أخماس (أو واحد وخمسون).

كيف تحل الكسور خطوة بخطوة؟

  1. قسمة: 7/10: 1/2 = 7/10 · 2/1 = 7 · 2/10 · 1 = 14/10 = 2 · 7/2 · 5 = 7/5
    قسمة كسرين هي نفسها ضرب الكسر الأول في القيمة المقلوبة للكسر الثاني. الخطوة الفرعية الأولى هي إيجاد المقلوب (عكس البسط والمقام ، مقلوب 1/2 هو 2/1) للكسر الثاني. بعد ذلك ، اضرب البسطين. ثم اضرب المقامين. في الخطوة الوسيطة التالية ، احذف بعامل مشترك 2 يعطينا 7/5.
    بالكلمات - سبعة أعشار مقسومة على نصف = سبعة أخماس.

قواعد التعبيرات ذات الكسور:

الكسور - استخدم الشرطة المائلة "/" بين البسط والمقام ، على سبيل المثال ، لخمس مائة ، أدخل 5/100. إذا كنت تستخدم أرقامًا مختلطة ، فتأكد من ترك مسافة واحدة بين الجزء الكامل والجزء الكسري.
تفصل الشرطة المائلة البسط (الرقم فوق خط الكسر) والمقام (الرقم أدناه).

أرقام مختلطة (كسور مختلطة أو أرقام مختلطة) اكتب في صورة عدد صحيح غير صفري مفصولة بمسافة واحدة وكسر أي ، 1 2/3 (تحمل نفس العلامة). مثال على كسر سالب مختلط: -5 1/2.
نظرًا لأن الشرطة المائلة هي علامتان لخط الكسر والقسمة ، فإننا نوصي باستخدام النقطتين (:) كعامل تشغيل لكسور القسمة ، أي ، 1/2 : 3.

يتم إدخال الكسور العشرية (الأرقام العشرية) بعلامة عشرية . ويتم تحويلها تلقائيًا إلى كسور - أي 1.45.

القولون : وشرطة مائلة / هو رمز الانقسام. يمكن استخدامها لقسمة الأرقام المختلطة 1 2/3 : 4 3/8 أو يمكن استخدامها لكتابة الكسور المعقدة ، أي 1/2 : 1/3.
علامة النجمة * أو × هو رمز الضرب.
زائد + هو إضافة ، ناقص - هو الطرح و ()[] هي أقواس رياضية.
رمز الأس / القوة هو ^ - فمثلا: (7/8-4/5)^2 = (7/8-4/5) 2

أمثلة:

تتبع الآلة الحاسبة القواعد المعروفة لـ ترتيب العمليات. أكثر فن الإستذكار شيوعًا لتذكر ترتيب العمليات هذا هو:
بمداس - الأقواس ، الأس ، الضرب ، القسمة ، الجمع ، الطرح.
سرير - الأقواس ، الأس ، القسمة ، الضرب ، الجمع ، الطرح
بودماس - الأقواس ، أو الترتيب ، أو القسمة ، أو الضرب ، أو الجمع ، أو الطرح.
جيمداس - تجميع الرموز - الأقواس () <> ، الأس ، الضرب ، القسمة ، الجمع ، الطرح.
كن حذرا ، دائما افعل الضرب والقسمة قبل جمع وطرح. بعض عوامل التشغيل (+ و -) و (* و /) لها نفس الأولوية ومن ثم يجب تقييمها من اليسار إلى اليمين.


بدلاً من ذلك ، من الضروري إيجاد أقرب كسر مقامه أس 2 ، والمعروف أيضًا باسم كسر ثنائي أو رقم منطقي ثنائي. [1] ستبدو كسور البوصة النموذجية مثل 1/64 أو 1/32 أو 1/16 أو 1/8 أو 1/4 أو 1/2. استخدم الآلة الحاسبة بالقدم والبوصة الخاصة بنا لجمع أو طرح كسور الأقدام والبوصة.

قد يكون العثور على قياسات على مسطرة أو شريط قياس محيرًا في البداية ، ولكن بمجرد فهم كيفية وضع العلامات ، يصبح الأمر أبسط بكثير. تختلف العلامات بين أرقام البوصة الأكبر في الطول.

ستكون أطول العلامات هي علامات ربع بوصة ، أي أن العلامة الأولى 1/4 بوصة ، والثانية 1/2 (2/4) بوصة ، والثالثة 3/4 بوصة.

ستكون العلامات الأطول التالية هي علامات الثامنة بوصة ، أي أن العلامة الأولى 1/8 بوصة ، والثانية 3/8 بوصة ، والثالثة 5/8 بوصة ، إلخ.

ستكون العلامات الأطول التالية هي العلامات السادسة عشرة ، أي أن العلامة الأولى 1/16 بوصة ، والثانية 3/16 بوصة ، والثالثة 5/16 بوصة ، إلخ.


10 طرق للطلاب لإتقان الكسور

1.) شاهد اللغة التي نستخدمها في الفصل. في بعض الأحيان ، يمكن للغة التي نستخدمها في الفصل الدراسي أن تربك الطلاب حقًا. على سبيل المثال ، إذا قلنا كسرًا غير لائق (على الرغم من أنني أعرف أن بعض المناطق تتطلب ذلك) ، فقد يكون الأمر محيرًا ويشعر أنه إذا كتبوا كسرًا بهذه الطريقة ، فسيكون خطأ. بدلاً من ذلك ، ربما يطلق عليه كسر & ldquoglier من واحد ، & rdquo والذي يمكن استخدامه أيضًا عند استخدام مصطلح الرقم المختلط. (أعلم أنه يبدو جنونيًا ، لكنه صحيح!) مثال آخر هو عندما نستخدم المصطلح & ldquoreducing الكسور. & rdquo بالنسبة للطلاب ، يبدو أن الكسر يصبح أصغر بينما في الواقع ، نحن لا نصنع الكسور الصغيرة ، وتذكر أنها متساوية مع أكبر حجمًا قطع. هل ترى مدى السرعة التي يمكن أن يبدأ بها الطالب في التفكير في أن 2/5 أصغر من 4/10 لأننا قلنا أننا قمنا بخفضها؟ لا يبدو الأمر دائمًا مربكًا لنا لأننا نعرف المادة جيدًا.

2.) ساعد الطلاب على رؤية البسط والمقام في الكسر قيمة واحدة& - رقم واحد. غالبًا ما ينظر الطلاب إليهما على أنهما قيمتان منفصلتان لأننا نشير إليهما بـ & ldquothe top number & rdquo و & ldquothe the bottom number. & rdquo (انظر ، هناك & rsquos تلك اللغة مرة أخرى). أحيانًا نسميها أيضًا ، & ldquothree من أربعة & rdquo أو & ldquothree على أربعة. & rdquo بدلاً من ذلك ، يجب أن نسميها الرقم ، ثلاثة أرباع. إذا كنت تريد التأكيد على العلاقة بالقسمة ، فذكر الطلاب برؤية المقام على أنه المقسوم عليه والبسط باعتباره المضاعف. هذا يعني ، 3 أضعاف ما تحصل عليه عند تقسيم الكل إلى 4 أجزاء ، أو 3 وقسمة 4. بالإضافة إلى ذلك ، يمكنك مساعدة الطلاب على رؤية أن الكسور عبارة عن أرقام ، من خلال استخدام خط الأعداد باستمرار.

3.) يجب أن يفهم الطلاب أن الأجزاء يجب ان تكون أجزاء متساوية الحجم. لقد قابلت العديد من الطلاب على مر السنين الذين يعتقدون أن 2/3 تعني أي جزءين ، وليس أجزاء متساوية الحجم. في هذا المثال أدناه ، إذا سألت طلابك عن مقدار التظليل ، فهل سيقولون 3/4 أم 1/2؟

ما يزيد من سوء الفهم هذا هو أحيانًا نماذج المناطق التي رسمها الطلاب. نظرًا لأن الطلاب في المرحلة الابتدائية يفتقرون إلى الدقة ، يمكنهم بسهولة إنشاء أقسام غير متكافئة ويعتقدون أن الأجزاء لا يجب أن تكون متساوية. تتمثل إحدى طرق مكافحة ذلك في توفير نماذج الخطوط العريضة ، ولكن هناك طريقة أخرى تتمثل في إظهار أمثلة معاكسة للنماذج المرسومة بشكل غير دقيق. التذكير المستمر بأن الأجزاء يجب أن تكون متساوية مهم أيضًا.

4.) نحن بحاجة لبناء و ldquofraction معنى. & rdquo هذا يعني أننا بحاجة إلى التأكد من أننا نؤكد أكثر على معنى الكسور. في الواقع ، يوصى بشدة أن ينتظر المعلمون تدريس & ldquoalgorithms & rdquo أو & ldquoprocedures & rdquo لأي كسور حتى يستكشف الطلاب الطرق الملموسة لأي مفاهيم كسرية. على سبيل المثال ، غالبًا ما يتم دفع الطلاب إلى طريقة الضرب التبادلي عندما يتعلق الأمر بمقارنة الكسور ، أو الضرب للكسور المتكافئة أو الأرقام غير الصحيحة / المختلطة ، أو خوارزمية الضرب والقسمة دون حتى فهم السبب. في رسالتي ، تدريس الرياضيات حتى يحصل عليها الطلاب ، أشرح كيف يتعلم الطلاب الرياضيات بشكل أفضل.

5.) ساعد الطلاب على فهم حجم الكسور حقًا. غالبًا ما يتم الخلط بين الطلاب لأنهم يفكرون بمصطلحات عدد صحيح. مع الأعداد الصحيحة ، 5 أصغر من 10. مع الكسور ، يكون 1/5 في الواقع أكبر بكثير من 1/10. هذا أمر محير للأطفال - ما لم يكن لديهم الكثير من التدرب على النظر إلى طن من العناصر المرئية. يجب أن يتدربوا حتى يتمكنوا من إخبارك على الفور أن 1/10 أصغر لأنه يحتوي على المزيد من القطع. ما عليك سوى إخبار الطفل أنه كلما زاد المقام كلما قل الرقم ولن يساعد rsquot على الإطلاق. فازت بالمساعدة & rsquot بشكل خاص عندما يواجهون مشاكل مثل 7/10 مقابل 1/5. اطلب من الطلاب ممارسة هذا والنظر إليه مرارًا وتكرارًا حتى يتمكنوا من تخيله! انها و rsquos SOOO حرجة!

6.) استخدم مجموعة متنوعة من نماذج الكسور وربط تلك النماذج بسياقات العالم الحقيقي. يمكن أن يؤدي الاستخدام المتكرر لهذه الأدوات المادية إلى استخدام النماذج العقلية والفهم. من المفيد أحيانًا القيام بنفس النشاط بتمثيلين مختلفين لمساعدة الطلاب على الفهم حقًا. ستكون نماذج الكسور هذه:

  • نماذج المنطقة & ndash مشاركة المهام عادةً ، مقطعة إلى أجزاء أصغر. هذا هو الأكثر استخداما. ومن الأمثلة على ذلك قطع & ldquopie & rdquo ، أو مناطق مستطيلة ، أو ألواح جغرافية ، أو قوالب نقش ، أو طي الورق ، أو رسومات على ورق شبكي ، أو ورق نقطي.
  • الطول أو نماذج القياس & ndash تُظهر هذه الأطوال أو القياسات المستمرة مقارنة. هم خطوط الأرقام أو شرائط الكسور. عادةً ما يتم تقسيم الخطوط إلى أجزاء ، على الرغم من أنه يمكن أيضًا استخدام أداة قياس ذات مقياس (مسطرة ، كوب قياس ، مقياس حرارة). ومن الأمثلة على ذلك شرائح الكسر ، وقضبان كويزينير ، وشرائط الورق المطوية ، والمسطرة ، وخط الأعداد. ** يشير الرقم الموجود على الخط إلى مسافة النقطة المحددة من الصفر ، وليس النقطة نفسها. **
  • تعيين النماذج & ndash يُفهم الكل على أنه مجموعة من الكائنات الفردية (المنفصلة) ومجموعات فرعية من الكل ، مكونة أجزاء كسرية. مثال على ذلك هو مجموعة مكونة من 12 عنصرًا هي الكل ، في حين أن 3 كائنات محاطة بدائرة مع الغزل ، لذلك 3/12 أو 1/4. يمكن استخدامها مع عدادات من لونين.

7.) تشجيع استخدام التقدير والمعايير. يساعد التقدير الطلاب على معرفة & ldquo حول حجم جزء معين ويجب أن يكون الطلاب قادرين على استخدام ذلك لمقارنة الكسور ثم مرة أخرى لاحقًا مع العمليات. نظرًا لأن الطلاب عادةً ما يكونون أقل ثقة في التقدير ، ساعدهم باستخدام المعايير على خط الأعداد. أستخدم المعايير (النقاط المرجعية) 0 و 1/2 و 1. إذا كان الرقم أكبر من واحد ، فما زلت أستخدم نفس المعايير ، فقط مع الأرقام التي يقع بينها الرقم المختلط. كما هو مذكور أعلاه ، تدرب حتى يتمكن الطلاب من تصور ذلك حقًا.

8.) قضاء وقت طويل في تدريس الكسور المكافئة. تعتبر الكسور المتكافئة مفهومًا مهمًا أساسيًا لكل شيء في الكسور & ndash من العمليات إلى العلاقات ، إلى الحجم. تزويد الطلاب بالكثير من الممارسة مع الكسور المتكافئة في مجموعة متنوعة من النماذج. تأكد من فهمهم لها حقًا وفهم سبب تساوي الكسور. لا تقم بتدريس طريقة الضرب حتى يتمكن الطلاب من توضيح سبب تكافؤ الكسور. ثم اجعلهم يبدأون في ملاحظة النمط ويشقوا طريقهم إلى طريقة الضرب.

9.) احترس من استخدام قواعد العمليات مع استخدام الأعداد الصحيحة مع الكسور. أنا متأكد من أننا رأينا جميعًا الطلاب يضيفون ، حتى كسور الوحدة ، من قبل كما لو كانوا يجمعون أعدادًا صحيحة. على سبيل المثال ، 1/2 + 1/2 = 2/4. ما يفعلونه هو جمع الكسور كما لو كانت أعدادًا صحيحة بدلاً من التفكير في معنى الكسور. هذا يدل على أنهم لا يمتلكون إحساسًا بالكسر وأنهم لا يتخيلون الكسر. يمكننا منع هذا من خلال توفير الكثير من التدريب مع القطع الكسرية حتى يتمكنوا من البدء في تصورها & ndash حتى لو كانت & rsquos مجرد كسور الوحدة.

10.) أدخل الكسور كلما أمكن ذلك. على سبيل المثال ، إذا كان لديك دقيقة واحدة أثناء الفصل ، فقط اسأل بسرعة ، وماذا جزء من الفصل يرتدي السترات الصوفية اليوم؟ & rdquo كن مبدعًا. سيساعد العثور على طرق لإدخال الكسور في روتينك اليومي على منح الطلاب ممارسة يومية منتظمة ، وإبقائها جديدة في أذهانهم ، ومساعدتهم على رؤية مدى صلتها بالموضوع.

من خلال أفضل 10 ممارسات ، أنت متأكد من أنك ستساعد طلابك على إتقان الكسور وندش مفهومًا صعبًا في فصول الرياضيات الابتدائية في كل مكان!

هل ترغب في الحصول على هدايا مجانية مذهلة ، وأن تكون جزءًا من عروض ترويجية رائعة ، وتمتع بإمكانية الوصول إلى نصائح التدريس التي ستستمر في مساعدة طلابك على الازدهار؟ انضم إلى قائمة البريد الإلكتروني الخاصة بي! فقط اضغط هنا!


حول الكسور

الكسر هو نتيجة قسمة عددين طبيعيين. بعبارة أخرى ، يصف الكسر عدد الأجزاء التي لها حجم معين ، على سبيل المثال ، نصف ، أو خمسة أثمان ، أو ثلاثة أرباع ، أو سبعة أتساع. يتكون الكسر من بسط ومقام (يسمى الرقم الموجود أعلى خط النقاط بالبسط ، والرقم الموجود أسفل خط النقاط هو المقام). يمثل البسط عددًا من الأجزاء المتساوية ويشير المقام إلى عدد الأجزاء التي يتكون منها الكل. لا يمكن أن يكون المقام صفرًا. إذا كان البسط أصغر من المقام ، يقع الكسر بين 0 و 1.


التعليمات الأساسية لأوراق العمل

يتم إنشاء كل ورقة عمل بشكل عشوائي وبالتالي تكون فريدة. ال يتم إنشاء مفتاح الإجابة تلقائيًا ويوضع في الصفحة الثانية من الملف.

يمكنك إنشاء أوراق العمل إما بتنسيق html أو PDF و [مدش] كلاهما سهل الطباعة. للحصول على ورقة عمل PDF ، ما عليك سوى الضغط على الزر بعنوان "إنشاء قوات الدفاع الشعبي" أو "اصنع ورقة عمل PDF". للحصول على ورقة العمل بتنسيق html ، اضغط على الزر"عرض في المتصفح" أو "اصنع ورقة عمل html". هذا له ميزة أنه يمكنك حفظ ورقة العمل مباشرة من متصفحك (اختر File & rarr Save) ثم تحريره في Word أو أي برنامج معالجة كلمات آخر.

في بعض الأحيان لا تكون ورقة العمل التي تم إنشاؤها بالضبط ما تريده. فقط حاول مرة أخرى! للحصول على ورقة عمل مختلفة باستخدام نفس الخيارات:


محتويات

تحرير التعريف

ال القاسم المشترك الأكبر (GCD) من عددين صحيحين غير صفري a و b هو أكبر عدد صحيح موجب d بحيث يكون d مقسومًا على كل من a و b أي أن هناك أعداد صحيحة e و f مثل ذلك أ = دي و ب = مدافع ، و d هو أكبر عدد صحيح من هذا القبيل. يشار إلى GCD لـ a و b بشكل عام gcd (أ, ب) . [9]

ينطبق هذا التعريف أيضًا عندما يكون أحد a و b صفرًا. في هذه الحالة ، GCD هي القيمة المطلقة للعدد الصحيح غير الصفري: gcd (أ، 0) = gcd (0 ، أ) = | أ | . هذه الحالة مهمة كخطوة إنهاء للخوارزمية الإقليدية.

لا يمكن استخدام التعريف أعلاه لتعريف gcd (0 ، 0) ، منذ 0 × ن = 0 ، وبالتالي ليس للصفر قاسم أكبر. ومع ذلك ، فإن الصفر هو القاسم الأكبر إذا أعظم يُفهم في سياق علاقة القابلية للقسمة ، لذلك يُعرّف gcd (0 ، 0) عمومًا على أنه 0. هذا يحافظ على الهويات المعتادة لـ GCD ، وعلى وجه الخصوص هوية Bézout ، أي gcd (أ, ب) يولد نفس المثل الأعلى مثل <أ, ب>. [10] [11] [12] يتبع هذا الاصطلاح العديد من أنظمة الجبر الحاسوبية. [13] ومع ذلك ، يترك بعض المؤلفين gcd (0 ، 0) بدون تحديد. [14]

يعتبر GCD لـ a و b أكبر عامل مشترك موجب لهما في علاقة القسمة المسبقة. هذا يعني أن القواسم المشتركة لكل من a و b هي بالضبط قواسم GCD الخاصة بهم. يتم إثبات ذلك بشكل شائع باستخدام إما lemma لإقليدس ، أو النظرية الأساسية للحساب ، أو الخوارزمية الإقليدية. هذا هو معنى "الأعظم" الذي يستخدم لتعميمات مفهوم GCD.

مثال تحرير

يمكن التعبير عن الرقم 54 كمنتج لعددين صحيحين بعدة طرق مختلفة:

54 × 1 = 27 × 2 = 18 × 3 = 9 × 6.

من بين هؤلاء ، الأكبر هو 6 ، لذا فهو القاسم المشترك الأكبر:

عادةً ما يكون حساب جميع قواسم الرقمين بهذه الطريقة غير فعال ، خاصةً بالنسبة للأعداد الكبيرة التي تحتوي على العديد من القواسم. تم وصف طرق أكثر كفاءة بكثير في § الحساب.

تحرير أرقام Coprime

يُطلق على رقمين اسم أولي نسبيًا ، أو جريمة مشتركة ، إذا كان القاسم المشترك الأكبر بينهما يساوي 1. [15] على سبيل المثال ، 9 و 28 عدد أولي نسبيًا.

عرض هندسي تحرير

على سبيل المثال ، يمكن تقسيم منطقة مستطيلة مقاس 24 × 60 إلى شبكة من: مربعات 1 × 1 ، مربعات 2 × 2 ، مربعات 3 × 3 ، مربعات 4 × 4 ، 6 × -6 مربعات أو 12 في 12 مربعات. لذلك ، 12 هو القاسم المشترك الأكبر بين 24 و 60. وبالتالي يمكن تقسيم مساحة مستطيلة 24 × 60 إلى شبكة من 12 × 12 مربعات ، مع مربعين على طول حافة واحدة (24/12 = 2) و خمسة مربعات على طول الآخر (60/12 = 5).

اختزال الكسور تحرير

المقسوم المشترك الأكبر مفيد لتقليل الكسور إلى الحد الأدنى. [16] على سبيل المثال ، gcd (42، 56) = 14 ، لذلك ،

تحرير المضاعف المشترك الأصغر

يمكن استخدام القاسم المشترك الأكبر لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعددين عند معرفة القاسم المشترك الأكبر ، باستخدام العلاقة ، [1]

استخدام تحليل العوامل الأولية

يمكن حساب القواسم المشتركة الأكبر من خلال تحديد العوامل الأولية للرقمين ومقارنة العوامل. على سبيل المثال ، لحساب gcd (48 ، 180) ، نجد التحليل الأولي 48 = 2 4 · 3 1 و 180 = 2 2 · 3 2 · 5 1 يكون GCD ثم 2 دقيقة (4،2) · 3 دقائق ( 1،2) · 5 دقائق (0،1) = 2 2 · 3 1 · 5 0 = 12 ، كما هو موضح في مخطط فين. إذن المضاعف المشترك الأصغر المقابل هو 2 كحد أقصى (4،2) · 3 كحد أقصى (1،2) · 5 كحد أقصى (0،1) = 2 4 · 3 2 · 5 1 = 720.

في الممارسة العملية ، هذه الطريقة مجدية فقط للأعداد الصغيرة ، لأن حساب العوامل الأولية يستغرق وقتًا طويلاً.

تحرير خوارزمية إقليدس

تعتمد الطريقة التي قدمها إقليدس لحساب أكبر القواسم المشتركة على حقيقة أنه ، بالنظر إلى رقمين صحيحين موجبين أ وب مثل ذلك أ & GT ب ، فإن القواسم المشتركة لكل من a و b هي نفسها القواسم المشتركة لـ أب وب .

لذا ، فإن طريقة إقليدس لحساب القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين موجبين تتكون من استبدال الرقم الأكبر بفرق الأرقام ، وتكرار ذلك حتى يتساوى الرقمان: هذا هو القاسم المشترك الأكبر.

على سبيل المثال ، لحساب gcd (48،18) ، يتم المضي قدمًا على النحو التالي:

يمكن أن تكون هذه الطريقة بطيئة جدًا إذا كان أحد الأرقام أكبر بكثير من الآخر. لذلك ، يفضل بشكل عام المتغير التالي.

تحرير الخوارزمية الإقليدية

طريقة أكثر كفاءة هي الخوارزمية الإقليدية، وهو متغير يتم فيه استبدال الفرق بين العددين a و b بـ بقية من التقسيم الإقليدي (وتسمى أيضًا قسمة مع الباقي) من a على b.

دلالة على هذا الباقي أ عصري ب ، تستبدل الخوارزمية (أ, ب) بواسطة (ب, أ عصري ب) بشكل متكرر حتى يصبح الزوج (د، 0) ، حيث d هو القاسم المشترك الأكبر.

على سبيل المثال ، لحساب gcd (48،18) ، يكون الحساب كما يلي:

هذا مرة أخرى يعطي gcd (48 ، 18) = 6.

تحرير خوارزمية Lehmer GCD

تعتمد خوارزمية Lehmer على ملاحظة أن حاصل القسمة الأولية التي تنتجها خوارزمية إقليدس يمكن تحديدها بناءً على الأرقام القليلة الأولى فقط ، وهذا مفيد للأرقام الأكبر من كلمة كمبيوتر. من حيث الجوهر ، يستخرج المرء الأرقام الأولية ، ويشكل عادةً كلمة أو كلمتين من كلمات الكمبيوتر ، ويدير خوارزميات إقليدس على هذه الأرقام الأصغر ، طالما أنه مضمون أن حاصل القسمة هو نفسه مع تلك التي سيتم الحصول عليها بالأرقام الأصلية. يتم جمع هذه الحواصل في مصفوفة تحويل صغيرة 2 × 2 (وهي مصفوفة من الأعداد الصحيحة المكونة من كلمة واحدة) ، لاستخدامها جميعًا مرة واحدة لتقليل الأرقام الأصلية [ التوضيح المطلوب ]. تتكرر هذه العملية حتى تصبح الأرقام صغيرة بما يكفي لجعل الخوارزمية الثنائية (انظر أدناه) أكثر كفاءة.

تعمل هذه الخوارزمية على تحسين السرعة ، لأنها تقلل عدد العمليات على أعداد كبيرة جدًا ، ويمكنها استخدام حسابات الأجهزة لمعظم العمليات. في الواقع ، معظم حواصل القسمة صغيرة جدًا ، لذلك يمكن جمع عدد لا بأس به من خطوات الخوارزمية الإقليدية في مصفوفة 2 × 2 من الأعداد الصحيحة المكونة من كلمة واحدة. عندما تواجه خوارزمية Lehmer حاصل قسمة كبير جدًا ، يجب أن تعود إلى تكرار واحد للخوارزمية الإقليدية ، مع تقسيم إقليدي لأعداد كبيرة.

تحرير خوارزمية GCD الثنائية

تستخدم خوارزمية GCD الثنائية الطرح والقسمة على 2. الطريقة كما يلي: Let أ و ب أن يكون العددان الصحيحان غير السالبين. دع العدد الصحيح د يكون 0. هناك خمسة احتمالات:

كـ gcd (أ, أ) = أ، GCD المطلوب هو أ × 2 د (كما أ و ب يتم تغييرها في الحالات الأخرى ، و د يسجل عدد المرات التي أ و ب تم قسمة كلاهما على 2 في الخطوة التالية ، فإن GCD للزوج الأولي هو حاصل ضرب أ و 2 د ).

إذن 2 هو قاسم مشترك. قسّم كلاهما أ و ب بمقدار 2 ، زيادة د بمقدار 1 لتسجيل عدد المرات 2 هو قاسم مشترك والاستمرار.

إذن 2 ليس قاسم مشترك. يقسم أ بنسبة 2 والمتابعة.

إذن 2 ليس قاسم مشترك. يقسم ب بنسبة 2 والمتابعة.

كـ gcd (أ,ب) = gcd (ب,أ)، لو أ & lt ب ثم الصرف أ و ب. الرقم ج = أب موجب وأصغر من أ. أي رقم يقسم أ و ب يجب أن تقسم أيضا ج لذلك كل قواسم مشتركة أ و ب هو أيضًا قاسم مشترك لـ ب و ج. بصورة مماثلة، أ = ب + ج وكل قواسم مشتركة ب و ج هو أيضًا قاسم مشترك لـ أ و ب. لذا فإن الزوجين (أ, ب) و (ب, ج) لها نفس القواسم المشتركة ، وبالتالي gcd (أ,ب) = gcd (ب,ج). علاوة على ذلك ، كما أ و ب كلاهما غريب ج حتى ، يمكن أن تستمر العملية مع الزوج (أ, ب) تم استبداله بالأرقام الأصغر (ج/2, ب) دون تغيير GCD.

تقلل كل خطوة من الخطوات المذكورة أعلاه واحدة على الأقل من أ و ب مع تركها غير سلبية وبالتالي لا يمكن تكرارها إلا لعدد محدود من المرات. وبالتالي في النهاية ينتج عن العملية أ = ب، حالة الإيقاف. ثم GCD هو أ × 2 د .

مثال: (أ, ب, د) = (48 ، 18 ، 0) ← (24 ، 9 ، 1) ← (12 ، 9 ، 1) ← (6 ، 9 ، 1) ← (3 ، 9 ، 1) ← (3 ، 3 ، 1) وبالتالي فإن GCD الأصلي هو المنتج 6 من 2 د = 2 1 و أ= ب= 3.

من السهل بشكل خاص تنفيذ خوارزمية GCD الثنائية على أجهزة الكمبيوتر الثنائية. تعقيدها الحسابي هو

عادة ما يتم إعطاء التعقيد الحسابي من حيث الطول n للمدخلات. هنا ، هذا الطول هو n = log ⁡ a + log ⁡ b، < displaystyle n = log a + log b،> وبالتالي يكون التعقيد

طرق أخرى تحرير

لو أ و ب كلاهما غير صفري ، وهو القاسم المشترك الأكبر لـ أ و ب يمكن حسابها باستخدام المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لـ أ و ب:

ولكن الأكثر شيوعًا يتم حساب LCM من GCD.

الذي يعمم ل أ و ب الأعداد المنطقية أو الأعداد الحقيقية المتناسبة.

لقد أظهر كيث سلافين ذلك بشكل غريب أ ≥ 1:

وهي دالة يمكن تقييمها للمركبة ب. [18] أظهر ولفجانج شرام ذلك

هي وظيفة كاملة في المتغير ب لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة أ أين جد(ك) هو مجموع رامانوجان. [19]

تحرير التعقيد

تمت دراسة التعقيد الحسابي لحساب أكبر القواسم المشتركة على نطاق واسع. [20] إذا استخدم المرء الخوارزمية الإقليدية والخوارزميات الأولية للضرب والقسمة ، فإن حساب القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين بحد أقصى n بت هو O (n 2). ).> هذا يعني أن حساب القاسم المشترك الأكبر له ، حتى عامل ثابت ، نفس درجة تعقيد الضرب.

ومع ذلك ، إذا تم استخدام خوارزمية الضرب السريع ، فيمكن تعديل الخوارزمية الإقليدية لتحسين التعقيد ، لكن حساب القاسم المشترك الأكبر يصبح أبطأ من الضرب. بتعبير أدق ، إذا كان ضرب عددين صحيحين من n بت يستغرق وقتًا تي(ن) ، فإن أسرع خوارزمية معروفة لأكبر قاسم مشترك لها تعقيد O (T (n) log ⁡ n). هذا يعني أن أسرع خوارزمية معروفة لها تعقيد O (n (log ⁡ n) 2). right).>

التعقيدات السابقة صالحة للنماذج المعتادة للحساب ، خاصة آلات Turing متعددة الأشرطة وآلات الوصول العشوائي.

وبالتالي ، فإن حساب أكبر القواسم المشتركة ينتمي إلى فئة المشكلات التي يمكن حلها في الوقت شبه الخطي. من باب أولى، مشكلة القرار المقابلة تنتمي إلى الفئة P من المشاكل القابلة للحل في زمن كثير الحدود. لا يُعرف أن مشكلة GCD موجودة في NC ، وبالتالي لا توجد طريقة معروفة لموازنتها بكفاءة ولا يُعرف أنها P-complete ، مما يعني أنه من غير المحتمل أن يكون من الممكن موازاة حساب GCD بكفاءة. شالكروس وآخرون أظهر أن مشكلة ذات صلة (EUGCD ، تحديد التسلسل المتبقي الناشئ أثناء الخوارزمية الإقليدية) هي NC مكافئ لمشكلة البرمجة الخطية الصحيحة مع متغيرين إذا كانت أي مشكلة في نورث كارولاينا أو هو ف كاملة، والآخر كذلك. [21] منذ ذلك الحين نورث كارولاينا يحتوي على NL ، ومن غير المعروف أيضًا ما إذا كانت هناك خوارزمية فعالة من حيث المساحة لحساب GCD ، حتى بالنسبة لآلات Turing غير المحددة.

على الرغم من أن المشكلة غير معروفة نورث كارولاينا، خوارزميات متوازية أسرع بشكل مقارب من الخوارزمية الإقليدية توجد أسرع خوارزمية حتمية معروفة بواسطة Chor و Goldreich ، والتي (في نموذج CRCW-PRAM) يمكن أن تحل المشكلة في ا(ن/سجل ن) الوقت مع ن 1 + ε معالجات. [22] الخوارزميات العشوائية يمكن أن تحل المشكلة في ا((سجل ن) 2) الوقت على exp ⁡ (O (n log ⁡ n)) > right) right)> المعالجات [ التوضيح المطلوب ] (هذا فائق الحدود). [23]

  • كل قواسم مشتركة أ و ب هو قسمة gcd (أ, ب) .
  • gcd (أ, ب) ، أين أ و ب ليست كلاهما صفرًا ، ويمكن تعريفهما بشكل بديل ومكافئ على أنه أصغر عدد صحيح موجب د والتي يمكن كتابتها في النموذج د = أص + بف ، أين ص و ف هي أعداد صحيحة. هذا التعبير يسمى هوية بيزوت. أعداد ص و ف مثل هذا يمكن حسابه باستخدام الخوارزمية الإقليدية الموسعة.
  • gcd (أ, 0) = | أ | ، إلى عن على أ ≠ 0 ، بما أن أي رقم مقسوم عليه 0 وأكبر مقسوم عليه أ هو | أ |. [3] [6] يستخدم هذا عادة كحالة أساسية في الخوارزمية الإقليدية.
  • لو أ يقسم المنتج بجو gcd (أ, ب) = د ، من ثم أ/د يقسم ج.
  • لو م هو عدد صحيح غير سالب ، ثم gcd (مأ, مب) = م⋅gcd (أ, ب) .
  • لو م هو أي عدد صحيح ، ثم gcd (أ + مب, ب) = gcd (أ, ب) .
  • لو م هو قاسم مشترك موجب أ و ب، ثم gcd (أ/م, ب/م) = gcd (أ, ب)/م .
  • GCD هي وظيفة مضاعفة بالمعنى التالي: إذا أ1 و أ2 تعتبر أساسية نسبيًا ، ثم gcd (أ1أ2, ب) = gcd (أ1, ب) ⋅gcd (أ2, ب). على وجه الخصوص ، بالتذكير بأن GCD هي دالة ذات قيمة عدد صحيح موجب نحصل على gcd (أ, بج) = 1 if and only if gcd (أ, ب) = 1 و gcd (أ, ج) = 1 .
  • GCD هي وظيفة تبادلية: gcd (أ, ب) = gcd (ب, أ) .
  • GCD هي وظيفة ترابطية: gcd (أ، gcd (ب, ج)) = gcd (gcd (أ, ب), ج). هكذا gcd (أ, ب, جو. ) للدلالة على GCD للحجج المتعددة.
  • gcd (أ, ب) يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالمضاعف المشترك الأصغر lcm (أ, ب): لدينا gcd (أ, ب) ⋅lcm (أ, ب) = | أب | .
  • الإصدارات التالية من التوزيعية صحيحة: gcd (أ، lcm (ب, ج)) = lcm (gcd (أ, ب) ، gcd (أ, ج)) lcm (أ، gcd (ب, ج)) = gcd (lcm (أ, ب) ، lcm (أ, ج)) .
  • إذا كان لدينا العوامل الأولية الفريدة من نوعها أ = ص1ه1ص2ه2 ⋅⋅⋅ صمهم و ب = ص1F1ص2F2 ⋅⋅⋅ صمFم أين هأنا ≥ 0 و Fأنا ≥ 0 ، ثم GCD من أ و ب هو gcd (أ,ب) = ص1 دقيقة (ه1,F1) ص2 دقيقة (ه2,F2) ⋅⋅⋅ صم دقيقة (هم,Fم) .
  • من المفيد أحيانًا تعريف gcd (0، 0) = 0 و lcm (0، 0) = 0 لأن الأرقام الطبيعية تصبح بعد ذلك شبكة توزيع مكتملة مع GCD على أنها لقاء و LCM كعملية ربط. [24] هذا الامتداد للتعريف متوافق أيضًا مع التعميم للحلقات التبادلية الواردة أدناه.
  • في نظام الإحداثيات الديكارتية ، gcd (أ, ب) على أنه عدد المقاطع بين النقاط ذات الإحداثيات المتكاملة على مقطع الخط المستقيم الذي يربط النقاط (0 ، 0) و (أ, ب) .
  • للأعداد الصحيحة غير السالبة أ و ب، أين أ و ب كلاهما ليس صفراً ، ويمكن إثباته من خلال النظر في الخوارزمية الإقليدية في الأساس ن: [25] gcd (نأ − 1, نب − 1) = ن gcd (أ,ب) − 1 .
  • هوية تتضمن دالة أويلر الكلية: gcd (a، b) = ∑ k | أ و ك | ب φ (ك). > ك | ب> فارفي (ك).>

في عام 1972 ، أظهر جيمس إي نيمان ذلك ك أعداد صحيحة ، يتم اختيارها بشكل مستقل وموحد من <1 ،. ن> ، هي جريمة مشتركة مع احتمال 1 /ζ(ك) كما ن يذهب إلى ما لا نهاية ، أين ζ يشير إلى وظيفة زيتا ريمان. [26] (راجع الجريمة الجماعية للاشتقاق.) تم تمديد هذه النتيجة في عام 1987 لتوضيح أن الاحتمال ك الأعداد الصحيحة العشوائية لها القاسم المشترك الأكبر د يكون د −k / ζ (ك). [27]

باستخدام هذه المعلومات ، يمكن رؤية القيمة المتوقعة لأكبر دالة مقسوم مشترك (بشكل غير رسمي) لعدم وجودها عند ك = 2. في هذه الحالة احتمال تساوي GCD د يكون د −2 / ζ (2) ، وبما أن ζ (2) = π 2/6 لدينا

هذا الجمع الأخير هو السلسلة التوافقية التي تتباعد. رغم ذلك، متى ك ≥ 3 ، القيمة المتوقعة محددة جيدًا ، وبالحجة أعلاه ، فهي كذلك

إلى عن على ك = 3 ، هذا يساوي تقريبًا 1.3684. إلى عن على ك = 4 ، تساوي تقريباً 1.1106.

يمكن تعريف مفهوم القاسم المشترك الأكبر بشكل عام لعناصر حلقة تبادلية عشوائية ، على الرغم من أنه بشكل عام لا توجد حاجة لوجود واحد لكل زوج من العناصر.

إذا كانت R عبارة عن حلقة تبادلية ، وكانت a و b في R ، فإن العنصر d من R يسمى a القاسم المشترك من a و b إذا قسمت كل من a و b (أي ، إذا كان هناك عنصران x و y في R مثل ذلك د·x = أ و د·ذ = ب). إذا كان d مقسومًا مشتركًا على a و b ، وكان كل قاسم مشترك لـ a و b يقسم d ، فإن d يسمى a القاسم المشترك الأكبر من أ و ب.

مع هذا التعريف ، قد يكون للعنصرين أ و ب عدة قواسم مشتركة كبيرة ، أو لا يوجد شيء على الإطلاق. إذا كان R مجالًا متكاملًا ، فيجب أن يكون أي اثنان من GCD من a و b عناصر مرتبطة ، نظرًا لأنه وفقًا للتعريف ، يجب على أحدهما تقسيم الآخر بالفعل في حالة وجود GCD ، فإن أي من شركائه هو GCD أيضًا. لا يتم ضمان وجود GCD في المجالات المتكاملة التعسفية. ومع ذلك ، إذا كان R مجالًا فريدًا للعوامل ، فإن أي عنصرين لهما GCD ، وبشكل عام يكون هذا صحيحًا في نطاقات GCD. إذا كان R مجال إقليدي يتم فيه تقسيم الإقليدية بطريقة حسابية (كما هو الحال على سبيل المثال عندما ص = F[X] حيث F عبارة عن حقل ، أو عندما تكون R هي حلقة الأعداد الصحيحة Gaussian) ، يمكن حساب القواسم المشتركة الأكبر باستخدام شكل من أشكال الخوارزمية الإقليدية بناءً على إجراء القسمة.

فيما يلي مثال على مجال متكامل يحتوي على عنصرين لا يحتويان على GCD:

العنصران 2 و 1 + −3 هما قواسم مشتركة قصوى (أي ، أي قاسم مشترك يكون مضاعف 2 مرتبط بـ 2 ، نفس الحجوزات لـ 1 + √ −3 ، لكنهما غير مرتبطين ، لذلك هناك ليس القاسم المشترك الأكبر لـ a و ب.

بما يتوافق مع خاصية Bézout ، يجوز لنا ، في أي حلقة تبادلية ، النظر في مجموعة عناصر النموذج بنسلفانيا + qb، حيث تتراوح p و q فوق الحلبة. هذا هو النموذج المثالي الذي تم إنشاؤه بواسطة a و b ، ويُشار إليه ببساطة (أ, ب). في الحلقة التي تكون جميع مُثُلها أساسية (مجال مثالي رئيسي أو PID) ، سيكون هذا النموذج مثاليًا متطابقًا مع مجموعة مضاعفات بعض عناصر الحلقة د إذن هذا d هو القاسم المشترك الأكبر لـ a و ب. لكن المثالي (أ, ب) مفيدة حتى في حالة عدم وجود قاسم مشترك أكبر لـ a و ب. (في الواقع ، استخدم إرنست كومر هذا النموذج المثالي كبديل لـ GCD في معالجته لنظرية فيرما الأخيرة ، على الرغم من أنه تصورها على أنها مجموعة من مضاعفات بعض الافتراضات ، أو مثالي، عنصر الحلقة د ، ومن هنا المصطلح النظري للحلقة.)


محتويات

بشكل عام ، يتم التقدير وفقًا لفاصل زمني عشوائي معروف باحتوائه على الجذر (مثل [x0، س / س0]). التقدير هو قيمة محددة لتقريب وظيفي لـ f (x) = √ x خلال الفترة. يتضمن الحصول على تقدير أفضل إما الحصول على حدود أكثر إحكامًا على الفاصل الزمني ، أو إيجاد تقريب وظيفي أفضل لـ f (x). يعني الأخير عادةً استخدام كثير حدود من الدرجة الأعلى في التقريب ، على الرغم من أنه ليس كل التقريبات متعددة الحدود. تتضمن طرق التقدير الشائعة العددية والخطية والقطعية واللوغاريتمية. تُستخدم القاعدة العشرية عادةً للتقدير العقلي أو بالورقة والقلم الرصاص. تعتبر القاعدة الثنائية أكثر ملاءمة لتقديرات الكمبيوتر. في التقدير ، عادةً ما يتم التعامل مع الأس والجزء العشري بشكل منفصل ، حيث سيتم التعبير عن الرقم في التدوين العلمي.

التقديرات العشرية تحرير

التقديرات العددية تحرير

بالنسبة إلى فترتين ، مقسمتين هندسيًا ، الجذر التربيعي S = a × 10 n < displaystyle < sqrt > = < sqrt> مرات 10 ^> يمكن تقديرها على أنها [ملاحظة 2]

التقديرات الخطية تحرير

يقلل خط انحدار المربعات الصغرى من متوسط ​​الفرق بين التقدير وقيمة الدالة. معادلتها هي y = 8.7 x - 10 < displaystyle y = 8.7x-10>. إعادة الترتيب ، x = 0.115 y + 1.15 < displaystyle x = 0.115y + 1.15>. تقريب المعاملات لسهولة الحساب ،

هذا هو أفضل تقدير في المتوسط يمكن تحقيقه بتقريب خطي من قطعة واحدة للدالة y = x 2 في الفترة [1،100]. يبلغ الحد الأقصى للخطأ المطلق 1.2 عند a = 100 ، وأقصى خطأ نسبي قدره 30٪ عند S = 1 و 10. [ملاحظة 3]

يمكن الحصول على تقدير أفضل بكثير من خلال تقريب خطي مقطعي: مقاطع خطية متعددة ، كل منها يقترب من بعض العلامات الفرعية للأصل. كلما زاد عدد مقاطع الخط المستخدمة ، كان التقريب أفضل. الطريقة الأكثر شيوعًا هي استخدام خطوط الظل ، والخيارات الحاسمة هي كيفية تقسيم القوس ومكان وضع نقاط التماس. طريقة فعالة لتقسيم القوس من y = 1 إلى y = 100 هندسية: بالنسبة لفترتين ، تكون حدود الفترات هي الجذر التربيعي لحدود الفترة الأصلية ، 1 * 100 ، أي [1 ، 2 √ 100 ] و [2 × 100 ، 100]. لثلاث فترات ، الحدود هي الجذور التكعيبية 100: [1 ، 3 100] ، [3 100 ، (3 100) 2] ، [(3 √ 100) 2 ، 100] ، إلخ. فترات زمنية ، 2 100 = 10 ، رقم مناسب جدًا. من السهل اشتقاق خطوط الظل ، وتقع عند x = √ 1 * √ 10 و x = √ 10 * √ 10. معادلاتهم هي: y = 3.56x - 3.16 و y = 11.2x - 31.6. بالعكس ، فإن الجذور التربيعية هي: x = 0.28y + 0.89 و x = .089y + 2.8. وهكذا بالنسبة لـ S = a * 10 2n:

الحد الأقصى للأخطاء المطلقة يحدث عند النقاط العالية للفترات الزمنية ، عند a = 10 و 100 ، وتكون 0.54 و 1.7 على التوالي. الحد الأقصى للأخطاء النسبية عند نقاط نهاية الفواصل الزمنية ، عند a = 1 و 10 و 100 و 17٪ في كلتا الحالتين. 17٪ أو 0.17 أكبر من 1/10 ، لذا فإن الطريقة تعطي دقة أقل من رقم عشري.

تقديرات الزائدية

في بعض الحالات ، قد تكون التقديرات القطعية فعالة ، لأن القطع الزائد هو أيضًا منحنى محدب وقد يقع على طول قوس من Y = x 2 أفضل من الخط. تعتبر التقديرات الزائدية أكثر تعقيدًا من الناحية الحسابية ، لأنها تتطلب بالضرورة قسمة عائمة. التقريب الزائدي شبه الأمثل لـ x 2 على الفترة [1100] هو y = 190 / (10-x) -20. بالتبديل ، يكون الجذر التربيعي هو x = -190 / (y + 20) +10. وبالتالي بالنسبة لـ S = a ⋅ 10 2 n < displaystyle S = a cdot 10 ^ <2n>>:

يجب أن يكون القسمة العائمة دقيقة لرقم عشري واحد فقط ، لأن التقدير الإجمالي دقيق فقط ، ويمكن إجراؤه ذهنيًا. التقدير القطعي أفضل في المتوسط ​​من التقديرات القياسية أو الخطية. يكون الحد الأقصى للخطأ المطلق 1.58 عند 100 وأقصى خطأ نسبي 16.0٪ عند 10. بالنسبة لأسوأ حالة عند a = 10 ، يكون التقدير 3.67. إذا بدأ أحدهم بالرقم 10 وطبق تكرارات نيوتن-رافسون على الفور ، فستكون هناك حاجة لتكرارين ، ينتج عنه 3.66 ، قبل تجاوز دقة التقدير القطعي. For a more typical case like 75, the hyperbolic estimate is 8.00, and 5 Newton-Raphson iterations starting at 75 would be required to obtain a more accurate result.

Arithmetic estimates Edit

A method analogous to piece-wise linear approximation but using only arithmetic instead of algebraic equations, uses the multiplication tables in reverse: the square root of a number between 1 and 100 is between 1 and 10, so if we know 25 is a perfect square (5 × 5), and 36 is a perfect square (6 × 6), then the square root of a number greater than or equal to 25 but less than 36, begins with a 5. Similarly for numbers between other squares. This method will yield a correct first digit, but it is not accurate to one digit: the first digit of the square root of 35 for example, is 5, but the square root of 35 is almost 6.

A better way is to the divide the range into intervals half way between the squares. So any number between 25 and half way to 36, which is 30.5, estimate 5 any number greater than 30.5 up to 36, estimate 6. [Note 4] The procedure only requires a little arithmetic to find a boundary number in the middle of two products from the multiplication table. Here is a reference table of those boundaries:

The final operation is to multiply the estimate k by the power of ten divided by 2, so for S = a ⋅ 10 2 n > ,

The method implicitly yields one significant digit of accuracy, since it rounds to the best first digit.

The final operation, as above, is to multiply the result by the power of ten divided by 2

k is a decimal digit and R is a fraction that must be converted to decimal. It usually has only a single digit in the numerator, and one or two digits in the denominator, so the conversion to decimal can be done mentally.

Example: find the square root of 75. 75 = 75 × 10 2 · 0 , so a is 75 and n is 0. From the multiplication tables, the square root of the mantissa must be 8 point something because 8 × 8 is 64, but 9 × 9 is 81, too big, so k is 8 something is the decimal representation of R . The fraction R is 75 - ك 2 = 11, the numerator, and 81 - ك 2 = 17, the denominator. 11/17 is a little less than 12/18, which is 2/3s or .67, so guess .66 (it's ok to guess here, the error is very small). So the estimate is 8 + .66 = 8.66 . √ 75 to three significant digits is 8.66, so the estimate is good to 3 significant digits. Not all such estimates using this method will be so accurate, but they will be close.

Binary estimates Edit

which has maximum absolute error of 0.086 at 2 and maximum relative error of 6.1% at a =0.5 and a =2.0.


10: Fractions

USE THIS HANDY TABLE FOR YOUR ANTENNA
MEASUREMENTS AND CONVERSIONS.
It also has many other uses!
Convert fractions to decimals and millimeters and reverse.
(1 INCH = 25.4 MM EXACTLY)
Read from left to right - pick your fraction, decimal, or mm measurement.
Example = convert 1/64" to mm . Find 1/64 and read to the right under mm !
You will see 0.3969 under the mm column.
Another example = convert 0.125 decimal to inches . Look down the decimal column
until you find 0.125 , then follow that line to the left to find 1/8 inches
or look in the right column for mm!

fraction decimal mm fraction decimal mm fraction decimal mm
1/64 0.0156 0.3969 1 1/64 1.0156 25.7969 2 1/64 2.0156 51.1969
1/32 0.0313 0.7938 1 1/32 1.0313 26.1938 2 1/32 2.0313 51.5938
3/64 0.0469 1.1906 1 3/64 1.0469 26.5906 2 3/64 2.0469 51.9906
1/16 0.0625 1.5875 1 1/16 1.0625 26.9875 2 1/16 2.0625 52.3875
5/64 0.0781 1.9844 1 5/64 1.0781 27.3844 2 5/64 2.0781 52.7844
3/32 0.0938 2.3813 1 3/32 1.0938 27.7813 2 3/32 2.0938 53.1813
7/64 0.1094 2.7781 1 7/64 1.1094 28.1781 2 7/64 2.1094 53.5781
1/8 0.1250 3.1750 1 1/8 1.1250 28.5750 2 1/8 2.1250 53.9750
9/64 0.1406 3.5719 1 9/64 1.1406 28.9719 2 9/64 2.1406 54.3719
5/32 0.1563 3.9688 1 5/32 1.1563 29.3688 2 5/32 2.1563 54.7688
11/64 0.1719 4.3656 1 11/64 1.1719 29.7656 2 11/64 2.1719 55.1656
3/16 0.1875 4.7625 1 3/16 1.1875 30.1625 2 3/16 2.1875 55.5625
13/64 0.2031 5.1594 1 13/64 1.2031 30.5594 2 13/64 2.2031 55.9594
7/32 0.2188 5.5563 1 7/32 1.2188 30.9563 2 7/32 2.2188 56.3563
15/64 0.2344 5.9531 1 15/64 1.2344 31.3531 2 15/64 2.2344 56.7531
1/4 0.2500 6.3500 1 1/4 1.2500 31.7500 2 1/4 2.2500 57.1500
17/64 0.2656 6.7469 1 17/64 1.2656 32.1469 2 17/64 2.2656 57.5469
9/32 0.2813 7.1438 1 9/32 1.2813 32.5438 2 9/32 2.2813 57.9438
19/64 0.2969 7.5406 1 19/64 1.2969 32.9406 2 19/64 2.2969 58.3406
5/16 0.3125 7.9375 1 5/16 1.3125 33.3375 2 5/16 2.3125 58.7375
21/64 0.3281 8.3344 1 21/64 1.3281 33.7344 2 21/64 2.3281 59.1344
11/32 0.3438 8.7313 1 11/32 1.3438 34.1313 2 11/32 2.3438 59.5313
23/64 0.3594 9.1281 1 23/64 1.3594 34.5281 2 23/64 2.3594 59.9281
3/8 0.3750 9.5250 1 3/8 1.3750 34.9250 2 3/8 2.3750 60.3250
25/64 0.3906 9.9219 1 25/64 1.3906 35.3219 2 25/64 2.3906 60.7219
13/32 0.4063 10.3188 1 13/32 1.4063 35.7188 2 13/32 2.4063 61.1188
27/64 0.4219 10.7156 1 27/64 1.4219 36.1156 2 27/64 2.4219 61.5156
7/16 0.4375 11.1125 1 7/16 1.4375 36.5125 2 7/16 2.4375 61.9125
29/64 0.4531 11.5094 1 29/64 1.4531 36.9094 2 29/64 2.4531 62.3094
15/32 0.4688 11.9063 1 15/32 1.4688 37.3063 2 15/32 2.4688 62.7063
31/64 0.4844 12.3031 1 31/64 1.4844 37.7031 2 31/64 2.4844 63.1031
1/2 0.5000 12.7000 1 1/2 1.5000 38.1000 2 1/2 2.5000 63.5000
33/64 0.5156 13.0969 1 33/64 1.5156 38.4969 2 33/64 2.5156 63.8969
17/32 0.5313 13.4938 1 17/32 1.5313 38.8938 2 17/32 2.5313 64.2938
35/64 0.5469 13.8906 1 35/64 1.5469 39.2906 2 35/64 2.5469 64.6906
9/16 0.5625 14.2875 1 9/16 1.5625 39.6875 2 9/16 2.5625 65.0875
37/64 0.5781 14.6844 1 37/64 1.5781 40.0844 2 37/64 2.5781 65.4844
19/32 0.5938 15.0813 1 19/32 1.5938 40.4813 2 19/32 2.5938 65.8813
39/64 0.6094 15.4781 1 39/64 1.6094 40.8781 2 39/64 2.6094 66.2781
5/8 0.6250 15.8750 1 5/8 1.6250 41.2750 2 5/8 2.6250 66.6750
41/64 0.6406 16.2719 1 41/64 1.6406 41.6719 2 41/64 2.6406 67.0719
21/32 0.6563 16.6688 1 21/32 1.6563 42.0688 2 21/32 2.6563 67.4688
43/64 0.6719 17.0656 1 43/64 1.6719 42.4656 2 43/64 2.6719 67.8656
11/16 0.6875 17.4625 1 11/16 1.6875 42.8625 2 11/16 2.6875 68.2625
45/64 0.7031 17.8594 1 45/64 1.7031 43.2594 2 45/64 2.7031 68.6594
23/32 0.7188 18.2563 1 23/32 1.7188 43.6563 2 23/32 2.7188 69.0563
47/64 0.7344 18.6531 1 47/64 1.7344 44.0531 2 47/64 2.7344 69.4531
3/4 0.7500 19.0500 1 3/4 1.7500 44.4500 2 3/4 2.7500 69.8500
49/64 0.7656 19.4469 1 49/64 1.7656 44.8469 2 49/64 2.7656 70.2469
25/32 0.7813 19.8438 1 25/32 1.7813 45.2438 2 25/32 2.7813 70.6438
51/64 0.7969 20.2406 1 51/64 1.7969 45.6406 2 51/64 2.7969 71.0406
13/16 0.8125 20.6375 1 13/16 1.8125 46.0375 2 13/16 2.8125 71.4375
53/64 0.8281 21.0344 1 53/64 1.8281 46.4344 2 53/64 2.8281 71.8344
27/32 0.8438 21.4313 1 27/32 1.8438 46.8313 2 27/32 2.8438 72.2313
55/64 0.8594 21.8281 1 55/64 1.8594 47.2281 2 55/64 2.8594 72.6281
7/8 0.8750 22.2250 1 7/8 1.8750 47.6250 2 7/8 2.8750 73.0250
57/64 0.8906 22.6219 1 57/64 1.8906 48.0219 2 57/64 2.8906 73.4219
29/32 0.9063 23.0188 1 29/32 1.9063 48.4188 2 29/32 2.9063 73.8188
59/64 0.9219 23.4156 1 59/64 1.9219 48.8156 2 59/64 2.9219 74.2156
15/16 0.9375 23.8125 1 15/16 1.9375 49.2125 2 15/16 2.9375 74.6125
61/64 0.9531 24.2094 1 61/64 1.9531 49.6094 2 61/64 2.9531 75.0094
31/32 0.9688 24.6063 1 31/32 1.9688 50.0063 2 31/32 2.9688 75.4063
63/64 0.9844 25.0031 1 63/64 1.9844 50.4031 2 63/64 2.9844 75.8031
1" 1.0000 25.4000 2" 2.0000 50.8000 3" 3.0000 76.2000


MORE USEFUL CONVERSIONS
To convert decimal fractions of an inch to fractions of an inch.

Take the decimal fraction of feet and divide by 0.08333 (1/12th) and this will give you inches and decimals of an inch.
For example - 6.37 feet. Take the 0.37 feet and divide by 0.0833 = 4.44 inches .
So for 6.37 ft. we can also say 6 ft. - 4.44 in.
Now take the 0.44 in. and round it down to 0.4 which is 4/10"
We can now say 6.37' approximatly equals 6' - 4 4/10"

For fractions of an inch other than tenth's, take the decimal remainder of inches and divide by:
0.125 for the number of eighth's
0.0625 for the number of sixteenth's
0.03125 for the number of thirty-second's
0.015625 for the number of sixty-fourth's, and so on.

For example - 4.382 inches. For eighth's, divide the remainder, 0.382 by 0.125 and the answer is 3.056 so the fraction is a bit over 3 eighth's, therefore the answer ends up as approx. 4 3/8"


الكسور

We can describe numbers smaller than one by using decimals or fractions. Today, most systems use decimals, but it is still useful to know how to read and say simple fractions in English.

Look at these examples of fractions:

We write: We say:
½ a half OR one half
¼ a quarter OR one quarter
¾ three quarters
a third OR one third
two thirds
a fifth OR one fifth
three fifths
an eighth OR one eighth
five eighths
one and a half
five and three quarters

Although the system of fractions is not used much these days, we commonly use a few simple fractions in everyday speech, for example:


شاهد الفيديو: Math Antics - Converting Base-10 Fractions (ديسمبر 2021).