مقالات

5.1: المقدمة والأرقام الأساسية وأنظمة العد - الرياضيات


مقدمة

عندما نبدأ رحلتنا عبر تاريخ الرياضيات ، هناك سؤال واحد يجب طرحه وهو "من أين نبدأ؟" اعتمادًا على كيفية عرضك للرياضيات أو الأرقام ، يمكنك اختيار أي عدد من نقاط الانطلاق التي تبدأ منها. يقترح هوارد إيفز قائمة الاحتمالات التالية. [i]

من أين تبدأ دراسة تاريخ الرياضيات ...

  • في أول "براهين" هندسية منطقية تُنسب تقليديًا إلى طاليس ميليتوس (600 قبل الميلاد).
  • مع صياغة طرق القياس التي قام بها المصريون وبلاد ما بين النهرين / البابليون.
  • حيث بذلت شعوب ما قبل التاريخ جهودًا لتنظيم مفاهيم الحجم والشكل والعدد.
  • في أوقات ما قبل الإنسان بالمعنى البسيط للأرقام والتعرف على الأنماط التي يمكن أن تعرضها بعض الحيوانات والطيور وما إلى ذلك.
  • حتى قبل ذلك في العلاقات المدهشة للأرقام والأشكال الموجودة في النباتات.
  • مع السدم الحلزونية والمسار الطبيعي للكواكب وظواهر الكون الأخرى.

لا يمكننا اختيار أي نقطة بداية على الإطلاق وبدلاً من ذلك نتفق على أن الرياضيات لها دائما كانت موجودة وكانت تنتظر في الأجنحة حتى يكتشفها البشر. يمكن الدفاع عن كل من هذه المواقف إلى حد ما وأي منها تعتمد (إن وجد) يعتمد إلى حد كبير على أفكارك الفلسفية حول الرياضيات والأرقام.

ومع ذلك ، نحن بحاجة إلى نقطة انطلاق. بدون إصدار حكم على صحة أي من هذه الاحتمالات المعينة ، سنختار كنقطة انطلاقنا ظهور فكرة العدد وعملية العد كمنصة انطلاق لدينا. يتم ذلك في المقام الأول كمسألة عملية بالنظر إلى طبيعة هذه الدورة. في الفصل التالي سنحاول التركيز على فكرتين رئيسيتين. الأول سيكون فحص الأعداد الأساسية وأنظمة العد والرموز التي نستخدمها للأرقام. سننظر في نظام الأرقام الحديث (الغربي) الخاص بنا بالإضافة إلى تلك الخاصة بحضارتين مختارتين لنرى الاختلافات والتنوع الممكن عندما يبدأ البشر في العد. الفكرة الثانية التي سننظر فيها ستكون الأنظمة الأساسية. من خلال مقارنة نظامنا (العشري) الأساسي مع القواعد الأخرى ، سوف ندرك بسرعة أن النظام الذي اعتدنا عليه ، عندما يتغير قليلاً ، سوف يتحدى مفاهيمنا حول الأرقام وما تعنيه الرموز لهذه الأرقام في الواقع.

التعرف على أكثر مقابل أقل

تعود فكرة الأرقام وعملية العد إلى ما هو أبعد من الوقت الذي بدأ فيه التاريخ في التسجيل. هناك بعض الأدلة الأثرية التي تشير إلى أن البشر كانوا يعدون منذ 50000 سنة مضت. [2] ومع ذلك ، نحن لا نعرف حقًا كيف بدأت هذه العملية أو تطورت بمرور الوقت. أفضل ما يمكننا القيام به هو تخمين جيد لكيفية تقدم الأمور. ربما ليس من الصعب تصديق أنه حتى البشر الأوائل كان لديهم بعض الإحساس بذلك أكثر و أقل. حتى أن بعض الحيوانات الصغيرة لديها مثل هذا الشعور. على سبيل المثال ، يخبرنا أحد علماء الطبيعة عن كيفية إزالة بيضة واحدة كل يوم سرًا من عش الزقزاق. كانت الأم مجتهدة في وضع بيضة إضافية كل يوم لتعويض البيضة المفقودة. أظهرت بعض الأبحاث أنه يمكن تدريب الدجاج على التمييز بين الأعداد الفردية والزوجية من قطع الطعام. [3] مع وضع هذه الأنواع من النتائج في الاعتبار ، ليس من الصعب تصور أن البشر الأوائل لديهم (على الأقل) شعور مماثل أكثر و أقل. ومع ذلك ، فإن تخميناتنا حول كيف ومتى ظهرت هذه الأفكار بين البشر هي ببساطة ؛ التخمينات المستنيرة بناءً على افتراضاتنا الخاصة لما كان يمكن أو يمكن أن يكون.

الحاجة إلى العد البسيط

مع تطور المجتمعات والبشرية ، فإن مجرد الشعور أكثر أو أقل ، حتى أو غريب ، وما إلى ذلك ، قد يثبت أنه غير كافٍ لتلبية احتياجات الحياة اليومية. عندما تشكلت القبائل والجماعات ، أصبح من المهم أن تكون قادرًا على معرفة عدد الأعضاء في المجموعة ، وربما عددهم في معسكر العدو. من المؤكد أنه كان من المهم بالنسبة لهم معرفة ما إذا كان حجم قطيع الأغنام أو الحيوانات المملوكة الأخرى يتزايد أو يتناقص في الحجم. "كم منهم لدينا ، على أي حال؟" هو سؤال لا نواجه صعوبة في تخيلهم يسألونه لأنفسهم (أو بعضهم البعض).

من أجل عد العناصر مثل الحيوانات ، غالبًا ما يُخمن أن إحدى الطرق المبكرة للقيام بذلك ستكون باستخدام "عصي العد". هذه هي الكائنات المستخدمة لتتبع عدد العناصر المراد عدها. باستخدام هذه الطريقة ، تمثل كل "عصا" (أو حصاة ، أو أي جهاز عد مستخدم) حيوانًا أو كائنًا واحدًا. تستخدم هذه الطريقة فكرة مراسلة شخص لشخص. في المراسلات الفردية ، ترتبط العناصر التي يتم عدها بشكل فريد ببعض أدوات العد.

في الصورة على اليمين ، ترى كل عصا تقابل حصانًا واحدًا. من خلال فحص مجموعة العصي في متناول اليد ، يعرف المرء عدد الحيوانات التي يجب أن تكون موجودة. يمكنك تخيل فائدة مثل هذا النظام ، على الأقل بالنسبة لعدد أصغر من العناصر التي يجب تتبعها. إذا أراد أحد الرعاة "عد" حيواناته للتأكد من أنها جميعًا حاضرة ، فيمكنه عقليًا (أو منهجيًا) تعيين كل عصا لحيوان واحد والاستمرار في القيام بذلك حتى يقتنع بأن جميعها قد تم حسابها.

بالطبع ، في نظامنا الحديث ، استبدلنا العصي بأشياء أكثر تجريدية. على وجه الخصوص ، يتم استبدال العصا العلوية بالرمز "1" ، ويتم استبدال العصا الثانية بالرمز "2" ويتم تمثيل العصا الثالثة بالرمز "3" ، لكننا نتقدم على أنفسنا هنا. استغرق ظهور هذه الرموز الحديثة قرونًا عديدة.

هناك طريقة أخرى محتملة لاستخدام طريقة العد "tally stick" وهي عمل العلامات أو قطع الشقوق إلى قطع من الخشب ، أو حتى ربط العقد في الخيط (كما سنرى لاحقًا). في عام 1937 ، اكتشف كارل أبسولوم عظمة ذئب يعود تاريخها إلى 30000 عام. يُعتقد أنه جهاز عد. [4] مثال آخر على هذا النوع من الأدوات هو Ishango Bone ، الذي تم اكتشافه في عام 1960 في Ishango ، والموضح أدناه. [v] ويقال إنه يتراوح عمره بين ستة وتسعة آلاف عام و يُظهر ما يبدو أنه علامات مستخدمة للقيام بالعد من نوع ما.

العلامات على الصفين (أ) و (ب) تضيف ما يصل إلى 60. الصف (ب) يحتوي على الأعداد الأولية بين 10 و 20. يبدو أن الصف (ج) يوضح طريقة المضاعفة والضرب التي استخدمها المصريون. يُعتقد أن هذا قد يمثل أيضًا عدادًا لمرحلة القمر.

كلمات منطوقة

مع تطور طرق العد ، ومع تقدم اللغة أيضًا ، من الطبيعي توقع ظهور الكلمات المنطوقة للأرقام. لسوء الحظ ، فإن تطورات هذه الكلمات ، خاصة تلك المقابلة للأرقام من واحد إلى عشرة ، ليس من السهل تتبعها. ومع ذلك ، فإننا نرى بعض الأنماط في العشرة الماضية:

يأتي أحد عشر من "ein lifon" التي تعني "واحد متبقي".

اثنا عشر من "twe lif" ، والتي تعني "اثنان متبقيان".

ثلاثة عشر يأتي من "ثلاثة وعشرة" كما هو الحال من أربعة عشر إلى تسعة عشر.

يبدو أن عشرين يأتي من "twe-tig" التي تعني "عشرين".

ربما تأتي مائة من مصطلح يعني "عشر مرات".

أرقام مكتوبة

عندما نتحدث عن الأرقام "المكتوبة" ، علينا توخي الحذر لأن هذا قد يعني مجموعة متنوعة من الأشياء. من المهم أن تضع في اعتبارك أن الورق الحديث يزيد عمره قليلاً عن 100 عام ، لذا غالبًا ما اتخذت "الكتابة" في الماضي أشكالًا قد تبدو غير مألوفة لنا اليوم.

كما رأينا سابقًا ، قد يعتبر البعض العصي الخشبية ذات الشقوق المنحوتة فيها كتابة لأنها وسائل لتسجيل المعلومات على وسيط يمكن "قراءته" من قبل الآخرين. بالطبع ، لم تترك الرموز المستخدمة (الشقوق البسيطة) بالتأكيد الكثير من المرونة لتوصيل مجموعة متنوعة من الأفكار أو المعلومات.

تشمل الوسائط الأخرى التي ربما تكون قد حدثت فيها "الكتابة" المنحوتات على الحجر أو الألواح الفخارية ، والورق الخشن المصنوع يدويًا (12ذ قرن في أوروبا ، ولكن في وقت سابق في الصين) ، ورق البردي (اخترعه المصريون واستُخدم حتى الإغريق) ، ومخطوطات من جلود الحيوانات. وهذه ليست سوى عدد قليل من الاحتمالات العديدة.

هذه مجرد أمثلة قليلة للطرق المبكرة للعد والرموز البسيطة لتمثيل الأرقام. تم إجراء العديد من الكتب والمقالات والأبحاث حول هذا الموضوع ويمكن أن توفر معلومات كافية لملء هذه الدورة التدريبية بأكملها إذا سمحنا لها بذلك. إن نطاق وتنوع الفكر الإبداعي الذي تم استخدامه في الماضي لوصف الأرقام ولإحصاء الأشياء والأشخاص مذهل. لسوء الحظ ، ليس لدينا الوقت لفحصها جميعًا ، ولكن من الممتع والممتع النظر إلى نظام واحد بمزيد من التفصيل لمعرفة مدى براعة الأشخاص.


[i] إيفز ، هوارد ؛ مقدمة في تاريخ الرياضيات ، ص. 9.

[الثاني] حواء ، ص. 9.

[iii] ماكليش ، جون ؛ قصة الأرقام - كيف شكلت الرياضيات الحضارة ، ص. 7.

[iv] بونت ، لوكاس ؛ جونز ، فيليب ؛ بيدينت ، جاك الجذور التاريخية للرياضيات الابتدائية ، ص. 2.

[v] http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_zaire-uganda.html


قبل أن نبدأ ، دعونا نجرب القليل من النشاط من أجل المتعة. هناك العديد من الطرق المختلفة لتمثيل اللون ، ولكن أحد أكثرها شيوعًا هو نموذج ألوان RGB. باستخدام هذا النموذج ، يتكون كل لون من مزيج من كميات مختلفة من الأحمر والأخضر والأزرق.

قد تتساءل عن كيفية ارتباط الألوان بأنظمة الأرقام. باختصار ، يتم تخزين أي لون على جهاز الكمبيوتر بعدد كبير: مزيج من الأحمر والأخضر والأزرق. (سنخوض في مزيد من التفاصيل حول هذا لاحقًا.) نظرًا لأنه مجرد رقم ، يمكن تمثيله بعدة طرق باستخدام أنظمة أرقام مختلفة.

تتمثل مهمتك في تخمين مقدار اللون الأحمر والأخضر والأزرق في لون خلفية النشاط أدناه. يمكن أن تتراوح قيم الأحمر والأخضر والأزرق من 0 إلى 255.

لا تتردد في استخدام التلميحات المختلفة المقدمة لمساعدتك. إذا لم تفهم التلميحات العددية حتى الآن ، فلا مشكلة! يمكنك أن ترى كيف يبدو تخمينك باستخدام امتداد تحقق من التخمين زر. وإذا تسبب لون الخلفية في صعوبة قراءة النص ، فاضغط لون جديد. في الوقت الحالي ، قد يبدو الأمر صعبًا ، لكن نأمل في نهاية المقال أن يبدو سهلاً.


الأعداد في الرياضيات

في الرياضيات ، تستخدم الأرقام للعد والقياس والحساب.

ذكرت المقدمة أن عدد عشري أو القاعدة 10 النظام الذي يستخدمه الكثير منا ويتعرف عليه.

في النظام العشري ، نستخدم 10 أرقام لتمثيل الأرقام:

0 صفر | 1 واحد | 2 اثنان | 3 ثلاثة | 4 أربعة | 5 خمسة | 6 ستة | 7 سبعة | 8 ثمانية | 9 تسعة

يتم ترتيب الأرقام التي لا يمكن تمثيلها برقم واحد في أعمدة تسمى قيم المكان. يتم عرض قيم الأماكن في الأمثلة التالية كمربعات معنونة لكل عمود. عادة لا نخصص & rsquot الأعمدة لمساعدتنا ، لذلك علينا أن نتخيلها.

عندما نعد من صفر إلى تسعة ، نفد من الأرقام الفردية لوصف الأعداد من عشرة فصاعدًا. لعرض العدد عشرة ، نحتاج إلى عمودين. تتكون العشرة من وحدة واحدة من عشرة وصفر وحدات:

وبالمثل ، فإن العدد سبعة وعشرون يتكون من عشرين وسبع وحدات ، وبالتالي يتم عرضه على النحو التالي:

نفد الأعمدة مرة أخرى عندما يصل كل من أعمدة العشرات والوحدات إلى 9 (تسعة وتسعين ، 99). لذلك عندما نريد التعبير عن مائة ، علينا استخدام عمود ثالث:

لذلك سيتم عرض العدد ثلاثمائة وثمانية وخمسين في ثلاثة أعمدة على النحو التالي:

نظرًا لأننا نعد تصاعديًا لأعداد أكبر وأكبر ، نحتاج إلى إضافة المزيد والمزيد من الأعمدة. تستمر الأعداد إلى ما لا نهاية ، لذلك يستمر نظام الأعمدة بلا حدود أيضًا.

مليون ومائتان وأربعة وخمسون ألفًا وثمانمائة وستة وعشرون على سبيل المثال ، سيتم كتابتها على النحو التالي:

يعمل هذا النظام أيضًا مع الأرقام السالبة ، أي الأرقام الأقل من الصفر. تظهر الأرقام السالبة عادةً مع الرمز & lsquo - & lsquo السابق ، لذا فإن ناقص 1 سيتم كتابته كـ 1.

ملحوظة: عند كتابة أعداد كبيرة من ألف أو أكثر ، يمكننا تسهيل قراءة الرقم عن طريق تقسيمه إلى مجموعات من ثلاثة أرقام بمسافات أو فواصل. قد يكون الرقم أعلاه مكتوبًا

ليس من الضروري القيام بذلك ، لكنه قد يكون أكثر لطفًا مع القارئ. من المريح قراءة الأعداد الكبيرة في مجموعات من ثلاثة أرقام. يتم وضع الفواصل أو المسافات بشكل ملائم للفصل بين الآلاف والملايين والمليارات والتريليونات وما إلى ذلك.

تحذير! تطبق الاتفاقيات الدولية ...

تختلف طريقة استخدام الفواصل أو المسافات في جميع أنحاء العالم.

في هولندا ، على سبيل المثال ، يتم استخدام النقاط بدلاً من ذلك. لذلك سيكون مثالنا مكتوبًا 1.254.826. في المملكة المتحدة ، تُستخدم النقطة للإشارة إلى الفاصلة العشرية عند كتابة جزء من رقم (انظر صفحاتنا على الكسور و الكسور العشرية) ، ولكن في هولندا يستخدمون فاصلة لهذا الغرض.

احرص دائمًا على التحقق من التقاليد الخاصة بالبلد الذي تتواجد فيه - فقد يعني ذلك الفرق بين الحصول على حقيبة أو شاحنة مليئة بالبطاطس!


الأعداد وأنظمة الأرقام

رقم هي وحدة أساسية في الرياضيات. تستخدم الأرقام لحساب وقياس ومقارنة المبالغ. نظام الأرقام هو مجموعة من الرموز أو الأرقام التي تُستخدم لتمثيل الأرقام. يستخدم نظام الأرقام الأكثر شيوعًا 10 رموز تسمى أرقام — 0 و 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 و 7 و 8 و 9 — ومجموعات من هذه الأرقام.

أنواع الأعداد

يمكن تصنيف الأرقام بعدة طرق. أبسط فئة هي الأعداد الطبيعية ، أو الأعداد العد (1 ، 2 ، 3 ، ...). مع إضافة 0 ، تُعرف هذه الأعداد الصحيحة.

تسمى الأعداد الطبيعية أيضًا أرقامًا موجبة لأنها أكبر من 0. لكل رقم من الأرقام الموجبة ، يوجد أيضًا رقم سالب (−1 ، −2 ، −3 ، ...). الأعداد السالبة أقل من 0. الأعداد الطبيعية ومكافئاتها السالبة والصفر تشكل مجموعة الأعداد التي تسمى الأعداد الصحيحة. يمكن تصوير الأعداد الصحيحة كنقاط على خط يستمر إلى الأبد في كلا الاتجاهين.

الكسور هي أعداد تمثل أجزاء من الكل. تتم كتابة الكسور كأرقام مفصولة بسطر ، كما في 3 /4. الرقم الموجود أسفل الخط يسمى المقام. الرقم الموجود فوق الخط يسمى البسط. عند قراءة الكسر ، يذكر البسط أولاً. على سبيل المثال ، 3 /4 تقرأ على أنها "ثلاثة أرباع". يمكن عرض الكسور على خط الأعداد أيضًا.

يمكن أيضًا كتابة الكسور بشكل يسمى الكسور العشرية. تتم كتابة الكسور العشرية باستخدام الأرقام (0-9) جنبًا إلى جنب مع نقطة تسمى الفاصلة العشرية. يمكن تحويل الكسر إلى كسر عشري بقسمة البسط على المقام. بهذه الطريقة 3 /4 يمكن تغييرها إلى الرقم العشري 0.75.

أنظمة الأعداد القديمة

ربما كان أول نظام للأرقام هو نظام العد. في هذا النظام ، تم عمل علامة منفصلة لكل عنصر يتم عده. كان هذا النظام مفيدًا فقط بأعداد صغيرة.

طور قدماء المصريين نظامًا معقدًا لكتابة أعداد كبيرة في رموز تسمى الهيروغليفية. كان هناك رمز هيروغليفي واحد للرقم 1000. لكن لكتابة الرقم 999 ، كان من الضروري كتابة الرمز لـ 100 تسع مرات ، ثم الرمز لـ 10 تسع مرات ، وأخيراً الرمز لـ 1 تسع مرات.

استخدم الرومان القدماء الحروف لتمثيل الأرقام - أنا لـ 1 ، V لـ 5 ، X لـ 10 ، L لـ 50 ، C لـ 100 ، D لـ 500 ، و M لـ 1000. يُعرف هذا النظام بالأرقام الرومانية. في الأرقام الرومانية ، تتم كتابة 256 كـ CCLVI.

Base-ten وأنظمة أخرى

يُطلق على نظام الأرقام الأكثر شيوعًا المستخدم اليوم نظام الأساس العشري أو النظام العشري. يتكون من 10 أرقام (0-9) يمكن دمجها لكتابة أي رقم. اخترع الهندوس نظام القاعدة العشرة في الهند القديمة. في وقت لاحق ، قام العرب بتحسين النظام. لهذا السبب تسمى الأرقام من 0 إلى 9 بالأرقام الهندية-العربية.

في نظام الأساس العشري ، تعتمد قيمة كل رقم على موضعه أو "مكانه" في رقم. هناك "خانة الآحاد" و "خانة العشرات" و "خانة المئات" وهكذا دواليك. في الرقم 456 ، على سبيل المثال ، الرقم 4 في خانة المئات ، والعدد 5 في خانة العشرات ، والعدد 6 في خانة الآحاد. الرقم 456 ، إذا كتب بطريقة أخرى ، يمثل (4 × 100) + (5 × 10) + (6 × 1).

لبعض الأغراض ، تكون أنظمة الأرقام الأخرى أكثر فائدة من نظام الأساس العشري. على سبيل المثال ، تستخدم أجهزة الكمبيوتر نظام الأرقام ذي الأساس الثاني أو الثنائي. بدلاً من 10 أرقام ، يستخدم هذا النظام اثنين فقط - 0 و 1. في جهاز الكمبيوتر ، تمثل هذه الأرقام "إيقاف" و "تشغيل" ، وهما الحالتان الوحيدتان المحتملتان للمفاتيح الكهربائية للكمبيوتر.


اطبع المورد أو احفظه بصيغة PDF

ميزة الطباعة غير متوافقة حاليًا مع Firefox.

يصف هذا الحساب كيف يتطور الرقم في مرحلة ما قبل المدرسة ، من حوالي ثلاث إلى خمس سنوات ، ويقدم نظرة عامة أكثر تفصيلاً عن المهارات والمفاهيم المختلفة التي يحتاجها الأطفال لتحقيق الكفاءة في العد. يجب أن يتناول المنهج التعليمي المتعمد كل هذه الموضوعات.

السياق والنظرة العامة
يطور الأطفال الصغار ، حتى الرضع ، مفاهيم أساسية غير لفظية للكمية: أكثر / أقل ، ترتيب ، نفس ، إضافة / طرح. يتعلم الأطفال معظم هذه الأشياء بأنفسهم ، دون مساعدة من الكبار. غالبًا ما يستخدم الأطفال هذه المفاهيم في الحياة اليومية ، على سبيل المثال ، لتحديد من لديه أكثر أو أقل من الآيس كريم. تعتبر مفاهيم وإجراءات الأطفال مفيدة في ظل ظروف معينة ولكنها تحتاج إلى إثراء. (ربما لهذا السبب تم اختراع الرقم: يحتاج الراعي أن يعرف ليس فقط أن لديه الكثير من الأغنام ، ولكن أيضًا كم عددها بالضبط.) هذا ما يعرفه الأطفال وما يحتاجون إلى تعلمه في سن الثالثة والرابعة والخامسة تقريبًا.

أكثر / أقل
يحتاج الأطفال إلى أن يكونوا قادرين على رؤية أن هناك أشياء أكثر من هناك. غالبًا ما يحلون هذه المشكلة ليس عن طريق العد بل بالمظهر الجسدي. "هذا القطيع من الأوز في السماء يجب أن يكون أكبر لأنه يغطي مساحة أكبر من القطيع الآخر." غالبًا ما يكون هذا النهج مناسبًا ولكنه قد يؤدي إلى إجابات خاطئة وارتباك.

طلب
تعتبر الأحكام التي تكون أكثر أو أقل كافية للعديد من الأغراض ، ولكن في بعض الأحيان يجب إجراء مقارنة بين أكثر من شيئين. وهكذا فإن فكرة النظام والتي تتضمن أفكارًا دقيقة:

  • في مجموعة من ثلاثة كائنات ، يكون العنصر الثاني أكبر من العنصر الذي يسبقه ولكنه أصغر من العنصر الذي يليه.
  • أيضًا ، يمكن أن يصبح العنصر الذي كان أول مرة أخيرًا بموجب ترتيب جديد.

مرة أخرى ، يميل الأطفال الصغار إلى الاعتماد كثيرًا على المظاهر لحل المشكلات.

نفس الرقم
فكرة نفس الرقم يتطور ، حتى بدون مساعدة الكبار ، عبر عدة مراحل:

  • تتمثل الخطوة الأولى في ملاحظة أن مجموعتين متطابقتين في الشكل والترتيب هي أيضًا نفس العدد. وبالتالي ، إذا تم وضع دب بني ودب كناري أصفر أسفل دب بني آخر ودب كناري أصفر ، فإن كلا الصفين متماثلان في العدد (وكذلك في الشكل واللون والترتيب).
  • تتمثل الخطوة الثانية في ملاحظة أن مجموعتين مختلفتين في اللون أو الشكل يمكن أن تظل متماثلة في العدد. وهكذا ، إذا تم وضع دب بني وطائر كناري أصفر مباشرة تحت خنزير وردي ومالك الحزين الأزرق ، فإن كلا الصفين متماثلان في العدد (والترتيب ، على الرغم من اختلافهما في الشكل واللون).
  • الخطوة الثالثة هي رؤية مجموعتين تختلفان فقط في الترتيب هما نفس العدد. وهكذا ، إذا كان الدب البني والكناري الأصفر ليس وضعت مباشرة تحت خنزير وردي ومالك الحزين الأزرق ولكن بدلاً من ذلك تقع في مكان آخر ، كلا المجموعتين متماثلتان في العدد (على الرغم من اختلافهما في الترتيب والشكل واللون)
  • الرابع هو رؤية أن المجموعة الواحدة ، عند إعادة ترتيبها ، يكون لها نفس العدد كما كانت قبل أن يتم تحريكها. وهكذا ، إذا رأى الطفل أولاً دبًا بنيًا وكناريًا أصفر في ترتيب واحد ، والذي يتم تحويله بعد ذلك ، يدرك الطفل أن الرقم لم يتغير عما كان عليه قبل إعادة الترتيب.
  • خامسًا ، أولًا نرى أن المقدارين يتماثلان في العدد عندما يبدوان متشابهين ، على سبيل المثال ، خمس بيضات متتالية وخمسة أكواب بيض متتالية لها نفس العدد. ولكن بعد ذلك ، إذا كان هناك تحول (على سبيل المثال ، نثر البيض بعيدًا بحيث يكون خط البيض أطول من خط أكواب البيض) ، يجب أن يكون الطفل قادرًا على فهم أن البيض وأكواب البيض متساوية في العدد. على الرغم من أن الخطين يبدوان مختلفين.

فكرة مضيفا مما أدى إلى المزيد و طرح في أقل
يتعلم الأطفال أن:

  • عندما تضيف شيئًا إلى مجموعة موجودة ، تكون النتيجة أن لديك أكثر مما كان لديك في البداية.
  • إذا بدأت بمجموعتين من نفس الرقم ، وبالسحر (بينما لا ينظر الطفل) ، فإن مجموعة واحدة الآن أكبر عددًا من الأخرى ، يجب أن تكون قد أضفتها إلى واحدة أو طرحت من الأخرى
  • لست مضطرًا إلى العد للوصول إلى هذه الأحكام المتعلقة بالجمع والطرح الأكثر أهمية: يمكنك حل المشكلة عن طريق السبب وحده.

تحتاج التعليمات اللاحقة إلى البناء على كل هذه الأفكار عند تقديم الأرقام المكتوبة.

السياق والنظرة العامة
في الحياة اليومية ، نستخدم كلمات العد طوال الوقت ، ونختار العناصر من السوبر ماركت ("نحن بحاجة إلى موزتين") أو نلعب "10 ، تسعة ، ثمانية ، ... انطلق!" يحب الأطفال العد بأعلى مستوى ممكن ، مثل الكبار. قد يكونون مهتمين حتى باسم أكبر رقم. الطلاقة في كلمات العد تساعد في الحساب لاحقًا.

ذاكرة روتينية بلس
في البداية ، يحفظ الأطفال كلمات العد من حوالي 1 إلى 10 أو نحو ذلك. لكن تعلمهم لا يتعلق بالذاكرة فقط. يتعلم الأطفال بعض الأفكار والقواعد المتعلقة بالأرقام أيضًا ، أي أن الترتيب الصحيح هو أن الأرقام الأساسية تختلف عن الأحرف وليس من المفترض أن تتخطى الأرقام أو تكررها عند العد.

هيكل
لاحقًا ، يلتقط الأطفال البنية الأساسية للعدد: عشرة هي الوحدة الأساسية (20 ، 30 ، إلخ) ونضع الوحدات على العشرات (واحد وعشرين إلخ.). قواعد نطق كلمات العد باللغة الإنجليزية من أحد عشر ل تسعة عشر يصعب تعلمها بشكل خاص لأنها سيئة التصميم. أحد عشر يجب أن تكون "عشرة - واحد" تمامًا مثل واحد وعشرين. خمسة عشر يجب أن يكون "عشرة وخمسة" مثل خمسة وعشرون. هذا صحيح بالنسبة للغات شرق آسيا ، لكن اللغة الإنجليزية والعديد من اللغات الأخرى لا تفعل ذلك. على النقيض من ذلك ، فإن اللغة الإنجليزية مصممة جيدًا إلى حد ما للأرقام التي تبدأ بـ عشرين. كل كلمة من عشرات الكلمات تشبه كلمة وحدة. أربعين يشبه أربعة ثمانون مثل ثمانية، وهكذا. خمسون يأتي قبل ستين. (مشكلة بسيطة إلى حد ما هي أن عشرين يجب أن يبدو أكثر مثل اثنين ومن الناحية المثالية يجب أن تكون "اثنان إلى عشرة" ثلاثين يجب أن يكون "ثلاثة - عشرة" وهكذا). بعد نطق عشرات الكلمات ، يقوم الطفل بإلحاق كلمات الوحدة ، واحد عبر تسع. تعلم العد حتى 20 وما بعده هو أول تجربة للطفل مع أفكار العشرة الأساسية. في هذه الحالة ، يحتاج التدريس إلى التأكيد على نمط الأساس العشري الكامن وراء أرقام العد: الهيكل. نحن بحاجة إلى "إرشاد" (تعليم الهيكل) وليس "إرشاد".

السياق والنظرة العامة
تتأثر أفكار الأطفال حول نفسه ، وأكثر ، وأقل ، والنظام بشكل كبير بالإدراك ومنطقهم غير الكامل (على سبيل المثال ، ما يبدو أكثر هو أكثر). هذه أفكار جيدة لكنها تفتقر إلى الدقة ، لذلك يحتاج الأطفال إلى المساعدة في اتخاذ الخطوة التالية. يمكن استخدام كلمات العد التي يتعلمها الأطفال في وقت مبكر تعداد في تحديد العدد الدقيق للمجموعة ، يكون العدد الأصلي هذا يخبرنا كم. يعد التعداد الدقيق والفهم الدقيق للرقم الأساسي أمرًا أساسيًا لجميع العمليات الحسابية (والقياس) وليسا بالبساطة التي تبدو عليها. بل إنها تنطوي على أفكار رياضية أساسية وتفكير استراتيجي.

المبادئ اللازمة لفهم التعداد
تعداد يشير إلى استخدام كلمات العد لمعرفة عدد العناصر. (وهذا يشمل أي شيء ، من الوحوش الخيالية إلى الكرات). يجب أن يتعلم الأطفال اتباع العديد من القواعد والمبادئ للعدد بدقة. هذه المجموعة من القواعد أساسية:

  • قل عدد الكلمات بترتيبها الصحيح.
  • تطابق كلمة رقم واحد مع شيء واحد فقط (مراسلة شخص لشخص بين كلمة العدد والشيء).
  • عد كل شيء مرة واحدة فقط.

بالنظر إلى هذه القواعد والمبادئ ، هناك عدة طرق للعد بدقة. يجب أن يكون الأطفال قادرين على:

  • "انظر" الأعداد الصغيرة (حتى أربعة أو نحو ذلك) دون العد. هذا هو subitizing، والتي يمكن أن تقلل من إرهاق العد.
  • عد كائنًا واحدًا في كل مرة.
  • أشر إلى الأشياء.
  • ادفع الأشياء جانبًا لتتبع أي منها تم حسابه.
  • ضع الأشياء في خط أو ترتيب آخر منظم.
  • اعتمد على الأصابع.
  • قم بتجميع الكائنات في مجموعات مناسبة يمكن تصنيفها أو عدها.
  • تجميع في 10s.
  • تحقق من الجواب.

يحتاج الأطفال إلى تعلم استخدام هذه الأساليب في المواقف المناسبة. على سبيل المثال ، إذا كان هناك كائنان فقط ، فإن التقسيم الفرعي قد يكون مفيدًا ، ولكن إذا كان هناك تسعة ، فيمكن الإشارة إلى دفع الأشياء جانبًا.

فهم العلاقة الأساسية
يحتاج الأطفال الذين يعددون بدقة أيضًا إلى فهم النتيجة المحققة. افترض أن الطفل يعد بدقة خمسة أشياء. لا يعني التعداد الصحيح وحده بالضرورة أن الطفل يفهم العلاقة الأساسية. عند سؤاله عن عدد الأشياء الموجودة ، يمكن للطفل ببساطة عد الأشياء مرة أخرى. بالنسبة لذلك الطفل ، فإن الإجابة عن السؤال المتعلق بعدد الأشخاص ينشط ببساطة روتين العد ولكنه لا يوفر فهمًا للنتيجة. يحتاج الأطفال إلى تعلم عدة أشياء عن الرقم الأصلي. الفكرة الأساسية هي أن التعداد الصحيح ينتج القيمة الأساسية للمجموعة. كلمة الرقم الأخير لا تشير إلى آخر كائن تم عده ولكن إلى المجموعة ككل. عندما نحسب ، يشير الرقم الأول إلى الكائن الأول الثاني لا يشير إلى الكائن الثاني الذي تم حسابه ولكن إلى الكائنين في المجموعة الجديدة ، وهكذا. علاوة على ذلك ، بمجرد أن يقرر الطفل وجود خمسة أشياء في المجموعة ، لا يهم ما إذا كانت مخفية ، أو إذا تم إعادة ترتيب الأشياء ببساطة (لنقل من خط مستقيم إلى دائرة). لا تزال هناك خمسة أشياء. هذا هو حفظ العدد.

الأخطاء الشائعة أو المفاهيم الخاطئة
عند العد ، غالبًا ما يعتمد الأطفال بشكل كبير على المظهر الجسدي ، تمامًا كما فعلوا في التحديد أكثر أو أقل. يجب أن يكون أحد أهداف التدريس هو مساعدة الأطفال على تعلم أن العقل يجب أن يتفوق على المظهر. يحتاج الأطفال إلى التفكير بشكل تجريدي في الأشياء الملموسة. في النهاية ، يحتاجون إلى تضمين فهم العدد الأساسي (على سبيل المثال ، الفكرة المجردة بأن هناك خمسة أشياء هنا) داخل نظام العدد الأكبر ، على سبيل المثال ، أن الخمسة تأتي بعد أربعة ونصف العدد 10.

السياق والنظرة العامة
بعد ذلك نحتاج إلى فهم كيفية عمل مفاهيم أكثر / أقل ، أمر ، نفس ، جمع وطرح بدون رقم محدد (مع العلم أن الإضافة تعني جعل المجموعة أكبر حتى إذا كنت لا تعرف العدد الدقيق) ، و تعداد الحصول على تفصيل لإنشاء الجمع والطرح العددي. يتعلم الأطفال بعضًا من هذا بمفردهم ، لكن يمكن للبالغين المساعدة ويجب عليهم ذلك.

إضافة الفهم
يجب تعلم هذه المفاهيم لفهم الجمع (الطرح مشابه):

  • يمكن التفكير في الإضافة بعدة طرق ، بما في ذلك الجمع بين مجموعتين ، وزيادة حجم مجموعة واحدة ، والقفز إلى الأمام على خط الأعداد.
  • العد البسيط يضيف أيضًا ، واحدًا تلو الآخر.
  • ترتيب الإضافة لا فرق (الخاصية التبادلية).
  • إضافة الصفر لا يغير شيئا.
  • يمكن أن ينتج عن مجموعات مختلفة من الأرقام نفس المجموع.
  • الجمع معكوس الطرح.

الاستراتيجيات المستخدمة في الجمع (أو الطرح)
غالبًا ما يبدأ الأطفال باستخدام الأشياء والأصابع الملموسة للإضافة ولكنهم يتعلمون تدريجيًا الحساب الذهني ويتذكرون بعض المبالغ.

  • باستخدام الأشياء الملموسة ، يمكن للأطفال القيام بما يلي لحل مشكلة بسيطة مثل 3 + 2: يمكنهم جount الكل ("لدي ثلاثة هنا واثنان هناك والآن أدفعهم معًا وأعدهم جميعًا للحصول على خمسة ") أو يمكنهم جount على من الأكبر ("يمكنني أن أبدأ بثلاثة ثم أقول ، أربعة ، خمسة.")
  • عند الاقتراب من المشكلة عقليًا ، قد يحل الأطفال المشكلة من خلال الحقائق المشتقة ، والبناء على ما هو معروف ("أعلم أن اثنين واثنين هو أربعة ، لذلك أقوم بإضافة واحد للحصول على خمسة") وبالذاكرة ("أنا أعرف ذلك! ").

المزيد من ميزات الجمع والطرح العددي

  • من المفيد دائمًا أن يكون لديك إستراتيجيات احتياطية في حالة عدم عمل أحدهم. على سبيل المثال ، إذا لم تكن متأكدًا من الذاكرة ، فيمكن للطفل دائمًا الاعتماد للحصول على الإجابة.
  • من المهم أن يكون الطفل قادرًا على التحقق من الإجابة.
  • من المهم أن يشرح الطفل سبب إعطاء 3 + 2 خمسة كإجابة ، لأن الدليل هو فعل اجتماعي يتطلب لغة.
  • يحتاج الطفل إلى تعلم استراتيجيات مختلفة لأحجام مجموعة مختلفة. (يعد العد واحدًا تلو الآخر مفيدًا لإضافة مجموعات صغيرة ولكنه ممل وغير فعال للمجموعات الأكبر.)
  • يجب أن يكون الطفل أيضًا قادرًا على وصف كيفية حصوله على الإجابة. (الوعي الذاتي هو أحد جوانب ما وراء المعرفة. بالطبع ، تذكر ما فعلته للتو أمر ضروري لوصفه بالكلمات.)
  • اللغة أمر حيوي لوصف عمل الفرد وتفكيره ، ولإقناع الآخرين بضرورة تعلم الأطفال مفردات رياضية.
  • يجب أن يكون الطفل قادرًا على تطبيق الرياضيات في مواقف حقيقية أو قصص حول مواقف حقيقية (مثل مشاكل الكلمات).

السياق والنظرة العامة
يحتاج الأطفال إلى تطوير الإحساس بالأرقام ، وهو مفهوم من الصعب تحديده بطريقة بسيطة وحصرية. أحب أن أفكر في الأمر على أنه ذكاء رياضي رياضي ، والذي يمكن استخدامه في أي منطقة من الأرقام تقريبًا ، بما في ذلك تلك التي تمت مناقشتها أعلاه. يحتوي الإحساس بالأرقام ، الذي يساعد الطفل على فهم العالم ، على عدة مكونات ، يخضع كل منها لعملية تطوير.

التفكير بدلا من الحساب
يتضمن الإحساس بالأرقام استخدام الأفكار الأساسية لتجنب الكدح الحسابي ، كما هو الحال عندما يعرف الطفل أنه إذا أضفت اثنين وثلاثة وحصلت على خمسة ، فلن تضطر إلى الحساب للحصول على الإجابة على ثلاثة وثلاثة.

استخدم ما هو مناسب
يتضمن الإحساس بالأرقام تقسيم الأرقام إلى أجزاء ملائمة تجعل الحساب أسهل ، كما هو الحال عندما نضيف عقليًا 5 + 5 + 1 بدلاً من 5 + 6.

معرفة ما هو معقول أو مستحيل
قد ينطوي الإحساس بالأرقام على "إحساس" بالأرقام بمعنى معرفة ما إذا كانت بعض الأرقام هي إجابات معقولة لمشاكل معينة (إذا كنت تضيف رقمين وثلاثة فأنت تعلم أن الإجابة يجب أن تكون أعلى من ثلاثة أي شيء أقل ليس فقط غير قابل للتصديق ولكنه مستحيل ).

فهم العلاقات
يتضمن معنى الرقم حدسًا حول العلاقات بين الأرقام. (على سبيل المثال ، "هذا" أكبر بكثير "من ذلك.)

الطلاقة
ينطوي الإحساس بالأرقام على الطلاقة في التعامل مع الأرقام ، كما هو الحال عندما يعرف الطفل على الفور أن ثمانية أكبر من أربعة ، أو يرى أن هناك ثلاثة حيوانات دون الحاجة إلى العد.

تقدير
هذا ينطوي على معرفة العدد التقريبي لمجموعة من الأشياء ويرتبط بمفهوم الإجابات المعقولة.

السياق والنظرة العامة
يمكن أن تزود الرياضيات الرسمية والرمزية الأطفال بأدوات وأفكار أكثر قوة من تلك المقدمة من خلال الرياضيات اليومية غير الرسمية. تم تطوير الرياضيات الرسمية (واستخدام الرموز) في العديد من الثقافات وأصبحت الآن عالمية تقريبًا. يحتاج الأطفال إلى تعلمها.

الأصول اليومية والرياضيات الرسمية
يواجه الأطفال رموز الرياضيات في الحياة اليومية: من بين العديد من أرقام المصاعد وأرقام الحافلات والقنوات التلفزيونية وعلامات الشوارع. غالبًا ما تقدم أنشطة الآباء والتلفزيون والبرامج بعض الرياضيات الرمزية البسيطة ، مثل قراءة الأرقام المكتوبة على التلفزيون أو على أوراق اللعب.

يجب على المدارس بالتأكيد تدريس الرياضيات الرسمية. لكن القيام بذلك ليس بالأمر السهل. حتى لو كانوا مؤهلين في الرياضيات اليومية ، فقد يواجه الأطفال صعوبة في فهم وربط معارفهم غير الرسمية بما يتم تدريسه في المدرسة. غالبًا لا يقوم المعلمون بتدريس الرمزية بشكل فعال. إذا نزل الأطفال على قدم رمزية خاطئة ، فقد تكون النتيجة سقوطًا شريرًا أسفل السلالم التعليمية. لذا فإن هدف المعلمين هو مساعدة الأطفال ، حتى في مرحلة ما قبل المدرسة ، على فهم سبب استخدام الرموز ، واستخدامها بطريقة مفيدة لربط الرياضيات غير الرسمية المعروفة بالفعل بالرياضيات الرمزية الرسمية. The teacher needs to “mathematize” children’s everyday, personal math that is, help children connect their informal system with the formal mathematics taught in school. It’s not ill-advised or developmentally inappropriate to introduce symbols to young children, if the activity is motivating and meaningful. On the contrary, it is crucial for the teaching of symbols to begin early on, but again, if and only if it is done in a meaningful way.

Here are key issues surrounding the introduction of formal math to young children:

Young children have a hard time connecting numerals and the symbols of arithmetic (+ and -) to their own everyday math
They may add well but be confounded by the expression 3 + 2. It is as if the child is living in alternate realities: the everyday world and the “academic” (in the pejorative sense) world. The everyday world makes sense and the world of school does not. You think for yourself in the former and do what you are told in the latter.

The equals sign (=) is a daunting challenge
The teacher intends to teach the equals sign as "equivalent," and thinks she has, but the child learns it as “makes” (e.g., 3 + 2 makes 5). This is a tale of how child egocentrism meets teacher egocentrism but neither talks with the other.

The solution
We should not avoid teaching symbols but need to introduce them in a meaningful way. This means taking account of what children already know and relating the introduction of symbols to that prior knowledge. It also means motivating the use of symbols. Thus if you want to tell a friend how many dolls you have at home, you need to have counted them with number words (symbols) and then use spoken words (“I have five dolls”), written words (“I have five dolls” written on a piece of paper or a computer screen), or written symbols (5) to communicate the result.

Manipulatives can help
Use of manipulatives can be effective in teaching symbolism and formal math, but they are often utilized badly. The goal is not to have the child play with concrete objects but to use these objects to help the child learn abstract ideas. The goal of manipulatives is to get rid of them by putting them in the child’s head to use as needed in thought. For example, suppose the child learns to represent tens and ones with base-ten blocks. Given the mental addition problem 13 plus 25, the child may understand that each number is composed of 10s (the 10 by 10 squares) and some units (the individual blocks), and that solving the problem involves adding one 10 and two more, which is easy, and then figuring out the number of units. The mental images of the 10s and ones provide the basis for her calculation, part of which may be done by memory (one plus two is three) and part of which may be done by counting on her fingers (five fingers and three more give eight).

The basics of number are interesting and deep. Although young children develop a surprisingly competent everyday mathematics, they have a lot to learn and teachers can help.


5.1: Introduction and Basic Number and Counting Systems - Mathematics

Mathematics is a basic tool. Some use of mathematics is found in every rating in the Navy, from the simple arithmetic of counting for inventory purposes to the complicated equations encountered in computer and engineering work. Storekeepers need mathematical compu tation in their bookkeeping. Damage Controlmen need mathematics to compute stress, centers of gravity, and maximum permissible roll. Electronics principles are frequently stated by means of mathematical formulas. Navigation and engineering also use mathematics to a great extent. As maritime warfare becomes more and more complex, mathematics achieves ever increasing importance as an essential tool. From the point of view of the individual there are many incentives for learning the subject. Mathematics better equips him to do his present job. It will help him in attaining promotions and the corresponding pay increases. Statistically it has been found that one of the best indicators of a mans potential success as a naval officer is his understanding of mathematics. This training course begins with the basic facts of arithmetic and continues through some of the early stages of algebra. An attempt is made throughout to give an understanding of why the rules of mathematics are true. This is done because it is felt that rules are easier to learn and remember if the ideas that led to their development are understood.

Many of us have areas in Our mathematics background that are hazy, barely understood, or troublesome. Thus, while it may at first seem beneath your dignity to read chapters on fundamental arithmetic, these basic concepts may be just the spots where your difficulties lie. These chapters attempt to treat the subject on an adult level that will be interesting and informative.

Counting is such a basic and natural process that we rarely stop to think about it. The process is based on the idea of ONE-TO-ONE CORRESPONDENCE, which is easily demonstrated by using the fingers. When children count on their fingers, they are placing each finger in one-to-one correspondence with one of the objects being counted. Having outgrown finger counting, we use numerals.

Numerals are number symbols. One of the simplest numeral systems is the Roman numeral system, in which tally marks are used to represent the objects being counted. Roman numerals appear to be a refinement of the tally method still in use today. By this method, one makes short vertical marks until a total of four is reached when the fifth tally is counted, a diagonal mark is drawn through the first four marks. Grouping by fives in this way is reminiscent of the Roman numeral system, in which the multiples of five are represented by special symbols.

A number may have many names." For example, the number 6 may be indicated by any of the following symbols: 9 - 3, 12/2, 5 + 1, or 2 x 3. The important thing to remember is that a number is an idea various symbols used to indicate a number are merely different ways of expressing the same idea.

The numbers which are used for counting in our number system are sometimes called natural numbers. They are the positive whole numbers, or to use the more precise mathematical term, positive INTEGERS. The Arabic numerals from 0 through 9 are called digits, and an integer may have any number of digits. For example, 5, 22, and 7,049 are all integers. The number of digits in an integer indicates its rank that is, whether it fs "in the hundreds," "in the thousands," etc. The idea of ranking numbers in terms of tens, hundreds, thousands, etc., is based on the PLACE VALUE concept.

Although a system such as the Roman numeral system is adequate for recording the results of counting, it is too cumbersome for purposes of calculation. Before arithmetic could develop as we know it today, the following two important concepts were needed as additions to the counting process:

1. The idea of 0 as a number.

2. Positional notation (place value).

Positional notation is a form of coding in which the value of each digit of a number depends upon its position in relation to the other digits of the number. The convention used in our number system is that each digit has a higher place value than those digits to the right of it.

The place value which corresponds to a given position in a number is determined by the BASE of the number system. The base which is most commonly used is ten, and the system with ten as a base is called the decimal system (decem is the Latin word for ten). Any number is assumed to be a base-ten number, unless some other base is indicated. One exception to this rule occurs when the subject of an entire discussion is some base other than ten. For example, in the discussion of binary (base two) numbers later in this chapter, all numbers are assumed to be binary numbers unless some other base is indicated.

In the decimal system, each digit position in a number has ten times the value of the position adjacent to it on the right. For example, in the number 11, the 1 on the left is said to be in the "tens place, " and its value is 10 times as great as that of the 1 on the right. The 1 on the right is said to be in the "units place," with the understanding that the term "unit" in our system refers to the numeral 1. Thus the number 11 is actually a coded symbol which means "one ten plus one unit." Since ten plus one is eleven, the symbol 11 represents the number eleven. Figure l-l shows the names of several digit positions in the decimal system. If we apply this nomenclature to the digits of the integer 235, then this number symbol means "two hundreds plus three tens plus five units." This number may be expressed in mathematical symbols as follows:

Notice that this bears out our earlier statement: each digit position has 10 times the value of the position adjacent to it on the right.

Figure 1-l.-Names of digit positions.

The integer 4,372 is a number symbol whose meaning is "four thousands plus three hundreds plus seven tens plus two units." Expressed in mathematical symbols, this number is as follows:

This presentation may be broken down further, in order to show that each digit position as IO times the place value of the position on its right, as follows:

The comma which appears in a number symbol such as 4,372 is used for "pointing off" the digits into groups of three beginning at the right-hand side. The first group of three digits on the right is the units group the second group is the thousands group the third group is the millions group etc. Some of these groups are shown in table l-l.

Table 1-l.-Place values and grouping.

By reference to table l-l, we can verify that 5,432,786 is read as follows: five million, four hundred thirty-two thousand, seven hundred eighty-six. Notice that the word "and" is not, necessary when reading numbers of this hind.

1. Write the number symbol for seven thousand two hundred eighty-one.
2. Write the meaning, in words, of the symbol 23,469.
3. If a number is in the millions, it must have at least how many digits?
4. If a number has 10 digits, to what number group (thousands, millions, etc.) does it belong?

1. 7,281
2. Twenty-three thousand, four hundred sixty-nine.
3. 7
4. Billions

The binary number system is constructed in the same manner as the decimal system. However, since the base in this system is two, only two digit symbols are needed for writing numbers. These two digits are 1 and 0. In order to understand why only two digit symbols are needed in the binary system, we may make some observations about the decimal system and then generalize from these.

One of the most striking observations about number systems which utilize the concept of place value is that there is no single-digit symbol for the base. For example, in the decimal system the symbol for ten, the base is 10. This symbol is compounded from two digit symbols, and its meaning may be interpreted as "one base plus no units." Notice the implication of this where other bases are concerned: Every system uses the same symbol for the base, namely 10. Furthermore, the symbol 10 is not called "ten" except in the decimal system. Suppose that a number system were constructed with five as a base. Then the only digit symbols needed would be 0, 1, 2, 3, and 4. No single-digit symbol for five is needed, since the symbol 10 in a base-five system with place value means "one five plus no units." In general, in a number system using base N, the largest number for which a single-digit symbol is needed is N minus 1. Therefore, when the base is two the only digit symbols needed are 1 and O.

symbol by relating it to the decimal system. Figure l-2 shows that the place value of each digit position in the binary system is two times the place value of the position adjacent to it on the right. Compare this with figure l- 1, in which the base is ten rather than two.

Figure 1-2.-Digit positions in the binary system.

Placing the digits of the number 101 in their respective blocks on figure l-2, we find that 101 means "one four plus no twos plus one unit." Thus 101 is the binary equivalent of decimal 5. If we wish to convert a decimal number, such as 7, to its binary equivalent, we must break it into parts which are multiples of 2. Since 7 is equal to 4 plus 2 plus 1, we say that it "contains" one 4, one 2, and one unit. Therefore the binary symbol for decimal 7 is 111. The most common use of the binary number system is in electronic digital computers. All data fed to a typical electronic digital computer is converted to binary form and the computer performs its calculations using binary arithmetic rather than decimal arithmetic. One of the reasons for this is the fact that electrical and electronic equipment utilizes many switching circuits in which there are only two operating conditions. Either the circuit is "on" or it is "Off )" and a two-digit number system is ideally suited for symbolizing such a situation. Details concerning binary arithmetic are beyond the scope of this volume, but are available in Mathematics, Volume 3, NavPers 10073, and Basic Electronics, NavPers 10087-A.

1. Write the decimal equivalents of the binary numbers 1101, 1010, 1001, and 1111.
2. Write the binary equivalents of the decimal numbers 12, 7, 14, and 3.

1. 13, 10, 9, and 15
2. 1100, 111, 1110, and 11

student to investigate more than one text and more than one way of approaching each new topic. At the time of printing of this course, much emphasis is being placed on so-called modern math in the public schools. Consequently, the trainee who uses this course is likely to find considerable material, in his parallel reading, which uses the ideas and terminology of the "new" math.

In the following paragraphs, a very brief introduction to some of the set theory of modern math is presented. Although the remainder of this course is not based on set theory, this brief introduction should help in making the transi tion from traditional methods to newer, experimental methods.


Introduction to Counting & Probability Online Book

Learn the basics of counting and probability from former USA Mathematical Olympiad winner David Patrick. Topics covered in the book include permutations, combinations, Pascal's Triangle, basic combinatorial identities, expected value, fundamentals of probability, geometric probability, the Binomial Theorem, and much more.

The text is structured to inspire the reader to explore and develop new ideas. Each section starts with problems, so the student has a chance to solve them without help before proceeding. The text then includes solutions to these problems, through which counting and probability techniques are taught. Important facts and powerful problem solving approaches are highlighted throughout the text. In addition to the instructional material, the book contains over 400 problems. Full solutions to all of the problems, not just answers, are built into the book.

This book is ideal for students who have mastered basic algebra, such as solving linear equations. Middle school students preparing for MATHCOUNTS, high school students preparing for the AMC, and other students seeking to master the fundamentals of counting and probability will find this book an instrumental part of their mathematics libraries.

Our site includes a free innovative online learning system, Alcumus, and a free collection of videos, both aligned to this textbook.

Preview Sample:


Tips for Parents of Preschoolers

You’re probably in the habit of measuring your preschooler’s growth by checking his or her height and weight. But how can you measure your child’s development in other areas, such as numbers and counting — early math skills?

Think about all the ways that numbers and counting are part of your child’s life! From soapy toes in the bathtub to “get ready-set-go!” in the yard, you are well positioned to observe and gather information about the early math skills your 3- to 4-year-old child is developing. The questions and tips that follow will help you understand what math awareness and skills your child should have — and how you can support his development.

Is your child developing age-appropriate numbers and counting skills?

It’s helpful to know what numbers and counting skills your child should be developing by age 3 or 4. Review the following list of milestones and note how your child is doing in each area. My child:

  • Is aware of — and curious about — how numbers and counting apply to his life and the world around him.
  • Can correctly count at least five objects.
  • Can point to places on a number line and count with 1-to-1 correspondence along the line (from left to right, right to left)
  • Understands that the written numeral “3” means three objects — and the same with numerals 1-5.
  • Can add and subtract small numbers of familiar objects. For example: “I have three cookies. You have two. How many do we have all together?”
  • Can put written numbers (numerals) from 1 to 5 in the correct order, small to large.
  • Can count from one to ten in the correct order.
  • Understands concepts of quantity (for example, “more” and “less”) and size (such as, “bigger” and “smaller”) and uses those terms correctly.

Encouraging numbers and counting skills at home

Now that you are aware of some of the basic math skills and concepts your preschooler should have, you can reinforce and build upon these skills. There are many ways you and your child can play with numbers and counting throughout the day. Here are some ideas to get you started:

  • Show your child how numbers and counting apply to everyday life. Use number words, point out numbers, and involve your child in counting activities as you go through your day. For example: Have your child help you measure ingredients for a recipe by measuring and counting the number of cups or spoonfuls. Talk about how things or amounts are more, less, bigger and smaller, and be sure to praise his efforts and his progress in math awareness.
  • Collect a variety of materials your child can use for hands-on counting. Old keys, plastic bottle caps, and buttons all work well. Collect them in a bag or jar and pick a time to count and re-count them again and again. (For added fun, offer guesses at the total number of items and see who comes the closest.)
  • Use items from around the house to experiment with addition, subtraction and “more” and “less” activities.
  • Read, tell stories, sing songs, and recite poems that include numbers and counting. Try to include books in which characters come and go as the story progresses.
  • Play simple board games that call on players to count spaces on the board, objects used in the game, and to recognize printed numerals or their representation (such as “dots on dice”).

Note: If your child has a regular babysitter or daycare provider, be sure to pass these tips along to the caregiver.

Promoting number and counting skills at preschool

The preschool classroom is filled with opportunities to learn and practice number and counting skills. Be sure to talk to your child’s teacher about structured teaching activities to develop skills in this area. To keep track of your child’s progress in early math skills, you’ll want to:

  • Ask your child’s teacher what early math lessons, games, and activities your child is exposed to and where your child is succeeding or struggling.
  • Find out what early math skills your child will need to master in ensure a smooth start of the kindergarten year
  • Look at the work and projects your child brings home from school. Look for numbers and counting themes and elements and discuss them together.
  • Encourage your child to talk about school and whether she finds numbers and counting interesting (or difficult).

Cause for concern? Where to turn for advice and assistance

Rest assured that “normal” development of beginning math skills doesn’t progress in exactly the same way for all preschoolers. However, you may want to seek help if your child:

  • Has difficulty with simple counting.
  • Doesn’t understand the one-to-one correspondence between number symbols and items/objects.
  • Doesn’t seem to understand or notice variations in size, patterns, or shapes.
  • Doesn’t see how math concepts exist in everyday life, even when examples are pointed out to him or her.
  • Dislikes and avoids activities and games that involve numbers and counting.


Kristin Stanberry is a writer and editor specializing in parenting, education, and consumer health/wellness issues. Her areas of expertise include learning disabilities and AD/HD, topics which she wrote about extensively for Schwab Learning and GreatSchools.


Introduction to Counting & Probability

Learn the basics of counting and probability from former USA Mathematical Olympiad winner David Patrick. Topics covered in the book include permutations, combinations, Pascal's Triangle, basic combinatorial identities, expected value, fundamentals of probability, geometric probability, the Binomial Theorem, and much more.

The text is structured to inspire the reader to explore and develop new ideas. Each section starts with problems, so the student has a chance to solve them without help before proceeding. The text then includes solutions to these problems, through which counting and probability techniques are taught. Important facts and powerful problem solving approaches are highlighted throughout the text. In addition to the instructional material, the book contains over 400 problems. The solutions manual contains full solutions to all of the problems, not just answers.

This book is ideal for students who have mastered basic algebra, such as solving linear equations. Middle school students preparing for MATHCOUNTS, high school students preparing for the AMC, and other students seeking to master the fundamentals of counting and probability will find this book an instrumental part of their mathematics libraries.

Our site includes a free innovative online learning system, Alcumus, and a free collection of videos, both aligned to this textbook.


مجموعات Counting Without Replacement Order Doesn't Matter

In mathematics, a combination is a way of selecting several things out of a larger group, where (unlike permutations) order does not matter. In smaller cases it is possible to count the number of combinations. For example given three fruits, say an apple, an orange and a pear, there are three combinations of two that can be drawn from this set: an apple and a pear an apple and an orange or a pear and an orange. More formally, a k-combination of a set S is a subset of k distinct elements of S. If the set has n elements the number of k-combinations is equal to the binomial coefficient.

Formula:

Combinations - Counting Techniques Advanced

How many words can be formed by ordering the letters ARKANSAS? randerson112358

Permutation - Counting Techniques

How many words can be formed by ordering the letters FLORIDA. randerson112358


شاهد الفيديو: الدرس الأول في مادة الرياضيات للسنة الأولى ثانوي: المجموعات الأساسية للأعداد بالتفصيل (ديسمبر 2021).