مقالات

14.3: اتصال لابلاس - الرياضيات


مطالبة

بالنسبة إلى ( text {Re} (z)> 1 ) و ( text {Re} (s)> 0 ) ، ( mathcal {L} (t ^ {z -1}؛ s) = dfrac { Gamma (z)} {s ^ z} ).

دليل - إثبات

حسب التعريف ( mathcal {L} (t ^ {z -1}؛ s) = int_ {0} ^ { infty} t ^ {z - 1} e ^ {- st} dt ). من الواضح أنه إذا ( text {Re} (z)> 1 ) ، فإن التكامل يتقارب تمامًا مع ( text {Re} (s)> 0 ).

لنبدأ بافتراض أن (s> 0 ) حقيقي. استخدم تغيير المتغير ( tau = st ). يصبح تكامل لابلاس

[ int_ {0} ^ { infty} t ^ {z - 1} e ^ {- st} dt = int_ {0} ^ { infty} ( dfrac { tau} {s}) ^ {z- 1} e ^ {- tau} dfrac {d tau} {s} = dfrac {1} {s ^ z} int_ {0} ^ { infty} tau ^ {z - 1 } e ^ {- tau} = dfrac { Gamma (z)} {s ^ z} d tau. ]

يوضح هذا أن ( mathcal {L} (t ^ {z -1}؛ s) = dfrac { Gamma (z)} {s ^ z}) ) لـ (s ) حقيقي وإيجابي. نظرًا لأن كلا جانبي هذه المعادلة تحليليان في ( text {Re} (s)> 0 ) ، فإن امتداد النظرية 14.2.1 يضمن أنهما متماثلان.

اللازمة - النتيجة

( Gamma (z) = mathcal {L} (t ^ {z - 1}؛ 1) ). (بالطبع ، هذا واضح أيضًا مباشرة من تعريف ( Gamma (z) ) في المعادلة 14.3.1.


شاهد الفيديو: تحویل لابلاس العكسي. الریاضیات. المعادلات التفاضلیة (شهر نوفمبر 2021).